Теорема Белого Кота.

Предисловие.

Пять лет я писал «Систему Диофанта» и это не значит, что я стучал по клавиатуре все пять лет (допустим по 4 страницы в день – это сколько же будет?). Между главами пробегало от 1 до 13-17 месяцев; поэтому главы стилистически различны, но для меня этот опус – дневник и в этом его ценность.

Опыт показывает, что нормальные читатели начинают читать сначала, а потом, убедившись, что все чепуха, бросают это грязное дело. Т.е. с моей точки зрения, большинство читателей не дошли до «сладкого».

Поэтому, не удаляя ценный для меня дневник, попробую написать все заново.

Попытка номер два.

Все началось с задачи Диофанта.

«Два числа в сумме дают 20, а их произведение равно 96. Ну, ясное дело, надо определить эти числа».

В современной записи это будет система:

S + d = 20.

Sd = 96.

Фигурную скобку системы { поставьте мысленно.

Решением будет квадратное уравнение:

S2 — 20s + 96 = 0.

Как вы помните для квадратного уравнения (КУ).

Ax2 + bx + c = 0.

Корни вычисляются по формуле:

Теорема Белого Кота.

Сегодня меня интересуют только приведенные квадратные уравнения (ПКУ – это когда a=1).

И еще для дальнейшего удобства ввожу переменную h = -b/2.

В таком случае формула упрощается до:

Теорема Белого Кота.

В этом сочинении меня интересует ТОЛЬКО графическое решение уравнения.

Пропускаем тривиальные рассуждения о параболах и рассмотрим подкоренное выражение.

Да! Введем еще одну подстановку вместо переменной с, введем некое число в квадрате, пусть будет v (т.е. c = v2).

Значит под корнем будет:

H2 – v2.

Если вы присмотритесь, то под корнем оказалась теорема Пифагора.

То есть для нахождения корней не нужно возводить число в квадрат а затем из разности извлекать корень (3 – операции), а достаточно одной операции извлечь корень из c и построить треугольник (циркулем и линейкой).

Для уравнения x2 -10x + 16 = 0 графическое решение будет таким:

Производим вычисления h = 5; v = 4.

Теорема Белого Кота.

Рис. 1.

Корни x1=2, x2 = 8.

[знак при v не имеет значения].

Немного другое решение для случая, когда корни имеют разные знаки.

Например, для уравнения x2 -6x - 16 = 0.

Производим вычисления h = 3; v = 4.

Теорема Белого Кота.

Рис. 2.

[знак при v не имеет значения].

Корни x1=-2, x2 = 8.

Как определить потребный случай? Легко! По знаку перед коэффициентом c, если минус значит рисунок 2, и обратно (подробнее в «Системе Диофанта»).

Теорема.

Теперь внимательнее посмотрим на многострадальное подкоренное выражение.

Согласно теореме Виета:

B = x1 + x2; c = x1*x2 (для ПКУ).

Отсюда под корнем будет:

Теорема Белого Кота.

Смотрите!

 (x1+x2)/2 – это среднее арифметическое.

А корень из произведения x1* x2 – среднее геометрическое.

Теперь задачу Диофанта можно сформулировать по-другому:

Дано: среднее арифметическое и геометрическое двух чисел.  Найди эти числа.

В нете нашел графический метод вычисления среднегеометрического.

Теорема Белого Кота.

Рис. 3.

Сравните с рисунком 2 – полное соответствие, что совершенно естественно, т.к. это одна и та же задача только заданное и искомое поменялись местами, а от перемены мест рисунок не изменился.

В том же  неиссякаемом источнике нашел способ графического извлечения корня. !Гениально просто!

A = 1; b – исследуемое число x ….. в результате под корнем 1*x.

И из x извлекается корень!!!

Совместим рисунки 2 и 3. т.е вначале найдем корень квадратный из c , а затем корни квадратного уравнения x2 -6x - 16 = 0.

Теорема Белого Кота.

Рис. 4.

Два средних встречаются под одним корнем – это «жу-жу» неспроста.

Поискал, посмотрел. Вся сеть заполнена рефератами восьмиклассников о многообразии средних и о том, что они происходят от одной формулы:

Среднее степенное  -Теорема Белого Кота.

Там же нашел вариант рисунка 3 в коем кроме арифметического и геометрического представлены: гармоническое и квадратичное средние, но выглядит это как-то неуклюже искусственно. И совсем по-другому, понятно и логично эти величины отображаются в трапеции:

Теорема Белого Кота.

Рис. 5.

ABCD – трапеция, AD = a, BC = b.

1) среднее гармоническое.

Проходит через точку пересечения диагоналей O.

2) среднее геометрическое.

Трапеция ALTD подобна трапеции LBCT.

3) среднее арифметическое.

Средняя линия трапеции (L - середина AB, T - середина CD).

4) среднее квадратичное.

Линия равновесия (площадь AMND равна площади MBCN).

{на рисунке 5 кроме 1) линии нарисованы очень приблизительно }.

А теперь читателю предлагается доказать следующую теорему:

Величину оснований a и b можно вычислить, зная любую пару средних.

[поля книги слишком малы для моего доказательства…].

w. cat.