Теория расчета нефтяных аппаратов высокого давления.

Введение в расчеты.

В настоящее время нефтяные аппараты делят на тонкостенные и толстостенные по критерию из теории тонких оболочек (типа Кирхгофа-Лява) отношения толщины стенки к диаметру, равному 0,1. В нормах тонкостенным сосудам соответствуют сосуды до 21 МПа (ранее до 16 МПа), толстостенным сосудам соответствуют аппараты высокого давления до 130 МПа. Аппараты высокого давления по нормам работают при давлении от вакуума до 130 МПа и перекрывают область рабочих давлений от вакуума до 21 МПа для тонкостенных аппаратов. Аппараты высокого давления могут использоваться и взамен аппаратов до 21МПа в интервале давлений от вакуума до 21МПа, являются более универсальными так как имеют широкий предел применения по давлениям. В ряде случаев возможно проектирование и поставка аппаратов, соответствующих нормам (стандартам) на давление до 130 МПа взамен аппаратов по нормам на давление до 21 МПа. В этом случае каких-либо противоречий или формального несоответствия нормативной документации, по-видимому, не должно быть.

Существует критерий деления оболочек на тонкие и толстые в зависимости от толщины стенки. Так оболочки до 50 мм считаются тонкими, от 50 до 100 мм (150 мм) считаются оболочками переходной толщины, свыше 100 мм считаются толстыми оболочками.

Критерий деления оболочек на тонкие и толстые по толщине является более примемлемым, чем критерий по нормам в 0,1 отношения толщины стенки к диаметру. По критерию 0,1 реактор гидрокрекинга с диаметром 4000…5000 мм и стенкой свыше 180 мм относится подпадает под нормы для сосудов и аппаратов до 21МПа, то есть условно под нормы для расчета тонкостенных сосудов. Это является некорректным по мнению автора настоящей работы.

В настоящее время расчеты по нормам являются устаревшим подходом. Расчеты выполняются точно методом конечных элементов в программных пакетах. Для тонкостенных оболочек до 50 мм могут быть применены плоские конечные элементы, для переходных и толстых оболочек применяют трехмерные пространственные конечные элементы. Вместе с тем и для тонких оболочек могут быть применены трехмерные конечные элементы. Плоские конечные элементы могут быть построены на теориях оболочек типа Кирхгофа-Лява или Тимошенко, трехмерные элементы строятся на теории упругости. В этом случае можно увидеть совпадение с нормами в применении теории оболочек для тонкостенных сосудов и теории упругости для толстостенных сосудов.

Аппараты высокого давления до 130 МПа рассчитываются по нормам по формулам теории упругости для задачи Ламе. Тонкостенные аппараты до 21 МПа по нормам рассчитываются по безмоментной теории тонких оболочек.

Критерий деления аппаратов на толстостенные и тонкостенные, равный 0,1, соответствуют точности теории оболочек типа Кирхгофа-Лява, свыше которого теория не должна применяться. На этом основании для сосудов высокого давления теория тонких оболочек и нормативная методика для аппаратов до 21 МПа не применяются. Существует теория оболочек типа Власова с увеличенной точностью по сравнению, но она не применяется для толстостенных аппаратов высокого давления.

Академик Новожилов В.В. [1,с.205] указывает о том, что теория оболочек воспринимается как «надстройка» над теорией упругости и получена из последней путем постулирования допущений и сведения задачи к двухмерной. Новожилов считал, что теорию оболочек необходимо рассматривать вместе с теорией упругости.

По мнению автора настоящей работы, теория тонких оболочек по сравнению с теорией упругости является технической теорией, менее обоснованной физически. Поэтому необходимо использовать для расчетов более точную и обоснованную теорию упругости. То есть нормы для сосудов высокого давления до 130МПа более обоснованы теоретически по сравнению с нормами для сосудов до 21МПа.

Теория упругости имеет трехмерную пространственную задачу и осесимметричную задачу. Эти две задачи могут применяться для расчета оболочек корпусов сосудов и аппаратов до 130МПа с учетом нюанса, состоящего в том, что трехмерная задача теории более обоснована по сравнению с осесимметричной задачей.

В трехмерной задаче теории упругости, корпус аппарата (оболочка) рассматривается как трехмерное твердое тело, к которому непосредственно приложены нагрузки.

Осесимметричная теория построена на симметричности геометрии оболочки вращений корпуса аппарата.

По мнению автора осесимметричная задача является содержит грубейшие ошибки в основании, состоящие в том, что по граням выделенного из стенки сегмента считается, что отсутствуют касательные напряжения [2].

Кроме того, при оценке прочности стенки оболочки, в осесимметричной теории упругости не ищутся главные напряжения. В формулу подставляются кольцевые и меридиональные напряжения. На основании того, что выделенный из стенки сегмент имеет симметрию, утверждается о том, что действующие на грани напряжения являются главными напряжениями.

Безухов утверждал [2,с.142], что так как меридиональная плоскость является плоскостью симметрии, то в меридиональной плоскости касательные напряжения отсутствуют и площадка на этой плоскости является главной площадкой.

Касательные напряжения присутствуют на меридиональных плоскостях и препятствуют вырыву элемента из стенки. Не принятие этого факта в расчетной модели, по которой выводятся все формулы осесимметричной теории является грубейшей некорректностью.

В теории упругости выделяется кубический элемент твердого тела и для него записываются условия равновесия и выполняется поиск главных площадок и главных напряжений [3], [4]. Тимошенко и Новожилов указывают о том, что для равновесия элемента необходимо, чтобы площади граней элемента были равны. Так как по граням действуют касательные напряжения, создающие моменты относительно осей, совпадающих с ребрами кубического элемента.

В осесимметричной задаче выделенный сегмент на виде в плане является трапецией с криволинейными основаниями, очерченными по сегментам окружности (радиусам).

Процитируем графику из работы Безухова сегмента в полярных координатах [2,с.143]:

Процитируем графику из работы Новожилова [3,с.75]:

Для ответа на поставленный вопрос о некорректности осесимметричной задачи теории упругости, необходимо в одной точке стенки оболочки совместить кубический и трапецеидальный сегменты, при этом в одних, например, прямоугольных координатах.

Важным является то, что элемент обеспечивает размерами условие сплошности. Это требует, чтобы размеры были намного больше размеров молекул, кристаллических структур и даже зерен (для стали), на уровне которых существует не сплошность.

Элемент не может быть «стянут» в точку и для него существует минимальные размеры, меньше которых элемент быть не может.

Покажем условия равновесия на основании тетраэдра, описанного вокруг интересующей точки. Процитируем графику Новожилова [3,с.14]:

И соответствующий этой графике вид «в плане», наглядно показывающий необходимость касательных напряжений для условий равновесия [3], но также необходимых для препятствия вырыва элемента из стенки оболочки вдоль меридиональных и кольцевых секущих плоскостей:

После совмещения.

Из приведенной графики отчетливо видно, что главные напряжения не являются кольцевыми напряжениями (не совпадают по направлению).

Очевидно, что необходимо в точке совмещения перейти от кольцевых и меридиональных напряжений к главным напряжениям и условия равенства площадей верхних и боковых граней кольцевого сегмента не выполняются.

Итак, рассмотрев осесимметричную задачу теории упругости, на основании простых геометрических соображений и распределения напряжений вокруг точки тела, положенных в основание теории упругости, можно сделать вывод о некорректности осесимметричной задачи, об ошибке в этой задаче.

По мнению автора, осесимметричная задача в существующем виде должна быть признана некорректной и доработана с учетом написанного выше.

Трехмерная задача теории упругости построена корректно. Оболочка рассматривается как твердое тело, к которому непосредственно прикладывают нагрузки и изучают вызванные деформации и напряжения.

Ниже более подробно рассмотрим применение трехмерной и осесимметричной задач к расчету оболочек корпуса нефтяных и атомных аппаратов.

Затем приведем формулы с обоснованием, используемые в нормах для сосудов высокого давления до 130 МПа и оценку прочности стенки сосудов.

Трехмерная задача теории упругости для полого цилиндра.

Трехмерная задача для оболочек цилиндра (задача Ламе) и сферы подробно решена в работе член.-корр. Лурье А.И. [6,с.387].

Лурье А.И. записал краевые условия (давления приняты одинаковыми) [6]:

По краевым условиям находятся постоянные интегрирования уравнений [6]:

Эти уравнения выведены из уравнений перемещения точек упругого тела в осесимметричной задаче, записанного в цилиндрических координатах (как было написано выше, оболочка рассматривается в виде твердого тела и к ней непосредственно прикладываются нагрузки и изучаются деформации и напряжения) [6]:

U – радиальное перемещение, w – осевое перемещение. Расшифровка остальных членов – см. работу [6,с.384].

Для напряжений по закону Гука, Лурье записал [6]:

После выполнения выкладок по краевым условиям, записанным выше, Лурье получает уравнения для цилиндра в задаче Ламе для деформаций (перемещений) и напряжений.

Для деформаций цилиндра без продольного перемещения торцов [6]:

Для напряжений цилиндра без продольного перемещения торцов [6]:

Для деформаций цилиндра со свободным перемещения торцов [6]:

Для напряжений цилиндра со свободным перемещения торцов [6]:

Для деформаций цилиндра под наружным давлением со свободным перемещения торцов [6]:

Для напряжений цилиндра под наружным давлением со свободным перемещения торцов [6]:

На основании приведенных выше формул можно выполнять расчет аппаратов высокого давления до 130МПа по трехмерной задаче теории упругости.

В настоящее время расчет оболочек аппаратов в виде трехмерного твердого тела с определением напряжений и деформаций выполняется методом конечных элементов (МКЭ) в специальных программных пакетах, например, ANSYS.

Осесимметричная задача теории упругости для полого цилиндра.

Повторно процитируем графику из работы Безухова [2,с.143]:

Уравнения равновесия [2]:

После преобразований [2]:

Уравнения для деформаций [2]:

Уравнения для напряжений [2]:

Объемное расширение тела [2]:

Перемещения должны описываться уравнениями [2]:

Для поиска напряжений, уравнения напряжений теории упругости преобразуют из прямоугольных (декартовых) в цилиндрические координаты.

Записывают уравнение [2]:

После выкладок получается [2]:

При подстановки записанных уравнений для напряжений в записанные выше уравнения статического равновесия выделенного элемента, последние обращаются в тождества [2].

Безухов [2,с.180] при рассмотрении задачи Ламе записывает граничные условия и ссылается на формулы для плоской задачи теории упругости [2,с.138], полученные для напряжений, распределенных симметрично относительно оси. Процитируем графику для плоской задачи [2,с.136]:

Для этой графики Безухов некорректно указывает, что касательные напряжения по определенным граням равны нулю. На некорректность этого утверждения для случая осесимметричной задачи аргументы были приведены выше автором настоящей работы.

Безухов записывает формулы для напряжений [2]:

Из этих уравнений, приняв В = 0, получается [2,с.180]:

Из граничных условий.

Получается:

Результат в виде формул получился таким же как и в литературе по сопротивлению материалов, например, в учебниках Беляева Н.М. [6,с.609] и Ильюшина [7,с.176]. Но в сопротивлении материалов формулы выводятся по-другому. Особенностью изложения Беляевым является подчеркивание универсальности теории упругости и применение полученных формул для толстостенных сосудов к расчету тонкостенных сосудов.

Процитируем графику из работы Ильюшина [7,с.177]:

Ильюшин записывает известные уравнения [7,с.178]:

Уравнение равновесия [7,с.178]:

И затем после промежуточных выкладок находит три напряжения [7,с.179]:

Как видно, формулы совпадают с полученными Безуховым, однако выведены другим путем.

Для случая пластического состояния материала стенки уравнение равновесия при внутреннем давлении Ильюшин записал [7,с.182]:

Формулы для деформаций и напряжений полой трубы при пластической деформации имеют более сложный вид, выводятся по-другому и приведены подробно в работе Ильюшина [8,с.144].

Папкович в работе [9] указывает, что для длинного цилиндра посередине будет плоское напряженное состояние. На этом основании, по-видимому, в литературе по теории упругости, например [2], при рассмотрении задачи Ламе производится рассмотрение плоской задачи и вывод формул по соответствующему пути. Несмотря на то, что в этой же литературе приведены формулы для осесимметричной задачи.

Такой подход является по существу некорректным. Необходимо применять трехмерную задачу, лишенную, по-видимому, указанных недостатков.

Расчет сосудов и аппаратов высокого давления до 130МПа по нормам.

Меридиональные, радиальные, тангенциальные напряжения согласно работе [10,с.56]:

Как видно из записанных формул, величина радиальных и тангенциальных напряжений изменяется по толщине. Радиальное напряжение на внутренней поверхности стенки оболочки является равным внутреннему давлению. Тангенциальные напряжения на внутренней поверхности стенки достигают максимума.

Наибольшим напряжением будет являться тангенциальное при закрытых торцах цилиндра приваренными днищами [11,с.146]:

Рассмотрим оценку напряженного состояния по теориям прочности по данным работы [11].

По первой теории прочности [11,с.144]:

По второй теории прочности [11,с.145]:

По третьей теории прочности [11,с.145]:

По четвертой теории прочности [11,с.145]:

В работах [10] и [11] выполнено сравнение толщин стенок, рассчитанных по формулам теории упругости для толстостенных аппаратов и по формулам теории тонких оболочек для тонкостенных аппаратов. Сравнение выполнено для граничного условия отношения толщины стенки к диаметру, равному 0,1.

В теории тонких оболочек находят среднее напряжение аналогично теории пластин в виде интеграла, как показано в работе Новожилова [12]. По второй теории прочности для толстостенных сосудов применено формула для тонкостенных сосудов [11].

Вихманом и Кругловым [11,с.148] получены результаты:

– для тонкостенных сосудов.

– по третьей теории прочности:

– по четвертой теории прочности:

Авторы [10] сделали вывод о том, что для тонкостенных сосудов с отношением толщины стенки к диаметру менее 0,1, результаты по формулам для толстостенных и тонкостенных сосудов приближенно одинаковые.

Таким образом, приведенный вывод авторов [10] соответствует указанной выше автором настоящей монографии положению об универсальности теории упругости и возможности расчета по методике аппаратов высокого давления для аппаратов до 21МПа. И о возможности на давление до 21МПа проектирования и изготовления аппаратов по нормам на аппараты высокого давления до 130 МПа, работающие в интервале «вакуум – 130 МПа», перекрывающем интервал «вакуум – 21 МПа».

При гидроиспытаниях, как указано в [11] с коэффициентом 1,25, напряжения на внутренней поверхности составляют 0,9 от предела текучести.

Также в работе [11] указан коэффициент, равный 0,136 отношения толщины стенки к внутреннему диаметру, при котором напряжения на внутренней поверхности оболочки достигают 0,9 от предела текучести (осредненные напряжения по теории тонких оболочек 0,58 от предела текучести и тангенциальные напряжения 0,72 от предела текучести).

И в работе [11] в итоге указана формула для толстостенных сосудов из аустенитно-ферритной стали по Фрейтагу В.А.:

Расчет методом конечных элементов.

Приведем пример реализации решения численным методом – методом конечных элементов трехмерной и осесимметричной задач теории упругости.

В настоящее время расчеты МКИ проводят в программном пакете МКЭ, например, ANSYS, рассчитывая корпус аппарата полностью в сборе на комбинацию всех видов нагрузки.

Результатом расчета являются цветные диаграммы деформаций и напряжений, по которым делается заключение о работоспособности конструкции аппарата для заданных расчетных нагрузок.

Под расчетом по методу конечных элементов понимается вычислительный процесс на компьютере, состоящий из [13,с.6]:

– описания конечных элементов, численного интегрирования для вычисления элементов матриц,

– объединение матриц отдельных конечных элементов в общую матрицу ансамбля элементов,

– численное решение системы уравнений равновесия.

Решение уравнений равновесия для статических и динамических задач занимает основные затраты машинного времени на вычисления. Инженер-расчетчик может контролировать ход вычисления.

При расчете МКЭ оболочек (т.е. корпусов аппаратов) предполагается [13,с.73], связь конечных элементов в узловых точек (которых конечное число), перемещения узловых точек определяют перемещения конечных элементов (поля конечных элементов). За счет этого используя принцип возможных перемещений можно составить уравнения равновесия для совокупности всех конечных элементов.

Решение.

Трехмерной задачи теории упругости.

Приведем пример формы трехмерного конечного элемента:

Перемещения тетраэдрического элемента определяется перемещением 12 компонентами перемещений его узлов [14,с.107]:

Компонентами u, v, w определяется вектор перемещений точки.

Матрица деформаций [14,с.108]:

Матрица тепловых деформаций [14,с.109] (θε – средняя температура элемента):

Матрица упругости [14,с.109]:

Матрица напряжений [14,с.109] ({σ0 – аддитивный член}):

Объединяя тетраэдрические элементы, можно разбивать пространство на «кирпичики». В этом случае повышается наглядность разбиения.

Зенкевич указывает [14,с.115] о расчете сосуда высокого давления МКЭ с использованием конечных элементов в виде «кирпичиков». В приводимом примере расчета выполнялся для 10000 степеней свободы. И Зенкевич указывает на то, что при применении более сложных конечных элементов расчет упрощается за счет уменьшения степеней свободы. Но использование сложных элементов не даст преимуществ в сокращении времени подготовки расчета, если процесс разбиения автоматизирован [14,с.169]. В настоящее время в программных пакетах МКЭ используется автоматизированное построение расчетной сетки. При этом при применении сложных элементов сокращается время вычислений, однако ширина матрицы увеличивается и сокращение времени может не происходить. Увеличение размеров конечных элементов приводит к ухудшению аппроксимации конструкции.

Решение осесимметричной задачи теории упругости.

По данным [14,с.89] , [15,с.229] для решения осесимметричной задачи может быть использован подход плоской задачи. В этом случае треугольный симплекс-элемент вращением образует треугольный тор [15,с.229]. Такой тор показан на рисунке в работе О. Зенкевича [14,с.87].

Объемное тело 3D-модели представляет собой объем, по которому берется интеграл таких треугольных элементов. Отличие осесимметричной задачи от плоской состоит в том, что при деформации оболочки в радиальном направлении вызывает деформацию в окружном направлении. И в рассмотрение должна быть введена четвертая компонента деформации и напряжения по сравнению со случаем плоской задачи [14,с.88]. В плоской задаче компоненты напряжения в направлении, перпендикулярном к координатной плоскости, равны нулю. Трехмерный симплекс-элемент рассматривается аналогично двумерному конечному элементу [15,с.226].

Векторы напряжений и деформаций и матрица упругости по данным [15,с.229]:

Вектор начальной деформации от теплового воздействия [15,с.230]:

Напряжения вычисляются по закону Гука [15,с.233]:

Или через узловые перемещения после подстановки.

([В] – матрица градиента, {U} – перемещение узлов.

В работе [14,с.259] отмечено о применении одномерных элементов для осесимметричных оболочек к осесимметричной нагрузкой. В этом случае используется метод перемещений и поверхность оболочки разбивается на ряд усеченных конусов:

Изгибные и мембранные напряжения в оболочке корпуса аппарата однозначно определяются величинами обобщенными деформациями (искривления и растяжения срединной поверхности) [14,с.259]. Перемещения каждой точки срединной поверхности известны. Так, перемещения срединной поверхности оболочки под действием осесимметричной нагрузки однозначно определяются компонентами u и w по касательной к нормали поверхности.

Зенковичем [14,с.259] приводится следующая запись матриц перемещений {ε}, напряжений {σ} и упругости [D] в соответствии с четырьмя результирующими напряжениями на рисунке при φ = const (верхняя часть матриц соответствует мембранным усилиям, нижняя часть матриц соответствует изгибным жесткостям, сдвиговые части матриц не показаны):

Расчет колебаний аппаратов.

Для решения задач колебаний колонных аппаратов необходимо учитывать зависимость изменения рассчитываемых параметров во времени.

Используется эквивалентная статическая задача, в которой каждый момент времени дискретизируется. Распределенная сила может быть заменена эквивалентной.

Для оболочек, как отмечает Зенкевич [16,с.352], записывается матрица масс конечных элементов (для плоских и изгибных напряжений), по которой находится общая матрица масс. Матрица масс строится аналогично матрице жесткости. Зенкевич на этом основании заключает, что решение задачи о колебаниях оболочек не вызывает затруднений.

В работе [16,с.176] Зенкевич отмечает, что введение инерционных членов в статическую задачу не усложняет решения. После вычисления матрицы масс элементов, задача принимает вид стандартной системы с конечным числом степеней свободы.

Для оболочки, совершающей перемещения (движение) динамическая задачи переводится в статическую задачу приложением сил от ускорения (по принципу д’Аламбера).

Колебания без затухания.

В работе [16,с.176] показано, что расчет упругой конструкции в условиях статической нагрузки описывается уравнением:

В этом уравнении [K] – матрица жесткости объединенной конструкции, {δ} – матрица всех узловых смещений, {Р} – матрица всех узловых нагрузок.

{F}p – силы в узлах от распределенных нагрузок, см. [38,с.176],

{F}ε0 – силы в узлах от начальной деформации, см. [38,с.21].

Матрица динамических сил в узлах [16,с.176]:

Матрица распределенной нагрузки [16,с.177]:

Распределенная нагрузка выражается в виде эквивалентных узловых сил [16,с.177]:

После подстановки в первоначальное уравнение [16,с.177]:

Матрица внешних масс, прикладываемых к узлам сетки [16,с.177]:

Матрица масс, объединяющая матрицы масс конечных элементов [16,с.177]:

Колебания с затуханием.

Для колебаний с затуханием первоначальное уравнение записывается в виде [16,с.186].

([С] – матрица затухания колебаний).

Матрица затухания колебаний [С] находится аналогично матрице масс [М].

Для внешней силы можно записать [16,с.186]:

C учетом этой записи получается форма решения в виде [16,с.186]:

Первоначальное уравнение, решенное относительно {δ0} [16,с.186]:

Из последнего уравнения записывается система двух уравнений [16,с.187]:

С учетом записи {δ0} является комплексным и [16,с.186]:

Реакция конструкции с затуханием колебаний на периодическое воздействие силы с угловой частотой ω находится решением системы уравнений [16,с.187].

Получение n собственных величин и {δ’0}I собственных форм колебаний получается решением уравнения [16,с.178]:

Свободные колебания.

В случае свободных колебаний, уравнение, указанное для колебаний без затухания записывается в виде [16,с.178]:

Колеблющаяся конструкция представляет собой систему с конечным числом степеней свободы. Каждая точка конструкции движется в заданной фазе [16,с.178]:

Уравнение для задач на собственные колебания [16,с.178]:

Для угловой частоты ω получится n значений при размерах матриц [K] и [M] nxn.

Каждая частота свободных колебаний ω связана со своей модой {δ0}. В модах установлены соотношения узловых смещений, но отсутствуют их значения [16,с.178].

Задача на собственные значения записывается в виде [16,с.178]:

Так как по данным [16,с.179].

Определяются значения λ для основных периодов и по ним находятся формы колебаний {Z}, а затем формы мод {δ0} [16,с.179].

Функционал МКЭ позволяет выполнять все виды нормативных расчетов на прочность и жесткость, а также расчет на колебания колонного аппарата. Примеры выполнения расчетов МКЭ для вертикального аппарата емкостного типа на опорных стойках приведен в источнике [17], пример расчета вертикального нефтяного аппарата сложной конструкции, представляющей собой агрегат из нескольких элементов, приведен в источнике [18].

Список литературы.

1. Новожилов В.В. Основы нелинейной теория упругости. М.: ОГИЗ, 1948.

2. Безухов Н.И. Теория упругости и пластичности. М.: ГИТТЛ, 1953.

3. Новожилов В.В. Теория упругости. Л.: СУДПРОМГИЗ, 1958.

4. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1979.

5. Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости. М.: Госиздат технико-теорет. л-ры, М.: Наука, 1955.

6. Беляев Н.М. Сопротивление материалов. М.: Наука, 1956.

7. Ильюшин А.А., Ленский В.С. Сопротивление материалов. М.: Наука, 1959.

8. Ильюшин А.А. Пластичность. Часть первая. Упруго-пластические деформации. М.: ОГТЗ, 1948.

9. Папкович П.Ф. Теория упругости. М.: ОГИЗ, 1939.

10. Бабицкий И.Ф., Вихман Г.Л., Вольфсон С.И. Расчет и конструирование аппаратуры нефтеперерабатывающих заводов. 2-е изд. М.: Недра, 1965.

11. Вихман Г.Л., Круглов С.А. Основы конструирования аппаратов и машин нефтеперерабатывающих заводов. Учебник для студентов вузов. 2-е изд. М.: Машиностроение, 1978.

12. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. Л.: Судпромгиз, 1962.

13. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов.– М.: Мир. 1981.

14. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. – М.: Мир. 1971.

15. Сегерлинд Л. – Применение метода конечных элементов. – М.: Мир, 1979.

16. Зенкевич О., Чанг И. Метод конечных элементов в теории сооружений и механике сплошных сред. – М.: Недра. 1974.

17. https://fea.ru/project/64.

18. https://fea.ru/project/80.