Физика для любознательных.

Из предисловия автора.

Настоящий курс написан для тех, кто, не будучи физиком, хотел бы знать эту науку и понимать ее. Книга содержит теоретическую часть, задачи и указания к лабораторным занятиям в объеме одногодичного курса, читаемого в Принстонском университете студентам, для которых «техническая» физика не является профилирующим предметом, т. е. изучающим экономические, гуманитарные и общественные науки, а также студентам-медикам.

Предлагаемый курс одинаково доступен как тем, кто изучал физику раньше, так и тем, кто не изучал ее совсем. Для усвоения материала нет необходимости прослушать подготовительный курс физики. Эта книга не заимствовала материала или трактовку обычного курса физики для высшей школы, так что она годна для широкого круга читателей.

Ряд тем разработан более подробно; назначение этих тем — формирование гармоничной системы знаний. Хотя математика является важным инструментом физики, в этом курсе использованы лишь наиболее простые элементы алгебры и геометрии на плоскости (планиметрии). Однако необходимое требование — критическое отношение к материалу, ясное мышление и способность логически рассуждать. Задачи, имеющие первостепенное значение, не сводятся к подстановке определенных величин в формулы, для их решения необходимо рассуждать и критически мыслить. Так что и текст и задачи требуют от читателей активной проработки.

Указание читателям.

Задачи, составляющие важную в учебном отношении часть этой книги, требуют от каждого учащегося серьезного продумывания материала, ибо они развивают и дополняют запас знаний. В физике имеется много вопросов, нуждающихся в обсуждении и обосновании. Чтобы понять, как экспериментальные знания оправдываются теорией, а затем на этой основе появляются новые выводы, читатель должен активизировать собственное мышление и свою способность к логическим рассуждениям. Конечно, если бы в книге были сформулированы все выводы и изложены основы всех рассуждений, и преподавателю и учащемуся было бы проще. Но тогда было бы трудно запомнить материал надолго и еще труднее было бы извлечь из него ясное представление о предмете. Поэтому в предлагаемой книге для решения большей части задач требуется пораскинуть умом.

Некоторые задачи разбиты на ряд последовательных вопросов, сделано это не для того, чтобы материал изучался малыми дозами («по чайной ложечке»), а чтобы такие задачи служили готовыми примерами; читателю следует прорабатывать их по мере изучения текста.

Некоторые задачи подготавливают изучение последующих глав, а другие выдвигают общие вопросы, обсуждение которых может во многом облегчить понимание материала.

Указание преподавателям.

Около десяти лет назад забота о репутации науки побудила некоторых из нас написать новые учебные курсы для лиц, не занимающихся специально научной деятельностью. В наш век образованные люди, даже не занимаясь наукой, должны знать и понимать физику, и эти блага познания они сохранят как часть своего интеллектуального багажа на всю жизнь. Образованные люди видят, что научные знания влияют на интересы, перспективы и философию. Какого рода курс физики мог бы удовлетворить таким потребностям? Обычные курсы, состоящие из фактов, формул и принципов, написанные для будущих физиков и инженеров и все еще предлагаемые в качестве стабильных образцов, не отвечают этим требованиям.

Тем, кто не готовится к научной деятельности, такие курсы не дадут необходимого понимания науки. Автору приходилось слышать сомнения даже в том, действительно ли они хороши как отправной материал для профессиональных научных работников.

Желая восполнить этот пробел, автор написал данный курс, каркас которого составляют наиболее важные узловые темы. Эти темы следует излагать особенно тщательно, чтобы дать учащимся ощущение подлинного понимания вопроса; обсуждая взаимозависимость тем, надо стремиться показать все здание науки как единое целое. Автор излагал и науку, и философию науки, не прибегая, однако, к этим запретным словам. Использовано довольно много материалов по физике твердого тела, они тщательно обработаны (в пределах ограниченного математического аппарата), так как автор хотел не столько снабдить учащихся обширной информацией, сколько дать им знания и понимание предмета.

В тех случаях, когда те или иные темы опущены, образовавшиеся в структуре учебного материала промежутки — паузы — дают возможность педагогам тщательно подготовиться к занятиям, а учащимся предоставляют время для самостоятельного чтения и продумывания предмета; кроме того, эти паузы дают место и время для развития перспективы науки. Автор считает, что от того, что в курс не включены некоторые темы, потеря невелика. Если курс будет усвоен, учащиеся достаточно хорошо будут знать предмет и с помощью научных источников смогут возместить любые пробелы. И если цель будет достигнута, то наш курс подтвердит, что глубина изучения предмета приходит в результате самостоятельных рассуждений и критического мышления; курс должен в большей степени порождать вопросы, нежели преподносить готовые выводы.

Такова особенность учебного курса, ради которого была написана эта книга.

Основной план книги.

Чтобы сделать доступной учащимся и просто читателям физику на уровне знаний ученых, необходимо показать ее остов, объединяющий знания и размышления. В книге сделана такая попытка; для этого отдельные главы взаимосвязаны. Сведения, сообщаемые в одном месте, еще будут не раз комментироваться и углубляться в дальнейшем. Таким путем знания расширяются как организованная система.

Поскольку большое значение имеет соответствие структуры курса поставленной задаче и методике его преподавания, то для подобного курса нельзя предложить идеальный тематический план.

Некоторые элементы универсальны (такие, как, скажем, законы Ньютона), другим же отдают предпочтение большинство преподавателей и многие учащиеся (например, планетная астрономия — для ознакомления с применением теоретических знаний — или ядерная физика, знакомящая с современными научными воззрениями). Таким образом, остается много возможностей для индивидуального выбора тем по вкусу преподавателей и учащихся, с учетом наличного лабораторного оборудования и метода преподавания.

Вначале содержание книги было подчинено методологическим взглядам автора; это был вполне приемлемый курс, но с предвзятым выбором тем. Чтобы предоставить преподавателям возможность выбора, некоторые главы были расширены, а ряд других дополнен. Есть опасность, что эти дополнения перегрузят курс, если читатели будут стремиться охватить все главы.

Однако как подтверждение того, что книга менее перегружена материалом, чем традиционное «полное меню» стандартных курсов, ниже приводится перечень тех разделов, кои полностью опущены в этой книге или трактуются в обычной форме: гидростатика, статика, калориметрия, оптика, звук и частично электричество и магнетизм. Таким образом, курс наряду с общими вопросами рассматривает преимущественно динамику, планетную астрономию, молекулярную теорию, электричество, магнетизм и «атомную физику».

В приведенной здесь таблице характеризуются принятые в Принстонском университете методы изучения глав данного курса.

(Пунктирные линии примерно делят годичный курс на четверти.).

Часть I. МАТЕРИЯ ДВИЖЕНИЕ СИЛА.

«Дайте мне материю и движение и я построю Вселенную.». Рене Декарт (1640 г.). «…от явлений движения к исследованию природы сил и затем от этих сил — к демонстрации других явлений:…движения планет, комет, Луны и моря…». Исаак Ньютон (1686 г.). «Пусть никто не думает, что великое создание Ньютона может быть ниспровергнуто теорией относительности или какой-нибудь другой теорией. Ясные и широкие идеи Ньютона навечно сохранят свое значение фундамента, на котором построены наши современные физические представления.». Альберт Эйнштейн (1948 г.).

Глава 1. Земное тяготение.

«Что отличает язык науки от языка в обычном понимании этого слова? Как произошло, что научный язык стал интернациональным? Единство научных понятий и научного языка обусловлено тем обстоятельством, что они создаются лучшими умами всех времен и народов. В одиночку и объединенными усилиями, если иметь в виду конечный эффект, они создавали духовное оружие для технических революций, которые в последние столетия преобразили жизнь человечества. Выработанные ими понятия служат путеводной звездой в ошеломляющем хаосе восприятий и учат нас извлекать общие истины из отдельных наблюдений». А. Эйнштейн.

Введение.

Начать с обсуждения научных методов или структуры науки — все равно, что судить о какой-нибудь стране до того, как в ней побываешь. Поэтому выберем один из разделов физики — земное тяготение и свободное падение тел — и сразу же приступим к его изучению, а потом обсудим общие идеи, связанные с этой темой.

О подстрочных примечаниях.

Мы советуем сперва прочесть главу, опуская подстрочные примечания, а потом все внимательно перечитать снова — и текст, и примечания. Некоторые подстрочные примечания тривиальны, но многие содержат важные замечания и прямо относятся к курсу.

Это отнюдь не мелкие детали, которые автор вводил в книгу только затем, чтобы впоследствии не испытывать угрызений совести, что он их опустил. Эти вынесенные за текст замечания позволяют сделать его более связным. Если их поместить в основной текст (а некоторые трактуют побочные вопросы), внимание читателя будет рассеиваться. Но вплетение в канву изложения новых узоров само по себе демонстрирует всю сложную структуру науки, и поэтому при повторном чтении необходимо читать и примечания.

Свободное падение тел.

Давайте понаблюдаем за падением камня и поразмыслим над тем, что нам известно о свободном падении тел. Как мы получили эти знания? Каким образом мы свели их в систему законов, которые четко запоминаются и которыми легко пользоваться? Что они дают?

Почему мы придаем такое значение научным знаниям, принявшим форму законов? Прежде чем читать дальше, проделайте следующий опыт. Возьмите два камня (или две книги, или две монеты) разных размеров. Прикиньте, намного ли больший тяжелее.

Представьте себе, насколько быстрее он будет падать, если оба камня одновременно свободно выпустить из рук. Вы, конечно, предположите, что камни будут падать со скоростями, пропорциональными их весу: камень весом 100 Г будет падать вдвое быстрее камня весом 50 Г. Теперь поднимите оба камня повыше и выпустите их из рук одновременно… Чему вы склонны поверить: тому, что видели, что предполагали, или тому, «что написано в книге»?

Много тысячелетий назад люди наверняка замечали, что большая часть предметов падает все быстрее и быстрее, а некоторые падают равномерно. Но как именно падают эти предметы — этот вопрос никого не занимал. Откуда у первобытных людей должно было появиться стремление выяснить как или почему? Если они вообще размышляли над причинами или объяснениями, то суеверный трепет сразу же заставлял их думать о добрых и злых духах. Мы легко представляем, что эти люди с их полной опасности жизнью считали большую часть обычных явлений «хорошими», а необычные — «плохими»; ведь и мы сегодня употребляем слово «естественный» в качестве положительной оценки, а «неестественный» говорим с оттенком неприязни.

В этом стремлении к обычному есть нечто мудрое: в мире, лишенном установленного порядка и полном случайностей, было-бы опасно жить. Едва выйдя из пеленок, дети лишаются надежной защиты и попадают в суровый, безжалостный мир, в котором кирпичные стены ставят синяки, а раскаленная печь может обжечь до волдырей. Детям нужен безопасный и упорядоченный мир, подчиняющийся определенным правилам. Поэтому они бывают так довольны, когда сложным явлениям окружающего мира даются уверенные «объяснения». Стремление искать безопасность в порядке, которое мы наблюдаем у развивающихся детей, вероятно, характерно было и для более медленного процесса превращения первобытного дикаря в цивилизованного человека. В процессе развития цивилизации великие мыслители делали попытки объяснить окружающий мир — неодушевленную природу, живые существа и даже мысли человека — с помощью набора правил и утверждений. Почему они это делали — вопрос трудный. Быть может, некоторые из них действовали как наставники и учители по отношению к своим более простым собратьям. Других, наверное, толкало детское любопытство — потребность в точном знании, рожденная чувством неуверенности. Третьих, может быть, вдохновляли какие-то более глубокие чувства — любознательность и удовольствие, доставляемое человеку мышлением, — чувства, порожденные не страхом, а интеллектуальным наслаждением, и этих людей можно назвать истинными философами и учеными.

Все люди в своем развитии проходят много ступеней познания: от бессмыслицы суеверий до научного мышления. Какой ступени достигли вы в изучении свободного падения тел, которое можно считать простым явлением? Проверьте ваши теперешние знания простым наблюдением за падением некоторых тел. Возьмите два разных камня (или две монеты) и дайте возможность им свободно падать, выпустив их из рук одновременно. Затем снова одновременно бросьте два камня, но уже в стороны по горизонтали (фиг. 1).

Потом бросьте один камень в сторону и в тот же момент выпустите из рук второй, но так, чтобы он просто падал по вертикали. Понаблюдайте за движениями камней снова и снова. Посмотрите, сколько сведений о природе можно извлечь из таких опытов. Быть может, это вам покажется детской забавой, пустой тратой времени, но нужно принять во внимание следующие обстоятельства:

1. Это — опыты. Вся наука построена на информации, получаемой в результате прямых опытов, подобных вашим.

2. Для физика опыт с одновременным бросанием легкого и тяжелого камней — не просто надуманная забава; он демонстрирует изумительно простой факт: наблюдать снова и снова доставляет наслаждение. Тот физик, который не получает удовольствия от наблюдения за падением гривенника и полтинника, брошенных одновременно, — человек бесчувственный.

3. В наблюдаемом поведении падающих и летящих тел заключен зародыш замечательной научной идеи: представление о силовых полях, которое играет важную роль в развитии современной механики в теории относительности.

4. А вот как обстоит дело на практике: если для проведения всех мыслимых опытов вы будете пользоваться лишь подручными средствами, то при всей вашей изобретательности вы все же упустите кое-какие из возможных открытий; область исследования так широка и так богата, что какой-то другой испытатель с помощью аналогичного приспособления может обнаружить что-нибудь из упущенного вами.

Человечество, разумеется, не собирало знания таким путем.

Люди не говорили: «Мы отправимся в лабораторию и будем проводить эксперименты». Они экспериментировали повседневно, изучая ремесла или создавая новые машины. Своего рода опыты мы проводим в течение всей нашей жизни. В детстве ванна и игрушки служили оборудованием вашей первой физической лаборатории. Там вы познали реальный мир, но это мало дало вам в смысле приобретения систематических научных знаний. Например, научили ли вас игрушки тому, что вы сейчас узнали, наблюдая за падающими телами?

По мере своего развития человечество приобретало не только знания, но и предрассудки. Профессиональные секреты и традиции ремесленников уступили место организованному познанию природы, которое шло от авторитетов и сохранялось в признанных печатных трудах.

Это было началом настоящей науки. Из опытов с падающими телами вы, несомненно, извлекли какие-то научные познания.

Вы установили, что маленький и большой камни, выпущенные из рук одновременно, падают с одинаковой скоростью[1]. То же самое можно сказать о кусках свинца, золота, железа, стекла и т. д. самых разных размеров. Из подобных опытов мы выводим простое общее правило: свободное падение всех тел происходит одинаково независимо от размера и материала, из которого тела сделаны.

Этот замечательный и простой факт люди находят удивительным[2]. Действительно, некоторые не верят, когда им о нем говорят, но в то же время упорно отказываются проделать простой опыт[3].

Результат получается поразительный. Разве вы могли предположить, что камень весом 1 кГ будет падать с такой же скоростью, что и камень весом 5 кГ? Разве не более разумно предположить, что камень весом 5 кГ падает в 5 раз быстрее? Тем не менее простой опыт показывает, что куски металла, камни и т. д. весом ¹/₂, 1 и 5 кГ падают одинаково.

Фиг. 2. Свободное падение тел.

_{Факт, воображаемая картина или точный закон?}

Ранний этап изучения свободного падения тел.

Какова история развития этой области научного знания?

Между наблюдением за причинной связью явлений и тщательно выполняемым экспериментом, вероятно, долго существовал разрыв. Интерес к движению свободно падающих и брошенных тел возрастал вместе с усовершенствованием оружия. Применение копий, стрел, катапульт и еще более замысловатых «орудий войны» позволило получить примитивные и туманные сведения из области баллистики, но они принимали форму скорее рабочих правил ремесленников, нежели научных познаний, — это были некие несформулированные представления.

Две тысячи лет назад греки думали и писали о природе с подлинно научным интересом. Возможно, их вдохновлял пример начавшейся еще раньше такой же деятельности в Египте и Вавилоне. Греки формулировали правила свободного падения тел и дали им объяснения, но эти правила и объяснения были малообоснованны. Некоторые древние ученые, по-видимому, проводили вполне разумные опыты с падающими телами, но использование в средние века традиционных античных представлений, предложенных Аристотелем (примерно 340 г. до н. э.), скорее запутало вопрос. И эта путаница длилась еще много столетий. Применение пороха значительно повысило интерес к движению тел. Однако первые орудия по-прежнему служили главным образом для устрашения врага, и лишь Галилей (примерно в 1600 г.) заново изложил основы баллистики в виде четких правил, согласующихся с практикой. Эти правила были справедливы для тяжелых пушечных ядер, летящих с малой скоростью, позволяющей пренебречь сопротивлением воздуха. С того времени скорость полета снарядов неуклонно увеличивалась, и сопротивление воздуха становилось все более важным фактором, заставившим видоизменить упрощенное рассмотрение Галилея.

Аристотель и философия.

Великий греческий философ и ученый Аристотель, по-видимому, придерживался распространенного представления о том, что тяжелые тела падают быстрее, чем легкие. Аристотель, ученик Платона, одно время был наставником Александра Великого.

Он основал замечательную философскую школу и написал много книг. Его труды служили неисчерпаемым источником познания в течение многих столетий — в мрачную эпоху, когда в непросвещенном и полном тревоги мире еще не было печатных книг и лишь рукописные труды благочестивых книжников передавались из рук в руки.

Почему философов интересуют естественные науки? Как естественные науки связаны с философией? Что такое философия?

Философия — это не таинственная и далекая от жизни схема недоступных для понимания аргументов; философия — это размышление человека о своих собственных мыслях и понятиях. Философия как наука занимается теорией познания, разрабатывает системы познания и правила логики для критического анализа, философы интересуются вопросами о том, что истинно и что бессмысленно, что правильно и что ложно, а также суждениями о ценностях.

Подобно тому как специалисты врачи дают нам советы, касающиеся здоровья, питания, сна и т. д., так и ученые-философы дают нам рекомендации, способствующие правильному мышлению и пониманию во всех областях нашей интеллектуальной деятельности.

Мы сами выступаем в роли философов-дилетантов каждый раз, когда размышляем о нашей жизни и ее связи с окружающим миром, когда задаем вопросы вроде: «Действительно ли это так?», «Действительно ли это существует?», «Что значит утверждение о том, что то-то верно?», «Почему арифметика верна?», «Действительно или мнимо счастье?», «Причиняет ли булавка боль в том же самом смысле, в каком она создает укол?». Размышления о нашем месте в мире тесно связаны с научным познанием мира, поэтому неудивительно, что великие философы изучали естественные науки и оказали влияние на их развитие. Нельзя приняться за естественные науки, не сделав первого шага в философии.

Вы должны будете допустить, что существует окружающий мир, вы должны захотеть разобраться в нем и «понять» его. А при сборе фактов, формулировании научных законов или выдвижении теории философское начало в вас будет требовать ответа на вопрос: «Истинны ли они?». Размышляя над этим, вы, быть может, измените свое мнение о естественных науках. Когда вы завершите этот курс, вы, возможно, не решите еще общефилософской проблемы, но в той или иной степени приобщитесь к философским размышлениям и построите свою собственную философию естествознания.

Аристотель унаследовал общую философскую концепцию Платона. Отвечая на вопрос о конечной истине и реальности, Платон отбрасывал наблюдаемые нами индивидуальные различия между предметами и выделял простые идеальные формы. Собакам он ставил в соответствие идеальный класс собака, всем разновидностям камней — идеальный камень и т. д. Затем он выдвинул утверждение, что реально существуют только эти прообразы, или идеальные формы. Эти формы, или сущности, универсальны и неизменны, а отдельные их воплощения — лишь тени идеальных форм. Аристотель применил учение о классах вещей в качестве основы для логических заключений (если…, то…). И все же Аристотелю, пристально наблюдавшему и систематизировавшему природу, пришлось приписать отдельным камням и отдельным собакам в известной степени реальное существование. Поэтому его мировоззрение представляло собой некий компромисс. Впоследствии те, кто изучал его труды, наделяли обычные предметы все большей реальностью и стали рассматривать лежащие в основе их классы как понятия, порожденные человеческим мышлением, или просто как названия. Эта последняя точка зрения, согласно которой отдельные вещи реально существуют, приемлема для ученого, экспериментирующего с предметами и явлениями природы: ему хотелось бы верить, что он работает с реальными вещами.

В предлагаемом отрывке Вильям Дэмпьер[4] называет подобную точку зрения «номинализмом», хотя современные философы употребляют этот термин в несколько ином смысле.

«Независимо от истинности учения Платона об идеях с метафизической точки зрения породивший его склад ума не приспособлен к тому, чтобы продвинуть вперед естествознание. По-видимому, ясно, что, хотя философия по-прежнему оказывала преобладающее влияние на науку, развитию научных методов в большей степени благоприятствовал номинализм — сознательный или бессознательный.

Однако Платоновы поиски "форм постижимых вещей" можно, вероятно, рассматривать как догадки о причинах видимых явлений. Наука, как мы ее теперь понимаем, не может иметь дело с истиной в конечной инстанции; она способна лишь нарисовать картину природы в том виде, как ее воспринимает человеческий ум.

Наши представления обладают в известном отношении реальностью в этой идеализированной картине мира, но отдельные вещи — это не реальности, а изображения. Поэтому может оказаться, что современная форма [Платоновой концепции] идей будет ближе к истине, нежели грубый номинализм. Тем не менее скороспелые гипотезы, лежащие в основе большинства экспериментов, означают допущение о реальности отдельных вещей, и большинство ученых говорит о номинализме, не имея о нем представления…

Характерная слабость индуктивных наук у греков становится очевидной, если внимательно проанализировать их метод. Искусно оперируя теорией перехода от частного к общему, Аристотель на практике часто терпел самые плачевные неудачи. Опираясь на немногочисленные факты, он стремился к самым широким обобщениям. Естественно, из этого ничего не получалось; фактов было недостаточно и не было необходимой научной базы для их описания. Более того, Аристотель рассматривал метод индукции как просто вынужденный первый шаг к истинной дедуктивной науке, в которой логически выводят следствия из полученных ранее посылок».

Если про Аристотеля можно сказать, что он стимулировал развитие опытного естествознания, то Платон, пожалуй, был ближе к современному физику-теоретику с его приверженностью к основным принципам, лежащим в основе вещей. В качестве инструмента для своих рассуждений Аристотель разработал замечательную систему формальной логики, строгую систему аргументации, которая, исходя из принятых фактов или допущений, приводит к непреложному выводу. Занимаясь естественными науками, он прежде всего пытался извлечь из наблюдений некоторые общие принципы. Такой подход мы называем индуктивным. Затем он стремился, исходя из этих принципов и руководствуясь логикой, получить новое научное знание. Система логики Аристотеля сама по себе была замечательным открытием, но она стесняла развитие раннего опытного естествознания, ибо слишком много внимания уделялось аргументации. Эта система сильно повлияла на развитие нашей цивилизации. Большинство из нас не отдает себе ясного отчета в том, насколько на наш образ мышления повлияла логика Аристотеля с ее многовековой традицией, хотя многие мыслители сегодня подвергают сомнению ее строгую простоту. Доказательство в этой системе логики велось от одного абсолютного «да» или «нет» до другого абсолютного «да» или «нет», оно приводило благодаря логическим рассуждениям к верному выводу при условии, что верной была и исходная посылка. «Каждый ли человек смертен?», «Четырежды три равно четырнадцати?», «2+2=4?», «У всех собак 7 ног?». Мы отвечаем на любой из этих вопросов абсолютным «да» или «нет» и затем выводим из них ответы на вопросы вроде таких, как «Смертен ли Джонс?», «У моего терьера 7 ног?».

А вот попытайтесь ответить на такие вопросы: «Хорошо ли самопожертвование?», «Имел ли успех Линкольн?», «Правилен ли мой эксперимент по проверке закона Бойля?». Это важные вопросы, но было бы глупо настаивать в этих случаях на получении ответов типа «да» или «нет». Если вместо этого мы расширим диапазон наших суждений, то можем потерять кое-что в «логике», но существенно выиграем в интеллектуальном развитии. Лучше держаться подальше от людей, пытающихся представить любую проблему или спор в виде набора абсолютных утверждений и отрицаний.

Логика Аристотеля сама по себе была неуязвима; современные логики считают ее ограниченной и неплодотворной, но «истинной»[5]. Мое и ваше мышление пострадало под влиянием существующей многие столетия средневековой схоластики, слепо и упрямо заставлявшей придерживаться буквы учения Аристотеля, пострадало от «пропитанной казуистикой и книжной ученостью атмосферы отрешенного от мира средневекового университетского образования». Эта средневековая аристотелева традиция внедрена в сегодняшний язык и мышление, и люди, часто заблуждаясь, хотят услышать в качестве ответа абсолютное «да» или «нет».

Так, люди, приученные считать, что они должны выбирать между полным успехом и полной неудачей, приходят в отчаяние, столкнувшись с тем, что не могут достичь заветного — полного успеха.

Студентам в колледже, спортсменам на состязаниях, людям в служебной деятельности, пожилым, оглядывающимся на свою жизнь, — всем нам, считающим абсолютный успех единственной альтернативой неудачи, грозит жестокое разочарование. К счастью, многие из нас идут на более разумный компромисс, отказавшись подходить к самому себе с требованиями, основанными на позиции абсолютного «да» или «нет», и пользуются собственной мерой успеха. Тогда мы обнаруживаем, что нам легче ужиться с противоречивой смесью наших достижений и неудач. И в науке, где простая логика казалась некогда столь надежной, теперь мы более осторожны. Мы уже не считаем необходимым, например, на вопрос, является ли луч света волной, твердо ответить «да» или «нет». Мы должны сказать, что в некотором отношении луч света — волна, а в других отношениях — нет.

Мы более осторожны в выборе формулировок. Памятуя о том, что наши современные научные теории представляют собой скорее способ смотреть на природу и понимать ее, нежели ее подлинный портрет, мы задаем вопрос уже по-иному. Мы уже не спрашиваем: «Является ли луч света волной?», а говорим: «Ведет ли себя луч света, как волна?» И тогда мы вправе ответить: «В одних обстоятельствах — да, в других — нет». Там, где последователь Аристотеля утверждал бы, что электрон должен находиться либо внутри некоторого ящика, либо вне его, мы предпочли бы сказать, что электрон находится и там и там! Если вы сочтете, что подобные осторожные высказывания парадоксальны и способны лишь вызвать раздражение, вспомните две вещи: во-первых, вы воспитаны на аристотелевой традиции (и, возможно, было бы вполне благоразумно поставить под сомнение ее высокий авторитет); во-вторых, физики сами испытывали такое же смущение, как вы, когда эксперименты впервые вынудили их в какой-то степени изменить свои взгляды, но они предпочитают быть верными в большей степени эксперименту, нежели формальной логике.

Аристотель и авторитет.

Аристотель интересовался главным образом философией и логикой. Он писал также научные трактаты, суммируя знания, которыми располагало человечество в его время, т. е. около 2000 лет назад. Труды Аристотеля по биологии были хороши потому, что носили главным образом описательный характер.

В своих трудах по физике Аристотель слишком много занимался основополагающими законами и последующими «логическими» рассуждениями на основе этих законов. Аристотель и его последователи стремились объяснить, почему происходят те или иные явления, но не всегда заботились о том, чтобы пронаблюдать, что происходит или как происходит. Аристотель весьма просто объяснял причины падения тел: он говорил, что тела стремятся найти свое естественное место на поверхности земли. Описывая, как падают тела, он высказывал утверждения вроде следующих: «…точно так же, как направленное вниз движение куска свинца или золота или любого другого тела, наделенного весом, происходит тем быстрее, чем больше его размер…», «одно тело тяжелее другого, имеющего тот же объем, но движущегося вниз быстрее…».

Аристотель с большим искусством обсуждал как философ причины падения тел и, вероятно, имел в виду более общий аспект изучения падающих тел, зная, что камни падают быстрее, чем птичьи перья, а куски дерева — быстрее, чем опилки. При продолжительном падении тело под действием трения о воздух начинает двигаться с постоянной скоростью, и, возможно, Аристотель имел в виду именно это обстоятельство[6].

Однако последующие поколения мыслителей и учителей, которые, пользовались книгами Аристотеля, толковали его утверждения неверно и учили тому, что «тела падают со скоростью, пропорциональной их весу».

Средневековые философы еще больше увлекались рассуждениями и пренебрегали экспериментальной проверкой. Большинство ранних трудов по геометрии и алгебре было утеряно, и экспериментальной физике пришлось ждать, пока их не нашли и не перевели. На протяжении всей эпохи средневековья труды Аристотеля были непререкаемы, причем в неправильном толковании. Простые люди, подобно детям, любят уверенность; они готовы слепо поклоняться авторитету и проглатывать его учение целиком. Вы улыбнетесь при этом и скажете: «Мы — цивилизованные люди, мы так не поступаем». Но вы можете тут же спросить: «Почему эта книга не сообщает нам факты и не излагает прямо необходимые законы с тем, чтобы мы могли быстро изучить настоящую науку?».

А ведь это-то и выражало бы вашу потребность в непреложном авторитете и спокойной уверенности! Мы теперь осуждаем «аристотелев догматизм» как ненаучный, но имеются еще люди, предпочитающие выносить суждения по написанному в книге, вместо того чтобы посмотреть, что же происходит на самом деле. Современный ученый — реалист; он ставит эксперименты и твердо придерживается полученных результатов, даже если они идут в разрез с тем, что ожидалось.

Логика и современная наука.

Тяга к логике Аристотеля может ограничить кругозор, и использование этой логики в средние века, несомненно, тормозило развитие науки; но сама по себе логика — важный инструмент всякой подлинной науки.

Нам приходится размышлять индуктивно, как это делал Аристотель, и переходить от экспериментов к простым правилам. Мы часто считаем эти правила справедливыми вообще и переходим от них к предсказаниям и объяснениям. Некоторые наши аргументы базируются на логике алгебры, другие следуют правилам формальной логики, а иногда оказываются весьма произвольными.

Выводя научные правила из установленных ранее законов, мы верим в «неизменность природы»: мы верим, что то, что происходит в пятницу и в субботу, произойдет и в воскресенье или что некое простое правило, справедливое для нескольких различных спиральных пружин, действует и для остальных пружин[7].

Помимо всего прочего, мы полагаемся на согласие выводов разных наблюдателей. Именно это отличает иллюзии и галлюцинации, с одной стороны, и науку — с другой. Иллюзии у всех разные, тогда как научные результаты одинаковы у многих наблюдателей. В самом деле, ученые часто отказываются признать открытие, пока его не подтвердит ряд экспериментаторов.

Ученые идут дальше предположения о том, что природа проста, что существуют правила, которые могут быть установлены; они предполагают также, что к тому, что происходит в природе, можно применять логику. В этом заключается то, что помогло науке родиться из суеверий, — все укрепляющееся убеждение в том, что природа устроена рационально. Математика и элементарная логика играют важную роль в развитии науки и являются ее верными слугами. Современный ученый использует их в еще большей степени, но для экспериментальной проверки он возвращается вновь к природе. У идеального ученого, выражаясь фигурально, голова витает в облаках выдумок, руки ворочают математикой и логикой, а ногами он стоит на твердой почве эксперимента.

От греков к Галилею.

«Изучая науку прошлого, студенты очень легко впадают в ошибку, полагая, что люди, жившие в прежнее время, были глупее их современников». И. Бернард Кот.

Авторитет Аристотеля рос и сохранялся до XVII столетия, когда итальянский ученый Галилей открыто и с насмешкой выступил против него. К тому времени многие стали, по-видимому, втайне сомневаться во взглядах Аристотеля на земное тяготение и движение. В XIV столетии группа философов из Парижа восстала против традиционной механики и предложила значительно более разумную схему, которая передавалась из поколения в поколение и распространилась до Италии, оказав двумя столетиями позднее влияние на Галилея. Парижские философы говорили об ускоренном движении и даже о постоянном ускорении (при этом они употребляли архаичную терминологию) и наделяли движущиеся предметы «импульсом» (impetus), понимая под этим собственное движение, или количество движения тела, благодаря которому поступательное движение тела происходит без приложения силы.

Великий ученый Галилей одним из первых способствовал продвижению науки на ту новую ступень развития, где критическое мышление и фантазия ученого соединились с экспериментированием в единое содружество теории и эксперимента.

Галилей обобщил имевшиеся сведения и представления и критически их проанализировал, а затем описал и начал распространять то, что считал верным. Он порвал с последователями Аристотеля, когда те не приняли его учения и с пренебрежением отнеслись к изобретенному им телескопу. Галилей обрушился с язвительными нападками на всю их научную систему, противопоставив ей свою собственную механику. Он расчистил нагромождения, мешавшие ясному мышлению, и положил в основу своей схемы реальный эксперимент, причем не всегда опирался в своих выводах на собственные опыты, а чаще на опыты более ранних исследователей.

Мысленные опыты.

В своих книгах и лекциях Галилей часто прибегал к рассуждениям, основанным на здравом смысле, ссылаясь на так называемые «мысленные опыты». Так, рассматривая прочность канатов на разрыв, он рассуждал следующим образом: предположим, что канат диаметром 25 мм способен выдержать ровно 3 т. Канат вдвое большего диаметра (50 мм) имеет вчетверо большую площадь поперечного сечения (πr²) и, следовательно, содержит в 4 раза больше волокон. Поэтому канат вдвое большего диаметра обладает вчетверо большей прочностью и должен выдерживать уже 12 т. Вообще, прочность должна возрастать как (диаметр).

Галилей привел это доказательство и распространил его на деревянные балки, опоры и кости животных[8]. В некоторых мысленных опытах имеют дело с упрощенными или идеализированными условиями, например падение тел в вакууме[9].

Законы свободного падения тел в идеальном случае.

Галилей понимал, что последователей Аристотеля сбивало с толку сопротивление воздуха. Он указал, что плотные предметы, для которых сопротивление воздуха несущественно, падают почти с одинаковой скоростью. Галилей писал: «…различие в скорости движения в воздухе шаров из золота, свинца, меди, порфира и других тяжелых материалов настолько незначительно, что шар из золота при свободном падении на расстоянии в одну сотню локтей наверняка опередил бы шар из меди не более чем на четыре пальца. Сделав это наблюдение, я пришел к заключению, что в среде, полностью лишенной всякого сопротивления, все тела падали бы с одинаковой скоростью»[10]. Предположив, что произошло бы в случае свободного падения тел в вакууме, Галилей вывел следующие законы свободного падения для идеального случая:

1. Все тела при падении движутся одинаково: начав падать одновременно, они движутся с одинаковой скоростью.

2. Движение происходит «с постоянным ускорением»; темп увеличения скорости тела не меняется, т. е. за каждую последующую секунду скорость тела возрастает на одну и ту же величину.

Предположив, что эти законы справедливы в идеальном случае, мы могли бы проверить их в реальных опытах, учтя отклонения, обусловленные трением.

Опыт, приписываемый Галилею.

Существует легенда, будто Галилей проделал большой демонстрационный опыт, бросая легкие и тяжелые предметы с вершины Пизанской падающей башни[11]. (Одни говорят, что он бросал стальные и деревянные шары, а другие утверждают, будто это были железные шары весом 0,5 и 50 кГ.) Описаний такого публичного опыта нет, и Галилей, несомненно, не стал таким способом демонстрировать свое правило. Галилей знал, что деревянный шар намного отстал бы при падении от железного, но считал, что для демонстрации различной скорости падения двух неодинаковых железных шаров потребовалась бы более высокая башня.

Он, несомненно, проделывал в молодости грубые опыты и знал, как и вы, что при этом происходит. Но он не стал ломать устои науки с помощью одного опыта. Галилей ускорил истинное развитие физики, опровергнув нелепые догматические утверждения последователей Аристотеля, и, использовав идеализированный подход к экспериментальным фактам, тем самым положил начало новому этапу в развитии науки. Именно это, а не падающая башня в Пизе стало вехой в истории науки. С великими личностями связано много легенд — о вишневых деревьях, подгоревших пирогах и т. п. Хотя ученым и доставляет удовольствие разоблачать эти анекдоты, следует признать, что они бывают полезны, ибо говорят о том, что думали о великом человеке его современники. Но легенда о бросании различных предметов с падающей башни в Пизе ничего не дает даже в этом отношении. И все же мы можем говорить об этом опыте совершенно безотносительно к Галилею и развитию науки как о символе простого опыта. В вашем самостоятельном опыте с бросанием двух различных камней оба камня падали почти одинаково и тяжелый камень не падал значительно быстрее, как думают некоторые. Мы будем обращаться к этому мысленному опыту, поскольку он напоминает о двух вещах: о необходимости прямого эксперимента и об удивительном, простом и очень важном факте, связанном с земным тяготением.

Фиг. 3. Символический эксперимент Галилея.

Честное экспериментирование и авторитеты.

Из опытов, которые вы проделали сами, не следует, что все тела падают одинаково; из них не следует даже, что большой и маленький камни падают строго одинаково, и если, повинуясь книге или словам преподавателя, вы сказала бы, что все тела падают строго одинаково, вы обманули бы себя, поступившись честной наукой.

Мелкие камни слегка отстают в падении от крупных, и разница становится тем более заметной, чем большее расстояние пролетают камни. И дело тут не просто в размере тел: деревянный и стальной шары одинакового размера падают не строго одинаково.

Приняв точку зрения Галилея, согласно которой простому описанию падения тел мешает сопротивление воздуха, вы сразу же легко сможете объяснить свои наблюдения, хотя при этом еще нужно будет исследовать сопротивление воздуха. Можно предположить, что вы никогда не слышали о точке зрения Галилея и пришли к ней, проделав серию опытов со все более и более плотными телами. Обнаружив, что по мере увеличения размеров тел или плотности материала, из которого они сделаны, движение тел оказывается более одинаковым, вы могли бы на основе некоторого предположения сформулировать правило и для идеального случая. Чтобы разобраться в обвинении, выдвигаемом против сопротивления воздуха, можно было бы попытаться уменьшить его, используя обтекание такого предмета, как, скажем, лист бумаги.

Предположение Галилея; решающий эксперимент Ньютона.

Галилей мог лишь уменьшить сопротивление воздуха, но не мог устранить его полностью. Поэтому ему пришлось вести доказательство, переходя от реальных наблюдений с постоянно уменьшающимся сопротивлением воздуха к идеальному случаю, когда сопротивление воздуха отсутствует. Этот скачок от реальных наблюдений к идеальному случаю явился замечательным вкладом Галилея в науку. Позже, оглядываясь назад, он смог «объяснить» различия в реальных экспериментах, приписав их сопротивлению воздуха. Галилею удалось даже изучить сопротивление воздуха, определить его характеристики и понять, каким образом его можно учесть. Вскоре после Галилея были созданы воздушные насосы, которые позволили произвести эксперименты со свободным падением в вакууме. С этой целью Ньютон выкачал воздух из длинной стеклянной трубки и бросал сверху одновременно птичье перо и золотую монету. Даже столь сильно различающиеся по своей плотности тела падали с одинаковой скоростью. Именно этот опыт дал решающую проверку предположения Галилея.

Научные объяснения.

Когда мы «объясняем» различие в падении тел сопротивлением воздуха, то, как это часто бывает в науке, «объяснить» означает указать на сходство между исследуемым фактом и каким-то другим, уже известным фактом. По существу мы говорим: вы знаете о сопротивлении ветра, когда вы перемещаете какой-нибудь предмет в воздухе. Так вот, падающие тела испытывают сопротивление ветра, которое каким-то образом зависит от их объема. Деревянный и свинцовый шары одного размера, двигаясь с одинаковой скоростью, испытывали бы одинаковое сопротивление воздуха (откуда воздуху известно о том, что находится внутри шара?). Но свинцовый шар весит больше, притягивается сильнее, поэтому сопротивление воздуха имеет для него меньшее значение по сравнению с притяжением Земли[12].

Дальнейшие исследования.

Это объяснение ведет к целой цепи новых исследований: действия ветра на летящее тело, трения в жидкости, обтекания тел.

Результаты изучения этих явлений находят приложение в баллистике и самолетостроении. Из более детального и строгого изучения правила поведения тел, из исследования нарушений этого правила возникает новая наука.

Вы могли бы продолжить опыты в другом направлении, создавая все большее сопротивление, используя сначала воздух, потом воду, и установить факты, имеющие важное значение для конструирования кораблей и самолетов. Простые опыты с трением в жидкости можно проделать, бросая небольшие шары в воду.

Шары разных размеров падают неодинаково. Более того, скорость шаров перестает возрастать после того, как они пролетают некоторое расстояние. Каждый шар, по-видимому, достигает постоянной скорости, а затем совершает равномерное движение вниз с этой скоростью. А что же дальше? Дальнейшие исследования привели бы вас к закону Стокса для трения, действующего в жидкости на движущийся шар (этот закон играет важную роль при измерении заряда электрона).

Исследуя падение более мелких тел (таких, как пылинки или капельки тумана), вы обнаружили бы в их движении удивительные нерегулярности, изучение которых в свою очередь могло бы дать ценные сведения из области атомной физики.

Опыты и рассуждения Галилея, которые вы повторили, привели к простому правилу, точно справедливому в случае свободного падения тел в вакууме. Это правило в случае свободного падения тел в воздухе выполняется с ограниченной точностью.

Другими словами, утверждение «все свободно падающие тела падают одинаково» есть некий экстракт, искусственно выделенный учеными из реальных явлений природы. Такой подход представляется разумным: сперва при определенных упрощающих предположениях или ограничениях вывести общее правило, затем искать новые условия и исключения, а потом использовать их, чтобы отшлифовать это правило и распространить наше познание на новые факты. Что касается свободного падения тел, то мы можем теперь проверить первоначальное правило, бросая предметы в вакууме. Попросите, чтобы вам продемонстрировали опыт Ньютона с монетой и пером. Однако в физике часто приходится довольствоваться лишь тем, что наше правило представляет собой некое упрощение, и верить в него как в идеальный случай, имея при этом лишь косвенные подтверждения правильности этого правила.

Ограничение числа переменных.

Помимо пренебрежения сопротивлением воздуха, мы ограничили наше изучение свободного падения тел еще тем, что сосредоточили внимание только на одном — сопротивлении скорости падения разных тел. Мы не обращаем внимания на то, какой шум производят тела при падении, как они вращаются вокруг своих осей, не интересуемся тем, какие происходят изменения температуры, и т. д. Сузив на время наши интересы, мы облегчаем возможность нахождения простого правила. Это опять-таки разумный подход к научным изысканиям. Во многих исследованиях мы не только сосредоточиваем внимание на нескольких сторонах явления, но и стараемся, чтобы все прочие стороны оставались неизменными и не вносили путаницы в результаты. В физике мы почти всегда ограничиваем наши исследования одной парой одновременно меняющихся параметров. Например, мы сжимаем воздух в сосуде и измеряем его объем при различных давлениях, поддерживая температуру постоянной. Или мы нагреваем газ и измеряем давление при различных температурах, поддерживая постоянным объем.

Из этих опытов мы можем вывести два полезных «газовых закона», которые можно объединить в один замечательный закон. Если бы мы не ограничивали число переменных во время экспериментов, а предоставляли изменяться и температуре, и давлению, и объему, то, конечно, и тогда смогли бы обнаружить этот закон. Но наши измерения были бы запутанными и сложными, и заметить связывающее их соотношение было бы куда труднее. В других естественных науках, таких, как биология и психология, ученые, последовав опыту физики, нашли бы этот метод опасным. Ограничивая свое внимание одной стороной развития или поведения объекта изучения, исследователь может упустить из виду индивид или психику в целом. При попытке применить методы естественных наук к общественным наукам, например к экономике, такая опасность оказывается еще более серьезной.

Почему тела падают?

Аристотеля интересовал ответ на вопрос: «Почему?». Почему тела падают? А что вы ответите на этот вопрос? Если вы скажете: «Вследствие гравитации, или земного притяжения», то не будет ли это означать, что вы просто прячетесь за длинное слово? Слово «гравитация» латинского происхождения и означает тяжелый или весомый. Вы говорите: «Тела падают, потому что они весят».

Почему же тела весят? Если вы ответите: «Вследствие силы тяжести», то это будет замкнутый круг. Если вы ответите: «Потому что Земля притягивает их», то следующий вопрос будет: «Откуда вы знаете, что Земля продолжает притягивать тела, когда они падают?». Любая попытка доказать это, применяя какое-либо приспособление для взвешивания во время падения, приводит к неудаче.

Вам, возможно, придется сказать: «Я знаю, что Земля притягивает их, потому что они падают», и вы снова вернетесь к началу.

Подобными рассуждениями можно довести молодого физика до слеэ. Действительно, физика не объясняет тяготения, она не может установить его причину, хотя может сообщить о нем кое-что полезное. Общая теория относительности дает нам возможность представить себе тяготение в новом свете, но по-прежнему не устанавливает его первопричины. Мы можем сказать, что тела падают, потому что их притягивает Земля, но когда мы хотим объяснить, почему Земля притягивает тела, то все, что мы можем в действительности сказать, это: «Просто потому, что притягивает. Так устроена Природа»[13].

Это вызывает разочарование у тех, кто надеется, что наука должна объяснить все. Мы же теперь считаем, что подобные вопросы о первопричине относятся уже к компетенции философии.

Современная наука спрашивает о том, что и как, но не спрашивает о первичном почему. Ученые часто объясняют, почему происходит то или иное явление. Однако это не означает, что указывается первопричина или дается конечное объяснение; объяснение лишь связывает рассматриваемое явление с другими явлениями, относительно которых мы уже пришли к соглашению. Наука может лишь дать нам некоторое успокоение и понимание, связав вместе якобы различные факты. Так, сейчас наука не может сказать нам, что такое электричество, но говорит нам, что гул грома и треск искусственной электрической искры — почти одно и то же, рассеивая тем самым внушающее страх суеверие.

Аристотель объяснял падение тел следующим образом: «Естественное место тел — на поверхности Земли, поэтому они стремятся занять это место». Сегодня это объяснение называют глупым.

Тем не менее в известном смысле оно сходно с нашей современной точкой зрения. Аристотель просто говорил: «Тела падают. Это естественно». Однако он развивал свою схему слишком далеко. Он объяснял, что плывущие над нами облака поднимаются кверху, потому что их естественное место — наверху, в небе, и упускал таким образом из виду некоторые простые факты о плавучести[14].

Аристотель много занимался установлением «естественного места» и «естественного пути». Он различал «естественное движение» (падающих тел) и «насильственное движение» (брошенных тел). Он мог бы создать учение о силах и движении, если бы не ошибка, связанная с перенесением на все движения обывательского представления о лошади, тянущей телегу. Если лошадь развивает постоянное усилие, телега движется с постоянной скоростью. Это, по-видимому, и привело Аристотеля к представлению о том, что для поддержания постоянной скорости движущегося тела необходима постоянная сила, причем большая сила поддерживает большую скорость. Это разумное объяснение для случая, когда телу приходится преодолевать силу сопротивления. Однако оно приводит к заблуждению в случае свободного падения тел. Это объяснение не учитывает силы сопротивления и не дает возможности увидеть, что происходит, когда нет сопротивления.

Чтобы объяснить движение летящего тела, греки представляли, что оно поддерживается «напором воздуха», а для объяснения движения звезд и планет им потребовались еще более таинственные силы. Согласно представлениям греков, чтобы сохранить неизменным движение, необходим толчок. Стрела, пока она не отделилась от лука, движется под действием толчка, создаваемого тетивой. Для объяснения движения летящей стрелы потребовалось призвать на помощь еще одну силу. Философы — последователи Аристотеля рассматривали напор воздуха, толкающий стрелу, не просто как порыв ветра, движущийся вместе с нею, а как циркуляцию воздуха, при которой воздух впереди стрелы расталкивается в стороны и, обтекая стрелу, толкает ее сзади.

Этот напор воздуха с успехом предотвращал образование бессмысленного вакуума за стрелой.

Представление о напоре воздуха, дополненном начальными возмущениями, утвердилось настолько прочно, что им воспользовались как доводом при доказательстве невозможности движения в вакууме падающих тел. В вакууме, где сопротивление отсутствует, любая сила поддерживала бы движение с бесконечной скоростью, рассуждали греки, поэтому вакуум невозможен. Бог никогда не мог бы создать вакуум. Сам Аристотель понимал, что в вакууме все предметы падали бы одинаково, но он тоже рассматривал это как доказательство невозможности существования вакуума.

Масса.

Чем бы в действительности ни было земное тяготение, все тела, если не учитывать влияния сопротивления воздуха, падают одинаково. Это приводит к удобному представлению, с которым мы будем встречаться снова и снова, — к представлению о массе.

Предположим, что у нас имеются два куска свинца, весом 1 и 0,5 кГ. Держа их в руках, мы чувствуем, что большой кусок притягивается сильнее, ощущаем его больший вес. Именно поэтому нам кажется, что он будет падать быстрее. В действительности же это не так. Должен существовать какой-то другой фактор, нечто такое, что приходится преодолевать удвоенной силе веса. Основанием для такого предположения служит тот факт, что движение должно сообщаться вдвое большему количеству свинца. К свинцовой чушке вдвое большего размера, содержащей вдвое большее количество свинца, необходимо приложить удвоенную силу притяжения, чтобы привести в такое же движение. Галилей ощупью подошел к представлению о количестве вещества, которое мы называем массой, но четко это было сформулировано лишь Ньютоном. Представление о массе понять не просто, но мы будем много раз к нему возвращаться, ибо оно играет в физике очень важную роль.

Сейчас мы обратим внимание на замечательный факт: независимо от материала, из которого состоит тело, притяжение силы тяжести в точности пропорционально количеству притягиваемого вещества. Земное тяготение, эта таинственная сила, притягивает без всяких различий любое тело, из чего бы оно ни состояло, притягивает два кирпича вдвое сильнее, чем один, 4 м³ свинца в 4 раза сильнее, чем 1 м³. Таким образом, на тело, в котором заключено больше вещества, действует большая сила притяжения, и при свободном падении его движение будет таким же, как движение меньшего тела.

Поле силы тяжести.

Это обстоятельство, в котором мы убеждаемся повсюду, мы называем наличием тяготения, способностью притягивать тела. Мы говорим, что существует поле силы тяжести. Придумывая новый термин[15], мы ничего нового не объясняем, но впоследствии он будет нам полезен.

В данный момент вы должны представлять себе поле силы тяжести как способность притянуть к Земле, заставить падать (с пропорционально возрастающей силой) любое тело, помещенное в это поле. То же самое происходит с кусочками железа вблизи магнита: магнитное поле способно притянуть их. В трубке вашего телевизора электрическое и магнитное поля ускоряют летящие электроны и быстро перемещают по экрану пучок, создающий изображение.

Мы, пожалуй, несколько увлеклись новыми словами и представлениями, такими, как масса и поле, появляющимися в результате простых экспериментов. Если мы будем просто поклоняться новым представлениям и словосочетаниям, то рискуем вернуться к тому положению, когда явления объяснялись колдовством. Если же мы будем пользоваться этими новыми представлениями для развития наших знаний, экспериментально проверяя выдвигаемые нами предположения, то они помогут успешному развитию науки.

Доказательство Галилея.

Галилей был большим мастером полемики. Последователи Аристотеля сплели целую сеть «научных» доводов, основанных на утверждениях Аристотеля, однако Галилей их побил их же собственным оружием. Логические рассуждения убеждали их больше, нежели экспериментальное доказательство, поэтому Галилей рассмотрел следующий мысленный эксперимент. Возьмем три одинаковых кирпича: А, В, С. Выпустим их одновременно из рук, предоставив им возможность свободно падать. Теперь соединим А и В цепью (невидимой целью, которой на самом деле не существует) так, чтобы они образовали одно тело А + В, вдвое более тяжелое, чем С. Выпустим их снова из рук. Последователь Аристотеля теперь предположил бы, что тело А + В будет падать вдвое быстрее, чем тело С, но на самом деле это тело представляет собой два отдельных кирпича, поэтому оно будет падать точно так же, как и прежде, т. е. с такой же скоростью, что и тело С. «Позвольте, — возразит последователь Аристотеля, — ведь тела А и В соединены цепью. Один из кирпичей каким-то образом слегка опередит другой и потянет его вниз, заставив всю комбинацию из двух кирпичей падать быстрее». «Да, но в таком случае, — говорит сторонник Галилея, — второй кирпич, несколько отставая, потянет первый назад, заставив всю комбинацию двигаться медленнее!». Не считаете ли вы, что в сопоставлении А + В и С заключено в зародыше представление о массе?

Фиг. 4. Мысленный эксперимент Галилея.

Свободное падение.

Если все свободно падающие тела движутся одинаково, то это движение само по себе заслуживает детального исследования. Оно могло бы рассказать нам кое-что о природе вообще, о чем-то общем для всех падающих предметов. Свободно падающие тела движутся все быстрее и быстрее, они ускоряются. (Это слово означает лишь «движутся быстрее», употребление его не делает наше утверждение более научным.) Какого же рода ускоренное движение они совершают?

1. Возрастает ли скорость скачкообразно? Эксперимент отвечает на этот вопрос отрицательно.

2. Возрастает ли скорость в прямой пропорции к пройденному расстоянию! Галилей путем остроумных рассуждений показал, что это весьма маловероятно[16].

3. Возрастает ли скорость прямо пропорционально времени?

4. Возрастает ли она пропорционально квадрату времени?

5. Или каким-то иным, более сложным образом?

Поскольку мы задаем вопрос о реальной природе, ответ на него могут дать только эксперименты. (Если вы хотите узнать, какого роста был Авраам Линкольн, вам придется узнать это у кого-нибудь, кто фактически измерял его рост. Сведения, почерпнутые из книг, бесполезны, если они не исходят первоначально из реальных измерений. Одна алгебра ничем не сможет вам помочь.) Мы могли бы отправиться прямо в лабораторию и упрямо экспериментировать, надеясь получить важный материал из множества измерений. Или же мы могли бы сначала все обдумать, высказать предположения относительно каких-то простых типов движения, рассчитать результаты для каждого из них, а затем проверить эти результаты в лаборатории экспериментально. Оба метода содействовали бы развитию науки.

Индуктивный и дедуктивный методы.

Первый метод называют индуктивным. Мы собираем информацию либо в лаборатории, либо из накопленного багажа профессиональных знаний и затем извлекаем из этой информации простое правило или описание явлений природы. Этот процесс вывода общих положений мы называем индуктивными выводами, или просто индукцией. Сначала собираются экспериментальные данные, а затем из этих данных выводятся общие правила или законы. Так, наблюдая в течение нескольких лет за Луной, можно было бы извлечь правило, по которому Луна регулярно обращается вокруг Земли, совершая примерно 13 оборотов в год и, пользуясь методом индукции, можно прийти к уверенному выводу, что так будет продолжаться и впредь. Далее, из обширных наблюдений лунного затмения мы могли бы вывести индуктивным путем правило, согласно которому затмения Луны происходят несколькими регулярными сериями, причем в каждой такой серии затмения следуют одно за другим через постоянный промежуток времени, близкий к 18 годам.

Второй метод называют дедуктивным. Мы исходим из каких-то общих правил или представлений, а затем путем логических рассуждений выводим из них частные следствия или предсказания.

Ученые проверяют затем подобные предсказания на опыте. Если эксперимент подтверждает предсказания, то мы продолжаем развивать свою схему. Если же результаты эксперимента расходятся с нашими выводами, мы подвергаем сомнению первоначальные предположения и пытаемся видоизменить их. Например, мы могли бы предположить, что затмения Луны вызываются тем, что Земля оказывается на пути солнечных лучей и отбрасывает тень на Луну; далее мы делаем предположение о характере движения Солнца и Луны и затем путем дедукции приходим к выводу, что затмение должно снова произойти через промежуток времени, достаточный для того, чтобы Солнце и Луна вернулись в то же самое положение по отношению к Земле. Этот промежуток времени должен быть «наименьшим общим кратным» одного лунного месяца и одного солнечного года. Так, комбинируя простые наблюдения и разумные предположения, мы могли бы сделать дедуктивный вывод о восемнадцатилетнем цикле повторения затмений. (Для успешного расчета в качестве солнечного года необходимо взять особый, короткий год, связанный с меняющейся орбитой Луны.).

Ланцелот Хегбен указывает: «Читателям детективной литературы известны два типа сыщиков. Одни придерживаются метода Фрэнсиса Бэкона, собирая на картотеку по крупицам всю относящуюся к делу информацию. Другие, подобно Ньютону, следуют какой-то идее и, как Ньютон, тотчас отбрасывают ее, если она приходит в противоречие с наблюдаемыми фактами. Единство науки — в природе результата исследований, в единстве теории и практики. Каждый вид поиска по-своему полезен, и лучший сыщик тот, кто сочетает оба метода, руководствуясь своей идеей для проверки гипотез, причем готов к появлению новых фактов»[17].

Один из ведущих американских физиков П. Бриджмэн следующим образом выразил общую точку зрения: «Я бы сказал, что не существует научного метода как такового, и самая существенная особенность методики научной работы состоит просто в том, что ученый должен действовать во всю силу своего ума, не гнушаясь ничем, за что можно было бы ухватиться».

Изучение ускоренного движения индуктивным и дедуктивным методами.

Первоначальное развитие науки было обязано главным образом индуктивному методу познания; в нашем рассмотрении свободного падения тел мы пользовались методом индукции и на основании многих наблюдений установили общее положение, согласно которому все тела, свободно падающие в вакууме, движутся одинаково. Изучая детали этого движения свободного падения, Галилей, по-видимому, использовал одновременно оба метода. Он выдвигал плодотворные гипотезы и умело использовал геометрию и логические рассуждения.

Мы воспользуемся теперь вторым методом, т. е. дедукцией. Начнем с принятия некоторого правдоподобного правила, а затем сопоставим выводы из принятого правила с действительным свободным падением тел.

Выберем приведенное выше предположение 3 (стр. 37), т. е. примем, что скорость свободно падающего тела возрастает равномерно на одну и ту же величину за равные отрезки времени. Можно дать более удобную формулировку этого предположения, сказав, что оно предусматривает движение «с постоянным ускорением», но для этого необходимо придать слову ускорение вполне определенный смысл. Назовем ускорением величину.

[ПРИРАЩЕНИЕ СКОРОСТИ]/[ЗАТРАЧЕННОЕ ВРЕМЯ], или ИЗМЕНЕНИЕ СКОРОСТИ В ЕДИНИЦУ ВРЕМЕНИ.

Давая это определение ускорению, мы на самом деле выбираем величину (приращение скорости)/(затраченное время), удобную для пользования, а затем как-то называем ее. Мы вовсе не раскрываем истинного смысла, заключенного в слове «ускорение»! Мы делаем выбор и приписываем выбранной величине наименование, потому что она оказывается удобной для описания рассматриваемого явления природы.

Поскольку мы часто будем иметь дело с изменяющимися величинами, нам необходим краткий способ записи величин «изменение…» или «приращение…». Выберем для этого символ Δ — греческую букву дельта. Первоначально этот символ употреблялся вместо буквы d в слове «difference» (разность). Тогда наше определение[18] ускорения будет выглядеть следующим образом:

УСКОРЕНИЕ = [ПРИРАЩЕНИЕ СКОРОСТИ]/[ЗАТРАЧЕННОЕ ВРЕМЯ] = [ИЗМЕНЕНИЕ СКОРОСТИ]/[ИЗМЕНЕНИЕ ПОКАЗАНИЙ ЧАСОВ],

A = Δv/Δt,

Где а — ускорение, v — скорость, t — время.

Дедуктивный анализ движения с постоянным ускорением.

Теперь выразим наше предположение о свободном падении тел при помощи этой новой терминологии. Предположим, что для тел, совершающих свободное падение (в вакууме),

Δv/Δt постоянно.

Эта запись формулирует чрезвычайно смелое предположение о реальной природе. Справедливо ли оно? Постоянна ли величина Δv/Δt. Чтобы непосредственно проверить это, нам пришлось бы воспользоваться специальным прибором, чтобы измерить ускорение тела (Δv/Δt) на каждом этапе его падения. Такие приборы существуют, но они сложны, и нам не удалось бы получить с их помощью необходимого убедительного доказательства справедливости предположений. Поэтому мы последуем примеру Галилея и прибегнем к помощи логической машины — математики, чтобы получить вывод, который затем можно будет проверить на опыте.

Математика говорит: если ускорение a(=Δv/Δt) постоянно и s — расстояние, пройденное за время t с этим постоянным ускорением, то.

S = 1/2 at²,

Если движение начинается из состояния покоя, и.

S = v₀t + 1/2 at²,

Если движение начинается со скоростью v₀ в момент t = 0, когда включаются часы. (Логическое доказательство правильности этого «если…, то…» дается в приложении I, стр. 60.) В этих соотношениях 1/2 а — это число, поскольку мы предполагаем, что а постоянно; поэтому для движения, которое начинается из состояния покоя,

ПРОЙДЕННЫЙ ПУТЬ = (ПОСТОЯННОЕ ЧИСЛО)∙(ВРЕМЯ)²,

Или.

ПРОЙДЕННЫЙ ПУТЬ возрастает прямо пропорционально (ВРЕМЯ)²,

Или.

ПРОЙДЕННЫЙ ПУТЬ изменяется прямо пропорционально (ВРЕМЯ)²,

Или.

ПРОЙДЕННЫЙ ПУТЬ пропорционален (ВРЕМЯ)² [или: ~ (ВРЕМЯ)²].

(Так сокращенно записывается любая из приведенных выше формулировок. Вместо слова «пропорционален» мы будем употреблять также знак ~.).

Например, если тело, движущееся с постоянным ускорением, проходит определенный путь за 1 сек, считая с момента начала движения из состояния покоя, то оно пройдет в 4 раза больший путь за 2 сек после начала движения из состояния покоя, в 9 раз больший путь за 3 сек и т. д.

Задача 1. График ускоренного движения. А) Предположим, что жук ползет к себе домой, совершая движение, для которого справедлива формула: ПРОЙДЕННЫЙ ПУТЬ ~ (ВРЕМЯ)². Начиная движение из состояния покоя, жук проходит за первую секунду 5 мм. Какой путь он пройдет за 2 сек от начала движения? За 3 сек? За 4, 5, 6 сек? Б) Проведите на листе бумаги прямую линию; отметьте исходную точку вблизи одного конца проведенной линии и нанесите на ней шкалу в сантиметрах. Нанесите отметки, соответствующие месту нахождения жука в конце каждой секунды. Задача 2. Простое правило. Галилей предложил для равномерно-ускоренного движения соотношение s ~ t² (где s — весь пройденный путь за все время t с момента начала движения из состояния покоя); он сформулировал для такого движения еще одно простое правило, связывающее расстояния d₁, d₂…, проходимые в течение следующих друг за другом односекундных интервалов, т. е, расстояние, пройденное за первую секунду, расстояние, пройденное в течение следующего интервала продолжительностью 1 сек, и т. д. Найдите такое правило в задаче 1 и сформулируйте его. (Указание. Вычислите d₁ = s₁ — 0, d₂ = s₂ — s₁… и найдите правило, связывающее эти расстояния, проходимые за 1 сек.). Задача 3. Научное мышление. А) Правило, о котором идет речь в задаче 2, можно было предвидеть, поразмыслив над ускоренным движением, исходя из здравого смысла и не пользуясь алгебраическими формулами или каким-либо конкретным примером. Каким образом? (Указание. Путь, пройденный за 1 сек., является мерой…?… за этот промежуток времени.). Б) Ограничено ли правило задачи 2 (подобно соотношению s ~ t²) движением, начинающимся из состояния покоя при t = 0, или оно применимо к любому движению с постоянным ускорением? Задача 4. Анализ движений. Ниже приведены данные о пути, пройденном четырьмя велосипедистами, совершившими различные по характеру движения. Все велосипедисты проходили мимо поста Р в момент пуска часов. Пройденные ими расстояния от Р спустя 1, 2, 3, 4, 5 сек даны в следующей таблице: А) Попытайтесь проанализировать каждое из этих движений, проверяя постоянство ускорения не при помощи соотношения s ~ t², а в свете ответов на приведенные выше задачи 2 и 3. Б) Опишите, если сможете, общий характер движения, когда оно происходит не с постоянным ускорением.

Экспериментальные исследования.

Можно показать, что справедливо и обратное. Если пройденный путь s прямо пропорционален t², то ускорение постоянно[19]. Это утверждение дает нам соотношение, которое можно проверить, исследуя реальные движения. Пусть часы отсчитывают равные интервалы времени; будем измерять расстояния, которые проходит падающее тело за промежутки времени, отсчитываемые с момента начала движения из состояния покоя и находящиеся в отношении 1:2:3… Если проходимые телом расстояния будут находиться в отношении 1:4:9…, то движение происходит с постоянным ускорением. Или, как это делают в одном из лабораторных экспериментов, можно измерять время t для различных расстояний s, проходимых от начала движения, и проверить справедливость соотношения s = (постоянное число)∙(t²) путем арифметических расчетов или построения графиков.

Свыше трех столетий назад Галилей воспользовался этим методом, хотя и не располагал ни современными часами, ни методом графического анализа. Галилей был одним из первых, кто предложил точные часы с маятником, но сам, по-видимому, не делал таких часов. Для измерения времени Галилей пользовался большим баком с водой, в котором было отверстие, откуда вода вытекала в сосуд. Он оценивал промежутки времени, взвешивая вытекшую воду, — метод грубый, но тем не менее достаточно точный для проверки установленного им закона. Свободное падение тел с высоты, доступной в то время экспериментатору, было довольно непродолжительным, и выполнить эксперимент при помощи прибора Галилея[20] было слишком трудно. Поэтому Галилей «управлял» земным тяготением, используя наклонную доску, по которой скатывался шар. Он измерял промежутки времени, за которые шар проходил расстояния 0,5, 1 м и т. д. от начала движения из состояния покоя.

На основе грубых опытов и разумных предположений Галилей пришел к выводу, что шар скатывается вниз по наклонной доске с постоянным ускорением. Считая этот вывод справедливым для любого наклона и переходя в своих рассуждениях к вертикально стоящей доске, Галилей предположил, что он будет справедлив и для свободного падения[21].

Представление о постоянном ускорении было высказано более ранними исследователями, но они были осмеяны. Галилей сделал все зависящее, чтобы свести к минимуму трение, угрожавшее усложнить дело, хотя мы теперь знаем, что постоянное трение не нарушает простого соотношения. Результаты Галилея были приближенными, но, по-видимому, они убедили его в правильности сделанного им предположения. Это был самый простейший доступный его представлению вид ускоренного движения, и на Галилея, вероятно, повлияла та вера, которая вдохновляла всех ученых — от греков до Эйнштейна, — вера в то, что природа в своей сущности проста.

Позднейшие эксперименты, выполненные с помощью усовершенствованной аппаратуры, подтвердили вывод Галилея. Движение происходит с постоянным ускорением, т. е. Δv/Δt = const во всех перечисленных ниже случаях:

А) шар или колесо катятся по наклонной доске;

Б) тело скользит или тележка движется на колесах по гладкой наклонной доске;

В) тело падает свободно.

Однако каждая такая экспериментальная проверка показывает лишь, что ускорение постоянно в данном конкретном случае и в пределах точности данного эксперимента. Если мы как ученые хотим поверить в то, что существует общее правило, выведенное из этих экспериментов, если мы хотим описать явление природы с помощью простого «закона», который послужит исходной точкой для новых дедуктивных выводов, то нам потребуется множество взаимно согласованных доказательств, которые явятся основой нашего вывода. Чем больше таких доказательств, чем более разнообразны они, тем лучше; ни одним нельзя пренебрегать. Если же результаты какого-нибудь эксперимента противоречат общему правилу (а результаты некоторых экспериментов действительно ему противоречат), то их снова тщательно проверяют. Пословица «Исключение подтверждает правило», хотя часто ее понимают неправильно, превосходна с точки зрения ученого, если слову «подтверждает» придавать значение «испытывает», «проверяет». Если же слово «подтверждает» употребляется в обычном значении «показывает, что то-то и то-то правильно», то пословица лишена смысла[22].

Исключения вовсе не доказывают, что правило верно. Исключения заставляют подвергать правило тщательной проверке и указывают на ограничения его применения. Они заставляют задать вопрос: «Что является виной?», либо выявляют ограничения, накладываемые на правило, либо заставляют проводить эксперименты более тщательно. В любом случае правило становится более очевидным.

ДЕМОНСТРАЦИОННЫЕ ОПЫТЫ.

Необходимо проследить за какими-нибудь опытами по ускоренному движению и проделать их самим. Эти опыты не только заставят вас почувствовать, что экспериментальная база науки более реальна, чем это казалось раньше, но позволят вам с большим доверием отнестись к огромному множеству накопленных наукой экспериментальных доказательств. Галилей по существу лишь высказал мудрые предположения, другие исследователи дополнили их тщательными измерениями, и вам следует проделать кое-какие измерения и высказать свои взгляды.

Опыт 1. Возьмем небольшую тележку, пустим ее вниз по длинной установленной наклонно доске и измерим ускоренно тележки. Измерять скорости в лекционном опыте — задача не простая, но, чтобы показать, как определяется ускорение, достаточно приближенной оценки. Мы измеряем скорость тележки в каком-либо пункте А, в начале движения тележки, а затем еще раз — в пункте В, расположенном несколько ниже. Разность между этими скоростями дает нам приращение скорости Δv. Промежуток временя Δt, в течение которого скорость возрастает на указанную величину, представляет собой время, за которое тележка перемещается из А в B. Тогда ускорение равно Δv/Δt. Чтобы измерить Δt, укрепим на тележке тонкий стержень М и измерим с помощью секундомера время, за которое М перемещается от А до В. Чтобы оценить скорость тележки в точке A, мы должны зафиксировать промежуток времени, в течение которого тележка проходит короткий путь в окрестности точки А. Мы могли бы установить в этом месте короткую доску, середина которой совпадала бы с точкой А, как на фиг. 6, и измерить время, за которое стержень переместится на длину доски.

Фиг. 6. Демонстрационный опыт.

Однако при измерении коротких промежутков времени ошибки оказываются слишком большими, поэтому лучше установить доску на движущейся тележке и измерять время ее прохождения мимо точки А с помощью фотоэлемента. На фиг. 7 показана удачная схема эксперимента.

Фиг. 7. Схема опыта, в котором с помощью двух фотоэлементов и трех электрических часов измеряется ускорение тележки при движении по наклонной плоскости.

_{Электрическая схема включения часов и фотоэлемента для пункта А такая же, как для пункта В. Часы С для измерения продолжительности движении тележки не показаны; ими управляет сам экспериментатор.}

Луч света падает под прямым углом к направлению движения тележки и попадает на фотоэлемент, в цепи которого при освещении возникает электрический ток. Этот ток усиливается и используется для приведения в действие электромагнита. Электромагнит связан с электрическими часами и удерживает их в выключенном состоянии. Когда пучок света перекрывается, электромагнит выключается и часы начинают идти. На тележке укреплен лист картона, который перекрывает пучок света, пока тележка проходит соответствующий отрезок пути. Таким образом, часы идут в то время, пока тележка проходит мимо фотоэлемента в точке А, и регистрируют время, за которое картон перемещается мимо пучка света. За это время тележка должна пройти расстояние, равное длине картона. Тогда величина. ДЛИНА КАРТОНА / ВРЕМЯ ЗАТЕМНЕНИЯ. Дает скорость тележки. Нам потребуется трое часов: одни для измерения общей продолжительности движения между двумя пунктами А и В, в которых определяются скорости, другие для измерения того времени, когда картон проходит мимо пункта А, и третьи — для таких же измерений в пункте В. Приведенная ниже задача иллюстрирует расчет ускорения. Задача 5. Предположим, что длина картона, укрепленного на тележке, равна 60 см, а затемнение в пункте А продолжается 0,30 сек. Какова скорость тележки при прохождении пункта А? Если продолжительность затемнения в пункте В равна 0,10 сек, то чему равна скорость тележки а пункте В? Чему равно приращение скорости Δv? Если тележка проходит путь от А до В за 2,0 сек, то чему равно ее ускорение?

В задаче 5 ничего не говорится о том, что движение начинается из состояния покоя. Тележка, проходя мимо пункта А, находится в движении, и мы можем сообщить ей любой начальный толчок.

Таким образом, можно повторить эксперимент при самых различных начальных скоростях. Мы можем даже толкнуть тележку вверх так, чтобы, проходя первый раз мимо пункта А, она двигалась в обратном направлении; но при этом мы должны внимательно следить за знаками + и —. Измерения позволяют определить ускорение независимо от начальной скорости. Будет ли ускорение одинаково при различных начальных скоростях — это вопрос к самой природе. Чтобы ответить на него, вам придется принять участие в реальном опыте.

В условиях лаборатории вы сможете провести опыт с колесом, скатывающимся по наклонным направляющим. Измерить непосредственно ускорение или (возрастающую) скорость нелегко.

Вместо этого нужно измерить расстояние, пройденное от начала движения, и время движения, а затем проверить, удовлетворяют ли обе величины соотношению.

ПРОЙДЕННОЕ РАССТОЯНИЕ ~ (ВРЕМЯ)².

Собрав надежные данные измерений, необходимо произвести проверку как арифметически, так и на графиках.

ОПЫТ С УСКОРЕННЫМ ДВИЖЕНИЕМ. Продолжим рассмотрение воображаемого движения с постоянным ускорением. Предположим, что измерения дали следующие результаты: Эти измерения слишком малочисленны, кроме того, они сделаны через такие интервалы, что трудно произвести надлежащую проверку, но для иллюстрации их достаточно. Четыре значения: 5,1; 5,4; 5,0; 5,3 — это результаты четырех попыток измерить время прохождения расстояния 60 см. Случайные ошибки могут быть устранены усреднением полученных результатов, хотя часть ошибок все же может остаться, например ошибка, возникшая вследствие преждевременного выключения секундомера нетерпеливым экспериментатором. Усредним полученные данные, складывая их и деля на 4: СРЕДНЕЕ ВРЕМЯ = (5,1 + 5,4 + 5,0 + 5,3)/4 = 20,8/4 = 5,2 сек. Поступая подобным же образом с другими промежутками времени, можно составить табл. 2[23]. Беглый взгляд на эти цифры показывает, что время не возрастает пропорционально пройденному расстоянию. График на фиг. 8, построенный по этим значениям, свидетельствует о том же самом. Он показывает, что тело движется все быстрее и быстрее, т. е. с ускорением.

Фиг. 8. Зависимость пройденного расстояния от времени.

Правда, глядя на этот график, сказать нельзя, постоянно ли ускорение[24]. Чтобы проверить это, построим другой график, который в случае постоянного ускорения будет иметь вид прямой линии. Какой график нужно строить, видно из предположения о постоянном ускорении и из дедуктивного отношения: РАССТОЯНИЕ ~ (ВРЕМЯ)². Отсюда следует, что нужно построить на графике зависимость пройденного расстояния от квадрата времени. В соответствии с этим составим табл. 3. Затем построим график фиг. 9.

Фиг. 9. Зависимость пройденного расстояния от квадрата времени.

Чтобы проверить, постоянно ли ускорение, проведем через начало координат «наилучшую» прямую. Мы произвольно проводим для проверки прямую линию, но стараемся провести ее так, чтобы она проходила «как можно ближе к возможно большему числу» точек на графике. В этом примере точки лежат близко к проведенной прямой. Если мы считаем, что отклонения точек от прямой объясняются несовершенством нашей аппаратуры, то мы говорим, что, насколько можно судить из проведенных измерений, движение происходит с постоянным ускорением.

Построение графика с указанием возможных ошибок опыта.

Если мы желаем яснее обнаружить наличие погрешностей в полученных нами данных, мы можем превратить каждую наносимую на график точку в пятно и представить таким образом погрешности измерения в величине времени и расстояния (см. фиг. 10, а, где точки, отвечающие измеренным значениям, заменены пятнами, характеризующими погрешность результата).

Измерение времени менее надежно, чем измерение расстояния, поэтому каждое пятно размыто больше в ширину, чем в высоту.

Поскольку мы не знаем действительных значений ошибок наших опытов, а знаем лишь их вероятное значение, каждое пятно должно простираться на неопределенное расстояние от соответствующей точки. Однако мы должны указать, что внешние области пятна отвечают маловероятным ошибкам. Это можно было бы сделать, затушевав пятно, как показано на фиг. 10, б. Рисовать такое пятно — слишком утомительная процедура, поэтому обычно принято изображать ошибки прямоугольником определенного размера, таким, чтобы вероятность нахождения истинного значения в пределах прямоугольника имела какое-то стандартное значение, скажем ¹/₂. Размеры прямоугольника показывают при этом ошибки, которые, по мнению экспериментатора, могут иметь место.

Фиг. 10. Изображение ошибки на графиках.

Физики часто приводят ошибки или погрешности на графиках, но объединяют их и выражают погрешности величин, откладываемых на графике по горизонтали и по вертикали, в виде погрешности величины, откладываемой по вертикали. Экспериментатор оценивает вероятную ошибку Δy, допущенную им при измерении величины, откладываемой по вертикали. Он оценивает также вероятную ошибку Δх; величины, откладываемой по горизонтали, а затем задает вопрос: «Если я допустил такую ошибку Δх, то как велика при этом будет ошибка величины у, которая бы в точности ее учитывала?». Это дает ему значение Δy°, эквивалентное допущенной им ошибке Δх. Он проводит вертикальную прямую длиной (Δy + Δy°) с центром в экспериментальной точке. Тогда каждой точке, наносимой на график, будет соответствовать такое пятно, выражающее величину погрешности, как показано на фиг. 10, в.

Нахождение скорости при помощи касательных.

Если бы мы могли построить график изменения скорости со временем, то это позволило бы непосредственно изучать ускорение.

Фиг. 11. Скорость равна наклону касательной.

Для этого необходимо оценить значение скорости в различные моменты времени.

Мы можем определить скорость, проводя касательные к кривой, описывающей зависимость пройденного расстояния от времени. Если провести касательную к кривой в некоторой точке, то наклон касательной даст скорость тела в данный момент времени и в данном месте. Чтобы убедиться в этом, выберем некоторую точку Р на этой кривой (фиг. 11), а затем переместимся вверх по кривой в точку Q, соответствующую более позднему моменту времени. Находясь в точке Р, тело уже прошло некоторое расстояние за какой-то промежуток времени. От Р до Q тело проходит еще небольшой отрезок пути Δs за малый промежуток времени Δt.

Тогда средняя скорость в интервале между Р и Q равна отношению.

[РАССТОЯНИЕ, ПРОЙДЕННОЕ ОТ Р ДО Q]/[ВРЕМЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ОТ Р ДО Q]

Или.

СРЕДНЯЯ СКОРОСТЬ = Δs_PQ/Δt_PQ (см. фиг. 11, a),

= ВЫСОТА/ОСНОВАНИЕ МАЛОГО ТРЕУГОЛЬНИКА PQM,

= ВЫСОТА/ОСНОВАНИЕ ЛЮБОГО ТРЕУГОЛЬНИКА больших размеров, подобного треугольнику PQM,

= h/b на фиг. 11, а,

= наклон хорды, соединяющей точки Р и Q, или.

ВЫСОТА/ОСНОВАНИЕ.

Если точки Р и Q расположены очень близко одна от другой, то соединяющая их линия почти совпадает с касательной к кривой в «точке» PQ, и скорость по-прежнему определяется наклоном этой «касательной». В пределе, как говорят в математике, когда точка Р приближается к Q, хорда превращается в касательную к кривой в этой точке; величины Δs и Δt становятся равными нулю, но отношение Δs/dt по-прежнему имеет вполне определенное значение, равное отношению h'/b' в любом треугольнике больших размеров, у которого касательная является гипотенузой, как на фиг. 11, б. Если PQ — хорда, то ее наклон определяет среднюю скорость движения от точки Р к точке Q. В пределе, когда Р и Q совпадают, наклон касательной определяет скорость в момент времени, соответствующий точке Р, в которой проводится касательная. Дело в том, что наклон касательной совпадает с наклоном бесконечно короткого отрезка кривой, характеризующего движение в данной точке. Проводя касательные во многих точках кривой и измеряя наклон этих касательных, мы могли бы определить несколько значений скорости, по которым можно было бы построить новый график, выражающий зависимость скорости от времени.

Форма этого графика позволила бы нам судить о том, постоянно ли ускорение, однако проведение касательных — дело не простое, и, чтобы с уверенностью делать выводы, пользуясь полученным набором значений наклона касательных, пришлось бы строить исходный график очень тщательно, с большим числом дополнительных точек. Поэтому на практике постоянство ускорения проверяют путем построения другого графика, выражающего зависимость расстояния от квадрата времени.

Однако мы можем воспользоваться указанным выше свойством касательной для построения первоначального графика. Хотя наш график, представленный на фиг. 8, проходит через начало координат, трудно судить о ходе кривой вблизи начала координат, поскольку измерять очень короткие перемещения сложно. Мы не можем с уверенностью сказать, какая из трех представленных на фиг. 12 кривых верна.

Фиг. 12. Различные варианты графика фиг. 8, изображающего зависимость пройденного расстояния от времени.

Мы можем выяснить это, рассуждая следующим образом: согласно полученным данным, тело начало двигаться из состояния покоя. Следовательно, начальная скорость тела равна нулю. Поэтому наклон касательной к кривой в начале координат должен быть равен нулю, касательная должна быть расположена горизонтально. Отсюда можно заключить, что из трех кривых фиг. 12 верна, по-видимому, средняя.

Арифметическая проверка постоянства ускорения.

Результаты нашего мысленного опыта можно еще проверить с помощью арифметического расчета. Если ускорение постоянно, то.

РАССТОЯНИЕ = (ПОСТОЯННАЯ)∙(ВРЕМЯ)².

Поэтому расстояние/(время)² = const. И наоборот, если отношение (расстояние)/(время)² постоянно, то постоянно и ускорение. Чтобы проверить это, расширим нашу таблицу, дополнив ее еще одним столбцом (табл. 4).

Чтобы из чисел, приведенных в последнем столбце, сделать определенный вывод, необходимо знать точность измерений. Иначе мы сможем лишь сказать, что движение, по-видимому, происходит с ускорением, довольно близким к постоянному.

Как графический, так и арифметический способы проверки, о которых только что шла речь, трудно применить при малом количестве данных. Но это всего лишь мысленный пример: истинная проверка должна явиться результатом ваших собственных опытов.

Труды многих ученых специалистов и тех, кто просто интересуется физикой, утвердили веру в открытие Галилея: тела, свободно падающие под действием земного тяготения, и тела, скользящие или скатывающиеся вниз по наклонной плоскости под действием с1, илы тяжести, движутся с постоянным ускорением.

Дальнейшие эксперименты показывают, что ускорение имеет одно и то же значение даже в том случае, если тело начинает, движение не из состояния покоя, а получив толчок. Если в момент пуска часов тело имеет скорость v₀, то соотношение s = ¹/₂ at² уже неверно; мы должны воспользоваться в этом случае соотношением s = v₀ + ¹/₂ at² (см. приложение I). Однако ускорение а остается тем же самым. Едва ли оно могло бы быть другим: каким образом шар может «узнать», что он начал двигаться после полученного толчка, а не скатывался с большей высоты по той же самой наклонной плоскости?

Величина ускорения.

Эксперименты не просто убеждают нас в том, что ускорение постоянно, а дают его фактическое значение. Если а постоянно, то расстояние = (¹/₂ а)∙(время)², и (расстояние)/(время)² = 1/а (ускорение).

Таким образом, в нашем случае 0,076 и т. д. представляет собой оценки величины ¹/₂ а. Отсюда получаем а = 0,152, или ²/₁₃. Но указать число ²/₁₃ недостаточно — две тринадцатых чего?

Подобное число само по себе ничего не дает, если не сказано, в каких единицах оно выражено. Мы получим это число, разделив расстояние в метрах на (время)². Поскольку время измеряется в секундах, ответ должен быть в м/сек² (читается: «метр на секунду в квадрате» или «метр в секунду за секунду»).

Единицы измерения ускорения.

Вернемся к определению ускорения и найдем единицы, в которых оно выражается:

A = [Δv, измеренное в единицах скорости, т. е. м/сек]/[Δt, измеренное в единицах времени, т. е. сек] = УСКОРЕНИЕ, измеренное в единицах ускорения, т. е. м/сек∙сек.

Таким образом, ускорение измеряют в единицах м/сек∙сек, которые мы записываем в виде м/сек∙сек, или м/сек².

Употребление слов «на» и «в».

Слова «на» и «в» нашли широкое употребление в науке. Мы употребляли их выше в значении «деленное, на» или «на каждый (каждую)…», т. е. в значениях, которые они имеют в обычной арифметике. Позднее мы будем говорить об ином значении этих слов, когда они используются для словесного выражения отношения или пропорции.

В арифметике мы делим 10 центов на 5 и получаем 2 цента. Или мы делим 10 овец по 5 овец и получаем 2 отары. Мы сомневаемся в возможности делить 10 овец на 5 центов — ведь речь идет, возражаем мы, о предметах разного рода. Но иногда мы делим предметы одного рода на предметы другого рода, например, если 10 центов разделить на 5 мальчиков, то у каждого мальчика окажется в кармане 2 цента. А разделив 60 центов на дюжину апельсинов, получим стоимость каждого апельсина. В науке часто производят подобные деления, и чтобы ответ был верным, он должен содержать как число, так и единицы измерения. Если жук, двигаясь с постоянной скоростью, проползает 3 да за 2 часа, то мы можем сказать: «Если разделить 3 м на 2 часа, т. е. записать 3 м/2 часа, то получим 1,5 м в час». Ответ показывает расстояние, которое жук проползает за каждый час, но это не означает, что жук передвигается обязательно в течение одного часа. Это применимо и к ¹/₄ часа, и к ¹/₂ часа, и к 1¹/2 часам, а возможно, и к 2¹/₂ часам.

Эта формулировка применима даже к очень коротким интервалам времени: жук может ползти с той же самой скоростью 1,5 м в час в течение нескольких секунд. Мы можем мысленно сократить интервал времени, по-прежнему считая, что жук ползет со скоростью 1,5 м в час. В пределе мы говорим, что жук обладает скоростью 1,5 м в час в некоторый определенный момент времени. Это уже новое представление, представление о скорости в некоторый момент времени. Мы не можем теперь делить расстояние на промежуток времени — деление нуля на нуль не имеет смысла; тем не менее спидометр будет показывать в какой-то момент времени скорость 1,5 м в час. Правда, настоящий жук передвигается то быстрее, то медленнее, но мы легко можем представить себе идеального жука, передвигающегося с постоянной скоростью. В таком случае единица «один метр в час» — это уже не результат деления, а самостоятельная величина, единица скорости изменения пути, и скорость 1,5 м в час — это скорость изменения пути, предельное значение, отмеченное в некоторый момент времени.

Математическое понятие предела появляется и в физике, и в математическом анализе. Чтобы постичь сущность понятия предел, посмотрим, чему равна сумма большого числа членов ряда: 1, ¹/₂, ¹/₄, ¹/₈, ¹/₁₆…. Сумма первых двух членов равна 1¹/2, сумма трех членов 1³/₄, десяти членов 1³¹¹/_⁵¹² и т. д. Сколько бы членов ряда мы не брали, сумма никогда не будет в точности равна 2, но можно как угодно близко подойти к 2, если взять достаточно большое число членов ряда. (Заметим, что сумма всегда меньше 2 на величину, равную как раз последнему взятому члену. Поэтому эту разность можно сделать как угодно малой.) Таким образом, мы говорим, что 2 есть предел суммы большого числа членов ряда.

Наклон касательной, о котором шла речь выше, тоже представляет собой предел, а именно предел наклона хорды, проходящей через две точки на графике.

До нынешнего века физики имели дело с большим числом непрерывно изменяющихся отношений, таких, как скорость, плотность, освещенность. Теперь же оказалось, что множество физических величин характеризуется скачкообразным изменением, подобным резким изменениям скорости настоящего жука; эти величины не удается непрерывно уменьшать до предельных значений. Для примера рассмотрим отношение (масса)/(объем), которое мы называем плотностью. Мы можем поделить массу большого куска алюминия на его объем или массу маленького куска алюминия на его объем и получим одинаковую плотность.

Но если мы попытаемся продолжать определять таким образом плотность, переходя ко все меньшим и меньшим количествам вещества, то, дойдя до одного-единственного атома, вынуждены будем остановиться. Какие отношения физических величин можно вычислить в пределе в математическом смысле этого слова? Какие величины не обладают «атомистической» природой? Этот вопрос заслуживает внимания, и мы вернемся к нему в самом конце нашего курса. Употребляя слова «на» или «в» или знак косой черты, который их заменяет, для обозначения понятия «деленный (деленная) на» или «на каждый (каждую)», стоит подумать, что эти слова играют определенную роль в представлении об отношении.

Единицы измерения, применяемые в науке.

В обыденной жизни мы измеряем скорость в метрах в секунду или в километрах в час; инженеры тоже часто пользуются этими единицами. Ускорение мы выражаем в м/сек на секунду, а иногда в таких менее привычных единицах, как км/час на секунду. Однако ученые во всем мире условились применять метрическую систему единиц, и мы будем пользоваться одним из вариантов этой системы, системой метр — килограмм — секунда. В этой системе (ее называют сокращенно «системой МКС») длины и расстояния измеряются в метрах, масса вещества — в килограммах, а время — в секундах. Точная длина метра определяется длиной тщательно сохраняемого бруска из тугоплавкого металла, копии которого находятся в метрологических лабораториях всего мира.

Килограмм представлен куском из тугоплавкого металла, принятого за эталон. Метр делится на 100 сантиметров (каждый сантиметр соответствует примерно ширине пальца), а килограмм делится на 1000 граммов. Хотя во многих курсах физики применяют единицы сантиметр и грамм, мы примем новую используемую сейчас систему единиц — метр и килограмм, дабы облегчить понимание таких электрических единиц, как амперы и вольты. Метр и килограмм сокращенно обозначаются м и кг.

Грамм первоначально был определен как масса одного кубического сантиметра воды. При этом плотность воды (масса/объем) приобретает удобное значение 1,00 г в 1 см³ (удобное, но чреватое недоразумениями, и его без всякого ущерба можно опустить). Плотность воды вовсе не равна 1,00 кг/м³; полый куб с внутренними размерами 1 м х 1 м х 1 м вмещает 1000 кг воды, поэтому плотность воды равна 1,00 г/см³, или 1000 кг/мг³.

В нашей системе МКС скорости измеряются в метрах в секунду, а ускорения — в метрах в секунду на секунду.

Ускорение свободного падения.

Ускорение свободного падения можно измерить. Показать, что ускорение постоянно, когда тело падает все быстрее и быстрее, трудно, хотя, конечно, это можно сделать с помощью современных приборов для измерения времени; некоторые из этих приборов позволяют измерить промежуток времени с точностью до одной миллионной доли секунды. Если принять, что ускорение постоянно, то его довольно легко измерить, определив промежуток времени, за который тело проходит известный отрезок пути, и воспользовавшись соотношением s = ¹/₂ at². Отсюда a = 2s/t². Постоянное ускорение свободного падения, происходящего «под действием земного притяжения», обозначают символом g и записывают g = 2s/t². Подставляя в эту формулу полученные из опыта значения s и t, можно вычислить g. Однако сопротивление воздуха ограничивает точность полученного значения; кроме того, трудно быть уверенным в том, что мы начинаем отсчет времени именно в тот момент, когда тело начинает двигаться, а продолжительность падения тела весьма мала, поэтому такие измерения не дают точного значения g. А для решения ряда задач в физике необходимо точно знать значение g. Можно ли исключить влияние сопротивления воздуха? Нельзя ли наблюдать падение тела много раз, скажем, несколько тысяч раз и, измерив общее время для всех опытов, определить время одного падения с большей точностью? К этой, на первый взгляд совершенно недостижимой цели приводит задуманный еще Галилеем простой опыт.

Измерения дают значение g, близкое к 9,8 м/сек². На экваторе g несколько меньше, а на Северном полюсе — несколько больше.

Сила и ускорение.

Мы считаем, что на падающее тело действует сила притяжения Земли, направленная вниз; мы называем ее весом тела. Чтобы удерживать тело в подвешенном состоянии, мы должны создать опору, способную выдерживать полный вес тела. Перерезав веревку, на которой подвешено тело, мы считаем, что на тело по-прежнему действует его вес, однако теперь весу не противостоит натяжение веревки. Если мы предполагаем, что вес тела остается постоянным во время его падения, можно считать, что эта постоянная сила «создаст» постоянное ускорение свободного падения. Тележка скатывается по наклонной плоскости с ускорением, составляющим долю g; сила, тянущая тележку вниз по наклонной плоскости, составляет лишь долю веса тележки. Позднее вы узнаете, чему равна эта доля; она зависит от наклона плоскости. Зная эту долю веса, можно было бы, следуя Галилею, сопоставить силу, направленную вдоль наклонной плоскости, и ускорение движения вниз по наклонной плоскости. Какое соотношение должно предположительно существовать между силой и ускорением?[25]. Первые экспериментаторы, такие, как Галилей, смогли найти соотношение, изучая падающие и скатывающиеся по наклонной плоскости тела.

Мы его вскоре рассмотрим. Оно играет очень важную роль в физике и технике, и этому основному соотношению подчиняется движение звезд и поведение атомов.

Нам еще предстоит рассмотреть вопрос о силе и ускорении.

В заключение выскажем некоторые сомнения. Откуда вам известен вес тела, когда тело свободно падает? Когда вы сидите на стуле, вы ощущаете поддерживающую силу со стороны стула и вам кажется, что вы чувствуете свой собственный вес. Но выпрыгнув из окна, почувствуете ли вы свой вес? Предположим, вы прыгаете из окна, а в руках держите кусок металла, причем пытаетесь взвесить его в момент падения. Предположим на минуту, что, дабы сделать вашу временную лабораторию более удобной, вас вместе о куском металла и приспособлением для взвешивания заключили в огромный ящик и сбросили этот ящик с большой высоты, предоставив ему свободно падать. Предположим далее, что в ящике нет окон. Что произойдет с куском свинца, когда вы выпустите его из рук, находясь внутри ящика? Будет ли он падать на пол? Поразмыслив, вы придете к выводу, что земное притяжение как бы исчезнет. Скажете ли вы, что тяжесть действительно исчезла или что ваша лаборатория движется вниз с ускорением? Если нельзя сказать, в чем разница, то существует ли вообще разница? Обсуждение этих вопросов привело бы вас к теории относительности.

ПРИЛОЖЕНИЕ I. АЛГЕБРА.

В этом приложении мы не собираемся открывать новых законов физики или пересматривать старые, мы намерены лишь произвести своего рода механическую обработку понятий. Начнем с предположения, которое представляется ясным для понимания, а именно с предположения о движении с постоянным ускорением, и заставим алгебру дать нам некоторые логические следствия. Полученные результаты — это просто старые сведения, которым придана новая форма. Они будут полезны при изучении реального мира — при выводе этих результатов мы можем спокойно сидеть в башне из слоновой кости и верить в то, что наши действия — действия совершенной логики — верны с точностью до предположений, на которых они Определение. Выберем в качестве величины, с которой мы будем иметь дело, изменение скорости в единицу времени:

Определение. Выберем в качестве величины, с которой мы будем иметь дело, изменение скорости в единицу времени:

[ИЗМЕНЕНИЕ СКОРОСТИ]/[ВРЕМЯ ИЗМЕНЕНИЯ СКОРОСТИ], ИЛИ Δv/Δt.

Поскольку эта величина — понятие, удобное для пользования, мы назовем ее ускорением. Тогда формулировка «ускорение = Δv/Δt» представляет собой лишь словарное определение, объясняющее, чему мы дали это название.

Предположение. Мы предполагаем, что ускорение постоянно. (Иначе говоря, мы исследуем вид движения, при котором величина Δv/Δt постоянна. Существует много других типов движения, общих по своему характеру, но этот тип движения — простой и в то же время очень важный, поэтому мы исследуем его подробно.).

Итак, Δv/Δt — постоянная, величину которой мы обозначим через a.

Пользуясь нашим методом, основанным на элементарной алгебре, мы будем предполагать, что средняя скорость тела, движущегося с постоянным ускорением, в точности равна среднему из скоростей в начале и в конце перемещения. Таким образом, мы предполагаем, что.

СРЕДНЯЯ СКОРОСТЬ = (НАЧАЛЬНАЯ СКОРОСТЬ + КОНЕЧНАЯ СКОРОСТЬ)/2.

Мы говорим также, что.

ПРОЙДЕННЫЙ ПУТЬ = СРЕДНЯЯ СКОРОСТЬ∙ВРЕМЯ,

Или.

S = v^-/t.

Заметим, что мы пользуемся точкой в качестве знака умножения; сейчас так принято, и мы будем прибегать к этому знаку для перемножения таких единиц, скажем, как чел∙час; кроме того, мы поставили сверху черту над буквой v для обозначения «v среднее».

Терминология. Примем следующие обозначения:

1) Ускорение — а м/сек на секунду.

2) Скорость движущегося тела в момент пуска часов (т. е. при t = 0) равна v₀ м/сек. Сокращенно записываем это в виде.

Начальная скорость = v₀ м/сек при t = 0.

3) Скорость движущегося тела по прошествии t сек равна v м/сек, или.

Конечная скорость = v м/сек.

4) Путь, пройденный за время t сек, равен s м.

Как уже было сказано, это лишь расшифровка принятых буквенных обозначений. Мы можем дать более связную формулировку: движущееся тело, начав двигаться со скоростью v₀, проходит расстояние s за время t с ускорением а и достигает конечной скорости v.

Соотношения. Теперь заставим поработать алгебру и получим с ее помощью ряд соотношений:

(1) v = v₀ + at,

УСКОРЕНИЕ а = Δv/Δt.

= [ПРИРАЩЕНИЕ СКОРОСТИ]/[ЗАТРАЧЕННОЕ ВРЕМЯ] (словарное определение),

= [КОНЕЧНАЯ СКОРОСТЬ — НАЧАЛЬНАЯ СКОРОСТЬ]/[ЗАТРАЧЕННОЕ ВРЕМЯ] (если ускорение постоянно),

= (v — v₀)/t.

Последняя строка дает лишь среднее значение ускорения, только если ускорение непостоянно, как мы здесь предполагаем. Чтобы получить удобное выражение для конечной скорости v, нужно произвести перегруппировку величин по правилам алгебры. Исходя из равенства.

A = (v — v₀)/t.

Которое мы считаем истинным, и умножая обе его части на t, мы приходим к выражению, в такой же степени справедливому:

A∙t = v — v₀.

Прибавляя к обеим частям этого равенства v₀, получаем еще одно уравнение, равносильное первому:

V₀ + at = v — v₀ + v₀ = v.

Или.

V₀ + at = v.

Поменяв местами обе части последнего равенства, получим.

V = v₀ + at.

Изменения, которым мы подвергли исходное равенство a = (v — v₀)/t, представляют собой лишь изменения, допускаемые правилами логики.

Полученный результат v = v₀ + at точно так же верен или неверен, как исходное равенство a = (v — v₀)/t. Мы видим в этом случае, что новая «формула» — это просто новый вариант прежнего отправного положения, поскольку она гласит:

КОНЕЧНАЯ СКОРОСТЬ = НАЧАЛЬНАЯ СКОРОСТЬ + ПРИРАЩЕНИЕ В ЕДИНИЦУ ВРЕМЕНИ∙ВРЕМЯ.

_{Величина ПРИРАЩЕНИЯ В ЕДИНИЦУ ВРЕМЕНИ должна равняться приращению скорости.}

Согласно этой формулировке,

КОНЕЧНАЯ СКОРОСТЬ = НАЧАЛЬНАЯ СКОРОСТЬ + ПРИРАЩЕНИЕ СКОРОСТИ = КОНЕЧНАЯ СКОРОСТЬ.

Читателям, знакомым с алгеброй, это рассмотрение должно показаться излишне длинным. Можно было бы просто написать.

A = (v — v₀)/t, следовательно, at = v — v₀, или v = v₀ + at.

Если же в выводе формул вы видите некое таинство, то это рассмотрение следует прочесть внимательно. Неопытный читатель может, пожалуй, ухватиться за высказанные нами слова в защиту алгебры, но дело не в этом; нужно отвыкнуть от ошибочных представлений об «истинности» формул или о том, что в выводе формул есть нечто таинственное.

(2) s = 1/2 (v + v₀)∙at.

При экспериментальной проверке мы будем иметь дело с расстоянием, а не со скоростью. Чтобы выяснить, как соотношение между пройденным расстоянием и затраченным временем вытекает из нашего предположения о постоянном ускорении, нам надо знать расстояние при изменяющейся скорости. Руководствуясь здравым смыслом, мы приходим к предположению, что нужно пользоваться средней скоростью v^-, получаемой сложением начальной и конечной скоростей и делением их суммы на 2. Таким образом,

СРЕДНЯЯ СКОРОСТЬ v^- = (v₀ + v)/2,

Мы пользуемся этой средней скоростью как неизменной величиной вместо реальной изменяющейся скорости и находим пройденное расстояние, умножая среднюю скорость на время. Таким образом,

РАССТОЯНИЕ s = v^-t,

Или.

S = 1/2 (v + v₀)∙at.

В этом соотношении ускорение а не фигурирует. Тем не менее соотношение неверно, если ускорение непостоянно (см. задачу 6). Это выражение не простая перегруппировка прежнего выражения; оно содержит предположение относительно средней скорости. Это предположение (до сих пор оно было основано лишь на «здравом смысле») можно проверить с помощью математического анализа или изящного геометрического способа, предложенного еще Галилеем (см. задачу 6). Оба способа показывают, что при движении с постоянным ускорением такое употребление средней скорости правильно. Для других типов движения нужны какие-то иные способы усреднения, арифметическое среднее брать не годится[26]. Таким образом, наше предположение верно для движения с постоянным ускорением; мы используем его в качестве примера лишь постольку, поскольку знаем, что оно верно. Так, элементарное изложение приспосабливается для получения правильных результатов. Хотя это иногда неизбежно, такой подход оставляет, к сожалению, впечатление, будто ученый лишь выдвигает правдоподобные гипотезы, он не дает представления о том, как на самом деле ученый-естествоиспытатель осторожно нащупывает путь, подвергая свои предположения честной проверке. Поэтому вам необходимо изучить задачу 6.

(3) s = v₀∙t + (1/2)∙at^2.

Мы по-прежнему хотим выразить пройденное расстояние через время и ускорение, не пользуясь конечной скоростью. Мы получим это соотношение из выражений (1) и (2); с помощью одного из них мы найдем v и сможем поставить это полученное выражение вместо v в другом соотношении. Так,

S = 1/2 (v₀ + v)∙t или v = v₀ + at.

Следовательно,

S = 1/2 (v₀ + v₀ + at)∙t = 1/2 (2v₀ + at)∙t = (2v₀∙t)/2 + (at∙t)/2.

Таким образом,

S = v₀∙t + (1/2)∙at^2.

Это соотношение удобно для экспериментальной проверки и описывает движение с постоянным ускорением.

Если отсчет времени начинается с момента, когда движущееся тело находится в состоянии покоя, то начальная скорость равна нулю, (v₀ = 0), и соотношение приобретает вид.

S = (1/2)∙at^2.

Поскольку а постоянно, ¹/₂ а тоже постоянно, поэтому мы можем записать.

S = (Постоянная)∙t², или s ~ t².

Таким образом, мы можем сказать: теория предсказывает, s ~ t² для движения, которое начинается из состояния покоя и происходит с постоянным ускорением. Говоря «теория предсказывает», мы имеем в виду, что, исходя из некоторых предположений и используя аппарат логического вывода (включая методы математики), мы как бы выразили эти предположения в несколько иной, новой форме. Если результаты эксперимента согласуются с этой новой формой, мы можем прийти к выводу, что наши предположения (и наш аппарат) «верны» или «подтверждены». Тем не менее зачастую мы не можем быть уверены в том, что выбранные нами предположения дают единственно возможное правильное объяснение. Осторожнее было бы сказать, что пока наши предположения соответствуют фактам.

Если в опытах с падающими телами вы обнаруживаете, что расстояния и промежутки времени с достаточной точностью удовлетворяют соотношению s ~ t², то можете сказать, что они удовлетворяют соотношению, предсказанному для движения с постоянным ускорением. Вы могли бы сказать, что падающие тела, по-видимому, движутся с постоянным ускорением. Производя опыты с шарами, скатывающимися вниз по наклонной плоскости, Галилей установил, что пройденные расстояния и промежутки времени довольно хорошо соответствуют соотношению s ~ t². Иначе говоря, измеренные Галилеем величины находились в согласии с его предсказанием, основанным на предположении о постоянстве ускорения.

Заметим, что эксперименты не подтвердили правильность этой формулы для движения с постоянным ускорением. Сама формула по необходимости, в силу законов логики, верна для любого движения с неизменным ускорением. Эксперименты показывают лишь, что движение скатывающихся тел в согласии с формулой (вероятно) происходит с постоянным ускорением. Сопоставляя экспериментальные данные с этой формулой, мы можем узнать кое-что о свойствах природы.

Вывод формулы, о которой идет речь, распадается на следующие этапы:

Определение ускорения: мы придумали эту величину, выбрали для нее название и затем стали ею пользоваться.

Выбор для анализа движения с постоянным ускорением. Этот выбор — один из возможных подходов к изучению действительного движения падающих тел. После того как выбор сделан, он позволяет двигаться дальше с помощью алгебры. Делая такой выбор, мы ничего не узнаем о свойствах природы.

Алгебра — своего рода логический автомат. Математика не рождает научные факты, хотя и помогает обнаруживать их.

Предположение, основанное на доводах здравого смысла, согласно которому в качестве v^- следует взять величину (v₀ + v)/2. Это предположение можно подтвердить для движения с неизменным ускорением геометрическими соображениями Галлилея или методами математического анализа.

Снова алгебра.

Результат: удобное для экспериментальной проверки соотношение, выведенное исходя из наших предположений.

(4) v² = v²₀ + 2as [Соотношение в этой форме нам еще долго не потребуется. Этот раздел можно временно отложить.].

Мы можем использовать алгебру дальше, заставить наш автомат сделать еще несколько оборотов и получить другие варианты формул. У нас уже есть три соотношения, в которые.

А) входят v, v₀, a, t, но не входит расстояние s;

Б) входят s, v, v₀, t, но не входит ускорение а;

В) входят s, v₀, а, t, но не входит конечная скорость v.

Впоследствии нам понадобится соотношение, выражающее v через v₀, a, s и не содержащее время t в явном виде. Поскольку мы хотим, чтобы в это соотношение не входило t, мы можем получить его из любых двух прежних соотношений, исключая t. Например, можно использовать соотношения (1) и (3).

В этом случае v = v₀ + 2at дает t = (v — v₀)/a, и, подставляя это выражение в соотношение.

S = v₀∙t = (1/2)∙at^2.

Получаем.

Приводит ли это соотношение к формуле (4)? Да, если вы наберетесь смелости и воспользуетесь правилами алгебры. Для этого вам придется возводить в квадрат и умножать обе части равенства на одну и ту же величину, перегруппировывать члены и производить упрощение. Вычисления будут громоздкими, но в конечном счете вы получите для v² выражение v²₀ + 2as. Попробуйте, если хотите, проделать эти вычисления.

Математику свойственно ярко выраженное поэтическое чувство формы математического языка, поэтому он счел бы приведенный выше метод чудовищно громоздким. Он сказал бы: «Имеется более изящный вывод…» и получил бы ответ быстро и красиво. Нематематиков, наблюдающих за его действиями, поразит превосходство его знаний, а атмосфера таинства может вызвать даже чувство досады. На самом же деле все обстоит значительно проще. Математик — только человек и, как любой другой исследователь, находит правильный путь в результате нескольких попыток, хотя простые задачи могут быть проделаны уже прежде и просто храниться в его памяти как «математический здравый смысл». Найдя ответ любым методом, громоздким или нет, математик может попытаться действовать от полученного результата, стремясь найти более изящный способ решения, подобно альпинисту, ищущему лучший путь восхождения. В этом нет греха, но математик часто забывает рассказать неспециалисту о той работе, которую он уже проделал прежде, и поражает его изящным методом, как бы извлеченным тут же из кармана. Давайте попробуем провести такой аналитический поиск, размышляя все время вслух. Ответ, который мы хотим получить, представляет собой выражение v² = v²₀ + 2as, полученное в результате утомительных и нудных алгебраических выкладок. Попробуем раскрыть это выражение. Можно ли, судя по его виду, легко видоизменить его путем алгебраических преобразований? Можно ли каким-то очевидным образом упростить или расчленить его? Нет, нельзя. Тогда придется действовать по-другому. Попробуем произвести перенос из одной части равенства в другую. Мы можем прийти к выражению v² — v²₀ = 2as. Можно ли, воспользовавшись методами алгебры, без большого труда сделать что-нибудь с этим выражением? Оказывается, можно. Левая часть этого равенства, содержащая множители (v + v₀)(v — v₀), нам давно знакома. Можно было бы составить левую часть равенства из этих множителей, если бы нам удалось каким-нибудь образом определить их по отдельности. Но где мы видели уже выражение (v + v₀)? Мы встречались раньше с этим множителем в соотношении (2); s = 1/2(v + v₀)t. Значит, v + v₀= 2s/t. А где мы встречались с величиной (v — v₀)? В определении ускорения, которое мы записали в виде a = (v — v₀)/t. Следовательно, (v — v₀) = at. Теперь нам нужно получить величину v² — v²₀, для этого достаточно перемножить (v + v₀) и (v — v₀). Воспользуемся с этой целью соотношениями (v + v₀) = 2s/t и (v — v₀) = at:

(v + v₀)(v — v₀) = 2s/t (at)

Таким образом, (v² — v²₀) = 2as, что приводит к нужной нам форме записи.

Теперь, располагая изложенным методом, к которому мы пришли в результате анализа, опустим детали наших изысканий и начнем снова.

Чтобы вывести соотношение v² = v²₀ + 2as изящным методом, начнем с определения ускорения.

A = (v — v₀)/t.

И с формулы, выражающей пройденный путь через среднюю скорость s = 1/2(v + v₀)t, и просто перемножим оба эти уравнения. Мы получим соотношение a∙s = 1/2(v² — v²₀), которое приводит к выражению.

V² = v²₀ + 2as.

Вот четыре соотношения между величинами v, v₀, a, s и t:

V = v₀ + at, s = 1/2(v + v₀)t, s = v₀t + (1/2)at², v² = v²₀ + 2as.

Эти соотношения позволяют быстро вычислить значение любой входящей в них величины, если известны значения трех других величин.

Алгебра позволяет вычислить результирующий путь.

Числовым значениям необходимо придавать подходящие знаки + и —. Например, если начальная скорость движущегося тела равна 3 м/сек в направлении на восток, а ускорение составляет 1 м/сек/сек и направлено тоже на восток, то мы можем записать v₀ = +3 и а = +1. Если же v₀ = 3 м/сек в направлении на восток, а ускорение в противоположном направлении равно 1 м/сек/сек к западу, то одна из этих величин должна записываться со знаком минус. Если мы говорим, что v₀ = +3, то мы должны записать а = —1, используя знак плюс для скорости, ускорения и пройденного пути в направлении на восток, а знак минус для перечисленных величин, направленных на запад. Тогда s будет равно результирующему расстоянию, пройденному за время t, а не арифметической сумме перемещений в западном и восточном направлениях. Это происходит потому, что при вычислении каждого отрезка пути мы приписываем знак плюс перемещениям в направлении на восток, а знак минус перемещениям на запад, и когда мы складываем эти отрезки пути со знаками + и —, стремясь найти s, то в соответствии с правилами алгебры получим результирующую разность перемещений. При v₀ = +3 и а = —1 движение будет замедленным: тело движется все медленнее и медленнее вперед в течение 3 сек, останавливается, а затем движется все быстрее и быстрее в обратном направлении. Через 5 сек траектория движения будет такой, как показано на фиг. 13: тело переместится на 4,5 м вперед, затем на 2 м назад, и результирующее перемещение будет равно 2,5 м.

Фиг. 13. Результирующее пройденное расстояние s.

Алгебра дает.

Таким образом, s всегда означает результирующее расстояние, пройденное от старта до финиша.

Приведенные выше соотношения — это лишь инструменты, а не разделы науки, имеющие жизненно важное значение. Эти соотношения абсолютно верны для движения с постоянным ускорением и отнюдь не достоверны для других движений. Только эксперимент может сказать нам, в каких случаях они применимы к реальным явлениям окружающего мира.

Задача 6. Доказательство без математического анализа. Галилей не имел возможности воспользоваться математическим анализом, он предпочитал геометрию и рассматривал равномерно ускоренное движение следующим образом. Представим себе график скорости движущегося тела, откладываемый по вертикали в зависимости от времени, откладываемого по горизонтали. Если, тело движется с постоянным ускорением, его скорость должна возрастать с течением времени равномерно. График скорости должен представлять собой прямую линию. Она не обязательно должна проходить через начало координат, она может идти от начальной скорости v₀ при t = 0, достигая некоторого значения v в момент времени t. Посмотрим теперь, что произойдет за некоторый очень короткий промежуток времени Δt, когда скорость равна, скажем, v₁. (Разумеется, v все время возрастает, но мы можем в качестве v₁ взять среднее за короткий промежуток времени Δt.) Тогда тело проходит за этот промежуток времени расстояние [(v₁)∙(Δt)]. Но на графике величина [(v₁)∙(Δt)]— это произведение [(высота)∙(ширина)] маленькой вертикальной полоски с основанием Δt, доходящей до прямой, которая представляет собой наш график. На фиг. 14, а площадь этой вертикальной полоски заштрихована. Следовательно, полное расстояние, пройденное телом, определяется полной площадью всех таких вертикальных полосок, т. е. заштрихованной площадью на фиг. 14, б. 1) Если, как показано на фиг. 14, б, боковые стороны заштрихованной геометрической фигуры равны v₀ и v, а основание — промежутку времени t, то каким выражением определяется площадь фигуры? (Изложите кратко ваши геометрические соображения.). 2) Если боковые стороны равны v₀ и v + at (что следует из определения ускорения), то каким выражением определяется площадь фигуры? (Изложите кратко ваши рассуждения.). 3) Запишите ответы на первые два вопроса в виде выражений для s — расстояния, пройденного телом за время t. 4) Предположим теперь, что ускорение не постоянно, а, начиная с некоторого меньшего значения, возрастает до некоторого большего значения, так что скорость по-прежнему изменяется за время t от v₀ до v, но не равномерно. А) Начертите новый график для этого случая. Б) Будут ли для него применимы выражения, полученные в качестве ответа на вопросы 1 и 2? В) Какое слабое место было в прежних рассуждениях в приложении I, основанных на алгебре, которое теперь отсутствует?

Фиг. 14. К задаче 6.

Задача 7. Доказательство с помощью математического анализа. В пределе скорость v представляет собой изменение расстояния в единицу времени ds/dt, а ускорение а — изменение скорости в единицу времени dv/dt, или d/dt(ds/dt), или d²s/dt². Покажите, что если а постоянно, то справедливо каждое из следующих утверждений: 1) интегрирование dv/dt = a приводит к выражению v = v₀ + at (где v₀ — постоянная, значение v в момент времени t = 0); 2) интегрирование соотношения v = v₀ + at приводит к соотношению s = v₀t + ¹/₂at² (Указание. Вспомните, что v = ds/dt); 3) интегрирование dv/dt = a приводит к соотношению v² = v²₀ + 2as. (Указание. Попробуйте умножить обе части этого соотношения на v.) Задача 8. Графики движения. На фиг. 15 показаны расположенные друг под другом три графика движения предмета по прямой. График I изображает зависимость пройденного расстояния от времени; график II — зависимость скорости от времени; график III — зависимость ускорения от времени. На всех трех графиках масштаб времени одинаков, а начало координат лежит на одной вертикальной прямой. Изображенные графики относятся к движению предмета с постоянным ускорением, начинающемуся при s = 0 (показано буквой А) и скорости v = 0 (показано буквой В) в момент времени t = 0. Для более сложных движений все три линии могут быть кривыми. 1) В общем случае произвольного движения график одной или более величин может быть получен из графика для некоторой другой из трех указанных величин по значениям наклона касательных. Какой (каких) именно? Объясните, почему.

Фиг. 15. К задаче 8.

2) В общем случае график одной или более величин может быть получен из графика другой из трех величин путем измерения площади под кривыми. Какой (каких) именно? Объясните, почему. 3) Мотоциклист стартует из положения покоя и движется в течение 6 сек с ускорением 4,5 м/сек²; в течение 10 сек он движется с постоянной скоростью, а затем тормозит и останавливается за 4 сек, двигаясь с постоянным замедлением. Начертите для этого движения три графика: I, II, III, 4) На фиг. 16 показан график II для движения автомобиля. Перечертите его и добавьте графики I и III.

Фиг. 16.

5) На фиг. 17 показан график III для движения тележки. Перерисуйте его и добавьте графики I и II.

Фиг. 17.

6) На фиг. 18 показан график I для движения груза длинного маятника по его траектории, близкой к прямой. Перерисуйте его и добавьте графики II и III. (Задача сложная. Над ней стоит как следует подумать.).

Фиг. 18.

ПРИЛОЖЕНИЕ II. ИЗМЕРЕНИЕ g.

Мы, не задумываясь, объявили, что значение g равно 9,8 м/сек², но это значение появилось в результате лабораторных измерений. Вы будете пользоваться им для простых вычислений, связанных с падением тел, и для вычисления сил, которое имеет важное значение, когда g рассматривают как напряженность поля силы тяжести. Это столь полезная величина, что прежде, чем пользоваться ею, стоит посмотреть, как измеряется ее значение. Грубую оценку можно было бы сделать при помощи камня, секундомера и метрового куска веревки.

Задача 9. Приближенное измерение g. Экспериментатор бросает большой камень из окна 14-этажного дома и устанавливает, что камень достигает поверхности земли за время «чуть» больше 3 сек. Считая, что окно находится на высоте примерно 46 м над землей, оцените значение g в м/сек².

Более точное измерение можно проделать с помощью электрических часов, как показано на фиг. 19; вам следовало бы посмотреть такой опыт. Для очень точных измерений потребовалось бы прибегнуть к упомянутому уже эксперименту, в котором устранено трение и берется серия падений.

Фиг. 19. Измерение g.

Задача 10.Более точное измерение g. Металлический шар свободно падает с высоты потолка на пол. У потолка шар удерживается двумя металлическими штырями так, что замыкается электрическая цепь, и ток препятствует пуску электрических часов. Внезапно шар отпускают, и часы начинают отсчитывать время. Достигнув пола, шар соединяет две легкие металлические пластины, и замыкает другую электрическую цепь, в результате чего часы останавливаются. В реальном эксперименте шар падал с высоты 7 м, считая от верхних до нижних контактов, часы в это время отсчитали 1,20 сек. А) Оцените значение g, используя приведенные данные, Б) Расскажите, какие предположения вы, сделали для этой оценки относительно типа движения и какими приборами вы пользовались, опишите ход эксперимента. (Укажите детали; старайтесь не употреблять шаблонных выражений вроде «точные приборы» или «избежать ошибок наблюдателя».).

Значение g в различных пунктах земного шара.

Значение g было весьма точно измерено в нескольких метрологических лабораториях. Сравнительные измерения дали точные значения g во многих местах по всей Земле.

В обычных расчетах при решении задач и выполнении опытов следует пользоваться приближенным значением g = 9,8 м/сек/сек.

Арифметические задачи на свободное падение тел. Задачи с решениями.

Если известно значение g, то можно производить простые расчеты для случая полета камней, стрел и т. д. В физике иногда пользуются такими расчетами при проектировании приборов или при выполнении опытов, но они не представляют собой важного раздела физики. В элементарных учебниках и на экзаменах этим расчетам придают большое значение, «поскольку они позволяют лучше понять ускоренное движение». Студенты, научившись механически решать подобные задачи, могут лишь приобрести вредное представление, будто «физика состоит из подстановки чисел в формулы». Мы хотим избежать этого нелепого представления о науке и не предлагали бы вам в этом курсе таких задач, если бы не два обстоятельства: во-первых, вы можете столкнуться с аналогичными вычислениями, которые имеют важное значение в атомной физике; во-вторых, эти расчеты покажут вам, какое место занимает математика в физике. По этим двум причинам мы рекомендуем проработать задачи 11–14. При этом, даже если вы в результате прежних занятий стали убежденным поклонником формул, лучше опустить эти задачи, пока уровень вашей подготовки не будет достаточен для критического анализа.

Задачи 11–14 снабжены решениями, хотя арифметические расчеты не приведены. Вычисления рекомендуется выполнять шаг за шагом на машинописных копиях текста задач. Эта методика — вы встретитесь с ней несколько раз на протяжении нашего курса — рассчитана на то, чтобы дать вам возможность приобрести навыки для самостоятельного решения задач, приведенных в конце приложения II. Заметьте, что, упрощая дело до такой степени (это может вам показаться даже обидным), мы имеем в виду помочь вам математикой, но не избавить от размышлений над физическим содержанием задачи. Прорабатывая предложенные задачи, забудьте о том, что вы хотите узнать какой-то метод их решения, а сосредоточьте внимание на получающихся физических результатах.

Проработайте предлагаемые ниже задачи на ускоренное движение, для чего перепечатайте на машинке или перепишите от руки текст, заполняя пропуски, оставленные для ответов. Вы научитесь решать подобные задачи, и, мы надеемся, вам будет приятно познакомиться с применением математики в физике. Вы увидите, что математика — это верный слуга, который, правда, иногда обнаруживает отсутствие сообразительности и выполняет данные ему приказания, ни с чем не считаясь.

Задача 11. Камень падает из состояния покоя с постоянным ускорением 9,8 м/сек/сек. (Дано: ускорение постоянно, сопротивлением воздуха в данном случае пренебречь.). А) Какова будет скорость камня через 3 сек после начала падения? Б) Какое расстояние пролетит камень за 3 сек? А. Арифметический метод. А) Ускорение 9,8 м/сек/сек означает, что скорость камня увеличивается на ____∙____ (единиц) за каждую секунду. За 3 сек падения приращение скорости камня составит ____ м/сек. Поскольку камень начинает падать из состояния покоя, его конечная скорость равна ____ м/сек. Б) Скорость возрастает от ____ м/сек (в начале движения) до ____ м/сек. Средняя скорость равна ¹/₂ (____ + ____) или ____ м/сек. Расстояние, пройденное с такой средней скоростью а 3 сек, равно (____)∙(____), или ____ м. Б. Алгебраический метод. А) Ускорение а = 9,8 м/сек/сек; время t = 3 сек, начальная скорость v₀ = 0. Подставляя эти значения в формулу v = v₀ + at, получаем. Конечная скорость v = ___ + ___ = ____ м/сек. Б) Подставляя приведенные выше значения в формулу s получаем s = v₀t + ¹/₂at², получаем s = ____ + ¹/₂ _____ = ____ м. Примечание. Пользуясь методами алгебры, всегда сначала записывайте «формулу», как это было сделано выше. Кроме того, выписывая значения, которые ей собираетесь подставлять в формулу, записывайте после числа соответствующие наименования. Например, «t = 3 сек», а не «t = 3». Задача 12. Мяч выпускают из рук со скоростью 3 м/сек и предоставляют ему возможность свободно падать в момент пуска часов. А) Какова будет скорость мяча через 3 сек падения? Б) Какой путь пролетит мяч за 3 сек? А. Арифметический метод. А) Ускорение 9,8 м/сек/сек означает, что скорость мяча возрастает на ____ (единиц) за каждую секунду. За 3 сек падения приращение скорости мяча составит ____ м/сек. Поскольку начальная скорость мяча равна 8 м/сек и направлена вниз, его конечная скорость будет равна ____ м/сек. Б) Скорость возрастает от____ м/сек в начале движения до конечной скорости _____ м/сек. Средняя скорость равна [(____) + (____)]/2 или ____ м/сек. Расстояние, которое мяч пролетит за 3 сек, обладая этой средней скоростью, равно ____ м. А. Алгебраический метод. А) Ускорение а = 9,8 м/сек/сек направлено вниз; начальная скорость v₀ = 3 м/сек направлена вниз; время перемещения t = 3 сек. Подставляя эти значения в формулу v = v₀ + at, получаем. Конечная скорость v = ____ + ____ = ____ м/сек. Б) Подставляя приведенные выше значения в формулу s = v₀t + ¹/₂at², получаем: Расстояние s = ____ + ¹/₂ _____ = ____ м. Задача 13. Находясь на верху башни, человек бросает вверх мяч со скоростью 3 м/сек в момент пуска часов. А) Какова будет скорость мяча по прошествии 3 сек? Б) На сколько ниже начальной точки своего движения окажется дающий мяч через 3 сек? Замечание. В этом случае мяч движется сначала вверх, причем все более и более медленно, обладая направленным вниз ускорением 9,8 м/сек/сек, что равносильно направленному вверх замедлению. Мяч достигает наивысшей точки движения (обладая тем же самым направленным вниз ускорением), после чего он падает (по-прежнему с тем же самым направленным вниз ускорением). В вопросах (а) и (б) ничего не говорится о наивысшей точке движения, и если ускорению и скорости приписать знаки + и — для направлений вниз и вверх, то алгебраический метод позволит правильно учесть переход через наивысшую точку и даст результирующее расстояния s. Поэтому, несмотря на то, что вам, может быть, показали методы, в которых сначала нужно вычислить длину пути до наивысшей точки, а затем перемещение вниз, не пользуйтесь этими методами — обратите внимание на приводимые ниже соображения.). A. Арифметический метод. А) Ускорение 9,8 м/сек/сек означает, что за каждую секунду приращение направленной вниз скорости мяча составляет ____ ____. Приращение направленной вниз скорости мяча за 3 сек составляет ____ м/сек. Но начальная скорость мяча равна 3 м/сек и направлена вверх, поэтому если учесть приращение скорости, направленной вниз, то конечная скорость мяча должна быть равна ____ м/сек и направлена вниз. Б) Чтобы вычислить результирующее расстояние, пройденное мячом при падении, необходимо знать среднюю скорость, направленную вниз. Скорость мяча сначала направлена вверх, а в конце рассматриваемого промежутка времени — вниз. Чтобы правильно найти среднюю скорость, мы не можем просто сложить два числа, выражающие значение скорости, и разделить полученный результат пополам, так нужно было бы сделать, если бы мяч был брошен вниз, как в предыдущей задаче. Б. Алгебраический метод. Ускорение а = +9,8 м/сек/сек (плюс означает «вниз»), начальная скорость v₀ = -3 м/сек (минус, поскольку скорость направлена вверх), время перемещения t = 3 сек. А) Подстановка в формулу v = v₀ + at дает. Конечная скорость v = ____ + ____ = ____ м/сек. Б) Подстановка в формулу s = v₀t + ¹/₂at² дает. Расстояние s = ____ + ¹/₂ _____ = ____ (вверх?/вниз?). Задача 14 (самая важная). На дереве на высоте 15 м над землей сидит птица. Человек, стоящий на земле как раз под нею, бросает в птицу вертикально вверх камень, сообщая ему начальную скорость 20 м/сек, направленную вверх. Через какой промежуток времени камень достигнет птицы? А. Арифметический метод. Решение, основанное на правилах арифметики и соображениях здравого смысла или каком-либо одном из этих способов, оказывается, почти безнадежно громоздким. Можно било бы определить, где находится «наивысшая точка» и когда она будет достигнута, а затем, решать задачу, отправляясь от этой точки. Алгебраический метод более удобный и более интересный. Трудность заключается в том, что неизвестна скорость камня в момент, когда он достигнет птицы. Б. Алгебраический метод. Здесь мы должны условиться о различии между направлениями вверх и вниз. Неважно, какому из них вы припишете знак +, пока вы будете придерживаться, сделанного выбора. (Испробуйте оба варианта: вы придете к одним и тем же уравнениям и получите одни и те же ответы в обоих случаях.) Представляется более удобным приписать знак + всем расстояниям, скоростям и ускорениям, направленным вверх. Мы будем решать задачу при этом условии. В этом случае (направленное вниз) ускорение следует записать в виде -9,8 м/сек/сек. Тогда v₀ = +20 м/сек; s = +15 м; а = -9,8 м/сек/сек. Мы хотим определить время t, за которое камень достигнет птицы, сидящей на высоте 15 м над землей. Подстановка в соотношение s = v₀t + ¹/₂at² дает. ____ = (____)t + ¹/₂(____)t². Это обычное квадратное уравнение. Подобно решению всякого квадратного уравнения, решение его дает два ответа. Упростите и решите его любым методом. Ответы: t = ____ сек, или t = ____ сек. Один ответ дает время полета брошенного камня до попадания в птицу. Выскажите свои соображения о значении другого ответа. Каким образом наш верный слуга — математика при столь ограниченных указаниях мог бы поступить иначе, чем дать оба ответа?

Еще одна задача, подобная задаче 14. Попробуйте решить эту задачу, воспользовавшись методами, о которых говорилось в задачах 11–14, и приводимыми ниже указаниями. Если задача покажется вам слишком трудной, оставьте ее.

Задача 15. Двойные ответы. Человек, стоя на верху башни, бросает вверх камень с начальной скоростью 9,8 м/сек, направленной вверх. Рука человека находится на высоте 16 м над поверхностью земли. А) Черев какой промежуток времени камень упадет на землю? [Указание. Необходимо пользоваться знаками + и —. Если выбирать знак + для направления вверх, то ускорение должно иметь отрицательное значение, а расстояние s от руки до поверхности земли, направленное вниз, тоже должно иметь отрицательное значение; что касается начальной скорости, то она будет со знаком +. Если, испытывая отвращение к отрицательным знакам, вы выберете для величин, направленных вниз, знак +, то получите те же уравнения и те же ответы. Испробуйте, если хотите, оба варианта, но не смешивайте их в одном и том же расчете.]. Б) Вы опять-таки получите квадратное уравнение, решение которого приводит к двум ответам. Попробуйте сформулировать смысл «другого ответа». При этом задайте себе вопрос: «Была ли когда-нибудь математическая машина информирована о том, что человек действительно бросил камень?».

Фиг. 20. К задаче 15.

Простые задачи на свободное падение (сопротивлением воздуха пренебречь).

При решении задач на ускоренное движение целесообразно привести в порядок данные, с которыми вы будете иметь дело (так поступает хороший инженер). Удобно свести эти данные в таблицу, подобную приведенной, и ставить вопросительный знак против искомых величин, а крестом отмечать величины, которые вам неизвестны и не нужны. (Показанная таблица составлена применительно к задаче 18.).

Тогда вам сразу будет видно, каким алгебраическим соотношением удобнее воспользоваться. (В этом примере следует воспользоваться соотношением, которое не содержит значения s.)

Задача 16. С вертолета, неподвижно висящего над землей, сбрасывают небольшой мешок с почтой. А) Какова будет скорость мешка спустя 2 сек? Б) Какое расстояние пролетит мешок к концу второй секунды? Задача 17. Свободное падение с движущегося объекта. С вертолета, опускающегося с постоянной скоростью 1,5 м/сек, сбрасывают небольшой мешок с почтой. А) Какова будет скорость мешка спустя 2 сек? Б) Какое расстояние пролетит мешок к концу второй секунды? В) На каком расстоянии от вертолета окажется мешок к концу второй секунды? Задача 18. С вертолета, поднимающегося вверх с постоянной скоростью 1,5 м/сек, сбрасывают небольшой мешок с почтой. А) Какова будет скорость мешка спустя 2 сек? Б) Какое расстояние пролетит мешок к концу второй секунды? В) На каком расстоянии от вертолета окажется мешок к концу второй секунды? Задача 19. Свободное падение с движущегося предмета. Какое общее свойство можно отметить, рассматривая ответы к задачам 16–18? Задача 20. (Ответ потребуется для решения последующих задач). Человек, стоящий на высоте 1,3 м над полом, оступается и падает. А) Через сколько времени он упадет? Б) Какова будет его скорость непосредственно перед ударом о пол? Задача 21. Торможение автомобиля. Автомобиль с гладкими шинами на мокром шоссе может развить ускорение ¹/₅ g и не более. (Чтобы двигаться с ускорением, автомобиль должен испытывать действие какого-то реального, приложенного извне толкающего усилия. Это усилие исходит от дороги, толкающей автомобиль благодаря трению. При шинах с гладким протектором трение может обеспечить ускорение до g/5; при попытке добиться большего ускорения колеса начнут проскальзывать, и трение станет еще меньше, что приведет к еще меньшему ускорению.). А) Какую скорость разовьет автомобиль через 4 сек при указанном максимальном ускорении? Б) Какое расстояние пройдет автомобиль за 4 сек после начала движения из состояния покоя? Задача 22. Торможение автомобиля и безопасность. Автомобиль с хорошими тормозами, но с гладкими шинами на мокром шоссе может обладать замедлением при торможении не более ¹/₅ g (см. задачу 21). Рассмотрите торможение этого автомобиля, ответив на следующие вопроси: 1) Ведя автомобиль со скоростью 36 км/час (=10 м/сек), шофер реагирует на замеченную опасность через 1 сек, принимает решение остановить автомобиль, включает тормоза и старается обеспечить максимальное замедление. А) Какое расстояние пройдет автомобиль за 1 сек перед торможением? Б) Сколько времени должен действовать тормоз, чтобы скорость автомобиля снизилась с 36 км/час до нуля? В) Какое расстояние пройдет автомобиль за период торможения? Г) Какое расстояние пройдет автомобиль а момента, когда шофер заметил опасность, до остановки? 2) Предположим, что скорость автомобиля вдвое больше, т. е. 72 км/час. Какой путь пройдет автомобиль за время, указанное в пункте (г)? 3) Автомобиль движется со скоростью 36 км/час, шофер (после секундного размышления и т. д.) нажимает на тормоз так, что шины начинают скользить, трение становится меньше и замедление составляет всего g/8. Какое расстояние пройдет автомобиль до полной остановки? (Трение скольжения, когда автомобиль движется юзом, создает меньшее максимальное усилие, чем трение без проскальзывания.). 4) Максимальное замедление автомобиля с новыми шинами на сухом бетоне составляет g/2. (Трение резины о бетон может обеспечить значительно большее замедление, но большинство тормозных механизмов непригодно для этого.) Вычислите для этого случая полную длину тормозного пути автомобиля, двигавшегося со скоростью 36 км/час. Задача 23. Значение g в движущейся лаборатории. Современные портативные приборы для измерения времени позволяют отмечать время свободного падения 1–2 м из состояния покоя с точностью, достаточной для определения величины g с ошибкой не более 1 %. Предположим, что такой прибор дает значение g = 9,8 м/сек². Что, по вашему мнению, показал бы, такой прибор, если использовать его в следующих условиях: А) В вагоне поезда, движущегося плавно с постоянной скоростью на горизонтальном участке пути? (Что произойдет, если уронить апельсин в движущемся поезде?). Б) В лифте, движущемся вниз с постоянной скоростью? (Подумайте…). Б) В лифте, свободно падающем после обрыва троса? Г) В лифте, движущемся вниз с ускорением 4,9 м/сек²? Д) В лифте, движущемся вверх с ускорением 4,9 м/сек²? Задача 24. За какое время тело, свободно падающее из состояния покоя, пролетит 120 м? Задача 25. Мяч брошен вверх со скоростью 24 м/сек. На какую высоту он поднимется? Задача 26. Геолог обнаруживает в скалистой горе глубокую расщелину. Он бросает в нее камень и через 4 сек слышит звук удара камня о дно расщелины. А) Оцените глубину расщелины, Б) Выскажите свои соображения о точности этого метода. Задача 27. Камень, брошенный вертикально вверх с начальной скоростью 12 м/сек, через 1 сек попадает в птицу. А) На какой высоте находится птица над человеком, бросившим камень? Б) Время 1,5 сек приводит к такому же ответу при определении высоты, на которой находится птица. Дайте физическое обоснование этой двойственности. Задача 28. Зачем нужна электрическая лампочка (или какое-нибудь другое сопротивление) в схеме, изображенной на фиг. 19 (см. задачу 10)? Задача 29. В опыте, о котором идет речь в задаче 10, могут встретиться следующие трудности: 1) При пуске часов отсчет времени, может начаться с опозданием на несколько десятых секунды. 2) При остановке часов прекращение отсчета времени может произойти с опозданием на несколько десятых секунды. 3) Штыри, прижимающие шар и удерживающие его у потолка, могут сообщить шару, когда его отпускают, небольшой толчок, направленный вниз. 4) Заметную роль может сыграть сопротивление воздуха. А) Укажите для каждого из факторов 1–4 (считая его единственным действующим фактором), приведет ли он к завышенному или заниженному значению g; дайте краткое обоснование вашего ответа, Б) Что произойдет, если факторы 1 и 2 действуют одновременно и примерно одинаково? В) Предложите эксперименты, с помощью которых можно было бы проверить действие каждого из мешающих факторов 1 и 2. Опишите их, снабдив где можно, эскизами.

Глава 2. Полет снарядов. Геометрическое сложение: векторы.

«Какие надежды и опасения таит в себе научный метод для человечества? Я не считаю это правильной постановкой вопроса. Что создаст этот инструмент в руках человека, всецело зависит от характера тех целей, к которым стремится современное человечество. Коль скоро эти цели существуют, научный метод дает средства для их реализации. Однако он не может предоставить сами цели. Сам по себе научный метод никуда нас не приводит; он и не появился бы без страстного стремления к познанию». А. Эйнштейн

Эксперименты.

Эту главу можно было бы начать с простых правил, определяющих полет снарядов. В современных учебниках по баллистике, науке о движении снарядов, вы найдете глубокие сведения и еще более глубокие и трудные для понимания правила. В учебниках упоминаются древние предрассудки с единственной целью посмеяться над ними и говорится, что простые правила Галилея мало пригодны для современного артиллерийского дела. Но такое начало лишило бы вас и доли того наслаждения, которое испытывали великие экспериментаторы. Поэтому, пожалуйста, начните с собственных экспериментов.

Бросьте в сторону от себя камень или монету и понаблюдайте за их движением. Попробуйте проделать этот опыт с самыми различными предметами — от тяжелого камня до комка смятой бумаги. Выпустите из рук одновременно два камня: один уроните так, чтобы он свободно падал вниз, а другой бросьте горизонтально. Проделайте какие-нибудь другие опыты, сопоставьте свои наблюдения и попытайтесь выяснить простые правила или сделать обобщения.

Понаблюдайте за движением камня или бейсбольного мяча, летящего по криволинейной траектории. Назвать эту кривую «параболой» было бы и неверно, и для нас пока бесполезно. Однако с точки зрения правильного научного подхода важно отметить, что эта кривая почти симметрична и похожа на кривую а на фиг. 21, а не на кривую Ь или с. Это приводит к выводу, что движение по нисходящей ветви кривой совпадает с движением по восходящей ветви. Возможно, движение по восходящей и нисходящей ветви продолжается одинаковое время, — это предположение поддается непосредственной проверке.

Фиг. 21. Траектории летящего снаряда.

Внимательный экспериментатор, проводя опыты с самыми различными материалами, такими, как свинец, камень, дерево, пробка, скомканная бумага, заметит, что траектория движения куска пробки или комка бумаги ближе к кривой б, нежели к кривой а.

В XVI столетии люди верили в то, что более тяжелые предметы пропорционально их весу падают быстрее. Представление о траектории движения снаряда было еще более странным. Говорили, что траектория эта состоит из трех участков (фиг. 22): А — насильственного движения (по прямой, не зависящей от силы тяжести)[27]; В — смешанного движения; С — естественного движения (при котором ядро падает на солдат противника сверху).

Производя опыты с комком смятой бумаги, вы поймете, как возникло такое представление и почему было неразумно применять его к движению плотных пушечных ядер. Ситуация осложнялась совместным действием сопротивления воздуха и силы тяжести. Галилей не учитывал сопротивление воздуха и рассуждал, что произошло бы, если бы его не было. Пушечные ядра того времени летели столь медленно, что сопротивление воздуха играло весьма небольшую роль, и артиллеристы вполне могли с помощью правила Галилея рассчитать точное попадание в цель. Как это обычно бывает, практики долго не обращают внимания на высказывания ученых, и к тому времени, когда канониры приняли теорию Галилея, она стала уже бесполезной вследствие возросшей скорости снарядов.

Тем временем Ньютон и другие ученые создали более пригодную для практических целей теорию, в которой учитывалось сопротивление воздуха. Теперь, спустя три столетия, снаряды движутся столь быстро, что сопротивление воздуха оказывает уже очень значительное влияние на их полет. На фиг. 23 показаны траектории крупного снаряда, движущегося с большой скоростью: буквой а отмечена «идеальная» траектория в отсутствие сопротивления воздуха, как ее изобразил бы Галилей, а буквой b — действительная траектория движения в воздухе при том же наклоне ствола и той же начальной скорости. В современной баллистике для решения реальных задач с большим числом условий широко используется математика и даже электронные вычислительные машины.

Фиг. 23. Траектория полета снаряда.

_{А и Ь — траектории снаряда, выпущенного с начальной скоростью 1,5 км/сек под углом 55,5° к горизонту.}

Все это вопросы техники или прикладной математики, знание которых нисколько не поможет нам в изучении развития механики. Поэтому мы ограничимся простым случаем, когда сопротивлением воздуха можно пренебречь.

Галилей пытался отделить движение летящего снаряда по вертикали вверх и вниз от его горизонтального движения. Эксперимент подтверждает правильность такого подхода и показывает, что эти два движения не зависят одно от другого. Попробуйте проверить это сами. Бросьте один камень горизонтально, а другой выпустите из рук в то же мгновение, причем так, чтобы он свободно падал по вертикали. Оба камня ударятся о пол одновременна Камень В, движущийся по кривой, чтобы достигнуть пола, должен совершить такое же перемещение по вертикали, как и камень А, падающий вертикально. Оба камня тратят на перемещение по вертикали одинаковое время. Какое взаимное положение занимают камни А и В в промежуточных точках своего падения? Находятся ли они все время на одном уровне? Чтобы проверить это, совсем не нужно прибегать к помощи наблюдателей, которые следили бы за движением обоих камней на различных уровнях. Вместо этого можно «поднять» пол, сократив тем самым продолжительность падения, и повторить опыт (фиг. 24).

Фиг. 24. Сравнение двух движений.

_{Свободно падающий камень А и камень В, летящий горизонтальнее находятся все время на одном уровне.}

Можно поступить еще проще, выбрав исходную точку ниже, ближе к полу. Если камни А и В ударятся об пол одновременно, независимо от того, с какой высоты они сброшены, то можно с уверенностью сказать, что оба камня в своем перемещении вниз все время находятся на одном уровне. Обратите внимание, как несколькими последовательными опытами можно заменить сложный комплекс одновременных наблюдений. Полагаясь на вывод, сделанный на основе такой серии опытов, мы исходим из предположения о «единстве природы».

ДЕМОНСТРАЦИОННЫЕ ОПЫТЫ. Опыт 1. Вертикальное и горизонтальное движения не зависят одно от другого. На фиг. 25 показан простой демонстрационный опыт: два металлических шарика выпускаются при помощи небольшой дружинной пушки. Пушка с пружиной сообщает металлическому шарику горизонтальную скорость; в тот же момент другой шарик освобождается и начинает свободно падать. Защелка освобождает толкатель, который под действием сжатой пружины движется в сторону шарика, свободно лежащего на опоре. Когда толкатель ударяет по шарику, сообщая ему горизонтальную скорость, левый конец толкателя выходит из канала внутри второго шарика, который начинает свободно падать. Оба шарика падают подобно камням А и В, о которых говорилось выше. Советуем вам внимательно последить за этим опытом и попросить, чтобы его повторили для разных высот.

Фиг. 25. Демонстрационный опыт.

Опыт 2. Горизонтальное движение остается неизменным. Летящий снаряд движется по вертикали с ускорением силы тяжести совершенно независимо от его горизонтального движения. Какова особенность горизонтального движения? Симметричная траектория движения камня или шара дает основание считать, что горизонтальное движение не замедляется, иначе траектория походила бы скорее на кривую b на фиг. 21. Галилей, восставая против средневековых представлений, согласно которым для поддержания любого движения необходимо непрерывно прилагать силу (будь то сила земного тяготения, «нечистая сила» или порыв ветра), высказал предположение, что горизонтальное движение остается неизменным, поскольку отсутствует тяговое усилие, подобное силе земного тяготения, которое бы ускоряло или замедляло его. В одной из последующих глав вы увидите, как Галилей пришел к этому выводу путем теоретических рассуждений. Можно непосредственно проверить это предположение ^[*^].

* * *

^[*^] _{Полезно было бы посмотреть такой опыт. Струя из водяных капелек выпускается из форсунки и освещается вспышками света, которые повторяются с такой же частотой, как импульсы форсунки. Этот эффект можно наблюдать в кино при изображении вращающегося колеса телеги, когда промежуток времени между кадрами оказывается как раз достаточным для поворота колеса на угол, образуемый двумя спицами; при этом спицы движутся «все вместе» между кадрами, и изображение на экране кажется неподвижным. Колесо как бы проскальзывает не вращаясь. Если увеличить скорость вращения колеса на 10 % (или замедлить съемку, то будет казаться, что колесо вращается, но со скоростью, разной примерно ¹/10 действительной скорости. В кино этот эффект нежелателен, однако в физике или технике такое прерывистое, или стробоскопическое, освещение часто используют, чтобы «заморозить», или замедлить, быстрое движение одинаковых предметов — спиц колеса или капелек воды. Подобное освещение можно использовать при изучении быстрых колебаний (например, звонка или струны скрипки). На фиг. 27 показана схема опыта с водяными капельками.}

_{Фиг. 27. Стробоскопическое освещение потока водяных капелек.}

_{Вода поступает из резервуара к небольшому стеклянному соплу по резиновой трубке, которая зажимается электромагнитом. Электромагнит, питаемый переменным током, сжимает трубку 120 раз в секунду (дважды за период переменного тока), в результате чего возникает струя из капелек, испускаемых с частотой 120 капелек в секунду. Струя освещается небольшим фонарем и располагается перед экраном, отбрасывая на него тень. При постоянном освещении струя кажется непрерывной. Если же между фонарем и струей расположить вращающийся непрозрачный диск с прорезью, то при освещении проходящими через прорезь вспышками света будут видны отдельные капельки. Диск с прорезью может приводиться во вращение синхронным двигателем, работающим от сети переменного тока. Тогда вспышки света будут синхронны с появлением капелек, и картина станет неподвижной. Для измерений на экран можно, кроме того, спроецировать прямоугольную сетку из проволоки.}

_{В простом демонстрационном опыте можно рассматривать движение шариков или водяных капель перед классной доской, вычертить и проанализировать криволинейную траекторию движения. Вы можете проделать опыт и самостоятельно, скатывая шарик по наклонной плоскости, когда он совершает движение под действием некоторой доли силы тяжести. На фиг. 28 показана схема такого опыта.}

_{Фиг. 28. Демонстрация и анализ движения тела, находящегося под действием некоторой доли силы тяжести.}

_{А — шар катится по наклонной плоскости; б — траектория движения шара, записанная на бумаге.}

_{Шарик движется поперек и одновременно скатывается вниз по наклонной плоскости, оставляя след при движении (для этого использована копировальная бумага). Чтобы произвести анализ движения, изобразите на листе бумаги, на котором вычерчена траектория движения, прямые с координатами.}

_{X2 = 2x1, x3 = 3x1.}

_{Измерьте y1, y2 и т. д. и проверьте, выполняются ли соотношения.}

_{Y2 = 2²y1, y2 = 3²y1 и т. д.}

* * *

На фиг. 26 показана фотография шарика, брошенного в воздух, полученная при помощи серии коротких световых вспышек, следующих через равные промежутки времени.

Фиг. 26. Траектория летящего тела, сфотографированного при помощи световых вспышек.

Произведите сами измерения по траектории на фотографии, проведя линии А₁В₁, A₂B₂, A₃B₃. Вы увидите, что линии разделены равными промежутками: A₁A₂ = A₂A₃ =… Шарик поднимается по вертикали все медленнее и медленнее, а затем падает все быстрее и быстрее; в перемещении же по горизонтали он движется, не ускоряясь и не замедляясь. Горизонтальное движение летящего шарика остается неизменным.

Галилей знал об этом свойстве движущихся предметов и дал эти представления Ньютону. В течение многих столетий до него большинство ученых настаивало на том, что для поддержания постоянной скорости движения необходимо действие силы.

Это представление древних и сегодня находит отклик, если мы полагаемся на здравый смысл. Чтобы ящик двигался по полу, вам приходится его толкать; автомобиль, катящийся по горизонтальному участку пути, потребляет бензин, и двигатель каким-то образом создает постоянное усилие. Если вы оставите движущийся предмет в покое, говорили древние, то он остановится. Но для Галилея и Ньютона шероховатый пол и ветер не оставляют движущееся тело в покое: они создают силы, которые действуют на тело и препятствуют его движению (мы называем их силами трения или сопротивления воздуха). Массивное пушечное ядро, движущееся с небольшой скоростью, испытывает лишь незначительное сопротивление воздуха; оно почти предоставлено самому себе в отношении движения по горизонтали и сохраняет это движение.

Отсюда возникает новое представление о движении, согласно которому движению тела присуще нечто, что поддерживает его, пока тело не встречает противодействия. Это нечто было названо мыслителями XIV столетия в Париже и Оксфорде «импульсом». Их труды дошли до Леонардо да Винчи примерно в 1500 г., а до Галилея около 1600 г. и оказали на них влияние. Если бы существовало книгопечатание, то современные взгляды на движение, возможно, распространились бы еще за три столетия до Галилея.

Импульс — удобное название этого качества движущегося тела, имеющее в современном словаре оттенок значения «движущий вперед». Впоследствии мы изменим это название на термин «количество движения», которому мы придадим более точный смысл[28]. Обратите внимание, что ни одно из этих слов ничего не объясняет: это в лучшем случае этикетки, наводящие на мысль, напоминающие о том, что движущееся тело несет свое движение с собой и не нуждается для его поддержания в усилии. Слово «импульс» латинского происхождения, оно обозначает «движение».

Наблюдая за движением пушечного ядра, Галилей говорил, что пушка сообщает ядру импульс, который ядро сохраняет. Горизонтальная часть этого импульса остается неизменной. Вертикальная часть, или, как мы говорим, вертикальная составляющая, изменяется под действием силы тяжести, как и при движении любого другого падающего тела. Если к ящику нужно прилагать постоянное усилие, чтобы он продолжал двигаться по полу, то это значит, что пол создает силы, препятствующие движению, Галилей и Ньютон сказали бы, что нашего постоянного усилия, направленного вперед, как раз достаточно для противодействия этой тормозящей силе. И в этом случае, когда ящик движется с постоянной скоростью, действующая на него суммарная сила равна нулю. На фиг. 31 показана схема опыта, предназначенного для доказательства этого утверждения, однако в этом доказательстве скрыт один существенный дефект.

Фиг. 29. Средневековые представления о движении.

_{А — движение пушечного ядра поддерживается напором движущегося воздуха; б — чтобы поддерживать движение тела неизменным, необходимо толкающее усилие.}

Фиг. 30. Представления Галилея и Ньютона о движении.

_{А — при равномерном движении результирующая сила равна нулю; б — тележка. Движущаяся по горизонтальному участку пути, обладает «импульсом»; в — сила, параллельная наклонной плоскости, составляет некоторую долю силы тяжести; г — действующая на тело результирующая сила увеличивает импульс тела.}

Дело в том, что трудно или даже невозможно произвести честную экспериментальную проверку утверждения, что сила, направленная вперед, и сила трения о пол в точности равны и противоположны друг другу. На данном этапе вы должны принять это как изложение нашей точки зрения.

Мы впоследствии вернемся к этому представлению. Пока запомните, что, согласно прямым наблюдениям, для всех летящих тел, когда сопротивлением воздуха можно пренебречь:

1) движение не зависит от размеров или массы предмета;

2) вертикальное и горизонтальное движения независимы;

3) вертикальное движение происходит с постоянным ускорением, направленным вниз, как и ускорение любого свободно падающего тела;

4) горизонтальное движение остается неизменным.

Фиг. 31. Демонстрация равномерного движения тела.

_{Один наблюдатель тянет ящик по шероховатому «полу», измеряя силу тяги пружинными весами. «Пол» опирается на ролики без трения. Второй наблюдатель удерживает «пол» при помощи пружинных весов.}

Задача 1. Полет снаряда. Начертите график, изображающий движение бомбы, сброшенной в самолета, применив приведенные выше простые рассуждения. Самолет А (фиг. 32), летящий горизонтально на высоте 60 м над землей со скоростью 30 м/сек, сбрасывает бомбу В.

Фиг. 32. К задаче 1.

А) Начертите график, изображающий положения А и В в примерном масштабе спустя 1, 2, 3, 4, 5 сек после того, как бомба В отделилась от самолета. Обозначьте эти положения через A₁ и B₁, A₂ и B₂ и т. д. Считайте, что сопротивлением воздуха можно пренебречь. (Эксперименты показывают, что при таких скоростях сопротивление воздуха лишь незначительно влияет на движение бомбы.). Б) Представьте, что самолет сбрасывает вдвое более тяжелую бомбу. Какова будет ее траектория по сравнению с первой бомбой, если сопротивлением опять-таки можно пренебречь? В) Представьте, что самолет сбрасывает деревянную бомбу W, на движении которой заметно сказывается сопротивление воздуха. Начертите вероятную траекторию бомбы W, сделав необходимые разумные предположения; отметьте несколько положений W и A. Задача 2. Представьте себе, что самолет в задаче 1 летит не горизонтально, а по наклонной прямой (фиг. 33), неизменно набирая высоту с постоянной скоростью.

Фиг. 33. К задаче 2.

А) Каково будет в этом случае движение бомбы в самом начале, когда она отделяется от самолета? Б) Забыв на некоторое время о самолете, опишите словами и начертите траекторию любого летящего массивного снаряда, движение которого начинается таким образом. (Если вы не уверены в своих предположениях, проведите необходимый опыт.). В) Начертите график, изобразив несколько положений бомбы В. Покажите соответствующие положения самолета А. (Указание. Поскольку самолет летит с постоянной скоростью, он обладает постоянной горизонтальной составляющей скорости. Бомба…). Задача 3. Если вам удалось решить задачу 2, то вы должны были сделать дополнительное предположение относительно вертикальной составляющей полета снаряда, которое не требовалось в задаче 1. Что это за предположение?

Вы можете убедиться в том, как «правила», выведенные из эксперимента, могут быть использованы в практических целях.

В средние века эти правила Галилея могли быть полезны в артиллерийском деле. В наше время они служат отправной точкой для современной баллистики, в которой детально учитываются такие эффекты, как сопротивление воздуха, движение Земли и даже переменная величина силы земного тяготения.

Полет тел и относительное движение.

Галилей проделал воображаемые опыты на борту корабля, чтобы показать, что движение можно разложить на составляющие и что равномерное движение «лаборатории» можно не принимать во внимание. Предлагаемая ниже задача объясняет некоторые свойства относительного движения.

Задача 4 (трудная, но важная). Начало принципа относительности Галилея. Пассажир, находящийся в вагоне поезда, роняет апельсин. Апельсин падает ему на ноги. В рассуждениях, которые следуют ниже, сопротивлением воздуха можно пренебречь. 1) Представьте себе, что вагон неподвижен. Какова в атом случае траектория движения апельсина? 2) Представьте себе, что вагон движется вперед с постоянной скоростью, скажем 20 км/час. В этом случае, до того как апельсин выпал из рук, он, двигался вместе с пассажиром и вагоном с постоянной скоростью 20 км/час, направленной вперед. Таким образом, когда апельсин был выпущен из рук, он начал движение вперед со скоростью 20 км/час и стал падать. А) Что произойдет с движением апельсина вниз с течением времени? Б) Что произойдет с движением апельсина вперед с течением времени? В) Представьте себе, что неподвижный наблюдатель, стоящий у полотна железной дороги, смотрит в окно. Начертите траекторию апельсина, какой ее видит этот наблюдатель. Отметьте три или четыре положения падающего апельсина О₁, О₂…; отметьте соответствующие положения ног пассажира, F₁, F₂… Г) Начертите траекторию, наблюдаемую пассажиром в вагоне, отметив несколько этапов. Д) Представьте себе, что шторы в окне опущены и пассажир не может видеть того, что за окном. Считайте, что поезд движется плавно, без толчков. Может ли пассажир на основании опытов с апельсином внутри вагона решить, что вагон движется? Если да, то какие наблюдения позволили бы ему сделать этот вывод? Если нет, то насколько реально движение вагона? Есть ли какая-нибудь разница для пассажира (поскольку это касается экспериментов с бросанием апельсина), движется ли вагон вперед или же вся местность, лежащая за пределами вагона, движется назад? (С подобных вопросов начинается рассмотрение принципа относительности — сначала относительности медленного равномерного движения, о которой знал Галилей и которая является содержанием этой задачи, а потом относительности, которую рассматривал Эйнштейн. Следуя Эйнштейну, современные физики считают, что если эксперимент не в состоянии дать ответа на какой-то вопрос, то сам вопрос поставлен неправильно и представляет собой бессмысленную попытку доискиваться знания там, где это невозможно.).

На самом деле летящее тело не совершает отдельно горизонтального и вертикального движения. Когда тело движется по криволинейной траектории, направление его движения в любой момент совпадает с направлением касательной. Поднимаясь от А к В и С (фиг. 34), тело движется все медленнее и медленнее, а затем, падая от С до D и Е, движется все быстрее и быстрее; скорость тела при этом изменяется, поскольку изменяется под действием «земного тяготения» вертикальная составляющая.

Фиг. 34. Движение летящего тела.

Задача 5. Как видно из фиг. 26 (стр. 83), шарик за время каждой короткой вспышки оставляет небольшую метку. А) Какую информацию можно извлечь, анализируя длины меток? Б) Какую информацию можно извлечь, анализируя направление меток? В) Как можно по самим меткам (а не по расстоянию между ними) определить, происходит ли горизонтальное движение с постоянной скоростью? Г) Как можно по самим меткам сделать вывод относительно вертикального ускорения? Д) Верхняя метка выглядит почти как точка. Какой вид она должна иметь — точки или черточки? Почему? Е) Какое видоизменение опыта вы бы предложили, чтобы доказать ваш ответ на вопрос (д)? Ж) При фотографировании шарик не был просто брошен один раз и сфотографирован; пришлось сделать много фотографий и выбрать из них одну. Как по-вашему, по какой причине это пришлось сделать (возможную недостаточную квалификацию фотографа во внимание не принимать)?

Разложение движения по действительной траектории на горизонтальное и вертикальное (т. е. на компоненты) представляет собой искусственный прием, который принимается без доказательств. Каким правилам подчиняется разложение на компоненты, а также обратный процесс сложения компонент? Процесс сложения отдельных движений в одно движение, которое мы называем результирующим, имеет важное значение в навигации, где приходится складывать движения корабля и океанских течений или движения самолета и ветра. В следующем разделе мы займемся изучением такого сложения движений.

Геометрическое сложение.

Наблюдая за полетом камня в воздухе по криволинейной траектории, никто не стал бы подразделять его на вертикальное и неизменное горизонтальное движения, а мы, как ученые, намерены проделать это разделение или анализ и обнаружить, что оба эти движения различного типа и не зависят одно от другого. Тут сразу же возникает ряд вопросов:

А) Каким образом разлагается на две составляющие, или компоненты, одно движение по наклонной прямой?

Б) Каким образом два отдельных движения складываются в одно движение?

Мы можем угадать ответ на второй вопрос и использовать его, чтобы ответить на первый. Если попытаться сложить два или несколько движений, то нам придется следить за передвижением в различных направлениях. Вместо этого пусть движения совершаются в течение некоторого промежутка времени, скажем одного часа, а затем рассмотрим расстояния, пройденные за этот промежуток времени. Тогда задача сложения движений сведется к простой задаче сложения пройденных расстояний или перемещений[29].

Совпадают ли здесь правила сложения с правилом сложения в арифметике, когда, складывая 2 и 3, мы получаем 5?

Эксперимент вскоре убеждает нас в том, что это правило действует лишь в том случае, если отдельные складываемые перемещения происходят по прямой линии в одном и том же направлении. Тогда перемещение на 4 м в направлении на север и 3 м в направлении на север дают суммарное перемещение в направлении на север, равное 7 м; следовательно, скорость 4 м/сек и скорость 3 м/сек, обе в северном направлении, дают суммарную скорость 7 м/сек в северном направлении; скорость 4 км/час плюс 3 км/час, обе в одном и том же направлении, дают суммарную скорость 7 км/час (фиг. 35).

Фиг. 35. Сложение движений, совершаемых в одном и том же направлении.

_{А — лодка плывет со скоростью 3 км/час; человек идет со скоростью 4 км/час; б — скорость по отношению к берегу 7 км/час.}

Если же направления движения оказываются различными, то простая арифметика бессильна. Если к перемещению на 3 м в северном направлении прибавить перемещение на 4 м в восточном направлении, то мы не получим перемещения на 7 м. Точно так же скорость 4 тем/час в направлении на восток плюс скорость 3 км/час в направлении на север не даст в сумме скорости 7 км/час в каком-либо направлении. Чтобы действовать в соответствии с наблюдаемыми в жизни фактами, мы должны пользоваться другим типом сложения, которое мы называем геометрическим сложением.

Здравый смысл (в данном случае простые сведения, приобретенные при ходьбе пешком, вождении автомашин, плавании на лодке и т, д.) подсказывает, как следует производить геометрическое сложение. Предположим, вы хотите сложить перемещения на 4 м к востоку и на 3 м к северу, чтобы найти одно перемещение, которое привело бы вас из исходной точки в пункт назначения. На первый взгляд это кажется несерьезным, но попробуйте проделать это сами. Станьте лицом к северу, поставив ноги вместе. Затем попытайтесь проделать оба эти перемещения, т. е. 4 шага вправо и 3 шага вперед одновременно. Можно попытаться проделать это, совершая каждое перемещение одной ногой — правой в сторону, а левой одновременно вперед. Однако в результате можно оказаться в довольно неудобном положении (фиг. 36). Лучше проделать сперва одно перемещение, а затем другое, иначе говоря, продвинуться на 4 шага вправо, а затем сделать 3 шага вперед (фиг. 37).

Фиг. 36. Попытка сложить два движения, совершаемых в разных направлениях.

Фиг. 37. Сложение движений.

Можно проделать эти перемещения в другом порядке и прийти в тот же пункт назначения. Если бы вы смогли как-то проделать оба перемещения одновременно, то пришли бы в ту же конечную точку. В самом деле, это можно проделать, если приспособить ковер, который передвигался бы по полу при помощи электромотора.

Тогда, став на ковер (на фиг. 38 показан игрушечный автомобиль на коврике), можно было бы включить мотор, чтобы он протащил ковер на 4 шага вправо, а самому в это время сделать 3 шага вперед. По отношению к ковру вы сделаете только 3 шага вперед. С высоты птичьего полета покажется, что вы проделываете оба перемещения одновременно и приходите в тот же пункт назначения, как если бы вы сперва проделали одно перемещение, а потом другое.

Фиг. 38. Сложение движений.

_{Игрушечный автомобиль движется по ковру, а ковер в это время тянет по полу электродвигатель. Движение автомобиля по отношению к полу совершается по диагонали.}

Какое единственное перемещение могло бы заменить эти два, проделанные одновременно или по отдельности, и привести вас в тот же пункт назначения? Простое перемещение по прямой линии из исходной точки в конечную. Это перемещение называют суммой обоих перемещений. Если начертить перемещения в масштабе на бумаге, как на фиг. 39, то однократным перемещением, которое заменило бы оба перемещения (если бы они были сделаны по отдельности), будет перемещение R.

Фиг. 39. Сложение перемещений, происходящих под прямым углом.

Если перемещения совершаются не под прямым углом, то применимо такое же изображение в масштабе, как показано на фиг. 40.

Фиг. 40. Сложение перемещений.

Если перемещения совершаются одновременно (так бывает, когда полет самолета происходит при наличии ветра) мы можем по-прежнему считать, что сначала происходит одно перемещение, а потом другое, и прийти к результирующему перемещению R (фиг. 41).

Фиг. 41. Сложение перемещений.

Мы находим результирующее перемещение, беря сначала одно перемещение, а затем другое, как показано на фиг. 42, а или б. Объединяя обе эти фигуры (фиг. 42, в), мы видим, что результирующее перемещение дается диагональю параллелограмма, сторонами которого служат первоначальные перемещения.

Фиг. 42. Сложение перемещений.

Это правило для сложения перемещений несомненно верно; в этом нас убеждает здравый смысл, основанный на опыте, приобретенном начиная с раннего детства.

Это правило можно обратить и разложить перемещение R на компоненты А и В. Эти компоненты — одна из возможных пар перемещений, которые вместе дают R. Существует бесконечное множество таких пар, каждая из которых дает в сумме одно и точке перемещение R.

Фиг. 43. Примеры сложения перемещений по правилу параллелограмма.

Задача 6. А) На фиг. 44, а изображено перемещение R, разложенное на две компоненты А₁ и В₁; на фиг. 44, б показано то же самое перемещение R, разложенное на другую пару компонент А₂ и В₂. Скопируйте эти рисунки и добавьте к ним еще несколько, на каждом из которых было бы изображено то же самое перемещение R, разложенное на другие компоненты: А₃, В₃, А₄, В₄ и т. д.

Фиг. 44. Вектор R можно разложить на компоненты A₁ и B₁, A₂ и В₂ или на другие пары компонент. Компоненты вектора R не обязательно должны составлять между собой угол 90°.

Б) Покажите, что компоненте А можно придать любое направление и любую величину и при этом найти такую компоненту В, которая в сумме с А даст R. (Это равносильно вычитанию векторов R-А, которое находит применение в физике и встретится нам в дальнейшем.).

Скорость.

Направление перемещения имеет столь же важное значение, как и величина. В физике скорость связывают с определенным направлением. Скорость обладает обоими качествами: величиной и направлением[30]. Подчиняются ли скорости правилу геометрического сложения? Или, как сказал бы ученый, являются ли скорости «векторами»?

Векторы (определение).

Векторы — это величины, складываемые геометрическим способом. Они называются «векторами»[31] потому, что их можно охарактеризовать, проведя отрезок прямой, показывающий как величину вектора (в некотором масштабе), так и его направление.

Правило сложения двух векторов.

Геометрическое сложение описывается следующим правилом. (Согласно определению векторов, оно автоматически применимо к ним.).

Чтобы сложить два вектора, выбирают подходящий масштаб и вычерчивают их в этом масштабе из одной точки, а затем строят на складываемых векторах параллелограмм. Тогда сумма векторов будет изображаться диагональю параллелограмма, соединяющей исходную точку с противолежащей вершиной.

При таком способе сложения сумма нескольких векторов определяется как единственный вектор, который может заменить первоначальные векторы, или производит такой же физический эффект.

Подобно тому как векторы А и В дают при сложении сумму R₂ (фиг. 45), можно сложить векторы А и В и С, прибавив С к R₂, в результате чего получим вектор R₃. Прибавляя далее вектор D, получаем R₄ и т. д. Или, проще говоря, любое количество векторов можно складывать, проводя следующий прибавляемый вектор из конца предыдущего, как показано на фиг. 46 (этот рисунок представляет собой лишь упрощение фиг. 45, б), и их сумма будет изображаться вектором, соединяющим исходную точку с конечной.

Фиг. 45. Сложение векторов путем построения параллелограмма.

_{А — этапы построения; б — результат построения.}

Фиг. 46. Сложение векторов путем построения многоугольника.

Какие величины относятся к векторам? Иначе говоря, какие величины складываются геометрически по правилу параллелограмма? Векторами являются перемещения, или, если называть их более строго, «направленные расстояния» или «смещения». Раз перемещения — векторы, то достаточно разделить их на промежуток времени, за который происходит перемещение, чтобы увидеть, что скорости — тоже векторы. Продолжая этот подход, мы видим, что ускорения — тоже векторы[32]. Нам встретятся и другие векторы, другие величины, которые нужно измерять с помощью приборов и которые подчиняются правилу геометрического сложения?

Здесь возникает важный вопрос: являются ли силы векторами, т. е. подчиняются ли они правилам геометрического сложения?

На этот вопрос нельзя ответить, просто подумав[33]. Ответ не очевиден и требует предварительного изучения (см. гл. 3).

Скаляры.

Физические величины, которые имеют только величину и которым нельзя приписать никакого направления, называются скалярами; хорошими примерами скалярных величин служат объем и температура. Существуют и такие вещи, которые не являются ни векторами, ни скалярами, скажем доброта, а также некоторые величины, этакие «сверхвекторы», называемые тензорами. Примером тензоров могут служить напряжения в деформированном твердом теле: давление, перпендикулярное к любой площадке образца, и срезающие усилия, действующие вдоль нее. Более сложные примеры встречаются в математической теории относительности. Например, мы будем рассматривать количество движения mv как вектор с тремя компонентами: mv_x, mv_y, mv_z, а кинетическую энергию — как скаляр. Эйнштейн, придерживаясь обобщенного представления о пространстве-времени, предпочитал объединять количество движения и кинетическую энергию в «четырехвектор», т. е. с четырьмя компонентами: три для количества движения и одна для кинетической энергии.

Сложение нескольких векторов.

Два вектора складываются по правилу параллелограмма.

Вверху фиг. 47 показано сложение A + B = R (знаки + и =, напечатанные жирным шрифтом, обозначают геометрическое сложение). Исходя из этого определения, мы можем прийти к более примитивным способам сложения «одного перемещения, а потом другого», как показано на фиг. 47.

Фиг. 47. Сложение векторов по правилу многоугольника.

Это простейший способ сложения нескольких векторов. Если нам нужно сложить векторы А, В, С, D, то можно было бы складывать их, применяя последовательное построение параллелограмма: получить сумму A + B, прибавить ее к С, а затем прибавить новую сумму к D. Однако такое построение утомительно, и если выполнить все его этапы на одном чертеже, получится изрядная путаница (фиг. 49, а). Вместо этого сложим А и В по правилам многоугольника, проведя В из конца А, затем прибавим С к их сумме, проведя С из конца этой суммы, затем прибавим D. Можно опустить промежуточные суммы и найти общую сумму R, соединив начало первого вектора с концом последнего (фиг. 49, б).

Фиг. 48. Никогда не складывайте векторы «голова к голове».

_{Получается совершенно неверный ответ, отнюдь не их сумма.}

Фиг. 49. Сложение нескольких векторов.

_{А — методом последовательного построения параллелограммов; б — методом построения многоугольника.}

Проведение параллельных прямых.

Чтобы переместить вектор с одного места на листе бумаги в другое, нужно начертить на новом месте отрезок прямой, имеющий ту же длину и то же направление, что и прежний отрезок, т. е. новый отрезок должен быть параллелен первому. Существуют геометрические методы и приспособления, позволяющие провести прямую, параллельную другой прямой. Мы покажем вам хотя бы один способ построения параллельных прямых. Для этого не требуется сложного построения углов.

На фиг. 50 показан простой способ проведения параллельных прямых при помощи линейки или обложки книги (или любого прямоугольника или треугольника). Чтобы провести через точку А прямую P'Q' параллельную прямой РQ, расположите один край книги вдоль прямой PQ. Приложите к другому краю книги линейку. Прижав линейку к бумаге, перемещайте вдоль нее книгу до тех пор, пока та сторона книги, которую вы совместили с прямой PQ, не пройдет через точку А. Теперь проведите по этой стороне требуемую прямую P'Q' через точку А.

Фиг. 50. Простой способ проведения параллельных прямых.

Задача 7. Сложение скоростей. Корабль, попавший в туман, держит курс на север и идет, как считает штурман, со скоростью 4 м/сек; течение слабое. На самом же деле корабль сносит к востоку течением, скорость которого равна также 4 м/сек. Предположим, что туман, рассеялся и штурман уже может видеть близлежащие острова. В каком направлении, по его наблюдениям, фактически движется корабль? С какой скоростью? Задача 8. Вычисление векторной суммы. Корабль отправился на, север и движется в тумане со скоростью 4 м/сек, как в задаче 7. Фактически корабль сносит к востоку течением, скорость которого равна 3 м/сек. Чему равна скорость корабля по отношению к суше? Задача 9. Штурманская задача. Штурман пытается провести судно в тумане через узкий проход между рифами. А) Он знает, что проход лежит к северо-востоку и что океанское течение сносит судно к востоку со скоростью 5 м/сек. Винт сообщает судну скорость 5 м/сек в направлении вперед. В каком направлении штурман должен вести судно, пользуясь своим компасом? (Указание. Проведите известный вектор скорости течения. Из начала этого вектора проведите прямую, совпадающую с направлением сумма, а из конца его проведите надлежащим образом вектор скорости, развиваемой судовым двигателем. Достройте параллелограмм.). Б) Представьте себе, что проход между рифами идет в северном направлении, скорость течения равна 5 м/сек, направлено оно на восток, а скорость, сообщаемая судну винтом, равна 9 м/сек. Постройте график и покажите направление, в котором штурман должен, вести судно по компасу. В) Представьте себе, что проход лежит к северу, а скорость течения равна 5 м/сек, направлено оно на восток. Докажите, что судно можно провести через проход только в том случае, если судовой двигатель позволяет развить скорость больше 5 м/сек.

Влияет ли порядок, в котором складываются векторы, на сумму?

Складывая векторы один за другим по правилу многоугольника, можно было бы располагать их в другом порядке, скажем A, D, С, В…, а не А, В, С, D…, в результате чего получим другой многоугольник. Получим ли мы ту же векторную сумму?

Приводимая ниже задача дает ответ на этот вопрос.

Задача 10. На фиг. 51 показано несколько векторов А, В, С, D, E, которые все проведены, из одной точки О. Сложите эти векторы по правилу многоугольника, т. е. проводя каждый последующий вектор из конца предыдущего, следуя данным ниже указаниям. Приведенный здесь рисунок слишком мал для точного выполнения чертежа и измерений, поэтому прежде всего воспроизведите его в большем масштабе на листе миллиметровки так, чтобы каждой клетке соответствовал квадрат со стороной 2 см. Затем к вектору А, который уже проведен, прибавьте В, затем С, затем D, затем Е, проводя каждый из прибавляемых векторов из конца предыдущего. Для этого вам придется перенести вектора В, С, D, Е при помощи какого-нибудь способа проведения параллельных прямых. (Воспользуйтесь либо данными, взятыми из разграфленной сетки фиг. 51, либо способом, показанным на фиг. 50.).

Фиг. 51. К задаче 10.

Проведите отрезок, выражающий сумму. Измерьте и запишите его величину. Чтобы определить направление суммы, нужно либо измерить какой-то угол, либо найти наклон отрезка, выражающего сумму. Испробуйте оба способа следующим образом: А) Измерьте и запишите угол между суммой и самым первым вектором А. Б) Проведите две взаимно перпендикулярные оси ОХ и ОУ, направив ось ОХ вдоль вектора А. Затем опустите перпендикуляр h из конца векторной суммы на ось ОХ (точно проводить этот перпендикуляр не нужно, можно просто измерить его длину). Измерьте высоту h и длину основания Ь, отсекаемого перпендикуляром на оси ОХ. После этого вычислите отношение (высота h)/(основание b), которое называется наклоном отрезка R. Это позволит нам задать В, как вектор, величина которого равна…? а направление имеет наклон…? Задача 11. Сумма однозначна. Получится ли иная векторная сумма, если складывать векторы в другой порядке? Проделайте снова задачу 10 на листе миллиметровки; начните, как и раньше, с вектора А, но прибавляйте к нему остальные векторы в другой последовательности: В, Е, D, С. Определите величину и направление суммы в этом случае. Задача 12. Некоторые соображения по поводу сложения векторов. Представим себе векторы А, В, С, D, E в задаче 10 как перемещений, которые корабль должен совершить одно за другим. Представим себе оси ОХ, OY как направления восток и север, определяемые по компасу. Тогда одно перемещение, скажем В, переносит нас на некоторое расстояние к северу и на некоторое расстояние к востоку. Мы можем сказать, что перемещение В изменяет наш курс на столько-то к северу и на столько-то к востоку. Фактически, же мы представляем себе перемещение В расчлененным, на компоненты, северную и восточную. Это называется «разложением вектора В на северную и восточную компоненты.

Фиг. 52.К задаче 12.

_{Разложение вектора на пару взаимно перпендикулярных «компонент» XB и YB, заменяющих этот вектор.}

Мы можем таким же образом разложить все векторы. Некоторые из восточных или северных компонент могут оказаться отрицательными. Сумму R тоже можно представить себе разложенной на восточную и северную компоненты. Когда мы складываем векторы, А, В…, то каждый из них вносит свою долю в изменение курса к востоку и к северу.

Фиг. 53. К задаче 12.

_{Разложение векторов F, G, H, I, J на компоненты (составляющие) вдоль направлений X (восточное) и Y (северное).}

А) Как, по-вашему, связана восточная компонента суммы с восточными компонентами векторов А, В,? Б) А как связана северная компонента суммы? В) Как вы думаете, изменятся ли ответы на вопросы, (а) и (б), если изменить порядок сложения отдельных векторов? Задача 13. Еще один способ сложения векторов. Предыдущая задача указывает еще на один способ сложения векторов, очень удобный при большом числе складываемых векторов, особенно если заданы углы, и мы умеем пользоваться тригонометрией. Мы едва ли будем пользоваться тригонометрией в нашем курсе, и элементы ее приводятся лишь, чтобы, показать, что существует стройный метод. А) предположим, что известны, восточная компонента Х_R суммы R и северная компонента Y_R. Ha фиг.54 показаны R, Х_R и Y_R. Каким образом можно вычислить величину R, зная Х_R и Y_R? Запищите, уравнение.

Фиг. 54. К задаче 13.

Б) Предположим, что известны восточная и северная компоненты каждого из векторов А, В…. (Предположим, что вектор А разлагается на компоненты Х_А, Y_А и точно так же разлагаются остальные векторы.) Как бы вы вычислили восточную и северную компоненту R? Напишите уравнения для Х_R и Y_R. (Примечание. Математики часто пользуются знаком Σ, заглавной греческой буквой «сигма», для обозначения «суммы всех величин). Например, если у членов банды А, В, С и др. имеются наличными М_А долларов, M_В долларов и т. д., то общее количество наличных денег у банды равно М_А долларов + M_В + М_С +… и это записывается в виде ΣМ. Воспользуйтесь знаком Σ при решении этой задачи.). В) Запишите указания для вычисления величины суммы R нескольких векторов, если заданы восточная и северная компоненты всех векторов. Г) Дайте такие указания применительно к векторам задачи 10. Перерисуйте векторы задачи 10 на новом листе миллиметровки. Проведите необходимые перпендикуляры и измерьте восточную и северную компоненты (припишите знаки минус всем компонентам, направленным на запад или юг). Вычислите величину суммы векторов. Вычислите наклон этой суммы, используя вектор А как горизонтальную базовую линию. Задача 14 (для тех, кто знаком с тригонометрией). В задаче 10 векторы А, В, С, D, Е образуют следующие углы с вектором А, который, как принято, направлен на восток: А: 0°; В: 76°,0; С: 123°,7; D: 225°,0; Е: 270°,0. Длины векторов, если чертеж сделан на миллиметровке с сантиметровыми клетками, равны приблизительно; А: 8,00; В: 4,12; С: 3,61; D: 1,41; Е: 2,00 см. Воспользуйтесь правилами тригонометрии и найдите северную и восточную компонента каждого вектора, следуя данным ниже указаниям. А) Какая из следующих величин представляет собой восточную компоненту вектора В? Б) Вычислите значение восточной компоненты вектора В, пользуясь таблицами тригонометрических функций (можно взять четырехзначные таблицы, но лучше трехзначные; не тратьте время на вычисления по более точным таблицам). Вычислите также северную компоненту вектора В. Назовите обе эти компоненты X_В и Y_В. В) Проделайте то же самое для каждого вектора. Вычислите величину и наклон суммы векторов. Обратите внимание, что этот метод не требует вычерчивания в масштабе. Разумеется, им нельзя пользоваться, отрешившись от реальной ситуации и совсем не прибегая к чертежам. В таблицах тригонометрических функций как бы скрыты точные геометрические построения. Подобно числу π, синуса и косинусы, можно вычислить арифметически с помощью бесконечных рядов, но эти ряды, получены на основе геометрических допущений, проверенных сопоставлением с окружающим миром.

Фиг. 55. К задаче 14.

Задача 15. Воспользовавшись своими знаниями о векторах, покажите, как происходят горизонтальное и вертикальное движения летящего снаряда. На фиг. 56 показана траектория камня, брошенного в воздух. Скопируйте ее приблизительно в более крупном масштабе. Выделите ряд точек на траектории, скажем А, В, С, D, Е, и для каждой точки изобразите на чертеже горизонтальную скорость, вертикальную скорость и действительную (суммарную) скорость движения по примеру, данному для точки D.

Фиг. 56. К задаче 15.

_{Скорость движения в точке D направлена по касательной к кривой в этой точке.}

Анализ построения для точки D. Проведите в точке D касательную DT к траектории. Тогда действительная скорость направлена по касательной DT, Проведите из точки D отрезок горизонтальной прямой Н, который будет характеризовать горизонтальное движение. (Поскольку скорость движения камня неизвестна, считайте, что его горизонтальная скорость изображается отрезком Н, длина которого на фиг. 56 равна 1,1 см.). Мы рассматриваем действительное движение вдоль DT как составленное из горизонтальной и вертикальной компонент, поэтому мы строим параллелограмм, представляющий собой прямоугольник, у которого Н — одна из сторон, а диагональ направлена по DT. Тогда вертикальная сторона V изображает вертикальную скорость в точке D, а диагональ R — действительную скорость движения по криволинейной траектории. Проделайте подобное построение в каждой из точек А, В, С, D, Е… на вашем рисунке (точные построения делать не нужно) и покажите, какие происходят изменения в движении. При этом не забывайте о важном свойстве горизонтального движения летящего снаряда.

Движение тел и параболы.

Форму траектории движения тела можно проанализировать с помощью геометрии или алгебры.

Геометрический анализ. Предположим, что в горизонтальном направлении брошен камень. Камень проходит в своем горизонтальном движении одинаковые расстояния по горизонтали за каждую секунду, совершая в то же время ускоренное движение в вертикальном направлении. Падая, он пролетает по вертикали 4,9 м за первую секунду после начала движения, 19,6 м за первые 2 сек, 43,9 м за первые 3 сек и т. д. Нанесите на масштабную сетку положения камня в различные моменты времени. Выберите промежутки времени от начала движения, которые находятся в пропорции 1:2:3:4…. За эти промежутки времени камень в своем равномерном горизонтальном движении проходит расстояния по горизонтали, которые находятся в той же пропорции 1:2:3:4…

Однако камень, падая, проходит по вертикали расстояния, пропорциональные квадратам этих чисел, т. е. 1, 4, 9, 16…, поскольку.

РАССТОЯНИЕ ПО ВЕРТИКАЛИ = ¹/₂∙g∙(ВРЕМЯ)^2.

А значения величины (время)² находятся в пропорции 1:4:9…

Отметьте положение камня в эти равноотстоящие друг от друга моменты времени, проведя вертикальные прямые через равные интервалы, скажем через 2 см; проведите также горизонтальные прямые на расстоянии 1 см вниз до исходного уровня, 4 см, 9 см и т. д., чтобы отметить расстояния по вертикали, пройденные камнем в падении. Тогда предсказанная траектория движения будет отмечена пересечениями вертикальных и горизонтальных прямых, как показано на фиг. 57. Это можно продемонстрировать, бросая шарики или выпуская водяные капли перед доской, на которой проведены такие прямые.

Фиг. 57. Сложение горизонтального и вертикального движений тела.

_{А — горизонтальное движение (не меняется); б — вертикальное движение с ускорением силы тяжести (свободное падение); в — сложное движение.}

Задача 16. Предположим, что опыт убедил нас в том, что движение тел действительно происходит по кривой, проходящей через отмеченные на сетке точки. В какой мере это убеждает нас в правильности представлений о движении в природе? В подобном опыте начальную горизонтальную скорость, сообщаемую телу, нужно выбрать так, чтобы траектория проходила по отметкам (фиг. 58, а). Предположим, мы уменьшили скорость и отметили на доске новую траекторию движения. Каким образом можно проверить, совершает ли тело такое же движение, что и прежде (фиг. 58, б)?

Фиг. 58. К задаче 16.

Алгебраический- анализ. Начертите на разграфленной бумаге с координатами х и у воображаемую траекторию летящего камня и найдите ее уравнение. Предположим, что камень брошен горизонтально из начала координат (0, 0) со скоростью 5 м/сек. Тогда за каждую секунду камень перемещается в горизонтальном направлении на 5 м. По прошествии t сек после начала движения камень переместится в горизонтальном направлении на 5t м, поэтому можно записать.

РАССТОЯНИЕ, ПРОЙДЕННОЕ В ГОРИЗОНТАЛЬНОМ НАПРАВЛЕНИИ, х = 5∙t м.

Через t сек камень, падая из состояния покоя, пройдет по вертикали расстояние у, определяемое формулой.

РАССТОЯНИЕ, ПРОЙДЕННОЕ ПО ВЕРТИКАЛИ, y = ¹/₂ УСКОРЕНИЕ t² = ¹/₂ (9,8)∙t² = 4,9∙t² м.

Эти формулы справедливы для любой стадии движения камня по его криволинейной траектории, поэтому мы можем записать.

X = 5∙t.

Y = 4,9∙t^2.

Чтобы найти одно уравнение, описывающее траекторию движения, зададим себе вопрос: «Какое соотношение между х и у обеспечивает выполнение обоих приведенных выше требований на каждом этапе движения камня?» Для любой произвольно выбранной точки на траектории значения ее координат х и у должны удовлетворять обоим приведенным выше уравнениям для соответствующего значения t. Это значение t должно быть одинаковым в обоих уравнениях — ведь это время, когда камень достигает выбранной точки.

Поэтому мы можем избавиться от t, выразив из одного уравнения t и подставив полученное выражение в другое уравнение. Проделаем это.

Уравнение x = 5∙t дает t = x/5; подставляя выражение х/5 вместо t в уравнение y = 4,9∙t², получаем у = 4,9∙(х/5)², или у = (4,9/25)∙x².

Уравнение траекторий движения камня будет тогда иметь вид у = 0,196∙x².

В более общем случае, если камень брошен горизонтально с начальной скоростью v_гор м/сек и падает с вертикальным ускорением g м/сек на сек, то.

X = v_горt и y = ¹/₂ gt^2.

Следовательно,

Т. е. у = (постоянная)x², поскольку ¹/₂ g/v²_гор — постоянная величина.

Это уравнение параболы[34].

Воспользовавшись подобным уравнением, можно построить на клетчатой бумаге превосходные графики параболы. Постройте на бумаге с сантиметровыми клетками кривую, описываемую уравнением y = ¹/₂ x², взяв х = — 4, —3, —2, —1, 0, 1, 2 см и т. д.

Попытайтесь подогнать траекторию движения реального тела к этой кривой. Положите лист бумаги, на котором построена кривая, на чертежную доску, расположенную наклонно к плоскости стола, и скатывайте по ней шарик или держите лист бумаги отвесно и подбрасывайте перед ним какой-нибудь небольшой предмет.

Движение снаряда, выпущенного из пушки под углом к горизонту.

Если снаряд выпущен не горизонтально, а вверх, под некоторым углом к горизонту, то его траектория по-прежнему будет параболой. Алгебраически это можно показать, используя уравнение s = v₀t + ¹/₂ gt²,a не s = ¹/₂ gt². Таким образом, мы воспользуемся очевидной симметрией криволинейной траектории движения и можем сказать, что замедленное движение тела вверх до вершины траектории должно совпадать с ускоренным движением вниз, начинающимся от вершины, поэтому можно начертить всю траекторию, исходя из рассмотренной задачи движения снаряда, выпущенного горизонтально. Но все это лишь разумное предположение, хотя эксперимент подтверждает его. Можно рассуждать еще и так: двигаясь по ниспадающему участку траектории от вершины О, камень не может «знать», началось ли его движение в точке О или раньше, или позже. Поэтому камень, брошенный в какой-либо точке этого участка траектории, скажем в точке А, в сторону и вниз, должен двигаться по той же траектории, что и камень, брошенный горизонтально из вершины О, лежащей выше (фиг. 59).

Фиг. 59. Движение тела вверх и вниз.

_{Симметрия траектории заставляет предполагать, что движение вверх до «отрицательной пушки» подобно движению вниз от «нормальной» пушки, стоящей на той же горе. Вместе эти движения дают полную параболу. В таком случае тело, начавшее движение по этой параболе из точки А, должно двигаться по той же траектории, как если бы движение его началось раньше из вершины О. Соображения симметрии позволяют распространить эти рассуждения на всю параболу.}

То же самое справедливо для камня, брошенного вверх в точке В, Это наводит на мысль о расширении представления о независимости движений. Вертикальная компонента начального движения также остается неизменной, хотя к ней добавляется ускоренное движение свободного падения. С этим вертикальным движением, происходящим с постоянной скоростью, связано расстояние v₀t в соотношении s = v₀t + ¹/₂ gt². Тогда можно объединить оба постоянных движения, вертикальную и горизонтальную компоненты начального броска, и сказать, что начальное движение тела, брошенного под узлом к горизонту, остается неизменным во время полета, хотя к нему добавляется движение свободного падения по вертикали, которое обусловливает появление в уравнении слагаемого ¹/₂ gt². Итак, можно считать, что камень, брошенный, как показано на фиг. 60, совершает два движения: начальное движение вдоль прямой 45 и свободное падение, в котором камень проходит расстояния, отсчитанные от точек на прямой АВ, взятых через последовательные равные промежутки.

Фиг. 60. Анализ движения тела.

Это можно показать с помощью опыта с обезьянкой и ружьем.

Представим себе, что охотник, не принимающий во внимание силы земного тяготения, целится в обезьянку, которая повисла на дереве, ухватившись одной лапой за ветку. При выстреле пуля не попадет в обезьянку из-за свободного падения, как показано на фиг. 61.

Фиг. 61. Опыт с обезьянкой и воздушным ружьем.

_{Когда пуля вылетает из ружья, она разрывает контакт, электромагнит выключается и отпускает «обезьянку».}

Предположим теперь, что обезьянка следит за действиями охотника и, заметив вспышку, выпускает ветку в тот момент, когда пуля вылетает из ружья. С этого момента и обезьянка и пуля совершают ускоренные движения вниз под действием силы тяжести; обезьянка падает из состояния покоя, пуля, согласно нашему последнему представлению, падает от своей «невозмущенной траектории», прямой АВ. Что же происходит? Это можно показать при помощи железной фигурки обезьянки, которую удерживает электромагнит, обесточиваемый разрывом цепи при вылете пули из ствола воздушного ружья, направленного на фигурку.

Такие эксперименты подтверждают наше предположение о том, что падение по вертикали совершенно не зависит от начального движения, которое неизменно. Любое летящее тело с начала движения совершает свободное падение. Оно проходит 0.3, 1.4, 3.6, 4.9 и т. д. метров за 1, 2, 3, 4… четвертьсекундных промежутка времени после начала движения. Если линия начального движения направлена под углом к горизонту, то тело сначала поднимается вверх, а потом падает, тогда расстояние, проходимое им в единицу времени в свободном падении, станет больше того расстояния, на которое тело поднимается вверх за каждую единицу, времени вследствие сообщенного ему начального движения. (Обратите внимание, что показанная на фиг. 62 траектория является параболой.).

Фиг. 62. Свободное падение тела.

Вы видите, как мы своими рассуждениями разделили задачу о движении летящего снаряда на части, облегчив ее решение и подготовив для дальнейшего изучения специалистами по баллистике.

Наши усилия не внесли новых сведений, но облегчили пользование уже известными сведениями.

Когда движущимися телами являются быстрые электроны (или заряженные атомы) и на них воздействуют не силы тяготения, а электрические и магнитные поля, то к ним применимы такие же «правила», и мы используем изменения траектории для получения информации об электрическом заряде, массе и скорости электрона. Потом мы считаем, что поведение движущихся тел подчиняется тем же правилам, и предсказываем воздействие полей на частицы, движущиеся с другими скоростями. Так поступают инженеры — специалисты по электронным приборам при проектировании телевизионных трубок и других радиоэлектронных устройств; такие же расчеты проделывают ученые-атомники, когда искривляют пучки электронов или атомов, бомбардируя ими мишени или опознавая тяжелые и легкие атомы по различиям в их траекториях.

Задача 17. Полицейская. Водитель автомобиля, въехав на мост, сильно превысил скорость. Машину занесло, она ударилась об ограждение и, разрушив его, упала в реку. Расстояние до поверхности воды составляло 4,9 м. Полиция установила, что машина упала в реку не вертикально под провалом в ограждении, а на расстоянии 19,8 м от него по горизонтали. А) Оцените скорость, с какой шел автомобиль до катастрофы. Б) Как по-вашему, завышено или занижено полученное значение скорости? Объясните, почему. В) Сформулируйте четко свойства падающих тел, которые вы использовали, производя вычисления по пункту (а).

Фиг. 63. К задаче 17.

Задача 18. Поток электронов. Электрон, движущийся со скоростью 6 000 000 м/сек (совсем небольшая скорость для электрона) в горизонтальном направлении, попадает в область, где вертикальное электрическое поле сообщает ему ускорение, направленное вниз и равное 40 000 000 000 000 м/сек/сек, или 4∙10¹³ м/сек/сек. Область, в которой действует это поле, имеет протяженность 0,30 м в направлении первоначального движения. Таким образом, электрон движется по прямой в отсутствие поля, затем 0,30 м (по горизонтали) под действием вертикального поля, а потом снова попадает в область, где нет поля. А) Как вы, полагаете, повлияет ли вертикальное ускорение на горизонтальное движение электрона? Б) Вычислите время, за которое электрон проходит через область, где действует поле. В) Вычислите расстояние, которое пройдет электрон, совершая падение в области, где действует поле. (Это как раз то расстояние, которое экспериментатор измеряет, исследуя поведение электрона.). Г) Вычислите вертикальную компоненту скорости электрона в момент, когда он выходит из области, где действует поле. Д) Рассчитайте траекторию электрона и начертите (приблизительно) траекторию его движения до области, где действует поле, в этой области и возле нее. Е) Почему нет необходимости учитывать силу тяжести при решении этой задачи? (Она действует на электрон.).

Фиг. 64. К задаче 18.

Задача 19. Дальность полета снаряда (задача решается с помощью алгебры и тригонометрии). 1) Из старинной пушки, ствол которой установлен под углом 45° к горизонту, выпущено ядро со скоростью 141,4 м/сек. А) Разложите эту скорость на горизонтальную и вертикальную компоненты. Б) Вычислите, через сколько времени с момента вылета ядра оно упадет на землю. В) Вычислите дальность полета. 2) Из старинной пушки выпущено ядро со скоростью v₀ в направлении, которое составляет угол А к горизонту. А) Разложите v₀ на горизонтальную и вертикальную компоненты. Б) Вычислите время, в течение которого совершается вертикальное движение с момента вылета ядра до момента его падения на землю. В) Вычислите расстояние, которое ядро проходит по горизонтали (т, е. дальность его полета). 3) Воспользовавшись методами тригонометрии или математического анализа, покажите, что при данной начальной скорости v₀ дальность полета максимальна при А = 45°. (Вспомните, что 2sin x∙cos x = sin 2x.) Задача 20. Измерение скорости летящего мяча. Физик хочет выяснить, с какой скоростью он может бросить бейсбольный мяч. Он бросает мяч горизонтально на высоте своего плеча, 1,2 м над поверхностью земли. Мяч падает на землю в 6 м от. того места, где стоит физик. А) Чему равна начальная скорость мяча? (См. задачу 17.). Б) При вычислениях для ответа на вопрос (а) необходимо, помимо всяких формул для ускоренного движения, воспользоваться важным общим принципом, касающимся движения тел (его сформулировал Галилей). Что это за принцип? В) Вместо того чтобы бросить мяч, наш физик бежит сам со скоростью, вычисленной в пункте (а), неся мяч на высоте плеча. На бегу он выпускает мяч, и мяч падает. Опишите, подумав как следует, траекторию падающего мяча: Какой ее видит неподвижный наблюдатель? Какой ее считает бегущий физик? Задача 21. Автомобиль, движущийся со скоростью 20 м/сек (свыше 70 км/час) по горизонтальному участку горной дороги, делает неудачный поворот и падает в снежный сугроб с высоты 80 м (по вертикали). А) Сколько времени продолжалось падение автомобиля? Б) На каком расстоянии (по горизонтали) от того места, где автомобиль снесло с дороги, он падает на землю? В) Каково было ускорение автомобиля на полпути его движения вниз? Г) Какой угол с горизонтом образует «туннель», проделанный автомобилем в сугробе? Задача 22. Человек держит ствол ружья горизонтально на высоте 3 м над землей, А) Через какое время после выстрела пуля упадет на землю? Б) Патронная гильза выбрасывается горизонтально в сторону в тот момент, когда пуля вылетает из ствола ружья. Через какое время гильза упадет на землю? В) Сможет ли человек (таким же способом) выстрелить на Луне на большее расстояние? Г) Дайте четкое обоснование вашему ответу на вопрос (в). Задача 23. Находясь в большом лифте, человек бросает в горизонтальном направлении мяч со скоростью, близкой к 3 м/сек. Начертите для каждого из указанных ниже случаев траекторию движения мяча, какой ее видит человек в лифте, А) Лифт движется вниз с постоянной скоростью 3 м/сек. Б) Лифт движется равноускоренно с ускорением, направленным вниз и равным 10 м/сек/сек. В) Лифт движется равноускоренно с ускорением, направленным вниз и равным 3 м/сек/сек. Г) Лифт движется ускоренно с ускорением, направленным вниз и равным 19,6 м/сек/сек (это достигается применением специального оборудования).

Глава 3. Силы — это векторы.

Грубая сила, не подкрепленная мудростью, гибнет под собственной тяжестью. Гораций, Оды, III, 4

Силы — это то, что тянет и толкает; силы мы чувствуем, когда они на нас действуют; силы растягивают пружины, заставляют тело двигаться быстрее. Мы будем измерять силы при помощи пружинных весов. Поскольку эти приборы обычно градуируют в килограммах силы мы будем пока выражать силу тоже в килограммах силы. Позднее мы перейдем к более подходящим единицам.

При сооружении и проектировании мостов, зданий, кранов, машин инженеров очень заботит сложение сил или же разность сил для определения силы, необходимой для достижения равновесия. Можно показать, что силы — это векторы, т. е. они подчиняются правилу геометрического сложения. Векторному сложению и разложению уравновешенных сил посвящен раздел физики, называемый «статикой». Это большой, но скучный раздел физики, и большинство учебников уделяет ему много места, излагая приемы решения задач инженерной статики. Мы ограничимся лишь несколькими примерами, и даже их, пожалуй, лучше было бы опустить, чтобы уделить больше времени изучению силы и движения.

Прежде всего мы должны удостовериться в том, что силы — это векторы. Сказать, что они должны быть векторами, поскольку они характеризуются величиной и направлением, недостаточно. Это не убеждает нас в том, что силы складываются геометрически.

Хотя это утверждение кажется вполне правдоподобным, особенно тем, кто имеет дело с канатами и веревками на кораблях или кому приходится заниматься разбивкой палаток, мы же должны проверить его непосредственно. Было бы полезно самим увидеть тот опыт, который описан ниже.

ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ОПЫТ. На фиг. 65 показано приспособление, расположенное перед классной доской.

Фиг. 65. Демонстрационный опыт.

_{А — кольцо находится в состоянии покоя под действием сил, развиваемых двумя веревками (эти силы тяги измеряются пружинными весами) и пружиной 8; б — веревки и пружина убраны, сумма сил FA и FB определяется по правилу геометрического сложения; в — полученный результат проверяют путем измерения силы, которая фактически необходима, чтобы оттянуть кольцо до отмеченного на фиг. а положения при помощи одной веревки.}

К металлическому кольцу прикреплены две веревки ОА и ОВ с пружинными весами АВ для измерения натяжений. Веревки должны создавать натяжения, удерживающие кольцо О в показанном на фигуре положении. Кольцо оттягивается в противоположном направлении большой пружиной S, которая другим концом прикреплена к стене. Натяжением обеих веревок пружина растягивается настолько, чтобы кольцо О оказалось в данном положении. Показано положение кольца О и направления веревок ОА и ОВ. Весы А и В отмечают силы натяжения F_A и F_B при помощи построения, предположив, что силы подчиняются правилу геометрического сложения. Для этого выбирают подходящий масштаб и откладывают в этом масштабе силы F_A и F_B по направлениям ОА и ОВ, а затем дополняют построенную фигуру до параллелограмма. Потом проводят диагональ параллелограмма F_R, измеряют ее длину и подсчитывают по выбранному масштабу величину F_R. Теперь мы знаем предсказанную сумму F_R, т. е. силу, которой можно заменить обе силы натяжения, если к силам применимы, правила геометрического сложения. Затем мы можем непосредственно измерить действительную сумму сил, убрав обе веревки и оттянув кольцо до отмеченного положения с помощью одной веревки. Величина суммарной силы определяется по пружинным весам, прикрепленным к веревке, а ее направление указывает сама веревка. Затем мы сравним действительную сумму сил с предсказанной. Этот эксперимент даст возможность один раз проверить наше утверждение, но накопленные данные большого числа подобных экспериментов подтверждают, что силы действительно ведут себя как векторы. Обилие косвенных доказательств оказывается еще убедительнее. Часто прибегают еще к одному способу проверки. Этот способ проще, но его косвенный характер порой (не совсем добросовестно) игнорируют. К узлу прикладывают две тянущие силы F_A и F_B (применяют гири и блоки или пружинные весы), а третья сила F_C удерживает узел в покое. Затем при помощи построения (фиг. 66) определяется сумма сил F_A и F_B. Она равна и противоположна силе F_C. Это требует дополнительного доказательства, по-скольку F_C не равнодействующая (сумма) двух других сил, а «равновесная» сила, необходимая, чтобы им противостоять.

Фиг. 66. Косвенная проверка векторного сложения сил.

Равновесие сил.

Если на какую-нибудь деталь крана или моста действует несколько сил сразу, а инженеру нужно, чтобы она была и оставалась в состоянии покоя, то для этого сумма всех действующих сил должна быть равна нулю. Тогда в соответствии о представлением Галилея эта деталь должна либо постоянно двигаться, либо постоянно оставаться в состоянии покоя[35].

В этом случае мы говорим, что силы находятся «в равновесии». Если сумма нескольких сил равна нулю, то это должно быть видно на диаграмме векторного сложения; длина линии, соединяющей исходную точку диаграммы с конечной, должна быть равна нулю. Это означает, что векторная диаграмма должна представлять собой замкнутую фигуру. Таким образом, если сумма сил равна нулю, то конец векторного многоугольника должен прийти обратно к началу. Это иллюстрирует фиг. 67[36]).

Фиг. 67. Равновесие сил.

_{А — если силы находятся в равновесии, то соответствующая диаграмма сил должна быть замкнутой фигурой; б — диаграмма сил, действующих на узел фермы моста; в — диаграмма сил, действующих на монтируемый мост; г — диаграмма сил для подъемного крана, поднимающего груз.}

Условие равенства нулю равнодействующей для постоянного равновесия сил должно выполняться для всей конструкции, например для всего крана или моста, но оно должно также выполняться для каждой отдельной детали конструкции, находящейся в состоянии равновесия. Применяя это условие к какой-нибудь определенной детали, например к стреле крана, к одной опоре моста, к заклепке, связывающей воедино несколько различных деталей моста, или к грузу маятника, нужно быть внимательным и учитывать все силы, действующие на данную деталь. Тогда мы сможем утверждать, что имеем полный набор сил, образующих замкнутую векторную диаграмму, если, конечно, деталь находится в равновесии.

При решении задач не следует включать в рассмотрение силы, приложенные к другим деталям. Сначала выберите и пометьте выбранную деталь, которая, как вы считаете, находится в равновесии.

Равновесие трех сил; треугольник сил.

Если три силы находятся в равновесии, то их векторная диаграмма должна представлять собой замкнутый треугольник (фиг. 68). Если известны две силы, то можно вычислить величину и направление третьей. Этим пользуются при решении инженерных задач. Во многих конструкциях на каждую деталь, играющую важную роль, действуют как раз три силы. Чтобы конструкция была устойчивей, каждая деталь должна оставаться в состоянии покоя: сумма всех действующих на нее сил должна быть равна нулю. Таким образом, если к любой детали приложены три силы, мы строим для них замкнутый треугольник.

Фиг. 68. Три силы.

_{А — три силы в равновесии; б — три силы не находятся в равновесии.}

Рассмотрим теперь несколько примеров решения инженерных задач на сложение и разложение сил (задач статики). После того как вы разберете их вместе с нами, попытайтесь решить задачи, приведенные в конце главы.

Задача 1. Три мальчика тянут в разных направлениях в горизонтальной плоскости веревки, прикрепленные к большому железному кольцу (фиг. 69). Предположим, что на кольцо не действуют другие силы, даже сила тяжести. Каждый мальчик тянет веревку с силой 10 кГ, и кольцо остается в покое.

Фиг. 69. К задаче 1.

А) Чему равна величина суммы, тянущих сил? Б) Начертите векторную диаграмму сил, сложив эти силы. В) Изобразите схему опыта, какой она выглядит сверху, и покажите направления действующих на кольцо сил. Г) Представьте себе, что один из мальчиков внезапно выпускает веревку из рук, а другие продолжают тянуть свои веревки. Каковы величина и направление суммы, сил, развиваемых двумя оставшимися мальчиками?

Пример А.

Тяжелый маятник состоит из груза весом 4 кГ, подвешенного на веревке длиной 5 м, (фиг. 70). Груз оттягивается в сторону другой веревкой, посредством которой к грузу маятника прикладывают горизонтальную силу 3 кГ.

Фиг. 70. Общая схема, иллюстрирующая формулировку примера А.

1) Рассчитайте натяжение веревки маятника.

2) Какой угол образует маятник с вертикалью?

На груз маятника действуют три силы:

А) вес груза 4 кГ, направленный вертикально вниз;

Б) горизонтальная сила натяжения 3 кГ;

В) натяжение веревки маятника неизвестной величины, направленное вдоль веревки вверх.

Чтобы рассчитать натяжение веревки маятника, построим две диаграммы; их нужно строить отдельно, ибо они относятся к совершенно разным вещам. Реальная схема — это рисунок, изображающий конструкцию, с которой мы имеем дело.

Эту схему можно изобразить в масштабе или просто нарисовать рисунок и указать на нем размеры. Диаграмма сил — это векторная диаграмма, на которой силы изображаются отрезками прямых. Диаграмму сил не следует строить над реальной схемой, хотя обе они могут быть сходны. В этой задаче мы будем строить векторную диаграмму для трех сил, действующих на груз маятника. После того как груз перестает раскачиваться и приходит в состояние покоя, сумма этих сил должна быть равна нулю. Поэтому векторы сил, построенные в масштабе, должны образовать замкнутый треугольник (фиг. 71).

Фиг. 71. Схема приложения сил (а) и диаграмма сил для груза (б).

_{Единственный известный размер показан в масштабе, угол может быть изображен неверно.}

Прежде всего проводим вектор, о котором нам все известно, — вектор силы, действующей на груз маятника по вертикали и равной весу груза 4 кГ. Изобразим этот вектор вертикальным отрезком АВ длиной 4 см со стрелкой, направленной вниз[37].

Затем мы добавляем еще один вектор, о котором нам опять-таки все известно, — горизонтальную силу 3 кГ, изображаемую отрезком ВС длиной 3 см. Отрезок, изображающий третью силу, должен замыкать треугольник, поскольку сумма сил равна нулю. Поэтому третья сила должна изображаться отрезком СА.

Измерив эту сторону построенного треугольника, мы находим 5 см, что соответствует натяжению веревки маятника 5 кГ.

Мы могли бы в этом случае постудить и по-другому: набросать примерный рисунок и, воспользовавшись теоремой Пифагора, найти искомую длину третьей стороны треугольника, она равна √(4² + 3²), или √25, т. е. 5 см. Направление этой стороны треугольника образует с вертикалью угол, характеризующийся уклоном (тангенсом), равным ³/₄. По таблицам тригонометрических функций или путем деления находим, что этот угол примерно равен 37°. Переходя к реальному маятнику, мы можем теперь сказать, что натяжение веревки равно 5 кГ и что веревка образует с вертикалью угол 37°.

Пример Б.

Груз маятника 5 кГ, подвешенный на веревке длиной 1,5 м, оттянут в сторону на 0,9 м горизонтальной силой F. Какова величина этой силы? На фиг. 72 показан схематический рисунок и этапы построения диаграммы сил.

Фиг. 72. Построение диаграммы сил.

_{А — схема приложения сил; б — этапы построения диаграммы сил; поскольку треугольник может быть задан двумя углами и одной из сторон, построить диаграмму сил возможно.}

Построение диаграммы сил мы начинаем, проведя АС, вектор единственной силы, о которой нам все известно, — силы, направленной вниз и равной весу груза 5 кГ. Теперь прибавим к ней горизонтальную силу, т. е. проведем горизонтальную прямую из конца вектора АС. Но величина этой силы нам пока неизвестна, поэтому мы не знаем, какой длины должен быть изображающий ее отрезок. Однако мы знаем, что, прибавив к остальным двум силам натяжение веревки маятника, мы должны получить замкнутый треугольник сил (если груз маятника находится в равновесии). Поэтому вектор силы натяжения должен выходить из конца силы F и оканчиваться в точке А. Кроме того, натяжение веревки должно быть направлено вдоль самой веревки. (Можете ли вы представить себе веревку, позволяющую тянуть в каком-то ином направлении, нежели вдоль самой веревки?) Таким образом, мы переносим направление веревки с рисунка, изображающего реальную схему, на диаграмму сил и проводим через точку А прямую, параллельную направлению веревки. Этот отрезок наклонной прямой образует третью сторону треугольника сил ВА — натяжение веревки. Угол В примыкает к прямой, проходящей наклонно, и к горизонтальной прямой, при этом он должен быть образован пересечением обеих этих прямых. Найдя положение точки В, мы узнаем величину силы F, попутно мы определили также натяжение веревки маятника. Для нахождения величины интересующей нас силы мы построили точный чертеж и произвели измерение.

В этом случае числовые данные позволяют проделать простые вычисления, исходя из геометрических соображений, и можно рассчитать F по приближенным рисункам, рассуждая следующим образом: стороны треугольника сил ABC параллельны сторонам треугольника МNО на реальной схеме, следовательно[38], эти треугольники подобны. (По теореме Пифагора находим ОМ = 1,2 м.).

Итак,

F кГ/5 кГ на треугольнике сил = 0,9 м/1,2 м.

Следовательно,

F = (5 кГ)∙3/4.

Т. е.

Горизонтальная сила F = 3,75 кГ.

Аналогично,

Т кГ/5 кГ = 1,5 м/1,2 м.

Отсюда натяжение веревки маятника Т = 6,25 кГ.

Пример В.

Телефонный провод натянут между двумя опорами, отстоящими друг от друга на 6 м (фиг. 73), натяжение провода невелико. На провод, как раз посредине, села птица весом 2 кГ. Средняя точка провода провисла на 0,3 м от уровня, на котором находятся крайние точки провода, прикрепленные к опорам. Вычислите натяжение провода.

Фиг. 73. К примеру В.

(На первый взгляд эта задача может показаться надуманной, подобно множеству задач статики, однако на самом деле речь идет об очень серьезной проблеме, с которой сталкиваются при эксплуатации проводов телефонной связи и линий электропередач. Как показывает ответ на эту задачу, птицы и обледенения могут вызвать огромные натяжения в проводах, способные привести к их удлинению и даже разрыву.).

Построим диаграмму сил для небольшого центрального участка провода Y, где сидит птица[39]. На этот участок провода действуют три силы: вес птицы, направленный вниз, и натяжения провода Т₁ и Т₂, направленные под некоторым углом к горизонту. Угол между проводом и горизонталью назовем Е.

Построение диаграммы сил для Y (фиг. 74) начинаем с веса птицы — вполне известной нам силы.

Фиг. 74. Диаграмма сил (а) и схема приложения сил (б).

_{Масштаб: в 1 см — 0,5 м; в 1 см — 1 кГ.}

Проводим вертикальную прямую и откладываем на ней направленный вниз вектор АВ длиной 2 см, обозначающий вес птицы 2 кГ. Из точки В проводим отрезок ВС, параллельный правой стороне провода, обозначающий натяжение провода, затем — еще один вектор, параллельный левой половине провода. Этот вектор должен замкнуть треугольник, поскольку сумма сил, действующих на Y, должна быть равна нулю, Но мы не знаем, какой длины должны быть векторы натяжений. Поэтому проводим две прямые: одну из точки В вверх под углом Е, а вторую — через точку А, также под углом Е, и отмечаем точку С пересечения этих прямых. Теперь у нас есть треугольник сил, стороны которого можно было бы измерить и определить, исходя из выбранного масштаба.

Можно обойтись и без измерений, если удастся увязать диаграмму сил с реальной конфигурацией посредством подобных треугольников (фиг. 75).

Фиг. 75. Применение теоремы о подобных треугольниках.

_{А — схема приложения сил; б — диаграмма сил (все не в масштабе).}

Треугольник сил ABC не подобен треугольнику XYZ, но, как в большинстве таких задач, можно отыскать подобные треугольники, произведя простые дополнительные построения. В данном случае можно провести линии, показанные на фигуре пунктиром, и воспользоваться доказательством, данным ниже.

Треугольники WYZ и DBC подобны. В треугольнике DBC сторона DB представляет собой половину веса птицы, т. е. ¹/₂ (2 кГ).

В треугольнике WYZ сторона WY представляет собой вертикальный провес провода, равный по условию 0,3 м.

Таким образом,

3 м/0,3 м в треугольнике WYZ = Т₁ кГ/1 кГ в треугольнике DBC.

Отсюда натяжение Т₁ = (1 кГ)(10/1) = 10 кГ. Точно так же находим Т₂ = 10 кГ.

Птица весом 2 кГ способна создать натяжение 10 кГ. Как вы думаете, каково было бы натяжение, если бы провод не был так слабо натянут и провисал не на 0,3 м, а всего на 2 см?

Задача 2. Маятник состоит из груза весом 6 кГ, подвешенного на веревке длиной 3 м. Груз оттянут в сторону приложенной к нему горизонтальной силой. При этом натяжение веревки маятника, составляющей некоторый угол с вертикалью, равно 10 кГ. А) Какова величина горизонтальной силы, приложенной к грузу? Б) Какой угол составляет с вертикалью нить маятника? Задача 3. Хирург накладывает на плечо больного специальную шину и хочет приложить к ней вертикальную направленную вниз силу 5 кГ. Он предлагает для этого оттянуть шину вниз с помощью веревки. Чтобы плечи и грудная клетка больного не создавали при этом помехи, хирург осуществляет натяжение шины двумя веревками, идущими от плеча по обе стороны, спереди и сзади, причем каждая веревка образует угол 30° с вертикалью (фиг. 76).

Фиг. 76. К задаче 3.

А) Вычислите необходимое натяжение каждой веревки. (Постройте в большом масштабе наглядную диаграмму сил.). Б) Объясните проведенные вами вычисления. Задача 4. Канатоходец, весящий 75 кГ, стоит посредине каната длиной 8,6 м, натянутого между двумя опорами, отстоящими друг от друга на 8 м (фиг. 77, а). А) Найдите натяжение каната, сопроводив вычисления диаграммами и четкими объяснениями. (Примечание. При указанных размерах провес посредине составляет 1,7 м.). Б) Представьте себе, что канат удлинен с одной стороны и прикреплен к более высокой опоре, как показано на фиг. 77, б, причем углы, которые обе половины каната образуют с горизонтальным направлением, остаются прежними. Как это скажется на натяжении(ях)?

Фиг. 77. К задаче 4.

Задача 5. А) Какие из перечисленных ниже слов должны, по вашему мнению, обозначать векторы (вектор — это величина, которая подчиняется правилу геометрического сложения); сила, объем, ускорение, скорость, температура, плотность, доброта, скромность, влажность, электрическое поле? Б) Дайте (максимум в две строчки) письменное определение суммы, нескольких векторов. (Не приводите правила для нахождения суммы. Дайте ясное описание, из которого было бы видно, что это такое.). В) Покажите с помощью рисунков и краткого описания, как правило параллелограмма для сложения векторов (т. е. правило геометрического сложения) ведет к способу многоугольника, при котором каждый последующий из складываемых векторов проводится из конца предыдущего. Задача 6. Важное соотношение: груз на наклонной плоскости. Тело покоится на наклонной плоскости без трения; наклонная плоскость образует с горизонтальным направлением угол А (отношение высоты наклонной плоскости h к длине L таково, что sin A = h/L). Тело удерживается на наклонной плоскости от скольжения вниз веревкой, натяжение которой F параллельно наклонной плоскости. Земное притяжение действует на тело вертикально вниз с силой, которую мы называем весом тела W (фиг. 78).

Фиг. 78. К задаче 6.

А) Изобразите тело на наклонной плоскости и укажите стрелками направления W и F. Добавьте еще одну стрелку и укажите направление реакции опоры Р, с помощью которой наклонная плоскость действует на тело. Считайте, что, поскольку трение на наклонной плоскости отсутствует, реакция опоры Р должна быть перпендикулярна к поверхности наклонной плоскости. Покажите все ото стрелками, выходящими из тела. Б) Начертите еще один рисунок, показывающий, что векторы, W, Р и F при сложении дают нуль. В) Если вы согласны, что оба ваши рисунка содержат подобные треугольники, то, воспользовавшись этим, выразите отношение F/W через h и через угол А. Г) Представьте себе теперь, что веревку перерезали так, что сила F исчезает и тело начинает двигаться с ускорением вниз по наклонной плоскости. В отсутствие веревки на тело действует результирующая сила, направленная вниз по наклонной плоскости, такой же величины, как сила F, которая была направлена вверх по наклонной плоскости. Какова величина этой силы? Задача 7. Рассмотрите задачу 6 другим способом. Разложите вес W на компоненты F (направлена вниз по наклонной плоскости) и Р (направлена перпендикулярно к наклонной плоскости). Выразите F через W u h и т. д. Это позволяет найти необходимое натяжение веревки и, если веревка отсутствует, — результирующую силу, направленную вниз по наклонной плоскости, которая вызывает ускоренное движение тела. Задача 8. Незадолго до работ Галилея Стевин опубликовал остроумный «мысленный» эксперимент. Он рассуждал следующим образом. Представим себе связку гладких шариков в виде ожерелья, повешенную на треугольную призму (фиг. 79).

Фиг. 79. К задаче 8.

Связка должна находиться в равновесии: мы не предполагаем, что она, скользя по наклонной плоскости, будет двигаться вокруг призмы все быстрее и быстрее, просто потому, что на наклонной плоскости больше шариков. Отрежем с двух концов ту часть связки, которая свободно свешивается под призмой. Поскольку эта часть связки симметрична, ее удаление не может нарушить равновесия. Исходя из этого, Стевин предсказал, что отношение F/W для груза на наклонной плоскости должно быть равно h/L. Попытайтесь продолжить и завершить его рассуждения и прийти к этому выводу. (Указание. Сосредоточьте все шарики, находящиеся на наклонной плоскости, в один сплошной кусок, а все шарики, висящие вертикально, — в другой кусок. Соедините оба куска нитью, перекинутой через блок.). Задача 9. Конструктор намерен включить в свой прибор маятник, груз которого оттягивался бы в сторону шнуром, перпендикулярным к нити маятника, т. е. направленным по касательной к дуге, описываемой грузом (фиг. 80). Длина нити маятника 3 м, железный груз весит 10 кГ.

Фиг. 80. К задаче 9.

А) Какую силу Р нужно приложить к грузу маятника, чтобы оттянуть его на 0,3 м по горизонтали? Аккуратно постройте диаграммы и сопроводите ваши расчеты объяснениями. Б) Повторите расчет при условии, что груз оттягивается в сторону на 0,6; 0,9; 1,2; 1,5 м по горизонтали. В) Что вы можете вообще сказать относительно силы Р, необходимой, чтобы сообщить грузу такие отклонения? (В этом заключается исходное положение теории колебаний маятника.).

Глава 4. Ваши собственные исследования.

«…Я не делаю выводов на основании единственного эксперимента и в поставленных мной опытах исследую не одну, а разные стороны явлений; я никогда не подтасовываю результаты, дабы привести их в соответствие с какими-либо заранее принятыми представлениями. Как раз наоборот, я стараюсь быть умелым во всех видах экспериментальной работы и для меня каждый опыт, так сказать, пробный камень, с помощью которого я проверяю свои прежние представления…" Так двадцатишестилетний молодой человек излагал свое научное кредо в век, когда экспериментальный метод еще только прокладывал путь в науке.». Э. Н. да С. Андраде, О Роберте Гуке.

Объем вашей лабораторной работы и отбор опытов для нее в значительной мере зависят от возможностей вашего учебного заведения.

Если вы не получите возможности работать в лаборатории, то придется опустить некоторые главы, требующие проведения экспериментальной работы; при изучении других вопросов, особенно ускоренного движения, давления и закона Бойля (настоящая глава), а также электрических цепей (гл. 32[40]), надо посмотреть демонстрационные опыты. (Часто один-единственный показ может дать больше фактической информации, чем несколько лабораторных работ.).

Милости просим.

Вам может показаться странным, что некто, работающий совсем в другой, далекой лаборатории, обращается к вам с приветственным словом. Но ведь этот курс должен заложить основу вашего научного образования, а насколько прочной окажется эта основа, в немалой степени зависит от вашей работы в лаборатории. И если она будет для вас лишь скучным выполнением стандартных прописей, то принесет только вред. Если же вы придете в лабораторию как полноправный ученый, который сам планирует, обсуждает и ставит опыты, сам делает из них выводы и обнаруживает слабые места, то лично сможете испытать радости и печали настоящих ученых-экспериментаторов, и эта работа станет полезной.

Эксперименты, проведенные в лаборатории, достигнут цели лишь в том случае, если в ходе их выполнения вы почувствуете, как работают ученые — как они ставят опыты и производят измерения, как они доверяют своим результатам, а иногда сомневаются в них, как они делают выводы из опытов и дополняют их предположениями; короче говоря, почувствуете «механику» взаимосвязи между экспериментом и теорией.

Почему ценность работы в лаборатории так зависит от вашего отношения к ней, почему мы не считаем, что она в любом случае даст вам навык научной работы? Сейчас врачи охотно обсуждают весь ход лечения совместно со своими взрослыми пациентами (если, конечно, они достаточно подготовлены). По тем же причинам и мы, прежде чем приступить к лабораторной работе, обсудим, какую она может принести нам реальную пользу.

Преподаватели, даже те, которые серьезно подходят к проблемам образования и воспитания, часто ожидают, что, прослушав курс, студенты станут аккуратными, научатся искусно обращаться с приборами, строго, последовательно и «научно» мыслить. Они полагают, что приобретенные во время учебы навыки принесут некую универсальную пользу, распространятся на изучение других предметов и даже на отношение к жизни в целом. Вы сами, возможно, разделяете эти взгляды и рассчитываете, что наш курс принесет вам именно такую пользу, и, может быть, легкомысленно надеетесь получить еще и удовольствие от лабораторных занятий.

Как это ни курьезно, именно получаемое от опытов удовольствие, по-видимому, и представляет определенную ценность, тогда как более серьезные надежды могут и не осуществиться. Однако наиболее ценный результат обучения заключается совсем в другом — научиться понимать работу ученых, а для этого очень важно, чтобы вы своими руками проделали определенную часть научной работы.

Почему мы так скромны при оценке результатов работы в лаборатории, ограничивая их лишь общим опытом научной работы?

Дело в том, что исследования психологов за последние полвека подвергли основательному сомнению надежды, возлагаемые на то, что некоторые навыки, приобретенные при прохождении курса, могут принести реальную пользу и в повседневной жизни. Профессиональные навыки (умение паять для радиомонтеров, техника вычислений для будущих математиков, техника взвешивания для фармацевтов) вырабатываются довольно легко, но по большей части не выходят за пределы узкой специфики. (Взгляните на самих ученых. Став специалистами в своей области, приобрели ли они заметные общие преимущества, стали ли более аккуратными, самокритичными, последовательными и беспристрастными? Некоторые, правда, обладают этими достоинствами, но процент таких ученых от их общего числа такой же, как и людей других профессий.).

Таким образом, мы подошли к основному вопросу при планировании образования. Если, скажем, при прохождении курса мы приобрели определенные навыки в обращении с какими-либо приборами или в применении какой-либо идеи или метода, то может ли наш разум перенести эти навыки на жизнь в целом?

Если на этот вопрос мы отвечаем «нет», то такой курс мало полезен для образования. Единственное, что он может обещать, — это получение информации, однако факты легко забываются, и их лучше отыскивать, когда надо, в справочниках. Если мы отвечаем «да», то выгоды такого курса поистине беспредельны, — он может помочь людям научно мыслить, сделать их дальновидными, гармоничными. Поскольку ваши надежды и интересы серьезно связаны с ответом на этот вопрос, мы еще вернемся к нему и расскажем также о некоторых открытиях психологов.

«Перенос навыков».

В поисках ответа на этот вопрос в течение последних пятидесяти с лишним лет ставились тщательные эксперименты с контролем до и после тренировки, с контрольными группами и т. д.

Одним из первых поставил опыт над самим собой психолог Вильям Джеймс. Он измерил скорость заучивания французских стихов, потом перешел к заучиванию английских стихов и упражнялся в этом несколько недель. Вернувшись снова к французским стихам, он не обнаружил, что может их заучивать быстрее, — тренировка в английских стихах не принесла пользы. Другие ранние результаты были столь же обескураживающие — почти никакого переноса навыков[41].

В качестве примера возьмем тренировку в точном взвешивании на химических весах. В хорошей химической лаборатории можно обучить студентов технике взвешивания и научить взвешивать быстро и точно. Но когда они приходят на завод или проводят взвешивание дома, навык зачастую утрачивается. Такие результаты как будто бы доказывают, что высшее образование может дать лишь технические навыки, а это означало бы полное крушение наших с вами надежд, возлагаемых на этот курс.

К счастью, последующие исследования показали, что в действительности перенос навыков происходит, хотя совсем не в такой простой форме, как ожидали сначала, и только при определенных обстоятельствах[42]. Чтобы с наибольшей пользой провести лабораторную работу (а ее ценность во многом определяется возможностью переноса навыков), вы должны знать, каковы эти благоприятные обстоятельства. По-видимому, эти обстоятельства таковы:

1) Наличие общности. Навык к выполнению какого-либо рода действий относительно легко переносится на другой род деятельности, если он имеет с первым что-либо общее. Например, если у вас есть навык к точному взвешиванию в химической лаборатории, вы наверняка справитесь с этим в другой химической лаборатории; весьма вероятно, что этот навык вы перенесете на любое взвешивание в физической лаборатории (особенно если применяются сходные приборы!). Значительно менее вероятно, что вы столь же тщательно будете взвешивать в домашних условиях или на работе, и совсем невероятно, чтобы навык к точному взвешиванию превратился у вас в общую привычку к точности в других областях вашей деятельности.

Другой пример: умение логически рассуждать, приобретенное при изучении геометрии, по-видимому, перейдет на дальнейшее изучение геометрии, может быть, оно поможет вам при изучении физики, однако вряд ли от этого вы будете более критически относиться к рекламам и почти наверняка не станете более квалифицированным экономистом. Все же именно последнее звено в каждой цепи примеров представляет собой то, чего мы больше всего ждем от образования. К счастью, остаются еще два фактора, приведенные ниже, разумно используя которые, мы можем сделать выводы менее пессимистическими.

2) Осознанное стремление к переносу навыков должно поощряться. Если вы убеждены в своих достижениях в одной области и видите, что их можно применить к другим областям, перенос навыков более реален. Желание перенести навыки окупается тем, что оно создает необходимую для переноса общую основу. Все это и обсуждается здесь для того, чтобы вы могли поставить свои собственные цели и тем самым сделать работу более полезной.

3) Под действием сильного интеллектуального чувства навык может быть перенесен даже на совершенно другую область.

Если вы наслаждаетесь мощью науки или находите большое удовольствие в применении какого-либо метода, если вас вдохновляет научная идея или интересуют философские вопросы, возникающие при обучении, тогда более вероятно, что вы сохраните и обобщите свои успехи.

Итак, вернемся к нашим примерам. Студент, который испытывает восторг перед точным взвешиванием и делает точность своего рода идеалом, может перенести склонность к точности и аккуратности на все стороны своей деятельности. Студент, которого вдохновляет четкий метод рассуждений в геометрии, может использовать некоторые из приобретенных при изучении геометрии навыков при своей работе в качестве экономиста или юриста[43].

Точно так же экономист, предприниматель или администратор, которому доставляет удовольствие научный подход к проблемам, может сделать свою деятельность более творческой, и тогда его работа не только приобретет ценность для других, но и принесет ему удовлетворение.

Всем нам следует как можно больше думать о широком применении своих знаний и навыков, и мы должны высоко ценить то удовольствие, которое получаем от некоторых опытов, рассуждений, теорий, предположений. Таким образом, наше приглашение в лабораторию звучит несколько непривычно: «Приходите и работайте в лаборатории, и лучше, если вы будете работать там с удовольствием!» Предлагая этот курс, мы не можем управлять вашими чувствами и обеспечить появление надлежащих ощущений. Мы можем только предупредить, насколько важно ваше отношение к работе, и предоставить хорошую лабораторию для ваших экспериментов[44]. Учитывая поставленные перед вами цели, почти каждый эксперимент представляет обширное поле деятельности и почти любое оборудование годится для этого. Но вам потребуется время, чтобы завершить каждый эксперимент или исследовать новую сторону явления. Поэтому лабораторные занятия лучше организовать так, чтобы у вас оставалось дополнительное время для нескольких опытов, а не требовать выполнения каждого опыта в строго ограниченное время. В отведенные часы вы можете работать по своему усмотрению, лишь иногда испытывая потребность в советах преподавателей, а если вы попросите, чтобы они разжевали вам все до мелочей, они ответят: «Это ваши собственные исследования».

Цели лабораторной работы.

Теперь, когда вам изложены все сомнения в возможности «переноса навыков» и условия, в которых этот перенос возможен, мы можем реалистически взглянуть на цели лабораторной работы. В лаборатории — очень практично, но медленно — вы можете узнать физические «факты», от мелких деталей до общих законов.

Исследования показали, что фактические сведения быстрее приобретаются при классных занятиях или при чтении учебников. Использовать лабораторию только для накопления фактических сведений — значит, растрачивать время и дорогостоящее оборудование. И все же вы почувствуете, что фактический материал, изученный на лабораторных занятиях, становится более понятным.

В этом смысле ценность лабораторной работы состоит в том, что она позволяет глубже понять сущность изучаемых явлений.

Однако занятия в лаборатории принесут значительно больше пользы, если вы усвоите научный подход к изучению явлений или сможете почувствовать атмосферу науки. Для этого эксперимент должен стать вашей собственной работой, работой, которую вы любите, считаете частью своей жизни и с которой связаны ваши надежды на будущее. Работая как настоящий ученый, вы ставите себя в одинаковое положение с научными работниками и лучше сможете понять сущность научного метода.

Итак, ваша работа в лаборатории преследует несколько целей: изучить некоторые области физики с той тщательностью, какая возможна только при работе собственными руками; научиться применять некоторые методы исследования и правильно оценивать их возможности и, самое главное, почувствовать себя членом «сообщества ученых» и на себе испытать, что такое научная работа со всеми ее радостями и печалями, туманными теориями и надежными экспериментальными результатами, трепетом успеха и горечью неудач. Придя в лабораторию, станьте «ученым на день», и вы проникнете в сущность науки, а это ценнее любой фактической информации.

«Эксперименты по выбору».

В определенные дни (названные «эксперименты по выбору») вам будет предоставлена возможность проводить в лаборатория любые исследования (в пределах данной области физики). Для работы будут приготовлены определенные приборы, но вы сможете получить и другое оборудование, если оно вам необходимо и ваши запросы не окажутся невыполнимыми. Вас, возможно, заставят объяснить, для чего вам нужны дополнительные приборы, но высмеивать ваши планы никто не будет. В хорошей лаборатории самостоятельная работа поощряется и для нее должны быть предоставлены хорошие приборы. При этом предполагается, что вы в свою очередь будете обращаться с приборами осторожно. Научные приборы стоят дорого[45], изготовляют их по большей части искусные мастера, и как средство совершенствования человеческого разума и мастерства эти приборы заслуживают должного уважения.

Вам встретятся и простые, менее хрупкие приборы, вроде линеек и часов, которые вы заранее считаете верными. Но не будьте слишком доверчивы: бывают кривые и деформированные линейки из самой современной пластмассы и плохие часы в ярко отполированных футлярах. Убедитесь сначала, что эти приборы достаточно хороши для ваших целей, или попросите дать вам получше.

Те, кто подготавливает лабораторию для «экспериментов по выбору», заранее предвидят направление ваших исследований и ваши потребности. Но иногда вы или ваш сосед свернете неожиданно в сторону, порой весьма плодотворную. Это найдет поддержку, и вашу работу обеспечат всем необходимым. Совсем не обязательно повторять все, что делают рядом ваши соседи, — различные методы и результаты можно обсудить сообща в конце работы.

Открытия?

Возможно, вы придумаете новые эксперименты или изобретете новые методы их проведения, но вряд ли вы откроете совершенно новое физическое явление, неизвестное еще ученым. Мы не хотим обманывать вас, и вы сами не должны заблуждаться на этот счет. Тем не менее вы можете испытать счастье первооткрывателя, открывая что-то для себя, обнаруживая восхитительную простоту в природе или исследуя какое-либо поразительное явление.

Классические опыты.

В другие дни ваша деятельность в лаборатории будет ограничена определенными заданиями, возможно повторением некоторых знаменитых опытов. В таких случаях лучше, если вы отнесетесь к опыту не как к стандартному повторению, а воспользуетесь возможностью разделить удовлетворение ученого-первооткрывателя.

Лабораторный журнал.

Как «ученый на день» вы имеете право требовать предоставления хорошего оборудования, усердно работать, делать выводы, отстаивать свои взгляды и доверять собственным результатам. При этом вы должны составлять определенный отчет о своей работе, вести дневник того, что вы сделали и что наблюдали, делая выводы и заключения.

Такую запись обычно называют лабораторным журналом. Формальные требования, не имеющие ничего общего с наукой, могут превратить ведение журнала в бесполезную трату времени. Но, не делая никаких записей, вы никогда не научитесь тщательно систематизировать результаты. Для каждого ученого бесценна исписанная карандашом тетрадь, непременная спутница его экспериментальной работы. Эти записи, дополненные впоследствии, служат ему для официальных сообщений, но опасны ошибки, которые могут вкрасться при переписывании результатов. Поэтому ваши записи должны быть краткими и простыми. Мы надеемся, что они будут дороги вам как дневник вашей работы и, подобно настоящим ученым, вы будете долго сохранять их и после окончания эксперимента.

Хороший отчет не должен быть длинным. Пишите его во время лабораторных занятий и не переписывайте впоследствии из-за пристрастия к чистописанию. Как своего рода фабрика результатов и вычислений, отчет будет более полезным, если он достаточно аккуратен, но не надо, чтобы он был вылизан, как фабрика, которая не работает. Что вы подумаете о мастере, который боится работать на станке, чтобы не загрязнить помещение стружкой? Зачеркнутые ошибки, заключенные в скобки ненадежные результаты измерений, переправленные схемы с усовершенствованиями, вычисления, сделанные приблизительно и затем повторенные во всех деталях, — все это приветствуется как признак честной работы. Если вы что-то передумали, никогда не стирайте резинкой (это выглядит как уничтожение улик), а лучше зачеркивайте.

Вы должны помнить: задача отчета состоит в том, чтобы и через год вы могли во всех подробностях восстановить ход проделанной работы. Быть может, ваши записи послужат для другого студента (если он придет в лабораторию работать самостоятельно) в качестве образца, и, пользуясь вашими рекомендациями, он быстро и правильно проведет такой же опыт.

Хороший отчет должен содержать:

1) полную запись измерений — фактические отсчеты по каждому прибору или по каждой шкале, а не вычисленные на их основе цифры;

2) обработку результатов — вычисления, графики и т. д.;

3) пояснения, выводы и заключения (неотъемлемая часть, плодотворный итог вашей работы);

4) критическую оценку точности — то, что добавил бы хороший ученый. Когда ученые хотят использовать чужие результаты, их не удовлетворяет такая запись:

При делении ядер лития выделяется энергия 17,4 Мэв.

Ученый сам должен оценить степень точности своих результатов или обсудить возможные источники ошибок, чтобы другие могли сделать собственные выводы. Необходима запись хотя бы в такой форме[46]:

Выделившаяся энергия = 17,4 ± 0,2 Мэв.

Хорошо дать оценку точности и обсудить ошибки, но для этого нужно время и умение. Не тратьте на это времени, если вы не чувствуете необходимости и не получаете от этого удовлетворения.

1. Описание. На это не надо напрасно терять времени; эту часть следует свести к заметкам и делать их в ходе работы.

Опускайте все, что очевидно (например, если в отчете сказано: «Температура воды… 16,2 °C», то совершенно излишне добавлять в описании: «Мы взяли термометр и измерили температуру воды»).

Перечисление применяемых приборов — пустая трата времени (если только не применяются приборы особого качества или номерные приборы, которые вы хотите использовать впоследствии). Но если вы принимаете специальные предосторожности, об этом надо сказать (например, «мы осторожно перемешивали воду до достижения наибольшей температуры»). Для выполнения этой части отчета обычно достаточно нескольких строк — отчет о том, что вы сделали, а не переписывание стандартных инструкций, которые вы выполняли или не выполняли.

2. Запись измерений. Это главная часть отчета. Записывайте все, что может быть полезным. Во избежание переписывания, планируйте первоначальную запись так, чтобы ее легко было читать и использовать. Существуют две стандартные формы, используемые учеными:

А) Таблица отсчетов, составленная в виде снабженных заголовками колонок и рядов.

Б) Последовательная запись измерений, подобная следующей:

Измерение теплопроводности ∙ Запись. Температура воды… 16,2 °C. Диаметр стержня. 2,48; 2,46; 2,46; 2,44 … среднее 2,46 см. Радиус стержня[47] = 2,46/2… 1,23 см. Площадь = πr² = 3,14∙1,232… 4,75 см^2. Длина стержня… (и т. д.).

3. Обработка и выводы составляют половину основной ценности работы (вторая половина состоит в ее выполнении). Будьте строги и последовательны в рассуждениях, смелы и изобретательны в выводах. Извлеките из ваших наблюдений все следствия, какие только сможете, и опишите ход рассуждений. Там, где можно сделать определенное заключение, четко формулируйте его, но избегайте ничего не выражающих общих мест, вроде «я подтвердил закон» или «расхождение обусловлено ошибкой эксперимента» (последнее утверждение — не более чем слегка замаскированная попытка выгородить себя).

Работа с партнером.

Возможно, вам придется работать парами или группами. Этого требуют в большинстве лабораторий для экономии оборудования и обслуживающего персонала. Иметь сотрудника-партнера — сомнительное преимущество. Если вы переложите на него работу, то не только уступите ему аппаратуру, но и право обдумывать результаты за вас, а в конце концов, несмотря на кажущуюся экономию сил и времени, вы окажетесь в проигрыше. Но если вы будете относиться к партнеру как к собрату-ученому, т. е. вместе с ним составлять план опыта, обсуждать совместно методику, наблюдать за проведенными им измерениями и давать ему проверять ваши, сравнивать свои данные с его независимо полученными, результатами, тогда работа вдвоем станет очень полезной. (В отчете его результаты используйте наравне со своими, но указывайте их происхождение на случай, если они окажутся сомнительными.).

ПРЕДЛАГАЕМЫЕ ОПЫТЫ.

(Приведенный ниже перечень ориентировочен и не полон; он может быть пополнен опытами, описанными в других главах.).

Опыт 1. Падение тел и полет снарядов (необязательный, опыт по выбору). Об этом опыте говорилось в гл. 1. Если у вас имеется возможность работать в лаборатории с самого начала курса, проделайте по своему выбору любые физические опыты с падающими и летящими телами (в воздухе или в другой среде). Начните со старых, простых и очевидных опытов, подобных подбрасыванию монет разного размера; быстро проделайте их и в нескольких строчках опишите, что вы сделали, что наблюдали, и сделайте какие-нибудь выводы. Не задерживаясь долго на этих опытах, придумайте и проведите более сложные исследования. Постарайтесь проявить изобретательность и сделать эти исследования возможно более разнообразными. Пока это еще развлекательная стадия, которая не требует тщательного планирования и долгих систематических исследований. Опыт 2. Исследование пружин (опыт по выбору). Попытайтесь узнать все, что возможно, о физических свойствах пружин. (Вы получите готовую спиральную пружину из стальной проволоки, но можете сделать себе и другие пружины, например навивая медную проволоку на стержень. При желании вам дадут другие материалы и пружины другой формы.) В этом опыте вы попадаете в обширную область так называемой «теории упругости», которая позволяет развивать исследования во многих направлениях: растягивание, скручивание, влияние различных способов обработки пружин. Лучше начать с приведенного ниже простого «обязательного эксперимента», а затем продолжить работу по собственному усмотрению, насколько у вас хватит изобретательности. Именно на опыты последнего типа возлагается основная надежда в этом курсе, и именно они принесут вам наибольшую пользу. «Обязательный эксперимент». Определите, как растяжение пружины зависит от приложенной к ней нагрузки. Растяжением называют величину удлинения пружины от ее длины в ненагруженном состоянии до длины пружины с данным грузом. (Таким образом, растяжение отсчитывают каждый раз от исходного, ненагруженного положения.). Отмечайте положение какого-либо указателя по шкале в сантиметрах или метрах (а потом вычислите растяжение и запишите его в следующей колонке) и груз в граммах или килограммах. Результаты измерений выразите в виде графика. (После этого опыта стоит задуматься над смыслом выражения «научный закон».). Опыт 3. Количественное изучение ускоренного движения. Это исследование «катящегося колеса», о котором сказано в гл. 1. Проделайте один из вариантов этого опыта (фиг. 81).

Фиг. 81. Опыт 3.

Измерения проводите очень точно; результаты представьте в виде графиков зависимости s от t (график 1) и s от t² (график II). С помощью графика II проверьте, насколько хорошо движение колеса соответствует простому движению, описываемому соотношением. УСКОРЕНИЕ = ПОСТОЯННАЯ ВЕЛИЧИНА. Если сможете, после опыта дайте общую оценку точности измерений, обсудив ее с преподавателем и другими студентами. Если вы можете определить вероятные ошибки. Для средних значений времени и расстояния, отметьте пределы ошибок вокруг точек на ваших графиках.

Обработка результатов опыта с вращающимся колесом.

После выполнения опыта 3 подвергните результаты аналитической обработке; придайте им форму ответов на приведенные ниже вопросы.

Эти вопросы составлены для колеса, которое скатывается по наклонным рельсам длиной 1 м и проходит весь путь за 25 сек (при другом устройстве вопросы следует соответственно видоизменить). Предполагается, что измеряются промежутки времени, за которые колесо проходит 0,2…, 0,6, 0,8… м от начала движения, и эти данные используются для построения графиков. (Записывается также время для промежуточного расстояния 0,7 м и путь, пройденный за 15 сек от начала движения, но эти данные на графике не откладываются, а используются в качестве проверочных в ходе анализа.).

1. Можно ли по графику I сделать вывод, что s изменяется пропорционально t?

2. Можно ли по графику II сделать вывод, что s изменяется пропорционально t²?

3. Интерполяция. Предположите, что ваши графики правильны, и с помощью интерполяции дайте ответы на следующие вопросы:

А) Каково значение t для s = 0,7 м по графику I?

— по графику II?

— по непосредственным измерениям (сохраненным для этой проверки)?

Б) Каково значение s для t =15 сек по графику I?

— по графику II?

— по непосредственным измерениям (сохраненным для этой проверки)?

4. Почему для интерполяции, требуемой в вопросе 3, точнее пользоваться графиком II, нежели графиком I?

5. а) Если справедлива формула s = ¹/₂ at² (при постоянном ускорении а), как должны относиться значения t для 0,8 и для 0,2 м?

Б) Вычислите величину этого отношения по вашим измерениям.

6. Вычисление ускорения по наклону графика. На графике II выберите две удобные точки, отстоящие далеко одна от другой, найдите для них значения s и t² и запишите их.

С помощью этих чисел рассчитайте величину а, предполагая, что справедливо соотношение s = ¹/₂ at².

7. Почему величину а определять с помощью наклона графика точнее, чем подставить в формулу значения s и t, измеренные только для одного расстояния, скажем для 0,8 м?

8. Несколько способов определения скорости. Выберите на пути колеса подходящую точку, скажем 0,6 м, и найдите скорость в ней тремя методами:

А) по соотношению v = at, подставляя в него измеренные значения t для этого расстояния и значение а, полученное в ответе на вопрос 6;

Б) по соотношению v² = 2as, подставляя выбранное значение s и полученное значение а;

В) по наклону графика I: проведите касательную при значении s = 0,6 м, продолжите касательную на бумаге, выберите на ней две далеко отстоящие точки, найдите их координаты и запишите их; с их помощью вычислите наклон касательной (см. обсуждение в гл. 1, а также пояснения к графикам в гл. 11);

Г) сравните результаты методов (б) и (в); выразите разность между скоростью, полученной по методу (в), и скоростью, полученной по методу (б), в виде % от этой скорости (см. обсуждение относительно отклонения в гл. 11).

9. Если бы колесо не вращалось, а скользило без трения, каким было бы ускорение: таким же? бóльшим? меньшим? Почему? (Это очень важный вопрос и над ним стоит поразмыслить. Для полного ответа требуется более глубокое знание физики. Если вы нашли ответ, то благоразумно отложите свою догадку, не проверяя, целиком ли она верна, до следующей главы, где будет дан ясный ответ.).

Опыт 4. Маятники. Из всех возможных объектов исследуем только простой маятник, т. е. небольшой шарик, раскачивающийся взад и вперед на длинной нити. Постарайтесь ответить только на один вопрос: как время колебания, или период маятника, зависит от каждого из физических факторов, которые могут влиять на него? Даже при таком ограничении задача достаточно сложна, если не последовать хорошему правилу изменять каждый раз только один из выбранных факторов, сохраняя другие постоянными. Периодом колебания называют время одного полного цикла колебания «туда и сюда». От каких факторов может зависеть период? Очевидно, от длины маятника, которой очень легко дать определение «расстояние от точки подвеса до центра шарика», но не просто, да и неразумно измерять непосредственно в такой форме. Хорошо известно, что более длинному маятнику требуется больше времени, чтобы совершить одно колебание. Но какая именно связь существует между периодом Т и длиной L? Действует ли здесь простое математическое правило? (Правило существует. Его можно вывести на основании сведений из других областей физики, например зная свойства векторов силы и ньютоновы законы движения. Но здесь вы должны провести «эмпирическое исследование», т. е. с помощью собственных экспериментов получить от природы прямые ответы на поставленные вопросы.). Какие еще факторы могут влиять на Т? Влияют ли на Т масса или вес шарика, амплитуда или размах колебаний, а может быть, и другие факторы? Для начала исследуйте, как Т зависит от: длины маятника L, амплитуды колебания А° в каждую сторону от вертикали, массы шарика М. Чтобы не спутать различные эффекты, поддерживайте две из трех величин L, А, М постоянными и, изменяя третью, производите измерения Т. Имеет ли значение, какую из трех величин вы будете изменять в первую очередь? В данном случае это важно — здесь существует единственный логический правильный выбор. Пока вы будете размышлять над этим, проделайте некоторые предварительные измерения для овладения методикой работы. Опыт 4(а). Предварительные измерения. Настоящий ученый вовсе не ожидает, что его приборы сразу же дадут поток точных измерений. Он «экспериментирует со своим экспериментом», проверяя различные методики, совершенствуя свое искусство. Выберите длинный маятник (60–90 см), и произведите точные измерения периода его колебаний с помощью хорошего секундомера (или наблюдая через увеличительное стекло за секундной стрелкой обычных часов, в то время как ваш напарник будет подавать сигналы). Запишите ваши результаты. Сравните их с измерениями вашего напарника. Посмотрите, какими методами пользуются соседи, и подготовьтесь к критическому обсуждению методики измерений.

Групповое обсуждение.

Когда вы приобретете опыт работы с приборами, создайте из группы студентов и преподавателя «исследовательский совет» для обсуждения трудностей и методов работы. В ходе такого обсуждения следует сказать о полезных приемах работы, которые вам удалось изобрести, покритиковать ошибки, замеченные вами у товарищей, обсудить надежность оборудования, выбрать хорошие методы работы и спланировать порядок эксперимента. Проводить обсуждение до выполнения предварительных опытов не имеет смысла; оно либо сведется к простому угадыванию, либо преподавателю придется выдать подробные готовые рецепты работы. Как и при работе настоящих исследователей, для серьезного обсуждения требуется практическое знакомство с аппаратурой. В ходе обсуждения вы обнаружите, что имеются веские причины начать исследование с влияния амплитуды, а не с массы или длины.

Опыт 4(б). Измерение зависимости Т от А. Тщательно измерьте значения Т при разных амплитудах, например 80, 60, 40, 30, 20, 10°…. В ходе опыта постройте приблизительный график зависимости Т от А, чтобы можно было им руководствоваться при выборе точек для последующих измерении. Если окажется, что точки графика занимают на бумаге только узкий участок, построите другой график в увеличенном масштабе по одной из осей координат, чтобы на таком увеличенном графике лучше была видна форма зависимости. (На увеличенном графике начало координат не обязательно должно умещаться на бумаге — оно может находиться и за ее пределами.) Если вы встретитесь с трудностями, обсудите их с преподавателем; беседу с преподавателем рассматривайте как возможность полупить хороший совет от другого ученого, а не как кратчайший способ подглядеть правильный ответ. Когда у вас накопится достаточное количество хороших результатов, постройте точный график зависимости Т от А; если надо, стройте его тоже в увеличенном масштабе.

Фиг: 82. Простой маятник.

На этой стадии, по всей вероятности, придется провести еще одно совещание. Сравнивая свой график с графиками других участников, вы, вероятно, обнаружите в них определенное сходство, но многие графики могут иметь совершенно непонятную форму из-за больших случайных ошибок. Точный ответ на вопрос, каким образом Т зависит от А, необходим; без него невозможно провести другие части данного исследования. Чтобы получить ответ, придется произвести очень тщательные измерения Т для определенного интервала амплитуд. Из полученного графика станет очевидно, каков этот интервал и почему измерения за его пределами не должны быть очень тщательными.

Более точные измерения.

Когда вы приобретете опыт работы и лучше узнаете тонкости метода, произведите точные измерения, необходимые для разрешения важного вопроса относительно формы зависимости между Т и А, и постройте соответствующий график. (Это кажется долгой и скучной работой, суетой вокруг большей точности. Она отнимает время и силы, но получаемый выход все окупает.) Разрешив этот вопрос, четко запишите ваш ответ или вывод и используйте его в следующем опыте.

Опыт 4(в). Измерение зависимости Т от М. Как вы думаете, во сколько раз тяжелый шарик будет раскачивать маятник быстрее, чем легкий? Измерьте период Т довольно длинного маятника, руководствуясь при выборе условий работы выводом, полученным в предыдущем эксперименте. (Конечно, не следует для каждого нового шарика повторять снова все исследование зависимости Т от А. Раз эта зависимость установлена, она уже установлена, и ее можно использовать без повторных исследований[48].) Возьмите другой шарик, более тяжелый или более легкий, и повторите измерения. Убедитесь, что длина L от точки подвеса до центра шарика остается одинаковой во всех случаях. (Именно поэтому мы в виде наставления рекомендовали взять длинный маятник: чем длиннее нить, тем меньше относительное изменение L, если вы немного ошибетесь при подборе шариков.). Опыт 4(г). Измерение зависимости Т от L. Период Т сильно изменяется при изменении L, поэтому, чтобы построить хороший график (или каким-либо другим способом исследовать зависимость между ними), требуется большое число измерений. Для решения этого вопроса хорошо объединиться всем студентам группы, занимающейся в лаборатории. Зная ответы на вопросы 4(б) и 4(в), легко договориться о получении сопоставимых результатов измерений от каждого члена группы. Каждый студент (или двое студентов) должны измерить Т при какой-либо одной длине маятника, а затем результаты измерений всей группы сводят в общие графики. Одному студенту дают длину от 1 до 1,1 м, другому от 0,9 до 1 м и т. д. (С очень короткими маятниками работать труднее, но если кто-нибудь решит их испробовать, ему могут помочь вспомогательные приспособления.) Потом каждому в группе потребуются записи всех результатов, чтобы построить график зависимости Т от L и найти соотношение между этими величинами.

«Формула маятника». Определение g.

Определенное соотношение между Т и L существует; это соотношение хорошо известно, и вы, вероятно, встречали его в книгах по физике или в качестве примера в книгах по алгебре. Если оно вам еще не известно, попытайтесь определить его по числам в сводных записях или по форме вашего графика. Затем постройте второй график — зависимость какой-нибудь другой величины (1/Т? √Т?…?) от L, который, по вашему мнению, должен быть прямолинейным. Или, если вы предпочитаете это, попросите, чтобы преподаватель подсказал вам это соотношение, и с его помощью постройте прямолинейный график. Проведите «наилучшую прямую линию», которая проходит «как можно ближе к возможно большему числу точек».

Формула маятника, связывающая Т и L, содержит также величину g, и измерение периода маятника представляет сейчас наиболее точный метод измерения g. Если вы не знаете этой величины, узнайте у преподавателя полную формулу и вычислите g с помощью вашего прямолинейного графика. Для этого сначала нужно найти наклон линии на графике, так как величина наклона в отличие от расчета по одному опыту дает средневзвешенное значение для многих опытов. Вычислите g также из вашего собственного измерения, которое было сделано для «общего котла».

Опыт 4(д). Другие системы с «маятниковым движением». Закончив предыдущие этапы опыта 4, следует познакомиться с «теоретическим обсуждением» движения маятника, данным в начале гл. 10. Там предлагаются совершенно другие механические системы, которые обладают основным свойством маятника. На основе этих предложений сделайте соответствующие устройства и исследуйте их движение. (Этот опыт занимает немного времени, а его результаты удивительны.).

Измерение давления; закон Бойля.

XVII век открывает новую яркую полосу в истории научных исследований. На смену «рассуждениям об опытах», которыми пользовался Галилей для борьбы с догматической средневековой наукой, пришла изобретательная, не доверяющая предвзятым мнениям экспериментальная наука. Развитие науки стимулировалось пробуждением интеллектуальной жизни, а также растущими нуждами промышленности. Рабский или почти рабский труд уступил место системе, которая учитывала интересы и благосостояние рабочих. Для облегчения тяжелой работы и обеспечения безопасности таких производств, как горное дело, потребовалась механизация.

В те времена еще не было заводов, подобных современным, но горное дело было уже достаточно развито и работа в шахтах была опасной. Во избежание затопления шахт необходимо было откачивать воду, требовались усовершенствования и вентиляция. Поэтому научное исследование носило прикладной характер, и когда Галилей и Бойль исследовали насосы и давление воздуха, то работали для практических нужд в той же мере, в какой открывали в науке новую эру экспериментирования.

Гук открыл простой закон поведения пружин примерно в 1676 г. Несколько ранее Бойль исследовал «пружину из воздуха». Производя опыты с пружиной, мы можем без особого вреда, но и без всякой пользы вставлять ее в стеклянную трубку, если при этом растягиваем пружину. Если же нам нужно сжать пружину[49], то окружающая ее стеклянная трубка оказывается полезной. Бойль набирал в стеклянную трубку немного воздуха и обращался с ним, как с заключенной внутри пружиной. Растяжение или сжатие воздуха можно было легко измерить, определяя длину остающегося внутри пространства. Бойль применял не имеющий трения поршень из ртути[50], вдавливаемый в закрытую сверху трубку, в которую был набран воздух. При этом давление ртути он рассматривал как «силу», действующую на пружинящий воздух. Ему приходилось делать поправку на «помощь», которую (хотел он этого или нет) оказывало атмосферное давление.

Бойль сделал замечательное открытие, которое доставило ему большое удовлетворение, — он установил простую связь между давлением воздуха и его объемом. Этим правилом пользуются везде, где имеют дело с газами (в химии, физике и в биологии).

Вы сможете воспроизвести в лаборатории работу Бойля и, вероятно, проверить его открытие более точно, чем он сам. Однако сначала надо уяснить себе смысл понятия давление, поэтому в качестве предварительного опыта следует научиться производить простейшие измерения давления. Выполните измерения и расчеты опыта 5 (а), прежде чем приступить к проверке закона Бойля — опытам 5 (б) или 5 (в). Если вы не знакомы с законами давления и с применением U-образных трубок в качестве манометров, прочтите приведенные ниже предварительные замечания. Решите также задачи на давление.

Некоторые сведения о давлении и его измерении.

Вода в обоих коленах открытых U-образных трубок устанавливается на одном и том же уровне независимо от формы трубок[51] (см. демонстрационные опыты). Это позволяет думать, что равновесие не определяется весом жидкости в каждом колене. В трубке, имеющей колена разного размера, вес жидкости в широком колене значительно больше, чем в узком, и нагрузка на дно обоих колен различна. Но существует некий фактор, который одинаково действует на жидкость по обе стороны от соединительного колена трубки, и оказывается, что это не вес вышележащей жидкости, а сила, действующая на единицу площади, или нагрузка на каждый квадратный сантиметр, которую и называют давлением.

Как говорит пословица, кошке позволено смотреть на короля; ученый имеет полное право силу, приходящуюся на единицу площади, назвать давлением, не имея при этом в виду никакого научного факта. Но мы даем названия только таким величинам, которые особенно полезны. Например, произведение (масса)∙(скорость) полезно, потому что оно сохраняется постоянным, и мы называем его количеством движения. Полезно и отношение (масса)/(объем), которое дает массу каждой единицы объема[52], поэтому мы называем его плотностью. Мы даем специальное название отношению (сила)/(площадь) (=сила, действующая на каждую единицу площади), потому что оно очень полезно при обращении с жидкостями и газами:

ДАВЛЕНИЕ = СИЛА / ПЛОЩАДЬ.

Проработка задач 1–5 научит вас обращению с понятием «давление».

Задача 1. Килограмм∙сила (кГ) — «плохая» единица силы; ньютон — «хорошая» единица. А) Назовите еще одну «плохую» и еще одну «хорошую» единицу силы. Б) Назовите единицы давления, которые соответствуют каждой из этих четырех единиц силы. Задача 2. 1) Человек весом 68 кГ стоит на прямоугольном бруске из мягкой глины. Верхняя грань бруска имеет размеры 12,5 см х 7,5 см и полностью накрыта подошвой ботинка, которая больше бруска. А) Какую силу и б) какое давление оказывает человек на глину?

Фиг. 83. К задаче 2.

2) Предположим, что человек сходит с бруска, кладет на глину небольшой деревянный кубик размером 2,5 см х 2,5 см х 2,5 см и становится на верхнюю грань кубика, балансируя на одной ноге. А) Какую силу и б) какое давление теперь оказывает он на глину? 3) Как различается действие на глину в случаях 1 и 2? 4) Что является более полезной мерой, когда имеешь дело с деформацией глины и т. д., сила или давление. 5) Резец для резьбы по дереву имеет клинообразную форму и заканчивается острым лезвием. Укажите причины придания резцу такой формы (их по крайней мере две). Задача 3. (Эти вопросы, помогают понять принцип действия барометров.). 1) Плотность воды равна 1000 г на 1 дм³. Что это значит? 2) Удельный вес ртути равен 13,6. Что это значит? 3) Выразите плотность ртути в г/дм³ в виде произведения сомножителей. 4) Выразите плотность ртути в кг/м³ (плотность воды в единицах МКС равна 1000 кг/м³). 5) Прямоугольный бак имеет основание размером 3 м х 1,5 м; бак заполнен ртутью до глубины 60 см (фиг. 84). А) Каков вес ртути в баке (в кГ)? 6) Какова сила, действующая на дно бака (в кГ)? В) Каково давление на дно (в кГ/м²)? Г) Сколько квадратных сантиметров в 1 м²? Д) Каково давление на дно (в кГ/см²)? 6) Предположим, что бак находится внутри второго бака значительно большего размера и больший бак также заполнен ртутью до глубины 60 см, так что слой ртути глубиной 60 см находится как внутри первого бака, так и вне его (см. фиг. 84).

Фиг. 84. Баки со ртутью.

А) Изменятся ли ответы на вопросы 5 для внутреннего бака? Б) Допустим, что первый бак растворился, а ртуть осталась и основание от первого бака также осталось на месте. Останется ли давление на основание тем же (глубина ртути по-прежнему 60 см)? 7) Какие числа нужны для расчета давления ртути на дно бака? Какое число не нужно и почему? 8) Давление можно вычислить с помощью примитивного, простого, но длинного метода деления общего веса жидкости на площадь основания, на котором она находится. А) При какой площади основания эти вычисления упрощаются? Б) Годится ли этот метод, если боковые стенки наклонны? Задача 4. Вода удерживается дамбой высотой 12 м и шириной 30 м (фиг. 85). Уровень воды лежит на 3 м ниже верха дамбы. Вода простирается на 2,93 км от дамбы.

Фиг. 85. К задаче 4.

1) Можно найти общий вес воды, удерживаемой дамбой. Для этого надо использовать величину 2,93 км. Почему для расчета давления на дамбу это значение не нужно? (Другими словами, почему давление воды будет таким же, если вода простирается только на 1,93 км?). 2) Воздух давит? на открытую внешнюю часть дамбы. Это давление прибавляется также к давлению воды на внутреннюю поверхность дамбы. Таким образом, при определении сил, опрокидывающих дамбу, эти два давления компенсируются. Поэтому в приведенных вычислениях атмосферным давлением можно пренебречь. Вычислите: А) давление на открытой поверхности воды (ответ: нуль); Б) давление на дне водоема; В) среднее давление на участке от верхнего уровня воды до дна (руководствуйтесь здравым смыслом); Е) общую силу, с которой вода давит на дамбу. [Указание: (давление) = (сила)/(площадь); (сила) = (давление)∙(площадь). Для расчета силы используйте среднее давление.]. Задача 5 (трудная). Дамба построена слишком низкой, так что уровень воды оказался на 60 см выше верхнего края дамбы и вода переливается через дамбу (фиг. 86). Ширина дамбы 30 м, высота 12 м, а высота воды за дамбой 12,16 м. Следуя ходу вычислений задачи 4, найдите общую силу, действующую на эту дамбу. (Пренебрегите всеми незнакомыми вам изменениями давления, обусловленными быстрым движением воды, например «эффектом Бернулли».).

Фиг. 86. К задаче 5.

Законы давления (согласно Паскалю)

В покоящейся жидкости[53] давление подчиняется следующим правилам.

I. Давление одинаково по всему дну прямоугольного сосуда с жидкостью. В более общей форме давление одинаково во всех точках, которые находятся на одном и том же уровне в одной и той же жидкости (или газе).

II. Давление жидкости на любую поверхность направлено перпендикулярно к ней. (Водолаз, который держит в руке монету, убеждается, что независимо от того, как повернута монета, давление оказывается перпендикулярным к ее поверхности.).

III. В любой точке жидкости давление действует одинаково во всех направлениях. (Водолаз, который держит в руке монету, убеждается, что давление на монету одинаково независимо от того, в какую сторону она повернута.).

IV. Давление передается без потерь внутри жидкости из одного места в другое. (Если надавить на поршень гидравлической системы, то созданное давление передается на каждую стенку и на каждый другой поршень в системе.).

V. Разность давлений между любыми двумя точками в жидкости равна произведению h∙d, где h — разность уровней по вертикали, и d — плотность жидкости. На этом основан простой способ измерения давлений, который описан ниже.

Алгебраический вывод I и V законов давления.

Закон I. Давление одинаково по всему дну прямоугольного сосуда с жидкостью. Давление на любой участок дна можно рассчитать следующим образом.

Выберем участок площадью А см².

Найдем вес вертикального столба жидкости, который опирается на основание А, т. е. силу притяжения, которая действует на эту часть жидкости (фиг. 87). Затем, чтобы найти давление, разделим этот вес на площадь основания А:

Фиг. 87. Закон I. Давление одинаково по всему дну прямоугольного бака с жидкостью.

ОБЪЕМ СТОЛБА = ВЫСОТА ∙ ПЛОЩАДЬ = h∙А,

МАССА ЖИДКОСТИ В ЭТОМ СТОЛБЕ = ОБЪЕМ ∙ (МАССА / ОБЪЕМ) = ОБЪЕМ ∙ ПЛОТНОСТЬ = hА∙d.

При применении «плохих» единиц (таких, как кГ) масса столба жидкости, выраженная в кг, численно равна весу жидкости в единицах кГ. Таким образом,

ДАВЛЕНИЕ р = СИЛА / ПЛОЩАДЬ = ВЕС СТОЛБА / ПЛОЩАДЬ ОСНОВАНИЯ = hAd/A = hd.

Итак, давление на любую площадь основания равно произведению.

ГЛУБИНА ЖИДКОСТИ ∙ ПЛОТНОСТЬ.

И не зависит от размера площади.

Если мы хотим выразить вес в «хороших» единицах, например в ньютонах, то должны умножить массу на ускорение силы тяжести g (9,8 ньютон/кг). Тогда.

ДАВЛЕНИЕ = h∙d∙(УСКОРЕНИЕ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ g),

ДАВЛЕНИЕ НА ЛЮБУЮ ПЛОЩАДЬ ДНА = ГЛУБИНА ЖИДКОСТИ ∙ ПЛОТНОСТЬ. g.

Закон V. Разность давлений между двумя точками в жидкости равна.

Δ (ВЫСОТА) ∙ ПЛОТНОСТЬ.

Чтобы найти разность давлений (P_Y — Р_Х) между точками Y и Х, выделим в жидкости прямоугольный объем или вертикальный столб с площадью основания А и высотой h от Y до X (фиг. 88).

Фиг. 88. Закон V. Разность давлений между двумя точками в жидкости равна Δ (Высота)∙Плотность.

Этот участок жидкости находится в равновесии, поэтому равнодействующая всех вертикальных сил, действующих на него, должна быть равна нулю. На этот участок жидкости действуют силы:

Вес жидкости в столбе, h∙A∙d;

Направленное вниз давление окружающей жидкости на вершину,

P_х∙А;

Направленное вверх давление окружающей жидкости на основание,

P_Y∙А.

Отсюда.

P_Y∙А = P_х∙А + h∙A∙d,

P_Y — P_х = h∙d.

В «хороших» (абсолютных) единицах.

P_Y — P_х = h∙d∙g.

Измерение разности давления с помощью U-образных манометров.

Для измерения давлений часто используют заполненные жидкостью U-образные трубки, которые не обязательно должны иметь колена одинакового размера. Их действие основано на только что выведенной формуле.

РАЗНОСТЬ ДАВЛЕНИЙ = h∙d.

Например, надо измерить давление р, которое создается дыханием человека (фиг. 89).

Фиг. 89. Измерение давления.

Итак, давление в точке М равно р. Давление в точке N, противоположной М, также равно р (чтобы убедиться в этом, можно проследить переход от точки М вниз до дна, затем поперек соединительного колена и потом вверх к точке N). В точке L давление равно атмосферному, А. Но.

(ДАВЛЕНИЕ В N) = (ДАВЛЕНИЕ В L) + (h∙d);

Т. е.

ДАВЛЕНИЕ p = A + h∙d.

Единицы давления.

С помощью формулы p = h∙d получают разность давлений в «инженерных единицах», например в кг/м². (Строго говоря, применяемую здесь единицу силы надо называть килограмм∙сила.).

Умножив полученную величину на ускорение силы тяжести g (9,8 ньютон 1 кг), найдем давление в «абсолютных» единицах, например в ньютон/м².

Иногда давление выражают в виде высоты столба жидкости, например в сантиметрах водяного столба, подобно тому как расстояние в горах можно выражать в часах (подъема).

Иногда давление выражают в атмосферах, используя в качестве стандарта среднее значение атмосферного давления.

Опыт 5(а). Простые измерения давления. Перечисленные ниже измерения производятся с помощью U-образных трубок с жидкостью. Трудно с достаточной точностью непосредственно отсчитать разность между уровнями в обоих коленах. Значительно лучше определять высоту от основания прибора до каждого из уровней по отдельности. Под действием поверхностного натяжения поверхность жидкости в каждой трубке образует искривленный мениск. Так как необходимо найти разность уровней, то в обоих коленах следует производить измерения от одной и той же части мениска. Обычно предпочитают использовать для измерения дно мениска; при этом глаз наблюдателя должен находиться на уровне мениска. (Нужно ли измерять также начальные уровни до приложения давления? Почему?). 1) Измерьте избыток давления в ваших легких над атмосферным давлением в сантиметрах водяного столба. Затем вычислите давление в легких в кг/см². Так как величину атмосферного давления вы еще не знаете, обозначьте ее буквой А и просто записывайте +А там где это необходимо. 2) Если вам угодно, измерьте также минимальное давление в легких, всасывая воздух в себя. 3) Измерьте избыток давления в ваших легких над атмосферным давлением в метрах ртутного столба. Затем давление в легких вычислите в единицах: а) кГ/мг²; б) ньютон/м². Атмосферное давление учитывайте в виде слагаемого +А. 4) Измерьте избыточное давление в газовой сети в сантиметрах водяного столба. 5) Демонстрационный опыт. Вооружитесь барометром, с помощью которого можно измерить атмосферное давление. Запишите «высоту барометра» в сантиметрах и метрах ртутного столба. Вычислите атмосферное давление в единицах: А) кг/см²; б) кГ/м²; в) ньютон/м². (В этих единицах, вероятно, получатся значения, близкие к легко запоминающимся круглым цифрам. Они потребуются в гл. 25[54])

Фиг. 90. Барометр.

Задача 6. При расчете давления воздуха по высоте столба в барометре предполагается, что в верхней части барометрической трубки существует вакуум. А) Почему в трубке должен быть вакуум? Опишите подробно методику эксперимента, подтверждающую это. Б) Как практически можно проверить, что там вакуум?

Фиг. 91. Проверка качества вакуума.

Опыт 5(б). Проверка закона Бойля (в его первоначальной форме). Это простой опыт, использующий устройство, придуманное самим Бойлем. Роберт Бойль описал свои опыты над «пружиной из воздуха» в статье, доложенной Королевскому обществу в Лондоне в 1661 г.; отрывок из этой статьи приведен ниже. Повторите опыт Бойля, имея в своем распоряжении ртуть и J-образную стеклянную трубку, подобную изображенной на фиг. 92. (Изобразите две стадии опыта с помощью двух рисунков, отметив на них результаты измерений.).

Фиг. 92. Прибор для проверки закона Бойля.

«Тогда мы взяли длинную стеклянную трубку, нагрели ее на паяльной лампе и довольно ловко согнули внизу так, что отогнутое колено было почти параллельно основной части трубки, а отверстие на коротком колене герметически запаяли. К этому колену мы тщательно приклеили ровный лист бумаги, который был разделен на дюймы (каждый дюйм в свою очередь был разделен на восемь частей). Затем в трубку налили столько ртути, чтобы можно было заполнить ее изогнутую часть и чтобы ртуть в одном колене доходила до нижней части бумаги с делениями и до точно такой же высоты в другом колене; при этом мы трубку часто наклоняли, и воздух мог свободно проходить мимо ртути из одного колена в другое (подчеркиваю, на это мы обращали особое внимание), чтобы воздух, оставшийся в конце концов в коротком колене, был разрежен так же, как окружающий воздух (иначе говоря, имел ту же плотность и давление, что и атмосферный). Сделав это, мы начали наливать в длинное колено трубки ртуть, которая своим весом заставляла воздух в коротком колене постепенно сжиматься; мы продолжали наливать ртуть до тех пор, пока воздух в коротком колене в результате сгущения не стал занимать только половину того пространства, которое он занимал ранее. Тогда мы взглянули на длинное колено трубки, к которому также был приклеен лист бумаги, тщательно разделенный на дюймы и части, и не без удовольствия и удовлетворения отметили, что ртуть в этом длинном колене стояла на 29 дюймов выше, чем в другом. Тот же воздух, доведенный до вдвое большей степени плотности, чем он имел в начале, образовал вдвое более сильную пружину». Бойль произвел более обширные измерения и получил хорошее соответствие между наблюдаемым давлением и тем, «каким это давление должно быть, согласно гипотезе, предполагающей, что давление и расширение(= объем) находятся в обратной пропорциональности». Опыт 5(в). Проверка закона Бойля с помощью современных приборов. Произведите тщательную проверку закона Бойля с помощью современной аппаратуры на примере какого-либо газа в возможно более широком интервале давлений. (Рассматривайте эту работу как проверку своего искусства, как своего рода единоборство с природой, а не как стандартное подтверждение давно известного закона.). Трубка, содержащая образец сухого воздуха (или другого испытываемого газа), должна иметь постоянный диаметр, иначе результаты ваших измерений будут отражать не только газовый закон, но и степень неоднородности трубки. Если для измерения давления газа применяют ртутный манометр, одно колено которого открыто на воздух, то давление газа удобно вычислять с помощью следующего приема. Поскольку атмосфера давит на открытую поверхность ртути, замените ее воображаемым дополнительным столбом ртути. Для этого: 1) отметьте положение уровня ртути в открытом колене; 2) прибавьте к нему высоту ртути в барометре, чтобы получить новое «положение открытого уровня», учитывающее атмосферное давление; 3) продолжайте вычисления обычным образом, используя это новое положение уровня. Произведите проверку закона Бойля, перемножая найденные вами величины давления газа р и его объема V. Постройте также графики: I) зависимости давления от объема; II) (догадавшись по опыту Бойля, что надо сделать, чтобы получить прямую линяю) зависимости давления от величины 1/(объем). Задача 7. А) Если точки графика II ложатся на прямую линию, проходящую через начало координат, покажите, что поведение газа описывается формулой pV = постоянная. Б) Так как газ не может проходить через запирающий его поршень, его масса М остается постоянной. График II дает прямую линию, проходящую через начало координат. Что это говорит о плотности газа? Задача 8. Чтобы яснее представить себе форму «графика закона Бойля», нарисуйте график р: V в увеличенном масштабе. Предположите, что закон Бойля совершенно точно описывает поведение воздуха в значительно более широком диапазоне, чем тот, который вы исследовали в лаборатории, и получите дополнительные «данные» посредством экстраполяции следующего типа. Допустим, что давление в вашем опыте менялось от ¹/₂ до 2 атм. Вычислите (среднее) значение pV для ваших опытов и с его помощью вычислите V для давлений, скажем ¹/₄, ¹/₈, 4 и 8 атм. Нанесите эти «данные» вместе с результатами ваших измерений на график, имеющий соответствующий масштаб, хорошо при этом осознавая различие между реальными точками, полученными, из опыта, и догадками, сделанными путем экстраполяции.

Способы передачи теплоты.

Предлагаемые ниже опыты снабжены подробными инструкциями и дают мало возможностей для экспериментирования. Их истинная цель состоит в том, чтобы предоставить широкое поле для размышлений и выводов. Опыты можно проделать в начале курса, так как для них требуется лишь общее представление о теплоте (дополненное приведенными здесь замечаниями). Не обязательно ждать опытов по измерению теплоты, предложенных в гл. 27[55].

Введение.

Работа в научной лаборатории весьма многогранна — от точного измерения определенных величин или испытания определенных веществ до тщательно спланированного всестороннего исследования некоторых новых явлений или, наконец, свободного изучения какого-либо вопроса. Именно по последнему пути большей частью развивалась ранняя наука; этот путь полезен и сегодня в тех случаях, когда в науке открывается новая область. Проводя такие исследования, ученые по мере выполнения работы непрерывно корректируют свои планы; они всегда начеку, боясь пропустить неожиданные возможности для постановки новых опытов или какие-то намеки на получение новых знаний. В науке «случай благоприятствует только подготовленному воображению»[56], и сама наука благоприятствует чуткому, гибкому воображению.

Выполняя опыты 6(а)—6(к), вы должны постараться извлечь из своих наблюдений как можно больше сведений относительно процессов передачи теплоты. К некоторым из полученных вами приборов будут приложены определенные инструкции, однако вы можете попросить любые необходимые вам дополнительные приборы и, если позволит время, должны сами придумать и провести с их помощью дальнейшие опыты. Но сначала прочтите следующие пояснения.

Общие сведения о способах передачи теплоты.

Теплота может передаваться от одного предмета к другому; конечно, иногда это мешает проведению опытов, но во многих случаях возможность передачи теплоты играет большую роль, например при отоплении домов или в химических производствах. Существуют три различных способа передачи теплоты, весьма напоминающие три способа передачи сообщения: можно передать записку от одного студента другому в аудитории; можно послать специального посыльного и можно передать с помощью звука.

Теплопроводность. Когда теплота передается от одной части вещества к соседней без видимого перемещения вещества, этот процесс называют теплопроводностью. Теплота проходит вдоль кочерги от раскаленного докрасна конца к более холодному или поднимается вверх по серебряной ложке, опущенной в кофе.

С точки зрения мира атомов и молекул, который будет подробно рассмотрен позже, более горячие частицы вещества расталкивают своих менее подвижных соседей, передавая им тем самым молекулярное движение, которое и называют теплотой. В жидкостях и газах процесс состоит просто в последовательной передаче энергии при столкновениях более «богатых» («горячих») молекул с более «бедными». В твердых телах колебания молекул распространяются благодаря упругим силам. (Современная теория иногда рассматривает эту медленную диффузию теплоты в твердом теле как случай объединения волн в группу, которая медленно движется в соответствии с определенными правилами квантовой механики.).

Конвекция. Когда часть горячего вещества движется как единое целое, перенося тем самым свою теплоту в другую область, такой процесс называют конвекцией. Например, конвекцией можно назвать перенос раскаленной кочерги по комнате, если только этот случай вообще надо как-то называть, но обычно этот термин применяют к тепловым потокам, переносящим теплоту в текучих телах; при этом в общем течении участвует также холодный поток, движущийся в обратном направлении. В этом смысле конвекция существует в жидкостях и газах, но отсутствует в твердых телах. Примером огромного конвективного потока является ветер.

Когда при нагревании воды или воздуха в них образуется восходящее течение, люди говорят: «Горячая вода поднимается кверху» или «Горячий воздух стремится вверх». Однако с научной точки зрения эти заявления неудачны. Они просто догматически повторяют увиденное. Если их понимать буквально, эти заявления явно неверны, но их можно видоизменить, придав им смысл. Горячий кофе не «выпрыгивает» из чашки, и горячий воздух сам по себе стремится вверх не в большей мере, чем пробка, лежащая на столе. Но пробка всплывет, если ее погрузить под воду и там отпустить, и именно в этом ключ к правильному пониманию природы конвекционных потоков. Горячая вода, окруженная со всех сторон холодной, выталкивается вверх действием окружающей более плотной воды; это просто частный случай всплывания. Горячие газы выталкиваются в трубу давлением находящегося снаружи более плотного холодного воздуха. Один поток движется вверх, другой вниз, и часто они образуют круговое течение. [Обычно вверх движется более теплая часть вещества, но это не всегда. Вода расширяется и делается менее плотной при нагревании от 4 до 10 °C и далее до точки кипения. Но ниже 4 °C поведение воды необычно. При нагревании от 0° (растаявший лед) до 4 °C вода сжимается, хотя и очень мало, всего на 0,013 %. Как эта особенность поведения воды влияет на судьбу озера, когда вода на его поверхности охлаждается ледяными ветрами или нагревается на солнце?].

Излучение. Теплота может передаваться еще одним способом; точнее говоря, при этом теплота исчезает в одном месте и снова появляется в другом. Такое распространение теплоты происходит чрезвычайно быстро и строго прямолинейно, и его называют «излучением» или «радиацией» (от латинского слова «радиус», обозначающего спицу в колесе). Хотя ученые называют этим термином любой поток, который прямолинейно расходится во все стороны, подобно спицам колеса, мы употребляем его здесь для обозначения процесса переноса тепла от горящего огня к нам. К проявлениям этого же процесса относится нагревание под действием солнечных лучей, которые переносят тепло через миллионы километров пустоты, и нагревание под действием видимого и невидимого света ламп. Таким образом, мы имеем дело с процессом, при помощи которого теплота может передаваться через пустоту, а также через стекло, ледяную воду и пр.[57] Едва ли это теплопроводность или и конвекция в том виде, в каком мы их описали. Это, собственно, даже не «путешествие» теплоты, потому что вещество, сквозь которое она проходит, остается ненагретым. Об этом хорошо говорит тот поразительный факт, что в качестве зажигательного стекла для собирания солнечных лучей можно использовать линзу из льда, и при этом лед не тает. Последующие опыты показывают, что все виды такого излучения являются электромагнитными волнами, к которым относится и свет. Можно представить себе, что горячий источник за счет части своей теплоты создает волны, которые путешествуют до тех пор, пока не попадут в приемник, где поглощаются и снова создают тепло.

Запись и выводы.

В ходе работы ведите запись, делая очень короткие заметки о том, что вы сделали, и четко формулируйте, что удалось наблюдать. Затем добавьте выводы или заключение. Эти выводы должны содержать сведения, которые вы извлекли из наблюдений, предположения, которые вы сделали на их основе, и даже обобщения. При объяснении наблюдений не следует привлекать сведения, известные вам из учебников или других источников, иначе вы нарушите логический ход исследования и упустите саму цель работы.

Предположим для примера, что в очень простом опыте вы записали: «Термометр погрузили в горячую воду. Вижу, как ртуть поднимается по трубке». Вы можете перейти к выводу: «Я заключаю, что (или «я делаю вывод, что…», или «таким образом….») ртуть расширяется при нагревании»[58]). Но можно попытаться объяснить наблюдение, сказав: «Это происходит потому, что ртуть расширяется при нагревании».

Обе записи выглядят почти одинаковыми, но при втором варианте логика исследования полностью пропадает. Пожалуйста, избегайте таких «объяснений» здесь, даже если вы в них уверены, и притворитесь, что вы знаете только то, что можете извлечь из вашего эксперимента.

Вообще говоря, некоторые из этих опытов предоставляют большие возможности для самых разнообразных выводов.

Опыт 6(а). Опыты по выбору. Вооружитесь горелкой Бунзена, стеклянным стаканом, пробирками, образцами металлической проволоки (железо и медь), стеклянным стержнем, красителем (кристаллы марганцевокислого калия). Можете попросить и другие необходимые для вашего исследования принадлежности. Выясните все, что сможете, о «путешествии», или передаче, тепла. Подготовленные опыты. Закончив эксперименты с веществами, указанными выше, проделайте опыты 6(а) и 6(в) и т. д. Хотя они снабжены подробными инструкциями, в них мало сказано о том, что следует искать, и еще меньше о том, какие нужно сделать выводы. В своей записи делайте заметки о том, что вы делаете и что наблюдаете. Затем сделайте выводы и постарайтесь вывести как можно больше следствий, даже если некоторые из них покажутся просто догадками. Опыт 6(б). Опыты с водой. Нагрейте в пробирке из стекла пирекс немного воды. Чтобы заметить движение воды, на дно пробирки осторожно опустите кристалл марганцевокислого калия. Кристалл почти не оставит следа, но если в воде появится какое-нибудь движение, поток около кристалла будет окрашиваться и станет видимым. Проведите два опыта, каждый раз держа пробирку пальцами за один конец и нагревая другой конец над пламенем горелки. Возьмите пробирку у верхнего уровня воды, но не выше (фиг. 93, а). Нагревайте дно над пламенем до тех пор, пока пробирку еще можно держать руками. Наблюдайте за распространением окраски. Осторожно охладите пробирку и снова заполните холодной водой. В успокоившуюся воду осторожно опустите кристаллик марганцевокислого калия. Держа пробирку за дно, нагревайте ее над пламеней точно под поверхностью воды (фиг. 93, б). Продолжайте нагревание как можно дольше и наблюдайте за окраской. Запишите наблюдения. Сделайте выводы.

Фиг. 93. Опыт 6(б).

Опыт 6(в). Сравнение теплопроводностей (демонстрация). Посмотрите опыт («прибор Ингена-Хауза»), который позволяет провести грубое сравнение теплопроводностей различных веществ. Длинные стержни одинаковой формы, сделанные из разных материалов, подвешены к обогреваемому паром ящику (фиг. 94). На каждый стержень надето подвижное металлическое кольцо. Чтобы кольцо не соскакивало, стержни покрыты парафином (свечным воском). Заметьте положение колец на стержнях в конце опыта; это положение соответствует тому месту стержня, где температура равна температуре плавления воска. Температура верхних концов стержней равна 100 °C. Это неточный опыт. Теплопроводность не пропорциональна длине расплавленного участка. Для грубой оценки можно принять, что теплопроводность пропорциональна квадрату длины расплавленного участка[59]. (Скорость, с которой кольцо опускается по стержню, зависит от теплоемкости металла стержня в той же мере, в какой она зависит от теплопроводности, поэтому для сравнения теплопроводности нельзя использовать начальные стадии опыта.).

Фиг. 94. Опыт 6(в).

Опыт 6(г). Горячие газы в пламени (демонстрация). С помощью небольшого источника света, например дуги, получают тень от пламени горелки Бунзена. Наблюдайте происходящее. Попробуйте получить тень от других пламен. Опыт 6(д). Прохождение излучения через воздух. В качестве источника возьмите раскаленный электронагреватель (который дает в основном инфракрасное излучение) и закройте его асбестовым листом с отверстием для пропускания пучка излучения. В качестве детектора используйте собственную щеку. Станьте так, чтобы ваше лицо оказалось на расстоянии примерно 25 см от отверстия в экране (фиг. 95). Попробуйте вводить между источником и лицом какие-нибудь твердые препятствия, скажем книгу или брусок дерева. Как скоро прекращается нагревание? Получается ли другой результат, если препятствие находится около лица, а не около источника?

Фиг. 95. Опыт 6(д).

Опыт 6(е). Стекло и инфракрасное излучение. Как и в предыдущем опыте, подставьте щеку под излучение (в основном инфракрасное) от нагревателя, но между источником и щекой введите лист стекла. Придвиньтесь, если так удобнее, ближе к источнику. Затем удалите стекло. Запишите наблюдения и сделайте из них вывод. Если под рукой есть небольшой брусок каменной соли, проведите с ним такой же опыт. Опыт 6(ж). Испускание излучения черными и блестящими поверхностями. Большой медный лист, отполированный с одной стороны и выкрашенный в черный цвет с другой, нагревают несколькими горелками. Горелки удаляют и лист в течение нескольких минут используют как излучатель. (Вместо листа можно взять обогреваемый паром медный ящик, но лист, нагреваемый в пламени до значительно более высокой температуры, более показателен.) Когда медный лист нагреется, подержите щеку (или тыльную сторону кисти) сначала около черной стороны, потом около блестящей (фиг. 96). Запишите свои ощущения теплоты излучения и сделайте выводы, какая поверхность испускает больше излучения — черная или блестящая. (Вследствие высокой теплопроводности меди обе поверхности находятся практически при одной и той же температуре. Чтобы исключить сомнения в равенстве температур, при подогреве листа пламя располагают со стороны блестящей поверхности.).

Фиг. 96. Опыт 6(ж).

Опыт 6(з). Поглощение излучения черной и блестящей поверхностями. В качестве детектора используйте руку, а в качестве источника излучения (в основном инфракрасного) — раскаленный электронагреватель. А) Держите тыльную сторону кисти как можно дольше около отверстия в экране. Запишите примерную оценку времени. Б) Попросите покрыть вашу тыльную сторону кисти очень тонким алюминиевым листком[60]. Снова поднесите руку к источнику и отметьте время. В) Покрасьте листок на руке черной краской (сажа + спирт). Подождите, пока краска не высохнет, затем поднесите руку к источнику. Запишите наблюдения. Какой вы можете сделать вывод о способности черных и блестящих поверхностей поглощать излучение? Какова ваша кожа для инфракрасного излучения — «черная», «серая» или «блестящая»? Опыт 6(и). Отражение излучения. На концах стола ставят два одинаковых параболических (металлических) зеркала, и в фокусе одного из них помещают раскаленный электронагреватель. Поместите в фокусе другого зеркала руку (фиг. 97). Если есть хорошие зеркала, то с их помощью можно продемонстрировать высокую скорость распространения излучения. Когда аппаратура расположена, как описано выше, попросите кого-нибудь подержать большой лист картона как раз перед одним из зеркал, чтобы преградить излучению путь к вашей руке или щеке, служащей детектором. При резком удалении картона попробуйте заметить, как скоро является излучение. Повторите опыт, помещая картон около второго зеркала.

Фиг. 97. Опыт 6(и).

Опыт 6(к). Спектр (демонстрация на лекции). Излучение (ультрафиолетовое, видимый свет и инфракрасное) получают от большой угольной дуги. С помощью линзы часть этого излучения концентрируют на щели, а другая линза образует «изображение» этой щели на удаленном экране (фиг. 98). Если на пути лучей вставить призму, то изображение распадется на группу перекрывающихся окрашенных изображений, которые мы называем спектром. Человеческий глаз воспринимает только узкую часть этой группы. Излучение в невидимых областях по обе стороны от видимого спектра, так же как и видимый свет, несет энергию, и эта энергия при поглощении излучения принимает форму теплоты[61].

Фиг. 98. Опыт 6(к).

Для измерения мощности потока в различных областях спектра поток улавливают с помощью «термостолбика», соединенного с гальванометром. Термостолбик представляет собой столбик, составленный из последовательно соединенных пар проволочек из двух различных металлов. Когда одна группа спаев нагревается, появляется небольшое напряжение, которое измеряется гальванометром. Излучение попадает в параболический раструб, который фокусирует его на чередующихся спаях термостолбика. Они зачернены так, что достигающее их излучение поглощается и вызывает подъем температуры, создающей напряжение. (Поглощающий излучение металл быстро нагревается, пока потери тепла путем конвекции и т. д. не становятся равными поступлению тепла с излучением. Подъем температуры есть мера скорости поступления излучения.). Оказывается, что обычное стекло прозрачно в видимой области и лишь ненамного за ее пределами. В далеком ультрафиолете и почти во всей инфракрасной области стекло непрозрачно. Так как в спектральном приборе используется стекло, мы наблюдаем резкий «обрыв», когда достигаем предела пропускания стекла в инфракрасной области. Это не реальный обрыв энергетического спектра, а дефект, вызванный неудачным выбором аппаратуры. Отметьте показания гальванометра в различных областях спектра. (Помните, что у прибора может быть определенный «нулевой отсчет» из-за попадания других излучений.) Набросайте грубый график. Если вы располагаете временем и оборудованием, поставьте опыты с различными светофильтрами (которые вычитают из спектра некоторые цвета) и с окрашенными точечными источниками света (которые добавляют цвета на экран).

Глава 5. Связь между напряжением и деформацией[62].

В эту минуту Король, который что-то быстро писал у себя в книжке, крикнул: — Тихо! Посмотрел в книжку и прочитал: — «Правило 42. Всем, в ком больше мили росту, следует немедленно покинуть зал». И все уставились на Алису. — Во мне нет мили, — сказала Алиса. — Нет, есть, — возразил Король. — В тебе мили две, не меньше, — прибавила Королева. — Никуда я не уйду, — сказала Алиса. — И вообще, это не настоящее правило. Вы его только что выдумали? — Это самое старое правило в книжке! — возразил Король. — Почему же оно тогда 42-е? — спросила Алиса. — Оно должно быть первым! Король побледнел и торопливо закрыл книжку. — Обдумайте свое решение, — сказал он присяжным тихим, дрожащим голосом. Льюис Кэролл, «Алиса в Стране Чудес»[63].

Что такое научный закон? Кто творит его и кто ему подчиняется? Кем он используется — великим мыслителем или инженером, занятым практической работой? Эта глава посвящена специальному вопросу, связанному с вашими занятиями с пружинами. Речь идет о пропорциональном удлинении, которое мы рассмотрим как пример научного закона; мы покажем, как им пользуются инженеры.

Открытие Гука.

В 1676 г. Роберт Гук объявил о своем открытии. Это был простой закон, точно выполнявшийся в широком диапазоне; ему была предназначена важная роль в физике и технике. Гук был в восторге от своего открытия, но своим коллегам он не очень доверял и поэтому был озабочен, как бы кто-нибудь не приписал это открытие себе.

В те времена публикация открытий в периодических научных журналах еще только приходила на смену монографиям и частным письмам, поэтому все еще было опасно с кем-нибудь поделиться своим открытием. Сразу же кто-то мог сказать: «О, мы открыли это давным-давно!» И Гук придал своему закону о растяжении пружин вид анаграммы:

Ceiiinosssttuv.

Это было своеобразное патентование открытия. Он выждал два года, чтобы конкуренты могли сделать заявки о своих открытиях, связанных с пружинами, а затем дал расшифровку своей головоломки: «ut tensio, sic vis», ила «каково удлинение, такова и сила»[64].

Фиг. 99. Результаты испытания пружин.

Гук открыл, что при растяжении пружины возрастающей силой удлинение изменяется прямо пропорционально этой силе.

Как вам известно из практики, это простое соотношение выдерживается для стальных пружин с замечательной точностью в широком диапазоне удлинений. Оно справедливо также для пружин, сделанных из других материалов, возможно, лучше всего для спиралей из кварца (чистый плавленый песок). Все это не было бы ни странно, ни полезно, если бы свойство пропорциональности сохранялось только в узком диапазоне малых удлинений. Ведь почти любую кривую на коротких отрезках можно рассматривать с некоторым приближением как прямую линию. Но это соотношение справедливо и в случае, когда удлинение пружины в несколько раз превосходит ее первоначальную длину. Оно позволяет многим из нас, подобно Гуку, вкусить трепет успеха, связанный с открытием столь ясного и простого свойства природы.

С поведением материалов по закону Гука мы встречаемся во многих случаях растяжения, сжатия, скручивания, изгиба, упругой деформации любых видов. Вот несколько примеров:

А) растягивание проволоки:

УДЛИНЕНИЕ ~ РАСТЯГИВАЮЩАЯ СИЛА;

Б) растяжение или сжатие стержня:

Δ ДЛИНЫ ~ СИЛА;

В) кручение стержня:

УГОЛ КРУЧЕНИЯ ~ ЗАКРУЧИВАЮЩАЯ СИЛА;

Г) изгиб балки:

ПРОГИБ БАЛКИ ~ НАГРУЗКА;

Д) сжатие твердого тела или жидкости:

ИЗМЕНЕНИЕ ОБЪЕМА ~ ПРИЛОЖЕННОЕ ДАВЛЕНИЕ;

Вообще:

ДЕФОРМАЦИЯ ~ ДЕФОРМИРУЮЩАЯ СИЛА.

Фиг. 100.

Это общее правило называется «законом Гука» в честь сделанного Гуком открытия. На фиг. 101–103 показаны приспособления для изучения приложений закона Гука.

Фиг. 101. Растяжение проволоки.

Фиг. 102. Кручение металлического стержня.

_{Левый конец образца зажат, а правый конец соединен с большим диском, который свободно вращается; грузы подвешены на ленте, обернутой вокруг диска. Стрелка указывает величину угла кручения.}

Фиг. 103. Прогиб деревянной балки.

_{А — балка закреплена одним концом; вблизи второго нагруженного конца измеряется вертикальное отклонение; б — балка оперта вблизи ее концов и нагружена в середине.}

Научные законы.

Когда мы говорим, что проволока «подчиняется» закону Гука при небольших нагрузках, мы вовсе не хотим сказать, что Гук или его закон заставляют проволоку вести себя подобным образом. Мы просто подразумеваем, что она именно так ведет себя, — так показал эксперимент. И это пример того поведения, которое описывает в общем виде закон Гука. Слово «закон» дезориентирует. Оно используется в науке для характеристики зависимости или поведения (например, материала или вещества), которое установлено и имеет, по-видимому, весьма общий характер, а также представляется нам простым и важным.

Большинство научных законов найдено на основе эксперимента индуктивным путем, как и закон Гука. Некоторые были выведены методом дедукции из тех или иных теоретических схем: в химии закон кратных отношений развит на основе атомистической теории, закон равномерного распределения энергии между частицами выведен из статистической механики (и оказался частично неприменимым). Иногда утверждению присваивается другое название — «принцип», или «правило», или даже (достойный термин) «соотношение». Например: принцип сохранения энергии, квантовые правила отбора, соотношение масса-энергия Е = mс². Закон, принцип, правило[65] — теперь вы можете рассматривать эти понятия как очень схожие между собой; все они суммируют то, что мы обнаружили или что по нашему мнению может происходить в природе. Поэтому выражение «… подчиняется… закону» надо считать неудачным. Научные законы не командуют природой подобно полисмену. Их нельзя использовать для «объяснения» того, что подсказало нам мысль о существовании этих законов, но они могут пролить свет на другие эксперименты. Законы сами возникли из экспериментов, и вряд ли их можно считать ниспосланными свыше причинами явлений, выявленных самими экспериментами. Скорее законы — это простые правила, которые мы извлекаем из изучаемого нами запутанного клубка, основные нити экспериментальных сведений, которые вырабатываются в науке. Наука ничего не могла бы достичь, если бы знание было просто клубком запутанных фактов или случайных наблюдений.

Мы считаем, что существуют простые законы, которые мы ищем, и что каждый из них должен давать правильное описание природы, в которой их и обнаруживают. Но философия науки предостерегает нас от излишней доверчивости. Она напоминает нам, что в законах много искусственного. Природа, сведенная в систему законов, есть отражение наших представлений о природе.

Созданные человеком законы содержат допущения, отражающие наши надежды. Даже при выводе закона Гука мы считали, что для нахождения полной нагрузки можно складывать веса грузов, которыми мы нагружаем пружину. У нас нет способа доказать, что нагрузка, равная 200, плюс нагрузка, равная 300, составляют нагрузку, равную 500. Мы просто допускаем это в качестве определения «общей нагрузки». Таким образом, некоторые упрощения созданы нами самими; мы не втискиваем природу в простую форму, а стараемся упростить ее описание. Это несколько циничное заявление, вероятно, вас шокирует, но следует признать, что вы не одиноки. То же испытывают многие физики.

Иной взгляд на законы.

Не происходит ли так, что однажды найденные научные законы существуют непрочно из-за постоянного ожидания открытия новых исключений из них или ограничений? Некоторые современные философы оспаривают подобную недооценку законов и приписывают им гораздо большее постоянство. Они считают, что закон представляет собой ясное выражение элементарных фактов, причем вопрос об ошибочности или неверности закона вообще не ставится.

Этот закон утверждает именно то, о чем идет речь, позволяя регламентировать нашу информацию. Роль науки, говорят эти философы, — в знании, которое выражается законом с соответствующими ограничениями.

Говоря о законе Гука «удлинение изменяется пропорционально нагрузке», мы не должны спрашивать: «Верно ли это утверждение?».

Скорее следует поставить такие вопросы: насколько факты соответствуют этому утверждению? Многие ли вещества в различных формах подчиняются ему? Приложимо ли оно к малому или большому диапазону удлинений? Если большая часть пружин и кусков проволоки подчиняется данному утверждению в пределах большого диапазона растяжений, то мы рассматриваем это как полезный факт, заслуживающий наименования закона. Мы можем нарисовать себе картину безграничной области применимости этого закона — от бесконечных удлинений до предельных сжатий, однако мы не строим иллюзий насчет того, что реальные материалы смогут подчиняться ему в таком диапазоне. Зато мы гордимся тем (а это почерпнуто, конечно, из опыта), что знаем пределы его применимости. Мы полагаем, что знаем, какой диапазон удлинений справедлив, скажем, для стальной проволоки и насколько близко в этом диапазоне экспериментальные замеры соответствуют закону.

Кроме того, мы исследуем вещества типа стекла или глины и подозреваем в этом случае наличие серьезных отклонений.

С этой точки зрения закон скорее похож на железнодорожное расписание. Расписание говорит не больше того, о чем в нем говорится; вопрос о его нарушении (не считая нелепых опечаток) не ставится. Но насколько точно курсируют поезда по этому расписанию, — уже совершенно другой, важный для пассажиров вопрос, на который может ответить только опытный специалист-железнодорожник. Заметьте, что этот взгляд на научный закон не так уж отличается, как кажется сначала, от первой точки зрения, согласно которой закон суммирует данные эксперимента. Мы просто вносим данные экспериментальных испытаний и знание ограничений черную записную книжку» с детальными знаниями. Это и делает его специалистом.

Основы знания, которые мы называем наукой, остаются в большей своей части постоянными, как бы вы ни смотрели на законы, но размышления об этих взглядах могут помочь вам увидеть, как подлинная природа, которая поистине очень сложна, может быть интерпретирована на основе простых законов.

Мы считаем, что существуют простые законы, которые должны быть найдены независимо от того, какую из двух описанных выше точек зрения мы предпочли. Вывод законов есть одна из форм научной деятельности в физике, но есть еще и мышление, обогащенное фантазией, а над всем этим искусство связывать законы воедино, которое вдохновляется надеждой найти общее объяснение или высказать новые предположения. В дальнейшем мы вернемся к обсуждению законов, концепций и теорий, а пока, изучая этот курс, вы должны изучать законы, принимая каждый из них с доверием, но критически, и заглядывать вперед, чтобы самим следить за тем, как развивается наука, когда законы связываются между собой[66].

Удлинение за пределами справедливости закона Гука.

В устройстве, показанном на фиг. 101, удлинение медной проволоки А длиной в несколько метров измеряется стрелкой, которая скользит по шкале, прикрепленной к другой проволоке В, подвешенной к той же поверхности. До некоторой нагрузки (равной нескольким килограммам для медной проволоки диаметром 1 мм) проволока «подчиняется» закону Гука, удлиняясь на несколько миллиметров. Когда же нагрузка увеличивается еще больше, удлинение растет быстрее, чем следовало бы по закону Гука, затем резко возрастает и становится видимым. Наконец, растянувшись на сотни миллиметров, примерно до 40 % своей длины, проволока разрывается. Попытайтесь воспроизвести этот опыт с хорошо закрепленным отрезком медной проволоки. Внимательно осмотрите концы проволоки в месте разрыва.

Физиков интересуют эти изменения, они стараются истолковать их в терминах деформации кристаллов металла. При этом встречаются неожиданности: неправильности, вносимые спеканием множества малых кристаллов» делают проволоку значительно более прочной, нежели в случае монокристалла, слои атомов которого легко скользят один по другому. Межатомные силы, связывающие кристаллы, еще исследуются. Мы знаем, что эти силы быстро изменяются в зависимости от расстояния. Поэтому неожиданной является их способность привести к столь простому явлению, как закон Гука, даже при самых малых удлинениях.

Инженеры и упругость.

Закон Гука открывает перед инженером возможность предварительно определять упругие изменения, возникающие при нагрузке в конструкциях. Он может вычислить прогиб моста, прежде чем мост построен, или определить закручивающую силу на валу гребного винта, измеряя малые деформации при закручивании. Для подобных целей он должен лишь точно знать поведение измеряемого образца материала; на основе этих данных инженер проектирует полномерную конструкцию. Его интересуют также свойства материалов за пределами применимости закона Гука, например при разрушающей нагрузке; эти данные он находит также по измерениям на образцах. Как экспериментаторы, составляющие справочные таблицы для инженеров, избавляются от ненужных подробностей? Как они приводят свои измерения к величинам, относящимся к самим материалам, а не к данному образцу?

Описания специальных задач теории упругости и поставленные в них вопросы покажут вам некоторые методы обработки данных, которыми пользуются инженеры, а работа над ответами на вопросы даст вам возможность продумать до конца «правила игры».

Некоторые вопросы представляют собой «упражнения», основанные на здравом смысле. Другие просто иллюстрируют полезные термины, введенные инженерами.

ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ УПРУГОСТИ. Введение. Как и пружины, проволока или стержни из твердого материала (подобно стали), будучи нагруженными, удлиняются. До определенного предела удлинение прямо пропорционально нагрузке. Это пример общего правила, названного законом Гука в честь совершенного им открытия. Пределу, за которым это простое отношение нарушается, присвоено название предел пропорциональности (предел действия закона Гука). Предел упругости — состояние, после которого образец непрерывно изменяется. Некоторые вещества при нагрузке, превышающей предел упругости, внезапно обнаруживают большую текучесть. Эта точка называется пределом текучести. При еще большей нагрузке образец разрушается. Эта точка, называемая пределом прочности, расположена вблизи предела текучести (если такое же имеется). Как инженерам, так и физикам чрезвычайно важно знать предел прочности, предел текучести, предел упругости, предел пропорциональности и зависимость между нагрузкой и деформацией в области действия закона Гука. Здравый смысл вам подскажет, как предсказать некоторые из этих параметров для проволоки и стержней одного размера, если вы располагаете экспериментальными данными по нескольким другим размерам. Задачи, приведенные ниже, указывают, как это сделать. (Для обозначения «изменяется прямо пропорционально» или «пропорционально» пользуйтесь символом ~.). Разрушающие силы. Задача 1. Предположим, что разрушающая сила для данной проволоки равна 45,4 кГ. Разрушающая сила для пучка из четырех таких проволок, связанных вместе, будет равна ___ кГ. Если все четыре проволоки сплавить вместе в одну толстую проволоку (не изменяя длины), то следует ожидать, что эта толстая проволока также будет разрушена силой ___ кГ. Площадь поперечного сечения толстой проволоки в ___ раз больше соответствующей площади одинарной исходной проволоки. Это рассуждение, сделанное на основе здравого смысла, позволяет предположить, что отношение между разрушающей силой F_В и площадью поперечного сечения А проволоки или стержня, по-видимому, должно быть. ________ _{(напишите алгебраическое выражение, используя знак ~).} Задача 2. А) Имеются стержни квадратного сечения: небольшой, размером 25,4х25,4 мм², и крупный, размером 50,8х50,8 мм². Разрушающая сила для крупного стержня должна быть в раз больше. Вообще отношение между разрушающей силой F_В и шириной w квадратного стержня должно быть. ________ _{(напишите алгебраическое выражение, используя знак ~).} Б) Имеются стержни или проволока круглого сечения. (Вспомните: площадь круга равна πr², или πd²/4, где d — диаметр круга.). Если мы увеличим диаметр круга в 2 раза, то удваивается и радиус, а площадь круга увеличивается в ___ раз. Если мы увеличим диаметр круга в 10 раз, то его площадь увеличится в ___ раз. Вообще соотношение между диаметром d и площадью А для круга равно ___. Отсюда соотношение между разрушающей силой F_В и диаметром d для стержней и проволоки должно быть. ________ _{(напишите алгебраическое выражение, используя знак ~).} Задача 3. Поработайте над интересным приложением описанной методики к вопросу о размерах слонов. Мамонты, вымерли, быть может, потому, что были слишком тяжелы для своих собственных ног. Животное такой же формы, но построенное по удвоенной шкале так, что по сравнению с мамонтом его высота, длина и ширина вдвое больше, имеет объем больше в ___ раз, поэтому оно весит в ___ раз больше, если состоит тоже из мяса и костей. Однако ноги этого нового животного вдвое большего диаметра только в ___ раз сильнее. Таким образом, имеется предел для безопасных размеров животного. Должно ли это ограничение относиться и к китам? ___ Почему? ___ Задача 4. Допустим, что проволока в 2 раза длиннее испытываемого образца и к ней подвешен точно такой же разрушающий груз. Сила передается вдоль всей удвоенной длины, и разрушение произойдет, по-видимому, так, как и прежде. (Мы, конечно, понимаем, что разрушающая сила не увеличится вдвое, как не следует ожидать и того, что длинная проволока будет разрушена вдвое меньшей силой. Если, как это часто случается, разрыв произойдет в каком-то ослабленном месте, то на длинной проволоке более вероятно найти слабое место. В последнем случае более длинная проволока может легче разрушиться, но, отвечая на поставленный ниже вопрос, вы, не должны принимать во внимание этот довод.). Каково отношение между длиной проволоки l и разрушающей силой F? Напряжение. Задача 5. Просмотрев ответы на заданные вопросы, вы увидите, что, когда мы имеем дело с проволокой и стержнями разных размеров, но из одного материала, вопрос о том, разорвется ли проволока, определяется не только величиной приложенной силы (нагрузки), но и площадью поперечного сечения проволоки. Для проволоки различных размеров разрушающая сила различна; но отношение (или дробь) (разрушающая сила)/(площадь поперечного сечения) должно быть одинаковым для всех образцов. Основываясь на ваших предыдущих ответах, согласны ли вы с этим? ___ Поэтому приведенное отношение открывает путь для определения той величины нагрузки, которую должен испытать материал, чтобы он разрушился (это относится больше к данному виду материала, чем к отдельному стержню). Отношение (разрушающая сила)/(площадь поперечного сечения) называется пределом прочности. Пользуясь понятием напряжения, мы можем принимать решения, независимые от формы и размеров образца. Так, зная предел прочности материала, мы можем вычислить разрушающую силу для какого-либо отдельного стержня или отрезка проволоки. Задача 6. Напряжение, вычисленное как отношение (сила)/(площадь), может служить главным мерилом качества обработки, которой подвергся материал. Нагрузки, соответствующие пределу пропорциональности, пределу упругости, пределу текучести, в большой степени следуют тем же отношениям, что и разрушающая нагрузка, хотя и различны по величине. Таким образом, существуют напряжения, соответствующие пределу текучести, пределу пропорциональности и т. д. Если все нагрузки измеряются в кГ, а все диаметры в мм, то каждое из этих напряжений должно измеряться в ___ (единицы). Если силы измерять в ньютонах, диаметры — в метрах, то все напряжения будут в ___ (единицы). Эти единицы служат, кроме того, еще для измерения _? _. Область применения закона Гука. Задача 7. Для удлинений по закону Гука мы можем опять представить себе связку проволок, скрученных в одну толстую проволоку. Исходя из этого, мы обосновываем способ определения силы, необходимой для того, чтобы произвести определенное удлинение, отнесенное к диаметру проволоки. Чтобы связка из четырех проволок получила такое же удлинение, требуется сила, большая в ___ раз. Площадь поперечного сечения такой связки, сплавленной в одну проволоку, будет в ___ раз больше. Отсюда отношение между силой F, потребной для определенного удлинения, и площадью поперечного сечения А должно быть равно _? _ _? _. Для проволоки круглого сечения отношение между силой F (для определенного удлинения) и диаметром d должно быть равно _? _ ~ _? _. Задача 8. Отношение (растягивающая сила)/(площадь поперечного сечения) действительно определяет удлинение для данного материала. Мы называем это отношение напряжением. Тогда, если одинаковое напряжение приложено к проволокам разных диаметров, но одной и той же длины и сделанным из одинакового материала, удлинение для всех этих проволок должно быть одинаковым. Объясните кратко, почему: ___ Задача 9. В пределах области действия закона Гука удвоение длины проволоки дает как бы две проволоки, каждая из которых будет растягиваться с первоначальным удлинением. Таким образом, общее удлинение при той же нагрузке будет в ___ раз больше. Вообще отношение между удлинением Δl и длиной l проволоки для нескольких разных проволок из того же материала, несущих одинаковую нагрузку, будет ___. Деформация. Задача 10. Рассматривая поведение проволоки различной длины, мы видим, что отношение (удлинение)/(длина) должно быть одинаковым для всех проволок из одного и того же материала при том же напряжении, хотя длина проволок различна. Считаете ли вы это утверждение рискованным? приемлемым? по-видимому, правильным? правильным? ___ Это отношение называется деформацией. Пользуясь им, мы можем отвлечься от длины образца и установить характеристику самого материала. Если мы измеряем удлинение и длину в миллиметрах то деформация должна измеряться в ___ _{(единицы)}. Модуль. Задача 11. Инженерам и физикам часто бывает необходимо знать упругие свойства материала в определенном виде, пригодном для разнообразных форм и размеров образцов и разнообразных прилагаемых сил. С этой целью мы используем: Напряжение, которое представляет собой отношение. СИЛА/ПЛОЩАДЬ (к которой она приложена). Вместо собственно силы (нагрузки); Деформацию, представляющую собой отношение. ИЗМЕНЕНИЕ ДЛИНЫ (или соответствующего размера)/ПЕРВОНАЧАЛЬНАЯ ДЛИНА (или соответствующий размер). Вместо собственно изменения длины. Тогда в пределах действия закона Гука, где простейшим утверждением является. УДЛИНЕНИЕ ~ НАГРУЗКА [или (НАГРУЗКА)/(УДЛИНЕНИЕ) = соnst], Мы получаем более обобщенное отношение, которое, подобно отношению (нагрузка)/(удлинение), постоянно. Но это обобщенное отношение не зависит ни от формы, ни от размера используемого образца. Оно одинаково для всех образцов данного материала. Чтобы вывести обобщеннов отношение, мы используем напряжение и деформацию вместо нагрузки и удлинения. Теперь мы можем представить закон Гуна в общей, итоговой форме: ?/? = const. Эта постоянная называется модулем. Чем легче вещество растягивается (или сжимается), тем. ___________ должен быть его модуль. _{(больше?/меньше?).}

Используя напряжение и деформацию, можно представить закон Гука в общей форме: (напряжение)/(деформация) = const; это значит, что отношение.

Постоянно.

Такое отношение (напряжение)/(деформация) мы называем модулем.

В пределах справедливости закона Гука модуль является характеристикой материала, различной для различных видов деформации, но не зависящей ни от формы, ни от размеров образца и приложенной силы. Чем больше сила, необходимая для придания материалу заданной деформации, тем больше модуль. Следовательно, величина модуля характеризует жесткость материала, а не легкость его растяжения и т. п.

Для чистого растяжения стержня или проволоки с помощью растягивающей силы (мы об этом говорили) модуль, определяемый отношением (напряжение)/(деформация), называется модулем Юнга (модуль продольной упругости). Он относится также и к сжатию (фиг. 104,а). Инженеры пользуются им, чтобы заранее определять возможные изменения мостовых балок при их растяжении или сжатии.

При изгибе упругой балки одни волокна растягиваются, другие сжимаются (фиг. 104,б), поэтому модуль Юнга применяется и при изгибе. Пометьте резиновую трубку или резиновый брусок чернилами и постарайтесь растянуть или изогнуть их.

Фиг. 104. Растяжение (сжатие) стержня или проволоки (а) и изгиб балки (б).

Сильнее сжимаются и растягиваются внешние волокна, поэтому в них возникают большие давления и напряжения, препятствующие изгибу. Внутренние волокна претерпевают малые деформации, и, следовательно, в них возникают малые силы. Их можно удалить с небольшой потерей прочности, но с весьма существенной экономией в весе. Именно поэтому сплошные балки заменяются двутавровыми (I-образными, фиг. 105), а в велосипедных рамах ставят не сплошные, а пустотелые детали трубчатой формы.

Фиг. 105. Изогнутая балка.

_{А — балка разрезана на части А и В; б — волокна части В создают силы, приложенные к части А; в — двутавровая балка может быть намного легче, но обладает той же прочностью при изгибе.}

Для других видов деформации существуют другие модули.

Для чистого изменения размера без изменения формы (т. е. чистого сжатия, фиг. 106) применяется объемный модуль.

Фиг. 106. Чистое изменение размеров.

Сжимающее напряжение легко осуществляется с помощью давления жидкости.

Для чистого изменения формы без изменения размеров (сдвиг) существует модуль сдвига. При кручении стержня происходит сдвиг, поэтому здесь применяется модуль сдвига. Попробуйте скрутить резиновый брусок или трубку, помеченные чернилами.

Положите толстую книгу на стол и толкайте переплет так, чтобы страницы скользили одна по другой. Начерченный карандашом на обрезе книги прямоугольник деформируется и приобретает форму ромба (фиг. 107 и 108).

Фиг. 107. Сдвиг.

_{При сдвиге квадратные стороны кубического блока принимают форму ромба.}

Фиг. 108. Другой пример деформации сдвига.

_{Наклонные волокна блока растягиваются и сжимаются так, что его стороны из ромбов с острыми углами 45° становятся прямоугольниками. Попытайтесь проделать это с блоком большой книги.}

В книге происходит сдвиг; ее форма изменяется, но объем остается прежним. Вы можете вообразить, что каждый слой атомов или молекул (каждая страница книги) принужден скользить поверх следующего слоя, испытывая возрастающую сдерживающую силу. Когда стержень закручивается, волокна, первоначально параллельные оси стержня, отклоняются от нее и оказываются сдвинутыми (фиг. 109).

Фиг. 109. Закручивание цилиндра.

_{Волокно сдвигается и занимает наклонное положение, а квадраты, начерченные на поверхности цилиндра, иллюстрируют деформацию сдвигом. А — закрученный конец.}

Внутренние слои скрученного стержня претерпевают относительно малые деформации, создают малые противодействующие напряжения и, следовательно, мало участвуют в сопротивлении стержня скручиванию. Трубка почти так же прочна, как сплошной стержень, но намного легче.

Деформации в различных материалах.

Жидкости и газы не оказывают постоянного сопротивления изменению формы, и, таким образом, модуль сдвига к ним неприменим. Но при изменении объема они проявляют упругие свойства, которые характеризуются объемным модулем сжатия. Жидкости подчиняются закону Гука, объем их изменяется в пределах большого диапазона давлений; газы легко отклоняются от закона Гука, и для них должен быть найден другой закон. Для твердых тел простые изменения сдвига и сжатия могут комбинироваться с более сложными видами деформаций, например в спиральных пружинах или в подъемно-транспортных машинах, и во всех случаях обычного поведения материалов по закону Гука отношение.

НАПРЯЖЕНИЕ (соответствующее приложенным силам)/ДЕФОРМАЦИЯ (искажение).

Выдерживается в широком диапазоне постоянным для данного материала; иначе говоря, (напряжение)~(деформация),

Закон Гука.

Общая форма закона Гука.

НАПРЯЖЕНИЕ/ДЕФОРМАЦИЯ = const.

Приложима ко всем материалам (в известных пределах) и ко многим видам деформации. Закон замечателен и полезен не только потому, что прост, но и вследствие широкого диапазона применения. Спиральная стальная пружина с плотно прилегающими витками может растягиваться до длины, в 5 или 10 раз превышающей первоначальную, прежде чем достигнет своего предела пропорциональности.

Можно изогнуть деревянную балку или навить «волосок» (спиральную пружину) под большим углом все еще по закону Гука. Даже обыкновенная металлическая проволока, подвергнутая растяжению, удовлетворяет закону Гука в пределах удивительного диапазона удлинений, оставляя далеко позади ничтожно малое удлинение, вызванное нагреванием. Можно представить себе, что ее атомы, нагруженные по отдельности тянущей силой, направленной против электрического притяжения, испытывают влияние индивидуальных сил, действующих по закону Гука.

Если построить кривую, представляющую величину у, деформацию, в зависимости от величины х, представляющей напряжение, закон Гука будет выражен прямой линией, проходящей через начало координат. Эта линия выражает зависимость у = кх. Точная формулировка для реальных материалов может быть гораздо более сложной математической зависимостью, но во многих случаях, когда у = (сложная функция х), мы можем выразить ее в виде ряда.

У = А + Вх + Cx² + Dx³ +…,

Где А, В, С…. — постоянные величины. В этом случае у = 0, когда х = 0 (если не приложено напряжение, то нет и деформации). Следовательно, А должно быть равно нулю. Из эксперимента известно, что закону Гука хорошо соответствует предположение, по которому С, D…. весьма малы. Тогда по закону Гука у ~= Вх. Однако, когда х возрастает, значения x², x³ и т. д. возрастают даже больше (поскольку при удвоении х значение x² становится в 4 раза больше, x³ — в 8 раз больше и т. д.). Следовательно, если С, D…. не равны точно нулю, мы должны ожидать, что их предельные значения становятся ощутимыми при больших напряжениях. Широкий диапазон применения закона Гука говорит нам, что эти константы удивительно малы. Все же они существуют, поэтому мы должны рассматривать наш великий и простой закон Гука только как гипотезу, очень близкую к природе. Открыли мы эту простую зависимость или измыслили ее?

Глава 6. Поверхностное натяжение: капли и молекулы.

«В науке необходимо воображение. Она не исчерпывается целиком ни математикой, ни логикой, в ней есть что-то от красоты и поэзии.». Мария Митчелл (American Astronomer, 1860 г.)

Эта глава не составляет неотъемлемой части курса. Включили мы ее по следующим причинам:

1) Материал позволяет провести ряд красивых опытов, причем некоторые из них могут быть осуществлены в домашних условиях. Сначала рекомендуется проделать опыты и оценить их красоту, а потом уже читать текст.

2) На примере этой главы видно, как происходит исследование определенной области явлений: сначала делаются наблюдения, которые затем интерпретируются, потом высказываются предположения и проверяются снова на опыте. В результате накапливаются полезные сведения и достигается научное понимание явлений.

3) Наряду с выяснением разнообразных практических вопросов (от образования мыльной пены до добычи золота) в главе рассказывается, как определяются размеры молекул, и это пригодится нам при последующем изучении атомов.

ДЕМОНСТРАЦИОННЫЕ ОПЫТЫ. Начнем исследование поверхностей жидкостей с наблюдения. Общие наблюдения. Рассмотрите форму небольших капель: Опыт 1. Капли, капающие из водопроводного крана. Опыт 2. Лужицы жидкости на столе: а) вода на чистом стекле; б) вода на стекле, покрытом воском; в) ртуть на стекле. Их форма грубо изображена на фиг. 110, б, однако следует, конечно, поступать мудро и наблюдать форму капель в реальных условиях; рисунки в книге годятся лишь для запоминания. Действительно ли слеза на щеке героини имеет ту форму, которая изображается на рисунках в романах? Опыт 3. Капли дождя представляют собой идеальные шарики, но за ними непосредственно наблюдать очень трудно. Два источника позволяют получить косвенные доказательства: размер и положение которая появляется точно в том месте, где ей следует быть, лишь при условии, что капли дождя круглые (если бы капли имели неправильную форму, положение радуги смещалось бы), и форма свинцовой дроби, получаемой по старинному способу в дроболитейных башнях (фиг. 110, г): расплавленный свинец, разливаемый сквозь сито, падал в виде дождя в глубокий бак с водой и там превращался в круглые шарики. Задача 1. Маленькая капелька дождя на рукаве шерстяного костюма имеет сферическую форму, а большая капля воды на натертом воском полу принимает более плоскую форму. Почему? Специальные приборы. Следующий шаг — это применение в науке необходимых приборов или инструментов. С помощью проекционного фонаря понаблюдайте за каплями, изображенными на фиг. 110, а и б. (Если покажется, что вода движется слишком быстро, попробуйте нанести капли вязкого масла с помощью медицинской пипетки.). Опыт 4. Если вы понаблюдали за всем семейством капель и лужиц разного размера, подобных тем, которые представлены на фиг. 110, д, то сможете вывести (путем индукции) несколько интересных правил. Определите свойства, общие для большинства капель. Опыт 5. Устраните почти полностью влияние силы тяжести, используя для этого другую жидкость, например анилин (коричневая ядовитая жидкость немного тяжелее воды). Из бюретки, погруженной в воду, капли анилина образуются очень медленно — сначала на конце трубки появляется и медленно растет «мешок» из анилина, затем появляется тонкая шейка и капля быстро отрывается, после чего шейка превращается в меньшую каплю, которая следует за первой (фиг. 110, е).[67] Если прибор встряхнуть, висящая капля начнет колебаться. Опыт 6. Иногда на поверхности воды плавают небольшие предметы, которые, казалось бы, должны были бы потонуть, например слегка намазанные жиром иглы или лезвие бритвы, некоторые виды водяных жуков (фиг. 110, ж). Такое впечатление, что их поддерживают какие-то необычные силы.

Фиг. 110. Поверхностное натяжение.

_{А — вытекание капли из очень узкого крана; б — небольшие лужицы жидкости на стекле; в — семейство капель на столе; г — радуга, созданная круглыми каплями дождя; д — старинная дроболитейная башня; е — образование капель анилина и воды; ж — примеры плотных тел, плавающих на поверхности жидкости.}

Мыльные пленки. Поверхностные свойства жидкостей удобно наблюдать на мыльных пузырях и пленках, которые «состоят только из поверхности и не имеют внутренности» и вес которых слишком мал, чтобы он мог противостоять поверхностным силам. На фиг. 111 схематически изображены соответствующие опыты. Опыт 7. Мыльный пузырь на воронке сжимается, задувая пламя свечи (фиг. 111, а). Опыт 8. «Оконная штора». На проволочной рамке, нижний край которой подвижен, создается мыльная пленка. Ее растягивают, спуская за нить скользящую часть шторы вниз, а затем нить отпускают (фиг. 111, б). Опыт 9. На квадратной проволочной рамке создают мыльную пленку. На пленку кладут шелковую нить, связанную в виде небольшой петли (фиг. 114, в). Затем пленку внутри петли разрывают. Опыт 10. Опыт «оконная штора» повторяют с помощью рамки, имеющей подвижные стержни сверху и снизу (фиг. 111, г). Верхний стержень удерживается небольшой пружиной. Мыльная пленка создается между двумя стержнями, после чего нижний стержень двигают с помощью нити вверх и вниз. Опыт 11. На концах Т-образной трубки выдувают два мыльных пузыря разного размера (фиг. 111, д). Затем конец, через который производили выдувание, закрывают, и оба пузыря остаются соединенными.

Фиг. 111. Мыльные пузыри.

Задача 2. Запишите ваши наблюдения о каждом из описанных опытов, а затем скажите, какие выводя можно сделать из них относительно мыльных пленок и их «поверхностного натяжения». (Замечание. Плоская фигура с максимальной площадью при заданном периметре есть круг.) Предупреждение. Важное следствие из опыта 8 исключает простейшее объяснение опыта 11.

Общие пояснения.

Что говорят эти опыты о поверхностях жидкостей? Капли, образующиеся в водопроводном кране, выглядят так, как будто они заключены в резиновый мешок.

Взяв настоящую оболочку из тонкой резины, мы можем сделать большую искусственную «каплю», которая по мере того, как внутрь оболочки будет вливаться все больше воды, примет форму реальной капли; однако возрастающее натяжение резины помешает точной аналогии.

Капли дождя и лужицы жидкости на столе, по-видимому, стремятся принять круглую форму, что также наводит на мысль об оболочке, которая сжимает их и противодействует силе тяжести.

Обдумав эти наблюдения, можно сделать два вывода, расплывчатых и рискованных, но заслуживающих дальнейшей проверки.

А. Поверхности жидкостей ведут себя так, будто их удерживает эластичная оболочка, стремящаяся придать им круглую форму.

Б. «Эффект оболочки» более заметен при малых размерах (маленькие капли), чем при больших (лужи воды), но когда сила тяжести уравновешена другими силами, он проявляется и при больших размерах.

Классификация и терминология.

Поверхностное натяжение. Все описанные явления называют «эффектами поверхностного натяжения» и говорят, что жидкость имеет поверхностное натяжение, подобное натяжению растянутой резиновой оболочки. Пока это просто удобное название, которое само по себе не может ничего доказать или объяснить. В лучшем случае оно стимулирует обсуждение и позволяет легко определить, о чем идет речь. В худшем случае — приводит людей к неправильной мысли о том, что на поверхности существует реальная пленка, которую можно содрать с капли, как шнурку с кролика.

Краевой угол. По своей форме лужицы жидкости на столе делятся на два типа.

1) Когда жидкость прилипает к столу и растекается, как на фиг. 112, а, говорят, что жидкость смачивает поверхность стола.

2) Когда жидкость собирается в округлую каплю вопреки действию силы тяжести, как показано на фиг. 112, б, говорят, что она не смачивает поверхности. Если стол наклонить, то такие капли будут скатываться.

Фиг. 112. Краевой угол.

_{А — малый угол; б — большой угол.}

Эти два случая различаются по углу А (угол внутри жидкости между поверхностью стола и поверхностью жидкости в месте их соприкосновения), который называют краевым углом. Тот же угол существует и на других границах раздела, например в том месте, где поверхность воды встречается со стенками стакана. Если угол А мал, жидкость смачивает твердую поверхность. Это снова только название. Выбрав этот угол и дав ему название, мы ничего не узнали и не объяснили, а лишь облегчили обсуждение[68].

Попытка построить теорию.

Молекулы. Примем данное химиками определение молекул как мельчайших частиц вещества, из которых построены более крупные предметы, и приведем несколько рассуждений. Хотя такие предметы, как молекулы, видимо, существуют, их в обычный микроскоп не видно (впоследствии, правда, будут приведены убедительные косвенные доказательства их существования), поэтому они должны быть очень малы и многочисленны. Судя по тому, как жидкости льются, их молекулы, очевидно, легко скользят относительно друг друга. Жидкость трудно сжимается; это наводит на мысль, что молекулы в ней расположены тесно. Другие данные, с которыми вы познакомитесь позднее, позволяют думать, что молекулы жидкости постоянно находятся в быстром движении, сталкиваясь друг с другом, подобно людям в толпе, причем с повышением температуры движение это усиливается. Действительно, поведение жидкости можно имитировать с помощью стальных шариков или зерен песка, если эти большие «молекулы» заставить непрерывно вибрировать.

Молекулярные силы: притяжение и отталкивание. Рассмотрим жидкость с точки зрения такой молекулярной картины. Сразу же возникает мысль, что молекулы жидкости сопротивляются их растаскиванию в разные стороны, т, е. притягиваются друг к другу. Вода в наполовину полном кувшине не расширяется и не улетучивается в отличие от газа, который стремится заполнить весь сосуд и быстро улетучивается, или диффундирует. Если сосуд открыт, жидкость остается в сосуде и ее молекулы, по-видимому, притягивают друг друга. Пока мысль о притяжении является лишь смутной догадкой. Именно в поверхностном натяжении, как и в некоторых других явлениях, эта мысль находит основательное подтверждение. Тот факт, что жидкости сильно сопротивляются сжатию, говорит о сопротивлении молекул жидкости более тесному сближению; следовательно, они должны отталкивать друг друга. Таким же образом должны вести себя и молекулы газа при очень тесном сближении[69], и молекулы твердых тел[70]. Например, молекулы указательного и большого пальца отталкиваются при сжатии — какая другая причина могла бы помешать пальцам проникнуть один в другой? Но твердые вещества тоже сопротивляются попыткам растащить их в разные стороны; молекулы этих веществ должны притягивать друг друга. Мы представляем себе, что между молекулами твердых тел действуют два типа сил: силы отталкивания, которые, как показывает опыт, действуют только на очень малых расстояниях, т. е. короткодействующие силы, и силы притяжения, которые действуют на более далеких расстояниях, т. е. дальнодействующие силы. В обычном ненапряженном твердом теле каждая молекула занимает нейтральное положение, так что равнодействующая этих сил равна нулю. При сжатии твердого тела возрастающее отталкивание между молекулами оказывает сопротивление.

Фиг. 113. Молекулы в твердом теле, жидкости и газе.

_{А — в твердых телах молекулы образуют правильную систему; все истинно твердые тела — кристаллические. Молекулы сохраняют более или менее постоянное положение, но по мере нагревания тела они колеблются все больше и больше; б — в жидкостях молекулы расположены близко друг к другу, как в твердых телах, но свободно перемещаются среди своих соседей. Чем выше температура, тем быстрее движение и тем более бурно происходят столкновения молекул; в — в газах молекулы находятся далеко друг от друга и быстро движутся, время от времени сталкиваясь (чем выше температура, тем быстрее они движутся). Во время столкновений молекулы должны отталкиваться, в остальное время их действие друг на друга пренебрежимо мало.}

При растяжении твердого тела отталкивание уменьшается больше, чем притяжение, и снова возникает напряжение, сопротивляющееся нашим усилиям. Опыты показывают, что притяжение действует не на очень больших расстояниях, а лишь на расстоянии одного или двух диаметров молекул.[71] Между молекулами жидкости, как мы полагаем, действуют подобные же силы: отталкивание на очень малых расстояниях (например, при столкновениях) и притяжение, распространяющееся более далеко. (Тут как будто возникает противоречие. Жидкости должны были бы хоть немного растягиваться при растяжении, на самом же деле при попытке растяжения они распадаются на части и в них образуются пузырьки пара. Однако если позаботиться о тщательном удалении растворенного воздуха, жидкость можно заставить выдержать растяжение и вести себя необычным образом. Например, вода или ртуть держатся в верхней части барометра намного выше «высоты атмосферного столба», а сифон может работать в вакууме! Жидкости оказываются «слабыми, как вода» только в результате вредного влияния маленьких пузырьков воздуха.).

Молекулярное объяснение поверхностного натяжения. Итак, тот факт, что жидкости сохраняют свой объем, мы «объяснили» наличием дальнодействующих сил притяжения. Посмотрим, не смогут ли эти силы объяснить существование поверхностного натяжения. Представим себе состояние молекулы А в середине сосуда с водой (фиг. 114). Со всех сторон ее толкают другие молекулы. Кроме того, со всех сторон ее притягивают ближайшие соседи — и равнодействующая сила притяжения равна нулю.

Фиг. 114. Силы, действующие на молекулы, в жидкости.

_{А — дальнодействующее притяжение ближайших соседей; б — короткодействующее отталкивание близких соседей при столкновении; в — равнодействующая притяжения (нуль для А, направлена вниз для В); г — равнодействующая отталкивания (нуль для А, направлена вверх для В).}

Теперь рассмотрим другую молекулу В, находящуюся на поверхности воды. Ее тоже толкают, но не со всех сторон, и тоже притягивают, но не во всех направлениях. В области действия сил притяжения у нее есть соседи снизу и с каждой стороны, но нет соседей сверху. Равнодействующая сил притяжения направлена внутрь жидкости и уравновешивается действием столкновений снизу. Таким образом, молекула В испытывает притяжение вниз, наподобие дополнительного веса. Во внутренних областях большой круглой капли молекулы будут, подобно молекуле А, испытывать равномерное притяжение со всех сторон. Молекулы на поверхности, подобно молекуле В, будут втягиваться внутрь. Так как такие молекулы В будут пытаться приблизиться к центру капли, поверхность будет стремиться сжаться; по существу создается впечатление, что капля имеет сжимающуюся оболочку. Очевидно, если на поверхности образуется гребень, молекулярное притяжение распрямит его, несмотря на мешающие возмущения (небольшое углубление на поверхности также исчезнет, хотя это менее очевидно); в результате притяжения молекул все неровности на поверхности будут сглаживаться (фиг. 115).

Фиг. 115. Поверхностные силы в небольшой капле жидкости.

_{Действующее на молекулы типа В притяжение соседей стремится придать массе жидкости сферическую форму. (Заметьте, что сфера имеет минимальную поверхность при заданном объеме.) Если на поверхности появляются небольшие неправильности, поверхностные силы стремятся устранить их.}

Чтобы представить себе общую картину, сравните заполненную молекулами каплю с толпой людей, привлеченных уличной дракой. На фиг. 116, б показан вид толпы с птичьего полета. Прибывает все больше и больше заинтересованных зевак. Опоздавшие плохо видят, что происходит, они напирают на впереди стоящих — их притягивает любопытство, но они напирали бы так же, если бы их притягивали просто стоящие впереди соседи. Как влияет это притяжение к центру на толпу в целом? Подвижная толпа стягивается в круг с минимальным внешним периметром. Круг имеет меньшую протяженность периметра, нежели любая другая фигура с той же общей площадью. Человек А, находящийся в глубине толпы, оказывается сжатым, и если ему позволяет рост, то видит, что его неприятные ощущения вызваны напирающими на него людьми, нажимающими внутрь. Он будет страдать точно тай же, если накинуть на толпу огромный пояс и затягивать его. Натянутый пояс будет влиять на внешнюю форму толпы и на тесноту внутри нее точно так же, как и стремление людей, находящихся снаружи, пробиться к середине.

Фиг. 116. Толпа.

_{А — толпа собирается; б, в — эффект одинаковый.}

Поможет ли эта аналогия[72] понять, каким образом молекулярное притяжение оказывает то же действие, что и эластичная оболочка, растянутая по всей поверхности жидкости? С молекулярной точки зрения на поверхности жидкостей существует не реальная «шкурка», как у кролика, а особый слой внешних молекул.

Соотношение между поверхностными и объемными эффектами. Насекомые и поверхностное натяжение.

Почему эта «оболочка» превращает маленькие капли в совершенные по форме шарики вопреки действию силы тяжести и не может сделать этого с более крупными лужами? С молекулярной точки зрения (согласно нашей теории, если вам угодно) это обусловлено особым поведением молекул, расположенных на поверхности. Эти силы действуют на поверхности и не связаны с основной массой жидкости. Но сила тяжести действует на всю жидкость, равным образом на ее внешние и внутренние слои. Поверхностное натяжение — это «поверхностный эффект», а вес — «объемный эффект», и их относительная важность будет изменяться в зависимости от реального размера капли или лужи. Представим себе, что поверхностные силы возрастают прямо пропорционально величине поверхности[73], тогда как вес, конечно, возрастает пропорционально объему. Рассмотрим превращение небольшой капли в каплю, в 10 раз большую. Для простоты представим, что капли имеют вид кубиков[74]: маленького С₁ (фиг. 117) с длиной ребра а и большого С₂ с ребром 10а. Как соотносятся их поверхности?

Фиг. 117. Кубические «капли».

_{Сравнение поверхности и объема.}

Каждый куб имеет шесть граней. Поверхность куба С₁ равна 6a², а куба С₂ равна 6∙(10а)², т. е. 600а². Куб с десятикратными линейными размерами имеет в 10², или в 100 раз, большую поверхность. Как соотносятся объемы этих кубов? Они соответственно равны а³ и (10а)³, т. е. 1000а³. Объем одного куба превышает объем другого в 10³, или в 1000 раз, и, следовательно, вес воды в нем будет в 1000 раз больше. При переходе от малого кубика к большому поверхностные эффекты возрастут только в 100 раз, но действие силы тяжести возрастет в 1000 раз; таким образом, ее относительное значение увеличится в 10 раз.

На самом же деле силы поверхностного натяжения растягивают каждую границу, или край, поверхности. Поэтому они возрастают пропорционально линейным размерам, т. е. пропорционально ребру или радиусу, и уменьшаются по сравнению с объемными силами еще более резко.

Для очень больших объемов сила тяжести во много раз превосходит влияние поверхностного натяжения; поэтому поверхность прудов плоская, а пролитое на пол ведро воды растекается под действием силы тяжести. На форму маленьких капель сильно влияет поверхностное натяжение, для очень маленьких капель это влияние становится определяющим. Для ныряющего в воду человека главную опасность представляет давление на него воды. Для крошечного клопа, ползущего по капле дождя, непреодолимы силы поверхностного натяжения. Теперь понятно, почему маленькие водяные насекомые могут бегать по поверхности пруда не проваливаясь? Они ничем не рискуют: большинство из них водой не смачивается и провалиться не может. Даже если их насильно затолкнуть под воду, они немедленно выскочат наружу, причем помогает им поверхностный слой. Для крошечных насекомых, тело которых имеет способность намокать, капля воды оказывается тюрьмой.

Частично смачиваемые водой насекомые могут держаться на ее поверхности, если они достаточно малы, но, погрузившись однажды в воду, случайно проскочив через упругую поверхность, они уже не смогут выбраться наружу. В жизни еще более мелких существ, например микробов, все определяется поверхностными силами; вес едва ли имеет для них какое-либо значение. Весь контакт с внешним миром они осуществляют через свою поверхность; через нее поступает пища, и, если они хотят двигаться, им надо изменять-форму своей поверхности. Не удивительно поэтому, что такие существа можно уничтожать с помощью ядов, которые покрывают их поверхность, подобно тому как краска наносится на волокна одежды.

Размышления завели нас далеко от экспериментальных фактов.

Некоторые из развитых идей подтверждаются последующими опытами, другие стоят лишь немногим более простой игры воображения, и их следует использовать только в той мере, в какой они приводят к плодотворным предположениям.

Краевой угол с молекулярной точки зрения.

Все же мы можем развить дальше молекулярную картину и обсудить, как жидкости соприкасаются с твердыми телами, т. е. обсудить вопросы смачивания и водоотталкивания.

Возвращаясь к небольшим лужицам на столе и к классификации по краевым углам, нарисуем каплю, поверхность которой принимает выпуклую форму под влиянием поверхностных сил, действующих на молекулы (фиг. 118).

Фиг. 118. Поверхностное натяжение и краевой угол с молекулярной точки зрения.

_{А — притяжение поверхностных молекул В со стороны соседей создает эффекты оболочки; б, в — угловые молекулы С притягиваются соседями в жидкости и молекулами стола, R — равнодействующая сил притяжения; г — молекула С притягивается столом сильнее, чем соседями в жидкости.}

В том месте, где лужица соприкасается со столом, угловые молекулы должны также притягиваться столом. Совместное притяжение стола и жидкости и определяет краевой угол. Складывая силы притяжения как векторы, получаем равнодействующую R сил притяжения со стороны соседних молекул как жидкости, так и стола. Для поверхности жидкости эта равнодействующая играет роль «вертикали», и поверхность расположится перпендикулярно к ней, точно так же, как поверхность большой лужи принимает горизонтальное положение, перпендикулярно силе тяжести. Итак, краевой угол определяется направлением равнодействующей сил притяжения R; прежде чем продолжить обсуждение, рассмотрим подробнее силы, которые определяют форму поверхности.

Молекулярные силы и поверхность жидкости. Чтобы понять, почему поверхность жидкости располагается перпендикулярно равнодействующей сил притяжения R, вернемся к обсуждению сил, действующих на молекулу. На молекулы действуют: Дальнодействующие силы: А) сила тяжести; Б) притяжение соседей (только в пределах нескольких диаметров молекул); Короткодействующие силы: В) сильное отталкивание во время столкновений с соседями (на расстоянии долей диаметра молекулы). Для описания поведения молекул вряд ли стоит применять термин «равновесие», но все же можно сказать, что в покоящейся жидкости каждая молекула в среднем находится в равновесии.

Фиг. 119. Коротко- и дальнодействующие силы.

_{А — силы тяготения (очень малы); б — дальнодействующее притяжение соседей; в — короткодействующее отталкивание ори столкновении; г — равнодействующая поверхности; в — поверхность должна быть расположена равнодействующей дальнодействующих сил притяжения.}

На любую молекулу на поверхности жидкости короткодействующие силы действуют со всех сторон и снизу, поэтому равнодействующая будут перпендикулярна поверхности. Равнодействующая дальнодействующих сил, которая уравновешивает эти короткодействующие силы, должна иметь противоположное направление, а следовательно, она также будет перпендикулярна поверхности. Из последнего утверждения следует и обратное — поверхность должна быть перпендикулярна равнодействующей сил притяжения, в противном случае все силы перемещали бы поверхность, пока она не приняла бы этого положения. (Конечно, в молекулярном масштабе сама поверхность исчезает в хаосе беспорядочных движений, подобно границе толпы. Она представляется гладкой, только когда ее рассматривают издалека.) Две из названных сил действуют на поверхность и меняют свое направление, когда поверхность изгибается. Это — короткодействующее отталкивание и дальнодействующее притяжение соседей. Третья сила — земное притяжение — всегда направлена вертикально вниз. В большом пруду основное направление задается силой тяжести, которая превращает всю поверхность в горизонтальную плоскость; поэтому две другие силы также вертикальны. На молекулы же, расположенные вблизи твердой стенки или на поверхности небольшой искривленной капли, притяжение соседей влияет намного больше, чем сила тяжести. Поэтому для объяснения искривленного мениска или краевого угла силой тяжести можно пренебречь. Просто говорят: «Поверхность располагается перпендикулярно равнодействующей сил притяжения, которые действуют на молекулу, находящуюся на поверхности».

Краевой угол и молекулярные силы.

Чтобы объяснить природу краевого угла с точки зрения молекулярных сил, рассмотрим силы притяжения, действующие на молекулу С, которая находится в том месте, где лужица жидкости соприкасается с твердым столом (фиг. 120).

Фиг. 120. Силы, действующие на молекулу, находящуюся на краю небольшой лужицы жидкости.

_{Лужица находится на столе, который сильно притягивает молекулы жидкости. 1 — короткодействующие силы; 2 — дальнодействующее притяжение.}

Во-первых, на нее действует притяжение соседей, находящихся внутри слоя жидкости; равнодействующая этих сил равна F₁ и направлена по биссектрисе угла клина (направление подсказано симметрией). Во-вторых, ее притягивают молекулы твердого стола с равнодействующей F₂, которая перпендикулярна столу (снова по соображениям симметрии).

Векторное сложение сил F₁ и F₂ и дает их равнодействующую R; поверхность жидкости должна расположиться перпендикулярно R.

Это схематически изображено на фиг. 120, где F₁ дано намного меньше F₂, чтобы показать, что молекула С притягивается своими собратьями меньше, чем столом. В таком случае краевой угол невелик и жидкость смачивает стол. Можно сказать, что сильно притягивающий стол побуждает жидкость растекаться. Таким образом, смачивание зависит от относительной силы молекулярного притяжения. Если молекулы жидкости притягиваются молекулами твердого тела сильнее, чем соседними молекулами самой жидкости, жидкость будет смачивать стол и растекаться.

С другой стороны, если молекула жидкости предпочитает своих собратьев молекулам стола, силу F₁ следует нарисовать больше F₂ и картина примет такой вид, как на фиг. 121, где показан большой краевой угол. Для «водоотталкивания», по-видимому, требуется, чтобы молекулы жидкости испытывали со стороны соседних молекул стола меньшее притяжение, чем со стороны соседних молекул жидкости.

Фиг. 121. Силы, действующие на молекулу, находящуюся на краю небольшой лужицы жидкости.

_{Лужица находится на столе, который слабо притягивает молекулы жидкости.}

Водоотталкивание и смачивание.

Таково молекулярное объяснение смачивания и краевого угла.

Объяснение? Разве это не просто волшебная сказка, выдуманная для того, чтобы свести концы с концами? Нет, это объяснение совсем не так плохо, поскольку оно основано на молекулярных представлениях, которые используются в других областях физики и химии. Кроме того, оно позволяет сделать полезные рекомендации:

1) Для улучшения смачивания (мечта прачек) надо сделать F₂ больше, чем F₁, т. е. надо, чтобы молекулы жидкости притягивались твердым телом сильнее, чем своими соседями. Это можно осуществить, применяя молекулы-посредники, которыми на практике являются молекулы мыла. Таким образом, мы раскрыли секрет мыла и указали путь к созданию новых синтетических моющих средств.

2) Чтобы увеличить краевой угол (надежда изготовителей плащей), надо покрыть текстильное волокно каким-либо веществом, для которого F₂ мало по сравнению с F₁. На вопрос: «Какой толщины должно быть покрытие?» (еще одна забота изготовителей плащей) — примечание на стр. 195 отвечает, что достаточно очень тонкого слоя, толщиной в несколько молекул. (На вопрос: «Какова толщина молекулы?» — дан ответ в этой главе.).

3) В тех случаях, когда роль поверхностных сил велика, жидкость с небольшим краевым углом (F₂ больше F₁) будет расползаться вдоль твердой поверхности, даже карабкаясь вверх. Это особенно заметно, когда жидкости поднимаются в очень узких трубках; «капиллярность» — полезное свойство жидкостей, и мы сейчас его разберем.

Капиллярность.

ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ОПЫТ. Опыт 12. Нагрейте кусок стеклянной трубки, растяните его в очень тонкую трубку и опустите один ее конец в чернила (фиг. 122, а). Окрашенная вода поднимается вверх вопреки силе тяжести, опровергая правило: «вода в сообщающихся сосудах устанавливается на одном уровне». Однако в U-образной трубке с колонами разного сечения жидкость все же устанавливается на одном уровне (фиг. 122, б). Если вспомнить обсуждение относительной роли поверхностных и объемных эффектов, можно догадаться, что влияние поверхностного натяжения будет более заметно в приборах малых размеров; например, в небольшой U-образной трубке (фиг. 122, в). Конечно, это то же самое, что мы уже видели при погружении тонкой трубки в чернила. Наброски, представленные на фиг. 122, г, помогают понять переход от одного опыта к другому. Если жидкость поднимается в тонких трубках, то в еще более тонких она должна подняться еще выше. Проверьте это (см. фиг. 122, д).

Фиг. 122. Капиллярные явления.

Поскольку это следствие поверхностного натяжения проявляется в трубках, «тонких, как волос», оно получило название от латинского слова «волос» — capilla. Таким образом, капиллярность — это старое название поверхностного натяжения, которое еще применяется, чтобы охарактеризовать поведение жидкостей в тонких трубках. Это красивое название, но оно не объясняет подъема жидкости. Сказать, что вода поднимается по тонкой трубке вследствие капиллярности, по существу то же, что сказать «вследствие поведения тонких трубок». Рассматривая через увеличительное стекло мениск (поверхность жидкости) в тонкой трубке, мы увидим, что он висит, как прикрепленный к стеклу изогнутый мешок, весьма похожий на одеяло пожарников, которые ловят выбрасывающегося из окна горящего дома тяжелого мужчину (фиг. 122, е).

Снова возникает мысль о резиновой оболочке. Если измерить силы, удерживающие оболочку, то видно, что эти же силы определяют форму маленьких капель. Можно даже говорить, что оболочка удерживает поднимающуюся по трубке жидкость[75], но более реально говорить о молекулах, которые вскарабкиваются по внутренней поверхности трубки и образуют изогнутый мениск.

Жидкости поднимаются не только в круглом стеклянном капилляре. Капиллярность проявляется в любом узком пространстве.

Когда вода стекает между щетинками малярной кисти или увлажняет в ванне ваши волосы, то она заполняет не полые волоски, а узкие промежутки между отдельными волосками. На таком поведении жидкостей основано всасывание масла в ламповый фитиль, воды в банное полотенце и т. д.

Задача 3 (трудная). Формула капиллярности. Допустим, что подъем жидкости в капилляре определяется разностью давлений по обе стороны мениска. Вернитесь к опыту с двумя соединенными друг с другом мыльными пузырями (см. фиг. 111, д). Какой вывод только из этого опыта можно сделать о соотношении между высотой подъема в капилляре и его диаметром? Задача 4. Капиллярность в несмачиваемой трубке. Возьмем жидкость, которая образует со стенками трубки большой краевой угол. На фиг. 123 показана, например, ртуть в стеклянной трубке.

Фиг. 123. К задаче 4.

Уровень ртути в широкой трубке показан, но рисунки не закончены. Набросайте в тетради все эти рисунки и закончите их.

Применения капиллярности.

Чтобы жидкость втягивалась в капилляр, а не только поднималась вверх, и вообще проникала в поры, необходим малый краевой угол между жидкостью и стенками пор. При большой величине краевого угла предметы будут оставаться сухими. Ниже приведены примеры, которые демонстрируют роль капиллярности и смачивания в природе и в быту.

1) Системы, где нужен малый краевой угол (желательно при большом поверхностном натяжении).

Вода на волокнах банных полотенец и т. д.

Чернила на конце пера (щель на конце пера подает чернила на бумагу вследствие капиллярности; стальные перья, применявшиеся прежде, когда они бывали новыми, имели большой краевой угол, и для улучшения работы перья следовало смочить слюной).

Чернила на бумаге (но поры в бумаге должны быть закрыты).

Кровь на бинтах.

Капли от насморка на слизистой оболочке носа.

Припой на металле (для уменьшения краевого угла применяют флюс).

? Слюна на пище.

Растворитель для краски на сухом порошке красителя.

Жидкая краска на окрашиваемых поверхностях (с этим связан ряд вопросов в технике живописи).

Мыльная вода при стирке грязной одежды.

? Вода на стеклах очков (здесь нет узких промежутков, но при небольшом краевом угле конденсирующаяся на стекле вода создает плоскую пленку, а не туман из капелек).

2) Системы, где нужен большой краевой угол.

Вода на спине утки, на тканях для палаток и зонтов.

? Блинное тесто на сковороде.

Вода на полу в ванной.

? Вода на стеклах очков (мелкие капли быстрее испаряются).

Важную роль капиллярность играет в садоводстве. Вода проникает в тонкие промежутки между частицами почвы. Разрыхление и вскапывание изменяет размеры этих промежутков и затрудняет доступ воды из глубины почвы к поверхности, предотвращая тем самым ее испарение.

Кирпичи пористы. Кирпичные дома на высоте 30 см или более от поверхности земли должны иметь изоляцию от влаги из непористого материала.

Объяснение капиллярности с молекулярной точки зрения.

По всей трубке вверх поднимается очень тонкий слой жидкости, возможно, толщиной в одну молекулу, а за ним ползет основная масса жидкости, образуя искривленный мениск. Силы F₁ и F₂ для случаев малого и большого краевого угла схематически изображены на фиг. 124.

Фиг. 124. Молекулярные силы, краевой угол и капиллярность.

_{1 — рассматриваемая молекула; 2 — притяжение стекла; 3 — равнодействующая сил притяжения; 4, 5 — притяжение соседей в жидкости; 6 — притяжение стенки.}

Поверхность жидкости располагается перпендикулярно равнодействующей R сил притяжения, действующих на ее молекулы. Это является результатом короткодействующих сил, которые проявляются при столкновениях с другими молекулами. Когда краевой угол равен нулю, стеклянная стенка, вероятно, на всем протяжении покрыта тонким слоем жидкости толщиной в несколько молекул. Мениск всползает по этому слою жидкости.

Рисунки весьма упрощены, так как на них не учтена сила тяжести.

Вещества, облегчающие смачивание: мыла и моющие средства.

Очень часто, когда нужен малый краевой угол, природа дает нам большой. Овечья шерсть, например, не смачивается водой; это мешает обработке отары растворами при дезинсекции. С обеденной посуды вода скатывается, как со спины утки, и даже на чайных стаканах порой остаются несмачиваемые отпечатки пальцев. А новые посудные полотенца, поступающие со склада с ужасной восковой отделкой! Нам необходимы молекулы-посредники, которые образовывали бы промежуточный слой и уменьшали бы краевой угол между водой и жирными тарелками, покрытыми воском волокнами одежды и т. д. Сейчас эту роль выполняют моющие средства, предшественником которых было мыло. Мыло действует на жир с помощью поверхностного натяжения, помогая воде заползать под жир и отрывать его частички, которые смываются в виде эмульсии (скопление мелких частиц жира, взвешенных в воде). Один конец молекулы мыла имеет сродство к воде вследствие химического или электрического притяжения[76], а другой конец инертен к воде, но легко присоединяется к жиру. В то время как «жирные» концы образуют облако вокруг частиц жира, «водяные» концы выступают наружу и притягивают воду. Современные синтетические мыла или стиральные порошки обычно облегчают смачивание. Их молекулы действуют как посредники и уменьшают краевой угол. Они проникают в любую щель между жиром и тарелкой, облегчая попадание туда воды.

Вообразим себя в роли физиков-судомоек, которые приходят к группе химиков и говорят: «Пожалуйста, разработайте и пустите в производство вещество, которое было бы пригодно в качестве моющего средства. Оно должно иметь следующие свойства:

1) его молекулы должны притягиваться к жиру (или, для других целей, — к текстильным волокнам);

2) его молекулы должны также притягиваться к воде;

3) оно должно довольно легко растворяться в воде, чтобы его молекулы могли плавать и достигать границы вода/жир, где необходима их помощь.

P. S. Производство этого средства должно быть недорогим».

Современные химики-органики ответят: «Это легко сделать». Чтобы прицепиться к воску или к жиру, молекулы должны иметь длинную углеводородную цепь, подобную следующей[77]»:

Но не слишком длинную, иначе она не будет растворяться в воде.

Воски и жиры имеют аналогичную цепную структуру, и они должны притягивать такие цепи. Затем это вещество на одном из концов должно иметь нечто обладающее сродством к воде, например атом натрия. Годится любая группа, которая будет отделяться в воде, освобождая электрический заряд, поскольку молекулы воды несут на концах заряды + и — и будут скапливаться вокруг других зарядов.

Такого рода молекулы были сконструированы и изготовлены, и сейчас мы покупаем их в больших количествах в хозяйственных магазинах. Ниже приведены примеры обычного мыла и синтетического стирального порошка подобной структуры[78]).

К числу таких веществ относится также применяемый в фотографии и исследовательской работе аэрозоль. Его молекула представляет собой длинную цепь с воскообразными концами и «притягивающим воду» атомом натрия в середине:

ДЕМОНСТРАЦИОННЫЕ ОПЫТЫ. Опыт 13. На покрытое воском стекло наносят каплю чистой воды (фиг. 125). Концом спички добавляют раствор моющего средства и следят за изменением краевого угла.

Фиг. 125. Действие смачивающего агента.

_{Длинные молекулы показаны линией с точкой, которая обозначает группу, имеющую сродство к воде. Молекулы смачивающего агента аэрозоля показаны не в масштабе, а увеличены во много раз. а — на столе, покрытом воском, образуется небольшая лужица; б — добавляется смачивающий агент; в — молекулы смачивающего агента собираются на поверхности инертными концами наружу; г — капля воды покрыта молекулами смачивающего агента и испытывает сильное притяжение к покрытому воском столу; д — краевой угол сильно уменьшается, и вода растекается по столу.}

Опыт 14. Новое посудное полотенце с воскообразной поверхностью разрезают на два куска и растягивают на наклонном столе. На один кусок выливают крепкий раствор красителя. Краситель впитывается с трудом, большая его часть стекает. Затем на другой кусок выливают остаток красителя, к которому добавлено небольшое количество моющего средства.

Действие мыла и моющих средств. Когда раствор моющего средства попадает на покрытую воском поверхность, его молекулы скапливаются вокруг воска, причем их «жирные» концы направлены в сторону воска, а «водяные» — наружу. Эти внешние концы создают оболочку, которая притягивает воду, и этим облегчают смачивание. (Аэрозоль, молекула которого имеет удвоенную длину, прикрепляется к воску, жиру или целлюлозе обоими концами и поднимает имеющую сродство к воде середину, подобно выгнувшей спину гусенице; выпяченные «спины» создают притягивающую воду оболочку.).

Мытье посуды. Молекулы большинства моющих средств и мыла имеют на одном конце группу, обладающую сродством к воде. Действие этих веществ при мытье посуды схематически изображено на фиг. 126.

Фиг. 126. Действие моющего вещества (натурального или синтетического).

_{А — к воде добавляют молекулы «мыла»; б — моющее действие (тарелка, покрытая частицами жирной грязи); в — добавленная вода не может удалить грязь; г — добавлен детергент; инертные воскоподобные концы его молекул притягиваются к границе между водой и грязью; в — инертные концы скапливаются на грязи, которую теперь можно удалить проточной водой или мочалкой; е — грязь удерживается во взвешенном состоянии, так как молекулы детергента образуют защитный слой на очищенной тарелке и вокруг комков грязи.}

Мыльные пузыри. Мыльные пузыри на вид достаточно прочны; если их ударить, они подскакивают и, если испарения нет, сохраняются довольно долго. Происходит это по следующим причинам:

1) Молекулы мыла собираются с обеих сторон пленки, причем их концы, имеющие сродство к воде, направлены внутрь, а инертные — наружу, создавая нейтральную поверхностную оболочку[79] которая ни к чему не прилипает.

2) Мыльный раствор представляет собой неоднородную смесь, образующую пленку со слегка изменяющимся поверхностным натяжением; это позволяет пленке выдерживать нагрузку и восстанавливать свою первоначальную форму. В то же время чистая жидкость редко образует устойчивые пузырьки или пену, поэтому остерегайтесь пить воду из прудов, на поверхности которых бывает пена.

Водонепроницаемость. Чтобы плащ не пропускал воду, поверхностное натяжение не должно позволять воде проникать в поры. Для этого поры не закрывают, а покрывают волокна воском, чтобы создать большой краевой угол при контакте с водой. Тогда, если поры малы, вода в них не проникает, а задерживается выпяченной поверхностной пленкой.

Опыт 15. На фиг. 127 схематически изображена вода, политая на волокна, имеющие покрытие, — увеличенная схема зонта или палатки под дождем. Схему можно показать через проекционный фонарь; тот же эффект можно продемонстрировать на небольшом решете с металлической сеткой. Если проволочки решета покрыть парафином, чтобы они сделались несмачиваемыми, решето будет удерживать осторожно налитую на него воду. Но стоит снизу к решету прикоснуться влажным пальцем, как оболочка воды разрушится и начнется дождь. Таким же образом палатка начинает протекать, если кто-нибудь из любопытства прикоснется изнутри к полотнищу мокрой головой.

Фиг. 127. Водонепроницаемость и смачивание.

_{В сильно увеличенном виде показаны в разрезе волокна ткани для зонтов или брезента для палаток с налитой на них водой. Поры не закрыты, но когда на волокна нанесено покрытие, создающее большой краевой угол (между водой и покрытием), вода выпячивается между волокнами и удерживается поверхностным натяжением.}

Химия поверхностных явлений и чудеса в горном деле.

Химия веществ, изменяющих краевой угол, творит поистине чудеса в технике и в быту. Моющие средства помогают прачкам, протирщикам окон и мойщикам овец. Ничтожные добавки к каплям от насморка позволят им проникнуть в носу пациента сквозь барьер, созданный волосками слизистой. Водоотталкивающие вещества делают непромокаемыми плащи и промышленные фильтры. Наконец, избирательные смачивающие вещества отделяют ценные минералы от бесполезной породы. Для этого породу, содержащую металлическую руду, размалывают, а затем полученную пыль размешивают в чане с водой. В воду добавляют соответствующее вещество, которое покрывает частички руды, делает их несмачиваемыми и позволяет им легко «плавать»[80], тогда как бесполезный песок намокает и опускается на дно в виде грязи, которую затем удаляют. Поверхность соприкосновения воды с открытым воздухом слишком мала, чтобы на ней могли собраться все несмачиваемые водой частицы руды, поэтому через взвесь продувают пузырьки воздуха, которые создают пену и поднимают руду кверху, где ее и собирают. Такая схема «пенной флотации» отнюдь не бесполезная игрушка. Этот процесс успешно применяется в горной промышленности, и с его помощью разделяют миллионы тонн руды в день. Подбор веществ, которые будут охватывать руду защитной оболочкой и не будут защищать песок, требует от химиков большого искусства. Более того, некоторые вещества даже отделяют в смешанных рудах один металл от другого; для этого требуется еще более тонкая химия. Сейчас пенная флотация находит много новых применений, например отделение грибка спорыньи от спелого зерна, сортировка гороха для консервирования, улавливание потерянных частичек каучука, но основное ее применение — это разделение свинца, цинка, серебра и т. д., которое выросло в мощную промышленность, где главным работником служит поверхностное натяжение.

Амебы и поверхностное натяжение.

Каким образом мелкие простейшие организмы, живущие в воде, передвигаются и находят пищу? Некоторое представление об этом можно получить с помощью грубых химических моделей, вроде движущейся зигзагами «лодки» из камфары или искусственной ртутной «амебы» (фиг. 128).

Фиг. 128. «Амеба» из ртути.

На небольшую лужицу ртути на часовом стекле в блюдце наливают разбавленную азотную кислоту. Около ртути помещают кристалл бихромата калия. Ртуть начинает двигаться подобно амебе; ее перемещения вызваны изменениями поверхностного натяжения вследствие химических или электрических эффектов.

Настоящая амеба тоже образует такие неправильные выступы и впадины, возможно также используя изменения поверхностного натяжения.

ДЕМОНСТРАЦИОННЫЕ ОПЫТЫ. Изменение свойств поверхностной оболочки воды. Здесь приведены некоторые красивые опыты, демонстрирующие изменения поверхностного натяжения. Опыт 16. Швейную иглу или тонкий листочек металла можно заставить плавать в блюдце с водой. Если поверхностное натяжение уменьшить, предмет потонет. Попробуйте добавить к воде спирт или мыло. Опыт 17. Посыпьте поверхность чистой воды несмачиваемым порошком (сажей, тальком или ликоподием). По движению порошка можно обнаружить ослабление поверхностного натяжения. Если на поверхность нанести капли спирта, порошок разбежится в стороны (фиг. 129).

Фиг. 129. Капли спирта падают на воду, которая посыпана порошком.

Обычное объяснение таково: спирт образует слабую оболочку, и порошок растаскивается в стороны прочной оболочкой чистой воды. Но иногда предпочитают говорить, что молекулы спирта, растекаясь, создают «поверхностное давление» и расталкивают порошок. Хотя эти взгляды различны, любой из них полезен для объяснения опытов. Опыт 18. На посыпанную порошком чистую поверхность воды нанесите оливковое масло. Его требуется так мало, что достаточно погрузить в масло спичку и затем вытереть ее насухо. Даже палец, потертый о волосы, соберет достаточное количество природного жира. В предыдущем опыте после действии спирта поверхность восстанавливается, но влияние жира остается, поэтому этот опыт требует очень чистых, свободных от жира приспособлений. Мыло и слюна действуют подобно спирту. Личинки москитов живут в прудах и просовывают наружу расположенные в хвосте дыхательные трубки. Масло, нанесенное на поверхность, проникает в эти трубки и убивает личинку. Прежнее объяснение, согласно которому масло настолько ослабляет поверхностную пленку, что личинки не могут висеть на ней и дышать, следует отбросить. Опыт 19. Небольшая капля масла, помещенная в большое блюдо со слегка припудренной чистой водой, очень быстро растекается в большое круглое пятно, которое потом сохраняет свои размеры. Так ведут себя растительные масла; они являются «жирными кислотами», и у них один конец, кислотный, имеет сродство к воде: (Молекулы минерального масла, у которых инертны оба конца, видимому, располагаются по поверхности воды и движутся подобно двумерному газу, растекаясь случайным образом.) Кажется, что пленка масла сверху «давит» на поверхность раздела. Такое объяснение представляется более правильным, чем «ослабление поверхностного натяжения воды». Сейчас это внешнее давление измеряют с помощью точных весов, которые взвешивают давление пленки масла на подвижную перекладину.

Применение длинных молекул масла.

Смазывание. При смазывании высокоскоростных подшипников молекулы растительного масла присоединяются к металлу (металл вытесняет водород из кислотного конца молекулы масла), и масло образует мономолекулярные бархатистые «ковры», инертные внешние слои которых удобно скользят друг по другу. (К смазке добавляют также минеральные масла, чтобы между этими «коврами» получить инертные масляные «ролики».) При крайне небрежном обращении с металла сдираются даже бархатистые монослои; тогда движущиеся металлические детали с большой силой прилипают друг к другу («схватываются»), и это чревато неприятными последствиями.

Ланолиновый жир пристает к коже и проникает в нее, перенося с собой необходимые медикаменты, тогда как инертные минеральные масла беспорядочно распределяются на коже в виде жирных комков; поэтому избегайте мазей, изготовленных не на ланолине, а на минеральных маслах.

К коже пристают и молекулы хорошей ваксы, а парафин (разновидность минерального масла с более длинной цепью) образует беспорядочные пятна[81]. Полировка обуви щеткой облегчает прилипание и распределяет молекулы по поверхности более равномерно.

Укрощение штормов в море. Укрощение бурных морей с помощью масла — отнюдь не сказка. Достаточно вылить за борт совсем немного подходящего масла, чтобы оно распространилось по большой поверхности. Ветер пытается создать большие волны, раскачивая небольшую рябь, масло сдувается в лужи неправильной формы, и различие поверхностного натяжения помешает действию ветра, создав своего рода поверхностное трение. Поэтому в таком месте образуется меньше больших волн. А волны, приходящие издалека, не смогут по крайней мере создать разрушительных гребней. Поверхностное натяжение играет важную роль при образовании вспененных гребней, и масло может помешать их образованию.

ДЕМОНСТРАЦИОННЫЕ ОПЫТЫ. Опыт 20. Как изменится поверхностное натяжение при повышении температуры? Попробуйте нагреть припудренную поверхность воды, поднося к ней раскаленную докрасна кочергу. Опыт 21. Распылите по чистой воде камфару. Каждая частица совершает беспорядочные движения. Это происходит потому, что камфара медленно растворяется в воде, ослабляя поверхностную оболочку. Каждую частицу вперед тянет чистая вода, а назад — слабее вода с камфарой, поэтому частица плывет вперед, подобно лодке, крутясь и поворачиваясь из-за своей неправильной формы. Попробуйте добавить еще немного масла. Движение камфары сразу прекратится. Не правда ли, это красивый несложный опыт, немного похожий на детскую забаву? Однако эта забава играет важную роль в одном из великих экспериментов атомной физики — в измерении размеров молекулы.

Размер молекулы.

Шестьдесят лет назад лорд Рэлей наблюдал за растеканием масла по воде. В то время, когда ученые строили различные предположения о размерах молекул, он догадался, что самый тонкий слой масла, который может полностью покрыть водную поверхность, будет иметь толщину как раз в одну молекулу, и решил определить эту толщину. Рэлей представил себе растекание капли масла как хаотическое движение молекул, карабкающихся друг на друга и сваливающихся назад, пока каждая не достигнет поверхности воды и не сможет прицепиться к воде (эти масла состоят из молекул с длинной цепью, на одном конце которых находится химическая группа, имеющая сродство к воде). Как только все молекулы масла расположатся таким способом, они будут держаться в виде мономолекулярного покрова и перестанут стремиться к дальнейшему растеканию (фиг. 130).

Фиг. 130. Масло на воде.

_{Капля масла, нанесенная на чистую поверхность воды, растекается и покрывает ее слоем толщиной в одну молекулу. Молекулы масла, вероятно, стоят «дыбом» подобно ворсу на ковре.}

Если масла как раз достаточно для данной поверхности воды, слой будет иметь толщину в одну молекулу, и все молекулы будут плотно упакованы по вертикали, подобно ворсинкам бархата. При меньшем количестве масла останутся участки открытой воды. Если масла будет.

…???… супе)[82].

Лорд Рэлей вымыл и заполнил водой круглый большой таз, имевший 82 см в поперечнике. На поверхность воды он поместил взвешенную каплю масла и наблюдал, как оно растекается и закрывает всю поверхность. Затем он опять взял чистую воду и каплю меньшего размера, затем еще меньшую, пока не дошел до такой капли, которая уже не могла полностью закрыть всю поверхность. Как же он обнаружил, что закрыта не вся поверхность?

Если перед опытом распылить на поверхности порошок, можно изменить свойства поверхности. Поэтому Рэлей после масла распылял камфару (помните детскую забаву?). Пока поверхность воды была полностью покрыта маслом, камфара не находила чистой воды, по которой она могла бы танцевать, но когда капля масла была мала, на поверхности открывались участки чистой воды.

Условия приведенной ниже задачи 5 следуют за ходом вычислений Рэлея. Используя результаты его измерений, определите размеры молекул масла.

Задача 5. Измерение размеров молекулы. Рэлей наносил каплю оливкового масла на чистую воду в большом сосуде. Для простоты примем, что сосуд был прямоугольным с размером зеркала воды 0,55 м х 1,00 м (это даст ту же площадь, что и в круглом тазу, взятом Рэлеем). Движение камфары показало, что масла как раз достаточно для покрытия всей поверхности (капля масла весит ⁸/₁₀ мг, или 0,00000080 кг). Плотность масла равна 900 кг/м³ (что составляет 0,90 от плотности воды). Предположим, что плотность остается такой же и в очень тонкой пленке. (Помните, что поскольку масло менее плотно, чем вода, его объем должен быть больше объема той же массы воды.). А) Определите толщину масляной пленки, образующейся при растекании капли по воде. Б) Допустим, что Релей был прав и пленка, достаточная для остановки движений камфары, имеет толщину в одну молекулу. Поверим химикам, что это масло имеет «длинные» молекулы, один конец которых сильно притягивается водой. Какой вывод можно сделать из вопроса (а) относительно размеров молекул?

Длина молекул очень мала; чтобы образовать линию в 1 см их требуются миллионы. В те времена, когда Рэлей производил свои измерения, ученые делали грубые, поспешные предположения о размере и массе молекул; их косвенные догадки основывались на трении в газах, на рассеянии солнечного света в небе молекулами и на некоторых сомнительных электрических аргументах. Здесь же был поразительно простой эксперимент и, вероятно, надежный.

С тех пор метод был улучшен и обобщен многими, особенно Ленгмюром в США. Оливковое масло, которое применял Рэлей, было неопределенной смесью маслянистых веществ. Позднейшие исследователи применяли чистые химические соединения, часто используя несколько членов «гомологического ряда» (или, иначе, химической семьи). Например, Ленгмюр применял «жирные кислоты». Их получают из природных жиров и масел, и они дают мыло, соединяясь с натрием или калием. Они имеют длинные молекулы с одним инертным, а другим «кислым» концом, который притягивается водой. Существует целый ряд таких соединений, причем молекула каждого представителя этого ряда больше своего предшественника на один атом углерода и два атома водорода. Очень давно химики изобразили молекулы различных членов этих рядов структурными формулами, подобными трем приведенным на стр. 222.

Это были лишь догадки, основанные на химических данных, но они наводили на мысль о длинных цепных молекулах, удлиняющихся на группу СН₃ при переходе от одного члена семьи к другому.

Задача 6 основана на усовершенствовании метода Рэлея, осуществленном Ленгмюром, Адамом и другими.

Задача 6. Точное измерение размеров молекул. Адам использовал прямоугольную ванну шириной 0,14 м и длиной 0,5 м. Ванна была наполнена водой до краев; исследуемая область ограничивалась положенными сверху на расстоянии около 0,4 м друг от друга брусками А и В (фиг. 131).

Фиг. 131. Упрощенный рисунок прибора Адама.

_{Пленка масла ограничена брусками А и В.}

Брусок В был подвижен; он свободно плавал по воде и был соединен с измерительным устройством, которое имело пружину или грузик и позволяло обнаружить любое горизонтальное смещение бруска, а также предотвращало его случайные движения. Брусок А клали поперек ванны, он имел выступающие края и его можно было перемещать рукой. Ванну и бруски покрывали воском, чтобы уровень воды мог подниматься немного выше краев, так что бруски А и В отсекали центральную часть поверхности. Располагая сначала брусок А далеко от бруска В, Адам помещал на водную поверхность между брусками небольшое измеренное количество пальмитиновой кислоты. Брусок В не смещался. Затем передвигался брусок А, собирая пленку масла на все меньшей и меньшей площади, пока вдруг брусок В не испытывал заметного толчка; это позволяло думать, что молекулы вобрались в сплошной слой. (В реальных экспериментах толкающее усилие не возрастало абсолютно резко от нуля до полного значения. Оно появлялось при определенной величине поверхности и быстро росло при дальнейшем перемещении, достигая постоянной величины, после которой дальнейшее сближение, вероятно, заставляло «слой» изгибаться. По графику легко было найти момент, в который появляется значительное усилие.). Для нанесения жирных кислот на поверхность вода Адам растворял их в бензоле и наносил несколько капель раствора. Бензол быстро испарялся. Вот типичные результаты измерений (это не подлинные данные Адама, но они основаны на его записях): Бензольный раствор. Состав: 4 г пальмитиновой кислоты растворены в 996 г бензола. Следовательно, каждый килограмм раствора содержит 0,004 кг пальмитиновой кислоты. Размер капель. В сосуд капают 100 капель раствора и сосуд взвешивают. Масса 100 капель раствора равна 0,33 г, или 0,00033 кг. Основной опыт. На воду наносят 5 капель раствора. Когда бензол испаряется (остается невидимая нерастворимая поверхностная пленка пальмитиновой кислоты), брусок А двигают по направлению к бруску В. Последний испытывает сильный толчок, когда расстояние между А и В составляет 0,23 м. В этот момент поверхность воды между брусками составляет 0,23 м в длину и 0,14 м в ширину. Плотность пальмитиновой кислоты (в виде жидкости) составляет 850 кз/м³, (0,85 по сравнению с водой). Задание: предполагая, что пленка пальмитиновой кислоты имеет ту же плотность, с помощью приведенной ниже инструкции определите размеры ее молекул. 1) Рассчитайте длину молекул, используя снова предположение Ралея. [Примечание. Даже одна арифметическая ошибка может превратить решение этой задачи в бессмыслицу. Расчет объема взятого масла (пальмитиновой кислоты) является простой задачей на дроби, подобно расчету рецепта теста для пирога или разбавления соков. Он требует знания элементарных арифметических правил и уверенности. Чтобы избежать ошибок, лучше производить его по стадиям, например, по количеству раствора (5 капель), нанесенного на воду, рассчитать: А) массу нанесенного на воду раствора; Б) массу пальмитиновой кислоты, содержащейся в этом количестве раствора; В) объем, который займет эта масса пальмитиновой кислоты (850 кг занимают 1 м³, следовательно…).]. 2) Оцените ширину молекул с помощью следующего рассуждения. Цепная формула изображает молекулу в 19 атомов длиной и только несколько атомов шириной. Трудно догадаться о форме поперечного сечения молекулы; атомы Н должны быть меньше, чем атомы С в цепи. Возможно, что поперечное сечение содержит 3 атома в ширину и один в толщину, либо чередующиеся связи могут колебаться в разные стороны, делая поперечное сечение квадратом, скажем, со сторонами по 3 атома. В качестве грубого предположения[83], допустим, что поперечное сечение является квадратом со стороной от 1,5 до 3 атомов. Забывая, что разные атомы имеют разные размеры, мы заключаем, что ширина молекулы должна быть где-то между ¹/₁₀ и ¹/₅ ее 19-атомной длины. Глупо было бы пытаться сузить эти пределы (фиг. 132).

Фиг. 132. Схема к рассуждению о форме молекулы пальмитиновой кислоты.

_{Современные химики, группируя атомы углерода и водорода в молекулы, приписывают им четкие размеры, причем углероду намного больше, чем водороду. Здесь показаны ранние предположения о размерах атомов, и атом С изображен лишь немного больше атома Н. Каково поперечное сечение: «продолговатое» (а) или «квадратное» (б)?}

Рассчитайте объем молекулы пальмитиновой кислоты, для этого возьмите длину, полученную в п. 1, и считайте поперечное сечение квадратом со стороной, равной ¹/₁₀ длины. Повторите вычисление с другим пределом — ¹/₅ длины. 3) Принимая плотность равной 850 кг/м³, рассчитайте массу одной молекулы на основе каждого предположения (¹/₁₀ и ¹/₅). (Если 850 кг занимают 1 м³, то…). 4) Простые химические измерения (анализ путем сжигания и взвешивания и т. д.) говорят, что масса молекулы пальмитиновой кислоты в 256 раз больше массы атома водорода. (Химические опыты не могут дать действительных значений масс отдельных атомов и молекул, но позволяют легко определить их относительные величины.) На основании полученного вами результата рассчитайте массу одного атома водорода (при каждом предположении — ¹/₁₀ и ¹/₅). 5) На основании п. 4 скажите приблизительно, сколько атомов должно быть в 1 кг водорода (около 11 мЗ при атмосферном давлении). 6) Сейчас существуют совершенно другие способы определения массы атома водорода (косвенные, но надежные, использующие электрический заряд электрона или некоторые измерения радиоактивности). Они дают: МАССА АТОМА ВОДОРОДА = 1,66∙10^-27 кг. Предположите, что правильно это значение, и проделайте вычисление в обратном порядке. Что теперь можно сказать о форме молекулы пальмитиновой кислоты? Были ли допущения ¹/₁₀ и ¹/₅ близки к истине? (Примечание. Проделать детально всю работу в обратном порядке может оказаться утомительным. Можно ограничиться сокращенными выкладками.). Задача 7. Цепные молекулы. Измерения с помощью бруска и весов, подобные описанным в задаче 6, дают следующие оценки для длины молекул нескольких членов ряда жирных кислот. Длина дается в специальных единицах (часто используемые в атомной физике единицы Ангстрема, равные 10^-10 м). (Примечание. Указанное число групп включает первый атом углерода с тремя атомами водорода.). Подтверждают ли эти опыты идею о цепных молекулах? Проанализируйте их о помощью графика.

Физическая проверка химической картины.

Только плохой преподаватель льстит себя надеждой, что способен объяснить, что такое молекулы масла, с помощью одних разговоров о «цепях связей» или «ворсе бархата» в тонких пленках. Однако если после вычислений, подобных приведенным выше, у вас появилось чувство, что вы что-то понимаете, то вы делаете гениальные успехи в науке. Использованные нами структурные формулы были остроумными догадками, сделанными по косвенным химическим соображениям. Они оставались совершенно непроверенными, пока метод Рэлея не дал в высшей степени удовлетворительное подтверждение существования длинных тонких молекул с одинаковым увеличением длины на каждую группу СН₂.

Все же рассуждения Рэлея допускали определенный риск; были желательны независимые измерения. В наше время еще более тонким средством измерения размеров молекул стали рентгеновские лучи. Превращая масла в воски путем замораживания, мы можем заставить слои молекул в кристаллах отражать рентгеновские лучи и по отражению рентгеновских лучей можем определить расстояние между слоями (или размер молекул), подобно тому как физики во времена Рэлея могли определить расстояние между жилками на крыльях бабочки по цветам отраженного света[84].

Некоторое понятие об этих «эффектах дифракционной решетки» будет дано в последующих главах. Рентгеновские измерения с удовлетворительной точностью подтвердили догадку Рэлея и дали дополнительные сведения о размерах и строении молекул.

Если теперь вернуться к вопросам смачивания и водонепроницаемости, то можно оценить количества веществ, требуемые для придания материалу нужных свойств. Вероятно, достаточен слой толщиной в одну молекулу, поэтому потребные количества минимальны. О мономолекулярных слоях уже думают как о реальных, знакомых вещах. Они слишком тонки, чтобы их видеть с помощью обычного света, хотя их можно обнаружить с помощью рентгеновских лучей или дифракции электронов. Однако Блоджетт разработал метод, в котором наносится слой за слоем на стеклянную пластинку, причем осаждаются сразу по два слоя, когда пластинку погружают в воду с плавающим мономолекулярным слоем. Погружение повторяют до тех пор, пока толщина не может быть измерена обычными приборами, которыми измеряют толщину бумаги, и не будут осуществлены, наконец, прямые измерения. (Такие пленки представляют собой ранний способ, нанесения на стекла покрытий, уничтожающих блики, — просветление оптики. Линзы современных фотоаппаратов имеют покрытие, нанесенное другим методом — испарением в вакууме.).

Эту главу мы начали с простых наблюдений и ввели некоторые наименования, затем позаимствовали идеи о молекулах и сделали некоторые предварительные предположения. Потом провели дополнительные опыты и пришли к разнообразным результатам, простирающимся от сугубо практических вещей, вроде мыльной пены и чистки обуви, до измерения длины молекулы.

Сейчас физика и химия поверхностей образуют самостоятельную отрасль науки.

Глава 7. Сила и движение.

— Эх, вы! — сказал Слоненок. — Много вы смыслите в тумаках! Вот я в этом деле кое-что понимаю. Хотите, покажу? И он развернул свой хобот, и тотчас же два его милых братца полетели от него вверх тормашками. — Клянемся бананами! — закричали они. — Где это ты так навострился и что у тебя с носом? — Этот нос у меня новый, и дал мне его Крокодил…, — сказал Слоненок. — Безобразный нос! — сказал волосатый, мохнатый дядя Павиан. — Пожалуй, — сказал Слоненок. — Но полезный! И он схватил волосатого дядю Павиана за волосатую ногу и, раскачав, закинул в осиное гнездо. Редъярд Киплинг, «Вот так сказки»

Это длинная и трудная глава, отчасти даже противная, но важная и очень нужная. Ее, может быть, придется читать несколько раз и крепко задумываться, но без этой главы вы мало что поймете в астрономии или в атомной физике, которым уделено важное место в нашем курсе.

Если изучение движения, которому посвящена эта глава, покажется вам трудным, подумайте о том, как много времени потребовалось на это человечеству. Греческие ученые хорошо знали, что такое рычаги и простые машины, и разбирались в простых физических явлениях вроде плавания тел, но в том, что касается движения, у них не было ясности. И еще три или четыре столетия назад оставалось много неясного. Человечеству потребовалось шестнадцать столетий, чтобы прийти к пониманию движения, поэтому вам следует набраться терпения и потратить на изучение движения несколько недель.

Сила и изменение движения.

Каким образом ракета сама себя приводит в движение в вакууме? Откуда нам известен заряд одного- электрона? Как нам удается теоретически предсказать поведение газов? Как удается исследовать строение атомов при помощи альфа-частиц, испускаемых радием? Что позволяет нам рассчитать количество энергии, выделяющейся при делении ядер? Все это можно осуществить, но чтобы понять эти явления, понять, как ученые производят измерения, следует разобраться в той связи, которая имеется между силой и движением. В данной главе подробно исследуется эта связь не ради решения скучных задач на ускоренное движение, а как необходимая основа почти всех наиболее важных разделов физики, и старой, и современной.

Современного физика движение интересует тогда, когда оно изменяется. Равномерное движение, по его мнению, продолжается само по себе; если же скорость какого-либо движущегося предмета возрастает по величине или движение происходит по криволинейной траектории с изменением направления, тут физик рассчитывает получить важную информацию. Здесь, считает он, действует сила.

Фиг. 133. Установившееся движение с постоянной скоростью.

_{Неизменная скорость в неизменном направлении, а — камень на замерзшем пруду; б — изолированная звезда.}

Изменение движения позволяет изучить роль «силы» в физических представлениях о мире, возможно, даже высказать некие догадки о причине и следствии. Мир полон примеров изменения движения: автомобили ускоряют ход; пушечные ядра набирают высоту и падают; «крученые» мячи заворачивают в полете в сторону; маятники совершают колебания; Луна мчится по своей орбите вокруг Земли; планеты блуждают по небу, описывая петлеобразные фигуры; молекулы газа резко изменяют направление своего движения, сталкиваясь со стенками сосуда; пучок заряженных атомов, проходя через электрическое поле, искривляется в параболу; узкий пучок электронов в телевизионной трубке движется вверх и вниз под действием магнитных полей, и (возможно, вас это удивит) даже лучи света искривляются под действием силы тяжести[85]. В этой книге вы будете изучать все эти примеры изменения движения. Каждое из них связано с действием силы, и если мы не собираемся ограничиться простым описанием, то должны выяснить связь между «силой» (чем бы эта «сила» ни была) и изменением движения».

Мы будем называть силой все, что тянет или толкает, и будем измерять силы простыми пружинными весами (не прибегая в закону Гука).

Здесь снова следует приступить к опытам. Это будут главным образом демонстрационные опыты.

Фиг. 134. Изменяющееся движение.

_{А — скорость изменяется по величине; б — по направлению; в — как по величине, так и по направлению.}

Сила и ускорение: признавая физические законы.

Привяжите к веревке камень и, держа веревку за противоположный конец, поднимите руку вверх. Камень натянет веревку. Вы говорите, что это натяжение вызвано тем, что камень тянет вниз земным притяжением, «тяготением» или просто весом камня.

Эта направленная вниз сила, приложенная к камню, уравновешивается вашей силой, направленной вверх. Теперь перережьте веревку: камень начнет падать с постоянным ускорением. Вы перестали тянуть камень вверх, но можно предположить, что на камень по-прежнему действует та же сила, которая представляет собой теперь единственную действующую на него силу — постоянную силу, направленную вниз. Постоянная сила приводит к постоянному ускорению. Это начало настоящего изучения силы и движения.

Сопоставьте этот вывод с утверждением Галилея, согласно которому, если нет силы, то нет и ускорения: предмет, находящийся под действием сил, сумма которых равна нулю, сохраняет состояние покоя или движется с постоянной скоростью.

Для дальнейшего исследования силы и движения нам потребуется прикладывать силы равной величины к различным предметам.

Фиг. 136. Ускорение, сообщаемое постоянной силой.

В этом курсе мы будем пользоваться для измерения силы простейшими пружинными весами и будем измерять силу в произвольных единицах. Возьмем хорошую стальную пружину и растянем ее так, чтобы удлинение пружины имело стандартную величину. Назовем эту силу «единицей силы», равной одному «странгу».

(Странг — это название для новой единицы, которую мы здесь выдумали. Скоро мы заменим ее общепринятой единицей.) Теперь мы можем приложить один странг, чтобы сообщить ускорение какому-нибудь избранному нами предмету — небольшой тележке или куску льда, лежащему на горизонтальной поверхности стола; для этого достаточно приложить силу при помощи пружины, удлинение которой поддерживается все время постоянным, равным эталонному. Тянуть тележку с постоянной силой, когда она движется все быстрее и быстрее, дело не простое. Будем считать, что мы в состоянии выполнить эту задачу, и посмотрим, какие результаты дадут нам подобные эксперименты. Измерения промежутков времени и расстояний позволили бы установить, что ускорение постоянно. Расстояния, пройденные предметом за 1, 2, 3…. сек с момента начала движения, оказались бы в пропорции 1:4:9:… (из измерений s и t мы могли бы также вычислить величину 2s/t² и убедились бы в том, что она постоянна). Теперь с помощью двух идентичных пружин, прикрепленных рядом, «в параллель», и растянутых на одинаковую длину, соответствующую стандартному удлинению, приложим удвоенную силу, 2 странга. Мы получим удвоенное ускорение. Ускорение возрастает в той же пропорции, что и сила.

Фиг. 137. Единичное (а) и удвоенное (б) ускорение.

Чтобы приложить к исследуемому телу всевозможные силы величиной 1, 2, 3, 4… странга, возьмем несколько одинаковых пружин[86]. Затем сообщим телу ускорение силой 1 странг, 2, 3…, ускорения должны находиться в пропорции 1:2:3., значит для данного тела ускорение возрастает в такой же пропорции, что и ускоряющая сила, т. е. a ~ F.

Фиг. 138. Удвоенные и утроенные массы.

_{А — постоянная сила сообщает телу постоянное ускорение; б — при неизменной массе ускорение пропорционально силе; в — при неизменной силе ускорение пропорционально 1/М.}

До сих пор мы всегда прикладывали силу к одному и тому же телу. Перейдем теперь к другим телам, другим количествам движущегося вещества, к удвоенной и утроенной массе. Возьмем несколько идентичных тел (тележек или кусков льда). Чтобы получить удвоенную массу, свяжите две тележки (или поставьте одну на другую) и приложите силу 1 странг. Затем соедините три одинаковых тела и приложите к ним эту силу. При удвоенной массе мы должны получить половину ускорения, при утроенной — одну треть ускорения. Ускорение убывает в такой же пропорции, в какой возрастает масса, т. е, а ~ 1/М, где М измерено путем подсчета числа тележек. Это соотношение труднее себе представить, поэтому зададим вопрос по-иному: как следует изменить силу, чтобы сообщить разным массам одинаковое ускорение! Телу с удвоенной массой 1 странг сообщает половину ускорения, поэтому первоначальное ускорение этому телу должны сообщить 2 странга. В таком случае, чтобы сообщить одинаковое ускорение единичной массе, удвоенной массе и утроенной массе, к ним нужно приложить силы, которые находятся в пропорции 1:2:3. Силы, которые нужно приложить, пропорциональны массам F ~ M. Здесь, говоря о массе, мы имеем в виду количество вещества, которому нужно придать ускорение, количество одинаковых тележек (или кусков льда).

Резюме.

Итак, мы получили два важных соотношения:

1) При неизменной массе.

(Ускорение) ~ (Сила), или (Сила) ~ (Ускорение).

2) При неизменном ускорении (Сила) ~ (Масса).

Эти соотношения можно объединить в одно[87].

СИЛА ~ МАССА∙УСКОРЕНИЕ.

Или.

СИЛА = (ПОСТОЯННАЯ)∙МАССА∙УСКОРЕНИЕ.

Второй закон движения Ньютона.

Снова представим себе, что мы можем прикладывать постоянные силы к движущимся массам и точно измерять ускорения. Кроме того, предположим, что сила наших пружин — это единственная действующая на тело горизонтальная сила, которая, таким образом, является результирующей силой. Приведенное нами соотношение.

РЕЗУЛЬТИРУЮЩАЯ СИЛА ~ МАССА∙УСКОРЕНИЕ.

Действительно справедливо. Это великий второй закон движения Ньютона (который включает первый закон Ньютона и предполагает выполнение его третьего закона при любой экспериментальной проверке).

Этот закон, связывающий силу, ускорение и массу, чрезвычайно важен для последующих разделов физики. Он подтверждается экспериментально для движения всех больших тел, от детских автомобилей и теннисных мячей до реактивных самолетов и планет; мы распространим его, кроме того, на атомы, электроны и ядра.

Чтобы понять этот закон и научиться им пользоваться, нужно уяснить его экспериментальную основу и исходные определения.

Поэтому очень важно посмотреть опыты. Прежде чем описать некоторые демонстрационные опыты, рассмотрим частный случай F = 0.

Нет сил — движение неизменно: первый закон Ньютона.

Если F ~ M∙a, то в частном случае F = 0 ускорение должна быть равно нулю, т. е. движение должно продолжаться без изменений. К этому выводу можно прийти, анализируя движение снаряда: вертикальное ускорение есть результат действия земного притяжения, в горизонтальном движении также следует усматривать результат действия некой горизонтальной силы. Помимо сопротивления воздуха (которое в идеальном случае не участвует), никаких горизонтальных сил нет. Тем не менее пушечное ядро продолжает двигаться вперед с постоянной горизонтальной скоростью.

Значит, можно предположить, что если на тело не действует никакая сила, то его скорость остается неизменной. В таких случаях горизонтальное ускорение равно нулю, но скорость не должна быть раина нулю: она может сохранять любое постоянное значение.

Поэтому физики говорят, что для поддержания неизменным равномерного движения не нужно прилагать никакой силы. На первый взгляд это кажется абсурдным. Чтобы двигать по шероховатому полу ящик или заставить автомобиль равномерно двигаться по ровному участку дороги, необходимо прикладывать все время большую силу. Однако, утверждая это, мы исходим из ограниченного представления: мы забываем о силе трения, действующей против движения, или о сопротивлении воздуха. Если учитывать эти силы, то результирующая сила вполне может оказаться равной нулю. Но мы говорим, что тело движется с постоянной скоростью, если равна нулю результирующая сила (фиг. 139).

Фиг. 139. Старый вопрос и современный ответ.

Даже если к летящему пушечному ядру приложить две силы — одну, тянущую вперед, а другую, тянущую назад, то при равенстве нулю результирующей силы горизонтальное движение ядра останется неизменным (фиг. 140).

Фиг. 140. Силы, действующие на тело, не влияют на движение, если сумма этих сил равна нулю.

Ниже приведено описание некоторых опытов. Проведение опытов иллюстрируется на фигурах и зависит от имеющегося в наличии оборудования.

ДЕМОНСТРАЦИОННЫЕ ОПЫТЫ. Опыт 1. Движение тела в отсутствие результирующей силы (мечта конькобежцев). Честно продемонстрировать такое движение невозможно. Мы не способны осуществить движение тела, на которое заведомо не действовала бы никакая сила. Мешают тяготение, трение или неумение логически мыслить. Мы можем лишь продемонстрировать опыты, иллюстрирующие наше направление мысли, и в идеальном случае (который сам по себе представляет воображаемый эксперимент) экстраполяцию всех реальных случаев[88]». Правило «нет силы — движение постоянно» применимо независимо от того, есть ли трение или нет. Мы стремимся проводить эксперименты в отсутствие трения только для того, чтобы продемонстрировать это правило, поскольку трение трудно измерить и ввести на него поправку. Опыт 1(а). Понаблюдайте за шаром, катящимся по горизонтальной поверхности стола. К сожалению, шар замедляет движение и останавливается: мы виним в этом трение. (Правда, катящийся шар используется и для проверки горизонтальности стола, поэтому есть опасность, что при доказательстве получится порочный круг. Однако этого можно избежать, если разумно провести опыт.). Задача 1. Научное объяснение против черной магии. Откуда вы знаете, что катящийся шар останавливает трение, а не нечистая сила? Предложите эксперименты для проверки или подкрепления вашей точки зрения. (Это задача, которая на первый взгляд кажется шуткой, поднимает серьезный вопрос о природе научных объяснений и законов. Попытайтесь логически построить защиту, но помните, что адвокат нечистой силы сможет настаивать на целом ряде свойств последней.). Опыт (1б). Большой кусок «сухого льда» (твердая двуокись углерода) скользит по горизонтальной поверхности стола, покрытого алюминием или стеклом. Сухой лед отделен от поверхности стола газовой подушкой — слоем газообразной двуокиси углерода, которая все время подогревается столом. Сухой лед значительно холоднее обычного тающего льда, поэтому стол оказывается для него очень горячим, и лед испаряется. Создается газовая подушка, по которой сухой лед скользит подобно куску обычного льда на разогретом солнцем тротуаре. Опыт 1(в). «Модель железной дороги». Честно признав поражение, нанесенное нам силами трения, мы можем создать модель железной дороги, в которой трение было бы компенсировано наклоном рельсов (фиг. 141).

Фиг. 141. «Первый закон Ньютона».

_{Тележка на рельсовом пути с компенсированным трением.}

На вагончик, стоящий на рельсах с очень небольшим уклоном, действует некоторая доля земного притяжения; эта сила тянет вагончик вниз под уклон, и можно так подобрать угол наклона, чтобы небольшая сила, действующая в сторону уклона, как раз компенсировала силу трения. Затем сообщим вагончику начальную скорость мгновенным толчком и посмотрим, как он движется. Это не вполне честный опыт. В самом деле, откуда мы знаем, насколько нужно наклонить рельсы? Тем не менее очень интересно смотреть, как вагончик медленно катится по рельсам при почти невидимом уклоне. Действительно, мы считаем, что результирующая сила равна нулю. Притяжение Земли при определенном положении рельсов и сила торможения, обусловленная трением, при векторном сложении в сумме дают нуль. Если толкнуть вагончик сильнее, то он будет двигаться, все время сохраняя новое значение скорости. Вагончик, нагруженный песком или металлом, после толчка опять-таки движется равномерно. Если не производить измерений, то этот опыт неубедителен, он позволяет судить скорее о трении, чем о движении в отсутствие силы, но модель дороги с компенсированным трением пригодится нам в дальнейших экспериментах. Опыт 1(г). Мы сталкиваемся с примерами прямолинейного движения, анализируя траектории тел, движущихся с большой скоростью: ружейная пуля движется настолько быстро, что на небольшой длине полета дули расстояние по вертикали, пройденное ею в падении, оказывается незаметным. Это говорит о том, что траектория близка к прямой, но никоим образом не убеждает в постоянстве скорости. Можно пропустить пучки электронов (и других атомных частиц), Движущихся еще быстрее, через проделанные булавкой проколы в нескольких перегородках в длинной трубке (фиг. 142).

Фиг. 142. Поток электронов в отсутствие внешних сил движется по прямой линии.

Если отверстия расположить не по прямой линии, то пучок не пройдет[89]. Быстрые атомные частицы, проходя через чувствительный слой эмульсии, которой покрывают фотопластинки, оставляют черный след. Проходя через фотографические пленки под малым углом к поверхности, они оставляют черточки, очень близкие к отрезку прямых (посмотрите фотографии эмульсий со следами электронов, протонов и других частиц, происхождение которых связано с космическими лучами). Опыт 2. Сила и ускорение. Соотношение, к которому мы пришли выше (в результате опытов с идеализированными пружинами), представляет собой основной закон физики. Поэтому стоило бы познакомиться с настоящими демонстрационными опытами. Чтобы проверить, действительно ли ускорения пропорциональны силам (эту мысль внушили Ньютону труды Галилея), мы измеряем ускорение небольшой тележки, движущейся по рельсам под действием тяги различной величины (фиг. 143).

Фиг. 143. Демонстрационный опыт, иллюстрирующий зависимость между силой, массой и ускорением.

_{Небольшой груз тянет массивную тележку при помощи нити, перекинутой через блоки. Рельсовый путь слегка наклонен для компенсации трения.}

Рельсам придан небольшой уклон для компенсации трения. Коль скоро мы сообщаем о том, какие меры принимаем, то можно считать, что мы поступаем вполне честно. Трение целесообразно компенсировать или свести к минимуму: законы движения не перестают действовать при наличии трения, но оно создает дополнительную силу, которую надо отдельно измерить, если мы хотим знать результирующую силу. Именно результирующая сила фигурирует в законах в их простой формулировке. Детали устройства рельсового пути и системы отсчета времени зависят от имеющегося в наличии оборудования. Рельсовый путь должен быть длинным, рельсы стальные, как можно более прямые, тщательно уложены. Колеса тележки должны быть снабжены шариковыми подшипниками. Электрическая система измерения времени с большими часами в качестве регистрирующего устройства удобнее, чем перьевые отметчики времени, оставляющие чернильные точки или волнистые кривые. Пуск часов может производиться замыканием электрического контакта, а остановка — с помощью фотоэлемента (фиг. 144).

Фиг. 144. Схема опыта для демонстрации зависимости между силой, массой и ускорением.

В момент, когда тележка отъезжает от «стартового столба», разрывается питание электромагнита (оно проходит через тележку и контакт на «стартовом столбе») и электромагнит отпускает рычажок, который включает часы. Когда тележка достигает конечного пункта, укрепленная на ней полоска картона перекрывает луч света, направленный на фотоэлемент. Пока фотоэлемент освещен, в нем создается поток электронов, который усиливается и приводит в действие электромагнит. Когда световой поток прерывается, электромагнит отпускает (второй) рычажок, замыкающий цепь электрических часов. Таким образом, часы регистрируют продолжительность движения тележки, начинающегося из состояния покоя, в пределах некоторого измеренного отрезка пути. На данном этапе эта схема опыта может показаться сложной и таинственной. Впоследствии вы встретитесь с этими устройствами — с фотоэлементами, усилителями и т. д. Все, что от вас сейчас нужно, — это, чтобы вы понаблюдали за работой действующей системы с движущейся тележкой и часами. Вы увидите, что часы включаются, когда тележка отходит от «стартового столба», и останавливаются, когда она доходит до фотоэлемента. Пользуясь этими часами для непосредственного наблюдения, вы поступаете ничуть не хуже, чем при пользовании любыми другими часами: вы убеждены в том, что они работают приемлемо, хотя и считаетесь с возможностью нежелательных ошибок. Наблюдая за этим важным демонстрационным опытом, выполняемым с помощью сложной аппаратуры, воспользуйтесь также для контроля вашими ручными часами. Измерение сил: «силомер». Примером ускоренного движения обычно служит свободное падение тел, а земное притяжение, заставляющее тела падать, — примером силы. Тем не менее было бы ошибкой использовать земное притяжение на первом этапе изучения сил и ускорения, ибо это приведет к серьезной путанице, связанной с очень важным понятием массы. Воспользуемся лучше «силомером» — хорошей стальной пружиной со стрелкой и шкалой, размеченной для измерения силы в «странгах». Как и прежде, один странг — это произвольная единица силы, которая, растягивая пружину, придает ей стандартное удлинение. Чтобы разметить шкалу измерения сил в 2, 3, 4… странга, нет никакой необходимости обращаться к закону Гука. Возьмем еще несколько одинаковых пружин, проверенных на идентичность подвешиванием к каждой из них одного и того же груза или одновременным растяжением всех пружин, расположенных рядом[90]. Затем возьмем эти пружины и будем растягивать силомер, прикрепляя к нему пружину — одну для 1 странга, две в параллель для 2 странгов, — и нанесем отметки на шкале. Потом три, потом четыре пружины…[91] Более мелкие деления можно нанести на шкалу путем интерполяции. Мы получим «силомер» для измерения сил по удлинению пружины. Воспользуемся этим силомером для измерения силы, сообщающей ускорение небольшой тележке, движущейся по горизонтальному рельсовому пути, и будем измерять ускорения. Действительно ли удвоенная сила сообщает удвоенное ускорение? Лучше всего установить силомер на самой тележке. В этом случае шнур, за который тянут тележку, прикрепляется к пружине силомера, и сила измеряется во время ускоренного движения тележки[92]. Если мы измеряем ускоряющую силу с помощью силомера, установленного на тележке, то неважно, как приложена сила к другому концу шнура. Силомер покажет, с какой силой тянут за шнур и остается ли эта сила постоянной. Для удобства проведения опыта шнур перекидывают через блок и тянут при помощи подвешенного к нему небольшого груза. Груз притягивается к земле и тянет шнур, который в свою очередь тянет тележку с силой, измеряемой силомером.

Фиг. 145. Силомеры.

_{А — силомеры (проверьте тождество трех одинаковых пружин); б — калибровка пружин; в — лучший критерий тождественности — одинаковое ускорение.}

Грузом может служить небольшой мешочек с песком, размер его подбирается так, чтобы создавалась нужная сила. Для упрощения демонстрации опыта можно увеличивать силу в простой пропорции 1:2:3…. Тогда проще и правильнее приготовить заранее несколько мешочков с песком, чтобы прикладывать такие силы в процессе опыта: скажем, 1,2 странга; 2,4 странга; 3,6…. Здесь несущественно то обстоятельство, что сила, приложенная к шнуру, создается притяжением Земли, действующей на мешочек с песком. Мы получили бы такие же результаты, если бы шнур тянул, скажем, дрессированный кролик. (В большинстве приборов, применяемых для демонстрации соотношении сила-масса-ускорение, на тележке не устанавливают силомера, хотя это в очень просто сделать. Вместо этого силы измеряют земным притяжением, приложенным к небольшому грузу, подвешенному к шнурку. Земное притяжение действительно является ускоряющей силой, но оно придает ускорение одновременно двум телам: тележке и самому грузу. Это затрудняет рассуждения: если мы хотим сохранить движущуюся массу неизменной, то, желая увеличить силу, не можем просто добавить груз, создающий эту силу. Мы должны убрать часть массы тележки и добавить ее к грузу, так сказать, перевести одного из пассажиров в запасные машинисты.).

Фиг. 146. Силомер, снабженный лопатками, погруженными в масло, для демпфирования колебаний.

Опыт 2(а). Действие постоянной силы. Сначала убедимся в том, что постоянная сила сообщает телу постоянное ускорение. (Вспомните лабораторный опыт с катящимся колесом.).

Фиг. 147. Опыт 2(a).

Если это не так, то нет смысла переходить к опытам с различными по величине силами! Возьмем небольшой груз, с тем чтобы в течение всего движения к тележке, согласно показаниям силомера, была приложена постоянная сила. Постоянство ускорения проверяется тем же методом, что и в опыте с катящимся колесом, т. е. отмечают время перемещения на различные расстояния и смотрят, постоянно ли значение 2s/t². В таблице А дан пример записи результатов измерений на длинном столе. Приведена лишь небольшая часть экспериментальных данных, чтобы показать, как следует пользоваться таблицей. Приводить все данные не имеет смысла: такой опыт нужно проделать самому. Таблица А. Пример записи результатов опыта, проделанного для проверки утверждения — постоянная сила (действующая на неизменную массу) создает постоянное ускорение. Условия опыта: рельсовая колея слегка наклонена для компенсации трения. Движущаяся масса (тележка) 2,00 кг; сила (постоянная) 1 странг. Фотоэлемент установлен у конца колеи. Стартовая отметка помещается в позицию, соответствующую полному пробегу 1, 2, 3 м. Время каждого пробега измерялось три раза. Если ускорение постоянно, то величина 2s/t² должна быть одинаковой для всех трех расстояний, поэтому вычислялись значения 2s/t² *. * Мы пытаемся определить, постоянно ли ускорение. Соотношение а = 2s/t² записывается в предположении, что ускорение постоянно; это соотношение не выполняется при переменном ускорении. При вычислении величины 2s/t² мы оцениваем «среднее ускорение» для рассматриваемого участка движения, и если значение 2s/t² для нескольких различных значений перемещения s одинаково, мы делаем вывод о постоянстве ускорения. Опыт 2(б). Сила и ускорение. Если мы убеждены, что ускорение постоянно, т. е. если величины 2s/t² совпадают в пределах ошибок измерений (включая ошибки наблюдателя), то можно провести опыт о одним расстоянием, скажем 2 м. Следует прикладывать поочередно разные по величине силы, измеряемые при помощи силомера, и измерять ускорение, отмечая, как и прежде, промежутка времени. Мы хотим выяснить, действительно ли ускорения пропорциональны силам (см. таблицу Б). Опыт 2(в). Масса. До сих пор принималось, что общее количество движущегося вещества, т. е. масса тележки, остается неизменным. В соответствии с обычной практикой мы сохраняем неизменными все переменные, кроме двух — силы, и ускорения, связь между которыми и исследуем. Перейдем теперь к другим количествам вещества, к удвоенной и утроенной «массе». Если мы хотим отождествить массу с количеством вещества, которому надо сообщить движение, то следует иметь возможность удвоить массу, скажем, соединив вместе две одинаковые тележки и сообщая ускорение им обеим.

Фиг. 148. Опыт 2(б).

Как можно убедиться в том, что все исследуемые тела одинаковы по массе? Можно просто сделать их все одинаковыми, из одних и тех же материалов. Можно представить, что нам ассистирует некий демон, который проверяет исследуемые тела, подсчитывая число атомов. (Фактически экспериментатор в состоянии сейчас это проделать с помощью радиоактивных индикаторов и счетчика Гейгера.) Но нам нужны одинаковые тела для опытов по изучению зависимости между силой и ускорением. Поэтому, изготовив несколько тел, которые мы считаем одинаковыми, мы должны проверить их тождество, прикладывая поочередно к каждому из них одну и ту же силу. Если они движутся с одинаковыми ускорениями, мы считаем их одинаковыми, т. е. имеющими одинаковые «массы». Кроме того, мы допускаем, что удвоенную массу, утроенную массу и т. д. можно получить, положив одно тело на другое или скрепив их одно с другим[93].

Фиг. 149. Опыт 2(в).

Прикладывая одну и ту же силу к массам М; 2М и 3М, мы должны предполагать, что ускорения будут все меньше и меньше. Можно было бы проверить, не находятся ли ускорения, сообщаемые одинаковой силой, в пропорции 1:¹/₂:¹/₃. Однако можно избавиться от лишних затруднений, предположив, что результат должен быть именно таким, и придумать более простой способ проверки. Проделывая опыты с разными массами, мы стараемся подобрать силу так, чтобы сообщать каждой массе одно и то же ускорение, т. е. полагаем, что к удвоенной и утроенной массе потребуется приложить соответственно вдвое и втрое большую силу. (Об этом говорит символический эксперимент, фиг. 150.).

Фиг. 150.

Тогда мы можем поставить решающий вопрос: если изменить массу движущегося тела и вместо М взять 2М и 3М и изменить в такой же точно пропорции силу F:2F:3F, останется ли ускорение неизменным? Но если ускорение остается тем же, то и промежутки времени, за которые тело проходит выбранное расстояние, тоже не изменятся, поэтому наша проверка оказывается еще более простой — исследовать промежутки времени, за которые тело проходит выбранное расстояние (см. таблицу В). Таблица В. Пример записи результатов опыта для проверки соотношения между движущейся массой и силой при постоянном ускорении. Условия опыта: рельсовая колея наклонена для компенсации трения; фотоэлемент установлен так, чтобы отмечать время прохождения расстояния 2,00 м (движение происходит из состояния покоя). Массы выбраны в пропорции 1:2:3; грузы подобраны так, чтобы значения силы также находились в пропорции 1:2:3.

На подступах ко второму закону Ньютона.

Движение тела по наклонной плоскости. Если вы исследовали в лаборатории движение колеса по наклонным направляющим, то видели, что уменьшенная сила земного притяжения создает постоянное ускорение. Галилей широко пользовался наклонной плоскостью, чтобы регулировать силу тяжести. Если вас интересуют первые шаги на пути к современной механике, прочтите этот раздел или обратитесь к книге Галилея «О двух новых науках».

Незадолго до Галилея Стевин показал, что если тело удерживается веревкой в состоянии покоя на наклонной плоскости при отсутствии трения, то к телу приложена сила F:

СИЛА F / ЗЕМНОЕ ПРИТЯЖЕНИЕ (=ВЕС) = ВЫСОТА НАКЛОННОЙ ПЛОСКОСТИ h / ДЛИНА НАКЛОННОЙ ПЛОСКОСТИ L.

Со стороны наклонной плоскости на тело действует сила Р; она дается соотношением.

P/W = [ОСНОВАНИЕ НАКЛОННОЙ ПЛОСКОСТИ b] / L.

Если трение отсутствует, сила Р должна быть направлена перпендикулярно к поверхности (мы исходили из этого предположения при построении треугольника сил). Если бы сила Р не была перпендикулярна к поверхности опоры, то она имела бы продольную компоненту, увлекающую тело вверх или вниз по наклонной плоскости, т. е. представляла бы собой действие трения[94]. При движении тела до реальной наклонной плоскости всегда имеется трение, препятствующее движению, но здесь мы рассматриваем идеальный случай абсолютно гладкой наклонной плоскости, которая поэтому должна создавать силу реакции, направленную перпендикулярно к поверхности.

Сила реакции Р и сила тяги F в сумме уравновешивают земное притяжение W (фиг. 151).

Фиг. 151. Тело на наклонной плоскости.

_{А — в состоянии покоя; б — движение по наклонной плоскости.}

Если перерезать веревку, то тело начнет двигаться с ускорением вниз по наклонной плоскости; мы можем считать, что остальные силы — земное притяжение W и реакция опоры Р — не меняются. В таком случае, если силы W и Р раньше уравновешивали силу F, то их сумма должно быть равна —F, т. е. должна представлять собой силу F, направленную вниз по наклонной плоскости. Таким образом, мы можем считать, что тело, свободно скользящее по наклонной плоскости, ускоряется под действием силы F, направленной вдоль наклонной плоскости и такой, что.

F/W = h/L, или F = W∙h/L.

Отношение h/L постоянно по всей наклонной плоскости. Поэтому для любой данной наклонной плоскости сила F одна и та же по всей длине; такие эксперименты, как опыт со скатывающимся колесом, показывают, что эта постоянная сила создает постоянное ускорение, направленное вдоль наклонной плоскости[95]. Если изменить наклон, то изменится сила, действующая на тело вдоль наклонной плоскости, и изменится его ускорение.

Галилей изучал движение тел по различным наклонным плоскостям и пришел к выводу, что их ускорение[96] изменяется прямо пропорционально отношению h/L[97]. В таком случае.

УСКОРЕНИЕ, направленное ВДОЛЬ НАКЛОННОЙ ПЛОСКОСТИ = (Постоянная)∙h/L.

СИЛА F, направленная ВДОЛЬ НАКЛОННОЙ ПЛОСКОСТИ = (Земное притяжение W)∙h/L.

Итак, ускорение изменяется в такой же пропорции, что и результирующая сила. Таким образом, Галилей создал прочную базу для вывода общего правила.

УСКОРЕНИЕ ~ РЕЗУЛЬТИРУЮЩАЯ СИЛА,

Которое Ньютон включил в свой второй закон. Это было открытием огромной важности. Еще до Галилея к этому выводу пришли ученые, но он не был ясно сформулирован. Он представляет собой основное соотношение между силой и движением, описывающее движение снарядов, планет, электронов, ракет, поездов, деталей машин и т. д.

Общее соотношение.

Многочисленные наблюдения — от приближенных измерений времени, приведенных Галилеем, до косвенных данных из астрономии и современной баллистики — позволяют получить общее соотношение. Если на тело действует постоянная результирующая сила, то тело движется с постоянным ускорением. При удвоении или утроении силы ускорение возрастает в такой же пропорции:

При неизменной массе.

УСКОРЕНИЕ ~ СИЛА, или СИЛА ~ УСКОРЕНИЕ.

С другой стороны, чтобы сообщить одно и то же ускорение удвоенной или утроенной массе, необходимо приложить соответственно удвоенную и утроенную силу.

При неизменном ускорении.

СИЛА ~ МАССА.

Объединяя оба вывода, можно записать[98].

СИЛА ~ МАССА∙УСКОРЕНИЕ,

F = K∙M∙a.

Соотношение F = K∙M∙a, согласно которому.

РЕЗУЛЬТИРУЮЩАЯ СИЛА = (ПОСТОЯННАЯ)∙МАССА∙УСКОРЕНИЕ,

Представляет собой обобщенную формулировку, выражающую движение тел с ускорением. Наши демонстрационные опыты не доказывают, что она верна, но они иллюстрируют ее и вносят свою лепту в доказательство ее правильности. Соотношение F = K∙M∙a — это наш вариант записи второго закона Ньютона, который мы сформулируем позже. Мы пользуемся этим соотношением для расчета реальных сил: силы реакции пола, которую мы испытываем при прыжке; силы, действующей на автомашину при столкновении; давления газа на стенки сосуда; силы, с которой Земля притягивает Луну. Сначала сделаем несколько замечаний относительно массы и силы (и веса), а потом покажем, как записать соотношение F = K∙M∙a в более простой форме, удобной для вычислений.

Масса и сила.

Мы смело рассуждали о массе, но дали ли мы ее недвусмысленное научное определение? Предположим, известно, что сила — это знакомое всем толкающее или тяговое усилие, и мы допускаем, что две одинаковые пружины создают силу, вдвое большую, чем одна пружина; тогда можно сказать, что нам известна сила F и ускорение а, входящее в соотношение F = K∙M∙a. Значит, можно охарактеризовать массу как некую величину, пропорциональную отношению F/a, поскольку F/a = K∙M. Чем больше масса, тем большую силу нужно приложить, чтобы сообщить ей некоторое ускорение. С другой стороны, чем больше масса, тем меньшее ускорение придает ей определенная сила.

Фиг. 153. Сила — знакомое понятие.

Мы складывали массу, основываясь на допущении, что, соединяя отдельные куски вещества в один, мы одновременно складываем и их массы в одну общую массу, что массу можно измерить, например, числом одинаковых тележек, соединенных вместе.

Это соответствует зависимости F ~ M∙a. Значит, масса аддитивна и представляет собой меру трудностей, которую мы встречаем при попытке ускорить движение тела. Масса — это своеобразная цена единицы ускорения, выраженная величиной силы, совсем как обычная цена есть стоимость какого-то товара, выраженная в денежных знаках. Ньютон говорил, что масса означает количество вещества, и при дальнейшем объяснении пользовался понятиями плотности и объема, нисколько не помогая этим делу. Если вы хотите почувствовать, что такое масса, можете обратиться к описательным определениям вроде «мера трудности, с которой сопряжена попытка ускорить движение тела», но такие формулировки нельзя рассматривать как научные определения! Если подходить с научных позиций, то мы можем сказать определенно: массы пропорциональны значениям отношения.

РЕЗУЛЬТИРУЮЩАЯ СИЛА, СООБЩАЮЩАЯ УСКОРЕНИЕ / СООБЩЕННОЕ УСКОРЕНИЕ.

(Вскоре мы выберем единицу силы так, чтобы масса была равна отношению F/a.) Мы описываем силу как нечто растягивающее пружины или могущее быть получено путем подвешивания груза на веревке. Тем не менее во многих движущихся системах нам не удается заметить растягивающихся пружин или почувствовать земное притяжение, и мы считаем, что какая-то сила действует только потому, что наблюдаем ускорение. В курсах физики, рассчитанных на более высокий уровень, сила описывается как нечто, создающее ускорение, и измеряется она ускорением, которое сообщает стандартной массе. Но в таком случае мы оказываемся в опасной близости к ведению доказательства по замкнутому кругу[99].

Фиг. 154. Ускорение кажется понятием достаточно очевидным.

В какой мере соотношение F = K∙M∙a представляет собой определение силы и массы и в какой степени оно является экспериментальным фактом? Это трудный вопрос. Во всяком случае, экспериментальные данные удовлетворяют соотношению F = K∙M∙a, и мы можем на его основе предсказывать явления в окружающем нас мире.

Фиг. 155. Представление о массе менее привычно.

_{Чтобы понять, что такое масса, стоит внимательнее посмотреть, как этим понятием пользуются в физике.}

Единица массы — килограмм.

В качестве эталонной единицы количества вещества выбран килограмм; килограмм служит единицей массы в системе метр — килограмм — секунда. Эталон килограмма бережно хранится и имеет вид цилиндра из благородного металла.

Вес — это сила, зависящая от места на земном шаре. Вместо того чтобы тянуть тележку с помощью пружины, ей можно придать ускорение, прикрепив перекинутый через блок шнур, к противоположному концу которого подвешивается груз. Тогда сила, сообщающая ускорение, будет обусловлена весом этого груза. Ускорение свободного падения опять-таки сообщается телу его весом. К сожалению, словом «вес» пользуются в нескольких смыслах, что вносит путаницу. Поэтому мы постараемся точно изложить научный смысл слова «вес», а пока будем почаще заменять его названиями «притяжение Земли» или «земное притяжение».

В физике вес — это официальное наименование силы, которая притягивает предметы к земной поверхности, — «притяжение силы тяжести», что бы это ни означало. Мы можем, если нам это нравится, «объяснить» вес, сказав, что это притяжение Земли.

То обстоятельство, что тела притягиваются по направлению к центру Земли, делает такое объяснение разумным, но у нас нет никакой уверенности в его правильности, пока мы не изучим всемирное тяготение[100].

Как бы его ни определяли, вес — это сила. Он ничем не отличается от любой другой силы, если не считать двух особенностей: вес направлен вертикально и действует постоянно, его невозможно устранить.

Чтобы непосредственно измерить вес тела, мы должны воспользоваться пружинными весами, проградуированными в единицах силы[101]. Поскольку это зачастую сделать неудобно, мы сравниваем один вес с другим при помощи рычажных весов, т. е. находим отношение.

ЗЕМНОЕ ПРИТЯЖЕНИЕ, ДЕЙСТВУЮЩЕЕ НА ТЕЛО X / ЗЕМНОЕ ПРИТЯЖЕНИЕ, ДЕЙСТВУЮЩЕЕ НА ЭТАЛОН МАССЫ.

Предположим, что тело X притягивается в 3 раза сильнее, чем эталон килограмма. В этом случае мы говорим, что земное притяжение, действующее на тело X, равно 3 «килограммам силы», это означает, что оно «в 3 раза больше земного притяжения, которое действует на килограмм массы». К сожалению, это приводит к путанице между единицами массы и веса (и других сил), поскольку мы сокращенно называем и те и другие единицы «килограммом» (как следовало бы называть единицу массы). В самой деле, неразумно пользоваться одним и тем же названием для единиц измерения таких разных величин, как сила и масса. Мы еще вернемся к вопросу о выборе единиц для измерения сил.

Если мы при помощи пружинных весов измерим вес какого-нибудь предмета с очень большой точностью, а потом перенесем весы в другое место, то обнаружим, что вес предмета на поверхности Земли несколько меняется от места к месту. Мы знаем, что вдали от поверхности Земли, или в глубине земного шара, вес должен быть значительно меньше. Таким образом, единица «килограмм веса» (более употребительно наименование «килограмм силы») не только вносит путаницу при употреблении ее для измерения веса (и других сил), но и непостоянна. Мы стараемся избежать употребления переменных единиц, поэтому была изобретена более удобная единица сил (в том числе и веса). Перед тем как перейти к рассмотрению этой единицы, продолжим наше изучение массы.

«Масса НИКОГДА не меняется».

Представим себе, что мы повторяем на Луне демонстрационные опыты с вагончиками и силомерами, которые мы производили для изучения зависимости F ~ M∙a. Мы подозреваем, что тяготение на Луне слабее, поэтому определенный мешочек с песком тянул бы вагончик с меньшей силой. Однако если бы пружина силомера была растянута до той же самой отметки (под действием большего мешочка с песком), то сила осталась бы той же, что и на Земле. Останется ли масса вагончика на Луне той же самой или нет?

Ученые, размышляя над этим вопросом, давно пришли к выводу, что масса должна оставаться неизменной. Даже в центре Земли, где тяготение, действуя во всех направлениях, должно давать нулевую результирующую силу, тело по-прежнему имело бы ту же самую массу. Согласно имеющимся данным, полученным в результате изучения света, идущего от звезд, нам известно, что если атомные силы в тех далеких от нас мирах такие же, как на Земле, то массы атомов там тоже такие же.

Говоря о веществе, или материи, мы имеем в виду нечто цельное и определенное, нечто остающееся неизменным, что бы мы ни делали с предметом — нагревали его, расплавляли, сжимали… даже перенесли его на Луну. Куску свинца, положенному на ролики, было бы точно так же трудно придать ускорение на Луне или в центре Земли, как и на поверхности Земли. С другой стороны, вес такого куска свинца (сила, действующая на него вниз) был бы совершенно иным (фиг. 156).

Фиг. 156. Изменение массы и веса в зависимости от места.

_{Масса, оцениваемая по трудности, которую мы встречаем при попытке ускорить движение маленькой тележки, одна и та же всюду: на поверхности Земли, в центре Земли, на Луне. Вес, оцениваемый по удлинению пружинных весов (и ощущению усилия в мускулах руки человека, держащего весы), будет значительно меньше на Луне и практически равен нулю в центре Земли.}

Массивное колесо (уравновешенное на подшипниках) с очень малым трением не вращается под действием своего веса, однако если мы возьмемся за обод и заставим колесо вращаться, то сразу убедимся, что оно обладает массой; по-видимому, его точно так же трудно привести во вращение на Луне или в любом другом месте. Полкилограмма шоколада, если его съесть сразу, дает не только чувство тяжести, обусловленное притяжением этого шоколада Землей, но обеспечивает, так сказать, объем и питание, и при условии такого же состояния нашего здоровья на Луне следует ожидать таких же результатов от этого же количества съеденного шоколада. Даже если бы устроили лабораторию в свободно падающем ящике, то пришли бы к выводу о неизменности масс и не заметили бы, что предметы притягиваются Землей, как обычно.

Формулируя представление о массе при помощи таких туманных описаний, как количество материи, мера трудности ускорения движения, «инертность вещества» и т. д., или при помощи определения.

МАССА = СИЛА / УСКОРЕНИЕ,

Которое кажется ясным и недвусмысленным, мы считаем, что определяем некое универсальное неизменное свойство всех видов вещества, нечто существующее столь же вечно, как и сама материя.

Масса и вес.

Как велико земное притяжение, действующее на разные массы? Как сравнивать веса двух предметов? Возьмем два одинаковых куска свинца, скажем по 1 кг каждый. Земля притягивает каждый из них с одинаковой силой, равной весу 1 кг. Если мы соединим оба куска в 2 кг, то вертикальные силы просто складываются: Земля притягивает 2 кг вдвое сильнее, чем 1 кг. Мы получим точно такое же удвоенное притяжение, если сплавим оба куска в один или поместим их один на другой. Гравитационные притяжения любого однородного материала просто складываются, и нет ни поглощения, ни экранирования одного куска вещества другим[102].

Для любого однородного материала (вес) ~ (масса). Поэтому мы считаем, что Земля является источником «поля силы тяжести», исходящего из ее центра по вертикали и способного притягивать любой кусок вещества. Поле силы тяжести воздействует одинаково, скажем, на каждый килограмм свинца. А как обстоит дело с силами притяжения, действующими на одинаковые массы разных материалов, например 1 кг свинца и 1 кг алюминия? Ответ, точнее, смысл вопроса, зависит от того, что мы понимаем под одинаковыми массами.

Сравнение масс двух предметов путем измерения ускорения (например, вагончика на рельсовом пути) представляет собой сложное и утомительное занятие, но его можно осуществить, после чего можно сравнить веса этих масс на пружинных весах. Однако вы хорошо знаете, что наиболее простой способ сравнения масс, которым пользуются в научных исследованиях и в торговой практике, — это применение рычажных весов. В них сравниваются силы, которые тянут оба груза, и метод совершенно правильно называют «взвешиванием». Но, получив путем взвешивания одинаковые массы, скажем свинца и алюминия, мы предполагаем, что равные веса имеют равные массы. Никакой дальнейший эксперимент по измерению сил не может дать ответа на наш вопрос относительно массы и веса; по-видимому, здесь мы рискуем оказаться в замкнутом кругу. Фактически мы говорим о двух совершенно разных видах массы — об инертной и о гравитационной массе. Их различие содержит важнейший момент общей теории относительности. Однако в период от Ньютона до Эйнштейна это различие казалось несущественным, о нем не имели представления; поэтому изучение массы, движения, силы, веса и тяготения стало более трудным и запутанным даже в рамках элементарного курса физики. Мы рассмотрим оба вида массы, присвоив им символы М° и М⁺.

Два вида массы.

Фиг. 157. Два вида массы,

_{А — инертные; б — гравитационные.}

Инертная масса. Величина М в формуле F = K∙M∙а представляет собой инертную массу. В опытах с тележками, которым придают ускорение пружины, величина М выступает как характеристика «тяжеловесности вещества», показывающая, насколько трудно сообщить ускорение рассматриваемому телу. Количественной характеристикой служит отношение F/a. Эта масса представляет собой меру инертности, тенденции механических систем сопротивляться изменению состояния. Мы называем ее «инертной массой» и обозначаем символом М°. Если ограничиться од ним химическим элементом, то одну массу М° можно сравнивать с другой или с эталоном в 1 кг° путем подсчета атомов. (Сегодня мы умеем считать атомы, но даже самому быстродействующему счетчику Гейгера, если бы он работал днем и ночью, потребовались бы миллиарды лет, чтобы непосредственно пересчитать атомы в одном килограмме вещества.) Если подходить с более реальных позиций, то мы можем сравнивать массы° по аналогии с определением величины М°, т. е. посредством измерения ускорения и силы. Например, мы прикладываем некоторую стандартную силу, скажем пружины, к тележке, находящейся на горизонтальном рельсовом пути без трения, как показано на фиг. 160 (стр. 267):

А) к пустой тележке неизвестной массы [M₀°];

Б) к тележке + эталон 1 кг°, [M₀°+ 1°];

В) к тележке + масса М°, которую нужно измерить, [M₀°+ M°].

Мы измеряем в каждом случае ускорение, создаваемое силой F = K∙M°∙а, и, воспользовавшись правилами алгебры, находим значение М°/1 кг°, которое представляет собой массу М°, выраженную в килограммах[103].

Это долгий путь, которым редко пользуются, и то, пожалуй, только мысленно, с целью выяснить смысл массы°. Мы опишем более практичный подход к определению массы, но и он годится лишь для демонстрации принципа. До сих пор в наших рассуждениях не было прямой связи между инертной массой и тяготением.

Масса° — это свойство, которое должно быть одним и тем же и вблизи поверхности Земли, и на Луне, и в далеком космосе, и в центре Земли. Какова ее связь с тяготением и что на самом деле происходит при взвешивании?

Гравитационная масса. Совершенно независимо от инертной массы мы можем ввести понятие гравитационной массы как количества вещества, притягиваемые Землей.

Мы считаем, что поле тяготения Земли одинаково для всех находящихся в нем предметов, но приписываем различным предметам разные массы, которые пропорциональны притяжению этих предметов полем. Это гравитационная масса М⁺. Мы говорим, что разные предметы имеют разный вес, поскольку они обладают разными массами ⁺, которые притягиваются полем тяготения. Таким образом, гравитационные массы по определению пропорциональны весам. Гравитационная масса определяет, с какой силой тело притягивается Землей. Позднее мы увидим (на это указывает третий закон Ньютона), что тяготение взаимно: если Земля притягивает камень, то камень точно так же притягивает Землю. Значит, гравитационная масса ⁺ тела определяет также, насколько сильно оно притягивает другое тело, Землю. Таким образом гравитационная масса измеряет количество вещества, на которое действует земное притяжение, или количество вещества, обусловливающее гравитационные притяжения между телами. Мы могли бы сказать, что масса М⁺ характеризует «величину» тела с точки зрения гравитационного взаимодействия его с другими телами. (Как вы узнаете в гл. 23[104], каждое тело, заключающее в себе некоторое количество вещества, притягивает любое другое тело, испытывая одновременно притяжение этого второго тела, но лишь Земля обладает достаточно большой массой М⁺, чтобы создавать заметное притяжение небольших предметов, которые находятся вокруг нас.).

Сравнивая тела путем взвешивания, мы сравниваем их гравитационные массы. (Если два тела положены на чашки равноплечих рычажных весов, и весы при этом уравновешены, то мы знаем, что гравитационные массы обоих тел равны, однако на основании одного этого наблюдения мы не можем сказать, равны ли их инертные массы.).

Связь между гравитационной и инертной массами. Гравитационное притяжение действует на два одинаковых куска свинца вдвое сильнее, чем на один. Гравитационные массы кусков свинца должны быть пропорциональны инертным массам, поскольку массы того и другого вида, очевидно, пропорциональны числу атомов свинца. То же самое относится к кускам любого другого материала, скажем воска, но как сравнить кусок свинца с куском воска? На этот вопрос нельзя ответить, руководствуясь только здравым смыслом или одними рассуждениями. Ответ на него дает наш символический эксперимент по изучению падения тел всевозможных размеров и материалов с вершины наклонной Пизанской башни. Сбросим два куска любого материала любых размеров. Они падают с одинаковым ускорением g. Сила, действующая на тело и сообщающая ему ускорение, — это его вес, притяжение Земли, приложенное к этому телу. Мы знаем, что веса пропорциональны гравитационным массам, — таково определение гравитационной массы ⁺.

Фиг. 158. Символический эксперимент.

Но веса тел, т. е. силы их притяжения Землей, сообщают всем телам одинаковое ускорение g. Поэтому веса должны быть пропорциональны инертным массам. Следовательно, тела любой формы содержат одинаковые пропорции обеих масс. Если принять 1 кг в качестве единицы обеих масс, то гравитационная и инертная массы будут одинаковы у всех тел любых размеров, из любого материала и в любом месте.

Вот как это доказывается. Предоставим двум телам А и В возможность свободно падать. Каждое тело падает с ускорением g. Силой, которая сообщает каждому телу ускорение, является его вес W. Приложим силу F = K∙M∙a к каждому из падающих тел. В таком случае F — это земное притяжение W, М — инертная масса тела М°, а а — ускорение свободного падения g. Следовательно, соотношение F = K∙M∙a дает.

Для тела А.

W_A = K∙M_А°∙g,

Для тела В.

W_B = K∙M_B°∙g,

Разделим обе части первого равенства соответственно на левую и правую части второго. Сократив постоянную К и воспользовавшись результатами указанного выше эксперимента, подтверждающего, что g одинаково для разных тел, получим.

W_A/W_B = M_А°/M_B°

Но W_A/W_B = M_А⁺/M_B⁺ по определению М⁺, следовательно,

M_А⁺/M_B⁺ = M_А°/M_B°

Т. е. отношение гравитационных масс тел А и В равно отношению инертных масс этих тел.

Иначе говоря, можно записать.

M_А⁺/M_А^° = M_В⁺/M_В^°

Итак, отношение (гравитационная масса)/(инертная масса) одно и то же для тел А и В и всех других тел. Если мы выберем 1 кг в качестве единицы обеих масс, то это отношение станет равным единице, и мы получим, что (гравитационная масса) = (инертная масса) для всех тел[105].

Удивительное тождество.

Вывод об одинаковости инертной и гравитационной масс, справедливый для любого количества вещества, подтвержден символическим экспериментом с Пизанской башней и выражает удивительное свойство природы. Удивительное потому, что мы описываем эти массы совсем по-разному. Одна представляет собой меру инертности тела по отношению к изменениям скорости, другая же служит количественной характеристикой тела как объекта, испытывающего гравитационное притяжение и одновременно являющегося их источником. Если вы интересуетесь просто причинной связью между явлениями, то можете сказать: «О, это очевидно: оба свойства присущи заключенному в теле количеству вещества». Но, подходя с позиции пытливого исследователя, вы можете сказать: если обе массы равны, если нет такого эксперимента, который позволил бы обнаружить различие между ними, то не устроена ли природа так, что мы не в состоянии их различить? А разумно ли в этом случае даже говорить о двух видах массы, как будто мы могли провести между ними различие?» Это привело бы к эйнштейновской трактовке поля тяготения (с ним связана масса М⁺), согласно которой наличие этого поля равносильно тому, что некий наблюдатель совершает ускоренное движение (для которого важна масса М⁺); таким образом, общая теория относительности описывает пространство и время так, что массы М°и М⁺ по необходимости оказываются тождественными.

Фиг. 159. Символический эксперимент.

Поскольку результат символического эксперимента, подтверждающего, что все тела падают с одинаковым ускорением, имеет важное значение, необходима значительно более точная проверка, нежели простое наблюдение за падающими телами в воздухе. Мы хотим объединить тысячи случаев падения в одном-единственном. Нам также хотелось бы устранить помеху в виде сопротивления воздуха. Это задача, о которой мы говорили в гл. 1 и там же обещали познакомить вас с ее решением. Существует простой и очень точный метод.

Вы оцените его, познакомившись с ним. (Для метода, о котором идет речь, не нужно вакуумных насосов или электронных часов, хотя, по-видимому, подобные методы в течение ближайших нескольких лет заменят простые способы проверки.) Ньютон знал этот метод и воспользовался им в качестве контрольного эксперимента применительно к столь разным материалам, как свинец, золото, песок, соль, дерево, вода и даже пшеница. В начале нынешнего столетия Дж. Томсон и другие исследователи использовали его для дальнейшей проверки влияния на М⁺ и М^° того, что мы сейчас называем ядерной энергией. Уже тогда существовало подозрение, что энергия, как и вещество, обладает инерцией. Обладает ли она также гравитационной массой? Было известно, что радиоактивные атомы освобождают при распаде огромное количество энергии, поэтому они должны содержать запас энергии, которая может быть освобождена и которая обладает, вероятно, значительной инертной массой. Экспериментаторы повторили контрольный опыт Ньютона, сравнив образцы радиоактивных материалов с обычными, и получили одинаковые значения.

Более простой подход к рассмотрению веса и массы.

Поскольку различные массы, по-видимому, имеют одну и ту же величину, мы можем опустить индексы и обозначить массу просто буквой М.

Фиг. 160. Сравнение инертных масс.

_{Истинное сравнение масс можно заменить более простым.}

Рассмотрим вопрос о весе и массе быстро, без прежней осторожности. Опыт с бросанием тел с большой высоты говорит нам, что любые тела А и В падают с одинаковым ускорением. Веса обоих тел W_A и W_B действуют на их массы М_A и М_B и сообщают каждой ускорение g.

Применяя соотношение F = K∙M∙a, получаем.

W_A = K∙М_A∙g и W_В = K∙М_В∙g.

Т. е.

W_A/W_В = М_A/М_В.

Следовательно, мы можем сравнивать массы взвешиванием.

Именно это мы делаем на практике: сравниваем или уравновешиваем силы W_A и W_B и говорим, что сравниваем массы М_A и М_B. (Мы уже проделали это без всяких околичностей, подготовив массы М, 2М, 3М путем взвешивания для демонстрационного опыта.).

Измерение масс взвешиванием. Итак, мы можем сравнивать массы взвешиванием. Пружинными и рычажными весами, где мы имеем дело с силами, пользоваться значительно удобнее, чем тележками на рельсовых путях. Поэтому все точные измерения массы производятся взвешиванием; наша проверка закона сохранения массы тоже основана на точном взвешивании[106].

Однако то обстоятельство, что W_A/W_В = М_A/М_В, никоим образом не дает нам основания считать массу и вес тождественными величинами. С таким же основанием мы могли бы считать, что стоимость некоторого количества молока и его объем одно и то же просто потому, что С_A/С_В = V_A/V_В.

Сохранение массы.

Развитию химии, которое шло с поразительным отставанием от развития ньютоновой механики, способствовало представление о неизменности общей массы. При химических превращениях происходит обмен атомами, входящими в состав веществ, но общая масса не меняется. Это было проверено взвешиваниями, которые становились все более искусными; последнее время производили взвешивания в миниатюрных химических лабораториях, имеющих вид запаянного стеклянного сосуда (фиг. 161).

Фиг. 161. Миниатюрная химическая лаборатория.

_{Стеклянный прибор с реактивами уравновешивают на чувствительных весах. Прибор наклоняют, и вещества вступают в химическую реакцию. Когда прибор снова принимает комнатную температуру, повторно проверяют равновесие.}

Даже самыми точными экспериментами, проведенными в прошлом столетии, по-видимому, не удалось обнаружить ничтожную массу, уносимую, как мы считаем, в виде тепловой энергии, выделяющейся при некоторых химических реакциях. Таким образом, мы долго верили в сохранение массы, в представление о том, что общее количество вещества остается постоянным при всех изменениях движения и при любых химических превращениях. Только в нынешнем столетии выяснилось, что эта точка зрения слишком ограничена. Как бы ни было трудно дать определение массы, для тех, кто с ней работает, понятие «масса» кажется простым и реальным. Физики построили механику движения на основании предположения, что масса — это постоянное свойство вещества, что масса сохраняется. Химики проверили сохранение массы и затем стали опираться на него для дальнейшего развития химических знаний. В повседневной жизни, как и в науке и технике, мы по-прежнему считаем закон сохранения массы не требующим доказательства.

В прошлом веке появился закон сохранения энергии (см. гл. 26 и 29)[107] и укрепилось убеждение в его правильности: сперва появилось представление об энергии, потом гипотезы, затем последовали строгие проверки, и, наконец, когда сошлись все данные, подтверждавшие этот закон, вера в него стала непреложной. Только в нынешнем столетии мы до конца поняли, что энергия сама обладает массой, так что оба великих закона сохранения можно объединить в один закон огромной важности и универсального значения.

Несовершенство научной терминологии.

Мы говорим, что «взвешиваем» предметы, тогда как на самом деле сравниваем массы тел. Это правильное утверждение, поскольку сравнение масс большей частью производят путем взвешивания, но это создает путаницу у тех, кто ждет ответа на вопрос, что такое масса. Хуже того, эталоны массы (куски металла самой различной величины), которые в торговой практике и в повседневной жизни называют «гирями», в практике научного эксперимента именуют «разновесами», что ассоциируется со словом «вес»[108]. Это неудачное название способствует путанице, но нам приходится, следуя установившейся практике, пользоваться им. Хуже всего то, что мы говорим «человек весит 100 кг», а имеем в виду его массу 100 кг.

Постоянная масса, изменяющийся вес.

Килограмм в коробке с гирями представляет собой универсальный эталон массы. Будучи единицей массы, килограмм всюду один и тот же, хотя его вес был бы значительно меньше на Луне и уменьшился бы до нуля, если бы поместили его в центр Земли. Утверждение «Масса никогда не меняется» — это наше рабочее правило. Теория относительности заставляет нас сбавить тон: «Ну, хорошо, почти никогда не меняется»; изменения массы заметны лишь тогда, когда тела приобретают колоссальные скорости или происходят огромные изменения энергии. При всех обычных скоростях — от скорости улитки до скорости ракет — масса сохраняет неизменное значение. Вот почему ученые питают такое расположение к массе, считая ее тем свойством, о которым удобно иметь дело.

Советуем вам проработать задачу 6, приведенную в этой главе. Она может показаться трудной, но зато позволит вам лучше уяснить себе, что такое масса и вес.

Непосредственное сравнение масс при помощи инерционных весов.

Предположим, что мы хотим измерить или сравнить инертные массы непосредственно, не пользуясь косвенным, хотя и точным, методом взвешивания. В таком случае мы должны проделать опыты типа показанных на фиг. 160 или 162, в которых измеряется ускорение.

Фиг. 162. Непосредственное сравнение масс.

Эти опыты позволяют измерить массу так, как нужно, исходя из ее определения: Macca = F/a. Одну и ту же силу (фиг. 162) прикладывают к следующим предметам[109].

1) к пустой тележке.

F = K∙(M₀ + M)∙a_1.

2) к тележке с телом неизвестной массы.

F = K∙(M₀ + M + X)∙a_2.

3) к тележке с гирей 1 кг.

F = K∙(M₀ + M + 1)∙a_3.

Приспособлением для прямого сравнения масс могут служить инерционные весы, показанные на фиг. 163. Они дают значительно менее точный результат, нежели простое взвешивание, и годятся только для демонстрации идей правильного измерения массы.

Фиг. 163. Инерционные весы.

Инерционные весы имеют площадку Р, которая крепится при помощи двух прочных и достаточно упругих пружин S. Если площадку Р оттянуть вбок, а затем отпустить, то она начнет совершать колебания в горизонтальной плоскости. Тела, помещенные на площадку Р весов, тоже будут приобретать ускорение под действием пружин. Чем больше масса тела, тем меньше ускорение и тем больше период колебаний площадки. Для сравнения неизвестной массы с набором эталонов нужно так подобрать комбинации эталонных масс, чтобы, поместив их на площадку весов вместо тела неизвестной массы, получить такой же период колебаний. Можно также воспользоваться интерполяцией или поручить математикам проанализировать движение и выяснить (с помощью соотношения F = K∙M∙a) зависимость периода колебаний весов от общей массы, помещенной на площадку. Тогда мы могли бы измерить период колебаний при нагрузке в виде тела неизвестной массы, а затем в виде какой-нибудь эталонной массы и вычислить неизвестную массу.

Задача 2. Математический анализ инерционных весов. (Задача трудная, но стоит попытаться ее решить, чтобы облегчить себе решение задачи 3.). 1) Рассмотрев внимательно общее соотношение F = K∙M∙a и соотношение s = a∙t²/2 для равномерно-ускоренного движения (в данном случае движение неравномерно-ускоренное), попытайтесь угадать характер зависимости между Т, периодом колебаний и М, общей массой площадки и нагрузки («угадать» — значит, основываясь на некоторых рассуждениях, высказать предположение о характере этой зависимости: будет ли она иметь вид Т ~ М, или Т ~ М², или какой-нибудь иной вид). Выберите в качестве допущения некую форму записи закона Гука для связи между F и s. (Указание. Хотя в данном случае ни сила, ни ускорение не являются постоянными, можно применить соотношения того же вида. Для заданного отклонения s площадки весов сила F, развиваемая изогнутыми пружинами, одна и та же независимо от того, нагружена площадка или нет. Действительно, отношение F/s представляет собой своего рода постоянную пружину. Пружинам все равно, что находится на площадке весов: если их отогнуть, они разгибаются независимо ни от чего.). 2) Если вы выдвинули какое-то предположение относительно указанной выше зависимости, скажите, как бы вы применили его для сравнения неизвестной массы куска свища с эталонной массой 1 кг? Вспомните, что площадка Р сама обладает некоторой (неизвестной) массой, которую надо как-то учесть. Обратите внимание, что сила тяжести не играет никакой роли в измерениях с этим прибором; измерения представляют собой истинное сравнение масс. Правда, такой прибор годится лишь для грубых демонстрационных опытов, но соответствующие измерения с атомами, колеблющимися в молекуле, могут дать очень многое. Задача 3. Сравнение масс атомов. Спектроскописты, изучая свечение возбужденных молекул, могут измерить период колебаний атомов, связанных в массивную молекулу какого-нибудь химического вещества. Если вы решили приведенные выше задачи, попробуйте сообразить, как изменится период колебаний при замене атома водорода атомом тяжелого водорода (удвоенной массы), приняв, что «растяжение» удерживающей атом «пружины» остается неизменным. Фактически, когда был открыт тяжелый водород, играющий теперь такую важную роль в ядерных исследованиях, подобный способ послужил первой проверкой его массы. На фиг. 164 показаны результаты такого эксперимента, проведенного на молекулах газообразного метана[110] CH₄. Согласуются ли они с высказанным вами только что предположением?

Фиг. 164. Колебания молекулы метана.

_{А — молекула метана содержит 4 атома водорода, расположенных по четырем углам симметричной пирамиды вокруг атома углерода; б — в одном из видов колебаний молекулы все 4 атома движутся, то удаляясь от атома углерода, то приближаясь к нему.}

Задача 4. Масса и вес. Отправляясь в путешествие, ученый уложил свои вещи в одинаковые картонные коробки из-под бакалейных товаров. Заполнив несколько таких коробок книгами, а несколько — подушками и одеялами, он обнаружил, что забыл пометить коробки, и решил установить, что где находится. Распознать коробки можно следующими двумя способами: 1) нагнуться и попытаться поднять каждую коробку, 2) ударом ноги сообщить каждой коробке скорость (коробки находятся на очень гладком полу). А) Что сравнивает ученый при первом способе проверки — массы или веса? Б) Что он сравнивает при втором способе? В) Дайте краткое обоснование вашим ответам на эти вопросы, Г) Какие величины будет сравнивать учений, если попробует проверить коробки вторым способом, но на сильно шероховатом полу?

Более простой вариант соотношения F = K∙M∙a. Абсолютные единицы силы.

Соотношению F = K∙M∙a можно придать более простой вид, сделав так, чтобы постоянная К приняла значение 1,0000. Тогда мы получим F = M∙a. Для этого специально подберем единицу силы[111]. В любом случае единица силы необходима, поскольку мы рассматриваем эталонный килограмм как неизменную единицу постоянной величины — массы. Нам нужна универсальная единица силы, которая бы не была похожа на силу, разную в различных местах, как единица веса. В наших демонстрационных опытах мы пользовались, так сказать, доморощенной единицей — странгом, теперь же мы должны определить стандартную единицу.

Пока мы записываем второй закон Ньютона в виде F = K∙M∙a, мы можем выбрать любые единицы для F, М и а и придать постоянной К такое значение, при котором формула будет правильно описывать реальные явления[112]. Если же мы фиксируем значение К, выбрав К = 1, то не можем выражать F, М и а в любых единицах. Можно выбрать единицы для двух из этих величин, тогда наш выбор К = 1 определит единицу для третьей величины. Мы выбираем килограммы для М, метры в секунду за секунду для а и получаем, что соотношение F = M∙a определяет нам единицу силы.

Найдем величину получаемой при этом единицы. Примем в соотношении F = K∙M∙a постоянную К = 1 (выберем ее такой) и предположим, что мы сообщаем 1 кг ускорение 1 м/сек². Тогда М = 1, а = 1 и сила F дается произведением K∙M∙a = 1∙1∙1 = 1. Это единичная сила. Мы называем эту единицу один ньютон (название выбрано произвольно, но вполне удачно). Мы видим, что 1 ньютон — это сила, которая сообщает массе 1 кг ускорение 1 м/сек². Это универсальная единица силы. Куда бы мы ни перенесли наши приборы, однокилограммовая масса остается одной и той же, и где бы мы ни придали ей ускорение 1 м/сек², необходимая для этого сила будет иметь неизменную стандартную величину, которую покажут любые пружинные весы или силомер. Единица ньютон называется абсолютной единицей силы.

«Хорошие» и «плохие» единицы силы.

Мы называем эту абсолютную единицу силы «хорошей» единицей, потому что она постоянна и ее можно использовать для выражения каких угодно сил, в том числе веса, при вычислениях с помощью соотношения F = M∙a. Килограмм силы (кГ) мы считаем «плохой» единицей, поскольку ее величина изменяется от места к месту на поверхности Земли.

Единица силы 1 кГ (1 килограмм силы) — это сила земного притяжения, приложенная к 1 кг и придающая ему вес. Изменения этой силы от места к месту на поверхности Земли достаточно малы, и в технике ими можно пренебречь. Поэтому, как мы знаем, инженеры часто пользуются в своих расчетах единицей силы 1 кГ[113]. В этом курсе мы будем говорить об этой «технической» единице силы (1 кГ) как о «плохой» единице, потому что она:

1) не является постоянной, как ньютон;

2) не удовлетворяет соотношению F = M∙a, а заставляет перейти к видоизмененному соотношению F = (W/g)∙a, что приводит к путанице;

3) сильно мешает составить ясное представление о массе.

Как велик ньютон? «Абсолютные» единицы и «плохие» единицы.

Чтобы сопоставить новую (абсолютную) единицу с «плохой» единицей, килограммом силы, проделаем воображаемый опыт, используя соотношение F = M∙a. Предположим, что 1 кг вещества притягивается под действием собственного веса (1 килограмма силы) и что никакие другие силы на него не действуют, т. е. предположим, что он свободно падает. Измерим ускорение: оно близко к 9,80 м/сек². Значит сила, которая приложена к 1 кг и дается соотношением F = M∙a, равна (1 кг)∙(9,80 м/сек²), или 9,80 ньютон[114].

Следовательно, сила в 1 кГ в Нью-Йорке равна приблизительно 9,80 ньютон. (На Северном полюсе 1 кГ близок к 9,83 ньютон. Килограмм силы, т. е. килограмм веса, должен иметь другое значение из-за более сильного притяжения Земли на Северном полюсе, а стандартный ньютон остается неизменным).

Этот же переводной множитель применим к любому весу. Камень массой 10 кг падает с ускорением 9,8 м/сек/сек, поэтому действующая на него сила притяжения (его вес) должна быть (10 кг)∙(9,8 м/сек²), или 98 ньютон. Вес массы М килограммов вещества равен 9,80∙М ньютон.

И наоборот, сила (9,80∙М) ньютон равна М килограммам силы. Следовательно,

1 ньютон = (1/9,80) кГ (в Нью-Йорке) ~= 1/10 кГ,

Таким образом, держа на ладони пачку масла в 100 г, вы будете ощущать силу, равную примерно 1 ньютон.

Нам нередко приходится переводить «плохие» единицы, такие, как килограмм∙силы, в «хорошие» единицы, вроде ньютонов, и наоборот. Дело в том, что мы часто прикладываем силу, подвешивая к предметам грузы, и то, что нам известно, это масса груза в килограммах. Значит, сила, приложенная со стороны груза, представляет собой притяжение Земли, действующее на груз (его вес).

Фиг. 165. Как велик 1 ньютон?

Чтобы подставить эту силу в соотношение F = M∙a, необходимо перевести столько-то килограммов силы в ньютоны. С другой стороны, мы привыкли судить о силах по весу, поэтому в повседневной жизни и в технике мы говорим о силе в столько-то килограммов.

Весы представляют собой в основном прибор для измерения сил, но проградуированы они в килограммах. Пока мы имеем дело с силами, которые находятся в равновесии (например, при решении задач о рычагах, кранах, блоках и т. д.), можно выражать их в «плохих» единицах, поскольку нас интересуют лишь отношения сил. Но даже и в этом случае, чтобы помнить, что речь идет о единицах силы, мы должны обозначать их как кГ (=килограмм силы) в отличие от обозначения кг, которое относится к массам. Но в любом случае, обращаясь к соотношению F = M∙a, мы должны пользоваться единицами силы, удовлетворяющими этому соотношению, т. е. абсолютными единицами, такими, как ньютон, при которых К = 1 в «выражении» F = K∙M∙a.

Технические единицы.

Единицы, которые мы называем «плохими», например кГ, называют обычно «техническими». Многие инженеры охотно пользуются этими единицами и питают к ним полное доверие, считая, что простые задачи легче решать с их помощью. Но путаница, возникающая при пользовании одними и теми же единицами для силы и массы, мешает этим инженерам отчетливо уяснить себе понятие массы. Поэтому даже в практических расчетах они часто забывают о множителе 9,8, и это кончается тем, что ответ получается почти в 10 раз завышенным или заниженным.

Совет учащимся, которые пользуются технической системой единиц.

Недостатки технической системы маскируют, используя вместо М величину W/g [т. е. (вес)/(ускорение силы тяжести)]. Это позволяет легко решать самые элементарные задачи, но в более сложных и более серьезных задачах оказывается неудобным и ведет к путанице. Множитель 1/g в соотношении F = (W/g)∙(a) — это значение, которое должна принимать постоянная К при выражении силы в технических единицах, а употребление W вместо М представляет собой честную попытку написать массу. Честную, но вводящую в заблуждение. Столь важная при рассмотрении движения и энергии масса не выступает при этом как ясное, недвусмысленное понятие.

Если вы привыкли раньше пользоваться этой системой единиц, убедительно советуем вам начать сызнова и перейти к абсолютным единицам.

Напряженность поля силы тяжести.

Не говоря, что же мы понимаем под силой тяжести, можно выразить установленную экспериментально связь между весом и (гравитационной) массой, представив себе, что существует «силовое поле», простирающееся от Земли во все стороны подобно щупальцам, готовым захватить и притянуть вниз любую массу, оказавшуюся в пределах поля. Само по себе поле не является силой, это некое состояние готовности подействовать на массу с силой притяжения.

Если поместить массу 1 кг вблизи поверхности Земли, то сила притяжения будет равна 9,80 ньютон. Сила притяжения, действующая на 10 кг, равна 98 ньютон, а на массу М килограммов — (М)∙(9,8) ньютон. Таким образом, мы говорим, что «напряженность» поля равна 9,8 ньютон на килограмм. Мы представляем себе, что поле готово подействовать на любой кусок вещества с силой притяжения 9,8 ньютон на каждый килограмм вещества. Эта напряженность поля 9,8 ньютон/кг дает нам очень удобный способ рассмотрения задач, в которых фигурирует вес. Число 9,8 появляется, если рассматривать измерение ускорения свободного падения как эксперимент по проверке соотношения F = M∙a; однако, пользуясь этим множителем, мы должны представить его себе как напряженность поля 9,8 ньютон/кг, а не как ускорение 9,80 м/сек/сек. Чтобы найти силу, с которой поле притягивает какую-нибудь массу, нужно умножить массу (в кг) на напряженность поля (9,8 ньютон/кг вблизи поверхности Земли).

Фиг. 167. Поле силы тяжести Земли.

В любой задаче, связанной с применением соотношения F = M∙a (или других соотношений, выведенных из него), силы должны быть выражены в абсолютных единицах — ньютонах, а если некоторые из них даны в виде весов (например, в кГ), то нужно сначала воспользоваться напряженностью поля (9,8 ньютон/кг) и найти значение соответствующего веса в абсолютных единицах.

Фиг. 168. Земля притягивает тела с силами, пропорциональными их массам.

_{«Напряженность» поля — это сила притяжения, с которой оно действует на 1 кг массы внесенного в поле тела.}

Наоборот, при пользовании соотношением F = M∙a или другим равнозначным для вычисления силы ответ получится в абсолютных единицах, и если вы хотите узнать, какую массу притягивала бы с этой силой Земля, вам опять-таки нужно воспользоваться напряженностью поля.

Задача 5. Напряженность поля силы тяжести Земли в системе СГС. Напряженность поля силы тяжести Земли в системе единиц метр — килограмм — секунда равна 9,8 ньютон/кг. Укажите ее значение и единицы измерения в системе единиц сантиметр — грамм — секунда. СВОЕОБРАЗНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ. Опыт 3. Попытайтесь «почувствовать» притяжение Земли, поднимая и опуская тяжелую книгу. На самом деле вы знаете, что просто прикладываете силу, противодействуя весу книги. Но, закрыв глаза, вообразите, что вы растягиваете некую гигантскую пружину, которая тянется от книги к центру Земли (фиг. 169). Чувствуете, как пружина растягивается и сжимается, когда вы поднимаете и опускаете книгу? Можно почти загипнотизировать себя и поверить в существование такой пружины. Тогда вы в известном смысле почувствуете поле силы тяжести Земли. Если вам не нравится, что пружина невидима, то ведь и поле тоже невидимо. Задача 6. Масса и вес на Луне и на Земле. Предположим, что в каком-то будущем веке некая «Корпорация научных исследований» создала две лаборатории — на Луне и на Земле, межу которыми поддерживаются регулярные сообщения с помощью ракет. Обе лаборатории пользуются эталонами килограмма, которые всюду одинаковы, и посылают некоторые из них на Луну, а некоторые используют на Земле. Брикет льда обтесывают в лаборатории так, чтобы масса его была в точности 10,0 кг и пользуются им как тележкой, которую можно перемещать по горизонтальной абсолютно гладкой поверхности стола для экспериментов с измерением ускорения на Земле и на Луне. Брикет льда не крошится и не тает, когда его посылают при помощи ракеты на Луну и обратно, — его масса остается неизменной и равной 10 кг (фиг. 170).

Фиг. 170.Калибровка весов и схема проведения опытов,

_{А — весы А градуированы в ньютонах; б — весы В градуированы на Земле в «килограммах»; в — весы С градуированы на Луне в «килограммах».}

А) Какова масса брикета, когда он находится на Луне, — такая же, как на Земле, или нет? Экспериментаторы располагают пружинными весами А, проградуированными в ньютонах (в предварительных опытах с тележкой на рельсовых путях). Они тянут брикет с помощью этих весов по столу, прикладывая к нему горизонтальную силу 4 ньютон. Б) Какое ускорение сообщает льду сила 4 ньютон в земной лаборатории? Дайте краткое объяснение. В) Какое ускорение сообщает атому же брикету сила 4 ньютон в лунной лаборатории? Дайте краткое объяснение. Пружинные весы В без шкалы градуируют в кГ, т. е. в «килограммах веса», обусловленного притяжением Земли, подвешивая универсальные килограммы в земной лаборатории. Пружинные весы С (тоже без шкалы) посылают на Луну и градуируют там в «килограммах веса», обусловленного притяжением Луны, подвешивая универсальные килограммы в лаборатории на Луне, где поле силы тяжести значительно слабее. Г) В земной лаборатории тот же брикет льда тянут по горизонтальной поверхности с помощью пружинных весов В (прокалиброванных в земной лаборатории). Каково ускорение брикета, если пружинные веса показывают 2,0? Дайте краткое объяснение.

Задачи на силу и движение.

Соотношение F = M∙a ведет нас к рассмотрению количества движения и энергии, которые понадобятся нам, когда мы будем заниматься планетами и атомами. Задачи с применением формулы F = M∙a часто кажутся надуманными и скучными, но они полезны, так как заставляют поразмыслить над силой. Попытайтесь решить задачи 7—10. Проработайте эти задачи, заполняя места, оставленные для ответов. Помните, что всякий раз, пользуясь в этих задачах соотношением F = M∙a, следует выражать М в килограммах, а силу в ньютонах. Если встретившиеся вам силы представляют собой веса тех или иных предметов (т. е. притяжения предметов Землей), то нужно иметь в виду, что эти силы ничем не отличаются от всех остальных и их тоже следует выражать в ньютонах. Помните, что, пользуясь для нахождения какой-никакой-нибудь силы соотношением F = M∙a, вы автоматически получите ответ в ньютонах.

Задача 7. Автомобиль, двигавшийся со скоростью 40 м/сек (36 км/час), врезался в стену, в результате чего конечная скорость его оказалась равной нулю. Все столкновение продолжалось 0,10 сек. Вычислите силу, действовавшую при столкновении, ответив на следующие вопросы. 1) Конечная скорость равна ___ м/сек. Начальная скорость равна ___ м/сек. Изменение скорости равно ___ м/сек. Время, за которое происходит это изменение ___ сек. Ускорение равно ___ м/сек. (Это ускорение в точности равно среднему за время торможения. У нас нет гарантии, что это постоянное отрицательное ускорение, но проведенный расчет дает эффективное среднее значение, необходимое для вычисления эффективного среднего значения силы.). Примечание. Мы получим этот результат быстрее, если, считая ускорение постоянным, подставим его в обычное соотношение v = v₀ + at. Выше мы так и поступили. 2) Чтобы вычислить силу, действовавшую во время столкновения, мы должны знать массу автомобиля. Предположим, что она равна 1600 кг. Подставляя найденное выше ускорение в формулу F = M∙a, находим, что сила, действовавшая на автомобиль во время столкновения, должна быть равна ___. Пользуясь соотношением F = M∙a, нужно брать в качестве единиц, в которых выражается F, ___. Чтобы представить себе величину этой силы, выразите ее в более знакомых единицах. Предположим, вы хотите приложить эту силу к вертикально свисающему стальному тросу, подвесив к нему груз в виде огромного куска железа. Необходимое количество железа составит ___ килограммов, или примерно ___ тонн. Задача 8. Человек прыгает с подоконника на твердый пол; подоконник находится на высоте 1,2 м над полом. Оцените силу, с которой пол действует на человека во время замедления его движения при соприкосновении с полом. Предположим, что масса человека равна 100 кг, и он, касаясь пола, забывает по недомыслию согнуть ноги в коленях, в результате чего суммарная «упругая деформациям ступней и пр. в процессе замедления движения составляет всего 25 мм (сжатие пола, ступней, голеностопного сустава, ботинок, позвоночника и т. д.). Чтобы, вычислить силу, необходимо знать (отрицательное) ускорение человека во время остановки. Для этого нужно знать его скорость непосредственно перед «приземлением», т. е. началом замедления движения, сразу же по окончании процесса замедления и промежуток времени, в течение которого продолжается этот процесс. 1) Вычислите скорость человека в конце падения, непосредственно перед касанием пола, с помощью формулы, v = v₀ + at. Для этого нужно знать время падения t, поэтому вычислите его в первую очередь. Поскольку падение начинается из состояния покоя, длина пути равна 1,2 м, а ускорение 9,8 м/сек², соотношение s = v₀t + ¹/₂at² дает = ___ + ___. Таким образом, время падения t равно ___ сек. Тогда соотношение v = v₀ + at дает конечную скорость. V = ___ + ___ = ___м/сек. 2) Конечная скорость человека непосредственно по окончании замедления равна ___ м/сек. 3) Чтобы вычислить промежуток времени, за который происходит процесс замедления человека, нужно найти его среднюю скорость во время этого процесса. Используя приведенные результаты, находим среднюю скорость во время процесса замедления равной ___ м/сек. С этой средней скоростью человек проходит расстояние «упругой деформации» 25 мм, или ¹/₄₀ м, за время ___ сек. 4) За вычисленное время скорость меняется от ___ м/сек непосредственно перед началом замедления движения до ___ м/сек непосредственно по окончании замедления. Следовательно, ускорение во время «приземления» равно ___ м/сек². 5) Таким образом, сила, с которой пол действует на человека при прыжке, равна ___ _{(единицы)}. 6) Эта сила, выраженная в более знакомых «плохих» единицах, равна ___ кГ. 7) Вывод. Когда прыгают подобным образом, ___. 8) Предположим, что человек сгибает ноги в коленях, в результате чего полная «деформация» равна 250 мм; тогда сила, действующая на него при «приземлении», близка к ___ кГ. Задача 9. (Метод решения такой же, как в задаче 7.) Футболист, ударив по покоящемуся мячу с массой ¹/₂ кг, сообщает ему скорость 14 м/сек. Оцените силу удара, если соприкосновение между ногой и мячом длится ¹/₅₀ сек. Среднее ускорение во время соприкосновения ноги с мячом должно быть равно ___.___ _{(единицы).} Среднее значение силы должно быть равно ___.___ _{(единицы)}. Эта сила, выраженная в «плохих» единицах, равна ___ кГ. Задача 10. (Важная задача с точки зрения обсуждения теории относительности в дальнейшем.). Человек массой 80 кг стоит на пружинных весах в лифте (фиг. 171).

Фиг. 171.

Укажите, ответив на приведенные ниже вопросы, каких показаний весов можно ожидать в каждом из следующих случаев, если законы Ньютона дают верное описание явлений: А) лифт все время находится в покое; Б) лифт равномерно движется вверх со скоростью 0,5 м/сек; В) лифт движется вверх с ускорением 4 м/сек/сек; Г) лифт движется вниз с ускорением 5 м/сек/сек. Общий анализ. Пружинные весы не дают нам вес (силу притяжения со стороны Земли) человека. Они показывают лишь, насколько сильно его ступни давят на платформу весов. Единственными внешними силами, действующими на человека, являются: 1) притяжение Земли (вес человека) W; 2) сила X, с которой платформа весов давит на ступни человека. Результирующая этих внешних сил X — W представляет собой силу, которая сообщает человеку ускорение. Предположим, что третий закон Ньютона (действие равно противодействию) справедлив во всех случаях. Этот закон говорит нам, что сила давления на ступни человека со стороны платформы всегда равна и противоположно направлена силе давления ступней человека на платформу и что эту силу давления, направленную вниз, как раз и показывают весы. Заметьте, что третий закон Ньютона не утверждает, что силы X и W всегда равны. А) Когда лифт находится в состоянии покоя (не обладает ускорением), результирующая сила, действующая на человека, равна ___ и, следовательно, сила X, с которой на него давит платформа, должна быть равна ___ кГ, т. е. весы будут показывать ___ кГ. Б) Когда лифт равномерно движется вверх со скоростью 0,6 м/сек (не обладает ускорением), результирующая сила F, действующая на человека, равна ___, следовательно, весы будут показывать ___ кГ. Может ли человек, находясь в лифте, который движется плавно и бесшумно, определить, движется ли вообще лифт (окон нет)? В) Когда лифт движется вверх с ускорением 4 м/сек, результирующая сила, действующая на человека, должна быть в точности равна силе, необходимой, чтобы сообщить человеку это ускорение, направленное вверх; эту силу F дает соотношение F = M∙a. F = M∙a = (___)∙(___) = ___. Поскольку мы пользуемся соотношением F = M∙a, то сила F должна быть выражена в единицах, называемых ___. Эта сила F должна быть результирующей двух сил: силы, с которой на человека действует платформа весов, и веса человека. Вес человека, выраженный в тех же единицах, что и F, равен ___. ___ _{(единицы).} Результирующая сила F = (Реакция платформы, направленная вверх, X) — (Вес, направленный вниз, W). Следовательно, сила реакции X платформы весов должна быть равна ___. ___ _{(единицы).} Эта сила равна и противоположна по направлению силе, с которой человек давит на весы и которую показывают весы. Таким образом, при ускоренном движении весы будут показывать ___ кГ. Г) Вычислите на отдельном листе бумаги показание весов при движении лифта вниз с ускорением 5 м/сек/сек. Весы будут показывать ___ кГ. Сопроводите расчет кратким объяснением. Д) Может ли человек быть уверен, что лифт движется ускоренно, если в нем нет окон, а движение совершается плавно и бесшумно? Вместо того чтобы считать, что лифт приобрел ускорение, человек мог бы прийти к выводу о других происшедших вокруг него изменениях. Каких именно?

Фиг. 172.

Действие и противодействие.

Нить передает силу или натяжение без всяких изменений. Если прикрепить длинную нить к тележке и потянуть за свободный конец с силой 49 ньютон, то нить передает эту силу 49 ньютон и прикладывает ее к тележке (фиг. 173).

Фиг. 173. Силы, действующие на нить.

Вы тянете нить с силой 49 ньютон вперед, а нить в это время тянет вас с силой 49 ньютон назад. Попробуйте проделать такой опыт, и вы убедитесь в этом. Эти две силы, приложенные в том месте, где вы взялись рукой за нить, называются «действием и противодействием». Мы будем считать не требующим доказательств, что обе эти силы при всех обстоятельствах равны и противоположно направлены (фиг. 174).

Фиг. 174. Действие и противодействие.

Невозможно натянуть нить, не испытав при этом силы со стороны нити. (Точно так же нельзя давить на стену или пол, не испытывая давления со стороны стены или пола. Нельзя ударить кого-нибудь кулаком по голове, не испытав ответного действия головы.) Там, где нить прикреплена к тележке, приложена еще одна пара «действие и противодействие». В этом месте нить тянет тележку вперед, а тележка тянет нить назад (фиг. 175).

Фиг. 175. Силы, действующие в противоположные стороны.

Силы действия и противодействия не уравновешивают друг друга, потому что они приложены к разным телам. Рукой вы создаете силу, действующую на нить в направлении вперед, а сила реакции нити действует только на вашу руку. Попробуйте это проделать и можете это почувствовать. В месте прикрепления нити к тележке на нить действует только сила со стороны тележки, направленная назад. Таким образом, нить растягивается силами, приложенными к обоим ее концам со стороны руки и тележки. К нити приложены только эти силы, и если они не уравновешиваются, то их результирующая будет сообщать нити ускорение. Применяя формулу F = M∙a к ничтожно малой массе тонкой нити, вы увидите, что результирующая сила должна быть пренебрежимо мала (фиг. 176). Поэтому силы, растягивающие нить за оба конца, должны уравновешиваться, даже если нить движется с ускорением. (Разумеется, если речь идет об ускоренном движении массивного каната, обе силы должны достаточно отличаться друг от друга, чтобы результирующая сила могла придать канату ускорение.).

Фиг. 176. Силы, действующие на «выделенную» нить.

_{Результирующая сила F1 — F2 = М∙а = (почти 0)∙(а) = практически 0 при очень легкой нити; следовательно, F1 и F2 равны.}

Предположим, что силы действия и противодействия равны и противоположно направлены как у того конца нити, где вы держите ее рукой, так и в месте прикрепления нити к тележке. Значит, наша невесомая нить, растягиваемая одинаковыми силами, должна точно так же тянуть руку и тележку с одинаковыми силами, направленными к середине нити (фиг. 177). Иначе говоря, нить тянет тележку вперед с точно такой же силой, с какой она тянет вашу руку назад. Это возвращает нас к исходному утверждению, заключающемуся в том, что усилие целиком передается вдоль нити.

Фиг. 177. Нить тянет тележку и человека с одинаковыми по величине и противоположно направленными силами.

Натяжение.

Мы называем это усилие, развиваемое нитью, натяжением. Таким образом, натяжение — это сила, действующая на каждом из концов нити, или усилие, которое развивает нить, если ее перерезать в любой точке и привязать к стене. Чтобы создать в нити натяжение 49 ньютон, подвесьте к ней груз 5 кг или, если нить расположена горизонтально, прикрепите груз 5 кг к одному концу нити, перекинув нить через блок (фиг. 178).

Фиг. 178. Натяжение.

Второй конец нити должен быть закреплен, или к нему тоже нужно прикрепить груз 5 кг, опять-таки воспользовавшись блоком. Натяжение в последнем случае по-прежнему будет 5 кГ (49 ньютон), а не вдвое больше, хотя нить растягивают два груза по 5 кг, прикрепленные к обоим ее концам[115]. Именно такую силу развивает нить, в каком бы месте вы ее ни перерезали; если разрезать нить и вставить между обоими кусками пружинный динамометр (фиг. 180) то показание динамометра будет равно именно этой силе.

Таинственная потеря натяжения: подробный разбор одной задачи.

Предположим, что тележке, находящейся на горизонтальной поверхности стола, сообщается ускорение с помощью подвешенного груза, (фиг. 181).

Притяжение Земли, действующее на груз (вес груза), представляет собой результирующую силу, которая придает ускорение обоим телам, связанным вместе. (На тележку тоже действует притяжение Земли, направленное вниз, но со стороны горизонтальной поверхности стола на тележку действует равная по величине и противоположно направленная сила, уравновешивающая земное притяжение.) Масса, которой сообщает ускорение эта результирующая сила, равна сумме масс тележки и груза, поскольку ускорение груза (направленное вниз) точно такое же, как ускорение тележки (направленное вдоль стола). Раньше для определения силы, тянущей тележку, мы пользовались силомером и могли применить соотношение F = M∙a к тележке. Теперь, не прибегая к этому прибору, мы знаем лишь результирующую силу, которая сообщает ускорение обоим телам вместе. Поэтому в приведенном примере мы должны записать:

ДВИЖУЩАЯСЯ МАССА М = (МАССА ТЕЛЕЖКИ + МАССА ГРУЗА), = 8 кг + 2 кг = 10 кг.

СИЛА F₁ СООБЩАЮЩАЯ УСКОРЕНИЕ = СИЛА ПРИТЯЖЕНИЯ ЗЕМЛИ.

Действующая на 2 кг вещества.

= (2 кг)∙(9,8 ньютон/кг) = 19,6 ньютон.

Следовательно,

УСКОРЕНИЕ = РЕЗУЛЬТИРУЮЩАЯ СИЛА / УСКОРЯЕМАЯ МАССА.

19,6 ньютон / 10 кг = 1,96 м/сек².

Мы можем предсказать результат измерения натяжения нити, соединяющей тележку с грузом. Оно не равно 19,6 ньютон (2 кГ), поскольку часть этой силы идет на сообщение ускорения грузу и только часть передается через нить к тележке и сообщает ей ускорение. Чтобы найти натяжение, применим соотношение F = M∙a к одной тележке: «выделим» тележку, начертив вокруг нее овал (фиг. 182).

Затем возьмем массу внутри овала и посмотрим, какова результирующая всех сил, входящих в пределы овала извне. Масса тележки равна 8 кг. На тележку действуют следующие силы:

ВЕС ТЕЛЕЖКИ, НАПРАВЛЕННЫЙ ВНИЗ; СИЛА РЕАКЦИИ СТОЛА; НАТЯЖЕНИЕ НИТИ Т₁ ньютон — } Силы уравновешивают друг друга — } Результирующая сила Т₁ ньютон.

Подставляя в соотношение F = M∙a массу тележки и подсчитанное выше ускорение, получаем.

Т ньютон = (8 кг)∙(1,96 м/сек²).

Итак, Т = 15,68 ньютон, а не 19,6 ньютон, ибо некоторая доля земного притяжения расходуется на ускорение движения самого груза, создающего силу.

Попытаемся теперь выделить подвешиваемый груза. Масса его 2 кг (фиг. 183), а силы такие:

ПРИТЯЖЕНИЕ ЗЕМЛИ, ДЕЙСТВУЮЩЕЕ НА ГРУЗ = (2 кг)∙(9,8 ньютон/кг) = 19,6 ньютон (направлено вниз).

Следовательно, результирующая сила F, которая сообщает ускорение грузу, равна (19,6 — Т) ньютон и направлена вниз.

Поэтому, применяя соотношение F = M∙a к грузу и подставляя то же самое ускорение 1,96 м/сек², получаем.

19,6 — Т = (2 кг) (1,96 м/сек²), Т = 19,6–3,92 = 15,68 ньютон,

Т. е. точно тот же результат, что и раньше.

Фиг. 183. Выделенный груз.

Таким образом, из 19,6 ньютон земного притяжения, действующего на груз, 3,92 ньютон идут на ускорение движения самого груза, а 15,68 ньютон передаются нитью и сообщают ускорение тележке.

Если тот факт, что натяжение нити не равно весу груза, вызывает недоумение, проделайте следующий мысленный эксперимент:

1) Положите груз 2 кг на ладонь. Какую силу вы ощущаете, держа груз неподвижно?

2) Опускайте руку с ускорением, направленным вниз и чуть большим g (фиг. 184). Какую силу вы ощущаете? С какой силой вы действуете на груз? Какое воздействие оказывает на груз приложенная к нему сила притяжения Земли?

Фиг. 184. Как почувствовать малую долю веса.

3) Опускайте руку с ускорением, направленным вниз и близким к ¹/₂ g.

Какое воздействие теперь оказывает на груз приложенная к нему сила земного притяжения? Какую силу вы ощущаете теперь? (Это, разумеется, повторение приведенного выше рассмотрения в более простой форме, но если начать с предельного случая ускорения g, то легче понять результат рассуждений.).

4) Повторите первое и второе рассуждения для случая, когда в руке держат веревку, к которой подвешен груз 2 кг.

Задача 11. Потеря натяжения. А) Грузы массой, 2 и 1 кг подвешена к концам бечевки, перекинутой через легкий блок, в котором отсутствует трение (фиг. 185). Если задержать блок и одновременно прижать к нему бечевку, чтобы не было никакого движения, то натяжение бечевки слева будет 9,8 ньютон (или 1 кГ), а справа 19,6 ньютон. Если отпустить бечевку и блок, то грузи начнут двигаться с ускорением.

Фиг. 185.

1) Каким образом совершает ускоренное движение правый груз массой 2 кг? Будет ли натяжение бечевки, к которой он подвешен, таким же, как и раньше? Большим, меньшим? Почему? 2) Будет ли натяжение бечевки, к которой подвешен груз массой 1 кг, таким же, как раньше? Большим, меньшим? Почему? 3) Предположим, что трение в блоке отсутствует и масса блока равна нулю. Как вы, думаете, какое соотношение должно в этом случае существовать между натяжениями бечевки по обеим сторонам блока, если предоставить системе возможность свободно двигаться? Б) Вычислите ускорение и натяжение нити в схеме, изображенной на фиг. 186. Трением можно пренебречь.

Фиг. 186.

В) Вычислите ускорение и натяжение нити в схеме, изображенной на фиг. 187. Трением можно пренебречь.

Фиг. 187.

Ньютоновы законы движения.

Представления, которые мы здесь развивали, сформулированы Ньютоном в его законах движения. В современной редакции они выглядят следующим образом:

ПЕРВЫЙ ЗАКОН. Всякое тело, будучи предоставлено самому себе (при отсутствии внешних сил), сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. ВТОРОЙ ЗАКОН. Действующая на тело внешняя сила равна произведению массы тела на его ускорение. (Позже мы увидим, что первоначальный вариант Ньютона, в котором второй закон формулируется через количество движения, лучше.). ТРЕТИЙ ЗАКОН. Действие равно противодействию. (Это утверждение будет рассмотрено в гл. 8.)

Даже после демонстрационных опытов и всех этих рассуждений формулировки первого и второго законов Ньютона могут показаться странными и нереальными. Дело в том, что опущено слово «результирующая». Под внешней силой следует понимать результирующую силу. Первый и второй законы Ньютона приобретают истинный смысл, если в них ввести слово «результирующая». Тогда эти законы формулируются следующим образом:

Если на тело не действует никакая результирующая сила, оно сохраняет свое состояние движения, и. РЕЗУЛЬТИРУЮЩАЯ СИЛА = МАССА∙УСКОРЕНИЕ.

Ньютон сформулировал эти положения о силе и движения, когда писал свой замечательный трактат по механике и астрономии. Он в известном смысле проверил их на Луне и планетах, а мы отважились распространить эти принципы на молекулы, атомы, а теперь и на составные части атомов.

В большинстве элементарных учебников законы Ньютона излагаются формально в самом начале главы, а не в конце — как естественное обобщение изложенного. Авторы учебников возвещают об этих законах с такой решительностью, что учащимся кажется, будто Ньютон узнал о них от самого бога. В действительности же Ньютон просто по-новому сформулировал взгляды Галилея и других исследователей, которые изучали движение экспериментально и размышляли над ним. Ньютон изложил их в виде рабочих правил, частью основанных на эксперименте, а частью представляющих собой определение и разъяснение терминов. Ученые и по сей день расходятся во взглядах на законы Ньютона. Прямые последователи Ньютона, по-видимому, считали его законы просто обобщениями опытных данных, выведенными в процессе познания реального мира, подобно закону Гука. Сегодня мы более осторожны и рассматриваем первый закон Ньютона главным образом как определение силы, а второй закон — как определение…_{(текст нечитаем)}… измерения силы. Говоря о втором законе Ньютона…_{(текст нечитаем)}…что сила равна произведению массы на ускорение, мы считаем…_{(текст нечитаем)}…массы интуитивно очевидным. Но некоторые энтузиасты идут еще дальше и утверждают, что законы эти представляет собой лишь определения или некие условия и не имеют никакого отношения к познанию на опыте реального мира. Это — заблуждение, чтобы не сказать — глупость. Мы, несомненно, могли бы вообразить Вселенную, в которой поведение движущихся тел не описывалось бы законами Ньютона. Пожалуй, лучше всего по этому поводу говорит один из самых выдающихся математиков и физиков Пуанкаре[116] в своей книге La Science et l'Hypothèse[117]:

«Мы увидим, что есть несколько типов гипотез, причем одни из них допускают проверку и после своего подтверждения на опыте становятся плодотворными истинами; другие могут быть полезны тем, что придают нашей мысли резкие и определенные очертания, и третьи, наконец, являются гипотезами только по внешности и сводятся или к простым определениям, или к замаскированным условиям. Гипотезы последнего типа встречаются особенно часто в математике и в науках, соприкасающихся с последней. Свойствами этих гипотез как раз и обусловливается присущая математическим наукам строгость; такие условия являются созданием свободного творчества вашего разума, который в данной области не знает никаких препятствий. Тут он может диктовать, так как он же и делает себе предписания. Но мы должны отчетливо уяснить, что, хотя эти предписания имеют значение для нашего научного познания, которое без них было бы невозможно, они не имеют значения для природы. Следует ли отсюда, что предписания эти произвольны? Нет, не следует, ибо тогда они были бы совершенно бесплодны. Опыт дает нам свободу выбора, но он руководит последним, помогая нам распознать самый удобный путь. Таким образом, предписания нашего разума подобны велениям самодержавного, но мудрого монарха, который, прежде чем принять решение, предварительно запрашивает мнение своего Государственного совета… Не являются ли закон ускорения[118] и правило сложения сил лишь произвольными условиями? Да, они действительно являются условиями, но условия эти, однако, не произвольны. Они получили бы характер произвольных, если бы мы упустили из виду те опыты, в силу которых основатели науки вынуждены были выбрать именно эти принципы, — опыты, которые при всем своем несовершенстве достаточны для обоснования такого выбора». Задача 12. В третьем опыте с тележкой на рельсовых путях (таблица В, стр. 249) мы изменили как силу, так и общую массу. Какое соотношение вы бы пытались искать, если бы расстояние и сила сохранились неизменными и измерялось время прохождения этого расстояния при общей массе 2, 4, 6 кг? Задача 13. Человек толкает ящик, находящийся на шероховатом горизонтальном полу, с силой 40 ньютон. Сила трения, действующая на ящик в противоположном направлении, равна 10 ньютон. А) Какая сила фактически сообщает ящику ускорение? Б) С какой силой человек должен толкнуть ящик, чтобы при неизменном трении придать ящику удвоенное ускорение? Задача 14. Спишите следующую формулировку и дополните ее: «Ньютон определяется как сила, которая…». (Примечание. Дополнение должно содержать слова «масса» и «ускорение».). Задача 15. Сила 5 ньютон действует на брусок льда массой 20 кг, лежащий на абсолютно гладком столе. Сила расположена в горизонтальной плоскости и действует в северном направлении. Вычислите ускорение, сообщаемое куску льда. Задача 16. А) Какая требуется сила, чтобы придать ускорение 4 м/сек² массе 4,90 кг? Дайте ответ в абсолютных единицах и назовите эти единицы. Б) Предположим, что вы хотите приложить эту вычисленную вами силу к нити, подвесив к последней кусок железа. Какая масса железа вам потребуется? Задача 17. Один килограмм силы — это сила, близкая к 9,80 ньютон (на поверхности Земли). А) Какой простой опыт позволяет легко продемонстрировать это? Б) Покажите, как из этого опыта следует приведенный выше результат. Задача 18. Предположим, что вы, хотите почувствовать силу 1 ньютон, действующую вертикально вниз на вашу ладонь. Сколько металла вы должны были бы, положить на ладонь? Приведите рассуждения, посредством которых вы получили свой ответ. Задача 19. Товарный вагон массой 20 т стоит на слегка наклонном полотне железной дороги, направленном с востока на запад. Наклон полотна выбран таким, чтобы компенсировать трение, которое испытывает вагон при движении на восток. Ребенок, не найдя лучшего занятия, толкает вагон в восточном направлении, прикладывая к нему силу 1 кГ в течение 5 мин (300 сек). А) Какую скорость приобретает вагон за эти 5 мин? Б) На какое расстояние ребенок продвинет вагон за 5 мин? Задача 20. Масса и вес. Две огромные чугунные отливки подвешены на подъемных кранах при помощи стальных тросов длиной 15 м. Отливки снаружи выглядят совершенно одинаковыми, но одна из них сплошная, а другая практически полая. Чтобы определить, какая из отливок сплошная, а какая полая, инженер проделывает несколько опытов: 1) пытается приподнять каждую отливку, но обе они слишком тяжелы; 2) пытается оттянуть каждую отливку в сторону примерно на 0,3 м с помощью веревки и оценивает необходимую для этого силу; 3) оттягивает каждую отливку примерно на 0,3 м в сторону и отпускает ее, подсчитывая затем время, за которое отливка возвращается в свое первоначальное положение, когда трос вертикален; 4) ударяет сбоку каждую отливку кулаком и оценивает возникающее в результате этого движение; 5) ударяет каждую отливку несколько раз таким образом, чтобы заставить ее медленно вращаться вокруг вертикальной оси троса; после того как их отпускают, отливки вращаются вокруг своей оси все медленнее, останавливаются, а затем начинают вращаться в противоположную сторону… и т. д., совершая крутильные колебания; инженер подсчитывает время одного полного колебания каждой отливки. А) Что сравнивает инженер в каждом из перечисленных опытов — массы или веса или ни то и ни другое? Б) Дайте краткое обоснование на каждый из этих вопросов. Задача 21. Бегун, масса которого 75 кг, через 2 сек после старта бежит со скоростью 8 м/сек. А) Какая горизонтальная сила должна действовать на него во время старта? Б) Каково отношение этой силы к весу бегуна?[119]. Задача 22. Бегун (массой 80 кг) через 2 сек после старта бежит со скоростью 8 м/сек, А) Какая горизонтальная сила должна действовать на него? Б) Каково отношение этой силы к весу бегуна?[120]. Задача 23. Автомобиль массой 1000 кг движется с ускорением 3 м/сек/сек. А) Чему равна результирующая сила, действующая на автомобиль? Б) Каково отношение этой силы к весу автомобиля? В) Кто или что прикладывает эту силу к автомобилю? Г) Тормоза автомобиля оценивают по замедлению, выраженному в % g, которое может обеспечить тормозная система при максимальном использовании ее возможностей. Если тормоза способны помешать ему двигаться с указанным ускорением (когда водитель по недомыслию пытается двигаться с выжатыми тормозами), то каков показатель тормозной системы в %? Задача 24. Электрически заряженный атом водорода («протон» = ядро водорода = атом водорода, потерявший свой единственный электрон), двигаясь вдоль горизонтальной траектории в вакууме со скоростью миллион метров в секунду (v = 10⁶ м/сек), проходит через область протяженностью 0,20 м, в которой находится вертикальное электрическое поле, действующее на электрический заряд атома. Поле действует на атом с силой 0,0000000000000032 ньютон (3,2∙10^-15 ньютон), направленной вертикально вниз. Масса атома равна 0,00000000000000000000000000166 кг (1,66∙10^-27 кг). А) Какое ускорение испытывает атом в поле? Б) Почему в этой задаче можно пренебречь силой тяжести? (Примечание. Приведенные данные типичны для экспериментов с протонами.). В) По какой траектории движется атом? Г) За какое время атом пройдет по горизонтали 0,20 м, т. е. область электрического поля? Д) Какова величина вертикального перемещения атома в поле? Е) Какую вертикальную скорость приобретает атом в поле? Ж) Пройдя 0,20 м в электрическом поле, атом водорода попадает в область, где поле отсутствует. По какой траектории атом будет при этом двигаться? (Сформулируйте ваш ответ как можно точнее. Дайте рисунок.). Задача 25. Электрон, обладая такой же скоростью, как протон в задаче 24,пролетает через то же самое электрическое поле. Какова будет его траектория по сравнению с траекторией протона? Объясните просто, в чем будет разница. (Примечание. Электрон обладает таким же по величине, но противоположным по знаку электрическим зарядом, как протон, поэтому одно и то же электрическое поле будет действовать на него с такой же силой, но в противоположном направлении. При этом масса электрона составляет всего около 1/2000 массы протона.). Задача 26. В задачах, приводимых в этом курсе, масса человека принята равной 100 кг (она всюду одна и та же: на Земле, на Луне и т. д.). При пользовании соотношением F = M∙а в качестве массы человека М нужно брать 100 кг. На поверхности Земля действует на человека с силой притяжения, называемой «весом» человека. А) Какое значение этой силы следует подставить в качестве F в соотношение F = M∙а? В каких единицах? Б) Объясните, как вы получили значение F? Е) Какие опытные данные и какие рассуждения позволили вам получить множитель, которым вы воспользовались при вычислении значения F? Г) Будет ли этот множитель на Луне таким же или другим? Задача 27. Есть два различных способа сравнения масс двух тел. Какие это способы и чем они по существу отличаются? Задача 28. Подготовка к рассмотрению теории относительности. Предположим, что ми проделываем следующие эксперименты для проверки первого и второго законов Ньютона: А) Наблюдаем движение брикета «сухого льда» (твердая двуокись углерода) по горизонтальной поверхности стола. Б) Тянем небольшую тележку по горизонтальному рельсовому пути, прилагая к ней измеренную силу (трение «устранено» соответствующим наклоном рельсового пути). В этих опытах мы демонстрируем, что: — постоянная сила сообщает постоянное ускорение; — при неизменной массе движущегося тела (ускорение) ~ (сила); — при постоянном ускорении (сила) ~ (масса). Таким образом мы приходим к выводу, что. F ~= M∙а. Представим себе теперь, что эти опыты проделывают внутри железнодорожного вагона в каждом из указанных ниже случаев, и предположим, что вагон служит нам системой отсчета (системой координат). Рельсовые пути в опыте (б) параллельны полотну железной дороги. Как вы думаете, что мы будем наблюдать и будет ли нам казаться, что наблюдения согласуются с первым и вторым законами Ньютона? Случай 1. Вагон неподвижен. Случай 2. Вагон движется с постоянной скоростью, без ускорения. Случай 3. Вагон движется по горизонтальному участку железной дороги вперед с постоянным ускорением (движение тел в опытах, проводимых внутри вагона, происходит в направлении полотна железной дороги).

Фиг. 188. К задаче 28.

Задача 29. В случае 3 задачи 28 должны, наблюдаться странные вещи. Предположим, что экспериментатор, пытаясь истолковать их, проделывает следующие дополнительные опыты: В) Устанавливает маятник, который служит ему линией отвеса, и может наблюдать «вертикаль». Кроме того, устанавливает в вагоне ведро с водой (или еще лучше с маслом или патокой) и может наблюдать «горизонталь». Что будет наблюдать экспериментатор? Г) Пытаясь во что бы, то ни стало сохранить свою веру в законы природы, которые он раньше зазубрил, экспериментатор нанимает плотника и строит внутри вагона лабораторию, наклоненную под таким углом, чтобы линия отвеса и поверхность воды были параллельны стенам и полу новой лаборатории, — «вертикаль» и «горизонталь» кажутся теперь нормальными. Что будет наблюдать экспериментатор, если он повторит опыты (а) и (б) (см. задачу 28) в этой лаборатории, относя свои наблюдения к новому «горизонтальному» полу и новым «вертикальным» стенам? Д) Предположим, что наклонная лаборатория не имеет окон и к экспериментатору не поступает извне никакой информации о том, что он движется с ускорением. В этом случае вместо того, чтобы сделать вывод об ускоренном движении, экспериментатор мог бы заключить, что некоторая обычная физическая величина приняла в его лаборатории новое значение. Какая именно величина? Какого рода изменения с ней произошли? Е) Сможет ли вообще такой экспериментатор посредством опытов внутри вагона отличить действительное ускорение от изменения, о котором было сказано выше? Задача 30. Человек, стоящий на земле, с помощью веревки, перекинутой через блок, укрепленный у крыши здания, поднимает ведро с водой до самой крыши. Ведро с водой весит 10 кГ. Человек начинает тянуть веревку за свой конец с силой 20 кГ. Каким ускорением будет обладать ведро? (Примечание. В этом вопросе ловушка.).

Фиг. 189. К задаче 30.

Задача 31. Сани массой 100 кг (вместе с человеком) скользят вниз по абсолютно гладкой наклонной плоскости, подъем которой составляет 3 м на каждые 5 м вдоль наклонной плоскости (и на каждые 4 м вдоль горизонтального основания). А) Предположим, что сани удерживаются веревкой, параллельной наклонной плоскости. Какая сила должна быть приложена со стороны веревки, чтобы сани оставались неподвижными? Б) Каким ускорением будут обладать сани, если перерезать веревку? В) На сани сел второй человек массой 75 кг (масса саней с людьми стала теперь 175 кг). Каким ускорением будут обладать нагруженные сани? Г) Почему предыдущий вопрос не требует дополнительных вычислений?

Фиг. 190. К задаче 31.

Задача 32. Белку с полными лапками орехов посадили на гладкий горизонтальный стол и толкнули по направлению к краю. Приближаясь к краю стола, белка почувствовала опасность. Она понимает законы движения Ньютона и предотвращает падение на пол. Каким образом? Задача 33. Ребенок тянет сани массой 15 кг по абсолютно гладкой ровной дороге при помощи наклонной веревки. Длина веревки 1,5 м. Верхний конец веревки на 0,9 м выше нижнего конца и на 1,2 м впереди него по горизонтали, как показано на фиг. 191. Ребенок тянет веревку с силой 5 кГ. А) Чему равна горизонтальная сила, сообщающая ускорение саням? (Нарисуйте диаграмму, иллюстрирующую ваш расчет.). Б) Чему равно ускорение саней?

Фиг. 191. К задаче 33.

Задача 34. В плотный грунт речного дна вбивают сваи с помощью «бабы», которая представляет собой железную болванку массой 100 кг. Болванку поднимают на некоторую высоту над верхней частью сваи, после чего она свободно падает и ударяет по свае. При этом свая углубляется в ил на 1,5 см. Болванка остается на свае и не отскакивает от нее. При свободном падении болванка приобретает скорость 8 м/сек. А) Вычислите время, в течение которого происходит столкновение (время, за которое скорость болванки уменьшается от максимального значения до нуля). Б) Вычислите силу, действующую на болванку во время столкновения. В) Выразите эту силу в «плохих», или технических, единицах.

Фиг. 192. К задаче 34.

Задача 35. Автомобиль массой 1500 кг, движущийся со скоростью 12 м/сек, врезается в массивную стену и останавливается. Во время столкновения центр автомобиля перемещается вперед на 0,3 м (с момента прикосновения автомобиля к стене до полной остановки). Вычислите среднюю силу, действующую во время столкновения. Задача 36. С помощью нити, за которую брикет льда тянут по абсолютно гладкому столу, можно придать брикету массой 4 кг ускорение 12 м/сек². При попытке приложить с помощью нити большую силу нить просто рвется. А) Предположим, что к этой же нити подвешивается кусок железа. Сколько килограммов железа может выдержать нить? Б) Какой кусок железа смогла бы выдержать та же нить на Луне, где g в 6 раз меньше, — много больший? много меньший? такой же, как на Земле? В) Какое максимальное ускорение можно сообщить тому же самому брикету льда на ровном столе при помощи той же самой нити на Луне — много большее? много меньшее? такое же, как на Земле?

Фиг. 193. К задаче 36.

Глава 8. Столкновения. Количество движения.

«Действие равно противодействию.». Ньютон. «Если он не погасит свои фары, то я не погашу свои.». «ЗАДАЧИ». А. Снаряд массой 1 кг движется горизонтально со скоростью 600 м/сек. Какую силу он развивает? В. 10-тонный грузовик, движущийся со скоростью 48 км/час, врезается в стену и останавливается. Какова сила столкновения?

Эти вопросы кажутся разумными, да и ответы на них как будто имеют важное значение. На самом же деле в той форме, в какой эти вопросы поставлены, они бессмысленны. Движущийся снаряд не создает усилия в направлении своего движения и не нуждается в приложении силы, чтобы двигаться; авторы задачи пытаются ввести вас в заблуждение, в котором пребывали греки и средневековые последователи Аристотеля. Неизменное движение не связано ни с какой силой, а чтобы придать телу ускорение, к нему нужно приложить силу извне. Даже зная изменение скорости, как в «задаче» В, мы не сможем ответить на поставленный вопрос, поскольку не знаем, за какой промежуток времени происходит это изменение скорости, и, следовательно, не можем вычислить ускорение[121].

Кажущаяся разумность этих задач вызвана ошибочным представлением о силе и движении. Когда мы говорим «ошибочным», мы не просто осуждаем одну точку зрения и воздаем должное другой, мы снова обращаемся к эксперименту, рассматривая его как критерий правильности. Ни один инженер или физик не в состоянии создать прибор или аппарат для измерения «силы» снаряда в полете.

Прикрепленные к снаряду пружинные весы вообще не покажут никакой силы, пока снаряд движется свободно. Мгновенные фотографии самого снаряда не обнаружат ни растяжения, ни сжатия, т. е. отсутствие напряжений. А поскольку попытки измерить «силу» не дают результата, мы не можем считать понятие «силы» в этом случае сколько-нибудь полезным. Если же движущийся снаряд (или движущийся грузовик) сталкивается с каким-нибудь предметом и изменяет скорость, то это связано с реальной силой, с усилием, которое вы можете почувствовать, с чем-то таким, что можно измерить пружинными весами или обнаружить по производимым деформациям. Фотографии снаряда, снятые во время столкновения его со стальной стеной, обнаруживают заметное сжатие и используются для оценки действовавшей силы[122].

Вычисление силы по изменению количества движения Если мы считаем, что соотношение F = M∙a дает в обобщенной форме верное описание поведения природы, то, зная массу тела М и ускорение а, можно вычислить действующую на тело силу. Так поступают в задачах, встречающихся в технике и почти во всех областях физики, от астрономии до физики атома.

В приведенной выше «задаче» В известна масса, но мы не можем найти ускорение, пока нам не сказали, за какой промежуток времени скорость грузовика изменилась с 48 км/час до нуля. Необходимо знать продолжительность столкновения. Предположим, нам известно, что столкновение длится 0,1 сек. Тогда силу можно вычислить следующим образом:

УСКОРЕНИЕ = Δv/Δt = [(0 при неподвижном грузовике) — (48 км/час)] / 0,1 сек = — 48 км/час / 0,1 сек = —13,2 м/сек / 0,1 сек = —132 м/сек^2.

Знак минус показывает, что движение замедленное. Знак минус у величины силы показывает, что она направлена против движения и «отнимает» у грузовика то количество движения, которым он обладал. Таким образом,

СИЛА F = M∙a = (10 000 кг)∙(—132 м/сек/сек) = 1 320 000 кг∙м/сек² ~= 132000 кГ.

Такова сила толчка, с которой стена действует на автомобиль против его движения, заставляя его остановиться. С помощью соотношения F = M∙a можно получить ответ, но это, так сказать, окольный путь. Нам даны масса, изменение скорости и время, требуется найти силу. Нельзя ли изменить соотношение F = M∙a и придать ему другую форму, такую, чтобы в него входили F, t, m и изменение v. Это легко сделать, и мы получим соотношение.

F∙t = Δ(Mv),

Которое, как показано ниже, представляет собой закон F = M∙a, записанный в иной форме. Попробуем им воспользоваться.

СИЛА∙ВРЕМЯ = Изменение (масса∙скорость), F∙t = Δ(Mv). Тогда. F∙(0,1 сек) = Δ(Mv) = — (10 000 кг х 0)_{конечное значение Mv} — (10 000 кг х 13,2 м/сек) _{начальное значение Mv.}

Вот каким образом соотношение F = M∙a приобретает тот вид, который фактически был дан ему Ньютоном. (Мы предполагаем, что масса М при изменении количества движения остается неизменной.).

Простой вывод.

F = M∙a = M∙(v — v₀)/t.

В соответствии с определением ускорения.

Умножим обе части равенства на t:

F∙t = M∙(v — v₀) = Mv — Mv₀,

= (Новое значение Mv) — (Старое значение Mv),

Поскольку М остается неизменным:

F∙t = Изменение Mv, т. е. Δ(Mv),

Сжатый вывод.

(Здесь мы пользуемся для обозначения длительности действия силы символом Δt вместо t.)

F = M∙a = M∙Δv/Δt.

F∙Δt = M∙Δv,

= Δ(Mv)

Поскольку М постоянна;

F∙Δt = Δ(Mv), или изменению величины (Mv).

Вывод с использованием математического анализа.

F = M∙a = M∙Δv/Δt.

Поскольку М постоянна.

Если F постоянна, то левая часть записывается в виде , т. е. F∙Δt.

Значит,

F∙Δt = Δ(Mv)

Если F непостоянна, то , «импульс силы», дает произведение (среднее значение силы)∙Δt. Тогда можно записать:

(Среднее значение F)∙Δt = Δ(Mv).

Если М непостоянна (например, масса ракеты, выбрасывающей в полете продукты сгорания), соотношение F = M∙a непригодно, но изменение количества движения Δ(Mv) по-прежнему равно или произведению.

(Среднее значение F)∙Δt.

Это возвращает нас к определению силы.

F = d(Mv)/dt.

Т. е. сила равна скорости изменения количества движения. Такова первоначальная формулировка Ньютона, которая справедлива даже в теории относительности.

Проработайте предлагаемую ниже задачу на соотношение.

F∙Δt = Δ(Mv)

Соотношение F∙Δt = Δ(Mv) представляет собой фактически иную форму записи соотношения F = M∙a и во многих случаях быстрее приводит к цели. Силы следует выражать в ньютонах. Если воспользоваться этим соотношением для вычисления силы, то ответ автоматически получится в ньютонах. Задача 1(а). Человек в течение 1/50 сек прикладывает силу 200 ньютон к летящему футбольному мячу, в котором содержится в общей сложности 0,500 кг материала. Насколько быстрее будет двигаться мяч после такого удара? Приложенная сила равна ___ ньютон. Время Δt, в течение которого действует сила, равно ___ сек. Следовательно, увеличение количества движения должно быть равно ___, ньютон∙сек. (Примечание. Ньютон∙сек должно быть то же самое, что килограмм∙метр/сек.). Следовательно, поскольку М = 0,500 кг, увеличение скорости должно быть равно ___ м/сек. Задача 1(б). Футболист ударяет по покоящемуся мячу массой 0,5 кг и сообщает ему скорость 14 м/сек. Соприкосновение между ногой и мячом длится ¹/₅₀ сек. Вычислите силу, действовавшую при этом столкновении. [Вместо более утомительного способа, которым вы решали задачу 9 в гл. 7, воспользуйтесь здесь соотношением F∙Δt = Δ(Mv).] Изменение количества движения равно ___ кг∙м/сек (или ньютон∙сек). Следовательно, действующая сила должна быть равна ___ ньютон. Эта же сила в «плохих» единицах равна приблизительно ___ кГ. Задача 1(в). Футболист ударяет по мячу массой ¹/₂ кг, летящему на него со скоростью 10 м/сек. Мяч отскакивает назад со скоростью 14 м/сек. Столкновение длится ¹/₅₀ сек. Вычислите среднюю действующую силу. (Скорость и количество движения — векторы. Обратите внимание на употребление знаков плюс и минус.). V₀ = —10 м/сек, v = + 14 м/сек, t = ¹/₅₀ сек. За ¹/₅₀ сек. количество движения меняется от ___ до ___ кг∙м/сек. Изменение количества движения равно ___ кг∙м/сек. Следовательно, действующая сила равна = ___. ___ _{(единицы)} ~= ___ кГ.

Количество движения.

Мы называем произведение Mv «количеством движения» (это очень удобная величина, и ею широко пользуются в физике).

Тогда соотношение F∙t = Δ(Mv) гласит: «Сила, умноженная на время ее действия, равна изменению количества движения»[123].

При внезапном изменении количества движения время зачастую мало и его записывают в виде Δt, имея в виду «изменение времени дня», например короткий интервал времени между 3 час. 42 мин. 4,60 сек. и 3 час. 42 мин. 4,72 сек. Значит, мы можем писать.

F∙Δt = Δ (количество движения), или Δ(Mv).

Единицы.

Поскольку соотношение F∙t = Δ(Mv) получено из соотношения F = M∙a, то силу F нужно выражать в тех же абсолютных единицах — ньютонах. Если М дано в кг, a v — в м/сек, то количество движения Mv будет выражено в килограммах, умноженных на м/сек. Это записывают в таком виде[124]: кг∙м/сек. Если Mv выражено в кг∙м/сек, а t — в сек, то F должна быть в ньютонах[125].

Прыжки и столкновения.

Попытаемся применить соотношение F∙Δt = Δ(Mv) в задачах о прыжках, совершаемых людьми, и о столкновениях автомобилей. Мы воспользуемся этим соотношением при решении приводимых ниже задач, а также при построении молекулярной теории газов, где оно позволит нам сделать важные предсказания.

В соотношении F∙Δt = Δ(Mv) величина F представляет собой реальную силу, именно ту силу, которая необходима, чтобы произвести заданное изменение количества движения за указанный промежуток времени Δt. Если пол, стена или что-то еще не развивают силы, то количество движения движущегося тела не изменится.

За короткое время может произойти большое изменение Mv, например, когда прыгун опускается на землю или когда автомобиль врезается в стену. В этом случае Δ(Mv) велико, a Δt мало.

F∙(малое Δt) = большое Δ(Mv).

Таким образом, сила F должна быть очень велика. При столкновениях развиваются огромные силы, и, хотя они действуют в течение лишь очень коротких промежутков времени, эти силы способны причинить большой ущерб. Чтобы уменьшить F и предотвратить плачевные последствия, нужно увеличивать Δt. Для этого следует при прыжке сгибать ноги в коленях и надевать мягкую обувь, этой же цели служат эластичные предохранительные маты.

Вратари надевают особые перчатки и, задерживая мяч, следят за тем, чтобы их рука отходила назад для удлинения промежутка времени Δt, в течение которого мяч останавливается. В гл. 7, где была приведена задача о прыжке человека на пол, скорость человека изменялась от 5 м/сек до нуля примерно за ¹/₁₀₀ сек.

В этом случае соотношение F∙Δt = Δ(Mv) дает.

F∙(¹/₁₀₀ сек) = (100 кг х 0) — (100 кг х 5 м/сек) = = —500 кг∙м/сек (или ньютон∙сек), = —50 000 ньютон.

(F выражается в ньютонах, поскольку массу мы выражаем в кг, v — в м/сек; F должна быть выражена в абсолютных единицах).

~= 5000 кГ, или 5 тонн силы.

Это настолько большая сила, что действие ее со стороны пола на ступни, которое передается на позвоночник, недопустимо даже в течение ¹/₁₀₀ сек. Не пытайтесь прыгать с таким резким приземлением — можете поплатиться серьезными телесными повреждениями. Но прыжок с высоты 1,2 м можно сделать вполне безопасным. Для этого достаточно просто согнуть ноги в коленях, увеличив Δt в 10–20 раз по сравнению с ¹/₁₀₀ сек и тем самым уменьшив в 10–20 раз силу F.

Футболист, сообщая мячу массой 0,5 кг скорость 20 м/сек ударом ноги, длящимся ¹/₁₀₀ сек, прикладывает к мячу силу, которая дается соотношением.

F∙¹/₁₀₀ = (0,5 кг х 20 м/сек) — (0,5 кг х 0).

F = 10/0,01 = 1000 ньютон ~= 100 кГ.

Носок бутсы должен быть очень крепким.

Борец, когда его бросают на ковер, пытается по возможности удлинить время «приземления», расслабив мышцы и распределяя удар об пол на ряд последовательных столкновений, в которых участвовали бы лодыжки, колени, бедра, ребра, плечи.

Перераспределение количества движения.

При столкновении тел происходит обмен количеством движения, перераспределение количества движения между телами.

Понаблюдайте за описанным ниже опытом и установите, приобретается или теряется количество движения при столкновениях.

ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ОПЫТ.

Опыт 1. Тележка, движущаяся по рельсовому пути, наклоненному для компенсации трения, налетает на неподвижную тележку; обе тележки сцепляются буферами и продолжают двигаться вместе. На первой тележке укреплена полоска картона, и с помощью фотоэлемента и часов можно определить скорость тележки. Второй фотоэлемент с часами позволяет определить скорость сцепленных тележек после столкновения.

На фиг. 194 показана схема такого опыта.

Фиг. 194. Столкновения.

_{Часы I показывают время, за которое картонная полоска на тележке А проходит мимо фотоэлемента до столкновения. Часы II показывают время прохождения картонной полоски мимо фотоэлемента после столкновения, когда тележки сцепляются.}

Тележка А массой 2,00 кг налетает на стоящую неподвижно тележку В, масса которой равна 4,00 кг. После столкновения тележки сцепляются (суммарная масса их оказывается равной 6,00 кг) и продолжают двигаться вместе с меньшей скоростью. Перед столкновением картонная полоска длиной 0,5 м, укрепленная на тележка А (которая двигалась равномерно), прошла мимо первого фотоэлемента за 0,40 сек. (Мимо второго фотоэлемента тележка А прошла бы тоже за 0,40 сек до столкновения). После столкновения картонная полоска прошла мимо второго фотоэлемента за 1,20 сек. (Полоска была укреплена на тележке А, но поскольку обе тележки после столкновения оказались сцепленными, время прохождения мимо второго фотоэлемента характеризует скорость обеих тележек.) Таким образом, до столкновения:

Скорость тележки А = 0,50 м/0,40 сек = 1,25 м/сек,

Скорость тележки В = 0 м/сек;

После столкновения:

Скорость сцепленных тележек А + В = 0,50 м/1,20 сек = 0,417 м/сек.

Вычислим теперь суммарное количество движения до и после столкновения и посмотрим, приобретается ли количество движения при столкновении или теряется:

До столкновения.

Количество движения тележек = (2,00 кг)∙(1,25 м/сек)_{Тележка А} + (4,00 кг)∙(0 м/сек)_{Тележка В неподвижна} = 2,500 кг∙м/сек.

После столкновения:

Количество движения сцепленных тележек = (6,00 кг)∙(0,417 м/сек), = 2,502 кг∙м/сек.

Совпадение в этом случае получилось превосходное, но мы оперировали здесь выдуманными числами. Вам стоит посмотреть как можно больше настоящих демонстрационных опытов, и нужно знать их результат. Все реальные опыты показывают, что в пределах точности, которую обеспечивают приборы, количество движения не приобретается, не теряется, а происходит лишь обмен количеством движения или перераспределение его между телами.

Этот вывод не зависит от рода столкновения. Идет ли речь о легком упругом соударении, столкновении, при котором тела «склеиваются» друг с другом, или о страшном столкновении, сопровождающемся превращением огромных количеств кинетической энергии в теплоту, — все равно количество движения сохраняется. Это дает нам очень важный путеводный принцип, позволяющий произвести анализ столкновений:

ПРИОБРЕТЕННОЕ КОЛИЧЕСТВО ДВИЖЕНИЯ = ПОТЕРЯ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ.

Или в другой форме:

СУММАРНОЕ КОЛИЧЕСТВО ДВИЖЕНИЯ НИКОГДА НЕ МЕНЯЕТСЯ.

Столкновения и закон сохранения количества движения.

Столкновения играют очень важную роль: бомбардировка стенок сосуда молекулами газа, производящего на сосуд давление изнутри; рассеяние атомов гелия на ядре атомов золота при прохождении через золотую фольгу; лобовые соударения нейтронов с атомами водорода, которые позволяют определить массу нейтрона; выбивание быстрыми электронами других электронов из атомов и даже соударения световых квантов, когда они, подобно пулям, налетают на электроны, — все это столкновения, к который мы можем с успехом применить наше новое правило и получить какие-то новые знания или глубже понять те или иные явления.

Мы считаем, что это же правило применимо и к «столкновениям» на расстоянии, таким, как гравитационное влияние Солнца на Земле, воздействия одной планеты на другую, медленные и спокойные «столкновения» Луны с нашим океаном, которые мы называем приливами. Действующие силы могут отличаться в деталях, но всеми столкновениями и взаимодействиями управляет, по-видимому, одно и то же правило, сформулированное Ньютоном в такой форме, что его можно было распространить на атомную физику и включить в новое осмысление мира, которое содержится в эйнштейновской теории относительности. Это правило гласит:

ПРИ ЛЮБОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ В ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЕ (НА КОТОРУЮ НЕ ДЕЙСТВУЕТ ИЗВНЕ РЕЗУЛЬТИРУЮЩАЯ СИЛА) КОЛИЧЕСТВО ДВИЖЕНИЯ, РАССМАТРИВАЕМОЕ КАК ВЕКТОР, СОХРАНЯЕТСЯ.

Количество движения — вектор.

В каждой части соотношения F∙Δt = Δ(Mv) содержится векторная величина. Сила есть вектор, время же не имеет направления в пространстве — это просто число (скажем, число тиканий часов), которое нужно рассматривать как множитель; скорость — вектор, а масса не имеет направления. Масса — это «скаляр», простое число (вроде числа тележек), которое нужно опять-таки рассматривать как множитель. (Умножение скорости 3 м/сек, направленной на восток, на 2 кг дает 6 кг∙м/сек, направленные на восток.) Поэтому мы предполагаем, что импульс силы F∙Δt и количество движения Мv — векторы; эксперимент это подтверждает. Полная формулировка второго закона Ньютона содержит указание на это обстоятельство: сообщаемое ускорение и, следовательно, производимое изменение количества движения совпадают по направлению с направлением приложенной силы. Это может показаться не очень существенным при лобовых столкновениях, когда все движение происходит по одной прямой, но в случае столкновений, происходящих под другими углами, нужно рассматривать количество движения как вектор. Когда сталкиваются автомобили, движущиеся в разных направлениях, и между ними происходит обмен количеством движения, оказывается, что величины Mv подчиняются правилу сложения векторов. На фиг. 195 показано столкновение автомобиля А, движущегося на восток, с автомобилем В, движущимся на север по обледенелой ровной дороге. После столкновения автомобили будут двигаться под некоторым углом к первоначальным направлениям их движения. При этом они будут обладать количеством движения, которое представляет собой векторную сумму количеств движения обоих автомобилей до столкновения.

Фиг. 195. Количество, движения как вектор.

_{А — движение автомобилей до и после столкновения; б — диаграмма векторов количества движения автомобиля А, автомобиля В и обоих автомобилей вместе.}

На фиг. 196 показана бомба, скользящая по льду. Бомба разрывается на два осколка, количества движения которых при векторном сложении дают в сумме количество движения бомбы при ее скольжении по льду до взрыва[126].

Фиг. 196. Бомба на льду.

_{Внизу показана векторная сумма количеств движения обоих осколков.}

Чтобы проверить векторный характер закона сохранения количества движения, оставим модель железной дороги с вагончиком и будем наблюдать за столкновением брикетов сухого льда на столе, покрытом листом алюминия. Можно также использовать маятники — стальные шары, подвешенные на длинных нитях[127]. В любом случае мы обнаруживаем, что количества движения после столкновения складываются по правилу сложения векторов, и их сумма равна сумме количеств движения до столкновения. Можно поступить и по-другому: проанализировать наши измерения, разложив каждое Mv на компоненты по двум взаимно перпендикулярным направлениям. Если первоначально двигалось лишь одно тело, то целесообразно выбрать ось х в направлении этого движения, а ось у перпендикулярно к оси х, затем можно разложить все количество движения на х- и у-компоненты. Тогда мы обнаружим, что сумма х-компонент после столкновения равна количеству движения до столкновения, а обе у-компоненты после столкновения равны и противоположны друг другу по направлению.

Может показаться, что рисование и анализ траектории сталкивающихся тел в подобных случаях дело надуманное и бесполезное. Но мы умеем фотографировать траектории отдельных атомов и частей атомов, претерпевающих столкновения, анализ же таких траекторий имеет огромное значение в атомной физике. Электроны, заряженные атомы гелия и другие атомные частицы, пролетая через так называемую камеру Вильсона (о ней рассказано в гл. 39[128]), оставляют отчетливые следы. Если происходит столкновение, то след обнаруживает резкий излом, появляется новый, отходящий в сторону след частицы, испытывающей отдачу, обычно атома газа, в который попала налетающая частица. Зная массы сталкивающихся атомов или атомных частиц, путем построения векторной диаграммы можно извлечь важные сведения о скоростях (количествах движения). Если же известны скорости, то векторная диаграмма позволяет определить отношения масс.

Задача 2. Столкновение ядер. Измерения, выполненные на реальном снимке следов в камере Вильсона, для быстрой альфа-частицы А (ядра гелия), налетающей на неподвижную частицу В (скорости даны в произвольных единицах), позволили получить следующие данные[129]: До столкновения частица А двигалась со скоростью 2,00 единицы в 1 сек. После столкновения частица А двигалась со скоростью 1,90 единицы в 1 сек в направлении, составляющем 8°,5 с направлением ее первоначальной траектории. Частица В двигалась после столкновения со скоростью 1,25 единица в 1 сек под углом 68° к направлению первоначальной траектории А (следы обеих частиц образуют Y-образную вилку с углом 76°,5). Требуется установить природу частицы В, сопоставив ее массу с массой частицы А согласно приведенной ниже методике. Для удобства воспользуемся относительной шкалой атомных масс, принятой в химии, в которой масса ядра гелия А равна 4,0 «атомным единицам массы» (а. е. я,). Тогда, если бы частица В была ядром кислорода, ее масса равнялась бы, 16,0 а. е. м.; в случае азота масса частицы В составляла бы 14,0 а. е. м.; в случае гелия — 4,0 а. е. м., в случае тяжелого водорода — 2,0 а. е. м.; масса ядра обычного водорода равна 1,0 а. е. м. При определении массы частицы В воспользуйтесь предлагаемым перечнем. (Если у вас получится в ответе какое-нибудь дробное число, например 0,2 или 5,3, то это значит, что вы открыли новую атомную частицу, которую следовало бы как-то назвать в вашу честь.). А) Начертите на большом листе бумаги в подходящем масштабе векторную диаграмму количеств движения следующим образом: проведите векторы количества движения частицы А до и после столкновения и отметьте количество движения, которое должна приобрести частица В, чтобы в целом количество движения сохранялось. Б) Измерьте вектор количества движения частицы В и, воспользовавшись приведенными данными о скорости, вычислите массу частицы, В. В) При построении вы, вероятно, воспользовались углом 8,3°, а не 68°. В этом случае измерьте подходящий угол на вашей диаграмме и сравните его с углом 68°. (Получающееся совпадение служит частичной проверкой правил сложения и сохранения количества движения, из которых вы исходили при построении диаграммы.).

Фиг. 197. К задаче 2.

Г) Если вы знакомы с понятием кинетической энергии тела, которая равна ¹/₂ mv² (см. гл. 26[130]), то рассмотрите эту задачу еще раз. Возьмите 4,00 в качестве массы частицы А, а в качестве массы частицы В полученное вами значение и посмотрите, сохраняется ли кинетическая энергия. Если она сохраняется, то взаимодействие представляет собой простое упругое столкновение без каких-либо ядерных превращений. Если же кинетическая энергия не сохраняется, то при взаимодействии должна поглощаться или выделяться ядерная энергия.

Законы сохранения.

Что бы ни происходило, количество движения, которое потеряло одно тело, приобретается каким-нибудь другим телом (или телами): векторная сумма количеств движения никогда не меняется.

Чтобы придать этому правилу универсальный характер, необходимо, как мы теперь знаем, учитывать количество движения, уносимое электромагнитными полями, например световыми волнами, и хотя мы по-прежнему вычисляем количество движения в виде произведения (масса)∙(скорость), мы учитываем релятивистское свойство массы возрастать по мере ускорения движения.

Релятивистское изменение массы незаметно при обычных скоростях, даже при астрономически больших значениях скорости, но оно приводит к возрастанию массы и количества движения до бесконечно больших значений, когда мы наблюдаем атомные частицы со скоростями, приближающимися к скорости света.

Это простое правило проверки баланса — суммарное Mv после столкновения равно суммарному Mv до столкновения — делает количество движения чрезвычайно важной и удобной для расчетов величиной. Изучение механики движущихся тел, будь то планеты или атомы, похоже на выслеживание банды преступников, которые постоянно меняют свой внешний облик. Сыщик выискивает признаки, которые можно, пользуясь услугами тайных агентов, распознать и проследить при любых изменениях внешнего облика (специфическая форма уха, золотой зуб, хромота и т. д.).

Ученые установили, что в механике такой неизменной характеристикой является масса: масса сохраняется, говорят они. В течение столетий считали, что вещество неразрушимо и что химические превращения представляют собой лишь обмен частицами вещества.

Тщательное взвешивание химических веществ в колбе до и после химических реакций не обнаружило измеримых изменений общей массы; поэтому ученые выдвинули утверждение о сохранении массы (которое, как они считали, означает сохранение вещества) в качестве универсального правила. Однако этого правила оказалось недостаточно для полного количественного описания столкновений (а в последнее время мы убедились в том, что правило это в его простейшей форме само по себе неверно). В качестве меры движения тела появилось количество движения Mv, когда было установлено, что эта величиа сохраняется. Цепляясь за величину Mv, как за самый надежный ключ к пониманию движения и его измерению, мы по-прежнему рассматриваем сохранение количества движения как прочную основу механики.

Теперь мы располагаем двумя правилами для любой замкнутой[131] системы:

ПРИ ЛЮБОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ СУММАРНАЯ МАССА М ОСТАЕТСЯ НЕИЗМЕННОЙ.

(масса М — скаляр). Это правило называется законом сохранения массы.

ПРИ ЛЮБОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ СУММАРНОЕ КОЛИЧЕСТВО ДВИЖЕНИЯ Mv ОСТАЕТСЯ НЕИЗМЕННЫМ.

(количество движения — вектор). Это правило называется законом сохранения количества движения.

Эти правила позволяют нам делать предсказания или извлечь полезные сведения из измерений. Они представляют собой в известном смысле сущность физики и дают возможность привести природу в стройную систему. (Они напоминают правила проверки бухгалтерского баланса, например: итоговая сумма в графе «приход» должна быть равна итоговой сумме в графе «расход».).

Существуют ли другие подобные правила? Сохраняются ли также величины Mv², Mv³ и т. д.? Измерения М и v при столкновениях показывают, что величины Mv³ и Mv⁴ безусловно не сохраняются, поэтому к ним не проявляют интереса и не присваивают им названий. Что же касается величины Mv², то она представляет интерес: в некоторых случаях она сохраняется, а в других случаях переходит в иные формы весьма важной и удобной характеристики, которую мы называем энергией. Величине Mv², или, вернее, величине ¹/₂ Mv²! присвоено наименование кинетическая энергия. Мы вернемся к ней в одной из последующих глав.

Изменение количества движения дается произведением (сила)∙(время). Мы увидим, что изменение кинетической энергии дается произведением (сила)∙(расстояние). Это простое произведение, содержащее силу и размер, и нет ничего удивительного, что величиной ¹/₂ Mv² удобно пользоваться.

ПРИМЕРЫ ИЗМЕНЕНИЙ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ. Опыт 2. Грубый опыт со столами на колесах. Студенты А и В сидят на двух столах, снабженных колесиками на шарикоподшипниках (роликовых коньках). Оба стола в начальный момент неподвижны и достаточно удалены друг от друга. Студенты тянут за веревку, и столы сближаются (фиг. 198), пока не столкнутся.

Фиг. 198. Грубый эксперимент.

Если массы (студент + стол) не равны, то туго натянутая веревка сообщает им неодинаковые ускорения. Сближаясь, обе массы приобретают неодинаковые скорости. При столкновении они сводят к нулю количество движения друг друга, и движение прекращается. Опыт иллюстрирует изменение количества движения, но не дает доказательства его сохранения, если только не измерять приобретаемые количества движения. Задача 3. При сближении столов в описанном выше демонстрационном опыте веревка все время туго натянута, ее тянут к себе оба студента или один из них. Предположим, что: А) студент А крепко держит свой конец веревки, а студент В тянет веревку к себе, поддерживая натяжение постоянным и равным 100 ньютон, или. Б) студент В крепко держит свой конец веревки, а студент А тянет веревку к себе, поддерживая натяжение постоянным и равным 100 ньютон, или. В) студенты А и В тянут веревку каждый к себе, поддерживая натяжение постоянным и равным 100 ньютон. Какие различия вы рассчитываете заметить для этих трех случаев: 1) В относительном движении обоих столов? 2) В движении студента А и стола, на котором он сидит? (Указание. Студент А и стол обладают определенной массой, к которой приложена сила 100 ньютон.). 3) В количестве веревки, накапливающемся на каждом столе? Опыт 3. Тележки, расталкиваемые пружиной (фиг. 199).

Фиг. 199. Движение тележек, расталкиваемых пружиной.

Две игрушечные тележки помещены посередине рельсового пути, у которого компенсировано трение для движения тележек в разные стороны. Между тележками помещена сжатая пружина, которая стремится оттолкнуть их друг от друга, но тележки связаны нитью. Когда нить пережигают, пружина расталкивает тележки, сообщая каждой из них некоторое количество движения; затем пружина перестает действовать, и тележки движутся равномерно. Если тележки обладают одинаковыми массами, то, как показывают эксперименты, они движутся с равными и противоположно направленными скоростями, например: если тележка А проходит 1 м до какой-то отметки, то тележка В проходит за это же время 1 м в противоположном направлении. Значит, поскольку скорости равны и противоположно направлены (v и —v), а массы равны, количество движения Mv, приобретаемое тележкой В, равно и противоположно по направлению количеству движения —Mv, приобретаемому тележкой А. Если масса тележки В вдвое больше массы тележки А, то тележка В приобретает вдвое меньшую скорость; если тележка А проходит 1 м, то тележка В проходит за это же время 1/2 м. Если в этом случае тележка А приобретает количество движения —Mv, то тележка В приобретает количество движения 2M(¹/₂v), направленное в противоположную сторону. В каждом из этих случаев изменения количества движения равны и противоположны друг другу. Опыты с другими массами, например, когда тело с массой М налетает на тело с массой 3М или тело с массой 2М налетает на тело с массой М, дают аналогичные результаты. Опыт 4. Опыт с тележками, связанными посредством растянутой пружины (фиг. 200). Этот опыт с игрушечными тележками представляет собой видоизменение опыта 2.

Фиг. 200. Движение тележек навстречу друг другу под действием растянутой пружины.

Две тележки, удаленные друг от друга, помещены на ровный рельсовый путь и соединены длинной растянутой пружиной. После того как тележки отпускают, они сближаются, сталкиваются и сцепляются крючками. Если обе тележки в начальный момент, когда их отпускают, находятся в состоянии покоя, то после столкновения обе сцепленные тележки также будут покоиться. Мы говорим, что обе массы приобретают равные и противоположно направленные количества движения, которые взаимно уничтожаются при столкновении. Это происходит независимо от того, равны массы тележек или не равны. Опыт 5. Измерение скорости полета ружейной пули. Если выпущенная из ружья пуля пробивает деревянный брусок и застревает в нем, происходит неупругое столкновение — энергия движения пули в основном превращается в теплоту, но количество движения пули целиком передается бруску. Чтобы измерить скорость пули, вычисляют количество движения, как показано в задаче 4. Задача 4. Измерение скорости ружейной пули. Пуля, выпущенная из ружья, летит горизонтально и попадает в деревянный брусок, положенный на тележку, которая перемещается по рельсовому пути с компенсированным трением (фиг. 201).

Фиг. 201. Измерение скорости ружейной пули на основе сохранения количества движения.

Тележка первоначально покоится, затем пуля застревает в дереве и тележка движется по рельсам с постоянной скоростью. Полоска из картона длиной 0,50 м, укрепленная на тележке, проходит мимо фотоэлемента за 0,80 сек, масса пули, извлеченной из деревянного бруска, равна 0,00300 кг (или 3 г). Масса бруска и тележки, вместе взятых, равна 2,997 кг. Чтобы найти первоначальную скорость пули, обозначьте ее через V м/сек и воспользуйтесь законом сохранения количества движения. А) Чему равна скорость тела (брусок + тележка + пуля) после столкновения? Б) Обозначьте скорость пули до столкновения через V м/сек. Чему равно количество движения пули до столкновения? В) Чему равно количество движения тела (брусок + тележка) в состоянии покоя до столкновения? Г) Чему равно суммарное количество движения до столкновения? Д) Чему равна масса всех трех тел, вместе взятых, после столкновения? Е) Чему равно количество движения всех трех тел, вместе взятых, после столкновения? Ж) Воспользуйтесь в качестве исходного предположения законом сохранения количества движения и запишите ваше предположение в виде уравнения, используя полученные выше результаты. Найдите значение V.

Этот метод используют на практике в баллистике. (Деревянный брусок не укрепляют на тележке, а обычно подвешивают в виде маятника. При этом изменяется геометрия опыта, но принцип, лежащий в его основе, остается прежним.) Метод основав на предположении о сохранении количества движения; скорость пули можно измерить и другими способами; получаемые при этом результаты совпадают с нашими. На фиг. 202 показан принципиально иной метод измерения, который может служить проверкой результата, полученного предыдущим методом. Пуля пролетает через два бумажных диска, укрепленных на оси, вращающейся с известной скоростью, и оставляет в дисках отверстие Y. При неподвижной оси с помощью выстрела проделываются «стандартные отверстия» X. Угловое смещение отверстий (А — В) служит мерой времени пролета пули.

Фиг. 202. Другой метод измерения скорости ружейной пули.

Третий закон Ньютона.

Если мы уверены, что количество движения Mv сохраняется (никогда не теряется и не создается вновь, а происходит лишь обмен количеством движения между телами), то можно сделать вывод, что два тела, которые сталкиваются или взаимодействуют между собой, должны действовать друг на друга с равными и противоположно направленными силами. Это третий закон движения Ньютона:

ДЕЙСТВИЕ РАВНО ПРОТИВОДЕЙСТВИЮ.

Вот доказательство этого утверждения.

Предположим, что два тела, А и В (фиг. 203), сталкиваются друг с другом (или обмениваются количеством движения каким-нибудь иным способом). Обозначим изменение количества движения тела А через Δ(Mv)_A, а изменение количества движения тела В — через Δ(Mv)_В. Тогда, если количество движения сохраняется, Δ(Mv)_A и Δ(Mv)_В должны быть равны и противоположно направлены.

Δ(Mv)_В = — Δ(Mv)_A.

(То же можно записать и по другому: полное изменение количества движения, Δ(Mv)_A + Δ(Mv)_В, должно быть равно нулю.).

Но для тела А изменение количества движения равно.

Δ(Mv)_A = (Сила, действующая на A)∙Δt,

А для тела В изменение количества движения равно.

Δ(Mv)_В = (Сила, действующая на В)∙Δt.

Физ. 203. Силы, действующие во время столкновения.

_{При столкновении со стороны каждого тела, действует на другое одна сила.}

Время Δt одно и то же для обоих тел, поскольку столкновение тела А с телом В не может длиться больше, чем столкновение тела В с телом А (Δt — это просто продолжительность столкновения обоих тел).

Следовательно, если количество движения сохраняется, то.

(Сила, действующая на A)∙Δt = —(Сила, действующая на В)∙Δt,

Или.

(Сила, действующая на A) = —(Сила, действующая на В)∙Δt.

Таким образом, (сила, действующая на А) и (сила, действующая на В) равны и противоположны друг другу,

ДЕЙСТВИЕ РАВНО ПРОТИВОДЕЙСТВИЮ.

Существует мнение, что сохранение количества движения — это экспериментально установленный факт, и поэтому считают, что третий закон Ньютона хорошо проверен на опыте. Другие рассматривают третий закон как аксиому, своего рода предварительную формулировку способа, которым мы собираемся исследовать природу. Они предостерегают нас, заявляя, что сохранение количества движения нельзя доказать экспериментально. Можно лишь получить иллюстрацию этого принципа, поскольку те же или аналогичные эксперименты, которые берутся для вычисления Mv, мы используем для измерения масс.

Независимо от того, рассматриваем ли мы третий закон Ньютона как экспериментальный факт или основную аксиому, мы пользуемся им во всех областях физики, этот закон формирует наше мышление, не приводя к противоречиям. Сам Ньютон не провозглашал торжественное рождение третьего закона и не пытался внедрять его императивно. Он сформулировал его как рабочую гипотезу, которой собирался пользоваться, приняв ее для построения механики; однако он подверг эту гипотезу еще тщательной проверке, проводя опыты по столкновению маятников. (Прочтите описание экспериментов Ньютона, данное им самим, и обратите внимание, как остроумно он справился с сопротивлением воздуха.).

Если вы понимаете смысл третьего закона, а часто его понимают неправильно и даже неправильно излагают в учебниках, то, пожалуй, сможете пользоваться им не хуже самого Ньютона.

Мощный инструмент для решения задач.

Теперь вы видите, каким мощным инструментом может служить закон сохранения количества движения при решении задач. Если в системе происходят какие-то явления, то между одной частью системы и другой ее частью могут возникать многочисленные внутренние силы, но они появляются в виде пар равных и противоположно направленных сил (третий закон Ньютона). Поэтому они не могут изменить результирующего количества движения. Мы можем проводить расчеты общего характера, не зная о внутренних деформациях и перемещениях и не заботясь о них. Когда мы делим нашу систему на две части, например при рассмотрении столкновения, и говорим, что количество движения, приобретенное одной частью, должно быть отнято у другой, нам не нужно ничего знать о силах, которыми обусловлен этот обмен количеством движения. Эти силы представляют собой пары равных и противоположно направленных сил действия и противодействия. Они являются источником равных и противоположно направленных количеств движения независимо от того, постоянны эти силы или быстро возрастают и снова убывают по величине, возникают эти силы при внезапном столкновении или в результате слабого гравитационного притяжения, приводит действие этих сил к колебаниям молекул (теплота), закручиванию пружин (потенциальная энергия) или полному восстановлению первоначальной энергии движения. Так, если пуля вылетает с большой скоростью из ружья и попадает в деревянный брусок, лежащий на абсолютно гладком столе, то скорость скольжения бруска (вместе с пулей) можно вычислить, зная массы и первоначальную скорость пули и предполагая, что количество движения сохраняется. Для расчета не нужно знать в деталях, что происходило с пулей. Как правило, пуля пробивает древесные волокна, разрывая их, в результате чего температура волокон повышается, и в конце концов вся энергия движения пули растрачивается, превращаясь в теплоту. Если пуля ударится о кусок металла, находящийся внутри деревянного бруска, то пуля нагреется сама и может расплавиться. Внутрь деревянного бруска можно поместить приспособление, которое захватывало бы пулю так, чтобы при этом энергия ее движения расходовалась на сжатие пружины или вызывала вращение небольшого колеса. В любых случаях конечная скорость бруска будет одной и той же при условии, что пуля застревает в нем.

Столкновение и «соприкосновение» — слово, которое вводит в заблуждение.

Толкните навстречу друг другу две тележки, стоящие на рельсовом пути «без трения» (фиг. 204).

Фиг. 204. Столкновения.

_{А — удар; б — пружинные буфера; в — взаимное отталкивание магнитов.}

Тележки будут двигаться с постоянными скоростями, пока не произойдет столкновение, сопровождающееся ударом; затем после очень кратковременного соприкосновения тележки отскакивают одна от другой, обладая другими скоростями, но с тем же самым суммарным количеством движения. Если снабдить тележки буферами из хороших стальных пружин, то столкновение будет более продолжительным и мы сможем подробно изучить его отдельные стадии. Конечные скорости, которыми обладают тележки, оттолкнувшись друг от друга, могут быть больше, чем при столкновении, но количество движения опять-таки сохраняется. Количество движения сохраняется на любой промежуточной стадии столкновения: оно равно суммарному количеству движения тележек перед началом столкновения. Во время столкновения, когда тележки максимально сближаются и пружины сжаты сильнее всего, тележки и пружины движутся все вместе с одной и той же скоростью; эту скорость можно вычислить, поскольку известны общая масса и суммарное количество движения. Мы могли бы приспособить какую-нибудь защелку для сцепления тележек в этот момент, измерить скорость сцепленных тележек и проверить наш расчет. Это может служить проверкой закона сохранения количества движения. Именно это мы и делали в демонстрационном опыте со сталкивающимися тележками, о котором говорилось в начале этой главы (стр. 310). Сделаем теперь «столкновение» еще более мягким — поместим на каждой тележке по большому магниту так, чтобы они отталкивали друг друга. Тогда при сближении тележек магниты, подобно пружине, будут отталкивать друг друга все сильнее и сильнее. Тележки разъедутся в противоположные стороны, не соприкоснувшись, а количество движения при этом опять-таки сохранится. На первый взгляд кажется, что здесь не было настоящего столкновения. Тем не менее в действительности — это типичное столкновение, модель жесткого столкновения, при котором оба тела приходят в контакт, только эта модель выполнена в большом масштабе, с замедленным движением сталкивающихся тел. При столкновении любого типа (магниты, пружины, соприкосновение при ударе) на определенной стадии сближения сталкивающихся тел развиваются равные и противоположно направленные силы, которые «расталкивают» оба тела в противоположные стороны и действуют до тех пор, пока тела снова не удалятся одно от другого.

Магнитное отталкивание начинает ощущаться на довольно больших расстояниях и сильно возрастает на малых расстояниях между телами. Насколько тележки должны приблизиться друг к другу, чтобы направление их движения изменилось под действием взаимного отталкивания магнитов, зависит от начальных скоростей. В широком интервале скоростей взаимного отталкивания магнитов оказывается вполне достаточно.

Когда тела при столкновении приходят в соприкосновение, сопровождающееся ударом, возникают такие же силы, но на значительно меньших расстояниях. Это «близкодействующие» атомные силы, которые практически равны нулю, пока атомы на поверхности одного тела не приблизятся к атомам на поверхности другого тела на очень малое расстояние, значительно меньшее диаметра молекул. Тогда-то и появляются большие силы отталкивания, которые становятся еще значительнее при более тесном сближении[132]. Это и есть соприкосновение тел, внезапное появление сил отталкивания на очень малом расстоянии между телами. «Прикосновения» одного атома к другому не происходит. В масштабе атомов существуют лишь силовые поля, которые отталкивают и притягивают атомы или части атомов, причем интенсивность этих полей резко меняется с расстоянием. Нажмите пальцем на стол, и вы почувствуете, как атомы стола начнут отталкивать атомы вашего пальца, когда палец окажется на очень близком расстоянии от поверхности стола. Как бы сильно или слабо вы ни прижимали палец к столу, вы испытываете лишь небольшое отталкивание, которое передается мышечной ткани пальца и воздействует на нервные окончания[133].

Помимо больших сил, которые, как об этом говорилось выше, развиваются на очень малых расстояниях, между пальцем и столом нет никакого «соприкосновения», или «контакта», — эти термины вызывают отчетливое и в то же время ошибочное представление. Ваш палец, наделенный чувством осязания, напоминает своего рода щуп, который инженеры, занимающиеся исследованиями конструкций, называют «тензодатчиком».

Для иллюстрации столкновений можно предложить другой способ. Заменим тележки катящимися шарами и не будем создавать силы отталкивания, а заставим шары вкатываться вверх по склону соответствующего профиля. На фиг. 205 показаны такие склоны для трех случаев, которые мы только что рассмотрели.

Фиг. 205. Потенциальный барьер.

_{Симметричный потенциальный барьер соответствует случаю двух одинаковых шариков, сближающихся с одинаковыми скоростями. Одна шар можно поместить на оси симметрии, а другой изобразить катящимся по направлению к первому.}

Обратите внимание, что в случае жесткого удара склон оказывается очень крутым, но это не вертикальная стена. (Кривые, описывающие профили этих склонов, называются потенциальными диаграммами, потому что высота склона в каждой точке характеризует потенциальную энергию, запасаемую пружиной, магнитным полем или полем атомных сил во время столкновения, см. гл. 26[134]. Такие потенциальные диаграммы, или потенциальные барьеры, очень полезны при рассмотрении столкновений в ядерной физике. В случае сил притяжения потенциальный барьер превращается в потенциальную яму. На фиг. 206 показана потенциальная яма, создаваемая полем тяготения Земли, а на фиг. 207 — потенциальная яма для случая атомного ядра с потенциальным барьером снаружи.).

Фиг. 206. Потенциальная яма для случая поля тяготения Земли.

_{Орбита Луны показана в масштабе 1/100 миллиардов.}

Фиг. 207. Потенциальная яма и потенциальный барьер для случая атомного ядра.

Таким образом, все столкновения по существу одинаковы. Различие заключается в форме силового поля и не нарушает общего подхода, основанного на законе сохранения количества движения. Все силовые поля, с которыми мы имеем дело в физике, по-видимому, действуют с одинаковыми и противоположно направленными силами: таковы гравитационные силы притяжения, электрические силы отталкивания и притяжения, магнитные силы (которые, как мы считаем, возникают при движении электрических зарядов), а также молекулярные и атомные силы, которые, согласно нашим представлениям, имеют электрическую природу. Пока нам известно очень немногое о ядерных силах.

Поскольку в основе всего нашего подхода к изучению сил и движения лежит принцип «Действие равно противодействию», очень важно понять его смысл.

Смысл принципа «действие равно противодействию».

Вы не можете толкнуть меня, не почувствовав сами ответного толчка. Предположим, что мы взялись за руки и вы толкаете меня с силой 100 ньютон в направлении на восток (фиг. 208, а). Автоматически я должен толкнуть вас с силой 100 ньютон в направлении на запад (фиг. 208, б). Не может быть одной силы без наличия второй. Попытка произвести толчок приводит либо к появлению обеих сил, либо обе отсутствуют.

Если мы совершаем равномерное или ускоренное движение, то силы по-прежнему будут равны и противоположно направлены.

Если вы стоите на роликовых коньках, а я, не отрывая рук, вас все время толкаю, то вы приобретете ускорение. Чтобы не отстать, мне, толкая вас, придется бежать все быстрее и быстрее. Но при этом вы по-прежнему будете действовать на меня с такой же силой, с какой я действую на вас, независимо от нашего движения. Обе эти силы равны и противоположно направлены, но это значит, что вообще нет результирующей силы. Мое усилие — это сила, приложенная к вам, и вы чувствуете ее. Сам факт, что при этом вы тоже толкаете меня, не есть действие силы, приложенной к вам. Из двух сил на вас действует только мое усилие. Если это усилие не уравновешивается другими внешними силами, которые также действуют на вас, то вы будете двигаться с ускорением[135].

Парадокс с телегой и лошадью.

Предположим, что лошадь везет телегу. Тогда телега тянет назад лошадь с такой же точно силой, с какой лошадь тянет телегу вперед (фиг. 209).

Фиг. 209. Задача о лошади и телеге.

Но как же они вообще движутся? Если вас мучает этот вопрос, прочтите приведенные ниже рассуждения; в противном случае их можно без большого ущерба опустить.

Недоумение возникает в связи с тем, что не всегда дают себе труд внимательно разобраться в том, какая сила на что действует. Предположим, что лошадь тянет телегу вперед с силой 100 ньютон. Эта сила действует только на телегу, стремясь придать ей ускорение. Сам факт, что лошадь прилагает силу к телеге, не означает, что сила приложена к лошади. К лошади приложена сила 100 ньютон, с которой телега тянет лошадь назад; эта сила приложена только к лошади. Каждая из этих двух сил действует только на одно тело — на то, которое эта сила тянет, стремясь придать ему ускорение, но силу развивает другое тело. Лошадь развивает силу 100 ньютон в одном направлении, эта сила действует на телегу. Телега развивает силу 100 ньютон в противоположном направлении, эта сила действует на лошадь. Телега. На телегу действуют и другие силы: трение о землю и сопротивление воздуха. Если обе эти силы трения, приложенные к телеге, как раз уравновешивают силу тяги лошади, то результирующая сила, приложенная к телеге, равна нулю и телега будет оставаться в состоянии покоя или двигаться с постоянной скоростью. В этом случае. Сила тяги лошади — Сопротивление трения = Нуль. Следовательно, ускорение отсутствует. Если сила тяги лошади превышает сопротивление трения, то. Бóльшая сила тяги лошади — Трение = Результирующая сила, направленная вперед (которая сообщает телеге ускорение). Лошадь. В то же самое время телега тянет лошадь назад, и, чтобы двигаться вперед, лошадь должна отталкивать дорогу назад, заставляя тем самым дорогу толкать ее вперед (еще одна пара равных и противоположно направленных сил). Отталкиваясь от дороги, лошадь испытывает со стороны дороги действие силы, толкающей ее вперед. Если. Сила, с которой дорога толкает лошадь вперед — Сила тяги со стороны телеги — Сопротивление воздуха, испытываемое лошадью = Нуль, То лошадь движется с постоянной скоростью. Если же лошадь отталкивается от дороги сильнее, так что. Бóльшая сила, с которой дорога толкает лошадь вперед — Сила тяги со стороны телеги — Сопротивление воздуха = Результирующая сила, направленная вперед (которая действует на лошадь), То лошадь будет двигаться с ускорением. «Хорошо, — можете возразить вы, — но если рассматривать лошадь и телегу вместе, то почему обе силы (+100 ньютон и —100 ньютон) не уничтожают взаимно друг друга?» Разумеется, так оно и есть. Обе силы взаимно уничтожаются и способствуют движению вперед лошади и телеги не больше, чем усилия человека, тянущего себя одной рукой за другую, помогают ему бежать. Система (лошадь + телега) испытывает направленное вперед усилие со стороны дороги, действующей на лошадь, и сопротивление сил трения. Движение системы зависит от того, что больше. На каждое тело (лошадь), (телега), (лошадь + телега) действует несколько сил. Третий закон Ньютона не говорит о том, являются ли две основные силы, действующие на любой из этих объектов, равными и противоположно направленными. Он требует, чтобы силы взаимодействия для каждой пары тел на фиг. 210 были равны и противоположно направлены.

Фиг. 210. Расположение сил в задаче о лошади и телеге.

Для каждой пары тел мы имеем равные и противоположно направленные силы. Сила, с которой лошадь тянет телегу, +F и Сила, с которой телега тянет лошадь, — F равны и противоположны. Другие силы, Действующие в горизонтальной плоскости: Сила, с которой дорога толкает лошадь, +G и Сила, с которой лошадь толкает дорогу, — G равны и противоположны; Сумма сил трения, приложенных к телеге, +H и Сумма сил, действующих на дорогу и воздух со стороны телеги, — Н равны и противоположны; Сила сопротивления воздуха, приложенная к лошади, +J и Сила, действующая на воздух со стороны лошади, — J равны и противоположны; Действующие в вертикальной плоскости: Сила притяжения лошади Землей, +W и Сила притяжения Земли лошадью, — W равны и противоположны. Такая же пара сил определяет взаимодействие телега — Земля. Но каково соотношение между силами F и G или F и Н, это совсем другой вопрос, который не имеет ничего общего с третьим законом Ньютона. (В то же время, складывая все силы, действующие на одно тело, например силы F и Н, которые действуют на телегу, можно с помощью второго закона Ньютона предсказать ускорение тела.).

«Действие равно противодействию» — почти аксиома.

При построении небесной и земной механики Ньютону пришлось иметь дело с притяжением Земли, приложенным к Луне, и с притяжением Луны, действующим на Земле. Если бы мы не могли утверждать, что подобные силы равны и противоположно направлены, то развитие механики сильно осложнилось бы, а то и вовсе стало бы невозможным, даже, пожалуй, лишенным смысла.

Дело в том, что это свойство сил лежит в основе нашего способа рассмотрения сил в механике. Взвешиваясь, вы фактически измеряете силу давления ваших ступней на площадку весов. Но вы стремитесь измерить силу притяжения вашего тела Землей, и если вы находитесь в состоянии равновесия, то сила земного притяжения уравновешивается реакцией площадки весов. Итак, мы хотим измерить силу земного притяжения W (фиг. 211).

Фиг. 211. Опыт со взвешиванием в ускоренно движущемся лифте.

_{Слева — лифт неподвижен; справа — лифт движется с ускорением.}

Мы предполагаем (первый закон Ньютона), что в состоянии равновесия W = —F₁, где F₁ — реакция площадки весов. Далее (третий закон Ньютона), сила F₁ равна и противоположна силе F₂ давления тела на площадку весов, и весы измеряют силу F₂. Третий закон Ньютона ничего не говорит о соотношении между силой W и любой из сил F₁ и F₂. Он говорит только о том, что F₁ и F₂ равны и противоположны друг другу, (Разумеется, самой силе W отвечает равная и противоположная сила реакции, направленная вверх, — притяжение, которое испытывает огромная Земля со стороны вашего тела.).

Если вся эта система тел движется ускоренно вверх (как в лифте в начале подъема), то сила F₁ должна быть больше силы W, так что результирующая сила [F₁—W] будет придавать ускорение вверх и вашему телу в соответствии с соотношением F = M∙a; но сила F₂ по-прежнему будет равна силе F₁ и противоположна ей по направлению. В этом случае весы измерят F₂ (или F₁), но не W.

Демонстрация действия и противодействия.

Если равенство действия и противодействия кажется очевидным[136] проявлением симметрии, вы можете рассматривать его как тривиальный факт, своего рода 2 + 2 = 4, и вывести отсюда закон сохранения количества движения. Но большинство ученых считает такой подход чрезмерно наивным и полагает, что равенство действия и противодействия нельзя доказать, не измеряя количества движения.

ОБОДРЯЮЩИЕ ОПЫТЫ. Можно предложить несколько опытов, которые если и не доказывают равенства действия и противодействия, то во всяком случае иллюстрируют этот принцип. Опыты, изображенные схематически на фиг. 213 и 214, кажутся на первый взгляд удачными, но их можно истолковать как проверку самих пружин, проверку, которая ничего не доказывает, если только мы не примем в качестве допущения то, что стремимся доказать.

Фиг. 213. Попытки продемонстрировать принцип «действие равно противодействию».

_{Показания пружинных динамометров а и b одинаковы, даже если А и В (либо один из них) стоят на роликовых коньках и движутся с ускорением. Динамометр а показывает силу человека A, а динамометр b — силу человека В. Но откуда динамометры знают, чью силу они измеряют?}

Опыт 6. Пожалуй, лучшим из этих опытов следует считать тот, где меньше всего деталей, запутывающих рассмотрение. На фиг. 214 показан опыт с кольцом из пружинной стали, который демонстрирует силы, возникающие при деформации кольца. Соображения симметрии не позволяют нам приписать деформацию кольца действию усилия, приложенного именно с одного конца, а не с другого, а заставляют поверить в то, что тянущие силы равны и противоположно направлены. Кольцо деформируется в один и тот же симметричный овал независимо от того, действует ли на него стена или люди, покоятся ли они или движутся любым образом. (В лучшем случае эти опыты приносят нам успокоение. В худшем случае — это надувательство, цель которого заставить нас думать.) Мысль о том, что этот опыт может дать какое-то подтверждение третьего закона Ньютона, все же соблазнительна. Представим себе, что кольцо из пружины становится все тоньше и тоньше, пока его масса не окажется практически равной нулю. В таком случае даже при движении с ускорением на кольцо не должна действовать результирующая сила (первый закон Ньютона). Поэтому обе действующие на кольцо силы должны быть равны и противоположно направлены. Означает ли это, что третий закон Ньютона доказан? Отнюдь нет. Это совсем не те силы, равенство которых мы хотим доказать, а силы, приложенные со стороны разных тел к одному и тому же телу! Мы же хотим узнать, равно ли противодействие кольца, приложенное к одному из тел, силе, приложенной к кольцу со стороны этого тела, и направлено ли оно противоположнотянущей силе. Ситуация, описываемая третьим законом Ньютона, характерна для каждого конца нашего кольца. Другими словами, дело обстоит еще хуже! Этот результат предостерегает от той опасности, которую таит в себе чересчур смелый подход к доказательствам.

Фиг. 214. Действие и противодействие?

_{Симметрия кольца дает основание считать, что силы F1 и F2 равны и противоположны друг другу. Это верно, но это на самом деле не те силы, о которых говорится в третьем законе Ньютона.}

Всеобщий закон сохранения количества движения.

Отныне мы будем рассматривать принцип действие равно противодействию как рабочее правило и, следовательно, будем предполагать, что количество движения всегда сохраняется (если только новые экспериментальные данные не заставят нас изменить свою точку зрения). Кажущиеся противоречия, вроде таинственного «возникновения» количества движения, когда стоящий неподвижно человек вдруг переходит на быструю ходьбу, нас не смущают, мы считаем, что ступни человека придают огромной Земле такое же количество движения, направленное в противоположную сторону, назад. Опыт с подвижной «дорогой» (небольшой платформой на роликах) убеждает нас в правильности этого вывода. Когда человек, стоящий на платформе, делает шаг вперед, платформа начинает двигаться назад (фиг. 215).

Фиг. 215. Сохранение количества движения.

_{А — человек начинает бежать по подвижной «дороге», платформе на роликах; б — игрушечный поезд движется по ободу колеса, когда поезд трогается по рельсам, колесо испытывает отдачу в обратном направлении.}

Такой же результат дает опыт с игрушечным электрическим поездом, движущимся по кольцевому рельсовому пути. Путь уложен на велосипедном колесе с вертикальной осью и свободно вращается. Как только поезд трогается, рельсы начинают двигаться в обратном направлении.

Мы придерживаемся той точки зрения, что закон сохранения количества движения справедлив для молекул, атомов и даже для составных частей атомов. Мы считаем, что этот закон применим ко всем соударениям молекул, в том числе к неупругим столкновениям, когда один атом налетает на другой и выбивает из него какие-нибудь частицы. Этот принцип оказывается настолько плодотворным, что если бы мы натолкнулись на случай, когда количество движения «исчезает», обращается в «ничто» (скажем, при атомном превращении), то могли поддаться искушению придумать какую-то крошечную невидимую частицу, которая уносит недостающее количество движения. Нам пришлось бы выдумать особого рода «демона», встав, вообще говоря, на опасный путь. Антинаучный подход? Да, если вы не найдете иных обоснований для введения демона или применений его!

Мы действительно сталкиваемся с необъяснимым исчезновением количества движения, когда радиоактивный атом выбрасывает электрон — бета-частицу.

В ядерной физике нам пришлось прибегнуть к помощи такого демона — крошечного «нейтрино», частицы, не обладающей ни массой, ни электрическим зарядом, по которым можно было бы обнаружить ее присутствие. В течение многих лет нейтрино оставалось невидимым, и многие действительно считали, что его невозможно обнаружить. Но тогда честно ли было утверждать, что нейтрино существует? Возможно, мы поступали неразумно, рассматривая нейтрино как реально существующую частицу, но как способ устранения незначительных и в то же время существенных нарушений закона сохранения количества движения гипотеза нейтрино была, по-видимому, ничуть не хуже любого другого способа выражения опытной истины. Гипотеза содействовала ясности мышления, и мы поручили нейтрино сразу несколько дел: помимо количества движения, нейтрино уносило некоторую порцию энергии и момент количества движения, восстанавливая баланс и этих величин. Это сделало его более приемлемым: право же, однорукому демону не место в науке! Недавно замечательные поиски физиков-экспериментаторов увенчались успехом: нейтрино было обнаружено. Наш демон занял подобающее место в принятой нами системе классификации научных фактов.

Проработайте предлагаемые задачи, заполняя пропуски, оставленные для ответов.

Задачи на сохранение количества движения. Вычислите полное количество движения в заданном направлении до столкновения, затем вычислите полное количество движения после столкновения. Обозначьте неизвестную вам скорость или силу через X, затем приравняйте суммарное количество движения до столкновения и после столкновения (т. е. предположите, что количество движения сохраняется) и решите уравнение относительно X. Задача 5. Автомобиль массой 1500 кг, движущийся со скоростью 6 м/сек, догоняет грузовик массой 2000 кг, движущийся со скоростью 3 м/сек в том же направлении, и врезается в грузовик. Найдите скорость, с которой будут двигаться обе машины вместе. Количество движения всегда сохраняется (т. е. суммарное количество движения не меняется при любом столкновении). Начальное количество движения легкового автомобиля = = (___)∙(___)∙____ _{(единицы).} Начальное количество движения грузовика = = (___)∙(___)∙____ _{(единицы).} После столкновения суммарная масса равна ___ кг. Обозначим скорость обеих машин, движущихся вместе после столкновения, через X м/сек. Следовательно, количество движения обеих соединившихся машин, выраженное через X, равно (___)∙____ _{(единицы).} Поскольку суммарное количество движения в направлении вперед одинаково до и после столкновения, то ___ + ___ = ___ м/сек. Следовательно, решая уравнение относительно X, получаем: Конечная скорость Х = ___ м/сек. Задача 6. Автомобиль массой 1500 кг, движущийся со скоростью 6 м/сек, сталкивается «в лоб» с автомобилем массой 2000 кг, движущимся со скоростью 3 м/сек. Найдите скорость обоих автомобилей после столкновения. Суммарное количество движения до столкновения = количеству движения автомобиля 1 + количество движения автомобиля 2 = ___ + ___ ∙ ___ _{(единицы).} (Количество движения — вектор, обращайте внимание на знаки плюс и минус.). Обозначив конечную скорость через X, получим: Количество движения обоих автомобилей = ___ ∙ ___ _{(единицы).} Исходя из предположения, что количество движения сохраняется, получим уравнение ___ = ___ Следовательно, конечная скорость X равна ___ м/сек. Задача 7. На грузовик массой 2000 кг, движущийся в северном направлении со скоростью 30 км/час по обледенелой дороге, налетает легковой автомобиль массой 1000 кг, движущийся по боковой улице в восточном направлении со скоростью 45 км/час. Вычислите скорость обеих машин, указав ее величину и направление. Примечание. Не переводите километры в метры. Для закона сохранения количества движения это не имеет значения, поскольку ________________ Количество движения грузовика = ___∙___ _{(единицы)} к ___ _{(направление).} Количество движения легкового автомобиля = ___∙___ = _{(единицы)} к ___ _{(направление).} Сумма[137] обоих количеств движения представляет собой количество движения, величина которого ___∙___ _{(единицы)}, а направление определяется tgA = ___, где угол А — это угол между суммой и северным направлением[138]. На рисунке tgA равен h/b. Если конечная скорость равна V км/час, то. Конечное количество движения = ___∙___ _{(единицы).} Если количество движения (вектор) сохраняется, то V должно быть равно ___ км/час. Задача 8. Орудие массой 100 кг, стоящее неподвижно на абсолютно гладкой поверхности, выпускает горизонтально снаряд массой 1 кг со скоростью 300 м/сек. Найдите скорость отдачи орудия. Снаряд при вылете из орудия обладает количеством движения ___∙___ _{(единицы).} Количество движения орудия должно быть. ___________________________________ _{(такое же? равное и противоположно направленное? большее? меньшее?).} Следовательно, скорость орудия должна быть равна ___ м/сек. Задачи на изменение количества движения. Задача 9. Человек хочет оторвать от прочной веревки длиной 1 м 20 см кусок длиной 30 см. Он повреждает веревку в том месте, где намерен ее разорвать, затем подвешивает к нижнему концу кусок железа массой 1 кг и привязывает верхний конец веревки к гвоздю, вбитому в стену (фиг. 216).

Фиг. 216. К задаче 9.

Потом человек поднимает кусок железа на высоту гвоздя (при этом веревка свободно свешивается, образуя петлю) и отпускает его. Груз свободно падает, пролетая 1 м 20 см, и туго натягивает веревку резким рывком. Судя по раздавшемуся при этом звуку, рывок длится примерно 1/100 сек. Веревка разрывается. Оцените величину разрывающей силы. Задача 10. А) Молоток массой 1 кг, движущийся со скоростью 3 м/сек, ударяет по гвоздю. Гвоздь вошел в твердое дерево и продвигается на очень небольшое расстояние. Молоток отскакивает с малой скоростью. Электронный прибор для измерения промежутков времени показывает, что соприкосновение молотка с гвоздем длится примерно 2/100 сек. Оцените среднее значение силы, действующей на гвоздь во время соприкосновения с молотком. Б) Представьте себе, что молоток ударяет по пружинящему гвоздю и соприкосновение также длится 2/100 сек, но молоток отскакивает от гвоздя почти с той же скоростью, с какой он двигался по направлению к гвоздю, близкой к 3 м/сек. Оцените среднее значение силы, действующей на гвоздь во время соприкосновения с молотком. (Примечание. Если вы получите в ответе нуль, то, очевидно, сделали что-нибудь неправильно. Попробуйте для контроля вставить палец между молотком и гвоздем.). Задача 11. Реактивный двигатель установлен неподвижно в аэродинамической трубе, в которой воздух движется со скоростью 100 м/сек. Двигатель забирает 18 кг воздуха в секунду; воздух входит в двигатель со скоростью 100 м/сек. После сжатия и нагрева воздух выбрасывается со скоростью 500 м/сек. А) Чему равна сила тяги двигателя в ньютонах? Б) Чему равна сила тяги двигателя в кГ? В) Предположим, что двигатель, о котором идет речь, установлен на самолете, летящем со скоростью 100 м/сек (~=360 км/час), и забирает воздух с такой же скоростью. Сила тяги будет примерно такая же, и теперь она толкает самолет вперед со скоростью 100 м/сек (с учетом действия остальных двигателей). Из следующей главы вы узнаете, что мощность такого двигателя можно рассчитать, помножив силу тяги на скорость. 1) Оцените мощность этого двигателя в «плохих» единицах, кГ∙м/сек. 2) Оцените мощность двигателя в «лошадиных» силах, принимая во внимание, что 1 л. с. = 90 кГ∙м/сек. Задача 12. Современные зубные врачи пользуются для удаления трудноизвлекаемой пломбы устройством, показанным на фиг. 217.

Фиг. 217. К задаче 12.

Металлический груз В свободно скользит по гладкому металлическому стержню R. В верхней части стержня имеется крючок, которым зацепляют за пломбу. В нижней части стержня сделан металлический упор, чтобы груз не слетал со стержня. Врач зацепляет крючком за пломбу, поднимает груз кверху и затем отпускает его. Предположим, что груз в таком приспособлении представляет собой кусок металла массой 1 кг и что максимальная скорость этого груза в конце его падения равна 0,5 м/сек. А) Предположим, что челюсти пациента плотно сжаты и груз останавливается в течение 1/1000 сек. Оцените силу рывка. Б) Предположим, что пациент слегка наклоняет голову, удлиняя время торможения груза до 1/100 сек. Оцените силу рывка в атом случае. В) Предположим, что приспособление снабжено резиновой прокладкой W, которую можно насадить на стержень так, чтобы она легла на упор. К чему приведет наличие такой прокладки? Задача 13. Пловец, масса которого 100 кг, способен оттолкнуться от края бассейна с силой 250 кГ. А) Какую скорость можно приобрести при таком толчке за 1/10 сек? Б) Почему бы не порекомендовать пловцу отталкиваться подобным образом в течение 3/10 сек? Задача 14. Вор, масса которого (вместе с добычей) равна 125 кг, убегая, налетает на спящую собаку. Столкновение длится примерно 0,1 сек, в результате чего скорость бегущего сократилась на 1,5 м/сек. Какую силу испытывает нога человека? Задача 15. Отряд завоевателей, штурмующих средневековую крепость, атакует главные ворота с помощью тарана — бревна, масса которого равна 400 кг. Бревно держат на плечах двенадцать человек, которые устремляются в сторону ворот со скоростью 3 м/сек, направив бревно торцом к воротам. Как только таран достигает ворот, нападающие, остановившись, отпускают таран, и он скользит по нашитой на их плечах гладкой кожаной накладке. Таран ломает ворота, отталкивая их на 15 см, прежде чем останавливается. А) Подсчитайте силу, с которой таран действует на ворота во время столкновения. Б) Один из защитников крепости заявляет: «Если бы моим людям позволили надавить на ворота изнутри, они смогли бы сохранить их. Каждый из них может приложить силу 50 кГ». Сколько потребуется защитников крепости, чтобы спасти ворота? В) Один из нападающих забыл отпустить таран и зацепился за него. Что произойдет с ним? Проделайте приблизительный расчет. Задачи на сохранение количества движения. Задача 16. Человек массой 100 кг, движущийся на коньках по гладкому льду со скоростью 10 м/сек, сталкивается лицом к лицу с другим человеком массой 100 кг, стоящим неподвижно. Оба человека, сцепившись, движутся вместе. А) С какой скоростью они будут двигаться? Б) Предположим, у обоих имеются крупные магниты, которые с большой силой притягивают их друг к другу, когда конькобежец приближается к человеку, стоящему неподвижно. Как это повлияет на скорости обоих людей непосредственно перед столкновением? В) Предположим, что магниты создают такое же отталкивание. Как оно повлияет на конечную скорость обоих людей? Почему? Задача 17. Человек массой 100 кг стоит на одном конце длинной плоскодонной лодки, покоящейся на озере. Внезапно он начинает бежать по дну лодки к противоположному концу. Масса лодки (+ количество воды, которая движется вместе с ней) равна 50 кг. Наблюдатель на берегу отмечает, что человек бежит мимо него со скоростью 3 м/сек. А) Какую скорость лодки зафиксирует этот наблюдатель? Б) С какой скоростью бежит человек по лодке, по его собственному мнению? Задача 18. Средневековая пушка массой 200 кг устанавливается у края плоской крыши высокой башни. Пушка выпускает ядро массой 5 кг горизонтально. Ядро опускается на расстоянии 300 м от основания башни. Пушка, колеса которой вращаются без трения, тоже движется и падает на землю (фиг. 218).

Фиг. 218. К задаче 18.

А) На каком расстоянии по горизонтали упадет пушка на землю от того места, где она отделилась от крыши? (Примечание. Никаких других данных нет.). Б) Почему размеры крыши башни не входят в расчет? Задача 19. (Примечание. Приведенная ниже задача кажется довольно глупой, но ее полезно разобрать, имея в виду изучение столкновений молекул.). Белка массой 1/2 кг сидит на абсолютно гладкой, обледенелой, горизонтальной, плоской крыше. Человек бросает в белку камень массой 1/10 кг, камень летит горизонтально со скоростью 6 м/сек. 1) Белка хватает камень и удерживает его. Вычислите: А) движущуюся массу до и после захвата камня; Б) количество движения до захвата камня; В) скорость отдачи белки (вместе с ее грузом); при этом следует исходить из предположения о сохранении количества движения. 8) Белка хватает камень, моментально замечает, что это не орех, и с отвращением бросает его обратно в человека с горизонтальной скоростью 2 м/сек по отношению к земле. Вычислите скорость отдачи, которую испытывает белка. 3) Объясните, почему в вопросе 2 ответ не изменится, если белка задержит на несколько секунд камень, прежде чем бросить его обратно. Задача 20. Человек массой 100 кг прыгает с пристани с горизонтальной скоростью 4 м/сек в шлюпку массой 50 кг (в эти 50 кг входит то количество воды, которое движется вместе с лодкой). До прыжка человека лодка покоится (фиг. 219).

Фиг. 219. К задаче 20.

А) Вычислите скорость, с которой лодка вместе с человеком отходит от пристани. Б) Какое расстояние пройдет лодка за 3 сек от того момента, когда в нее прыгнул человек, если пренебречь сопротивлением воды и воздуха? Задача 21. А) Мальчик массой 50 кг стоит на плоту массой 500 кг. Плот неподвижен. Он может плыть по поверхности, озера с очень малым трением. Мальчик сначала стоит неподвижно, а потом идет с постоянной скоростью 1 м/сек (по отношению к берегу) и продолжает идти в течение 20 сек. На какое расстояние переместится за это время плот? Б) Предположим, что мальчик идет вдвое быстрее в течение вдвое меньшего промежутка времени. На какое расстояние переместится плот? В) Предположим, что мальчик идет со скоростью v м/сек в течение t сек. Масса мальчика m кг, а плота М кг. Найдите расстояние, на которое перемещается плот, выразив его через v, t, m, M. В) Рассмотрите ответы на первые два вопроса, проанализировав третий. Задача 22. В настоящей главе описан метод измерения скорости полета ружейной пули (стр. 321). Вы можете сами проделать аналогичное измерение в лаборатории. Для этого потребуется движущаяся по рельсе без трения тележка, на которую положен большой деревянный брусок. Вместо фотоэлемента воспользуйтесь секундомером. Опишите измерения, которые вы стали бы проводить; покажите, как вы будете вычислять скорость пули по результатам измерений. Задачи на количество движения и силу. Задача 23. Что такое базука? Объясните, почему держащий ее человек не испытывает отдачи при стрельбе. Задача 24. Два велосипедиста, Альберт и Бертрам, едут рядом по горизонтальному участку дороги со скоростью 3 м/сек, не работая педалями. Альберт — взрослый человек, его масса 80 кг, а Бертрам — мальчик, и его масса 50 кг. В последующих вычислениях трением можно пренебречь. Альберт дает Бертраму толчок в направлении вперед, после чего скорость Бертрама оказывается 6 м/сек. А) Какова будет после этого скорость Альберта? Б) Бертрам замечает, что толчок длится 2 сек. Каково среднее значение силы, с которой Альберт его толкнул? Задача 25. Массивная металлическая болванка покоится на абсолютно гладкой поверхности стола. 1) Шар из слоновой кости массой 1 кг бросают горизонтально в болванку. Происходит лобовое столкновение, и шар отскакивает. 2) Опыт повторяют с куском глины массой 1 кг, его бросают с той же скоростью. После лобового столкновения кусок глины падает и остается неподвижным. 3) С той же скоростью бросают кусок липкой глины массой 1 кг. При лобовом столкновении глина прилипает к металлической болванке и движется вместе с ней. А) В каком случае (случаях) металлическая болванка приобретает наибольшую скорость: в 1, 2 или 3? Б) В каком случае (случаях) металлическая болванка приобретает наименьшую скорость? В) Объясните, как вы станете доказывать правильность ваших ответов на вопросы (а) и (б). Задача 26. Фирма, изготовляющая пулеметы, пишет в своей рекламе: «Наш пулемет настолько эффективен, что способен держаться в воздухе под действием направленного вниз непрерывного потока выпускаемых пуль». (фиг. 220).

Фиг. 220. К задаче 26.

Воспользовавшись приведенными ниже данными и указаниями, выясните, с какой скоростью должен стрелять пулемет. Масса пулемета 25 кг. Масса каждой стальной пули составляет 1/10 кг, скорость пули при вылете 1300 м/сек. При взрыве пуля выталкивается вниз по стволу, и одновременно развивается равная и противоположно направленная сила отдачи, приложенная к пулемету. (Сила эта не постоянная, а прерывистая, толчок возникает каждый раз при вылете пули. Однако, если такие толчки следуют один за другим с очень большой частотой, мы можем мысленно сгладить их и получить непрерывно действующую силу. Именно этой «сглаженной» силой здесь и пользуются.). Предположим, скорость стрельбы составляет X пуль в секунду. А) Вычислите количество движения, уносимое пулями за промежуток времени 10 сек. Б) Вычислите силу отдачи. В) Предполагая, что этой силы отдачи как раз достаточно, чтобы поддерживать пулемет висящим в воздухе, вычислите скорость стрельбы. Задача 27. Второй закон Ньютона в случае переменной массы. По горизонтальному участку пути движется товарный поезд. Случай I. Поезд движется равномерно с постоянной скоростью. Случай II. Поезд движется равноускоренно по прямому горизонтальному участку пути. Случай III. Поезд, который первоначально покоился, внезапно трогается. Случай IV. Поезд проходит с постоянной скоростью под неподвижным желобом; по желобу в открытые вагоны ссыпают уголь (падающий вертикально), который увеличивает массу поезда, при этом машинист принимает все меры, чтобы при загрузке скорость поезда поддерживалась постоянной. Для каждого из четырех перечисленных случаев ответьте на следующие вопросы: А) Изменяется ли количество движения поезда? (Дайте четкое обоснование вашему ответу.). Б) Если да, то какое внешнее тело или источник обусловливает появление силы, необходимой для этого изменения? В) Какие силы действуют на уголь в случае IV, когда он достигает вагона, попадает в вагон и опускается на дно? В свете рассмотренной только что задачи соотношение F = Δ(Mv)/Δt представляется более удачным вариантом формулировки второго закона Ньютона, чем соотношение F = M∙a. Почему? Задача 28. На плоту, покоящемся на поверхности озера, стоит мальчик. Мальчик начинает шагать по плоту, описывая большой круг, и продолжает двигаться по кругу с постоянной скоростью. (Сопротивлением воды можно пренебречь.). Как будет вести себя плот? (Попытайтесь сообразить, что произойдет. Ответ будет подсказан в гл. 22[139])

Глава 9. Течение жидкостей и газов.

«Причудлив парадокса путь — С ним здравый смысл ты позабудь.». У. С. Гильберт

Как может летящий мяч «завернуть» в сторону? Почему поток воздуха в пульверизаторе засасывает жидкость вверх, а не гонит ее вниз? Эти и множество других причуд в поведении ветра и текущей воды при ближайшем рассмотрении оказываются примерами ускоренного движения, подчиняющегося второму закону Ньютона. Когда подталкивают автомобиль и он начинает двигаться быстрее, это никого не удивляет. Можно было бы ожидать, что ускоренное движение жидкости будет приводить к столь же привычным результатам. Однако же на самом деле мы сталкиваемся тут с рядом неожиданных эффектов. Эти эффекты были исследованы математиком Бернулли и потому получили его имя. Некоторые из них используются в различных областях физики, другие помогают понять сущность важных явлений. Мы рассмотрим несколько таких эффектов и покажем, что они возникают как следствие обычных законов механики.

ДЕМОНСТРАЦИОННЫЕ ОПЫТЫ. Опыты 1 и 2 демонстрируют два «парадокса Бернулли». Опыт 1. Поток воздуха в стеклянной воронке притягивает легкий шарик (фиг. 221). Поток воздуха, направленный вниз, втягивает, несмотря на силу тяжести, шарик в воронку и удерживает его там. За счет чего происходит этот подъем, как будто противоречащий здравому смыслу? В горловине поток воздуха, сжатый в узком промежутке, должен двигаться быстрее, и, казалось, можно было ожидать, что он вытолкнет шарик, а между тем шарик втягивается в воронку.

Фиг. 221. Струя воздуха поднимает шарик и удерживает его в воронке.

Опыт 2. Струя воздуха может поддерживать легкий шарик (фиг. 222). Если струю повернуть, шарик удерживается около нее и не падает. Струя воздуха ударяет в шарик, и мы снова ждем, что поток должен оттолкнуть шарик, однако этого не происходит.

Фиг. 222. Струя воздуха поддерживает шарик.

Ламинарное и турбулентное течения.

Для объяснения этих парадоксов надо изучить свойства ламинарного спокойного течения. Когда по трубке течет установившийся поток жидкости или газа, отдельные части потока движутся вдоль плавных линий тока, форма которых определяется стенками трубки (фиг. 223 и 224).

При более быстром потоке линии тока около препятствия в трубке могут закручиваться в виде вихрей или водоворотов, а при еще большей скорости даже в прямой трубке линии тока исчезают в беспорядке бурного турбулентного движения.

Фиг. 223. Линии тока около препятствия.

_{А — ветер дует над неподвижным автомобилем; б — река течет мимо неподвижной рыбы.}

Фиг. 224. Линии тока жидкости в трубке.

Опыт 3. Линии тока в медленно текущей воде можно продемонстрировать с помощью чернил (фиг. 225) или с помощью кристаллов красителя (перманганата калия), которые окрашивают проходящий мимо них поток воды (фиг. 226)[140].

Фиг. 223. Демонстрация линий тока.

_{Из узкой щели в бачке вода стекает между двумя стеклянными пластинками. Линии тока обозначаются чернилами, вытекающими из точечных отверстий вдоль щели. На среднем рисунке линии тока искажены препятствием, имеющим форму поперечного сечения крыла самолета.}

Фиг. 226. «Родник и сток» в озере.

_{Вода течет в узком пространстве, ограниченном крышкой стола и стеклянным листом. Небольшой постоянный поток подается через одну трубку и отводится через другую. Кристаллы красителя, рассыпанные на столе, окрашивают линии тока.}

Опыт 4. Если двигать ложку в тарелке с супом или палец в тазу с водой, на поверхность которой посыпан порошок, то за ними остаются «вихри» (водовороты). Струйка красителя, вводимая в текущую по трубе воду, при медленном течении следует вдоль линии тока, но если скорость потока превысит критическую, она начинает колебаться, разбиваться на вихри и растворяться в общем бурном потоке, так что окраска распространяется по всей воде (фиг. 227).

Фиг. 227. Ламинарное и турбулентное течения.

_{А — при медленном течении струйка чернил движется вдоль линий тока; б — при быстром течении появляется турбулентность; в — ложка, быстро движущаяся в тарелке с супом, оставляет за собой «водовороты».}

Теперь рассмотрим движение твердого предмета, например рыбы или самолета, в покоящейся жидкой или газообразной среде. На пути движущегося предмета среда должна расступаться. Такие перемещения трудно представить себе, поэтому мы заставим двигаться среду в виде постоянного потока, а предмет неподвижно закрепим, подобно модели в аэродинамической трубе. Тогда среда будет двигаться вдоль линий тока, отклоняющихся вблизи предмета. Поток, заключенный между двумя выделенными линиями тока, должен все время оставаться между ними. Когда линии тока изгибаются и поворачиваются, сближаются или расходятся, поток должен течь между ними, как река между берегами. (Поскольку движение происходит именно вдоль этих линий тока, то поток не может проходить поперек них.) Там, где трубка сужается и линии тока приближаются друг к другу, поток должен двигаться быстрее, потому что одной и той же массе вещества приходится каждую секунду проскакивать через более узкое пространство (фиг. 228). И вообще там, где линии тока сближаются, скорость течения возрастает.

Фиг. 228. Сгущение линий тока указывает на повышение скорости.

_{В том месте, где трубка сужается, сгущая линии тока, должно происходить увеличение скорости. Стрелки показывают величину скорости вдоль линии тока.}

Типы течения.

Когда жидкость обтекает неподвижный предмет, картина линий тока и характер сил, действующих на предмет, зависят от скорости потока. Обсудим некоторые типы течения жидкости вокруг неподвижного предмета.

1. Течение идеальной жидкости без внутреннего трения. Если бы жидкость была лишена трения (этот воображаемый случай был бы крайне неблагоприятен с практической точки зрения), линии тока огибали бы предмет максимально симметрично и плавно продолжались бы позади него (фиг. 229, а). Все слои жидкости двигались бы с одинаковой скоростью, равной общей скорости, если не считать некоторое повышение скорости около предмета, компенсирующее изменение сечения потока. Равнодействующая сил давления на поверхность предмета была бы равна нулю, жидкость, лишенная вязкости, не поднимала бы и не увлекала бы за собой предмет! Хотя такое поведение, по-видимому, противоречит опыту, все же идеальная лишенная вязкости жидкость иногда является полезной абстракцией для изучения распределения линий тока. Однако во всех реальных жидкостях существует внутреннее трение. Жидкость не может скользить вдоль поверхности твердого предмета, она неподвижна на его поверхности (или движется вместе с ним, если предмет движется). Полированная поверхность твердого тела в молекулярном масштабе оказывается слишком грубой и захватывает даже быстротекущую жидкость, которая образует у поверхности неподвижный слой. Поэтому предсказываемое теорией необычное поведение идеальной жидкости (не поднимает и не увлекает за собой предметы) никогда не наблюдается в действительности[141]. Наличие у жидкости внутреннего трения изменяет картину линий тока и распределение скоростей в потоке. В очень медленно движущемся потоке линии тока плавно изгибаются вокруг предмета; в очень быстром потоке позади предмета они образуют сложный шлейф из вихрей. Теперь опишем эти крайние формы и промежуточные между ними стадии для реальной жидкости, обтекающей твердый предмет.

Фиг. 229. Ламинарное течение.

_{А — идеальная жидкость без вязкости, F = 0; б — ламинарное течение в вязкой жидкости, F ~ v; в — турбулентное течение, F ~ v²; г — течение c пограничным слоем.}

2. Очень медленное ламинарное течение. В этом случае характер течения полностью определяется наличием вязкости жидкости. Линии тока имеют точно такой же вид, как и в идеальной жидкости, но скорости распределяются совершенно по-другому. Далеко от предмета, где течение не нарушено, жидкость течет с полной скоростью. На поверхности предмета жидкость неподвижна. По мере удаления от предмета происходит постепенное возрастание скорости от одной линии тока к другой (фиг. 229, б). Распределение линий тока и скоростей определяется внутренним трением жидкости («вязкостью»), которое создает действующую на предмет силу; эта сила изменяется прямо пропорционально скорости течения (F ~ v). 3. Предмет необтекаемой формы в быстром потоке; турбулентное течение. Когда скорость течения увеличивается, трение в жидкости уже не определяет полностью характер процесса, а все более важную роль начинают играть изменения количества движения в большом масштабе. Линии тока, как и раньше, при встрече с предметом расходятся, но за ним они уже полностью не смыкаются, (фиг. 229, в). Позади предмета линии закручиваются и образуют бурлящий ряд вихрей (водоворотов). Образование вихрей создает силу сопротивления, которая намного превосходит небольшое сопротивление, обусловленное внутренним трением жидкости. Эта сила пропорциональна квадрату скорости течения (F ~ v²). Таким образом, предмет необтекаемой формы, быстро движущийся в воздухе, испытывает сопротивление, величина которого в широком интервале скоростей пропорциональна квадрату скорости. (Следовательно, сила, требуемая для поддержания движения, пропорциональна кубу скорости, поэтому удвоение скорости требует увеличения силы в 8 раз — это очень важно учитывать при проектировании кораблей.). Ширина и интенсивность вихревого шлейфа за предметом зависит от формы предмета. Прямоугольный предмет, даже круглый мяч (предмет любой «необтекаемой» формы) создает в потоке большую вихреобразующую поверхность и испытывает большое сопротивление. Закругленный или заостренный нос несколько улучшает дело, но для хорошего обтекания предмет должен иметь длинный конусообразный хвост (см. фиг. 253, стр. 377). Превосходной обтекаемой формой обладают рыбы. 4. Обтекаемый предмет в быстром потоке; пограничный слой. В этом случае линии тока сохраняют примерно такую же форму, как и при медленном течении, хотя распределение линий может стать несимметричным; однако при быстром течении скорости распределяются совершенно по-другому и образуется небольшой вихревой шлейф. Если предмет имеет хорошо обтекаемую форму, то шлейф мал и картина будет в основном ламинарной. Этот случай обычно осуществляется при движении самолетов и кораблей. При этом распределение скоростей вблизи предмета такое же, как и в медленном потоке в вязкой жидкости, но при быстром течении возмущающее действие препятствия не успевает распространиться на большое расстояние. (В некотором смысле жидкость проскакивает мимо препятствия быстрее, нем до нее доходит тормозящая сила.) Поэтому область изменения скорости сжимается в тонкий «пограничный слой», лежащий в непосредственной близости от предмета, а более удаленные части потока движутся почти с той же скоростью, что и в идеальном случае. Внутри пограничного слоя скорость тока в очень узком пространстве изменяется от нуля до полной величины, и силы внутреннего трения в жидкости создают действующую на предмет силу сопротивления (фиг. 229, г). Чем быстрее течение, тем теснее сжимается область переменной скорости, тем тоньше пограничный слой. Вследствие этого сила сопротивления возрастает быстрее скорости. (Детальный анализ дает F ~ v^3/2, или F ~ √(v³).) При больших скоростях трение часто создает еще один эффект. Оно может вызвать круговое движение, например циркуляцию воздуха вокруг крыла самолета; вследствие такого кругового движения линии тока распределяются несимметрично и возникает подъемная сила (фиг. 230).

Фиг. 230. Внутреннее трение создает циркуляцию.

_{А — внутреннее трение создает циркуляцию воздуха вокруг крыла самолета при встрече крыла с ветром; б — внутреннее трение приводит к круговому движению в виде колечка дыма.}

Пограничный слой по направлению к тыльной стороне предмета становится толще, и там, где он кажется прилегающим менее плотно, может происходить образование вихрей. Конструкторы самолетов направляют основные усилия на то, чтобы предотвратить слишком ранний отрыв пограничного слоя с несущих крыльев, потому что из-за этого уменьшается подъемная сила крыла, а сопротивление увеличивается, и самолет теряет способность летать. Даже при хорошей конструкции не удается избавиться от некоторого вихревого потока, создающего заметное сопротивление (F ~ v²), которое надо учитывать наряду с трением в пограничном слое[142]. Однако для расчета суммарного сопротивления нельзя применять простую формулу типа. F = kv + k'v^3/2 + k" v^2. (или соответствующую формулу для подъемной силы), в которой k, k' и k" постоянны для данного тела, потому что при переходе от одного интервала скоростей к другому картина потока меняется, а следовательно, изменяются и величины k. Поэтому применяются более сложные математические методы. При осуществлении полета на практике появляется дальнейшее усложнение, связанное с наличием управляемых подвижных щитков, которые меняют форму движущегося тела. При расчетах полетов или течения жидкости нельзя доверять простым формулам с «постоянными величинами», встречающимся как в этой главе, так и в других книгах. (При чтении книг по этим вопросам прежде всего смотрите на дату их выхода, избегайте книг, изданных более десятка лет назад.).

Парадоксы.

Описанные ниже парадоксы Бернулли возникают при промежуточных скоростях потока, когда течение еще ламинарное, но уже настолько быстрое, что силы трения малы по сравнению с теми перепадами давления, которые возникают при изменениях количества движения, связанных с изменением направления или скорости потока, заключенного между линиями тока. В первом парадоксе с воронкой, которая всасывает шарик, мы имеем дело с быстрым потоком, в котором линии тока сгущаются над шариком, когда он близко подходит к воронке. Можно было бы ожидать, что такой поток будет отталкивать шарик и заставит его упасть. Однако шарик, по-видимому, притягивается к воронке (фиг. 231). Из этого можно сделать вывод, что область быстрого течения, по-видимому, обладает необычными свойствами. Поэтому исследуем связь между давлением и скоростью потока.

Фиг. 231. Парадокс воронки и шарика.

_{Справа — увеличенный разрез, показывающий линии тока в воздухе.}

Начнем с течения жидкости в трубке. В однородной трубке все линии тока параллельны. В идеальной жидкости все линии имеют одну и ту же скорость (фиг. 232); стенки трубки не оказывают никакого сопротивления, и для поддержания раз начавшегося течения не потребуется никакой разности давлений на концах трубки (первый закон Ньютона).

Фиг. 232. Идеальная (не имеющая вязкости) жидкость течет вдоль линии тока.

_{Скорость всех частей жидкости одинакова.}

В реальной жидкости течение быстрее всего в центре, на оси трубки, в соседних слоях оно медленнее, а по мере удаления от центра еще более замедляется; на стенках трубки жидкость остается в покое. Распределение скоростей при ламинарном течении показано на фиг.233. (При более быстром течении с пограничным слоем на стенках поток также имеет наибольшую скорость в центре, но скорость по сечению трубки почти одинакова и резко падает только в пограничном слое.) Исследуйте зависимость между давлением и скоростью в трубке с водой.

Фиг. 233. Ламинарное течение.

_{А — ламинарное течение реальной жидкости в трубке. Стрелки показывают скорость течения в различных участках; б — жидкость, медленно текущую в трубке, «метят» с помощью мгновенно нанесенной поперек потока полоски красителя. Передвижение краски показывает скорости на различных участках.}

ДЕМОНСТРАЦИОННЫЕ ОПЫТЫ. Опыт 5. Течение воды по узким трубкам (фиг. 234). Вода, текущая по трубкам, всегда испытывает некоторое сопротивление, обусловленное внутренним трением жидкости.

Фиг. 234. Медленное течение воды через узкую однородную трубку.

_{А — при удвоении давления скорость течения удваивается. Измерительные трубки, присоединенные к боковым отверстиям, показывают давление текущей воды на стенки трубки;}

_{Б — для измерения давления годится любое устройство (сверху вниз): вертикальная трубка; U-образные трубки со ртутью; внизу показан манометр, содержащий упругую металлическую трубку, соединенную со стрелкой (манометр Бурдона);}

_{В — если такое же давление приложить к трубке удвоенного диаметра, скорость течения увеличится в 16 раз.}

Чтобы вязкость не помешала нашему исследованию парадоксов, рассмотрим сначала ее влияние. Мы используем это рассмотрение впоследствии для иллюстрации движения электрического тока (гл. 32[143]), а перед этим дадим молекулярное объяснение внутреннего трения газов (гл. 30[144]). В опыте, показанном на фиг. 234, применена очень узкая трубка, капилляр, по которой под действием разности давлений на концах трубки медленно (ламинарно) течет жидкость. Устройства для измерения давления обнаруживают постепенный спад давления вдоль трубки. Хотя жидкость движется под действием перепада давлений, она не ускоряется (скорость потока вдоль трубки одинакова), поэтому должны существовать иные силы, чтобы суммарная сила, действующая на любую часть жидкости, была равна нулю. Эти силы создаются внутренним трением жидкости. Стенки трубки вследствие внутреннего трения тормозят движение ближайшего к ним слоя жидкости, и это торможение передается от одного слоя к другому по всему потоку жидкости от стенок трубки до ее оси, где течение происходит быстрее всего.

Чтобы увеличить скорость установившегося потока в трубке, надо изменить давление. Для поддержания более быстрого течения потребуется большее давление. Действительно, опыт показывает, что для данной трубки скорость течения прямо пропорциональна разности давлений между концами трубки (до тех пор, пока при быстром течении не появится турбулентность). Это общий закон, обусловленный влиянием внутреннего трения на ламинарный поток жидкости:

V ~ (р₁ — р₂).

При переходе к более широкой трубке распределение линий тока и внутреннее трение в жидкости сохраняются, но роль трения становится менее заметна. В этом случае медленный слой жидкости около стенок трубки составляет меньшую долю от общей массы движущейся жидкости. Поэтому для получения той же скорости на осевой линии тока требуется значительно меньшая разность давлений. А при той же разности давлений в более широкой трубке возникает более быстрое течение. Опыт дает следующие соотношения для медленного ламинарного потока, движущегося по различным длинным трубкам под действием разности давлений на их концах:

СКОРОСТЬ, усредненная по всем линиям тока ~ РАЗНОСТЬ ДАВЛЕНИЙ МЕЖДУ КОНЦАМИ ТРУБКИ / ДЛИНА ТРУБКИ,

СКОРОСТЬ, усредненная по всем линиям тока в трубке ~ (ДИАМЕТР ТРУБКИ)².

Умножение средней скорости на площадь поперечного сечения трубки даст объем жидкости, протекающий через любое сечение в единицу времени, потому что.

СКОРОСТЬ = ДЛИНА, ПРОЙДЕННАЯ В ЕДИНИЦУ ВРЕМЕНИ.

И.

СКОРОСТЬ∙ПЛОЩАДЬ = (ДЛИНА∙ПЛОЩАДЬ)/ВРЕМЯ = ОБЪЕМ/ВРЕМЯ.

Таким образом, для медленного ламинарного потока в трубках.

ОБЪЕМ, протекающий в секунду ~ РАЗНОСТЬ ДАВЛЕНИЙ МЕЖДУ КОНЦАМИ ТРУБКИ/ДЛИНА ТРУБКИ,

И.

ОБЪЕМ, протекающий в секунду ~ (ДИАМЕТР ТРУБКИ)⁴.

Обратите внимание на сильное влияние диаметра трубки.

Подумайте о различии между течением крови в тонких сосудах и в артериях. В очень тонких капиллярах кровяные тельца могут фактически закупорить проток, уменьшая течение даже еще больше, чем предсказывает написанная выше простая формула.

Задача 1. С помощью диаграммы фиг. 234 можно дать простое графическое изображение отношения (разность давлений):(длина). Можете ли вы предложить термин для обозначения этого отношения? Задача 2. Примем течение нефти в трубопроводе за ламинарный поток и предположим, что к нему применимы приведенные выше соотношения. Как должно влиять удвоение диаметра трубы: А) на объем нефти, протекающий за день через любое сечение трубы при одном и том же давлении в насосной системе? Б) на стоимость металла для труб, если толщина стенок трубы остается одной и той же и общая длина остается неизменной? ДЕМОНСТРАЦИОННЫЕ ОПЫТЫ. Опыт 6. Изменение скорости и давления потока: эффект Бернулли (фиг. 235). Заставим движущуюся воду изменять свою скорость вдоль трубки. Для этого можно вставить в трубку более тонкий участок. Сделайте весь прибор из очень широких трубок, чтобы влиянием внутреннего трения жидкости можно было пренебречь. Тогда, кроме незначительного падения давления из-за трения, мы увидим резкое падение давления в том месте, где вода попадает в более узкую трубку (фиг. 236).

Фиг. 235. Ламинарное течение в широкой трубке.

_{Внутреннее трение жидкости играет значительно меньшую роль, поэтому давление вдоль всей однородной трубки почти одинаково.}

Фиг. 236. При наличии в трубке узкого участка наблюдается изменение давления.

_{Обратите внимание на изгиб выходной трубы для подъема воды в измерительных трубках на заметную высоту.}

Если приложенное давление повышают, чтобы увеличить скорость потока, трение возрастает, но новый эффект возрастает еще больше. Поэтому при наличии более широких трубок и быстрого течения трением можно пренебречь и наблюдать новый эффект: изменение давления при изменении скорости течения в результате сужения или расширения трубки. Влияние трения можно также исключить (не совсем честным путем), если на каждом участке поставить только один измеритель давления (фиг. 237). При еще более быстром течении в узких участках давление падает ниже атмосферного и в трубку засасываются пузырьки воздуха (фиг. 237, б).

Фиг. 237. Чем быстрее течение, тем больше изменение давления.

Задача 3. Используя обнаруженный эффект, сконструируйте простое распылительное устройство. Задача 4. На фиг. 238 показан прибор, который был изображен на фиг. 237, б, но в перевернутом виде, с боковой трубкой, погруженной в чернила. Что произойдет? Объясните.

Фиг. 238. К задаче 4.

Принцип Бернулли — ключ к парадоксам.

Как показал опыт, изображенный на фиг. 235–237, давление меньше там, где быстрее течение. Это положение называется принципом Бернулли.

От экспериментального наблюдения без дополнительных пояснений можно перейти к парадоксу «шарик в воронке». Посмотрим на линии тока, которые схематически изображены на фиг. 239.

Фиг. 239. Линии тока воздуха, обтекающего шарик в воронке.

_{В точке С, где течение быстрее, давление меньше.}

В области D, где поток воздуха выходит наружу, давление равно атмосферному. В узком зазоре С скорость потока выше, потому что то же количество воздуха должно пройти через более узкое пространство. Какое будет здесь давление — больше или меньше?

Теперь вам понятно, что удерживает шарик?

Принцип Бернулли и его объяснение.

Принцип «где быстрее течение, там меньше давление» справедлив для ламинарного течения газа или жидкости. Он специфичен, но не столь непонятен, как это кажется. На самом деле его можно предсказать на основании известного уже вам второго закона Ньютона с помощью следующего рассуждения.

Выделим небольшой цилиндрический элемент жидкости, движущийся вдоль линий тока в области А (фиг. 240).

Фиг. 240. Линии тока жидкости, текущей по трубе.

В области В этот элемент движется быстрее, и, следовательно, его количество движения возрастает. Движение ускоряется где-то между A и С, очевидно, в сужающейся шейке В. Но ускорение требует наличия силы, а в движущейся жидкости эта сила может быть создана только давлением окружающей жидкости. Это заставляет предположить, что давление в А должно быть выше, чем в В. Если бы во всех областях А, В и С давление было одинаковым, откуда могла бы в жидкости возникать ускоряющая сила? Элемент жидкости ничего не «знает» о внешнем мире и о существующих в нем силах, кроме давления окружающей жидкости. Итак, парадоксальный эффект Бернулли превращается в иллюстрацию второго закона Ньютона: для создания ускорения должна существовать разность давлений.

Чтобы представить себе это более ясно, вообразите крошечную подводную лодку в форме куба; увлекаемая жидкостью, она плывет в ламинарном потоке. Где течение быстрее, там лодка движется быстрее; ее движение, как и движение жидкости, должно ускоряться при переходе из широкой трубки А в более узкую С и замедляться при переходе из С в D (фиг. 241).

Фиг. 241. Объяснение принципа Бернулли.

Ускорение должно быть вызвано разностью давлений. Давление на боковые стенки лодки не влияет на ее движение вперед, поэтому его можно не учитывать. Но давление на переднюю и заднюю стенки должно создавать равнодействующую при ускорении или замедлении движения. Поэтому, когда лодка ускоряется в В при переходе из А в С, сила, подталкивающая ее в корму, должна быть больше силы, оказывающей сопротивление носу. Давление на корму должно быть больше давления на нос. Корма лодки находится в области медленного течения А, а нос — в области быстрого течения С. Давление должно быть меньше там, где течение быстрее. Когда лодка переходит из С в D, давление на корму оказывается меньше давления на нос и движение замедлится.

Это несколько туманное рассуждение справедливо в рамках обсуждаемого вопроса — разность давлений вызывает ускоренное движение жидкости. Чтобы развить его дальше, следовало бы подробно обсудить вопрос об энергии. Пока мы будем применять принцип Бернулли в приведенной выше расплывчатой формулировке — при ламинарном течении давление меньше там, где быстрее течение. Он неприменим к вихревому или турбулентному течению. Даже при ламинарном течении этот принцип неприменим при перемещении от одной линии тока к другой, потому что ни один элемент не может двигаться поперек линий тока; однако, поскольку поперечных течений нет, большой разности давлений, вообще говоря, не возникает при переходе от одной линии тока к соседней.

Принцип Бернулли важен, но он не является тем фундаментальным законом физики, который всем необходимо знать. Он приведен здесь как пример необычного поведения, которое может быть «объяснено» на основе общих знаний без особых законов, придуманных специально для этой цели[145].

Примеры эффекта Бернулли.

На фиг. 242, а струя воздуха обдувает открытый конец трубки, погруженной в жидкость. Воздух в области А движется быстрее, чем в области В, где он смешивается с атмосферным воздухом. Поэтому давление в А ниже атмосферного, и атмосферное давление в D может поднять жидкость по трубке, где она распыляется. На Фиг. 242, б показаны два шарика для пинг-понга, подвешенные на гибких проволочках недалеко один от другого. Струя воздуха между ними заставляет их сблизиться. На фиг. 242, в воздух по трубке АВ подается в отверстие в центре закрепленного диска С.

Фиг. 242. Демонстрационные опыты.

_{А — распылитель; б — струя воздуха между двумя близко подвешенными легкими шариками; в — при подаче воздуха подвижная пластина D притягивается к пластине С.}

Подвижный диск D расположен на небольшом расстоянии под диском С. Воздух, проходящий через АВ, прежде чем выйти в атмосферу, изменяет направление и течет горизонтально в узком пространстве между С и D. Подвижный диск D притягивается к С, даже если к нему подвесить груз W. Если диск D очень легок и закреплен подвижно, так что не может соскользнуть вбок, он будет вибрировать около С, издавая пронзительный визг. По этому принципу действует известная всем в детстве пищалка из натянутой травинки. Нечто общее с этим имеет и действие наших голосовых связок.

На фиг. 243 шарик удерживается струей воздуха или воды.

Фиг. 243. Струя воздуха удерживает легкий шарик.

Здесь удивителен не тот факт, что струя может подбрасывать шарик (для этого надо лишь, чтобы шарик попал в восходящий поток), а то, что шарик не сваливается вбок. Равновесие кажется неустойчивым, но это не так. Когда шарик отклоняется в одну сторону В, большая часть струи идет по другую сторону А. ВА, где скорость потока выше, давление меньше, поэтому большее давление в области В возвращает шарик в среднее положение. (Обычно шарик вращается, создавая дополнительное благоприятное изменение в распределении линий тока.).

Искривленный полет мяча («сухой лист»).

Почему вращающийся мяч движется по кривой линии? Можно показать, что здесь проявляется эффект Бернулли. Каждый мяч, каким бы гладким он ни казался, имеет в микроскопических масштабах шероховатости. Вращающийся мяч захватывает неровностями своей поверхности молекулы воздуха и заставляет их участвовать в своем движении. Таким образом, мяч окружен вращающимися слоями воздуха, ближайшие из которых движутся с той же скоростью, что и поверхность мяча, а более удаленные слои движутся медленнее и медленнее[146]. Если такой вращающийся мяч летит вперед, то линии тока складываются из двух движений: циркуляции воздуха вокруг мяча и потока, обдувающего мяч.

Вообразите наблюдателя, который для наблюдения за линиями тока летит за мячом, оставаясь все время на одном с ним уровне. Для наблюдателя мяч все время находится рядом, и оба они будут ощущать ветер, дующий навстречу. «Ветер» дует со скоростью полета мяча, но в противоположную сторону.

Можно прибегнуть к другому столь же полезному способу рассуждения. Представим себе сильный ветер, дующий навстречу со скоростью, в точности равной и противоположной скорости мяча. Тогда наблюдатель может спокойно стоять на земле и наблюдать за мячом, неподвижно висящим около него[147]. В таком ветре линии тока будут параллельными прямыми (фиг. 244, а).

Чтобы понять, почему вращающийся мяч может лететь по кривой линии, набросаем обе картины линий тока и затем сложим их на основе разумных предположений. На фиг. 244, б изображен вращающийся мяч с вращающимися вместе с ним слоями воздуха. Чтобы показать, что по мере удаления от мяча движение воздуха замедляется, внешние линии тока расположены на больших расстояниях друг от друга и помечены более короткими стрелками. Для сложения обоих движений наложим один рисунок на другой (фиг. 244, в) и в каждой точке сложим векторы скорости. Нарисуем в точке Р два небольших вектора скорости, v₁ для равномерного потока и v₂ для вращения, и построим параллелограмм, чтобы найти равнодействующую (фиг. 244, г), которая представляет собой скорость суммарного движения в этой точке. Повторите эту операцию для точек по всему рисунку, беря каждый раз одну и ту же горизонтальную скорость v₁ и проводя v₂ по касательной к окружностям. Скорость вращения v₂ изобразите большой близко к мячу и маленькой вдали от него.

Когда вы получите достаточное количество суммарных векторов, чтобы можно было приступить к нанесению линий тока, сотрите ненужные вспомогательные построения и оставьте в каждой точке только короткие стрелки, указывающие направление суммарного потока (фиг. 244, д, е).

Фиг. 244. Линии тока вокруг движущегося в воздухе вращающегося мяча.

_{А — линии тока «встречного» ветра (однородный поток воздуха, противоположный полету мяча); б — линии тока воздуха вокруг вращающегося мяча; в — суммирование обоих видов тока воздуха; г — оба вида тока воздуха накладываются один на другой и скорости складывают как векторы; д, е — маленькие стрелки показывают направление суммарной скорости в точке Р.}

Длина этих стрелок не обязательно должна соответствовать величине скорости. Теперь можно сообразить, как провести непрерывные линии тока, направление которых везде совпадало бы со стрелками. Здравый смысл подсказывает следующее: 1) очень далеко от мяча вращательным движением можно пренебречь, там существует стационарный поток со скоростью v₁, в котором линии тока горизонтальны и распределены равномерно; 2) очень близко к мячу преобладает вращение и линии тока практически будут круговыми; 3) в некоторой точке N под мячом v₁ и v₂ как раз уравновесят друг друга, создавая «нейтральную точку», в которой не будет движения. Чтобы закончить рисунок, надо продолжить утомительную работу по сложению скоростей, дополняя ее с помощью воображения, или можно обмануть себя и подсмотреть реальную картину линий тока, полученную каким-либо другим способом. Такой набросок может дать лишь поверхностное представление о суммарном распределении линий тока. Чтобы получить надежную картину, надо геометрическую работу выполнить при помощи математики и в первую очередь подробно исследовать распределение скорости вращения v₂. На фиг. 245 приведена полученная более строгим методом картина распределения линий тока вокруг цилиндра, вращающегося в однородном потоке воздуха. Для мяча получается сходная картина.

Фиг. 245. Линии тока вокруг вращающегося цилиндра в однородном потоке воздуха.

_{Схема выполнена довольно точно по картине линий тока, предсказываемой уравнением ²V = 0. Этот математический закон описывает распределение линий тока и другие распределения «закона обратных квадратов».}

Задача 5. Если вы раньше изучали физику, вы, возможно, сталкивались с подобной картиной в совершенно другом разделе физики. Если да, то где? Чисто ли случайно это сходство? Может ли оно иметь какое-либо практическое значение? Задача 6. Задание имеет смысл только при том условии, что оно будет выполнено схематически и быстро. Применяя метод, использованный при построении фиг. 244, набросайте линии тока для потока, изображенного на фиг. 246.

Фиг. 246. Линии тока для источника и стока равной силы в бесконечном озере постоянной глубины.

В мелком озере со спокойной водой в точке А имеется постоянный приток воды, а в точке В равный ему сток. Набросайте линии тока в озере, воспользовавшись следующими указаниями. Если бы действовал только приток, то линии тока расходились бы от точки А в виде лучей. Вблизи А, где линии тока расположены тесно, скорость радиального течения будет велика; дальше от А скорость будет уменьшаться[148]. Если бы действовал только сток, то создалась бы подобная картина с радиальным течением по направлению к В. Нанесите на лист бумаги точки А и В на расстоянии нескольких сантиметров одна от другой, нарисуйте оба набора линий тока и с помощью графических построений и смекалки найдите суммарную картину. (Что в этом случае соответствует указаниям 1 и 2 на стр. 370, сделанным при обсуждении фиг. 247, г?) Где еще вы встречались с подобной картиной?

Теперь можно вернуться к летящему бейсбольному мячу.

С точки зрения наблюдателя, летящего рядом с мячом, линии тока вокруг мяча распределены, как показано на фиг. 247. Если мяч вращается вокруг горизонтальной оси, поток воздуха над мячом имеет большую скорость, чем под ним, поэтому над мячом создается область пониженного давления, а под ним — повышенного. Таким образом, давление воздуха подталкивает мяч вверх, отклоняя его от обычного пути. Подобным же образом мяч, вращающийся вокруг вертикальной оси, отклоняется в сторону под действием силы, направленной вбок. По этому вопросу было много споров, но в конце концов «искривление» полета вращающегося бейсбольного мяча было доказано измерениями. Тем не менее, если имеется некое предвзятое мнение, основанное на репутации подающего мяч игрока, игрокам и болельщикам полет может показаться более искривленным, чем он есть на самом деле.

При быстром вращении более легкого мяча, например при «резаной» подаче в теннисе, искривление полета хорошо заметно на глаз.

Фиг. 247. Линии тока в потоке воздуха около вращающегося мяча.

_{Очень малая часть пути мяча показана с точки зрения неподвижного наблюдателя.}

Задача 7. Полет по искривленной траектории. Предположим, что два мяча — массивный бейсбольный мяч и значительно более легкий мяч того же размера — горизонтально брошены рядом друг с другом с одной и той же скоростью и с одинаковым вращением вокруг вертикальной оси. А) Какой мяч полетит дальше (если не принимать во внимание влияние вращения и трение воздуха)? Б) На какой мяч будет действовать бóльшая отклоняющая сила (вызванная только что разобранным эффектом Бернулли)? В) Какой мяч больше отклонится в сторону? Четко обоснуйте ваш ответ на этот вопрос. ДЕМОНСТРАЦИОННЫЕ ОПЫТЫ. Опыт 7. Полет по искривленному пути. Пробковый мяч бросают с помощью трубки, сделанной из грубого картона. Бросающий держит трубку в отведенной назад руке и бросает мяч, замахиваясь трубкой вперед. Мяч, «отстающий» от движения трубки, катится по внутренней верхней поверхности трубки и приобретает быстрое вращение вокруг горизонтальной оси. Его отклонение вверх при полете видно глазом (фиг. 248).

Фиг. 248. Бросание вращающегося мяча.

Опыт 8. Картонный цилиндр бросают с помощью катапульты, которая одновременно сообщает ему вращение (фиг. 249). Кусок резинового шнура ABC прикреплен к столу в точках А и С. Центр шнура В соединен с цилиндром куском матерчатой ленты, которая несколько раз обертывается вокруг центральной части цилиндра. Оттягивая цилиндр по столу, растягиваем резину, а затем отпускаем ее. Бернуллиевы силы столь велики, что цилиндр может даже описать петлю.

Фиг. 249. Бросание вращающегося цилиндра с помощью катапульты.

Полет самолета.

Ламинарный поток, обтекающий модель крыла самолета, можно сделать видимым, подкрасив воду чернилами или добавив в воздух дым. Тогда отчетливо видно сгущение линий тока над крылом. Поскольку давление над крылом меньше, чем под ним, то эффект Бернулли создает подъемную силу. Но каким образом крыло создает такое благоприятное распределение линий тока?

Геометрия и механика говорят, что в идеальной жидкости, лишенной внутреннего трения, распределение линий тока было бы более симметричным, без сгущений над крылом, и поэтому не было бы ни подъемной силы, ни силы сопротивления. Но в воздухе и в воде в момент старта самолета вокруг крыла создается циркуляция воздуха, подобно колечку дыма, которая движется далее вместе с самолетом (фиг. 250).

Фиг. 250. Циркуляция вокруг крыла самолета.

Вихревое движение складывается с постоянным потоком воздуха навстречу самолету и дает суммарное распределение линий тока, подобное распределению вокруг летящего вращающегося цилиндра (крыло не вращается, но его форма создает циркуляцию воздуха). Этот вихрь не мажет окончиться на кромке крыла и продолжает существовать позади самолета. Когда самолет улетает, крыло уносит с собой часть вихря, оставляя за крыльями струйки вихрей. (Именно вихри позади самолета срывают вашу шляпу, когда вы стоите слишком близко к взлетающему самолету).

Сопротивление ветра («давление» ветра[149])

Летящий самолет оставляет позади себя циркулирующий воздух, который стекает с его крыльев и фюзеляжа. Таким образом, в воздухе позади крыла создается довольно большое вихревое движение (со значительной кинетической энергией), и его масса движется вперед. Крыло непрерывно теряет количество движения и, следовательно, испытывает силу, направленную назад, «сопротивление» воздуха; корпус самолета должен тащить крыло вперед, чтобы компенсировать потерю количества движения. В целом при равномерном полете самолет не выигрывает и не теряет количества движения. Его пропеллер отбрасывает назад поток воздуха, сообщая этому воздуху количество движения, направленное назад, в то время как крыло и фюзеляж оставляют струю вихрей с количеством движения, направленным вперед. Таким образом, позади самолета возникает сложное движение воздуха, в котором суммарное количество движения равно нулю[150].

Фиг. 251. Идеализированная картина ламинарного потока.

_{При действительном полете позади самолета образуется вихревое движение.}

В какой мере сопротивление воздуха, действующее на крыло самолета или на любой другой предмет, образующий вихри, зависит от скорости полета? Летящее со скоростью v крыло оставляет за собой слой воздуха, движущийся вслед за крылом. Обозначим через А площадь поперечного сечения этого слоя, «вертикальное лобовое сечение» крыла (фиг. 252).

Фиг. 252. За движущимся крылом остается движущийся вперед воздух.

_{Скорость его на самом деле составляет лишь часть скорости самолета v (для простоты мы принимаем ее равной v). При реальном полете движущийся воздух не имеет формы «бруска» — движение передается в стороны и воздух перемешивается благодаря вихрям.}

Пусть действующая на крыло сила сопротивления, обусловленная непрерывной потерей количества движения, равна F. Чтобы рассчитать величину F, допустим для начала, что слой воздуха приобретает полную скорость крыла v.

Тогда, согласно F∙Δt = Δ(mv),

(сила F)∙(время t, сек) = количество движения, потерянное крылом за t сек,

= количество движения, приобретенное за t сек слоем воздуха, приходящим в движение позади крыла.

За t сек крыло продвигается вперед на расстояние vt, оставляя за собой слой движущегося воздуха длиной vt и площадью А, следовательно, объем этого слоя равен A∙v∙t.

Этот воздух имеет:

МАССА = (ПЛОТНОСТЬ)∙(ОБЪЕМ), или (d)∙(A∙v∙t).

Если скорость равна v, то количество движения равно.

(МАССА)∙(ПРИОБРЕТАЕМАЯ СКОРОСТЬ), или (d∙A∙v∙t)∙(v), или d∙A∙v²∙t.

Следовательно,

F∙t = d∙A∙v²∙t,

Или.

F = d∙A∙v^2.

Получаем[151].

СИЛА = (ПЛОТНОСТЬ)∙(ПЛОЩАДЬ)∙(СКОРОСТЬ)^2.

В реальных случаях воздух приобретает не всю скорость v, а некоторую долю ее и площадь А не равна точно сечению крыла, но все же справедливо соотношение.

F = (ПОСТОЯННАЯ)∙(НЕКОТОРАЯ ПЛОЩАДЬ)∙(ПЛОТНОСТЬ ВОЗДУХА)∙(v²).

Величина постоянной зависит от геометрической формы крыла, а также интервала скоростей. Фактор формы велик для необтекаемых предметов, таких, как плоская тарелка, поставленная поперек потока воздуха, или даже круглый мяч. Для «обтекаемого» тела, подставляющего ветру такую же площадь, но имеющего правильно сконструированную каплеобразную форму, этот фактор в 20—100 раз меньше, потому что такое тело создает значительно более слабое вихревое движение. Рассмотренное сопротивление, обусловленное остающимися позади вихрями, по своей природе совершенно отлично от создаваемого трением сопротивления при ламинарном течении.

Фиг. 253. Сравнительная величина факторов формы, влияющих на сопротивление воздуха в случае быстрого потока.

Механизм сопротивления, создаваемого внутренним трением.

Сила сопротивления, обусловленная внутренним трением при ламинарном течении, создается не в результате появления макроскопического движения среды, а вследствие «уноса» мелких порций количества движения, происходящего при столкновении молекул. Ближайшие к движущемуся предмету молекулы жидкости при столкновении с ним приобретают часть его количества движения и при столкновении с соседними молекулами передают им свое приобретение. Такие молекулы, снующие взад и вперед в беспорядочном движении, ведут себя как мыши, «отщипывая» от медленно движущегося предмета небольшие порции количества движения. Вследствие похищения части количества движения предмет испытывает тормозящую силу.

F∙t = ПОТЕРЯ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ ЗА ВРЕМЯ t.

Как это сопротивление, обусловленное внутренним трением, зависит от скорости движущегося предмета? Предположим, предмет стал двигаться вдвое быстрее; тогда его количество движения возрастет вдвое. При каждом столкновении молекулы жидкости, вероятно, будут забирать ту же долю от удвоенного количества движения предмета, что и раньше[152]. Поэтому при каждом столкновении они будут уносить вдвое большее количество движения. А частота столкновения остается той же, потому что скорость движения предмета мала по сравнению со скоростями молекул. Таким образом, при удвоенной скорости предмет за то же время теряет удвоенное количество движения. Следовательно, он должен испытывать удвоенное сопротивление, поэтому следует ожидать, что сопротивление будет пропорционально скорости предмета, F ~ v. Опыт подтверждает это для медленного ламинарного течения газа или жидкости.

С другой стороны, при высоких скоростях организованные «банды молекул» вихревого слоя жидкости производят «грабеж» количества движения. В этом случае, как указывалось выше, сопротивление пропорционально v².

Таким образом, при очень медленном движении сопротивление ламинарного потока пропорционально v (например, при движении мелких капель дождя в облаке или при оседании осадка в пруду), а при быстром движении сопротивление вихревого трения пропорционально v².

Современные воздушные лайнеры летят так быстро, что даже при наличии обтекаемой конструкции возникает сопротивление, пропорциональное v². При рассмотрении реального полета надо помнить, что способы управления при различных скоростях различны, и поэтому изменяется фактор формы. Вследствие этого зависимость сопротивления от скорости оказывается еще более сложной, и существует некоторая оптимальная скорость, при которой сила сопротивления минимальна.

Задача 8. Предельная скорость. (Эта задача подготавливает к важному опыту по атомной физике.) Небольшое обтекаемое тело падает в воздухе. Сначала оно движется ускоренно, но затем устанавливается постоянная скорость падения (которую называют предельной скоростью). Проверьте это утверждение с помощью небольшого листка бумаги или игрушечного парашюта. А) Почему падающее тело не продолжает ускоряться? Б) Когда тело движется с постоянной скоростью, чему равна действующая на него суммарная сила? Что можно сказать о величине силы сопротивления, действующей на тело? В) Можно ли определить только из наблюдения за падающим телом, обусловлена ли тормозящая сила внутренним трением (F ~ v) или вихревым сопротивлением (F ~ v²)? Г) Предположим, что в результате случайного столкновения с комаром падение предмета несколько замедлилось или несколько ускорилось. Объясните, почему предмет вернется к первоначальной скорости, если сила сопротивления с ростом скорости возрастает (как это происходит в любом из случаев F ~ v или F ~ v²). Д) Предположим, что падающее тело полое; заполняя его, можно увеличить его массу в 4 раза. Как это изменение отразится на его предельной скорости v, 1) если F ~ v? 2) если F ~ v²? ОПЫТЫ ДЛЯ КАЖДОГО СТУДЕНТА. Опыт 9. Небольшой лист бумаги возьмите обеими руками за один конец так, чтобы этот конец был горизонтален, а другой изгибался под действием собственного веса. Равномерно дуйте над поверхностью горизонтальной части бумаги (фиг. 254). Наблюдайте за действием струи воздуха и объясните его. По существу здесь в самом простейшем виде проявляется тот же эффект, что и при полете самолета. Опыт 10. Движение обтекаемого листа бумаги. (Вспомните шутливое замечание в гл. 1, что при проведении опытов с падающими телами вы, вероятно, не обратили внимания на некоторые простейшие из них.). А. Уроните небольшой лист бумаги и понаблюдайте за его падением (если хотите, сравните его падение с падением скомканного листа). Б. Придайте листу некоторую обтекаемость, отогнув небольшие полоски вдоль каждого края, чтобы получилось корытце, как на фиг. 255. Наблюдайте за его падением.

Фиг. 255. Корытце из бумаги.

В. Видоизмените опыт Б, складывая из бумаги фигуры различной формы. Вы получите большие возможности для изобретательности и критических размышлений. Г. На основании проделанных опытов решите, является ли движение воздуха около падающего листа бумаги ламинарным, в котором сопротивление обусловлено внутренним трением (F ~ v), или более быстрым, с вихреобразованием (F ~ v²). Убедитесь, что вы можете уверенно обосновать свое решение. (Правда, о форме движения воздуха можно догадаться, пустив дым вокруг падающего тела, но надо попытаться получить более строгое доказательство.).

Эффект Бернулли: «Демоны» иди наука?

Хотя конструкторы используют принцип Бернулли при создании летательных аппаратов, а инженеры прибегают к его помощи при конструировании различных приспособлений, он не является жизненно важной частью физической науки. Все же цель этой главы в основном демонстрация не практических применений, а того, как «работает» научная мысль. Начав с парадоксов притягивающей воронки и искривленного полета мяча, каждый из которых, по-видимому, требует для объяснения своего собственного особого «демона», мы пришли к единому принципу, который объясняет эти парадоксы и предсказывает новые.

Сначала чисто «эмпирически» (т. е. прямо из опыта) мы делаем простой вывод: где линии тока гуще, там течение быстрее, а давление меньше. Затем, когда мы размышляем над этим, здравый смысл подсказывает: если происходит переход от медленного течения к быстрому, то жидкость должна ускоряться. Потом мы привлекаем теорию в виде второго закона Ньютона (F = m∙a), в справедливости которого уверены: «Где есть ускорение, там должна действовать соответствующая сила». Применяя эту теорию к простому случаю, например к жидкости, текущей по неоднородной трубке, мы предсказываем, что при быстром течении давление должно быть меньше. Итак, если закон F = m∙a является всеобщим, мы должны ожидать эффекта Бернулли как примера его действия. (Поэтому, если бы этот эффект не существовал, нам следовало бы усомниться в общем характере закона F = m∙a.) Развитие теории с применением закона сохранения энергии и некоторых алгебраических выкладок позволяет найти соотношение между скоростью течения и давлением, которое подтверждается опытом:

1/2 (ПЛОТНОСТЬ ЖИДКОСТИ)∙(СКОРОСТЬ ТЕЧЕНИЯ)² + (ДАВЛЕНИЕ В ЖИДКОСТИ) = ПОСТОЯННАЯ.

Иными словами, сумма (¹/₂ d∙v² + p) должна иметь одно и то же значение во всех точках вдоль линии тока. Следовательно,

(Если жидкость переходит с одного уровня на другой, надо учесть также изменение потенциальной энергии.).

Тем самым мы свели несколько «демонов», каждый из которых мог объяснить только свой случай, к одному общему механизму, сочетающему закон F = m∙a и правила геометрии; хотя обе его составные части сами по себе «необъяснимы», они обычны во многих областях науки. Мы сократили число таинственных явлений, сведя все наши примеры к одной тайне, F = m∙a. Как сказал бы Конант, мы уменьшили «степень эмпиризма» нашего знания о поведении жидкости, продвинув тем самым науку вперед. Принцип, который помогает инженерам строить насосы, измерители расхода жидкости и газа и самолеты, а также проявления внутреннего трения жидкости и газа, с которыми мы еще встретимся при изучении молекул и атомов, теперь представляются разумными частями механики, которую мы строим вне всякой связи с парадоксами.

Эта глава оправдает свое назначение, если она даст вам почувствовать, что «наука создает смысл», что сущность прогресса в науке состоит в упрощении, а не в увеличении сложности.

Задача 9. Какое движение воды, ламинарное или вихревое, вы предпочли бы для мытья чайных стаканов? Что произойдет, если вода имеет другой тип движения? Задача 10. Две небольшие лодки закреплены посреди быстрой реки с помощью веревок, которые тянутся вверх по течению от лодок к двум якорям. В момент бросания якорей лодки находились на расстоянии нескольких десятков сантиметров одна от другой. Растащит ли течение лодки в стороны или сблизит их? Объясните ответ и дайте рисунок. Задача 11. На эффекте Бернулли основано движение роторного судна. На этом необычном корабле, который успешно пересек Атлантику, вместо мачт и парусов имелись огромные вертикальные цилиндры, непрерывно вращавшиеся с помощью моторов. Допустим, что дует постоянный южный ветер, а корабль такой конструкции хочет плыть на восток. Как должны вращаться цилиндры — по часовой стрелке или против часовой стрелки, если смотреть на них сверху? Поясните ответ рисунком. Задача 12. Придумайте простую иллюстрацию эффектов Бернулли с помощью двух небольших листков бумаги. Задача 13. Предположим, что постоянный ветер дует вдоль горизонтального плато, поднимаясь у находящейся в конце плато горной гряды (фиг. 256). Над плато летит самолет, пилот которого определяет высоту полета с помощью измерителя давления (барометр). При ночном полете пилот пытается вести самолет на постоянной высоте, достаточной, чтобы можно было перелететь через горы. Объясните, почему при наличии ветра может произойти несчастный случай.

Фиг. 256. К задаче 13.

Задача 14. Наши голосовые связки образованы двумя мышечными полосками с продолговатой щелью между ними, через которую проходит воздух. Подумайте, каким образом можно поддерживать непрерывные колебания голосовых связок при разговоре. Задача 15. Постоянный ветер дует над океаном, где образовались небольшие гребни и впадины волн (фиг. 257). Опишите, каким образом ветер может увеличить гребки и впадины.

Фиг. 257. К задаче 15.

Задача 16. На фиг. 258 показано устройство расходомера для измерения скорости потока жидкости на химическом заводе (не давления, а скорости ее расхода, например, в литрах в минуту).

Фиг. 258. К задаче 16.

Скорость потока жидкости в трубке ABC определяется с помощью манометра, измеряющего разность давлений между отверстием в трубке А и отверстием в суженной части трубки В. На рисунке манометр представляет собой просто U-образную трубку со ртутью. А) Объясните, почему манометр показывает скорость потока. Б) Объясните, почему манометр ничего не говорит о давлении жидкости в основной трубке. В) Путем рассуждения (например, «допустим, скорость потока удвоилась, а распределение линий тока осталось таким же…») найдите, как показания манометра должны быть связаны со скоростью потока. Изменяются ли показания манометра (пропорционально скорости потока, или ее квадрату, или каким-либо другим образом)[153]. Задача 17. Перерисуйте фиг. 234, а для жидкости, текущей вдвое медленнее, чем показано там. Запишите, какие должны произойти изменения. Задача 18. Перерисуйте фиг. 237, а для жидкости, текущей вдвое медленнее. Запишите, какие должны произойти изменения.

Глава 10. Колебания и волны.

«Путешествующему на корабле кажется, что океан состоит из волн, а не из воды». Э. С. Эддингтон (Кэмбридж, 1929 г.).

Две революции, совершенные математикой в физике:

• 1822 г.

ТЕОРЕМА ФУРЬЕ (впервые доказана Фурье, в ваше время остается предметом исследований и находит многочисленные применения в науке):

Любое (повторяющееся) движение можно рассматривать как результат наложения простых гармонических движений. Любую волну независимо от ее формы можно рассматривать как сумму простых гармонических волн.

• 1824 г.

ДУАЛИЗМ ДЕ БРОЙЛЯ (гипотеза де Бройля получила развитие и служит основанием современной атомной физики):

Любая движущаяся частица (электрон, атом, нейтрон… бейсбольный мяч… даже квант света) ведет себя в одних случаях как размытая волна, а в других — как точечная частица!

Простое гармоническое движение, обычная составная часть всех колебаний, представляет собой весьма распространенный и очень важный тип движения. Оно играет значительную роль в акустике, а также в современной атомной теории волн и частиц.

Изучение волнового движения составляет большой раздел физики и служит базой для таких прикладных исследований, как изучение океанских волн и землетрясений, исследования в области акустики и многие другие. Изучение волнового движения приобрело еще большее значение, когда «оказалось», что свет — это волны, и когда гипотеза де Бройля произвела новую революцию в физике.

При отборе материала для нашего курса обе эти темы в основном остались в стороне, и большую часть данной главы можно опустить или отложить до будущих времен, причем связь с предшествующими и последующими главами не пострадает. Однако для изучения гл. 44[154] будут необходимы кое-какие знания о световых волнах, спектрах и интерференции. Об этом рассказано в последней части настоящей главы. Тем, кто захочет более полно ознакомиться с вопросом, следует обратиться к другим учебникам по общей физике, механике, оптике, математической физике; выбор учебника зависит от математической подготовки читателя.

Колебания маятника и измерение времени.

Маятник обладает удивительным свойством — оно казалось удивительным Галилею, измерявшему время по числу биений пульса, оно кажется таким же и современному студенту, пользующемуся секундомером. Заключается оно в том, что колебания маятника и с малой амплитудой, и с большой амплитудой совершаются практически за одно и то же время. Если сначала колебания происходят с очень большим отклонением, скажем на 80° от вертикали, то при затухании колебаний до 60…40…20° период (= время одного цикла) уменьшится лишь на несколько процентов; а при уменьшении отклонения от 20° до едва заметного период изменяется меньше чем на 1 %. При отклонениях меньше 5° период остается неизменным с точностью до 0,05 %.

Это свойство маятника оказалось не только удивительным, но и полезным. Галилей предложил использовать маятник в качестве регулятора в часах. Во времена Галилея часы приводились в действие грузом, а для регулировки хода применялось грубое приспособление типа лопастей ветряной мельницы, которое использовало сопротивление воздуха. Для отсчета равных промежутков времени можно было бы использовать маятник, ибо малые колебания совершаются за то же время, что и большие, вызываемые случайными порывами ветра. Столетие спустя после Галилея часы с маятниковым регулятором вошли в обиход, но мореплаватели по-прежнему нуждались в точных часах для измерения долготы на море. Была объявлена премия за создание таких морских часов, которые позволяли бы измерять время с достаточной точностью. Премию получил Гариссон за хронометр, в котором для регулирования хода использовались маховое колесо (баланс) и специальная пружина.

Это свойство независимости периода колебаний маятника от амплитуды носит мудреное название изохронность — от греческого слова «изохронный», означающий «равновременный». Мы говорим, что движение маятника при малых амплитудах (приблизительно) изохронно. Это свойство заслуживает специального названия, ибо оно оказалось весьма ценным.

В приведенной ниже задаче 1 проводятся рассуждения, позволяющие перейти от маятника к другим системам, в которых совершаются изохронные колебания. Задача довольно сложная, но ее стоит попытаться решить, ибо она может служить примером задач по теоретической физике. Разбор задачи покажет вам, как от простого опытного факта перейти к предсказанию новой области технических знаний. Если вы успешно справились с «анализом движения маятника», проведенным в задаче 1, значит, вы сможете подыскать и другие системы, которые совершают изохронные колебания и еще больше подходят для регулирования хода часов.

Действительно, революция в измерении времени, началом которой послужило предложение Галилея, продолжается. Она прошла путь от больших часов с маятником до карманных и наручных часов с балансом и спиральной пружиной, колеблющихся кристаллов кварца, а теперь в качестве нового этапа — колебательных и вращательных движений самих атомов.

Закончите «теоретический анализ» колебаний маятника[155], который проведен ниже.

Задача 1. Опыт показывает, что при малых амплитудах период колебаний Т практически не зависит от амплитуды. Анализируя движение маятника, мы будем ограничиваться только малыми амплитудами. При удвоении амплитуды период колебания маятника Т остается неизменным, хотя груз проходит вдвое большее расстояние. Следовательно, чтобы амплитуда стала вдвое больше, груз должен двигаться быстрее. Скорость движения не постоянна, даже ускорение не остается постоянным. Однако изменение скорости груза происходит одинаково при разных амплитудах, поэтому мы можем высказать предположение, что, будучи неодинаковой на разных стадиях отклонения, скорость груза на соответствующих стадиях движения с удвоенной амплитудой должна быть больше, чем скорость движения с первоначальной амплитудой, иначе Т не оставалось бы неизменным. Задача 2. Отважившись на обобщение рассуждений, проведенных в задаче 1, мы должны ожидать, что при любых (малых) амплитудах скорости на соответствующих стадиях колебания связаны с амплитудой колебания следующим образом: ___ Задача 3. Вернемся к задаче 1, где сравнивались колебания, амплитуда которых отличаются вдвое. Поскольку удвоение амплитуды равносильно увеличению соответствующих скоростей ___ и поскольку груз приобретает эти скорости за один и тот же промежуток времени[156], его ускорение Δv/Δt при удвоенной амплитуде должно быть ___ больше, чем при колебании с первоначальной амплитудой. (Опять-таки ускорение не остаётся постоянным, но мы сравниваем ускорения на соответствующих стадиях колебания.). Задача 4. Обобщая рассуждения в задаче 3, можно сказать, что соотношение между ускорением (на любой выбранной стадии колебания) и амплитудой должно выглядеть следующим образом: ___. Задача 5. Хотя в конце отклонения груз не движется, он обладает наибольшим (направленным к вертикали) ускорением. Это ускорение обусловлено совместным действием силы тяжести и силы, приложенной к грузу со стороны нити. Эти силы в сумме дают результирующую силу F, направление которой совпадает с направлением движения. Из задачи 4 представляется правдоподобным, что результирующая сила, действующая на груз в конце отклонения, должна быть связана с амплитудой А следующим образом[157]: ___

Фиг. 259. К задаче 5.

Задача 6. Это соотношение между силой и отклонением от положения равновесия должно выполняться на любой стадии колебания. Это выглядит похожим на ___ Задача 7. Исходя из задачи 6, мы можем ожидать, что движение, при котором период Т не зависит от амплитуды, будет наблюдаться для таких тел, как ___, причем для этих тел независимость периода от амплитуды, по всей вероятности, должна быть. _______________________ _{(ограничена малой амплитудой? не ограничена? или?).}

Простое гармоническое движение.

Все изохронные колебания представляют собой движения одного и того же типа с одинаковым по форме графиком зависимости амплитуды от времени — синусоидой. Мы называем такое движение простым гармоническим движением (эпитетом «гармоническое». Это движение обязано тому важному значению, которое оно имеет в музыке). Колебания маятника при малых отклонениях очень близки к простым гармоническим движениям. Груз, подвешенный на пружине, движется вверх и вниз, совершая при этом простые гармонические движения в широких пределах изменения амплитуды. (Проделайте наскоро опыт в лаборатории: он доставит вам большое удовлетворение.) Пружина с подвешенным грузом, гибкий брус, растягиваемая проволока, закручиваемый стержень, любая упругая система, подчиняющаяся закону Гука, совершает колебательное движение, называемое простым гармоническим колебанием.

Фиг. 260. Изохронные колебания и график зависимости смещения от времени.

«Простым гармоническим движением» мы называем повторяющееся движение особого типа — движение маятника и схожее с ним движение груза на пружине, — это не просто любое движение с постоянным периодом. (Кроты, выползающие из-под земли каждое утро в поисках пищи и возвращающиеся каждую ночь обратно под землю, совершают в известном смысле «изохронное» движение — его период составляет 24 часа, как бы ни были глубоки их норы, — но это, разумеется, отнюдь не простое гармоническое движение.) Если проанализировать движение маятника, обратившись к геометрии, то можно установить важную характеристику этого движения.

Движение маятника характеризуется переменным ускорением, которое всегда направлено к среднему положению и изменяется прямо пропорционально расстоянию от этого положения.

Если s — расстояние вдоль траектории, скажем, груза маятника, а а — ускорение, то мы найдем a ~ s, или а = —k²s, где k — вещественная постоянная.

Знак минус показывает, что ускорение направлено в сторону, противоположную отклонению. (Когда груз отклонен вправо — мы считаем такие отклонения положительными, когда ускорение направлено влево, мы приписываем ему отрицательное значение.).

Фиг. 261. Разнообразные системы, совершающие простые гармонические движения.

Механика движения маятника.

Чтобы показать, что для груза маятника а ~ s (при малых амплитудах), рассмотрим действующие на него силы. Сила натяжения нити направлена по радиусу и не может изменить скорость груза. Кроме этой силы, на груз действует только притяжение Земли, вес груза, направленный вертикально вниз. Разложим этот вектор на компоненты F₁ и F₂:

F₁ направленная вдоль дуги, придает грузу ускорение,

F₂ направленная вдоль радиуса, уравновешивает натяжение нити.

Из рассмотрения подобных треугольников (фиг. 262) находим.

СИЛА F₁ ПРИДАЮЩАЯ УСКОРЕНИЕ / ВЕС Mg = РАССТОЯНИЕ ПО ГОРИЗОНТАЛИ х / ДЛИНА L.

F₁/Mg = x/L.

Следовательно,

F₁ = Mg∙x/L.

И.

УСКОРЕНИЕ ГРУЗА = СИЛА/МАССА = — F₁/M = (-Mg∙x/L)/M = — g∙x/L.

Таким образом, мы установили, что а направлено к положению равновесия и что а ~ х, но мы не получили соотношения a ~ s вдоль траектории движения маятника. При больших отклонениях маятника его движение не является простым гармоническим движением. При малых отклонениях оно почти в точности совпадает с простым гармоническим движением, и х (горизонтальное смещение груза) почти совпадает с криволинейной дугой s (отклонением груза, измеренным вдоль его траектории).

Фиг. 262. Силы, действующие на груз маятника.

В таком случае мы можем перейти от а = —(g/L)∙x к а = —(g/L)∙s.

(обе величины примерно одинаковы для маятника в данном случае), а это и есть наше определение простого гармонического движения: а направлено к положению равновесия и а ~ смещению s.

Мы описываем это свойство выражением.

А = — k²s,

Где k² — постоянная.

Отсюда можно показать, что период Т дается соотношением.

T = 2π/k.

(Это легче всего сделать с помощью математического анализа; см. ниже. Существуют доказательства, в которых не прибегают к математическому анализу, но они ведут к цели обходным и весьма громоздким путем, см. учебники по общей физике.) Поэтому каждый раз, встречая систему, в которой действие сил приводит к соотношению а = —k²s, мы можем сразу сказать, что такая система способна совершать простое гармоническое движение с периодом 2π/k.

Простые гармонические движения и закон Гука.

Теперь вернемся к замечанию, которое было сделано в задаче 1.

Предположим, имеется груз, который подвешен на пружине, подчиняющейся закону Гука. Натяжение пружины в точности уравновешивает вес груза, когда он находится в состоянии покоя или когда, совершая колебания, проходит через положение равновесия. Во всех других положениях существует небольшое натяжение (со знаком + или —), пропорциональное удлинению (по закону Гука); оно придает грузу ускорение. Ускорение всегда направлено к положению равновесия и меняется прямо пропорционально смещению от этого положения (по закону Гука). Таким образом, мы имеем соотношение а = —k²s, которое как раз и соответствует движению, называемому нами простым гармоническим колебанием.

Период колебания 2π/k можно вычислить, зная массу груза М и «жесткость» пружины К, равную отношению (сила)/(удлинение); это отношение представляет собой постоянную, определяющую наклон прямой, которая выражает закон Гука. Добавочная сила, соответствующая добавочному удлинению s, равна Ks, а сообщаемое ею ускорение равно — ks/M. Следовательно, k² равно K/M, и Т дается выражением.

Т = 2π∙√(ЖЕСТКОСТЬ» ПРУЖИНЫ К / МАССА М).

Это соотношение позволяет вычислить период простого гармонического колебания. Кроме того, у нас появляется превосходный способ оценить жесткость пружины по измеренному периоду колебаний. Мы пользуемся им, измеряя g с помощью маятника: в этом случае сила земного притяжения дает эквивалентную «жесткость пружины», равную Mg/L. В опыте Кавендиша, который позволяет измерить гравитационную постоянную G (см. гл. 23[158]), проволока слишком слаба для прямого измерения ее сопротивления закручиванию, поэтому измеряют период крутильных колебаний проволоки, представляющих собой простое гармоническое движение, и вычисляют сопротивление закручиванию.

Простое гармоническое движение — широко распространенный вид движения.

Итак, мы можем сказать, что простые гармонические колебания совершает любая система, в которой развивается возвращающая сила, пропорциональная смещению от положения равновесия:

— любой маятник (при малых отклонениях);

— любая система, подчиняющаяся закону Гука (например, пружина, к которой прикреплен груз; балка, подвергаемая изгибу; спиральная пружина, т. е, лента, свернутая в плоскую спираль, которая также подвергается изгибу, и т. д.);

— атомы, удерживаемые в молекуле упругими электрическими силами (задачи об инерционных весах, разбиравшиеся в гл. 7, по существу содержат рассмотрение простого гармонического движения);

— колебания воздуха при возникновении звуковых волн, например колебания воздуха внутри флейты (график зависимости р от V, соответствующий закону Бойля, непохож на прямую закона Гука, но изменения давления, которые здесь имеют место, очень малы, они укладываются на коротком участке графика, настолько коротком, что его можно практически считать отрезком прямой);

— жидкость в открытой U-образной трубке[159];

— струны музыкальных инструментов.

Мы называем это движение простым гармоническим колебанием, потому что подобные колебания совершаются в музыкальных инструментах, когда берут чистый тон (при этом от музыкальных инструментов исходят соответствующие звуковые волны).

При затухании колебаний период их остается неизменным, волны характеризуются неизменной частотой и мы слышим тот же звук.

Опыт 1. Наблюдая за колебаниями очень длинного маятника, можно лучше уяснить, что такое гармоническое движение. Можно попытаться самому совершать простое гармоническое движение, двигаясь взад и вперед по некоторому отрезку пути (фиг. 263).

Фиг. 263. Простое гармоническое движение.

При движении наклоняйтесь в направлении к центру отрезка так, чтобы наклон характеризовал ваше ускорение; в конце пути вы должны сильно наклониться в направлении к центру, а пробегая мимо центра с максимальной скоростью, — выпрямиться. В центре отрезка, где вы движетесь быстрее всего, вы не можете двигаться еще быстрее, поэтому ваше ускорение равно нулю. В конце отрезка ваша скорость на какое-то мгновение становится равной нулю, но в то же время она изменяется здесь быстрее всего, ибо сначала скорость направлена от центра, проходит через нуль, затем направление скорости меняется на обратное; в этой точке вы обладаете довольно большим ускорением, направленным к центру отрезка; так подсказывают ваши ноги. (Сопоставьте это с рассмотрением ускорения тела, брошенного под углом к горизонту, в «вершине» его траектории.).

График простого гармонического движения — синусоида.

Математика показывает, что зависимость от времени отклонения при простом гармоническом движении, определением которого служит соотношение а = —k²s, имеет вид s = A∙sinkt, где A — амплитуда колебания.

На фиг. 264 показана диаграмма движения маятника времени, вычерчиваемая им самим. К нижней части груза маятника прикреплена кисточка, обмакнутая в чернила, которая прочерчивает на равномерно протягиваемой длинной полосе бумаги диаграмму движения маятника во времени.

Фиг. 264. График зависимости отклонений маятника от времени.

На фиг. 265 представлена схема опыта, позволяющего получить такой же график с помощью колеблющегося камертона.

Фиг. 265. Диаграмма движения ножек камертона во времени.

К одной из ножек камертона полоской тонкой целлулоидной пленки прикреплено маленькое зеркальце, позволяющее получить увеличенную картину движения. Когда камертон колеблется, пучок света, отраженный зеркальцем, движется вверх и вниз в пределах некоторого угла и прочерчивает вертикальную полоску на стене. На пути света находится большое зеркало, которое равномерно вращается и развертывает луч на стене по горизонтали, вычерчивая таким образом временную диаграмму движения вверх и вниз от положения равновесия. Камертон — это по существу балка, претерпевающая изгиб, которая имеет форму буквы U. Балка упругая и подчиняется закону Гука, поэтому мы вправе ожидать, что она совершает простые гармонические колебания. Проделанные опыты показывают, что при простом гармоническом движении зависимость смещения от времени изображается синусоидой.

Амплитуда колебаний издающего звук камертона затухает — об этом свидетельствует кривая на стене. Однако частота колебаний сохраняется неизменной, как показывают расстояния между горбами кривой. Грубый удар по камертону молотком приводит к тому, что камертон совершает колебания сразу двух видов и позволяет наблюдать сложное гармоническое движение.

Простое гармоническое движение как проекция движения по окружности.

В элементарной тригонометрии определение синуса дается при помощи окружности, и можно легко прийти к выводу, что график синуса изображает проекцию движения по окружности. Поэтому поступим следующим образом: представим себе точку Р, движущуюся с постоянной скоростью по окружности, расположенной в вертикальной плоскости, и будем смотреть на эту окружность сбоку или будем рассматривать движение тени, отбрасываемой точкой Р на вертикальную стенку (фиг. 266).

Фиг. 266. Проекция движения по окружности.

Тогда точка Q (тень точки Р) будет двигаться вверх и вниз. Можно показать, что график зависимости смещения точки Q от времени представляет собой синусоиду (с уравнением s = A∙sinkt, где А — радиус окружности), а это, как мы знаем, и есть временная зависимость простого гармонического движения. Поэтому проекция движения по окружности представляет собой простое гармоническое движение.

На фиг. 267 и 268 схематически показаны опыты, позволяющие сравнить движение маятника или колеблющейся пружины с проекцией движения по окружности. (Инженерам-электрикам часто приходится иметь дело с переменным током, который представляет собой простые гармонические колебания и графически изображается синусоидой. Чтобы производить свои расчеты в сжатой форме, инженеры представляют такие токи или напряжения вращающимся радиусом-вектором, равным амплитуде тока или напряжения; конец этого радиуса-вектора описывает окружность. При вычислениях оперируют проекциями радиуса-вектора. Это считают само собой разумеющимся и обычно упускают из виду.).

Фиг. 267. Груз маятника движется в такт с проекцией точки, движущейся по кругу.

Фиг. 268. Груз, подвешенный на пружине, движется в такт с проекцией точки, движущейся по кругу.

На вал электрического двигателя (например, небольшого двигателя для электрических часов) насажен рычаг, изогнутый под прямым углом, к концу которого прикреплен шар В; при вращении двигателя шар описывает окружность. Движение тени, отбрасываемой на стенку шаром S, сравнивается с движением тени от груза небольшого маятника. Если правильно выбрать длину маятника и начальную стадию его колебания, то обе тени будут двигаться строго в такт. Подобным же образом можно добиться того, чтобы движения тени шара В и груза, подвешенного на пружине, все время оставались согласованными.

Различные определения простого гармонического движения.

Существует несколько определений простого гармонического движения:

4. Это движение взад и вперед, совершаемое грузом маятника (при малых отклонениях), или движение вверх и вниз, которое совершает груз, подвешенный на пружине (или любая другая система, подчиняющаяся закону Гука).

2. Это возвратно-поступательное движение, при котором ускорение (направленное вдоль траектории движения всегда к центру отрезка перемещения) изменяется прямо пропорционально смещению от центра.

3. Это проекция кругового движения, совершаемого с постоянной скоростью (например, круговое движение, каким оно представляется при наблюдении в плоскости круга, или движение тени, которую отбрасывает на землю тело, движущееся по окружности, лежащей в вертикальной плоскости, при освещении вертикальным солнечным светом).

4. Это движение, в случае которого график зависимости смещения от времени представляет собой синусоиду.

Математика, а также простые соображения из механики в первом определении показывают, что во всех случаях происходит одно и то же движение. Чтобы связать воедино приведенные определения, здесь требуется лишь проделать некоторые выкладки и указать на ряд опытов.

Значение простого гармонического движения.

Простое гармоническое движение играет такую же важную роль в описании природы, как движения с постоянной скоростью и с постоянным ускорением, поскольку:

1. Этот вид движения весьма распространен (примерами могут служить маятники, музыкальные инструменты, колеблющиеся детали машин, океанские приливы, переменные токи, свет, соответствующий определенной линии спектра).

2. Период этого движения не зависит от амплитуды (благодаря этому оно используется для измерения промежутков времени).

3. Это движение поддается простому математическому описанию.

S = A∙sinkt.

Откуда следует формула.

T = 2π/k.

Где.

K² = (Жесткость пружины)/(Масса).

Так можно предсказать величину Т. В других случаях измеряют Т и с помощью полученного значения подсчитывают жесткость пружины.

4. Согласно теореме Фурье, любое периодическое движение можно разложить на простые гармонические составляющие (см. ниже). Разложение легко выполняется методами математического анализа (когда исходное — периодическое движение описывается какой-либо формулой) или с помощью вычислительной машины (когда исходный процесс представлен только графиком). Поэтому на основе простого математического описания гармонических движений можно рассматривать значительно более сложные движения: движение волн в гавани, музыкальные звуки, издаваемые кларнетом, речевые колебания, сейсмические волны…, движения электронов в атоме. Что касается звуков, то наши органы слуха, по-видимому, производят «гармонический анализ» и разлагают сложный звук на чистые тоны.

Гармонический анализ.

Теорема Фурье настолько всеобъемлюща, что трудно указать пределы ее приложения. Она не ограничивается периодическими движениями или повторяющимися процессами. Вот несколько примеров:

А) На фиг. 269 приведен график звуковых колебаний, создаваемых флейтой. Результат анализа кривой в очевиден: она представляет собой сумму сигналов, в которой значительная доля приходится на колебания а и содержится некоторая доля колебаний б. (Если подуть чуть сильнее, возникнет комбинация исходного тона и одного из его октавных повторений — обертонов — приятный музыкальный звук, хотя и необычный для флейты.).

Фиг. 269. Графическое изображение звуковых колебаний, создаваемых флейтой.

_{А — при нормальной игре; б — воздушная струя большой силы дает октавное повторение звука; в — воздушная струя несколько сильнее нормальной.}

Б) В радиотехнике можно без труда получить «прямоугольную волну» и продемонстрировать ее на экране осциллографа. (Форму прямоугольного сигнала может иметь, например, кривая, описывающая звук, издаваемый «щелкунчиком» с металлическими челюстями, которые быстро раскрываются, и резко смыкаются.) На фиг. 270 представлена попытка произвести гармонический анализ прямоугольного сигнала. Основная составляющая имеет такую же «длину волны», как и прямоугольный сигнал. В некоторых местах она выступает за пределы исходной кривой, а в других — не доходит до нее, и эти несоответствия формы должны быть компенсированы. Следующая составляющая должна иметь «длину волны», равную 1/3 основной, т. е. втрое большую частоту. Расхождения, остающиеся после этой составляющей, в значительной мере устраняются добавлением небольшой по амплитуде составляющей, у которой частота в 5 раз больше частоты исходной кривой, и т. д.

Фиг. 270. Разложение прямоугольного сигнала на гармонические составляющие.

_{Заметьте, что даже при большом числе гармоник результирующая кривая (сумма) обнаруживает нежелательные острые выбросы.}

Для точного описания необходим бесконечный ряд составляющих, отношение частот которых к частоте исходной кривой равно 1, 3, 5, 7… Однако даже сумма нескольких первых составляющих дает удовлетворительное приближение (если не считать нежелательных выбросов на вершине). Так мы получаем удобный способ проверки динамиков, микрофонов и т. д. На прибор подают прямоугольный сигнал. Если прибор хорошо воспроизводит форму прямоугольного сигнала, это значит, что он способен пропускать как очень высокие, так и весьма низкие частоты.

В) Речевые колебания часто имеют сложную форму. На фиг. 271 показана довольно простая по форме кривая, которая представляет собой графическое изображение звука «у…», произносимого нараспев. Вы можете предсказать результат разложения этого колебания на гармонические составляющие: основной тон + тон значительно более высокой частоты, который мы считаем характерным для данного гласного звука. Такой анализ чрезвычайно важен для инженеров: им пользуются при проектировании систем телефонной связи, по которой передается речь, при разработке экономичных преобразователей речевых колебаний в кабельной телефонии и высококачественных приемников, предназначенных для воспроизведения речи. Произнесенные нараспев другие гласные звуки или недостаточно искусные певцы вызывают гораздо более сложные с виду колебания, но эти колебания тоже можно без труда разложить на несколько основных составляющих.

Фиг. 271. Кривая звука «у…».

Г) «Волновой пакет». Гармонический анализ можно применить к одиночному импульсу (ему соответствует звук от шлепка или радиоволна, испускаемая при ударе молнии) и к короткому цугу волн, вроде волнообразного всплеска, которым в современной теории характеризуют положение движущегося электрона. Для идеального представления таких сигналов приходится складывать составляющие, которые образуют бесконечный набор частот, но составляющие с заметной амплитудой равномерно распределены в пределах полосы частот вокруг исходной частоты.

Мы должны составить сумму, содержащую основную составляющую с длиной волны исходного цуга волн + составляющую с несколько большей длиной волны +… + составляющую с еще большей длиной волны… + и т. д., и такой же набор более коротких длин волн. Горбы этих составляющих совпадают друг с другом в центре, но дальше согласованность их хода нарушается, и они гасят друг друга. Если исходный цуг волн длинный, то основные составляющие будут заключены в узком интервале частот или длин волн — чем длиннее цуг, тем уже полоса частот. Напротив, для очень короткого цуга (в предельном случае для отдельного выброса или импульса) требуется широкая полоса частот. (Это не очевидно; не обращаясь к математике, вы можете в лучшем случае сказать, что это могло бы быть так.) Изложенные представления имеют важное значение в современной атомной теории.

Основное достоинство гармонического анализа (который, как утверждает теорема Фурье, может быть применен всегда) состоит в том, что он позволяет с помощью простого математического описания разлагать сложные движения на серию гармонических колебаний. Гармонический анализ находит широкое применение в физике и технике, им пользуются специалисты в области телефонной связи, радиоинженеры, составители таблиц, предсказывающих океанские приливы, и т. д., а в наши дни и физики-теоретики, которые описывают поведение атомов и электронов с помощью гармонических составляющих.

Фиг. 272. Гармонический анализ.

_{А — составление «волнового пакета» путем сложения простых гармонических составляющих. Для этого синтеза необходимы гармоники всех частот (т. е. всех длин волн) от нуля до бесконечности. Мы получим короткий волновой пакет без возмущений до и после него. Важнейшие гармоники попадают в центральный «диапазон» частот (или длин волн), за пределом которого амплитуда гармоник должна быть еще меньше. Чем уже этот диапазон частот, тем длиннее волновой пакет, тем больше в нем укладывается длин волн;}

_{Б — разложение ограниченного цуга волн на составляющие. Если направить непрерывный поток волн на какую-либо преграду и убрать ее на короткое время, то можно ожидать, что за ней будет ограниченный цуг волн, который можно разложить на бесконечно большое число гармонических составляющих бесконечно малой амплитуды. Важнейшие гармонические составляющие попадают в центральный «диапазон» частот. Чем короче исходный цуг волн, тем шире получается этот диапазон частот гармоник при разложении;}

_{В — частицы и волны. Согласно нашим современным представлениям, все движущиеся частицы (электроны, ядра и т. д.) обладают волновыми свойствами. Частицу можно рассматривать как своего рода волновой пакет. Волна, входящая в состав волнового пакета, характеризует положение частицы и ее движения. Квадрат амплитуды волны в пределах пакета указывает вероятность нахождения частицы в этом месте, а длина волны определяет количество движения частицы по формуле mv = h/λ. Если мы хотим точно указать положение движущейся частицы, то должны ограничить связанную с ней волну коротким цугом волн, т. е. коротким волновым пакетом. Но такой волновой пакет будет представлен целым набором гармонических составляющих, т. е. возможные значения количества движения будут лежать в широких пределах. Значит, мы не можем точно указать количество движения частицы. Если же мы захотим точно задать количество движения, то должны будем ограничиться узким интервалом длин волн гармоник, Поэтому нам придется охарактеризовать положение частицы протяженным волновым пакетом, а оно будет в высшей степени неопределенным.}

Применение математического анализа и формула маятника.

Начнем с движения, определяемого соотношением.

S = A∙sinkt.

Где А — амплитуда, а k — постоянная. Продифференцируем смещение s по времени t и найдем скорость, затем произведем дифференцирование еще раз и найдем ускорение.

V = ds/dt = k∙A∙coskt.

A = dv/dt = — k²A∙sinkt = — k²s.

Отсюда видно, как вычислить период Т рассматриваемого движения:

Т = Промежуток времени от t = 0 до t = T, = Промежуток времени, в течение которого проходит полный цикл изменения s, = Промежуток времени, в течение которого величина (kt) пробегает значения от 0 до 2π;.

Т. e.

Период Т= 2π/k.

Таким образом, относительно любой системы, которой действующие на нее силы сообщают ускорение — k²s, можно сказать, что «эта система способна совершать простые гармонические колебания с периодом 2π/k».

«Формула маятника»[160].

Мы уже показали, что при малых отклонениях маятника.

УСКОРЕНИЕ ГРУЗА = (g/L)∙s.

Сравним это с полученным выше результатом.

УСКОРЕНИЕ = —k²s.

Величина, равная в общем виде [кг], в случае маятника равна [g/L].

Таким образом,

Это «формула маятника», которой пользуются при точном измерении g с помощью простого маятника.

Волны.

Любое изменение формы, при котором форма перемещается (но это не связано с переносом среды), называется волной. Быстро движутся волны воды, причем вода взметается вверх и опускается, а волны расходятся кругами, не унося воду далеко с собой. Понаблюдайте, как движется вверх и вниз плавающий на воде кусок пробки или поплавок, когда мимо него проходят волны. Представьте себе, как распространяются волны от веревки, рябь в пруду, звуковые волны в воздухе. От порыва ветра по некошеному полю пшеницы пробегает волна; она бежит по полю, а стебли остаются на месте, сгибаясь и снова выпрямляясь. Мы можем даже сказать, что слух в толпе тоже распространяется как волна.

Скорость, длина волны, частота.

Скорость распространения волны V — это скорость, с которой перемещается ее форма, т. е. скорость перемещения любого участка волны, будь то гребень, или впадина, или область сжатия (в акустической волне).

Вдоль натянутой веревки могут перемещаться с определенной скоростью поперечные волны, и если конец веревки будет совершать простое гармоническое движение, то мы получим простую гармоническую волну с определенной длиной волны, которую обозначим греческой буквой λ (фиг. 273).

Фиг. 273. Импульс (а) и простая гармоническая волна (б).

Длина волны — это расстояние от гребня до гребня или от впадины до впадины, т. е. расстояние между любой парой точек, в которых состояние среды находится в одной и той же стадии (фазе) цикла изменений. Другими словами, это расстояние, через которое конфигурация волны повторяется.

Если источник S совершает простое гармоническое колебание и делает при этом f полных колебаний в секунду, то мы говорим, что его частота равна f. Источник S испускает волны с частотой f колебаний в секунду, и мимо любого наблюдателя О должны проходить f колебаний в секунду, иначе волны будут теряться или возникать между S и О:

ЧАСТОТА f = Число колебаний в сек,

= 1 сек / ВРЕМЯ, ЗА КОТОРОЕ СОВЕРШАЕТСЯ ОДНО КОЛЕБАНИЕ =

= 1 сек / ПЕРИОД Т сек = 1/Т.

Следовательно, для любой простой гармонической волны (как и для любого простого гармонического колебания) f = 1/T.

Скорость распространения волн V м/сек означает, что выбранный гребень проходит V метров за одну секунду (по веревке или другой среде). Следовательно, за 1 сек от источника будет отделяться цуг волн длиной V м. Но за 1 сек источник совершает f колебаний, каждое из которых простирается на одну длину волны.

Таким образом, цуг волн длиной V м содержит f длин волн λ.

СКОРОСТЬ = ЧАСТОТА∙ДЛИНА ВОЛНЫ,

V = f∙λ.

Это соотношение применимо к любым волнам.

Фиг. 274. Волны.

_{F — Число колебаний в 1 сек.}

Обозначения в случае световых волн.

В дальнейшем, когда вопрос пойдет о световых волнах, мы, следуя традиции, будем пользоваться особыми символами:

С — скорость распространения света (в воздухе или в вакууме),

V — частота,

λ — длина волны.

Распространяются волны.

По существу участок среды, возмущенный волной, в свою очередь вызывает возмущение следующего за ним участка среды приводит его в движение. Посмотрите на фиг. 275. На ней показаны последовательные стадии распространения волны по веревке.

Фиг. 275. Распространение волны вдоль веревки.

_{А — волновая картина в данный момент; б — спустя короткое время; в — силы, приложенные к элементу веревки в точке В в данный момент; Т — натяжение веревки.}

В стадии а участок веревки В движется вверх; в стадии _{(… скан неразборчив, предположительно a + ¹/4. Прим. [☺])} некоторое время спустя, волна переместилась вперед, и точка В находится еще выше. Таким образом, в стадии а точка В должна двигаться вверх и, как видно из рисунка, продолжает двигаться вверх и в стадии б, но не так быстро. Что же касается участка веревки А, то в стадии а он достиг максимального «смещения» и не движется. Точка С не имеет смещения, но быстро движется вверх. (Скорости различных точек среды не имеют ничего общего со скоростью распространения волны V.) Волна продвигается вперед, поскольку каждый участок среды движется (большую часть времени) и силы, приложенные к ней со стороны соседних участков спереди и сзади, обычно неодинаковы. (Посмотрите, какие силы действуют на участок веревки в точке В со стороны соседних участков в стадии а на фиг. 275. Силы не вполне параллельны, и их результирующая направлена вниз. Она должна замедлять скорость точки В, которая двигалась вверх с такой же скоростью, что и точка С, и придет в состояние покоя, в котором в данный момент находится точка А.)

Большинство волн, с которыми мы имеем дело в физике, переносят в среде количество движения и энергию (см. гл. 26[161]).

Зная силы, действующие в среде, и массы колеблющихся объемов среды, можно детально изучить распространение волн и вычислить их скорость. Даже в самых простых методах используют математический анализ, и мы не будем останавливаться на этом подробно.

Звуковые волны — продольные; смещения в этом случае происходят в направлении распространения волн, а не в поперечном направлении. (Это можно проверить, наблюдая под микроскопом воздух с дымом. Мы сошлемся лишь на фиг. 276, на которой показана продольная волна, и приведем удобный способ графического представления волн, которым пользуются физики. Продольные смещения откладывают по оси, перпендикулярной к направлению распространения волн, и картина преобразуется к виду волны, распространяющейся по «веревке».).

Фиг. 276. Продольные волны и их графическое представление.

Свойства волн.

Волны отражаются (звук от стены, водяные волны от волнолома) и «преломляются» (если волны попадают в область, где они имеют другую скорость, линия их распространения изгибается). Подробно с этими свойствами волн можно познакомиться по другим учебникам (главным образом учебникам по оптике).

Там показано, что отражение и преломление волн следует законам, которые уже известны по экспериментальному изучению отражения и преломления света. Гюйгенс — современник Ньютона — подробно изучил эти свойства и предположил, что свет представляет собой волны. Сам Ньютон отвергал это представление, ибо сомневался в том, что волны могут отбрасывать столь резкие тени. Он считал, что свет представляет собой поток частиц — корпускул, которые в соответствии с простой механикой должны претерпевать отражение и преломление подобно волнам.

Приведем пример применения волнового представления в оптике. На фиг. 277 схематически представлено, как свет фокусируется линзой. Лучи от раскаленного добела источника сводятся в обжигающее пятно, изображение источника.

Фиг. 277. Образование изображения световыми лучами.

Исходя из концепции волн, мы считаем, что источник излучает сферические волны (как на фиг. 278), которые становятся все больше, пока не достигнут линзы. За пределами линзы волны должны сокращаться в размерах по мере того, как сходятся в изображение, собираясь там практически в точку. (Изображение представляет собой область с наибольшей плотностью потока энергии.) Но как же волна под действием линзы превращается из выпуклой в вогнутую? Очевидно, что утолщенная центральная часть линзы должна приводить к задержке проходящей через нее волны так, чтобы выпуклость волны N (которая проходит через центр линзы) задерживалась больше всего и оказывалась за линзой N'. Следовательно, волна должна распространяться в стекле медленнее, чем в воздухе.

Что же касается корпускул, то они, чтобы следовать после линзы по тем же искривленным путям, должны двигаться в стекле быстрее, чем в воздухе.

Фиг. 278. Волны света.

На фиг. 279 показана траектория частицы вдоль луча света. Частица, двигаясь вдоль луча CDE, должна притягиваться стеклом в точке D (подобно молекуле пара, возвращающейся в жидкость) и, следовательно, должна двигаться в нем быстрее. Здесь можно произвести «решающий эксперимент» и проверить, какая из двух теорий света — волновая или корпускулярная — правильна; следует сравнить скорости света в воздухе и в стекле (или в какой-нибудь другой плотной среде, такой, как вода).

Фиг. 279. Траектория частицы света.

До 1850 г. этого не удавалось проделать, но потом измерения показали, что свет распространяется в воде медленнее, чем в воздухе. Еще до получения этого убедительного результата имелись другие наблюдения, которые указывали на существование волн света, — дифракция и интерференция.

Дифракция: огибание волнами препятствий.

Понаблюдайте, как волны на поверхности воды проходят между двумя барьерами. Проходя через широкий зазор (в котором укладывается много длин волн), волны продолжают распространяться в прежнем направлении, а по бокам остается спокойная вода, т. е. тень. Если зазор более узкий, угол, в котором волна распространяется после прохождения зазора, стремится расшириться. При очень узком зазоре это расширение становится максимальным: волна распространяется по всем направлениям в передней полуплоскости. (Гюйгенс указывал, что этого следует ожидать. Подойдя к преграде, волны заставляют колебаться воду в узком зазоре, и это порождает круговую рябь. Вода за преградой не «знает», что служит источником волн, не вызывает ли волны, скажем, погруженный в воду палец, которым двигают вверх и вниз в зазоре?.

Значит, мы должны ожидать, что от узкого зазора, ширина которого составляет лишь долю длины волны, волны будут распространяться по всем направлениям.) Это изменение направления волн, в результате которого волна распространяется в широком диапазоне направлений, или огибание волнами препятствий, называется дифракцией.

Если свет представляет собой волны, то почему солнечный свет проходит через булавочный прокол в виде резко очерченного пучка и не рассеивается? Потому что обычный булавочный прокол — это широкое отверстие; ширина его, как мы теперь знаем, составляет тысячи λ! Если свет находит в преграде очень маленькое отверстие, он рассеивается. Проделайте такой эксперимент. Посмотрите сквозь булавочный прокол в картонке или щель между указательным и большим пальцами на находящийся где-то вдали зажженный уличный фонарь. Вы увидите резко очерченные контуры фонаря без заметного рассеяния, т. е. без дифракции. Попробуйте посмотреть на фонарь через булавочный прокол меньшего размера. Если взять очень маленькое отверстие, то сквозь него не только будет проходить меньше света, но свет от уличного освещения будет казаться вам размытым: начнет проявляться дифракция. Можно воспользоваться сеткой с очень маленькими отверстиями: куском легкой ткани вроде зонтичной или шелковым носовым платком. Теперь уличный фонарь представится вам в виде узора из ярких пятен. Измерения в этом случае могут помочь оценить значение λ. Волны могут (и должны) создавать такую картину, когда отверстия отстоят одно от другого на несколько λ, частицы же создавать ее не могут. Попробуйте просеять песок (изображая таким образом поток частиц) через мелкое проволочное сито. На столе образуется горка, а не другая какая-нибудь конфигурация из отдельных холмиков.

Понаблюдайте за демонстрационными опытами по дифракции света: обратите внимание на эффект прохождения света через узкую щель; посмотрите, что происходит при прохождении света мимо сплошной стенки. Свет рассеивается, и в области тени образуется ряд узких полос; обратите также внимание на странный случай с «отверстием в любой монете», о котором говорится в первом примечании в гл. 31[162]).

Фиг. 280. Дифракция волн, проходящих через отверстие.

Интерференция.

Наиболее убедительным доказательством существования волн и, возможно, самым важным их свойством является интерференция. При наложении двух цугов волн в какой-либо области производимые ими эффекты складываются. Предположим, мы имеем два источника S₁ и S₂, испускающие волны в такт друг с другом (в случае звуковых волн это легко сделать с помощью двух соединенных последовательно динамиков, по которым проходит один и тот же ток). Чтобы наблюдать интерференцию света, освещают две узкие щели или два отверстия — булавочные проколы, расположенные рядом, при этом происходит дифракция света, и от каждого отверстия расходятся одинаковые волны, идущие в такт друг с другом. Посмотрим, что происходит с этими волнами, когда они достигают удаленного на большое расстояние наблюдателя. До точки Р (фиг. 281, а) оба цуга волн проходят одинаковые расстояния и достигают этой точки в одинаковой фазе. Производимые ими эффекты совпадают. Горб — впадина — горб и т. д. соответствуют горбу — впадине — горбу и т. д. В результате в точке Р наблюдается светлая полоса. Пусть теперь наблюдатель переместится в точку Q, до которой один цуг волн проходит расстояние, большее, чем другой, на половину λ. В этой точке производимые одним цугом эффекты горб — впадина — горб и т. д. вычитаются из другого впадина — горб — впадина и т. д., и результирующий эффект равен нулю. [В этом заключается принцип интерференции: волны не уничтожают друг друга, а просто складываются алгебраически, и производимые ими эффекты усиливаются (горб + горб = горб) или взаимно уничтожаются (горб + впадина = нуль).] В 1803 г. Томас Юнг убедительно доказал своими опытами, что свет — это волны. Свет от одного источника падал на две щели, расположенные близко одна к другой (фиг. 281, б), и Юнг исследовал свет, падавший на удаленную стену.

Фиг. 281. Интерференция волн.

_{При прохождении волн через два отверстия в результате наложения волн возникают интерференционные полосы, которые можно наблюдать на удаленном экране.}

Там он обнаружил чередующиеся темные и светлые полосы, интерференционные полосы, образование которых характерно для волн. В центре имеется светлая белая полоса, а по бокам от нее — темные полосы, дальше светлые и темные полосы чередуются, но при удалении от центра полосы оказываются окрашенными.

Если пользоваться светом одного цвета[163], для которого характерна одна длина волны, то можно отчетливо увидеть много светлых и темных полос. Пути, проходимые волнами от обеих щелей до центральной светлой полосы, одинаковы, расстояния же до других полос различаются. В тех случаях, когда разность хода волн равна λ или 2λ и т. д., т. е. целому числу длин волн, наблюдается светлая полоса, свет + свет = более яркий свет. В тех местах, для которых разность хода волн равна ¹/₂λ или 1¹/₂λ и т. д. (вообще на половину длины волны больше целого числа длин волн), наблюдается темная полоса — в этих местах свет + свет = отсутствие света. Это явление называется «интерференцией»; на самом же деле это сложение двух волн с противоположными смещениями, которое в сумме дает нуль.

Если проделывать описанный опыт с источниками света разных цветов, то получится различное расстояние между полосами: при красном свете расстояние будет больше, чем при зеленом, а при зеленом — больше, чем при синем, что свидетельствует о разнице в длине волны. Поэтому если пользоваться белым светом, то при удалении от центра полосы становятся неясными из-за наложения друг на друга полос различных цветов.

Вам следует посмотреть эти «полосы Юнга», которые служат доказательством волновой природы света и свидетельствуют об очень малой длине световых волн. (Потом вы узнаете, что такое «фотоэлектрический эффект», который доказывает, что свет — это не волны, распространяющиеся во все стороны, а поток частиц. Этот парадокс будет рассматриваться в конце курса.).

Опыт 2. Приближенное измерение длин волн света. Возьмите в качестве источника света электрическую лампочку с прямой нитью накала. В нескольких метрах от лампочки поместите две щели, параллельные нити накала. Расположитесь в нескольких метрах за щелями и наблюдайте интерференционные полосы через кусок матового стекла или матированного целлулоида. (Наблюдать полосы спереди на белом экране трудно, так как они могут быть слишком слабыми; с помощью прозрачного экрана увидеть их значительно легче.) Чтобы изготовить щели, достаточно процарапать две линии на зачерненной фотопластинке или на серебряной подложке старого зеркала. Линии должны располагаться одна от другой на расстоянии примерно 0,5 мм или еще ближе. Измерьте примерно расстояние между светлыми полосами и вычислите λ. (Если опыт производится с белым светом, то этот результат будет представлять собой очень грубую оценку средней длины волны.). Помещенный между источником и щелями зеленый фильтр позволяет увидеть больше полос и получить более точную оценку для зеленого света. Однако цель этого опыта — иллюстрация принципа, а не достижение точности в измерении. Воспользуйтесь рисунком, представленным на фиг. 282, где дана геометрия опыта.

Фиг. 282. Схема образования интерференционных полос.

Если центральная полоса находится в точке Р, а ближайшая светлая полоса — в точка Q, то разность хода S₁Q — S₂Q должна быть равна λ. Проведем отрезок S₂M перпендикулярно к TQ. Тогда S₁M — это разность хода λ. Учитывая, что расстояния велики, а углы малы, можно считать треугольник S₁S₂M практически подобным треугольнику PQT. Тогда из подобия этих треугольников имеем. λ/S₁S₂ = PQ/TQ. Следовательно, λ = (S₁S₂)∙PQ/TQ. λ = (РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ЩЕЛЯМИ)∙(РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ПОЛОСАМИ) / РАССТОЯНИЕ ОТ ЩЕЛЕЙ ДО ПОЛОС.

Интерференция волн на поверхности воды.

Посмотрите на волны, возбуждаемые в мелком резервуаре колеблющимся камертоном, ножки которого представляют собой два источника, излучающих волны в одинаковой фазе. Вы заметите, что в определенных направлениях распространяются усиленные волны — «яркие полосы», между которыми расположены области слабо возмущенной воды. Полоса усиленных волн представляет собой гиперболу, для точек которой (например, для точки х на фиг. 283, в) справедливы уравнения:

S₁X — S₂X = λ для одной гиперболы,

= 2λ для следующей.

И т. д.

Фиг. 283. Интерференционные полосы в среде.

Дифракционные решетки: спектры.

Возьмем теперь не две, а большое число параллельных щелей, расположенных на равных расстояниях одна от другой. Таким способом мы при получении дифракционных картин пропускаем больше света, и сама картина оказывается более четкой. Чтобы получить более широкую дифракционную картину, расстояние между щелями делают меньше (скажем, ¹/₃₀₀ мм вместо 1 мм демонстрации интерференционных полос).

Такая система щелей называется дифракционной решеткой.

Изготовляют такие решетки нанесением штрихов на стеклянную пластинку с помощью алмаза с острым концом. Для нанесения штрихов используют очень точную делительную машину, соблюдающую равные интервалы между штрихами. Промежутки между штрихами играют роль прозрачных щелей.

Если направить на такую стеклянную дифракционную решетку пучок белого света, интерференционные полосы разбрасываются настолько, что по обеим сторонам от узкой центральной белой полосы становятся видны широкие цветные полосы (спектры), с помощью линзы свет, идущий в определенном направлении, собирают и получают изображение исходного источника — щели.

В монохроматическом свете изображение источника представляет собой резко очерченную узкую полосу, а в белом свете множество таких изображений при наложении даст широкий спектр.

Первый слева и справа спектр (спектр «первого порядка») создают волны, которые от каждой щели проходят на λ больше (или меньше), чем волны от соседней щели. В следующую спектральную полосу (спектр «второго порядка») приходят волны, у которых путь от двух соседних щелей отличается на 2λ. При этом, конечно, все приходящие волны данного света согласуются по фазе (фиг. 284).

Фиг. 284. Дифракционная решетка.

_{А — к центральной светлой полосе; б — к спектру «первого порядка»; в — к спектру «второго порядка».}

Если направить на дифракционную решетку желтый свет от окрашенного солью пламени, то мы увидим центральную желтую «линию» (изображение источника — щели, находящейся перед пламенем) и такие же резко очерченные желтые линии в первом порядке, во втором порядке и т. д. Представленная на фиг. 285 схема дает для спектра первого порядка соотношение.

Длина волны = d∙sin А,

Где А — угол между центральной линией и линией первого порядка, a d — расстояние между штрихами решетки, известное из данных делительной машины. Таким образом, имея в своем распоряжении хорошую дифракционную решетку, можно точно измерить длины световых волн. (Вы сами можете проделать такое приближенное измерение, используя долгоиграющую пластинку в качестве отражательной решетки. Чтобы измерить d для этой решетки, поставьте пластинку на проигрыватель и сосчитайте число оборотов.).

Освещение дифракционной решетки белым светом дает широкий спектр в нервом порядке, еще более широкий во втором порядке и т. д.

Фиг. 285. Схема распространения волн, прошедших через дифракционную решетку.

Лучи красного света отклоняются сильнее всего (поэтому длина волны красного света самая большая), затем следуют оранжевые, желтые, зеленые, синие, фиолетовые лучи. Измерения углов дают примерно следующие значения длин волн:

За пределами видимого спектра.

За пределами видимого света находится область инфракрасного излучения с большей длиной волны, которую можно легко измерить с помощью грубых дифракционных решеток. За инфракрасными лучами спектр продолжают радиоволны — от самых коротких волн так называемого сверхвысокочастотного (СВЧ) диапазона до обычных радиоволн, у которых λ измеряется сотнями метров. По другую сторону области видимого света располагаются ультрафиолетовые лучи с более короткими длинами волн, чем у видимого света (фиг. 286); длину волны ультрафиолетовых лучей измеряют с. помощью тонких дифракционных решеток, которые приходится помещать в вакуум, чтобы избежать поглощения этих лучей в воздухе.

Фиг. 286. Спектр электромагнитных волн.

_{А — некоторые источники электромагнитных волн; б — спектр электромагнитных волн.}

Спектры рентгеновских лучей.

Если длины волн видимого света измеряются многими тысячами ангстрем (А°), то рентгеновские лучи обладают значительно более короткой длиной волны, близкой к 1 А°.

Едва ли мыслимо нарезать столь тонкую решетку, у которой штрихи были бы расположены на расстоянии, скажем, 10 А° один от другого, чтобы наблюдать дифракцию рентгеновских лучей. (Правда, при наклонном расположении обычных решеток рентгеновские лучи «видят» уменьшенное расстояние между штрихами.) Мы же используем слои атомов в кристаллах. Электроны атомов в каждом слое рассеивают рентгеновские лучи в виде слабой «отраженной волны». Волны одной длины, отраженные от ряда слоев атомов под определенным углом, складываются в заметный по интенсивности пучок, совсем как при образовании обычного спектра складываются волны, идущие от штрихов решетки. Таким образом, имея кристалл известной структуры, можно измерить длину волны рентгеновских лучей (фиг. 287), а значит, использовать рентгеновские лучи для исследования расположения атомов в кристаллах. Оказалось, что все твердые тела имеют кристаллическое строение и даже у жидкостей расположению молекул присуща известная локальная упорядоченность.

Фиг. 287. Дифракция рентгеновских лучей в кристалле.

_{Рентгеновские лучи («свет» очень короткой длины волны) отражаются слоями атомов, и волны, отраженные от большого числа слоев, складываясь, дают в некоторых направлениях волну большой интенсивности.}

Линейчатые спектры.

Направленный на дифракционную решетку свет, испускаемый сильно нагретым газом, скажем парами натрия при внесении в пламя соли или неоном в газосветных лампах рекламного освещения, содержит всего несколько цветов. Его спектр состоит из разделенных темными промежутками полос, настолько узких, что каждый цвет образует тонкую «линию». Натрий дает желтую линию — фактически две расположенные близко друг к другу линии. Неон дает много линий. Водород, если заставить его светиться, испускает серию линий — красную, зелено-синюю, синюю, фиолетовую, причем промежутки между линиями подчиняются простому закону. Ртуть дает две желтые линии (фиг. 288), очень яркую зеленую линию, фиолетовую и другие линии, но не испускает красного света — отсюда странный цвет ртутных ламп уличного освещения.

Фиг. 288. Спектры.

На измерении таких линейчатых спектров основан единственный в своем роде чувствительный метод анализа. Дело в том, что каждый химический элемент испускает характерные для него одного линии. Линии, присущие химическим элементам, если классифицировать их по длинам волн, распадаются на серии.

По длине волны линии легко вычислить ее частоту:

ЧАСТОТА = СКОРОСТЬ / ДЛИНА ВОЛНЫ, или v = c/λ

При классификация линий по сериям вместо длин волн стали пользоваться частотами, и теперь, ко всеобщему удовольствию, эта традиция утвердилась. Частоты линий в каждой серии описываются еще более простой формулой. Но дело не только в этом: в современной теории частота стала неотъемлемой мерой порции энергии каждого кванта света.

Примерно сто лет назад была проведена классификация линейчатых спектров по сериям и стали появляться правила, выражавшие закономерность распределения частот в серии. Некоторые из этих правил (например, для водорода) имели вид простых математических формул, однако они не укладывались в существовашие тогда представления о строении атома. Поэтому «происхождение спектров» в течение многих лет продолжало оставаться загадкой.

Рентгеновские лучи, наподобие белого света, тоже разлагаются в сплошной спектр с уменьшенным в тысячу раз масштабом λ и ряд узких «линий», добавляющихся к сплошному спектру. Частоты этих линий характерны для атомов того вещества, из которого сделан антикатод рентгеновской трубки. Линии характеристического рентгеновского излучения образуют серии, отличающиеся простотой построения.

Хорошо, если бы вы смогли увидеть различные спектры. Для наблюдения спектра вместо дифракционной решетки можно воспользоваться стеклянной призмой. Разложение белого света при помощи призмы основано на иной зависимости пути лучей различных цветов, слишком сложной для прямых измерений длины волны. Призма — дешевый прибор и дает нам простой способ наблюдения спектров.

Спектры поглощения.

Раскаленные твердые и жидкие тела испускают «белый свет», который дифракционная решетка превращает в спектр. Иногда белый свет проходит через раскаленный газ или пар, температура которых ниже температуры раскаленного добела источника света. Это происходит, например, при прохождении солнечного света из центральных областей через более холодную солнечную атмосферу. В этом случае мы получаем «обратный линейчатый спектр» — спектр поглощения. В таком спектре характеристические линии «темные», т. е. в них отсутствует свет[164]. Более холодные газы поглощают как раз те цвета, которые они сами испускают в нагретом состоянии[165]. Это своего рода резонанс, т. е. «отклик» атомов газа на свет их собственной частоты, однако механизм этого явления оставался не вполне ясным, пока Бор не создал свою теорию атома.

Спектроскопия.

Спектроскопия — это область науки, занимающаяся изучением и измерением спектров, для которой характерна колоссальная точность измерений. Сегодня мы в состоянии измерить длины волн спектральных линий с точностью до одной десятимиллионной доли, а малые смещения линий даже с еще более высокой точностью. Эталон метра представлял собой бережно сохраняемый металлический стержень с тонкими штрихами на концах. Теперь метр определен как длина известного числа световых длин волн.

Новый стандарт дает следующее определение метра: 1 метр = 1 650 763,73 длин волн излучения газообразного криптона.

Спектры и атомная физика.

Исключительная узость спектральных линий, строгая закономерность в их расположении по шкале частот и смещение спектральных линий в магнитном или электрическом полях — все эти свойства после их открытия дали множество сведений о строении атомов. Тем не менее большая часть данных долгое время оставалась неразгаданной и получила правильное истолкование лишь в первой четверти нынешнего столетия, когда Бор выдвинул свою теорию. Теория Бора позволила дать весьма удовлетворительное и притом общее объяснение линейчатых спектров, спектров поглощения и даже спектров рентгеновских лучей. Свойства спектров удалось связать с особенностями поведения электронов в атомах.

Теория атома продолжает развиваться и сегодня. Поэтому спектроскопия по-прежнему играет первостепенную роль в технике измерений с высокой точностью, необходимых для изучения строения атома.

Стоячие волны.

В современных моделях атома поведение электронов и ядерных частиц часто описывают с помощью так называемых стоячих волн. Собственно говоря, это не волны, а своеобразная волновая картина колебаний, которые никуда не распространяются. Прежде чем показать, почему они вообще называются волнами, рассмотрим их просто как различные формы колебаний.

Скрипичная струна, закрепленная на концах, способна совершать множество простых колебаний: может наблюдаться одна область максимального отклонения вверх и вниз (пучность) посредине струны; может возникать волновая картина, при которой колеблющаяся струна разбита на два, три, четыре… любое количество участков с пучностями посредине (фиг. 289).

Фиг. 289. Формы колебаний натянутой струны.

На соседних участках отклонения струны противоположны по фазе. Если прогнуть и отпустить или небрежно дернуть струну, возникнет сразу много видов колебаний. В то же время легко возбудить любое простое колебание струны, если тронуть ее пальцем (или слегка прогнуть и отпустить), одновременно коснувшись струны в подходящем месте другим пальцем, чтобы подавить нежелательные виды колебаний (фиг. 290). Коснуться струны нужно в узле, т. е. в точке, которая при выбранной форме колебаний остается неподвижной.

Фиг. 290. Возбуждение колебаний простой формы.

При простом колебании струны колеблющиеся точки совершают простое гармоническое движение, и скрипка становится источником гармонических звуковых волн такой же частоты.

Пифагор выражал гармонию музыкальных звуков через отношения длины струн, а Галилей дал правило для определения частоты колебаний струны. Для одной и той же струны, колеблющейся с 1, 2, 3…. пучностями, частоты колебаний находятся в пропорции 1:2:3 и т. д. В современной теории атом тоже рассматривается как система, обладающая подобными формами стоячих волн с характеристическими частотами. Простые орбиты электронов в первых моделях атомов уступили место замкнутым кольцам из стоячих волн.

Чем дальше орбита, тем большее число пучностей стоячей волны укладывается в кольце. Примерно такие же волновые картины рисуем мы в своих представлениях и для атомного ядра. Но во всех этих случаях волны — это не участки струны, отклоняющиеся вверх и вниз, и даже не колеблющиеся электроны: волны здесь представляют собой лишь некую таинственную меру вероятности нахождения частиц в том или ином месте.

Хотя стоячие волны на струне определяют просто форму устойчивых колебаний струны, их можно представить себе как результат сложения бегущих волн. Возьмем очень длинную натянутую веревку и создадим две одинаковые волны, бегущие от каждого из концов веревки к ее середине (фиг. 291).

Срединный участок веревки остается невозмущенным, пока его не достигнут обе волны. Продолжая распространяться по веревке дальше и накладываясь друг на друга, эти бегущие волны создают установившуюся картину колебаний веревки. (Здесь мы сталкиваемся с проявлением принципа суперпозиции; две волны, распространяющиеся в разных направлениях, не мешают друг другу, поэтому возникающая картина представляет собой просто результат сложения обеих волн.) В тот момент, когда обе бегущие волны находятся в противофазе (а на фиг. 291), их сумма равна нулю; веревка в этот момент совершенно прямая, но участки ее быстро движутся в поперечном направлении, проходя через «нулевые положения».

Спустя ¹/₄ периода одна волна продвинется на ¹/₄ λ вперед, а другая — на ¹/₄ λ в противоположном направлении, и обе волны будут в одинаковой фазе, поэтому результирующая волна будет иметь удвоенную высоту гребней. Затем, через ¹/₄ периода обе волны снова будут в сумме давать нуль, а еще через ¹/₄ периода появится волна с удвоенной амплитудой и другой полярностью отклонения. На фиг. 291 изображены стадии волновой картины через интервалы в ¹/₄ периода (а-г).

Фиг. 291. Получение стоячих волн путем сложения двух цугов бегущих волн.

Путем построения графиков или с помощью алгебры и тригонометрии можно показать, что в промежуточных стадиях получается точно такая же результирующая волновая картина, как при колебаниях с максимальной амплитудой, только высота гребней будет меньше. Гребни и впадины наблюдаются всегда между одними и теми же точками веревки — узлами. Движение в целом можно представить графиком д на фиг. 291. Действительно, веревка разбивается на ряд участков, в концах которых колебаний нет, а середины колеблются с наибольшей амплитудой. Получается точно такая же картина, как стоячая волна в длинной скрипичной струне с большим числом пучностей. Значит, картину стоячей волны, устанавливающейся, скажем, на скрипичной струне, можно считать результатом сложения двух бегущих волн, которые распространяются в противоположных направлениях навстречу друг другу. Посмотрите на фиг. 291 и вы увидите, что узлы стоячей волны отстоят друг от друга на ¹/₂ λ (где λ — длина волны каждой из бегущих волн). Преимущества такого искусственного[166] представления колебаний с пучностями и узлами в виде стоячей волны в том, что оно позволяет определить длину волны обычных бегущих волн такой же частоты. Эта длина волны λ вдвое больше длины участка между двумя узлами.

Мы рассматриваем колеблющуюся струну, закрепленную на концах, как часть картины стоячих волн. Концы струны всегда неподвижны, это узлы. Если струна колеблется с одной пучностью, то длина струны L равна ¹/₂ длины волны: L =¹/₂ λ₁. Если колеблющаяся струна имеет две пучности, то длина бегущей волны λ₂ короче и на L укладываются две полуволны: L =2(¹/₂ λ₂). При трех пучностях L =3(¹/₂ λ₃). и т. д. Таким образом, длины волн образуют последовательность:

λ₁ = 2L, λ₂ = 2L/2, λ₃ = 2L/3 и т. д.

Но для любой бегущей волны скорость v = f∙λ. Поэтому частоты колебаний струны равны.

F₁ = v/λ₁ = v/2L.

F₂ = v/λ₂ = 2(v/2L)

F₃ = v/λ₂ = 3(v/2L) и т. д.

Итак, рассматривая простую картину волн и основываясь на предположении, что волны складываются геометрически, можно установить, что собственные частоты струны, закрепленной на концах, относятся как 1:2:3…. (Точно так же обстоит дело с колебаниями воздуха в трубе, флейте или органной трубе. Правда, многие музыкальные инструменты, например колокольчики, обладают колебаниями, частоты которых не образуют простой ряд целых чисел. Вот почему при ударе по колокольчикам они издают менее гармоничный звук.) Если бы мы знали скорость распространения волн по веревке, то смогли бы вычислить фактические частоты. (В следующем разделе дан вывод выражения для скорости v распространения волн по струне или веревке.) Напротив, измерив λ для стоячих волн известной частоты, можно определить v, не производя измерений бегущих волн. Этим пользуются для измерения скорости распространения звуковых или коротких радиоволн.

При проектировании приемных антенн инженеры стараются подогнать длину антенны так, чтобы приходящие радиоволны возбуждали в системе антенны стоячие волны напряжения и тока.

Простой вывод формулы для скорости распространения волн по веревке.

Мы предлагаем вашему вниманию вывод формулы для скорости распространения волн[167]. Возможно, он вас заинтересует, если же нет, то опустите его. В гл. 37[168] будет дан похожий вывод для скорости распространения электромагнитных волн — световых и радиоволн.

Представим себе веревку, протянутую горизонтально от «источника» волн S до дерева, отстоящего на очень большом расстоянии (фиг. 292).

Фиг. 292. Вывод выражения для скорости распространения волны вдоль натянутой веревки.

Веревка туго натянута, натяжение в ней равно Т ньютон. Предположим, что S внезапно начинает поднимать конец веревки с вертикальной скоростью u и что этот подъем продолжается неопределенно долго. В результате образуется излом, который перемещается по веревке. Излом представляет собой волновое возмущение, распространяющееся вдоль веревки со скоростью v. Волну любой формы можно представить себе состоящей из множества изломов, причем один излом является как бы продолжением другого. Поэтому, вычислив скорость v, с которой перемещается вдоль веревки излом, можно определить скорость распространения вдоль веревки волны любой формы. Спустя t сек, излом проходит вдоль веревки путь v∙t, a S поднимает свой конец веревки на u∙t.

Представим себе, что рядом с перемещающимся по веревке изломом бежит со скоростью v наблюдатель, держа коробку, которая закрывает излом, не касаясь, однако, веревки. Наблюдатель увидит, что за короткий интервал времени Δt в коробку войдет участок веревки длиной v∙Δt в горизонтальном направлении и выйдет под некоторым углом к горизонту, обладая вертикальной компонентой скорости u. Масса этого участка веревки равна d∙v∙Δt, где d — «линейная плотность» веревки, т. е. масса на единицу длины (в кг/м). Участок веревки, о котором идет речь, приобретает за время Δt количество движения в вертикальном направлении, равное (d∙v∙Δt)∙(u). Следовательно, на наш участок веревки должна действовать вертикальная сила, которая дается выражением.

F = ПРИОБРЕТЕННОЕ КОЛИЧЕСТВО ДВИЖЕНИЯ / ВРЕМЯ,

= (d∙v∙Δt)∙(u)/(Δt) = d∙v∙u.

Коробка не касается веревки, поэтому сила эта должна бить обусловлена натяжением T' веревки, расположенной под углом к горизонту: сила F должна представлять собой вертикальную компоненту T'. (Обратите внимание, что со стороны источника к веревке, расположенной под углом, должна быть приложена несколько большая сила T', чем первоначальное натяжение, и натяжение Т в невозмущенной горизонтальной части веревки должна уравновешивать горизонтальная компонента силы Т'.).

Разложим Т' на вертикальную компоненту (Т')_у и горизонтальную компоненту (Т')_х. Значит, (Т')_у — это та сила F, действием которой обусловлено появление количества движения в вертикальном направлении, а (Т')_х= Т.

Иначе говоря,

F/T = (Т')_у/(Т')_х.

А из подобия треугольников.

F/T = S₀S/S₀K = u∙t/v∙t = u/v.

Таким образом,

F = T∙(u/v)

Но мы имели.

F = d∙v∙u.

Следовательно,

D∙v∙u = T∙u/v и v² = T/d.

Отсюда.

V = √(T/d)

СКОРОСТЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛНЫ = √(НАТЯЖЕНИЕ ВЕРЕВКИ / МАССА НА ЕДИНИЦУ ДЛИНЫ).

В качестве простого упражнения определите с помощью полученного выражения частоту колебаний вертикального отрезка струнной проволоки длиной 2 м, к нижнему концу которого подвешен груз массой 10 кг. На отрезке колеблющейся проволоки — пять пучностей. Считайте, что 900 м проволоки имеют массу 2 кг, и возьмите любые данные, какие вам потребуются, из предыдущего параграфа.

Ответ. 262,5 колебания в секунду, что соответствует музыкальному звуку, близкому к звуку «до» первой октавы.

Резонанс.

Всякая система, совершающая колебания, обладает присущими ей единственными способами колебательного движения, которые называют собственными колебаниями. Колебаниям такого рода соответствуют вполне определенные частоты.

Например, туго натянутая струна может колебаться с образованием одной, двух и т. д. пучностей, и если привести струну в движение, а потом предоставить ее самой себе, то она будет совершать одно из собственных колебаний либо это будет смесь из нескольких таких колебаний. Любое свободное колебание, каким бы сложным оно ни казалось, представляет собой просто смесь собственных колебаний системы. Если же воздействовать на систему с силой, изменяющейся по гармоническому закону, то система откликнется на это воздействие малыми колебаниями, частота которых совпадает с частотой возмущающей силы. Выражаясь иначе, можно сказать, что приходящие волны возбуждают в системе небольшую по амплитуде стоячую волну, частота которой совпадает с частотой приходящих волн. Но если частота внешней силы или приходящей волны совпадает с одной из собственных частот системы, то в системе развиваются колебания очень большой амплитуды. Это явление носит название резонанса. (Настраивая свой радиоприемник на передачу определенной станции, вы используете явление резонанса.) То же самое бессознательно делает ребенок, постепенно усиливая колебания воды в ванне, пока волны не начнут выплескиваться через край. Атомная частица, пролетая мимо ядра, может пройти сквозь потенциальный барьер ядра. Этот неожиданный так называемый туннельный эффект служит примером проявления волновых свойств у частиц вещества. Туннельный эффект, очевидно, есть результат резонансного взаимодействия волны, связанной с частицей, и ядра при совпадении частоты волны с какой-либо собственной частотой системы — ядра.

Итак, учение о колебаниях и волнах, в частности понятие стоячих волн, занимает очень важное место в физике. Советуем вам в процессе изучения курса непременно наблюдать за волновыми явлениями, которые иногда можно встретить и в скрытой форме. Важную роль этих явлений вы оцените в полной мере в конце курса, познакомившись с современными представлениями о строении атома.

Интерлюдия. ПРИЛОЖЕНИЕ ПО АРИФМЕТИКЕ.

Физик непременно должен уметь свободно оперировать большими и малыми числами; уверенно обращаться с процентами, находя ошибки опыта; аккуратно строить графики, поскольку четкие, наглядные графики помогают анализировать результаты и иллюстрировать законы; разумно пользоваться пропорциональностью для установления связи между величинами и, наконец, самое главное — правильно оценивать роль приближенных расчетов в серьезных научных исследованиях. Эти навыки представляют собой орудия повседневного труда физика и всех, кто хочет приобщиться к его деятельности или разделить его мировосприятие. Главные инструменты, которыми пользуется физик: алгебра, геометрия, математический анализ — даются специальными курсами математики. Мы познакомим читателя с простейшими, если можно так выразиться, «подручными» средствами физика — арифметикой. «Все вещи начались в порядке, так они кончатся, и так они начнутся снова: согласно создателю порядка и мистической Математике Города Небес». Сэр Томас Браун, «Сад Кира» (1658 г.).

Глава 11. Приближенные вычисления, ошибки, пропорции.

«Круглые числа всегда неверны». Др. Джонсон.

Стандартная запись чисел.

Размеры атомов и электронов крайне малы, а число их невообразимо велико. Если выражать массы атомов и электронов в обычных единицах, то получаются чрезвычайно маленькие числа, а если выражать величину электрического тока количеством протекающих электронов, то мы получим огромное число. В атомной физике и астрономии производят арифметические действия над огромными числами и очень малыми числами, которые всегда выражают в виде десятичных дробей. И с теми, и с другими числами оперировать весьма неудобно, если они записаны полностью, как в элементарной арифметике. Поэтому обычно используют стандартную форму записи таких чисел. Любое число представляется в виде числа с одной значащей цифрой перед запятой, умноженного на число 10 в соответствующей степени, например 2,3 х 10⁶. Числа, записанные в стандартной форме, легко умножать (или делить), так как степени числа 10 просто складываются (или вычитаются).

При такой записи легко пользоваться счетной линейкой и при расчетах с помощью логарифмических таблиц. (Степень 10 дает непосредственно целую часть логарифма, а таблицы — дробную часть логарифма по первой части в стандартной записи.) Числом цифр после запятой можно охарактеризовать точность исходных данных или точность результата расчетов.

Например, толщина волоса близка к 0,00015 м.

Умножение этого числа на 10 дает 0,0015,

Еще на 10 дает 0,015,

Еще на 10 дает 0,15,

Еще на 10 дает 1,5.

Отсюда стандартная запись числа:

0,00015 x 10 x 10 x 10 x 10 равно 1,5, или 0,00015 х 10⁴ = 1,5.

Следовательно,

0,00015 равно 1,5/10⁴ или 1,5 х 10^-4.

Это и есть стандартная запись числа 0,00015.

Если попытаться рассортировать волосы по толщине и измерить толщину волоса с большой точностью, то можно было бы найти волос диаметром, скажем, 0,0001502 м. Мы должны записать это число в виде 1,502 х 10^-4 м. Сомневаясь в такой точности, можно отбросить две последние цифры и записать результат измерений в виде 1,50 x 10^-4 м. Заметьте: 1,50 x 10^-4 — это не то же самое, что 1,5 x 10^-4. Число 1,50 означает, что мы вполне уверены в цифре 1, вполне уверены в цифре 5 и считаем, что следующая цифра 0; она ближе к 0, чем к 1, или к цифре 9 числа 1,49. В то же время 1,5 означает число, лежащее где-то между 1,45 и 1,55.

Масса атома водорода равна.

0,00000000000000000000000000166 кг.

Чтобы избавиться от одного нуля, нужно умножить это число на 10. Чтобы избавиться от всех двадцати шести нулей, нужно умножить его на 10²⁶, тогда получим 0,166. Умножение еще на 10 дает 1,66. Таким образом, чтобы получить число 1,66, следует передвинуть запятую на 27 разрядов вправо, т. е. произвести умножение на 10²⁷. Но масса атома должна остаться неизменной, значит, нужно разделить 1,66 на 10²⁷. «Разделить на 10²⁷» записывают как «умножить на 10^-27», следовательно, масса атома водорода равна 1,66 х ^-27 кг.

Один килограмм гелия содержит.

1500000000000000000000000000 атомов гелия.

В стандартной форме это число будет записано в виде 1,5 х 10²⁷.

Чтобы перемножить числа, записанные в стандартной форме, нужно перемножить их «главные части» на линейке и сложить оба показателя степени числа 10 — сумма показателей даст новый показатель степени десяти.

Чтобы разделить одно число на другое, нужно вычесть из одного показателя степени числа 10 другой. Например,

A) (3,1 x 10⁴)x(2,0 x 10³) = 6,2 x 10⁴⁺³= 6,2 x 10⁷,

Б) (3,1 x 10^-4)х(2,0 x 10⁺¹) = 6,2 x 10^-4+1= 6,2 x 10^-3.

В) 3,1 x 10⁴/2,0 x 10³ = 1,55 х 10^4–3 = 1,55 х 10^1.

Г) 3,1 x 10^-4/2,0 x 10⁺¹ = 1,55 х 10^-4-1 = 1,55 х 10^-5.

Д) 3,1 x 10^-4/2,0 x 10^-7 = 1,55 х 10^-4-(-7) = 1,55 х 10^+3.

Е) (3,1 x 10^-4 х 6,0 x 10⁷)/(2,0 x 10^-3 х 1,55 x 10²) = 6,0 х 10^-4+7-(-3)-2 =

= 6,0 х 10^-4+7+3–2 = 6,0 х 10^4.

Счетная линейка.

Счетная линейка позволяет легко и быстро умножать и делить числа, если научиться оценивать доли мелких делений линейки. Но линейка ничего не говорит о том, где должна стоять запятая. Чтобы установить положение запятой, нужно либо проделать грубый подсчет в уме, либо записать все числа, над которыми производятся действия, в стандартной форме и после этого сделать приближенный расчет. Например, требуется вычислить.

(126 x 79,2 x 0,074)/(0,00521 x 876).

Линейка дает 1618. Грубый подсчет дает.

(120 х 80 х ⁷/₁₀₀)/(⁵/₁₀₀₀ х 800), или (120 х 7)/5, или примерно 160.

Поэтому запятую следует поставить так: 161,8.

Стандартная запись дает.

Следовательно, ответ 161,8.

Проценты.

Знак % означает просто ¹/₁₀₀, так что 2 % означает ²/₁₀₀; 6,21 % означает ^6,21/₁₀₀, a 0,03 % означает ^0,03/₁₀₀. Если вы хотите, например, выразить ³/₂₀ с помощью знака %, то нужно превратить ³/₂₀ в равновеликую дробь со знаменателем 100. В данном случае это просто: ³/₂₀ — это то же самое, что ¹⁵/₁₀₀. Значит, ³/₂₀ равно 15 %, т. е. 15 % — это просто иной способ записи дроби ³/₂₀ !

Чтобы перевести в % число ^3,2/₂₃, мы должны перевести его в равновеликую дробь со знаменателем 100. Для этого запишем ^3,2/₂₃ в виде дроби со знаменателем 1, после чего умножим числитель и знаменатель на 100. Производя затем деление в числителе, получаем.

Значит, ^3,2/₂₃ — это то же самое, что дробь ¹⁴/₁₀₀, которую мы записываем в виде 14 %. Выразить 3 в процентах от 20 означает просто записать дробь ³/₂₀ и превратить ее в равновеликую дробь со знаменателем 100, а затем записать новую дробь с помощью знака %. Мы записываем ³/₂₀ в виде ¹⁵/₁₀₀, следовательно, ответ 15 %.

Чтобы выразить 0,032 в процентах от 7,91, мы записываем дробь ^0,032/_7,91 и преобразуем ее так, чтобы числитель и знаменатель были целыми числами: ³²/₇₉₁₀. Затем превращаем эту дробь в дробь со знаменателем 100 и получаем.

Запись ошибок экспериментальных данных в процентах.

Если результаты двух измерений какой-нибудь величины несколько отличаются друг от друга, то их расхождение выражают в процентах от всего результата измерений. Так сделано в приводимых ниже примерах:

1) Экспериментаторы А и В фиксируют время на соревнованиях, они получили соответственно 506 и 504 сек. Разница в замерах 2 сек, ее нужно отнести к результату самих замеров, который немногим превышает 500 сек. Чтобы указать, насколько близко оба результата совпадают, мы выражаем их разность в виде доли всего времени: 2 сек/500 сек. Разность 2 сек составляет ²/₅₀₀ замеренного времени. Превращая эту дробь в дробь со знаменателем 100, получаем ²/₅₀₀ = ^0,4/₁₀₀ = 0,4 %. Мы говорим, что результаты измерений различаются на 0,4 %.

2) Два взвешивания одного и того же предмета дают 2,130 и 2,132 кг. Оба взвешивания различаются на 0,002 кг, эту разницу нужно отнести к результату взвешивания, равному 2 кг. Таким образом, интересующая нас дробь равна ^0,002/₂, или 0,001, т. е. 0,1 %. Мы говорим, что расхождение результатов взвешивания составляет 0,1 %.

Считая оба измерения одинаково надежными, (допустим, что они произведены двумя хорошо успевающими учащимися), мы можем выразить в процентах их расхождение, но это нельзя называть ошибкой в процентах. Если же экспериментатор проверяет новый прибор, измеряя с его помощью какую-либо известную величину, то расхождение между полученным результатом и стандартным значением можно выразить в процентах. Полученную таким образом величину можно назвать ошибкой (в процентах) и приписать ее прибору. Иногда проделывают много измерений той или иной величины и берут среднее из полученных результатов, рассчитывая таким путем исключить случайные ошибки. При этом можно выразить в процентах разности между отдельными результатами и средним значением и назвать их ошибками отдельных измерений, выраженными в процентах.

«Ошибка» (в процентах) характеризует небрежность при выполнении эксперимента или недостатки приборов, она свидетельствует о неопределенности в аппаратуре или в наших рассуждениях. Стремиться к чрезмерной точности при указании ошибок нет смысла. Это нелогично. Например, если разрубить обеденный стол на дрова, то вряд ли стоит потом зачищать куски дерева наждачной бумагой! Допустим, что, вычисляя ошибки, мы получили величину 0,4219365 %. Представлять ошибку таким числом — совершенно неразумно; так никогда не поступают. Если же указать, что ошибка равна 0,4 %, то это вполне имеет смысл, таким числом можно пользоваться.

Поэтому безразлично, на какое число мы будем делить при подсчете процентной ошибки: на один из результатов измерений, на их среднее или на какое-то близкое к ним округленное число. Выражая в процентах ошибку, т. е. недостаток точности, стараться вычислить ее как можно точнее — это просто тратить впустую время. В приведенном выше втором примере можно делить 0,002 на 2,130, или 2,132, или просто на 2. Ответы будут такие:

0,002/2,130 = 0,0939 %, 0,002/2,132 = 0,0938 %, 0,002/2 = 0,1000 %.

Все три результата дают при округлении одно и то же значение 0,1 %. Именно этим значением, легко вычисляемым в уме, и стал бы пользоваться любой физик.

Вычисления с ошибками.

Предположим, что для вычисления какой-то величины требуется перемножить несколько результатов измерений. Для нахождения ошибки произведения нужно сложить все ошибки (или неопределенности) сомножителей. При этом ошибку произведения, как и ошибки сомножителей, выражают в процентах. Например, допустим, что при измерении площади прямоугольного участка землемер по небрежности находит завышенные значения длины и ширины. Предположим, что измеренная им длина завышена на 2 %, а ширина — на 3 %. Результат вычисления площади участка будет завышен на 2 + 3 %, т. е. на 5 %, а не на 2 x 3 %, что составляет 0,06 %. Предлагаем вам разобрать следующие задачи.

Задача 1. Ошибки в сомножителях. А) (Арифметическая задача.) Длина прямоугольного участка 400 м, а ширина 300 м. Измерения выполнены неточно, они дали значения 408 м на 309 м. Вычислите истинную площадь поля. Вычислите площадь поля по результатам измерений. Выразите ошибку, допущенную при измерении длины участка, в процентах от длины. Найдите также ошибку в процентах, допущенную при измерении ширины. Выразите ошибку в определении площади участка в процентах от площади. Чтобы найти площадь участка, мы умножаем его длину на ширину. Какое правило нужно применить для определения ошибки, допущенной при вычислении площади в приведенном примере? Как мы должны поступить: перемножить ошибки, допущенные при измерении длины и ширины участка, или сложить эти ошибки? Б) (Более формальный подход.) Рассмотрите задачу следующим образом: Результат определения длины. 408 м или (400) + (2 % от 400). Мы можем записать это в виде. 400 + (²/₁₀₀)∙400. И представить произведением 400∙(1 + ²/₁₀₀) Точно так же запишите ширину участка. Вычислите площадь участка по полученным результатам измерений, перемножив длину и ширину, записанное в виде произведений: (400∙(1 + ²/₁₀₀))∙(300 + ()). Это дает. 400∙300∙()(). Или. 120 000∙()(). Величина 120 000 кв. м характеризует истинную площадь. Поэтому произведение ()(), будучи представлено суммой (1 + некоторое число), прямо дает ошибку в процентах при определении площади. Преобразуйте произведение ()() к сумме вида (1 + некоторое число), как это делается в алгебре. Точно так же, как запись 400∙(1 + ²/₁₀₀) указывает ошибку 2 % в измерении длины, 400 м, результат такого преобразования покажет, что ошибка в определении площади равна…%. В) (Алгебраический вариант.) Размеры прямоугольного земельного участка X м на Y м. Длина участка завышена при измерении на x % и равна по данным измерений Х + (x/100)∙Х м; ширина завышена на у%. Разложите длину и ширину, найденные при измерениях, на множители, как в задаче (б). Перемножьте обе величины, чтобы найти площадь. В полученном результате нужно выделить ту часть, которую можно истолковать как ошибку в процентах, допускаемую при определении площади. [Обратите внимание на то, что ошибка не равна в точности величине, вычисляемой по приведенному выше простому правилу. Произведение ()(), приведенное к сумме (1 + некоторое число), содержит еще одну очень малую дробь со знаменателем 10 000. Эта дробь представляет собой чрезвычайно малую добавку к ошибке, и ею можно пренебречь. Убедитесь в этом сами, подставив конкретные числа; например, возьмите 2 вместо х и 3 вместо у.] Г) (Геометрический вариант.) Нарисуйте прямоугольный участок поля. Удлините стороны прямоугольника так, чтобы длина увеличилась на х%, а ширина — на у%, и очертите новые границы участка. Какую долю первоначальной площади составляют добавочные полоски? Задача 2. Ошибки в сомножителях со знаками плюс и минус. Предположим, что в задаче 1 при обмере участка длина оказалась завышенной, а ширина заниженной. Покажите в общем виде с помощью алгебраических преобразований или на примере с конкретными числами, что ошибка в процентах при вычислении площади равна разности ошибок в определении длины и ширины или алгебраической сумме этих ошибок, если ошибку заниженного результата измерений считать отрицательной. Задача 3. Ошибки в двух и более одинаковых сомножителях. Предположим, что прямоугольный участок в приведенных выше задачах представляет собой квадрат. Если землемер это знает, он измеряет лишь одну сторону квадрата X (с ошибкой х%) и для определения площади возводит результат измерения в квадрат. 1. Какова ошибка в процентах при таком подсчете площади? 2. Вообще если произведение содержит сомножитель X², то ошибка х% сомножителя X приводит к ошибке в произведении, равной…%. 3. Если произведение содержит величину X³, то ошибка х% сомножителя X приводит к ошибке в произведении, равной…%. 4. Если произведение содержит величину Xⁿ, то ошибка х% сомножителя X приводит к ошибке в произведении, равной…%. Задача 4. Ошибки в квадратных корнях. Предположим, что произведение содержит в качестве множителя √Х. Как повлияет ошибка в X, равная х%, на точность произведения? Попытайтесь сообразить, какой будет ответ, воспользовавшись одним из следующих способов: 1. Запишите √Х в виде X^1/2 и примите в качестве допущения, что правило решения четвертого вопроса задачи 3 применимо и в том случае, когда n — дробное число. 2. Если множитель √Х фигурируете произведении дважды, то мы получаем √Х∙√Х, или (√Х)², т. е. X. Значит, ошибка в X, равная х%, дает ошибку х% в произведении. Поэтому если множитель √Х встречается только один раз, то мы полагаем, что ошибка составит… %. _{…текст не читается…} Сталкиваются, например, при разделении изотопов урана для получения атомной энергии. См. задачу в гл. 30[169].) Задача 5. Ошибки в делителях. Предположим, нам нужно вычислить частное X/Y. Если значение Y завышено на у%, то как это отразится на частном? Предположим, мы увеличили X на столько же процентов, что и Y. Тогда частное будет, равно. Или X/Y, т. е. не изменится. Если знаменатель дроби завышен на у%, то эта ошибка в точности компенсирует ошибку у% в числителе, который тоже завышен. Обе ошибки дают одинаковый по величине и противоположный по знаку вклад в ошибку частного. Следовательно, если завысить на у% знаменатель дроби, то это приведет к такому же результату, как занижение на у% числителя. Значит, ошибка +у% в делителе Y приведена к ошибке частного X/Y, равной — у%. Заметьте, что это следует и из решения четвертого вопроса задачи 3. Задача 6. Вычисление результата с несколькими множителями. Предположим, эксперимент приводит к результату. Экспериментаторы дают для своих измерений следующие ошибки в процентах: От точного значения 126 может отличаться на ±1 %, 9,25 — на ±0,2 %, 0,0740 — на ±0,1 %, 29,62 — на ±0,2 %, 0,00521 — на ±0,1 %. Если бы все результаты отдельных измерений были занижены на величину ошибки, то. А) числитель записанной выше дроби R был бы занижен на…?…%, Б) знаменатель дроби R был бы занижен на…?…%; В) вследствие этого окончательный результат (R = 1530) был бы за…ен? На…?…%. В самом худшем случае все результаты измерений, стоящие в числителе, могут быть занижены на величину ошибки, а все результаты измерений, стоящие в знаменателе, — завышены на величину ошибки; Г) в этом случае результат будет за…ен? на…?…%. На практике мы рассчитываем, что столь коварного заговора против нас не будет. Тем не менее результат, который получается в последнем случае, может служить серьезным предостережением.

Оценка как единственная возможность.

Часто бывает необходимо прикинуть ответ, хотя нет данных для точного расчета или нет ни времени, ни возможностей использовать все данные полностью. Например, при сильном снегопаде в большом городе городские власти хотят знать, сколько человек требуется для уборки снега. Неважно, будет ли это 3219 или 3456 человек: вполне достаточно установить, что требуется 3000–4000 человек. Но эту цифру нужно получить быстро: обсуждать и уточнять, требуется ли 3119 человек или на 100 больше или на 50 меньше, не приходится — задержка повлечет большие затраты времени и денег, а может привести и к серьезной опасности.

Однако уборка снега — старая проблема, где подсчет может базироваться на опыте прошлых лет. Иногда возникают новые проблемы, требующие быстрого ответа, хотя даже исходные данные можно оценить лишь ориентировочно. Например, генерал спрашивает полковника, указывая на карту. «Сколько человек может прокормить этот район в течение месяца?» Генерала устраивает незамедлительный, пусть ненадежный ответ: «Около 7000».

Тщательное обследование и точный учет продовольствия и потребностей, включая детальное рассмотрение транспортной проблемы, могли бы дать более достоверный ответ, скажем 9250. Но необходимые данные нельзя получить, пока район не будет занят!

Еще один пример. При пересмотре налогов нужно быстро получить приближенную оценку объема импорта табака. Ошибка даже на 40 % не помешает решению задачи. Детальное изучение вопроса могло бы привести к результату, отличающемуся от истинной цифры всего на 0,1 %. Но оно было бы сопряжено с ненужной тратой средств и не имело бы ничего общего с научным подходом к проблеме. Дело в том, что этот точный результат играет лишь второстепенную роль в общем комплексе вопросов и должен учитываться совместно с другими сведениями, которые не могут быть точными.

На рубежах новых знаний приближенная оценка может оказаться главным и единственным результатом эксперимента. Тем не менее ученые могут быть очень рады такому результату[170].

Например, в раннюю эпоху развития атомной физики эксперименты позволили высказать предположение, что «атомы углерода имеют по 6 электронов». Сегодня мы знаем, что каждый нейтральный атом углерода имеет ровно 4 электрона, ну а 50 лет назад физики были рады узнать, что это число электронов близко к 6, а не к 2 или 20. Они смело приняли число электронов равным 6 и выдвинули теорию строения атомов, которая содействовала дальнейшему развитию атомной физики, направляя экспериментаторов и теоретиков по верному пути. Опытная проверка теории на основе содержащихся в ней положений подтвердила правильность этой теории и окончательно оправдала выбор числа 6 в ретроспективном плане.

Мы встречаем много задач, в которых отыскание точного ответа либо требует затраты неоправданных усилий, либо просто невозможно, но где в то же время можно удовлетвориться приближенным решением. В таких случаях не остается ничего другого, как на основе разумных предположений, требующих смекалки и работы мысли, произвести оценку, или, как говорят, «грубую прикидку».

Оценки, к которым приходится прибегать деловым людям, государственным деятелям, или ученым, — не простое дело: тут нельзя обойтись примитивным угадыванием решения. Оценки требуют не только уменья и навыка, разностороннего опыта и широты знаний, но и твердости характера. Не упускайте возможности проделывать такие расчеты в вашей повседневной работе, будь то нынешние учебные занятия или будущая профессиональная деятельность.

Если вы достигнете успехов в своей деятельности, то вам наверняка придется часто проделывать ориентировочные расчеты — навык в этом деле представляет собой важнейшее качество хорошего администратора. При правильном применении оценочные расчеты с их приближенными ответами играют важную роль в научных исследованиях. В самом деле, они могут даже стать самостоятельной областью знания: мастер в оценочных расчетах должен обладать способностью к широким обобщениям в науке.

Вот два примера:

Пример А. «Сколько времени потребуется, чтобы скосить этот газон?». Ширина косилки около полметра, ширина ряда (полосы скошенной травы) с учетом частичного перекрытия рядов должна быть самое большее 45 см и самое меньшее 30 см. Газон, насколько можно судить, имеет примерно 30 м в длину и 9 м в ширину. На газоне укладывается от ⁹/_0,45 до ⁹/_0,3, т. е. от 20 до 30 продольных рядов. Остановимся на 30 рядах. Косилка должна пройти 30 рядов, каждый длиной примерно 30 м, т. е. всего ее путь составит 300 м, или 0,9 км. Рабочий, толкающий перед собой косилку, вряд ли идет со скоростью 6 км/час, но вполне может идти со скоростью 3 км/час, в этом случае рабочему потребуется (0,9 км)/(3 км/час), т. е. ³/₁₀ часа. Наш ответ — 20 минут — представляет собой грубую прикидку, но ее можно использовать для проверки правильности расценок. Пример Б. «Во сколько раз масса Солнца больше массы Земли?». Очень интересно получить хотя бы приближенный ответ на этот вопрос. Тогда можно было бы узнать, достаточно ли массивна Земля по сравнению с Солнцем, чтобы вызывать заметное возмущение орбит других планет и комет. Астрономы могут «взвесить» Солнце по отношению к Земле, воспользовавшись законом всемирного тяготения Ньютона. Имеющиеся точные данные дают отношение. Грубое округление с целью быстро получить приближенный ответ дает. Масса Солнца/Масса Земли ~= 200 000/1 или 300 000/1 или 400 000/1. В зависимости от того, как именно производить округление. Это наверняка неправильный, вернее «неточный», ответ по сравнению с точностью исходных данных. Все, что можно на самом деле сказать, это то, что ответ лежит где-то между 100 000 и 500 000. Но в данном случае этого достаточно: ответ показывает, что масса Земли составляет ничтожную долго массы Солнца, поэтому Земля едва ли в состоянии как-нибудь повлиять на движение других планет, скажем Марса, вокруг Солнца.

Приближенная оценка и приемы быстрого счета.

Чтобы произвести грубую оценку, имеет смысл в силу самого ее существа пользоваться лишь приближенными вычислениями. Для ускорения процесса вычислений исходные данные округляют.

Способ округления всех чисел до ближайшей степени числа 10 может оказаться слишком грубым. При таком способе вместо 8 нужно взять 10, вместо 67 взять 100, а вместо 1453 взять 1000. В тех случаях, когда числа близки к 10 или какой-нибудь степени 10, этого достаточно. Так, вместо любого из чисел 8, 9, 10, 11 или 12 следует написать ровно 10, а вместо числа 1193 написать 1000. Округление 73 до 100 представляется слишком грубым; если же округлить 73 до 70, то получается много малых чисел, вроде 7, которые приходится умножать и делить, а это все же неудобно — нужен более смелый оценочный расчет. Поэтому, производя приближенную оценку, необходимо при округлении чисел пользоваться следующими двумя правилами.

Правило I. Если число близко к числу 10 в соответствующей степени, то его округляют до этой степени 10.

Правило II. Если число существенно отличается от числа 10 в соответствующей степени, то его округляют до ближайшей степени 2 или до произведения числа 2 в некоторой степени на число 10 в соответствующей степени. В соответствии с этим правилом вместо числа 7 берут 2³, вместо 4200 — 2²х10³, вместо 67 берут 2³х10¹ или еще лучше 2⁶(=64) вместо 3–2²(=4), или еще лучше 2⁵/10(= 32/10).

В некоторых случаях есть возможность выбора: например, 8 можно записать в виде 2³ или округлить до 10. Число 27,3 можно округлить до произведения 2 на 10 или до произведения 2²х10 (на самом деле число 27,3 лежит примерно посредине) или еще лучше до 2⁵. Умелый вычислитель округлит 27,3 до числа 25, которое равно 100/4, или 10²/2². Еще более искусный вычислитель, которому нужно возвести множитель 27,3 в квадрат, округлит его один раз в сторону увеличения до 2²х10, а второй раз в сторону уменьшения до 2х10. Однако такой прием не дает экономии времени, если только он не будет прочно усвоен.

Одновременное применение правил I и II, кажущееся на первый взгляд странным, дает надежные приблизительные ответы. Применение этих правил приводит к результату, содержащему числа 10 и 2 в соответствующих степенях: полученный результат может быть затем превращен в простой окончательный ответ. Советуем вам запомнить степени числа 2, приведенные здесь в таблице.

Обратите внимание, что 2¹⁰ ~= 1000, т. е. 10³. Это дает удобный способ избавляться от огромных степеней числа 2 в конечном результате. Если представить все числа в стандартной форме записи, то первую цифру числа, лежащего между единицей и десятью, можно округлить до 1, 2, 4, 8 или 10; остальная часть представляет собой степень числа 10. Это очень грубое приближение. Для лучшего приближения берут первые две цифры и округление производят до одного из следующих чисел в соответствии с правилами I или II:

10 16 20 32 40 64 80 100.

Пример:

(Примечание. Честности ради мы округлили все множители в числителе, а также в знаменателе в сторону увеличения.)

Это неплохая оценка. Расчет с использованием более сложных приемов приближенных вычислений дал бы результат, более близкий к точному значению 330 000.

Приближенные ответы и достоверное знание.

Иногда бывает достаточно получить результаты с точностью не хуже 1 %. Примерами могут служить измерения удельных теплоемкостей, необходимых для проектирования приборов; измерения межатомных расстояний в кристаллах. с помощью рентгеновских лучей для определения химического строения; измерение периода полураспада радиоактивного элемента, которое производят, чтобы опознать этот элемент; измерение периода обращения спутника Земли с целью определить среднее удаление его от Земли.

Во многих случаях точность измерения величин должна быть не хуже 0,1 %. Такое требование может возникнуть при выборе объяснений того или иного явления. В некоторых случаях для выяснения какого-нибудь существенного вопроса приходится определять измеряемые величины с точностью до одной миллионной или даже одной миллиардной. Например, чтобы надежно предсказать выделяющуюся ядерную энергию, исходя из малых разностей атомных масс, сами массы нужно определить (масс-спектрографическим путем) с колоссальной точностью. Для решения проблем, возникающах на современном этапе изучения строения атома, необходимо определять длины световых волн с точностью до одной миллионной. А измерения гравитационного поля, чтобы можно было использовать их для дальнейшей проверки общей теории относительности, должны выполняться с точностью до одной миллиардной.

Но на ряд важных вопросов можно получить ответ, проделав весьма приближенные измерения. Например, мы вполне можем примириться с 20 %-ной погрешностью при определении химической валентности (которая должна быть малым целым числом), температуры термоядерной реакции или возраста Вселенной.

Добиваться большой точности — не всегда означает поступать разумно. Увеличение точности не самоцель. Следует прилагать большие усилия в этом направлении, если отсюда можно получить важные преимущества. Правда, иногда ученый стремится к повышению точности просто в силу чувства долга или находит удовольствие в том, чтобы сделать прибор как можно лучше.

Повышенная точность прибора сможет быть использована только в будущем. Проводя измерение, ученый приводит его точность согласно своей оценке. Он не ограничивается сообщением о том, что он измерил g и получил значение g = 9,8 м/сек², а добавляет; «С ошибкой ±0,1 м/сек². Тех, кто желает воспользоваться полученным результатом, ошибка часто интересует в такой же степени, как сам результат. Без указания ошибки ±0,1 результат измерения едва ли можно считать надежной информацией, которой может еще кто-то воспользоваться. Чтобы оценить ошибку, необходим большой навык: нужно принимать во внимание разброс результатов измерений, исключать влияние известных источников ошибок, определить скрытые систематические ошибки; не последнее значение имеет разумный и трезвый подход в целом, который появляется у экспериментатора, досконально знающего свою аппаратуру. (Обратите внимание, насколько у вас самих повышаются навыки экспериментатора после того, как вы поработаете некоторое время с каким-нибудь прибором в лаборатории, как появляется растущее чувство уверенности в результатах ваших измерений.).

Знаки

Результат измерения, погрешность которого экспериментатор считает равной 0,001, может быть записан тремя способами:

X = 3,1642 ± 0,003,

X = 3,1642 ± 0,1 %,

X = 3,164.

В третьей строчке последняя цифра 4 рассматривается как недостоверная. Ниоткуда не следует, что цифра 4 отличается от верной на ±3. Эта форма записи дает лишь основание считать, что последняя цифра сомнительна — обычно такой записи достаточно, чтобы указать на имеющуюся погрешность. В двух предыдущих строчках появление последней цифры 2 совершенно неоправдано: ошибка показывает, что такая запись результата (с точностью до последней цифры 2) лишена смысла. Экспериментатор, сохраняющий эту цифру, обманывает сам себя.

Если эксперимент дает приближенное значение или приближенный ответ появляется в результате оценки, не следует записывать результат как х = 800, ибо это противоречит точному смыслу знака =. Вместо этого нужно писать.

Х (~=) 800.

Такая запись означает их приближенно равно 800». Символ обычно означает «приблизительно равно» (хотя это утверждение не совсем логично).

При более грубой оценке можно написать.

У ~ 1000.

Это значит, что у ближе к 1000, чем к 100 или к 10 000. Подобная грубая оценка «порядка величины» часто имеет огромное значение.

Так было с оценкой размера атома столетие назад, так обстоит дело с определением радиуса Вселенной (если он вообще не бесконечен) в наши дни. Во многих случаях достаточно произвести измерение с точностью до порядка величины. Например, когда речь идет о росте температуры, достаточно малом, чтобы им можно было пренебречь, или о весе, заведомо настолько большом, что поверхностное натяжение можно считать несущественным, то же самое можно сказать об определении приближенной даты исторического события, когда излишнее уточнение даты только отвлекает внимание от сущности события.

Если результаты представлены в стандартной форме, например.

Z = 2,34 х 10⁶ и w = 7,8 х 10^3.

То их порядки величины будут.

Z ~ 10⁶ и w ~ 10⁴.

Вы несомненно найдете применение знакам в своей работе, чем бы вы ни занимались, и привыкнете проводить между ними различие. Заметьте, что символы эти не вполне установившиеся. Некоторые авторы и издатели заменяют символ другими знаками.

Пропорциональная зависимость — ключ ко многим законам.

Выражая наши знания о природе в виде простых законов, мы прежде всего ищем постоянство в явлениях: масса тела остается постоянной, полный электрический заряд тоже, количество движения сохраняется неизменным, все электроны одинаковы. Почти столь же простой и плодотворный принцип выражает прямая пропорциональность между величинами, при которой две измеряемые величины возрастают в одинаковой пропорции: удлинение пружины при увеличении нагрузки, сила и ускорение, давление и плотность газа.

Мы говорим, что для пружины (в пределах действия закона Гука).

УДЛИНЕНИЕ пропорционально НАГРУЗКЕ.

Или.

УДЛИНЕНИЕ изменяется прямо пропорционально[171] НАГРУЗКЕ.

Это записывают в виде.

УДЛИНЕНИЕ ~ НАГРУЗКА.

Как и процентам, в элементарных курсах часто отводят особое место пропорциям и функциональной зависимости, и эти понятия кажутся чем-то таинственным и труднодоступным. Не будь этого, их считали бы очевидными с точки зрения здравого смысла. Рассмотрим несколько простых примеров.

Пример В. Предположим, что при снабжении картофелем некоего лагеря недельные потребности определяются следующим образом: Для лагеря на 100 человек требуется 200 кг картофеля. … 200… 400… … 300… 600… … 500… 1000… Масса картофеля возрастает пропорционально размерам хозяйства. Это простейший тип соотношения между двумя величинами, с которым мы так часто встречаемся в физике[172]. Можно сформулировать это соотношение несколькими способами: 1) МАССА КАРТОФЕЛЯ пропорциональна ЧИСЛУ ЛЮДЕЙ; 2) МАССА КАРТОФЕЛЯ изменяется прямо пропорционально ЧИСЛУ ЛЮДЕЙ; 3) МАССА КАРТОФЕЛЯ ~ ЧИСЛУ ЛЮДЕЙ (это сокращенная запись формулировок 1 и 2); 4) МАССА КАРТОФЕЛЯ = (ПОСТОЯННАЯ)∙(ЧИСЛО ЛЮДЕЙ). Варианты 1 и 2 (и их математическая запись — вариант 3) — это просто попытки дать формулировку простым в очевидным вещам. «Две величины возрастают в одинаковой пропорции. Если удвоить одну из них, то удваивается вторая, если утроить одну, — утраивается вторая, и т. д.». Имея это в виду, можно легко решать задачи, не вычисляя «постоянную», содержащуюся в записи варианта 4. Например, известно, что для 100 человек требуется 200 кг картофеля. Сколько потребуется его для 600 человек? Для вшестеро большего числа людей требуется в 6 раз больше продовольствия: 1200 кг. Пример Г. Объем шара изменяется пропорционально третьей степени радиуса. Шар увеличен так, что радиус его стал в 5 раз больше первоначального. Что произойдет с его объемом? Если радиус увеличивается в 5 раз по сравнению с первоначальным, то величина (радиус)³ возрастает в 5³ раз по сравнению с первоначальным значением (поскольку R³ = R∙R∙R и 5R∙5R∙5R = 5³∙R³). Следовательно, объем возрастает По сравнению с первоначальным в 125 раз. Это должно быть следствием здравого смысла, дли которого вовсе не нужно обращаться к соотношению 4/3πR³.

«Коэффициент пропорциональности».

Формулировка 4.

МАССА КАРТОФЕЛЯ = (Постоянная)∙ЧИСЛО ЛЮДЕЙ.

Очень похожа на запись варианта 3, но для специалиста формулировка 4 не столь четко выражает идею зависимости между величинами. Поэтому советуем избегать ею пользоваться, если только можно получить нужный результат, прибегнув к здравому смыслу, как в приведенных выше двух примерах.

Для каждой пары значений в примере с картофелем, очевидно, справедливо соотношение.

МАССА КАРТОФЕЛЯ Р = 2N∙ЧИСЛО ЛЮДЕЙ,

Поэтому все четыре случая можно описать с помощью формулы P = 2N. Сущность этой записи в том, что она выражает зависимость между величинами: дело не в конкретном значении 2, а в том, что это число остается одним и тем же, т. е. постоянным. (Фактически это потребление картофеля, приходящееся на одного человека, т. е. 2 кг на человека.) Поскольку число 2 постоянно, мы можем записать.

Р = (Постоянная)∙N.

Эта общая формулировка применима и к случаю, когда в лагерь собираются люди, потребляющие много картофеля, и на одного человека уходит уже 5 кг картофеля. Тогда наша форма примет вид P = 5∙N. (Конечно, если одни обитатели лагеря съедают по 2 кг картофеля в неделю, а другие по 5 кг, то вся схема рассуждений теряет силу. Надо иметь в виду, что такая же опасность существует и при выводе научных законов).

Проверка пропорциональности.

Каким образом можно убедиться в наличии прямой пропорциональности между величинами при анализе результатов измерений? В примере с картофелем эта зависимость[173] видна сразу. Нам же необходимо располагать простыми способами проверка в более запутанных случаях. Вот эти способы:

Способ I. Измеренное значение одной величины делят на значение другой и проверяют постоянство частного. В нашем примере:

И т. д., результат деления во всех случаях равен 2 кг на человека.

Это надежный способ проверки прямой пропорциональности. Разумеется, его можно применять двояким образом: если мы разделим число людей на массу картофеля, то получим еще один постоянный результат: ¹/₄ человека на 1 кг.

Способ II. Графики. Французский математик и философ Декарт, который жил вскоре после Галилея, изобрел метод построения графиков в координатах x и y. Сегодня мы видим в графиках нечто само собой разумеющееся и читаем их так же легко, как печатный текст. Может даже появиться опасность, что, скажем, позволив газетам представлять все наши статистические данные в форме графиков, мы воспитаем целое поколение верхоглядов, отвыкших вдумываться в слова и цифры статистики. В то же время несколько поколений назад многие считали графики запутанными и сложными. В наше время нужно научиться аккуратно и быстро строить графики и так же быстро читать их. Для этого лучше пользоваться некоторыми стандартными масштабами и приучиться соблюдать принятую точность построения, оценивая десятые доли деления.

Графики служат превосходным средством выражения зависимости между величинами. Совокупность результатов наблюдения двух величин (например, числа людей и количества картофеля) можно представить в виде совокупности точек, откладывая в удобном масштабе значения одной, измеряемой величины по вертикали, а другой — по горизонтали. Расположение точек показывает зависимость между двумя измеряемыми величинами. На фиг. 294 построен график А по приведенным выше данным о количестве людей и потребляемого ими картофеля. Сами по себе эти данные не дают нам права вставлять промежуточные точки, как если бы мы знали потребности любого возможного (даже дробного) числа людей. Однако мы можем предположить, что промежуточные точки ничуть не менее законны, чем те, по которым мы построили график.

Это позволит обеспечить продовольствием любое другое число людей. Чтобы найти (или продемонстрировать) соотношение между нашими данными, мы перейдем, забегая вперед, к простейшему соотношению между двумя величинами — к прямой связи или прямой пропорциональности — и будем от нее отталкиваться. Предположим, известно, что масса картофеля Р находится в прямой связи с числом людей N, и мы хотим предсказать вид зависимости Р от N. Мы знаем, что отношение P/N постоянно. Для любой точки на графике P/N характеризует наклон линии, соединяющей данную точку с началом координат.

Поэтому проведенные из начала координат до каждой точки прямые должны иметь одинаковый наклон и должны слиться в одну. Таким образом, все точки лежат на одной прямой, проходящей через начало координат. Если же все точки, определяющие зависимость Р от N, лежат на одной прямой, проходящей через начало координат, то мы можем сказать, что отношение P/N постоянно.

График в этом случае представляет собой прямую, проходящую через начало координат, и показывает, что масса картофеля возрастает в прямой пропорции к числу едоков.

Линейная зависимость.

Графики В и С на фиг. 295 обнаруживают «линейную зависимость» между величинами x и y.

На графике В все нанесенные точки х₁, у₁ и т. д. лежат на прямой, проходящей через начало координат 0,0. Заштрихованные треугольники подобны: отношение высоты к основанию y/x, определяющее наклон гипотенузы, у них одно и то же. На графике С точки х₅, у₅ и т. д. лежат на прямой, которая не проходит через начало координат 0,0, и мы не можем говорить о прямой связи или пропорциональности между у и х.

Гипотенузы заштрихованных треугольников имеют неодинаковый наклон, и нельзя утверждать, что все отношения y₅/x₅, y₆/x₆, y₇/x₇ и т. д. одинаковы. Отыскивая соотношение между у и х, мы должны быть внимательны и иметь это в виду. Тем не менее очевидно, что между этими величинами существует какая-то зависимость, изображаемая графиком С. Если выбрать начало координат на самой прямой, то это вернуло бы нас к прежним простым рассуждениям. Это можно сделать, рассматривая приращения (или изменения) х и у по отношению к их значениям в выбранной точке на прямой. Так, на графике D (фиг. 296) мы провели новые оси координат (они показаны пунктиром). Если теперь вести отсчет от новой начальной точки 0', то можно сказать: (приращение величины у по отношению к ее значению в О') изменяется прямо пропорционально (приращению х), т. е. Δу ~ Δх. Математический символ Δ означает «приращение», или «изменение», такой-то величины. В случае графика D можно записать, что Δу ~ Δх, или сказать, что величина Δу/Δх, постоянна (для всех точек прямой).

Мы можем поступить и по-другому, как это сделано на примере графика Е (фиг. 297).

Можно переходить от точки к точке, каждый раз фиксируя при этом изменения у и х. Тогда какие бы точки на прямей мы ни выбрали, можно сказать, что Δу ~ Δх или что Δу/Δх постоянно, ибо мы всегда получаем подобные треугольники. (Правда, в этом случае Δу и Δх имеют несколько иной смысл.) Для графиков С и D отношение Δу/Δх дает наклон прямой точно так же, как отношение у/х определяет наклон прямой графика А. Величина наклона представляет собой ту постоянную, которая фигурирует в формуле прямой пропорциональности.

Обычно поступают следующим образом. Прежде всего результат наблюдений изображают графически точками на плоскости. Затем, отыскивая простую зависимость между интересующими нас величинами, проводят прямую — она как раз изображает такую зависимость — и проверяют, насколько хорошо точки укладываются на эту прямую. Стараются провести «наилучшую» прямую, которая проходила бы «как можно ближе к возможно большему числу точек». (Это указание относительно «наилучшей» прямой, несмотря на внешне безупречную формулировку, не выдерживает строгого логического анализа, и все же смысл указания ясен — примите его как некий неписаный закон.) Желая проверить, существует ли прямая зависимость (прямая пропорциональность) между наносимыми значениями у и х (у ~ х), прямую пытаются провести через начало координат. Если такая прямая существенно отклоняется от точек, то следует взять другую прямую, не проходящую через начало координат, и проверить, что Δу ~ Δх. В любом случае «наилучшая прямая» — это, так сказать, «пробная» прямая. Она не представляет собой ни формулировку правильного ответа, ни попытку увязать друг с другом нанесенные точки с учетом экспериментальных ошибок. Прямая является лишь графическим выражением простой зависимости, которую мы рассчитываем обнаружить. Проводя эту прямую наряду с нашими точками, мы хотим сопоставить искомую зависимость с реальными фактами, ибо точки выражают фактические результаты наблюдений.

Если нам удастся провести прямую, которая мало отклоняется от нанесенных точек, то можно будет сказать, что наблюдения хорошо представляются выбранной зависимостью. Мы можем даже говорить здесь о точном представлении (что бы ни означало такое утверждение) и приписывать небольшие расхождения на графике ошибкам, допущенным нами самими при наблюдении. Эта ссылка на «экспериментальную ошибку» удобна и служит нам утешением, пока мы не рассмотрим внимательно, в чем тут дело. А тогда мы убедимся, что на самом деле мы невнимательные экспериментаторы или орудуем с очень плохими приборами. Уточняя «насколько невнимательные?» или «насколько плохие?», мы можем указать разумные пределы ошибок. Если отклонения точек лежат в этих пределах, то мы с уверенностью скажем, что выбранная простая зависимость во всяком случае удовлетворительно описывает факты.

На графике F (фиг. 298) представлены данные, относящиеся к двум лагерям, обитатели которых принадлежат, так сказать, к двум типам едоков. Там же проведены наилучшие прямые. Данные эти вымышленные, но напоминают настоящие, потому что они не ложатся точно на прямую, как округленные числа в первоначальном примере, а разбросаны относительно нее. Если считать, что прямые линии выражают действительную зависимость, которой подчиняются данные, то каждой прямой можно сопоставить соотношение вида P ~ N. Мы можем даже записать.

P = 4,1∙N для одной прямой.

И.

P = 8,0∙N для другой.

Постоянную (4,1 или 8,0) лучше всего определять по наклону прямой, а не по отдельным точкам или части данных. Проводя прямую линию, наименее уклоняющуюся от точек, мы автоматически находим среднее взвешенное значение.

Средние взвешенные значения.

Среднее взвешенное — это такое среднее, при нахождении которого приписывают добавочный вес наиболее надежным данным и очень малый вес данным, содержащим, по-видимому, грубые ошибки. Определяя такое среднее арифметически, мы придаем большой вес достоверным данным, учитывая их при составлении суммы несколько раз, в то время как ненадежные данные учитываются только один раз. Потом мы делим сумму на число всех слагаемых, разумеется, считая слагаемые, которые брались повторно. Этот способ усреднения вполне приемлем и разумен, но таит в себе опасность. Дело в том, что он может побуждать нас получить как раз такой ответ, который мы надеемся получить!

Проводя прямую по точкам, мы замечаем следующее. Может получиться, что почти все точки хорошо укладываются на прямую, а одна или две точки отстоят далеко от нее. Если мы в конечном счете выбираем эту прямую, то ее наклон дает среднее взвешенное значение, при этом одна или две «выскочившие» имеют очень малый вес. Выпадение этих точек может быть результатом небрежности, и мы поступим разумно, если по существу пренебрежем ими. С другой стороны, большинство точек может укладываться на прямую из-за случайных ошибок; кроме того, немногочисленные выпадающие точки могут послужить ключом к важным выводам. Таким образом, есть опасность, что, проводя прямую по экспериментальным точкам, мы явимся жертвой предвзятого подхода к задаче. Но при достаточно внимательном отношении и хорошем навыке можно надеяться получить взвешенное среднее, которое будет достаточно надежным.

Прямая зависимость или пропорции.

Проводя пробную прямую, мы задаем вопрос: «Имеет ли место линейная зависимость?». Мы должны прежде всего попытаться провести прямую через начало координат, даже если в начале координат нет ни одной экспериментальной точки. Это требование, возможно, бессмысленно. Так, на фиг. 299 дан график G для лагеря, в котором повара тоже едят картофель, но не входят в число обитателей.

Пунктирная прямая, проведенная через начало координат, заметно уклоняется от ряда точек, тогда как сплошная прямая проходит вблизи всех точек. В этом случае правильнее записать.

ΔP ~ ΔN или ΔP = 2,1∙ΔN.

Прямая отсекает на вертикальной оси отрезок, равный 21,0, и мы можем написать.

P = 21 + 2,1∙N.

Можно сказать, что персонал кухни съедает 21 кг картофеля в неделю и состоит, по-видимому, из десяти человек.

Указания к построению графиков.

Приближенные графики. В процессе опыта бывает желательно сразу построить приближенный график, который позволит определить, достаточно ли проделано измерений. Здесь можно обойтись карандашом и бумагой в клетку (например, 0,5 см х 0,5 см).

Точные графики. Чтобы строить графики, которые можно легко читать и в то же время использовать для точной проверки результатов эксперимента, мы рекомендуем следовать приводимым ниже правилам.

Бумага. Строить графики нужно на бумаге, разграфленной на сантиметры и миллиметры, так называемой миллиметровке. Миллиметровые клетки можно делить на глаз на десятые доли (т. е, на сотые доли сантиметра). Бóльшие или меньшие клетки трудно делить на глаз с приемлемой точностью.

Масштаб. При построении графиков следует пользоваться такими масштабами, чтобы легко было наносить точки, умножая и деля числа на десять. Предположим, вы наносите на график значения массы в килограммах. Самый удобный масштаб — в 1 см 1 кг; выражать в 1 см 10 кг, 100 кг… или 0,1 кг… и т. д, тоже удобно. Следующая удобная для пользования серия масштабов: в 1 см 2 кг, 20 кг…, 0,2 кг… и т. д. При этих масштабах результаты измерений делят в уме на два и прямо наносят на график.

Еще одна серия масштабов, облегчающих построение графиков: в 1 см 5 кг, 50 кг…, 0,5 кг… и т. д. В этом случае нужно в уме удваивать результаты измерений передаем, как наносить их на график. Все другие масштабы, например 4 кг в 1 см и т. д., неудобны для пользования и обычно приводят к ошибкам при построении. Поэтому следует пользоваться одним из приведенных выше масштабов.

Масштабы нужно выбрать так, чтобы график занимал 10–15 см по горизонтали и столько же по вертикали, — нет смысла растягивать график в одном направлении и ужимать в другом. Наклон графика должен составлять, скажем, от 30 до 60° с горизонтальной осью координат. При этом, возможно, придется выбрать разные масштабы по обеим осям.

Прямая. Чтобы найти положение «наилучшей прямой» после того, как нанесены экспериментальные точки, воспользуйтесь натянутой нитью и проведите прямую. Затем нарисуйте маленькие кружки вокруг каждой экспериментальной точки (или прямоугольнички, если вы располагаете необходимыми данными). Сначала проведите прямую, иначе кружки будут вас смущать. Если прямая линия кажется неподходящей, проведите плавную кривую.

Интерполяция и экстраполяция.

Даже если прямая линия кажется неподходящей и вы проводите просто плавную кривую через эти точки (или вблизи них), то график дает возможность получить дополнительные данные.

Предполагая, что кривая правильно описывает работу прибора, можно с уверенностью проставить промежуточные точки и определить новые значения, не являющиеся результатом непосредственных измерений. Эта процедура называется интерполяцией. Можно также продолжить кривую и определить значения величины за пределами той области, в которой получены данные. Этот процесс называется экстраполяцией. Например, если вы знаете, что поезд выходит из Бостона в 14.00 и прибывает в Нью-Йорк в 18.00, то могли бы путем интерполяции определить, когда он проходит через Нью-Хейвен. Можно было бы также путем экстраполяции определить время прибытия поезда в Вашингтон, но это сопряжено со значительно большим риском, так как Нью-Йорк может быть конечной остановкой поезда.

Очевидно, и интерполяцию, и экстраполяцию выполнить проще, если график — прямая линия. Но даже в этом случае интерполяцию и экстраполяцию нельзя считать одинаково надежными источниками информации. Как вы думаете, какой из этих обоих приемов представляет большую ценность? В заключительной главе всего курса, когда будет идти речь об успехах науки, вы увидите, какую важную роль играют интерполяция и экстраполяция.

Задача 7. Вычисление. На счетной линейке дает значение 375, в котором запятая не проставлена. Определите положение запятой, четко объяснив, каким методом ею пользовались. Задача 8. Стандартная запись чисел. Выразите числа, которыми, представлены приведенные ниже данные, в стандартной форме. Плотность ртути d_Hg =13 600 кг/м³. Расстояние от Луны до Земли R_М = 380 000 км. Заряд электрона = —0,000 000 000 000 000 00016 кулон. Задача 9. «Кинетическая энергия» (= энергия движения) массы М кг, движущейся со скоростью v м/сек, равна ¹/₂ Mv² дж. Молекула азота N₂ в воздухе при комнатной температуре имеет массу 0,000 000 000 000 000 000 000 000 0465 кг и скорость 520 м/сек. Энергия измеряется также в «электрон∙вольтах», 1 эв равен. 0,000 000 000 000 000 00016 дж. 1) Выразите каждое из этих значений в стандартной форме. 2) Вычислите кинетическую энергию молекулы азота при комнатной температуре и запишите полученное значение в стандартной форме: а) в джоулях; б) в электрон∙вольтах. 3) Если масса М кг исчезает и переходит в излучение, то энергия этого излучения Е дж дается формулой. E = M∙c^2. Где с — скорость света, равная 300 000 000 м/сек. Подсчитайте, какая выделилась бы энергия, если бы можно было полностью обратить в ничто одну молекулу азота. Выразите полученное значение в стандартной форме в электрон∙вольтах. 4) Расчет в вопросе 3 относится к области необузданной фантазии; весьма маловероятно, чтобы подобную ситуацию можно было когда-нибудь наблюдать. Правда, мы наблюдаем деление ядер урана, но это просто расщепление ядер, при котором исчезает лишь незначительная доля всего вещества. При делении ядер урана-235 выделяется примерно 200 000 000 эв. Сравните это значение с ответами на вопросы 2 и 3. Задача 10. Учащийся измеряет длину нити маятника линейкой, на которой нанесены деления в метрах, сантиметрах и миллиметрах. Штрихи миллиметровых делений имеют заметную толщину, и оценить десятые доли миллиметра нелегко. Учащийся получает результат: длина нити 1,186 м. Он измеряет диаметр груза кронциркулем и, разделив результат измерения пополам, находит радиус = 0,01425 м. А) Учащийся говорит, что длина маятника до центра груза равна 1,20025 м. Почему его утверждение неправильно? Б) Как следует охарактеризовать утверждение учащегося относительно длины маятника до центра груза, если он определяет ее в 1,2 м? Задача 11. Измеряя величину g, учащийся находит значение 9,83 м/сек², тогда как общепринятое значение 9,80. А) Какую ошибку (в процентах) допускает учащийся? Б) Он переводит полученный им результат в см/сек² и сравнивает новое значение с общепринятым значением g в см/сек². Какова ошибка (опять-таки в процентах) в этом случае? Е) Дайте обоснование вашему ответу на вопрос (б). Задача 12. Два взвешивания дают 0,040593 и 0,040591 кг. Каково расхождение между ними в процентах? (Вспомните предостережение, сделанное в начале этой главы, когда для наглядности мы привели пример не особенно рационального применения наждачной бумаги.). Задача 13. Вычисляя ускорение по формуле a = 2s/t², учащийся подставляет в нее значения s и t, завышенные соответственно на 4 и на 3 % (оба значения учащийся определил в результате измерений). Какова ошибка вычисленного им значения а, выраженная в процентах?

Примечания.

1.

Если вы не проделывали этого опыта, вам теперь известен, по крайней мере отчасти, результат. При чтении книги, подобной этой, можно, забежав вперед, найти ответы на вопросы, которые вам предлагают решить. Но, разгадывая кроссворд, глупо заглядывать в ответы, или, читая детективную повесть, не очень интересно сразу узнать, чем она кончается. Здесь же, забегая вперед, вы теряете еще больше — не только интерес к решению задачи, но и чувство реальности науки — и наносите вред собственному образованию. Однако еще не все потеряно. Если вы не проделывали опытов, приступите к ним немедля. Выпустите из рук одновременно полтинник и гривенник и посмотрите, как они падают. Это позволит наблюдать простоту устройства природы.

2.

Обратите внимание на то, как вы сами отнесетесь к следующему утверждению: «Два мальчика, большой и маленький, одновременно начинают спускаться с вершины холма на одинаковых велосипедах свободным ходом. Если спуск короткий, они достигают подножия холма одновременно». Утверждение основано на неизменном поведении природы. При длинном спуске мальчики приобретают бóльшие скорости, различие в скорости создает также сопротивление воздуха.

3.

Все мы во многих вопросах полагаемся на вбитые в нашу голову при домашнем воспитании авторитеты или на здравый смысл; мы боимся поколебать в себе чувство уверенности. Если вы отвергаете это обвинение, то потерпите немного, скоро сами себя на этом поймаете.

4.

A History of Science, Cambridge, 1949.

5.

Грубо говоря, логика Аристотеля имеет дело с классами вещей, и доказательства в ее рамках можно провести при помощи электронно-вычислительных машин («электронного мозга»), в которых «да» или «нет» представляются наличием или отсутствием тока электронов. Современная логика имеет дело с отношениями (такими, как «…больше, чем…», «…лучше, чем…») и классами (такими, как «собаки», «млекопитающие»), а в наши дни — с импликативными отношениями между законченными высказываниями. Доказательства в этой логике также, вероятно, можно провести при помощи машин, хотя сделать это будет уже, видимо, труднее. Но машина неспособна критически анализировать систему логики, которую ей предлагают использовать. Только человек считает, что в состоянии это сделать.

6.

Более плотное (или большее) тело должно пролететь в свободном падении большее расстояние, прежде чем достигнет своей предельной скорости, поэтому его предельная скорость оказывается значительно большей.

7.

Очевидное требование «при прочих равных условиях» часто трудно соблюсти, и мы усматриваем в многочисленных исключениях из правила неизменности природы несостоятельность этого принципа. Опыты по магнетизму в городе, где есть трамвай, в воскресенье (когда движение менее интенсивное) могут дать совсем другие результаты.

8.

См. задачу в гл. 5.

9.

Последователи Аристотеля считали невозможным существование вакуума и сами себе отрезали путь к объяснению, которое следует из упрощающего предположения Галилея.

10.

Galileo Galilei, Dialogues Concerning Two New Sciences (есть перевод: Галилео Галилей, Диалог о двух главнейших системах мира. Москва, 1900).

11.

Прелестное небольшое строение — Пизанская падающая башня — достопримечательность Пизы, приветливого итальянского города. Это круглая башня из белого мрамора, построенная рядом с собором. Как только ее построили, она сразу же начала наклоняться, а сейчас этот заметный наклон образует с вертикалью угол, близкий к 5°. Посетители, которые взбираются по ее винтовой лестнице или прогуливаются по одному из открытых балконов, испытывают странное ощущение смещения земного тяготения. Башня была построена задолго до Галилея, и он, должно быть, пытался использовать ее для своих экспериментов. При жизни Галилея один из сторонников Аристотеля использовал башню для демонстрации различия падения тел.

12.

На этой ступени объяснение заканчивается ничем не подкрепленными догматическими утверждениями, идущими «прямо от Аристотеля». Для подлинно научного объяснения необходимо изучить, что такое масса, сила и движение.

13.

Родители часто отвечают на вопросы, задаваемые детьми: «Просто это так» или «Потому, что это так». Эти ответы не так уж глупы, как кажутся на первый взгляд. Детям на определенном этапе именно такой ответ и нужен, им нужно подтверждение того, что все находится на своем месте, что факт, о котором ребенок спрашивает, составляет часть некоего неразрывного целого, каким является мир. Когда ребенок спрашивает: «Почему трава зеленая?», он не нуждается в лекции о хлорофилле. Просто он хочет получить новое заверение в том, что трава и должна быть зеленой.

14.

Плавучесть влияет на падение тел. Когда тело падает в воду, его эффективный вес уменьшается за счет плавучести, благодаря чему разные тела падают в воде по-разному. Даже плавучесть в воздухе играет роль, правда несущественную для пушечных ядер, но решающую для воздушных шаров.

15.

Сравните широкое использование специальных слов в психологии или биологии, как-то: «репрессия», «комплекс», «гелиотропизм» и т. д. Подобные новые термины в научной практике не могут объяснить факты, но помогают четко формулировать мысли.

16.

Доказательство Галилея было остроумным, но не вполне строгим. Суть его такова; сравним два перемещения, каждое из которых начинается из состояния покоя, — перемещение тела А на некоторое расстояние и перемещение тела В на вдвое большее расстояние. Если скорость возрастает пропорционально пройденному расстоянию, то скорости на соответствующих этапах перемещения В (половина пути, три четверти и т. д.) будут вдвое больше, чем при перемещении тела А. Значит, удвоенный путь телом В проходится с удвоенными скоростями и отнимает в целом столько же времени, сколько перемещение тела А, что абсурдно. Но это доказательство предполагает, что движение могло начаться из состояния покоя. Строгий вариант доказательства требует применения математического анализа, чтобы показать, что описанное движение никогда не может начаться из состояния покоя. Начавшись, такое движение продолжалось бы все более стремительно, и его скорость возрастала бы по закону сложных процентов.

17.

Science for the Citizen, London, 1938.

18.

В математическом анализе скорость v в данный момент определяется как первая производная пути по времени v = ds/dt, а ускорение а в данный момент — как первая производная скорости по времени, т, е. равно dv/dt, или d²s/dt² (вторая производная пути по времени).

19.

Из математического анализа следует, что если s = kt², то скорость ds/dt = 2kt, а ускорение dv/dt = d/dt(ds/dt) = 2k, т. е. постоянно.

20.

Этот прибор был грубым. Галилей пользовался им скорее для подтверждения своего предположения, нежели для измерения ускорения.

21.

Галилей убедился в том, что скорость, приобретаемая телом при скольжении по наклонной плоскости без трения, зависит только от высоты h, а не от длины наклонной плоскости L (фиг. 5). А если это так, то тело, свободно падающее по вертикали с высоты h, должно приобрести такую же скорость, ибо падение равносильно движению по вертикальной наклонной плоскости. Поэтому Галилей мог с уверенностью перейти от своих экспериментов к выводу о свободном падении.

Фиг. 5. Движение из состояния покоя.

22.

Смысл этой остроумной пословицы в ее обычном понимании не имеет отношения к данному случаю: «Если есть исключение, то должно быть и правило».

23.

Опытный экспериментатор объединил бы обе таблицы, т. е. просто в табл. 1 оставил бы лишнюю колонку для «среднего времени». Если бы этот экспериментатор предвидел, что ему потребуется еще табл. 3, он оставил бы еще одну колонку для величины (время)². Даже если бы он не ждал, что ему потребуется что-то еще, он все же оставил бы пустые колонки и несколько свободных строк под строкой с цифрой 5,40 на тот случай, что впоследствии нужно будет записать что-то еще.

24.

Можно произвести косвенную проверку, проводя на графике касательные. См. следующий раздел.

25.

Имеем ли мы в виду «предполагать» или «надеяться»? Если «предполагать», то на каком основании, а если «надеяться», то научный ли это подход?

26.

Например, если ускорение не постоянно, а быстро уменьшается до нуля от некоторого большого значения, то движущееся тело набирает скорость главным образом в самом начале своего перемещения. В этом случае средняя скорость больше (v₀ + v)/2.

27.

Если вы склонны посмеяться над этим древним представлением, то спросите своих друзей, как предложил Лойд Тайлор, какую траекторию вычерчивает современная винтовочная пуля непосредственно после вылета из ствола. Летит она по прямой или сразу же начинает падать?

28.

В большинстве книг по физике оба термина импульс и количество движения используются на равных правах. — Прим. ред.

29.

Для таких направленных расстояний принят технический термин «смещение».

30.

В обиходном языке, говоря о скорости, имеют в виду, насколько быстро движется предмет по какой-либо траектории — прямолинейной или искривленной. В физике скорость — это перемещение за единицу времени в определенном направлении, представляющее собой вектор. Чтобы задать скорость, указывают число, единицу измерения и направление, например 15 км/час в северном направлении.

31.

Слово «вектор» происходит от латинского глагола, означающего «везти», «нести» или «транспортировать».

32.

Перемещение — это вектор. Скорость — это ведь перемещение в час, поэтому и скорость — вектор. Следовательно, изменение скорости (приращение или убыль скорости) — тоже вектор. Ускорение есть изменение скорости в час, поэтому и ускорение — вектор.

33.

Разве что мы готовы определить силы как величины, складываемые геометрически, а затем принять следствия этого определения при дальнейшем построении механики!

34.

Прежде парабола определялась как одна из кривых, получающихся при сечении конуса плоскостью. Сейчас параболу часто определяют как кривую, описываемую уравнением.

Y = (постоянная)∙х², или у ~ x².

В одном из разделов аналитической геометрии показывается, что алгебраическое и геометрическое определения эквивалентны.

35.

В действительности она движется с постоянной (?) скоростью вместе с Землей.

36.

Приведенные на фиг. 67 примеры не рассматриваются в тексте; они даны для иллюстрации характера инженерных задач, о которых говорится.

37.

Точки А, В, С не показаны на фиг. 71, б. Проставьте их.

38.

Если вам еще неизвестны свойства подобных треугольников, обратитесь к какому-нибудь учебнику геометрии или попросите, чтобы вам их объяснили: необходимо уметь уверенно ими пользоваться.

39.

Откуда нам известно, что целесообразно выбрать этот кусок провода для построения диаграммы сил, а не половину провода XY или не весь провод XYZ? Удачно выбрать для рассмотрения ту или иную часть конструкции — это один из приемов решения задач статики; этими приемами можно быстро научиться пользоваться, но для серьезной науки они не представляют большой ценности.

40.

Гл. 32 («Электрические цепи») входит в т. 3 настоящего издания.

41.

Правда, студенты, блестяще успевавшие по латыни, оказывались очень способными к другим предметам. Однако из этого еще не следует, что изучение классиков воспитало их воображение и отшлифовало ум, — просто эти студенты всегда были исключительно способными. Их учителям, заявлявшим о больших преимуществах своего курса, следовало быть более осторожными в проведении границы между propter hoc и post hoc, т. е. между способностями, приобретенными по причине этого (изучения классиков), и способностями, обнаруженными после этого.

42.

Специалисты до сих пор расходятся в количественной оценке переноса навыков, так как трудно сделать беспристрастные сравнения и еще труднее дать полное и строгое истолкование результатов; все же приведенный здесь очерк суммирует общепринятое мнение.

43.

Юрист, который рассуждает по типу исчерпывающих доказательств Евклида, — всегда ужасающий собеседник. Подобно Евклиду, он начинает с изложения аксиом и предположений и делает из них такие выводы: «…самоочевидно. Все мы знаем, что…». Таким образом, он знает, что его вопрос решён, в то время как он едва сдвинулся с места. Он занимается только логическими построениями (если… то…., так как мы согласны, что…, и так как…, таким образом…), пока его оппонент не оказывается безнадежно загнанным в угол.

44.

Экспериментирование — это длинное латинское слово, обозначающее испытание вещей. По мере работы в лаборатории вы, вероятно, станете употреблять это слово только для систематических опытов и планомерных исследований в отличие от случайной «игры» с приборами, которая дает лишь развлечение и обещает мало новых знаний. Это различие нельзя сделать строгим и определенным без ущерба для понимания науки, и все же по мере прохождения курса вы найдете, что слово «экспериментирование» имеет четкий смысл.

Длинное слово «экспериментирование» имеет столь же длинную историю. Раньше верили, что длинные слова звучат более научно и стремились чаще употреблять их, но сейчас большинству ученых очевидно, что это не более чем наивное ребячество.

45.

Например, оси амперметров выполнены из драгоценных камней и так тонки, что небольшой вес, который они несут, создает в точке опоры давление около тонны на квадратный сантиметр. При резком опускании прибора на стол давление возрастает во много раз; при таком обращении ось может затупиться и прибор совершенно выйдет из строя.

46.

Это означает: «Наилучшее значение, согласно моим измерениям, равно 17,4. Я не думаю, что точная величина равна 17,4+0,2 или 17,4–0,2, но на основания своей работы считаю, что истинное значение может быть где-то в этих пределах».

47.

Диаметр стержня легче измерить, чем его радиус. Запишите величину диаметра, а затем вычислите радиус, располагая вычисления строчкой ниже и немного отступив от начала, чтобы показать, что это производная величина.

48.

Мы предполагаем, что факторы А, М, L и т. д. влияют на Т независимо, так что изменение М в нашем случае не влияет на взаимоотношение Т и А. Это предположение справедливо в большинстве областей физики. В некоторых других отраслях науки, таких, как биология, психология, экономика, делать такое допущение очень опасно.

49.

Будет ли каждый килограмм положенного на стальную пружину груза сжимать ее настолько же, насколько каждый килограмм подвешенного к ней груза растягивает ее? Только на опыте можно получить заслуживающий доверия ответ, хотя некоторые предположения можно сделать, если посмотреть на полученный ранее график растяжения и подумать о свойствах пружины.

50.

Ртуть — это металл, который можно выплавить из некоторых руд. При обычных температурах ртуть бывает жидкой, а на Северном полюсе ртуть твердая, как свинец.

51.

Если не действуют эффекты поверхностного натяжения, которые становятся заметными в очень тонких трубках.

52.

При проектировании здании, механизмов, приборов и т. д. объем какой-либо части можно вычислить по чертежам, но часто надо знать ее массу (или ее вес), чтобы определить, сколько надо заказать килограммов или тонн. Массу можно найти, умножив объем на отношение (масса)/(объем), которое называют плотностью. Это все равно, что найти стоимость нескольких грузовиков путем умножения числа грузовиков на отношение стоимости грузовиков к их числу, которое в этом случае называют ценой грузовика. Таким образом, плотность — это своего рода «цена» материала, выраженная в массе, приходящейся на единицу объема.

53.

Если жидкость движется, то нужно учитывать дополнительные факторы, например трение и «эффекты Бернулли» (см. гл. 9).

54.

Гл. 25 («Великая теория — кинетическая теория газов») входит в т. 2 настоящего издания.

55.

Гл. 27 («Измерение количества тепла и температуры») входит в т. 2 настоящего издания.

56.

Это высказывание принадлежит Луи Пастеру, в блестящих исследованиях по биологии которого немалую роль сыграла его подготовка в физике и химии, а также умение логически мыслить.

57.

Некоторые виды лучей могут проходить сквозь другие вещества, например инфракрасные лучи через эбонит, рентгеновские лучи — через картон или ткани тела, радиоволны — через кирпичные стены.

58.

На самом деле это следствие логически не безупречно! Какой вывод вы действительно можете сделать из этого наблюдения? Вот хорошая научная головоломка. Когда вы догадаетесь о правильном ответе, вы почувствуете, что вы правы, и сможете предложить эксперимент, чтобы решить ее. Кстати, описанное наблюдение не совсем верно. Когда термометр погружается в горячую воду, ртуть в нем сначала падает, а уже потом поднимается. С помощью некоторых соображений такое наблюдение позволяет сделать окончательный вывод.

59.

Это соотношение с помощью остроумных рассуждений можно вывести из некоторых общих свойств теплопередачи. Если вам интересно, попросите преподавателя провести с вами этот мысленный эксперимент.

60.

Чтобы листок держался, сожмите руку в кулак так, чтобы тыльная сторона кисти распрямилась, и хорошо смочите ее слюной, которая и приклеит листок металла. Попросите кого-нибудь положить на влажную кожу листок фольги, слегка разожмите кулак, чтобы фольга не натягивалась и не лопнула; подготовленная таким образом рука готова для опыта. Очень тонкие алюминиевые листки, подобные листочкам сусального золота, значительно лучше, чем тонкая упаковочная фольга, которую надо прижимать к коже. Чтобы зачернить фольгу, а также медный лист для опыта 6(ж), покрасьте их густой смесью сажи и спирта. Удалить черную краску (и фольгу) можно, подержав руку под проточной водой. Краску не следует стирать, сажа будет втираться в кожу.

61.

Особых «тепловых» лучей в инфракрасной или какой-либо другой области не существует. Просто горячая дуга испускает в инфракрасной области больший поток энергии, чем в видимом спектре; именно поэтому нагрев происходит быстрее при поглощении инфракрасного излучения. Инфракрасное излучение мощностью 420 вт передает поглощающему телу ¹/₁₀ Кал/сек; 420 вт зеленого света передают ¹/₁₀ Кал/сек и столько же передают 420 вт ультрафиолетового света. Легко сделать дугу, которая излучает 420 вт инфракрасного излучения, но такая дуга будет излучать зеленого света значительно меньше 420 вт и еще меньше в ультрафиолетовой области.

В детской загадке спрашивается: «Почему белые овцы дают больше шерсти, чем черные?» Ответ: «Потому, что их больше». На вопрос: «Почему инфракрасное излучение (от большинства источников) дает больше тепла, чем видимый свет?» — нужно дать такой же ответ. Следует избегать названия «тепловое излучение». Всякое излучение, поглощаясь, превращается в теплоту.

62.

Эту главу целесообразно отложить, пока вы не закончите лабораторные занятия с пружинами.

63.

Перевод Н. Демуровой, Издательство литературы на иностранных языках, София, 1967.

64.

Латинское слово «tensio» означает удлинение (растяжение), а не напряжение.

65.

Существует тенденция использовать термин «закон» для крупных экспериментальных открытий, «принцип» — для обобщенных мнений, которые вводятся в теорию, а «правило» — для более «земных», рабочих утверждений. Быть может, знамения времени, отражающие перемены в философии науки, и состоят в том, что в XVII и XVIII столетиях популярностью пользовались законы, в XIX веке — великие принципы, а ныне — получаемые с большим трудом непритязательные правила.

66.

Приведем пример. Связывая закон Гука со вторым законом движения Ньютона, можно сделать удивительные и полезные предсказания относительно «подпрыгивания» груза, подвешенного к пружине, вибраций камертона, движения маятника в часах и даже некоторых колебаний атомов в молекулах. Эти и многие другие движения оказываются связанными между собой общей характеристикой, с которой вы познакомитесь позднее. Если не обращать внимания на связь между законами, то можно не заметить общих свойств, и некоторые виды движения никогда не будут использованы или поняты до конца.

67.

Другой способ. В высокий стеклянный стакан с горячей водой наливают немного анилина, дно стакана все время подогревают. Горячий анилин легче горячей воды, поэтому сначала он находится наверху в виде большой капли, висящей в воде. Охлаждаясь, анилин опускается на дно, где снова нагревается и поднимается, чтобы потом вновь опуститься на дно в виде большой капли.

68.

Вообще говоря, порой наименования бывают глупые, но некоторые удачны. Скажем, глупо искать особое название для длины стола, на которой находятся лужицы, мало толку было бы и от особого названия для ширины капли. Но оказывается, что угол А заслуживает своего наименования. Величина этого угла является свойством веществ; если вы посмотрите на семейство лужиц, подобных представленным на фиг. 110, в, то увидите, что у всех капель один и тот же угол А.

69.

При столкновении друг с другом или со стенками сосуда. Что же еще, как не отталкивание от стенок, заставляет газ давить на стенки?

70.

Можно провести следующую аналогию: молекулы газа соответствуют быстро двигающимся по полю футболистам, которые время от времени сталкиваются между собой; молекулы жидкости подобны людям в толпе вокруг поля: они проталкиваются к центру, чтобы увидеть игру, но остаются в пределах определенных «семейных» групп; молекулы твердых тел подобны таким же болельщикам, рассаженным на трибунах: они азартно вертятся на своих местах.

71.

Из каких опытов можно получить представление о таких малых величинах? Для жидкостей это делают путем сочетания измерений поверхностного натяжения и простых измерений теплоты испарения. Качественно убедиться в том, что пределы действия молекулярных сил очень малы, можно с помощью простых опытов. Попытайтесь соединить куски металла, прижимая один к другому. Попытайтесь проделать то же самое с только что разбитым стеклом. Достаточно очень небольшого нагревания, чтобы устранив трещину, начавшую образовываться в стекле.

72.

Аналогия, которая часто бывает полезной при обучении, никогда не может доказать чего-либо. Некоторые теории, по сути дела, лишь аналогии (например, старые механические модели строения атома). Можно приветствовать их помощь нашему мышлению и отдавать им должное за плодотворные идеи, но в то же время не следует впадать в ошибку, считая, что они должны раскрыть «настоящую истину», и не следует цепляться за них, когда их полезность исчерпана.

73.

Опыт с мыльной пленкой подтверждает независимость поверхностного натяжения от массы жидкости.

74.

Кубических капель в природе нет, но их рассмотрение приводит к тем же результатам, что и рассмотрение шаров или любой другой пары одинаковой формы. Если вам известны формулы для шара (поверхность 4πr² а объем ⁴/₃ πr³), то проведите рассуждение с ними. Результат от формы не зависит, так как поверхность всегда измеряют в единицах площади, скажем квадратных метрах, а объем — в кубических единицах (кубических метрах).

75.

Эта идея может позволить вывести формулу для измерения поверхностного натяжения Т, действующего на каждый сантиметр границы поверхности жидкости: (тянущая сила со стороны оболочки) = (вес жидкости, удерживаемой в трубке);

Т∙(Длина границы 2πr) = [Объем (πr²)∙(Высота подъема)]∙(Плотность жидкости)∙(Ускорение силы тяжести g)

(эту формулу раньше очень любили составителя экзаменационных вопросов).

Таким образом, Т = ¹/₂ g∙(Плотность)∙(Высота подъема)∙(Радиус трубки).

Эта формула более или менее верна, и ее используют для грубых определений Т, но сам вывод граничит с надувательством. На самом деле нет никакой резиновой оболочки, прикрепленной к стеклу, и в реальной формуле Т относится к поверхности раздела жидкость/воздух, а не является силой сцепления со стеклом. Но искривленная поверхность (мениск) реально существует, и, как в любом воздушном шаре, давление «внутри» (над мениском) больше, чем снаружи. С помощью этой разности давлений можно объяснить подъем жидкости в капилляре и дать строгий вывод формулы.

76.

«Это высокий парень с жирной головой, который любит шлепать ногами по воде».

77.

Химики обозначают атом водорода буквой Н, углерода буквой С и т. д. и соединяют их связями, чтобы показать, как построены молекулы. Подобные «картинки» основаны на химических экспериментах и рассуждениях; они полезны и заслуживают доверия.

78.

В каждом случае атом натрия отделяется в воде в виде иона Na⁺. В результате остальная часть молекулы мыла приобретает отрицательный заряд и превращается в длинный отрицательный ион.

79.

Эта оболочка, состоящая из скопления молекул мыла, ограждает воду и мешает испарению. Пузыри, сохраняемые в очень влажном воздухе, чтобы исключить испарение, существуют еще дольше, рекордный срок их жизни — несколько месяцев.

80.

Чтобы игла или лезвие бритвы не утонули в воде, надо сначала сделать их несмачиваемыми, смазав небольшим количеством воска или жира. Большой краевой угол позволяет силам поверхностного натяжения развивать значительную выталкивающую силу.

81.

Этот раздел написан на основе интересного обсуждения, приведенного в книге: W. H. White, A Complete Physics, Written for London Medical Students, London, 1935.

82.

Грубой аналогией такого представления является стадо свиней у длинной кормушки. Подобно тому как один конец молекулы растительного масла «любит» воду, голова свиньи ткнется к пище, свиньи карабкаются и толкаются, пока все не достигнут кормушки. Если стадо слишком велико, неудовлетворенные будут ожидать в стороне (подобно толстым каплям избыточного масла на воде). Если число свиней будет подобрано точно по длине кормушки, они образуют слой в одно животное, причем все расположатся перпендикулярно кормушке. Если свиней слишком мало, то они расположатся произвольно и у кормушки останутся свободные места.

83.

Для ориентировочной оценки массы одной молекулы могут делаться даже еще более грубые предположения.

84.

Цвета мыльных пузырей тоже можно использовать для определения их толщины.

85.

Возможно, они действительно искривляются. Как вы можете установить, что луч света искривлен? Как проверить прямизну линейки?

86.

Вопрос о том, что значит сделать силы «равными» и сложить их, рассмотрев дальше в этой главе.

87.

Алгебраическая сторона такого объединения пояснена в подстрочном примечании на стр. 253. Здесь можно сравнить это соотношение с выражением для подсчета стоимости рабочей силы при выполнении той или иной работы:

(Стоимость) ~ (Число работающих),

(Стоимость) ~ (Число часов работы).

Объединение этих двух формул дает:

(Стоимость) ~ (Число работающих)∙(Число часов).

88.

Пожалуй, идеальный эксперимент с одним-единственным движущимся телом, бесконечно удаленным от всех других, которые были бы способны нарушить его движение, невообразимо труден. В самом деле, как мы могли бы наблюдать равномерное движение тел? Где бы мы находились и где бы находились наши «верстовые столбы»? Поскольку такое движение, если бы оно даже существовало, невозможно наблюдать, разумно ли говорить о нем как о части научного знания? Лучше смириться с незначительными помехами, которые создает трение, или возмущениями, связанными с земным тяготением.

89.

Как можно убедиться в том, что проколы расположены на одной линии? Физик-экспериментатор воспользовался бы, вероятно, электрическим фонарем. Но если бы он не решился положиться на прямолинейность лучей света, то мог бы использовать туго натянутую нить и учесть ее провес, как это делают землемеры.

90.

Идеальный способ калибровки — простой с точки зрения теории, но трудный на практике — заключается в том, чтобы подгонять пружины по их способности сообщать ускорение. Прикрепляя пружины поочередно к одной и той же тележке, сжимайте или растягивайте их, пока все они при некотором стандартном удлинении не будут сообщать ей одно и то же ускорение.

91.

Или, если вам больше нравится, можно изготовить несколько одинаковых металлических грузов, каждый из которых притягивался бы землей так, чтобы растягивать пружины с силой 1 странг; затем, подвешивая 1, 2, 3… таких груза к основной пружине, отмечают ее удлинения на шкале; 1, 2, 3… странга.

92.

Если не ввести какого-либо трения, пружина будет совершать паразитные колебания значительной амплитуды. Трение о шероховатые поверхности привело бы к погрешностям; идеальный результат обеспечивает трение в жидкости, позволяя «заглушить» колебание измерительного устройства: силы трения в жидкости возрастают с увеличением скорости и равны нулю, когда жидкость находится в состоянии покоя. (Подвесьте маятник в жидкости и посмотрите, как затухают его колебания. Чем больше вязкость жидкости, тем больше силы, препятствующие движению; в любом случае в конце концов колебания маятника успокаиваются, и он застывает в вертикальном положении.) Трение в жидкости никогда не изменяет положения равновесия. В нашем силомере шнур, прикрепленный к пружине, следует обмотать вокруг оси, нижний конец которой имеет лопасти и погружен в густое масло.

93.

Замечания по поводу масс в опыте 2(в).

Получение удвоенной и утроенной массы. На лекции невозможно подбирать несколько одинаковых тележек и составлять их вместе. Массу тележки можно удвоить, положив на нее некоторое количество металла с той же массой, что и тележка, определив ее «взвешиванием». Мы находим количество металла, которое уравновешивает на весах пустую тележку. Тогда мы знаем, что земное притяжение действует на груз и тележку с одинаковыми силами. Мы знаем также, что при свободном падении тележка и груз падают с одинаковым ускорением. Следовательно, одна и та же сила сообщает одинаковое ускорение обоим телам. Поэтому массы груза и тележки одинаковы — это наше определение равенства масс (фиг. 149). Однако при этом мы приняли без доказательства, что гравитационная масса и инертная масса равны или по крайней мере пропорциональны друг другу.

Поправка на момент инерции колес тележки. При качении тележки по рельсам ее колеса вращаются и движение ободов требует приложения небольшой ускоряющей силы, как если бы тележка обладала добавочной массой. Вы встретитесь с этой «инерцией вращения» в другом месте нашего курса; ею можно воспользоваться в опыте 2(в). Уменьшим массу тележки, удалив небольшое количество материала, из которого она сделана, и тем учтем вращение колес. Ради простоты, каждый раз учитываем вращение колес, удаляя некоторое количество материала, а в последующем рассмотрении не считаем, что эта масса потеряна, поскольку она как бы заключена в колесах. Эту поправку на вращение колес можно рассчитать по данным колеса или оценить методом проб и ошибок. Применяя последний метод, мы используем два измерения в основном эксперименте, чтобы найти поправки, и лишь одно, третье, измерение — для ответа на главный вопрос.

94.

Если это покажется странным, воспользуйтесь криволинейной поверхностью собственного лба в качестве наклонной плоскости и прижмите к нему палец. Лоб будет отталкивать палец с силой, направленной прямо от поверхности, если не считать трения, которое вы сможете почувствовать. Попробуйте представить себе, что трение при этом отсутствует.

95.

Если вы намерены стать осторожным физиком, избегайте пагубного слова «создает». Все, что мы на самом деле знаем, это то, что силы и ускорение сопутствуют друг другу. Во многих случаях не удается независимым образом показать, что действует сила, просто мы считаем, что сила действует, поскольку наблюдается ускорение.

96.

Качение шара вносит одно осложнение, о котором мы умолчали, поэтому для исследования этой зависимости между силой и ускорением мы пользуемся скольжением тел по наклонной плоскости «без трения» или наблюдаем движение тележки по рельсам. В последнем случае тележка движется прямолинейно, и лишь ее колеса вращаются.

97.

Предположим, у нас имеется несколько наклонных плоскостей одинаковой высоты h, но с разным наклоном, и движение по ним происходит без трения (фиг. 152).

Фиг. 152.

Последим за скольжением какого-нибудь тела из состояния покоя в верхней точке каждой из наклонных плоскостей. Если ускорения пропорциональны h/L, можно предсказать, что во всех случаях тело к концу движения приобретет одну и ту же скорость v. Для равноускоренного движения из состояния покоя v² = 2as (см. гл. 1, приложение I), и если a = C(h/L), где С — постоянная, то v² = 2as = 2C(h/L)∙(Расстояние L) = 2C∙h, т. е. одинаково для всех наклонных плоскостей. Если же скорость v одинакова для всех наклонных плоскостей одной и той же высоты h, то ускорения должны быть пропорциональны отношению h/L. Галилей был убежден, что это свойство «одинаковой скорости» установлено им правильно, и во многих случаях пользовался им как отправной точкой при рассмотрении ускоренного движения.

98.

Не так уж просто заметить, что зависимости F ~ а и F ~ М можно объединить В формулу F = K∙M∙а. Вспомним, что первые две формулировки содержат некоторые условия. Первая гласит: «F ~ а при неизменной массе М». Но если М постоянна, то мы сможем записать более общую формулу F = K∙M∙а.

Таким образом,

F = (K∙M)∙а = (Постоянная)∙а,

Т. е. F ~ a.,

Следовательно, формула F = K∙M∙а включает утверждение «F ~ a, если М постоянна».

Второе утверждение гласит, что F ~ М, если ускорение а неизменно. Но если а остается неизменным, то мы можем записать формулу F = K∙M∙а следующим образом:

F = (K∙M)∙а = (Постоянная)∙М,

Т. е. F ~ M.

Следовательно, формула F = K∙M∙а включает зависимости F ~ а и F ~ M при определенных условиях:

99.

Для наших целей удобнее говорить, что масса — это отношение (сила)/(ускорение); это упрощает представление о незнакомой величине, какой является масса. Физики-специалисты обычно рассуждают как раз в обратном порядке. Они говорят, что масса представляет собой очевидную (!) меру тяжеловесности вещества (назвать это свойство вещества «инертностью» — значит просто присвоить ему некоторое наименование) и определяют силу как произведение (масса)∙(ускорение). Разумеется, это не устраняет сомнений с точки зрения логики, которые возникали в наших рассуждениях, а лишь «перемещает» их. Обе точки зрения могут быть приняты в качестве рабочих, но смешивать их было бы просто несовместимо с требованиями логики.

100.

Рыба, пожалуй, сказала бы, что пузырьки воздуха поднимаются под действием силы плавучести, обусловленной земным отталкиванием.

101.

Мы можем произвести опыт с измерением ускорения, не прикладывая к предмету сил, кроме действующего на него притяжения Земли. Предмет свободно падает с ускорением g, и мы применяем соотношение F = M∙а, как об этом рассказано дальше в этой главе.

102.

До сих пор не найдено способа отгородиться от силы тяжести при помощи экрана или прекратить ее действие, и мы не ожидаем, что такой способ будет найден: гравитационные притяжения действуют через любую преграду. В этом отношении гравитационные поля непохожи на другие силы, известные в физике: магнитные поля частично экранируются железом, а электрическое поле совершенно не проникает внутрь замкнутой металлической коробки.

103.

Заметьте, что на самом деле это не абсолютное измерение массы. Мы не можем запустить какую-то машину и получить от нее значение М в абсолютной системе отсчета, как при счете, скажем, кроликов или атомов и электронов. Мы просто берем наш эталон килограмма и определяем, «сколько в нем килограммов», что равносильно измерению отношения.

НЕИЗВЕСТНАЯ МАССА X / МАССА ЕДИНИЦЫ 1 кг, или Х/1.

Тем не менее мы называем этот результат абсолютной массой, поскольку говорим, что М выражено в килограммах в отличие от результата сравнения двух масс, когда получаем, например,

МАССА X / МАССА Y = 2.

Сравним это с высказываниями: «Возраст А равен 40 годам», «Возраст В равен удвоенному возрасту С». Первое высказывание означает, что возраст А/1 год = 40; второе высказывание означает, что возраст В/возраст С = 2. Мы можем назвать первое утверждение абсолютным измерением, поскольку в нем используется эталонная единица, тогда как во втором случае говорят об относительном измерении. В известном смысле оба измерения являются сравнениями — всякое измерение представляет собой определение, сколько раз одна величина укладывается в другой.

104.

Гл. 23 («Всемирное тяготение») входит в т. 2 настоящего издания.

105.

Если это доказательство покажется вам длинным и нудным, рассмотрим следующий конкретный пример: сравним эталон килограмма, сделанный из платины, с камнем неизвестной массы. Сравним их инертные массы, перемещая поочередно каждое из тел в горизонтальном направлении под действием некоторой силы и измеряя ускорение. Предположим, что масса камня равна 5,31 кг. Земное тяготение в этом сравнении не участвует, затем сравним гравитационные массы обоих тел, измерив гравитационное притяжение между каждым из них и каким-нибудь третьим телом, проще всего Землей. Это можно проделать путем взвешивания обоих тел. Мы увидим, что гравитационная масса камня тоже равна 5,31 кг.

106.

Измерение ускорения в опытах с тележкой на рельсовом пути представляет собой способ истинного сравнения массы X с эталоном (при этом необходимо третье измерение для исключения неизвестной массы тележки и т. д.).

С помощью пружинных весов сравнивают земное притяжение (фиг. 160), т. е. вес X сравнивают с весом эталона килограмма. Поскольку оба измерения производятся в одном и том же месте, где g одно и то же, символический эксперимент служит для этих измерений подтверждением косвенного способа сравнения масс. Чтобы взвесить X, т. е. определить приложенное к X притяжение Земли по сравнению с притяжением Земли, действующим на эталон килограмма, можно воспользоваться обычными весами, символический эксперимент тел служит для этих измерений подтверждением косвенного способа сравнения масс.

На фиг. 162 (стр. 271) показано, как сравнить массы в опытах с измерением ускорения, пользуясь вместо силомера обыкновенным грузом. Рассуждения в этом случае более сложные, ибо в движущуюся массу необходимо включить и массу груза.

107.

Гл. 26 («Энергия») и гл. 29 («Экспериментальные основания закона сохранения энергии») входят в т. 2 настоящего издания.

108.

Это относится в основном к английскому языку, где слово «Weight» означает и «вес» и «гиря». — Прим. перев.

109.

Измерьте ускорение во всех трех случаях и, воспользовавшись соотношением F = K∙M∙а и правилами алгебры, найдите отношение (X кг)/1 кг), (Силу F, массы М₀ в М тележки и груза и численное значение постоянной К знать не нужно.).

110.

Период колебаний атома водорода в молекуле метана равен 0,0000000000000114 сек, или 1,14∙10^-14 сек; период колебаний атома тяжелого водорода равен 0,0000000000000160 сек, или 1,60∙10^-14 сек.

111.

Мы можем сделать К = 1 путем подбора единиц точно таким же способом, как ученые времен Наполеона приравняли плотность воды единице, выбрав, исходя из этого, величину грамма. Они решили определить грамм как массу одного кубического сантиметра воды, пытаясь для этого (не вполне успешно) изготовить эталон килограмма из такого количества металла, который уравновешивал бы 1000 см³ воды. Если бы им это удалось, то тем самым плотность воды была бы сделана равной в точности 1,000 г/см³. Заметим, что плотность, не равна просто 1, а 1 г/см³. Наша постоянная К равна не просто 1, а 1 (ньютон)/(кг∙м/сек²). Однако об этом редко вспоминают.

112.

Например, эксперимент показывает, что сила, равная земному притяжению, действующему на 2 т, сообщает 1000 кг ускорение, близкое к 730 дюйм/сек². Если мы хотим воспользоваться этими непривычными и неудобными единицами, мы должны так подогнать значение К, чтобы соотношение F = K∙M∙а оставалось справедливым. Тогда 2 m силы = К(1000 кг)∙730 дюйм/ сек²). Следовательно, постоянной К нужно придать значение 2/730 000. Соотношение F = (2/730 000)∙М∙а справедливо для приведенных выше данных, и мы полагаем, что оно сохранится для любого набора результатов измерений, выраженных в таких же нелепых единицах.

113.

До последнего времени инженеры считали, что основные задачи, которые им приходится решать, связаны с весом предметов вблизи поверхности Земли, поэтому выбранная ими единица — килограмм силы — удобна для работы. Тем временем физики, заглянув внутрь атомов, пришли к выводу, что в их задачах важнее всего масса, тогда как вес не играет существенной роли в мире атомов и вводит в заблуждение при решении проблем астрономии. Поэтому физики предпочитают записывать закон Ньютона в виде F = M∙a, беря килограмм в качестве единицы массы. В современную эпоху инженерные проблемы требуют нового подхода: космические полеты совершаются в области, где g имеет различные значения, а ядерная техника имеет дело с атомными частицами, для которых важное значение имеет масса и даже изменения массы. Новая техника сливается с новой физикой, когда инженерам приходится выражать силу в абсолютных единицах и ясно представлять себе, что такое масса.

114.

Смена единиц кажется нам здесь чем-то похожим на внезапное переключение одних единиц на другие. На самом деле, мы лишь заменили одно название другим, перейдя от кг∙м/сек² к более короткому наименованию ньютон. Когда мы пользуемся соотношением F = M∙a, мы выражаем F в ньютонах и, следовательно, имеем в левой части уравнения некоторое количество ньютонов, а в правой части у нас килограммы, умноженные на м/сек². Следовательно, мы должны считать, что ньютон — это то же самое, что кг∙м/сек². Или, в частном случае, если F = 1, M = 1 и а = 1, мы имеем.

1 ньютон = 1 кг∙1 м/сек²,

Что дает нам связь между единицами: 1 ньютон = 1 кг∙м/сек². Это соотношение вытекает из простого факта, что ньютон сообщает 1 кг ускорение 1 м/сек², в самом деле это следует из определения ньютона. (Обратите внимание, что во всех этих рассуждениях мы забыли постоянную К = 1, присутствующую в скрытой форме в соотношении F = M∙a. Если мы считаем, что постоянная К выражается в некоторых единицах, как об этом говорилось в одном из предыдущих примечаний, то связь между единицами станет самоочевидной, но запись будет более громоздкой и нужно будет не забывать каждый раз подставлять единицы для К. В этом курсе мы забудем о К и будем рассматривать ньютон как название единицы килограмм∙метр/сек².)

115.

Если вас это озадачивает, то подумайте над следующими тремя утверждениями в отношении силы, действующей на нить (фиг. 179):

А. Сила, которую развивает (или которую испытывает) нить на каждом из концов, равна 5 кГ.

Б. Результирующая сила, приложенная к нити (5 кГ) + (—5 кГ) = 0.

В. Полная сила (5 кГ) + (5 кГ) = 10 кГ.

Сила в формулировке а — очень удобное понятие, оно говорит нам о том, как нить способна воздействовать на предметы, которые она тянет, и заслуживает присвоенного ему названия «натяжение».

Схема б правильная, но не пользующаяся успехом. Мы уже употребляли термин «результирующая сила». Сила в случае в не имеет практического значения, и мы не даем ей никакого названия.

116.

«Не премьер-министр, а его двоюродный брат, который был великим математиком» (Бертран Рассел).

117.

Есть русский перевод: «Наука и гипотеза», Петербург, 1906.

118.

3) Автор имеет в виду второй закон Ньютона. — Прим. перев.

119.

В каждом случае, когда требуется произвести «сравнение» с весом тела, лучше всего дать ответ в виде дроби, например: «сила равна 3/4 веса грузовика», «сила, которую развивает слон, составляет 10 % его веса» и т. д. Чтобы получить такую дробь, нужно выразить рассматриваемую силу в тех же единицах, что и вес.

120.

См. предыдущее примечание.

121.

В то же время следующий вопрос, который как будто бы похож на «задачу» В, имеет вполне определенный ответ.

С. Горизонтальная струя воды, выбрасываемая из брандспойта со скоростью 10 м/сек, попадает на вертикальную стену. Расход воды в рукаве 200 л/сек. Струя тормозится и вода стекает по стене. С какой силой вода действует на стену?

122.

Мы, естественно, можем наблюдать изменение вертикального движения снаряда и оценить по этому изменению действие силы земного притяжения. Здесь мы рассматриваем изменения горизонтального движения.

123.

Произведению (сила)∙(время), присвоено наименование «импульс силы». Поэтому можно сказать, что импульс силы равен изменению количества движения.

Название «импульс» соответствует тому, что одно и то же изменение количества движения может быть произведено как малой силой за длительное время, так и огромной силой, действующей в течение короткого промежутка времени. Во многих случаях при ударах и столкновениях мы не знаем величину силы F или времени ее действия t, а знаем лишь их произведение Ft — импульс силы, измеренный по изменению количества движения.

124.

Точка между единицами означает, что единицы перемножаются. Вы уже давно встречались с таким перемножением единиц в задачах по арифметике, в которых фигурируют «человеко-часы». Дефис в качестве знака умножения можно спутать со знаком вычитания. Мы пользуемся здесь более современным символом — точкой, например в единицах ньютон∙метр, человека∙часы и т. д.

125.

Эти единицы совместимы. Вспомните, что, согласно соотношению F = M∙a, 1 ньютон сообщает массе 1 кг ускорение 1 м/сек^2.

F = M∙a.

1 ньютон = (1 кг)∙(1 м/сек²),

1 ньютон = 1 кг∙м/сек²,

(1 ньютон)_F∙(1 сек)_t = 1 кг_M м/сек_v.

126.

Дальнейший геометрический анализ приводит к замечательному результату: при развале любого тела, которому сообщена скорость, будь то снаряд, ракета или атомное ядро, центр тяжести его осколков продолжает двигаться после взрыва по той же траектории, что и до взрыва. Предположим, что ракета, движущаяся по эллипсу в поле тяготения Земли, взрывается или выбрасывает вторую ступень. Центр тяжести (или центр масс) отдельных частей ракеты продолжает двигаться по эллипсу, как если бы ничего не случилось, пока один осколок не попадет на Луну или не возвратится на Землю или пока трение о воздух не станет нарушать изолированность системы. Нет ничего удивительного в том, что физики-ядерщики предпочитают изучать столкновения в системе, связанной с центром масс сталкивающихся частиц.

127.

Измерение скорости без измерения траектории сложнее, но его можно произвести, сделав серию моментальных фотографий на пленке через равные промежутки времени.

128.

Гл. 39 («Радиоактивность») входит в т. 3 настоящего издания.

129.

Специалисты-физики, анализируя такие снимки, исходят из предположения о сохранении количества движения и кинетической энергии и с помощью алгебры и тригонометрии выражают отношение M_В/M_А через одни только углы. Это избавляет от трудностей, связанных с косвенным методом оценки скоростей. В тех редких случаях, когда столкновение оказывается неупругим, скорости оценивают по длине следов; скорости, приведенные в этой задаче, представляют собой как раз значения, получаемые при такой оценке. Произвольная единица скорости близка к 10 000 000 м/сек.

130.

Гл. 26 («Энергия») входит в т. 2 настоящего издания.

131.

Если происходит столкновение двух грузовиков и вы наблюдаете за изменением количества движения только одного из них, то количество движения не будет сохраняться. Чтобы зафиксировать сохранение количества движения, нужна следить за количеством движения обоих грузовиков, т. е. вообще всех участвующих в столкновении тел. Именно это имеют в виду, говоря о замкнутой системе: рассматриваются все взаимодействующие тела.

132.

При очень тесном сближении тел атомные силы отталкивания начинают преобладать над «дальнодействующими» силами притяжения, которые удерживают вместе частицы в твердых телах, создают «поверхностное натяжение» и обусловливают некоторые химические связи. Притяжение простирается на несколько диаметров молекул и возрастает по мере сближения частиц, но не так быстро, как силы отталкивания. Силы отталкивания нарастают быстро, и в равновесном положении атомов на поверхности твердых тел и т. п. в точности уравновешивают силы притяжения. Когда мы пытаемся еще больше сблизить атомы (при любых столкновениях), силы отталкивания начинают превышать силы притяжения и противодействуют производимому нажиму. Силы отталкивания должны существовать, иначе вещество потеряет устойчивость — частицы «слепятся» (это состояние называют коллапсом).

Мы считаем, что оба рода сил имеют электрическую природу. Близкодействующие силы отталкивания возникают, когда один атом пытается проникнуть внутрь другого. В этом случае электроны сопротивляются проникновению других электронов внутрь своих орбит, а ядра, не полностью экранированные электронами, также отталкивают друг друга. Механизм этих явлений не так просто иллюстрировать или объяснить. Некоторые дополнительные значения приведены в гл. 44 («Современная физика», входит в т. 3 настоящего издания).

133.

Проводя пальцем по шероховатой поверхности стола, вы ощущаете действие сил трения. Опять-таки речь идет лишь о больших по величине силах, никакого «соприкосновения» между атомами твердых тел нет. Это силы отталкивания между пальцем и неровностями стола. Когда вы ощущаете наличие трения между очень гладкими поверхностями, например при скольжении металла по металлу, это значит, что действуют атомные силы притяжения, т. е. крошечные частицы металла стираются с одной поверхности и переходят на другую. Как показывает химический анализ, при трении железа о медь происходит перенос небольшого количества меди на железо, иногда в микроскоп видны ветвеобразные следы меди. Известно, что при трении меди по меди также происходит обмен микроколичествами металла между трущимися поверхностями, даже если не видно никаких следов.

Возникает вопрос: каким образом можно узнать об этом и измерить участвующие в обмене количества металла, если нет такого химического анализа, который бы позволил отличить одну медь от другой? В последующих главах вы узнаете о замечательном методе, которым для этого пользуются.

134.

Гл. 26 («Энергия») входит в т. 2 настоящего издания.

135.

Предположим, вы стоите на роликовых коньках и я толкаю вас кулаком в живот с силой 100 ньютон. Пока вы движетесь с ускорением, это будет причинять вам боль. В то же время ваше противодействие или ответный толчок действует на меня, а не на вас, и мой кулак почувствует приложенное к нему ответное толкающее усилие 100 ньютон. Если я стою на роликовых коньках, то я тоже буду двигаться с ускорением, направленным в противоположную сторону.

136.

«Ложные доказательства». Иногда можно встретиться с таким доказательством (фиг. 212).

«У меня на ладони лежит книга. Поскольку книга находится в состоянии покоя, я действую на нее с силой, направленной вверх и в точности равной силе, с которой книга давит на мою руку вниз». Последняя фраза утверждает, что действие равно противодействию; но предыдущая фраза, выделенная курсивом, вообще не содержит никакого утверждения. Тут две ошибки:

А) На книгу действует только одна из двух сил, о которых говорилось выше, а именно сила реакции моей руки Р, направленная вверх. На книгу действует еще одна совершенно независимая от других сила — притяжение Земли W. Если книга находится в состоянии покоя, то мы считаем, что Р = —W (первый закон Ньютона). Но это не убеждает нас в том, что Р = —Q, где Q — направленная вниз сила давления книги на мою руку (третий закон Ньютона).

Б) Книга вовсе не обязательно должна покоиться. Она может двигаться с ускорением. Если я опускаю руку с ускорением, направленным вниз, то при этом я уменьшаю силу Р. Значит, силы Р и W, приложенные к книге, уже не уравновешиваются. Тем не менее мы считаем, что действие и противодействие сил рука — книга, т. е. силы Р и Q, по-прежнему равны и противоположны друг другу, хотя наше убеждение не основано на приведенном ошибочном доказательстве.

137.

Количество движения — это вектор, обладающий величиной и направлением. Поскольку произведение (сила)∙(время) дает изменение количества движения, то количество движения должно подчиняться правилу сложения векторов точно так же, как и сила. Начертите оба вектора количества движения (они перпендикулярны друг другу) и, воспользовавшись этим построением, найдите сумму.

138.

Треугольники со сторонами, пропорциональными числам 3, 4, 5, — это прямоугольные треугольники.

139.

Гл. 22 («Исаак Ньютон») входит в т. 2 настоящего издания.

140.

В «модельных» опытах, показанных на фиг. 225 и 226, мы наблюдаем линии тока в случае очень медленного течения, при котором определяющую роль играет внутреннее трение жидкости (вязкость). Более быстрое течение, при котором распределение давления определяется изменением количества движения, а не внутренним трением, дает точно такую же картину линий тока. При значительно более быстром течении линии тока превращаются в вихри.

141.

Исключение составляет квантовая жидкость HeII. — Прим. ред.

142.

Силы, обусловленные внутренним трением, пропорциональны v при ламинарном течении и v^3/2 при течении с пограничным слоем, в то время как силы, обусловленные изменениями количества движения вследствие изменения скорости потока, пропорциональны v². Поэтому силы такого типа играют более важную роль при больших скоростях, до того как происходит и начинает играть большую роль образование вихрей.

В уравнении сила = (изменение Mv)/(время) Mv содержит множитель v, но время прохождения массы М пропорционально 1/v. Поэтому сила пропорциональна v².

143.

Гл. 32 («Электрические цепи») входит в т. 3 настоящего издания.

144.

Гл. 30 («Плодотворное развитие кинетической теории газов») входит в т. 2 настоящего издания.

145.

Такие законы следовало бы называть «предположениями ad hoc», а основанные на них построения — «теорией ad hoc»; ad hoc означает «для этой (цели)». Объяснения первобытных чародеев полны сделанными ad hoc предположениями об особых духах или воздействиях. Современная наука иногда тоже прибегает к ним, например, когда биологи для «объяснения» роста растений в направлении к свету говорят, что растения «стремятся быть лицом к солнцу». Мы считаем подобные объяснения неудачными, если не откровенным мошенничеством, за исключением тех случаев, когда они помогают связать вместе несколько различных фактов.

146.

Такая картина приемлема для быстро вращающегося грубого мяча, вроде бейсбольного. Полное рассмотрение более сложно [см. Amer. Journal of Physics, 27, 589 (1959)]. Очень гладкий мяч, вращающийся с умеренной скоростью, увлекает только тонкий «пограничный слой» окружающего воздуха и часто отклоняется «не в ту сторону»!

147.

Это рассуждение с помощью «встречного ветра» полезно. Его можно применить, например, при рассмотрении звуковых волн, где с помощью второго закона Ньютона оно позволяет нам предсказать, что скорость звука в воздухе будет равна √[(7/5 (давление воздуха)/(плотность воздуха)].

148.

В «мелком» озере скорость течения пропорциональна 1/r. Но если бы А и В находились в «глубоком» океане, то скорость течения была бы пропорциональна 1/r². Распределение суммарных линий тока в обоих случаях было бы примерно одинаковым.

149.

Вопрос трения о воздух сложен, и этот раздел можно опустить.

150.

Энергию этого турбулентного движения оплачивает человек, который закупает для самолета бензин. В конце концов вихревое движение превращается в движение отдельных молекул, в теплоту, немного согревая воздух позади самолета, как раз на столько, на сколько он нагрелся бы, если бы для его подогрева сожгли такое же количество бензина!

151.

В точности такой же результат получается и при рассмотрении неподвижного крыла во встречном ветре, имеющем скорость v, при условии, что крыло делает неподвижным весь воздух, который оно встречает.

Тогда опять за t сек крыло остановит слой воздуха длиной v∙t; его масса = (плотность)∙(A∙v∙t). Скорость этой массы воздуха изменяется от v до нуля; при этом теряется количество движения = (плотность)∙(A∙v∙t)∙(v).

Следовательно,

F∙t = d∙A∙v²∙t, или F = d∙A∙v².

Заметьте, что этот расчет в точности напоминает задачу, в которой на стену льется струя воды из брандспойта. Действительно, в нашем случае струя воздуха обливает крыло. Как и в той задаче, (сила) ~ v².

152.

В задаче в конце гл. 26 [(«Энергия») входит в т. 2 настоящего издания] показано, что после упругого столкновения мяча с массивным движущимся предметом скорость мяча возрастает на удвоенную скорость предмета. Таким образом, мяч приобретает одну и ту же долю, 2m/М, от количества движения предмета, независимо от скорости предмета. В нашем случае на такие столкновения накладывается беспорядочное движение молекул, но это не изменяет общего эффекта.

153.

Задача не требует применения алгебраической записи принципа Бернулли. Ответ можно дать на основании простой формулировки принципа, но ход рассуждения требует внимания и смелости.

154.

Гл. 44 («Современная физика») входит в т. 3 настоящего издания.

155.

Проработайте предлагаемые задачи, заполняя пропуски, оставленные для ответов.

156.

Изменения скорости должны произойти за один и тот же промежуток времени, поскольку период (полное время, в течение которого происходят все изменения) один и тот же при любых малых отклонениях. Таким образом, свойство независимости периода колебания маятника от амплитуды используется в ходе этих рассуждений дважды.

157.

Этот результат получен здесь для сил, действующих в крайних точках колебаний с различными амплитудами, но те же самые соотношения должны сохраняться между силой F и отклонениями от положения равновесия х на различных стадиях одного колебания. Земное тяготение не знает, находится ли маятник в крайнем положении при малом отклонении или проходит это положение, совершая колебание с большой амплитудой.

158.

Гл. 23 («Всемирное тяготение») входит в т. 2 настоящего издания.

159.

В этом случае нетрудно произвести расчет и выяснить, как давление, обусловленное разностью уровней, создает «возвращающую силу», которая заставляет жидкость двигаться с ускорением. Мы найдем, что период колебаний такой же, как у простого маятника, длина которого равна половине столба жидкости в трубе. Проверьте, если хотите, это в лаборатории. Период один и тот же независимо от вида жидкости. К этому выводу можно прийти путем простых рассуждений,

160.

Эта формула выводится здесь с помощью математического анализа; существуют и другие способы вывода этой формулы, но они не столь непосредственны и громоздки. Вы можете найти их в учебниках по общей физике.

161.

Гл. 26 («Энергия») входит в т. 2 настоящего издания.

162.

Гл. 31 («Математика и теория относительности») входит в т. 2 настоящего издания.

163.

Так называемый «монохроматический» свет. Например, желтый свет от окрашенного солью пламени или от натриевой лампы уличного освещения. Белый свет, пропущенный через зеленое стекло, взятое в качестве фильтра, — не монохроматический свет, он представляет собой целую гамму зеленых тонов, крайние участки которой могут отличаться: по длине волны на 10 %.

164.

Если смотреть на блестящую швейную иглу, освещенную солнцем, через стеклянную призму, держа призму близко к глазу, то можно увидеть темные линии в солнечном спектре. По этим линиям вы можете узнать, что в атмосфере Солнца есть натрий, водород и другие химические элементы. Изучение линий солнечного спектра привело к открытию гелия, когда он еще не был известен на Земле.

165.

Поглощая эти лучи, газы снова испускают их, но уже во всех направлениях. Поэтому доля света, идущего в прежнем направлении, слишком мала по сравнению с интенсивностью всех других цветов в лучах, идущих от Солнца.

166.

Не совсем искусственного. Мы можем получить картину стоячих волн, посылая волны по веревке, второй конец которой прикреплен к стене, так, чтобы они складывались с отраженными волнами. Ребенок, сидя в ванне и шлепая ладошкой по воде, тоже создает стоячие волны: «прямые» волны от ударов по воде складываются с «обратными» волнами, отраженными от стенок ванны. Подобной системой мы пользуемся для измерения коротких радиоволн. Экспонируя фотоэмульсию, расположенную на зеркале, можно также наблюдать эффекты стоячих световых волн.

167.

Автор выражает благодарность профессорам Юно Ингарду и Фрэнсису Фридману, подсказавшим этот весьма остроумный вывод. В других вариантах вывода либо пользуются математическим анализом, либо, пытаясь обойтись без него, прибегают к более сложным схемам.

168.

Гл. 37 («Магнитные силы») входит в т. 3 настоящего издания.

169.

Гл. 30 («Плодотворное развитие кинетической теории газов») входит в т. 2 настоящего издания,

170.

В современной физике примерами могут служить оценки и предположения, которыми пользуются в исследованиях космических лучей. Одни эксперименты в этой области физики отличаются высокой точностью, другие дают приближенные оценки, которые тем не менее играют первостепенную роль при построении новой теории.

171.

Некоторые математики и физики предпочитают употреблять выражение «находится в прямой зависимости» или «изменяется прямо пропорционально», говоря о зависимости между непрерывно изменяющимися величинами, и сохраняют выражение «пропорционально», имея в виду соотношение между отдельными значениями величин. Например: рост ребенка D, увеличиваясь равномерно от 60 см в 3 года, становится равным 1 м 20 см к 6 годам и 1 м 80 см к 9 годам (гигант!). Тогда можно сказать, что в пределах указанного промежутка лет «рост ребенка D изменяется прямо пропорционально его возрасту».

Предположим, что рост трех равных детей А, В, С в возрасте 3 года, 6 и 9 лет равен (сегодня) 60 см, 1 м 20 см и 1 м 80 см. Мы можем тогда сказать, что «рост детей А, В, С пропорционален их возрастам». Оба случая изображены графически на фиг. 293.

172.

Дело в том, что мы стремимся его отыскать.

173.

Заметьте, что связь и соотношение между величинами не означает отношение или дробь в арифметическом смысле.

Наука о Земле и Вселенной. Молекулы и энергия.

Часть II. НАУКА О ЗЕМЛЕ И ВСЕЛЕННОЙ. ВОЗНИКНОВЕНИЕ НАУЧНЫХ ТЕОРИЙ.

Астрономия— это часть физики. Однако здесь мы будем рассматривать ее с иной точки зрения. Мы включили астрономию в нашу книгу с более важной целью — дать пример возникновения и использования научной ТЕОРИИ. Поэтому эта часть книги посвящена истории развития наших знаний о Солнечной системе — Солнце, Луне, Земле и планетах — начиная с первых наблюдений и наивных догадок до грандиозного успеха ньютоновской теории всемирного тяготения. Исторический анализ дает более ясное понимание существа теории, нежели простое ее изложение. Для знакомства с наукой очень важно глубокое понимание теории и ее взаимоотношений с экспериментом, и один из лучших примеров тому — теория всемирного тяготения, поскольку нам нужны не только результаты теории, но и прежде всего причины и пути ее возникновения.

Нам следовало бы дать читателю представление о связи между научными открытиями и социальными условиями. Однако это потребовало бы значительно более широкого и подробного рассмотрения истории астрономии. Мы же не будем давать детального изложения исторических фактов. Если фигуры некоторых великих ученых покажутся лишь одинокими маяками в безбрежном и пустынном океане, а кое-какие их высказывания — несколько односторонними, то следует помнить, что наше изложение весьма ограничено и преследует определенную цель.

«На фоне истории человеческого общества история науки обнаруживает ряд индивидуальных особенностей; объясняется это тем, что проанализировать и оценить вклад человека в ту или иную область науки значительно легче, нежели в любой другой области, за исключением искусства. Самый способный генерал не может выиграть битву без армии. А кому следует приписать победу — ему или храбрым солдатам, которыми он командовал? Ученые выигрывают свои битвы без армий в значительной степени благодаря собственным усилиям, хотя и живут не в пустыне… Тем не менее история науки — не просто история жизни великих ученых? Если тщательно исследовать происхождение какого-либо открытия, то оказывается, что оно подготавливалось рядом менее значительных открытий, и чем глубже проводить исследование, тем больше мы выделим таких промежуточных стадий. На первый взгляд научный прогресс похож на гигантскую лестницу, каждая ступень которой соответствует одному из великих открытий, внезапно подымающих человечество на более высокий уровень. Но по мере углубления в анализ мы обнаружим, что большие ступени состоят из более мелких, а эти в свою очередь из еще меньших, пока, наконец, не покажется, что ступени должны исчезнуть совсем, однако этого никогда не произойдет. Каждая победа в науке завоевывается рядом усилий, самое скромное из которых было достаточно серьезно обдумано и взвешено».

Дж. Сартон,

«Наука и новый гуманизм», 1931 г.

Глава 12. Люди и небеса.

«Астроном, который не верует, — безумен». Эдвард Юнг (1700 г.).

Возникновение человека[1].

Астрономия почти так же стара, как Человек. Когда же появился человек и почему он стал заниматься астрономией?

Человек начал проявлять себя как разумное существо несколько сотен тысяч лет тому назад, о чем свидетельствуют наскальные рисунки в пещерах, исследованные еще очень неполно. Этих данных недостаточно, чтобы прийти к более определенным выводам, и, по мнению антропологов, прежде всего следует решить, что мы понимаем под словом Человек. Каковы основные черты, отличающие человека от животных? Решение определенных задач? Но ведь крысы, например, могут без посторонней помощи выбираться из лабиринта, а муравьи ведут настоящие сражения. Применение различных орудий? Но обезьяны часто пользуются палками и камнями, а некоторые даже строят примитивные хижины на деревьях. Забота о будущем? Пожалуй, наиболее отчетливое отличие человека от животного появляется именно тогда, когда человек начинает изготовлять орудия для использования их в будущем. Такая работа для будущего содержит в себе простую форму рассуждения: если…, то…. Человек делает стрелы для охоты на дичь, которую может встретить, роет могилы для умерших, веря, что им предстоит загробная жизнь. Заботы о пополнении запасов пищи и постройке жилища могут при наличии речи привести к более обширным планам… совместной жизни… традициям… законам….

Таким образом, человек начинает проявлять себя как планирующее и рассуждающее существо, беспокоящееся о будущем. Он пытается приспособиться к изменяющимся условиям окружающей среды, меняет предметы своего обихода применительно к погоде, для защиты от нападений, наводнений, голода. Он совершенствует орудия труда, одежду, условия жизни, продукты питания и прочее, чтобы противостоять каждому новому изменению среды. Это давало ему значительно более высокие шансы выжить.

Каков возраст человечества? Быть может уже миллион лет назад первобытный человек, умеющий создавать орудия труда, в некоторых отношениях отличался от своих обезьяноподобных «собратьев». Примерно 200 000 лет назад существовал примитивный неандерталец, которого затем вытеснили наши более способные предки. Его основным занятием была охота, он владел лишь грубыми орудиями, но уже умел пользоваться огнем и заботливо хоронил умерших. Существует очень мало указаний на то, какими были наши прямые предки более 100 000 лет назад[2], когда люди пользовались каменными орудиями. В течение следующих 80 000 лет каменные орудия совершенствовались, появились изделия из кости с резьбой и рисунками; но люди по-прежнему были дикарями и жили небольшими группами. Художники каменного века изготовляли маленькие статуэтки, символизирующие плодородие, и рисовали на стенах пещер животных. Некоторые из дошедших до нас фигурок и изображений представляют собой истинные произведения искусства.

Лишь 12 000 лет назад началась эпоха земледелия. Наступил новый период в жизни человека — агрономия дополнила случайные урожаи, охота на диких животных стала уступать место приручению и разведению скота, его выгону на пастбища; люди начали пользоваться гончарными изделиями для приготовления пищи, возникло производство продуктов питания, простые ремесла.

Вслед за этим, за пять или шесть тысяч лет до нас началась новая эра: отдельные селения стали объединяться в государства, появились различия в жизни города и деревни, возникла цивилизация. Люди строили большие города, в которых развивались вторичные отрасли индустрии, снабжаемые организованным сельским хозяйством и обогащаемые торговлей. На смену каменным орудиям пришли изделия из металла: меди, бронзы, железа. Для решения задач, связанных со строительством, развитием ремесел и торговли, с вопросами управления, потребовались знания арифметики, геометрии, измерения веса, длины, площади, объема, времени. Снабжающее города сельское хозяйство нуждалось в календаре для своевременной посадки растений, ухода за животными и использования разливов для орошения земель. Длительные перевозки товаров по морю и суше потребовали компаса. В эпоху ранней цивилизации компас, часы и календарь были столь же необходимы, как и сейчас. Все это дала людям астрономия.

Развитие человека.

Три тысячи лет назад на Земле уже существовали цивилизации. Благодаря систематическим наблюдениям за Солнцем, Луной и звездами были созданы часы, календарь и компас. Пока человек был лишь добытчиком пищи, для него Солнце, Луна и звезды служили не более чем грубым ориентиром. Астрономия как наука складывалась на протяжении десятка тысяч лет. Если этот срок покажется вам слишком долгим, выразите его в количестве поколений; от дикаря с примитивным мышлением до цивилизованного человека, владеющего астрономией, прошло четыреста поколений, а до современного уровня знаний — еще сто двадцать поколений. Таков быстрый процесс покорения природы и интеллектуального развития человечества.

Возникновение астрономии.

Самые первые сведения о небесных явлениях накапливались медленно. В течение столетий первобытный человек наблюдал звезды, принимал Солнце как нечто непреложное, полагался на лунный свет во время охоты и даже отсчитывал время по лунным месяцам. Солнце служило ему грубыми часами днем, звезды — ночью[3], восход Солнца определял восток, заход — запад; наибольшая высота Солнца (полдень) в течение всего года неизменно указывала юг, а ночью Полярная звезда — север.

При смене времен года ежедневный путь Солнца изменяется: зимой путь Солнца над горизонтом ниже, чем летом, место восхода Солнца также смещается по линии горизонта. Таким образом, по траектории Солнца можно было составить календарь времен года, как по расположению звезд на ночном небе, так как оно меняется каждую ночь в течение всего года.

По мере развития земледелия и скотоводства календарь играл все более важную роль. Необходимо было уметь предсказывать наступление времен года, чтобы подготовить почву и вовремя посадить зерновые культуры. Овцы, прирученные человеком одними из первых, приносят ягнят в определенный сезон, поэтому первобытным пастухам тоже нужен был календарь. Создание примитивного календаря сейчас кажется нам делом несложным, но в древние времена это было настоящим искусством. Обычно календари составляли священнослужители, которых уважали и даже освобождали от тяжелой работы — ухода за скотом и полевых работ.

По мере развития городской цивилизации сведения о движении Солнца, Луны и звезд собирались и записывались со все возрастающей точностью. Эти наблюдения систематизировались и с их помощью делались прогнозы. Так, уровень воды в реке Нил поднимается в определенные времена года; очень важно не только для земледелия, но и та соображений безопасности прогнозировать наводнения. Судьба рыбаков и мореплавателей зависит от прихоти океана, его приливов и отливов, поэтому закономерности в этих явлениях и зависимость их от фазы лунного месяца тщательно отмечались. Для городов время также играло важную роль — часы и календари были необходимы для торговли и путешествий[4].

Измерение времени способствовало интеллектуальному развитию. «Отсчитывая время по положению тени и учась пользоваться звездными часами, человек стал применять геометрию. Он научился определять свое положение в мировом пространстве и на Земле»[5].

Фиг. 1. Грубая схема развития человечества.

_{«Возраст Вселенной» не только представляется фантастической догадкой, но всецело зависит от нашего выбора шкалы времени, астрофизики все еще обсуждают этот вопрос.}

Астрономия и религия.

Почему в древности люди придавали значение астрономии не только с практической точки зрения и почему вокруг Солнца, Луны, планет и звезд создавались различные мифы и суеверия?

В жизни человека ослепительно сверкающее Солнце играло огромную роль, и человек начал понимать это, как только стал задумываться над тем, что его окружает. Солнце давало свет и тепло людям, животным и посевам. Луна же служила источником света для охотников, влюбленных, путешественников, воинов. Эти огромные светильники казались тесно связанными со всей жизнью человека, и не удивительно, что за ними наблюдали и им поклонялись. Звезды являли собой мириады светильников меньшего размера и также служили источником удивления и поклонения. Люди воображали, что их передвигали боги или демоны, и наделяли звезды способностью творить добро или зло. Нам не следует считать подобные представления глупыми суевериями; ведь Солнце приносило долгожданное лето, а Луна давала полезный свет. Поэтому наивному уму представлялось вполне возможным просить Солнце и Луну приносить и другие дары Яркая звезда Сириус всходила на рассвете, во время разливов Нила, и если египтяне считали, что Сириус вызывает наводнение, то это вполне простительно. Смешение следствия и причины — ошибка, которую часто совершают и в наши дни.

Когда выяснилось, что яркие небесные тела как бы блуждают среди остальных, то за «планетами» (буквальный перевод «странники») стали наблюдать с тревожным интересом. Позднее в ранней цивилизации люди пришли к суеверным выводам, что их судьбами и характерами управляют Солнце, Луна и блуждающие планеты. Так развитию астрономических наблюдений способствовали суеверие я вера в волшебство.

Таким образом, развитие астрономии тесно переплелось с развитием религии; впрочем, и до сих пор они довольно тесно связаны, так как современная астрономия трактует о происхождении Вселенной и о ее будущем. Ниже изложены предположения о том, какими были ранние стадии этого развития[6].

Наука, магия и религия.

Науку породила магия. Первобытный человек жил во власти сил природы. Его примитивный разум заставлял смотреть на природу, как на могущественное существо, которое можно в чем-то убедить. Он пытался вызвать дождь, прыгая и квакая, подражая лягушке, он старался добиться успеха в охоте, рисуя на стенах пещер животных, он зарывал умерших вблизи очага, надеясь согреть их и вернуть им жизнь, и клал возле могил орудия и пищу, которые могут им понадобиться в загробной жизни. Он проводил своего рода научные эксперименты, в основе которых лежали примитивные рассуждения. И не его вина, если представления — его были ошибочными. Современный человек не верит колдунам, ибо они не могут извлечь выводов из своих наблюдений — основной недостаток суеверия, упорной слепой веры. Первобытный человек не был способен разумно рассуждать и не мог правильно относиться к суевериям и предрассудкам.

Соблюдая ритуалы и поклоняясь магическим изображениям, человек проникался верой в могущество духов; он верил, что существуют добрые божества, которые могут ему помочь, и злобные демоны, которые приносят несчастья, верил в существование могущественных богов, которые управляют его судьбой. Точно ребенок, он пытался умилостивить богов, просил, чтобы они обеспечили ему хорошую погоду, здоровье, удачную охоту. Впоследствии первоначальные причины и цели были забыты, а обряды продолжали выполняться по привычке.

Важным фактором в развитии человеческого общества явилась речь. Заговорив, человек создал основы собственного мышления. Иные существа тоже могут общаться между собой — пчелы танцами передают друг другу сведения о наличии меда, лаем собаки выражают злобу, жалобу, радость. Речь открыли перед человеком огромные интеллектуальные возможности. В ходе длительного развития речь не только позволила человеку обмениваться информацией, но дала возможность накопить эту информацию и передать ее последующим поколениям. Затем речь поднялась на более высокий уровень — появились слова, выражающие абстрактные представления. Таким образом, речь открыла человеку новую область идей и рассуждений. Конечно, прогресс этот произошел не сразу. Словесная форма мышления вначале была нечеткой и бессвязной, рассуждения не доводились до конца, слова для описания тех или иных предметов были ошибочными, похожими на нынешний детский лепет.

С возникновением разговорной речи начала развиваться религия, стали вырабатываться правила поведения отдельных личностей и общества в целом. Даже еще до развития речи в семейном укладе человек получал понятие повиновения, а с помощью разговорной речи из поколения в поколение стали передаваться такие традиции, как, скажем, уважение к родителям и др. По мере того как семейства объединялись в роды… деревни… племена…, традиции превращались в законы и обычаи во имя общего блага. На основе таких традиций, из стремления избежать несчастья и во имя успеха возникло чувство необходимости объединяться в общины, возникла религия.

Первобытная религия переплетается с мифами о богах, с религиозными обрядами, с попытками привести в систему окружающую человека природу и развивающиеся социальные отношения. В создании религии астрономия играла важную роль. Своего рода первыми профессиональными астрономами были священники (мудрейшие люди деревни или племени) — составители календаря. Их преемником явилось могущественное духовенство первых городских цивилизаций. Так, в древнем Вавилоне священники были банкирами, врачами, учеными, правителями — они стояли во главе государства. Накопленные ими знания легли в основу многих наук. Накопленная в течение многих лет информация дошла до нас впоследствии в виде библейских текстов. Но было ли это наукой?

Наука — искусство понимать природу.

Любознательность и стремление накапливать знания были свойственны людям с самых древних времен. Первобытный человек копил и использовал знания — таково было начало прикладной науки. Затем он начал систематизировать знания, применять их и размышлять над ними. Это трудный шаг — от отдельных примеров к обобщениям. Понаблюдайте, как это пытается делать ребенок. Трудно уловить идею общего поведения, закона или абстрактного качества. Однако это существенный шаг в превращении набора тех или иных фактов в раздел науки. В нашем современном понимании наука никогда не являлась просто скоплением информации. Сами ученые, начиная, пожалуй, с раннего духовенства, были не просто собирателями, коллекционерами знаний. Они рылись в фактах, чтобы достичь более глубокого понимания, пытались извлечь общие идеи из наблюдаемых ими событий.

Ученые стремились узнать, что произошло и как произошло, и в течение многих веков размышляли над тем, почему произошли те или иные события. Эта тяга к познанию имела существенное значение для того, чтобы человек мог выжить; поколение, по-детски не желающее ничего понимать и ничего выяснять, вряд ли может существовать. Стремление к приобретению знаний могло возникнуть по необходимости, диктуемое страхом; оно могло быть рождено желанием заменить своенравных богов заслуживающей доверия властью. Но был и другой фактор: интеллектуальное наслаждение природой, наслаждение пониманием того, что происходит, наслаждение, получаемое от создания науки. Это наслаждение могло родиться в те далекие времена, когда первобытные люди рассказывали своим детям об окружающем мире, о природе, о богах, когда люди каменного века, которые с большим вниманием наблюдали за животными, создавали свои рисунки на камне и, видимому, наслаждались своим искусством.

Подобное удивление и восхищение характерно для каждого века, когда ученые создавали науку как искусство понимать природу.

Ученые прошли длинный путь — от страха перед своенравными богами до создания упорядоченных правил, но всегда их увлекало чувство любознательности и восхищения перед достигнутыми результатами.

Страх и беспокойство, удивление и восхищение — два аспекта главной движущей силы науки и религии. Две тысячи лет назад Лукреций считал, что «наука освобождает человека от страха перед богами». Уолт Уитмен сокрушался о многочисленных заботах человека и в то же время радовался тому удовлетворению, которое испытывает ученый;

«Я верю, что — листик травы не меньше поденщины звезд, И что не хуже их муравей, и песчинка, и яйцо королька, И что древесная жаба — шедевр, выше которого нет, И что ежевика достойна быть украшением небесных гостиных, И что малейший сустав моих пальцев посрамляет всякую машину, И что корова, понуро жующая жвачку, превосходит любую статую, И что мышь — это чудо, которое может одно сразить секстильоны неверных, И я могу каждый день в течение всей своей жизни смотреть на дочку фермера, Которая кипятит свой железный чайник и печет песочное печенье. Я думаю, я мог бы жить с животными, они так спокойны и замкнуты в себе, Я стою и смотрю на них долго-долго. Они не скорбят, не жалуются на свой злополучный удел. Они не плачут бессонными ночами о своих грехах, Они не изводят меня, обсуждая свой долг перед богом, Разочарованных нет между ними, нет одержимых бессмысленной страстью к стяжанию, Никто ни перед кем не преклоняет коленей, не чтит подобных себе, тех, что жили за тысячу лет, И нет между ними почтенных, и нет на целой земле горемык».

Уолт Уитмен, «Листья травы»[7].

Глава 13. Факты и первые шаги науки.

«Строить предположения, не располагая фактами, — все равно, что пытаться войти в дом без ключа, бессмысленно блуждая вокруг, ощупывая стены и заглядывая время от времени в окна. Факты — необходимый ключ». Юлиан Хаксли, «Очерки популярной науки».

Факты.

Прежде чем показать, как складывалась астрономия, мы расскажем о том, какие сведения можно почерпнуть, созерцая небо. Если вы жили за городом, на лоне природы, то почти все эти сведения вам известны. Если же вы выросли в городе, то предмет разговора будет казаться вам, наверно, бессвязным нагромождением фактов до тех пор, пока вы не взглянете на небо. Сейчас как раз наступил момент, когда это следует сделать.

Солнце — указатель.

Каждый день Солнце подымается от горизонта на востоке, описывает дугу, достигая максимальной высоты в полдень на юге, затем опускается к горизонту на западе. Оно слишком яркое и за ним трудно наблюдать. Но оно заставляет предметы, например вертикальный столб, отбрасывать четкую тень. В полдень, в середине дня, между восходом и закатом, тень от Солнца короче всего и в любой день года она указывает одно и то же направление — на север. Положение полуденного Солнца на небе совпадает с вертикальной «меридиональной» плоскостью, проходящей с севера на юг.

Зимой тени бывают длиннее, так как Солнце движется низко над горизонтом, подымаясь на юго-востоке и садясь на юго-западе[8]. Летом Солнце стоит выше, тени от него короче, а дни длиннее. Между этими крайними случаями имеются два «равноденствия», и когда дни и ночи одинаковы, а Солнце встает точно на востоке и садится точно на западе.

По представлениям первобытного человека восход Солнца указывал на горизонте — границе плоской Земли — восток, а место восхода — время года. В календаре использовалась и длина полуденных теней. Тень от столба служила грубыми часами. Хотя эти часы правильно указывали полдень, положение других моментов времени менялось в зависимости от времен года. Наконец чья-то гениальная догадка о том, что столб следует ориентировать параллельно земной оси (т. е. наклонить его под углом, соответствующим широте места), помогла создать точные солнечные часы.

Фиг. 2. Путь Солнца по небосводу изменяется в зависимости от времени года.

Звезды.

Звездное небо ночью являет нам извечную картину, усыпанную определенными группами звезд (созвездия), которым люди в древности давали фантастические названия. Вся звездная картина непрерывно вращается по небосводу, как если бы она была вделана в твердую раму. Одна из звезд, так называемая Полярная звезда, остается практически неподвижной, тогда как все прочие звезды вращаются вокруг нее. Понаблюдайте за звездами в течение нескольких часов и вы убедитесь в этом. Можно направить на небо фотокамеру с открытым объективом. Тогда пленка зафиксирует это движение. Ночь за ночью, год за годом звездная картина вращается без каких-либо изменений. Эти звезды называются «неподвижными»[9]. Полярная звезда указывает север в меридиональной плоскости полуденного Солнца, проходящей с севера на юг. Звездная картина вращается вокруг этой звезды с абсолютно неизменной скоростью. Это движение звезд позволяло первобытному человеку определять время, а Полярная звезда служила ему проводником, указывая точно на север[10].

Фиг. 3. Тень от столба короче всего в полдень.

Фиг. 4. Меридиан.

_{Полуденное Солнце находится на юге (или на севере). Меридиональная плоскость — вертикальная плоскость, проходящая через полуденные положения Солнца.}

Наиболее простое «объяснение» или описательная схема звездного неба состоит в следующем — это сверкающие светила, вкрапленные в большую вращающуюся полусферу, в центре которой находимся мы. Такое представление возникло много лет назад, и если бы вы смотрели на небо в течение многих ночей, то и вам наверное показалось бы, что так на самом деле оно и есть. Мудрый мыслитель сделал предположение, что в действительности существует полная сфера, лишь половину которой мы можем, однако, видеть в данный момент времени. Небесная сфера, ось вращения которой проходит через Полярную звезду, и небесный экватор, являющийся продолжением земного, неизменно вращаются вместе со звездами, совершая полный оборот в течение 24 часов. Солнце светит слишком ярко, и поэтому днем видеть звезды невозможно, мы видим лишь те звезды, которые находятся на небесной полусфере над нами ночью, когда Солнце находится на другой полусфере. Ежедневный путь Солнца по небу близок к небесному экватору, но проходит в течение года то выше, то ниже его от 23¹/₂° к северу летом до 23¹/₂° к югу зимой.

Фиг. 5. Звездная картина вращается.

Хотя звездная картина в целом остается неизменной, ее положение меняется при смене времен года — та часть звезд, которая находится в полночь прямо над нами, постепенно сдвигается к западу и ее заменяет другая; весь цикл происходит в течение года. Звезды, которые заходят через час после захода Солнца, в следующую ночь будут находиться на 1° ниже, ближе к западу, и зайдут на несколько минут раньше; через две недели они будут на одном уровне с Солнцем и зайдут одновременно с ним. Таким образом, за 24 часа небесная сфера совершает немногим более одного оборота: 360°+ около 1°. Она движется несколько быстрее Солнца, которое совершает один оборот за 24 часа. Небесная звездная сфера совершает за год один лишний полный оборот.

Фиг. 6. Фотографический снимок неба вблизи Полярной звезды.

_{Сделан с восьмичасовой экспозицией. Полярная звезда сама оставляет очень яркий след вблизи центра снимка.}

Солнце и звезды.

Это различие между ежедневным движением Солнца и звезд (происходящее вследствие движения Земли по ее орбите вокруг Солнца) было известно с давних времен и указывало на то, что Солнце движется под действием других причин. Солнце как божество стало центральной фигурой многих первобытных религий; за его передвижением по небу тщательно следили, ориентируясь по изменению теней, и делали отметки, выкладывая в ряд большие камни в храмах.

Вместо того чтобы говорить, что звездная картина «уходит вперед» (подобно часам, которые спешат) на 1° за день, мы принимаем движение звезд за стандарт и говорим, что Солнце отстает от этого стандарта на 1° в день. Мы можем «прикрепить» Солнце, подобно звездам, к внутренней поверхности небесной сферы; но поскольку Солнце отстает в своем движении от звезд, оно не остается в этом фиксированном месте звездной сферы, а будет медленно ползти назад, совершая за год полный оборот. Таким образом, движение Солнца мы можем представить состоящим из ежедневного движения вместе с небесной сферой и из ежегодного движения назад относительно звезд.

Фиг. 7. День и ночь в различные времена года.

_{А — лето в Северном полушарии (длинные дни, короткие ночи), зима в Южном полушарии (короткие дни, длинные ночи), б — во время равноденствия (день и ночь повсюду равны), в — зима в Северном полушарии (короткие дни, длинные ночи), лето в Южном полушарии (длинные дни, короткие ночи).}

Эклиптика и зодиак.

Идея отделить ежегодное движение Солнца от его ежедневного движения по звездному небу может служить примером научного анализа. Как только возникла такая идея, удалось составить карту ежегодного движения Солнца среди звезд — не непосредственно, ибо солнечный свет затмевает днем звезды, а наблюдая расположение звезд на небе в полночь. Годовой траекторией Солнца является не небесный экватор, а окружность, плоскость которой наклонена по отношению к плоскости экватора на 23¹/₂°. Именно вследствие этого наклона ежедневный путь Солнца на небе меняется в зависимости от времени года. Во время равноденствий годовая траектория Солнца пересекает экватор. Летом Солнце ежедневно движется в небе по этой наклонной траектории на 23¹/₂° выше, а зимой — на 23¹/₂° ниже. Эта годовая наклонная траектория называется эклиптикой.

При движении Солнца по эклиптике оно в течение года проходит в данное время года через одни и те же созвездия, и так повторяется из года в год. Широкая полоса созвездий в окрестности эклиптики называется зодиаком, и этим созвездиям астрологи давно дали специальные названия, соответственно каждому месяцу года.

Фиг. 8. Путь Солнца.

_{Вид с неподвижной Земли в различные времена года. Положения Солнца указаны (полдень, утро и т. д.) для наблюдателей, находящихся на долготе Нью-Йорка. Если бы такой наблюдатель мог вести наблюдения непрерывно, независимо от положения Земли, то увидел бы, что 6 месяцев от лета до зимы Солнце движется по спирали вниз (см фиг. 9), а затем по спирали вверх, по той же траектории, от зимы до лета.}

Фиг. 9. Путь Солнца в течение полугода.

Фиг. 10. Созвездия сохраняют постоянную форму, но совершают за месяц поворот на 30° относительно полуденного и полуночного положений Солнца.

Фиг. 11. Эклиптика, путь Солнца на звездном небе в течение года.

_{Суточное движение представлено как бы «замороженным».}

Луна.

Луна обращается вокруг Земли и освещается солнечным светом. Понаблюдайте за ней неделю или две; обратите внимание на то, где находится в данный момент Солнце, и проверьте, как это влияет на свет Луны. Луна движется по небу вместе с соседними звездами, но даже за одну ночь она заметна отстает от звезд. Луна отстает от звезд значительно быстрее, нежели Солнце, — на 90° в неделю, а за месяц — на полный оборот вокруг всей звездной сферы. Месячная траектория Луны наклонена по отношению к эклиптике на 5°, но расположена в пределах зодиака.

Затмения.

Затмения — явления весьма эффектные. Все выглядит так, будто кто-то откусил кусок от Солнца или от Луны. А полное затмение Солнца внушает страх даже культурным людям. И немудрено, ведь дневной свет меркнет и становится холоднее.

«В церковном календаре колдовство, магия и истинная наука были невообразимо перепутаны. Осуществляя якобы связь с небесными существами, священники поощряли веру в то, что природу можно подкупить, давая ей взятки, как большому начальнику. Одним из их наиболее действенных средств воздействия на суеверных людей являлась способность предсказывать затмения. Затмения толковались как неоспоримые знаки божественного нерасположения, а этого было вполне достаточно, чтобы оправдать взимание дополнительных приношений у прихожан. Никакой практической пользой, кроме укрепления престижа духовенства и его обогащения, нельзя объяснить столь большое внимание к этим явлениям»[11].

Позднее люди поняли, что затмения — лишь тени. Когда происходит затмение Луны, тень на Луну отбрасывает Земля. Затмение Солнца происходит в том случае, когда Луна находится между Землей и Солнцем, и мы попадаем в ее тень, которая быстро скользит по Земле.

Чтобы произошло затмение, Солнце, Луна и Земля должны находиться на одной прямой. И это происходит только тогда, когда Луна, двигаясь по своей наклонной орбите, пересекает плоскость эклиптики, в которой по определению находятся Солнце и Земля. Но даже в этом случае необходимое выстраивание трех светил на одной прямой происходит редко. Затмение Луны — это тень, падающая на Луну, и выглядит оно одинаково с любой точки Земли. Таким образом, затмение Луны, наблюдаемое с различных участков Земли, происходит в различные моменты времени по местным часам. И это служит доказательством того, что Земля круглая, а не плоская.

Фиг. 12. Зодиак, пояс небесной сферы, наклоненный под углом 23¹/₂° к экватору.

_{Ежегодный путь Солнца (эклиптика) проходит вдоль средней линии этого пояса, а траектории Луны и планет лежат внутри него. Зодиак делился на двенадцать секций, носивших имена известных групп звезд или созвездий.}

Фиг. 13. Движение Луны.

_{Луна на своем пути по небу вместе со звездами перемещается в обратном направлении относительно звездной картины, совершая за месяц полный оборот.}

Фиг. 14. Пояс зодиака.

Положения Луны в различных фазах в течение месяца. Суточное движение небесной сферы здесь «заморожено».

Фиг. 15. Затмения Солнца.

_{Происходят, когда Луна проходит между Солнцем и Землей. Размеры Луны и расстояние от Земли таковы, что могут наблюдаться полные затмения.}

Фиг. 16. Затмения Луны.

_{Наблюдаются, когда Луна проходит через тень, отбрасываемую Землей.}

Календарь.

День. Движение Солнца от полудня до полудня определяет почти постоянный день. Однако продолжительность этого дня все же несколько изменяется: полдень, отмечаемый по солнечным часам, в одни времена года опережает полдень, отмечаемый обычными часами, а в другие отстает от него, иногда на несколько минут. Истинное движение Солнца по эклиптике не одинаково на протяжении года — Солнце движется быстрее зимой; таким образом, в его дневном движении наблюдаются некоторые изменения. (В движении Луны наблюдаются еще более сложные нерегулярности.).

Движение звезд относительно небесной оси, проходящей через Полярную звезду, определяет постоянный, несколько более короткий день; этот день для человека служил стандартом до тех пор, пока не появились более совершенные электронные часы.

Фиг. 17. Затмения происходят только в определенные моменты времени.

_{Угол А равен 5°. Однако линия, по которой плоскость лунной орбиты пересекает плоскость эклиптики, медленно вращается вследствие возмущений, и затмения не всегда происходят в одно и то же время земного года.}

Месяц. Пожалуй, самым первым источником для составления календаря была Луна. Месяц, отсчитываемый от полнолуния до полнолуния, равен приблизительно 29¹/₂ дням. Полная Луна находится точно напротив Солнца, так что этот месяц непосредственно связан с движением Солнца. За 29¹/₂ дней Солнце смещается почти на 29° по эклиптике, так что Луна, чтобы догнать Солнце, совершает оборот на (360 + 29)° по отношению к звездам. Если звезды считать неподвижными, то по отношению к ним полный оборот Луны будет занимать 27,3 дня. Подобно составителям древнего календаря, мы пользуемся месяцем, равным 29¹/₂ дня, чтобы предсказать наступление полнолуния, новолуния и т. д.; если же нам надо вычислить движение Луны под действием сил тяготения, мы пользуемся месяцем, равным 27,3 дня.

Год. Представление о годе отражает:

А) повторение времен года;

Б) время, которое требуется для того, чтобы Солнце вернулось на прежнее место на звездном небосводе или чтобы звезды оказались в том же полуночном положении на небе; это представление несколько отличается от предыдущего;

В) период в 12 (или 13) лунных месяцев; легко видеть, что такой год вскоре не будет совпадать с солнечным годом (состоящим из различных времен года).

Фиг. 18. Движение планеты, вблизи Эклиптики, (в поясе зодиака).

_{А — общая область, в которой лежит путь планеты — пояс зодиака, б — при более внимательном рассмотрении путь планеты имеет вид петли, т е. представляет собой эпициклоиду.}

Планеты.

Отдельные яркие «звезды» изменяют свое положение по отношению к Солнцу, Луне и остальным звездам столь нерегулярно что им было дано название «планеты», что означает «странники».

Планеты выглядят очень яркими звездами, самые слабые из них мерцают, и они блуждают по своим орбитам, лежащим вблизи эклиптики. Планеты следуют за движениями Солнца и Луны относительно созвездий зодиака, но с различными скоростями, и время от времени в обратном направлении. Первобытный человек, вероятно, наблюдал наиболее яркие планеты, но не мог извлечь никакой пользы из этих наблюдений. Впрочем, планеты, подобно затмениям, воздействовали на воображение суеверных людей.

Зодиак.

По зодиаку проходят годовая траектория Солнца, месячная траектория Луны и траектории всех планет. Другими словами, орбиты Земли, Луны и планет лежат почти в одной и той же плоскости. Астрологи определяли судьбу и характер человека в зависимости от того положения в зодиаке, которое в момент рождения человека занимали Солнце, Луна и планеты.

Планеты и их движение.

В эпоху ранних цивилизаций были известны пять «странствующих» планет, кроме Солнца и Луны, которые тоже причислялись к ним:

Меркурий и Венера — яркие «звезды», которые никогда не удалялись от Солнца, а двигались то впереди него, то позади него, так что их можно было видеть только на рассвете или на закате. Меркурий — небольшая планета, траектория которой проходит очень близко от Солнца и которую поэтому трудно обнаружить. Венера — большое яркое светило на вечернем или утреннем небе. Ее называли то «вечерней звездой», то «утренней звездой», древние астрономы не представляли себе, что это одно и то же светило.

Марс — красноватая «звезда», описывающая петлеобразную траекторию относительно зодиака, причем полный оборот она совершает примерно за два года.

Юпитер — очень яркая «звезда», медленно движущаяся относительно эклиптики и совершающая полный оборот за 12 лет.

Сатурн — яркая «звезда», медленно движущаяся относительно эклиптики, причем ее полный оборот занимает приблизительно 30 лет.

Юпитер и Сатурн описывают на своем пути много петель, примерно по петле за земной год.

Когда одна из внешних планет — Марс, Юпитер или Сатурн — описывает на своем пути петлю, она движется по отношению к звездам все медленнее и медленнее к востоку, останавливается, в течение некоторого времени движется в обратном направлении к западу, снова останавливается и затем начинает двигаться опять к востоку, подобно Солнцу и Луне[12].

На фиг. 19 показаны петлеобразные траектории планет в звездном небе. Когда впервые были обнаружены планеты, ученых древности волновала загадка: что заставляет планеты двигаться столь необычным образом? И теперь наша главная забота — попытаться объяснить странные движения планет, которые вызывали такое удивление и породили столько суеверий. Мы рассматриваем этот вопрос, чтобы показать, как создавалась научная теория.

Фиг. 19. Пути Венеры (а) и Марса (б) на звездном небе.

_{Эклиптика — это кажущийся путь Солнца. Орбиты планет проходят близко к эклиптике, потому что плоскости этих орбит близки к плоскости земной орбиты (или видимой орбиты Солнца, эклиптики).}

Фиг. 20. Пояс зодиака с траекториями Солнца (в течение одного года), Луны (в течение одного месяца) и одной из планет (в течение «года» данной планеты).

_{Суточное движение небесной сферы здесь «заморожено».}

Фиг. 21. Кажущиеся пути Юпитера и Сатурна.

_{Так их видел бы наблюдатель на Земле, смотрящий на них с расстояния, далекого от Земли, так чтобы эпициклоиды были видны без кажущегося в действительности сокращения. Доказана кажущаяся орбита Солнца. Земля находится в центре. Когда астроном Кассини составлял эту диаграмму в 1709 г., он пользовался размерами орбит, измеренными Коперником.}

Эпициклоида.

В наше время петлеобразная траектория планеты называется эпициклоидой (от греческого слова, означающего внешний круг), ибо такую траекторию можно получить, катя небольшой круг по большой окружности. На фиг. 22 приведена схема прибора, с помощью которого можно получить эпициклоиду, сходную с траекторией планеты.

Фиг. 22. Прибор для построения эпициклоид.

Большое колесо w вращается с постоянной скоростью вокруг неподвижной оси. В некоторой точке А на его ободе укреплена ось, вокруг которой может вращаться маленькое колесико. Колесико вращается с постоянной скоростью, гораздо быстрее большого колеса w. При этом точка Р на ободе маленького колесика описывает эпициклоиду. Наблюдаемый путь планеты подобен этой эпициклоиде, если смотреть на планету под таким углом, как если бы все приспособление находилось на уровне глаз. (Эта модель позволяет предположить, что кажущееся движение планет состоит из двух круговых движений. Предположение это выглядит еще более вероятным, если учесть, что одно из этих движений представляет собой движение планеты в течение года. Однако древние астрономы не сумели понять и развить далее эту идею.).

Наблюдения.

Горожане в наши дни редко обращают внимание на небо, но для тех, кто оказывается ночью на улице, планеты представляются странными яркими предметами. Увидев их однажды, вы вряд ли упустите возможность поглядеть на них еще раз. Даже с помощью самого простого телескопа или бинокля можно разглядеть удивительные детали: серповидную фазу Венеры, фазы Луны, Юпитера, а может быть даже кольца Сатурна. В телескоп планеты кажутся больше, а неподвижные звезды нет. Объясняется это тем, что планеты много ближе к нам. Неподвижные звезды имеют гораздо большие размеры, чем планеты, но находятся намного дальше и поэтому выглядят точками[13].

Планеты и звезды.

Теперь мы знаем, что близкие к нашей Земле планеты имеют примерно такие же размеры, как и Земля, и, подобно Земле и Луне, светятся отраженным солнечным светом (это можно установить, исследуя их свечение с помощью спектрографа; оказывается, что свечение содержит характерные линии поглощения солнечного света). Между тем неподвижные звезды сами испускают свет, они раскалены добела подобно Солнцу (с помощью спектрографа мы можем узнать, как они различаются по составу и температуре).

Параллакс.

Земля вращается вокруг Солнца и проходит по своей орбите 186 000 000 миль за шесть месяцев. При этом заметны некоторые изменения в расположении звезд. Раз мы совершаем столь значительное перемещение, то должны наблюдать так называемые параллаксы. Проведем следующий эксперимент. Будем смотреть на группу людей, стульев или каких-то других предметов с различных расстояний. Будем ходить мимо этой группы взад и вперед или вокруг нее и посмотрим, как будут изменяться относительные положения предметов в группе. Те предметы (или люди), которые находятся на заднем плане, будут казаться нам неподвижными, тогда как ближние предметы будут двигаться относительно заднего плана, причем направление их движения будет обратно направлению нашего движения. Эти параллаксы автоматически учитываются людьми при определении расстояний на глаз; современные астрономы пользуются ими, чтобы судить о расстояниях до Луны, планет и звезд.

Даже если бы звезды были все вкраплены в одну сферу при движении Земли по ее орбите, мы оказывались бы то ближе, то дальше от той или иной части небосвода, и наблюдаемая нами звездная картина искажалась бы. Древние астрономы не замечали таких изменений и пришли к выводу, что Земля должна покоиться в центре Вселенной. Другим возможным объяснением могло служить предположение, что звезды находятся на расстоянии, бесконечно большом по сравнению с диаметром земной орбиты. В настоящее время из очень точных телескопических измерений очень малых параллаксов следует, что даже ближайшие звезды находятся от нас на огромных расстояниях. С помощью значительно более простых измерений было показано, что планеты находятся в миллионы раз ближе к Земле. Если бы мы могли измерять расстояния, определяя время прохождения света от каждого небесного тела до нас, мы нашли бы, что свет доходит от Солнца до нас за 8 минут, от ближайших планет за несколько минут и от наиболее далеких — за несколько часов, тогда как путь света от ближайшей к нам звезды длится несколько лет.

Ранние ступени прогресса.

Итак, древняя астрономия имела три побуждения к дальнейшему развитию:

А) практические цели: компас, часы, календарь;

Б) магия для воздействия на психику людей; астрология для предсказания судьбы, удач и неудач; эти суеверия позднее заставляли многих правителей оказывать покровительство и поддержку астрологам;

В) чисто научный интерес: по мере развития человечества появлялись ученые, подобные современным ученым, интерес которых к природе и стремление понять происходящие явления представляют собой движущую силу научного прогресса.

Астрономия в эпоху древних цивилизаций.

Трудно установить, кто делал те или иные великие открытия, так как они, вероятно, совершались не сразу, а постепенно проходя различные стадии, и затем медленно распространялись, открывались вновь и многократно подтверждались. Поэтому сохранившиеся источники ненадежны и могут служить лишь некими вехами. Они охватывают развитие астрономии с того времени, когда она играла важную роль при сборе урожая и развитии скотоводства, до той стадии, когда она заняла надлежащее место как самостоятельная наука. Мы не даем развернутого описания истории астрономии, а ограничиваемся лишь краткими заметками.

Городские цивилизации стали развиваться в долинах нескольких больших рек 5000 или даже более лет назад. Многие «прикладные науки» были известны уже за несколько тысяч лет до этого — например, уже существовало искусственное орошение посевов с помощью каналов и прудов; применялись плуги, парусные лодки, повозки на колесах; животные использовались как тягловая сила; научились получать и применять медь, кирпичи, глазурь; наконец, уже существовал солнечный календарь, письменность, система счисления; умели применять бронзу[14].

Самаритяне, вавилоняне и халдеи (народности, населявшие Месопотамию) примерно 4000 лет назад уже существовали богатые города с обширной торговлей. Их обитатели превосходно владели коммерческой арифметикой, которая в сущности была почти алгеброй: они могли решать задачи, приводящие к квадратным и даже к кубическим уравнениям, знали точное значение √2, но принимали π приближенно равным 3, пользовались подобными треугольниками и знали теорему Пифагора; они могли хорошо взвешивать и измерять, имели солнечные и водяные часы. Записи и учебные тексты наносились на глиняные дощечки, которые дошли до нашего времени.

Астрономические наблюдения тех, времен не являлись чудесами, за которые их часто выдавали, но служили хорошей основой для составления календарей. Вблизи экватора ежедневная траектория Солнца не дает такого четкого календаря, как на далеком севере, а наблюдать за поведением Луны гораздо легче. Поэтому вавилоняне в основу календаря полагали новолуние, но должны были сводить этот календарь к солнечному календарю для применения к сельскому хозяйству и соблюдения соответствующих различным временам года празднеств. Все это требовало тщательных наблюдений за положением Солнца и Луны; положения этих светил наносились на карту зодиака, разделенную на 12 секций. Звезды заносились в каталог, регистрировались затмения, за планетами велись наблюдения, а движение планеты Венеры изучалось специально.

По прошествии тысячи лет вавилоняне разработали изумительную математическую систему точного предсказания движений Солнца и Луны. Эта система в основном состоит из правил вычисления зигзагообразных графиков неравномерных движений. Эти правила были эмпирическими, они не имели теоретических обоснований, но служили основой точного календаря и с их помощью можно было даже предсказывать затмения. Подобная же схема при грубой интерполяции давала положения планет. Вера в предзнаменования (пророческие знаки) процветала, и астрология стала играть важную роль.

Египтяне.

Более 4000 лет назад Египет процветал, ибо воды Нила ежегодно обновляли плодородность почвы. Математики Египта занимались и магией и коммерцией. Оставленные ими тексты на папирусах относились к определению запасов зерна, разделу собственности, строительству пирамид. Их великолепные архитектурные проекты требовали хорошего математического аппарата для организации работы и управления армиями рабочих. Они имели точные весы и измерительные приборы, а также остроумные водяные часы.

Египетская астрономия была проще вавилонской. У египтян имелся солнечный год, состоящий из 12 месяцев, по 30 дней каждый +5 лишних дней, а затмениям, Луне и планетам они уделяли куда меньше внимания. Высшим божеством в их религии было Солнце. Позднее, через две тысячи лет, они стали записывать точные наблюдения над планетами, вероятно для астрологии.

Греки.

Около 3000 лет назад начала развиваться греческая цивилизация. Появились ученые — математики, философы, чьи достижения были столь значительны, что мы посвятим им отдельную главу, хотя выбор некоторых имен может показаться читателю несколько пристрастным.

Задача 1. Нарисуйте относительное положение Солнца, Земли, Луны в перечисленных ниже стадиях: А) в полнолуние; Б) в новолуние; В) когда видна половина Луны; Г) при полном затмении Солнца; Д) при полном затмении Луны. На рисунках вы не сможете соблюсти надлежащие пропорции, однако не изображайте Землю столь же большой, как Солнце, или столь же малой, как Луна. Для ориентира приводим некоторые данное: Солнце: расстояние от Земли ~= 149 500 000 км. Земля: диаметр ~= 12 756 км. Луна: расстояние от Земли ~= 384 400 км. Задача 2. Зимой в Северном полушарии Земля находится в действительности немного ближе к Солнцу, чем летом. Почему же зимой холоднее? Задача 3. Кажущееся движение звезд и планет. Днем из-за яркого солнечного света мы не можем видеть звезд. Предположим, что мы могли бы увидеть днем вблизи Солнца некую звездную картину, А.) Предположим, что мы заметили такую картину в полдень в июне. Когда мы должны увидеть точно такую же звездную картину в том же положении на полуночном небе? Б) Какой нам должна представляться траектория Солнца относительно неизменной звездной картины, от месяца к месяцу (если не учитывать суточного движения звезд и пр.)? В) Начертите траекторию «внешней» планеты, такой, например, как Юпитер или Марс, относительно неизменной звездной картины (не учитывая суточного движения звезд и пр.). Г) Начертите траекторию «внутренней планеты», например Венеры, относительно звезд. Задача 4. Что такое равноденствия? Когда они бывают? Задача 5. Определение широты и долготы. А) Укажите приближенные значения широты Нью-Йорка, Сан-Франциско, Лондона, Северного полюса, Северного полярного круга, экватора. Б) Укажите приближенные значения долготы Нью-Йорка, Сан-Франциско, Лондона, Токио. В) Предположим, что вы совершаете путешествие в небольшой лодке, терпите крушение и оказываетесь на необитаемом острове, далеко от того курса, по которому вы следовали. Вы хотите определить свое местоположение, но у вас нет ни радиоприемника, ни каких-либо других современных электронных устройств и нет, скажем, такого специального прибора, как секстант. Все, что есть, это простой шест с отметками для наблюдения звезд, линейка и транспортир для измерения углов. Объясните, как вы установили бы (какие измерения вы проделали бы и как бы их обработали, дайте практическое объяснение, которым мог бы воспользоваться моряк, не получивший специального образования, избегайте технических выражений): 1) широту места, наблюдая звезды в ясную ночь;, 2) широту, наблюдая Солнце; 3) долготу, наблюдая Солнце или звезды (для этого нужно иметь некоторый вспомогательный прибор. Какой?). Е) Как могут точные предсказания затмений Луны помочь в грубом определении долготы? Д) Почему используемые для этой цели наблюдения за затмениями Луни играли большую роль в древние времена? Насколько сильна любовь — об этом лучше всего судить, когда любящие находятся вместе, Но сколь долго она продлится, может проверить лишь разлука. Чтобы определить широту Солнца или звезд, надо смотреть на них, Когда они наиболее ярки, но чтобы определить Долготу, что за путь мы можем избрать, Кроме наблюдений за тем, где и когда происходят затмения?

Джон Донне (1600 г.).

Глава 14. Астрономия у греков. Великие теории и наблюдения.

«Если наука — нечто большее, нежели собрание фактов, если она не просто позитивная сумма знаний, а сумма знаний, приведенная в систему, если она не просто произвольный анализ и случайный эмпиризм, а синтез, если она не просто пассивная регистрация событий и явлений, а творческая активность, — тогда без сомнения (древняя Греция) была ее колыбелью». Джордж Сартон[15].

Теория — собрание фактов; предсказание явлений.

Накопление знаний по астрономии происходило со времен древних цивилизаций — от простой регистрации тех или иных фактов до систематических наблюдений, которые давали материал для составления календарей, увеличивая в то же время запутанный клубок связанных с астрологией суеверий. Из этих фактов возникали легенды, поучавшие детей или успокаивавшие простой народ. В этих легендах Солнце считалось божеством, планете Венера поклонялись, рассказывалось об «обители блаженства», находящейся над хрустальным сводом звезд. Но сами легенды не были лишь суеверными мифами. Это были предвестники научной теории, их связь с фактами была слабой, скорее фантастической, однако они создавали основу для «объяснения» этих фактов. Когда зародилась греческая цивилизация, ее мыслители основали в науке новые методы: они стали искать общие схемы объяснения, которые взывали бы к человеческой любознательности. Они уже не довольствовались простыми мифами, удовлетворявшими любопытство толпы. Они ставили себе задачу «предвосхитить явление», т, е. создать такую схему, которая могла бы объяснить факты. Это было гораздо важнее простого собрания фактов или создания для описания каждого нового факта отдельной теории. Это был интеллектуальный прогресс, начало создания научной теории.

Первые греческие ученые нарисовали простую картину устройства Вселенной, но по мере накопления данных они усложняли схемы, чтобы объяснить детали тех или иных явлений: сначала простые факты о Земле, затем более детальные схемы, объясняющие движение небосвода в целом, а также Солнца, Луны и планет в отдельности.

На каждой стадии ученые пытались на основе немногих простых допущений или общих принципов создать возможно более логичное и полное «объяснение» или описание наблюдаемого явления. Такое объяснение должно было способствовать систематизации накопленных фактов и получению дальнейших предсказаний. Но прежде всего она должно было укреплять веру в существование системы, объединяющей различные явления, в разумное устройство природы. Хотя поиски схемы иногда диктовались практической необходимостью, например необходимостью создания календаря, удовлетворение, получаемое учеными от четкого объяснения разнообразных явлений, далеко выходило за эти рамки. Вынуждаемые необходимостью задавать вопрос почему, греческие философы искали и создавали научные теории. Хотя наши современные стремления проверять все с помощью эксперимента и богатство научного оборудования привели к огромным изменениям в наших представлениях, мы по-прежнему разделяем восторг греков перед теорией, которая «предвосхищает явления».

В этой главе рассказано о некоторых греческих ученых. Посмотрим, как создавались их теории.

Древнегреческая астрономия.

Свыше 3000 лет назад, когда происходило развитие греческой цивилизации, поэты (и среди них великий Гомер) слагали повествования о существовавших прежде государствах и пытались ответить на некоторые вопросы об устройстве мира. Землю тогда считали островом, омываемым большой рекой и накрытым, как огромным колоколом, небесным сводом. Обитель богов находилась на «краю Земли». Ад (страна мертвых) также находился на краю Земли или, возможно, под Землей. Солнце ежедневно поднималось из омывающей Землю реки и скользило затем по лежащему над Землей небосводу.

Около 2500 лет назад появились ученые, пытавшиеся создать разумное описание окружающего мира.

Фалес (~ 600 г. до н. э.) был основоположником греческой науки и философии. Впоследствии его репутация как одного из «семи мудрецов» стала столь легендарной, что ему начали приписывать невероятные открытия, вроде предсказания солнечного затмения. Фалес собрал все, что было сделано до того времени в области геометрии (вероятно, это были сведения, почерпнутые в Египте), и привел геометрию в некую систему принципов и выводов, т. е. положил начало той науке, которую Евклид привел к расцвету.

Фалес считал, что Земля — плоский диск, плавающий на воде; однако он знал, что Луна светится отраженным солнечным светом. Следовательно, он размышлял над наблюдаемыми явлениями, стараясь понять причины, их обусловившие. Предполагают, что Фалес знал о том, что магнитный железняк, природный магнит, может притягивать железо; считают также вероятным, что он открыл появление электрических зарядов при натирании янтаря (по-гречески янтарь — «электрон»). Более того, он предложил общее объяснение устройства Вселенной. Фалес считал, что вода — это «высший принцип», исходное вещество, из которого построено все остальное. Это было смелое начинание в «натурфилософии». Фалес был истинным ученым, ибо считал, что строение Вселенной можно объяснить на основе обычных знаний и рассуждений.

Тогда считалось, что звезды прикреплены к вращающейся сфере. Фалес обнаружил наклон эклиптики, т. е. годовой траектории Солнца относительно звезд. Такое отделение годового движения Солнца от суточного было очень важным шагом. Звездный пояс вдоль траектории Солнца был разделен на двенадцать равных частей, «знаков зодиака», каждая из которых носила название определенного созвездия. Траектории Луны и планет очень близки к траектории Солнца, поэтому и они также проходят через знаки зодиака.

Фиг. 23. Вселенная по представлению Фалеса.

Фиг. 24. Ежегодный путь Солнца по звездному небу согласно представлениям древних греков.

_{Плоскость эклиптики составляет угол с плоскостью экватора. Солнце показано в положении, соответствующем середине лета, другие положения также указаны на рисунке. Небесная сфера не вращается, она как бы скреплена с Полярной звездой.}

Пифагор (~ 530 г. до н. э.). Ко времени основания Пифагором философской школы (в области религии, науки, политики…) была подготовлена почва для восприятия представления о шарообразности Земли. Рассказы путешественников о кораблях и звездах должны были бы навести любознательных на мысль о том, что Земля имеет кривизну. Однако в представление о Земле как о шаре трудно было поверить. Вы принимаете это представление легко, ибо оно внушалось вам с детства, а вот понаблюдайте за ребенком, который впервые узнает об антиподах, жителях противоположного полушария, где люди ходят по отношению к нам «вниз головой»! Сам Пифагор, вероятно, считал Землю круглой, но нам неизвестно. принадлежала ли большая часть открытий Пифагору или его ученикам; школа его процветала примерно двести лет.

Последователи Пифагора представляли себе Землю шарообразной, сплошь населенной и окруженной концентрическими прозрачными сферами, на каждой из которых находилось небесное тело. На самой внутренней сфере — Луна, которая, очевидно, ближе к Земле, чем остальные светила. Внешняя сфера содержала звезды, а промежуточные сферы — Меркурий, Венеру, Солнце, Марс, Юпитер и Сатурн. Внешняя звездная сфера совершала полный оборот в течение дня и ночи; другие сферы вращались несколько медленнее, что обусловливало запаздывание движения Солнца, Луны и планет. Это была простая научная теория с простой схемой вращающихся сфер (сферы, постоянные скорости вращения), о которой можно было сказать, что она основана на простом общем принципе (сферы — это «совершенные» формы, а постоянные вращения — «совершенные» движения). Сферы, несущие планеты, располагались в соответствии со скоростями вращения последних: Сатурн, движущийся почти так же, как звезды, отстающий от них только на один оборот за тридцать лет, помещался сразу за звездной сферой; затем шли Юпитер, Марс и Солнце; Венера и Меркурий помещались непосредственно внутри или вне сферы Солнца. Такое расположение светил по скоростям было удачной догадкой. Теперь известно, что Сатурн, Юпитер и Марс — это «внешние» планеты, отстоящие от Солнца дальше, чем Земля, причем Сатурн — наиболее удаленная планета, а Марс — ближайшая.

Фиг. 25. Небесная сфера по представлению Пифагора.

_{Школа Пифагора считала Землю сферической и отличала суточное движение звезд, Солнца, Луны и планет от медленного движения этих светил вспять по отношению к звездному небу.}

Фиг. 26. Система хрустальных сфер по представлениям древних греков.

_{Выделены вращающиеся сферы двух планет, увлекаемые сферой звезд, совершающей полный оборот в течение суток.}

Фиг. 27. Сечение всей системы хрустальных сфер в плоскости эклиптики.

Некоторые последователи Пифагора считали, что вращение за 24 часа можно дробить на части, и предполагали поэтому, что внешняя звездная сфера увлекает за собой при своем вращении все другие сферы. Внутренние сферы должны медленно вращаться в обратном направлении внутри внешней сферы, увлекая, таким образом, Солнце, Луну и планеты к зодиакальному поясу звезд. Каждая внутренняя сфера имеет свою собственную скорость, один оборот в год в случае Солнца, один в месяц в случае Луны…. один в двенадцать лет в случае Юпитера….

Пифагор сделал несколько открытий в области геометрии. Хотя теорема о «квадрате гипотенузы» была известна задолго до него, он первый дал ее вывод. Пифагор развил также теорию чисел. Он учил, что «числа — это сущность вещей», основа всех знаний о природе, и его школа уделяла много внимания арифметическим свойствам чисел и их применениям в науке. Он придавал некоторым числам мистические значения, которые волновали воображение людей за много лет до него и еще долго после. Среди первобытных людей некоторые числа считались счастливыми, а некоторые — несчастливыми, и им придавали магические свойства. Впрочем, до наших дней маститые ученые при обсуждении структуры атомов и структуры Вселенной пользуются термином «магические числа»[16]. Мистицизм Пифагора проявлялся вновь и вновь в ходе развития науки. Недалекие люди осуждают этот мистицизм, считая его коварным утесом, который может вызвать крушение корабля науки, большинство же приветствуют его как спасительный буй, который может поддерживать на поверхности плодотворные теории, когда движение вперед кажется трудным. В наши дни неспециалисту трудно провести различие между полезным мистицизмом (таким, например, как представление о положительном электроне и об «антивеществе») и эксцентричной чепухой. Различие, однако, достаточно резкое: современный ученый, даже когда он настроен весьма мистически, пользуется ясным словарем, составленным из четко определенных терминов, значение которых согласовано между ним и его коллегами; и он не только проводит эксперименты для проверки и подтверждения своих предположений, но настаивает на критическом исследовании надежности экспериментальных данных. Человек с причудами может ссылаться на эксперимент, соответствующий его целям, но ему не удается завоевать доверие с помощью предвзятого выбора. Среди ученых существует некое общее здравомыслие, не ограничивающее плодотворное воображение, а направляющее его в разумные каналы.

Пифагор был здравомыслящим ученым. Развивая науку в музыке (области прекрасной с точки зрения изучения свойств чисел), он приписал простые числовые соотношения музыкальным тонам. Эти соотношения сохранились и поныне: чтобы две ноты, отстоящие друг от друга на октаву, звучали абсолютно в тон, они должны иметь частоты колебаний, — относящиеся как 2:1, а частоты нот, отстоящие друг от друга на квинту, должны относиться как 3:2. Чтобы такие же гармонические интервалы давали струны арфы: различной длины, частоты их тоже должны находиться в соотношении 2:1 для октавы и 3:2 для квинты. Другие простые соотношения частот, например 4:3, дают приятный аккорд, а сложные отношения, вроде 4,32:3,17, звучат неприятно (диссонансом) для нашего слуха, воспитанного на классической музыкальной гамме. Представление об основных гармонических пропорциях было распространено Пифагором и на астрономию. Его последователи считали, что сферы, содержащие планеты, располагаются в соответствии с музыкальными интервалами: их размеры и скорости, вращения должны удовлетворять простым числовым соотношениям. Вращаясь с соответствующей скоростью, каждая сфера издает музыкальный тон. Вея система сфер образует гармонию, «музыку сфер», неслышную обычным людям; впрочем, многие считали, что чести ее слышать был удостоен великий учитель Пифагор. Но по тем временам даже эта фантастическая схема не была антинаучной. Научными данными тогда почти совсем не располагали; расстояния от Земли до Солнца и планет не были известны, и не было даже надежды их измерить, так что небесные гармония лишь усиливали интерес к этим проблемам. Спустя восемь веков один романтически настроенный историк писал: «Пифагор считал, что Вселенная звучит и устроена в соответствии с гармонией; он первый свел движение семи небесных тел к ритму и звучанию»[17].

Филолай. Солнце, Луна, Венера, Меркурий, Марс, Юпитер, Сатурн — семь планет в том порядке, как их перечисляли греки, — все медленно движутся среди звезд с запада на восток. Звезды же увлекают за собой все ежедневно с востока на запад. Это несоответствие, портившее всю простоту схемы, можно устранить, предположив, что вращается Земля, а не звезды, тогда все светила будут двигаться в одном направлении. Филолай, ученик Пифагора, придерживался следующей точки зрения: центром Вселенной является не Земля, а центральный огонь — «сторожевая башня богов»; Земля вращается вокруг этого огня, совершая за сутки полный оборот по малой орбите, причем ее обитаемая часть всегда обращена в противоположную сторону от этого центрального огня.

Это движение Земли объясняло ежедневное движение звезд на небе: внешняя хрустальная сфера при этом могла покоиться. (Были еще более далекие предположения — между Землей и центральным огнем находится еще одна планета, которая предохраняет антиподов от ожога, а быть может сама есть антипод; наличие этой планеты увеличивало общее число небесных тел до священного числа Пифагора — десяти.).

Столь фантастическая схема была весьма революционной: согласно ей Земля рассматривалась как планета, а не как божественный центр, и вращение звездной сферы можно было свести к ежедневному вращению Земли. Эта схема могла бы послужить основой для более поздних теорий движения Земли, но просуществовала она недолго и в ней никогда не предполагалось, что центром центром мироздания является Солнце или что Земля просто вращается. Эта последняя простая идея вскоре была высказана, но не встретила поддержки.

Последователи Пифагора знали, что Земля круглая. Они основывали свои предположения на простом принципе (совершенство сферы) и на фактах. Движение небесных тел они описывали с помощью простой схемы, которую можно было назвать теорией, в противоположность более точным повседневным правилам, развитым в Вавилоне. Если рассматривать эту первую греческую систему вращающихся сфер как некую машину, выдающую предсказания, то она была безнадежно неточной, зато как система знаний оказалась действительно превосходной, ибо давала ощущение разумности устройства Вселенной.

Фиг. 28. Схема Филолая.

_{А — система сфер; б — схема орбит. Земля вращается вокруг центрального огня, совершая полный оборот за 24 часа Этим объясняется суточное движение звезд, Солнца, Луны и планет. Сферы медленно вращаются в том же направления, на них находятся Солнце, Луна и планеты.}

Сократ (~ 430 г. до н. э.). Этот великий философ боролся за ясность мышления и четкие определения, осуждая сумасбродные фантазии астрономов. Вероятно, именно он помог астрономии стать индуктивной наукой, основанной на экспериментальных наблюдениях.

Примерно в то же время два философа, Демокрит и Левкипп, пытались создать атомистическую теорию, чтобы объяснить свойства материи и даже строение мира в целом. Они считали невероятным, что материю можно беспредельно делить на все более мелкие части. Должны существовать крошечные неделимые атомы. Хотя у этих ученых не было экспериментальных доказательств и они основывались лишь на фантастических предположениях, им удалось создать теорию, которая выглядит разумной и в наши дни[18].

Они подготовили атомистическую теорию, над которой задумывались и которой иногда пользовались на протяжении многих веков, пока развитие человеческих знаний в области химии не привело в течение последних двухсот лет, наконец, к созданию атомной теории. Их записи были утеряны, но римский поэт Лукреций изложил двумя столетиями позже эти идеи в своей великолепной поэме. Он считал, что «разум освобождает человека от страха перед богами» — поэтическая версия современной точки зрения о том, что «наука излечивает от суеверий».

Хотя атомистическая теория не была непосредственно связана с астрономией, однако высказывавшееся в ней утверждение о том, что атомы отделены друг от друга пустотой, позволило легче усвоить представление о пустом пространстве между небесными телами и за ними, в противоположность представлению древних греков о том, что пространство ограничено и заполнено невидимым эфиром.

Платон (~ 390 г. до н. э.), строго говоря, не был астрономом. Он считал правильной простую схему сфер и размещал по порядку их скоростей вращения: Луну, Солнце, Меркурий и Венеру, движущиеся вместе с Солнцем, Марс, Юпитер, Сатурн. Первая схема, которая, казалось, успешно описывала движения планет, была создана Евдоксием, возможно по предложению Платона.

Евдоксий (~ 370 г. до н. э.) изучал геометрию и философию под руководством Платона, затем путешествовал по Египту и, возвратившись в Грецию, стал великим математиком и основателем научной астрономии. Собирая греческие и египетские данные по астрономии и добавляя лучшие из наблюдений, проведенных в Вавилоне, он предложил схему, которая могла объяснить наблюдаемые явления.

Система из нескольких сфер, по одной для каждого движущегося небесного тела, очевидно была неудовлетворительной. Планета не движется с постоянной скоростью по круговой траектории относительно звезд, она движется то быстрее, то медленнее, даже временами останавливается и начинает двигаться в обратном направлении. Солнце и Луна движутся по своим, годовым и месячным траекториям с переменными скоростями[19]. Евдоксий разработал схему, состоящую из большого числа концентрических сфер, подобно шелухе луковицы. Каждой планете соответствовало несколько сфер, расположенных одна внутри другой и вращающихся вокруг различных осей: по три сферы для Солнца и Луны, по четыре для каждой планеты и одна внешняя сфера для всех звезд. Каждая сфера закреплена на оси, которая проходит через отверстие в следующей сфере, и расположена вне, причем оси вращения имеют различные направления. Комбинированные движения с надлежащим образом выбранными направлениями вращения соответствуют наблюдениям. Такая система была проста по форме (сферы) и основана на простом принципе (равномерное вращение); она могла удовлетворительно объяснить наблюдаемые факты путем введения, по мере необходимости, добавочных сфер. Это была в самом деле хорошая теория.

Чтобы создать хорошую теорию, мы должны располагать простыми принципами или допущениями и должны уметь вывести из них схему, достаточно разумно объясняющую все факты. Полезность теории и эстетическое наслаждение, которое мы в ней находим, зависят как от простоты принципов, лежащих в ее основе, так и от того, насколько точно она соответствует фактам. Делая предсказания, мы ожидаем, что они окажутся плодотворными, но часто плодотворность обусловлена двумя достоинствами — простотой и точностью. Для ученых Греции, да и для многих современных ученых, хорошая теория — это просто теория, которая может точно объяснить все явления. Оценивая качества той или иной теории, следует спросить: «Настолько ли она проста, насколько это возможно?» и «Насколько точно она объясняет явления?».

Если мы спросим также: «Правильна ли она?», то это не вполне справедливое требование. Мы могли бы составить истинную историю движения планет, описывая их положения день ото дня за последние 100 лет; наше описание было бы верным, но настолько далеким от простого, настолько бесхребетным, что мы должны были бы его назвать просто перечнем фактов, а не теорией[20].

Фиг. 30. Схема Евдоксия.

_{Солнце, Луна и планеты имеют несколько сфер, вращающихся с постоянной скоростью вокруг различных осей. Комбинация этих движений имитирует видимые движения Солнца, Луны и планет на звездном небе.}

Первоначальные представления греков о хрустальных сферах были похожи на мифы или сказки для детей; это было простое объяснение явлений, созданное учеными для простых людей. Однако Евдоксий попытался придумать такую модель, которая описывала бы действительное движение планет и предсказывала бы их будущее. По всей вероятности, он рассматривал свои сферы как геометрические конструкции, а не как реальные небесные тела, поэтому для него не представляло труда вообразить, что существует несколько дюжин таких сфер, плавно вращающихся одна внутри другой. Он не указывает механизма, обеспечивающего вращательное движение сфер; можно считать, что эти движения осуществляются богами или же просто существуют в воображении математиков.

Вот как Евдоксий объясняет движение планеты с помощью четырех сфер. Планета укреплена на внутренней сфере, где-то на ее экваторе. Внешняя из четырех сфер вращается вокруг идущей с севера на юг оси, совершая полный оборот за 24 часа, что объясняет суточное движение планеты со звездами. Следующая внутренняя сфера вращается вокруг оси, закрепленной во внешней сфере и наклоненной под углом 23¹/₂° с севера на юг, так что ее экватор является эклиптикой Солнца и планет. Эта сфера вращается в собственном «году планеты» (время, в течение которого планета обходит зодиак), так что ее движение соответствует общему движению планеты относительно звездного неба[21]. Эти две сферы эквивалентны двум сферам простой системы — внешней звездной сфере, которая увлекает за собой все внутренние, и собственной сфере планеты. Третья и четвертая сферы совершают одинаковые и противоположно направленные вращения вокруг осей, наклоненных одна к другой под некоторым малым углом. Ось третьей сферы вращается в зодиаке второй, а четвертая несет саму планету, как бы вставленную в экватор. В результате сложения всех этих движений планета движется по петлеобразной траектории. Полную картину этого трехмерного движения трудно наглядно представить.

С помощью всего 27 сфер Евдоксий построил систему, хорошо имитирующую наблюдаемые движения планет. Основой его схемы являлись простые сферы, вращавшиеся с неизменными скоростями вокруг общего центра — Земли. Построение этой системы потребовало сложных математических вычислений: надо было рассмотреть четыре движения для каждой планеты и выбрать надлежащим образом оси и скорости вращения, чтобы получить соответствующие наблюдениям результирующие движения. Эту задачу удалось решить с помощью сложных геометрических построений. Евдоксий пользовался в некотором роде гармоническим анализом (в трехмерной форме!) за две тысячи лет до Фурье. Это была хорошая теория.

Хорошая, но не очень. Евдоксий знал, что его система несовершенна и что более точные наблюдения приводят к дальнейшим затруднениям. Очевидный выход из положения — увеличение числа сфер — был использован его последователями. Один из его учеников, посоветовавшись с Аристотелем, добавил еще 7 сфер, что значительно улучшило согласие с наблюдаемыми фактами.

Фиг. 31. Часть схемы Евдоксия.

_{Четыре сферы, описывающие движение планеты. Внешняя сфера совершает один оборот за 24 часа, следующая внутренняя сфера совершает один оборот за планетный «год». Две внутренние сферы вращаются с одинаковыми и противоположно направленными скоростями, совершая оборот в течение одного земного года, что определяет петлеобразную траекторию планеты.}

Например, изменения в движении Солнца, обусловливающие различие времен года, можно было после этого усовершенствования предсказать надлежащим образом. Самого Аристотеля беспокоило то, что сложное движение, совершаемое четверкой сфер одной планеты, должно передаваться соседней четверке планет, хотя это было нежелательно. Он ввел дополнительные сферы, чтобы «развязать» движение планет, так что в результате получалось всего 55 сфер. Этой системой пользовались в течение столетия или даже больше, пока не была предложена более простая геометрическая схема (один энтузиаст пытался восстановить ее спустя 2000 лет, введя 77 сфер).

Аристотель (340 г. до н. э), великий учитель, философ и ученый-энциклопедист, был «последним великим философом-созерцателем в античной астрономии». Он был очень религиозен и верил в то, что на великолепных усеянных звездами небесах существует бог. Он восхищался астрономией и уделял ей много времени. Поддерживая схему концентрических сфер, он выдвигал следующий догматический довод: сфера — идеальная форма. Этот предвзятый взгляд на орбиты планет существовал в течение столетий. По той же причине считалось, что Солнце, Луна, планеты, звезды должны иметь сферическую форму. Небеса, таким образом, есть область совершенства, неизменного порядка и круговых движений. Пространство между Землей и Луной Аристотель считал подверженным изменениям с естественной тенденцией к падению тел по вертикали.

На протяжении многих веков сочинения Аристотеля представляли собой единственную попытку систематизировать природу в целом. Они переводились с одного языка на другой, передавались из Греции в Рим и Аравию и снова через несколько столетий в Европу для переписки, перепечатки, изучения и цитирования как авторитетный источник. Долгое время после того как хрустальные сферы были отвергнуты и заменены эксцентрическими кругами, об этих последних говорили как о сферах; средневековые схоласты то и дело возвращались к хрустальным сферам в своих дискуссиях и считали эти сферы реальными. Различия между совершенными небесами и подверженной изменениям Землей оставались столь значительными, что спустя 2000 лет Галилей вызвал огромное возмущение, доказав существование гор на Луне и предположив, что Луна подобна Земле. И даже Галилей, понимая законы движения, все же считал, что падение тел на Земле трудно связать с вращением небесных тел.

Аристотель сделал много, чтобы доказать, что Земля круглая. Для этого он приводил следующие соображения:

1) Симметрия: сфера симметрична и совершенна.

2) Давление: составные части Земли, стремясь упасть естественно к ее центру, сжимают ее в виде шара.

Упоминались также следующие факты:

3) Тень: при затмении Луны край тени Земли, падающей на Луну, всегда имеет круглую форму, тогда как плоский диск отбрасывал бы овальную тень.

4) Высота звезд на небосводе: даже при коротких путешествиях на север или на юг путешественник замечает изменения положения созвездий.

Эта смесь догматических «рассуждений» и основанного на эксперименте здравого смысла типична для Аристотеля; он сделал очень много для развития науки. Его учение — замечательный труд всей его жизни — имело большой резонанс и оказало огромное влияние на дальнейшее развитие науки. С одной стороны, он систематизировал научные факты и зафиксировал будоражащие мысль вопросы; с другой стороны, выявил основные проблемы научной философии, проведя различие между истинными физическими причинами вещей и воображаемыми схемами, создаваемыми для объяснения явлений.

Фиг. 32. Доказательства шарообразности Земли.

_{А — корабли исчезают за линией горизонта; б — когда наблюдатель едет на север, Полярная звезда занимает все более высокое положение, положение других звезд меняется, а некоторые звезды, находящиеся на юге, исчезают из поля зрения; в — тень Земли, падающая на Луну во время затмения, имеет круглую форму, а не овальную.}

Фиг. 33. Доказательство вращения Земли.

_{Опыт Комптона — кольцеобразная трубка с водой, содержащая опилки, внезапно переворачивается, по опилкам можно судить, насколько незначительно движение воды, маятник Фуко — длинный маятник, совершающий колебания, медленно меняет плоскость колебаний, гирокомпас — ось вращения маленького гироскопа с грузом устанавливается в направлении с севера на юг.}

Вскоре после Аристотеля Евклид собрал все предшествующие работы по геометрии, добавил ряд собственных и создал великолепную науку, развитую с помощью дедуктивной логики. Такого рода математическое построение, разумеется, справедливо по отношению к лежащим в его основе допущениям и определениям. Проверить, насколько оно удовлетворяет законам окружающего мира — задача эксперимента. Поэтому мы не должны подвергать сомнению ту или иную область математики, но и не имеем права считать ее естественной наукой.

Научная школа в Александрии.

Александр Великий основал мощную империю. За двенадцать лет он прошел со своими войсками из Греции через Малую Азию, Египет, Персию к границам Индии и обратно к Вавилону. В начале своего похода он основал в устье Нила большой город — Александрию. Здесь собралось много греческих ученых, и Александрийский музей (или Александрийский университет) стал крупным центром просвещения. Школа астрономов возникла примерно в 330 г. до н. э. и процветала в течение нескольких веков. Ученые проводили точные наблюдения, конструировали новые приборы; были попытки измерить расстояние до Солнца и Луны и определить действительные размеры этих светил; создавались новые и более совершенные теории.

До того как эта школа перешла от представления о вращающихся сферах к эксцентрическим кругам, греческий астроном Аристарх (~ 240 г. до н. э.) сделал два упрощающих предположения:

1) Земля вращается, и этим вращением объясняется суточное движение звезд;

2) Земля движется вокруг Солнца совершая полный оборот по орбите в течение года; другие планеты движутся подобным же образом — это объясняет видимые движения Солнца и планет относительно звезд.

Эта простая схема не имела успеха: она противоречила традициям и была лишь идеей, не подкрепленной измерениями, как это сделал много позже Коперник. Возможность движения Земли по орбите вызывала возражения с точки зрения тогдашних представлений о механике, которые впоследствии оказались даже еще более серьезными; кроме того, эта идея немедленно привела к другого рода затруднениям с точки зрения астрономов. Если Земля движется по орбите, имеющей большую протяженность, то в течение года у созвездий должны наблюдаться параллаксы. Между тем таких параллаксов не наблюдалось, и Аристарх мог объяснить этот факт только тем, что звезды удалены от Земли на расстояния, бесконечно большие по сравнению с диаметром земной орбиты.

Таким образом, он не только «поместил» звезды гораздо дальше, чем предполагалось ранее, но и освободил их от необходимости находиться всем на одной большой сфере. Поскольку звезды находятся так далеко, они могут быть рассеяны в пространстве и находиться в покое, в то время как Земля будет вращаться.

Фиг. 34. Схема Аристарха.

_{А — система сфер; б — схема на которой показаны орбиты планет. Показаны две планеты: P1 — может быть Марсом, Юпитером или Сатурном, Р2 — Меркурием или Венерой.}

Измерения размеров и расстояний.

Астрономы стали пытаться определить действительные размеры Солнца, Луны и Земли и их взаимные расстояния. Ранее существовали лишь смутные догадки: некоторые считали, что Солнце и Луна находятся очень далеко, — другие же — что они находятся непосредственно за облаками; считали, что Солнце имеет такие же размеры, как Греция, а Луна меньше…. Надежные измерения могли бы превратить астрономию в значительно более реальную науку, но их было трудно осуществить.

Человек обычно определяет расстояние на глаз, оценивая угол между лучами зрения, когда оба глаза направлены на предмет. Наши глаза расположены слишком близко друг к другу, и с их помощью нельзя определять расстояния до предметов, удаленных на большие расстояния. Поэтому мы пользуемся для этой цели более длинной базой и измеренными углами. Затем мы, соблюдая масштаб, строим диаграмму или используем тригонометрию.

Фиг. 35. Соотношение между размерами удаленного предмета и расстояние до него.

_{Соотношение можно найти, держа монету известных размеров на измеренном расстоянии так, чтобы она закрывала предмет, с помощью этого метода нельзя определить абсолютные размеры или расстояния.}

_{А — схема дана не в масштабе; б — «угловые размеры» Солнца и Луны, нанесенные в масштабе. Измерения показывают, что Солнце и Луна видны с Земли поя углом 1/3°. Тригонометрические таблицы дают соотношение 1:110 для основания и высоты.}

Теперь мы знаем, что для Луны база в 1000 миль дает угол всего ¹/₄°. Для Солнца этот угол равен ¹/₁₆₀₀° и его очень трудно измерить даже сейчас, когда наблюдатели располагают большими возможностями.

Размеры Солнца (или Луны) можно просто связать с расстоянием до нас, измеряя угловой диаметр. Держите монету в вытянутой руке, то придвигая ее ближе к глазам, то отодвигая дальше, пока она не закроет солнечный диск. Измерив диаметр монеты и расстояние ее от глаза и определив отношение этих размеров, можно получить отношение диаметра Солнца к расстоянию Солнца от Земли. Это отношение равно примерно ¹/₁₁₀. С помощью прибора можно измерить угол, под которым диаметр Солнца виден с Земли; этот угол почти точно равен ¹/₂°. Нарисуйте на большом листе бумаги треугольник, угол при вершине которого равен ¹/₂° и измерьте длину его сторон. Или же воспользуйтесь простыми тригонометрическими соотношениями. Вы найдете, что расстояние от основания треугольника до его вершины приблизительно в 110 раз больше основания. Отсюда следует, что расстояние от Солнца до нас в 110 раз больше его диаметра. Почти то же соотношение справедливо и для Луны — Луна и Солнце кажутся приблизительно равными по величине, что подтверждается полными затмениями Солнца, когда Луна точно закрывает его. Измеряя одну из этих величин — диаметр или расстояние — и пользуясь коэффициентом 110, можно определить другую величину. Обычно измеряют расстояние, оценивая его на глаз.

Фиг. 36. Оценка расстояний.

_{А — по углу между лучами зрения; б — на основании того, что расстояние до Луны, определенное по углу между лучами зрения, позволило бы наблюдателю, находящемуся на расстоянии 1000 миль, заметить разницу в ¹/4°.}

Размеры Земли.

В первую очередь надо было определить размеры самой Земли, затем выразить другие величины через земной радиус.

Эратосфен (~ 235 г. до н. э.) произвел первые измерения размеров Земли. Он сравнил направление вертикали, проведенной к данному участку поверхности земного шара, с направлением параллельного пучка солнечных лучей в двух пунктах, отстоящих друг от друга на известном расстоянии. Он предположил, что Солнце находится настолько далеко, что все солнечные лучи, достигающие Земли в данный момент, практически параллельны.

Эратосфену надо было проводить одновременные наблюдения в двух отстоящих друг от друга пунктах. Надежных часов, которые можно было бы сравнивать и переносить с места на место, у него не было, поэтому он обеспечивал одновременность наблюдений, выбирая полдень (когда Солнце находится в самом высоком положении) одного и того же дня в пунктах, расположенных на одной и той же долготе. Он проводил наблюдения в Александрии, где работал, и сравнивал их с наблюдениями, проводившимися некогда в Сиене[22], в 500 милях южнее. Наблюдения в Сиене сводились к следующему: в полдень, 22 июня, солнечные лучи, падая в глубокий колодец, достигали, воды и отражались вверх.

Эратосфену было известно об этом из литературных данных. Отсюда следовало, что полуденное Солнце находилось в Сиене в этот день вертикально над головой наблюдателя. Эратосфен измерил в полдень того же дня длину тени, отбрасываемой обелиском в Александрии, и нашел, что направление солнечных лучей составляет 7¹/₂° с вертикалью. Отсюда он заключил, что все солнечные лучи, падающие на Землю, параллельны. В этих опытах вертикали (радиус Земли) имели различные направления. Отсюда следовало, что радиусы Земли в Александрии и в Сиене пересекаются в центре Земли под углом 7¹/₂°. Если этот угол в 7¹/₂° соответствует 500 милям на поверхности Земли, то скольким милям будут соответствовать 360°? Остальное уже сводилось к простой арифметике. Измерить расстояние в 500 миль в те времена было трудно — вероятно, — такие измерения производились военными, чеканившими шаг. Имеются сомнения по поводу единиц, которыми пользовался Эратосфен, но по некоторым сведениям его ошибка была меньше 5 % — замечательный успех столь ранней попытки. Эратосфен пытался также определить расстояния до Солнца и Луны.

Фиг. 37. Определение размеров Земли по Эратосфену.

Размеры Луны и ее расстояние от Земли.

Размеры Луны сравнивались с размерами Земли путем наблюдения лунных затмений. Отмечая время, в течение которого тень Земли пересекала Луну, Аристарх нашел, что диаметр тени, отбрасываемой Землей на Луну, в 2¹/₂ раза больше диаметра Луны. Если бы Солнце представляло собой точечный источник света, находящийся на бесконечно большом расстоянии, то Земля отбрасывала бы от падающего на нее потока параллельных солнечных лучей тень, поперечное сечение которой равнялось бы поперечнику Земли. В этом случае мы имели бы:

ДИАМЕТР ЗЕМЛИ = 2¹/₂ ЛУННЫХ ДИАМЕТРА,

Или.

ДИАМЕТР ЛУНЫ = ²/₅ ДИАМЕТРА ЗЕМЛИ,

Т. е.

РАССТОЯНИЕ ОТ ЗЕМЛИ ДО ЛУНЫ, РАВНОЕ 110 ЛУННЫМ ДИАМЕТРАМ.

= (²/₅)∙110 ЗЕМНЫХ ДИАМЕТРОВ.

= 44 ЗЕМНЫМ ДИАМЕТРАМ, ИЛИ 88 ЗЕМНЫМ РАДИУСАМ.

Отсюда следует, что если принять радиус Земли равным, согласно Эратосфену, приблизительно 4000 миль, то расстояние от Земли до Луны должно быть равно 350 000 миль. Предположение, что Солнце находится на бесконечности, представляется разумным, однако было бы неправильно считать его точечным источником, и Аристарх, конечно, это знал. Солнце — огромный пылающий шар, и поэтому тень от Земли (или другой планеты), на которую падает поток солнечных лучей, будет иметь коническую форму (с углом раствора ~ ¹/₂°). При полном солнечном затмении Луна может лишь закрыть Солнце от наших глаз, причем конус лунной тени будет кончаться практически у Земли. На расстоянии от Луны до Земли тень от Луны суживается на целый лунный диаметр.

При лунном затмении ширина земной тени, отбрасываемой на то же расстояние (от Земли до Луны), должна уменьшиться на ту же величину, т. е. на лунный диаметр. Аристарх рассуждал следующим образом:

ДИАМЕТР ЗЕМЛИ — ОДИН ДИАМЕТР ЛУНЫ = 2¹/₂ ДИАМЕТРАМ ЛУНЫ,

Т. е.

ДИАМЕТР ЗЕМЛИ = (1 + 2¹/₂) ДИАМЕТРАМ ЛУНЫ.

= ⁷/₈ ДИАМЕТРА ЛУНЫ.

Или.

РАССТОЯНИЕ ОТ ЗЕМЛИ ДО ЛУНЫ = 110 ДИАМЕТРАМ ЛУНЫ.

= (²/₇)∙(110) ДИАМЕТРАМ ЗЕМЛИ.

= 31,4 ДИАМЕТРА ЗЕМЛИ, или 63 РАДИУСАМ ЗЕМЛИ.

Более точные измерения, выполненные Аристархом и его последователями, показали, что расстояние от Земли до Луны равно 60 земным радиусам (что с точностью до 1 % совпадает с современными измерениями), т. е. около 240 000 миль.

Фиг. 38. Измерение размеров Луны (и, следовательно, расстояния до нее) древними греками.

_{Наблюдения затмений показали, что ширина тени, отбрасываемой Землей на Луну, равна 2,5 диаметра Луны. Однако тень Земли сужается по мере того, как увеличивается расстояние до Земли, потому что Солнце — не точечный источник. Тень Луны почти исчезает на расстоянии от Луны до Земли, поэтому тень от Земли должна сузиться на ту же величину (один лунный диаметр) на этом расстоянии. Следовательно, диаметр Земли должен равняться 3,5 лунного диаметра.}

Позднее расстояние от Земли до Луны было измерено следующим образом: наблюдатели на двух удаленных друг от друга пунктах, на одной долготе одновременно наблюдали Луну. Они измеряли угол между направлением, под которым была видна Луна, и между вертикалью в данной местности. Зная эти углы u и v, можно было определить положение Луны, если известно расстояние между пунктами. Большое расстояние измерить древним астрономам было трудно, но можно было воспользоваться вместо этого углом между радиусами Земли, соответствующими двум пунктам. Так что наблюдатель в каждом пункте измерял угол между местной вертикалью и тем направлением, под которым он видит определенную звезду. Для этой цели подходит Полярная звезда или любая другая, наблюдаемая в своей наивысшей точке. Как показано на фиг. 39, б, сумма двух измеренных углов (х + у) дает угол z в центре Земли. На фиг. 39, в изображены три известных угла u, v, z; известно также, что радиусы R равны. Чтобы найти расстояние от Земли до Луны, можно либо прибегнуть к тригонометрии, либо сделать в масштабе простой чертеж (фиг. 40) на большом листе бумаги (древние астрономы пользовались насыпанным на пол песком) — нарисовать круг и провести радиусы ОА и ОБ, образующие угол z, равный сумме измеренных углов х + у. Нужно продолжить эти радиусы, чтобы они представляли вертикали в пунктах А и В. Из А следует провести линию до Луны АР, измерив угол u, который она образует с радиусом ОА, а из B провести прямую BQ. Точка пересечения этих прямых М определяет положение Луны на диаграмме. Измерив отрезок ОМ и разделяв его на радиус ОА, получим расстояние от Луны до Земли как кратное радиусу Земли.

Фиг. 39. Измерение расстояния от Земли до Луны.

Фиг. 40. Вычисление отношения расстояния до Луны к радиусу Земли на основании измерений.

Точные измерения дают:

РАССТОЯНИЕ ОТ ЗЕМЛИ ДО ЛУНЫ = ОКОЛО 60 РАДИУСОВ ЗЕМЛИ.

~= 240 000 миль.

Размеры Солнца и его расстояние от Земли.

Расстояние от Земли до Солнца оценить гораздо труднее даже сегодня, ибо Солнце крайне ярко, велико и очень удалено от нас.

Угол между лучами зрения глаз при наблюдении Солнца слишком мал, чтобы его можно было измерить, не прибегая к телескопу. Однако Аристарх придумал остроумную схему, с помощью которой удалось, хотя и очень приближенно, оценить расстояние от Земли до Солнца. Он наблюдал за Луной в той стадии, когда видна точно ее половина (фиг. 41).

Фиг. 41. Расстояние от Земли до Солнца.

_{Определение расстояния от Земли до Солнца по известному расстоянию от Земли до Луны греческими астрономами. Они пытались измерить угол х (или SEM), который равен приблизительно 90°.}

Солнечный свет должен падать на Луну под прямым углом к ЕМ (направлению взгляда наблюдателя). В этот момент наблюдатель измеряет угол между направлениями от Земли к Солнцу и от Земли к Луне. Этот угол, SEM, оказался почти (но не совсем точно) прямым. В большом треугольнике SEM два угла были известны. Третий малый угол, ESM, в основном и определяет расстояние от Земли до Солнца. Он получается вычитанием из 180° и очень мал: по оценке Аристарха он равен 3°, на самом же деле всего ¹/₆°. Поэтому вывод Аристарха о том, что расстояние от Земли до Солнца примерно в 20 раз больше, чем до Луны, был занижен приблизительно в 20 раз. Это соотношение (расстояние до Солнца)/(расстояние до Луны) получается от рассмотрения углов на чертеже соответствующего масштаба или с помощью очень простой тригонометрии (EM/ES — косинус угла SEM. Поэтому ES/EM = 1/cos LSEM легко находится из тригонометрических таблиц).

Таким образом, астрономам в Александрии были известны приближенные значения размеров небесной системы и этими значениями (с незначительными изменениями) пользовались астрономы в течение многих столетий:

Земля: радиус 4000 миль.

Луна: расстояние от Земли 60 земных радиусов, или 240 000 миль; собственный радиус 1100 миль.

Солнце: расстояние от Земли 1200 земных радиусов (это значение считалось неточным, каким оно и было); собственный радиус 44 000 миль.

Планеты: расстояния до них были совершенно неизвестны, но предполагалось, что все они находятся дальше, чем Луна.

Звезды: расстояния до них также были совершенно неизвестны, предполагалось, что они находятся за Солнцем и планетами.

Из этих оценок видно, что на рисунках, иллюстрирующих затмения, обычно совершенно не выдержан масштаб. Фиг. 42 и 43 дают более близкие к действительности схемы, основанные на современных измерениях. Не удивительно, что затмения происходят столь редко. Призрачных конусов теней можно и не заметить. Орбита Луны наклонена под углом 5° к видимой траектории Солнца, поэтому затмения происходят еще реже.

Фиг. 42. Солнце, Луна, Земля.

_{Чертеж дан не в масштабе. Солнце расположено слишком близко к Земле. Луна чрезмерно велика и расположена слишком близко к Земле.}

Фиг. 43. Конусы теней Луны и Земли (в масштабе).

Более поздние теории.

Смелое предположение о том, что Земля вращается и движется вокруг Солнца, не было встречено благосклонно Александрийской школой. По-прежнему оставалось популярным представление о том, что Земля покоится и находится в центре мироздания, однако модель с вращающимися концентрическими сферами была слишком сложной. Не совсем равномерное движение Солнца по «орбите» можно было описать, используя эксцентрическую окружность: согласно этой модели, Солнце движется по такой окружности равномерно. Земля же неподвижна и находится не в центре круга, а на некотором расстоянии от него. При этом, если наблюдать за Солнцем с Земли, будет казаться, что оно движется быстрее в некоторые времена года (примерно в декабре, в точке А) и медленнее на 6 месяцев позднее (в точке В). Это была неплохая теория. Теория должна быть простой и основываться на простых допущениях[23].

Фиг. 44. Схема эксцентрической орбиты Солнца.

_{Солнце движется по окружности, находясь на конце радиуса; который вращается с постоянной скоростью, как в простейшей системе сфер. Наблюдатель на Земле находится не в центре, поэтому движение Солнца ему кажется неравномерным, как в действительности и происходит — быстрее в декабре, медленнее в июне.}

Эти требования удовлетворялись: движение по окружности с постоянным радиусом происходило с постоянной скоростью. Это постоянство было необходимо с точки зрения древних греков, а фактически с точки зрения каждого методически мыслящего ученого. Без него теория превратилась бы в нечто бесформенное.

Поместить Землю не в центре круга означало досадное отклонение от симметрии, но и скорость Солнца при этом оказалась несимметричной — наше лето продолжительнее зимы. Аналогичная схема была пригодна и для Луны, для планет же требовалась более сложная схема. Каждая планета должна была равномерно двигаться по кругу, совершая полный оборот в течение собственного «года» вокруг неподвижной Земли, находящейся не в центре этого круга, а на некотором расстоянии от него, но тогда весь круг, орбита планеты и центр круга должны совершать полный оборот вокруг Земли за 365 дней. Таким образом, к основному вращению добавлялось еще одно (по окружности радиуса ЕС), в результате чего планета двигалась по эпициклоиде. На это движение накладывалось суточное движение всей звездной картины.

В другой схеме, приводившей к аналогичным результатам, вводился неподвижный главный круг (деферент) с радиальным плечом, вращающимся с постоянной скоростью. Конец плеча несет на себе малый круг (эпициклоиду). Радиус этого малого круга несет на себе планету, которая движется с постоянной скоростью, совершая один оборот за 365 дней. Хотя эти схемы оперируют с кругами, в них по-прежнему употребляли термин «сферы». В течение многих столетий астрономы привыкли рассматривать «движение небесных сфер», а сферы сами становились все более и более реальными по мере того, как восхищение греков чистой теорией уступало место детской настойчивости в поисках истины.

Фиг. 45. Схема эксцентрической орбиты планеты.

_{Каждая планета находится на конце радиуса, который вращается с постоянной скоростью, весь этот круг — центр, радиус и планета совершают один оборот в год вокруг эксцентрично расположенной Земли. Вообразим, что радиус СР продолжен и представляет собой ручку сковородки, сковородка совершает вращательное движение по кругу с малым радиусом ЕС, так как ее вращает вокруг Е, как центра, домашняя хозяйка, которая хочет быстро растопить на ней кусок масла. Заставьте затем ручку СР тоже вращаться — очень медленно, как в случае внешней планеты, подобной Юпитеру.}

Больших успехов добился Гиппарх (~ 140 г. до н. э.), «один из величайших математиков и астрономов всех времен»[24]. Он был внимательным наблюдателем, создавал новые приборы и использовал их для определения положения звезд. Он составил звездный каталог, в котором дал классификацию звезд по их яркости и указал положение примерно тысячи звезд, пользуясь понятиями небесной широты и долготы. Насколько известно, Гиппарх создал первый небесный глобус. В те времена телескопов не существовало[25], единственным прибором был человеческий глаз. Для измерения углов служили простые приборы, подобные циркулю. Тем не менее Гиппарх измерял углы с точностью ¹/₆°. Гиппарх был создателем сферической тригонометрии, он применил ее для исследования Солнца и Луны. Он показал, что эксцентрические круги и эпициклы эквивалентны с точки зрения описания небесных движений.

Добавляя собственные наблюдения к наблюдениям древних греков и вавилонским записям, он разработал системы эпициклов Солнца и Луны. Проделать то же для планет оказалось труднее из-за отсутствия точных данных, и он приступил к новым измерениям.

Исходя из наблюдений греков, сделанных за 150 лет до него, Гиппарх открыл очень малый, но играющий очень важную роль, астрономический сдвиг: «прецессию равноденствий». Во время весеннего равноденствия между зимой и летом Солнце находится в определенном месте зодиака и возвращается в это положение каждый год. Гиппарх обнаружил, что во время следующего весеннего равноденствия Солнце находится не точно в том же участке звездного неба. Оно попадает в тот же участок неба приблизительно на 20 минут позднее; таким образом, в момент, соответствующий равноденствию, Солнце находится еще на пути к данному участку неба, приблизительно на ¹/₇₀° ближе через год и почти на 1¹/₂° — по прошествии столетия. Гиппарх обнаружил это явление по разным значениям долготы звезд в старых и новых записях долготы отсчитывались вдоль зодиака от весеннего равноденствия, т. е. от того места, где экватор пересекает эклиптику. Так как все долготы изменялись на один или два градуса за столетие, Гиппарх сделал вывод, что пояс зодиака смещается с этой скоростью по небесной сфере, увлекая с собой все звезды, тогда как небесный экватор и Земля остаются неподвижными[26]. Это движение кажется незначительным — его период составляет 26 000 лет, однако оно существенно для астрономических измерений и всегда учитывалось со времени открытия его Гиппархом. Само это открытие знаменовало вершину успеха наблюдений.

Прецессию было трудно наблюдать, пока Коперник, спустя 16 столетий, не упростил задачу, рассмотрев ее совершенно с иной точки зрения (см. гл. 16). Но и тогда она оставалась необъясненной и вне связи с другими небесными явлениями, пока Ньютон не нашел простого объяснения. Открытая как некий загадочный сдвиг, прецессия превратилась в признак тяготения.

Гиппарх оставил потомству прекрасный звездный каталог, схемы эпициклов и результаты наблюдений планет — бессмертный памятник астроному. Но все эти достижения вынуждены были лежать втуне два с половиной столетия, пока великий математик Птолемей не создал на их основе стройную теорию.

Фиг. 46. Схема эксцентрических орбит.

_{Показаны орбиты Солнца и планеты Р}

Фиг. 47. Схема эксцентрических орбит и схема эпициклов.

_{А — точка С и круг с радиусом орбиты планеты вращаются вокруг неподвижной Земли; б — Земля остается неподвижной в центре главного круга (деферент).}

Фиг. 48. Траектория планеты в схеме эпициклов.

_{При комбинации двух круговых движений получается эпициклоида, по которой движется планета.}

Фиг. 49. Прецессия равноденствий.

_{В добавление к суточному движению всего небесного свода вокруг оси, проходящей с севера на юг, и ежегодному движению Солнца по его эклиптическому пути в зодиаке Гиппарх открыл медленное вращение всей звездной картины вокруг оси эклиптики (перпендикулярной к зодиаку).}

Птолемей (~ 120 г.) произвел «критическую переоценку наблюдений движения планет». Он собрал работы Гиппарха и его предшественников, добавил свои собственные наблюдения, создал первоклассную теорию и оставил великолепное изложение всей совокупности накопленных астрономических знаний, которая в течение последующих четырнадцати столетий играла решающую роль в астрономии. Положения Солнца, Луны и планет по отношению к неподвижным звездам были нанесены Птолемеем на карту, причем углы были измерены с точностью до доли градуса. Он смог поэтому разработать систему эксцентрических хрустальных сфер и эпициклов, которая не только была так усовершенствована, что точно описывала движение светил в прошлом, но с успехом позволяла предсказывать их будущие положения.

Птолемей создал великолепный математический аппарат, основанный на простых принципах, способный на протяжении веков предвосхищать явления. При этом он не рассматривал хрустальных сфер, а концентрировал свое внимание на вращающемся радиусе, (или «спице»), на конце которого находилась планета и который, вращаясь, как бы увлекал ее за собой. Он изложил всю свою систему движения светил — Солнца, Луны и планет — в трактате под названием «Альмагест».

Птолемей создал следующую картину: звездное небо — это сфера, вращающаяся вокруг неподвижной оси и совершающая полный оборот за 24 часа; Земля должна оставаться в центре небесной сферы, в противном случае звездная картина должна обнаруживать параллакс. Земля — это сфера, которая должна покоиться и тому есть ряд причин: если бы Земля двигалась, предметы, брошенные вверх, должны были бы отставать от нее. Солнце движется вокруг Земли согласно простой эпициклической схеме Гиппарха; Луна движется по более сложной эпициклоиде.

Исследуя «пять блуждающих звезд» — планеты, Птолемей обнаружил, что не может описать их движение простой эпициклоидой. Между теорией и наблюдением существовали расхождения. Он попытался создать схему эпициклов, в которой Земля находилась бы не в центре главного круга, а была бы несколько сдвинута относительно него, т. е. расположена эксцентрично.

Этого оказалось недостаточно, и Птолемей построил схему, в которой не только расположил Землю эксцентрично, но и сдвинул центр равномерного вращения в противоположную сторону. Он предложил схему, приведенную на фиг. 50, которая успешно описывала движения Солнца, Луны и планет. В его схеме С — центр главного круга, Е — Земля, расположенная эксцентрично; Q — точка, находящаяся на таком же расстоянии от С по другую сторону (QC = CE). Плечо QA вращается с постоянной скоростью вокруг Q, описывая равные углы за равные промежутки времени и неся на себе центр А маленького круга, эпицикла, который движется таким образом по главному кругу. Радиус эпицикла АР и, следовательно, планета Р, вращается с постоянной скоростью. Это была отчаянная, но успешная попытка подтвердить справедливость схемы кругов, вращающихся с постоянной скоростью.

Фиг. 50. Система Птолемея.

_{Эта система очень точно описывает движения Солнца, Луны и планет.}

Птолемей был вынужден считать, что плечо главного круга также вращается с постоянной скоростью. Этим плечом не мог быть проведенный из центра радиус, как в простой эпициклической схеме. Им не мог также быть и радиус, проведенный из точки Е. Но можно было спасти положение, взяв плечо, проведенное из равноудаленной точки Q, вращающейся с постоянной скоростью. Таким образом, для главного круга каждой планеты имелись три точки, расположенные близко друг к другу, каждая с характерными свойствами:

Е — Земля неподвижна. С — Центр главного круга с плечом СА постоянной длины. Q — Равноотстоящая точка с плечом QA, вращающимся с постоянной скоростью.

Подбирая подходящие радиусы, скорости вращения и расстояние ЕС (= CQ), Птолемей смог составить схему для всех планет (для Меркурия потребовался еще один дополнительный круг).

Для каждой планеты главному кругу придавался различный наклон и сам эпицикл имел наклон по отношению к главному кругу. Это была сложная система главных и вспомогательных кругов с различными радиусами, скоростями, наклонами и эксцентриситетами различной величины и направлений. Эта система, работающая подобно сложному передаточному механизму, позволяла из года в год точно предсказывать положения планет и определять эти положения в прошлом. Подобно хорошей системе механизмов, она была основана на простых принципах: круги с постоянными радиусами, вращение с постоянной скоростью, симметрия эквантов (равноотстоящих от центра точек: QC = CE), постоянные наклоны кругов[27] и неподвижная Земля.

В «Альмагесте» Птолемей подробно описал схемы для каждой планеты и дал таблицы, по которым можно было определить движение каждого небесного тела. Книга была скопирована (разумеется, от руки), переведена с греческого на латинский, арабский и затем опять на латинский, по мере того как культура продвигалась на Восток, а затем опять в Европу. Существуют современные печатные варианты этой работы с переводами. Книга эта в течение столетий служила руководством для астрономов и справочником для мореплавателей. На основе содержащейся в ней информации развивалась астрология — специфическое скопление человеческих страхов, надежд, стремлений к наживе, которая нуждалась в подробных сведениях о положениях планет.

Схема Птолемея была эффективной и достаточно разумной. Мы можем сказать то же самое о нашей современной атомной и ядерной физике. Истинны ли эти теории? И древние греки, и современные ученые стали бы возражать против такой постановки вопроса; однако если бы вы предложили более простую и более плодотворную теорию, они приветствовали бы ее.

Фиг. 51. Система Птолемея для Солнца S и двух планет Р и Р'.

_{Е — неподвижная Земля; С — центр круга; Q — равноудаленная точка QС = СЕ.}

Задача. Опишите своими словами и расскажите, используя диаграммы, о методе, применявшемся греками для определения. А) радиуса Земли; Б) расстояния от Земли до Луна; В) расстояния от Земли до Солнца.

Глава 15. Пробуждение любознательности.

[Архангел Рафаил обсуждает с Адамом различные взгляды на строение Вселенной.] ______ Что было бы, если б дневное светило. Стояло в средине всей зримой вселенной, А звезды другия, свершая движенье, Вращались кругом в направленьях различных? Ты видишь теперь, как свершают движенье. Шесть первых планет в их теченьи неравном, То в выси, то низко, то двигаясь скрытно, То выдавшись, или ж стоят неподвижно, Что ж было бы, если б седьмая планета, Земля, представляясь тебе неподвижной, Имела б троякого рода движенье? Джон Милтон, Потерянный рай, книга VIII, 1667 г.[28].

Такой была созданная Птолемеем картина строения Вселенной — сложной, неуклюжей системой; однако долгое время ею с успехом пользовались. Вам она может показаться неестественной и даже немыслимой, но Птолемею и многим после него невероятной казалась противоречащая ей схема, согласно которой Земля вращается вокруг Солнца. Ведь если Земля движется, то предметы будут сбрасываться с нее при вращении или отставать от нее при движении. Ближайшие из неподвижных звезд должны менять свои видимые положения при движении Земли по орбите в течение полугода.

Наивным представлениям о природе движения суждено было дожидаться учения Галилея и ясного мышления Ньютона, чтобы рассеялся туман первого возражения. Второе возражение оставалось бы в силе, если бы звезды не обнаружили абсолютно никаких параллаксов. Мы знаем теперь, что параллаксы существуют, но они слишком малы и их нельзя наблюдать без достаточно точных приборов, и первые успешные наблюдения были проведены в 1832 г. Упомянутые выше возражения против гелиоцентрической гипотезы отступали на задний план перед еще одним возражением, которое возникало, казалось, естественным образом из человеческой психологии, из свойственного человеку эгоцентризма.

Земля, на которой Мы живем, должна быть центром Вселенной — другие небесные тела должны вращаться вокруг Нас[29]. Эта точка зрения, подкрепленная наблюдениями, легко находила поддержку как в наивном эгоцентризме, так и в учениях греческих философов. Поэтому мы не должны удивляться тому, что система Птолемея, согласно которой Земля с живущими на ней людьми являлась центром Вселенной, считалась правильной на протяжении всего средневековья, пока с наступлением эпохи Возрождения людей, мышление которых становилось все более гибким и пытливым, не стали тревожить различные вопросы.

Точка зрения, согласно которой не Солнце вращалось вокруг Земли, а Земля вокруг Солнца (гелиоцентрическая система), высказывалась некоторыми греческими астрономами и обсуждалась на протяжении нескольких веков (с XII по XV) то тем, то другим философом или священнослужителем как нереальная теория и не встречала сколько-нибудь значительной поддержки.

В систему Птолемея верили и считали ее единственно правильной на протяжении примерно тысячи лет. Население Европы интересовалось наукой только как базой для словесных дискуссий; новые принципы получали права гражданства не на основе экспериментальных данных, а благодаря логическим умозаключениям, опиравшимся на авторитетные источники. Влияние церкви все возрастало, просвещение всецело зависело от нее, наука тоже находилась во власти ее догм. Любые диспуты, даже простой призыв к эксперименту, к проведению каких-либо наблюдений, могли бы вызвать к жизни ряд волнующих вопросов, угрожавших непреложности установленных церковью законов. В те времена, когда церковь повседневно направляла и наставляла простой народ, а короли и дворянство управляли с ее помощью, такого рода покушения на рутину встречались в штыки.

В течение десяти веков со времени создания греческой астрономии до первых научных экспериментов возникали те или иные теории, но работы этих ученых остались неизвестными. После многовекового темного царства средневековья забрезжил свет.

Английский монах Роджер Бэкон (~ 1250 г.) стал взывать о необходимости проведения экспериментов. Он был честным и горячим человеком, нападал на священников и философов, настаивал на том, что накапливать знания необходимо на основе фактов, а не корпеть над скверными латинскими переводами. В своих книгах он клеймил невежество и предрассудки, призывая людей: «Перестаньте подчиняться догмам и авторитетам; взгляните на мир!»

Его резкое поведение послужило причиной конфликта с его собратьями монахами и с церковью. Учение Роджера Бэкона, по всей вероятности, было под запретом, а его книги, как и книги его единомышленников, на долгое время были забыты. Бэкон на столетия опередил свое время. (Жившему много позднее Фрэнсису Бэкону приписывали новый подход к науке. Однако вряд ли его вклад был более значителен.).

Двумя столетиями позже появился Леонардо да Винчи (~ 1480 г.) — великий художник, мыслитель и ученый. Занимаясь механикой, он классифицировал понятия массы, силы, движения, он высказал новые научные представления и создал искусные модели. Его знаменитые заметки являются сокровищницей изобретений в области механики и едва ли не самых прекрасных в истории искусства рисунков. Составляя эти заметки, он выступал как в роли историка, так и в роли пророка, занося в них интересные идеи, свои и чужие, и остроумные схемы, которые он придумывал. Это было началом нового подхода к науке, того, о котором мечтал Роджер Бэкон.

Тем временем накапливались астрономические данные, в том числе наблюдения арабских астрономов и др. Нужды медицины и мореплавания дали толчок развитию науки в эпоху Возрождения.

Альфонсо X, Кастильский (~ 1260 г.) приказал своей школе навигаторов составить новые таблицы для предсказания движений небесных тел. Эти таблицы были составлены, отпечатаны лет через 200, и ими пользовались еще сотню лет. Ходили слухи, что когда Альфонсо Кастильскому впервые объяснили сложную систему Птолемея, он сказал, что если бы при сотворении мира посоветовались с ним, он сделал бы все значительно проще и лучше. Ученые провели дополнительные измерения, и система Птолемея была усовершенствована с математической точки зрения, но даже в эпоху раннего Возрождения гелиоцентрическая гипотеза не рассматривалась серьезно до тех пор, пока Коперник не написал свою знаменитую книгу. Через все времена с эпохи Возрождения и до наших дней великая плеяда ученых создавала механику от туманных средневековых воззрений до современного состояния точной и совершенной науки, используя при этом Солнечную систему (а позднее атом) как огромную лабораторию, в которой отсутствует трение. Нас интересуют не только достижения этих ученых в области физики, но и взаимоотношение их деятельности с жизнью и воззрениями других людей. Поэтому мы дадим не только описание их деятельности, но и краткие биографии. Сначала приведем краткие справки, демонстрирующие вклад каждого из них в науку. (В этих характеристиках, как и прежде, мы указываем не даты рождения или смерти, а те годы, когда данному лицу было около 40 лет.). Николай Коперник (~1510 г.). Предполагал, что гелиоцентрическая система планет проще птолемеевой. Написал большую книгу, в которой подробно обосновал такую систему, вычислил ее размеры и прочее. После его смерти эта точка зрения получила дальнейшее распространение и развитие, но еще долгое время не была общепризнанной. Тихо Браге (~1580 г.). Горя желанием узнать как можно больше о планетах, стал блестящим наблюдателем, гениальным изобретателем точных приборов. Построил первую большую обсерваторию. Знал о гипотезе Коперника, но не принимал ее целиком; не особенно увлекался теорией. Составил значительно более точные таблицы планет, чем те, которые существовали до него, их впоследствии дополнил и опубликовал Кеплер. Иоганн Кеплер (~1610 г.). Прекрасный математик, обладавший тонкой научной интуицией и твердой верой в то, что в основе явлений природы лежат простые правила. Пользуясь наблюдениями своего учителя Тихо Браге, вывел три основных закона движения планет. Однако не смог дать надлежащего объяснения этим законам. Галилео Галилей (~1610 г.). Провел эксперименты и создал научные основы механики и астрономии. К ужасу классических философов, пренебрегая грозившей ему лично опасностью, провозгласил необходимость твердо держаться эксперимента. С помощью изобретенного им телескопа подтвердил правильность теории Коперника, которую страстно защищал, пока не стал жертвой инквизиции. Рене Декарт (~1640 г.). Этот французский философ описал картину строения Вселенной, выведенную из общих принципов, которые, по его мнению, созданы богом. Возражал против представления о вакууме и считал, что пространство заполнено вращающимися вихрями, увлекающими за собой планеты. Величайшим вкладом в науку явилось введение в геометрии прямоугольной системы координат: применение графиков позволило связать алгебру с геометрией; заложил основы дифференциального исчисления. Начиная с XVII века создавались большие научные общества для обмена знаниями и стала свободно развиваться наука, основанная на экспериментах. Исаак Ньютон (~1680 г.). Собрал результаты, полученные до него Галилеем и другими учеными, и сформулировал «законы», суммирующие экспериментальные факты и связывающие массу, движение и силу. Развил понятие силы тяготения, установив закон всемирного тяготения, согласно которому все тела притягиваются друг к другу с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними; показал, что на основе этого закона можно объяснить движение Луны, три закона Кеплера, приливы и отливы и т. п. Таким образом построил великую дедуктивную теорию. В ходе этого ему пришлось в качестве математического аппарата создать основы дифференциального исчисления. Проводил эксперименты и создавал теории и в других областях физики, особенно в оптике. В течение следующих двух столетий теория тяготения разрабатывалась математиками и физиками, в том числе французскими математиками Жозефом Лагранжем и Пьером Лапласом, по очень незначительному гравитационному действию на другие планеты была открыта новая планета. Альберт Эйнштейн в начале этого столетия предложил видоизменить и иначе интерпретировать законы механики. Эти изменения, не разрушая представлений Ньютона, позволили объяснить, например, непонятное ранее малое движение перигелия планеты Меркурий или же поведение очень быстро движущихся атомов. Теория относительности не только изменила «рабочие правила» механики; ее огромное значение в том, что она бросает свет на соотношение между экспериментом и теорией, объясняя многие факты, остававшиеся ранее непонятными даже для самых выдающихся ученых.

Глава 16. Николай Коперник (1473–1543).

«Красота — это истина, истина — это красота, — вот все, что Вы знаете на Земле, и все, что Вам надо знать». Джон Ките.

Николай Коперник родился в польской Пруссии. Насколько известно, жизнь он вел спокойную, небогатую событиями. Был религиозен, способностями обладал не столь уж блестящими, но его вдохновляла любовь к истине. У него был четкий взгляд на вещи и достаточно храбрости, чтобы не побояться бросить вызов укоренившимся традициям, хотя он отнюдь не жаждал входить в конфликт с хранителями этих традиций — церковью и государством.

Коперника воспитывал дядя, влиятельный Фрауэнбургский епископ. Дядя хотел его направить по собственным стопам и решил за него его судьбу. Сначала он послал его в школу, а затем в Краковский университет. Наряду с другими предметами в университете Коперник изучал и астрономию и научился обращению с неуклюжими астрономическими приборами того времени. Затем он путешествовал по Италии, изучал греческий язык и церковное право, за что получил степень доктора. Астрономию он продолжал изучать, имея уже возможность читать оригинальные греческие тексты. Спустя несколько лет (двадцати шести лет от роду) он посетил Рим и прочел там курс лекций по математике (а возможно, и по астрономии?). Тем временем дядя добился в 1497 г. избрания его каноником в кафедральном соборе и дал разрешение провести еще два года в Италии для изучения медицины и церковного права.

И вот Коперник в возрасте тридцати с небольшим лет вернулся на родину. Там он и провел остаток жизни, отдавая свое время церковным обязанностям, ведению бухгалтерских церковных книг (практически он вел все хозяйство капитула), случайным медицинским консультациям и размышлениям о том, как устроена Вселенная.

Он любил одиночество и, по-видимому, имел немного друзей, хотя репутация его как ученого привлекла к нему ряд учеников.

Он не любил принимать участие в долгих дискуссиях, которые в те времена были очень распространены; однако когда к нему обратились с просьбой помочь государственной комиссии упростить монетную систему, он охотно принял в этом участие и представил четкий и толковый проект, который и был принят сенатом.

Коперника интересовали разнообразие и противоречивость мнений о движении планет. Система Птолемея казалась ему слишком неуклюжей, он считал, что бог, создавая Вселенную, мог придумать что-нибудь получше. Он верил в то, что планетная система, сферы и прочее были сотворены богом, но считал, что созданная богом система должна быть простой и величественной именно благодаря своей простоте. Он собрал наблюдения над движением планет и составил таблицы, значительно более надежные, нежели существовавшие до него; размышляя над движениями планет, он был поражен тем, насколько проще стала бы система Птолемея, если бы ее центром являлось Солнце. Основываясь только на интуиции, он предположил, что Земля — такая же планета, как и все остальные. Это уже было переворотом в существовавших тогда представлениях. Он предположил, что все планеты движутся по круговым орбитам вокруг неподвижного Солнца, и пришел к выводу, что Земля обходит Солнце за год, вращаясь при этом вокруг своей оси и совершая полный оборот за 24 часа. Тогда «неподвижные звезды» и Солнце могли, по его мнению, покоиться в небе.

Эта схема заменила эпициклы Птолемея простым круговым движением. Суточное движение звезд, увлекавшее за собой Солнце, Луну и планеты, очевидно, можно было заменить суточным вращением Земли. Эта возможность обсуждалась, но была отвергнута, так как механизм подобного движения был непонятен. (Считалось, что при вращении Земли было бы слышно завывание ветра, создаваемого потоком воздуха, и что при падении камня с высокой башни участок, на который должен был камень упасть, уходил бы из-под него. С другой стороны, звезды и другие небесные тела могли совершать вращение по сферам Птолемея, так как сферы и вращения считались присущими небесам.).

По мнению Коперника, сложные, неравномерные движения Солнца и планет на фоне звездного неба можно было значительно упростить, предположив, что Солнце неподвижно, а планеты вращаются вокруг него. Основной вклад Коперника в астрономию заключается именно в том, что он «остановил» Солнце и поместил его к центр планетной системы. Тогда стало очевидно, что ежегодное движение Солнца по эклиптике — лишь кажущееся; оно обусловлено вращением Земли вокруг Солнца. Сложное движение планеты по эпициклоиде складывается из собственного движения планеты по кругу и движения Земли вокруг Солнца. (С этой точки зрения система эпициклов являлась как бы расплатой за то, что ранее не было известно о движении Земли.) Такое соблазнительное представление о планетной системе, в центре которой находится Солнце, существовало и ранее, но оно не встречало сколько-нибудь значительной поддержки. Коперник, исследовавший подобные идеи в старых записях, обладал не только ясным умом, но к огромным количеством экспериментальных данных для их дальнейшего развития.

Движение планеты по эпициклоиде Коперник объяснял следующим образом. Предположим, что Земля вращается вокруг Солнца по круговой орбите, а Юпитер также вращается вокруг Солнца, но более медленно и по орбите большего радиуса (фиг. 54).

Фиг. 52. Система Коперника.

Фиг. 53. Система Коперника с более поздними добавлениями.

_{А — вся система в целом; б — внутренняя область в увеличенном масштабе.}

_{Орбиты почти круговые. Солнце несколько смещено от центра системы. Доказано расположение орбит, но размеры даны не в масштабе.}

Фиг. 54. Объяснение Коперником движения планеты по эпициклоиде.

_{Прямые E1J1, E2J2 и т. д. — линии наблюдения, идущие от Земли к Юпитеру (наблюдения производятся через каждые два месяца).}

_{А — показаны две стадии, б — показано несколько стадий; в — показано еще большее число стадий. Линия наблюдения совершает сложные колебания.}

Неподвижные звезды должны находиться гораздо дальше, так как мы не наблюдаем параллаксов. Отмечая положение Юпитера относительно неподвижных звезд, мы смотрим вдоль воображаемой линии, соединяющей Землю с Юпитером и идущей дальше к звездам. Тогда по мере того, как Земля совершает вращение по своей орбите, а Юпитер также вращается вокруг Солнца, только медленнее, эта линия колеблется то в одну, то в другую сторону, описывая эпициклоиду среди звезд. Когда Земля находится в точке Е₁, Юпитер находится в точке J₁, и наблюдатель, смотрящий вдоль линии Е₁J₁, видит Юпитер на фоне звезд в положении J*₁. Когда Земля проходит точки Е₁, Е₂, Е₃, Е₄, Е₅, Е₆ и т. д., Юпитер медленно движется от J₁ к J₂, J₃, J₄, J₅, J₆ и т. д. Наблюдатель на Земле видит Юпитер в направлениях Е₁J₁, Е₂J₂ и т. д., и ему движение этой планеты по мере вращения Земли представляется то в прямом направлении, то в обратном. Этот процесс показан более подробно на фиг. 55.

Фиг. 55. Объяснение Коперника.

_{Видимые положения Юпитера на фоне звездного неба. Это фиг 54, в, выполненная в другом масштабе (здесь линия наблюдения, идущая к J*1, является продолжением E1J1). Линии наблюдения проведены параллельно соответствующим линиям на фиг. 54, в.}

Коперник объяснил движения Марса, Юпитера и Сатурна по эпициклоидам, предположив, что они вращаются вокруг Солнца по большим круговым орбитам, проходящим вне орбиты Земли. По его представлениям, Венера и Меркурий движутся по меньшим орбитам, находящимся ближе к Солнцу, нежели орбита Земли, и лежащим внутри нее. Этим можно было объяснить их поведение, т. е. то, что они находятся ближе к Солнцу и колеблются то в одну, то в другую сторону по обе стороны от него. Таким образом, одна и та же схема объясняла движение как «внутренних», так и «внешних» планет.

Коперник не только предложил более простую схему, но извлек из нее новую информацию о размерах орбит различных планет и о том, в каком порядке они расположены. В системе Птолемея круговые орбиты могли иметь любые размеры и не играло роли, какую планету считать самой внешней. В гелиоцентрической схеме орбиты располагались в определенном порядке и их размеры находились в определенных соотношениях. Из видимых движений планет Копернику было очевидно, орбиты каких планет наибольшие, а каких наименьшие.

Задача 1. Попробуйте с помощью фиг. 54 и 55 ответить на следующие вопросы. Предположим, что периоды времени, в течение которых Земля и Юпитер совершают полный оборот вокруг Солнца, остались теми же (наш год, «год» Юпитера), но изменился радиус земной орбиты. Как изменится форма петель видимой траектории Юпитера на фоне звездного неба, А) если радиус земной орбиты станет очень малым? Б) если радиус земной орбиты станет почти таким же большим, как радиус орбиты Юпитера?

Порядок расположения планет должен был быть следующий!

СОЛНЦЕ, в центре неподвижное;

Меркурий, ближайшая к Солнцу планета;

Венера;

Земля и вращающаяся вокруг нее Луна;

Марс;

Юпитер;

Сатурн, самая далекая из известных тогда планет.

Считая орбиты планет правильными окружностями, Коперник вычислил на основании уже имеющихся наблюдений их относительные радиусы и смог поэтому дать в надлежащем масштабе довольно точную карту планетной системы. Чтобы получить из этих относительных значений действительные радиусы, ему нужно было измерить абсолютную величину любого из них, например расстояние от Солнца до Земли. Это расстояние было-известно лишь очень приближенно[30], поэтому масштаб созданной им полной схемы планет не был особенно надежен.

Определение радиусов орбит.

Чтобы представить себе, как Коперник вычислял относительные радиусы, попробуйте решить эту задачу для внутренней планеты, скажем для Венеры. Венера находится ближе к Солнцу, чем Земля, и движется вокруг него по орбите меньшего радиуса. Эта орбита видна с Земли под таким углом, что Венера представляется наблюдателю то впереди, то позади Солнца, но путь, совершаемый ею, недолог, и она как бы возвращается обратно. Поэтому Венеру можно наблюдать только вблизи Солнца как утреннюю или вечернюю «звезду». Когда наблюдателю кажется, что Венера находится дальше всего от Солнца, как раз в той точке, где она как бы поворачивает и начинает двигаться в обратном направлении, на самом деле она должна находиться в точке С, лежащей на касательной, проведенной от Земли к орбите Венеры (фиг. 56).

Фиг. 56. Определение относительных радиусов орбит.

_{Расстояние от Солнца до Венеры здесь больше, чем это соответствует масштабу.}

Когда Венера находится в положениях А, В, D…, будет казаться, что она ближе к Солнцу. Согласно геометрическим свойствам окружности, касательная перпендикулярна радиусу SC. Таким образом, в треугольнике ECS угол при вершине С прямой, а угол при вершине Е можно измерить с Земли. Зная эти углы, можно изобразить в масштабе подобный треугольник и найти соотношение между SC и SE, т. е. между радиусами орбит Венеры и Земли соответственно.

Чтобы измерить требуемый угол при вершине Е, нужно определить угловое расстояние между Венерой и Солнцем в тот момент, когда наблюдателю кажется, что Венера наиболее удалена от F Солнца. Если вы не сможете произвести непосредственных измерений из-за слепящей яркости солнечных лучей, подождите захода Солнца, определив предварительно, в каком месте он произойдет, а затем наблюдайте за Венерой день за днем, пока расстояние между нею и Солнцем не окажется наибольшим. Представить, как измеряется угол, можно с помощью соединенных между собой брусков с просверленными в них отверстиями для наблюдений, хотя в действительности метод измерения будет несколько более сложным. Наблюдения показывают, что угол SEC приблизительно равен 46°. Если начертить и измерить треугольник с углами 46, 90 и 44°, то получится, что отношение сторон SC к SE равно примерно 72/100. Отсюда следует, что радиусы орбит Венеры и Земли относятся как 72:100. Рисовать треугольник нет необходимости, если имеются тригонометрические таблицы, которыми в свое время располагал и Коперник. Отношение SC/SE равно sin 46°, который, как видно из таблиц, равен 0,72. Коперник определил этот угол путем измерений и выполнил те же вычисления для Венеры и Меркурия. Для внешних планет геометрические построения гораздо сложнее, но Коперник примерно тем же способом вычислил относительные размеры их орбит. Так он смог нанести орбиты в масштабе на карту и правильно разместить планеты на орбитах в некоторый начальный момент. Чтобы предсказать их положения в другие моменты времени, ему надо было знать длительность «года» каждой из планет, т. е. время, в течение которого планета совершает полный оборот по орбите. Эти периоды обращения Коперник определил из записанных ранее наблюдений. Он установил, сколько времени требуется планете, чтобы совершить оборот и вернуться на прежнее место.

Пользуясь полученными до него данными, Коперник нанес положения планет на карту (в соответствующем масштабе) и определил их положения в прошлом, настоящем и будущем. Он мог проверить их прежние положения и сделать отсюда вывод, насколько правильна его «картина», или «теория», как мы будем ее теперь называть. Эта проверка дала положительные результаты, хотя и имелись расхождения, которые после тщательных вычислений привели к видоизменению простой картины.

Коперник приводил и другие доказательства правильности своей теории:

1) Марс много ярче (кажется большим по размеру) в некоторые времена года, очевидно, потому, что находится в это время ближе к Земле. Согласно системе Птолемея, Марс движется вокруг Земли по слегка эксцентрической орбите; однако на основании этого нельзя удовлетворительно объяснить довольно значительные изменения его расстояния от Земли. Согласно же схеме Коперника, это расстояние меняется в пределах от суммы радиусов орбит до их разности. Действительно, Марс ярче всего, когда его расстояние от Земли наименьшее, в те времена года, когда Марс и Земля находятся по одну и ту же сторону от Солнца, — Марс «противостоит» Солнцу в полночь, когда находится у нас над головой.

2) Как раз в тот момент, когда внешняя планета проходит обратную часть петли, она находится точно против Солнца (противостояние). Птолемей не мог объяснить этого факта, который с очевидностью следует из геометрических построений Коперника (см. фиг. 55).

3) Если Венера и Меркурий ближе к Солнцу, чем Земля, и обращаются вокруг него по малым орбитам, то, смотря на них, мы должны видеть не всю планету, а лишь ту ее сторону, которая обращена к Солнцу и ярко освещена (фиг. 57). Так что эти две планеты должны иметь две стадии, или «фазы», подобно Луне, когда она переходит постепенно от новолуния к полумесяцу, затем к полнолунию и т. д.[31]. В случае большой планеты, Венеры, эти стадии, по мнению противников системы Коперника, должны были бы тоже наблюдаться, а поскольку они не наблюдались, то следовало считать всю гелиоцентрическую систему неверной. Существует рассказ, скорее всего недостоверный, о том, что Коперник ответил на это возражение следующим образом: «Если бы когда-либо удалось в достаточной степени усовершенствовать наше зрение, мы смогли бы наблюдать фазы Меркурия и Венеры». Через сто лет фазы Венеры действительно удалось наблюдать с помощью телескопа Галилея.

Фиг. 57. Фазы Венеры с точки зрения наблюдателя на Земле.

Венцом работ Коперника была данная им новая простая интерпретация прецессии равноденствия. Прецессия, открытая еще греками, описывалась как медленное вращение всей звездной системы (и Солнца) вокруг оси эклиптики, тогда как Земля, ее экваториальная плоскость и ось, проходящая с севера на юг, остаются в покое. Коперник «перевернул» это представление, предположив, что покоится Солнце и плоскость его эклиптики, т. е. плоскость земной орбиты остается неподвижной. Экваториальная плоскость Земли (и небесный экватор) медленно вращается, все время образуя с эклиптикой угол 23¹/₂°. После этого Коперник смог дать простое описание прецессии: ось вращения Земли описывает конус с углом раствора 23¹/₂°, совершая полный оборот за 26 000 лет. Хотя Коперник дал ясную картину того, что происходит при прецессии равноденствий, он не знал «причины» этого явления. Задача была решена Ньютоном, который показал, что это явление, подобно многим другим астрономическим явлениям, — результат всемирного тяготения.

Хотя Коперник стремился к максимальной простоте, он пришел к выводу, что движение с постоянной скоростью по простым круговым орбитам не соответствует наблюдаемым фактам. Ему пришлось предположить, что орбиты эксцентричны, и даже ввести маленькие эпициклы. При этом простота несколько пострадала.

Стало, пожалуй, труднее догадаться о тех простых правилах, которые лежат в основе движения планет и которые позднее были открыты Кеплером. Но, подобно Птолемею, Коперник настойчиво добивался того, чтобы его схема точно соответствовала его наблюдениям. В этом отношении обе системы являлись хорошим описанием наблюдаемых движений небесных тел, и мы не должны называть «неверной» ни ту, ни другую.

Фиг. 58. Схема, иллюстрирующая прецессию равноденствий.

Коперник потратил 20 лет на составление и совершенствование своей схемы. За это время он стал известен среди математиков и астрономов, некоторые приезжали к нему, вели с ним беседы, проводили совместные исследования, и распространяли его идеи. Он посылал в письмах друзьям краткое описание своей схемы. Но, он не жаждал славы. Многие убеждали его опубликовать свои работы: звездные карты, таблицы, большую схему Солнечной системы с полным обоснованием и со всеми разработанными им деталями. Даже после того, как один из его друзей опубликовал предварительное сообщение о его системе. Коперник еще много лет не открывал ее миру, желая все исправить и улучшить, прежде чем предложить консервативно настроенным читателям столь радикальное изменение существовавшей до того точки зрения. Коперник опасался конфликта с церковью, служителем которой являлся сам; да и его друг, который предложил взять на себя расходы по опубликованию книги, был кардиналом. Но Коперник знал, что выход книги вызовет бурю, он боялся оказаться в смешном положении. Чтобы убедить враждебно настроенных читателей, требовались хорошо продуманный критический анализ существовавшей дотоле точки зрения на строение Вселенной и приведенные в стройную систему данные.

Фиг. 59. Прецессия равноденствий.

_{Изображение большого участка северного звездного полушария (~90° х 90°), иллюстрирующее медленное движение небесного Северного Полюса на фоне звезд. Точка, в которой ось вращения Земли пересекает звездное небо, медленно движется по почти круговой траектории, совершая один оборот примерно за 26 000 лет (по Р. Боллу).}

Фиг. 60. Сравнение системы Птолемея и системы Коперника.

_{А — система Птолемея, изображенная без учета эксцентриситета, или «эквантов». Порядок и соотношения размеров орбит не определены. Радиусы эпициклов даны не «в масштабе»; б — система Коперника, изображенная без учета эксцентриситета, или малых эпициклов. Соотношения орбит даны грубо в масштабе. Орбита Луны изображена не в масштабе.}

Попытка опровергнуть систему Птолемея, созданную и многократно подтвержденную великими людьми прошлых веков и ставшую почти священной благодаря традиции и той практической пользе, которую она до сих пор приносила, была нелегкой задачей. Система Птолемея была неточной, даже в календаре, составленном на ее основе, было огромное количество ошибок. И все же никто не сомневался в ее правильности. Астрономы лишь пытались внести поправки в радиусы орбит и изменить «экванты», чтобы получить лучшее согласие с наблюдениями. Коперник хотел, чтобы его теория стояла на незыблемой почве. Он мог позволить себе не торопиться, так как твердо верил в то, что истина должна восторжествовать.

В конце концов, уступая уговорам друзей, он написал большую книгу, которая была отдана в печать и опубликована незадолго до его смерти. Эта книга носила название «De Revolutionibus Orb mm Goelestium» (Об обращениях небесных сфер). On посвятил ее папе римскому. Вот цитата из его предисловия к книге[32]:

«Думается мне, святейший отец, что некоторые лица, как только узнают, что я в сочинении моем о движениях небесных сфер допускаю различное движение земного шара, без дальнейшего разбора осудят меня и мои воззрения. Я вовсе не столь высокого мнения о своей теории, чтобы не обращать внимания на мнения других. Хотя знаю, что мысли философа довольно далеки от суждения народного, так как первый обязан во всем доискиваться истины настолько, сколько дано от бога уму человеческому, но тем не менее я полагаю, что должно отрешиться от взгляда, далекого от истины. По этой причине, рассуждая сам о собою о том, сколь нелепо покажется всем, знакомым с утвердившимся в продолжение стольких веков мнением о неподвижном положении Земли в центре Вселенной, если я, наоборот, стану утверждать, что Земля движется. Я долго колебался, обнародовать ли в печати мои исследования…».

Далее он пишет:

«Если бы нашлись пустые болтуны, которые, хотя вовсе не сведущие в математических науках, дозволили бы себе осуждать или опровергать мое предприятие, намеренно искажая какое-либо место Священного Писания, то я не стану на них обращать внимания, а, напротив, буду пренебрегать подобным неразумным суждением…».

В своей книге Коперник привел таблицы звезд и описал наблюдения над движением планет. В ней дано также пространное изложение новых представлений о строении Солнечной системы.

Книга была сдана в печать и издана в Нюрнберге. Она начинается с общего описания новой системы и ее преимуществ[33].

Затем идут главы, излагающие необходимые сведения из тригонометрии, и раздел, посвященный сферической астрономии. После этого подробно обсуждается «движение» Солнца (или, вернее, Земли) с объяснением прецессии равноденствий. Затем рассматривается движение Луны, а в последних двух разделах очень подробно описаны движения планет. В самом конце приводятся измерения расстояний до Солнца и Луны и радиусы орбит для всех планет.

Это была поистине великая книга, имевшая огромное значение. Коперник так и не читал ее в отпечатанном виде. Ожидая ее выхода в свет, он, уже семидесятилетний старик, тяжело заболел и был частично парализован. Первая отпечатанная копия была прислана ему 23 мая 1543 г.; он видел ее, прикоснулся к ней и в ту же ночь тихо скончался.

Задача 2. Составьте список ученых, которые упоминались в главах, посвященных античной астрономии. А) ученых, которые придерживались точки зрения Коперника (приведите, если сможете, даты); Б) ученых, которые придерживались геоцентрической точки зрения на строение Вселенной (приведите, если сможете, даты). Задача 3. Временные графики. А) На большом листе миллиметровки или, обычной бумаги начертите «временной график», показывающий рост астрономических знаний от первобытного человека, вавилонян и т. д. вплоть до греческой школы в Александрии. Б) Нарисуйте другую схему, охватывающую период от древних греков до Коперника, и укажите на ней наиболее выдающихся астрономов, Задача 4. Размеры орбит. А) Поясните с помощью диаграммы, как Коперник определял радиус орбиты какой-либо планеты. Дайте геометрическое доказательство. Б) Радиусы каких планет можно определять с помощью описанного в предыдущем вопросе метода? В) Какие другие астрономические измерения напоминают метод, описанный в первом вопросе? Задача 5. Траектории планет. Наблюдения показали, что планеты, например Юпитер, движутся относительно звезд по петлеобразной траектории, «эпициклоиде». А) Как получал такую траекторию Птолемей? Б) Как объяснял Коперник такую траекторию планеты? Задача 6. А) Из чего следует, что Венера должна иметь фазы, аналогичные фазам Луны? Б) Из чего следует, что Юпитер не имеет фаз? (Приведите схему).

Глава 17. Тихо Браге (1546–1601).

«…своей судьбою люди правят, Не звезды, милый Брут…». Шекспир, «Юлий Цезарь», Акт I.

Революция, совершенная теорией Коперника.

Коперник стремился вырваться из окружавшей его атмосферы аристотелева догматизма. В поисках любезной ему истины он сумел создать более совершенную картину Вселенной, чем та, которая существовала до него. Хотя Коперник настойчиво преследовал поставленную перед собой цель, он был миролюбив, деликатен, внимателен к другим и убедил многих в правильности своей точки зрения. После его смерти созданная им теория строения нашей планетной системы стала приобретать все большую и большую известность. Составленные им таблицы проверялись, исправлялись и издавались. Определенная Коперником продолжительность года (365 дней 5 часов 55 минут 58 секунд) была использована позднее одним из римских пап для реформы календаря, в котором до этого имелась несогласованность с временами года.

Когда около восьмидесяти лет до этого советовались с самим Коперником по поводу реформы календаря, он не решился на нее, ибо хотел сперва завершить и четко сформулировать свою теорию строения Вселенной. Новый календарь явился дополнительным и очень важным его вкладом в астрономию. Мы пользуемся до сих пор этим календарем. Схема високосных лет так хороша разработана, что будет соответствовать солнечному календарю времен года с точностью до одного дня еще 3000 лет!

Однако по мере того, как последователи Коперника стали пропагандировать новую систему не так скромно и тактично, как в свое время он сам, ее значение становилось все более явным. Она стала волновать философов, ею заинтересовались не только ученые, которых она побуждала к созданию и развитие новых идей, но и простые люди; породила она в открытую оппозицию церкви.

В течение столетия, прошедшего со дня смерти Коперника, его работа, которую он посвятил папе, стала предметом самых ожесточенных споров, какие когда-либо знало человечество. Как это могло произойти? Дело в том, что работа Коперника не только опровергала все то, что ранее казалось очевидным и принималось как нечто само собой разумеющееся, она противоречила существовавшему в течение веков мировоззрению. Коперник объявил войну (хотя сам и не отдавал себе, вероятно, в этом отчета) огромному взаимному переплетению образа мыслей и верований.

В те дни не существовало еще деления науки на отдельные области, такие, как физика, биология, физиология, психология, социология, языкознание, искусство, философия. Получая ныне образование в специализированных учебных заведениях, мы едва ли можем представить себе запутанную и тесно переплетенную картину мировоззрения времен средневековья. Ученые того времени, встречаясь друг с другом, устраивали дискуссии, несли просвещение в народ и были специалистами во всех областях, они стремились сохранить такую схему, которая была бы прочной основой всех знаний и связывала бы все науки в единую систему.

В то время считалось, что природа состоит из четырех основных элементов: земли, воздуха, огня и воды. Жидкости обладают текучестью, потому что состоят главным образом из воды; твердые тела обладают большой плотностью и прочностью, потому что состоят главным образом из земли, и т. д. Поведением людей управляют четыре «склонности»; в соответствии с тем, какая из них преобладает в человеке, он может быть сердитым, грустным, спокойным, твердым. Планетам, этим «блуждающим» по небу звездам, приписывались различные свойства, которые связывали их как с человеком, так и с четырьмя физическими элементами. Их связывали с темпераментом человека и его судьбой, а также с металлами, свойства которых считались зависящими от пропорций, в каких они содержат землю и огонь. (Например, Марс олицетворял бога войны, сердитый нрав, горячий металл.) Планеты и звезды связывали человека с божественным провидением. Система небесных сфер являлась для человека идеальной моделью Вселенной. За внешней звездной сферой находились небеса, занимавшие самое почетное место в схеме Вселенной. Посягнуть на устроенную таким образом планетную систему означало изменить все учение о природе и человеке и даже отношение человека к богу.

Но разве Коперник посягнул на планетную систему с ее движущимися сферами? Он лишь передвинул центр этой системы от Земли к Солнцу. Чтобы понять, почему это разрушало все мировоззрение в целом, посмотрим, сперва, почему существование сфер принималось как нечто не требующее доказательств.

Профессор Дингл так описывает точку зрения одного историка:

«Их (сферы) не видели и не наблюдали непосредственно; почему же в таком случае все же верили, что они существуют? Если вы вообразите, что Земля покоится, и понаблюдаете за небом в течение нескольких часов, то будет нетрудно ответить на этот вопрос. Вы увидите множество звезд, вращающихся вокруг одной оси с одинаковой скоростью и совершающих полный оборот в течение суток. Вы не сможете при этом поверить, что каждая звезда движется независимо от других и что их движения лишь случайно оказываются в таком соотношении. Только безумец мог бы сомневаться, что наблюдает вращение единой сферы с прикрепленными на ней звездами. И если звезды расположены на сфере, то Солнце, Луна и планеты, движения которых почти одинаковы, должны также подчиняться аналогичным законам. Таким образом, в течение многих столетий существование сфер считалось бесспорным. Люди уже не задумывались над тем, какими причинами обусловлено подобное устройство Вселенной, а принимали его как нечто само собой разумеющееся, подтвержденное многочисленными экспериментальными фактами; да и сам Коперник, несмотря на долгие годы размышлений над основными проблемами астрономии, никогда не сомневался в их существовании»[34].

Но вскоре стало ясно, насколько огромно значение работ Коперника. Если Земля вращается, то уже нет необходимости считать, что вращается и небесная сфера, на которой закреплены звезды. Более того, звездам вовсе не надо находиться на такой сфере — они могли просто висеть в небе на любом расстоянии от Земли, и если это так, то, возможно, и на самых различных расстояниях.

Они могли находиться и в удаленной области неба. Это было потрясающим переворотом взглядов. Где же тогда должно было находиться то Небо, с которым были связаны все религиозные воззрения, где должно было находиться жилище бога и обиталище душ умерших? Через сто лет после Коперника Джордано Бруно, высказавший предположение о том, что пространство бесконечно и содержит бесчисленное множества звезд, представляющих собой солнца, находящиеся на огромных расстояниях от нашей планетной системы, за свои кощунственные взгляды был сожжен на костре как еретик.

Кроме того, Коперник лишил Землю ее привилегированного положения центра Вселенной и уравнял ее в правах с Марсом и Юпитером как планету, вращающуюся подобно им вокруг Солнца. Вся система сфер стала казаться менее сложной и менее необходимой; это совершенно изменило существовавшие ранее взгляды на то, что планеты влияют на находящуюся в центре планетной системы Землю и на судьбы населяющих ее людей.

«Нам трудно сейчас представить себе тот эффект, который произвела теория Коперника на мыслящих людей XVI столетия… Вместе со сферами исчезли небеса, как обитель блаженных душ, потеряло смысл различие между небесным и земным, место, занимаемое человеком во Вселенной, стало неопределенным. …Сам Коперник… придерживался целиком тех же взглядов, что и другие ученые средневековья, и если бы он мог предвидеть, к чему приведет созданная им теория, то, вероятно, пришел бы в ужас от ответственности за содеянное им. Но именно благодаря его трудам смогла возникнуть новая научная философия»[35].

Если теория Коперника вызвала переворот в умах ученых, то как могла воспринять ее огромная масса простых людей, когда они начали понимать ее значение? Несостоятельной оказалась не только система сфер, в которую незыблемо верили до тех пор, но под угрозой коренных изменений находилась вся система накопленных до того знаний и верований.

Труды Коперника дошли до простого народа главным образом благодаря тому влиянию, которое они оказали на астрологию. В течение многих столетий суеверный народ — почти все, от короля до нищего, — верил, что Солнце, Луна и планеты влияют на их судьбы. Судьбу человека предсказывали по его гороскопу, который составлялся на основе положения планет в момент его рождения. Считалось, что гороскоп, составленный опытным и уважаемым астрологом, может помочь королям мудро (или надежно) управлять государством и может предсказать будущее любого человека. Пока Земля рассматривалась как центр небесной системы, вокруг которого странным образом блуждают планеты, было естественно считать, что движения планет совершаются ради нас и даже могут управлять нашей судьбой. Когда же Коперник передвинул Солнце в центр планетной системы, предположив, что Земля только одна из планет, он предопределил этим падение астрологии — из советника королей и утешителя простых людей она превратилась в то, чем является и теперь, — в забавную сказку. И все же цивилизованный человек настолько доверчив, беззащитен, а быть может, и романтичен, что публикуемые и в настоящее время книги по астрологии еще находят своего читателя.

Церковь начала борьбу против системы Коперника скорее всего по двум причинам: во-первых, эта система противоречила учению церкви в области астрономии и философии и, во-вторых, утверждение новой системы ставило под вопрос, вернее, даже отрицало авторитет и традиции системы Птолемея. Бунтари, борцы за новые идеи, которым доставляет удовольствие опровергать то, что уже существует, редко находят поддержку. В те дни церковь ревностно оберегала свою власть и настаивала на беспрекословном подчинении. Всякий, кто подвергал сомнению авторитет церкви или не соглашался с ее учением, рисковал жизнью и, по мнению церкви, своей душой. Таких людей в те времена было немного. Это были мученики науки. Проповедующий новую теорию ученый мог быть безопасным для церкви; однако тот, кто настаивал на истинности этой теории, оказывался уже бунтовщиком. А кто ниспровергает что-то, может восстать и по другому поводу, кто настойчиво спорит, отстаивая свою точку зрения, способен восстать и против церкви или государства (против любого авторитета). Это уже было опасно. Не прошло и ста лет, как книга Коперника «Об обращениях небесных сфер» была внесена в список запрещенных церковью книг (в этом списке она оставалась 200 лет, разрешена она была, т. е. вычеркнута из списка, лишь в 1830 г.).

В то бурное для астрономии время появился Тихо Браге, великий наблюдатель звездного неба, чьи поразительно точные измерения послужили основой для открытий Кеплера и последующих объяснений Ньютона. Галилей был современником Кеплера и подвергался тяжелым гонениям. По прошествии нескольких веков взгляды Коперника стали казаться безопасными. Как отмечает Лодж[36], подобная трансформация происходит систематически, из столетия в столетие. В начале XIX века геологов яростно осуждали как нечестивых критиков истории сотворения мира по Библии. По прошествии нескольких десятилетий геологию оставили в покое и осуждению и запрету подверглась теория эволюции — это гонение, пожалуй, продолжается в известной степени и поныне.

Каждая эпоха имеет группу, а иногда и несколько групп ученых-мятежников, которых преследуют и осуждают, а затем по прошествии некоторого времени начинают считать безвредными. Некоторые из таких людей просто чудаки, другие же — мудрые пророки, определяющие характер развития человечества и знаний, люди, которые намного опережают свое время.

Тихо Браге.

Тихо Браге был старшим сыном в благородной датской семье, «настолько благородной и невежественной, насколько могли ее такою сделать шестнадцать полей ее герба». Единственными достойными занятиями для настоящих аристократов считались охота и война; хотя чтение книг в то время стало уже входить в моду, считалось, однако, что этим должны заниматься только монахи, что наука бесполезна и, пожалуй, сродни колдовству. Тихо, вероятно, воспитали бы в соответствующем духе и он стал бы военным, если бы его не усыновил дядя, человек, значительно более образованный, нежели родители Тихо. Родители неохотно согласились отдать сына и отдали только тогда, когда родился второй сын. Дядя дал Тихо хорошее образование. С семи лет Тихо начал изучать латинский язык; его родители возражали, но дядя убедил их, что это поможет Тихо при изучении права. В возрасте 13 лет Тихо поступил в университет, чтобы изучать философию и право; там внезапно он заинтересовался астрономией. Произошло это случайно. Астрономы предсказывали затмение Солнца. Когда оно действительно произошло в указанное время, Тихо был поражен и восхищен наукой, которая способна совершать такие чудеса — делать столь точные предсказания. Он продолжал изучать право, но сердце его было уже отдано астрономии. На свои карманные деньги он купил астрономические таблицы и латинский перевод «Альмагеста» Птолемея, чтобы серьезно заняться изучением астрономии. Спустя три года дядя послал его в сопровождении наставника за границу, чтобы он мог, путешествуя, ознакомиться с обучением праву в германских университетах. Но и там Тихо продолжал втайне заниматься астрономией. Большую часть ночи он проводил, наблюдал звезды и используя небесный глобус размером не больше кулака. На все деньги, которые ему удавалось получать от своего наставника, он покупал приборы и книги, не говоря, на что они ему нужны. Вскоре он обнаружил, что таблицы положений планет неточны. Таблицы Птолемея отличались от таблиц Коперника: и те и другие не соответствовали действительности. Ему было всего 16 лет, но он понял то, чего до него не удалось понять профессиональным астрономам Европы, — для утверждения той или иной астрономической теории прежде всего необходим длинный ряд точных наблюдений. На основе немногочисленных и носящих случайный характер наблюдений над движениями планет нельзя было решить, какая из систем небесных тел правильна. Всю дальнейшую жизнь Тихо Браге посвятил выполнению этой задачи.

Когда ему было 17 лет, он наблюдал интересное событие — сопряжение Юпитера и Сатурна. Две планеты находятся в сопряжении, когда одновременно пересекают одну и ту же небесную долготу, находясь как бы близко друг к другу. Такое странное «сближение» планет можно было предсказать с помощью таблиц Птолемея или Коперника. Суеверные люди видели в подобных событиях знамение и верили, что оно приносит удачу или беду. Молодой энтузиаст Тихо Браге наблюдал сопряжение Юпитера и Сатурна и сравнил отмеченное им время этого события с предсказаниями таблиц. Оказалось, что расхождение с таблицами Птолемея (после их пересмотра Альфонсом) равнялось одному месяцу[37], а с таблицами Коперника — нескольким дням. Тогда Тихо решил посвятить свою жизнь составлению более совершенных таблиц и выполнил эту задачу более чем успешно. Он стал одним из самых искусных наблюдателей. Но несмотря на аристократическое происхождение и образование, он был суеверен и свято верил в оккультные силы и влияние движения светил на судьбу человека. Он верил, что именно предсказанное сближение планет вызвало Страшную чуму, пронесшуюся спустя некоторое время по Европе.

Тихо начал проводить свои наблюдения с простым прибором: парой планок, соединенных наподобие циркуля, одна ножка которого указывала на планету, а другая на неподвижную звезду. Он измерял угловое расстояние с помощью нарисованного на бумаге круга с делениями (фиг. 61), положение планеты он часто определял на глаз, когда она образовывала прямоугольный треугольник с двумя известными ему звездами. Вскоре он стал использовать рейку с ползунком, на концах которого имелись мушки.

Фиг. 61. Первые приборы Тихо Браге.

Наблюдатель, глядя через прицел на конце рейки, наводил мушку на звезды и таким образом измерял угол между ними. Браге обнаружил, что прибор проградуирован неточно, и тщательно составил таблицу поправок, дающую ошибки для каждого участка шкалы — точный метод, которым он пользовался потом всю жизнь. Так поступают хорошие экспериментаторы: чтобы увеличить точность своих измерений, они не пытаются сконструировать «идеальный прибор», они пользуются надежным и чувствительным прибором, который градуируют соответствующим образом. Затем составляют таблицу поправок, которой и пользуются при измерениях.

Угроза войны заставила Тихо Браге возвратиться домой. Его дядя умер, а остальная семья встретила его холодно. Его порицали за то, что он оставил изучение права, и с презрением отнеслись к его увлечению астрономией. Разочарованный, Тихо покинул Данию и уехал в Германию, чтобы там продолжать свои исследования. Во время путешествия он приобрел друзей среди богатых астрономов-любителей в Аугсбурге. Он убедил их в необходимости проведения очень точных измерений, и они совместно сконструировали огромный квадрант для измерения положений звезд и планет (фиг. 62).

Фиг. 62. Первый квадрант Тихо Браге (построен совместно с друзьями).

_{Эта иллюстрация, как и последующие, взята из составленного самим Тихо Браге описания его приборов и его научных трудов.}

Этот деревянный прибор имел столь большие размеры, что потребовалось двадцать человек, чтобы перенести его на предназначенное место в сад и установить его там. Круг этого квадранта имел радиус около 5 м 70 см. Смотря на Солнце или Планету через отверстия DE, наблюдатель мог отсчитывать их «высоту» с помощью указателя АН по шкале. Огромные размеры прибора позволяли производить довольно точные измерения. Квадрант был проградуирован до шестидесятых долей градуса. У Тихо и его друзей был также секстант радиусом около 2 м. С этими приборами Тихо приступил к точным измерениям положений планет.

Во время пребывания в Германии с Тихо произошло неприятное происшествие. Отличаясь вспыльчивым характером, он затеял ссору, поводом к которой дослужили какие-то расхождения из-за математики; последовал вызов на дуэль, дрались на шпагах, причем встреча была в один из декабрьских вечеров. Дуэль проходила почти в темноте, и Тихо лишился части носа. Ему пришлось сделать себе фальшивый нос (из металла или мастики, скорее из выкрашенного металла). Судя по рассказам, Тихо всегда носил с собой маленькую коробочку с клеем, чтобы в случае надобности можно было прикрепить сдвинувшийся с места протез.

Проведя четыре года в Германии, Тихо Браге вернулся домой, где на этот раз уже был принят радушно, ибо слава его как астронома все более росла. Аристократические родственники начали доброжелательнее смотреть на науку и к Тихо относились уже с некоторой долей восхищения.

Когда отец Тихо Браге умер, второй дядя пригласил Тихо в свое имение и отвел ему специальное помещение для занятий алхимией, так как увлечение Тихо всякого рода чудесами влекло его и к алхимии. Это не означало, однако, разрыва с астрономией, ведь астрология того времени тесно связывала планеты с различными металлами и их свойствами. Занятия алхимией имели свою положительную сторону: они дали Тихо возможность изучить металлы, пригодные для изготовления различных приборов. Поэтому он часто соединял свои исследования в области алхимии с исследованиями но астрономии.

Новая звезда.

Спустя год после возвращения Тихо Браге на родину на небе ярко засияла новая звезда, ее видели в течение многих месяцев. Звезда была столь же яркой, как Венера, и ее можно было видеть даже при дневном свете[38]. Изумленный и восхищенный, Тихо тщательно наблюдал за этой звездой с помощью большого секстанта и обнаружил, что она находится очень далеко, что это одна из неподвижных звезд «в восьмой сфере, которая прежде считалась неизменной». После многочисленных наблюдений и записей Тихо опубликовал сообщение об этой звезде.

Слава Тихо Браге росла, и группа молодых аристократов обратилась к нему с просьбой прочитать курс лекций по астрономии. Сначала он отказался, считая, что это унизит его достоинство как человека благородного происхождения, но затем по просьбе короля согласился.

К тому времени Тихо, к ужасу его семьи, женился на простой крестьянской девушке, но это помогло ему, видимо, освободиться от некоторых аристократических предрассудков.

Большая обсерватория Ураниборг.

Жизнь Тихо была так тесно переплетена с астрономией, что он решил снова переехать в Германию; однако король Дании Фредерик II, понимавший, что исследования Тихо могли принести честь той стране, где они проводились, сделал ему великолепное предложение. Если Тихо согласится работать в Дании, ему предоставят для его обсерватории остров, обеспечат его земельными владениями, большим окладом содержания и выдадут деньги для строительства. Тихо с радостью принял это предложение. Наконец-то представилась возможность осуществить давние мечты.

Тихо построил и оборудовал великолепную, дотоле не виданную обсерваторию, на которую были затрачены огромные средства[39]. Он назвал ее Ураниборг — Небесный Замок (фиг. 63).

Фиг. 63. Ураниборг.

_{Эскиз главного здания, построенного примерно в 1580 г.}

Обсерватория была построена на холме на острове Вен и окружена стенами, расположенными квадратом, стороны которого, выходившие на север, восток, юг и запад, были длиной по 75 м каждая. В главном здании находились великолепные жилые помещения, лаборатория, библиотека и четыре большие обсерватории с чердачными помещениями для студентов и наблюдателей. При обсерватории имелись мастерские для изготовления приборов, печатный станок, бумажная фабрика и даже тюрьма для непокорных слуг. Тихо сделал и установил примерно дюжину больших приборов и столько же приборов меньшего размера. Эти приборы были лучшими из тех, какие удалось сконструировать и выполнить; они были проградуированы и проверены с поразительным искусством и фанатическим стремлением к точности. Некоторые приборы были проградуированы с точностью до ¹/₆₀° и с их помощью можно было измерять даже доли этой величины.

В библиотеке Тихо установил огромный небесный глобус, который он заказал в Аугсбурге за несколько лет до постройки обсерватории. Глобус был покрыт полированной латунью и представлял собой точную сферу диаметром в человеческий рост. По мере того как проводилась работа в обсерватории, на глобус наносились положения звезд. Эта работа длилась 25 лет.

Фиг. 64. Большой глобус Тихо Браге.

В лаборатории Тихо находился большой стенной квадрант с движущимися прицелами для наблюдения звезд при их прохождении через отметку в отверстии в противоположной стене. Этот квадрант был одним из главных приборов Тихо, и пустой участок стены внутри латунной дуги квадранта был украшен большой картиной, на которой были изображены сам Тихо, ведущий наблюдения, ученики, занимающиеся вычислениями, знаменитый глобус, собака, главные приборы, библиотека в обсерватории Ураниборга. На фиг. 65 приведена гравюра, изображающая эту роспись и двух наблюдателей, пользующихся квадрантом и примитивными часами того времени. (По мнению самого Тихо, портрет на стене имел большое сходство с оригиналом.).

Фиг. 65. Стенной квадрант Тихо Браге.

Обсерватория была великолепным храмом науки, и Тихо работал в ней в течение двадцати лет, измеряя и записывая положения звезд и планет с поразительной точностью. Отовсюду к нему съезжались ученики, чтобы работать под его руководством в качестве наблюдателей, регистраторов и вычислителей. Тихо проделал огромную работу — непрерывно наблюдались и регистрировались положения Солнца, Луны и планет. Он был намерен создать теорию, которая правильно описывала бы движения светил. Сначала он не особенно заботился о создании теории, хотя и настаивал на том, что, не располагая теорией, астроном не может успешно заниматься исследованиями. Позднее он предложил полезный компромисс, служивший как бы переходной ступенью для тех, которые находили скачок от Птолемея к Копернику слишком радикальным. Он предположил, что пять планет (за исключением Земли) движутся по круговым траекториям вокруг Солнца. Вся группа — Солнце, планеты и Луна — вращается вокруг Земли. Геометрически эта схема эквивалентна схеме Коперника, но в ней отсутствует неприемлемое представление о вращении Земли.

Фиг. 66. Движение планет по Тихо Браге.

_{Солнце движется вокруг неподвижной Земли, неся с собой все остальные планеты системы Коперника.}

Фиг. 67. Теория движений планет, предложенная Тихо Браге.

_{Эскиз дан не в масштабе. На нем показаны последовательные положения системы в январе, апреле, июле, сентябре. Планетная система движется подобно сковородке, которую вращает хозяйка, чтобы побыстрее растопить кусок масла.}

Фиг. 68. «Астролябия», построенная Тихо Браге по эскизу той, которой пользовался Гиппарх.

_{Этим прибором непосредственно измерялась широта и долгота звезды или планеты. Тихо построил несколько усовершенствованных приборов, у которых одна из осей была параллельна оси, проходящей через полюса Земли.}

Фиг. 70. Большой квадрант Тихо Браге.

Тихо стал самым выдающимся ученым в Европе. Философы, государственные деятели, многие ученые и даже короли приезжала к нему в обсерваторию. Их принимали с необходимым великолепием и демонстрировали чудеса замка и собранные в нем приборы.

Однако Тихо был вспыльчив и высокомерен с теми, кого считал глупцами, да и с теми, кто, по его мнению, приезжал в обсерваторию, отдавая лишь дань моде. Таким людям он казался грубым и дерзким маленьким человечком со скверным характером, но те, кто был достаточно умен, видели в нем великого и страстного экспериментатора.

Несмотря на страсть к науке, Тихо был тщеславен и суеверен. У него в доме жил придурковатый карлик, и на банкетах, на которых задавала тон его жена, бывшая крестьянка. Тихо заставлял выслушивать высказывания этого карлика, настаивая на том, что они пророческие. «Это, вероятно, был забавный званый обед во главе со странным, неистовым, поразительно умным рыжеволосым человеком с медным носом. Порой он блистал умом и эрудицией, порой же заставлял всех присутствующих, как принцев, так и слуг, сдерживаться и покорно выслушивать бред слабоумного калеки»[40].

Печали и волнения.

Хотя обсерватория привлекала отовсюду посетителей, трудный характер Тихо Браге доставлял ему самому немало неприятностей. Тихо обрел врагов при дворе короля, да, кроме того, еще не ладил со своими арендаторами. Когда король пожаловал Тихо в пожизненное пользование остров для строительства обсерватории, крестьяне, имевшие там маленькие фермы, должны были в качестве его арендаторов выполнять для него кое-какую работу.

Они сделали немало для строительства Ураниборга, а когда оно закончилось, Тихо принуждал их выполнять поденную работу для себя и своего хозяйства. Держался он высокомерно и предъявлял неразумные требования — иногда даже сажал в тюрьму непокорных. Иной раз жалобы обиженных доходили до короля, и тот принужден был вмешиваться. Король пожаловал Тихо и другие земельные участки, с коих рента должна была поставлять Тихо средства для его собственных нужд и нужд обсерватории. А от Тихо требовалось, чтобы он поддерживал эти владения в надлежащем состоянии, к королю же поступали жалобы, что Тихо своих обязательств не выполняет.

Интерес к работе Тихо служил ему защитой перед королем, но когда тот умер, через одиннадцать лет после постройки обсерватории, неприятности начали сыпаться как из рога изобилия. На трон взошел молодой король Христиан IV, окружавшие его придворные относились к Тихо недоброжелательно. Некоторые имения были у Тихо отобраны, и перед ним стал вопрос о будущем.

Он написал одному из своих друзей письмо, в котором говорил, что может покинуть остров, утешая себя мыслью, «что для великого человека каждая страна — родина» и что куда бы он ни отправился, над его головой будет то же самое небо. Молодой король относился к Тихо с симпатией, но вынужден был экономить. У Тихо отобрали еще несколько поместий. Видя, что ему не хватит денег на содержание Ураниборга, Тихо покинул остров и переехал на материк. Почувствовав недоброжелательное к себе отношение, он решил расстаться с неблагодарной родиной и искать нового покровителя и нового места для работы. С собой он взял лишь те приборы, которые были сравнительно невелики, и разместил их на временной квартире в Германии, ведя тем временем переговоры с императором Богемии Рудольфом — просвещенным правителем, очень интересующимся наукой. Тихо Браге написал длинное высокомерное письмо королю Дании Христиану, в котором соглашался вернуться на родину, но получил весьма прохладный ответ. Тем временем он напечатал большой иллюстрированный каталог своих приборов и разослал изящно переплетенные копии возможным покровителям, включая Рудольфа.

Новая обсерватория в Праге.

После двух лет странствий Тихо наконец прибыл в Прагу, где был гостеприимно встречен Рудольфом, который предоставил для обсерватории замок и обещал щедрое содержание. Император искренно интересовался астрономией (и, вероятно, астрологией), но был беспечным правителем и не всегда полностью выплачивал Тихо обещанные деньги. Однако он помог Тихо восстановить свою обсерваторию и спас таким образом его работы. Таблицы Тихо Браге, которые были затем опубликованы, получили название «Рудольфовых таблиц».

В новом замке жизнь Тихо протекала так, как в Дании. Он перевез свои большие приборы из Дании через Германию и собрал вокруг себя небольшую школу астрономов и математиков. Но дух его был сломлен: он был чужестранцем в чужой стране. Он продолжал свои наблюдения и начал составлять «Рудольфовы таблицы», но все более и более падал духом. Прожив в Праге менее трех лет, он тяжело заболел и умер. Во время болезни, в бреду он часто восклицал «Ne frustra vixisse videar» («О, неужели я жил напрасно!»). Всю жизнь до дня смерти он посвятил достижению великой цели. Высказанное им сомнение не заслужил великий астроном, составивший каталог тысячи звезд так точно, что его наблюдения полезны и до сих пор, человек, в течение двадцати лет записывавший положения планет с точностью до ¹/₆₀°, ученый, чьи наблюдения стали основой работ Кеплера и Ньютона. Он преуспел в своих намерениях, и его труды представляют собой огромный вклад в науку. Нет, его жизнь не была прожита напрасно.

Перед самой смертью, находясь еще в сознании, Тихо собрал вокруг себя своих близких, просил их сохранить его труды и доверил одному из своих учеников, Иоганну Кеплеру, исправление и публикацию своих таблиц. Большие приборы некоторое время сохранялись, но во время последующих войн погибли; до наших дней сохранился только большой небесный глобус. Обсерватория на острове Вен была разрушена, и сейчас от нее почти не осталось следов. Дания утратила свой престиж научного центра, и лишь в этом веке слава ее возродилась, на этот раз благодаря Нильсу Бору.

Задача 1. Точность наблюдений Тихо Браге. Обычно Тихо проводил свои наблюдения с помощью отвесов и визиров, подобных ружейным прицелам. Его окончательные результаты характеризовались точностью до ¹/₆₀° (т. е. до одной минуты). Чтобы уяснить, насколько тщательно он должен был производить свои измерения, ответьте на следующие вопросы: А) Предположим, что Тихо засекал в визиры планету и что эти визиры были соединены со шкалой, проградуированной в градусах; на этой шкале он мог отмечать положение вертикальной линии. Предположим, что угловая шкала была частью круга радиусом около 2 м. Современный транспортир обычно имеет радиус, равный примерно 7,5 см. Насколько тонкой должна была быть нить его отвеса, чтобы ошибка, равная одной толщине нити на шкале, соответствовала ошибке в 1 минуту при измерении угла? (Выразите ответ в долях сантиметра) (Указание. При r = 2 м длина всей шкалы, соответствующая 360° вдоль окружности, была бы… Тогда 1° должен соответствовать участку шкалы длиной… Тогда 1 минута должна соответствовать…). Б) С чем можно сравнить найденную вами величину — с толщиной веревки, струны, нити, паутины? Задача 2. Чем объяснить, что короли зачастую покровительствовали астрономам? Задача 3. Параллакс и звезды. А) Предположим, что звезды некоторой группы или созвездия, кроме одной, удалены от Земли на бесконечно большое расстояние, и эта единственная звезда находится от нас на расстоянии всего несколько миллиардов километров. Как будет выглядеть ее параллакс? Опишите траекторию (видимого) движения близкой звезды. 1) вблизи эклиптики? 2) вблизи полюса эклиптики (под углом 90° от эклиптики)? Б) Чтобы решить, мог ли Тихо Браге надеяться на то, что обнаружит очень незначительный параллакс ближайших неподвижных звезд, попробуйте произвести следующее вычисление. За 6 месяцев Земля пройдет по своей орбите путь от одного конца диаметра до другого, равный 186 000 000 миль от А к В (фиг. 72).

Фиг. 72. К задаче 3.

_{Не в масштабе — реальный угол всего ¹/360°.}

Предположим, что Тихо наблюдал очень близкую звезду S на фоне других звезд, находящихся на гораздо большем, расстоянии. Наблюдая положение звезды S относительно фона, Тихо должен, был бы измерить угол ASB как угловое смещение звезды S на фоне более удаленных звезд. Предположим, что этот угол равен ¹/₃₆₀°. Представляется сомнительным, чтобы можно было обнаружить сдвиг меньше этой величины. Постарайтесь с помощью простых арифметических расчетов ответить на следующие вопросы: 1) Приняв, что угол ASB равен ¹/₃₆₀° и определите расстояние AS звезды от Земли. Воспользуйтесь методом, аналогичным тому, который описан в задаче 1,— прибегайте к тригонометрии для определения крайних углов. (Считайте, что дуга АВ с центром в S равна 186 000 000 x 200 000 000 миль.). 2) Сравните полученный в ответе на первый вопрос результат с современными измерениями. При измерении подобных расстояний обычно их выражают через промежутки времени, в течение которых свет проходит искомое расстояние. Свет проходит расстояние, равное диаметру земной орбиты АВ, приблизительно за 16 минут (а от Солнца до нас за 8 минут). Свет от ближайшей звезды доходит до нас примерно через 4 года (около 2 000 000 минут). Какому углу ASB соответствует это значение? (Избегайте тригонометрии, пользуйтесь простыми пропорциями.).

Глава 18. Иоганн Кеплер (1571–1630).

Кромешною тьмою окутан навечно, Как в бездне витая во мраке Вселенной, Хвалу я богам возношу бесконечно, Что душу мою сохранили нетленной. В. Хеши (1875 г.). «…музыка есть повсюду, где есть гармония, порядок, пропорция, и до сих пор мы можем считать, что существует музыка сфер, так как упорядоченные движения и правильные интервалы, хотя и не воспринимаются слухом, но исполнены гармонии для нашего разума», Сэр Томас Браун, Religio Medici (1642 г.).

Молодой немец Иоганн Кеплер, которому Тихо Браге оставил свои таблицы, вполне заслуживал такого доверия. Он стал одним из величайших ученых своего века, и равным ему, пожалуй, можно считать лишь Галилея, а позднее его смог затмить только Ньютон: Как указывает Оливер Лодж[41], Тихо и Кеплер были поразительно разными: Тихо «аристократического происхождения, богатый, сильный, пылкий, обладающий талантами изобретателя и экспериментатора, но как теоретик и математик не выше среднего уровня». А Кеплер «бедный, болезненный, отнюдь не обладающий способностями как экспериментатор и склонностью к точным наблюдениям, но блестящий математик с тонкой интуицией». Работой Тихо интересовались короли, они оказывали ему покровительство и материальную поддержку (в течение некоторого периода довольно значительную). Жизнь Кеплера была полна лишений и неудач. Но обоих объединял глубокий интерес к астрономии и твердое решение осуществить поставленные перед собой задачи.

Кеплер родился в Германии в семье армейского офицера. Он был старшим сыном. Рос он слабым ребенком, сильно болел и часто жизнь его висела на волоске. Родители его были так бедны, что им пришлось открыть сельскую таверну, чтобы сводить концы с концами. Когда маленькому Иоганну исполнилось девять лет, его взяли из школы и до двенадцати лет он прислуживал в таверне. Затем он вернулся в школу, а потом поступил в университет, который благополучно окончил, считаясь вторым в своей группе. Тем временем отец его вернулся в армию, а мать перессорилась со всеми родственниками, включая и сына, который был счастлив удрать из дома. Сначала Кеплера не очень интересовала астрономия.

В университете он познакомился с теорией Коперника, стал ее сторонником, защищал ее во время университетских дискуссий и даже написал по поводу этой теории реферат. Но в то время его основные интересы лежали в области философии и религии, и он не уделял времени астрономии. Однако когда оказалась свободной вакансия лектора по астрономии, Кеплер, который в то время искал работу, скрепя сердце занял это место, заявив, что не оставляет надежды «получить возможность заняться более интересным делом». В те дни астрономия не пользовалась тем уважением, которое позднее сам Кеплер помог ей приобрести. Тем не менее он начал серьезно заниматься наукой, которую ему предстояло преподавать, и чем больше он изучал астрономию и думал о ней, тем больше увлекался и тем больше новых идей роилось в его голове. «Он был прирожденным мыслителем, подобно тому как Моцарт был прирожденным музыкантом», — говорит Лодж. Он должен был найти математическую схему, лежащую в основе планетной системы. Его беспокойный пытливый ум и пылкое воображение занимали задачи, связанные с числами и размерами[42].

Как и Пифагор, «он был убежден, что бог создал мир в соответствии с принципом идеальных чисел и что поэтому лежащая в основе мироздания математическая гармония… является реальной и доступной пониманию причиной движения планет»[43]. Сам Кеплер сказал: «Я размышлял над этим вопросом со всей энергией, на которую был способен мой ум».

Ум его пылал, он мучился вопросами: Почему существует только шесть планет? Почему их орбиты имеют именно такие пропорции и размеры? Связаны ли «периоды обращения» планет с размерами их орбит? Первый вопрос, «Почему именно шесть?», характерен для того времени. В наше время мы должны были бы искать седьмую планету. Но тогда казалось, что факты непреложны и что числа обладают магическими свойствами. В системе Птолемея насчитывалось семь планет (включая Солнце и Луну и исключая Землю) и даже доказывалось, что их столько и должно быть.

Кеплер пытался снова и снова найти простое соотношение, связывающее радиус одной орбиты с радиусом следующей. На основании наблюдений, проведенных Тихо Браге, Кеплер вычислил, что радиусы орбит в системе Коперника приближенно относятся как 8:15:20:30:115:195. Он пытался понять тайну этих отношений. Каждая догадка стоила ему немало труда, и каждый раз, когда оказывалось, что она не соответствует фактам, Кеплер честно от нее отказывался. Его мистически настроенный ум заставлял его считать, подобно древним грекам, что окружности — идеальные формы. Одно время он думал, что можно построить модель орбит, по которым движутся планеты, следующим образом: начертить окружность, вписать в нее равносторонний треугольник, затем вписать в этот треугольник еще окружность, в нее снова треугольник и т. д. Эта схема состоит из ряда окружностей, радиусы которых относятся как 2:1. Кеплер надеялся, что можно построить такие окружности, отношения радиусов которых будут соответствовать отношениям радиусов орбит, если пользоваться вместо треугольников квадратами, шестиугольниками и т. д.

Фиг. 73. Первая гипотеза Кеплера.

_{В правильный многоугольник (например, квадрат) мощно вписать окружность так, чтобы она касалась его сторон. Можно также вписать окружность, проходящую через вершины квадрата. Для этой окружности можно в свою очередь построить правильный многоугольник, в который она будет вписана. Отношение радиусов R/r этих окружностей будет одинаково для всех квадратов, другое значение R/r будет иметь место для всех треугольников. Геометрическая задача: каково будет отношение R/r для внутреннего и внешнего круга в случае квадрата? в случае треугольника?}

Фиг. 74. Те же две окружности, полученные вращением правильного многоугольника (в данном случае треугольника).

_{Вращение происходит вокруг центра, в плоскости треугольника. Вершины его будут лежать на внешней окружности, а стороны, скользя, образуют внутреннюю окружность.}

Фиг. 75. Окружности, образованные рядом правильных многоугольников, разделенных внутренними и внешними окружностями.

_{Окружности можно подобрать так, чтобы их размеры соответствовали соотношениям размеров орбит планет. Однако даже при самом удачном выборе многоугольников не удается получить модели Солнечной системы.}

Однако такие построения оказывались неудовлетворительными, и однажды он воскликнул: «Почему фигуры, помогающие получить орбиты в пространстве, должны быть плоскими? Надо пользоваться объемными фигурами». Он знал, что существует всего пять правильных многогранников. Греческие математики доказали, что их может существовать не более пяти. Попытавшись осуществить с помощью пяти таких многогранников систему из шести сфер, Кеплер нашел, что этим сферам будет соответствовать шесть определенных орбит.

Фиг. 76. Вторая гипотеза Кеплера.

_{Этот рисунок иллюстрирует схему Кеплера, который пытался так расположить правильные многогранники, чтобы получить наилучшее согласие с известными соотношениями размеров орбит различных планет.}

Правильные многогранники. Сколько может существовать различных правильных многогранников? Правильный многогранник — это геометрическое тело с одинаковыми правильными плоскими гранями, т. е. — все ребра имеют одинаковую длину. — все плоские углы одинаковы. — все пространственные углы одинаковы. — все грани имеют одну и ту же форму. (на фиг. 77, а даны примеры многогранников, не удовлетворяющих этим требованиям). Например, куб — правильный многогранник.

Фиг. 77. Многогранники.

_{А — неправильные.}

Грани правильного многогранника могут представлять собой: — равносторонние треугольники. — квадраты. — правильные пятиугольники. И т. д. Опыт 1. Доказательство для граней, представляющих собой квадраты. Попробуйте построить угол правильного многогранника из нескольких плоских прямых углов. Мы уже знаем, что каждый угол куба образуется пересечением трех его граней. Возьмите три квадратных куска картона, положите их на стол, затем попробуйте приподнять их, ухватившись за то место, где встречаются все три угла квадратов. Квадратные куски картона образуют при этом трехгранный угол куба. Поэтому мы можем сделать правильный многогранник, каждый угол которого будет образован пересечением трех квадратных граней. (Нам понадобится еще три квадратных куска картона, чтобы сделать весь куб). Можем ли мы сделать иной правильный многогранник с одной или двумя, или четырьмя квадратными гранями, пересекающимися между собой? Из одного квадрата мы не можем образовать многогранный угол. С двумя квадратами мы получим лишь плоский двугранный угол. С тремя квадратами мы получим трехгранный угол куба. С четырьмя квадратами нельзя получить угол многогранника; их углы, смыкаясь, образуют плоскость. Таким образом, с помощью квадратов можно построить лишь один правильный многогранник — куб. Опыт 2. Попробуйте теперь образовать многогранник с помощью правильных пятиугольников. Сколько правильных многогранников можно получить, пользуясь гранями такой формы? Попробуйте выполнить аналогичную задачу с шестиугольниками и другими многоугольниками. Попробуйте построить правильные многогранники с помощью треугольников. Вывод. Только пять различных многогранников могут существовать в нашем трехмерном мире (фиг. 77, б). (Обращаем ваше внимание на то, что для доказательств, которыми мы здесь пользовались, необходимы не только эскизы, сделанные карандашом, но и модели из картона.).

Фиг. 77. Многогранники.

_{Б — правильные.}

Казалось, что найдено чудесное объяснение того, почему существует только шесть планет. Строя систему планет, Кеплер начал со сферы для земной орбиты, построил вокруг нее додекаэдр так, чтобы его грани соприкасались со сферой, затем описал вокруг этого додекаэдра другую сферу так, чтобы она проходила через его вершины; на этой сфере должна была лежать орбита Марса; вокруг этой сферы он построил тетраэдр, затем сферу для Юпитера, затем куб, затем сферу для Сатурна. Внутри земной сферы он поместил еще два многогранника, разделенные сферами, чтобы получить таким образом орбиты Венеры и Меркурия. Относительные радиусы сфер, вычисленные на основе геометрии, находились в соответствии с известными в то время относительными радиусами орбит планет, и Кеплер был в восторге: «Огромную радость, которую я испытал от этого открытия, нельзя выразить словами. Я уже не жалел о потраченном времени и не испытывал усталости; я не боялся трудных расчетов, не считал проведенных за вычислениями дней и бессонных ночей, стремясь выяснить, соответствует ли моя гипотеза теории орбит Коперника, или же моя радость должна рассеяться как дым».

Фиг. 78. Схема Кеплера с правильными многогранниками (заимствовано из его книги).

_{Относительные размеры орбит планет показаны шаровыми оболочками, отделяющими один многогранник от другого. Толщина этих шаровых оболочек подобрана таким образом, чтобы учитывался эксцентриситет орбит.}

Теперь мы знаем, что это был лишь случайный успех. В более поздние годы Кеплеру самому пришлось подгонять соотношения радиусов своих сфер, чтобы они соответствовали фактам, а когда спустя несколько столетий были открыты другие планеты, схема Кеплера оказалась совершенно несостоятельной[44]. И все же этот «успех» привел Кеплера к дальнейшим великим открытиям.

Кеплер опубликовал свое открытие в книге, где привел также описание всех своих неудачных попыток. Столь необычный характер изложения присущ многим его сочинениям. Он рассказывал о том, как совершались его открытия. Он не боялся нанести вред своей репутации и лишь желал способствовать росту человеческих знаний, поэтому не скрывал своих ошибок, а подробно их описывал. «Ибо я считаю, — писал он, — что те пути, с помощью которых люди приобрели знания о небесных явлениях, не менее достойны восхищения, нежели сами открытия… Христофору Колумбу, Магеллану, португальцам не просто прощают их подробные описания странствий, было бы очень обидно, если бы этих описаний не было, и мы не могли бы наслаждаться, читая их; пусть и меня не порицают за то, что я поступаю точно так же».

Кеплер в своей книге превосходно защищал систему Коперника, используя веские доводы. Кеплер послал экземпляры своей книги Тихо Браге и Галилею, которые одобрили его смелое начинание. С этого времени возникла дружба Кеплера с этими великими людьми, продолжавшаяся всю жизнь[45]. В той же книге Кеплер высказал предположение, что каждая планета движется по своей орбите вследствие влияния, которое оказывает на нее Солнце — это была смутная и малоправдоподобная идея, которая помогла ему позднее открыть свой второй закон.

Кеплер был протестантом и под давлением католической церкви его лишили работы. Беспокоясь о своем будущем и стремясь посоветоваться с Тихо Браге по поводу наблюдений над движением планет, он переехал в Прагу. В то время Тихо Браге наблюдал за «трудной планетой» — Марсом; он писал Кеплеру: «Приезжайте не как чужестранец, а как друг; приезжайте и помогите мне вести наблюдения с теми приборами, которыми я располагаю». Пока продолжалась работа в обсерватории, Тихо пытался разработать подробную «теорию», создать схемы, которые бы поясняли его многочисленные наблюдения. Кеплер присоединился к Тихо Браге, пытаясь вместе с ним найти круговую орбиту Марса, которая соответствовала бы наблюдениям. Обидчивый и больной, Кеплер жаловался на то, что Тихо якобы обращался с ним как с учеником и не очень-то делился своими наблюдениями. Однажды, почти обезумев от усталости, он написал Тихо гневное письмо, полное несправедливых упреков, но Тихо мягко убедил его в том, что он неправ, и Кеплер, раскаявшись, писал ему:

«Высокочтимый Тихо, Как я смогу перечислить или должным образом оценить те милости, которыми вы меня осыпали? В течение двух месяцев вы щедро и безвозмездно поддерживали меня и мою семью:… вы оказывали мне всевозможные одолжения; вы передали мне то, что было вам особенно дорого… Я не могу без ужаса думать о том, что бог отступился от меня и предоставил меня моей собственной невыдержанности, дошедшей до такой степени, что я закрыл глаза на все ваши благодеяния; что вместо скромной и почтительной благодарности я позволил себе в течение трех недель неприязненно относиться к вашей семье и с безудержным гневом и крайней дерзостью к вам… Все, что я сказал или написал… против вашего превосходительства… я… признаю бездоказательным, фальшивым и лишенным всякой почвы».

После того как Кеплер вернулся в Германию, Тихо Браге вновь пригласил его, предложив ему на этот раз постоянное сотрудничество. Кеплер принял приглашение, но отсутствие денег и болезнь задержали его переезд, и когда он наконец достиг Праги, то оказался совсем без средств и в полной зависимости от Тихо. Тихо Браге исхлопотал для Кеплера должность «императорского математика»; обязанности его заключались в том, что он должен был помогать Тихо Браге составлять таблицы движений планет.

Вскоре после этого Тихо Браге умер, завещав Кеплеру опубликование своих таблиц. Хотя Кеплер все еще сохранял свою должность императорского математика, платили ему неаккуратно и он очень бедствовал. Одно время он даже стал публиковать альманах с предсказаниями судеб. Сама идея вызывала в нем отвращение, но он крайне нуждался в деньгах и знал, что астрология — та форма астрономии, за которую платят. До конца жизни, еще свыше четверти века, он занимался исследованием движений планет, стремясь узнать те простые законы, которым, как он был уверен, они должны были подчиняться.

Исследование Марса.

К моменту кончины Тихо Браге Кеплер уже начал свои исследования, изучая главным образом движение Марса. С помощью какой схемы можно было бы описать орбиту Марса? Пользуясь представлением о круговых орбитах, Кеплер предположил, что планета движется по кругу, на некотором расстоянии от центра которого находится Солнце (подобно эксцентрично расположенной Земле по Птолемею, см. стр. 83). Затем он поместил точку Q по обе стороны от центра круга и провел от нее плечо к планете, считая, что оно должно вращать планету с постоянной скоростью вокруг Солнца. Он не настаивал подобно Птолемею, чтобы эксцентричные расстояния СЕ и CQ были равны, но вычислил для них подходящие пропорции на основе некоторых наблюдений Тихо Браге.

Затем, предположив, что планета движется по такой орбите, Кеплер сравнил ее последующие положения с данными Тихо. Не зная, какое положение в пространстве занимает линия ECQ, он, выбрав наугад направление, пытался так расположить круговую орбиту, чтобы получить соответствие с наблюдениями. Каждая такая попытка требовала долгих и утомительных вычислений. Кеплер произвел 70 таких попыток, прежде чем нашел направление и пропорции, которые находились в хорошем соответствии с дюжиной ранее измеренных долгот Марса. Его очень обрадовали эти результаты, но затем, к его разочарованию, оказалось, что схема плохо согласуется с широтами Марса. Он подогнал свои эксцентрические сдвиги так, чтобы они удовлетворяли этим широтам, однако на некоторых участках орбиты вычисленное положение Марса расходилось с наблюдениями на 8' (8 шестидесятых долей градуса).

Не могло ли столь малое расхождение объясняться ошибками наблюдений? Нет. Кеплер знал Тихо Браге и был уверен, что тот не мог допустить подобной ошибки. Тихо Браге уже не было в живых, но Кеплер доверял его записям. Это было большой и справедливой данью Кеплера по отношению к своему другу. Верный памяти Тихо и хорошо знакомый с его методами, Кеплер верил ему больше, чем своей, казалось бы столь успешной, теории. Он храбро принялся снова за утомительную работу, заявив, что на основе этих восьми минут должен построить теорию Вселенной.

Ему стало ясно, что круговая орбиту не соответствует действительности. Однако чтобы определить, какова же на самом деле форма орбиты, он должен был получить точное изображение орбиты Марса. Это было отнюдь не простой задачей, так как с движущейся Земли можно наблюдать лишь видимую траекторию Марса. Истинные расстояния были неизвестны; были измерены только углы, которые характеризовали лишь комбинацию орбитальных движений Марса и Земли. Тогда Кеплер попытался сперва определить орбиту Земли с помощью метода, который по справедливости можно назвать гениальным.

Определение орбиты Земли в пространстве и времени.

Чтобы нанести на диаграмму орбиту Земли, по которой она движется вокруг Солнца, нужно произвести много серий измерений, определяющих положения Земли из двух неподвижных точек. Кеплер взял за одну из этих точек Солнце, за другую — Марс в различные моменты времени, когда он находился в одном и том же положении на орбите. Кеплер действовал таким образом: он отмечал «положение» Марса на фоне звезд при противостоянии (по отношению к Солнцу, в полночь, прямо над головой). Отсюда он определял направление базы Солнце — (Земля) — Марс, SE₁M (фиг. 79).

Фиг. 79. Схема Кеплера определения орбиты Земли.

_{А — направление, измеряемое в момент противостояния Марса; б — спустя один марсианский год Марс должен быть в том же положении; в — построение земной орбиты.}

Затем находил в записях Браге время, в точности соответствующее тому, которое прошло с данного момента за один марсианский год. (Марсианский год, т. е. время, в течение которого Марс совершал полный оборот по своей орбите, был точно известен из записей, которые велись в продолжение столетий.) Теперь Кеплер знал, что Марс находится в этом же самом положении М и что SM имеет то же направление. К этому времени Земля успевала перейти в положение Е₂ на своей орбите. Произведенная Тихо запись положения Марса на фоне звездного неба давала Кеплеру новое направление, Е₂М, а положение Солнца давало ему направление E₂S. Он мог определить углы треугольника SE₂M следующим образом: зная направления Е₁М и Е₂М (отмеченные на небесной звездной сфере), он мог вычислить угол А между ними. Зная направления Е₁S и E₂S, он мог вычислить образуемый ими угол B. Затем на диаграмме он мог выбрать две точки, изображающие S и М, и определить положение Земли Е₂, из концов базы SM провести прямые под углами А и В и найти их пересечение Е₂. Спустя один марсианский год он мог определить направления Е₃М и Е₃S из записей Тихо Браге и найти потом Е₃ на своей диаграмме. Таким образом, Кеплер, начав с точек S и М, мог определить точки Е₂, Е₃, Е₄…, что позволяло при достаточно большом числе точек определить форму орбиты. Зная теперь истинную орбиту Земли, он мог провести исследование в обратном порядке и определить форму орбиты Марса.

Он убедился, что орбиту Земли можно считать кругом со слегка смещенным центром, т. е. несколько напоминающей овал; но орбита Марса не имела сходства с кругом, она представляла собой вполне определенный овал, или же, как он считал вначале, имела яйцевидную форму; Кеплер все еще не мог найти ее математическое выражение.

Переменная скорость планет. Второй закон.

Изучая движение Земли в пространстве, Кеплер заметил, что она движется по своей орбите неравномерно, быстрее зимой, чем летом. Он стал искать закон, по которому происходит изменение скорости и который мог бы заменить искусственный прием введения эквант. На мысль о существовании такого закона наводила прежняя гипотеза об импульсе, получаемом планетами от Солнца.

Кеплер считал, что движение должно поддерживаться силой, поэтому у него возникло представление о некоем «плече», идущем от Солнца к каждой планете и толкающем планету вдоль орбиты, и чем дальше расстояние, тем слабее должен быть толчок. Кеплер пытался (с помощью сложной геометрической схемы) сложить действия таких толчков от расположенного эксцентрично Солнца и открыл простой закон: радиус-вектор, проведенный от Солнца к планете, описывает одну и ту же площадь за равные промежутки времени. Этот радиус-вектор не вращается вокруг Солнца с постоянной скоростью (как хотелось бы Птолемею), но в его движении имеется некоторое постоянство — постоянная скорость прохождения одной и той же площади (Птолемею, вероятно, понравилось бы такое соотношение).

Рассмотрим, чему будут равны эти площади для равных промежутков времени, скажем за каждый месяц. Когда планета находится далеко от Солнца, радиус-вектор будет проходить за месяц длинный узкий треугольник; по мере приближения планеты к Солнцу треугольники будут становиться короче и шире — планета будет двигаться быстрее. Позднее, когда Кеплер уже знал форму орбиты Марса, он применил то же правило и нашел, что оно справедливо и для Марса. Таким образом, он получил простой закон, определяющий скорости планет: каждая планета движется вокруг Солнца с такой скоростью, что радиус-вектор, проведенный от Солнца к планете, описывает равные площади за равные промежутки времени. Кеплер высказывал лишь смутные догадки о «причине» такого явления, считая его результатом влияния Солнца, возможно магнитного происхождения; но он ценил этот закон за его простоту и четкость и пользовался им при дальнейших исследованиях. Мы называем этот закон вторым законом Кеплера. Первый закон Кеплера, открытый им вскоре после этого, определяет истинную форму орбит планет.

Орбита Марса. Первый закон.

Начертив орбиту Марса (по сорока тщательно вычисленным точкам), Кеплер попытался дать математическое выражение для ее овальной формы. Он испытывал бесконечные затруднения, одно время даже говорил, что почти сходит с ума от тех трудностей, которые ему приходится испытывать. Желая получить финансовую поддержку, он писал императору в присущем ему напыщенном стиле: «Торжествуя победу над Марсом и приготовляя для него, как для побежденного, тюремные своды таблиц и оковы эксцентриков, я слышу то там, то тут шепот, что моя победа напрасна и что война бушует снова. Так как враг остался в доме, презренный пленник разорвал все цепи уравнений и вырвался из тюрьмы таблиц».

Фиг 80. Определение орбиты Марса по Кеплеру.

_{Орбита Марса представляет собой эллипс, в одном из фокусов которого находится Солнце. Плечо, идущее от Солнца к планете, описывает равные площади за равные промежутки времени. На окружности эллипса отмечены положения планеты через промежутки времени, равные 1/20 времени обращения Марса (марсианского года). Скорость планеты при ее движении по орбите меняется так, что все указанные здесь секторы имеют одинаковые площади.}

Фиг. 81. Солнечная система с окружающими Солнце эллиптическими орбитами.

_{Орбиты планет в нашей Солнечной системе имеют значительно меньшие эксцентриситеты. Кометы движутся по эллиптическим орбитам с бóльшими эксцентриситетами.}

Наконец, Кеплер нашел истинную орбиту Марса; она была заключена между эксцентрическим кругом, который был слишком велик по сравнению с ней, и вписанным внутрь круга эллипсом, который был слишком узок. И круг и эллипс расходились с наблюдениями, круг на +8' в некоторых участках орбиты, а внутренний эллипс на —8'. Кеплер внезапно понял, что орбита должна представлять собой эллипс, в одном из фокусов которого находится Солнце.

Убедившись в правильности своего предположения, он был так восхищен, что украсил свой чертеж изображением победоносной Астрономии на триумфальной колеснице, чтобы подчеркнуть значение полученного им доказательства (фиг. 82).

Наконец-то он определил, истинную орбиту Марса[46]. Подобное же правило оказалось справедливым для Земли и других планет. В этом и состоит первый закон Кеплера, т. е. каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

Фиг. 82. Диаграмма Кеплера из его книги о Марсе.

Третий закон.

Таким образом, с помощью таблиц Тихо Браге, благодаря бесстрашию, уму и неустанной работе Кеплер вывел два великих «закона». Он продолжал размышлять над одним из тех вопросов, которые интересовали его и ранее: какова связь между размерами орбит планет и длительностью их периодов обращения? Теперь ему были известны радиусы[47] орбит, а периоды их обращения были известны с давних пор. (Как предполагали древние греки, планеты с большими периодами обращения имеют бóльшие орбиты.) Он был уверен, что между радиусом планеты и ее периодом обращения должно существовать определенное соотношение. Кеплер делал много попыток найти такое соотношение, но большинство попыток было безрезультатно, как и его планетная система из пяти правильных многогранников, другие же носили мистический характер.

К счастью, связь между радиусами и периодами обращения действительно существует, и Кеплеру посчастливилось испытать радость открытия. Он нашел, что отношение R³/T² одинаково для всех планет (здесь R — средний радиус орбиты планеты, а Т — период ее обращения, см таблицу).

Фиг. 84. Орбита Земли (изображена в соответствующем масштабе).

_{Эксцентриситет орбит планет нашей системы в действительности очень мал. Орбиты почти круговые, однако на основе наблюдений Тихо Браге, Кеплеру удалось показать, что они представляют собой не круги, а эллипсы. Показана орбита Земли в масштабе. Минимальный радиус орбиты обозначен здесь как 4,0000 см, максимальный — 4,0006 см. Эксцентриситет орбиты Марса превышает эксцентриситет орбиты Земли более чем в тридцать раз, но и в этом случае радиусы относятся как 1,0048 к 1,000. Меркурий — единственная планета со значительно бóльшим эксцентриситетом, ее максимальный радиус относится к минимальному как 1,022 к 1,000. Даже этот эксцентриситет орбиты представляется малым, однако это значение оказывается уже достаточным, чтобы скорость Меркурия при его движении по орбите изменялась согласно предсказаниям релятивистской механики. Действительно, орбита Меркурия должна прецессировать, т. е. должна (очень медленно) вращаться. Прецессия орбиты Меркурия равна всего 1/80° в течение столетия — она была найдена и измерена задолго до того, как появилась теория относительности и было сделано это предсказание!}

Фиг. 85. Соотношение между радиусом и «периодом обращениям для орбит различных планет.

_{Орбиты даны в грубом соответствии о масштабом.}

Фиг. 86. Период обращения планеты.

_{Это время, за которое планета совершает полный оборот по своей орбите. Определяя истинный период обращения планеты из наблюдений, следует учитывать движение Земли.}

Кеплер вновь был счастлив. Ему удалось вырвать у природы ее дивную тайну. Вот что он писал по этому поводу:

«То, что я предсказывал двадцать два года назад, то, во что я твердо верил задолго до того, как увидел «гармонии» Птолемея, то, что обещал моим друзьям в заглавии этой книги, в заглавии, которое я ей дал прежде, чем уверился в моем открытии, то, что я уже пытался искать шестнадцать лет назад и ради чего присоединился к Тихо Браге и переехал в Прагу, то, во имя чего я посвятил лучшие годы моей жизни астрономическим наблюдениям, — мне наконец удалось понять и объяснить, и успех мой превзошел даже самые оптимистические ожидания. Не прошло еще и восемнадцати месяцев с тех пор, как я заметил, наконец, первый проблеск света. Минуло всего три месяца с тех пор, как забрезжил рассвет, и несколько дней, как засверкало ничем не затуманенное восхитительное Солнце. Ничто не удерживает меня… жребий брошен, написана книга, которая будет прочитана либо теперь, либо потомками. Это меня не беспокоит; она может ждать своего читателя хоть целое столетие — ведь бог ждал шесть тысяч лет, чтобы увидели его творение».

Законы Кеплера.

Потребовались годы вычислений, измерения, размышления и снова вычисления, — пока Кеплер не обнаружил среди прочих бесценных для него «гармоний» три великих закона:

ПЕРВЫЙ ЗАКОН. Каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

ВТОРОЙ ЗАКОН. Радиус-вектор (линия, соединяющая Солнце и планету) описывает за равные промежутки времени равные площади.

ТРЕТИЙ ЗАКОН. Квадраты периодов обращения планет пропорциональны кубам их средних расстояний от Солнца. (Или отношение R³/T² одинаково для всех планет.).

Первые два закона можно было проверить с помощью имеющихся данных. Таким образом, Кеплер был уверен, что его догадка правильна. Для проверки третьего закона нужны были лишь относительные значения радиусов орбит планет.

Значение трудов Кеплера огромно. Он открыл законы, которые затем Ньютон связал с законом всемирного тяготения. Конечно, сам Кеплер не отдавал себе отчета в том, к чему приведут его открытия. «Он не занимался утомительными поисками эмпирических правил, которые в будущем должен был привести к рациональному виду Ньютон. Он искал первопричины, математические гармонии, возникавшие у творца при сотворении мира»[48]. Кеплер не мог объяснить, чем обусловлено существование эллиптических орбит, но восхищался тем, что они существуют.

Вывод третьего закона.

Вывод третьего закона сводился к угадыванию числового соотношения, которое было бы справедливо для нескольких пар чисел. Пытаясь удовлетворить определенному количеству данных (в рассматриваемом случае значениям Т и R для шести планет), можно сделать много неудачных попыток, и из подобных попыток, удовлетворяющих Т и R для шести планет, многие оказываются неверными в применении к седьмой планете (Урану, открытому позже). В свою очередь, успешные попытки для семи планет неверны для восьмой планеты (Нептуна). Привлечение все большего числа данных может устранить «неверные» попытки и оставить лишь «правильную». Но в каком смысле эта догадка «правильная»?

Некоторые верят, что в основе вещей, которые мы наблюдаем в природе, лежит некая абсолютная истина. Кеплер и Ньютон, вероятно, думали так же. Другие считают, что верное правило это просто?

А) то, что имеет наиболее общее применение (например, для наибольшего числа планет).

В этом смысле предположение Кеплера о том, что отношение R³/T² постоянно для всех планет, правильно, так как оно справедливо и для других планет, которые были открыты позднее, и для других систем, например для спутников Юпитера. Его правило пяти правильных многогранников было неверно, так как не соответствовало данным для шести известных планет, и оказывалось совершенно несостоятельным для случая более шести планет.

Утверждают также, что верен закон, который.

Б) наилучшим образом соответствует теории, связывающей воедино огромное многообразие наших знаний о природе.

Если эта теория была создана только для решения какой-либо частной задачи, как рабочая гипотеза, то закон (б) становится бессмыслицей — в этом случае он лишь означает, что данный закон верен только потому, что согласуется с теорией, специально созданной в предположении, что этот закон верен. Мы называем такую теорию теорией «ad hoc». Если же, однако, теория связывает данную проблему с другой областью науки, то закон (б) служит ей убедительной рекомендацией.

Ньютон, строя догадки о существовании всемирного тяготения, создал теорию, связывающую падение тел, движение Луны и движение планет с приливами и отливами и т. д. Он показал, что третий закон Кеплера (как и другие два его закона) с необходимостью следуют из этой теории. Таким образом, закон R³/T² можно считать «верным» согласно обоим определениям: и по общей применимости, и по согласию с теорией. Он мог оказаться «неверной» догадкой, ожидающей, подобно закону «пяти правильных многогранников», большего количества данных, чтобы быть опровергнутым, или теории, которая не могла бы его «предсказать»[49].

Воображаемая «Задача Кеплера». Чтобы судить о том, сколь сложно исследование, подобное тому, которое выполнил Кеплер, попробуем решить аналогичную задачу, пользуясь воображаемыми данными и воображаемыми соотношениями. Предположим, что вы придумали некую задачу и вам известна схема, по которой вы ее составили. Предложите мне найти эту схему. Вы предоставляете в мое распоряжение следующие данные. Вы знаете схему, так как сами ее придумали. (Эта система не подчиняется закону обратной пропорциональности квадрату расстояния, «планеты» не реальные!) Действительно, вы получите Т в соответствии с выбранным соотношением: T = R² + 2. Таким образом, если будет открыта новая планета D с R = 5, то для нее Т будет равно 5² + 2, т. е. 27. Предположим, что вы сообщили мне данные для планет А, В и С (а данные для D попридержали). В поисках закона я пытаюсь найти такую алгебраическую комбинацию T и R, которая была бы одинаковой для каждой из этих планет. Начиная с планет А и B, я замечаю, что T/R = 3/1 для А и 6/2 для В, т. е. в обоих случаях это отношение одинаково. Надеясь, что нашел правильный закон, т. е. что T/R для всех планет одно и то же, я нахожу это отношение для планеты С. В этом случае оно равно 18/4, т. е. не равно первым двум. Поэтому я должен отвергнуть первую догадку. Пробуя другие комбинации, я нахожу еще несколько таких, которые дают одинаковые отношения для А и В, но не годятся для планеты C. Наконец, я нахожу, что соотношение между T и R будет одинаково для планет А и В, если я разделю 8 на R, прибавлю R, умноженное на 7, и вычту T, т. е. нахожу комбинацию 8/R + 7R — Т. Для планеты А получим: 8/1 + 7 x 1–3 = 12. Для планеты В получим: 8/2 + 7 x 2–6 = 12. Для планеты С получим: 8/4 + 7 x 4 — 18 = 12, т. е. то же самое. Итак, по-видимому, я нашел общий закон, которому подчиняются планеты А, В и С. Считая, что этот закон справедлив, я намереваюсь его опубликовать, но тут вы сообщаете данные о планете D: R = 5 и T = 27. Применяя свое правило к планете D, я получаю: 8/5 + 7x5 — 27 = 9,6. Выяснив, что ваши данные не могут содержать ошибки, достаточно большой, чтобы объяснить расхождение между значениями 9,6 и 12,0, и начинаю все сначала. Если я достаточно терпелив и мне сопутствует удача, я могу прийти к следующей схеме: прибавить 2 к R² и разделить полученный результат на Т. Тогда для всех четырех планет А, В, С и D получится один и тот же ответ, равный 1,000[50]. Это позволяет думать, что найден правильный закон. Дальнейшие проверки при наличии большего числа данных подтверждают его правильность, и если этот закон будет находиться в соответствии с некой общей теорией, то я могу считать, что моя задача решена. Приведем таблицу, иллюстрирующую ход решения задачи. В последний момент была открыта еще одна «планета», е, таких малых размеров, что ее раньше не замечали. Ее данные тоже удовлетворяют окончательному правилу (в нашем примере в этом нет ничего удивительного, так как мы сами подогнали ее данные, заранее зная, какому правилу они должны удовлетворять) и находятся в противоречии с первыми попытками. Заметим, однако, что они почти точно соответствуют второй попытке, приводя к результату, равному 12,67. Если бы данные для планеты е были известны, когда я работал над своим вторым правилом, я мог бы поддаться искушению и решить, что 12,67 — значение, достаточно близкое к 12,00, и объяснить различие этих двух значений ошибкой эксперимента.

Труды Кеплера.

Кеплер написал много книг и писем, в которых подробно излагал свои открытия, описывая не только достижения, но и неудачи. Описание открытых им законов перемешано с описанием других, порой мистических идей и открытий: тут и гармония планет, гипотеза а магнитном влиянии, намеки на гравитацию, и непрерывное восхищение своей первоначальной схемой планет на основе пяти правильных многогранников. Не забудьте, что Кеплер не знал, каким должен быть «правильный ответ» на поставленные им перед собой задачи. Он не имел представления о том, какая из его теорий получит подтверждение в дальнейшем. В конце концов ему удалось напечатать «Рудольфовы таблицы», частично оплатив самому расходы по их изданию, что для него было более чем затруднительно, и таким образом появились на свет надежные астрономические данные. Он написал хорошую популярную книгу по общей астрономии, в которой изложил и объяснил теорию Коперника и описал свои собственные открытия. Книга была немедленно запрещена церковью, и это совсем разорило его, так как после этого Кеплеру почти не удавалось печатать и продавать свои книги.

«Стремясь к открытию некого общего принципа…, Кеплер никогда не терял из виду предмет своего исследования», — пишет Д. Брюстер в своей книге «Мученики науки»[51]. Воображение влекло его к созданию самых различных гипотез. Наиболее правдоподобные или, может быть, особенно ласкающие воображение подвергались самому строгому анализу; и если они оказывались несовместимыми с результатами наблюдений и экспериментов, он немедленно отбрасывал их как несостоятельные; столь же строгой проверке подвергалась следующая гипотеза… Этот метод позволил ему преуспеть в самых трудных исследованиях и открыть те прекрасные и глубокие законы, которые стали впоследствии предметом восхищения.

В введении к книге о жизни Кеплера, выпущенной к 300-летнему юбилею ученого, Артур Эддингтон пишет:

«Я считаю, что не будет преувеличением рассматривать Кеплера как предшественника современного физика-теоретика, который пытается упорядочить теорию атома, подобно тому, как Кеплер упорядочил Солнечную систему. И дело не только в сходстве предмета исследования, но и в сходстве точек зрения. Мы способны забыть, что при открытии законов Солнечной системы, как и законов, лежащих в основе строения атома, существенным шагом явился отказ от механических моделей. Кеплер не ограничился размышлением о том, какие причины заставляют планеты двигаться в небе — система окружностей Птолемея или вихревые движения в более поздних гипотезах. А большинство из нас, вероятно, стало бы пытаться решить эту задачу так: мы подобрали бы некий конкретный механизм и с его помощью получили бы наблюдаемое движение, стремясь объяснить это движение и найти управляющие им законы. Кеплером же руководило чувство математической формы, эстетическое чутье, подсказывающее ему, какими должны быть те или иные соотношения. Теперь нам уже не кажется столь нелепым, что характер движения планеты должен вытекать из условия постоянства воздействия, а не из знания того, что же ее конкретно подталкивает. Кеплера также привлекала идея, согласно которой планета должна двигаться так, чтобы соблюдалось равенство площадей, описываемых за одно и то же время радиусом-вектором, — предположение, которое люди, мыслящие ортодоксально, отвергли бы как фантастическое. Интересно, как был принят современниками Кеплера подобный отказ от механических концепций? Нашлись ли среди них те, у кого подобный авантюризм научного мышления вызывал недовольство и которые не могли согласиться с новыми законами, не получив какого-либо объяснения или модели, демонстрирующей механизм действия этого закона? На смену Кеплеру пришел Ньютон, и тенденция выявлять механизмы постепенно опять стала играть доминирующую роль. И лишь в последние годы мы стали возвращаться к точке зрения, несколько схожей с точкой зрения Кеплера, и гармония сфер перестает тонуть в грохоте машин.». Задача 1. А) К чему относится открытие Кеплера о соотношении «пяти правильных многогранников»? Б) Дайте краткое описание этой схема. Задача 2. Законы Кеплера. А) Дайте краткие описания (с чертежами) первого, второго и третьего законов (основных законов, а не его схемы правильных «многогранников», так называемого «нулевого закона), или «Закона 0»). Б) Кеплер сам верил в существование чего-то, что поддерживает движение планет, и предполагал наличие своего рода рычага, идущего от Солнца к планете. Будет ли такой рычаг вращаться с постоянной скоростью? Если нет, то на какой стадии планетного года он должен вращаться наиболее быстро? Задача 3. Задачи для современного Кеплера. Радиоактивные атомы испускают маленькие атомные «снаряды», которые представляют собой частицы, входящие в состав атомного ядра. Многие атомы, включая радий, испускают частицу, которая представляет собой электрически заряженный атом гелия (ядро гелия, или атом гелия, лишенный двух своих электронов). Это так называемые альфа-частицы (α-частицы). Атомный «взрыв», в процессе которого радиоактивный атом испускает α-частицу, происходит самопроизвольно, причем первоначальный атом превращается в атом совершенно иного рода, с другими химическими свойствами. Радиоактивные изменения дают нам информацию о структуре атомных ядер. Кроме того, они снабжают нас «снарядами», с помощью которых можно исследовать структуру других атомов, подобно тому как боксер «исследует» физиономии других боксеров. В частности, поток α-частиц применялся для исследования структуры атомов золота в знаменитом эксперименте, следствием которого явился коренной пересмотр атомной теории. Приведенная ниже задача относится к этому эксперименту. Поток α-частиц направляется на очень тонкую золотую фольгу в вакууме. Большинство α-частиц проходит через фольгу, не испытав сильных столкновений с атомами золота, но некоторые α-частицы в результате столкновений изменяют свои направления. Очень небольшое число их даже возвращается назад. Эти наблюдения послужили основой новой теории, которая затем предсказала, сколько α-частиц из миллиона должно возвращаться в заданном направлении. Из теории следует, что должно иметь место определенное соотношение между числом вылетающих обратно α-частиц (на миллион) и скоростью, которую они имеют при падении на золотую фольгу. Эта теория была проверена экспериментально. Ниже в таблице приведены некоторые данные этих измерений. С помощью этих данных можно решить задачу, аналогичную той, которая стояла перед Кеплером, когда он уже располагал данными об орбитах планет, но еще не вывел третьего закона. Между N и v существует простая зависимость. Можете ли вы определить эту зависимость? Попытайтесь сделать это самостоятельно, не прибегая к помощи книг. Если вы найдете искомое соотношение, покажите, насколько близко оно соответствует приведенным данным. Конечно, те экспериментаторы, которые проводили этот опыт, имели по сравнению с вами то преимущество, что знали, какое соотношение надо испробовать прежде всего, но они должны были проделать сложнейший эксперимент. Нельзя ожидать, что в этих экспериментах, где приходится вести счет отдельным атомам, можно получить очень точные результаты; поэтому, в противоположность результатам Кеплера, ваша постоянная может колебаться в пределах 10 %.

Глава 19. Галилео Галилей (1564–1642).

«Наука спустилась с небес на Землю по наклонной плоскости Галилея».

В то время, когда Тихо Браге переехал в Прагу с частью спасенных им приборов, а Кеплер начал наступление на Марс, Галилею — современнику Кеплера — было за тридцать и он имел уже некоторую известность как математик и физик. За свою жизнь Галилей совершил ряд великих открытий и величайшее из них, пожалуй, — введение в качестве основы научного познания описания данного эксперимента на языке математики. Галилей упорно ставил опыты сам и использовал чужие эксперименты, пока не добивался правильного решения проблемы; но прежде всего он был великим мыслителем и учителем и обладал столь блестящим полемическим талантом, что мог выбить почву из-под ног у философов, воспитанных на старых традициях, пользуясь их же собственными аргументами. Он любил пользоваться тем, что мы называем «мысленными» экспериментами, т. е. воображаемыми экспериментами, которые служат проверке той или иной гипотезы[52]. В этих мысленных экспериментах Галилей опирался на представления о природе явлений, основанные на здравом смысле, или иногда обращался к действительным экспериментам, а затем предсказывал, какими должны быть те или иные факты или соотношения. Его справедливо можно считать не только отцом, экспериментальной физики, как это давно вошло в традицию, но и первым современным физиком-теоретиком.

Галилей собрал и систематизировал те факты и идеи, из которых много лет спустя Ньютон вывел законы движения. Он заимствовал многочисленные данные, полученные до него экспериментаторами и мыслителями; известны даже издания этих авторов, которые были им использованы в книгах. Он не был открывателем новой механики, однако создал стройную логичную систему механики, сделал ее убедительной и превратил во всеобщее достояние.

Сконструировав телескоп, он с его помощью получил новые данные, подтверждающие теорию Коперника и третий закон Кеплера. Галилей излагал и разъяснял теорию Коперника с поразительной четкостью и ясностью, опровергая тем самым установившиеся с давних пор традиции и ниспровергая признанные авторитеты. Он так страстно призывал к правдивым экспериментам и к их разумной интерпретации, что вдохнул в физику новую жизнь.

Галилей и новая наука.

Наиболее значительным вкладом Галилея в новую науку явилось изменение методов обработки экспериментальных результатов. Он обратился вновь к методам Пифагора и Архимеда: знания, полученные экспериментальным путем, должны были приводиться в систему с помощью абстрактных математических представлений. Так, он с определенностью установил, что свободно падающий предмет проходит за промежутки времени, равные 1, 2, 3, 4… (отсчитываемые от того момента, когда предмет находится в покое), расстояния, пропорциональные 1:4:9:16 (т. е. что существует соотношение, которое мы сейчас выражаем с помощью алгебры в следующей компактной форме: s ~ t²). При выводе этого соотношения он не учитывал такие факторы, как сопротивление воздуха, вращение, движение в горизонтальном направлении, и описал идеальный случай падения тела в пустоте. С помощью простых математических рассуждений он вывел следующую форму этого закона: расстояния, проходимые телом за последовательные равные промежутки времени, увеличиваются в пропорции 1:2:3:4…, или, как мы говорим теперь, Δs (при Δt = 1) ~ t[54].

Галилей и его преемники не грешили против истины из-за того, что не учитывали при рассмотрении тех или иных задач такие реальные факторы, как сопротивление воздуха. Современный ученый может сформулировать идеальные законы механики для материалов, не испытывающих трения, тележек, не имеющих веса, нерастяжимых проволок…, а затем добавить реальные условия и видоизменить эти законы.

Галилей содействовал также полному изменению взглядов в области астрономии: он устранил резкое различие между небесными и земными явлениями. Коперник придерживался мистического представления об идеальных сферах, а Галилей пытался рассматривать планеты, Солнце и Луну как обычные земные тела. Он пользовался одним и тем же методом, решая задачу о шаре, катящемся вниз с холма, и о планете, движущейся в небе. Он не довел до конца это рассмотрение, так как все еще считал, что планеты движутся по естественным круговым орбитам, однако благодаря ему человек стал использовать общие математические законы для описания всей Вселенной.

Галилей применял математические методы к величинам, которые можно было непосредственно измерить. Он придавал большое значение таким «первичным» качествам материи, как длина, объем, скорость, сила; он отвергал как нечто, выходящее за пределы настоящей науки, такие субъективные понятия, как цвет, вкус, запах, музыкальный слух, которые, по его словам, исчезают, когда отсутствует наблюдатель[55].

Вспомним строки Шекспира:

Крик ворона и жаворонка пенье Равны, коль им внимают равнодушно…[55]

Так Галилей строил науку на трезвых математических рассуждениях и методах; впоследствии так поступал и Ньютон. Кроме того, Галилей ввел коренные изменения в философию — установил четкое разграничение материи и сознания. Продолжателем Галилея в этом направлении явился Декарт. Учение Галилея способствовало возникновению точки зрения на материю и движение как на нечто истинное и реальное, тогда как вкус, цвет и т. п. представлялись лишь ощущениями, вызываемыми в сознании наблюдателя формами или движениями атомов, хотя сами атомы точно следуют математическим законам. Столетием позже Беркли предположил, что даже первичные свойства материи субъективны; они воспринимаются нашим разумом как «ощущения». С этой точки зрения вся система научных законов и знаний, которую строил Галилей, — абстрактная картина, которую мы получаем на основе нашего субъективного восприятия внешнего мира.

Это хорошая картина, удобная, полезная, интересная, но это не тот мир, в котором мы существуем. Мир, каким бы реальным и конкретным он ни был вне наших ощущений, может быть значительно более сложным; чем нам удается «узнать», пользуясь доступными научными методами исследования. Если мы верим в то, что полученное нами с помощью этих методов представление о мире вполне реально и истинно, то можем найти законы механики, позволяющие проследить движение каждого атома от настоящего момента до далекого будущего и предсказать таким образом все события, включая наши собственные решения и поступки. Это лишило бы нас всякой свободы действия и всякой возможности выбора — очень печальная перспектива. Эти рассуждения применимы, однако, лишь к абстрактному миру ньютоновской науки, а не к тому сложному конкретному миру, который реально существует.

Жизнь и деятельность Галилея. Пиза.

Галилей был сыном итальянского дворянина — философа и музыканта. Семья жила в Пизе, вблизи Флоренции. Молодой Галилей мечтал стать художником, но отец послал его в университет изучать медицину, чтобы он приобрел профессию, по тем временам весьма уважаемую и хорошо оплачиваемую. В университете Галилей воспользовался возможностью изучить геометрию. (Существует версия, будто Галилей, потрясенный тем, что открылось ему на лекции об Евклиде, умолял профессора математики взять его к себе в ученики.) Отец Галилея возражал против этого нового увлечения сына — в то время математики получали ничтожно малое вознаграждение за свой труд. Однако это не уменьшило энтузиазма Галилея. Он с увлечением читал сочинения Евклида и Архимеда и вскоре начал исследование свойств центра тяжести.

Когда Галилею минуло двадцать пять лет, герцог, один из членов правящей семьи Медичи, назначил его на должность преподавателя математики. Оплата была мизерной. С огромной энергией и энтузиазмом Галилей начал заниматься механикой движущихся тел, он увлеченно читал старинные книги, отделяя то, что представлялось разумным, от чепухи и проверяя утверждения и идеи с помощью эксперимента. Он с особым наслаждением раздражал последователей учения Аристотеля, доказывая им ошибочность то той, то другой их точки зрения. И хотя Галилей был прав, его запальчивость вряд ли была разумной.

«Обнаружение ошибок в устоявшихся взглядах вопреки трезвому рассудку может вдохновить и воодушевить молодого ученого. Чувство победы над противником способно повлечь резкости в выражениях, заставить смотреть на приверженца ошибочных мнений, как на врага науки. Подобно солдату, впервые обагрившему кровью врага свое копье, ученый способен запятнать свои первые достижения жестокостью… Галилей, по-видимому, вел непримиримую войну с последователями Аристотеля; и раздражение, которое возбуждали его многократные и успешные атаки, было столь велико, что до конца дней его преследовали со злобой, которую редко возбуждает простое различие во мнениях»[56].

Рассуждения Галилея о падении тел и ускоренном движении опрокинули существовавшие до того взгляды и, подобно доказательствам ложности старых доктрин, были встречены враждебно. Вокруг Галилея собирались восторженные поклонники, но одновременно росло и число врагов. Их злоба и зависть создали невыносимую обстановку в Пизе, и Галилей принял приглашение в Университет в Падуе, соседней республики Венеция. В Падуе он встретил философов, которые уже открыто говорили о том, что свободное падение тел должно происходить под действием некой силы, и сомневались в справедливости взглядов, полагавшихся на «естественное место вещей» или искавших «первопричину». Таким образом, в Падуе уже была подготовлена почва для учения Галилея.

Он читал свои лекции страстно и с поразительным мастерством, писал сочинения о движении, механике, астрономии. Но и здесь он получал столь скудное содержание, что вынужден был сдавать комнаты студентам и организовать мастерскую, в которой изготовлялись на продажу различные приборы[57].

Падуя.

На новом посту в Падуе Галилей стал приобретать все большую известность. Он любил спорить, разъяснять и доказывать свою правоту. Никто не мог превзойти его в научных дискуссиях: он начинал с того, что излагал точку зрения своих противников более ясно, чем то могли сделать они сами, а затем разносил ее в пух и прах — в этом отношении он был истинным виртуозом.

В Падуе он пробыл двадцать лет и сделал очень много в области механики, многократно выступал он и с доказательствами правильности астрономии Коперника. Лекции собирали огромные аудитории; чтобы учиться у Галилея, в Падую приезжали многие высокопоставленные лица.

Когда на небе внезапно зажглась новая яркая звезда, Галилей прочел на эту тему три лекции. Его приходили слушать толпы народа, которых он упрекал за то, что внимание их привлекло случайное явление, тогда как кругом ежедневно происходят чудеса природы, которых они не замечают. Лекции Галилея приобрели такую популярность, что огромный зал Школы медицины порой не мог вместить всех желающих и Галилею приходилось выступать под открытым небом. С неотразимой силой и убедительностью проповедовал он новую науку.

Астрономия Коперника.

В начале своей деятельности Галилей распространял идеи Коперника и доказывал его правоту спокойно, затем все более горячо и неосторожно. В своем «Диалоге» он, говоря от лица одного из собеседников, описывает, как сам пришел к убеждению в правильности теории Коперника:

«По этому случаю мне хочется рассказать вам некоторые происшествия, случившиеся со мной вскоре после того, как я впервые услышал разговоры об этом учении [системе Коперника]. Когда я был еще совсем юным и только что окончил курс философии… случилось, что некий… последователь Коперника приехал в наши края и прочел в одной академии две или три лекции на эту тему при большом стечении слушателей, вызванном, думается, более новизной предмета, нежели чем-либо другим. Я туда не пошел в твердом убеждении, что подобное мнение может быть только отменной глупостью. Когда я затем расспрашивал некоторых из присутствовавших на лекции, то услышал лишь сплошные издевательства, и только один человек сказал, что предмет этот не заключает в себе ничего смешного. Так как я почитал его за человека умного и очень рассудительного, то мне стало очень жаль, что я не пошел на лекцию, и с этого времени, встречая каждый раз сторонника мнений Коперника, я выспрашивал его, всегда ли он придерживался такого воззрения, и скольким я ни предлагал этот вопрос, я не нашел ни одного, кто бы не сказал мне, что он долгое время придерживался противоположного мнения и перешел к теперешнему под влиянием силы доводов, его убедивших. Испытывая их затем одного за другим, чтобы посмотреть, насколько хорошо они знакомы с доводами противной стороны, я убедился, что они владеют ими в совершенстве, так что поистине я не мог сказать, что они примкнули к этому мнению по невежеству, легкомыслию или, так сказать, умничая. Наоборот, скольких перипатетиков[58] и сторонников Птолемея я ни спрашивал, изучили ли они книгу Коперника (а из любопытства я спрашивал об этом многих), я нашел лишь весьма немногих, поверхностно знакомых с ней, и, думаю, ни одного, кто бы понял ее как следует. И от последователей учения перипатетиков я также старался узнать, придерживался ли кто-нибудь из них когда-либо иного мнения, и равным образом, не нашел ни одного такого. Вот почему, принимая во внимание, что среди приверженцев мнения Коперника нет никого, кто раньше не придерживался бы мнения противоположного и кто не был бы отлично осведомлен о доводах Аристотеля и Птолемея, и что, наоборот, среди последователей Птолемея и Аристотеля нет никого, кто придерживался бы ранее мнения Коперника и оставил его, чтобы перейти на сторону Аристотеля, принимая, говорю я, это во внимание, я начал думать, что тот, кто оставляет мнение, впитанное с молоком матери и разделяемое множеством людей, для того чтобы перейти к другому, отвергаемому всеми школами и разделяемому весьма немногими и кажущемуся поистине величайшим парадоксом, тот необходимо побуждается и даже принуждается к этому достаточно сильными доводами. Поэтому, мне кажется, любопытно, как говорится, испить до дна…»[59].

Учение Галилея о движении.

В Пизе и Падуе Галилей собрал и привел в систему свои познания и идеи в области механики, которые он значительно позже изложил в трактате «Две новые науки». Одним из первых было его открытие замечательного свойства маятников; период колебания маятника (при малых амплитудах) не зависит от амплитуды. Существует легенда, что Галилей открыл это свойство маятников еще будучи студентом в Пизе при наблюдении затухающих колебаний паникадила в соборе. Галилей не имел точных часов (ведь именно он-то и открыл принцип действия точных часов), поэтому он пользовался для отсчета времени собственным пульсом[60]. Позднее он использовал свое открытие в медицине, сконструировав регулируемый маятник для счета пульса.

На одной из ранних стадий своей деятельности Галилей исследовал движение падающих тел и пришел к выводу, что существовавшее до тех пор представление о том, будто тяжелые тела падают быстрее, чем легкие, причем их скорость пропорциональна их весу, неправильно. Это представление восходит к Аристотелю, который, вероятно, рассматривал конечную скорость в случае очень долгого Падения, когда трение о воздух возрастало до тех пор, пока не начинало уравновешивать силу тяжести. Принимать это рассмотрение за закон падения тела из состояния покоя — бессмыслица, которую, однако, по прошествии столетий догматического учения стали считать неоспоримой. Галилей наблюдал, что тела, имеющие разные массы, падают с одинаковой скоростью, если не считать относительно малых отклонений, которые он объяснял сопротивлением воздуха. Он заметил, что раскатанный в тонкий листок кусок золота падает значительно медленнее, чем целый кусок. Он предложил произвести следующий решающий опыт: понаблюдать за падением кусочка свинца и клочка шерсти в пустоте, но в то время этот опыт осуществить было невозможно. Впоследствии он был проделан Ньютоном. Галилей возмущался последователями Аристотеля, утверждавшими, что за время, за которое пушечное ядро весом 100 фунтов падает на высоту 100 футов, мяч весом 1 фунт упадет всего лишь на 1 фут.

Реальный эксперимент, по его словам, приводит к различию в расстоянии, равному всего лишь ширине нескольких пальцев. «Как вам удается — спрятать 99 футов за двумя пальцами?» — спрашивал Галилей, высмеивая своих противников.

Галилей доказал правильность своего предположения о том, что все тела падают с одинаковой скоростью, сравнивая колебания маятников с легким и тяжелым грузами. Оказалось, что период колебания маятника, не зависит от веса груза. Движение маятника представляет собой как бы «замедленный» вариант падения, при котором можно точно измерить интервалы времени (можно измерять время нескольких колебаний и брать среднее, чтобы увеличить точность измерений); при этом трение практически отсутствует. (Поскольку период колебаний не зависит от амплитуды, то в этом случае трение о воздух не будет играть роли. Трение будет уменьшать амплитуду колебаний, но это не имеет значения!) Этот результат соответствует представлениям Ньютона о массе и тяготении, которые были сформулированы и развиты намного позднее. Тяжелый предмет весит больше, чем легкий, поэтому Земля сильнее его притягивает. С этой точки зрения мы должны были бы ожидать, что тяжелый предмет будет падать быстрее. Однако он содержит большее количество вещества (материи) или массы (термин, введенный позднее Ньютоном). Тяжелый предмет имеет большую «инерцию», нежели легкий, и нуждается в большей силе для своего ускорения[61]. Поэтому если эксперимент показывает, что тяжелые и легкие предметы падают с одним и тем же ускорением (или совершают одинаковые колебания вроде маятника), то это значит, что более тяжелый предмет имеет массу настолько большую, насколько больше его вес. Это замечательное свойство силы тяжести, согласно которому Земля притягивает тела с силой, пропорциональной их инертным массам. Галилей, по-видимому, принимал это положение, не доискиваясь его причины. В своих исследованиях силы и движения он не дал четкого определения массы. Это было сделано Ньютоном. В наш век, когда выяснилось, что масса связана с энергией, она приобрела новое значение.

Чтобы подробно исследовать падение тела, Галилей воспользовался наклонной плоскостью. Он описывает следующий эксперимент: шар катится по длинной, очень пологой наклонной плоскости — по доске с желобом, оклеенным гладким пергаментом (фиг. 87).

Фиг. 87. Опыт Галилея.

Время, в течение которого шар проходил отрезок пути, измерялось с помощью простых водяных часов: экспериментатор взвешивал количество воды, вытекающее через узкое отверстие из сосуда с водой. Измерения времени и расстояния находятся в следующем соотношении:

РАССТОЯНИЕ, ПРОХОДИМОЕ ТЕЛОМ ИЗ СОСТОЯНИЯ ПОКОЯ, ПРОПОРЦИОНАЛЬНО КВАДРАТУ ВРЕМЕНИ.

Неизвестно, действительно ли Галилей сам произвел этот опыт или просто описал опыт, произведенный еще до него. Как бы то ни было, измерения были грубые, хотя Галилей считал, что установил правильный «закон». С помощью остроумных геометрических доказательств он показал, что этому закону должно с необходимостью подчиняться движение с постоянным соотношением Δv/Δt.

Таким образом, катящийся шар движется с постоянным ускорением. С помощью экстраполяции, переходя от малого наклона к большему и, наконец, к падению по вертикали, Галилей доказал, что свободно падающие тела имеют постоянное ускорение; следовательно, он получил закон, которому подчиняется их падение.

На произвольной наклонной плоскости сила, вызывающая ускорение, должна быть одинакова на всем пути. (Это — постоянная составляющая веса шара.) Таким образом, Галилей уже получил часть второго закона Ньютона: постоянная сила вызывает постоянное ускорение.

Рассматривая холмы с различными склонами, Галилей почти вплотную подошел к главному соотношению второго закона Ньютона: ускорение пропорционально силе; но это соотношение он выражал в геометрической форме, что не позволяло выявить роль силы. Галилей разработал экспериментальные методы науки о движении, которыми можно было пользоваться при решении самых разнообразных задач: о полете снарядов, движении маятников, планет, а позднее о движении различных механизмов и даже составных частей атомов.

Скорость у подножия холма.

Галилей пришел к такому выводу: если шар катится вниз с одной наклонной плоскости А, а затем вверх по другой наклонной плоскости В, то он докатится до первоначального уровня, каков бы ни был наклон. Это привело его к очень важному общему допущению, на основании которого он сделал много предсказаний. Вообразим себе несколько различных склонов А₁, A₂, A₃ одной и той же высоты, примыкающих к склону В (фиг. 88).

Фиг. 88. Идеальный случай движения «с горки на горку».

Если предположение Галилея правильно, то шар должен подняться на одну и ту же высоту по склону В, независимо от того, с какого склона А он спустился. У подножия холма, перед тем, как шар начнет подниматься по склону В, он будет иметь импульс, необходимый для того, чтобы подняться на склон В до точки, соответствующей той же высоте. Этот импульс должен, следовательно, быть одним и тем же у подножия холмов А₁, A₂ и т. д., т. е. одним и тем же для всех склонов. Поэтому шар должен иметь одну и ту же скорость у подножия любого склона. Галилей сделал на основании этого общее предположение: скорости, приобретаемые телом, движущимся по плоскостям, имеющим различные наклоны, равны между собой, если равны высоты, с которых он спускается. Мы вкратце говорили об этом свойстве в гл. 7[62], где указывали, что оно относится ко второму закону Ньютона. Галилей обобщил этот вывод на случай холмов, имеющих неровные склоны. Используя приведенные рассуждения и постоянство ускорения, Галилей получил ряд геометрических следствий для движения тел по наклонной плоскости.

Правило «с горки на горку». Успешной демонстрации опыта с шаром, скатывающимся вниз по одному склону и затем подымающемуся вверх по другому на ту же высоту, препятствует трение. В своих рассуждениях Галилей, вероятно, исходил не только из эксперимента, но и из теоретических соображений — он обладал гениальной интуицией и благодаря ей, опираясь на самые грубые эксперименты, выдвигал правильные гипотезы. Для своих коллег Галилей подкреплял гипотезу тщательными аргументами о сложных движениях вниз и вверх, так что гипотеза должна была представляться еще более правдоподобной. Рассмотрим следующий «мысленный эксперимент» Галилея (описанный позже другим автором). Предположим, что шар остановится на склоне В выше. Воспользуемся доской С (фиг. 89, а), заставим шар скатиться обратно к началу его движения по склону А и позволим ему снова скатиться со скоростью, которую он приобрел. Будем повторять этот процесс. Шар от раза к разу будет приобретать все больший и больший импульс, что является абсурдом. Если шар, поднимаясь по склону В, остановится ниже, мы должны будем производить отсчет от _{(…нечитаемый текст…)} такой подход к решению различных проблем имели большое значение. Кроме того, здесь, как и в любой другой области физики, дискуссия могла помочь выяснению данной проблемы, указать путь, по которому следует вести исследование.

Фиг. 89. «Мысленный опыт» Галилея.

_{А — шар остановился выше; б — шар остановился ниже.}

Сам Галилей доказал правильность своих рассуждений, выполнив то, что казалось невозможным, — осуществил удивительно простой, но убедительный вариант описанного опыта «с горки на горку», а именно опыт с гвоздем и маятником. В этом опыте гвоздь задерживает нить маятника, когда последний проходит через нижнюю точку; таким образом, маятник из длинного внезапно превращается в короткий. Во всех случаях груз маятника, падавший по длинной дуге большого радиуса, поднимается затем по дуге меньшего радиуса на ту же высоту (фиг. 90). Попробуйте сами произвести такой эксперимент. Исследуя это явление, Галилей держал в своих руках ключ и одному из аспектов закона сохранения энергии, который в общем виде был, однако, сформулирован позже.

Фиг. 90. Опыт с гвоздем и маятником.

_{Груз маятника поднимается на одну и ту же высоту, независимо от изменения движения, вызываемого наличием гвоздя.}

…???…

Действует сила, то оно продолжает двигаться с постоянной скоростью (по прямой). Хотя Галилей этого и не знал, в его руках был ключ к решению одной из загадок, связанных с движением планет.

Какие силы поддерживают движение планет, Луны и других небесных тел? Что подталкивает их вдоль направления движения по орбитам? На этот вопрос теперь можно было бы ответить: сила не нужна, так как движение этих небесных тел продолжается само по себе.

Независимость движения.

Сложение скоростей, сил и т. д. по правилу параллелограмма было только что открыто; по существу оно означало, что один вектор не оказывает влияния на другой — они действуют независимо и складываются геометрически. В своих экспериментах Галилей настаивал на том, что движения (и силы) не зависят друг от друга.

Например, ускоренное движение по вертикали и постоянное движение по горизонтали просто складываются как векторы, одно движение не влияет на другое, каждое происходит независимо. Он применил это правило к полету снарядов и показал, что их траектории являются параболами.

Галилей многократно говорил об этой независимости векторов в своих диалогах, возражая критикам теории Коперника. Последние заявляли, что если Земля движется, то падающие тела будут отставать от нее. Галилей задавал им вопрос: как ведут себя предметы, падающие с мачты корабля, который плывет с постоянной скоростью? Если его противники начинали что-то бормотать о влиянии ветра, Галилей проводил «мысленный эксперимент» в каюте корабля. Он утверждал, что воздух и облака, которые участвовали в движении поверхности Земли, просто продолжают двигаться вместе с ней и далее. Он предлагал своим читателям задачи, подобные тем, которые приводились в конце гл. 1 и 2[63], и демонстрировал, что равномерное движение лаборатории не влияет на эксперименты, связанные со статикой, со свободным падением тел, с полетом снарядов. Равномерное движение лаборатории невозможно обнаружить никакими механическими опытами, проводимыми внутри нее. В этом и заключается принцип относительности Галилея.

Отъезд из Падуи.

Галилей прожил в Падуе двадцать лет. Его стали уговаривать вернуться в родной город Пизу, в университет. Он не терял связи с семейством Медичи и теперь вел переговоры с герцогом о переходе на работу во Флоренцию, которая оплачивалась бы выше, чем его работа в Падуе, и оставляла бы больше свободного времени. Его обязанности в Падуе занимали всего лишь один час в неделю, но он вынужден был давать частные уроки, ибо получаемое жалованье было все еще слишком скудным, хотя преклонявшийся перед ним университет уже несколько раз увеличивал его содержание. «Он устал от университетов, от чтения лекций, от преподавания, от квартирующих у него студентов; ему надоели длинные мантии, которые он высмеивал в сатирических поэмах… от душной и мелочной атмосферы Падуи… Он хотел жить на родине, дышать родным воздухом, жить свободно, среди друзей, выбранных им самим»[64]. Ему необходимо было свободное время для исследований и изложения своих идей, нужна была поддержка влиятельных лиц. Галилей обещал герцогу, что, получая большее жалованье, он напишет ряд книг: «…две книги о системе Вселенной, обширное сочинение, включающее Философию, Астрономию и Геометрию; затем три книги о движении, три книги о статике, две о демонстрации принципов, одну о проблемах, а также книги о звуке и речи, о свете и цвете, о приливах и отливах, о составлении непрерывных величин, о движении животных и о военном искусстве»[65]. Одно это перечисление дает некоторое представление о широте интересов Галилея и о той страстности, с которой он предавался научным исследованиям.

Телескоп.

Готовясь к переезду из Падуи в Пизу и Флоренцию, Галилей случайно услышал об изобретении телескопа. Пронесся слух, будто какой-то голландец, занимающийся изготовлением очков[66], изобрел такую комбинацию двух линз, которая позволяет увеличивать и как бы приближать отдаленные предметы. Услышав об этом, Галилей, разместив в зрительной трубе две линзы, сконструировал простой телескоп всего с трехкратным увеличением.

В качестве первой линзы он воспользовался слабовыпуклой линзой, а в качестве окуляра — вогнутой линзой. Этот прибор по всей вероятности, отличался от того изобретения, о котором он слышал, так что можно считать, что именно Галилей изобрел театральный бинокль («opera glass»), который мы теперь иногда называем телескопом Галилея. Он был в восторге от прибора, и слава об этом чуде вскоре широко распространилась. Толпы народа стремились посмотреть в телескоп. Венецианский сенат намекнул, что был бы не прочь иметь такой прибор, и Галилей незамедлительно подарил им экземпляр. Вскоре после этого его жалованье удвоилось!

В свой телескоп Галилей наблюдал Луну, планеты и звезды, испытывая, по его словам, «невероятное восхищение». Если вам никогда не приходилось видеть Луну в телескоп возьмите простой полевой бинокль и попытайтесь это проделать.

Фиг. 92. Телескоп Галилея.

_{А — две металлические трубы, из которых одна скользят внутри другой, с двумя линзами; б — окуляр, сильная плосковогнутая линза; в — объектив, слабая плосковыпуклая линза.}

Наблюдая Луну, Галилей увидел парней горы и кратеры. Он даже примерно оценил высоту лунных гор по отбрасываемым ими теням. Эти наблюдения были встречены враждебно теми, кому с детства внушали, что Луна — шар с гладкой поверхностью.

Горы и кратеры придавали Луне сходство с Землей, а это противоречило учению Аристотеля, который проводил резкое различие между грубой, подверженной изменениям и разрушениям Землей и вечными, совершенными небесами. Телескоп нанес вый удар старой астрономии с ее идеальными сферами.

Люди по большей части консервативны и не любят, когда пришелец, упорно доказывающий свою правоту, ломает их привычные представления. Их отнюдь не радует что-то новое, они возмущаются, когда опровергают их поверья, особенно когда вера внушена им в детстве — ощущение прочности покидает их. И Галилей обнаружил, что его открытие многих просто злит. Он предлагал тем, кто приходил к нему, лично убедиться в том, что он прав, и многие, посмотрев в телескоп, действительно приходили в восхищение, однако некоторые отказывались смотреть, а кое-кто, и посмотрев, продолжал утверждать, что не верит в его открытие. Один последователь Аристотеля допускал, что горы на Луне существуют, но считал, что долины между ними заполнены невидимым хрустальным веществом, дополняющим поверхность до идеальной сферы.: На это Галилей возразил, что в таком случае на Луне могут существовать и горы из невидимого хрусталя, высота которых в десятки раз больше!

Хорошие линзы было трудно достать, и Галилей сам шлифовал и полировал их в своей мастерской. Ол делал это лучше других, и его телескопы оказывались намного совершеннее. И все же телескоп Галилея (сохранившийся во Флоренции) дает, конечно, несравненно худшее изображение, нежели современные приборы.

Галилей построил второй телескоп с восьмикратным увеличением, затем третий — с тридцатикратным. Последний потребовал особенно много усилий: ведь придать куску стекла правильную форму — задача трудная и кропотливая, а качество прибора в значительной степени зависит именно от тщательности полировки. В новом телескопе планеты выглядели яркими дисками. Звезды тоже казались ярче, а расстояния между ними больше, но они по-прежнему представлялись лишь точками. Галилея очень радовало, что он мог видеть в свой новый телескоп гораздо больше звезд. Светлая дымка Млечного Пути превратилась в мириады звезд.

^{(…очень плохое качество сканирования…).}

Фиг. 93. Фотография Луны в последней четверти (Ликская обсерватория).

_{Солнечный свет, падая на вершины гор вблизи края тени, выявляет грубый ландшафт, наблюдавшийся в телескоп Галилея.}

^{(…очень плохое качество сканирования…).}

Фиг. 94. Современная фотография лунных гор (Ликская обсерватория).

_{Часть фотографии фиг. 93, увеличенная примерно в 6 раз. Пик внизу снимка, отбрасывающий длинную тень, — горы «Питон».}

Фиг. 95. Эскиз горы «Питон» и ее тени.

_{Так определяются высоты лунных гор.}

Спутники Юпитера.

С помощью нового телескопа Галилей сделал еще более важное открытие. Ночью 7 января 1610 г. он наблюдал три небольшие звезды, расположенные вблизи Юпитера, на одной прямой (фиг. 96), две к востоку от Юпитера, а одна к западу. Галилей принял их за неподвижные звезды и не обратил на них особого внимания, но на следующую ночь, случайно вновь взглянув на Юпитер, обнаружил теперь все три звезды уже к западу от Юпитера, причем расположены они были ближе друг к другу, чем в предыдущую ночь. Последнее обстоятельство, т. е. сдвиг, он объяснил движением Юпитера, но потом сообразил, что в таком случае Юпитер должен был бы двигаться в обратном направлении, ибо находился в то время на обратной части петли. Это уже было поистине загадочно. Галилей с нетерпением ждал следующей ночи, чтобы снова провести наблюдения, но небо было покрыто облаками. На следующую ночь, т. е. 10 января, были видны лишь две звезды к востоку от Юпитера. Вряд ли Юпитер мог передвинуться на значительные расстояния с запада на восток за один день и затем с востока на запад за два дня. Галилей решил, что «звезды» сами должны двигаться, и стал наблюдать за ними (см. фиг. 96). Так он открыл четыре маленьких спутника Юпитера.

Понаблюдайте сами за Юпитером в небольшой телескоп, даже в долевой бинокль. Вы не сможете не заметить его спутников и увидите их яснее, нежели это удалось тогда Галилею, использовавшему простые линзы.

Фиг. 96. Наблюдения спутников Юпитера, производившиеся Галилеем.

_{Эти рисунки представляют собой копию собственноручных зарисовок Галилея. Орбиты спутников лежат примерно в плоскостях, проведенных через прямую, соединяющую находящегося на Земле наблюдателя с Юпитером, поэтому спутники часто находятся то впереди Юпитера, то позади него или же попадают в отбрасываемую им тень. Так как их движение по орбитам происходит быстро, то приведенные картинки тоже быстро меняются и на них часто можно видеть не все четыре спутника, а лишь три или два.}

Кеплер, получив письмо Галилея и узнав об этом открытии, разделил его восторги, хотя наблюдение спутников Юпитера, казалось бы, противоречило представлениям Кеплера о существовании всего шести планет. Философы — последователи Аристотеля отнеслись к этому открытию не очень благожелательно, ибо наличие «лун» у Юпитера умаляло исключительную роль Земли и подтверждало теорию Коперника. Один из таких философов рассуждал следующим образом:

«Голова имеет семь окон — две ноздри, два глаза, два уха и рот; небеса имеют две благоприятные звезды, две неблагоприятные, две освещающие Землю и один Меркурий, нерешительный и безразличный. На основании этих и других подобных же явлений природы, например из существования семи металлов и т. д., которые утомительно было бы все перечислить, мы приходим к выводу, что число планет с необходимостью должно быть равно семи. Кроме того, спутники Юпитера невидимы невооруженным глазом, поэтому не могут оказывать влияния на Землю. Следовательно, если бы они и существовали, то были бы бесполезны. А потому они не могут существовать…».

Галилей писал Кеплеру:

«О мой дорогой Кеплер, как мне хочется от души посмеяться вместе с вами! Здесь, в Падуе, есть профессор философии, которого я многократно и настойчиво просил посмотреть на Луну и планеты в мой телескоп, но он упрямо отказывается. Почему вас нет здесь? Как бы мы похохотали с вами над этой восхитительной глупостью! А послушать только, как профессор философии в Пизе рассыпает перед великим герцогом логические доказательства, стараясь как бы с помощью магических заклинаний изгнать новые планеты с неба!».

Юпитер и его спутники представляли собой нечто вроде миниатюрной модели Солнечной системы Коперника — неоспоримое доказательство правильности его теории. Кеплер воспользовался измерениями Галилея для грубой проверки применимости третьего закона к спутникам Юпитера. Он нашел, что третий закон применим и в этом случае, хотя отношение R³/T² отличается от значения, соответствующего планетам Солнечной системы. В таблице на стр. 174 приведены современные, более точные данные. С тех пор был открыт ряд еще более отдаленных спутников, меньших размеров. Сейчас известна дюжина таких спутников.

* _{Размеры орбит спутников проще всего выражать через диаметр Юпитера. Для проверки третьего закона Кеплера радиусы можно выражать в тех же единицах, если же эти данные нужны в теории тяготения (например, для сравнения массы Юпитера с массой Солнца), то следует пользоваться в обоих случаях одними и тени же единицами, скажем милями.}

** _{Проверку легко произвести благодаря удачному выбору единиц — миль и часов.}

Возвращение в Пизу и Флоренцию.

Когда Галилей согласился переехать во Флоренцию, ему пришлось отказаться от должности профессора в Падуе. Неожиданный отказ был встречен крайне недоброжелательно, поступок расценили как неблагодарный и даже нечестный. Однако новый пост сулил большие возможности. Галилей переехал во Флоренцию, потеряв некоторых своих друзей. Теперь у него оставалось больше времени для работы, но решение о переезде в общем оказалось неразумным, так как это было возвращение не только к друзьям, но и к врагам. (В студенческие годы Галилей был известен как «крикун и спорщик», он неистово нападал на тех кого называл «бумажными философами».) Галилей был искренним, но не очень тактичным человеком; противодействие, которое встречали его открытия и доводы, не столько огорчало его, сколько вызывало в нем чувство торжества. «Профессора — последователи Аристотеля, приспособляющиеся ко времени и обстоятельствам, иезуиты, занимающиеся политикой священники, а также робкие, но вполне почтенные люди, которые вечно опасаются всяких новшеств как в религии, так и в науке, объединились против деспотичного философа, поставившего под угрозу их знания»[67].

Во Флоренции Галилей с помощью своего нового телескопа продолжал изучать планеты и вскоре сделал новые открытия. Он обнаружил, что у Сатурна сбоку имеются какие-то выступы, как бы прикрепленные к нему. В современные телескопы Сатурн имеет вид большого яркого шара, окруженного плоским кольцом, напоминающим поля шляпы; теперь известно, что это кольцо состоит из пылевидных частиц, возможно кусочков льда, которые независимо друг от друга движутся вокруг Сатурна — целое полчище, иллюстрирующее третий закон Кеплера. В телескоп Галилея кольцо не было различимо и казалось, что по бокам Сатурна имеются еще две планеты. Затем Галилей обнаружил, что у Венеры существуют фазы, подобные фазам Луны. Этот факт явился уже прямым подтверждением теории Коперника. Галилей обнаружил также пятна на Солнце — движущиеся и изменяющиеся темные участки. Еще один удар, нанесенный представлению о непорочности небес!

Галилей со своим телескопом совершил необычайно успешную поездку в Рим, где его встретили с энтузиазмом. В то время телескоп являлся чудом, и церковь одобрила открытия Галилея.

Неприятности.

Галилей вернулся в Пизу с намерением написать большой трактат о строении Вселенной. Система Коперника казалась ему правильной именно вследствие своей простоты. Она неоспоримо подтверждалась наблюдениями с помощью нового телескопа. Вращение Земли устраняло необходимость в представлении о казавшемся невероятным суточном вращении внешней сферы звезд, увлекаемой как бы «огромным приводным ремнем, идущим неизвестно откуда»[68], со странными передаточными механизмами к внутренним сферам. Предположение о том, что неподвижное Солнце находится в центре, а вокруг него вращается Земля как одна из планет, упрощало движение многих небесных светил и позволяло предсказать то, что Галилей видел в телескоп. Ему удалось увидеть даже модель Солнечной системы в виде Юпитера и его спутников. Но теория Коперника противоречила поэтичной библейской астрономии, которую проповедовала как римская католическая, так и протестантская церковь. Как раз в то время, когда Галилей с уверенностью почувствовал, что может доказать правильность теории Коперника, недовольство церкви внезапно усилилось. На Галилея стали нападать в проповедях, а доводы, которые он приводил в ответ, секретно отсылались инквизиции, в Рим. Друзья из Рима предостерегали Галилея, что доктрины Коперника находятся под серьезным сомнением. Ученики и друзья Галилея, включая самого герцога, благородно встали на его защиту, но он сам навлек на себя серьезные неприятности, начав писать вызывающие публичные письма о священном писании и о науке. В этих письмах он утверждал, что язык Библии следует понимать не буквально, а метафорически, когда речь идет о науке. Библия, по его словам, объясняет нам явления духовного порядка, а не явления природы; при этом он цитировал слова некоего кардинала: «Святой Дух учит вас тому, как попасть на небо, но не тому, как это небо устроено».

Так как священное писание и природа — создание одного и того же божественного творца, то они не могут противоречить друг другу, но служат они различным целям, и церковь не должна заставлять астрономов не верить в то, что они видят собственными глазами. Люди не должны осуждать книгу Коперника, не прочитав ее и не постаравшись ее понять. Таков был его открытый выпад.

Власти в Риме еще больше взволновались. Церковные астрономы, возмущенные писаниями Галилея, перестали его поддерживать. Встревоженный, Галилей поехал в Рим, чтобы самому выяснить сложившуюся обстановку. Но и там он продолжал непрерывно спорить как с друзьями, так и с врагами; «он не мог объяснить этим людям того, что в состоянии были понять только он и Кеплер: что три науки — математика, физика и астрономия стремятся к соединению, которое сделает их неотразимыми и создаст физическую науку о небесах»[69]». Тем временем церковь назначила группу экспертов по теологическим вопросам для исследования учения Коперника; эти эксперты высказались по поводу двух основных утверждений Галилея следующим образом:

УТВЕРЖДЕНИЕ, ЧТО СОЛНЦЕ НЕ ДВИЖЕТСЯ «неверно и абсурдно с точки зрения философии и является еретическим». УТВЕРЖДЕНИЕ, ЧТО ЗЕМЛЯ ДВИЖЕТСЯ И ВРАЩАЕТСЯ «неверно и абсурдно и по меньшей мере ошибочно с точки зрения религии».

Галилей оставался в Риме, чтобы, как он считал, помочь дискуссии пойти по правильному руслу. Его вызвали и сказали, что доктрина Коперника осуждена как «ошибочная». На книгу Коперника наложен запрет — ни один благочестивый католик не должен читать ее до тех пор, пока она не будет «исправлена». А сам Галилей не смеет ее отстаивать или защищать истинность доктрины. Галилей выждал некоторое время, чтобы его нельзя было обвинить в трусости, и вернулся домой, как подобало благочестивому католику, испытывая, однако, горькое разочарование.

Во Флоренции Галилей оставался еще лет шесть. За это время был избран новый папа, который относился к науке более дружелюбно, чем его предшественник, к тому же он был другом Галилея.

Несмотря на плохое состояние здоровья, обрадованный Галилей предпринял утомительную поездку в Рим, чтобы поздравить нового папу; на этот раз его приняли великолепно. Он получил несколько аудиенций, папа оказал ему почести и вручил богатые подарки. Галилей даже попытался осторожно доказывать папе правильность системы Коперника, подчеркивая ее простоту. Кардиналы сдержанно молчали, но сам папа заметил: «Церковь не осуждает эту систему. Ее следует осудить не как еретическую, а лишь как опрометчивую». Однако, когда Галилей стал настаивать на своих взглядах, папа резко ответил, что прежний запрет остается в силе. Он посоветовал Галилею не ограничивать мудрость господа научной схемой: господь может создать любую схему по своему желанию — ловкий аргумент, способный, остановить развитие любой науки. Однако в конце концов папа позволил Галилею написать книгу, поясняющую доказательства, приводимые как в пользу теории Коперника, так и в пользу теории Птолемея. В книге должна содержаться лишь теоретическая дискуссия, предоставляющая высшей мудрости церкви решать, что есть истина.

Великий диалог.

Галилей вернулся домой разочарованным, но все же польщенный оказанными почестями. Он был уверен в том, что получил разрешение написать давно задуманную книгу о строении Вселенной. Но он был слишком доверчив и недооценил церкви. Он продолжал тайно проповедовать идеи Коперника и писал свою книгу. Написал он ее в форме диалога — в те времена вполне обычная форма изложения. После некоторых затруднений с церковными цензорами, один из которых был личным другом Галилея, его книга была опубликована[70].

Диалог начинается с предисловия, обращенного к «благоразумному читателю», и выглядит самым неблагоразумным выпадом против инквизиции. Диалог ведется между Сальвиати, философом, который излагает точку зрения Коперника с помощью доводов Галилея, Сагредо, который, являясь как бы адвокатом Сальвиати, задает вопросы, указывает на возникающие трудности и оживляет диалог своим остроумием, и Симпличио, упрямым последователем Аристотеля и Птолемея, которого каждый раз побеждает своими доводами Сальвиати и подымает на смех Сагредо.

Фиг. 97. Титульный лист первого издания «Диалога».

Диалог был написан не по-латыни для ученых, а по-итальянски — для широкого круга читателей и изобиловал подробными рассуждениями и остроумными доводами. По словам одного из критиков, — это «непринужденное жизнеописание всего духовного мира того, времени»; по существу это выдающееся объяснение природы движения, земного и небесного, с исчерпывающими доказательствами правильности схемы Коперника. Диалог содержит много прекрасных идей и доказательств, но в нем имеются и серьезные ошибки. Галилей был великим ученым, но новая наука, которую он проповедовал, была еще не закончена и порой не ясна. Галилей никогда не понимал, что круговые орбиты не требуют подталкивания в направлении движения.

Он считал, что вертикальное падение присуще земным телам, а круговое движение — небесным телам (согласно Аристотелю), несмотря на то, что отлично понимал роль инерции в земной механике.

Галилей никогда не признавал эллиптических орбит Кеплера, может быть потому, что именно круговые орбиты считал необходимыми, а может быть потому, что представлял себе, насколько близки действительные эллиптические орбиты планет к круговым. Он считал, что приливы и отливы вызываются «дыханием Земли» — еще более нелепое объяснение.

Книга Галилея оказалась популярной и очень убедительной.

В противоположность ей книга Коперника была трудна — мало кто понимал ее истинное значение, к тому же она была запрещена. О ней велись разговоры и происходили тайные дискуссии, но большинство образованных людей не могло сложить воедино всей этой головоломки, которая благодаря приказанию свыше оставалась разобранной на части. Эту задачу выполнил Диалог — «собрал все воедино и впервые продемонстрировал картину в целом. Галилей не излагал в книге технических проблем; в Диалоге имелось много незаконченных мыслей и дерзких предположений. Однако книга соответствовала уровню образования людей того времени и непреодолимо убеждала их в правильности излагаемых идей. Это был заряд динамита, подложенный мастером своего дела»[71].

Слухи об этой мощной атаке на узаконенное церковью представление о строении Вселенной дошли до Рима и стали известны папе, который, хотя и был другом Галилея, приказал инквизиции запретить книгу и вновь подвергнуть проверке взгляды Галилея.

Дряхлый и больной Галилей был вызван в Рим. Там с ним в общем неплохо обошлись, признавая, что он выдающийся ученый, и предоставили ему даже удобное жилище, но инквизиция продолжала строгую проверку, формулируя его еретические высказывания и заставляя Галилея защищать свои идеи. Галилей знал, что его книга содержит опасные высказывания, но он ведь писал ее, получив на это разрешение. Первоначальный запрет был наложен лишь на утверждение, что астрономия Коперника истинна; правда, Галилей повиновался этому запрету не всегда и неискренне. Он чувствовал себя в безопасности до тех пор, пока не был представлен документ, по всей вероятности подложный, из которого следовало, будто бы Галилей обещал никогда не распространять и вообще не обсуждать систему Коперника. Теперь обвинение становилось очень серьезным: еретическое учение и написание книги, несмотря на клятву этого не делать. Не отрекшемуся от ереси и не раскаявшемуся еретику угрожали пытки. Галилей находился в большой опасности. Он нарушил приказ церкви; он изложил систему Коперника и опубликовал ее в виде книги (под очень сомнительным предлогом, что это лишь теоретические рассуждения); он даже осмелился критиковать интерпретацию, даваемую священным писанием. Могущественная и безжалостная церковь, которая жестоко преследовала сомневающихся и приговаривала к сожжению на костре непокорных еретиков, не могла, конечно, стерпеть столь вызывающего поведения. За стенами инквизиции с Галилеем обращались хорошо, да и в суде сначала к нему относились снисходительно; с ним спорили, предлагали привести доводы в защиту своих убеждений. Но его допрашивал суд, который обладал правом не только применить физические пытки, но и опирался на духовное превосходство церкви. Здоровье Галилея ухудшалось, а его все вызывали на допросы снова и снова. Однако он не отказывался от своих убеждений. Один из ведущих допрос, дружелюбно настроенный к Галилею, посоветовал ему сознаться в том, что он написал свой труд, движимый ложной гордыней, в этом случае его оставили бы в покое. Потеряв надежду доказать свою правоту, Галилей, наконец, согласился. Однако верховный суд церкви не был удовлетворен столь мягкой формой признания и продолжал настаивать на безоговорочном отказе от прежних убеждений. Галилей был вызван на «строгое следствие». Из судилища он вышел только через три дня. Неизвестно, насколько далеко зашла инквизиция в своем давлении на него. Физическим пыткам его не подвергали — он был слишком стар, однако ему пришлось пройти все ужасы моральных истязаний. В ходе допроса Галилей согласился полностью отречься от своих убеждений, взять назад свои еретические утверждения и признать неправильными прежние взгляды. Галилей принял приговор инквизиции как раскаивающийся грешник; не забудьте — он был набожным, хотя и любящим спорить, сыном церкви. Встав на колени, он прочитал требуемое отречение и поклялся никогда не верить в учение Коперника и не пытаться снова его распространять. Отречение представляло собой длинный документ, состоящий из унизительных извинений, признания ошибок, полного отказа от прежних взглядов, и все это под угрозой самых суровых наказаний. Стоя на коленях, Галилей подписал отречение.

Существует легенда, будто Галилей, поднявшись с колен, пробормотал: «А все-таки она (Земля) вращается!», но вряд ли это так. Поблизости не было друга, который мог бы услышать эти слова, к тому же Галилей был стар и совершенно подавлен. По словам Бертрана Рассела, «произнес это не Галилей, а весь мир».

Некоторое время Галилей находился в заключении, затем ему было разрешено вернуться домой, но на определенных и очень жестких условиях. Здоровье его пошатнулось, однако мысль, по его словам, была еще «слишком живой для столь немощного тела». Он написал большую книгу «Две новые науки». Она содержала описание его исследований ускоренного движения (которые легли затем в основу законов Ньютона), исследований упругости бревен и его обоснование исчисления бесконечно малых. Это был не популярный труд, а подробное специальное изложение. Работая над этой книгой, Галилей ослеп на один глаз, а вскоре и совсем лишился зрения. Он говорил по поводу своего несчастья: «Увы! Ваш верный друг и слуга полностью и непоправимо ослеп. Эти небеса, эта Земля, эта Вселенная, которую я, вопреки представлениям прежних веков, своими наблюдениями, в тысячу раз увеличил, для меня теперь сжались в узкую нору, которую я сам занимаю. Так угодно господу, поэтому и для меня это должно быть хорошо». Теперь ему была предоставлена большая свобода и, несмотря на тяжелую болезнь, он с помощью друзей продолжал писать. Но здоровье все ухудшалось, и в возрасте 78 лет он умер.

Спор науки с церковью.

Труды Галилея, его лекции и дискуссии выявили разногласия между авторитарными представителями церкви и независимыми учеными. Своим резким поведением и убедительностью доказательств он навлек неприятности не только на себя, но и на науку в целом.

Биографы Галилея расходятся во взглядах на его конфликт с римской католической церковью, отражая тем самым собственные взгляды. Некоторые изображают его почти мучеником, находившимся под угрозой пыток со стороны фанатичной инквизиции, подозреваемым и преследуемым пленником, которому запрещалось провозглашать открытые им великие Истины; при этом церковь выступала как главный злодей, защищавший суеверия и предрассудки и старавшийся подавить в интересах догматической науки разъяснение простых явлений природы, что должно было бы укреплять всемирную религию. Другие считали, что Галилей сам навлек на себя беды горячими спорами и той оскорбительной манерой, с которой он старался рассеять заблуждения своих противников; эти историки изображали его неблагодарным по отношению к церкви, которая старалась разобраться в его учении и помогала ему материально; они указывали на то, что конфликт Галилея с церковью возник в результате его нападок на священное писание, т. е. в результате его прямого вмешательства в область, подвластную лишь церкви. Некоторые же сожалели о его раболепном поведении, о том, что он не стал мучеником науки, но это слишком жестокие упреки тому, кто почти всю жизнь был далек от раболепия.

Бертран Рассел пишет:

«Конфликт между Галилеем и инквизицией — это не просто конфликт между свободной мыслью и фанатизмом или между наукой и религией: это конфликт между методом индукции к методом дедукции. Те, кто верит в дедукцию как в метод познания, вынуждены где-то искать свои предпосылки, обычно в священном писании. Дедукция — это метод выяснения истины, которым обычно пользуются юристы и верующие. Как метод познания дедукция терпит крах, когда возникают сомнения в правильность ее предпосылок, и те, кто в нее верит, должны неприязненно относиться к сомневающимся в непреложности истин священного писания. Галилей подвергал сомнению и учение Аристотеля, и священное писание и разрушал, таким образом, все здание средневековой науки. Его предшественники считали, что знают, как был создан мир, каково назначение человека, сокровенные тайны метафизики и принципы, управляющие поведением тел. Ничто во всей Вселенной, считали они, — ни духовное, ни материальное — не скрыто от них, ничто не таинственно, нет такого, что было бы невозможно изложить с помощью силлогизмов. А что по сравнению со всем этим богатством оставлял своим последователям Галилей? Закон падения тел, теорию колебаний маятника, эллипсы Кеплера? Можно ли удивляться тому, что разрушение накопленного богатства вызывало возмущение. Несколько истин, доказанных Галилеем, затмили тусклый свод средневековых представлений, подобно тому, как восходящее солнце своим сиянием затмевает бесчисленное множество звезд…. При противопоставлении желаемого действительному знания достаются с трудом. Даже слабое соприкосновение с реальным знанием выбивает почву из-под фантазии. Но знание приходит с большим трудом, нежели предполагал Галилей, и многое из того, что он считал правильным, оказалось лишь приближенно верным. Галилей сделал первый большой шаг к накоплению надежных и имеющих общий характер знаний. Поэтому его можно считать прародителем современной науки. Как бы мы ни относились к порождениям нашего времени — росту народонаселения, прогрессу медицины, поездам, машинам, радио, политике, рекламе мыла — все это идет от Галилея. Если бы инквизиция захватила Галилея, когда он был молодым, мы возможно и не были бы свидетелями, с одной стороны, атомного оружия и отравляющих газов, а с другой, — уменьшения бедности и болезней, которые характерны для нашего века»[72].

Главная ошибка и Галилея и церкви состояла в том, что схема Коперника рассматривалась не как гипотеза или часть «теории»; спор шел о том, истинна она или ложна.

«…было бы совершенно неверно утверждать, что церковь запретила Галилею продолжать научные эксперименты. Конфликт Галилея с церковью не имел ничего общего с его экспериментами. Он стал развиваться, если отвлечься от причин чисто личного порядка, со времени его отказа рассматривать по требованию церкви теорию Коперника как гипотезу, что в свете современной теории относительности представляется не столь уж неразумным требованием. О Галилее существует, вероятно, столько же мифов, сколько о любом святом»[73].

Сам Галилей, с его любовью к истине, мог более трезво относиться к теории Коперника как к гипотезе, хотя в механике он верил в абсолютно неподвижное пространство. Новое научное течение было враждебно встречено приверженцами классического учения, хотя их предшественники в эпоху Возрождения могли с радостью пойти ему навстречу. Церковь, занятая поддержанием своего духовного и политического могущества, его страшилась. (Еще при жизни Галилея Джордано Бруно был сожжен на костре за свои еретические взгляды, в частности за то, что пользовался астрономией Коперника. Согласно Бруно, если принять, что внешняя «сфера» звезд находится в покое, то звезды могут быть распределены в пространстве бесконечно далеко — мириады солнц, расположенных в небесах на сколь угодно больших расстояниях от Земли. Такое расширение границ нашей Вселенной было потрясающим новшеством для средневекового ума.).

Диалог был занесен в число запрещенных книг, и отречение Галилея читалось с амвона церквей и с кафедр университетов, «чтобы другим неповадно было». Новая протестантская церковь оказалась столь же нетерпимой. Выйдя из-под власти папы, ее руководители придавали еще больше значения буквальному толкованию Библии.

Мартин Лютер отзывался о Копернике, как о «глупце с вывернутой наизнанку астрономией». Не только в Италии, но и в других странах новая наука порицалась и строго запрещалась еще полстолетия.

Эта борьба отнюдь не исключение. Нечто подобное происходит почти в каждом веке. Противоречия между условиями жизни и сознанием людей, возможностями и верой приводят к борьбе между консервативными элементами, отнюдь не принадлежащими к одному и тому же слою общества, и передовыми кругами, причем причины не всегда одни и те же. В каждом веке, от Галилея до наших дней, эти битвы обычно кажутся столь серьезными, что быть на стороне борцов за новое или даже разделять их взгляды небезопасно… Спустя одно-два поколения обе стороны зачастую сожалеют о возникшей между ними вражде, однако сколь это ни печально, человечество извлекает из этого еще мало уроков.

Из поколения в поколение возникающие споры каждый раз кажутся столь же важными и серьезными, какими они представлялись и в те времена. Мы приводим ниже замечание, сделанное рукой Галилея на полях принадлежащего ему экземпляра «Диалога»:

«По поводу введения новшеств. Ну, кто может сомневаться в том, что новшества, стремящиеся сделать рабами чужой воли умы, созданные богом свободными, не могут не привести к сильнейшей смуте? Требовать, чтобы люди отказывались от собственных суждений и подчинялись суждениям других, и назначать лиц, совершенно невежественных в науке или искусстве, судьями над людьми учеными, наделяя их властью обращаться с последними по своему усмотрению, — это такие новшества, которые способны довести до гибели республику и разрушить государство».

Какой бы ни выглядела жизнь Галилея в описаниях историков, его труды лежат в основе физики и служат фундаментом для всех его последователей. Они служат основой знаний, на которой им уже в то время была построена механика.

Глава 20. Семнадцатый век.

«Великие идеи извлекаются из общего котла интеллектуального развития. Они редко выпекаются в индивидуальных очагах по обычным рецептам». Джеймс Ньюмен.

Тысячелетие астрономии.

В течение более чем ста веков от возникновения первых цивилизаций до Галилея астрономия прошла путь от наивных представлений, порожденных любопытством первобытного человека и его страхом перед природой, до хорошо организованной науки, готовой предоставить человечеству огромную лабораторию Вселенной для проведения исследований по механике, лежащей в основе всей физики. На протяжении многих столетий астрономией занимался лишь узкий круг составителей календарей и священников, и только изредка появлялся человек с пытливым умом, более наблюдательный, чем остальные, старающийся извлечь из запутанного клубка наблюдений суть нового закона. Пользуясь суеверием людей и их страхом перед непонятными явлениями природы, процветала астрология. Но подобно алхимии, которая много сделала для развития химии, развитию астрономии на ранних стадиях способствовала именно астрология. Затем стали появляться философы и ученые, стремящиеся к приобретению знаний ради самих знаний. Они старались извлечь из наблюдений довольно грубые рабочие схемы движения планет, Луны и Солнца. Они старались понять, чем обусловлены движения небесных светил, придумывая при этом причины, которые кажутся сейчас фантастичными и слишком сложными.

Много столетий астрономия, если не считать немногих способных наблюдателей, находилась как бы в спячке, тогда как цивилизация постепенно готовилась к новому пробуждению. В это мрачное время господствовало учение церкви и метод дедуктивных доказательств. Традиция заменяла эксперимент, предрассудки властвовали над наукой. И все же росла необходимость в науке — в в медицине, в навигации. Все чаще и чаще слышались настойчивые требовании: «Наблюдайте то, что происходит; прекратите споры о том, что должно произойти». Предрассудки отступали на задави план, оттесняемые экспериментальными наблюдениями и выводами, которые из них извлекались.

Эпоха Возрождения.

В течение трех столетий, предшествовавших XVII веку, в Европе росли и распространялись идеи Возрождения — возникали новые взгляды в искусстве и литературе, возникали новые течения в религии. Крепкие тиски традиционной схоластики слабели, вековое невежество уступало место изучению греческих авторов в оригиналах; производство бумаги и рождение печати повсеместно способствовали распространению знаний, усиливался всеобщий интерес к науке; благодаря развитию навигации возникали новые рынки, новые богатства, новое отношение к окружающему, а также новые возможности интеллектуального развития; стали развиваться свободнее искусство и ремесла, помогая проявлению беспокойного и жаждущего знаний человеческого ума.

В эпоху Возрождения постепенно родилось представление о том, что человек свободен в своих поступках и не может быть рабом и хранителем традиций того круга, к которому он принадлежит. В эту эпоху люди с энтузиазмом стремились к приобретению знаний, а общие тенденции духовного развития подготовили почву для развития в XVII столетии науки: «…гуманисты… сыграли главную роль в том процессе расширения умственного горизонта, который и сделал возможным развитие науки. Если бы не они, люди с научным складом ума никогда не сбросили бы интеллектуальных оков предвзятых теологических мнений; без них внешние препятствия могли бы оказаться непреодолимыми»[74].

В эпоху Возрождения жил человек, ученый, опередивший свое время на одно или даже на два столетия, — Леонардо да Винчи. Он был гениален во всем, за что бы ни принимался, — в живописи, скульптуре, архитектуре, в технических изобретениях, физике, биологии, философии… — он считал наблюдение и эксперимент единственным правильным подходом к науке. «Он с презрением отвергал алхимию и астрологию… природа была для него не чем-то таинственным, а повседневным, предметом первой необходимости».

Он доверял логическим выводам арифметики и геометрии, так как они были основаны на концепциях универсальной истины; однако наука; по его мнению, должна быть основана на эксперименте.

Он говорил: «Бесполезны и полны ошибок те науки, которые не родились из эксперимента, матери всех фактов, и которые нельзя свести к одному ясному эксперименту». Его собственные исследования и опыты в области искусства, архитектуры, техники помогли приобрести обширные познания в различных областях науки: обнаружить свойства движения; сформулировать задолго до Галилея первый закон Ньютона в простой форме; изучить свойства потоков и давления жидкости, волн в воде и звуковых волн в воздухе; утвердить невозможность вечного движения. Он изучал также оптические явления, свойства глаза, законы перспективы. Имеются основания считать, что за 200 лет до Гюйгенса Леонардо да Винчи сконструировал маятниковые часы. Он считал, что окаменелости свидетельствуют о геологической истории Земли. Можно предположить, что именно он открыл систему кровообращения; он изучал анатомию человека и оставил целый ряд прекрасных рисунков, выполненных им при вскрытии трупов. Об этом свидетельствуют дошедшие до нас рисунки и отрывочные заметки в записных книжках. «Если бы он опубликовал свои работы, наука могла бы сразу продвинуться далеко вперед и занять место которого она достигла лишь столетием позже»[75].

«Прогресс».

Возникло представление о прогрессе как некая новая точка зрения на развитие общества. Теперь мы считаем прогресс очевидной целью — прогресс в благосостоянии, образовании и т. п. — и могли бы счесть, что наши предки тоже всегда стремились к прогрессу. Однако в течение многих столетий люди старались следовать давно сложившимся традициям «золотого» века, и идея прогресса была им совершенно чужда. Передовые взгляды в эпоху Возрождения дали новый толчок развитию науки.

Семнадцатое столетие.

Гелиоцентрическая система Коперника распространялась все быстрее и быстрее по мере того, как появлялись новые экспериментальные подтверждения, расширялась свобода слова и возможности преподавания. Тихо Браге и Кеплер проанализировали движение планет и вывели на основе этого анализа простые общие «законы». Галилей создал и развил механику; он спорил, учил и провозглашал свои идеи, стремясь утвердить науку, основанную на реальных фактах. Это был громадный прогресс от первоначальных, исполненных благоговейного страха. наблюдений за планетами и затмениями до телескопа Галилея и законов Кеплера. Для этого потребовалось десять тысяч лет, и если этот срок покажется вам слишком долгим, вспомните, что речь идет всего лишь о четырехстах человеческих поколениях. И разве так уж велик этот срок для того, чтобы от наивных суеверий перейти к фактам, определенным с математической строгостью? Многие считают такой прогресс быстрым. Однако за три или четыре поколения последующего столетия наука, основанная на множестве экспериментов, сделала значительно большие успехи.

В первые годы XVII века начался новый этап развития науки. Кеплер и Галилей вели свои исследования. Астрономия была уже готова предоставить человечеству для исследований по механике огромную лабораторию, причем такую, в которой отсутствовало трение. Проведение экспериментов стало модным занятием. К началу XVIII века полученные на основе наблюдений законы движения планет были использованы для проверки общих законов механики. Ньютон разработал новый метод научного исследования, в котором построенная наугад теория должна была давать большое разнообразие результатов по методу дедукции — методу, который был известен с давних времен, однако теперь результаты и выводы следовало проверять с помощью эксперимента. Дедуктивный метод, опасный и малонаучный при словесных доказательствах, занял теперь надлежащее место в науке, обеспечивая реальную связь между теорией и экспериментом. Изменения в политической, социальной и религиозной структуре западной цивилизации предоставили науке большие возможности. На протяжении всего лишь столетия наука расцвела и стала очень популярной; экспериментальные исследования и реалистические аргументы прочно вошли в жизнь.

В создании механики и разработке теоретических основ астрономии принимали участие многочисленные ученые. Одни изобретали новые или совершенствовали приборы, необходимые для физиков, хотя последние сами «ковали» необходимые инструменты, другие старались применить новый экспериментальный подход в новых областях науки. Благодаря все возрастающему обмену знаниями началось одновременное развитие многих наук. Ученые стяжали своей стране славу, и королевские милости им оказывались за это, а не из-за суеверий и страха перед неведомыми опасностями, как то бывало прежде. Кроме того, считалось, что ученые могут приносить пользу не только торговле и различного рода производствам, но и в период войн. Это был первый вклад ученых в промышленность[76], за что их деятельность в настоящее время так поощряется!

В это же время стали создаваться различные научные общества. Во Флоренции, а также в Париже были основаны Академии наук, в Лондоне — Королевское общество. Эти организации способствовали выходу науки из дебрей средневековья. Они оказывали поддержку экспериментальным исследованиям, поощряли дискуссии и обмен мнениями, но самым большим вкладом в развитие науки была публикация научных трудов. Ученым больше уже не приходилось ограничиваться личной перепиской для сообщения с своих научных открытиях. Теперь эти открытия проверялись на опыте, обсуждались, а затем публиковались в печати. С ними можно было ознакомиться и применить их на практике. Оживленная и широкая дискуссия способствовала, тому, что научные проблемы буквально «витали в воздухе»; наступила эпоха быстрого прогресса.

Основными вехами явились имена Коперника, Тихо Браго, Кеплера, Галилея и Ньютона. Но в создании науки XVII века велика заслуга и многих других ученых. Мы приводим здесь краткие сведения о некоторых из них; труды этих ученых были связаны с физикой и астрономией. Большие успехи были достигнуты также в развитии биологии и медицины (исследования системы кровообращения, механизма дыхания, исследования по эмбриологии…).

Уильям Гильберт (1540–1603). Врач, проводил опыты по магнетизму, написал на эту тему прекрасную книгу. Проводил также опыты по электростатике. Фрэнсис Бэкон (1561–1626). Блестящий публицист, создавший систему исследования на основе эксперимента и индукции. Его система не была практична и не внесла значительного уклада в развитие науки. Бэкон отвергал работы Гильберта и Галилея и отрицал теорию Коперника. Однако он способствовал распространению представления о том, что природу нужно исследовать с помощью различного рода экспериментов, а не только описывать и обсуждать ее проявления. Рене Декарт (1596–1650). Философ и математик. Родился во Франции в богатой семье; жизнь его протекала без особых забот, но свершил он много. Внес большой вклад в философию, математику, а также в анатомию. Исследуя оптические явления и движение тел, он был близок до некоторой степени к открытию законов Ньютона. Предложил остроумную теорию вихрей для объяснения гравитации, сил сцепления и движения планет. Самый большой вклад Декарта в науку — введение прямоугольной системы координат х и у, позволяющей получать алгебраические уравнения для кривых, касательных и т. д. Это открытие подготовило почву для создания дифференциального исчисления, которое позволило с помощью подобных графиков вычислять площади и строить касательные не путем измерений, а на основе решения уравнений. Такая система координат была названа в честь Декарта «декартовой» (или «картезианской»). Отто фон Герике (1602–1686). Сконструировал действующую модель вакуумного насоса и применил ее для демонстрации существования атмосферного давления с помощью «магдебургских полушарий» — больших полых полусфер, которые нескольким упряжкам лошадей не удавалось растащить в разные стороны, если из шара, образуемого этими полусферами, предварительно был выкачан воздух. Евангелиста Торричелли (1608–1647). Физик, создал первый барометр. Блэз Паскаль (1623–1662). Богослов и ученый. Заложил основы теории вероятностей. Установил закон распределения давления в жидкости. Роберт Бойль (1626–1691). Великий экспериментатор, изучавший физику вакуума, законы поведения идеальных газов, химию. Один из первых членов Королевского общества. Написал трактат «Химик-скептик». Христиан Гюйгенс (1629–1695). Математик и физик, создатель волновой теории света. Сконструировал очень точные часы (вероятно, первую модель маятниковых часов) с корректирующим устройством, учитывающим незначительное увеличение периода маятника при большой амплитуде. Занимался исследованиями в области механики и еще до Ньютона вывел выражение v²/R для центростремительного ускорения. Роберт Гук (1632–1702). Начал заниматься научной работой как ассистент Бойля, но вскоре достиг значительных успехов, и получил большую известность как экспериментатор и как теоретик. Его соперничество с Ньютоном приносило ему много огорчений; гениальные труды Ньютона затмевали его собственные и умаляли его достижения. Если бы не это соперничество, в котором победителем оставался гений Ньютона, Гука можно было бы считать одним из величайших ученых XVII века. Гук с горечью утверждал, что некоторые достижения Ньютона в области механики фактически открыты им, Гуком, еще раньше. Гук был одним из первых членов Лондонского Королевского общества. Эдмунд Галлей (1656–1742). Астроном, друг Ньютона. Много сделал для того, чтобы помочь публикации «Принципов» Ньютона. Один из наиболее значительных членов Королевского общества.

Наука.

В тот период наука развивалась по пяти основным направлениям: 1) по мере роста свободы слова росло и общее значение науки, основанной на эксперименте; 2) происходило накопление фактических знаний и теории, объясняющей полученные результаты; 3) развивались математические методы для решения тех или иных задач; 4) изобретались и конструировались новые приборы для проведения экспериментов и, наконец, 5) изменялись научные методы и отношение к науке.

1) Возросшее значение науки. На примере жизни Галилея мы уже видели, как возросло значение науки в ту эпоху. Отец Галилея считал математику да и науку вообще плохо оплачиваемым и малоуважаемым занятием, и все же Галилей, несмотря на бунтарский нрав, в конце жизни был уважаем как один из величайших людей в мире. Ньютону, Бойлю и Гуку не приходилось отстаивать свои научные позиции; они спорили лишь о своих открытиях, а не о праве на само открытие. Они писали свои труды, не страшась осуждения и не боясь показаться смешными, их заботили лишь приоритет и слава. Дискуссии и публикации трудов помогали науке становиться общенародной и универсальной. Так истинность науки начала воздействовать на человеческий разум.

2) Накопление знаний. Научные достижения XVII века значительны и многообразны: к ним следует отнести законы Кеплера, открытие кометы Галлея, закон Гука, открытие Гарвеем системы кровообращения, открытия Бойля в области химии и его закон для идеальных газов.

3) Достижения в области математики. Была изобретена декартова система координат. Графики связали алгебру с геометрией, с одной стороны, сводя геометрические формы и преобразования к сжатым алгебраическим выражениям, а с другой — позволяя наглядно представлять алгебраические уравнения.

На графике I фиг. 98 изображена проходящая через начало координат прямая линия, на которой нанесены точки (x₁, y₁), (x₂, y₂)…. Из подобия треугольников следует, что отношения y₁/x₁, y₂/x₂…. равны между собой, т. е. одинаковы для любой точки на прямой. Обозначим эту постоянную k. Тогда каждая точка на прямой будет представлена парой значений (например, x₁, y₁), удовлетворяющих соотношению у/х = k или у = кх. Это и есть алгебраическое описание графика, а прямая представляет собой геометрический образ данного соотношения. Если у и х — результаты физических измерений (например, s и t² для падающего тела), то прямая линия выражает соотношение y = (const)x, или у ~ х, а наклон прямой определяет постоянную.

Фиг. 98. Графики в декартовой системе координат.

График II иллюстрирует уравнение у = kх + с. В этом случае мы не можем сказать, что у ~ х, но можем сказать, что Δу ~ Δх.

На графике III изображена окружность, причем.

Для точки P_1.

X²₁ + у²₁ = R^2.

Для точки P_2.

X²₂ + у²₂ = R^2.

Таким образом, уравнение этой окружности имеет вид.

X²+ у²= R^2.

Его можно переписать так:

X²/R² + y²/R² = 1.

Эллипс можно получить равномерным растяжением окружности.

Нарисуйте окружность на листе резины и растяните этот лист (фиг. 99).

Фиг. 99. Растяжение окружности в эллипс.

Радиус R превратится в полуоси а и b. Окружность в соответствии о уравнением x²/R² + y²/R² = 1 и с площадью круга πR² = π∙R∙R превратится в эллипс, описываемый уравнением…?.. = 1 и площадью =?

Таким образом, с помощью декартовой геометрии эллиптические орбиты можно записать в виде алгебраических уравнений.

Возникли две серьезные математические проблемы, связанные с вычислениями: определение угла наклона касательных к кривым и площадей под кривыми с помощью математики, т. е. создание методов дифференцирования и интегрирования. Тангенс угла наклона касательной определяет скорость изменения функции. Вычисления сводятся просто к нахождению скорости изменения функции в некоторой точке. Это позволяет нам вычислять ускорения из выражения, описывающего изменение скорости, или скорости из выражения, связывающего расстояние и время. (Например: если s = 16t², то v = 32t; отсюда следует, что а = 32, т. е. постоянное значение.) Интегрирование — операция сложения бесконечно большого числа бесконечно малых величин: нахождение площади путем сложения элементов исчезающе малых размеров (как и в случае второго закона Кеплера) или нахождение силы притяжения между телами конечных размеров путем суммирования сил притяжения бесконечно малых элементов объема этих тел.

Вы уже пользовались графиками и вычислениями ранее, при решении задачи о колесе, катящемся вниз с холма.

1. ЭКСПЕРИМЕНТ —> ГРАФИК. Вы наносите на график зависимость s от t². Точки изображают события. Проведенная через эти точки прямая представляет собой совокупность фактов.

2. РАЗМЫШЛЕНИЯ —> ТЕОРИЯ. Предположите, что ускорение постоянно, рассматривая это как возможный простой закон природы. Вычислите необходимое соотношение между s и t. При интегрировании будут складываться все маленькие расстояния, проходимые с возрастающей скоростью; при этом получится, что при постоянном ускорении s должно меняться пропорционально t².

3. ПРОВЕРКА. Проведите через начало координат прямую, представляющую теоретическое соотношение s ~ t². Если ваши точки лежат близко к этой прямой, то это значит, что движение колеса происходит с ускорением, близким к постоянному. Прямая линия на вашем графике «пробная»; проводя ее, вы отвечаете на вопрос, «имеет ли место движение с постоянным ускорением». Проведя на вашем графике наиболее подходящую к экспериментальным точкам кривую, вы подтвердите вашу гипотезу — и получите таким образом закон, справедливый в данном случае.

4) Развитие приборостроения. Новые приборы, как и новые математические методы, могут способствовать быстрому развитию науки. Семнадцатый век был веком многочисленных изобретений в области приборостроения: телескоп, микроскоп, вакуумный насос, барометр, маятниковые часы, первые термометры — все эти приборы содействовали необычайным успехам экспериментальной физики и науки в целом.

5) Отношение к науке и новые методы. От древних греков до Галилея наука создавалась теми, кто собирал, наблюдал, составлял и размышлял[77]. Собиратели накапливали знания, которые были столь бессистемны, что их вряд ли можно было назвать наукой. Те, кто составлял схемы, систематизировали эти знания и извлекали из них правила, которые служили практическим целям, ибо позволяли зачастую суммировать факты и даже делать предсказания. Эти правила вместе с накопленными знаниями и методами для приобретения новых знаний и положили начало новой науке. Тем временем мыслители были заняты объяснениями, т. е. утверждениями, которые позволяли бы связать полученные знания между собой и обеспечить их лучшее «понимание» и восприятие. Многие объяснения или доводы рождались только на основе размышлений, почти вне связи с опытом.

Например, эпициклы объяснялись «идеальностью кругов», а принцип действия барометра — «невидимыми нитями, которые тянут ртуть вверх». Некоторые объяснения были не более чем простой констатацией фактов, вроде авторитетного заявления, что природа «устроена именно так»; например, поведение падающих тел объяснялось тем, что они стремятся занять «естественно наиболее низкое место на земле».

Человек должен был получить уверенность в том, что внешний мир устроен просто, в противном случае его одолевал бы страх перед неизвестным и он запутывался бы во все больших суевериях. По мере установления общих законов — схемы эпициклов, закона Гука, законов Кеплера — возрастало чувство надежности, и прежняя вера в то, что природа подчиняется определенным законам и устроена разумно, приобретала научную основу. Древние греки выводили свои объяснения и схемы явлений природы из нескольких общих идей, которые они просто принимали на веру. Например, из «совершенства кругов» они выводили эпициклы.

В течение XVII столетия дедуктивный метод рассуждений попал в немилость; в самом деле, он фактически навязывался известными авторитетами, но не имел научной основы. В середине этого столетия эксперимент стали считать реальным источником данных и проверки научных знаний. Люди занялись созданием правил или законов на основе экспериментов с помощью индуктивного метода. При этом они тоже считали, что природа проста и неизменна, т. е. что при тех же самых условиях будут снова и снова наблюдаться те же явления. Они все еще считали, что явления природы обусловлены некими причинами, однако смысл и значение этих причин оставались по-прежнему неясными.

Хотя индуктивный метод был честным методом, позволяющим выводить правильные законы, ему недоставало умения связывать явления воедино, и с его помощью нельзя было достичь того удовлетворения, которое дает настоящая теория. Ньютон, одаренный огромной интуицией, сначала рассматривал эксперимент, затем переходил к теории, а уж потом с помощью дедуктивного метода на основе этой теории предсказывал результаты, которые можно было впоследствии проверить. Таким образом, теория снова заняла свое место в науке, но уже на более надежном фундаменте. Она опять стала играть важную роль, как, например, теория всемирного тяготения, но уже не как хозяин науки, а скорее как ее слуга.

Еще позже, в прошлом веке, теория стала все более и более зависеть от того, насколько она продуктивна. Ученые спрашивали: «Может ли эта теория делать предсказания?» Если нет, ее отбрасывали или видоизменяли. Теперь такое обращение с теорией кажется нам слишком поспешным. Ее польза может заключаться не только в способности правильно предсказывать те или иные факты, но и в той схеме рассуждений, которую она нам предлагает.

Новая философия Декарта.

Точка зрения ученых на науку менялась в соответствии с духом времени. Во Франции Рене Декарт предложил новую философию, которая длительное время оказывала сильное влияние на научное мышление. Одновременно с этим Декарт предложил новую модель Вселенной, и эта модель пользовалась популярностью в течение целого столетия. Убедившись в ошибочности классической философии, Декарт стал рассматривать мир в соответствии со своими собственными мыслями и чувствами, ставя под сомнение каждый свой вывод и проверяя его. На основе своих рассуждений он пришел к дуализму — представлению о двух различных мирах, существующих совместно и одинаково реальных: мир материи, обладающий размерами, формой и движением, и мир души и ума. Подобно тому как двое часов, находящихся рядом, могут показывать одинаковое время, так и эти два мира, совершенно отдельные, находятся в согласии, потому что «бог создал их таким образом».

В этой схеме материя — это нечто совершенно мертвое, неодухотворенное, способное лишь обмениваться движением с другой материей при соприкосновении. Движение материи первоначально должно было начаться по велению бога. Таким образом, согласно Декарту, бог уже не постоянно присутствующая сила, управляющая миром, а первопричина, которая привела Вселенную в движение, установив законы этого движения и предоставив ее затем самой себе. С тех пор движение может лишь передаваться от одной части материи к другой также с помощью материи. Поэтому пространства в Солнечной системе не могут быть пустыми. Они должны быть заполнены невидимым веществом, «эфиром» — носителем этого движения. Поскольку движущаяся область эфира не может простираться неограниченно, она должна образовывать замкнутые цепи, водовороты или вихри.

Таким образом, все пространство заполнено вихрями «эфира», большими и малыми, переплетающимися и обусловливающими движение видимых тел. Планеты движутся по своим орбитам под действием огромного вихря, принадлежащего Солнцу. Земля, вовлекаемая в этот вихрь вместе с другими планетами, имеет свой собственный меньший вихрь, который притягивает к ней предметы. Падение под действием силы тяжести подобно движению соломинки на поверхности воды, которая стремится попасть в центр водоворота. В меньшем масштабе эта картина объясняет силы притяжения между малыми частицами материи.

Такая схема одних водоворотов внутри других кажется нам теперь фантастичной; однако в те времена она имела хождение, ибо объясняла Вселенную в виде огромной машины, запущенной самим богом и продолжающей затем вертеться в соответствии с законами механики. Действительно, декартова картина Вселенной без пустоты, работающей подобно огромной машине, явилась серьезным препятствием, с которым пришлось считаться Ньютону, опубликовавшему свою теорию всемирного тяготения, Ньютон допускал существование вакуума и не объяснял происхождения сил тяготения и их первопричины. Теория Декарта, казалось бы, объясняла многое, но не имела сколько-нибудь солидных оснований — вихри невозможно было обнаружить, о них можно было лишь судить по тем движениям, существование которых они должны были объяснять. Ньютон занялся критикой вихрей с математической точки зрения. Показав, что они противоречат третьему закону Кеплера, и возражая против этой теории, он заявлял: «Я не измышляю гипотез».

Итак, Декарт разрешил сомнения, придя к выводу, что, создав Вселенную, бог позаботился и о действующих в ней законах. Декарт считал, что законы природы должны быть непогрешимы, ибо, создавая их, бог не мог совершить ошибки. Такая точка зрения на законы природы оказала сильное влияние на последующее поколение ученых — Ньютон и его современники считали, что они ищут великие законы, установленные богом, но еще не открытые.

Если вам покажется странной такая точка зрения трезво мыслящих ученых, то задумайтесь над тем, что те же самые проблемы существуют и сейчас на границе естественных наук и философии: какова природа пространства (носителя электромагнитного и гравитационного полей, описываемого релятивистской геометрией)? Что означают законы природы? С какого момента следует вести отсчет времени? Будет ли время продолжаться бесконечно?

Фрэнсис Бэкон.

В то время как Декарт пытался объяснить происхождение Вселенной и ее законы на основе опирающейся на математику дедуктивной теории, в Англии Фрэнсис Бэкон пропагандировал индуктивный метод, основанный на систематических экспериментах. Он хотел достигнуть универсальных знаний с помощью организованной системы исследований, позволяющей собрать большое количество данных, на основе которых можно было бы приобрести необходимую информацию. Он считал, что наука не может идти вперед с помощью чистой дедукции и умозрительных рассуждений и не может быстро развиваться на основе случайно полученных данных. Ученые должны тщательно продумывать свои эксперименты и обрабатывать их, прибегая к индукции и строгой проверке.

Таким образом, Бэкон понимал разницу между «хорошим экспериментом» и «возней с тем или иным прибором». Если вы с удовольствием занимаетесь своей работой в лаборатории, то поймете его точку зрения, хотя, может быть, и не так-то легко сформулировать этот критерий научных исследований.

При исследовании движения колеса, скатывающегося с холма, вы следовали методу Галилея и Ньютона: собирали информацию, извлекали правила, придумывали гипотезу, делали выводы, проверяли эти выводы (строили на графике прямую) и т. д.

Фрэнсис Бэкон считал, что в науке нужны именно такие схемы; однако если вам доведется наблюдать за работой ученых, то вы убедитесь, что методы исследования бывают самые разнообразные.

Развитие физической науки нельзя уподобить шахматной игре с ее поочередными ходами; оно значительно сложнее и многообразнее. Нельзя также считать, что прогресс происходит лишь скачкообразно. Первая стадия размышлений и экспериментов может даже привести назад, к исходной точке — «вот из чего мы исходили», но при этом мы обогащаемся знаниями, которые оказываются полезными на следующей стадии (как при вторичном просмотре одного и того же фильма). По этому поводу говорят, что «наука сама себя вытаскивает за волосы».

Бэкон очень красноречиво доказывал необходимость создания организации профессиональных экспериментаторов и теоретиков. Но грандиозная схема была слишком искусственной, чтобы иметь успех; к тому же она преследовала скорее практические цели и не позволяла получить исчерпывающее понимание явлений природы. (В известной мере это похоже на неуместное рвение, которое и в наше время проявляет человек, не обладающий высокой научной квалификацией, но назначенный на пост директора большой научно-исследовательской лаборатории.) Предложения Бэкона оставались лишь бумажными схемами, но тем не менее они оказали большое влияние на членов Королевского общества, в частности на Бойля. Примерно к середине столетия «…под влиянием Бэкона искусство уступило место науке…»[78]. В настоящее время, спустя два столетия, мы видим, что в более глубоком смысле науку тоже можно считать искусством.

Развитие теории; необходимость современной науки.

Семнадцатый век был бурным веком для астрономии, как, впрочем, и для других областей науки. Начало этого века ознаменовалось накоплением фактов и законов, которые требовали объяснения. Назрела необходимость в общей теории, которая могла бы объяснить и объединить целый ряд явлений. К концу столетия запас знаний и вызываемый ими интерес возросли и расширились, однако самым важным событием явилась созданная и опубликованная Ньютоном теоретическая схема, давшая единое «объяснение» и обещавшая еще больше в будущем.

Если вы хотите постичь современную физику, вы должны изучить лежащую в ее основе теорию. Вы должны почувствовать, какая теория «правильна». Едва ли вы узнаете об этом из поучений и рассуждений относительно теории. Надо просто изучить ее на каком-либо примере. В последующих четырех главах мы опишем и обсудим теорию всемирного тяготения Ньютона.

Глава 21. Движение по окружности.

«…все науки по мере совершенствования становятся по своему характеру математическими». А. Н. Уайтхед (1911 г.).

Орбитальное движение.

Что заставляет планеты двигаться по орбитам Кеплера? Почему они находятся в постоянном движении и почему их орбиты представляют собой эллипсы? Эти вопросы вытекают естественным образом из открытий Кеплера, согласно идущей еще от философов Греции древней традиции задавать вопрос почему. Астрономы измерили и зарегистрировали то, как планеты ведут себя, т. е. их видимые движения. Коперник и Кеплер показали, каким образом движение планет может быть описано простой схемой, но на все эти «почему» они отвечали лишь в духе своего времени. Коперник допускал существование вращающихся сфер, считая, однако, что их движение должно быть проще, чем это следовало из системы Птолемея; Кеплер представлял себе некие рычаги, осуществляющие воздействие Солнца на планеты и толкающих их вдоль направления их движения; он говорил о мистическом магнетизме, придающем форму орбитам. Его рычаги были реальны только в одном смысле: они были необходимы для выражения его второго закона и дошли до нас в образе геометрических линий, прочерчивающих площади.

Задача 1. Вычитание векторов. При изучении движения планет нам будет необходимо производить вычитание векторов. Эта задача дается вам для практики. 1. Обычное (арифметическое) вычитание. Предположим, что мы хотим из 5 вычесть 2. Это можно сделать различными способами: А) можно сказать; 2, вычтенное из 5, дает 3, или то же самое, но другими словами: 5–2 равно 3; Б) можно изменить знак с + 2 на —2 и задать дополнительный вопрос: сколько будет 5 + (—2)?; В) можно подойти к задаче по-детски и спросить: сколько мы должны добавить к 2, чтобы получилось 5? Последний прием дает ключ к вычитанию векторов (или нахождению разности двух векторов). 2. Векторы. Предположим, что мы имеем «старый» и «новый» векторы и хотим найти их разность. Мы опрашиваем. «.Какой вектор нужно добавить к «старому», чтобы получить новый» вектор?» [Эта задача подобна вопросу пункта (в), однако теперь требуется выполнить геометрическое сложение.]. А) Если оба вектора, старый вектор 2 и новый вектор 5, направлены на восток, то какова будет их разность? Какой вектор нужно добавить к вектору 2, чтобы получился вектор 5? Изобразите это: Б) Если векторы (старый вектор А и новый вектор В) направлены в разные стороны так, как это показано на схеме. То что же тогда будет их разностью? «Что должно быть добавлено к вектору А, чтобы получился вектор В?» Покажите это стрелками для каждого случая. В каждом случае мы должны вычесть А из В. В) Если векторы не приложены к одной и той же точке, вы должны сначала перенести один из векторов или оба в общую точку. После этого найдите, вновь пользуясь стрелками, разность В — А для каждого случая, изображенного здесь.

Кеплеровы жесткие «рычаги», предназначенные для осуществления движения планет, вскоре оказались ненужны: новое учение Галилея представило всю проблему в другом свете. По мнению Галилея, движущееся тело, предоставленное самому себе, будет продолжать двигаться; он предложил остроумный мысленный эксперимент для обоснования такого взгляда. Поколением позже Ньютон выразил то же самое посредством некоторого рабочего правила, а именно своего первого закона:

Каждое тело остается, в состоянии покоя или прямолинейного движения с постоянной скоростью, если на него не действует сила.

Позже Ньютон более четко представил эту расплывчатую идею о движении с помощью определенного количества движения, которое можно рассчитать путем умножения массы на скорость, и сформулировал второй закон:

Действующая сила изменяет количество движения в направлении своего действия.

СКОРОСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ ПРЯМО ПРОПОРЦИОНАЛЬНА ДЕЙСТВУЮЩЕЙ СИЛЕ.

Это было эквивалентно следующему утверждению:

Произведение массы на ускорение пропорционально результирующей силе.

В период между Галилеем и Ньютоном эти новые представления о движении (к которым на ощупь шли философы далекого прошлого и которые были частично установлены Леонардо да Винчи много раньше Галилея и Декартом после него) зрели для того, чтобы сыграть свою роль в астрономии. Члены только что созданного Королевского общества, которые вскоре приветствовали пришедшего в их ряды Ньютона, горячо обсуждали законы Кеплера, задавая совершенно другие вопросы почему. Они больше не беспокоились о внешнем воздействии, направляющем планеты вдоль их траекторий. Галилей убедил их, что нет никакой необходимости в подталкивающей силе; планеты будут продолжать двигаться сами по себе, если их оставить в покое, подобно куску льда на поверхности замерзшего пруда или пуле в пространстве.

Ученые отбросили представление о кеплеровых рычагах. Вместо них были введены внутренние силы, заставляющие планеты двигаться по искривленным орбитам. Такие силы создают усилие «поперек движения» планеты и будут сообщать ей импульс в новом направлении. Что это за силы? Новый вопрос повис в воздухе.

Гук, Гюйгенс и Ньютон взялись за его решение.

Считая орбиты планет примерно круговыми и опираясь на третий закон Кеплера, они предположили, что между Солнцем и планетами существует взаимное притяжение, которое уменьшается обратно пропорционально квадрату расстояния между ними (см. следующую главу). Но может ли эта сомнительная и совершенно непонятная сила заставить планеты следовать по эллиптическим орбитам в соответствии с первым и вторым законами Кеплера?

Разобраться в этом было непосильной задачей для всех, кроме Ньютона.

Задача потребовала ясной формулировки законов движения и искусного математического аппарата. Ньютон не только решил эту задачу, но и превратил это решение в основу хорошей теории.

Прежде чем изучать его работы, следует распространить обсуждение вопроса о силе и движении на случай новых сил, искривляющих траекторию движущихся тел. Вы уже встречались с аналогичной ситуацией при рассмотрении полета снарядов, когда вследствие силы тяжести к горизонтальному движению добавляется вертикальная составляющая и в результате траектория становится криволинейной. Это ускоренное движение кажется более легким для понимания. Осмелимся сказать: «кажется более естественным», нежели равномерное движение по круговой орбите с постоянной скоростью.

Фиг. 100.

Ускорение тела, движущегося по окружности.

Рассмотрим планету, движущуюся по окружности (камень на веревке, или самолет, или атом, фиг. 101). Будут ли они иметь ускорение? Если нет, то нам трудно будет отыскать действующую на них результирующую силу, но тогда почему они не движутся вперед по прямой? Так все же не имеет ли планета ускорения' Конечно, ускорение вдоль направления ее движения отсутствует, ведь мы выбрали случай движения с постоянной скоростью. Может быть, имеется ускорение, направленное поперек движения планеты, перпендикулярно ему?

Попытаемся нарисовать векторы, с помощью которых можно было бы рассмотреть изменение (вектора) скорости. Пусть тело Р перемещается по окружности радиусом R с постоянной скоростью v, представляющей абсолютную величину вектора скорости тела Р. Направление скорости совпадает с направлением перемещения тела в каждый момент времени. В точке А вектор скорости тела v направлен, как это показано на фиг. 102, по касательной. Если тело движется с постоянной скоростью, то в точках А и В величина вектора скорости v будет одной и той же, но направление будет различным, оба вектора не идентичны. Между точками А и В происходит изменение скорости. (А вследствие этого и ускорение, а поэтому… продолжая эти рассуждения, мы доберемся до планетной астрономии.) Для определения «ускорения» рассчитаем изменение скорости и поделим его на соответствующий интервал времени. Такая процедура предусматривает вычитание векторов для нахождения изменения скорости, что уже было сделано в задаче 1 в начале этой главы.

Фиг. 102. Векторы скорости.

Вывод формулы а = v²/R.

По мере движения тело Р изменяет свою скорость от (v вдоль АТ) до (v вдоль BT'). Для определения изменения скорости построим векторную диаграмму. Перенесем эти два вектора в общую точку X и проведем линию XY, представляющую вектор скорости v в точке А, и линию XZ, представляющую вектор скорости v в точке В.

Тогда XY будет «старая скорость», a XZ — «новая скорость». Каково же изменение скорости? Какой вектор следует добавить к старому вектору скорости для получения нового вектора скорости?

Такое изменение показано с помощью отрезка YZ, представляющего собой вектор и обозначенного Δv на фиг. 103.

Фиг. 103. Изменение скорости.

_{Скорости направлены по касательным, перпендикулярным радиусам, поэтому треугольник ОАВ подобен угольнику XYZ векторной диаграммы.}

Тогда (Старый вектор v) + Δv путем сложения векторов дает (Новый вектор v).

Чтобы увидеть, куда направлен вектор Δv, изобразим заново первоначальный рисунок, но таким образом, чтобы векторы v сместились вдоль своих направлений до совмещения их точек приложения в точке С (фиг. 104).

Фиг. 104. Направление изменения скорости.

Тогда мы можем рассматривать точку С в качестве X, провести из этой точки старый вектор v и новый вектор v и провести также вектор Δv. Вектор Δv параллелен линии СО, проведенной из точки С в центр круга О. Если поместить точку В очень близко к А, то Δv будет направлен по радиусу от АВ к центру. Вектор Δv — это вектор скорости, направленный к центру круга.

Ускорение возникает только при изменении скорости[79]. Рассчитаем это ускорение путем деления величины изменения скорости Δv на интервал времени Δt, за который это изменение происходит. Время Δt равно времени прохождения телом Р расстояния по орбите между точками А и В со скоростью v. Фактически скорость v есть дуга . Для выражения Δv/Δt через v и R и т. д. мы вынуждены обратиться к геометрии, открытой современниками Ньютона. Соединим А и В хордой А‾В‾. Вся хитрость состоит (как это часто делается для решения геометрических задач) в добавлении одной вспомогательной линии, в данном случае хорды А‾В‾.

Рассмотрим теперь подобные треугольники на реальном рисунке и векторной диаграмме скоростей (фиг. 103). Радиусы ОА и ОВ на реальном рисунке образуют небольшой угол Е. Векторы скорости направлены по касательным перпендикулярно радиусам так, что вектор старой скорости v и вектор новой скорости v образуют тот же маленький угол Е[80]. Тогда на реальной картинке мы имеем треугольник ОАВ с равными сторонами R и R, образующими угол Е; на векторной диаграмме имеется треугольник XYZ с равными сторонами v и v, образующими тот же угол Е. Поэтому треугольники ОАВ и XYZ подобны. Значит, должно иметь место следующее соотношение:

(Короткая сторона, Δv / Одна из равных сторон, v) = (Короткая сторона, АВ / Одна из равных сторон, R) В некотором треугольнике Δv/v = A‾B‾/R… в реальном треугольнике Δv = v∙A‾B‾/R.

Теперь мы можем рассчитать «ускорение»:

УСКОРЕНИЕ = Δv/Δt = (v∙A‾B‾/R)/Δt = (v/R)∙(A‾B‾/Δt)

Для дальнейшего нам необходимо установить, что такое A‾B‾/Δt.

Что представляет собой [(хорда A‾B‾), деленная на (время движения от А до B)]? Мы знаем, что такое дуга . Это отношение (расстояние)/(время) на участке орбиты от А до B, т. е. скорость v. Но для очень короткой дуги, когда В близко к А, криволинейная дуга очень близка к хорде A‾B‾.

Посмотрите на серию картинок, показанных на фиг. 105.

По мере сближения А и В дуга и хорда A‾B‾ становятся все меньше, в то же время уменьшается и различие между ними[81]. Говоря математическим языком, мы приближаемся к «пределу», когда В совпадает с А. Мы никогда не достигаем этого предела, но мы можем к нему приблизиться настолько, насколько захотим, и сделать различие между дугой и хордой настолько малым, насколько захотим.

Однако мы не только можем сделать разность — A‾B‾ пренебрежимо малой — мы можем сделать пренебрежимо малым отношение (разность/хорда) или ( — A‾B‾)/A‾B‾. Это приводит к тому, что /A‾B‾ становится очень близким к единице. Таким образом, мы можем сказать, что при большом расстоянии между А и В дуга немного больше хорды, при малом расстоянии дуга примерно равна хорде, а при еще меньшем расстоянии дуга почти равна хорде. При сколь угодно малом расстоянии в пределе дуга равна хорде. Математики предпочитают описывать этот предел так: LIm(дуга/хорда) = 1. Теперь мы хотим определить ускорение в некоторый момент времени, когда В и А практически совпадают. Мы не собираемся определять значение этой величины, усредненное по большому расстоянию. Мы хотим знать предел ускорения, когда В совпадает с А. Таким образом, мы говорим: дуга = хорда, — A‾B‾. Тогда.

Дуга/Δt = Хорда/Δt, или /Δt = A‾B‾/Δt в пределе.

Следовательно,

Ускорение = Δv/Δt = (v/R)∙A‾B‾/Δt = (v/R)∙(v), в пределе (v/R)∙/Δt.

Так как /Δt есть v. Тогда ускорение Δv/Δt = (v/R)∙(v) или v²/R.

Или (Скорость на орбите)²/(Радиус орбиты)

Это соотношение ускорение — v²/R очень важно. Мы будем использовать его в теории движения планет, при изучении движения электронов, при изготовлении масс-спектрографов и конструировании циклотронов — везде, где мы сталкиваемся с движением по орбите. Было бы очень важно повторить для себя вывод этого соотношения и поверить в его значение. Поняв, как это делается, вы можете сократить вывод, ограничившись коротким объяснением, двумя эскизами и несколькими алгебраическими выражениями.

Два важных вопроса.

Полученный нами результат, ускорение = v²/R, вызывает два вопроса:

1. Каким образом может движущееся тело иметь ускорение, но не двигаться быстрее или же не перемещаться к центру круга?

2. Не нужна ли сила для ускорения тела в направлении его движения в соответствии с соотношением F = M∙a. He действует t ли на массу М, движущуюся по окружности, сила М∙v²/R.

Оба эти вопроса являются выражением тех, реальных трудностей, которые возникли сразу же, как только люди оказались перед необходимостью объяснить движение планет по орбитам. Ответ на вопрос 2 следует из эксперимента: «Да, каждое реальное движение по окружности требует наличия реальной силы, направленной внутрь, a М∙v²/R есть величина этой силы». Чтобы тело могло двигаться по окружности, на него должна действовать сила, направленная к центру. Такая сила может осуществляться с помощью какого-либо реального внешнего воздействия — веревки, пружины или силы тяготения[82].

Пример А. Вращайте камень, привязанный к веревке (фиг. 107). Вы тянете за веревку, а веревка тянет камень к центру. Веревка буксирует камень и сообщает ему некоторое количество движения в новом направлении. Представим себе, что веревка делает серию слабых рывков; рывок — и скорость изменила свое направление, еще рывок — снова изменение, еще, еще и так вдоль всей окружности. Если вы отпустите веревку, рывки прекратятся, прекратится и изменение скорости, а камень будет продолжать двигаться по касательной. (Сказать, что «камень улетает по касательной» — значит ввести в заблуждение). Вращение камня на веревке по окружности, расположенной в горизонтальной плоскости, под действием пружины или веса обеспечивает наличие внутренней силы, которую можно измерить. Ниже описаны 3 опыта. Любой из них можно использовать для проверки справедливости соотношения F = M∙v²/R.

Фиг. 107. Вращение камня на веревке.

Опыт 1. Металлический шар, связанный шнуром со стальной пружиной, равномерно вращается по кругу (фиг. 108). Пружина растягивается до некоторых пор, а затем длина R шнура + пружины остается постоянной во время вращения. Движение хронометрируется и затем рассчитывается величина силы М∙v²/R, направленной внутрь. Эта сила, фактически действующая со стороны пружины, определяется в отдельном эксперименте путем навешивания нагрузки на пружину. Чтобы увидеть, насколько растянулась пружина при вращении, необходимо некоторое устройство. Опыт 2. Металлический шар, привязанный к шнуру, равномерно вращается по кругу (фиг. 109). Шнур спускается вниз в стеклянной трубке с гладкими открытыми концами и оттягивается с помощью груза W. Двигая трубку по маленькому кругу, экспериментатор поддерживает движение шара по горизонтальному кругу. Движение хронометрируется, и определяется значение силы М∙v²/R, направленной внутрь. Эта сила, фактически действующая на шар со стороны шнура, является силой натяжения и практически равна (за вычетом незначительного трения) весу груза W. Опыт 3. В этом варианте опыта 2, когда трения нет, шар заменен тяжелым блоком, расположенным на куске сухого льда, скользящем по алюминиевому столу (фиг. 110). Шнур пропущен через отверстие в центре стола, а стеклянная трубка заменена маленьким блоком, который поворачивается в этом отверстии на очень хороших подшипниках. Пример Б. Проследите за движением «конического маятника» (фиг. 111). Гиря маятника, движущаяся по окружности в горизонтальной плоскости, подвергается воздействию двух реальных сил — веса и натяжения веревки. Если вы измерите эти силы и сложите их как векторы, вы можете найти результирующую горизонтальную силу, направленную внутрь к центру орбиты гири. Измерив параметры орбиты и время одного оборота, вы можете проверить соотношение а = v²/R. Пример В. Шарик катится внутри воронка. По эллиптической орбите (фиг. 112, а). Пример Г. Стальной шар катится по горизонтально расположенной стеклянной пластине в магнитном поле (фиг. 112, б). На практике обычно используется электромагнит, который располагается под столом. (Магнитное поле намагничивает шар так, что он притягивается к полюсу магнита. Получая подходящее ускорение, этот шар будет кататься вокруг полюса магнита.).

Фиг. 112. Примеры кругового движения с центростремительной силой.

_{А — стальной шар в стеклянной воронке; б — стальной шар на гладком столе в поле магнита.}

Пример Д. Движение Луны и планет. Задача 2. Предположим, что тело, движущееся по окружности, должно увлекаться к центру реальной силой (вызванной действием такого реального агента, как веревка, пружина, дорога). Для каждого из перечисленных ниже случаев назовите воздействие, которое обеспечивает появление необходимой силы. (Первый ответ приводится в качестве образца.). 1. Камень, вращающийся на веревке «горизонтальной плоскости. (Ответ: «Натяжение веревки» или «Его тянет веревка».). 2. а) Тележка на крутом повороте. Б) Тележка, в точке А совершающая мертвую петлю (фиг. 113). В) Тележка, в точке В совершающая мертвую петлю (фиг. 113).

Фиг. 13. К задаче 2.

3. а) Велосипедист делает крутой поворот на ровном участке дороги (фиг. 114). Б) Велосипедист делает крутой поворот на наклонном участке пути (фиг. 114). 4. Самолет в вираже. 5. Отрицательно заряженный электрон, движущийся в атоме вокруг положительно заряженного ядра.

Фиг. 114. К задаче 2.

Ускорение, без изменения скорости.

На заданный ранее вопрос 2 дает ответ эксперимент: движение по окружности требует направленной внутрь силы величиной Mv²/R. А теперь снова вернемся к вопросу: почему тело с ускорением, направленным к центру круга, не движется быстрее и не перемещается ближе к центру? Это все еще остается непонятным, хотя теперь начинает казаться, что дело тут скорее в формулировке, нежели в физической сущности явления. Факты очевидны: движение по окружности существует, и для его поддержания необходимы силы, направленные внутрь. Под действием этих сил происходит изменение количества движения, в результате чего траектория тела искривляется, изменяя направление скорости, но не меняя ее величины. Если мы хотим включить такие изменения скорости в определение ускорения a = Δv/Δt, to следует считать, что при движении по окружности ускорение действительно имеет место. Если же мы ограничимся прежним определением «ускорения» — «движущийся все быстрее и быстрее», тогда равномерное движение по кругу может и не сопровождаться «ускорением». Если мы станем на такую точку зрения, то должны будем ввести новую категорию сил в дополнение к тем, которые определяются соотношением.

«СТАРАЯ» СИЛА = МАССА∙СКОРОСТЬ ВСЕ УБЫСТРЯЮЩЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ.

Для новых сил верно другое соотношение:

«НОВАЯ» СИЛА = МАССА∙(СКОРОСТЬ)²/РАДИУС.

Как следует из эксперимента, эти новые силы могут быть реальными силами, которые должны обеспечить движение тела по окружности. Однако во избежание хлопот мы не станем вводить такого ограничения, а будем применять термин «ускорение» для всех видов Δv/Δt, ибо из опыта[83] следует, что во всех случаях соотношение F = M∙a характеризует результирующую силу. Исходя из этого мы должны произвести две серии проверок соотношения F = M∙a; одна из них связана с рассмотрением прямолинейного движения, а другая — с телами, движущимися по окружности.

Двигаясь по окружности, тело устремляется внутрь к центру, в противном случае оно продолжало бы двигаться по касательной; уходя немного по касательной, тело притягивается к центру, и так оно движется, непрерывно стремясь внутрь, но не попадая в центр. Если такая ситуация вам кажется парадоксальной, то понаблюдайте за конькобежцем, выписывающим небольшие круги на льду, — он все время как бы падает, наклонившись вперед (фиг. 115).

На вопрос 1 следует ответить так: ускорение перпендикулярно направлению движения и поэтому не увеличивает скорости в этом направлении. Добавляясь к нулевой скорости, это ускорение увлекает тело по орбите постоянного радиуса.

Центростремительная или центробежная сила?

Сила, которая тянет тело к центру орбиты, изменяя лишь направление скорости, называется центростремительной. В противоположность этому сила, которая приводит к тому, что тело удаляется от центра, называется центробежной. Вы часто слышите эти названия, но, к сожалению, этот термин вводит в заблуждение, когда его применяют к движущимся телам. Конечно, существует направленная наружу центробежная сила, действующая на «партнера», расположенного в центре, например на человека, который держит веревку с вращающимся на ней камнем. Такой подход вносит путаницу в определение силы, действующей на движущееся тело. Поэтому термина «центробежная сила» лучше избегать. Однако, поскольку он широко распространен, особенно среди инженеров, мы должны будем вернуться к нему позднее и вкратце обсудить его значение.

Центростремительная сила. Mv²/R.

Если масса М движется по окружности с радиусом R с постоянной скоростью v, то должно существовать реальное воздействие, обеспечивающее необходимую силу, равную Mv²/R (фиг. 116, а). Если результирующая реальных сил, действующих на М, больше Mv²/R, то скорость тела будет увеличиваться в направлении к центру и оно будет двигаться по свертывающейся спирали. Если действующие силы слишком малы, то траектория будет представлять собой раскручивающуюся спираль (фиг. 116, б). Существует много механических систем, в которых, как показано в приводимых ниже примерах, эта сила соответствует необходимой величине. Теперь мы подробно рассмотрим некоторые примеры движения по окружности — от камня на веревке до современной центрифуги.

Фиг. 216. Движение по окружности.

Камень вращается на веревке. Веревка растягивается до тех пор, пока ее натяжение не станет равным силе Mv²/R, тянущей внутрь.

Тележка в «мертвой петле». На тележку действует сила тяжести и сила со стороны рельсов. Если пренебречь трением, то можно считать, что сила, действующая со стороны рельсов, направлена перпендикулярно им. Продолжите это обсуждение, отвечая на вопросы задачи 3.

Задача 3. Предположим, что тележка выполняет мертвую петлю, как это показано на фиг. 117. Чтобы тележка двигалась по окружности, в точке А должна действовать некоторая сила.

Фиг. 117. К задаче 3.

А) Какое направление должна иметь эта сила? Б) Что обеспечивает эту силу? В) Какая другая сила (силы) должна действовать в точке А на тележку? Г) Какое влияние должна оказывать эта другая сила (силы) на движение тележки? [Замечание. Отвечая на вопрос (г), забудьте про силы, о которых говорилось в вопросах (а) и (б). Это — реальная сила, и она должна присутствовать. Она играет особую роль. Здесь не имеет смысла заниматься сложением векторов, чтобы получить результирующую силу.]. Для движения тележки по окружности необходимо, чтобы в точке В была приложена сила. Д) Какое направление должна иметь эта сила в точке В? Е) Как обеспечивается наличие такой силы? Ж) Если тележка движется значительно медленнее, то потребуется много меньшая сила, Почему? З) Почему сила в точке В может оказаться слишком большой? Что произойдет, если эта сила будет слишком велика? Езда на велосипеде. Когда велосипедист движется по горизонтальному кругу, реальное воздействие должно обеспечить внутреннюю, центростремительную силу. На неровной дороге таким воздействием будет трение, оно обеспечивает горизонтальную силу, которая толкает шины в сторону. (На ледяной дорожке трение практически отсутствует и велосипедист не сможет сделать поворот, он будет проскальзывать вперед, считая, что вопреки желанию скользит в противоположную сторону.) При повороте велосипедист наклоняется вбок. Наклон сам по себе не увеличивает силы трения, но он необходим, ибо иначе сила, действующая на колеса со стороны дороги, опрокинет велосипедиста. Если он вместо прямой дороги движется по наклонному треку, то нет больше необходимости в боковой силе трения* наклонный трек отталкивает велосипедиста от своей поверхности с силой, которая имеет вертикальную компоненту, уравновешивающую его вес, и горизонтальную компоненту, которая обеспечивает необходимую центростремительную силу. Самолеты. Пилот, совершая разворот, должен наклонить машину таким образом, чтобы давление воздуха толкало ее по направлению к центру круговой орбиты. При повороте «подъемная сила» должна быть намного больше (это обеспечивается элеронами[84]), чем во время устойчивого горизонтального полета, когда она как раз уравновешивает вес самолета. Сам пилот тоже должен двигаться по кривой, и ему тоже необходимо некоторое направленное к центру давление. В наклоненном самолете на пилота с необходимой силой действует его кресло. А что же происходит с циркуляцией крови к голове пилота (направленной к центру виража)? Кровь должна не только участвовать в развороте, но и циркулировать от сердца к голове. Сердце должно нагнетать кровь с большим усилием, чтобы обеспечить достаточное питание мозгу, в противном случае кровь не достигнет мозга и пилот потеряет сознание или временно ослепнет. В нормальном состоянии, когда вы стоите неподвижно, ваше сердце прокачивает m килограммов крови вверх с силой (m 9,8) ньютон, чтобы обеспечить циркуляцию крови. Если самолет летит быстро (велика v) по кривой с малым R, сила, необходимая для прокачивания крови от сердца к голове, m(v²/R), может во много раз превысить (m 9,8). Сердце пилота может оказаться неспособным обеспечить эту силу m(v²/R), и тогда возможна временная слепота. Если вы ложитесь, а не стоите, нагрузка на сердце уменьшается. Если пилот не сидит в таком положении, чтобы его голова была направлена к центру кривизны его траектории, а ложится вдоль этой кривой, он может не терять сознания гораздо дольше.

Фиг. 118. Самолет делает мертвую петлю.

Фиг. 119. Силы воздушного давления на крылья и корпус толкают самолет по направлению к центру круга в петле и при повороте.

Фиг. 120. Когда человек находится в покое, стоит или лежит, сердце должно обеспечить приток крови к мозгу.

На фиг. 121 показаны результаты некоторых опытов. Центростремительное ускорение самолета v²/R выражено в единицах g.

Электроны в атомах. В одной из последующих глав мы рассмотрим строение атома, считая, что электроны вращаются по орбитам вокруг ядра.

Мы предполагаем, что законы Ньютона применимы и в данном случае и что сила m∙v²/R обеспечивается электрическим притяжением.

Молочные сепараторы и центрифуги. Если вращать по кругу привязанный к веревке сосуд с жидкостью (фиг. 122), то к каждому участку жидкости будет приложена центростремительная сила m∙v²/R, ибо в противном случае сосуд не мог бы двигаться по круговой орбите. В каждом случае направленная вовнутрь сила равна.

(ПЛОЩАДЬ)∙(ДАВЛЕНИЕ НА НАРУЖНОМ КОНЦЕ) — (ПЛОЩАДЬ)∙(ДАВЛЕНИЕ НА ВНУТРЕННЕМ КОНЦЕ).

Фиг. 122.

Эти давления зависят от радиусов и скоростей, но не от содержания образца. Поэтому сила, создаваемая внешним воздействием, одинакова во всех случаях (для данного объема), но сила, необходимая для поддержания кругового движения, зависит от целостности образца, и как следствие — разделяющее действие. Некоторый участок объема жидкости (фиг. 123) движется по окружности и поэтому требует направленной внутрь результирующей силы для удержания его на круговой орбите. Такая сила должна быть обеспечена разностью давлений жидкости на его концах. Давление на внешний конец участка жидкости должно быть больше давления на его внутренний конец.

Фиг. 123.

Таким образом, имеется постепенное увеличение давления по мере приближения ко дну сосуда. Весьма похожее на обусловленный силой тяжести вертикальный перепад давления в стоящем сосуде. Однако в быстро вращающемся сосуде давление может быть намного больше. Пузырек воздуха или нечто легче жидкости будет испытывать это давление, но при очень малом m и m∙v²/R будет очень мало.

Легкое тело получило бы ускорение и увлекалось бы вовнутрь (к оси вращения). Сначала по мере движения вовнутрь тело будет двигаться ускоренно, пока не достигнет скорости, при которой внутреннее трение в жидкости в точности уравновесит дополнительную силу. Тогда.

СИЛА, НАПРАВЛЕННАЯ ВОВНУТРЬ (из-за большого давления на внешнем конце) — СИЛА, НАПРАВЛЕННАЯ ВОВНЕ (из-за меньшего давления на внутреннем конце) — ТОРМОЖЕНИЕ БЛАГОДАРЯ ВНУТРЕННЕМУ ТРЕНИЮ (из-за движения жидкости вовнутрь) = РЕЗУЛЬТИРУЮЩАЯ СИЛА, (направленная вовнутрь, равна требуемой силе m∙v²/R)

Именно так получают сливки во вращающемся молочном сепараторе. На более плотные частицы, например на песчинки в мутной воде, действует такая же внутренняя сила, обусловленная давлением. Но для их удержания на круговой орбите требуется гораздо большая сила, нежели в случае пузырька воздуха; таким образом, песчинки будут двигаться по раскручивающейся спирали и попадут во внешнюю часть сосуда. Возьмем теперь сосуд с мутной водой, содержащей пузырьки воздуха. Если поставить ее на стол, муть будет оседать, а пузырьки воздуха из-за трения в жидкости медленно и равномерна двигаться вверх. Если вращать этот сосуд на веревке, то муть будет осаждаться, а пузырьки подниматься гораздо быстрее. Такие центрифуги позволяют ускорять осаждение тонких взвесей и даже разделять в воде крупные белковые молекулы.

Фиг. 127. Центрифуга.

Венский вальс. Танцующая пара вращается вокруг общей оси, держась друг за друга (на одном или на обоих каблуках, фиг 128).

Партнеры тянут друг друга вовнутрь; эта тяга обеспечивает необходимые центростремительные силы. Даже если масса партнера А больше массы партнера В, натяжения одинаковы и противоположно направлены (третий закон Ньютона). Эта «система» так подбирает радиус своей орбиты, чтобы силы уравновешивались.

В результате партнеры вращаются вокруг оси, проходящей через их общий центр тяжести. А теперь найдем алгебраическое выражение для такого танцевального вращения (фиг. 129).

Предположим, что А и В имеют массы М₁ и М₂ и вращаются вокруг общей оси по окружности с радиусами R₁ и R₂ со скоростями v₁ и v₂. Оба совершают один оборот за время Т. Тогда v₁ = 2πR₁/T и v₂ = 2πR₂/T (т. е. v₁/v₂ = R₁/R₂, хотя это и не необходимо). Обе центростремительные силы должны быть равны и противоположны друг другу, так как они обусловлены действием и противодействием танцоров. Таким образом,

М₁v²₁/R₁ = М₂v²₂/R_2.

Или.

М₁∙(2πR₁/T)²/R₁ = М₂∙(2πR₂/T)²/R_2.

Т. е. М₁R₁ = М₂R₂ [сокращая ∙(2π)², Т² и т. д.]. Тогда произведение (масса)∙(расстояние от оси вращения) будет одинаково для обоих партнеров. Поэтому более тяжелый партнер располагается на меньшем расстоянии от оси. Если вы посмотрите, что сказано о нахождении положения центра тяжести двух тел в пособиях по физике, то найдете, что если R₁ и R₂ измерять от оси, проходящей через центр тяжести М₁ и М₂, то М₁R₁ должно быть равно М₂R₂ в соответствии со свойствами центров тяжести. Тогда для вращающихся систем М₁R₁ = М₂R₂ Именно поэтому танцующая вальс пара должна вращаться вокруг ее центра тяжести.

Подобное рассмотрение правильно описывает танцы с точки зрения физики, но вряд ли это практически полезна. Оно верно и в случае движения Луны и Земли и важно для понимания природы приливов. Астрономы используют его при рассмотрении движения двойных звезд. Вы встретите и другие примеры проявления центростремительной силы в астрономии и атомной физике.

Центробежная сила и средство от головной боли для инженеров.

Движение по окружности требует реальной силы, направленной вовнутрь и производимой реальными внешними воздействиями. Представление о центростремительной силе поможет вам разобраться во всех проблемах, связанных с круговым движением. А вот что такое центробежная сила? Вы часто слышите это слово, даже сами его произносите, когда вам приходится вращать что-либо по кругу, вы найдете этот термин во многих книгах по физике. Существует множество мнений о том, что такое центробежная сила. Вы можете выбрать из них то, которое вам больше по вкусу.

МНЕНИЕ I: Центробежная сила — это ложная сила, представление о которой возникло на основе неправильного толкования запутанного взаимоотношения между воздействием, определяющим силу, и объектом приложения этой силы.

Если вы вращаете камень на веревке, ее натяжение тянет вашу руку наружу с той же силой, с какой тянет и камень внутрь. Это — настоящая центробежная сила, действующая на вашу руку, но не на вращающийся камень. Вы ощущаете, что вашу руку что-то тянет наружу и говорите: «Я чувствую, что камень и веревка оттягивают мне руку. Это свидетельствует о том, что центробежная сила тянет камень и веревка передает действие этой силы». Вот тут вы и ошиблись. Не существует никакой силы, действующей на камень. На самом деле веревка, оттягивая вашу руку наружу, в то же время тянет камень вовнутрь. Существует лишь одна действительная сила — центростремительная, тянущая камень вовнутрь.

Фиг. 130. Центробежная сила?

Представьте себе, что вы собрались посетить аттракцион в парке и покататься на вращающемся полу. Вы и ваш спутник входите в помещение и садитесь на неподвижный полированный пол. Зная, в чем суть представления, вы прижимаетесь покрепче к полу» Когда пол начнет вертеться, вам покажется, будто какая-то неведомая сила отбрасывает вас от центра, и если бы не сцепление с полом, под действием этой силы вы стали бы скользить к ограждению.

Ваш спутник тоже заскользит к краю, если вы не удержите его, подтягивая к центру. Вы оба будете чувствовать, что боретесь с «центробежной силой». Но предположим теперь, что на вас смотрит неподвижный наблюдатель. Если смотреть на вращающуюся комнату извне, то будет казаться, что вы оба движетесь по круговой орбите и для удержания Вас на этой орбите необходимы реальные силы. Для вашего товарища это будет сила, действующая с вашей стороны и направленная вовнутрь, а для вас — это сила сцепления с полом. Повторим еще раз: вы просто воображаете, что существует некая сила, действующая извне на вашего товарища, поскольку вы уже приложили к нему реальную силу. С точки зрения постороннего наблюдателя эта внутренняя сила вовсе не компенсируется какой-то таинственной внешней силой; именно внутренняя «ила и обеспечивает ускорение вовнутрь и определяет ваше движение по кривой. Если вы отпустите вашего спутника, он при отсутствии трения будет двигаться по касательной. Его последовательные положения на касательной будут лежать все дальше и дальше от центра круга, так что вам, поскольку вы вращаетесь вместе с полом, будет казаться, что ваш товарищ скользит вдоль радиуса. На самом же деле он продолжает двигаться по прямой (по касательной) — это простой пример, иллюстрирующий первый закон Ньютона.

МНЕНИЕ II: Центробежная сила — заблуждение, проистекающее от того, что мы существуем во вращающейся системе, но пытаемся забыть об атом.

Из приведенного случая с вращающимся полом можно сделать следующий вывод. Для человека, сидящего на столе и не знающего, что он движется, существует внешнее силовое поле, наделяющее каждую массу М внешней силой Mv²/R. Независимо оттого, существует ли реальное внешнее воздействие, прилагающее силу, направленную вовнутрь для уравновешивания силы, направленной вовне, будет казаться, что любое тело, предоставленное самому себе, скользит наружу с ускорением v²/R. Становясь на точку зрения постороннего наблюдателя, следует считать и силовое поле, и скольжение наружу лишь кажущимися и обусловленными тем, что, пребывая во вращающейся системе, мы тем не менее забываем принимать в расчет ее движение.

МНЕНИЕ III: Средство от головной боли для инженеров.

Это прекрасное применение центробежной силы. Давайте строго отнесемся к слабо подготовленному молодому инженеру, который предпочитает статику — физику покоя (или равновесия) динамике, т. е. физике движения. Задачи, включающие ускорение и вращение, вызывают у него головную боль, и он хочет свести эти задачи к простым статическим силам, которые действуют в конструкциях мостов и подъемных кранов и в которых он хорошо разбирается. Это действительно можно сделать. Рассмотрим задачу о вращении конического маятника (фиг. 132).

На груз маятника действуют две реальные силы: его вес и сила натяжения веревки. Эти две реальные силы складываются и дают результирующую силу, направленную вовнутрь, Mv²/R, в противном случае груз не смог бы продолжать движение по круговой орбите. Значит, имеются две силы W и Т, которые дают направленную вовнутрь горизонтальную результирующую силу Mv²/R. Превратим эту задачу в статическую (т. е. в задачу с нулевой результирующей силой) путем добавления некоторой дополнительной фиктивной силы. Какую фиктивную силу нужно добавить к W и Т, чтобы результирующая сила обратилась в нуль? Эта сила должна быть равна — Mv²/R, или силе Mv²/R, направленной наружу. Некоторые профессора могут сказать этому инженеру: «Да, вы можете обратить любую задачу с круговым движением в статическую, еслико всем реальным силам добавите некую фиктивную центробежную силу Mv²/R и напишете уравнение, доказывающее, что все силы (включая фиктивную) дают в сумме нуль. Решение этого уравнения дает вам ту же самую информацию, что и метод, учитывающий только реальные силы, которые создают направленное вовнутрь ускорение, v²/R.

При таком подходе центробежная сила, несмотря на то что она фиктивна, тем не менее вполне пригодна для лечения головной боли у инженеров. Точно так же в качестве средства спасения от трудностей она используется в современной физике, но в этом случае это лишь полезный искусственный прием. Такой подход, которым пользуется большинство студентов, дает правильный ответ, но теория становится более трудной для понимания. В самом деле, ведь при этом реально существующее движение сводится к фиктивному покою. Тот, кто, введенный в заблуждение правильным ответом, отнесется с доверием к такому приему, будет чувствовать себя неуверенно, не зная, какая из этих сил реальна и как она действует. Если вы стремитесь к настоящему пониманию физики, то любой ценой избегайте этого лекарства от головной боли. И уж, конечно, не смешивайте это «центробежное-лекарство-от-головной-боли» с центростремительными силами, иначе получится чепуха!

МНЕНИЕ IV: Относительность.

Это мнение представляет собой несколько замечаний к очень извращенной теории относительности. Прочтите этот абзац для развлечения или сочтите его на некое предупреждение, но не превращайте его в нечто, похожее на средство от головной боли у инженеров. Взгляды, связанные с представлением об относительности движения, правильны, но только в системе определений, специально для этого сформулированных.

Разве нельзя оказать что-либо более положительное о центробежной силе? Некоторые ученые (см. мнение II) спрашивают. «Почему нехорошо наблюдать за предметами из вращающейся системы координат? Ведь в конце концов мы живем на вращающейся Земле Действительно ли «центробежные силы», возникающие из представлений, связанных с нашей вращающейся системой, отличаются от других сил, и так ли они нереальны? Разве можем мы быть уверены в том, что происходит на самом деле — вращаемся мы или кто-нибудь другой?» (Здесь мы вновь возвращаемся к временам Коперника и Птолемея.) Этот последний вопрос напоминает задачу с ускоряющимся железнодорожным вагоном, на примере которого проверялись законы Ньютона. Соорудив наклоненную комнату в таком вагоне, мы все же нашли бы те же самые законы: «тяготение», изменяющееся по величине и направлению. Мы догадываемся о том, что не можем обнаружить различия между эффектами, вызванными ускорением и силой тяжести. Эйнштейн построил общую теорию относительности на основе детального рассмотрения невозможности установить это различие.

Теория относительности начинается с заявления, представляющего собой аксиому и состоящего в том, что мы не можем сказать, кто именно движется — мы сами или «кто-то другой», что не существует такого понятия, как абсолютное движение. Если это так, то выражение «абсолютное пространство» бессмысленно, оно не необходимо и не должно употребляться в науке. В таком случае рабочей геометрией «пространства» должна быть такая геометрия с помощью которой мы могли бы открыть те же самые физические законы независимо от того, что мы думаем о нашем движении, т. е. движемся ли мы или кто-либо другой. Что заставляет нас видоизменять ту простую геометрию пространства и движения, которую предложил Евклид и которой пользовались Галилей и Ньютон. Было сделано много неудачных попыток для выделения абсолютного движения (в случае постоянных скоростей), даже с помощью световых сигналов, поэтому мы чувствуем, что вправе принять принцип относительности и его видоизмененную геометрию. В практической жизни эти видоизменения незаметны. Они начинают играть роль лишь при очень больших скоростях, например в астрономии и в атомной физике. Распространяя принцип относительности на случай ускоренного движения, мы полагаем, что расположенный в определенном месте наблюдатель не сможет установить различия между эффектами, связанными с ускорением, и изменением силы тяжести в данном месте, таким образом, мы приходим к выводу, что гравитационные поля могут рассматриваться в качестве местных (локальных) изменений геометрии пространства-времени. Это и есть принцип эквивалентности Эйнштейна. Хотя такой подход является совершенно новым, практически он дает малые отклонения от закона всемирного тяготения Ньютона.

Распространяя эту идею на случай вращения, мы предполагаем, что локальный наблюдатель не может заметить различия между эффектами, связанными с вращением системы координат, и локальным изменением силы тяжести, если он движется вместе с системой. В этом случае тянущая наружу центробежная сила будет представляться ему (находящемуся на вращающемся полу) вполне реальной, дополнительной горизонтально направленной силой тяги, или силой тяжести. Для жука, помещенного в центрифугу, центробежная сила будет проявляться в качестве реального поля силы тяжести, только в тысячи раз более сильного, нежели обычная сила тяжести. Для жука сила тяжести будет направлена иначе — он забудет о ее прежнем направлении — и будет неизмеримо больше. Принципы общей теории относительности оказались очень полезными для координации мышления, и за все время не наблюдалось каких-либо противоречащих им явлений. С этой точки зрения центробежная сила вполне приемлема. Если мы хотим проверить эффекты, связанные с большими гравитационными полями, недостижимыми в условиях притяжения Земли, то можем воспользоваться, центрифугой.

Общий принцип эквивалентности запрещает нам называть те виды движения^ которых участвует Земля, абсолютными и заставляет использовать новую механику и геометрию, с помощью которых можно предсказать одни и те же эффекты независимо от того, вращается ли Земля вокруг Солнца или же звезды и Солнце вращаются вокруг Земли. Согласно общей теории относительности, вращающаяся Вселенная будет порождать «центробежные силы» на неподвижной Земле, так что невозможно выяснить (с помощью маятника Фуко или изменения величины g с широтой), вращается ли Земля или вращается то, что ее окружает. Поэтому, возвращаясь к старому вопросу: «Кто прав — Коперник или Птолемей?», мы должны в отличие от Галилея сказать: «Обе точки зрения допустимы, хотя одна из них представляет собой более простое описание явлений, пригодное для практического мышления и работы». Пред нами пример гегелевской идеи развития: тезис — антитезис — синтез.

А ваше мнение об этих четырех случаях?

Сделайте сами выбор. Однако при разборе задач и экспериментов, приведенных в этой книге, советуем пользоваться только центростремительными силами.

ЛАБОРАТОРНЫЙ ОПЫТ. Опыт 4. Простая проверка соотношения «Необходимая сила = Mv²/R» Вместо сложного устройства, которое можно приобрести вместе с инструкцией типа поваренной книги, где даются рецепты студентам, как «проверить этот закон», мы предлагаем некое приспособление, предназначенное для грубой, но наглядной проверки. Попытайтесь произвести эту проверку с помощью партнера. Если измерения и расчеты не ясны, обратитесь к здравому смыслу и обдумайте все, прежде чем просить о помощи. Сначала внимательно выслушайте воображаемый расчет прибора, который начиняет изобретать исследовательская группа, состоящая из следующих лиц: руководитель Сагредо, главный экспериментатор Сальвиати и его ассистент и критик Симпличио. (Этот прибор был разработан в результате ряда обсуждений с использованием промежуточных экспериментов, в которых проверялась пригодность предлагаемых конструкций.). САГРЕДО. Мы хотим проверить предсказание о том, что движение по кругу требует некоторой силы, направленной вовнутрь и определяемой соотношением F = Mv²/R. Мы предлагаем крутить на веревке камень и измерять ту реальную силу, с помощью которой мы удерживаем камень на орбите. Затем мы сравним эту силу о той, которая предсказывается соотношениями a = v²/R и F = M∙а. СИМПЛИЧИО. Нам необходима очень сложная аппаратура: измеритель скорости v. САЛЬВИАТИ. Вздор. Просто измерьте время одного оборота. Тогда v будет равно длине окружности 2πR, деленной на это время. СИМПЛИЧИО… и сложный прибор дли измерения силы.

Фиг. 135.

САГРЕДО. Неверно. Ведь мы хотим выполнить совсем простую проверку. САЛЬВИАТИ. Используйте для измерения натяжения веревки пружину. Позже мы сможем определить эту силу, подвешивая пружину и нагружая ее до тех пор, пока растяжение не станет таким же, как при вращении. Мы знаем, что хорошая стальная пружина надежна. САГРЕДО. Простак! Если так слепо доверять законам, то вы должны помнить об их ограниченности. Знаете ли вы, что пружины могут растягиваться больше, чем это следует из закона Гука? СИМПЛИЧИО. Мы можем остановить растяжение пружины, связывая ее концы длинной нитью. САГРЕДО. О, прекрасно! И тогда, когда эта нить будет свободна, она не нужна; а когда ее натянут туго, она испортит наш эксперимент, внося дополнительное натяжение; так мы и не будем знать истинного натяжения. САЛЬВИАТИ. Я думаю, что мы все же можем использовать предложение Симпличио. Нам как раз нужно знать, как сильно растягивается эта пружина во время вращения, чтобы потом, нагружая ее, мы могли довести ее до такого же растяжения. Если мы соединим концы пружины нитью, как это предложил Симпличио, мы будем вращать камень все быстрее и быстрее до тех пор, пока нить не окажется натянутой. Это мы можем назвать «стандартным растяжением». СИМПЛИЧИО. Ну ладно, так мы найдем массу и скорость, но как мы измерим R? Удержим ли мы линейку около вращающейся пружины? САЛЬВИАТИ. Можно измерить R позже, когда пружина будет подвешена вертикально и нагружена до стандартного растяжения. СИМПЛИЧИО. Я понимаю смысл предложения о стандартном растяжении; но если при этом пружина натянется до предела, вновь будет в силе ваше возражение против предложенной мной нити — сила, добавляемая пружиной, будет неизвестна. САЛЬВИАТИ. Почти до предела. СИМПЛИЧИО. Я не понимаю, как мы определим, что пружина натянута почти до предела. САЛЬВИАТИ. Давайте тогда используем другую, маленькую пружинку, привязанную к нити. Эта маленькая пружинка остается в нерастянутом состоянии, пока большая пружина не натянется туго. СИМПЛИЧИО. Нужно ли измерять и натяжение маленькой пружинки? САЛЬВИАТИ. Нет; маленькая пружинка служит только индикатором. Она не будет тянуть до тех пор, пока не начнет растягиваться, а натяжение ее будет столь мало, что создаваемая ею сила незначительна. СИМПЛИЧИО. Даже я понимаю, что это становится ужасной неразберихой. Маленькая пружинка будет задевать за главную пружину. САЛЬВИАТИ. Будет лучше, если мы поместим эту маленькую пружинку внутри главной пружины, а не будем протягивать ее снаружи. СИМПЛИЧИО. Боюсь, что мы испортим маленькую пружинку, прежде чем сможем провести измерения. Мы будем крутить очень быстро и безнадежно растянем ее. САГРЕДО. Хорошо, но вы уже предлагали средство против этого. СИМПЛИЧИО. Да, воспользуйтесь снова моим предложением. Свяжите концы этой маленькой пружинки нитью. САГРЕДО. Хорошо. Тогда мы сможем крутить все быстрее и быстрее, пока не заметим, что маленькая пружинка растянулась ровно наполовину; этим и будет определяться стандартное растяжение главной пружины. САЛЬВИАТИ. Раскручивать будет легче, если мы привяжем основную бечевку к большому кольцу и наденем это кольцо на вертикально расположенную палку, которую экспериментатор держит в руке. Мы можем предотвратить соскальзывание кольца, добавив две шайбы и два гвоздя. САГРЕДО. Теперь у нас есть, приспособление, которое стоит испытать. СИМПЛИЧИО. Но мы еще не использовали закон Гука. САГРЕДО. Мы в нем не нуждаемся. Мы просто подвесим пружину и измерим нагрузку, которая растягивает пружину до той же длины, что и во время вращения. Экспериментаторы должны потренироваться для того, чтобы вращать как раз с той скоростью, при которой маленькая пружинка окажется растянутой ровно наполовину; тогда они могут замерять время. После этого можно подвесить пружину вертикально и измерить ее натяжение при стандартном растяжении, нагружая ее. При этом можно одновременно измерить радиус орбиты — измерить R на подвешенной вертикально и нагруженной пружине. СИМПЛИЧИО. О, так мне не придется все время бегать с линейкой. САЛЬВИАТИ. Конечно нет, но вы можете помочь при измерении R. Боюсь, что центральный колышек не будет стоять неподвижно: экспериментатору, поддерживая вращение, придется двигать его по маленькому кругу. Наблюдая за этим, вы можете прикинуть из измерений на подвешенной пружине во время вращения, сколько надо добавить или вычесть, чтобы получить правильное значение радиуса. СИМЦЛИЧИО. Но это еще больше, усложняет задачу. Теперь наше приспособление уже ненадежно. Я не верю в то, что мы сможем гарантировать точность измерений и сделать желаемую проверку. САЛЬВИАТИ. А я смогу, если попрактикуюсь и буду очень внимательным. САГРЕДО. Думаю, что оба вы ошибаетесь. Имелось в виду сконструировать простой прибор. Измерения будут приближенными. Но если выражение Mv²/R является точным, тогда различия между непосредственно измеренной силой и силой, рассчитанной из Mv²/R, будут обусловлены случайными ошибками измерения. Отклонения будут одинаково часты в одну и в другую сторону. Группироваться они будут вблизи нуля, если эксперимент делается много раз, предпочтительно разными наблюдателями. Я предлагаю просить большую труппу экспериментаторов, работающих попарно, испытать наш прибор. Пусть каждая пара выражает разницу между измеренной и «вычисленной» ими силой в процентах от ее величины. Изучая эти отклонения, мы узнаем, удалась ли наша проверка. САЛЬВИАТИ. Мы даже сможем грубо оценить величину отклонений, обусловленных допустимыми ошибками эксперимента. Например, если один оборот совершается за 2 сек, то два экспериментатора могут замерить серию из двадцати оборотов несколько раз. Вряд ли они ошибутся более чем на несколько десятых долей секунды при полном измеряемом времени 40 сек, ошибка будет, скажем. 0,2 сек за 40 сек, или 2 сек за 400 сек, или 0,5 сек за 100 сек, т. е. 0,5 %. Время одного оборота используется для получения v, a v содержится в Mv²/R дважды. Таким образом, ошибка в измерении времени дает вклад 0,5 % + 0,5 % = 1 % в возможную ошибку Mv²/R. Мы можем оценить возможные ошибки, проистекающие из других ошибок измерения. САГРЕДО. Пусть уже экспериментаторы сделают это сами. Тогда они больше узнают о достоверности своих результатов[85]. Задача 4. Из геометрии следует, что точка (или небольшое тело), движущаяся в постоянной скоростью v no кругу радиусом R, имеет центростремительное ускорение v²/R. Напишите геометрический вывод этого выражения. (Вы можете предположить, что скорость и ускорение — векторы, т. е. подчиняются законам геометрического сложения и вычитания. Вы можете пользоваться свойствами подобных треугольников. Дайте большие, очень четкие эскизы: один — для фактической картины, другой — для векторов.). Задача 5. В предлагаемых ниже вопросах предполагается: 1) центростремительное ускорение равно v²/R и 2) в случае этого движения F = M∙a. (Вспомним, что всякий раз, когда вводится F = M∙a, сила должна быть выражена в ньютонах, если масса выражена в килограммах.). А) Камень массой 2,00 кг вращается (с помощью веревки) по горизонтальной поверхности стола без трения. Длина веревки 4,0 м, следовательно, круг имеет радиус, равный 4 м. Камень движется по орбите со скоростью 7,00 м/сек. Рассчитайте ускорение камня, натяжение веревки. Приведите краткие пояснения. Б) Предположим, что веревка разрывается как pas при том натяжении, которое ей определили выше. Какова будет разрывающая сила в килограммах силы, кГ? В) Как и в вопросе (а), камень массой 2,00 кг вращается по кругу на веревке длиной 4,0 м, но с такой скоростью, что он совершает пять оборотов ее 2 сек. Рассчитайте его скорость (ответ оставьте в виде сомножителей, не подставляя численного значения π). Рассчитайте натяжение каната. (Укажите единица измерения в ответе. Можно положить π² = 10.). Задача 6. Веревка, подвешенная вертикально, может выдержать только 10,0 кг и рвется при малейшем увеличении нагрузки. А) Какова разрушающая сила в килограммах силы? Б) Какова эта разрушающая сила в ньютонах? Кусок такой веревки длиной 1,00 м используется для вращения камня массой 2,0 кг по горизонтальному кругу все быстрее и быстрее, пока веревка не разорвется. В) Рассчитайте максимальную скорость камня на орбите и приведите краткое объяснение, как вы выполнили этот расчет.

Фиг. 145. К задаче 6.

Задача 7. Игрок с ракеткой, на которой находится мяч, крутит ракеткой перед собой. Объясните, каким образом такое движение не позволяет мячу упасть.

Фиг. 146. К задаче 7.

Задача 8. Самолет, летящий со скоростью 600 фут/сек (410 миль в час), преследует маленький самолет, летящий со скоростью 300 фут/сек. Маленький самолет поворачивает и удаляется по горизонтальному полукругу; самолет-преследователь старается нагнать его. Пилот может выдержать ускорение только до 5 g. А) Рассчитайте радиус наименьшего полукруга, который пилот маленького самолета может благополучно выполнить при скорости 300 фут/сек. Б) Как долго (примерно) будет двигаться по своему полукругу маленький самолет? В) Вычислите радиус наименьшего полукруга, безопасного для самолета-преследователя, Г) Где будет находиться самолет-преследователь, когда маленький самолет уже закончит свой полукруг (обозначьте его путь на эскизе)? Задача 9. Вариант вывода соотношения а = v²/R (метод Ньютона). Если тело движется по окружности от А до В, рассмотрите его как падающее тело с постоянным ускорением, направленным вниз. За время t оно пролетит с ускорением а расстояние h от той точки, в которой оно раньше покоилось. А) Напишите уравнение для а через h и t, предполагая, что а постоянно. Б) Используя геометрическое свойство хорд круга, напишите уравнение, в котором h было бы выражено через другие измеряемые величины, приведенные на диаграмме. В) Подставьте выражение для h в уравнение, полученное в вопросе (а). Г) Представьте, что В движется все ближе и ближе к А. Если В —> А, то горизонтальное расстояние х —> к дуге и, поскольку В —> А, хорда MN —> к диаметру 2R. Внесите эти изменения в выражение для ускорения.

Фиг. 147. К задаче 9.

Задача 10. Центрифугирование. А) Центрифуга вращает пробирку по кругу со средним радиусом 1 фут со скоростью 5000 оборотов в минуту; содержимое пробирки находится при этом в силовом поле, во много раз большем g. Во сколько раз большем g? Б) Образец мутной воды содержит частицы, размер которых примерно равен размерам, кровяных шариков (диаметр 10^-5 м). Если пробирка расположена вертикально, частицы падают на дно с постоянной скоростью ~ ¹/₄ дм/мин. Таким образом, объем жидкости высотой 4 дм полностью очистится примерно за ¹/₄ часа. (Эти частицы не осядут все на дно. Диффузия, связанная, с броуновским движением, поддерживает некоторое их количество во взвешенном состоянии.) За какое время тот же образец станет прозрачным в центрифуге, обеспечивающей ускорение, определенное в вопросе (а)? В) Белковые молекулы [диаметр которых в несколько сотен раз меньше диаметра частичек мути, о которых говорится в вопросе (б), но велик по сравнению с диаметром других молекул, скажем соли или воздуха] осаждаются в воде примерно в 300 000 раз медленнее, чем частички мути (вопрос б). За какое время станет прозрачной помещенная в центрифугу 4-дюймовая пробирка, содержащая суспензию таких белковых молекул в воде? Г) Если, эту белковую суспензию не помещать в центрифугу, она никогда не станет прозрачной. Почему? Д) Если известна плотность частиц, то, исходя из спорости прояснения жидкости, можно определить диаметры частиц. (Сила торможения маленькой сферы пропорциональна ее радиусу и скорости.) Частички грязи (вопрос б) могут быть измерены с помощью микроскопа, молекулы же белка увидеть невозможно. «Химические» измерения (осмотическое давление) показывают, что молекулы белка в 10⁶ раз тяжелее атома водорода. Какая важная информация о строении атома может быть получена с помощью измерений на центрифуге?

Глава 22. Исаак Ньютон (1642–4727).

«Если я видел дальше, чем другие, то лишь потому, что стоял на плечах гигантов». Изречение, приписываемое Ньютону.

Жизнь и труды Ньютона.

Ньютон родился в тот год, когда умер Галилей. Еще ребенком он увлекался опытами. И подобно Галилею и Тихо Браге мастерил занимательные игрушки, вроде водяных мельниц[86], и даже измерял «силу» ветра, замечая, насколько он мог прыгнуть в длину по ветру и против него. Поступив в школу, он поначалу не проявил особых успехов в изучении основного предмета — латыни, но вскоре обнаружил необыкновенные способности в математике.

Его добровольный опекун дядя направил Исаака, когда тому исполнилось 19 лет, в университет. Там, в Кембридже, Ньютон с большим увлечением занялся логикой и изучил трактат Кеплера, посвященный оптике. Сделал он это так быстро и обстоятельно, что понял бессмысленность дальнейшего посещения лекций.

Ознакомившись с евклидовой геометрией, он счел ее детской забавой и начал изучать геометрию Декарта. Для этого ему пришлось напряженно работать, но это не смущало Ньютона — душой и телом он отдался изучению математики. Вскоре появилась его первая оригинальная работа. Будучи еще студентом, он открыл теорему, которая была впоследствии названа «Теоремой о биноме Ньютона»[87], а к тому времени, когда ему минул 21 год, он начал изучать бесконечные ряды и «флюксии» — основу дифференциального исчисления. Ньютон был слишком увлечен своей работой, а быть может, слишком скромен, но свои открытия он не публиковал — эта удивительная отрешенность, а возможно, и нелюбовь к публичным обсуждениям его трудов сохранилась на всю жизнь. Ньютон интересовался и астрономией, наблюдал гало Луны, комету.

Позднее он стал изобретать и строить свои собственные телескопы. Степень бакалавра Ньютон получил, продолжая исследования по математике и оптике, подавая зачастую профессору математики ценные советы. В последующие два года он сосредоточил свое внимание на Солнечной системе и начал размышлять о силе тяжести, распространяющейся до Луны и удерживающей ее на орбите, также как веревка удерживает вращающийся камень. Ньютону удалось получить выражение для центростремительного ускорения a = v²/R. Эта формула была ему нужна для проверки идеи о движение Луны. Он вывел эту формулу до того, как ее опубликовал Гюйгенс. Затем он применил этот подход и к планетам, предположив, что они удерживаются на своих орбитах гравитационным притяжением Солнца. Таким путем была установлена универсальность силы тяжести: притяжение между Землей и яблоком, Землей и Луной, Солнцем и Марсом, Солнцем и Землей…

На основе третьего закона Кеплера Ньютон сделал вывод, что силы притяжения должны убывать с увеличением расстояния и что притяжение должно изменяться как (расстояние)^-2. По существу он уже свершил свои великие открытия. Когда его спрашивали, каким путем он пришел к этим открытиям, Ньютон отвечал, что сделал открытия, думая о них[88]. По-видимому, это и был его метод: спокойное, постоянное обдумывание, непрерывное вынашивание мысли. Вероятно, именно таким образом родились многие великие идеи. Гений — не только терпение или «безграничная способность трудиться»; терпение и упорство должны еще сочетаться о большими способностями и мудростью, чтобы последние могли принести богатый урожай.

При проверке теории движения Луны Ньютон встретил серьезные трудности и перестал заниматься ею, отложив эту работу на несколько лет, а сам с головой ушел в оптические исследования, покупал призмы, шлифовал линзы, занимался исследованием спектра.

К 24 годам Ньютон заложил основы своих будущих великих открытий: дифференциального и интегрального исчислений, всемирного тяготения, теории света и цвета. Однако лишь немногие из полученных им результатов стали известны миру. Однажды профессор математики рассказал Ньютону о новом математическом открытии, которое обсуждалось в то время. Неожиданно Ньютон ответил, что еще несколькими годами ранее наряду с другими задачами он решил и эту задачу. Из представленных им записей следовало, что он провел более глубокое исследование и получил более общее решение. Этот случай произвел столь сильное впечатление, что, когда вскоре профессор ушел в отставку, Ньютон (ему было тогда 26 лет) был избран профессором математики одной из наиболее значительных европейских кафедр. На новом посту он читал лекции по оптике, однако все еще не публиковал своих математических трудов. В только что созданном Лондонском королевском обществе состоялась лекция Ньютона об изобретенном им отражательном телескопе. Члены Королевского общества пришли в восторг и избрали его членом общества. В дальнейших лекциях он изложил свои открытия в области учения о цвете. Именно тогда, после шестилетнего перерыва, Ньютон возвратился к работам по астрономии. Теперь он мог блестяще проверить теорию, основываясь на данных о движении Луны. Но он продолжал свою работу еще не менее двенадцати лет, не заявляя о своем открытии. Тем временем законы Кеплера ждали своего объяснения. Идея всемирного тяготения буквально витала в воздухе.

Члены рожденного недавно и процветающего Королевского общества горячо обсуждали эту идею. Им удалось доказать, что наличие некой силы, убывающей обратно пропорционально квадрату расстояния, может объяснить существование круговых орбит в соответствии с третьим законом Кеплера, однако эллиптические орбиты оказались для них слишком крепким орешком. Когда один из членов Королевского общества обратился к Ньютону за помощью, Ньютон спокойно ответил, что задача уже решена: он знает и может доказать, что из убывания силы тяготения обратно пропорционально квадрату расстояния следует, что движение планет должно подчиняться всем трем законам Кеплера!

Затем наступило время написания, публикация (что делалось не всегда охотно) и распространения трудов Ньютона по механике, астрономии и математике, которая в них содержалась. Коллеги по Королевскому обществу просили его опубликовать свою теорию Солнечной системы. Созданная им книга оказалась более широкой по содержанию. Это был величайший трактат по механике: замечательная последовательность определений, законов, теорем и их применение к теории Солнечной системы с пояснениями, примерами и далеко идущими предсказаниями — величественное здание науки. Это были знаменитые «Принципы» Ньютона — «Математические принципы натуральной философии».

Почитатели трудов Ньютона провели его в парламент, а позднее он был назначен директором Монетного двора. Так был найден путь материально вознаградить ученого, а также отметить его заслуги. Ньютон серьезно принялся за работу и выполнил несколько исследований по металлургии, вспомнив свои ранние увлечения химией[89].

Назначение в Монетный двор и выборы в парламент в определенной мере соответствовали его стремлению стать влиятельным человеком. На шестьдесят первом году Ньютон был избран президентом Королевского общества. Он возглавлял это славное учреждение в течение 24 лет, до конца жизни. Когда Ньютону исполнилось 65 лет, его возвели в рыцарское достоинство, и он стал сэром Исааком Ньютоном. Не только соотечественники, но и жители близких и далеких континентов понимали, что среди них живет не просто великий человек, а гений, и делали все возможное, чтобы воздать ему должное, хотя в те времена ученые только начинали занимать подобающее им положение.

Ньютон умер в возрасте 85 лет. Он оставил после себя книги, посвященные законам движения, гравитации, астрономии и математике, и, кроме того, многочисленные сочинения на богословские темы. (Ньютон был искренне верующим человеком, хотя взгляды его на религию не были ортодоксальными. С блестящим успехом решив астрономические проблемы, он надеялся, что сумеет справиться также и с религиозными.) Ньютон возвысил астрономию; он дал ей совершенно новое место в науке и привел ее в порядок, использовав объяснения, в основе которых лежали созданные и проверенные им законы. Позже мы расскажем о развитии астрономии, а пока возвратимся к работам Ньютона в этой области.

Законы движения.

Чтобы привести движения небесных тел в единую систему, Ньютону были необходимы законы движения. В сочинениях Галилея он нашел четкие определения силы и движения, но менее четкое понимание природы массы. Ньютон дал ясные и доступные новые формулировки определениям Галилея, тщательно проверив смысл введенных им терминов. Основные положения Принципов изложены в форме двух законов, которые используются в первой части. Затем Ньютон дополняет их и третьим законом, который сам проверяет опытным путем[90].

В этом смысле Ньютон был великим законодателем, приведшим законы в строгую систему, — своего рода Моисеем в физике. Конечно, Моисей устанавливал: законы с совершенно иных позиций, чем Ньютон, трактуя людям указания небес, тогда как Ньютон открывал законы природы и разъяснял их людям. Однако и Ньютон и Моисей познавали, систематизировали, учили. Моисей не был открывателем всех законов и правил. Он лишь собрал их воедино и обработал, чтобы сделать понятными и сообщить людям. Он был великим законодателем и великим учителем. Ньютон, подобно Моисею, был великим учителем, хотя был так застенчив и скромен, что учил скорее себя, нежели других. Многие труды Ньютон написал только для того, чтобы понять самому сущность вещей, но, увидев свет, эти труды осветили путь его современникам и ученым последующих поколений.

Был этот мир кромешной тьмой окутан «Да будет свет!» — и вот явился Ньютон.

Ньютон излагал свои законы ясно и просто, без излишней торжественности. Но поскольку он не любил дилетантского критицизма, математическая сторона его изложения отличается строгостью и элегантностью. Во времена Ньютона латынь была тем универсальным языком, на котором объяснялись ученые, поэтому Принципы написаны на латинском языке. В трудах, которые Ньютон писал на английском языке (например, в его книге по оптике), изложение кажется нам иногда напыщенным и неясным; объясняется это тем, что со временем в английском языке произошли значительные изменения и современный Ньютону язык звучит для нас непривычно. Если бы Ньютон писал свои законы в наши дни, они были бы написаны стилистически безупречно, без вводных фраз, которые так любят адвокаты. Ниже приведены законы Ньютона в оригинальной латинской формулировке, данной в Принципах, и их перевод,

_{LEX I.}

_{Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quatenus a viribus impressis cogitur statum ilium mutare.}

_{LEX II.}

_{Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae et fieri secundum lineam rectam qua vis ilia imprimitur.}

_{LEX III.}

_{Actioni contrariam semper et aequalem esse reactionem: sive corporum duorum actiones in se mutuo semper esse aequales et in partes contrarias dirigi.}

Каждый закон Ньютон сопроводил комментариями и объяснениями. Пользуясь современной терминологией, им можно дать такой перевод:

ПЕРВЫЙ ЗАКОН.

Всякое тело остается в состоянии покоя или движется прямолинейно с постоянной скоростью, если на него не действует сила, изменяющая скорость тела.

ВТОРОЙ ЗАКОН.

Если на тело действует сила, то изменение количества движения (Mv) пропорционально величине приложенной к телу силы; изменение происходит в направлении действия силы или:

Произведение массы на ускорение пропорционально результирующей силе, причем ускорение происходит в направлении действия силы.

ТРЕТИЙ ЗАКОН.

Каждому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие.

Или:

При взаимодействии двух тел сила, приложенная со стороны первого тела ко второму, равна силе, приложенной со стороны второго тела к первому, и противоположно направлена.

Заметим, что в переводе второго закона вначале дана его формулировка, в которой используется понятие количества движения. Она и ныне является наиболее общей формулировкой. Ко второй формулировке, где используется ускорение, часто прибегают в процессе элементарного обучения, так как она выглядит проще.

В гл. 8[91] было указано, что эти две формулировки эквивалентны. Ниже показано, как одна форма закона переходит в другую: F ~ M∙a. Скорость изменения количества движения пропорциональна силе:

Δ(Mv)/Δt ~ F, т. е. (Mv₂ — Mv₁)/Δt ~ F.

M(v₂ — v₁)/Δt ~ F, если М остается постоянной.

Иначе говоря,

M∙(Δv/Δt) ~ F т. е. Ma ~ F, или F ~ М∙а.

Пользуясь изобретенным Ньютоном дифференциальным исчислением:

D(Mv)/dt = M∙(Δv/Δt) = М∙а если М — величина постоянная.

Мы предполагали, что масса остается постоянной. Если масса меняется, то справедлива первая форма закона [Δ(Mv)/Δt ~ F], и именно ее выбрал Ньютон. Он понимал, что такая форма закона приложима к движению тела с переменной массой (например, вагонетка под дождем). Но он не мог, конечно, предвидеть применения этой формы закона в современной теории относительности, где она также справедлива для случая, когда масса возрастает с увеличением скорости. Это возрастание заметно только при очень больших скоростях.

Прежние представления о движении.

Природа движения давно волновала ученых.

Леонардо да Винчи (за 150 лет до Ньютона) дал следующие формулировки, заимствованные, как предполагают, из еще более ранних источников:

1) Если сила перемещает тело за данное время на определенное расстояние, то та же сила половину такого тела переместит на такое же расстояние за вдвое меньшее время.

2) или:… та же самая сила переместит половину тела на вдвое большее расстояние за то же самое время,

3) или:… вдвое меньшая сила будет перемещать половину тела на то же расстояние за то же время.

Декарт (примерно за 40 лет до Ньютона) утверждал, что.

1) все тела стремятся оставаться в неизменном положении;

2) движущееся тело стремится сохранить свою скорость и направление движения. (Здесь Декарт приводит богословский довод.).

Мерой силы, создаваемой телом, служит масса (ясно не определенная Декартом) и его скорость.

Вопрос: Какие из этих формулировок кажутся верными? (По крайней мере одна из них совершенно ошибочна.).

Опираясь на эти формулировки, а также руководствуясь книгами Галилея и собственными соображениями, Ньютон сформулировал три закона движения. В наши дни мы применяем их для описания разнообразных, движений — от катящегося вниз шара до старта ракет, планет на орбитах и даже потоков электронов. Эйнштейн добавил новую формулировку, но в большинстве случаев законы Ньютона очень хорошо описывают явления природы.

Законы Ньютона: Реальность ила Определения?

Подобно любому современному ученому, Ньютон пытался дать четкие определения скорости, количества движения и силы. В науке определение не является экспериментальным фактом, рискованным предположением или умозрительной идеей. Это скорее работа, заключающаяся в пояснении — по возможности точном — смысла слова, фразы или даже идеи. Например, мы определяем ускорение как Δv/Δt, после чего всегда под словом «ускорение» понимаем отношение приращения скорости к соответствующему приращению времени, а не что-то другое, например Δv/Δs или нечто неопределенное, вроде «более быстрого движения».

Мы определили «напряженность гравитационного поля в данной точке» как «силу тяжести, действующую на единичную массу, помещенную в эту точку». Это — и описание того, что мы понимаем под напряженностью поля, и четкое указание, как ее изменить.

Законы Ньютона были четкими правилами, основанными на наблюдении механических процессов. Они предназначены для предсказания движения в других случаях. Однако это не простые утверждения того, что получалось на опыте. Законы включали определения и описания понятий и представлений (масса, количество движения); они обеспечивали непротиворечивую схему предсказаний, основанную на этих определениях. Таким образом, определения часто входят в состав теории. Например, через двести лет после Ньютона получила развитие наука о термодинамических процессах, на основе которой с помощью понятия температуры были сделаны замечательные предсказания тепловых свойств. Но температурная шкала — особая, определенная собственно в схеме термодинамики. Мы обнаружим расхождения, если сравним термодинамическую шкалу температуры (шкалу Кельвина) с другими шкалами, такими, как шкала ртутного или газового термометров. Тем не менее мы не можем сказать, что одна шкала «неверная», а другая «истинная». Все шкалы определены четко и однозначно и одинаково пригодны для точного измерения не совсем определенного ощущения жары или холода, испытываемого человеком. Имея в виду определенные задачи, иногда отдают предпочтение одной шкале как наиболее удобной; когда имеют дело с теорией — ограничиваются шкалой, которая входит в теорию.

В соответствии с законами термодинамики и выводами из них нам приходится пользоваться шкалой Кельвина. К счастью, шкала Кельвина почти не отличается от шкалы обычного ртутного термометра, так что выводы термодинамики мы можем непосредственно использовать в практических целях.

Такое тесное переплетение эксперимента и определений, образующее теорию, характерно для современной науки. Если вы критически посмотрите на законы Ньютона, то придете к заключению, что первый закон содержит объяснение понятия силы, определяет ее природу, а второй закон определяет способ измерения или силы, или массы. Так, может быть, эти законы — просто плод нашей фантазии? Нет, это не так. Оба закона соответствуют реальным явлениям природы, что подтверждает эксперимент. В них содержится твердая фактическая основа, хотя ее, быть может, нелегко извлечь логически из входящих в эти законы определений.

Спустя два столетия после того, как Ньютон сформулировал свои законы, начали возникать трудности и сомнения. Ньютон принимал «относительность Галилея». В созданной им теории не имеет значения, движется ли наблюдатель с постоянной скоростью или находится в состоянии покоя. Однако Ньютон считал, что абсолютную систему отсчета можно обнаружить по эффекту вращения. (Если бы Земля оказалась в состоянии покоя, а небесные тела вращались вокруг нее, разве могли бы мы наблюдать кривизну земной поверхности, изменение силы тяжести, поворот плоскости качания маятника Фуко?) Ньютон писал об абсолютном движении: под действием сил возникают абсолютные ускорения, а не ускорения относительно какой-то движущейся системы координат. Но где находится неподвижная, фиксированная система отсчета? Земля, Солнце, звезды — все движется. Существует ли реальная фиксированная система отсчета? Если мы не можем указать такой системы, то стоит ли включать ее в наше рассмотрение механики? Вот из таких сомнений и возникла теория относительности[92]. На первых порах, изучая теоретическую механику, разумно забыть об этих сомнениях и принять законы Ньютона как простые, надежные рабочие правила. Используя их для решения задач, помните, что это — блестяще сформулированный итог согласованных определений и экспериментальных наблюдений. Это не застывшие законы, которые нужно цитировать, чтобы все стало на свои места! Они указывают нам, как нужно обрабатывать результаты проведенных опытов и как предсказывать, что должно случиться в будущих экспериментах. В то же время они знакомят нас с такими полезными понятиями, как масса и количество движения.

Ньютон и движение планет.

Ньютон сформулировал свои законы так, чтобы иметь возможность пользоваться ими. Обратившись к проблемам астрономии, он сразу же ответил на вопрос, который не могли решить греки и который поставил в тупик Кеплера и даже Галилея: «Что удерживает Луну и планеты при их движении по орбитам?» Предполагалось все — хрустальные сферы, естественное круговое движение, вращающиеся рычаги и магнитные флюиды, вихри. Ньютон понимал, что такие объяснения содержат детали, в которых нет необходимости. Сила не нужна для движения планеты (первый закон).

Предоставленные сами себе, они будут вечно двигаться прямолинейно. Сила необходима, чтобы планеты двигались по криволинейной орбите, ибо если нет силы, то движение будет прямолинейным.

Какой должна быть величина внешней силы? Откуда она может взяться? Это были новые вопросы, поставленные Ньютоном.

Если к этому движению применим второй закон, то необходима внешняя сила, равная произведению массы на ускорение. Но чему равно ускорение при движении по орбите? Ньютон исследовал равномерное движение по круговой орбите. Орбиты Луны и большинства планет близки к окружности. Он пришел к тому же результату, что и другие ученые, решавшие эту задачу: ускорение, направленное к центру орбиты по радиусу, равно v²/R, где v — скорость на орбите, a R — радиус орбиты. (См. главу 21, где вводится это ускорение. Для этого используются геометрические представления, но масса и сила не фигурируют. Ньютон получил свой результат необычным путем, рассматривая движущееся тело как снаряд и каждый элемент длины окружности как участок вблизи вершины параболы, по которому движется снаряд.) Тогда сила должна быть равна Mv²/R и направлена по радиусу к центру орбиты. Так, Луна, движущаяся по круговой орбите, всегда испытывает ускорение в сторону Земли, но никогда не приближается к ней. Это можно представлять себе как падение с касательной к окружности на окружность, причем орбита образуется в результате того, что тело начинает «падать» и достигает в нужный момент следующего участка орбиты, не приближаясь, однако, к ее центру. Если это вам покажется странным, вспомните, что любой снаряд, летящий по параболе, в ее вершине испытывает, ускорение g, однако в этой точке снаряд не опускается и не поднимается, таким образом не приближаясь к Земле. Существуют моменты времени, когда ускорение имеется, но скорость в его направлении равна нулю. Можно сказать, что лунная орбита состоит из последовательных «вершин» парабол.

И вот, наконец, Ньютону удалось объяснить, откуда берется эта сила. Он предположил, что силы, заставляющие падать тела на поверхность Земли, могут также притягивать Луну и служат причиной ее движения по орбите. Существует легенда о том, что Ньютон обдумывал эту проблему, сидя в саду, и яблоко, упавшее ему на голову, подсказало решение. Такое притяжение мы называем «гравитацией» — словом, которое означает тяжесть или подразумевает какую-то связь с весом. Во многих случаях более подходит обычное слово вес.

Фиг. 148. Земное притяжение.

Ньютон предположил, что именно вес Луны удерживает ее на орбите. Если бы Луна находилась очень близко от поверхности Земли, то ее вес обусловливал бы ее ускорение g, равное примерно 9,81 м/сек², т. е. такое же, как и у яблока, если не считать, что объем Луны больше, и это, конечно, не разрешает поставить подобный эксперимент. Будет ли Луна иметь такое же ускорение на своей орбите? Будет лила орбите Луны v²/R ~ 9,81 м/сек²?Луна совершает полный оборот по своей орбите относительно неподвижных звезд за 27,3 дня. Ньютон знал, что радиус лунной орбиты R равен 60 радиусам земного шара, т. е. 60R. Ему был также приближенно известен радиус Земли, так что он мог вычислить скорость v, разделив длину окружности лунной орбиты 2πR на время Т, равное одному месяцу, а отсюда вычислялось ускорение v²/R. В ответе получалась величина, значительно меньшая 9,81 м/сек². Если «гравитация» меняется с расстоянием, g может быть значительно меньше на лунной орбите. Ньютон нашел простое правило убывания силы притяжения — закон обратной пропорциональности квадрату расстояния. По закону обратных квадратов убывают с расстоянием сила света, интенсивность радиоволн, звука, а также сила, создаваемая магнитным полюсом или электрическим зарядом.

Закон обратных квадратов справедлив во всех случаях прямолинейного распространения из источника при отсутствии поглощения[93]. Правильная мысль пришла в голову Ньютону, когда он пытался получить третий закон Кеплера! Он попробовал применить зависимость, обратно пропорциональную квадрату расстояния. Луна находится на расстоянии шестидесяти земных радиусов, а яблоко — на расстоянии лишь одного радиуса от центра Земли, поэтому притяжение в области Луны уменьшается в 1/60² раз, или в 3600 раз. Ускорение Луны уже будет не 9,81 м/сек², а 9,81/3600 м/сек². Легко подсчитать значение v²/R для Луны и убедиться, что оно совпадает с «предсказанной» таким способом величиной. Представьте себе тот восторг, который вы бы испытали, открыв это соответствие! Это была успешная проверка соотношений F = M∙a и a = v²/R и закона обратных квадратов для силы тяжести. Вы могли бы сделать первую проверку выдающейся теории — и великое открытие принадлежало бы вам!

Однако сам Ньютон, полный нетерпения, но дальновидный, не был полностью удовлетворен этой проверкой. По непостижимым причинам он отложил все вычисления еще на несколько лет. По-видимому, он стремился решить задачу о притяжении тела шаром с распределенной равномерно в нем массой, подобным Земле. Он уменьшил величину g в 60² раз, но уменьшение от 1 до (1/60)² предполагает, что тело на поверхности Земли, для которого ускорение g = 9,81 м/сек², находится как бы на расстоянии одного земного радиуса от притягивающего центра. Притягивает ли громадный круглый земной шар яблоко так, как если бы вся масса Земли была сосредоточена в ее центре на расстоянии 6300 км от поверхности? Близкие от яблока части земной массы должны притягивать его очень сильно (согласно закону обратных квадратов).

Фиг. 150. Задача Ньютона.

_{Яблоко, притягиваемое различными частями Земли (показаны четыре отдельных элемента).}

Другие части земной массы, находящиеся, например, на расстоянии 12 600 км от яблока, будут притягивать его очень слабо. Сила притяжения различных частей земной массы действует на яблоко под разными углами. Какова результирующая всех этих сил? Здесь мы сталкиваемся с очень трудной математической задачей — сложением бесконечного числа различных притяжений. Она легко решается с помощью интегрального исчисления, но этот тонкий математический аппарат в то время только создавался. Ньютон сам изобрел его для решения этой и других задач, входящих в его работу; одновременно это же сделал и немецкий математик Лейбниц. Его вычисления, связанные с движением Луны, были отложены до тех пор, пока он не убедился, пользуясь изобретенным им методом, что шар с равномерно распределенной массой притягивает тела так, как если бы вся его масса была сосредоточена в его центре, при условии, что каждый участок притягивает тела по закону обратных квадратов. «Как только Ньютон доказал эту замечательную теорему, а мы знаем по его собственным словам, что он и не мечтал получить столь замечательный результат, пока ему не удалось это сделать с помощью собственных математических исследований, весь механизм Вселенной предстал перед ним»[94]. После этого он вернулся вновь к изучению движения Луны и с помощью одного лишь расчета проверил свои законы движения, формулу v²/R и замечательную идею о законе обратной пропорциональности силы тяжести квадрату расстояния как причины движения Луны по круговой орбите. На сей раз Ньютон был удовлетворен вычислениями. Согласие было полное; необходимая сила получалась за счет уменьшения силы тяжести. Ньютону удалось раскрыть тайну движения Луны.

Объяснение Ньютона.

С одной стороны, Ньютон дал объяснение проблеме, предположив, что Луну удерживает на орбите сила тяжести. С другой стороны, он ничего не объяснил. Не была объяснена сущность гравитации, не было высказано никаких соображений относительно того, что же, собственно, представляет собой сила тяжести. Ньютон лишь показал, что одна и та же причина вызывает или обусловливает и падение яблока и движение Луны. Подобное нахождение общих причин нескольких явлений и называется в науке «объяснением».

Если вы разочарованы, то примите во внимание, что такой шаг упрощает картину природы. Заметьте также, что в обычной речи слово «объяснить» означает сделать понимание явлений более простым, ясным. Это объяснение должно также содержать фундаментальные представления, но в работах Ньютона, как и в большинстве наук, основные, или первичные причины не проявляются. Эти работы показали, однако, что явления, которые казались обусловленными различными причинами, тесно связаны между собой. Несмотря на то что мы все глубже изучаем и познаем природу, находя общие связи, основной вопрос о происхождении Вселенной и о том, почему явления в ней протекают именно так, а не иначе, остается пока без ответа.

Всемирное тяготение.

Итак, сила тяжести, или, точнее, значительно ослабленная сила тяжести, — вот что удерживает Луну на ее орбите. А как обстоит дело с планетами? Удерживает ли их на орбитах та же сила?

Фиг. 151. Всемирное тяготение.

Поскольку движутся они вокруг Солнца, а не вокруг Земли, то и притягивающая их сила должна исходить от Солнца, а не от Земли. Рассматривая этот вопрос, Ньютон пришел к выводу, что существует всемирное тяготение: все небесные тела испытывают взаимное притяжение, обратно пропорциональное квадрату расстояния. Последнее следовало из анализа третьего закона Кеплера, Ньютон заключил, что любая часть материи во Вселенной притягивается всеми другими телами. Он знал из опыта, что вес тел пропорционален их массе (их притягивает Земля). Следовательно, притяжение Земли изменяется пропорционально массе притягиваемого ею тела. Если, согласно третьему закону, притяжение взаимно, то из соображений симметрии нужно учитывать и М₁ — массу Земли, и М₂ — массу притягиваемого тела. Зависимость от расстояния была получена с помощью проверки закона обратных квадратов по движению Луны. Поэтому Ньютон включил в общий закон коэффициент 1/d². Вот сформулированный им закон всемирного тяготения:

F ~= M₁M₂/d², или F = (постоянная)∙M₁M₂/d², или F = G∙(M₁M₂/d²⁾,

Где G — универсальная постоянная; М₁ и М₂ — массы; d — расстояние между ними; F — сила, с которой каждое тело притягивает другое. Нужно помнить, что универсальная постоянная G имеет другой физический смысл, нежели g, — локальное значение ускорения силы тяжести[95].

Могут ли эти общие законы объяснить движение планет? Ньютон доказал, что могут. Он показал, что притяжение по выведенным им законам обусловливает движение планет по эллиптическим орбитам, причем в одном из фокусов эллипса должно находиться Солнце. Ему удалось легко вывести два других закона Кеплера, которые также вытекают из его гипотезы всемирного тяготения. (Эти законы справедливы, если учитывается только притяжение Солнцем. Но мы должны учитывать и действие на движущуюся планету других планет.) В Солнечной системе эти притяжения незначительны по сравнению с притяжением Солнца, однако в точных расчетах ими нельзя пренебречь.

Так Ньютон перенес простое представление о движении Луны на всю планетную систему. Он предположил, что любое тело притягивается другим с силой, пропорциональной их массам и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. На основе этой гипотезы он создал подробную картину движения тел в Солнечной системе, свод законов, которые проверялись точными измерениями в течение двух столетий. Спутники планет подчиняются тем же законам. Даже кометы следуют общему правилу. И все эти движения определяются силой тяжести, которая хорошо известна на Земле. Ньютон объяснил небесную систему на основе единой рациональной схемы.

Это столь большое достижение, что следует специально проследить путь, которым Ньютон получил три закона Кеплера и затем использовал их в дальнейшей работе. Первое доказательство того, что движение планеты происходит по эллипсу, можно сделать либо используя изобретенное Ньютоном дифференциальное исчисление, либо опираясь на сложные и громоздкие геометрические доказательства. (Ньютон получил доказательство и геометрическим путем, чтобы убедить в своей правоте противников дифференциального исчисления.) Мы с большим сожалением опускаем это доказательство.

Выведем теперь третий закон Кеплера, а затем второй закон — закон равных площадей за равные времена. Второй закон следует из произвольной зависимости силы притяжения от расстояния, если эта сила действует по прямой, соединяющей центры планеты и Солнца. Но первому и третьему законам Кеплера удовлетворяет только закон обратной пропорциональности сил притяжения квадрату расстояния.

Третий закон Кеплера.

Чтобы получить третий закон Кеплера, Ньютон просто объединил законы движения с законом всемирного тяготения. Эллиптические орбиты движения планеты получаются, если использовать методы дифференциального исчисления, учитывающего изменения радиуса и скорости планеты. В результате таких вычислений получится третий закон Кеплера.

Фиг. 152. Движение планет.

Для случая круговых орбит можно рассуждать следующим образом: пусть планета, масса которой равна m, движется со скоростью v по окружности радиуса R вокруг Солнца, масса которого равна М. Это движение может осуществляться только в том случае, если на планету действует внешняя сила mv²/R, создающая центростремительное ускорение v²/R (см. гл. 21). Предположим, что притяжение между Солнцем и планетой как раз и создает необходимую силу. Тогда.

G∙(M∙m/d²) = m∙v²/R.

И расстояние d между m и М равно радиусу орбиты R. Но скорость.

V = ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ / ПЕРИОД ОБРАЩЕНИЯ = 2πR/T.

Где Т — время, за которое планета совершает один оборот. Тогда.

G∙(M∙m/R²) = [(2πR/T⁾²/R]∙m; G∙(M∙m/R²) = 4π²m∙R²/T²R.

Чтобы получить третий закон Кеплера, нужно перенести все R и T в одну сторону уравнения, а все остальные величины — в другую:

R³/T² = G∙M/4π^2.

Если перейти теперь к другой планете, с другим радиусом орбиты R' и периодом обращения Т', то новое отношение (R')³/(T')² будет опять равно G∙M/4π²; эта величина будет одинаковой для всех планет, так как G — универсальная постоянная, а масса М — одна и та же для всех планет, вращающихся вокруг Солнца. Таким образом, величина R³/T² будет одной и той же для всех планет в согласии с третьим законом Кеплера. Для других систем, например для спутников Юпитера, величина М будет другой (в этом случае М — масса Юпитера), a R³/T² будет иметь другое значение, одинаковое для всех спутников.

Масса планеты m сокращается. Несколько планет с различными массами могли выдвигаться по одной и той же орбите. Вы могли бы об этом догадаться — ведь это знаменитый эксперимент, но в космическом масштабе.

Если закон убывания силы тяжести отличается от закона обратных квадратов, то отношение R³/T² не будет одним и тем же для всех планет. Например, если использовать закон обратной пропорциональности кубу расстояния, то для всех планет постоянной будет величина R⁴/T²; в этом случае величины R³/T² будут пропорциональны 1/R и для разных планет будут разными. В действительности, как установил Кеплер, эти величины одни и те же. Это означает, что справедлив закон обратных квадратов.

Дифференциальное исчисление позволяет получить третий закон и для эллиптических орбит, но в этом случае R — средняя величина между наибольшим и наименьшим расстоянием планеты от Солнца.

Второй закон Кеплера.

Приведем приближенные вычисления, выполненные Ньютоном. Будем основываться на втором законе Ньютона: изменение количества движения равно F∙Δt. Следовательно, изменение mv — вектор, направленный по линии действия силы F и пропорциональный ее величине.

Фиг. 153. Свободное движение планеты.

_{А — планета Р движется прямолинейно о постоянной скоростью, за равные промежутки времени радиус-вектор описывает равные площади; б— свойства треугольников, которыми мы здесь пользуемся.}

Вначале предположим, что планета движется свободно, т. е. на нее не действуют силы. Мы можем провести радиусы, соединяющие планету с Солнцем, лишенным гравитации (фиг. 153). Планета Р будет двигаться с постоянной скоростью по прямой линии AF (первый закон Ньютона). Обозначим расстояния, пройденные планетой за одинаковые интервалы времени: АВ, ВС, CD и т. д. Так как скорость постоянна, то AB = BC = CD и т. д.

Рассмотрим площади, описываемые радиусом SP в процессе движения. Как сравнить треугольники SAB, SBC, SCD? У всех этих треугольников одинаковые высоты SM и одинаковые основания АВ, ВС, CD. Из этого следует, что площади треугольников равны. Радиус-вектор, проведенный из точки S, описывает одинаковые площади за равные интервалы времени, так что это простое движение подчиняется закону Кеплера.

Теперь предположим, что планета движется по орбите благодаря тому, что Солнце притягивает ее и сила притяжения направлена по радиусу PS. Чтобы упростить геометрическое рассмотрение, предположим, что притяжение действует только в точках А, В, С…. траектории, а остальное время планета движется свободно по прямой линии. Тогда траектория планеты будет выглядеть так, как показано на фиг. 154.

Фиг. 154. Движение планеты с «импульсным» притяжением.

_{В отсутствие притяжения в точке В планета Р двигалась бы по оси X.}

Предположим, что планета проходит отрезки АВ, ВС, CD и т. д. за одинаковые отрезки времени, а внешнее усилие возникает только в точках В, С, D и т. д. Планета движется равномерно вдоль АВ, затем в точке В испытывает мгновенное воздействие по направлению BS и резко изменяет свою скорость, начиная двигаться (уже с другой скоростью) вдоль ВС. Если исключить из рассмотрения точку В, то планета будет продолжать двигаться прямолинейно, как в рассмотренном выше простом примере! Продолжив прямую линию, отложим на ней отрезок ВХ, равный АВ. Если не учитывать притяжения в точке В, то планета пройдет расстояния АВ и ВХ за одинаковые отрезки времени, и радиус-вектор, проведенный из точки X, опишет одинаковые треугольники SAB и SBX. Но в действительности планета достигает вместо точки X положения С.

Повлияет ли это на равенство площадей? Если планета приходит в точку С, то нужно рассматривать треугольники SAB и SBC. Равны ли эти треугольники? Усилие действует в точке В по направлению к Солнцу вдоль прямой линии BS и изменяет направление движения. Это усилие придает планете добавочное количество движения, направленное по прямой BS, которое, складываясь с ее начальным количеством движения, обеспечивает движение планеты по прямой ВС. Начальное количество движения направлено по прямой АВ. Поэтому.

НАЧАЛЬНОЕ КОЛИЧЕСТВО ДВИЖЕНИЯ, НАПРАВЛЕННОЕ ПО АВ + ДОБАВОЧНОЕ КОЛИЧЕСТВО ДВИЖЕНИЯ, НАПРАВЛЕННОЕ ВДОЛЬ BS = НОВОЕ КОЛИЧЕСТВО ДВИЖЕНИЯ, НАПРАВЛЕННОЕ ПО ВС.

Из второго закона Ньютона следует, что количество движения по ВС — вектор. Поэтому суммирование необходимо проводить по законам векторного сложения (фиг. 155).

Фиг. 155. Изменение количества движения в точке В.

Так как масса планеты постоянна, то мы можем сократить ее и пользоваться для сложения скоростями:

СКОРОСТЬ ВДОЛЬ АВ + ПРИРАЩЕНИЕ СКОРОСТИ ВДОЛЬ BS = СКОРОСТЬ ПО НАПРАВЛЕНИЮ ВС.

Изобразим скорость планеты вдоль прямой АВ отрезком АВ. Тогда отрезок ВХ также будет равен этой скорости, а отрезок ВС будет соответствовать новой скорости планеты, направленной по прямой ВС (так как все отрезки равны расстояниям, проходимым за равные промежутки времени). Пользуясь этим масштабом, мы можем построить векторную диаграмму (фиг. 156), выражающую записанные выше уравнения.

Фиг. 156. Повторение фиг. 165 для скоростей.

_{Масштаб выбран таким, чтобы АВ или ВХ равнялись начальной скорости вдоль АВ, до ее изменения под действием силы притяжения в точке В.}

Пусть ВХ (=АВ) — начальная скорость до воздействия усилия, а ВС — конечная скорость после воздействия. Изменение скорости будет равно вектору BY, направленному по линии BS в сторону точки S. Построив параллелограмм с диагональю ВС, получим требуемый результат. Из свойств параллелограмма следует, что сторона ХС параллельна BY, так что точка С лежит на линии, параллельной BS.

Теперь рассмотрим треугольники SBC и SBX, представленные на фиг. 157.

Фиг. 157. Повторение фиг. 154, точка С лежит на прямой ХС, параллельной BY или ВS (а); треугольники одинаковой площади заштрихованы (б).

Они имеют одно и то же основание BS и находятся между параллельными прямыми, поэтому площади их равны. Площадь SBC равна площади SBX, которая в свою очередь равна площади SВА. Следовательно, треугольники SВА и SBC имеют одинаковую площадь. По аналогичным причинам треугольники SBC и SCD тоже имеют равные площади. В конечном итоге все площади треугольников равны между собой и закон Кеплера для этого движения выполняется. При этом необходимо, чтобы усилие всходило из одной и той же точки S. Если теперь чаще прикладывать усилие (но соответственно меньшее по величине), мы получим орбиту, как на фиг. 158, близкую к гладкой кривой. При этом будет соблюдаться и закон Кеплера, потому что сила направлена от планеты к Солнцу. Если прикладывать усилия еще чаще, то в пределе мы придем к случаю непрерывной силы с орбитой в виде гладкой кривой. Это и доказывает справедливость второго закона Кеплера для гладкой криволинейной орбиты.

Фиг. 158. Уменьшение равных интервалов времени от А до В, от В до С.

_{Орбита близка к гладкой кривой. Когда орбита представляет собой гладкую кривую, каждый сегмент, перекрываемый за равные времена, можно рассматривать как малый треугольник. Следовательно, у всех сегментов должна быть одинаковая площадь.}

Второй закон Кеплера и момент количества движения.

Ньютон пришел ко второму закону Кеплера, исходя из основных положений своей механики. Закон обратных квадратов для этого не требуется. Любое притяжение, направленное к Солнцу как центру, будет обеспечивать выполнение этого закона.

В современной механике эта задача представляет собой случай сохранения момента количества движения. Что такое момент количества движения[96] и почему мы уверены, что он сохраняется? Ниже дано краткое объяснение, слишком примитивное, чтобы быть убедительным, но имеющее целью дать общее представление об этом фундаментальном законе сохранения.

Прямолинейное движение описывается такими понятиями, как расстояние (s), скорость (v), ускоряющая сила (F)…. законами и соотношениями типа F∙Δt = Δ(Mv)…, и такими принципами, как сохранение количества движения. Когда тело вращается, не совершая поступательного движения, мы можем применить законы Ньютона к каждой его движущейся части и составить эквивалентную схему. Вместо пройденного расстояния мы будем теперь иметь угол поворота (выраженный в радианах или числе оборотов). Вместо линейной скорости мы будем иметь дело с угловой скоростью (в оборотах в минуту или в радианах в секунду). Вместо силы будет фигурировать момент силы, равный произведению силы на плечо, — причина, заставляющая тело вращаться все быстрее и быстрее. Соотношению.

СИЛА∙ВРЕМЯ = ПРИРАЩЕНИЕ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ,

Т. е. второму закону Ньютона, будет соответствовать.

МОМЕНТ СИЛЫ∙ВРЕМЯ = ПРИРАЩЕНИЕ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ.

Задумайтесь над смыслом момента количества движения, и вы, вероятно, придете к правильному заключению: подобно тому как момент силы равен произведению силы на плечо (F∙r), момент количества движения равен количеству движения, умноженному на плечо (Mv∙r).

Умножьте F и Mv на плечо относительно выбранной оси, и вы получите вариант второго закона Ньютона для случая вращательного движения. Плечо — это перпендикуляр, проведенный от оси в направлении действия вектора силы или количества движения.

Предположим, что два невращающихся тела сталкиваются и в результате одно из них начинает вращаться. Силы взаимодействия тел равны и противоположно направлены (третий закон Ньютона); плечо относительно произвольной оси для этих сил будет одними тем же. Поэтому моменты силы обоих тел относительно выбранной нами оси будут одинаковы по величине и противоположны по направлению. Приобретенный одним телом при столкновении момент количества движения будет равен по величине моменту количества движения второго тела, а их направления будут противоположными. Следовательно, полный момент обоих тел, приобретенный ими в процессе столкновения, равен нулю. Если одно тело начинает вращаться, другое тоже будет вращаться, но в противоположную сторону, вокруг той же оси. При любом столкновении или другом виде взаимодействия момент количества движения сохраняется, он может только передаваться без потерь или могут возникать равные по величине и противоположные по направлению моменты количества движения.

Фиг. 159. Вращения и столкновения.

Ввиду этого вращающееся изолированное тело (например, фигурист, вращающийся на одном коньке) не может изменить своего момента количества движения. Сумма произведений Mv∙r, относящихся к различным его частям, не может измениться. Предположим, что тело сжимается (фигурист сводит руки). Тогда величины r убывают для частей тела, приближающихся к оси вращения, и если полный момент остается постоянным, величина Mv должна возрасти — тело начнет вращаться быстрее. Понаблюдайте за фигуристом: независимо от его желания он вращается быстрее, если сводит руки или сгибает вытянутую ногу.

Фиг. 160. Момент количества движения вращающегося вокруг своей оси шара остается неизменным, если к нему не приложен момент внешней силы.

«Изолированное вращающееся тело не может изменить своего момента количества движения». Примените это положение к вращающейся Земле, к человеку на вращающемся без трения стуле. Превратитесь сами в «изолированное вращающееся тело»: начните вращаться, встав на одну пятку так, чтобы вы смогли повернуться несколько раз, прежде чем силы трения остановят ваше движение. (Еще лучше встать или сесть на табуретку, которая свободно вращается.) Возьмите тяжелую книгу и подержите ее на расстоянии вытянутой руки. Теперь, начав вращаться, прижмите книгу быстро к себе. Обратите внимание, как это отразится на вашей скорости. В этом случае момент количества движения сохраняется. Но здесь применим и второй закон Кеплера: книга — «планета», притягиваемая вами — «Солнцем» — во время ее вращения. (В этом опыте участвует ваша масса, которая имеет большую величину, поэтому вы не сможете с достаточной точностью проверить закон Кеплера.).

Для реальной планеты притяжение Солнца не создает момента силы относительно оси, проходящей через Солнце, и, следовательно, не может изменить момент количества движения планеты относительно Солнца. На самом деле последний равен Mv∙r, где r — не «рычаг» Кеплера, а отрезок перпендикуляра, опущенного из центра Солнца на касательную к орбите (линию скорости). Когда планета приближается к Солнцу, r уменьшается и, чтобы Mvr было постоянным, v должна возрастать в той же самой пропорции.

Фиг. 161. Человек на вращающейся площадке увеличивает скорость вращения, когда приближает груз к оси.

Предположим, что за очень короткое время t планета проходит небольшой участок орбиты s со скоростью v = s/t. На этом участке момент количества движения планеты относительно Солнца равен Mr∙(s/t), или Ms∙r/t. Но s∙r равно произведению высоты на основание малого треугольника, который за время t описывает радиус-вектор. Эта величина равна удвоенной площади треугольника!

Следовательно,

МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ ПЛАНЕТЫ = (МАССА М)∙(ДВОЙНАЯ ПЛОЩАДЬ, ОПИСЫВАЕМАЯ РАДИУСОМ-ВЕКТОРОМ) / ВРЕМЯ t.

Для случая притяжения Солнцем отношение.

ОПИСЫВАЕМАЯ ПЛОЩАДЬ/ВРЕМЯ.

Не меняется: согласно второму закону Кеплера, величина описываемой в единицу времени радиусом-вектором площади не может измениться. Следовательно, когда Кеплер открыл свой второй закон, он показал лишь, что сила притяжения планет направлена точно к Солнцу и что не существует других сил, таких, как трение, обусловленное вязким эфиром.

Закон сохранения момента количества движения столь же универсален, как и другие законы сохранения механики — сохранение массы, количества движения и т. д. В атомной физике мы называем его сокращенно законом сохранения спина и не сомневаемся в его справедливости даже в сложнейших взаимодействиях между частицами и излучением.

Фиг. 162. Момент количества движения планеты mvr = m∙(s/t)∙r = m∙(двойная площадь)/время.

Плодотворная теория.

Ньютон создавал свою теорию последовательно: сформулировал законы движения как исходные пункты разумных предположений, подкрепленных соображениями, полученными из экспериментальных данных; затем получил следствия законов, такие, как законы Кеплера, а затем проверил эти выводы на опыте. В случае законов Кеплера эксперименты уже были сделаны. Наблюдения Тихо Браге были прекрасной проверкой, так что, когда Ньютон получил теоретические результаты, экспериментальная проверка теории уже была заранее готова. Не приходилось поэтому сомневаться в том, что теория «верна». Теория оказалась ценнее отдельных фактов. Она давала ясное и полное представление о движении планет, связывая его с таким привычным явлением, как падение тел. Вооруженный мощными математическими методами и руководимый великолепной интуицией, Ньютон применил свою теорию к большому числу задач, вошедших в его Принципы. Некоторые из этих задач рассмотрены ниже.

I. Определение массы Солнца и Земли. Ньютон вычислил массу Солнца, выразив ее в земных массах. [В то время масса Земли не была известна и не могла быть определена без измерений, подобных более поздним измерениям, проведенным Кавендишем (см. гл. 23)

Фиг. 163. Вычисление отношения массы Солнца к массе Земли.

Вычисления могут быть выполнены следующим путем. (Индексы С, 3 и Л относятся к Солнцу, Земле и Луне соответственно.). Для Движения Земли по орбите вокруг Солнца. Обратите внимание, что масса Земли М_З сократилась, Для движения Луны по орбите вокруг Земли: Вновь масса Луны М_Л сократилась Теперь, разделив одно уравнение на другое, получим. Зная периоды и радиусы орбит, можно вычислить отношение масс Солнца и Земли. II. Вычисление масс планет. Ньютону удалось оценить массы Юпитера и других планет, у которых есть спутники, в единицах массы Земли или Солнца (Луна не имеет спутников, поэтому ее массу, которая сокращается в первом уравнении, определить нелегко.). III. Величина g на экваторе. Из-за вращения Земли вокруг своей оси тело будет весить меньше на экваторе, нежели на полюсе, потому что часть его веса должна обеспечить центростремительную силу, удерживающую тело в движении по окружности вместе с поверхностью Земли. Тело, подвешенное на пружинных весах, будет удерживаться меньшей силой, чем сила, действующая на это тело со стороны Земли. Поэтому взвешивание на пружинных весах дает для веса тела меньшее значение, чем его истинный вес, на величину mv²/R. Иными словами, напряженность поля силы тяжести Земли будет казаться меньше. Ньютон вычислил эту малую поправку к величине g, которую мы ныне можем наблюдать наряду с влиянием сфероидальной формы Земли. IV. Несферичность формы Земли. Ньютон рассчитал отклонение формы Земли от сферы, исходя из следующих соображений. Предположим, что Земля вращалась так же, как и теперь, в те времена, когда она представляла собой полужидкую тестообразную массу. Какую форму она должна была принять? Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим такую схему. Трубка с водой проходит через Северный полюс к центру Земли и оттуда к экватору (фиг. 164). Каков будет уровень воды в трубке у экватора, если трубка заполнена водой так, что-уровень воды у Северного полюса совпадает с поверхностью Земли? Давление воды на дне «полярной» трубки обусловлено весом воды в этой трубке, и это давление передается через колено на дно другого колена трубки. Вес воды во втором колене заставляет воду опускаться. Но в «экваториальной» трубке обе эти силы не равны. Они должны различаться на достаточную величину, чтобы обеспечить направленную внутрь центростремительную силу, действующую на воду в трубке, когда она вращается вместе с Землей вокруг земной оси. Поэтому вес воды в этом колене должен быть больше выталкивающего усилия со стороны «полярной» трубки на величину mv²/R, а водяной столб в «экваториальной» трубке должен быть выше, чем в «полярной». «Экваториальная» трубка должна возвышаться над поверхностью Земли, чтобы в ней уместилось дополнительное количество воды. Ньютон вычислил эту дополнительную высоту, оказавшуюся равной 24 км, и пришел к выводу, что на ранней стадии существования Земли, когда она была тестообразной, на — экваторе образовалась выпуклость примерно такой величины. Спустя короткое время измерения размеров Земли подтвердили этот вывод. У Юпитера этот эффект выражен более четко.

Фиг. 164. К оценке экваториальной выпуклости Земли.

V. Прецессия. Ньютон так объяснил прецессию равноденствий: ось вращения Земли описывает конус, ибо Солнце и Луна притягивают экваториальную выпуклость Земли. Земная ось наклонена к плоскости эллиптической орбиты Земли, поэтому экваториальная выпуклость приводит к несимметричному притяжению Солнцем и Луной. Мы остановимся здесь на эффекте, связанном с притяжением Солнцем. Сферическую Землю Солнце притягивало бы равномерно, как если бы вся масса Земли была сосредоточена в ее центре. Равнодействующая сила в этом случае должна быть направлена по прямой, соединяющей центры Земли и Солнца, независимо от того, вращается Земля или нет (фиг. 166, а). Сфероид с экваториальной выпуклостью подвергается дополнительным воздействиям, приложенным к выпуклости (фиг. 166, б).

Фиг. 165. Прецессия равноденствий.

_{А — шарообразная Земля не прецессировала бы даже совершая суточное вращение; б — через сотни лет Земля вращалась бы по своей орбите с тем же наклоном; в — прецессия сплющенной Земли; г — через несколько столетий ось вращения повернется по поверхности конуса прецессии.}

Фиг. 166. Прецессия.

_{А — Солнце притягивало бы сферическую Землю с силой, действующей по линии, соединяющей центры Земли и Солнца, независимо от того, вращается Земля или нет; б — Солнце притягивает неравномерно выпуклости сплющенной Земли.}

Эти малые дополнительные силы не равны — большее притяжение испытывает часть, обращенная к Солнцу (фиг. 167).

_{Эти малые дополнительные силы равноценны некоторому добавочному притяжению, направленному по линии, соединяющей центры Солнца и Земли, и небольшой добавочной силе f, которая стремится опрокинуть земную ось.}

_{Как и в любом случае вращения тела вокруг собственной оси, действие какой-либо силы, стремящейся наклонить ось вращения, сводится не к наклону оси, а к возникновению прецессии вокруг другой оси.}

Фиг. 167. Солнце притягивает ближайшую часть выпуклости сильнее, чем отдаленную.

Дополнительные силы эквивалентны среднему притяжению всей выпуклости, направленному по линии, соединяющей центры, плюс небольшая сила f, которая как бы качает земную ось. Так как земная ось наклонена, эта сила направлена от центра под углом. Угол между земной осью и дополнительной силой больше всего отличается от прямого в середине лета и в середине зимы. Когда такая сила действует на вращающееся тело, она не опрокидывает его, как можно было бы ожидать. Возникает очень интересное движение, называемое прецессией; вы можете его наблюдать, наклонив ось быстро вращающегося волчка. В этом случае сила тяжести, действующая на волчок, не опрокидывает его, а заставляет ось вращения волчка описывать конус. Ньютон показал, что притяжение Солнца и даже в большей степени Луны вызывает прецессию земной оси по конусу с углом раствора 23¹/₂° с периодом 26 009 лет (фиг. 167). Наконец было дано объяснение прецессии. Ее наблюдали еще греки, затем пытался объяснить Коперник, но явление оставалось совершенно необъяснимым до Ньютона. Это движение казалось таким непонятным, что почти не было надежды найти ему простое объяснение. Однако Ньютон показал, что это еще одно из проявлений всемирного тяготения: вращающаяся вокруг оси Земля прецессирует подобно волчку. ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ОПЫТ. На фиг. 168 показан опыт, иллюстрирующий земную прецессию. Рама с быстро вращающимся маховиком подвешена на длинной веревке. Веревка и рама позволяют маховику свободно вращаться относительно вертикальной или горизонтальной оси. Наклоненное вращающееся колесо продолжает вращаться, не совершая каких-либо движений. Если прикрепить резиновый шнур, который тянул бы раму, опрокидывая вращающееся колесо относительно горизонтальной оси, то колесо начнет прецессировать вокруг вертикальной оси (веревки).

Фиг. 168. Опыт, иллюстрирующий прецессию Земли.

Объяснение прецессии гироскопа. Земля, вращающийся волчок и «чудесный» гироскоп — все прецессируют одинаково, по одной и той же причине (фиг. 169).

Фиг. 169. Земля, волчок и гироскоп — все прецессируют одинаково, по одной и той же причине.

_{Приведенные на рисунке слова «ось момента силы» означают, что, действуя относительно этой оси, сила стремится опрокинуть вращающееся тело.}

Прецессия кажется необъяснимой, однако это всего лишь сложный пример применения законов Ньютона к вращательному движению тел. При отсутствии нецентральных сил момент количества движения тела остается неизменным по величине и по направлению. Если существует нецентральная сила, создающая опрокидывающий момент, то, складывая моменты количества движения как векторы, можно показать, что ось будет прецессировать. Этот вопрос рассматривается во многих книгах. Здесь дается простое объяснение того, что прецессия — прямое следствие второго закона Ньютона. На фиг. 170 представлено большое велосипедное колесо с массивным ободом, подвешенное на тросе РQ и совершающее прецессию.

Фиг. 170. Прецессия как случай движения, описываемого вторым законом Ньютона.

Рассмотрим количество движения элемента колеса А. Этот элемент движется вперед, но вес, опрокидывая колесо, перемещает А вправо, сообщая А некоторое количество движения вправо. Это количество движения складывается с основным, направленным вперед, так что результирующее количество движения элемента А будет направлено вперед и немного вправо. Аналогично, элемент В в нижней части колеса будет иметь количество движения, направленное назад и немного влево. Для того чтобы элементы А и В обладали такими количествами движения, колесо должно вращаться относительно вертикальной оси, т. е. совершать прецессию. Здесь проявляется механизм прецессии, но распространить это рассмотрение на другие части колеса оказывается очень сложно. VI. Движение Луны. Луна испытывает многочисленные возмущения, отклоняющие ее от равномерного кругового движения. Прежде всего она движется по кеплеровскому эллипсу, как любой спутник, в одном из фокусов которого находится Земля. Но эта орбита испытывает небольшие вариации за счет притяжения Солнцем[97]. При новолунии Луна находится ближе к Солнцу, чем полная Луна, появляющаяся на две недели позднее, эта причина изменяет притяжение, что ведет к замедлению и ускорению движения Луны в течение месяца. Этот эффект увеличивается, когда зимой Солнце ближе, так что наблюдаются и годовые вариации скорости движения Луны. Кроме того, изменения солнечного притяжения меняют эллиптичность лунной орбиты; лунная орбита отклоняется вверх и вниз, плоскость орбиты медленно вращается. Ньютон предвидел эти эффекты в движении Луны и по возможности делал оценки их величин. Некоторые эффекты наблюдались уже давно, в некоторых следовало еще разобраться, и Ньютон просил королевского астронома провести измерения, ряд измерений был осуществлен много позже. Эллиптическая орбита поворачивалась в собственной плоскости со скоростью 3° в месяц, а первое вычисление Ньютона давало значение только 1¹/₂°. В течение многих лет после Ньютона математики решали эту проблему, стараясь объяснить расхождение. Они пытались даже заменить закон обратных квадратов законом обратной пропорциональности третьей степени. Наконец одному из них удалось обнаружить, что Ньютон незаконно пренебрег некоторыми членами в своих выкладках и что если их учесть, то теория будет согласоваться с экспериментом. Еще позднее в бумагах Ньютона были найдены правильные вычисления; из них стало ясно, что Ньютон сам обнаружил допущенную ошибку и получил правильный результат. Таким образом, Ньютон показал, что отмеченные нерегулярности в движении Луны вызваны всемирным тяготением. Он не разработал во всех деталях вопрос о солнечном притяжении, движение Луны осталось сложной проблемой, которая разрабатывается со все возрастающими подробностями и до наших дней. Идеальный метод решения проблемы — наиболее общий: лечить болезнь, а не каждый из ее симптомов отдельно, т. е. попросту рассчитать траекторию Луны в сложном поле силы тяжести Земли и Солнца. Это знаменитая «проблема трех тел»: три большие массы находятся в пространстве и обладают данными начальными скоростями; нужно определить их движение в дальнейшем. Эта проблема выглядит простой, если ее решать по частям, однако полное ее решение пока получить не удалось. VII. Приливы и отливы. Океанские приливы и отливы долгое время оставались загадкой, объяснить которую, казалось, можно было бы, установив их связь с движением Луны. Однако люди считали, что такая связь реально существовать не может, и даже Галилей осмеял эту идею. Ньютон показал, что приливы и отливы обусловлены неравномерным притяжением воды в океане со стороны Луны. Центр лунной орбиты не совпадает с центром Земли. Луна и Земля вместе вращаются вокруг их общего центра масс подобно двум плохо подобранным партнерам, танцующим вальс. Этот центр масс находится на расстоянии примерно 4800 км от центра Земли, всего лишь в 1600 км от поверхности Земли. Когда Земля притягивает Луну, Луна притягивает Землю с равной и противоположно направленной силой (третий закон), благодаря чему возникает сила Mv²/r, вызывающая движение Земли вокруг общего центра масс с периодом, равным одному месяцу. Ближайшая к Луне часть океана притягивается сильнее (она ближе), вода поднимается — и возникает прилив[98]. Находящаяся на большем от Луны расстоянии часть океана притягивается слабее, чем суша, и на этой части океана также поднимается водяной горб. Поэтому за 24 часа наблюдается два прилива. Вследствие вращения Земли движется и ее поверхность, тогда как приливные горбы, создаваемые притяжением Луны и Солнца, остаются еще на месте, так что приливы поднимаются и опускаются над сушей, движущейся под ними. Вода океана движется вместе с Землей, а приливные горбы идут как волны от берега к берегу. В результате сложных процессов, вызываемых трением и инертностью водяных масс, приливные горбы задерживаются, поэтому приливной горб находится не точно под Луной, а отстает в среднем на ¹/₄ суток. Солнце тоже вызывает приливы, хотя и не столь сильные, ибо большое расстояние до Солнца сглаживает неодинаковость притяжения. Два раза в месяц, когда солнечные и лунные приливы совпадают, наблюдаются особенно большие приливы. Когда солнечный и лунный приливы приходят в противоположных фазах, наблюдаются малые «квадратурные» приливы.

Фиг. 171. Океанские приливы и отливы обусловлены притяжением Луны.

_{Более сильное притяжение ближайшей к Луне части океана вызывает прилив. Малое действие притяжения на далекие от Луны части океана создает другую приливную волну.}

Фиг. 172. Отставание приливов.

_{В действительности приливные горбы отстают от Луны из-за инерции приливного трения, эффектов, связанных с вращением. Ввиду суточного вращения Земли приливы в большинстве мест на земном шаре отстают на 6 часов от Луны.}

Мы можем оценить «приливные силы», действующие на элемент вещества в разных частях Земли. Возьмем «элемент», который весит 30 000 000 ньютон в любом месте на поверхности Земли[99]. В центре Земли 3 земное притяжение, испытываемое этим «элементом», будет равно нулю (фиг.173).

Фиг. 173. Сила, вызывающая приливы.

Лунное притяжение создает силу mv²/(радиус 3G), соответствующую месячному движению элемента. Расчет показывает, что эта сила равна 100 ньютон. Во всех других точках А, В, С… сила, действующая в направлении Луны, такая же — 100 ньютон, но лунное притяжение равно 97 ньютон, в точке А и 103 ньютон в точке С. Таким образом, радиальные притяжения, приходящиеся на элемент, будут равны: В А: 30 000 000 + 97, эта величина обеспечивает необходимые 100 ньютон и еще остается 29 999 997 для эффективного g; В В: 30 000 000 + Вертикальная компонента лунного притяжения, которая имеет небольшой наклон. Эта компонента составляет 4000/240 000 от 100, или около 1,5. В этом случае эффективное g равно 30 000 001,5; В С: 30 000 000 (внутрь) и 103 (наружу), что обеспечивает необходимые 100 ньютон и еще остается (внутрь) 29 999 997 для эффективного g. Таким образом, в точках А и С элемент «легче», чем в точке В, — на него действует приливная сила, равная 4,5 ньютон. Эта сила и порождает два горба, причем на каждые 3000 т приходится только 4,5 ньютон. VIII. Масса Луны. Сравнивая квадратурный и сизигийный приливы, мы можем разделить и сравнить действие Солнца и Луны[100]. Это проделал Ньютон и смог таким образом оценить массу Луны по величине вызываемого ею прилива. Иными словами, у Луны имеется необычный спутник — океанский водяной горб, который мы называем приливом. В течение двух столетий непосредственно определить массу Луны было невозможно, пока человек не запустил спутники для ее изучения. IX. Кометы. Ньютон раскрыл природу комет — этих гостей Солнечной системы, которые всегда вызывали интерес и даже священный ужас. (Довольно странно, что даже в наши дни в широкой печати кометы рассматриваются как мистические явления. Бульварная пресса не осмелится назвать затмение чудом, ибо это вызовет смех, но когда появляется видимая комета или даже слух о ней, многие газеты из этого делают сенсацию, сообщая о «чудесном событии на небесах». Это невежество сохранилось вместе с теми предрассудками, которые обеспечили астрологии существование на века.). Тихо Браге и Кеплер показали, что кометы не «чудесные явления», а тела, пересекающие, как тогда думали, орбиты планет только один раз. Их можно видеть лишь потому, что они освещаются солнечным светом, и по той же причине их можно наблюдать, когда они находятся на небольших расстояниях от Земли. Ньютон показал, что кометы движутся по очень вытянутым эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых находится Солнце. Их движение определяется, как и движение планет, гравитацией. Но они имеют очень малую величину, и их орбиты обладают значительно большим эксцентриситетом, так что их можно видеть только тогда, когда они проходят вблизи Солнца. Кометы уходят далеко за пределы орбит самых далеких планет, все время замедляясь (второй закон Кеплера); наконец, изменив направление в «вершине» эллипса (первый закон Кеплера), они после долгого путешествия прилетают опять в нашу область, разворачиваются на максимальной скорости вокруг Солнца и снова удаляются. Эллиптическая орбита кометы может быть измерена, и время ее возвращения точно предсказано. Одна из наиболее знаменитых комет названа по имени ее открывателя — Галлея (Галлей познакомился с Принципами Ньютона, когда их еще печатали). Это первый пример удачного предсказания времени — возвращения кометы, интервал между ее «визитами» оказался равным 76 годам. Ньютон как раз вовремя указал на одну из старых записей Кеплера и предсказал время будущих возвращений. Когда кометы возвратились точно в предсказанное время, они потеряли свою таинственность, но не потеряли своей славы. Их регулярное возвращение в предсказанные сроки позволяет проверить наши наблюдения и дает еще одно подтверждение закона всемирного тяготения. Можно проследить появление комет в прошлом. Например, комета Ньютона, которую он наблюдал в 1680 г., а возвращения которой можно ожидать в 2255 г, могла быть той самой кометой, которая, по преданиям, возвестила о гибели Юлия Цезаря.

Фиг. 174. Схема Солнечной системы и комета Галлея.

_{Открытая самой последней, планета Плутон очень мала и движется по эллиптической орбите, простирающейся от орбиты Нептуна до очень больших расстояний. (Меркурий и Венера не показаны).}

В некоторых случаях комета испытывает сильное гравитационное возмущение, проходя вблизи больших планет, и переходит на новую орбиту с другим периодом. Вот почему мы знаем, что у комет масса невелика: планеты оказывают воздействие на их движение, а кометы не влияют на движение планет, хотя и действуют на них с такой же силой. Если комета приходит из внешнего пространства с очень большой скоростью, она обходит Солнце и уходит в новом направлении, но движется не по эллипсу, а по гиперболе и в этом случае назад не возвращается[101]. Кометы движутся так быстро и приходят так редко, что еще до сих пор ученые ждут момента, когда можно будет применить современные средства к исследованию большой кометы. Считают, что кометы состоят из камней, пыли, газа и т. д., движущихся совокупно. Приближаясь к Солнцу, они все сильнее и сильнее отражают свет и кажутся все ярче и ярче. Когда комета проходит очень близко от Солнца, он может сильно нагреться и начать испускать собственное излучение. Излучение Солнца вызывает испарение вещества некоторых комет; рассеиваемый дополнительно на парах свет делает кометы более яркими и как бы увеличивает их объем. У многих комет образуется «хвост» из яркого вещества, который следует за кометой и изгибается, отклоняясь от ее орбиты в сторону от Солнца.

Фиг. 176. Комета, движущаяся по эллиптической орбите, в одном из фокусов которой находится Солнце, проходит через Солнечную систему.

Почему хвост не движется вместе в остальными частями кометы? Тело комет состоит из отдельных частиц, но тем не менее все они движутся по общей орбите, так как солнечное притяжение пропорционально массе (вспомните символический эксперимент). Хвост — исключение. Он не движется вместе с остальной массой кометы и даже отклоняется в сторону. Из этого можно заключить, что существует отталкивающая сила между Солнцем и кометой, причем эта сила действует на хвост сильнее, нежели на остальные части. Хвост скорее всего состоит из мельчайших частичек пыли, а может быть, только из газообразного вещества. Почему на маленькие частицы действуют относительно большие силы, чем на большие? Поверхностное натяжение, внутреннее трение жидкости и некоторые другие силы изменяются пропорционально поверхности частицы, тогда как гравитационные силы пропорциональны массе, а значит — объему. Наиболее вероятно, что «поверхностными силами», действующими на кометную пыль, являются давление света и поток ионов, испускаемый Солнцем. Уменьшение линейного размера частицы в 10 раз ведет к уменьшению ее массы в 1000 раз, а поверхность при этом становится меньше только в 100 раз, поэтому относительное значение поверхностных сил по сравнению с гравитационным притяжением массы становится в 10 раз больше. Вблизи Солнца его световое излучение очень велико, кроме того, оно испускает потоки протонов, и давление на небольшие частицы начинает играть важную роль. Вероятно, именно поэтому хвост кометы отталкивается от Солнца.

Фиг. 177. Силы, действующие на частицы хвоста кометы.

_{Влияние давления света пропорционально площади поверхности, гравитационное притяжение пропорционально массам притягивающихся тел.}

X. Сила тяжести внутри Земли. С помощью интегрального исчисления Ньютон показал, что пустая материальная оболочка сферической формы притягивает находящуюся вне ее массу так, как если бы вся масса оболочки была сосредоточена в центре сферы. Представив себе, что Земля состоит из концентрических оболочек (даже различной плотности), Ньютон смог прийти к заключению, что и Земля притягивает другие тела так, как будто вся ее масса сосредоточена в ее центре. Ньютон также показал, что помещенное в такую оболочку тело не испытывает на себе действия сил. Этот результат не имеет большого значения для толкования земного тяготения, хотя и очень важен в теории электричества, ибо позволяет осуществить превосходную проверку закона обратных квадратов для электрических зарядов. Об этом будет сказано подробнее в гл. 33[102]. Эти два результата, полученные для сферической оболочки, дают интересную картину гравитационного поля однородного шара. Вне его поле спадает по «закону обратных квадратов»: g изменяется как 1/R², где R — расстояние от центра. Если поместить тело внутри шара, то оно окажется как бы внутри оболочки, притяжение которой на него не действует. Тело остается как бы на поверхности внутреннего шара. У него меньшая масса, но оно находится ближе к центру. В результате внутри шара g изменяется пропорционально R.

Фиг. 178. Определение величины g.

XI. Искусственные спутники. Ньютон указал, что любой снаряд является спутником Земли. Допустим, что из пушки, стоящей на вершине горы, горизонтально выпущен снаряд. Медленно летящий снаряд падает на Землю по параболе, фокус которой расположен близко к вершине. В действительности траектория снаряда представляет собой эллипс, второй фокус которого находится в центре Земли. Парабола и эллипс неразличимы на малом участке траектории, наблюдаемой, пока снаряд еще не упал (Чтобы получилась действительно парабола, нужна большая, плоская «Земля», а не шарообразная, с постоянным значением g.) Более быстрый снаряд полетит по эллипсу, но с малым эксцентриситетом. Можно придать снаряду такую скорость, что он будет вращаться вокруг Земли подобно Луне, обходя Землю по круговой орбите многократно (при условии, что стрелявший человек освободит дорогу «маленькой луне», после того как произведет выстрел). Такова картина движения искусственного спутника, полученная Ньютоном. Для спутника Земли и Луны будет справедлив третий закон Кеплера. Если снаряд летит со скоростью, превышающей ту, которая соответствует движению по круговой орбите, то его траектория будет представлять собой эллипс, ближайшим фокусом которого является центр Земли. Если снаряд будет лететь быстрее, его траектория превратится в огромную параболу. Если его скорость еще больше возрастет, то он будет двигаться по гиперболе и покинет Землю навсегда. Скорость, необходимую для такого «бегства», можно рассчитать. Такой расчет очень важен для космических полетов и уже давно применялся при определении скорости молекул газа, покидающих атмосферу Земли.

Фиг. 179. Орбиты спутников Земли (по рисунку Ньютона).

_{Когда эллиптические орбиты проходят через Землю, они показаны так, как если бы вся масса Земли была сосредоточена в ее центре. Поэтому на них как бы не распространяется уменьшение силы тяжести внутри земного шара.}

XII. Возмущения движений планет. Великое открытие. Движением планет управляет в основном Солнце, но другие планеты, подчиняющиеся закону всемирного тяготения, тоже создают небольшие силы, «возмущающие» простое движение. Ньютон изучал эти возмущения. Например, большая планета Юпитер притягивает соседний Сатурн, в результате чего наблюдаются заметные изменения орбиты Сатурна. Направление притяжения изменяется, так как Юпитер и Сатурн движутся по своим орбитам. Притяжение между ними значительно изменяется также и по величине, когда межпланетное расстояние меняется от минимального до максимального[103]. Это взаимодействие влияет на силу тяжести и вносит в движение планет изменения, которые, накапливаясь, в свою очередь несколько изменяют орбиты. Ньютон оценил этот эффект и показал, что полученные результаты соответствуют наблюдаемым особенностям движения Сатурна. Однако общее решение проблемы — весьма сложная задача, и Ньютон положил лишь начало ее исследованию.

Фиг. 180. Оставшиеся «необъясненными» возмущения Урана (в период от 1650 до 1850 г).

_{Крестиком отмечено открытие Гершелем Урана. Зная орбиту Урана, астрономы обнаружили, что Уран наблюдался и был зарегистрирован как звезда несколько раз. Эти даты обозначены полыми кружочками. Стрелкой указано минимальное расстояние между звездами, видимое невооруженным глазом.}

Исследование возмущений, движения планет на первый взгляд похоже на возню с мелкими деталями; между тем спустя столетие подобного рода исследования привели к выдающемуся успеху — открытию новой планеты. До этого первая планета, кроме пяти планет, известных еще Копернику, была открыта с помощью телескопа. В 1781 г. Гершель заметил звезду, которая была больше соседних звезд и двигалась по отношению к ним, что и доказывало, что это планета. Новую планету назвали Ураном. Она была удалена От Земли на вдвое большее расстояние по сравнению с Сатурном, а радиус ее орбиты и период обращения соответствовали третьему закону Кеплера. Продолжавшееся изучение Урана позволило обнаружить небольшие отклонения от кеплеровской орбиты. Некоторые из них можно объяснить возмущениями, вносимыми Сатурном и Юпитером. Однако некоторая необъяснимая ошибка оставалась. По данным 1820 г. она составляла всего ¹/₁₀₀° Одни астрономы сомневались в точности закона обратных квадратов, другие высказывали предположение о существовании еще неизвестной планеты, возмущающей Уран. Это было остроумным предположением, но ставило почти неразрешимую проблему. Несмотря на это, два молодых математика, Адаме в Англии и Леверье во Франции, решили определить положение этой гипотетической планеты. Очень сложно рассчитать взаимодействие двух известных планет, а здесь была обратная задача, да еще речь шла о планете, о которой ничего не было известно, ни ее масса, ни расстояние, ни направление движения. Все это нужно было найти по незначительным отклонениям Урана от кеплеровской орбиты.

Фиг. 181. Возмущающие движение Урана силы, обусловленные Нептуном.

_{Показано положение планет в разные годы. До 1822 г притяжение Нептуна ускоряло движение Урана по его орбите, так что он приходил в точку наблюдения несколько раньше, чем это ожидалось. После 1822 г. притяжение Нептуна замедляло движение Урана.}

Адаме начал работать над этой проблемой, как только оставил студенческую скамью. Двумя годами позднее он написал королевскому астроному, сообщая ему, где следует искать новую планету. Точность вычислений Адамса лежала в пределах 2°, но королевский астроном не придал большого значения письму Адамса и запросил у него дополнительные данные. В те времена, как, впрочем, и теперь, профессиональных ученых забрасывали письмами эксцентричные энтузиасты, поэтому к такого рода письмам выработалось несерьезное отношение. В то же время над проблемой совершенно независимо работал Леверье. Он изучил несколько гипотез и остановился на том, что существует неизвестная планета, и в конечном итоге пришел к результату, близкому к полученному Адамсом. Он тоже написал королевскому астроному, и только тогда последний начал тщательное, но медленно подвигавшееся исследование. К этому времени другие астрономы начали верить в возможность того, что «мы видим ее (планету), как Колумб видел Америку с берегов Испании». Леверье написал еще директору Берлинской обсерватории, который произвел наблюдения в указанном направлении, сравнил свои наблюдения с новой звездной картой и обнаружил новую планету. Открытие обошло весь мир и было подтверждено во всех обсерваториях. Эту новую планету, открытую на основе теоретического расчета, назвали Нептуном.

Методы Ньютона.

Ньютон изложил свои астрономические исследования в Принципах. Он использовал метод дедукции для получения большого числа выводов из нескольких законов, но его трактовка существенно отличалась от дедуктивных методов греков и их последователей.

Ньютон создал свою теорию на основе предположений, вытекающих из эксперимента, затем получил из теории следствия, а уже потом проверил, насколько мог, эти следствия экспериментально. Поэтому его теория была связана с действительностью экспериментом и четкими определениями, она могла предсказывай, явления, которые в свою очередь проверялись опытом. Теория Ньютона «объясняла» множество чудес, сводя их к обычным уже известным явлениям.

Преемники Ньютона исказили его точку зрения на гравитацию. Они полагали, что Ньютон трактовал ее как «действие на расстоянии», как чудесную силу, мгновенно действующую в вакууме, в отличие от декартова пространства, заполненного вихрями, которые передают силу и движение. Ньютон попросту считал, что обратно пропорциональное квадрату расстояния силовое поле позволяет объяснить законы Кеплера и многие другие явления. Для этого ему не нужно было знать, как передается сила. Он прямо говорил о том, что причина тяготения ему неизвестна. Он предполагал, что тяготение должно быть некоторым видом воздействия, исходящего от каждого материального тела и пронизывающего каждое другое тело, но это было лишь описанием наблюдаемых свойств. Ньютон подчеркивал, что он не знает их первичной причины. «Hypotheses non fingo» — «Я не измышляю гипотез», — писал он однажды в раздражении. Он не желал вводить лишние детали в описание природы и не пытался высказывать предположения, которые не могли бы быть проверены. Однако в последних работах он высказал много остроумных догадок о природе света, строении атома и даже о механизме гравитации.

Обычно Ньютона описывают как холодного, логически мыслящего, лишенного эмоций гения, который создал стиль современной науки. Но один из его биографов, лорд Кейнес, изучивший многие рукописи Ньютона, обнаружил, что Ньютон был затворником, толковавшим природу мистически.

«Ньютон не был первым человеком века рационализма. Он был последним магом, последним из вавилонян или шумеров, последним великим умом, который взглянул на вещественный и интеллектуальный мир теми же глазами, что и люди, начинавшие создавать наше интеллектуальное наследство не менее чем 10 000 лет назад.

Исаак Ньютон, ребенок, родившийся после смерти отца, вдень Рождества Христова в 1642 г., стал любимцем богов»[104]. Ньютон сам чувствовал себя волшебником, разгадавшим божественную тайну Солнечной системы, используя записи с результатами измерений, опыты, которые должны были быть сделаны, сказания и даже просто догадки, внушенные древним авторам самим богом и содержащиеся в их трудах. Он преуспел в раскрытии тайн природы благодаря своему необычному дару упорно сосредоточиваться на интересующей его проблеме, «его сила интуиции была одной из самых замечательных, которой человек когда-либо был одарен». Не мог ли он таким же путем объяснить поведение материи и человеческого мышления, показать движение времени от сотворения мира до его конца? Этот потрясающий ум стремился, насколько его понял Кейнес, быть вместе «и Коперником и Фаустом». Все биографы, начиная от современников и кончая Кейнесом и Эйнштейном, считали Ньютона величайшим математиком из существовавших за последнее тысячелетие. Идеи Ньютона.

Как творец науки Ньютон создал новый стиль, который до сих пор еще сохраняет свое значение. Как научный мыслитель он представляется выдающимся основоположником идей. Новые идеи рождались у него гораздо чаще, чем это можно было бы объяснить простой удачей. Он сформулировал законы движения, которыми мы пользуемся поныне и которые мы считаем очень точным приближением к действительности. Ньютон пришел к замечательной идее всемирного тяготения. На основании скудных данных ему удалось оценить массу Земли, хотя эту оценку в те времена проверить было невозможно. Только после опытов Кавендиша Земля была «взвешена». Для своей оценки Ньютон предположил, что плотность твердых тел не может быть меньше плотности воды. Плотность же центральных частей Земли должна быть больше, чем горных пород, находящихся на поверхности. Исходя из этого, Ньютон предположил, что средняя плотность земного вещества в 5 или 6 раз превосходит массу водяного шара такого же размера (а по современным измерениям — в 5,5 раз!).

Ньютон создал теорию световых волн, объяснявшую и свойства световых лучей, и интерференцию в тонких пленках (открытую и изученную им). Это была удивительная теория, в которой считалось, что свет состоит из частиц, сопровождаемых волнами, и которая объясняла на основе этого представления законы распространения света. Через сто лет волновая теория заменила корпускулярную и дискредитировала ее. Многие годы теория света Ньютона вызывала улыбку ученых. Теперь, двести лет спустя, наука располагает четкими доказательствами того, что свет сочетает в себе свойства и волн и корпускул. Ныне мы придерживаемся теории, удивительным образом напоминающей ньютоновскую! Еще раз возникшая у него идея оказалась правильной.

Я не думаю, что появление замечательных идей, характерное для Ньютона и других великих людей, связано с их сверхъестественной интуицией, чудесным вдохновением или сопутствующей им особой удачей. Полагаю, что появление идей у Ньютона объясняется его огромными познаниями, большой гибкостью ума, умением собирать и обрабатывать случайные данные и использовать другие явления, открытые всем, но слишком скоро забываемые рядовым человеком. Интуиция Ньютона необычайна именно потому, что он опирался на великую сокровищницу знаний и мог воспринимать и помнить то, что обыкновенный человек не воспринимает или быстро забывает. Как великий актер чувствует аудиторию, перед которой выступает, отталкиваясь в своем творчестве от прекрасного знания эмоций и поведения людей, так и Ньютон чувствовал природу и мог опираться на богатые наблюдения явлений. Выть может, именно в тонком восприятии окружающего мира — мира людей или мира предметов — и заключается величие.

Задача 1. Первая проверка закона всемирного тяготения. Ньютон не указал, почему падают яблоки. Назвав причину возникновения веса тел словом «гравитация», происходящим от латинского и французского слов «тяжелый», он ничего не объяснил. Утверждение «Земля притягивает яблоко» связывает причину притяжения с Землей, а не с небом, но ничего не дает для понимания сущности гравитации. Между тем, столкнувшись с вопросом «Что удерживает Луну и планеты на их орбитах?». Ньютон смог предложить «объяснение» в том смысле, что одно и то же свойство природы обусловливает также движение планет по орбите и падение яблок. Поэтому «объяснение» означает только объединение этих явлений, объяснение их одной общей причиной. Но уже это весьма полезно для дальнейших выводов и для упрощения наших представлений о природе. Изучая движение Луны, Ньютон вычислил ее ускорение v²/R. Эта величина оказалась значительно меньше обычного значения g, равного 9,81 м/сек². Поэтому Луна должна была бы падать под действием силы тяжести, если бы земное притяжение не было значительно ослаблено расстоянием. Ньютон пытался рассмотреть простую форму зависимости ослабления притяжения — закон убывания силы тяжести обратно пропорционально квадрату расстояния. Он предположил, что с увеличением расстояния вдвое сила тяжести уменьшится в 4 раза, а если расстояние возрастет в 10 раз, то сила уменьшится в 100 раз и т. д. Используя приведенные ниже данные, повторите вычисления Ньютона, определив (расчеты нужно вести с большой точностью[105]): А) ускорение Луны в м/сек², если принять a = v²/R; Б) ожидаемое значение g на Луне в м/сек², считая, что «земное» значение g убывает по закону обратных квадратов. Нужно предположить, что Земля притягивает яблоко так, как если бы вся ее масса была бы сосредоточена в центре Земли, т. е. на расстоянии одного земного радиуса от яблока. В связи с тем что ответ требуется дать в м/сек², величины расстояний нужно перевести в метры, а время в секунды, прежде чем подставлять данные в формулы. Впрочем, вы можете воспользоваться переходными коэффициентами и отложить перевод единиц, пока это не станет необходимым. Однако смешение километров, часов, метров, секунд может запутать вычисления. Данные. Радиус Земли 6367 км. Радиус лунной орбиты в 60,3 раза больше земного; 1 месяц = 27,3 дня (это абсолютный период обращения Луны по отношению к неподвижным звездам); 1 км = 1000 м; g яблока = 9,81 м/сек². Задача 2. Третий закон Кеплера. Ньютон пришел к выводу о всеобщем характере закона, согласно которому сила притяжения между телами обратно пропорциональна квадрату расстояния. Мы выражаем этот закон в виде F = GM₁M₂/d². Из этого закона («принципа») он вывел (предсказал) свойства движения Луны, планетной системы, приливов и т. д. Получите третий закон Кеплера, пользуясь приведенными ниже указаниями. Предположите, что Солнце, масса которого М, удерживает на круговой орбите планету массой m за счет гравитационного притяжения, причем радиус орбиты равен R. Предположите далее, что планета движется с заданной скоростью v, затрачивая время Т (планетный «год») на то, чтобы совершить один оборот. А) Получите в алгебраической форме: — ускорение планеты; — силу, необходимую, чтобы придать планете ускорение; — силу гравитационного притяжения, если она подчиняется закону тяготения Ньютона; — скорость v планеты, выраженную через величины R и Т. Б) Доказательство. — напишите полученное Ньютоном алгебраическое уравнение, согласно которому искомая сила, необходимая, чтобы придать планете ускорение, равна гравитационному притяжению; — исключите из итого уравнения v, пользуясь соотношением, выраженным через величины R и Т; — перенесите величина, R и Т в левую часть уравнения, а все остальное в правую часть, получив таким путем новое уравнение; — найдете ли вы R³/T² в левой части нового уравнения? (Если нет, проверьте свои выкладки.) Установили ли вы, что правая часть одинакова для всех планет, что она постоянна и не содержит m, R, Т? — будет ли это новое уравнение справедливо с той же самой правой частью для других планет с разными массами, орбитами, периодами обращения, но с тем же Солнцем? Следует ли из соображений Ньютона третий закон Кеплера? Задача 3. Второй закон Кеплера (Закон «равных площадей»). А) Что утверждает этот закон? (Приведите чертеж.). Б) Ньютон показал, что этот закон должен выполняться для любого движения планет, если…(?). В) Просмотрите геометрическое доказательство, сделанное Ньютоном, затем запишите ваш вариант доказательства и дайте рисунок. (Сделайте лучше несколько четких рисунков вместо одного, слишком подробного.). Задача 4. Относительные массы планет. А) Используя законы движения Ньютона, a = v²/R и закон всемирного тяготения F = GM₁M₂/d², покажите, как можно получить на основе астрономических измерений отношение (масса Юпитера)/(масса Солнца). Оцените конечный результат, не ссылайтесь на алгебраический результат. Б) Определите приближенно[106] это отношение (см. данные ниже). В) Сделайте аналогичные оценки отношения (масса Земли)/(масса Солнца). Г) — Из экспериментов, подобных опытам Кавендиша, можно оценить массу Земли. Ее величина около 6,6∙10²¹ т. Вычислите приблизительно из приведенного выше отношения массу Солнца в тоннах. Данные (некоторые из них могут не потребоваться). Радиусы орбит планет (см. табл. в гл. 18). Продолжительность «года» планет (см. табл. в гл. 18). Данные о спутниках Юпитера (см. гл. 19). (Не пользуйтесь величинами радиусов орбит в единицах радиуса Юпитера, а используйте величины в милях. Времена даны в часах, преобразуйте их в единицы, которые вы использовали в других вычислениях.). Данные о Земле: Собственный радиус ~ 6300 км. Время обращения вокруг оси 24 часа. Радиус орбиты ~150 млн. км. 1 год ~= 365 дней ~= 3∙10⁷ сек. Данные о Луне: Радиус орбиты ~ 60 земных радиусов. Собственный радиус ~1600 км. 1 месяц = 27,3 дня. (Это абсолютный период обращения Луны по отношению к звездам.). Задача 5. Искусственные спутники. А) Предположим, что спутник Земли описывает круговую орбиту на высоте 6300 км чад поверхностью Земли, так что он находится на расстоянии 12 600 км от, центра Земли. Используя свои знания о движении планет, оцените время, которое требуется спутнику на один оборот по орбите. Дайте ответ без сокращений, приведенный к округленному числу, выраженному в часах, или минутах, или днях, или годах. (Используйте любые данные, полученные в предыдущих задачах. Величина G вам не потребуется.). Б) Инженеры телевидения предлагают запустить спутник, который мог бы ретранслировать коротковолновые передачи, обеспечивая Западное побережье программами из Нью-Йорка. Им хотелось бы, чтобы спутник стоял на месте, находясь, например, все время над Чикаго, не используя двигателей для поддержания заданного положения. Опишите движение такого спутника, наблюдаемого с далекого расстояния от Земли. Рассчитайте высоту, на которой такой спутник мог бы находиться, (Дайте ответ в буквенном выражении, а затем в километрах.). В) Спутник совершает оборот вокруг Земли за 90 минут (относительно звезд). Предполагая, что его орбита круговая, оцените, на какой высоте над Землей находится такой спутник. Г) Предположим, что снаряд выпущен из пушки горизонтально с такой скоростью, что он никогда не упадет на Землю, а будет вращаться над самой Землей. Какое время потребуется, чтобы снаряд возвратился в исходную точку (сопротивлением воздуха пренебрегаем)? Оцените скорость снаряда. Скорость, которую требуется определить выше, равна скорости точки на экваторе, если бы Земля стала вращаться со скоростью…(?). Д) (Требуется быстрый ответ — время 15 сек, по нему можно судить о том, насколько вы усвоили прочитанное.) Какое время потребовалось бы спутнику Земли, чтобы обойти ее по круговой орбите радиусом 400 000 км? Задача 6. Атомная модель Бора. Бор создал простейшую модель атома водорода с электроном, движущимся по круговой орбите вокруг тяжелого ядра, в которой справедлив закон обратных квадратов для электрических сил. (Эта картина атома ныне считается неверной, но она еще применяется для объяснений, и даже физики, когда им нужна грубая картина, используют эту модель для прикидок.) Квантовая теория, сформулированная Бором, устанавливала, что могут существовать только те круговые орбиты, для которых. (Импульс электрона)∙(Размер орбиты) = n∙h, Еде h — универсальная постоянная Планка, a n — целое число 1, 2, 3 и т. д.). А) С помощью законов Кеплера и Ньютона покажите, что радиусы разрешенных орбит должны быть пропорциональны n², т. е. 1:4:9… (Так что если невозбужденный атом имеет радиус х, то атом в возбужденном состоянии будет иметь радиусы 4х, 9х и т. д). Б) Радиус атома водорода (n ~= 1) примерно равен 0,5 А° (0,5∙10^-10 м). Возбужденные атомы водорода наблюдаются в звездах с n, равным 30. Каков «размер» такого атома?

Глава 23. Закон всемирного тяготения.

«…Вы, без сомнения, должны быть удовлетворены…». (Фраза из обращения судьи к присяжным заседателям на уголовных процессах.).

Идеи закона всемирного тяготения уже «витали в воздухе», когда Ньютон производил свои расчеты. Ряд ученых размышлял о том, что лежит в основе законов Кеплера. Делались попытки ответить на вопрос, можно ли объяснить движение планет притяжением Солнца, которое ослабевает по мере удаления от него. Ньютон извлек доказательство из моря домыслов и расширил предположение о силе притяжения Солнцем до понятия о всемирном тяготении. Он проверил свое предположение об обратной пропорциональности силы квадрату расстояния, рассмотрев движение Луны, и на основе этого пришел к законам Кеплера. Последующие проверки этой идеи на движении спутников Юпитера показали, что между планетами и их спутниками действуют силы того же типа, что и между Солнцем и планетами. Таким образом, на основе экспериментальных доказательств множитель 1/d² в соотношении F = GM₁M₂/d² был вполне обоснован для случая Солнечной системы.

Символический эксперимент Галилея (фиг. 182) определяет множитель М₂, т. е. массу притягиваемого тела. Так как ускорение свободного падения g одинаково для всех тел, Земля должна притягивать их с силой, пропорциональной их массам М₂, М'₂.

Фиг 182. Символический эксперимент Галилея.

Ньютон полагался на свой третий закон (действие равно противодействию), который он считал частично подтвержденным в опытах с маятником по проверке сохранения количества движения. Гравитационное воздействие М₁ на М₂ должно быть равно и противоположно гравитационному воздействию М₂ на М₁, т. е. ₁F₂ = ₂F₁. Поэтому G должно быть одинаковым для обеих сил:

₁F₂ = G(M₁M₂)/d²,

₂F₁ = G(M₂M₁)/d^2.

Таким образом, притягиваемое и притягивающее тела взаимозаменимы и гравитационное притяжение должно быть пропорционально массе притягиваемого тела. Это кажется очень правдоподобным, даже несомненным для всех, кто верит в симметрию; однако проверить это экспериментально на основе астрономических измерений нельзя, поскольку мы сможем определить массы астрономических тел только тогда, когда космонавты доставят нам образцы и представят результаты своих наблюдений. На основе своей теории Ньютону удалось оценить отношения масс небесных тел; (масса Юпитера)/(масса Солнца), (масса Земли)/(масса Солнца) и даже, основываясь на догадках о роли приливов, отношение (масса Луны)/(масса Солнца), но он не мог вычислить массу каждого из этих тел в отдельности, так как не знал величины гравитационной постоянной G. Для определения величины G надо было выполнить в лаборатории эксперименты по измерению очень слабого притяжения между двумя телами с известными массами.

Измерение величины G.

Величина гравитационной постоянной G оставалась неизвестной еще спустя полвека после Ньютона. Оценки величины G на основе предположений, подобных гипотезе Ньютона о средней плотности Земли, показали, что гравитационное притяжение тел в лабораторной обстановке должно быть безнадежно малым. Обычно сила тяжести кажется большой, так как обусловлена громадной массой Земли. А Солнце, обладая чрезвычайно большой массой, управляет всей планетной системой. Гравитационное притяжение тел привычных нам размеров настолько мало, что мы не замечаем его по сравнению с притяжением Земли и силами с малым радиусом действия, возникающими между телами, когда те находятся в «контакте». Поэтому стало ясно, что измерение G потребует тонких и сложных экспериментов.

В конце XVIII столетия несколько ученых предприняли отчаянную попытку провести такой эксперимент, используя в качестве притягивающего тела гору известных размеров. Они оценили значение G, измеряя притяжение горой расположенного вблизи нее маятника. Чисто астрономическим путем было измерено крошечное отклонение маятника от вертикали, обусловленное притяжением горы. С помощью геологии они оценили массу горы и ее «среднее расстояние» от маятника. Подставляя результаты этих измерений в формулу F = GM₁M₂/d², они получили величину G.

Фиг. 183 Установка Кавендиша.

_{А — планка, несущая маленькие свинцовые шарики, закручивание нити становится заметным благодаря лучу света, отражающемуся от маленького зеркала А; б — для удвоения угла поворота большие шары помещались так, чтобы планка разворачивалась в противоположных направлениях.}

Примерно в то же время Кавендиш, а позже и многие другие измерили методом прямого «взвешивания» гравитационное притяжение между массивными кусками металла и маленьким металлическим шариком. Кавендиш прикрепил пару маленьких металлических шариков к легкой планке, подвешенной в виде трапеции на длинной тонкой нити. К маленьким шарикам он подносил большие свинцовые шары. В результате воздействия этих шаров на маленькие планка поворачивалась и закручивала нить до тех пор, пока эффект притяжения не компенсировался силами Гука в закрученной нити. Кавендиш измерил массы и расстояние от маленьких шариков до больших; для вычисления величины G ему надо было знать силу притяжения, т. е. упругую силу закручивания нити.

Для прямых измерений нить была слишком тонкой и непрочной. Поэтому Кавендиш измерял период простых гармонических колебаний планки (см. гл. 10[107]). Измерив также массу и размеры планки, он смог вычислить силу закручивания нити. Так он получил хорошую оценку величины G, которую подтвердили в аналогичных более тщательных экспериментах Бойс, Гейл и др. Во всех случаях использовалась столь чувствительная аппаратура, что даже слабые воздушные потоки могли исказить измерения. Чтобы избежать конвекции, Кавендиш разместил свою аппаратуру в ящике, затем поставил ящик в закрытой комнате и проводил наблюдения за аппаратурой с помощью телескопа из другого помещения.

Результаты измерения G.

В приведенной на стр. 300 таблице собраны некоторые данные, полученные в многочисленных экспериментах по измерению величины G, выполненных за минувшие 220 лет. Она не только демонстрирует все возрастающую достоверность измеренных значений этой важной величины, но и служит хорошей основой для проверки соотношений.

F ~ M_1. F ~ M_2. F ~ 1/d^2. … Объединяемых формулой F = GM₁M₂/d^2.

Из данных таблицы следует, что, несмотря на большое разнообразие использованных значений масс, материалов и расстояний, все эксперименты дают в пределах ошибок одно и то же значение измеряемой величины. Если мы хотим продемонстрировать точность, с которой мы знаем величину G, для этого достаточно воспользоваться одним очень точным экспериментом. Но мы хотим дать убедительные доказательства применимости теории Ньютона и поэтому приводим результаты разнообразных экспериментов.

Современное использование эксперимента Кавендиша. Первые грубые измерения значения G дали хорошее представление о величине гравитационных сил. Притяжение между двумя людьми, сидящими рядом, неизмеримо мало; притяжение между Солнцем и Землей невероятно велико — его может заменить разве что стальной канат с диаметром, равным поперечнику Земли. Электрическое притяжение между электроном и ядром в атоме водорода сильнее их гравитационного притяжения примерно в. 2 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 раз (2∙10³⁹ раз). Более поздние измерения дали очень точное значение G с ошибками меньше 0,2 %. Не далее как в 1942 г. Гейл из Национального бюро стандартов в Вашингтоне сделал одно из самых надежных измерений этой фундаментальной постоянной. До тех пор пока какая-либо новая теория не потребует более точных измерений, эксперимент Кавендиша едва ли будет повторен. Однако прибор такого типа нашел применение в конструкции дифференциального измерителя силы тяжести (фиг. 184), с помощью которого можно измерить весьма небольшие изменения силы тяжести вблизи горной породы, отличающейся по плотности от соседних пород.

Фиг. 184. Дифференциальный измеритель силы тяжести.

Этот прибор используется геологами для исследований земной коры и разведки геологических особенностей, указывающих на месторождение нефти. В одном из вариантов прибора Кавендиша два шарика подвешиваются на разной высоте. Тогда они будут по-разному притягиваться близким к поверхности месторождением плотной горной породы; поэтому планка при надлежащей ориентации относительно месторождения будет слегка поворачиваться. Такой прибор представляет собой модификацию «магического жезла», указывающего, где залегают металлы. То, что достаточно громоздкую конструкцию удалось сделать портативной и чувствительной, следует считать триумфом техники. Разведчики нефти заменяют теперь эти дифференциальные измерители силы тяжести инструментами, непосредственно измеряющими небольшие изменения величины ускорения силы тяжести g. Чтобы проверить, влияет ли изменение температуры, наличие промежуточного экрана, кристаллическая структура и т. д. на гравитационное притяжение, были выполнены различные варианты эксперимента Кавендиша. Пока никаких изменений в величине G не обнаружено. По-видимому, эта величина есть универсальная постоянная даже тогда, когда М₁ и М₂ содержат массу, соответствующую ядерной энергии, которая может выделиться при распаде радиоактивного вещества: соотношение F = GM₁M₂/d² по-прежнему выполняется и значение G остается одним и тем же, Рассуждения. В настоящее время большинство физиков рассматривает гравитационную постоянную в качестве такой же истинной постоянной, как скорость света, заряд электрона и некоторые другие универсальные мировые константы, которые, по-видимому, одинаковы для всех веществ и при любых условиях. Однако некоторые довольно смелые, но не слишком благоразумные люди предполагают, что G может медленно меняться с течением времени (см. ниже). Если предположить, что раньше G было много больше, то можно прийти к выводу, что в отдаленном прошлом гравитационные и электрические силы имели сравнимую величину. Физики-теоретики пытаются связать поле силы тяжести с электрическим и магнитным полями в единой «общей теории поля». Некоторые ученые надеются показать, что между G и другими основными физическими постоянными существует связь — возможно, через магнетизм или через полное количество элементарных частиц во Вселенной. Самое существенное — это время. Некоторые физики и астрономы, рассуждая о свойствах пространства, времени и материи, высказывали предположение, что если постоянную G измерять прибором с использованием атомных часов, то она будет медленно меняться. (Пользуясь маятниковыми часами для измерения периода колебаний планки или помещая маятник вблизи горы, мы не должны обнаружить каких-либо изменений, так как при этом сравнивается G с земным ускорением силы тяжести g, которое содержит G в качестве множителя.) Возникает вопрос о времени. Как мы его себе представляем? И откуда мы знаем, что одна секунда теперь имеет такую же длительность, как и раньше? Существует несколько типов «часов». В одних в качестве единицы времени используют качание маятника, в других — простое гармоническое движение нагруженной пружины (см. гл. 10[108]); используют также вращение Земли (звездный день) или полный оборот Земли вокруг Солнца (солнечный год), движение атомов (спектральные линии, спины атомов…) или распад радиоактивных веществ (см. гл. 39[109]). Показания ряда типов часов зависят главным образом от свойств атомов (т. е. от радиоактивного распада) и даже от вращения Земли, которое остается практически неизменным, даже если изменяется сила тяжести. Некоторые из часов прямо используют силу тяжести (маятники, солнечный год). Таким образом, нам придется иметь дело с двумя разными шкалами времени. Геологи и астрономы высказывают интересные догадки о возрасте Вселенной, основанные на измерениях радиоактивности, температуры звезд, скоростей туманностей и расстояний до них. По оценкам возраст Вселенной достигает 10 миллиардов лет по атомной шкале времени. Существует также гравитационная шкала времени (т. е. маятниковые часы или солнечный год), в соответствии с которой дата рождения Вселенной намного сдвигается назад, возможно даже в «минус бесконечность»[110]. В этом случае вопрос о «возникновении Вселенной» представился бы в совершенно другом свете. Многие из этих рассуждений — фантастические измышления на границе метафизики, между философией и наукой. Но даже реальные эксперименты по измерению величин g и G, проводимые теперь, могут в течение следующих 10 лет привести к неожиданному пересмотру наших взглядов на гравитацию, что отразится на широком круге вопросов: от стандартов хронометрирования до теоретической космологии. Задача 1. Ньютон догадался об универсальном характере закона тяготения. Мы выражаем его догадку посредством соотношения F = GM₁M₂/d². На основе своего предположения Ньютон предсказал поведение Луны, планетных систем, приливов и т. д. 1) Скажите, что обозначает каждая буква в приведенном выше соотношении, и поставьте присущие им размерности в системе единиц измерения метр, килограмм, секунда (МКС). Спишите этот пример и проделайте то же самое для остальных обозначений. (Пример: «G — универсальная постоянная, одинаковая для всех тел. Она измеряется в единицах ньютон∙метр²/кг².) 2) Величина G — это универсальная постоянная, измеренная Кавендишем и другими. Если мы будем измерять силу в ньютонах, массы в килограммах и расстояние в метрах, то получим для величины G значение, равное 6,66∙10^-11 (или 0,0000000000666) ньютон∙метр²/кг². Исходя из этой величины, можно определить массу Земли: А) Используя приведенные выше формулу и величину G, рассчитайте силу притяжения Землей яблока массой 0,40 кг вблизи поверхности Земли. (Предположим, что притяжение останется таким же, если считать, что центр тяжести расположен в центре Земли на расстоянии 4000 миль от яблока.) Радиус Земли равен примерно 4000 миль, или около 6 400 000 м. Обозначьте массу Земли в килограммах через М[111]. Б) Рассчитайте вес (т. е. притяжение со стороны Земли) яблока массой 0,40 кг в ньютонах. В) Предполагая, что ответы на первые два вопроса одинаковы, напишите уравнение и решите его относительно массы Земли. Она будет выражена в килограммах. Переведите ее в фунты, затем в тонны. Используйте «оценку» (1 кг ~= 2,2 фунта)[112]. Задача 2. Как велико гравитационное притяжение? Для оценки силы притяжения Земли Солнцем проведите следующий грубый расчет. Предположим, что гравитационное притяжение Земли можно заменить стальной проволокой и что натяжение проволоки удерживает Землю на ее орбите. Для хорошей стали натяжение на разрыв равно 100 тоннам силы на квадратный дюйм. А) Оцените площадь сечения проволоки, способной удержать Землю на орбите. Б) Оцените диаметр этой проволоки. Данные: G = 6,7∙10^-11 ньютон∙м²/кг²; — расстояние от Солнца до Земли 93 млн. миль; — масса Солнца около 2∙10²⁷ тонн; — масса Земли 6,6∙10²¹ тонн. Задача 3. Насколько мало гравитационное притяжение? Приближенно рассчитайте притяжение между двумя сидящими молодыми людьми, предполагая, что они имеют сферическую форму и что масса одного из них 70 кг, а другого 90 кг, а расстояние между их центрами 0,80 м. Задача 4. Другие силы кометы. Кометы — это, по-видимому, скопления твердых частиц пыли и газа. А) Объясните, почему следовало бы ожидать, что комета, если ее движение определяется гравитацией, будет двигаться как целое, не изменяя своей формы (большие и малые частицы будут сохранять взаимное расположение), и не должна иметь хвоста, отстающего от нее или опережающего ее. Б) Действием каких сил можно объяснить наличие кометных хвостов? (Определите основные характеристики этих сил предпочтительно путем описания их математического выражения, а не их физической природы.). В) Дайте обоснование вашему ответу на предыдущий вопрос.

Глава 24. Теории и научные труды.

«Настало время нам взглянуть на путь, Который пройден был, И вскинуть взор к вершине, Которую стремимся мы достичь». Док. Бэдли. «Создание научной теории имеет сходство с маленькой историей о «плоглях». Рассказывают, что некогда в одной стране народ волновали две очень сложные загадки. Мудрейшие люди страны в течение многих лет ломали над ними головы. А было так: если кто-нибудь из жителей этой страны хотел, скажем, найти карандаш, он никогда не мог его отыскать. А если кто-нибудь, имевший карандаш, хотел его очинить, то обнаруживал, что точилка уже наполнена карандашными стружками. Такое неприятное положение дел вызвало народные волнения, и правительство вынуждено было назначить авторитетную комиссию, состоящую из выдающихся философов, для проведения подробного расследования. Этой комиссии было предложено выяснить, чем объясняются столь грубые нарушения порядка… Расследование проходило в очень трудных условиях, ибо нетерпеливый народ все громче и настойчивее требовал ответа на волновавшие его вопросы. Наконец, по прошествии времени, показавшегося всем очень долгим, комиссия появилась перед главой государства и представила поистине блестящее объяснение этих таинственных явлений. Объяснение было очень простое. Согласно высказанной учеными теории, под землей живет много маленьких людей, называемых плоглями. Ночью, когда все люди спят, они входят в дома. Они шныряют по дому, собирают все карандаши и торопливо оттачивают их с помощью точилок, затем опять скрываются под землей. Народные волнения стихли. Очевидно, это была блестящая теория. Единым росчерком она объяснила обе тайны». Венделл Джонсон[113].

К началу XVIII века наука представляла собой целую систему, состоящую из огромного количества накопленных к тому времени экспериментальных фактов, объединенных логическими рассуждениями и выводами. Прежде чем перейти к рассмотрению дальнейшего развития физики, скажем несколько слов о том, каковы компоненты, составляющие науку.

Почему мы называем теорию Ньютона хорошей теорией, а теорию о плоглях — плохой? Чем обусловлены качества теории и почему мы придаем ей в настоящее время столь большое значение?

В этой главе мы обсудим именно эти вопросы.

Мы не приводим здесь сжатого определения научной теории или научного познания; попытка дать подобное определение была бы смешной — столь многообразна и сложна природа этих терминов, имеющих такое важное значение. Мы должны развить у себя вкус к этим понятиям как к изысканной стряпне; ведь в некотором смысле научная теория — своего рода интеллектуальная пища. Все, что можно здесь сделать, это предложить вам некие общие рассуждения о том, что следует понимать под хорошей теорией, и привести «словарь» необходимых терминов. В этой главе мы ограничим рассмотрение теорией, соответствующей эпохе Ньютона.

В последующих главах, особенно в гл. 44[114], вы найдете другие рассуждения по поводу теории и другие взгляды на ее сущность. Мы советуем вам прочитать настоящую главу бегло, не стараясь извлечь из нее окончательные ответы на поставленные вопросы. Вы должны составить собственную точку зрения о том, что есть наука.

Мы приводим СЛОВАРЬ ТЕРМИНОВ, которые могут понадобиться в дальнейшем.

Факты. Большинство ученых-физиков верит в то, что они имеют дело с реальным внешним миром, или по крайней мере действуют так, как если бы они в это верили. Даже если у них возникают сомнения философского порядка, они все же исходят из «чувственных восприятий» или из «отсчетов на шкале приборов» как из реальных фактов. Мы верим таким фактам, потому что они согласуются между собой, несмотря на то что их получают независимо друг от друга различные наблюдатели. В обычной жизни подобные факты могут быть смутными, например: «У дяди Джорджа плохой характер». В физике же факты обычно представляют собой определенные измерения, результаты эксперимента, например. — кристалл имеет 8 граней; — лист бумаги имеет ширину 8,5 дюйм; — плотность алюминия в 2,7 раза больше плотности воды; — ускорение свободно падающего камня равно 9,81 м/сек²; — орбита Марса в 2 раза больше орбиты Венеры; — гравитационная постоянная равна 6,6∙10^-11 в системе единиц МКС; — атом имеет размеры, равные нескольким ангстремам. Для полной ясности каждый из этих фактов нуждается в некоторых комментариях: определение терминов, степень точности, пределы применимости; однако в беседах между учеными эти уточнения обычно опускаются, подобно тому как в семейном кругу могут прийти к выводу, что у дяди Джорджа действительно плохой характер, не заботясь о точном определении того, что такое характер. По мере накопления фактов мы уходим все дальше и дальше от непосредственных ощущений и наши «факты» начинают все больше и больше зависеть от выбора теории, в рамках которой они рассматриваются. Слова «диаметр атома водорода равен 10^-10 м» ничего не говорят до тех пор, пока мы не уточним поведение атомов, о которых идет речь, и не укажем даже, что за теория описывает их поведение[115]. Тем не менее мы должны располагать большим количеством фактов, полученных более или менее непосредственно из эксперимента, чтобы их можно было считать надежными: они должны быть одинаковыми независимо от того, когда, в каких лабораториях и какими наблюдателями они получены. «Можете ли вы повторить ваши результаты?» — вот один из первых вопросов, который обычно задает заведующий лабораторией восторженному молодому ученому. Законы. Мы пытаемся собрать факты в отдельные группы и определить общие свойства, характеризующие их (например: все металлы хорошо проводят электрический ток; натяжение пружины меняется при изменении растягивающего ее груза). Мы называем полученные соотношения или утверждения правилом, законом, иногда принципом. Таким образом, закон — это отражение явлений природы, а не приказ, который она получает. Некоторые ученые идут дальше и идеализируют законы (см. гл. 5[116]). Они считают каждый закон простым и точным, но при этом как бы составляют некий невидимый путеводитель, состоящий из реальных сведений, показывающих, насколько близко и в каких пределах природа следует идеальным законам. Этот невидимый путеводитель, которым пользуется ученый-экспериментатор, отличает последнего от любителя, знакомого лишь с формальным определением законов. Это не справочник, в котором приведены плотности различных тел, и не таблица логарифмов, а очень ценная карманная книга, в которой сочетаются эксперимент и теория. Когда мы пытаемся установить некий закон, мы обычно сосредоточиваем наше внимание на определенных особенностях рассматриваемых явлений. При проверке закона Гука мы не обращали внимания на то, что пружина могла быть перекручена, гири могли быть окрашены в различные цвета, а материал, из которого они сделаны, мог даже испаряться. Пружина могла бы нагреваться в зависимости от изменения температуры в лаборатории; в этом случае оказалось бы, что ее натяжение меняется не так просто. Обнаружив влияние температуры на наши измерения, мы пытаемся поддерживать ее постоянной. (Эта предосторожность особенно важна при исследовании расширения газа. При грубых измерениях со стальными пружинами этим можно пренебречь, но при более тщательных экспериментах обязательно следует вводить поправку на температуру.). В физике большинство законов устанавливает соотношение между измерениями двух величин: (натяжение)/(деформация) = const; Давление ~ 1/объем; Сила ~ M₁M₂/d; Интенсивность излучения ~Т⁴. Почти все законы можно выразить с помощью слова «постоянный» (const) как их существенной характеристики: Полное количество движения остается постоянным при любом столкновении; (давление)∙(объем) = const; F∙d²/M₁M₂ = const. Мы стараемся найти законы, потому что стремимся привести в систему закономерности в поведении природы. Концепции. В обычном смысле слова концепция — идея или же общее понятие. В научных дискуссиях мы придаем ему различные значения[117]. А. Второстепенные концепции. 1) Математические концепции — полезные понятия, например: понятие о прямой пропорциональности (растяжение ~ груз); понятие о пределе (давление в данной точке; скорость как предел Δs/Δt). 2) Концепции наименований — понятия, полезные при классификации и обсуждении. Мы даем наименования группе материалов (металлы) или общему свойству (упругость). 3) Концепции определений — понятия, которые мы придумываем и определяем для употребления в лаборатории. Они могут быть даны на основании простых измерений (давление — из измерений силы и площади; результирующая нескольких сил; ускорение = Δv/Δt). Или же они могут описывать некоторое состояние (постоянство температуры; равновесие нескольких сил). Б. Главные концепции. 4) Научные концепции — полезные понятия, получаемые из эксперимента: — векторы складываются геометрически; — теплота — причина повышения температуры тел; — количество движения — величина, полезная при рассмотрении процессов столкновений; — молекула как основная частица. 5) Схемы понятий — научные идеи более общего характера, вокруг которых концентрируется научная мысль, например: — теплота как форма молекулярного движения; — теплота как форма энергии; — система Коперника; — законы движения Ньютона; — представление об атмосфере как об океане воздуха, окружающем Землю, 6) Великие схемы понятий: — система движений планет по представлению древних греков; — теория всемирного тяготения Ньютона; — сохранение энергии; — сохранение количества движения; — кинетическая теория газов. Умозрительные идеи. Большинство научных концепций рождается из эксперимента или до некоторой степени связано с экспериментом. Другие области научного мышления — чисто умозрительные. Однако они могут оказаться полезными и остаются в силе до тех пор, пока мы помним об их статуте. Мы можем их назвать умозрительными идеями. Представление о хрустальных сферах было чисто умозрительным — предполагалось, что они невидимы, и их существование было недоказуемо. В самом деле, схема Птолемея не была разрушена, когда оказалось, что сквозь сферы проходит комета: были разрушены только сами сферы. Рассматривая какую-либо схему понятий, будьте осторожны и старайтесь отделить необходимые понятия от умозрительных идей, которыми сопровождается их рождение. «Теория» и «гипотеза». Многие ученые назвали бы большую схему, объединяющую ряд понятий, теорией, а умозрительную идею — гипотезой. Эти два термина иногда путают, и, может быть, лучше бы было избегать их. Однако мы будем употреблять их, и вы также можете с успехом это делать, проводя между ними следующее различие. Гипотезы — это отдельные предположения или догадки, к которым прибегают при построении теории или при постановке эксперимента, имеющего целью непосредственную проверку какой-либо теории в том случае, когда это представляется возможным. Теории — это мысленные схемы с допущениями, которые подбираются так, чтобы получалось согласие с экспериментальными данными, они содержат умозрительные идеи и общий подход к решению различных проблем, и это позволяет отнести их к главным концепциям.

Построение системы научных знаний.

Наши сведения о природе мы получаем сначала путем индукции, извлекая общие законы из экспериментальных данных (см. гл. 1[118]). Затем, считая наш закон верным, мы предполагаем, что природа будет вести себя согласно этому закону, т. е. предполагаем, что природа единообразна. Если вы обратитесь к ранним этапам развития астрономии (и к начальной стадии вашей собственной работы в лаборатории), то увидите, что, хотя знания, полученные методом индукции, достаточно надежны (например, законы движения планет, закон Гука), все же этот метод не особенно плодотворен в отношении объяснений и предсказаний. Дедуктивная теория дает нам значительно больше. Прибегая к ней, мы начинаем с допущений и законов, получая их либо на основе догадки, либо в результате эксперимента, либо по аналогии или путем умозрительных рассуждений, а затем даем объяснение и делаем новые предсказания. Однако, чтобы избежать ошибок древних философов, мы, конечно, должны проверять наши предсказания и выводы. Мы должны также понимать, откуда берутся законы, на которых основана наша теория.

Занимаясь научными исследованиями, вы должны пользоваться предположениями, основанными на теории и прошедшими проверку. Слишком много предположений может увести от действительности к магии.

Теперь снова поговорим о «демонах».

«Демоны». Можно было бы задать такой вопрос: «Откуда вы можете знать, что катящийся шар останавливается вследствие трения, а не по воле демонов?» Предположите, что вы отвечаете на этот вопрос, возражая своему собеседнику, Фаусту, который считает, что шар останавливают демоны. Ваш спор может протекать следующим образом: ВЫ. Я не верю в демонов. ФАУСТ. А я верю. ВЫ. Во всяком случае, я не представляю себе, как демоны могут создать трение. ФАУСТ. Они просто становятся перед предметами и мешают им двигаться дальше. ВЫ. Я не могу обнаружить демонов даже на самом грубом столе. ФАУСТ. Они слишком малы и к тому же прозрачны. ВЫ. Но на грубых поверхностях трение больше. ФАУСТ. Но больше и демонов. ВЫ. Масло уменьшает трение. ФАУСТ. Демоны тонут в масле. ВЫ. Если я отполирую стол, трение будет меньше и шар прокатится дальше. ФАУСТ. Вы смываете демонов, и их остается меньше. ВЫ. Более тяжелый шар испытывает большее трение. ФАУСТ. На него оказывает действие большее количество демонов, и он сильнее дробит их кости. ВЫ. Если я положу на стол шероховатый кирпич, то я могу толкать его против сил трения все сильнее и сильнее, но кирпич остается неподвижным до некоторого предела, так как трение уравновешивает силу, с которой я его толкаю. ФАУСТ. Конечно, демоны не позволяют вам сдвинуть кирпич с места, но их силы не беспредельны и они уже не могут противостоять вашему толчку. ВЫ. Но когда я толкну кирпич достаточно сильно и кирпич начнет двигаться, то трение будет в дальнейшем тормозить его движение. ФАУСТ. Ослабев, демоны попадают под кирпич, и их раздробленные кости мешают кирпичу скользить по поверхности стола[119]. ВЫ. Я их не ощущаю. ФАУСТ. Проведите пальцем по столу. ВЫ. Трение подчиняется определенным законам. Например, опыт показывает, что на кирпич, скользящий по столу, действует трение, причем сила трения не зависит от скорости. ФАУСТ. Конечно, вы раздавите одно и то же количество демонов, как бы быстро вы это ни делали. ВЫ. Если я буду двигать кирпич по столу снова и снова, трение будет в каждом случае одно и то же. Между тем демоны были раздавлены при движении кирпича по столу в первый раз. ФАУСТ. Да, но они невероятно быстро размножаются. ВЫ. Существуют и другие законы трения, например, торможение пропорционально давлению одной поверхности на другую. ФАУСТ. Демоны живут в порах поверхности: чем больше давление, тем больше демонов выходит на поверхность, они противодействуют движению и гибнут. Демоны действуют в соответствии с силами, с которыми вы имеете дело в ваших экспериментах.

Позиция Фауста уже ясна. Какие бы свойства вы ни приписывали давлению, он сейчас же прибегает к помощи демонов. Сперва его демоны появляются произвольно, но когда вы начинаете говорить о законах трения, он сейчас же противопоставляет им законы поведения демонов. Все заходит в тупик — одни и те же свойства одним из спорящих называются демонами, другим — трением, и каждый из них возвращается в результате спора к исходной точке.

Пользуясь термином «трение», вы не устанавливали до сих пор его связи с другими свойствами материи; теперь, подобно современному ученому, вы начинаете размышлять о том, какова молекулярная или атомная природа трения, и проводите опыты для проверки ваших предположений. Атомы, входящие в состав твердых тел, должны притягиваться друг к другу на малых расстояниях с большими силами. Когда поверхности твердых тел скользят или катятся одна по другой, небольшие выступы одной поверхности будут попадать в область атомного притяжения выступов на другой поверхности и будут препятствовать движению тел. В этом случае можно считать, что трение обусловлено атомным сцеплением; последнее может даже привести к тому, что частицы с одной поверхности будут переходить на другую. Это явление было исследовано экспериментально. Если передвигать медный брусок по гладкой поверхности стального столика, то на микрофотографиях можно увидеть, что на стали как бы прилипли крошечные ниточки меди, вырванные с поверхности медного бруска. С помощью химических методов было показано, что при трении двух металлических поверхностей одна о другую происходит взаимное проникновение частиц одного металла в другой[120].

Итак, мы наконец определили, что такое трение, и связали это явление с другими физическими явлениями. Мы пришли к выводу, что трение — это атомное или молекулярное сцепление, обусловленное теми же силами, благодаря наличию которых проволоки трудно поддаются разрыву, а капли дождя имеют сферическую форму. Механизм трения можно продемонстрировать с помощью фотографических методов и методов химического анализа. Можно даже на основе теории упругости предсказать, каковы должны быть законы трения. Трением можно объяснить целый ряд других явлений.

Теперь с полным основанием можно возражать против существования демонов: они выбираются произвольно, они неразумны и слишком многочисленны. Чтобы объяснить какое-то событие, каждый раз нужен специальный демон с особым поведением, поэтому мы должны прибегать к большому числу самых разнообразных демонов. Мы должны приписывать им разное поведение, чтобы удовлетворительно объяснить интересующие нас факты. Естественно, что мы теперь предпочитаем нечто более экономичное и удобное, а именно последовательную систему знаний, прочно основанную на экспериментах, проверенных и взаимосвязанных, в достоверности которых мы убеждены, и выражающуюся по возможности в нескольких общих законах. Даже тогда, когда мы сталкиваемся с новыми явлениями, которые не способны объяснить, мы не должны изобретать демонов, дабы разрешить мучающие нас сомнения.

Хорошая теория.

Теперь мы можем вернуться к различиям между теорией о плоглях и теорией всемирного тяготения. Плогли — это те же демоны с особой спецификой. Автор сказки, психолог, рассматривает ее как пример ненаучной теории, пытающейся объяснять явления природы деятельностью неких богов или демонов. Он формулирует свое общее возражение против этой теории следующим образом: «В этой теории неверно лишь одно — никаких плоглей не существует». Но многие современные физики с этим не согласятся. Они не станут возражать против того, что плогли — всего лишь плод воображения (подобно любой «модели» в науке), но назвали бы теорию о плоглях плохой теорией, ибо она слишком дорого обходится. Плогли были придуманы, и им были присвоены две линии поведения для объяснения двоякого рода событий; никаких других событий теория о плоглях объяснить не может. Эта теория — «теория ad hoc», созданная лишь «для данной цели». В теориях ad hoc нет ничего порочного — они даже могут оказаться верными, но они слабы и обычно представляют собой не что иное, как тезы частного характера, принимаемые на веру. Если их рассматривать только лишь как «теории ad hoc», то они могут оказаться полезными при рассмотрении, честно учитывающем все затруднения и неясности. Если они помогают объяснить и другие наблюдения, то мы относимся к ним уже с большим уважением и присваиваем им более почтенное наименование.

Затем, по мере того как теория развивается и превращается из чисто умозрительной догадки в некую общую форму знания, которая может удовлетворительно объяснить многие наблюдаемые явления, мы начинаем все больше и больше ей доверять. И мы настолько удовлетворены ее последовательностью и плодотворностью, что говорим: «Она не может быть неверной». Рассмотрим теорию всемирного тяготения Ньютона как пример такой великой схемы понятий. Ньютон начал с некоторых допущений; с рассмотрения сил и перемещений как векторов, со своих законов движения, с пропорциональности сил тяготения массам притягивающихся тел, с закона обратных квадратов, с евклидовой геометрии. Некоторые из этих допущений были выведены из эксперимента; другие мало чем отличались от определений (первый закон, определяющий «нулевую силу») и рабочих правил (третий закон). Но каково бы ни было происхождение этих допущений, они являлись исходными точками дедуктивной теории. Затем шаг за шагом, путем рассуждений Ньютон извлек из этих допущений свое «объяснение» Солнечной системы. Мы называем эту теорию хорошей, потому что она последовательна. Начав с общих допущений, Ньютон связал в единую систему явления, которые, казалось, не имели никакой связи:

Движение Луны по круговой орбите. Возмущения простого движения Луны. Движение планет (I, II, III законы Кеплера). Возмущения движения планет. Движение комет. Приливы и отливы. Форма Земли. Различия в силе тяжести. Прецессия равноденствий. ______ ВСЕ ЭТО СВЯЗАНО законом обратных квадратов для силы тяжести и вращением Земли.

Дедуктивная теория и научное познание.

Фиг. 185 иллюстрирует построение «хорошей» теории. Сначала должно происходить индуктивное накопление знаний. Затем наступает время, когда теорию можно «сварить» из сложной смеси составных частей. Некоторые предположения следует подвергнуть предварительной проверке на ранних стадиях (подобно тому как Ньютон проверял на примере Луны закон обратных квадратов для силы тяжести). На более поздней стадии предсказания, предлагаемые теорией, должны быть подвергнуты экспериментальной проверке, что одновременно служит проверкой первоначальных допущений. Мы судим о теории не по тому, насколько она «правильная, а по тому, насколько она полезна, какие эксперименты она подсказывает и на какие мысли она наводит. Многие ученые, однако, видят значение великой теории не только в плодотворности ее предсказания, но в том глубоком чувстве уверенности, которое она дает. Приведенная схема показывает возникновение скорее научного знания, чем теории. Очевидно, это сложный метод, принимающий различные формы.

Научный метод.

Теперь вам понятно, почему мы говорим, что существует не ©Дин, а много научных методов. Фрэнсис Бэкон (~1600) предлагал следующий формальный метод исследования:

— производить наблюдения и регистрировать факты;

— проводить большое количество экспериментов и сводить результаты в таблицы;

— извлекать правила и законы методом индукции.

Эти положения были затем развиты в тот научный метод, которого и сейчас придерживаются многие ученые[121].

— производить наблюдения и извлекать из них правила или законы;

— формулировать гипотезу (догадку, которая может быть чисто умозрительной);

— выводить следствия из гипотезы и уже известных законов;

— производить эксперименты для проверки этих следствий.

ЕСЛИ ЭКСПЕРИМЕНТ ПОДТВЕРЖДАЕТ гипотезу, следует ее принять как истинный закон и затем предлагать и проверять другие гипотезы. ЕСЛИ ЭКСПЕРИМЕНТ ОТРИЦАЕТ гипотезу, следует искать другую гипотезу.

В действительности научное исследование не столь «логично» с научной точки зрения и не так просто. (Мы следуем такой схеме бессознательно, когда стараемся устранить неисправность в фарах машины или установить причину, почему в нашей квартире протекает потолок, но мы вправе считать, что действуем при этом согласно простому здравому смыслу.).

Научные методы.

В ходе развития науки мы решаем проблемы и накапливаем знания с помощью самых различных методов. Иногда мы начинаем с догадок; иногда строим модель для математических исследований и затем проверяем результаты, полученные с помощью этой модели, проводя соответствующие эксперименты; иногда просто собираем экспериментальные данные, готовясь при этом к встрече с любыми неожиданностями; иногда планируем и выполняем один большой эксперимент и получаем важный результат непосредственно или путем статистической обработки полученных данных.

Иногда, проводя серию экспериментов, мы переходим от одной стадии познания к другой — результаты каждого эксперимента оказывают воздействие на ход наших рассуждений и помогают планировать следующий эксперимент. Иногда мы производим длительный и сложный мысленный анализ, пользуясь как имеющейся информацией, так и законами, гипотезами, логическими умозаключениями и прибегая к экспериментальной проверке не систематически, а от случая к случаю. Однако эксперимент всегда играет роль главного пробного камня независимо от того, производится ли он вначале, когда факты только начинают накапливаться, или же в конце, при окончательной проверке какой-нибудь большой научной теории в целом.

Развитие теоретической мысли в тот или иной период времени зависит от того, насколько к этому времени назрела необходимость в данной теории и насколько подготовлена почва для восприятия новых идей как с интеллектуальной, так и с социальной точки зрения. Это справедливо и в настоящее время. Когда наступает надлежащий момент, одна и та же проблема часто привлекает внимание многих ученых одновременно и решение одной и той же задачи может быть получено не одним человеком, а несколькими, независимо друг от друга. Успех может выпасть на долю одного человека, наиболее способного и энергичного, которому удается отстоять свое открытие.

Во времена Ньютона многое подготовило почву для новых великих открытий — усилившийся интерес к законам движения вообще и к законам движения планет в частности, открытия Кеплера, новые исследования магнетизма и новое отношение к эксперименту и к развитию науки. Гук, Рен, Галлей, Гюйгенс и другие — все пытались создать единую теорию небесных и земных движений. Каждому из них удалось кое-что сделать в этом направлении, но именно Ньютон дал полное решение этих проблем, единую стройную теорию; это был «не прыжок, а полет».

Научный метод: чувство уверенности.

Научное познание — факты, концепции, схемы — строится главным образом из перекрестного процесса исследований и рассуждений с различных точек зрения. Мы не движемся к блестящему открытию напрямик, не сворачивая с пути, а исследуем явления природы сначала в одном направлении, потом в другом; от одной догадки переходим к другой, которую в свою очередь подвергаем проверке, и т. д. Со временем мы накопим новые понятия различными путями и проверим их с различных точек зрения; согласие между результатами, полученными различными методами исследования, дает нам уверенность в том, что достигнутые нами знания имеют надежную основу.

Особенно хорошим примером в этом отношении является современная атомная и ядерная физика. Эту область исследований можно уподобить огромной комнате, в стенах которой имеется, скажем, семь закрытых дверей. Заглянув в одну дверь, ученые видят перед собой микроприроду явлений и ее загадочные проявления. В другую дверь они видят нечто совсем иное, в третью — опять что-то новое, и затем они сравнивают увиденные ими различные картины. (Например, радиоактивность дает одно представление о природе явлений, электронные пучки — другое; фотоэлектрический эффект ставит перед наблюдателем новые проблемы.

Рентгеновские лучи опять дают новую картину; исследуя свойства этих лучей, удается обнаружить их связь с радиоактивностью, с фотоэлектрическим эффектом; кроме того, с их помощью оказывается возможным получить подтверждение произведенных ранее измерений атомных диаметров.) Наконец, с помощью проверок и сравнений различных точек зрения удается получить логичную схему, создать некую общую картину, описать микромир. Мы описываем микромир, пользуясь обычными словами, употребляемыми нами при описании окружающего нас «макромира» (атомы имеютсферическую форму, электроны имеют малые размеры, рентгеновские лучи распространяются подобно видимому свету).

Такое описание не является истинным — что бы мы ни понимали под словом «истинный» — это лишь модель, позволяющая описать то, что нам известно о микромире, обычными словами. Эта схема, наша модель и ее законы — наша описательная теория — до сих пор видоизменяется и расширяется. Если мы откроем новые экспериментальные факты, которые находятся в соответствии с ней, то обрадуемся подтверждению ее правильности. Если же новые факты будут противоречить нашей модели, мы изменим ее, стараясь из-за присущего нам естественного консерватизма держаться возможно ближе к ней. Обнаружив новые факты, выходящие за пределы нашей модели, мы расширим саму модель. (Когда стало известно, что быстрые α-частицы могут свободно проходят через атомы, мы стали считать последние уже не непроницаемыми, как ранее, а полыми шарами.).

В настоящее время наши знания представляют собой обширную систему понятий, которой мы доверяем, так как она удовлетворяет нашим представлениям о ней, составленным на основании самых различных точек зрения. Хотя нам придется подвергать эту систему в будущем значительным изменениям, придется, может быть, изменить всю схему наших представлений об атомной физике, мы все же уже обладаем большим количеством знаний, достоверность которых подтверждается самыми различными экспериментами. Для критика извне, которому кажется, что мы смотрим лишь через одну дверь, доказательства, которыми мы располагаем, представляются слишком хрупкими и ненадежными, а наши выводы — умозрительными. Но те, кто создает науку, говорят: «Мы уверены, что стоим на правильном пути, так как, если бы мы в чем-нибудь серьезно ошибались, где-то обязательно проявилась бы несовместимость, расхождение по крайней мере в одном из направлений наших экспериментальных исследований».

Такое чувство уверенности должно лежать в основе каждого научного метода. Эрнст Нагель утверждает, что если существует единый научный метод, то он должен заключаться в той взаимной проверке и перепроверке с помощью рассуждений, проводимых с различных точек зрения, и экспериментов, в результате которых ученые приходят к убеждению в правильности своих выводов.

Понимание — это полуфабрикат. Модели.

Вот почему наука кажется сначала трудной для понимания и изучения: мы последовательно приобретаем знания, рассматривая повторно проблему с иной точки зрения, и именно поэтому верим в ее надежность. Мы не обязательно считаем, что полученная нами картина природы буквально совпадает с реально существующим миром. Многие ученые считают, что это всего лишь рабочая модель.

Легко видеть, что наше представление о строении атома только модель — невидимый атом описывается с помощью таких макроскопических понятий, как снаряды, бейсбольные шары, силы, действующие между магнитами, или же сила тяжести и т. д. Однако неловко признаться в том, что мы не знаем, что в действительности представляет собой атом, а можем лишь сказать, что он «ведет себя так, как если бы…». Более того, с прогрессом техники, с появлением микроскопа… электронного микроскопа… ионного микроскопа… можно подумать, что мы видим реальные атомы, а не их модели — например, в конце нашей книги мы приводим фотоснимок атомов вольфрама. Однако такое «наблюдение» микромира, каким бы очевидным оно ни казалось, все же не является непосредственным. Получаемые нами изображения следует интерпретировать в рамках тех моделей, которые определяют использование нами соответствующих приборов. В случайной беседе мы часто говорим: «Теперь мы знаем, что представляют собой атомы, как они расположены, как они движутся», но при серьезной дискуссии большинство ученых скажет: «Мы лишь показали, что наша модель хорошо работает, и получили некоторые подтверждения ее применимости». Мы пользуемся моделями почти во всех научных представлениях: атомы, молекулы, гравитация, магнитные поля, идеальные пружины… Моделями мы пользуемся для того, чтобы заменить плоглей.

Поскольку теория в значительной степени состоит из моделей, основанных на ряде фактов, мы всегда можем внести в нее изменеяия. Согласно авторам некоторых популярных книг, ученые весело и беспечно отбрасывают свои теории, когда появляются противоречащие им новые открытия; в действительности же большинство ученых отчаянно цепляется за старые теории. Когда ученые вынуждены изменять свои теории в соответствии с новыми данными, это происходит чаще эволюционным, а не революционным путем.

«Решающие эксперименты».

Иногда конкурирующие между собой теории приводят к различным следствиям; тогда можно решить, которая из них правильна, поставив «решающий эксперимент»[122]. Даже в этом случае решение не абсолютно достоверно: отвергнутую теорию обычно можно переделать — ей можно придать такую форму, которая выдержит проверку, подобно тому как демонов всегда можно наделить добавочными свойствами. Например, опыт Ньютона со свободным падением монеты и пера в пустоте дает ответ, какая из двух теорий падения правильна:

I. «Все тела падают с одинаковым ускорением, если не принимать во внимание сопротивление воздуха».

II. «Тела падают вниз со скоростью, пропорциональной их весу».

Однако вторую теорию можно привести в согласие с экспериментом, считая действие вакуумного насоса не полезным, а вредным:

«Тела… весу; но вакуум также действует с силой, направленной вниз и обратно пропорциональной весу тел».

(При опыте с барометром получается нечто еще более фантастичное.).

Только в немногих важных случаях решение представляется, окончательным, например при решении вопроса о том, в какой форме происходит перенос световой энергии — волнами или корпускулами (квантами). Фотоэлектрический эффект решительно свидетельствует в пользу квантов; при проверке специальной теории относительности в опытах со скоростью света решение также кажется однозначным… Однако даже в этих столь важных случаях решение вопроса определяется скорее относительным значением различных экспериментов, нежели неопровержимой проверкой с помощью одного-единственного эксперимента.

Интеллектуальное удовлетворение.

Итак, проверкой качества теории служит не ее успех или неудача, а простота и экономичность по сравнению со все возрастающей сложностью или громоздкостью. Лучшая теория та, которая наиболее плодотворна, экономична, доступна и приносит наибольшее интеллектуальное удовлетворение.

Мы рассчитываем, что теория (или схема) будет давать плодотворные предсказания и объяснения, основываясь по возможности на минимальном числе допущений общего характера.

Следует помнить, что научное «объяснение» нельзя считать ни окончательным и бесспорным ответом на вопрос «почему», ни простым словосочетанием, описывающим наблюдаемые явления с помощью технических терминов. Оно представляет собой звено, связывающее наблюдаемые явления с другими хорошо известными фактами или сведениями более общего характера, полученными из наблюдений. Чем больше число связанных между собой таким образом фактов и чем они разнообразнее, тем большее чувство удовлетворения дает нам наша теория. По мере того как наше доверие к ней возрастает, мы начинаем «объяснять» некоторые факты, связывая их с умозрительными предположениями, следующими из нашей теории. Однако эти предположения связаны в свою очередь с экспериментальными данными, лежащими в основе нашей теории; это по существу такого же рода «объяснение», только основанное в данном случае на нашей вере в ее справедливость.

При создании теории мы начинаем с практических допущений и простых концепций, тесно связанных с экспериментом; затем мы строим концепции более общего характера, которые управляют более простыми, и, наконец, стараемся вывести всю картину природы в целом из нескольких общих концепций. Мы оцениваем качество теории главным образом по чувству интеллектуального удовлетворения, которое она нам дает, — чувству уверенности в наших знаниях и чувству удовольствия от того, что мы можем их выразить в логичной и компактной форме. Создание такой теории, которая давала бы нам сильнейшее чувство удовлетворения и уверенности в наших знаниях, — это настоящее искусство; это то, что мы называем познанием природы.

«Если бы бог держал в своей правой руке всю истину, а в левой — только вечное стремление ее отыскать, с условием, что при этом всегда будут неизбежные ошибки, и сказал бы мне: «Выбирай!», я смиренно указал бы на левую руку и сказал бы: «Создатель! Отдай мне то, что находится в этой руке; абсолютная истина существует лишь для одного тебя». Лессинг, 1778.

Часть III. МОЛЕКУЛЫ И ЭНЕРГИЯ.

«Всякая наука открывает вещи, которые далеко выходят за пределы непосредственных наблюдений. Не в наших силах увидеть энергию, гравитационное притяжение, летающие молекулы газа или светоносного эфира, точно так же как нам не дано никогда увидеть леса каменноугольной эры или возбуждения нервных клеток. Это лишь предпосылки науки, а не ее выводы, которые можно наблюдать непосредственно». К. С. Перс (1898 г.) Американский философ. Эта и последующая части охватывают столетие, богатое достижениями науки, когда был заложен фундамент современной атомной физики Кинетическая теория газов и закон сохранения энергии стали мощным орудием исследования и дали толчок к развитию важных идей. Новые данные и методы исследования появились в разделе «Электричество».

Глава 25. Великая теория — кинетическая теория газов.

«Поистине это загадочно, — заметил Ватсон. — Как выдумаете, что бы это могло означать?». «Пока у меня нет фактов, — сказал Холмс — Строить же теорию, не имея фактов — большая ошибка. Невольно начинаешь подгонять факты под теорию вместо того, чтобы объяснять теорией факты». А. Конан Дойль, «Шерлок Холмс».

Теория всемирного тяготения Ньютона приобрела мировую известность. Его «Принципы» выдержали три прижизненных издания. Популяризация книги стала модной при королевских дворах Европы. Объяснение «Принципов» для широкого круга читателей написал сам Вольтер. Была издана даже «Теория Ньютона в изложении для дам». На образованных людей теория Ньютона произвела впечатление не только способностью блестяще навести порядок «на небеси», но и тем, что она явилась предвестником грядущих великих открытий. Мы считаем теорию Ньютона правильной, ибо она оказалась простой, плодотворной и связала воедино множество различных явлений, дав людям глубокое понимание.

Теория проста, ибо основана на ряде четких утверждений. Эта простота не нарушается тем, что получение некоторых выводов требует использования сложной математики. Успех теории Ньютона породил попытки создать другие теории, в основе которых лежали бы также законы движения. Например, очень простым кажется поведение газов. Нельзя ли построить такую теорию, которая «предсказывала» бы закон Бойля и приводила бы к другим следствиям, обогащая наше понимание?

Такие попытки привели к созданию кинетической теории газов. Суть ее заключается в идее, которая, если вдуматься, как и большинство великих открытий, довольно проста: давление газа есть результат бомбардировки стенок мельчайшими частичками, «молекулами», газа. Газы обладают простыми свойствами. Они всегда заполняют сосуд и в отличие от твердых тел или жидкостей оказывают одинаковое давление на все стенки сосуда. При постоянной температуре произведение (давление)х(объем газа) остается постоянным независимо от того, сжат ли газ или разрежен. Нагревание газов увеличивает либо их давление, либо объем, либо и то и другое, но происходит это у всех газов одинаково. Газы подвижны, легко проникают друг в друга и просачиваются через поры в стенках. Можно ли «объяснить» эти свойства на основе механической картины? Последователи Ньютона возродили идею греческих философов о том, что вещество состоит из «атомов огня», находящихся в постоянном движении. Теперь, вооруженные механикой, они могли придать этой картине реальный смысл и выяснить, на что же способны «атомы». Наиболее поразительным свойством, которое смогла объяснить такая теория, был закон Бойля.

Закон Бойля.

В 1661 г. Бойль «не без удовлетворения и восхищения» объявил о сделанном им открытии — давление и объем находятся «в обратной пропорции». Этим он хотел сказать: (давление)~(1/объем) или при сжатии воздуха произведение (давление)х(объем) остается постоянным. Тот факт, что воздух при нагревании расширяется, был хорошо известен, так что необходимость оговорки «при постоянной температуре» была очевидна. Так Бойль открыл «воздушную пружину» — пружину, которая в отличие от твердой пружины Гука обладает переменной жесткостью.

В лаборатории вам, вероятно, приходилось знакомиться с «опытом Бойля» на примере сухого воздуха, но это делалось не для того, чтобы «открыть» известный закон, а в качестве упражнения для проверки вашего «искусства в обращении с природой». Вы были ограничены малыми изменениями давления (скажем, от ¹/₂ до 2 атм), и точность лимитировалась колебаниями комнатной температуры и конусообразностью стеклянного цилиндра, содержащего газ[123]. Если отложить на графике зависимость давления от объема, то окажется, что точки лягут на гиперболу. Однако трудно быть уверенным, что получилась именно гипербола, и считать, что мы подтвердили закон Бойля[124]. Поэтому лучше откладывать зависимость давления от 1/объем и искать прямую линию, проходящую через начало координат.

Измерения, проведенные Бойлем, не были очень точны и ограничивались давлением от доли атмосферы до 4 атм. Если вы проведете более точные измерения, то обнаружите, что pV меняется лишь на десятые доли процента. На вашем графике зависимости р от 1/V экспериментальные точки лягут весьма близко к теоретической прямой, проходящей через начало координат.

Поскольку (масса)/(объем) есть плотность, а масса постоянна, то величина 1/V характеризует плотность, и закон Бойля гласит:

ДАВЛЕНИЕ ~ ПЛОТНОСТЬ.

В этом и состоит смысл следующего утверждения элементарной теории газов: «если поместить в ящик вдвое больше молекул, давление увеличится ровно вдвое».

Фиг. 1. Закон Бойля.

При проверке закона Бойля все измерения делаются при одной и той же температуре, т. е. линии на графике являются изотермами. Разумеется, на одной диаграмме мы можем изобразить несколько изотерм, как на фиг. 2.

Фиг. 2. Изотермы (закон Бойля).

Однако с расширением области давлений наблюдаются заметные отклонения от закона Бойля. Этот закон лишь приближенно описывает поведение реальных газов. Он оказывается точным при малых давлениях и нарушается при больших, когда газ сжимается до высокой плотности. На фиг. 3 показаны экспериментальные данные при давлениях вплоть до 3000 атм. (Графики, описывающие поведение СО₂ вплоть до ожижения, приведены в гл. 30.)

Фиг. 3. Отклонения от закона Бойля для воздуха при комнатной температуре.

_{Кривые дают зависимость давления от объема для идеального газа, подчиняющегося закону Бойля. Точки показывают поведение воздуха и при малых давлениях неотличимы от кривых. Масштаб по горизонтальной оси растягивается в 10 раз, а по вертикальной оси сжимается в 10 раз.}

Теория.

Бойль пытался угадать механизм, лежащий в основе его закона. Будучи хорошим химиком, он представил себе, что закон обусловлен поведением крохотных частичек. Частички газа, думал он, сопротивляются давлению, подобно груде маленьких шариков свалявшейся шерсти. Ньютон пошел дальше и вычислил силу отталкивания, необходимую для объяснения закона Бойля. Затем Д. Бернулли опубликовал свою теорию, которая предсказывала закон Бойля, не используя каких-либо специальных сил. Он показал, что движущиеся частицы, бомбардируя стенки сосуда, должны производить давление; он предположил также, что нагревание газа заставляет частицы двигаться быстрее. Это было началом современной теории. Попытка была смелая, но рассмотрение оказалось неполным. Лишь спустя столетие, в 1840 г., Джоуль и другие создали «кинетическую теорию газов», в основе которой лежало следующее утверждение:

Газ состоит из мельчайших упругих частиц, находящихся в быстром движении, а давление газа на стенки есть просто результат бомбардировки их этими частицами.

Джоуль показал, что такая теория может «объяснить» закон Бойля и дает важные сведения о самих частицах газа. Вскоре эта идея благодаря усилиям математиков и физиков превратилась в блестящую теорию, которая обогатила наше миропонимание.

Движущиеся частицы газа мы называем молекулами. Название это пришло из химии, где оно означает мельчайшие частицы вещества, которые могут еще существовать самостоятельно. Расщепите молекулу и вы получите отдельные атомы, свойства которых будут отличаться от свойств первоначального вещества. Так, молекула воды, Н₂О, дает два атома водорода и один кислорода, свойства которых отличны от свойств молекулы воды. Предоставленные самим себе отдельные атомы группируются в пары Н₂ и О₂ — молекулы газов водорода и кислорода. В кинетической теории газов мы имеем дело с молекулами и предполагаем, что они не расщепляются при соударениях. Кроме того, мы считаем, что молекулы действуют друг на друга лишь в момент соударения; когда они оказываются достаточно близко друг к другу, они испытывают действие отталкивающей силы, но на очень короткое время. В этом фактически и заключается соударение.

Теперь вы имеете все необходимое для построения кинетической теории газов. Попытайтесь сделать это. Предположите, что давление газа обусловлено упругими ударами молекул в стенки сосуда. Первый этап состоит в проработке задач 1 и 2. Они начинаются со столкновений шариков и кончаются бомбардировкой молекулами, и это позволяет предсказать поведение газов. После того как вы осилите задачи, возвращайтесь к обсуждению деталей.

Приведенные ниже задачи помогут вам построить кинетическую теорию газов. Успех планетарной теории Ньютона стимулировал попытки построить другие теории, основанные на ньютоновых законах движения и ряде очевидных предположений. Теория газов рассматривает газ как скопление мельчайших молекул, очень часто сталкивающихся друг с другом. Приписывая молекулам некоторые простые свойства (включая основное предположение, что они существуют!) и допуская, что к ним применимы законы движения Ньютона, удалось вывести (предсказать) закон Бойля и многие свойства газов. Как и в большинстве теорий, для получения выводов мы на основании неких предположений должны проделать ряд вычислений. Чтобы облегчить эти вычисления, вам предлагается серия задач о столкновении шарика. Они подведут вас к вычислениям, которые дадут ценные предсказания. Основные вычисления могут показаться сначала трудноватыми просто потому, что они относятся к таинственным молекулам, но если, проделав вычисления, вы на время оставите их, то вскоре убедитесь, что они были вполне осмысленными. Задача 1. I. Обмен импульсом (количеством движения). Шарик массой 2 кг, двигаясь со скоростью 12 м/сек, ударяется под прямым углом в массивную стенку и останавливается. 1) Импульс шарика до соударения равен ___.___ _{(единиц).} 2) Импульс шарика после соударения равен ___.___ _{(единиц).} 3) Изменение импульса шарика равно ___.___ _{(единиц).} 4) Если третий закон Ньютона, который управляет соударением тел, верен и применим в этом случае, то мы можем сказать, что изменение импульса стенки (и того, с чем она скреплена) должно быть ___.___ _{(единиц).} II. Сила, которую оказывают ударяющие о стенку шарики. Предположим, что о стенку ударяется множество шариков массой 2 кг каждый, движущихся со скоростью 12 м/сек. Пусть в течение 10 сек о стенку ударяются и останавливаются 1000 таких шариков. Каково будет оказываемое ими давление на стенку?

Фиг. 4. Сосуд содержит шарики или молекулы, которые движутся взад и вперед между стенками и своими ударами создают давление.

_{Вычисляется давление на переднюю стенку.}

Полное приращение импульса стенки (за период 10 сек) равно ___.___ _{(единиц).} (Примечание. На самом деле изменение импульса происходит скачкообразно, один скачок за каждый удар шарика о стенку, но можно вычислить полное приращение импульса и, используя его, подсчитать среднюю силу, т. е. силу, усредняющую эти скачки за весь период 10 сек. Чтобы найти величину этих скачков, необходимо знать время, которое требуется шарику, чтобы потерять свой импульс, другими словами, — длительность отдельного соударения. Это время не дано, так что можно вычислить только среднюю величину силы.). Средняя сила, действующая на стенку в течение 10 сек из-за потери 1000 шариками своего импульса, находится из формулы F∙t = Δ(mv). Средняя сила, F, действующая на стенку, должна быть равна ___.___ _{(единиц).} (Заметьте, что соотношение F∙t = Δ(mv). есть не что иное, как второй закон Ньютона. Поэтому используемые в нем силы должны выражаться в абсолютных единицах, как и в законе F = m∙a, т. е. в ньютонах.). III. Сила, действующая на стенку при ударе упругих шаров. Предположим, что, как и в предыдущей части задачи, 1000 шариков массой 2 кг каждый в течение 10 сек падают на массивную стенку перпендикулярно ее поверхности, но на этот раз они отскакивают назад с той же скоростью 12 м/сек. 1) Импульс каждого шарика до соударения ___.___ _{(единиц).} 2) Импульс каждого шарика после соударения ___.___ _{(единиц).} (Помните, что импульс есть вектор. Не забывайте знаков + и —!). 3) Приращение импульса одного шарика равно ___.___ _{(единиц).} 4) Изменение импульса стенки равно ___.___ _{(единиц).} (Примечание. Ответ не будет равен нулю.). 5) Если в течение 10 сек о стенку ударяется и отскакивает, 1000 шариков, то полное изменение импульса стенки равно ___.___ _{(единиц).} 6) Средняя сила, действующая на стенку на протяжении 10 сек, равна ___.___ _{(единиц).} 7) Если все 1000 шариков ударяются об участок стенки высотой 2 м и шириной 3 м, то среднее давление (= сила/площадь) на этом участке равно ___.___ _{(единиц).} IV. Движение внутри ящика. Прежде чем заменить упругие шарики молекулами, мы должны поместить их в закрытый ящик. Возьмем продолговатый ящик длиной 4 м с единственным шариком внутри, который движется из конца в конец со скоростью 12 м/сек. Он ударяется перпендикулярно каждой из стенок и со скоростью 12 м/сек отскакивает в противоположную сторону. Теперь уже один и тот же шарик будет ударяться о каждую стенку много раз за 10 сек. Вместо того чтобы брать число шариков, ударяющихся о стенку, мы можем воспользоваться числом ударов, производимых одним шариком. Для нахождения силы, действующей на стенку, нужно считать удары только об эту стенку. 1) Между двумя последовательными ударами о стенку ящика шарик проходит расстояние туда и обратно, т. е. от передней стенки к задней и от задней к передней. Таким образом, он проходит ___ м. 2) При скорости 12 м/сек полное расстояние, пройденное шариком за 10 сек, равно ___ м. 3) Сколько раз шарик пройдет туда и обратно за 10 сек? 4) Сколько раз шарик ударится о переднюю стенку за 10 сек? Таким образом, для получения 1000 ударов за 10 сек в ящике должно быть несколько шариков. На самом деле нужно примерно ___ шариков. 5) При каждом ударе о переднюю стенку импульс каждого шарика изменяется на ___.___ _{(единиц).} 6) За 10 сек шарик ударяется ___ раз о переднюю стенку ящика, и при каждом ударе импульс меняется на ___.___ _{(единиц).} Полное приращение импульса передней стенки ящика за 10 сек равно ___.___ _{(единиц).} Полная сила, действующая на переднюю стенку в течение 10 сек, равна ___.___ _{(единиц).} (Давление определяется как сила/площадь, так что, если известна площадь, можно вычислить давление (среднее), вызванное ударами шарика. В нашем случае нет смысла вычислять давление, оказываемое одним шариком, можно проделать аналогичные вычисления для молекул и предсказать таким образом, давление газа.). Теперь проведем аналогичные вычисления для молекул газа в сосуде. Позднее мы повторим их с помощью алгебры (задача 2). V. Молекулы газа в сосуде. Металлический сосуд длиной 4 м со стенкой 3 м х 2 м содержит одну молекулу газа, которая движется взад и вперед вдоль сосуда со скоростью 500 м/сек, упруго отскакивая от его стенок. Молекула приближается к одной стенке, ударяется о нее и, отразившись, летит с той же скоростью к другой стенке, снова ударяется и опять отскакивает с прежней скоростью 500 м/сек. Масса молекул примерно равна 6∙10^-26 кг. (Примечание. Простые химические измерения показывают, что молекулы кислорода и азота (в воздухе) приблизительно в 30 раз тяжелее атома водорода. Сложные физические измерения говорят нам, что масса атома водорода равна 1,67∙10^-27 кг.). 1) При ударе о переднюю стенку и отскоке импульс молекулы изменяется на ___.___ _{(единиц).} 2) За 10 сек молекула проходит расстояние ___ м, 3) Между двумя последовательными соударениями о переднюю стенку молекула успевает долететь до другой стенки и вернуться назад, т. е. пройти расстояние ___ м. 4) В течение 10 сек молекула ___ раз пролетит туда и обратно и, следовательно, совершит такое же число ударов о переднюю стенку. 5) За 10 сек молекула раз ударится о переднюю стенку, изменяя свой импульс при каждом ударе на ___.___ _{(единиц).} 6) Полное изменение импульса передней стенки за 10 сек равно ___.___ _{(единиц).} 7) Средняя сила, действующая на протяжении 10 сек на переднюю стенку сосуда, равна ___.___ _{(единиц).} 8) Давление равно (сила/площадь). Стенка имеет площадь 2 х 3 м². Среднее давление на стенку равно ___.___ _{(единиц).} VI. Множество молекул в сосуде. 1) Предположим теперь, что сосуд содержит 6∙10²⁶ молекул (600 000 000 000 000 000 000 000 000). Это приблизительно соответствует реальному числу молекул в таком сосуде, если наполнить его воздухом при атмосферном давлении[125]. В действительности же они хаотически движутся во всех направлениях, но для упрощения вычислений примем, что они рассортированы на три независимые группы, причем одна группа летает вверх — вниз, другая направо и налево, а третья — взад и вперед. Из соображения симметрии молекулы должны быть поровну распределены между тремя группами (фиг. 5). Давление на переднюю стенку сосуда обусловливается только ударами молекул, движущихся взад и вперед. Продолжим вычисление давления, учитывая только треть всех молекул в сосуде, т. е. 2∙10²⁶, или 200 000 000 000 000 000 000 000 000 молекул, которые движутся со скоростью 500 м/сек вдоль 4-метрового сосуда, ударяются о его переднюю стенку, отскакивают со скоростью 500 м/сек, ударяются о заднюю стенку, отскакивают и так далее. Используя результат части IV задачи, мы можем показать, что среднее давление на стенку сосуда будет равно ___.___ _{(единиц).} (Эти данные описывают поведение воздуха в комнате. Какую величину атмосферного давления в тех же самых единицах показывает барометр?). Каково отношение вычисленного выше давления к атмосферному, измеренному в лаборатории? 2) Предположим, что передняя и задняя стенки сосуда сблизились так, что длина сосуда сократилась до 2 м (т. е. до половины первоначальной длины) без изменения числа молекул, их скорости и площади этих стенок. Среднее давление на переднюю стенку равно ___.___ _{(единиц).} (Примечание. Арифметика в п. 2 почти та же, что и в п. 1. Решите и получите новый ответ.). А) Вычислите давление р. Б) Вычислите произведение (давления)х(объем), умножив р на abc. В) Повторите все решения с помощью алгебры. Возьмите сосуд длиной a, шириной b и высотой с, содержащий N молекул, движущихся со скоростью v м/сек.

Фиг. 5. К задаче 1.

_{Вместо случайных направлений движения, как изображено здесь (а), потребуем, чтобы были три группы (б) по 2∙10²⁶ молекул, движущихся параллельно граням сосуда. Теперь предположим, что давление на переднюю стенку создается ударами одной группы молекул (2∙10²⁶), движущихся взад и вперед (в).}

Задача 2. Кинетическая теория газов (алгебра). (Рассмотрим поведение молекул в сосуде на основе алгебры. К задаче следует приступать после того, как сделана и проверена задача 1.) Предположим, что в сосуде заключено N молекул (N молекул во всем сосуде, а не в каждом кубическом метре). Пусть длина сосуда равна а м, а размер передней и задней стенок Ь x с м². В процессе хаотического движения со множеством соударений молекулы обмениваются импульсами и скорость их не остается постоянной. Однако мы полагаем, что если температура поддерживается постоянной, то их скорость близки к некой средней скорости, которую мы обозначим через v м/сек. Чтобы вычислить давление на стенку сосуда, мы должны учитывать только удары об эту стенку. Таким образом, для упрощения задачи мы считаем, что N молекул подразделяются на три равные группы, одна из которых движется вверх и вниз, другая влево и вправо, а третья — взад и вперед. При вычислении давления на переднюю стенку мы учитываем только последнюю группу. Из соображения симметрии все N молекул должны разделиться между этими тремя группами поровну. Приняв эти предположения, ответьте на следующие вопросы, считая, что масса одной молекулы равна m кг. 1) При лобовом ударе молекулы о переднюю стенку и отражении изменение импульса равно ___. 2) Между двумя последовательными ударами о переднюю стенку молекула летит к задней стенке и возвращается, проходя полное расстояние ___ м. 3) За время t сек молекула, летящая со скоростью v м/сек, проходит расстояние ___ м. 4) Таким образом, в течение t сек молекула ___ раз возвратится назад и столько же рае ударится о переднюю стенку. 5) За время t сек молекула ___ раз ударится о переднюю стенку, передавал при каждом ударе импульс ___. 6) Таким образом, полное изменение импульса передней стенки из-за ударов одной молекулы за время t сек равно ___. 7) Но в сосуде находится N молекул, из которых ___ движутся взад и вперед. Полное изменение импульса передней стенки из-за ударов всех молекул в течение t сек равно ___. 8) Но F∙t = Δ(импульса), т. е. F = Δ(импульса)/t, а в нашем случае средняя сила, действующая на переднюю стенку сосуда на протяжении t сек, равна[126] ___. 9) Давление = (сила)/(площадь), а площадь передней стенки равна ___. Таким образом, среднее давление на переднюю стенку равно ___. 10) Объем сосуда равен ___. Таким образом, произведение (давление)-(объем) = ___. Но m — масса одной молекулы, а их всего N, так что полная масса газа в сосуде, М кг = ___ кг. Подставляя М в написанное выражение, находим: (давление)∙(объем) = ___. 11) Если мы работаем с закрытым сосудом, исключающим утечку газа, то масса М постоянна. Предположим, что температура также поддерживается постоянной. Тогда опыты показывают, что средняя скорость v будет оставаться постоянной. Если объем изменяется, то, согласно п. 10, ___. 12) Если мы измеряем объем газа, скажем в колбе, его массу (взвешивая колбу с газом и после его удаления) и с помощью барометра давление, то п. 10 дает возможность получить очень важную информацию — вычислить величину ___, которая представляет ___ молекул. 13) Единицы измерения. Если в п. 12 объем брался в м³, то массу нужно брать в ___, а давление должно измеряться в ___. 14) Из нашей теории получены два полезных предсказания: поведение газа п. 11 и заключение п. 12. Кроме того, получатся и другие результаты, но да все это нужно заплатить предположениями, которые легли в основу всего механизма. Выпишите на отдельном листе все предположения, сколько сможете, А) относительно общих законов, применяемых к молекулам; Б) относительно предполагаемых свойств молекул, их поведения, размеров и т. д.

Трудности простейшей теории.

Выражение, которое вы получили в задаче 2, по-видимому, приводит к непрерывному давлению молекул на стенку, предсказываемому законом Бойля. Но как может град ударов молекул создать непрерывное давление? Разве что они будут сыпаться c такой частотой, что сольются в постоянную силу. Для этого молекулы газа должны быть очень малы и многочисленны. Если они малы, то любая твердая преграда наподобие стенок сосуда будет казаться массивной по сравнению с отдельной молекулой. Тогда при соударении стенка сглаживает передаваемые ей импульсы в постоянное давление, которое мы и наблюдаем. (Что бы вы увидели, если бы стенки сосуда были столь же легкими, как сами молекулы?).

В приведенных задачах предполагалось, что молекулы летят от одной стенки к другой, не сталкиваясь по пути друг с другом, а ведь они, разумеется, сталкиваются, и без дальнейшей информации мы не сможем сказать, насколько часто. Как это повлияет на наши предсказания?

Фиг. 6. Сглаживание ударов.

_{Заштрихованная площадь — полная величина F∙Δt.}

Задача 3. Столкновения в простейшей теорпи. А) Покажите, что для простых рассуждений в задачах 1 и 2 не имеет значения, сталкиваются молекулы или нет. (Рассмотрите две молекулы, которые движутся взад и вперед, от одной стенки к другой и при встрече проходят друг над другом без соударения. Затем предположите, что они сталкиваются лоб в лоб и отскакивают назад. Почему их вклад в давление не изменится? Объясните это с помощью чертежа.). Б) Какие специальные предположения о свойствах молекул требуются для ответа на поставленные выше вопросы? В) Предположим, что молекулы, стали очень большими (сохранив, однако, свою скорость, массу и т. д.). Как это повлияет на давление вследствие их соударений? Возрастет ли оно, уменьшится или останется прежним? Г) Дайте ясное обоснование вашего ответа на предыдущий вопрос.

Молекулярный хаос.

Молекулы сталкиваются друг с другом и со стенками совершенно случайным образом (лоб в лоб, под углом, вскользь) и поэтому не могут сохранять постоянную скорость v. Одни набирают скорость при соударениях, другие же теряют ее. Газ представляет собой хаос случайно движущихся молекул, скорости которых (при каждом соударении) могут изменяться в широких пределах. Но все же должно соблюдаться некое постоянство — ведь газ оказывает постоянное давление.

Выражение p∙V = ¹/₃ (N∙m∙v^¯2) вовсе не подразумевает, что все N молекул движутся с одной и той же скоростью и каждая дает вклад mv^¯2. Мы говорим, что молекула 1 движется со скоростью v₁, молекула 2 — со скоростью v₁ и т. д, а молекула N — со скоростью v_N. Тогда[127].

P∙V = ¹/₃ (mv₁² + mv₂² +… + mv_N²) =

= ¹/₃ [m∙(v₁² + v₂² +… + v_N²)] = ¹/₃ m∙(N∙Среднее v²)

Следовательно, v² в нашем выражении должно быть средним v^¯2. Именно поэтому мы ставим над ней черточку, обозначающую среднее значение. Так что теоретическая формула приобретает вид.

ДАВЛЕНИЕ∙ОБЪЕМ = ¹/₃ m∙(N∙v^¯2)

Мы знаем, что если поместить газ в сосуд, то его давление с течением времени не будет прыгать вверх и вниз; давление и объем остаются постоянными. Следовательно, несмотря на все происходящие при столкновениях изменения, средняя скорость молекул v^¯2 остается постоянной. Таким образом, теория уже помогла нам навести порядок в молекулярном хаосе — получить постоянную v^¯2.

Более элегантный вывод. Введение множителя ¹/₃ для большинства выглядит как искусственный трюк. Вот более элегантный метод, в котором скорости молекул складываются с помощью простейших правил статистики. Предположим, что молекула 1 движется в сосуде со скоростью v₁ под углом к стенке (фиг. 7).

Фиг. 7. Другое рассмотрение движения молекул газа.

Каждая скорость v разложена на три составляющие _xv, _yv и _zv, параллельные граням сосуда. Затем по _xv² вычисляется давление и мы приходим к тому же результату.

Разложим вектор v₁ на три компоненты по осям х, у и z, параллельным стенкам. Тогда v₁ будет результирующей компонент скоростей _xv₁ вдоль оси х, _yv₁ вдоль оси у, a _zv₁, вдоль оси z. Поскольку оси взаимно перпендикулярны, то по теореме Пифагора. V₁² = _xv₁² + _yv₁² + _zv₁^2. Для молекулы 2. V₂² = _xv₂² + _yv₂² + _zv₂^2. Для молекулы 3. V₃² = _xv₃² + _yv₃² + _zv₃^2. … И т. д. V_N² = _xv_N² + _yv_N² + _zv_N^2. Сложим все эти равенства: (v₁² + v₂² + v₃² +… + v_N²) = = (_xv₁² + _xv₂² + _xv₃² +… + _xv_N²) + + (_yv₁² + _yv₂² + _yv₃² +… + _yv_N²) + + (_zv₁² + _zv₂² + _zv₃² +… + _zv_N²)

Фиг. 8. Составляющие скорости.

По теореме Пифагора v₁² = _xv₁² + _yv₁² + _zv₁^2.

Разделив на число молекул N, получим среднее значение: V^¯2 = _xv^¯2 + _yv^¯2 + _zv^¯2. Призовем теперь на помощь соображения симметрии и потребуем (игнорируя малые отклонения за счет гравитации), чтобы все три средних в правой части уравнения были равными; случайное движение большого числа молекул должно давать одно и то же распределение скоростей в любом направлении: _Xv^¯2 = _yv^¯2 = _zv^¯2. Т. е. V^¯2 = 3∙_zv^¯2. Чтобы получить давление на стенку сосуда, мы будем дальше рассуждать по аналогии с задачей 2, используя _xv — составляющую скорости молекул вдоль сосуда. (Именно эта составляющая скорости и нужна нам, ибо _yv и _zv влияют только на движение от одной боковой стенки к другой и не участвуют в передаче импульса нашим стенкам.) Поэтому вклад молекулы 1 в произведение (давление)∙(объем) будет m∙_xv₁^¯2, а вклад всех N молекул будет. M∙(_xv₁² + _xv₂² + … + _xv_N²), или m∙N∙_xv^¯2. Но он равен m∙N∙(v^¯2/3), так что. ДАВЛЕНИЕ∙ОБЪЕМ = ¹/₃ N∙m∙v^¯2.

Предсказания кинетической теории газов.

Рассмотрение молекулярных столкновений и законы Ньютона привели нас к выводу, что.

ДАВЛЕНИЕ∙ОБЪЕМ = ¹/₃ N∙m∙v^¯2.

Он напоминает закон Бойля. Множитель ¹/₃ постоянен; N — число молекул — тоже постоянно (если они не улетают и не распадаются); m — масса молекул — постоянна. Поэтому если средняя скорость остается постоянной, то постоянно и ¹/₃ N∙m∙v^¯2, а следовательно, постоянно и p∙V, как обнаружил Бойль. Но остается ли неизменной скорость молекул? Сейчас мы не можем гарантировать это.

Но давайте на минуту забежим вперед и предположим, что молекулярное движение связано с тепловым состоянием газа и что при постоянной температуре средняя скорость молекул газа постоянна, как бы мы его ни сжимали[128]. Объяснение этого факта вы получите позднее, а сейчас примите его на веру. Сделав это, найдем:

Для газа при постоянной температуре произведение p∙V постоянно.

Более простая форма получится, если вместо объема изменять плотность: удвойте число молекул в том же сосуде, и давление удвоится.

Что это, удивительное объяснение закона Бойля? Едва ли удивительное. Мы вкладывали в него столько предположений, не упуская из виду желаемый результат, что он вряд ли может польстить нашему тщеславию. Теория, вобравшая столько предположений и предсказавшая один-единственный уже известный закон, и то при дополнительном допущении относительно постоянства температуры, вряд ли заслуживает внимания. Но наша теория — это только начало. Кроме того, она позволяет «объяснить» испарение, диффузию, внутреннее трение в газах. Она предсказывает, как ведет себя газ при сжатии, облегчает конструирование вакуумных насосов. Она приводит также к измерениям, подтверждающим законность наших предположений. Однако, прежде чем перейти к дальнейшему развитию теории, остановимся на вопросе: «на самом ли деле существуют такие штуки, как молекулы?».

Существуют ли молекулы?

«Самое страшное — это косвенные улики. Обвинитель имеет в своем распоряжении все средства для расследования. Он вскрывает факты и отбирает только те, которые, по его мнению, существенны. Но если он придет к заключению о виновности подсудимого, то для него существенными фактами будут лишь те, которые указывают на вину подсудимого. Вот почему косвенные улики — ложь. Сами по себе факты не имеют никакого смысла. Объяснение фактов — вот единственное, что принимается в расчет». Эрл Станли Гарднер.

«Дело о попугае — лжесвидетеле».

Сто лет назад молекулы казались полезным понятием. Это была плодотворная концепция, позволившая легко обнаружить закономерности у химических соединений и давшая толчок развитию простейшей теории газов. Но существуют ли молекулы на самом деле?

В те времена имелись лишь косвенные улики, которые делали эту гипотезу вероятной. Однако многие ученые были настроены скептически, а один великий химик вплоть до начала этого века даже настаивал на своем праве не верить в молекулы и атомы, хотя прямне экспериментальные доказательства появились довольно давно, примерно в 1827 г. Это было броуновское движение.

Броуновское движение.

Шотландский ботаник Роберт Броун (1773–1858) сделал удивительное открытие — он увидел молекулярное движение. Рассматривая через микроскоп взвешенные в воде твердые частицы, он обнаружил, что они находятся в беспрестанном движении. Этот танец делал частицы похожими на живые существа, которые ни на минуту не прекращали своего движения. При нагревании танец убыстрялся, а после охлаждения замедлялся до первоначального темпа. Теперь мы знаем, что любые твердые частицы в жидкости будут участвовать в точно таком же беспорядочном танце, лишенном ритма и системы. Броун наблюдал результат столкновений молекул воды с твердыми частицами. Их толкали со всех сторон, как толкали бы слона, окажись он на футбольном поле во время матча.

Понаблюдайте сами за «броуновским движением». Посмотрите через сильный микроскоп на частицы сажи в воде. А еще проще, понаблюдайте в небольшой микроскоп за дымом. Наполните черный ящик дымом от сигареты или гаснущей спички и осветите его сбоку сильным светом. Дым рассеивает во всех направлениях голубовато-белый свет, часть которого попадает и в микроскоп. Под микроскопом дым представляется маленькими кусочками белого пепла, которые скачут туда и сюда в совершенно беспорядочном танце[129] (см., например, фиг. 89, стр. 530).

Понаблюдав за частицами пепла, вы поймете, почему Броун сначала принял их за живые существа, но вы можете представить себе, что это движение возникает в результате хаотических ударов молекул воздуха. Сегодня мы не просто считаем, что так может быть, а уверены, что это именно так и есть, ибо способны вычислить действие этих ударов и проверить наши вычисления с помощью наблюдений. Если бы молекул воздуха было очень много и они были бы бесконечно малы, они бомбардировали бы большую частицу пепла симметрично со всех сторон и мы не смогли бы увидеть броуновского движения. Но, с другой стороны, если бы окружающий воздух состоял из небольшого числа больших молекул, то частицы пепла при ударе молекул совершали бы неожиданные дикие скачки. Ясно, что истина лежит где-то посредине: в сосуде имеется множество молекул, ударяющих частицу пепла со всех сторон много раз в секунду. За короткий промежуток времени в нее попадали с каждой стороны сотни молекул, но на одну сторону случайно приходится на несколько сот толчков больше, чей на другую, и частица заметно перемещается. Большие скачки редки, но несколько мелких перемещений в одном и том же направлении превращаются в наблюдаемый сдвиг. Детальные наблюдения и расчеты говорят о том, что под микроскопом мы наблюдаем именно эти результирующие сдвиги. Хотя отдельные перемещения слишком незначительны и мы их не можем разглядеть, все же можно оценить их скорость, записывая и анализируя большие отклонения.

Вы сами увидите, что частицы поменьше танцуют быстрее. А теперь мысленно вообразите, что частицы становятся все меньше и меньше. Какое движение вы увидите, если размеры частиц достигают размеров молекул при условии, конечно, что мы сможем разглядеть саму молекулу? Но можем ли мы увидеть молекулы?

Можно ли увидеть молекулы? Действительно, можно ли' А это было бы очень полезно. Мы уверены, что то, что мы видим, существует на самом деле, хотя имеется множество оптических иллюзий. Все исследования молекул, проведенные на протяжении прошлого века, привели ученых к заключению, что увидеть молекулы — дело безнадежное. Не просто маловероятно, а именно невозможно, и по веским физическим причинам. Мы реагируем на свет, который представляет собой волны с очень малой длиной волны — всего лишь несколько тысяч ангстрем от гребня до гребня[130]. Эти волны и создают видимое изображение Невооруженным глазом мы различаем форму булавочной головки с поперечником в 1 мм, или 1 0 000 000 А°; — с помощью увеличительного стекла можем разглядеть волос толщиной 1 000 000 А°, — с помощью слабого микроскопа видим частицы дыма размером 100 000 А°; — с помощью сильного микроскопа видим бактерии размером от 10 000 до 1000 А°. Но на этом ряд обрывается. Он должен оборваться — его ограничивает длина волны видимого света. Волны могут сделать видимыми препятствия, которые по своим размерам больше или порядка их длины. Например, океанские волны оставляют за островом ясно видимую тень спокойной воды. На меньшие препятствия они реагируют совсем по-другому. Встречая небольшое деревянное бревно, океанские волны не образуют за ним никакой тени. Они просто обтекают бревно и смыкаются за ним, как будто его и нет совсем. Слепой, бредущий по берегу штормового моря, может почувствовать присутствие близлежащего острова, но никогда не узнает о маленьком бревне, которое находится где-то тут же возле него[131]. Длины световых волн лежат в пределах от 7000 А° для красного света до 4000 А° — для фиолетового. Попытка проникнуть в область коротковолнового ультрафиолета путем применения фотопленки (вместо глаза), натолкнулась на препятствие — волны поглощались, еще будучи длиннее 1000 А°; линзы, образцы и даже сам воздух «непрозрачны» для такого ультрафиолета. Рентгеновские лучи с еще более короткими длинами волн способны проходить через вещество и создавать тени, но практически не фокусируются линзами. Хотя рентгеновские лучи и имеют малые длины волн и могли бы помочь проникнуть в более тонкие детали структуры, они дают лишь теневую картину. Таким образом, барьер, созданный волновой природой света, кажется непреодолимым. Мы можем увидеть бактерии размером до 1000 А°, а вот вирусам, имеющим в десять раз меньшие размеры, суждено остаться невидимыми. Увидеть же молекулы, которые меньше вирусов в десятки раз, совсем безнадежно. А между тем вирусы, вызывающие многие болезни, привлекают пристальное внимание медиков. Существует мнение, что вирусы находятся на границе между живыми организмами и химическими молекулами. Увидев молекулы, мы смогли бы ответить на многие важнейшие вопросы химии. Невидимость молекул доставляла много неудобств, но казалась неизбежной. В начале этого века косвенную информацию о строении молекул удалось получить с помощью рентгеновских лучей. Упорядоченные структуры атомов и молекул в кристаллах могут рассеивать рентгеновские лучи регулярным образом, наподобие того, как «расщепляется» свет, проходящий через сотканный материал (посмотрите ночью на удаленный фонарь через тонкий носовой платок или зонтик). Картины рассеяния рентгеновских лучей выявляют расположение атомов и расстояние между слоями в кристаллах. Они подтвердили оценку размеров молекул из измерений с помощью тонких пленок масла. В последнее время дифракционные картины позволили установить очертания некоторых больших молекул, т. е. не только установить детали кристаллической структуры, но и получить указания о форме молекул. Затем, пока некоторые физики сокрушались, что «нет надежды», был изобретен электронный микроскоп. В нем вместо света через исследуемый тонкий образец проходит пучок электронов, который затем фокусируется электрическими и магнитными полями, образуя на фотопленке сильно увеличенное изображение. Длины электронных воля настолько меньше световых[132], что позволяют различать даже «молекулы». Поэтому теперь мы можем «рассматривать» вирусы с огромным увеличением и даже удается сфотографировать большие молекулы. Полученные контуры молекул хорошо согласуются с теми умозрительными картинами, которые рисовали химики, исходя из хитроумных рассуждений о химических свойствах этих молекул. В последнее время созданы еще более «тонкие» методы. В конце нашей книги мы приводим фотографию отдельных атомов металла на острие булавочной головки. Почему мы не показываем ее сейчас? Да потому, что прежде необходимо познакомиться с атомной физикой, ее методами и подходами. Тогда вы поймете, насколько правильна эта фотография. Мы будем говорить об электронах сверхвысоких энергий, которыми сейчас прощупывают структуру атомных ядер, исследуя их теневое изображение. За последнее 100 лет молекулы из мельчайших гипотетических кирпичиков теории превратились в такую реальность, что мы пытаемся даже разглядеть их форму. Большинство характеристик молекул — скорость, их число, масса, размер — были получены еще в прошлом веке на основе кинетической теории газов Теория порождала измерения, и измерения подтверждали теорию. А теперь мы оставим заботу о том, как увидеть молекулы, и посмотрим, что можно получить из простых экспериментов.

Измерение скорости молекул.

Вернемся к нашему результату:

ДАВЛЕНИЕ∙ОБЪЕМ = ¹/₃ N∙m∙v^¯2.

Если верить этому выражению, то можно оценить реальную скорость молекул. Ведь N — это число молекул, а m — масса одной молекулы, так что Nm — общая, масса молекул газа в сосуде. Следовательно, выражение переписывается в виде.

ДАВЛЕНИЕ∙ОБЪЕМ = ¹/₃ M∙v^¯2.

Где М — общая масса молекул газа. Мы можем взвесить образец газа, измерить его объем при известном давлении, подставить результаты наших измерений в написанное выше соотношение и найти величину v^¯2 — среднее значение квадрата скорости.

Опыт 1. Необходимые измерения показаны на фиг. 9. Мы измеряем давление обычного комнатного воздуха ртутным барометром. (Высота столбика, плотность ртути и величина ускорения силы тяжести, g = 9,8 ньютон/кг, дадут давление в абсолютных единицах, ньютон/м²[133].)

Фиг. 9. Косвенное измерение скорости молекул на основе кинетической теории газов.

Взвесим воздух, который заполняет колбу. Для этого взвесим колбу, заполненную воздухом при атмосферном давлении, а затем, после того как весь или почти весь воздух выкачан из колбы, погрузим колбу в воду, откроем пробку, чтобы вода заместила воздух. Измерение объема воды в колбе даст нам объем воздуха известной массы. Подставив эта результаты, вычислим v^¯2, а следовательно, и квадратный корень из него √v^¯2, который можно назвать средней скоростью (точнее, средней квадратичной скоростью). В задаче 4 приведены результаты этих измерений. Вычислите скорость. Задача 4. Скорость молекул кислорода. Опыт показывает, что 32 кг кислорода при атмосферном давлении и комнатной температуре занимают объем 24 м³. А) Вычислите плотность кислорода, т е. (масса)/(объем). Б) Используя соотношение кинетической теории газов, вычислите средний квадрат скорости молекул v^¯2. В) Извлеките корень и найдите среднюю квадратичную скорость в м/сек.

Молекулы воздуха носятся со скоростью 400 м/сек! Итак, теория дает полезные предсказания и подтверждает свои предположения, как ей и пристало! Мы предположили, что газ состоит из молекул, которые, по-видимому, движутся быстро, и наша теория на основе простых измерений показывает, сколь быстро они движутся. Но теория не может доказать правильность собственных предсказаний. Результат может подтверждать лишь правильность предположений теории. Так что нужна экспериментальная проверка. Если теория пройдет одно или два испытания, мы вполне можем положиться на ее дальнейшие предсказания.

Скорость молекул; экспериментальные данные.

Грубые указания о величине скорости мы можем получить, изучая скорость звука и броуновское движение.

Задача 5. Скорость звука. Мы считаем, что звук переносится волнами сжатия и разрежения, причем изменение плотности и движение передаются от одной молекулы к другой благодаря соударениям. Если воздух действительно состоит из движущихся молекул, то что вы можете сказать об их скорости, зная, что измерения скорости звука в воздухе дают величину 340 м/сек? Задача 6. Броуновское движение. Поглядев в микроскоп на дым, вы увидите быструю пляску больших частиц пепла и бешеную — маленьких. А) Частицы могут быть настолько малы, что их не видно. Каково их движение? Б) Считая молекулы еще меньшими частицами пепла, что можно сказать об их движении?

Обе задачи просто имеют общее решение. А вот опыт, который показывает, насколько быстро движутся молекулы газа.

Опыт 2. На дно тонкой стеклянной пробирки выпускается жидкий бром[134]. Жидкость немедленно испаряется, и бурый пар, или «газ», медленно расползается по трубке. Затем тот же эксперимент повторяется с пробиркой, из которой выкачан воздух. Теперь освобожденные пары брома движутся очень быстро. (Молекулы брома движутся столь же быстро и в воздухе, но распространение газа замедляется множеством столкновений с молекулами воздуха.).

Фиг. 10. Движение молекул брома.

_{А — диффузия брома в воздухе; б — бром, выпущенный в вакуум; в — капсула.}

Прямые измерения.

Настоящей проверкой должны служить прямые измерения. Скорость молекул измерялась несколькими экспериментаторами. Мы рассмотрим типичный эксперимент, проделанный Цартманом.

Фиг. 11. Прямое измерение скоростей молекул.

_{А — схема опыта Цартмана; б — различные стадии вращения барабана; в — развернутый образец пленки.}

_{1 — метки от молекул различных скоростей, 2 — нулевая метка, сделанная молекулами при неподвижном барабане.}

Опыт 3. Пучок молекул пропускался через прорезь в цилиндрическом барабане, который мог быстро вращаться. Это были молекулы висмута, которые испарялись в вакууме из жидкого расплава в маленькой печи. Затем серия экранов с прорезями выделяла узкий пучок, который попадал в барабан. При каждом повороте щель барабана пропускала только небольшую порцию движущихся молекул. Когда барабан покоился, молекулы пролетали к противоположной стенке барабана и создавали отметку на пленке, расположенной за щелью. При вращении барабана пленка за время пролета молекул через барабан перемещалась на заметное расстояние и метка сдвигалась в новое положение. По этому сдвигу метки, диаметру барабана и скорости его вращения вычислялась скорость молекул. Когда пленка была извлечена из барабана, то на ней оказалась резкая центральная метка из осевшего металла, а метка, возникшая при вращении, имела вид размазанного пятна, которое говорило, что скорости молекул не были одинаковыми, а были разбросаны в довольно широкой области. Молекулы газа движутся хаотически, испытывая столкновения, и следует ожидать, что в любой момент имеется довольно разнообразный набор скоростей. В предсказаниях же кинетической теории фигурирует средняя, точнее, средняя квадратичная скорость √(v^¯2). Распределение скоростей относительно средней можно предсказать о помощью математической статистики случайных событий. В опыте Цартмана пучок горячих молекул пара будет обладать тем же распределением скоростей с пиком при величине, характеризуемой температурой. Измерения потемнения пленки дали в точности такое же распределение и среднюю величину, очень хорошо согласующуюся с предсказанной простейшей теорией (фиг. 12)[135].

Фиг. 12. Результаты опыта Цартмана.

_{Кривая характеризует плотность почернения (экспериментальные результаты). Крестиками показаны значения, предсказываемые кинетической теорией газов на основе статистики.}

Скорости молекул в других случаях. Диффузия.

Взвешивание бутылки водорода или гелия при атмосферном давлении и комнатной температуре показывает, что эти газы менее плотны, чем воздух; углекислый газ более плотен. Поэтому, согласно нашему предсказанию, p∙V = ¹/₃M∙v^¯2, молекулы водорода и гелия движутся быстрее молекул воздуха (при той же температуре), а молекулы углекислого газа — медленнее. Вот что получается на самом деле.

Задача 7. Скорости. А) Если молекулы кислорода при комнатной температуре движутся со скоростью около 400 м/сек, то с какой скоростью движутся молекулы, водорода? Б) Какова средняя скорость молекул гелия по сравнению с молекулами водорода при той же температуре? (Найдите отношение «средних» скоростей.). В) Какова скорость молекул углекислого газа по сравнению с молекулами воздуха при той же температуре? (Найдите отношение «средних» скоростей.). Задача 8. Рискните угадать[136], будет ли скорость звука в гелии той же, что и в воздухе. А может быть больше или меньше? Проверьте вашу догадку, наполнив органную трубу сначала воздухом, а затем гелием (или углекислым газом), или же вдохните гелий, а затем попробуйте сказать что-нибудь. (Рот и нос работают как миниатюрная органная труба.) Изменение скорости звука изменяет время, необходимое для прохождения звука от одной стенки трубы до другой, и изменяет таким образом частоту колебаний звука, повышая частоту основного тона. Задача 9. Как, по вашему мнению, изменится скорость звука в воздухе при изменении давления и постоянной температуре? (Ответьте на этот вопрос, учтя, что 28,8 кг воздуха при комнатной температуре и давлении 1 атм занимают 24 м³, а при давлении 2 атм — 12 м³.)

Диффузия.

Если скорости молекул разных газов столь отличны, то при прохождении через длинную тонкую трубку один газ должен отделяться от другого. Для этого трубочки должны быть настолько длинными и узкими, чтобы молекулы газа просачивались через них поодиночке.

Опыт 4. Подходящими порами обладает, например, неглазурованная керамика (фиг. 13 и 14). Именно такими порами пронизана белая керамическая кружка J. Если наполнить ее сжатым газом и закрыть пробкой S, то, как и следовало ожидать, газ через поры постепенно вытечет из кружки в атмосферу. Но если внутри и снаружи давление одинаково (атмосферное), то трудно ожидать утечки, даже если внутри и снаружи были разные газы. Однако изменения происходят, указывая на разные скорости молекул. Описанный опыт начинается с того, что внутри кружки находится воздух, а вне ее — другой газ, также при атмосферном давлении. Молекулы водорода проникают в кружку быстрое, чем оттуда выходит воздух, или же воздух выходит быстрее, чем «вползают» молекулы СО₂. Это качественная демонстрация диффузии, но она подсказывает способ разделения смеси газов. Поместите внутрь кружки смесь водорода и СО₂. Тогда водород независимо от того, что находится вне кружки — воздух или вакуум, будет диффундировать быстрее, чем СО₂, так что, повторяя этот процесс несколько раз, можно получить почти чистый водород.

Фиг. 13. Диффузия газов.

_{Водород диффундирует внутрь сосуда сквозь пористую стенку J быстрее, чем воздух из него.}

Фиг. 14. Диффузия газов.

_{Углекислый газ диффундирует внутрь сосуда через пористую стенку J медленнее, чем воздух из него.}

В этом и состоит физический метод разделения, основанный на различии молекулярных скоростей, которое обусловлено различием масс молекул (фиг. 15). Здесь не требуется различия химических свойств, и им можно пользоваться для разделения «изотопов» — близнецов, которые совершенно идентичны химически, но немного отличаются атомным весом. Когда впервые были открыты изотопы — один образец газообразного неона оказался на 10 % плотнее другого, а одни атомы свинца тяжелее других, — это казалось любопытным курьезом. Разделение имело смысл с точки зрения демонстрации эффекта. Диффузия естественной смеси неона в атмосфере давала такую возможность. Ню после того как стало известно, что в природном уране перемешаны два изотопа, один из которых легко расщепляется, а другой нет, выделение редкого изотопа стало вопросом первостепенной важности. Сейчас для этого в огромных масштабах используют диффузию газов (см. задачу 11 и фиг.16–18; см. также гл. 30 и 43[137].

Фиг. 15. Диффузия газов.

_{Воздух и углекислый газ при атмосферном давлении разделяются пористой перегородкой. Сначала они занимали равные объемы при одинаковом давлении и содержали одинаковое число молекул (а). Но молекулы воздуха в среднем проходят по порам быстрее, чем молекулы СО2. Поэтому число молекул и давление становятся неодинаковыми (б).}

Фиг. 16. Разделение изотопов урана с помощью диффузии UF₆ через пористую перегородку.

_{Молекулы газа, много раз соударяясь, с перегородкой и стенками пор, частично проникают сквозь них.}

Фиг. 17. Разделение изотопов урана с помощью диффузии UF₆ через пористую перегородку (а) и многоступенчатое разделение диффузией (б).

_{Смесь, прошедшая первую ступень, перекачивается на вход второй ступени. Неиспользованная смесь перекачивается назад на вход предыдущей ступени.}

Фиг. 18. Разделение изотопов урана с помощью диффузии.

_{Чтобы добиться почти полного отделения U²³⁵F6, необходимы тысячи ступеней.}

Температура.

Нагревание газа увеличивает р или V. С увеличением температуры всегда возрастает pV, а поэтому и ¹/₃ Nmv^¯2. Следовательно, нагревание газа увеличивает v² и заставляет молекулы двигаться быстрее. В этом суть эффекта повышения температуры.

Задача 10. А) Как по-вашему, при повышении температуря воздуха скорость звука станет больше, меньше или останется той же самой? Объясните. Б) Как вы думаете, при повышении температуры диффузия газов происходит быстрее, медленнее или с той же скоростью? Объясните.

Развитие кинетической теории газов.

Мы не в силах дать точных ответов на подобные вопросы, пока не изучим подробнее теплоту, температуру и энергию. Затем мы сможем извлечь новые данные о внутреннем трении в газе, теплопроводности и найдем способ измерения массы отдельной молекулы, так что сможем сосчитать мириады молекул в объеме газа. Мы вернемся к кинетической теории газов после изучения энергии. И именно кинетическая теория газов приводит нас к понятию энергии.

Что такое mv²?

Выражение ¹/₃ Nmv² очень важно с точки зрения изучения газов. Оно означает (забудем на время множитель ¹/₃):

ЧИСЛО МОЛЕКУЛ ГАЗА∙(mv² одной молекулы).

Что же такое mv² для движущейся молекулы? Конечно, это масса, умноженная на квадрат скорости, но какого рода величину она характеризует? Каковы ее свойства? Уж не является ли она одним из членов ряда m… mv… mv²…? Масса m нам знакома. Она считается постоянной, а ее полное значение — сохраняющейся величиной. Знаком нам и mv — импульс. Он рассматривался как вектор, который также сохраняется. В такой ли степени полезна величина mv²? Строение ее таково:

Mv∙v = Ft∙v,

Или.

СИЛА ВРЕМЯ ∙ РАССТОЯНИЕ / ВРЕМЯ.

Так что mv² имеет вид (сила)∙(расстояние). Полезно ли это произведение? Чтобы сила действовала на некотором расстоянии, необходим двигатель, потребляющий топливо. Топливо… энергия.

Мы увидим, что для появившегося в теории газов выражения mv² необходим только множитель ¹/₂, чтобы превратить его в «энергию».

Задача 11. Разделение урана (вариант см. гл. 30, задача 3) Молекула кислорода содержит два атома, и мы обозначаем ее O₂; молекула водорода также состоит из двух атомов Н₂, а газообразный фторид урана имеет формулу UF₆. Химические опыты показывают, что относительные массы атомов О, Н, F и U равны 16, 1, 19, 238. Доказательства и блестящая догадка Авозадро приводят к заключению, что стандартный объем любого газа при 1 атм и комнатной температуре содержит одно и то же число молекул независимо от сорта газа (одно и то же для О₂, Н₂ и UF₆). Кинетическая теория газов подтверждает эту догадку (см. гл. 30). А) Обратившись вновь к задаче 7, вы увидите, что замена О₂ на Н₂ меняет массу молекулы в отношении 32:2. Каково изменение при той же температуре у v^¯2, т. е. у средней квадратичной скорости? (Во сколько раз молекула водорода при комнатной температуре движутся быстрее молекул кислорода? Напишите соотношение между новой скоростью и старой. Здесь вам не нужно повторять всю арифметику; просто проследите за изменяющимся множителем). Б) Проделайте то же самое, заменив кислород газообразным фторидом урана. Сделайте грубый арифметический расчет и найдите приближенное числовое значение. В) Существует несколько сортов атомов урана. Масса обычного урана равна 238 (по сравнению с 16 для кислорода), но редкий изотоп 0,7 % в смеси, полученной из руды), тот самый, который легко делится, имеет массу 235. Один из способов (очень медленных) отделения этого редкого изотопа урана от обычного состоит в превращении смеси во фторид и диффузии газообразного фторида через пористую стенку. Поскольку молекулы фторида U²³⁵ имеют несколько иную скорость, то после диффузии получится смесь с иными пропорциями. 1) Обогащается ли она или обедняется U²³⁵? 2) Обоснуйте ваш ответ на предыдущий вопрос. 3) Оцените разницу в % средних скоростей молекул [U²³⁵F₆] и [U²³⁸F₆]. (Примечание. Как уже обсуждалось в гл. 11 (т. 1), изменение на х% в некоторой величине Q приводит к изменению ¹/₂ х% для величины √Q.) Задача 12. На фиг. 13 и 14 показаны два примера диффузии. Опишите, что там происходит, и объясните эксперимент. Задача 13. Сжатие газа с молекулярной точки зрения. А) Когда упругий шарик испытывает лобовое соударение с массивной стенкой, он отражается с первоначальной скоростью. То же происходит и с мячом, ударяющимся о массивную биту, которая удерживается на месте. Однако если бита движется в направлении к мячу, то он отлетит с другой скоростью. Как он будет двигаться — быстрее или медленнее? Б) (Вопрос трудный. Нужно хорошо подумать.) Что произойдет со временем упругого соударения, когда бита движется по направлению к мячу? Будет ли оно длиннее, короче или тем же самым, что и в случае неподвижной биты? В) Если газ в цилиндре сжимается поршнем, его температура возрастает. Как это явление объясняется с точки зрения кинетической теорий газов? Г) Предположим, что сжатый газ расширяется и толкает поршень. Что произойдет с газом? Задача 14. Размер молекул и их пробег. Пусть закрытый сосуд содержит большое число молекул газа при фиксированной температуре. Предположим, что по приказу волшебника молекула раздулись и стали больше, хотя их число, скорости и объем сосуда не изменились. А) Как это повлияет на среднее расстояние от центра до центре молекул (сильно увеличится, уменьшится или изменится немного)? Б) Объясните ваш ответ. В) Как это повлияет на среднее расстояние, проходимое молекулами между двумя соударениями (средняя длина свободного пробега)? Г) Объясните ваш ответ.

Глава 26. Энергия.

«Любовь всем движет в этом мире». Старинная песенка. «Энергия, ты заставляешь мир крутиться. Энергия, ты объясняешь все вокруг». Современная песенка.

Энергия и топливо.

Проще всего сказать, что энергия объясняет все в физике, химии…., возможно, в биологии. Практически такое утверждение бессмысленно, а в некоторых случаях явно неверно. Чтобы правильно и успешно применять понятие энергии, необходимо знать, как оно возникло, и понимать, что же это такое. Только тогда вы сможете пользоваться понятием энергии как мощным орудием научного мышления.

Мы постараемся в этом курсе избегать говорить об энергии, пока не обсудим, что это такое, с нескольких сторон. Начнем сперва с житейского и довольно примитивного описания энергии как вещи, за которую нам приходится платить, как за топливо. Постепенно по мере уточнения смысл способа измерения и полезность понятия энергии будут становиться все более ясными.

Основа нашей цивилизации — топливо. Без топлива немыслима никакая общественная жизнь, по сути дела невозможна вообще жизнь, если пищу считать тоже топливом. Уголь для паровых машин, бензин для моторов, овес для лошадей, пища для людей — за все надо платить. Топливо необходимо нам для выполнения многих работ, и количество закупаемого топлива должно быть пропорционально количеству требуемой работы. Современный человек, который говорит: «Зачем мне топливо, у меня дома есть электричество», — тоже платит за топливо. Он платит за пользование электричеством, а для электростанции покупается уголь. Правда, для обогрева домов мы можем использовать солнечное тепло, а для вращения генераторов — силу падающей воды. Это «даровое» топливо. Но здесь есть вполне определенный предел. Солнце, нагревающее комнату, или речной поток снабжают нас определенным количеством «бесплатного» топлива, как богатые родители карманными деньгами. Мы можем получить определенную работу, но, как и карманные деньги, ее нельзя увеличивать беспредельно. В большинстве случаев мы косвенно пользуемся ядерным топливом Солнца. Река работает на солнечной энергии наших дней благодаря испарению и ветрам, а уголь вырос под солнечными лучами древних времен. Поэтому денежная цена — неподходящая для нас мера топлива, ибо она колеблется от бесплатного солнечного света и дешевых дров до нефти и угля, которые дороги, особенно вдали от источников сырья. Вместо этого мы подойдем к понятию энергии, получаемой из топлива, с другой стороны, с точки зрения того, куда это топливо идет. Многие виды работ требуют затраты топлива. Изучая их, мы видим, что количество топлива, необходимого для таких работ, пропорционально количеству работы. Рассмотрим, например, поднятие груза на гору или на крышу здания. Для этого необходимо топливо. Сколько бы его ни требовалось, две однотипные работы по поднятию груза потребуют уже вдвое большего количества топлива — вдвое больше кусков угля или вдвое больше литров нефти, или работы за то же время двух водяных колес вместо одного, или вдвое большего количества солнечного света. Догадываетесь, в чем дело? Количество топлива пропорционально работе.

Мы говорим, что энергия есть нечто, необходимое для совершения определенного количества работы и получаемое из топлива, а топливо— это источник полезной энергии. Ноне всякое дело и не каждая машина требуют затраты топлива. Для каких же работ оно все-таки необходимо? Нужно ли нам топливо, чтобы создать или поддерживать большое усилие или быстрое движение? Для работы винта не требуется больших затрат топлива. Можно создавать огромную силу практически без затраты топлива и уж, конечно, без пропорциональности его расхода величине силы или времени ее действия.

Достаточно небольшого поворота винта струбцины или тисков, и они могут неопределенно долго поддерживать силу без всякого снабжения топливом. Груз, лежащий на подпорке, создает «бесплатную» силу до тех пор, пока остается на ней. Тяжелый поршень, сжимающий газ в цилиндре, неопределенно долго может поддерживать высокое давление, не требуя «платы» за это. Не требует топлива и равномерное движение. Оно продолжается само по себе (первый закон Ньютона). Планеты и молекулы газа остаются в движении без затраты топлива. Так для каких же дел топливо все-таки необходимо и притом пропорционально работе? Давайте перечислим некоторые из них, известные нам из жизненного опыта.

А) Поднятие груза. Уже первые строители обнаружили, что для этого требуется топливо — пища для рабов, зерно для лошадей, падающая вода для водяных колес. Груз не поднимается сам. Даже если его толкнуть, он не будет продолжать подниматься сам по себе, а замедлится до полной остановки.

Фиг. 19.

Б) Движение тележки по шероховатой дороге. Чтобы поддерживать движение тележки, необходимо топливо. Конечно, если тележка не движется, то тянуть ее можно и без всякого топлива. В этом случае вместо живого человека мы можем поставить статую, наклонив ее так, чтобы она вечно тянула тележку без какой-либо затраты топлива. Но если тележка поедет, то наша статуя упадет и окажется бесполезной. Для поддержания движения тележки по шероховатей дороге нужен либо живой человек, либо даровая машина, сжигающая уголь, либо электромотор, который постоянно требует электроэнергии.

В) Завод часовой пружины. Чтобы завести часовую пружину, нам приходится крутить ключ. Для растяжения или сжатия любой простой пружины необходимо движение руки или какого-нибудь другого механизма, потребляющего топливо. Заведенная пружина может поднимать груз или двигать тележку до тех пор, пока не раскрутится. (Подобную же работу может производить и сжатая или растянутая пружина, если ее отпустить.) По-видимому, деформированная пружина обладает способностью запасать работу — в ней можно «накапливать» топливо.

Г) Ускорение какого-либо тела.

Д) Нагревание бака с водой. Для этого, несомненно, нужно топливо, причем пропорционально не только повышению температуры, но и нагреваемой массе. Нетрудно придумать и другие примеры. Фиг. 20 заставляет нас еще подумать о взаимном превращении энергии из одной формы в другую.

Фиг. 20. Превращение энергии.

«Работа» и измерение энергии.

Любой пример с поднятием груза, растяжением пружины или движением тележки по шероховатой дороге требует приложения силы, которая движется вместе с телом. Мы тянем груз вверх вдоль направления его движения, оттягиваем конец пружины вдоль направления ее растяжения. Можно ли в случае этих работ построить общую схему учета топлива — схему «измерения энергии», как мы будем именовать ее в дальнейшем?

Возьмем, к примеру, расход топлива при поднятии груза на стройке или в шахте — древнейшие механические примеры, где необходимость в топливе очевидна. Предположим, нам нужно поднять 2 кГ по вертикали на высоту 3 м. Возьмем сначала груз 1 кГ и поднимем его на высоту 1 м. Для этого нам потребуется некоторое количество топлива. Здравый смысл говорит, что если такое количество топлива требуется для поднятия 1 кГ на 1 м, то и для следующего метра потребуется то же самое количество, а потом для следующего снова то же количество и т. д. Всего поднятие 1 кГ на 3 м потребует тройного количества топлива. Возьмем, теперь груз потяжелее — 2 кГ. Поднятие двойного груза подобно поднятию двух грузов порознь. Здравый смысл и непосредственная проверка говорят нам, что расход топлива складывается: работа по поднятию может быть разбита на отдельные стадии. Поэтому, чтобы найти плату за поднятие 2 кГ на высоту 3 м, мы разлагаем работу на две части — поднятие 1 кГ на 3 м, а каждую из этих частей делим на три самостоятельных этапа: каждый есть поднятие 1 кГ на 1 м. Мы говорим, что поднятие 2 кГ на 3 м потребует вдвое большего количества топлива, нежели поднятие 1 кГ, и в 3 раза большего, нежели поднятие на 1 м, так что всего топлива потребуется в 2x3, или в 6 раз больше, чем для поднятия 1 кГ на 1 м. Таким образом, потребуется 6 кГм (килограммометров); 1 кГм означает.

1 кГ (СИЛА) х 1 М (РАССТОЯНИЕ).

Представьте себе, что вся работа производится бригадой одинаковых демонов, каждый из которых переносит 1 кГ с одной ступеньки на другую, находящуюся на 1 м выше, а второй — с этой ступеньки на следующую, при этом каждый съедает стандартный кусочек пищи. Хотя здравый смысл и говорит нам, что подобное разделение труда вполне допустимо и что расход топлива складывается, но окончательно подтвердить это может только поднятие груза во всевозможных условиях. И опыт действительно подтверждает это.

Следовательно, полный расход топлива при поднятии груза можно измерять произведением.

ВЕС∙ВЫСОТА.

А это не что иное, как.

СИЛА∙РАССТОЯНИЕ.

Фиг. 21. Разложение работы по поднятию груза на этапы.

Но применима ли эта мера к другим машинам, превращающим топливо в работу? Если к такой машине присоединить веревку, то мы можем заставить веревку либо поднимать груз, либо тащить тележку, либо растягивать пружину. Предположим теперь, что машина не знает или ей «все равно», что происходит на другом конце веревки, тогда естественно ожидать, что при одинаковой силе тяги и отрезке вытянутой веревки будет израсходовано одно и то же количество топлива. Таким образом, мера использованного топлива.

ВЕС∙ВЫСОТА.

Обобщается теперь на произведение.

СИЛА∙РАССТОЯНИЕ.

Фиг. 22. Работа.

_{Каждый демон производит единичную работу.}

Способность, которой обладает топливо в скрытой форме и которую оно посредством машины передает поднятому грузу, мы называем энергией. Поднятый груз также обладает такой скрытой способностью, позволяющей ему при падении поднять другой груз. В этом отношении энергия напоминает деньги, которые могут существовать во множестве различных форм (лежать в банке или идти в дело) и множеством различных способов могут переводиться туда и сюда. Однако произведение.

СИЛА∙РАССТОЯНИЕ.

Мы называем не энергией, а «работой» и рассматриваем его как «свидетельство» передачи энергии[138].

Подчеркнем две особенности употребления слова «работа».

1) Смысл его гораздо уже того слова, которое мы повседневно употребляем, когда говорим о разработке какой-либо проблемы или о том, насколько трудно держать на вытянутой руке тяжелый груз, хотя в обыденной жизни слово «работа» употребляется также и в научном смысле, когда мы говорим о работе при поднятии груза. Здесь сказывается неудачный выбор обиходного слова в качестве определенного научного термина. Будь мы умнее, мы бы придумали для произведения силы на расстояние другое название, подобно тому как древние химики изобрели слово «газ». (Требует ли размышление над математическими задачами дополнительных затрат топлива-пищи и почему утомительно держать в руке тяжелый груз — вопросы психологические, и мы коснемся их позднее.).

2) Умножая силу на расстояние, необходимо брать расстояние, пройденное в направлении действия силы (или произведение пройденного расстояния на составляющую силы в направлении движения, что количественно дает то же самое[139].

Человек, который поддерживает движение тележки по шероховатой поверхности, должен все время подталкивать ее вперед, а это требует от него затраты некоторого количества топлива-пищи.

Фиг. 24, а — Работа = F∙s; б — человек, толкающий тележку, передает ей энергию F∙s и либо ускоряет ее, либо (на шероховатой дороге) просто поддерживает постоянное движение; в — статуя, толкающая тележку вбок. Сила F_m передает энергию, а сила F_L — нет.

Но сколько бы мы ни жали вбок, это не поможет движению и не требует топлива. Можно просто ваять статую и опереть ее о бок тележки, поставив основание на роликовые коньки так, чтобы все время скользили вместе с тележкой. Это не потребует затрат топлива, кроме возмещения потерь на трение.

«Сухой остаток» предыдущих пунктов 1 и 2 можно сформулировать в следующих утверждениях:

А. Работа означает произведение силы на расстояние, пройденное точкой приложения силы в направлении ее действия.

Б. Измеряемая таким способом работа характеризует величину энергии, переданной с одного места на другое или перешедшей из одной формы в другую.

Теперь приступим к более подробному описанию энергии — величины, количество передачи которой измеряется работой.

Топливо и цивилизация.

Для современной цивилизации топливо — вещь необычайно важная. Для обогрева домов, приготовления пищи, для связи, для транспорта и работы всех механизмов в промышленности мы превращаем энергию, запасенную в огромных количествах топлива, в другие формы. Жизнь замерла бы, если бы мы лишились топлива. Но самое необходимое топливо — это пища. А нельзя ли изобрести такие машины, которые избавили бы нас от расхода такого количества топлива? Рычаги и системы блоков могут из маленькой силы сделать большую. Но могут ли такие «механизмы», как мы их называем в физике, увеличить также наши топливные ресурсы и выжать больше энергии из меньшего количества топлива? Такой «механизм» можно поставить в качестве посредника между потребляющей топливо машиной и работой. Разберем несколько типичных схем механизмов и посмотрим, чем они полезны.

Механизмы.

1. Рычаг или детские качели. Детские качели используются и как игрушка, и как устройство для уравновешивания сил. Однако при движении они могут передавать и энергию; надавив на один конец, можно заставить другой поднимать груз. Предположим, что машина (потребляющая топливо) прикладывает силу F₁ в точке А, а в точке В бруса ABC проходит ось (фиг. 25). Тогда второй конец может поддерживать в точке С более тяжелый груз. По мере того как машина давит на точку А, тяжелый груз в точке С поднимается.

Фиг. 25. Машина поднимает груз при помощи рычага.

Но давайте подсчитаем изменение энергии, которое определяется не просто силой, а произведением силы на расстояние. Пусть конец А опустился на высоту s₁. Передача энергии от машины к механизму в точке А равна при этом F₁∙s₁. Второй конец С толкает груз с силой F₂, приподнимая его на высоту s₂. Передача энергии от механизма к поднимаемому в точке С грузу равна работе F₂∙s₂.

Как же сравнить F₁∙s₁ и F₂∙s₂? Мы покажем, что они равны. Если F₂ во много раз больше F₁, то s₂ точно во столько же раз меньше s₁. Вот вам доказательство. Если вы еще не знаете правила уравновешенных качелей или рычагов, то их немедленно дают простые опыты.

Опыты.

Опыт 1. Брус ABC (фиг. 26) посажен на ось в точке В таким образом, что в ненагруженном состоянии он уравновешен. Грузы же подвешиваются так, как это изображено на рисунке: 4 кГ на расстоянии 3 м от оси уравновешивается грузом на другом конце на расстоянии 2 м.

Фиг. 26. Качели для проверки правила равновесия.

_{Сила∙Плечо = Сила∙Плечо.}

Опыт показывает, что правый груз должен весить 6 кГ. В этом примере[140]. 4 кГ веса_(СИЛА)∙3 м_(ПЛЕЧО) = 6 кГ веса_(СИЛА)∙2 м_(ПЛЕЧО), Причем длина плеча есть расстояние по перпендикуляру между осью и направлением действия силы. Для такого сбалансированного рычага. СИЛА 6 кГ / СИЛА 4 кГ = ПЛЕЧО СИЛЫ 4 кГ / ПЛЕЧО СИЛЫ 6 кГ. Величина груза обратно пропорциональна длине его плеча. Опыт 2. Более сложный случай. Вернемся теперь к рычагу, связывающему машину с грузом (фиг. 27).

Фиг. 27. Более сложные случаи уравновешенных рычагов.

_{В каждом из случаев сумма произведений (со знаками + и —). Сила∙Длина плеча по перпендикуляру от оси до линии силы равна нулю.}

Из опыта мы знаем, что силы F₁ и F₂ обратно пропорциональны длинам плеч L₁ и L₂, т. е. F₂/F₁ = L₁/L₂. Но из геометрии расстояния s₁ и s₂ пропорциональны плечам L₁ и L₂ (треугольники, заштрихованные на фиг. 28, подобны)!

Фиг. 28. Работа машины.

_{Заштрихованные треугольники подобны. Следовательно, L1/L2 = s1/s2. В действительности, нагрузка и усилие перемещаются по дугам окружности, так что s1 и s2 немного искривлены, а «треугольники» на самом деле — секторы. Но к ним применимы те же рассуждения.}

L1/L2 = s1/s2. F₂/F₁ = L₁/L₂ = s1/s2. F₁∙s₁ = F₂∙s_2. Следовательно, обе передачи энергии, работа F₁∙s₁ и работа F₂∙s₂ равны.

Фиг. 29. Рычаги могут пригодиться.

_{А — поднятие тяжелого груза, б — согнутый рычаг с одинаковыми плечами.}

Работа F₁∙s₁ — это передача энергии от машины в рычагу, a F₂∙s₂ — передача энергии от рычага к грузу. Поскольку F₁∙s₁ = F₂∙s₂, то мы говорим, что рычаг получает и отдает равные количества энергии. Энергия на входе рычага равна энергии на выходе. Рычаг как механизм просто передает энергию, он не создает и не уничтожает ее. Это, однако, не мешает рычагу быть очень полезным средством для получения нужной величины силы или изменения ее направления, хотя он и не решает проблемы топлива. При наличии же трения в оси возникает небольшая сила сопротивления и некоторое количество вложенной энергии растрачивается бесполезно.

2. Блоки. Колесо блока работает как равноплечий рычаг[141] (фиг. 30). Оно изменяет направление силы и зачастую, если мы того хотим, довольно сильно, но если трение отсутствует и колесо идеально круглое, оно не меняет величины силы.

Фиг. 30. Блок подобен равноплечему рычагу.

Фиг. 31. Блоки полезны.

_{Блок позволяет легко изменить направление силы.}

Таким образом, один блок не дает надежды изменить величину произведения силы на расстояние. А как насчет системы блоков — удивительных полиспастов, или талей, которые позволяют человеку поднимать громадные грузы, намного превосходящие его обычные возможности? Разберем изображенную на фиг. 32 систему, обращаясь иногда к вашему здравому смыслу (эквивалентному, как обычно, опытным знаниям, сложившимся в процессе воспитания и повседневной жизни).

Фиг. 32. Система блоков; отношение сил.

_{Определение отношения сил (передаточного числа) для системы блоков. По всей веревке передается одно и то же натяжение. Стрелки показывают натяжение веревки, внизу от руки человека, вверху — от груза.}

Подобная система блоков используется для поднятия больших грузов. Какой груз сможет поднять такой механизм, если человек тянет веревку с силой 10 кГ? Шкивы блоков работают как равноплечие рычаги, изменяя направление силы, но не меняя ее величины, за исключением потерь на трение. Натяжение в 10 кГ передается веревкой А через блок на веревку В и т. д. на веревки С и D. Натяжение каждой из веревок — это сила, с которой натягивается каждый ее конец[142]. Полная сила, действующая на веревки, прикрепленные к грузу, складывается из 10 кГ натяжения веревки В + 10 кГ натяжения веревки С + 10 кГ натяжения веревки D. В сумме это дает силу 30 кГ. Для равновесия, т. е. покоя или равномерного движения, она должна уравниваться весом груза. Следовательно, потянув с силой 10 кГ, человек будет поднимать груз 30 кГ, за вычетом, разумеется, потерь на трение. В реальных блоках трение требует своей небольшой доли и силой в 10 кГ удается поднять меньше 30 кГ. Это приспособление в лучшем случае дает отношение поднимаемого груза к силе тяги человека, равное 3:1. Отношение сил.

«НАГРУЗКА» (= ВЕС ПОДНИМАЕМОГО ГРУЗА) / «УСИЛИЕ» (= УСИЛИЕ, ПРИЛАГАЕМОЕ ЧЕЛОВЕКОМ);

Или.

«СИЛА НА ВЫХОДЕ» / «СИЛА НА ВХОДЕ».

Часто называется передаточным числом механизма. Наш набор блоков обладает передаточным числом, равным 3/1. Но это «теоретическое» значение для идеального механизма без трения. Практически же передаточное число из-за трения будет меньше 3/1.

Фиг. 33. Система блоков; отношение расстояний.

_{Определение отношения расстояний (отношения скоростей) для системы блоков. Представьте, что груз подняли на 1 м, и подсчитайте, сколько метров веревки нужно выбрать человеку.}

Сравним теперь расстояния, пройденные тянущей рукой и поднятым грузом, или же их скорости движения. Для этого проще начать рассуждения с груза. Предположим, что груз поднят на высоту 1 м, скажем, какой-то магической силой, и у веревок образовалась «слабина». Уберем ее, вырезав в каждой из веревок В, С и D по метровому куску и вновь соединим их. Если эти три метровых куска не вырезать, то у каждой из веревок В, С и D была бы метровая слабина или в сумме трехметровая слабина. На самом же деле груз поднимается только за счет подтягивания конца А. Поэтому человек должен выбрать 3 м веревки. Отношение длин.

ДЛИНА ВЕРЕВКИ, ВЫБРАННОЙ ЧЕЛОВЕКОМ / РАССТОЯНИЕ, ПРОЙДЕННОЕ ГРУЗОМ.

Часто называют отношением скоростей механизма, так как оно задает также отношение.

СКОРОСТЬ ВЫБИРАНИЯ ВЕРЕВКИ / СКОРОСТЬ ГРУЗА.

Выиграно в силе, столько же проиграно в расстоянии».

Сравним теперь передачу энергии в нашем примере: работа на входе равна 10 кГ∙3 м, или 30 кГм. Работа на выходе в лучшем случае равна 30 кГм∙1 м, или 30 кГм. За исключением потерь на трение, механизм не создает и не уничтожает энергии, а только передает ее, трансформируя[143] силу тяги рук в нужную нам большую силу. Трение же поглощает часть энергии, превращая ее в теплоту.

Вы наверняка поймете эти простые рассуждения с блоками после проработки задач 1 и 2.

Покажите, что каждый из механизмов, описанных ниже, облегчает передачу энергии. Не изменяя произведения сила на расстояние, которое измеряет количество переданной энергии. (Рассмотрите идеальный случай без трения. Трение превращает часть поступающей энергии в теплоту.). Задача 1. Простая система блоков. В изображенной на фиг. 34 системе одна веревка проходит черев несколько идеальных блоков. Чтобы найти возрастание силы, заполните пропуски в следующих рассуждениях. Предположим, что человек тянет с силой 10 кГ. Натяжение веревки А равно ___ кГ. При отсутствии трения натяжение веревки В равно ___ кГ, Натяжение веревки С равно ___ кГ. Натяжение веревки D равно ___ кГ, Натяжение веревки Е равно ___ кГ. Веревка передает только натяжение, но не сжатие, так что груз W тянется с силой ___ + ___… кГ, Груз W должен весить ___ кГ. Сила возрастает в ___ раз. Чтобы найти расстояния, проведите следующие рассуждения. Предположим, что груз W поднялся на 1 м, тогда каждая из веревок ___, ___, ___, ___ сократится на 1 м. Человек выбрал ___ м слабины. Пройденное расстояние изменилось в ___ раз. Предположим, что блок Q на потолке удален и человека заставили тащить конец В вверх. Как это повлияет на передаточное число системы и отношение скоростей? Как это изменение скажется на эффективности системы?

Фиг. 34. К задаче 1.

Задача 2. Система блоков. Система состоит из трех веревок FGH, IK, LM, каждая из которых одним, концом прикреплена к потолку. Человек тянет за другой конец веревки FGH. Концы веревок IK и LM прикреплены к осям блоков Q и R, как поковано на фиг. 35. Предположим, человек тянет за веревку F с силой 10 кГ. Тогда веревки, поддерживающие блок Q, тянут его вверх с силой ___ кГ. Но эта сила должна уравновешиваться натяжением веревки Т. Следовательно, натяжение веревки I должно быть равно ___ кГ. Аналогично общая сила тяги веревок, поддерживающих R, равна ___ кГ,

Фиг. 35. К задаче 2.

Продолжая эти рассуждения, находим, что груз W должен весить ___ кГ. Следовательно, сила возрастает в ___ раз. Предположим, что груз W поднялся на 1 м. Блок S поднялся на 1 м. Это приведет к слабине ___ м у веревки LM. Чтобы убрать слабину, блок R должен подняться на ___ м. Согласно аналогичным рассуждениям, блок Q должен подняться на ___ м. Человек должен выбрать ___ м веревки F. Расстояние изменяется в ___ раз. Изменяет ли эта система (без учета потерь на трение) величину произведения силы на расстояние? ___ _{(да, нет).}

Наука и слепые правила.

Попробуйте угадать отношение сил и скоростей в системе блоков, изображенной на фиг. 35. Воспользовавшись рассуждениями типа приведенных выше (и которые требуются в задачах), вы правильно найдете отношение сил и расстояний. Если же вы будете исходить лишь из школьных правил, то можете получить неверный ответ[144].

Задача 3. Если вы не боитесь трудностей, попробуйте разобраться в поведении «дурацких» талей, изображенных на фиг. 36. Если потребуется — смастерите их.

Фиг. 36. К задаче 3.

Гидравлический пресс.

Неподвижные жидкости и газы передают, не изменяя, давление во всех направлениях и на любые расстояния (за исключением возрастания давления с глубиной). В этом состоит закон Паскаля.

Экспериментальным подтверждением этого закона служит любая водопроводная система. Гидравлические прессы позволяют создавать легко управляемые громадные усилия для выжимания масла из семян, прессовки сена, штамповки чушек и т. д. Большие силы получаются из малых за счет давления жидкости на разные поршни. На фиг. 37 показан простейший пресс. Масло передает давление, создаваемое малым поршнем X, большому поршню Y. Когда X движется вниз, Y движется вверх, поднимая груз W. (Для обеспечения повторных ходов поршня X в его цилиндр поступают из резервуара дополнительные порции масла.) Если давление в масле составляет р кГ/см², то оно давит.

На малый поршень площадью а см² с силой F₁ = p∙a кГ,

На большой поршень площадью А см² с силой F₂ = p∙А кГ,

А отношение сил.

P∙a/p∙А = А/а.

Следовательно, если площадь большого поршня намного превышает площадь малого, то он сможет выдержать гораздо большую нагрузку. Теперь переходите к задаче 4.

Фиг. 37. Гидравлический пресс.

_{А — цилиндр и большой поршень помещены в обойму, материал для прессовки сжимается между большим поршнем и неподвижной обоймой; б — разрез, обойма не показана. Важная деталь, обеспечивающая хорошую работу пресса, — непроницаемый поршень, очень похожий на поршень велосипедного насоса.}

Задача 4. Гидравлический пресс. Диаметр малого поршня гидравлического пресса, изображенного на фиг. 38, равен 0,5 см, а диаметр большого — 5 см, т. е. в 10 раз больше. Площадь большого поршня в ___ раз больше площади малого. Давление масла на оба поршня одинаково. Сила, с которой масло давит на большой поршень, должна быть в ___ раз больше силы давления на малый. По мере продвижения малого поршня вниз какой-то объем масла переходит из малого цилиндра в большой и поднимает большой поршень. [Примечание. Объем цилиндра = (высота)∙(площадь основания).]. Если масло не изменяет своего объема, то уменьшение объема малого цилиндра равно увеличению объема большого, а так как площадь большого поршня в раз ___ больше площади малого, то расстояние, пройденное им, составляет ___ от расстояния, пройденного малым поршнем. Предположим теперь, что вместо непосредственного давления на малый поршень человек, работающий с прессом, воспользовался рычагом DBC (фиг 39), закрепленным на оси в точке В, который давит на малый поршень в точке D, если его потянуть вверх в точке С; DB = 5 см, ВС = 20 см. Рычаг позволяет человеку поднять груз в ___ раз больший, чем прежде. Полное отношение сил (передаточное число) равно теперь ___.

Однако большой поршень перемещается на гораздо меньшее расстояние, чем малый. Объем масла, выдавленного из малого цилиндра поршнем, равен произведению площади на ход поршня s₁ или а∙s₁. Этот объем перекачивается в большой цилиндр и давит на большой поршень. Если последний поднимается на высоту s₂, то объем масла, заполнившего освободившееся пространство, равен А∙s₂, а поскольку масло почти несжимаемо, объем а∙s₁ равен объему А∙s₂. Итак, отношение перемещений s₁/s₂ = A/a, но отношение сил также равно A/a, следовательно,

F₂/F₁ = A/a = s₁/s_2.

И снова «насколько мы выигрываем в силе, настолько же проигрываем в расстоянии», так что.

РАБОТА НА ВХОДЕ F₁s₁ = РАБОТА НА ВЫХОДЕ F₂s₂.

Наклонная плоскость.

Вместо того чтобы тянуть груз вертикально, мы можем поместить его на тележку и воспользоваться наклонной плоскостью (фиг. 40). Однако спасает ли это от растраты энергии? Когда мы поднимаем груз весом W вертикально на высоту h, то изменение энергии, т. е. работа, равно W∙h. Вкатывание же его по склону требует работы, F∙L. Так что изменение энергии при вертикальном подъеме равно W∙h, а при наклонном F∙L. Но в гл. 7[145] мы показали, что без учета трения F/W = h/L, т. е. F∙L = W∙h.

Переход энергии от человека к грузу при любом способе будет одним и тем же.

РЕЗЮМЕ. Все попытки сэкономить энергию безрезультатны.

Фиг. 40. Поднятие груза.

_{А — прямое поднятие груза W на высоту h; б — поднятие по наклонной плоскости без трения.}

Что же такое энергия?

До сих пор мы так и не дали четкого определения энергии, а возможно, никогда и не сможем дать даже расплывчатого. Но после всех рассуждений о работе и топливе вы должны почувствовать, что ближе познакомились с энергией. Со временем это знакомство должно перерасти в ясное представление. Так, вы можете не соглашаться с каким-то определением справедливости, доброты, любви, но имеете право утверждать; «Я отлично знаю, что это означает: Я понимаю это». Так что пока энергия для вас — это нечто, содержащееся в топливе, нечто, способное переходить из одной формы в другую, причем количество переданной энергии измеряется произведением силы на расстояние. Переход энергии измеряется работой, поэтому «официальное» определение энергии гласит: «энергия — это способность производить работу». Качественно такое определение не слишком полезно; оно просто говорит: «если нечто обладает большой энергией, то оно способно передать много энергии чему-то другому». Количественно оно указывает лишь, что энергия должна измеряться в тех же единицах, что и работа.

Единицы энергии.

Поскольку передачу энергии мы измеряем произведением сила на расстояние с размерностью:

(кГ)∙(метр), или (ньютон)∙(метр),

То в тех же единицах мы должны измерять и энергию.

Первая из этих единиц не слишком хороша. Ее часто применяют в технике, но это неподходящая единица для энергии движущихся тел в связи с тем, что F = ma. А вот вторая единица (ньютон)∙(метр) вполне годится. Ею настолько часто пользуются, что «заполучила новое имя — джоуль (сокращенно дж). Поскольку 1 ньютон приблизительно равен ¹/₁₀ кГ, то 1 дж приблизительно равен ¹/₁₀ кГм (точнее, 0,102). Однако в кГм входит «плохая» единица силы — кГ, тогда как в ньютон килограмм вошел в качестве единицы массы.

У нас еще нет способа измерить полную энергию, что бы эта «полная энергия» ни означала. Используя произведение сила на расстояние или работу в качестве меры переданной энергии, мы можем измерять только некоторые из ее переходов. Именно такие переходы энергии измеряются в джоулях или килограммометрах.

Формы энергии.

Наблюдая за переходами энергии и измеряя их величину произведением сила на расстояние, мы можем описать некоторые из ее форм.

Фиг. 41. Работа.

Закрученная пружина обладает запасом упругой энергии, или энергии деформации. Груз, поднятый над землей, запасает энергию силы тяжести. Нефть или бензин обладают химической энергией, которую можно превратить в энергию силы тяжести, заставив машину поднимать груз. В фейерверочных ракетах и взрывчатке запасена химическая энергия, которая может внезапно высвободиться. Пища также обладает запасом химической энергии, часть которой наше тело превращает в упругую энергию или энергию силы тяжести, когда мы закручиваем пружину или поднимаем груз.

Движущаяся тележка также обладает запасом энергии за счет своего движения, ибо, если к ней прицепить веревки и блоки, она сможет поднимать грузы. Однако при этом она должна терять часть энергии, своего движения. Такую энергию движения мы называем, кинетической энергией[146]. Обратите внимание, что в наших рассуждениях об энергии предполагается, что она никогда не была создана и никуда не теряется, а только преобразуется.

Если передвинуть тележку с одного места на другое, оставаясь на том же уровне над землей, то энергия силы тяжести не изменится. Когда движение начинается и заканчивается состоянием покоя, то мы можем считать его «свободным», т. е. в конечном итоге переход энергии отсутствует. Пусть тележке сообщена небольшая кинетическая энергия (заимствованная из некоего источника энергии силы тяжести или химической энергии) а ей дана возможность, не меняя уровня, переехать без трения на новое место. Остановим ее там, отобрав кинетическую энергию (и возвратив ее источнику).

Нетрудно вообразить устройство, например наподобие изображенного на фиг. 42, которое может-сделать все это.

Фиг. 42. Превращение кинетической энергии в потенциальную.

_{Движущаяся тележка зацепляется за веревку, которой можно поднять груз. По мере поднятия груза тележка тормозится.}

Известно, что тележка, движущаяся с некоторой кинетической энергией по шероховатому полу, останавливается. Пропадает ли ее энергия или только переходит куда-то? Придерживаясь своего убеждения, мы ищем новую форму энергии. При трении шероховатых поверхностей должна выделяться теплота. Но можно ли говорить о тепловой энергии? Прежде теплоту считали формой энергии.

Она рассматривалась как некая неразрушимая жидкость. И целый ряд замечательных экспериментов, проведенных еще в прошлом веке, показал, что теплота — все-таки форма энергии. После этого в схему были включены еще несколько форм, тем самым была создана великая система энергии, постоянной в любой замкнутой области. «Закон сохранения энергии» разбирается нами в гл. 29, а сейчас попытаемся нарушить этот закон, создав механический вечный двигатель.

Вечный двигатель. Простейшие механизмы, такие, как рычаги и блоки, преобразуют силы и скорости в соответствии с нашими желаниями и даже довольно сильно. Однако потребление топлива, измеряемое произведением сила на расстояние, не изменяется и даже возрастает, если учесть потери на трение. Полезная энергия на выходе механизма равна энергии на входе, уменьшенной потерями на трение. И все же на протяжении веков человек стремился избежать затрат топлива, а искушение и надежда и по сей день все также необычайно велики. Возможно, что рычаги и блоки слишком примитивны. Не может ли более хитрый механизм выдать энергии больше, чем получил? Это были поиски «вечного двигателя», вошедшие теперь в список «великих заблуждений науки». Такой механизм действительно принес бы своему изобретателю вечную славу, ибо он, разумеется, перевернул бы весь ход цивилизации. О таких механизмах мы говорим как о «вечных двигателях». Сейчас мы убедились, что сделать их невозможно. Название «вечный двигатель» не совсем удачно, так как может наводить на мысль, что самое главное — ликвидировать трение и получить таким образом то, что можно назвать вечным движением. Если бы цель заключалась только в этой, то мы почти достигли бы ее, скажем, с помощью колес, вращающихся на шарикоподшипниках, а в Природе оно давно существует в виде вращения Земли, движения планет, атомов и т. д. Однако эти случаи вечного движения не могут служить вечными двигателями, ибо если мы попытаемся отобрать энергию, то все замедлится и в конце концов остановится. Вечный двигатель должен, конечно, крутиться сам по себе, восполняя какие-то небольшие расходы на трение из дополнительной энергии на выходе. Но самая существенная особенность — непрерывное движение или постоянное вращение было бы просто «вечным движением», красивым, но бесполезным. Чтобы принести вечную славу и богатое вознаграждение своему создателю, двигатель должен не просто постоянно крутиться, подкармливая только самого себя. Энергия на его выходе должна превышать энергию на входе так, чтобы он мог обеспечивать себя, оставляя еще, кроме того, кое-что для полезной «бесплатной» работы. Он должен был бы постоянно давать прибыль работы без затрат топлива. Он должен был бы, постоянно двигаясь, быть способным поднимать грузы или, работая вхолостую, двигаться все быстрее и быстрее? Такой двигатель, обеспечивающий постоянное снабжение энергией из ничего, мы и называем вечным. Можно ли создать подобный механизм? На протяжении веков за решение этой проблемы неоднократно предлагалось огромное вознаграждение. Она манила виднейших мыслителей и интриговала талантливейших конструкторов. Но все попытки были тщетны. Всегда находилась какая-нибудь «загвоздка». Решения предлагались и известными учеными-изобретателями и болтунами-шарлатанами. Предпринимателей соблазняли возможные баснословные барыши, некоторые рисковали своими деньгами и теряли их, когда двигателя не получалось или шарлатан-изобретатель скрывался. Шло время и предложения становились более сложными. Простые колеса с откидными спицами или скользящими грузами уступали место механизмам со сложными зубчатыми передачами, схемам, в которых электромотор и генератор крутят друг друга с отдачей энергии[147] и даже с заманчивым использованием жидкого воздуха. Все это действительно было испробовано и оказалось безуспешным. Все попытки получить постоянный приток энергии без использования топлива провалились. Во всех проектах в результате критического разбора даже без построения рабочей модели были обнаружены ошибки, так что их неудача предсказывалась уже на основе общих знаний. Это настолько убедило ученых в невозможности создания вечного двигателя, что теперь они возвели свое убеждение в общий принцип, называемый часто Первым законом термодинамики.

Фиг. 43. Простой проект вечного двигателя.

_{А — в отделениях колеса находятся шарики; б — к колесу на спицах приделаны грузы, которые могут поворачиваться между ограничителями на ободе.}

Если мы поверим в невозможность механического вечного двигателя, то отсюда уже ружей подать и до уверенности в сохранении энергии. Механизм не может создавать энергию, а может только поглощать часть ее. И лишь когда мы учтем тепло и т. п., то сохранение энергии гарантировано. На какую же точку зрении встанете вы сами? Продолжите ли поиск вечного двигателя или безоговорочно примете категорический отказ ученых от него? Ввиду очевидности последнее, по-видимому, разумнее. По крайней мере мы не советуем вам начинать с сомнений и с постановки собственного эксперимента. Впрочем, то, что вам приходится платить за бензин или электричество, есть в некоем смысле результат эксперимента, механизма, способного создавать топливно не существует. Не лучше ли удовлетвориться доскональным разбором таких механизмов и убедиться, что сооружение из рычагов и блоков нельзя превратить в вечный двигатель? Попытайтесь найти «загвоздку» в более сложных устройствах, предлагавшихся в качестве вечных двигателей. После этого вы, быть может, станете, как и все ученые, защитником общепринятого убеждения, что вечный двигатель невообразим, невозможен, противоестествен. Обратите внимание, однако, что это утверждение не имеет доказательства. Это своеобразный сплав результатов экспериментальных проверок и «символа веры»[148]. Ученые, хорошо знакомые с перепутанным клубком подтверждений, стойко придерживаются этой точки зрения. Впрочем, еще в нашем веке рухнули два великих убеждения: сейчас мы можем создавать и разрушать вещество и один химический элемент превращать в другой. Теперь мы воздерживаемся называть мечту алхимиков о превращении свинца в золото одним из «заблуждений науки». Почему же мы так уверены в сохранении энергии и невозможности вечного двигателя. Частично из-за многочисленности и разнообразия подтверждений, частично из-за того, что самая идея энергии искусственна и создана специально для того, чтобы выразить результат наших размышлений над окружающим миром, наше впечатление о нем. Так что в отличив от материи, о которой мы можем сказать, что она существует, энергия — наше собственное изобретение, построенное так, чтобы сохраняться, даже если наши представления о ней будут меняться из года в год. К тому же расширение нашего представления об энергии, каким бы фантастическим оно ни казалось вначале, с течением времени находит все большее и большее подтверждение. Тем не менее сохранение энергии должно свидетельствовать о чем-то очень важном в устройстве Вселенной.

Фиг. 44. Простой проект вечного двигателя.

_{Бесконечная веревочная петля частично погружена в воду. Соединение Y должно быть идеально гладким и не допускать утечки, но это требование не может служить препятствием.}

Фиг. 45. Еще один проект вечного двигателя.

_{К бесконечной ленте, пропущенной через два блока (трение отсутствует) и помещенной в воду, прикреплены чашечки с воздухом, закрытые тяжелым поршнем. Когда чашечки повернуты вверх (слева), воздух сжимается весом поршня больше, чем когда они повернуты вниз. Следовательно, чашечки слева вытесняют меньше воды, чем справа, и должны испытывать меньшую выталкивающую силу. (Хотя в блоках, как и в поршнях, трения быть не должно, существенное препятствие не в этом).}

Измерение различных форм энергии.

В те времена, когда впервые сформировалось ясное представление об энергии, были известны только такие формы, как кинетическая энергия движения, потенциальная энергия силы тяжести и упругая потенциальная энергия. В отличие от кинетической энергии последние две формы назывались потенциальной[149]. Сумма кинетической и потенциальной энергий остается постоянной при множестве простых механических изменений: падении камней, раскручивании пружин, движении систем грузов и блоков. Это сохранение (кинетическая энергия + потенциальная энергия = const) не удивительно, ибо, как мы видели, именно с учетом этого равенства была определена кинетическая и выбрана потенциальная энергия. Интересно, что возникающее в результате представление об энергии просто и удобно для работы. Остается только удивляться и восхищаться тем, что систему эту можно дополнить другими формами энергии до великого закона сохранения — мощнейшего орудия физической теории.

Потенциальная энергия силы тяжести.

Сжигая топливо или используя другие источники энергии, можно поднять груз вертикально вверх. При этом работа, равная произведению вес на прирост высоты, определяет энергию, переданную топливом полю силы тяжести.

Δ (ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ) = ВЕС ∙ Δ ВЫСОТЫ.

Нам трудно указать местоположение этого прироста энергии, но его величина точно определена и поднятый груз, несомненно, «обладает» им.

Когда потенциальная энергия уменьшается,

Δ (ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ) = ВЕС ∙ Δ ВЫСОТЫ.

При этом как Δ (потенциальной энергии), так и Δ высоты отрицательны, или.

УМЕНЬШЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ = ВЕС ∙ ВЫСОТА ПАДЕНИЯ ПО ВЕРТИКАЛИ.

Опыт 3. Чтобы приобрести хотя и ложное, но полезное «ощущение» потенциальной энергии силы тяжести, проделайте такой эксперимент. Держа обеими руками тяжелую книгу, крепко упритесь ногами в пол. Закройте глаза и несколько раз медленно поднимите и опустите книгу. Как только вы почувствуете вес книги, вообразите, что никакой силы тяжести на самом деле нет, а книга притягивается длинной-предлинной пружиной, прикрепленной где-то внизу, в центре Земли (фиг. 46). Нарисуйте в своем воображении такую пружину и почувствуйте, как вы р-а-астягиваете ее, поднимая книгу вверх. Если вы очень постараетесь вообразить это, то почувствуете, что такая пружина и впрямь существует. А теперь, оставаясь с закрытыми глазами, подумайте об энергий, запасенной в растянутых кольцах пружины.

Энергия упругой деформации (энергия, запасенная в растянутой пружине, и т. п.).

Растянутая, сжатая или закрученная пружина, изменившая свою нормальную форму, запасает в себе потенциальную энергию. Мы утверждаем это не потому, что видим некую энергию, запасенную в деформированном металле, а потому, что, позволив пружине уменьшить свою деформацию, можем произвести работу, измеряемую произведением сила на расстояние. Мы знаем также, что работа, т. е. произведение сила на расстояние, была затрачена при создании деформации. Эту энергию мы называем потенциальной энергией упругой деформации и можем считать, что она запасается силовым полем, действующим между атомами или молекулами пружинящего материала:

ЭНЕРГИЯ УПРУГОЙ ДЕФОРМАЦИИ = (СРЕДНЯЯ СИЛА ПРИ СЖАТИИ ПРУЖИНЫ)∙(ВЕЛИЧИНА СЖАТИЯ).

Газы тоже пружинят и им также можно приписать энергию деформации. Но если представить себе молекулы газа, которые носятся хаотически взад и вперед, то такая мысль покажется абсурдной. Так как молекулы постоянно находятся в движении, возникает подозрение, что энергия, запасенная в газе, есть на самом деле кинетическая энергия молекулярного движения, а вовсе не упругая энергия[150].

Кинетическая энергия. Энергия движения.

Теперь мы покажем, что энергия движения, «кинетическая энергия», должна вычисляться по правилу.

Е_кин = ¹/₂ (МАССА)∙(СКОРОСТЬ)^2.

Оно получается из формулы F = m∙a. Пусть сила F ускоряет массу М, перемещая ее на расстояние s. Если вначале масса покоилась и затем достигла скорости v, то переданная ей энергия F∙s равна ¹/₂mv².

Если мы толкаем тело с силой F₁, то передаем ему энергию, равную F₁∙s. Если же вдобавок на движущееся тело действует противоположная сила F₂, то оно отдает энергию F₂∙s препятствию движения. В итоге движущееся тело приобретает энергию F₁∙s — F₂∙s, или (F₁ — F₂)∙s. Но (F₁ — F₂) есть результирующая действующих на тело сил F. Так что чистая передача энергии движущемуся телу равна.

(F₁ — F₂)∙s, ИЛИ РЕЗУЛЬТИРУЮЩАЯ СИЛА ∙ s, ИЛИ F∙s,

Результирующая сила F полностью идет на ускорение тела, заставляя его двигаться быстрее и увеличивая его кинетическую энергию. Поэтому работа F∙s показывает, сколько энергии превратилось в энергию движения. Предположим теперь, что, толкая массу М с результирующей силой F на расстоянии s, мы сообщили ей некоторую кинетическую энергию. Тогда передача энергии движущемуся телу будет равна F∙s, а поскольку F — результирующая сила, действующая на массу М, то F = m∙a.

Для такого ускоренного движения воспользуемся соотношением v² = v²₀ + 2as, которое приводит к as = ¹/₂v² — ¹/₂v²₀ («элегантный» вывод этого соотношения дан в приложении I к гл.1)[151]:

F∙s = (Ma)∙s = M∙(as),

Но.

As = ¹/₂ v² — ¹/₂ v²_0.

Следовательно,

F∙s = ¹/₂ Mv² — ¹/₂ Mv²₀ =

= (¹/₂ Mv² в конце) — (¹/₂ Mv²₀ в начале) =

= (Приращение ¹/₂ Mv²) = Δ (¹/₂ Mv^2₎

Однако F∙s — это переход энергии в энергию движения, так что.

ПРИРАЩЕНИЕ ЭНЕРГИИ ДВИЖЕНИЯ = ПРИРАЩЕНИЕ (¹/₂ Mv^2₎

Вот почему ¹/₂ Mv² мы называем энергией движения, или кинетической энергией.

Итак,

КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ = ¹/₂ Mv^2.

Когда тело движется со скоростью v₀, оно имеет кинетическую энергию ¹/₂ Mv²₀. Когда же оно ускорится от скорости v₀ до скорости v, то приобретает добавочную кинетическую энергию и будет иметь кинетическую энергию ¹/₂ Mv².

Попросту говоря, если масса М ускоряется из состояния покоя до скорости v, она приобретает кинетическую энергию ¹/₂ Mv².

Единицы измерения кинетической энергии.

Поскольку при выводе выражения для кинетической энергии ¹/₂ Mv² мы использовали равенство F = m∙a, то входящая сюда сила F должна выражаться в абсолютных единицах, т. е. в ньютонах; тогда энергия тоже получится в абсолютных единицах, т. е. ньютон∙метр.

Если же М выражается в килограммах, а v — в м/сек, то ¹/₂ Mv² выражается в кг∙м²/сек², или ньютон∙м. Замена очевидного кг∙(м/сек)² для ¹/₂ Mv² на ньютон∙м вполне оправдана, ибо благодаря.

F = m∙a.

1 ньютон = 1 кг ∙ 1 м/сек².

Наша единица энергии окажется при этом.

1 кг (м/сек)² = 1 кг (м²/сек²) = 1 кг (м/сек²)∙м = 1 ньютон∙м.

Как и следовало ожидать, кинетическая энергия измеряется в единицах ньютон∙м, или джоулях.

Теплота.

Теперь будем говорить о теплоте как о главной форме энергии, стоящей в едином ряду с потенциальной энергией силы тяжести, кинетической энергией и другими механическими формами энергии. Всего лишь век назад ее приняли в полноправные члены «энергетического братства», но, добившись признания, она потянула за собой и другие формы, такие, как химическая энергия и электрическая энергия. Идея сохранения энергии из узкой механической схемы быстро переросла в общий принцип.

Для подсчетов тепловой энергии мы должны предварить рассуждения гл. 29. Пусть теплота — это форма энергии, а 1 Калория = 4200 ньютон∙м, или джоулей. Сама Калория[152] — обломок истории тепловых измерений в прошлом. Система измерения теплоты два века назад базировалась на представлении о том, что теплота сохраняется, никуда не пропадает, а только переходит из одного места в другое. Мы до сих пор пользуемся следующими правилами:

Для измерения количества тепла заставим его нагревать воду и умножим массу воды на приращение температуры.

— Если масса взята в кг, а разность Δ (температур) — в градусах Цельсия, то произведение их будет теплотой в Кал, или ккал.

— Если теплота передается какому-то другому веществу, то сначала массу нужно помножить на повышение температуры, как и для воды, а результат затем помножить на «удельную теплоемкость» вещества.

Чтобы измерить теплоту, выделяемую определенным количеством топлива, необходим специальный прибор для сжигания образца и передачи образовавшегося тепла без заметных потерь воде. Подобным испытаниям были подвергнуты почти, все виды топлива. Взвешенный образец, как правило, вместе со сжатым кислородом помещался в толстую металлическую бомбу, которая погружалась в сосуд с водой. Затем с помощью электричества образец сжигали и измеряли возрастание температуры воды. Вместе с водой нагревалась и бомба со всем ее содержимым; это необходимо было учитывать. В табл. 1 приведены теплотворные способности некоторых видов топлива, одних при быстром, других при более спокойном, но зато более полном «сгорании» (в пищеварительной системе быстрое сгорание дает то же количество тепла).

Теплота и молекулы.

Любая удачная попытка передать энергию газу нагревает его, увеличивая (давление)∙(объем). В кинетической теории мы связывали это с увеличением 1/₃N∙(mv^¯2), или ³/₂ кинетической энергии N хаотически движущихся молекул. Тепловая энергия газа — это просто кинетическая энергия в молекулярном масштабе. Мы считаем, что тоже самое можно сказать как а жидких, так и о твердых телах с той лишь оговоркой, что необходимо учитывать кинетическую энергию вращения молекул и энергию их колебаний.

Представьте себе пулю, которая с огромной скоростью ударяется о препятствие и вследствие трения застревает в нем. В этом случае кинетическая энергия пули передается молекулам окружающего воздуха и дерева, сообщая им дополнительное движение. Огромная кинетическая энергия исчезает, а вместо нее появляется теплота. Если считать, что теплота — это «обобществленная» кинетическая энергия, то богатство, состоящее в огромном количестве упорядоченной кинетической энергии, распределяется среди всех хаотически движущихся молекул — «достойных» и «недостойных». Когда свинцовая пуля попадает в стенку, большая часть ее богатого запаса кинетической энергии превращается в энергию колебаний отдельных атомов свинца и стенки; энергия обученной армии вырождается в беспорядочную толчею толпы.

Химическая энергия.

При сгорании порох превращается в горячие газы, которые в свою очередь сообщают пуле кинетическую энергию. Пуля в этом случае набирает упорядоченную кинетическую энергию за счет теплоты горячих газов (их «неорганизованной» кинетической энергии). Откуда же берут тепловую энергию сами молекулы? До этого взрыва порох был холодным твердым телом, содержащим запас «химической энергии». Энергия первичного топлива — угля, дров, нефти — тоже химическая энергия. Это молекулярная энергия, запасенная, если угодно, в силовых полях атомов. Вообразите, что химическое соединение состоит из атомов, которые вопреки «пружинящим» межатомным силам посажены на свои места в молекуле и «защелка закрыта». Потенциальная энергия при этом запасается в «жатых пружинах (фиг. 48).

Фиг. 48. Воображаемая картина молекулы взрывчатки.

_{У реальной молекулы нет защелки, а вместо нее имеется другая пружина, уравновешивающая сжатую пружину, но с другим законом сил. Однако даже в такой модели процесс горения груб и нереален.}

Разумеется, химическая энергия — гораздо более сложная вещь, чем наша модель, но общая картина ясна: атомы и молекулы запасают энергию, которая высвобождается при одних химических изменениях и запасается при других. Большая часть горючих веществ высвобождает свою энергию при горении в кислороде, так что энергия их связана с силовыми полями молекул топлива и кислорода. Трудно указать, где она расположена, но количество ее достаточно определенно, ибо при переходе энергии в другие формы мы можем измерять работу, т. е. получить произведение сила на расстояние, например столько-то джоулей на каждый килограмм полностью сгоревшего топлива. Химическую энергию пороха или заряда фейерверочной ракеты локализовать легче. Вся она сидит там, внутри молекул горючего.

Пища — источник химической энергии. Пища — это топливо для людей и животных, она снабжает их химической энергией, которая переносится потоком крови к нуждающимся в ней мышцам. Мышцы могут преобразовывать часть получаемой энергии в механическую, поднимая грузы и т. п. Пища содержит в основном атомы углерода, кислорода и водорода. Вот, например, молекула простейшего сахара, глюкозы С₆Н₁₂О₆: Поддерживающей работу мышц. В процессе работы мышц и их отдыха молекулы этого топлива расщепляются пополам, затем отщепляется шесть молекул Н₂О, а атомы углерода, соединяясь с атомами кислорода, поступающего из легких, дают шесть молекул СО₂. Это вкратце сильно упрощенная картина химии жизни[153]. Основные компоненты пищи — крахмал, сахара, жиры и белки — представляют большие молекулы, которые построены из меньших молекулярных структур, состоящих из атомов. Эти небольшие комплексы синтезируются растениями, связываются ими каким-то способом, образуя растительные вещества, такие, как углеводы и целлюлоза. Животные, поедая растительную или животную пищу, расщепляют эти вещества и перераспределяют их составляющие так, чтобы образовывались нужные большие молекулы. Однако сами животные не синтезируют их частей. Энергию, необходимую для движения и другой деятельности, они получают при дальнейшем расщеплении некоторых молекулярных комплексов на углекислый газ и воду. Эта энергия первоначально была «усвоена» растениями из солнечного света и запасена при синтезировании таких комплексов. Связывание и расщепление этих малых комплексов в пищеварительной системе животного — обычно дело нехитрое и не требует больших затрат энергии, оно быстро совершается микробами или ферментами. Большие молекулы в нашей пище содержатся в углеводах и целлюлозе, которые составлены из множества групп простых молекул сахара наподобие глюкозы, жиров с длинными цепями СН₂ и белков — еще больших по величине и очень сложных молекул, необходимых для строительства и обновления тканей. Процесс, посредством которого химическая энергия превращается в теплоту тела или работу мышц, — в сущности то же горение. При сгорании топлива в пламени происходит соединение его с кислородом с образованием воды и углекислого газа. Простейшее топливо нашего тела, такое, как глюкоза, соединяясь с кислородом, поступающим из легких, также образует воду и углекислый газ, но процесс идет гораздо медленнее и более хитрым путем, нежели простое горение в пламени; температура невелика, а энерговыделение то же самое.

Фиг. 49. Схематическое изображение цикла.

Растения поглощают воду и СО₂ из воздуха, соединяют их и создают сахар, крахмал и целлюлозу — главные источники энергии животных. Добывание животными горючего для мышц происходит примерно так: из пищи извлекаются простейшие молекулы сахара (точно так же, как и на химическом заводе извлекается спирт из древесной массы), которые запасаются в скоплениях, представляющих собой молекулы нерастворимого «животного» крахмала. Этот запас молекул крахмала расщепляется и по мере надобности поддерживает снабжение мышц сахаром. Когда мышцы сокращаются и производят работу, сахар в две стадии превращается в воду и углекислый газ. Из своей растительной пищи животные еще запасают жиры и «сжигают» их для согревания тела. Затем то, что растрачивается человеком и животными, вновь воссоздается растениями, и опять все готово к употреблению. Как же растения делают это? Мы не можем «обратить» действие пламени и «возродить» сгоревшие вещества. Как же растения ухитряются проделывать такой «синтез жизни», сжимая пружинки межмолекулярных сил и закрывая защелки? Поскольку «открывание защелки» приводит к выделению химической энергии, растения должны вкладывать ее при создании агрегата. Им необходимо как снабжение энергией, так и устройство, которое использовало бы ее для синтезирования молекул Н₂О и СО₂ в молекулы сахара и крахмала. Солнечный свет снабжает их энергией — порциями световых волн, так сказать, в «расфасованном по пакетикам» виде, а все операции производятся такими «умными» молекулами растения, как зеленый хлорофилл. На солнечном свету зеленый лист растения поглощает СО₂ и создает крахмал. Таким образом, растительная и животная жизнь образует цикл, который начинается с воды, углекислого газа и солнечного света и заканчивается водой, углекислотой, теплом и механической энергией животных. Все наши машины, работающие на угле, нефти, ветре, падающей воде, все животные, потребляющие пищу, в конечном итоге получают свое топливо от Солнца. Усталость. Все это вновь приводит нас к вопросу: почему мы устаем, когда просто держим на весу большой груз? По-видимому, потому, что от нас потребовалась затрата энергии, хотя это и не дало заметного прироста потенциальной энергии силы тяжести. Тщательные наблюдения показывают, что поддерживаемый груз не находится в полном покое. Груз колеблется то вверх, то вниз, и наши мышцы беспрестанно расслабляются и сокращаются. Если вы крепко стиснете зубы и закроете глаза, то можете услышать неясный гул такого дрожания мышц. На каждый такой крошечный подъем груза мышцы затрачивают химическую энергию. Но при последующем опускании потенциальная энергия силы тяжести уже не превращается в химическую — ваша топливная машина необратима. Энергия переходит в тепло, которое мы растрачиваем попусту.

Другие формы молекулярной энергии.

«Молекулярная энергия» наряду с химической включает энергию, связанную с процессами плавления твердых тел и испарения жидкости. Если твердое тело нагрето до точки плавления, то дальнейшее нагревание требует дополнительной затраты тепла, чтобы перевести молекулы из упорядоченной кристаллической структуры в хаотическую жидкую массу. При испарении жидкости вылетающие быстрые молекулы уносят больше энергии, чем в среднем приходится на каждую молекулу.

Чтобы поддержать кипение или предотвратить охлаждение при испарении, необходимо затратить дополнительное количество тепла. Это дополнительное тепло, затраченное на плавление и испарение, превращается в молекулярном силовом поле в своего рода молекулярную потенциальную энергию. Такое дополнительное количество тепла часто называется скрытым.

Поглощение скрытой теплоты не сопровождается нагреванием вещества — во время плавления и испарения температура остается постоянной. Но при обратном процессе, застывания или конденсации, скрытая теплота выделяется именно как теплота — ожог горячим паром гораздо тяжелее, чем кипятком.

Энергия вращения.

Закрутим колесо, прикрепив к нему веревку с грузом. Колесо будет наматывать веревку и поднимать груз, замедляя из-за этого собственное вращение. Ясно, что вращающееся колесо затрачивает энергию на поднятие груза. Эту энергию мы называем энергией вращения.

Отдельные части вращающегося колеса движутся тем быстрее, чем дальше они от оси, и каждая из них обладает кинетической энергией. Если сложить ¹/₂ mv² всех маленьких частичек, можно получить полную энергию вращения. На самом деле энергия вращения — обычная кинетическая энергия, часть полной кинетической энергии (если тело одновременно с вращением движется). Но зачастую удобнее дать ей отдельное название.

Фиг. 50 Маховое колесо.

_{А — энергия вращения махового колеса может превращаться в потенциальную энергию груза, поднимаемого лентой, наматываемой на колесо; б — скорости различных частей махового колеса.}

Электрическая энергия.

Для работы электрических батарей необходимы особые химические вещества, с которыми в процессе работы батарей происходят химические изменения. Высвобожденная химическая энергия не просто нагревает батареи, а превращается в электрическую энергию тока, который идет по электрической цепи и выделяется либо в виде тепла в электропечи, либо в виде механической энергии мотора, поднимающего грузы, либо даже снова в виде химической энергии при зарядке аккумулятора. Поэтому энергию, текущую из батареи, мы называем электрической.

Электрогенераторы превращают механическую энергию в электрическую, а в электромоторах происходит обратный процесс. Электрическая энергия может накапливаться. Батарея может перенести положительные и отрицательные заряды на пластины конденсатора, который запасает энергию в своем электрическом поле. При разрядке конденсатора (искрой или через проводник) выделяется тепло. Это тепло свидетельствует о том, что в конденсаторе был запас энергии. Если вам нравится, то можете говорить, что запас энергии находился в электрическом поле между пластинами и вокруг них. Более прямая демонстрация перехода показана на фиг.51.

Фиг. 51. Электрическая энергия.

_{Энергия, запасенная полем между двумя пластинами, может поднимать металлическую стружку.}

Кусочек бумаги или металлическая стружка, помещенные менаду парой пластин, заряженных положительно и отрицательно, также собирают на себе небольшой заряд и притягиваются электрическим полем. На верхней пластине заряд стружки становится противоположным и она движется вниз. В процессе движения вверх — вниз она расходует энергию на трение о воздух.

Представьте теперь, что к листку приспособлена маленькая машина, которая работает на энергии, полученной от заряженных пластин и их поля.

Когда по цепи течет электрический ток, мы говорим, что электрическая энергия переносится от батареи или генератора в различные участки цепи, где превращается в теплоту, механическую энергию и т. п. Генератор, вырабатывающий ток, должен потреблять механическую энергию, которая необходима для поддержания его вращения, иначе он вскоре растратит свою энергию вращения и остановится. Чем больший ток посылается в цепь, тем труднее крутить генератор, тем больше требует он механической энергии. Мы говорим, что в паровой машине тепловая энергия превращается в механическую энергию поршня и движущегося ремня. Генератор же превращает ее в электрическую энергию, которая идет по всей цепи, переходит в тепло и т. п. Электрическая энергия — вещь очень полезная, но сказать, где она находится, не так-то просто. Поэтому, когда вас спросят об этом, я думаю, лучше всего ответить — вокруг проводника, в электромагнитном поле, сопровождающем ток.

Магнитная энергия.

Постоянные магниты, хотя и обладают запасом энергии, отдают ее весьма неохотно, так что нет нужды как-то специально называть эту энергию. Однако электрический ток создает вокруг себя протяженные, сильные магнитные поля. Как только ток выключается, магнитное поле исчезает, «сжимается», и в цепь выделяется значительное количество энергии не из батареи, а из магнитного поля. Это происходит в течение короткого периода времени «замирания» тока. Эту «магнитную» энергию, полученную из химической, вы почувствуете лучше, если во время демонстрации вас немного тряхнет током. На фиг. 52 показан такой эксперимент.

Экспериментатор замыкает цепь, соединяя два стержня, которые он держит в руках. Разводя стержни, он пытается разорвать цепь, но, поскольку при этом продолжает держать их в руках, цепь остается замкнутой через большое сопротивление тела. Когда стержни разведены, ток падает почти до нуля и магнитное поле электромагнита «сжимается», создавая при этом очень высокое напряжение, которое стремится поддерживать ток в цепи. В результате экспериментатор получает удар током.

Фиг. 52. Демонстрация проявления магнитной энергии.

Электромагнитная энергия.

Во многих случаях электрическая и магнитная энергии тесно связаны друг с другом; каждую из них можно рассматривать как «оборотную сторону» другой. Переменные токи создаются переменными электрическими полями и образуют вокруг себя переменные магнитные поля. Во время радиопередачи в антенне создаются переменные токи, которые порождают электрические и магнитные поля, обладающие электрической и магнитной энергией, или, как мы предпочитаем говорить, электромагнитной энергией. Но эти поля не просто пульсируют около антенны. Часть их отрывается и улетает в виде электромагнитных волн[154], которые, двигаясь со скоростью света, уносят с собой электромагнитную энергию (см. гл. 33 и 37[155]).

Таким образом, мы представляем себе радиоволны в виде движущихся полей, переносящих энергию. Когда они достигают принимающей антенны, то наводят в ней слабые переменные токи с электрическими и магнитными полями, которые в конечном итоге превращают большую часть энергии в слабый нагрев проводов приемника.

При поглощении света происходит нагревание, поэтому мы говорим, что, свет тоже переносит энергию. Сейчас нам известно, что и невидимый свет — как инфракрасное излучение, так и ультрафиолетовые лучи — представляет собой потоки электромагнитных волн. Вместе с радиоволнами мы объединяем их под общим названием излучение. Излучение переносит энергию в форме энергии электромагнитной волны. Когда излучение поглощается, его энергия преобразуется в другие формы, чаще всего в теплоту.

Энергия волн.

Океанские волны могут нести огромные энергии. Когда спокойная, ласково лижущая берег гладь превращается в штормовой океан, его волны способны крушить корабли, выбрасывать на берег огромные камни, выплескивать воду в высоко поднятые водоемы, создавая запас потенциальной энергии. Хотя в таких волнах вода и движется, каждая ее частичка не уходит слишком далеко. Она получает свое движение от соседних частиц и передает его следующей частице. Волны представляют примеры сложных и непрерывных взаимных переходов кинетической и потенциальной энергий, каждая из которых передается с характерной волновой скоростью. Источник энергии большинства океанских волн — это ветер, который гонит их. Ветер получает свою энергию от нагретой земли, а первоисточником всего является энергия излучения Солнца.

Звуковые волны, распространяющиеся в воздухе, также переносят энергию. Следующие друг за другом попеременные сжатия и разрежения слоев воздуха образуют звуковые волны и немного изменяют скорости молекул. Чередующиеся изменения кинетической энергии молекул воспринимаются нами как распространяющиеся волны. Эти изменения складываются в небольшой суммарный эффект, который и составляет энергию звуковых волн. Детали изменения энергии звуковых волн довольно сложны, и многое здесь вам придется принять на веру. Если кто-то в помещении громко крикнет, он сообщит воздуху слабое дополнительное движение, распространяющееся со скоростью звука. А когда крик замрет, его энергия превратится в нагревание стен комнаты, которые поглотили звук.

Электромагнитные волны, о которых мы только что говорили, переносят энергию во многом подобно волнам на воде или звуковым волнам. Их энергию называют энергией излучения, или просто излучением.

Кинетическая энергия волн на воде — это энергия движущейся воды, а потенциальная энергия — это энергия гребней, поднявшихся над впадинами. Кинетическая энергия звуковых волн — это упорядоченное движение слоев воздуха взад и вперед. Кроме того, они, эти слои, обладают еще потенциальной энергией, которая сходна с энергией деформации пружины, но на самом деле есть дополнительная кинетическая энергия хаотического движения молекул.

Ядерная энергия[156].

Радиоактивные вещества (как естественные в урановой руде, так и искусственные, приготовленные из стабильных атомов с помощью так называемых ускорителей) беспрестанно выбрасывают ядерные снаряды — составные части атомов, которые летят с довольно значительной скоростью. Эти «снаряды» несут огромное по их масштабам количество кинетической энергии. Согласно сегодняшним представлениям о структуре атома, эти «снаряды» не могут возникнуть во внешних областях атомов — областях, где перестройка электронов обусловливает химическое изменение вещества. Они должны возникать в маленькой массивной сердцевине (ядре) радиоактивных атомов. Поэтому-то мы и думаем, что эта сердцевина несет огромный запас ядерной энергии. Часть этой энергии волей-неволей высвобождается при радиоактивных превращениях, но довольно долго считалось, что она не поддается вмешательству человека. Теперь же мы можем ускорить ее высвобождение, приготовляя нестабильные (радиоактивные) атомы.

В некоторых редких случаях ядра не выбрасывают маленькие снаряды, а сами делятся на две почти равные части. Такой «распад» высвобождает еще больше энергии и, кроме того, дает добавочные нейтроны, которые могут привести к делению соседних ядер, создавая таким образом возможность цепной реакции. Однако делиться способны лишь немногие тяжелые ядра.

С другой стороны, при слиянии (синтезе) нескольких ядер легких атомов, таких, как водород, в одно более массивное ядро[157] выделяется энергия. Но трудность здесь в том, чтобы настолько плотно сжать ядра, чтобы вызвать этот процесс. Синтез ядер, по-видимому, совершенно невозможен при обычных температурах. Но при очень высоких температурах, скажем при звездных температурах, скорости атомов достаточно, чтобы начался термоядерный синтез, при котором выделяется огромное количество энергии, необходимое для поддержания температуры[158]. Доступный управляемый способ достаточно тесного сближения ядер позволил бы получить почти неисчерпаемый источник тепла. Мы уже научились управлять делением, но крайне невероятно, чтобы «топливные» запасы урана позволили нам в течение многих веков заменять уголь и нефть. Однако нам в конце концов, по-видимому, удастся овладеть и управляемой термоядерной реакцией.

Для чего нам нужна энергия. Предваряя экспериментальную проверку нашей веры в сохранение энергии, мы размахнулись на целый список различных ее форм. Мы считаем энергию чем-то весьма нужным, способным работать на нас (скажем, поднимать грузы), тем, что измеряется работой (в кГм, или ньютон∙м) или произведением сила на расстояние при переходе из одной формы в другую или с одного места в другое. Снабжение энергией необходимо для множества полезных дел: — обогрева тел, домов и очагов, обеспечения передвижения; — увеличения потенциальной энергии грузов на подъемниках; — увеличения химической энергии при зарядке аккумуляторов и производстве химических удобрений; — поддержания кинетической энергии работающих механизмов; — освещения, приготовления пищи и т. д. и т. п. Эти примеры применения можно разделить на три общие группы, А) Химическая энергия питания. Как правило, она дороже энергии других видов топлива. Пшеница в перерасчете на калории гораздо дороже, чем уголь. Питание дает тепло для поддержания температуры тела, механическую и химическую энергии для его движении, а иногда и механическую энергию наружу о некоторой растратой тепла, когда человек занимается физическим трудом. Б) Тепло для обогрева жилищ и приготовления пищи. Оно дает человеку возможность жить в различных климатических условиях и употреблять огромное разнообразие пищевых продуктов. В) Механическая энергия и тепло для транспорта, промышленности и т. д. Все человечество нуждается в питании для поддержания жизни и в дополнительном питании для выполнения тяжелой физической работы. Современное общество заменяет тяжелый физический труд машинами, которые потребляют другие виды топлива. Оно увеличивает снабжение продуктами питания и расширяет жизненное пространство за рамки узких границ подходящего климата. По грубым данным в мире на душу населения сейчас приходится топлива (в пересчете на энергию) в 8 раз больше того, что обеспечивает питание. (Это отношение сильно меняется от малых величин в некоторых странах, где основную, но небольшую дополнительную энергию дают животные, до значительных цифр в передовых странах, где средняя механическая мощность, приходящаяся на каждого работающего на машинах, в 10–20 раз больше его собственной мощности.). Несмотря не изыскание все новых источников топлива, потребление его ежегодно растет почти с той же скоростью, с какой растет население.

Таблица 2. Классификация форм энергии.

_{Название ∙ Обозначение ∙ Где встречается. ∙ Потенциальная энергия силы тяжести (часто называется просто «потенциальная энергия»), или гравитационная потенциальная энергия ∙ (Епот) ∙ При поднятии груза происходит возрастание потенциальной энергии, запасенной в поле силы тяжести. ∙ Энергия деформации (часто называется «потенциальная энергия») ∙ (Едеф) ∙ При сгибании, растяжении, закручивании или сжатии пружины или другого упругого предмета последний запасает энергию деформации. ∙ Кинетическая энергия ∙ (Екин) ∙ Энергия движения тела. Можно показать, что она равна ¹/2 (масса) х (скорость)^2. ∙ Кинетическая энергия вращения ∙ (Евр) ∙ Каждая часть вращающегося тела движется, следовательно, обладает кинетической энергией. Энергия вращения является суммой этих кинетических энергий. ∙ Тепловая энергия (теплота) ∙ (Етепл) ∙ Теплота может переходить в кинетическую, потенциальную и другие формы энергии. Сейчас теплота рассматривается как энергия молекулярного движения. ∙ Химическая энергия или молекулярная энергия (ее следовало бы называть атомной энергией) ∙ (Ехим) ∙ Фейерверки, взрывы, продукты питания и топливо при химических превращениях могут выделять тепло и переходить в другие формы энергии. Мы говорим, что они содержат «химическую энергию». ∙ Молекулярная энергия плавления и нагревания (скрытая теплота) ∙ (Ескр. тепл) ∙ На плавление и испарение требуется дополнительная теплота. Она не увеличивает температуры, а заключена в межмолекулярных полях. ∙ Электрическая энергия; Магнитная энергия ∙ (Еэл; Емаг) ∙ Электрические цепи, заряженные конденсаторы, электромагниты связаны с электрической и магнитной энергиями. | Электромагнитная энергия ∙ (Еэл_маг) ∙ Энергия, свойственная тесно связанным, друг с другом электрическим и магнитным полям. | Энергия электромагнитных волн ∙ (Еизл) ∙ В электромагнитных волнах, т. е. движущихся электрических и магнитных полях. Она включает видимый свет, инфракрасные, ультрафиолетовые, рентгеновские лучи и радиоволны всех длин волн. | Энергия излучения (включая и световую энергию) ∙ (Еизл) ∙ Излучение, включая свет и все другие электромагнитные волны. ∙ Волновая энергия (включая свет, звук и морские волны) ∙ (Еволн;Езвук) ∙ Волны переносят энергию (например, звук, свет, морские волны). ∙ Ядерная энергия ∙ (Еяд) ∙ Высвобождается при ядерных превращениях: радиоактивности, делении и синтезе ядер.} Распределения потребляемой энергии за год в мире приводится в табл. 3[159]. Величина энергии дается в количестве угля в миллионах тонн, который при сгорании дал бы ту же энергию. Большинство энергии, потребляемой человеком, превращается в бесполезное тепло. Часть потерь неизбежна. Вот что нам удается извлечь: Годовое потребление энергии. А) Питание. Ежегодно на земле 250 МТ идет на питание людей, из коих Около 25 МТ превращается в полезный труд (который можно заменить лошадьми, машинами или моторами). Б) Полезная теплота, расходуемая на бытовые нужды: 100 МТ. В) Теплота и механическая энергия для транспорта и промышленности: 350 МТ (+25 МТ от людей). Из годовом потребления, составляющего 3000 МТ, используется 700 МТ. Остальное растрачивается в виде теплоты. Но мы едва ли можем похвастаться эффективностью 700/3000, ибо не учли падающее на Землю солнечное излучение, почти полностью переходящее в теплоту, а это свыше 10 000 000 МТ в год. Возможность получения энергии: кинетическая энергия упорядоченного и хаотического движения. При любых обсуждениях вопросов, связанных с использованием энергии, необходимо отличать теплоту, т. е. энергию хаотического движения, от энергии упорядоченного движения, известной в технике как свободная энергия. Так, кинетическая энергия летящей пули представляет собой энергию упорядоченного движения — она вся заключена в пуле. Мы называем ее свободной энергией, ибо ее целиком можно превратить в потенциальную энергию; для этого надо просто выстрелить вертикально вверх! Энергия деформации также упорядочена, и мы называем ее тоже свободной энергией, ибо пружина может затратить ее на поднятие груза. Химическая энергия практически вся свободна, как и электрическая энергия и энергия высокотемпературного излучения. Любая из этих форм энергии позволяет использовать всю энергию. Хаотическая энергия тепла имеет один существенный недостаток. На какие бы хитрости мы ни шли, в механическую энергию способна превратиться лишь часть тепловой. Это происходит из-за того, что даже в лучшей из мыслимых машин для превращения теплоты в механическую энергию некоторая доля теплоты передается холодильнику. Иначе машина не сможет повторить рабочий цикл. Мы не в силах полностью упорядочить случайное движение молекул, превратив его энергию в свободную. Некий хаос всегда останется. Мысленный эксперимент с идеальной тепловой машиной говорит, что максимальная доля тепла, которую можно использовать, составляет (Т₁ — Т₂)/Т₁, где Т₁ — абсолютная температура «нагревателя», или котла, а Т₂ — абсолютная температура холодильника машины (о смысле абсолютной температуры см. гл. 27). Так, пар под высоким давлением с температурой 500° К (227 °C), превращающийся в воду с температурой 300° К (27 °C), может дать к. п. д. не больше (500–300)/500, или 40 %.Такая паровая машина должна выбрасывать, помимо реальных потерь, 60 % своего тепла. Максимальный к. п. д. равен (Т₁ — Т₂)/Т₁, или 1 — (Т₂/Т₁). Так что чем выше Т₁ (или чем меньше Т₂), тем ближе к. п. д. к единице. Чтобы уменьшить затраты, силовые установки стараются делать с возможно большей температурой Т₁ нагревателя, или котла. Серьезные ограничения возникают из-за масла, которое начиняет гореть, и металла, который начинает плавиться. Температуру же Т₂ при постоянном подводе тепла нельзя надолго сделать ниже температуры окружающей среды. Практически у нас нет способа непосредственно использовать химическую (или ядерную) энергию. Мы должны сначала превращать ее в теплоту, а уж после этого нам не избежать больших тепловых потерь. Как это ни парадоксально, но такие же рассуждения, — основанные на мысленных экспериментах, говорят, что когда возникает другая потребность получить теплоту из свободной энергии, т. е. когда мы хотим обогревать квартиру электричеством, мы можем достичь высокой эффективности (к. п. д.). Используя свободную энергию, мы о помощью небольшой машины можем «перекачивать» теплоту с холодной улицы в теплую комнату. В сущности, такой тепловой помпой может служить вывернутый наизнанку холодильник, морозильное отделение которого помещено вне комнаты. Сейчас этим начинают пользоваться и это обещает дать большую экономию топлива. Беспорядок, информация, энтропия. Используя солнечный свет, уголь пли гидроресурсы для получения полезной работы типа питания электроламп, привода токарного станка или перекачивания воды на вершину холма и т. д., мы вновь и вновь приходим к теплоте как к почти неизбежному побочному (вследствие трения) и наиболее вероятному конечному продукту. Когда свет лампы поглощается стенами, станок режет металл или вода стекает назад в океан, полученная первоначально из топлива энергия в конце концов целиком превращается в теплоту. А если мы и вначале имели дело с теплотой, то на конечном этапе будет более низкая температура. Она практически не пригодна для дальнейшего использования. Можно, конечно, придумать и другой конец — позволить свету излучаться в межзвездное пространство, станку закручивать пружину, а воду оставить на вершине холма, но, как правило, конечный продукт все-таки теплота. (Вся энергия от сгорания бензина во всех автомобилях мира за прошлый год перешла в конечном счете в нагревание воздуха и земли.) Такой переход в теплоту с низкой температурой означает увеличение беспорядка в движении молекул. Даже когда теплота сохраняется, например при смешивании горячего и холодного воздуха, беспорядок все равно возрастает: (группа быстрых молекул в одной области) + (группа медленных в другой) превращается в (смесь молекул с промежуточным хаотическим движением). Рассмотрение как простого смешивания горячего и холодного газа, так и общетеоретическое изучение тепловых машин (термодинамики) приводит нас к выводу, что естественной тенденцией является увеличение беспорядка с течением времени. Это придает времени важное свойство — направленность в случае статистических процессов. В простой механике, выраженной в законах Ньютона, время может течь в обоих направлениях. Кинофильм о соударении двух молекул будет выглядеть одинаково правдоподобно, как бы мы ни запустили пленку — с начала или с конца. Но фильм, в котором молекулы горячего газа смешиваются с холодными, выглядит дико, если его запустить с конца. Таким образом, столкновения мириад молекул указывают на направление течения времени в нашем мире. Изобретена физическая мера «беспорядка», названная «энтропией». Говорят, «энтропия Вселенной стремится возрастать». Отсюда возникла мысль о «тепловой смерти» Вселенной[160], когда все будет находиться при одной и той же низкой температуре и максимальном беспорядке вещества и излучения. Энтропию можно определить как отношение количества тепла к абсолютной температуре, или как вероятность определенной конфигурации в мире молекул. Дальнейшие детали этого определения и его использования увели бы нас слишком далеко за рамки нашего курса, но понаблюдайте за этим понятием в науке последующего полустолетия. «Будущее принадлежит тем, — сказал Фредерик Кеффер, — кто сможет управлять энтропией… Промышленные революции прошлого затрагивали только потребление энергии, но заводы-автоматы будущего — это революция энтропии». Молекулы газа в процессе соударений в принципе могли бы рассортироваться на быстрые (горячие) в одной части сосуда и медленные (холодные) — в другой. Это означало бы уменьшение беспорядка в противоположность тому, что предсказывает закон возрастания энтропии. Но такое случайное событие почти невероятно — не невозможно, а просто крайне маловероятно. Наиболее вероятно беспорядочное расположение и скорости молекул, так что упорядоченное расположение после нескольких соударений с большой вероятностью вновь становится хаотическим. Возникновение порядка очень маловероятно даже на протяжении очень долгого времени. Возникновение порядка крайне маловероятно…, беспорядка — очень вероятно, вот почему энтропию можно определить тремя эквивалентными способами: 1) как меру беспорядка; 2) через теплоту и температуру; 3) через вероятности конфигураций молекул (насколько они статистически вероятны). Второй закон термодинамики по сути дела гласит: энтропия стремится возрастать. Из-за неизбежных процессов, таких, как потери тепла, трение, неупругие соударения…, она увеличивается. Максимум, на что мы можем надеяться в случае непрерывно работающей совершенной тепловой машины, — это сохранение энтропии постоянной. Энтропия очень важна для расчетов работы тепловых машин, где мы стремимся использовать все доступное тепло[161]. Она, по-видимому, очень важна и для биологических объектов, для которых господствует одно направление времени. В последнее время представлением об энтропии воспользовались в «теории информации», которая лежит в основе проектирования систем связи, ЭВМ и т. п. Допустим, что вы ухитрились наблюдать за движением отдельной молекулы газа и можете записать движение каждой из них. За этой детальной информацией вы не разглядите газа как однородной системы, находящейся в состоянии максимального хаоса, а увидите лишь, что движение крайне нерегулярно. Получая информацию, вы уменьшаете энтропию газа. Таким образом, информация, переданная по телефону в виде сообщения или от термометра к термостату, напоминает отрицательную энтропию. Эта аналогия эффективно помогает при кодировании множества одновременных телефонных переговоров, создании усилителей, улучшении качества звукозаписывающих устройств, конструировании автоматов и при изучении нашей собственной нервной системы, языка, памяти, а быть может, и «разума».

Источники энергии.

Когда мы ищем источники энергии, то имеем в виду запасы, пригодные для использования, а не какого-то «таинственного кредитора». Нефть, уголь, бензин, горючий газ — все содержит запас химической энергии, которая может быть превращена в теплоту и другие полезные формы при сжигании этих веществ в кислороде[162]. Они образовались из растений, которые росли под солнцем сотни миллионов лет назад. Для роста деревьев и хлеба необходим солнечный свет. Из него черпают свою химическую энергию растения. От Солнца получили свою энергию и водяные колеса и ветряные мельницы, вырабатывающие механическую энергию, которую можно превратить в электричество и другие полезные формы энергии. Ветры возникают при неодинаковой нагреве Земли Солнцем, а вода, отдающая при падении потенциальную энергию силы тяжести, получает ее при испарении озер и океанов под действием солнечного света и ветра. Все энергоснабжение идет от Солнца. Почти все источники энергии создаем для нас солнечное излучение.

Существуют и другие источники, такие, как вулканическое тепло, приливное действие Луны и ядерная энергия, но в настоящее время их использование развито относительно слабо, и только применение ядерной энергии обещает в будущем возрасти. Управляемая реакция деления, топливом для которой служит уран, уже используется для движения подводных лодок и обогрева домов. Имеются интересные установки, которые воспроизводят атомы изотопов, способных к распаду. В будущем мы сможем придумать экономичные методы извлечения урана из бедных руд, что обеспечит человечество энергией на несколько веков. Таким образом, очевидно, что наше ближайшее будущее достаточно обеспечено тремя сортами топлива: солнечным светом, столь необходимым для создания продуктов питания, запасами солнечного света в угле и нефти и ядерной энергией. Угля пока еще очень много. Новые запасы нефти обнаруживаются быстрее, чей иссякают старые, хотя несколько десятилетий назад эксперты твердили, что «нефти хватит, чтобы протянуть только десяток-другой лет». Геологи находят новые залежи урана и тория. Однако при нынешнем росте населения ни один из этих источников не — продержится более нескольких десятков веков. Заглядывая же на тысячу и более лет в будущее, когда человечество «растратит свои старые капиталы», мы понимаем, что поток солнечного излучения способен ограничить рост благосостояния человечества, если, конечно, не осуществятся наши надежды на почти безграничную энергию от синтеза легких элементов.

Можно пофантазировать и относительно источника энергии самого Солнца. По-видимому, это ядерный синтез. Во внутренней топке[163] Солнца атомы водорода, соединяясь, образуют атомы гелия (возможно, в циклическом процессе с участием других промежуточных ядер). Синтез гелия дает достаточно теплоты, чтобы поддерживать за ее счет гигантское излучение. К счастью, запас водорода в Солнце достаточно велик. Если бы Солнце было обычным огненным шаром из раскаленного добела угля с достаточным количеством кислорода, оно бы сгорело дотла за несколько тысяч лет. Как мы покажем позднее, излучение обладает массой, поэтому Солнце должно терять массу со скоростью около 300 000 000 000 тонн в день или более того. Но масса Солнца превышает 2 000 000 000 000 000 000 000 000 000 тонн и его хватит еще надолго.

Примеры вычисления энергии. Вычисление потенциальной энергии. Пользуясь работой, равной произведению сила на расстояние, мы легко можем подсчитать изменение потенциальной энергии. При поднятии груза прирост его потенциальной энергии равен весу, т. е. притяжению Земли, умноженному на высоту подъема. Если тело движется по наклонному пути, мы пользуемся также произведением вес на высоту подъема по вертикали. Земля не тянет груз вбок, так что боковое движение не требует совершения работы. Если при движении колес по шероховатой дороге или подъеме по лестнице сказывается трение, то какая-то работа совершается и при горизонтальном движении; при этом энергия переходит в нагревание дороги, обода и ботинок. Поскольку эта теплота не запасается и не может быть использована на обратном пути, мы не можем считать ее потенциальной энергией. Поэтому при вычислении полезной потенциальной энергии, того запаса энергии, который можно использовать для движения механизмов, мы не учитываем горизонтального движения (нулевой уровень потенциальной энергии см. стр. 426). Пример А. Вычисление прироста потенциальной энергии. 1. Мешок с зерном весом 20 кГ поднят с пола на высоту 10 м. ПРИРОСТ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ = ВЕС ∙ Δ ВЫСОТЫ = (20 кГ)∙(10) м = 200 кГм. Если мы хотим выразить этот прирост в «хороших» единицах, которыми нужно пользоваться во всех случаях, когда есть движение, то вес также необходимо выражать в таких «хороших» единицах, как ньютон. Таким образом, ВЕС = ПРИТЯЖЕНИЕ ЗЕМЛЕЙ 20 кГ = (20 кГ)∙(9,8 ньютон/кГ) = (20)∙(9,8) ньютон = 196 ньютон. ПРИРОСТ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ = ВЕС ∙ Δ ВЫСОТЫ = = (20)∙(9,8 ньютон)∙(10) м = 1960 ньютон∙м = 1960 дж. 2. Груз массой 20 кг поднят на высоту 10 м по кривому пути при помощи блоков и веревок. Прирост потенциальной энергии силы тяжести по-прежнему составит (196 ньютон)∙(10 м). Это и есть та потенциальная энергия, которую потерял бы груз, если бы он упал вертикально на пол. Именно она и приобретается при поднятии груза на 10 м независимо от того, насколько груз продвинулся бы вбок. Проверим это на следующем простом примере. Предположим, что груз втаскивается наверх по наклонной плоскости, причем на пути длиной 50 м он поднимается на высоту 10 м. В этом случае нам известна сила, с которой нужно тащить груз вдоль плоскости без трения. Она задается отношением. СИЛА F / ВЕС W = ВЫСОТА ПОДЪЕМА / ДЛИНА ПЛОСКОСТИ, F/196 ньютон = 10/50, F = 196/5 = 39,2 ньютон. Но человек тянет груз с силой 196/5 ньютон вместо полных 196 и должен тащить его 50 м, а не 10 м (или если он стоит на вершине, то должен вытянуть 50 м веревки вместо 10). Следовательно, его затраты энергии, измеряемые произведением силы на расстояние, равны (196/5 ньютон)∙(10 м)=1960 ньютон∙м, т. е. такие же, как и прежде. При наличии трения человек должен прикладывать большую силу, чем 39,2 ньютон, однако она не имеет ничего общего с приростом потенциальной энергии. Дополнительная сила используется для преодоления трения расходуется на теплоту, не увеличивая причем дополнительная энергия потенциальной энергии груза.

Фиг. 56.

3. Растяжение пружины. В этом случае сила непрерывно возрастает. Нам необходимо брать подходящую среднюю силу. Лучше всего взять натяжение пружины в начале и в конце и усреднить эти значения[164]. Пусть человек, удерживающий пружину с напряжением 100 ньютон, растянул ее на 2 м, причем напряжение возросло до 500 ньютон, тогда. ПРИРОСТ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ ПРУЖИНЫ = СРЕДНЯЯ СИЛА ∙ РАССТОЯНИЕ, = [(100 ньютон + 500 ньютон)/2]∙2 м = 300∙2 ньютон∙м = 600 дж. Замечание о нулевом уровне потенциальной энергии. Прирост потенциальной энергии силы тяжести определяется произведением вес на высоту подъема. Чтобы вычислить полную потенциальную энергию силы тяжести предмета, мы должны знать его «полную высоту», а это, по-видимому, не имеет смысла. От чего отсчитывать эту высоту — от поверхности Земли, от ее центра, а может быть, от стола? Ответ: абсолютного нулевого уровня потенциальной энергии в обычных расчетах нет. К счастью, мы пользуемся только изменением потенциальной энергии, а поэтому можем выбирать любой удобный для нас нулевой уровень. Если мы возьмем на берегу камень и поднимем его на вершину утеса, то в качестве нулевого уровня можно взять уровень морского берега и приписать камню на берегу нулевую потенциальную энергию. Если мы сбросили камень с воздушного шара на Землю, то нулевым уровнем будет поверхность Земли. Если же бросить камень в колодец, то в качестве нулевого уровня лучше выбрать либо дно колодца, либо уровень Земли, и когда камень находится ниже уровня Земли, воспользоваться странной на первый взгляд отрицательной потенциальной энергией. Если мы ставим опыт над лабораторным столом, то в качестве нулевого уровня можно выбирать либо поверхность стола, либо пол. В последнем случае все высоты будут больше, но разность высот останется, конечно, той же самой. Поднимая предмет все выше и выше, мы, очевидно, сообщаем ему все большую потенциальную энергию. Непосредственно над земной поверхностью каждый килограмм при подъеме на 1 м приобретает 9,8 дж, но когда мы поднимаем его на большую высоту, то должны учитывать изменение силы земного притяжения согласно закону обратных квадратов. На высоте 6000 км килограмм приобретает при подъеме на 1 м в 4 раза меньшую энергию, т. е. 2,45 дж. Из-за уменьшения земного притяжения потенциальная энергия тела на большой высоте возрастает все медленнее и медленнее. Используя закон обратных квадратов и интегральное исчисление[165], мы найдем, что на очень больших расстояниях (на «бесконечности», если угодно) потенциальная энергия приближается к пределу, который оказывается равным той энергии, которую имеет тело, поднятое на высоту радиуса Земли, при условии, что вес тела остается тем же, что и на поверхности. Для 1 кг это означает прирост в 9,8 ньютон∙6 400 000 м, или 63 000 000 дж. Если в качестве нулевого уровня принять значение потенциальной энергии на «бесконечности», то каждый килограмм на Землю будет иметь отрицательную потенциальную энергию, равную 63 000 000 дж. Для обычных лабораторных работ такое число слишком громоздко и бесполезно. Но оно говорит, сколько энергии мы должны сообщить телу, чтобы оторвать его от Земли. Для выбрасывания за «пределы» Земли ракеты или молекулы газа, с тем чтобы они никогда не вернулись назад, мы должны сообщить каждому килограмму более 63 000 000 дж кинетической энергии. Такова плата за потенциальную энергию. В этом суть «второй космической скорости». С какой скоростью должна двигаться масса М кг, чтобы обладать кинетической энергией 63 000 000 дж и заплатить за свое «избавление»? Отрицательная потенциальная энергия подобного рода встречается и в простейших атомных моделях наподобие модели Бора. В электрическом поле притяжения атома электрон обладает отрицательной потенциальной энергией, если ее отсчитывать от нуля, когда электрон удален от атома «на бесконечность». Если электрон с «внешнего» уровня переходит на «внутренний», электрическое поле теряет часть своего запаса энергии потенциальная энергия уменьшается, величина отрицательной потенциальной энергии становится больше. Выделенной полем энергии оказывается больше, чем это нужно электрону для увеличения кинетической энергии на «маленькой» орбите, и разницу в энергиях атом испускает в виде излучения. Пример Б. Расчеты с тепловой энергией. При расчетах превращения тепловой энергии в механическую и т. д. мы должны для обеих форм пользоваться одной и той же единицей измерения. Опыты, описанные в следующей главе, показали, что 1 Кал ~= 4200 дж. Автомобиль массой 1500 кг проехал 2 км со скоростью 50 км/час и сжег ¹/₅ л бензина. А) Сколько тепла выделилось при сгорании этого бензина? Б) Какой доле среднего дневного рациона человека с нормальным пищеварением соответствует такое количество энергии (пусть его рацион составляет 3300 Кал в день)? В) Сделайте грубую оценку замедления автомобиля и оцените полное «сопротивление» вследствие трения дороги и сопротивления воздуха на скорости 50 км/час. Вычислите энергию, необходимую для преодоления этого сопротивления на расстоянии 2 км (т. е. энергию в химической форме, превратившуюся в теплоту дороги и воздуха благодаря движению автомобиля, без учета теплоты, затраченной на прямое нагревание воздуха мотором). Г) Какая доля тепла, выделенного сгоревшим бензином, пошла на энергию, необходимую для движения автомобиля? Ответы. А) Плотность бензина составляет 0,74 плотности воды, а масса 1 л воды 1 кг. Следовательно, масса 1 л бензина 0,74 кг, а масса ¹/₅ л бензина 0,15 кг. Тепловыделение = 0,15∙11000 Кал/кГ ~= 1600 Кал. Б) Эта энергия составляет 1600/3300 энергии среднего дневного рациона питания, т. е. примерно ¹/₂, так что 2 км езды на автомобиле берут из мирового запаса энергии столько же, сколько хороший обед. В) Чтобы вычислить произведение сила на расстояние для перехода энергии при движении, нам нужно оценить силу F. Вот запись реального опыта с машиной. Автомобиль ехал по гладкой горизонтальной дороге. Когда скорость была немногим более 60 км/час, рычаг скоростей был переведен в нейтральное положение и автомобиль катил по дороге, замедляясь под действием сопротивления воздуха и трения о дорогу. На замедление от 60 до 40 км/час ушло 10 сек. (В этом эксперименте надо определить полное сопротивление при скорости около 50 км/час.) Затем эксперимент повторялся, но при движении в обратном направлении, чтобы усреднить действие ветра и наклона дороги. Время менялось от 10 до 14 сек и в большинстве случаев было между 12 и 13 сек. Замедление составляло. (20 км/час)/12,5 сек, или (5,6 м/сек)/12,5 сек, или 0,44 м/сек^2. Замедляющая сила = 1500 кг ∙ 0,44 м/сек² = = 660 ньютон, или 660 ньютон: 9,8 ньютон/кГ ~= 68 кГ. На преодоление этого сопротивления на расстоянии 2 км расход энергия (на нагрев воздуха, дороги, шин и осей автомобиля) равен. F∙s, или 660 ньютон∙2000 м ~= 1,3∙10⁶ дж. Г) Чтобы сравнить это с теплотой, выделенной бензином, мы должны выразить оба количества энергии в одних и тех же единицах: Теплота, выделенная бензином = 1600 Кал = 1600 Кал∙4200 дж/Кал = 6,7∙10⁶ дж. Следовательно, из 6,7 млн. дж, выделенных бензином, на «полезное» продвижение затрачено только 1,3 млн. К.п.д. = 1,3/6,7 ~= 20 %, что довольно хорошо для двигателя, работающего на бензине. Пример В. Вычисления с использованием кинетической энергии, равной ¹/₂ mv^2. (Не забудьте, что выражение для кинетической энергии выводилось из F = ma, поэтому она всегда выражается в абсолютных единицах — джоулях, а не в килограммометрах. Следовательно, силу в выражении F∙s при вычислении кинетической энергии мы тоже должны выражать в абсолютных единицах.). Ружейная пуля массой 0,002 кг вылетает из ствола длиной 0,8 м со скоростью 400 м/сек. А) Какова ее кинетическая энергия? Б) Какова сила[166], разогнавшая ее из состояния покоя до этой скорости? Ответы. А) Энергия пули = ¹/₂ mv², или ¹/₂∙0,002∙(400)² кг∙м²/сек² = 0,001∙160 000 = 160 ньютон∙м, или дж. Б) Эта энергия образовалась из тепловой энергии газов при взрыве. Работа, описывающая этот переход, равна F∙s, или (F ньютон)∙(0,80 м). Итак, E_кин = 160 ньютон∙м = (F)∙(0,80) ньютон∙м при условии, что сила F полностью затрачена на ускорение пули, увеличение ее кинетической энергии. СИЛА F = 160/0,80 = 200 ньютон ~= 20 кГ. Довольно большое усилие для маленькой пули! Пример Г. Иллюстрация закона сохранения энергии. (Попробуйте решить задачу самостоятельно, а потом, если нужно, заглянуть в ответ.). Человек втаскивает на вершину обрыва высотой 40 м камень массой 2 кг. А) Каков прирост потенциальной энергии камня? Б) Камень сбрасывается вниз. Сколько у него осталось потенциальной энергии после того, как он пролетел 10 м? Каков прирост кинетической энергии? Попытайтесь сложить потенциальную и кинетическую энергии. В) Сколько у камня осталось потенциальной энергии из первоначального запаса после того, как он пролетел все 40 м? Какова его кинетическая энергия перед приземлением? Г) Опишите изменение потенциальной и кинетической энергий, а также суммы этих энергий в процессе падения камня. Ответы. А) Прирост потенциальной энергии равен. Вес∙Высота = (2 кГ∙9,8 ньютон/кг)∙40 м = (19,6 ньютон)∙(40 м) = 784 ньютон∙м, или 784 дж. Б) Пролетев 10 м, камень оказался на высоте 30 м над землей, а его оставшаяся потенциальная энергия равна. (19,6 ньютон)·(30 м), или 588 дж. Чтобы вычислить кинетическую энергию, необходимо знать скорость камня v. Сначала[167] из s = v₀t + ¹/₂ at² найдем t: А = 9,8 м/сек², s = 10 м, v₀ = 0, t =? S = v₀t + ¹/₂ at², 10 = 0 + (¹/₂)∙(9,8)∙t², T² = 10/4,9 = 100/49, T = 10/7 сек. Теперь v = v₀ + at = 0 + (9,8)∙(10/7) = 14 м/сек; В сумме обе энергии дают = 196 + 588 дж = 784 дж. В) Пролетев 40 м, камень потерял всю потенциальную энергию. Падая ²⁰/₇ сек, он приобрел скорость 28 м/сек; Кинетическая энергия = (¹/₂)∙(2 кГ)∙(28² м²/сек²), или 784 дж. В сумме обе энергии дают: 784 дж + 0 = 784 дж. Г) Общее описание изменения энергии. Когда камень падает из состояния покоя с высоты 40 м над землей, то он начинает движение с запасом потенциальной энергии 784 дж (полученной им от человека из его запаса химической энергии) и нулевой кинетической энергии. По мере падения его потенциальная энергия уменьшается, а кинетическая возрастает, но сумма обеих энергий остается на всех стадиях одной и той же, т. е. 784 дж. Непосредственно перед приземлением камень исчерпывает свою потенциальную энергию, но зато его кинетическая энергия становится максимальной, т. е. 784 дж. Когда камень ударяется о землю, его кинетическая энергия исчезает, превращаясь в теплоту (около ¹/₅ Кал), которая нагревает камень, землю и воздух. Эта задача — простой, частный пример закона сохранения энергии. Восхитительный закон природы? Едва ли, просто мы так выбрали выражение ¹/₂ Mv² для кинетической энергии, чтобы оно было равно F∙s, а так как мы используем то же самое выражение F∙s для характеристики изменения потенциальной энергии, то следует ожидать, что сумма обеих энергий будет оставаться постоянной как следствие нашего выбора. Если какая-то часть движения падающего камня расходуется на трение о воздух, то сумма энергий не будет постоянной. Кинетическая энергия будет расти медленнее, так как трение требует своей доли. Поэтому без учета теплоты (и энергии воздушных токов), идущей на нагревание воздуха из-за трения, мы не получим закона сохранения энергии. В пункте (б) мы выбрали некрасивый способ вычисления v; сначала из формулы s = v₀t + ¹/₂ at² нашли время, затем из v = v₀ + at определили скорость. Все это делалось для того, чтобы избежать незнакомой нам формулы v² = v²₀ + 2as. А если мы воспользуемся ею, то мгновенно получим. V² = 0² + 2∙9,8∙10 = 196 м²/сек², V = √196 = 14 м/сек. Кроме того, ясно, что эта формула немедленно дает сохранение энергии, ибо из нее и было получено ¹/₂ Mv². Более общая алгебраическая форма записи. Предположим, что камень массой m начинает падать с начальной скоростью v₀ с высоты h₀. К моменту, когда его высота станет h₁, он пройдет расстояние (h₀ — h₁) с ускорением g, направленным вниз, так что его скорость их будет определяться выражением. V²₁= v²₀ + 2g∙(h₀ — h₁) Поэтому сумма кинетической и потенциальной энергий равна. ¹/₂ mv²₁ + mgh₁ = ¹/₂∙m∙[v²₀ + 2g∙(h₀ — h₁)] + mgh₁ = = ¹/₂ mv²₀ + mgh₀ — mgh₁ + mgh₁ = =¹/₂ mv²₀ + mgh_0. Т. е. первоначальной сумме кинетической и потенциальной энергий. Следовательно, на любой высоте h₁ полная энергия та же, что и на первоначальной высоте h₀. Пример Д. Теплота и кинетическая энергия. Свинцовая пуля массой 0,006 кг, летящая со скоростью 400 м/сек, ударяет в стальную стенку и останавливается. Подсчитайте, насколько возрастет ее температура. Удельная теплоемкость свинца составляет 0,03, а 1 Кал = 4200 дж. Примечание. Удельная теплоемкость 0,03 означает, что свинец требует в 0,03 раза больше тепла, чем та же масса воды при нагревании на одну и ту же температуру (см. гл. 27). Для нагревания воды массы М на ΔТ° С требуется М∙ΔТ Кал. А в случае свинца потребуется теплоты в 0,03 раза больше, или М∙ΔТ∙(0,03) Кал. Предположим, что вся кинетическая энергия пули превратится в теплоту. ¹/₂ mv² = ¹/₂∙(0,006)∙(400²) = (0,006)∙80 000 дж. Если повышение температуры (ΔТ) равно ΔТ° С, то поглощенное свинцом количество тепла равно. (МАССА)∙(ПОВЫШЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ)∙(УДЕЛЬНАЯ ТЕПЛОЕМКОСТЬ) = = (0,006)∙(ΔТ)∙(0,03) Кал = = (0,006)∙(ΔТ)∙(0,03)∙(4200) дж. Если вся кинетическая энергия переходит в теплоту и если вся теплота остается в свинце, то (0,006)∙(80 000) дж должны быть равны (0,006)∙(ΔТ)∙(0,03)∙(4200) дж. Сокращая на массу пули, 0,006 (кстати, почему она должна сократиться?) и разрешая относительно ΔТ, получаем. ΔТ = 80 000/(0,03)∙(4200) = 635 °C. Как и многие ответы к задачам в учебниках, и этот ответ далек от реальности, ибо такое повышение температуры привело бы к плавлению свинца, а в реальном соударении часть теплоты передается стенке. Замкнутые системы. Любые законы сохранения энергии, импульса, воды, денег… должны иметь дело с «замкнутой системой». Мы проводим вокруг рассматриваемой области мысленную границу, и должны быть уверены, что ни одна из сохраняющихся величин не пересекает этой границы. Тогда, утверждая, что нечто сохраняется, мы имеем в виду, что в пределах этой границы оно не может быть ни создано, ни уничтожено (не считая равных количеств положительного и отрицательного) и возможен лишь обмен. Доведенное до предела, это требование вынуждает нас в качестве замкнутой системы брать всю Вселенную, но в большинстве случаев даже небольшая совокупность тел или частиц оказывается практически замкнутой системой. Вряд ли можно доказать закон сохранения денег для отдельного человека или для отдельного города. В каждом из этих случаев система не замкнута: деньги постоянно обращаются — текут то туда, то сюда. Однако можно обнаружить «закон сохранения денег» на небольшом острове. Требование замкнутости кажется достаточно очевидным, забыв о нем, можно прийти к парадоксам. Стреляющее ружье не составляет замкнутой системы ни с точки зрения количества движения (импульса), ни с точки зрения энергии — и то, и другое возрастает. Но если ружье поставить на колеса, то ружье + пуля + газы образует практически замкнутую систему в отношении количества движения: все они получают равные, но противоположные количества движения, а полное количество движения системы остается неизменным. Для энергии нам нужно взять ружье + порох + пулю; только тогда можно рассчитывать на ее сохранение.

Сохранение механической энергии: Е_пот + Е_кин = const.

Предположим, что у нас есть замкнутая система с точки зрения энергии, т. е. таких сил, которые бы вносили и уносили энергию через границу, нет. Результирующая сил, действующих на систему извне, должна быть равна нулю. Все внутренние силы должны распадаться на пары: F₁ и — F₁, F₂ и — F₂ и т. д. (третий закон Ньютона). Разлагая силы на подходящие компоненты и умножая их на пройденное расстояние, мы можем для любых изменений внутри системы вычислить передачу энергии. Для этого требуется досконально изучить геометрию системы и понимать, что силы — это векторы и действуют они независимо друг от друга. Здесь мы не будем вдаваться в подробности, но если все силы подобны упругим или силе тяжести, то они приведут к равным, противоположным переходам между различными сортами кинетической и потенциальной энергий. Рассуждения, однако, становятся несправедливыми, если встречаются силы, подобные трению, которые противятся всякому скольжению (т. е. не похожи на пружину, которая противится движению в одну сторону и помогает в другую). Если вы тащите камень без трения вверх по склону из точки А в точку В, то прирост потенциальной энергии будет одинаков для прямого пути из А в В в для окольного. Но на шероховатом склоне чем длиннее путь, тем больше энергии переходит в теплоту. Таким образом, существенная особенность, позволяющая утверждать, что сумма потенциальной и кинетической энергий постоянна, состоит в следующем:

Потенциальная энергия зависит только от положения концов пружины, тела в поле сипы тяжести и т. п. Изменение потенциальной энергии не зависит от выбранного пути.

Кинетическая энергия зависит только от скорости, но не от пути или времени, требуемого для ее достижения.

Мощное средство.

Постоянство суммы кинетической и потенциальной энергий избавляет нас от многих вычислений. Для «консервативных систем», у которых отсутствует трение, на некоторые вопросы можно ответить, не вычисляя внутренние силы. Например, маятник длиной 5 м с гирей массой 4 кг отклонили на 4 м по горизонтали и отпустили. Какова будет скорость гири в низшей точке?

Фиг. 59.

Маятник напоминает тело, скатывающееся по наклонной плоскости с переменным наклоном. Ускоряющая сила постоянно изменяется, и чтобы получить ответ сложением всех приращений скорости, пришлось бы немало потрудиться. Однако сохранение энергии позволяет найти его очень быстро:

(КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ + ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ в начальной точке) = (КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ + ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ в низшей точке) = 0 + (4 кГ)∙(9,8 ньютон/кГ)∙(2 м) = ¹/₂∙(4 кГ)∙(скорость)² + 0,

Т. е.

V² = 39,2, а v = 6,26 м/сек.

Этот метод применим для любых путей — прямых, кривых, даже вверх и вниз, но при условии, что можно пренебречь трением. Так что теперь мы можем избавиться от правила Галилея для движения по наклонной плоскости (к которому мы обращались на ранней стадии). Масса М скатывается без трения из состояния покоя по наклонной плоскости высотой h и длиной L. Изменение потенциальной энергии равно Mgh, а увеличение кинетической энергии равно ¹/₂Mv². Поверив в закон сохранения, мы говорим: поскольку ¹/₂ Mv² = Mgh, то v² = 2gh. Это дает конечную скорость = √(2gh).

Масса здесь сократилась — все массы движутся одинаково. Кроме того, вошла только высота h и нет никакого признака L, т. е. конечная скорость будет одной и той же при любом наклоне и одинаковой высоте.

Благосостояние и счастье человечества. Продукты питания снабжают нас химической энергией, которая, переходя в другие формы, согревает нас, поддерживает жизнедеятельность нашего организма и выполняет механическую работу (ходьба, поднятие грузов). Таким образом, вся наша энергия поставляется пищей или внутренними резервами (какой-то частью жировых запасов). Если вы поверили в закон сохранения энергии, то должны согласиться, что третьего выхода нет: либо нам надо потреблять достаточное количество пищи (и усваивать ее), либо «сжигать» собственный жир. Человек не может выполнить ни добавочной работы без дополнительного питания, ни нормальной работы на пониженном рационе, если он не воспользуется собственными запасами жира, которые в конечном счете тоже накопились благодаря питанию. Соединяясь с кислородом, топливо-пища превращается в углекислый газ и воду. При «сжигании» пищи до углекислого газа и воды освобождается определенное количество химической энергии независимо от характера промежуточных процессов. Если бы это было не так, мы могли бы опровергнуть закон сохранения энергии, т. е. создали бы себе пищу с помощью одного процесса и потребляли бы ее в другом, который высвобождал бы больше энергии! Так что энергосодержание пищи можно измерить сжиганием ее образцов в лаборатории. Поэтому мы можем вычислить калорийность не только собственного рациона, но и рациона всего человечества. По выдыханию СО₂ мы можем определить количество топлива, сжигаемого при различного рода деятельности: ходьбе, ночном сне, игре в футбол, работе в мастерской и 3-часовом пыхтении на экзамене по математике. Тем самым мы можем определить «цену» жизни. Подобные испытания проводятся с помощью маски, надеваемой на лицо испытуемого; эта маска собирает выдыхаемый воздух за короткий период времени, газометром измеряется объем выдыхаемого воздуха, и анализ образца дает количество кислорода, которое заменилось на СО₂. Эти химические изменения за целый день дают нам полное количество пищи, «сожженное» испытуемым за время рабочего дня. Минимальный жизненный уровень, при котором поддерживается работа сердца, легких, минимум пищеварения, требует определенного количества энергии. Этот минимум энергии называется основным обменом веществ. В холодную погоду на нагревание тела требуется несколько больше энергии. Ходьба и другая умеренная деятельность предъявляют дополнительные требования, а усиленные упражнения требуют еще больше. При тяжелой физической работе мы должны потреблять гораздо большее количество пищи, чем это необходимо для самой работы, ибо к.п.д. нашего тела составляет только около 25 %, а остальные 75 % тратятся на теплоту. Минимальный жизненный уровень здорового человека составляет около 2000 Кал в день; плавание или футбол требуют дополнительно 500 Кал в час, а для 8 часов тяжелой физической работы требуется еще 2000 Кал в день. Так что грузчику нужно вдвое больше питания, чем бездельнику, хотя последний имеет то же телосложение; следовательно, и есть грузчик должен вдвое больше. Но, с другой стороны, студенту, усиленно изучающему математику, нужно столько же питания, сколько и тогда, когда он бьет баклуши. Умственный труд требует очень небольших немедленных затрат — ум искусен, во, по-видимому, не жаден. Возможно, оп предъявляет свои счета позднее. Всем нам, если мы не сидим в тюрьме, не лежим в постели, обленившись до крайности, необходимо дополнительное питание сверх минимального уровня. Истощенный человек с недостаточным рационом не может «вершить дела». Либо он должен жить спокойной жизнью и даже лежать в постели, либо он постепенно будет «съедать» самого себя. Именно пища ставит предел росту численности населения планеты. В мире, как целом, всегда были большие группы людей, находящихся на грани истощения. Каждый раз, когда создавались машины, облегчающие добывание продуктов питания или другую работу, население возрастало до нового уровня, определяемого количеством продуктов питания и топлива. В настоящее время количество продуктов питания и топлива регулирует жизнь и определяет благосостояние планеты, хотя в будущем бóльшую угрозу может представлять нехватка пресной воды. И если когда-нибудь удастся достигнуть обильного снабжения как сельского хозяйства, так и промышленности дешевой термоядерной энергией, то жить станет веселее.

Масса, материя и энергия; Е = mc^2.

Часто приходится слышать утверждение, что «масса и энергия одно и то же», или же такие суждения, будто выражение Е = mc² объясняет атомную бомбу. Сейчас, когда вы получили только первое представление об энергии и ее поведении, было бы поистине неразумно сбивать вас с толку такими утверждениями, как «масса равна энергии». Во всяком случае, такой способ трактовки великого открытия не из лучших. По-видимому, это всего лишь острословие молодых реформистов, «галилеев нового времени». На деле же предсказание теории, которое проверено многими экспериментами, говорит лишь о том, что энергия имеет массу.

Сейчас мы разъясним современную точку зрения и дадим небольшой обзор истории ее развития. Когда энергия любого материального тела возрастает, его масса увеличивается и мы приписываем эту дополнительную массу приросту энергии. Например, при поглощении излучения поглотитель становится горячее и его масса возрастает. Однако возрастание настолько мало, что остается за пределами точности измерений в обычных опытах. Напротив, если вещество испускает излучение, то оно теряет капельку своей массы, которая уносится излучением. Возникает более широкий вопрос: не обусловлена ли вся масса вещества энергией, т. е. не заключен ли во всем веществе громадный запас энергии? Много лет назад радиоактивные превращения на это ответили положительно. При распаде радиоактивного атома выделяется огромное количество энергии (в основном в виде кинетической энергии), а малая часть массы атома исчезает. Об этом ясно говорят измерения. Таким образом энергия уносит с собой массу, уменьшая тем самым массу вещества.

Следовательно, часть массы вещества взаимозаменяема массой излучения, кинетической энергией и т. п. Вот почему мы говорим: «энергия и вещество способны частично к взаимным превращениям». Более того, мы теперь можем создавать частицы вещества, которые обладают массой и способны полностью превращаться в излучение, также имеющее массу. Энергия этого излучения может перейти в другие формы, передав им свою массу. И наоборот, излучение способно превращаться в частицы вещества. Так что вместо «энергия обладает массой» мы можем сказать «частицы вещества и излучение взаимопревращаемы, а потому способны к взаимным превращениям с другими формами энергии». В этом и состоит создание и уничтожение вещества. Такие разрушительные события не могут происходить в царстве обычной физики, химии и техники, их следует искать либо в микроскопических, но активных процессах, изучаемых ядерной физикой, либо в высокотемпературном горниле атомных бомб, на Солнце и звездах (ем. гл. 43 и 44[168]). Однако было бы неразумно утверждать, что «энергия — это масса». Мы говорим — «энергия, как и вещество, имеет массу». Но масса порции энергии дается выражением.

M = (энергия)/(скорость света)².

Обозначая скорость света[169] стандартным значком с, имеем m = Е/с², или после перестановки Е = mc².

Для вещества Е = mc². Мы говорим, что масса обычного вещества таит в себе огромный запас внутренней энергии, равной произведению массы на (скорость света)². Но эта энергия заключена в массе и не может быть высвобождена без исчезновения хотя бы части ее.

Как возникла столь удивительная идея и почему она не была открыта раньше? Ее предлагали и раньше — эксперимент и теория в разных видах, — но вплоть до нашего века изменение энергии не наблюдали, ибо в обычных экспериментах оно соответствует невероятно малому изменению массы. Однако сейчас мы уверены, что летящая пуля благодаря своей кинетической энергии имеет дополнительную массу. Даже при скорости 5000 м/сек пуля, которая в покое весила ровно 1 г, будет иметь полную массу 1,00000000001 г. Раскаленная добела платина массой 1 кг всего прибавит 0,000000000004 кг и практически ни одно взвешивание не сможет зарегистрировать эти изменения. Только когда из атомного ядра высвобождаются огромные запасы энергии или когда атомные «снаряды» разгоняются до скорости, близкой к скорости света, масса энергии становится заметной[170].

Обычная кинетическая энергия дает заметный вклад в массу очень быстрых протонов, получаемых на циклотронах, и это создает трудности при работе с такими машинами.

Почему мы все же верим, что Е = mc²?

Откуда взялось соотношение Е = mc²? Почему же мы думаем, что энергия Е имеет массу E/с²? Сейчас мы воспринимаем это как прямое следствие теории относительности, но первые подозрения возникли еще сто лет назад в связи со свойствами излучения.

Тогда казалось вероятным, что излучение обладает массой. А поскольку излучение переносит, как на крыльях, со скоростью с энергию, точнее, само есть энергия, то появился пример массы, принадлежащей чему-то «невещественному». Экспериментальные законы электромагнетизма предсказывали, что электромагнитные волны должны обладать «массой», равной (энергия)/с². Но до создания теории относительности только необузданная фантазия могла распространить соотношение m = Е/с² на другие формы энергии (см. гл. 31).

1) Указание о существовании соотношения Е = mc² для излучения. Всем сортам электромагнитного излучения (радиоволнам, инфракрасному, видимому и ультрафиолетовому свету и т. д) свойственны некоторые общие черты: все они распространяются в пустоте с одинаковой скоростью с, все переносят энергию и импульс. Мы представляем себе свет и другое излучение в виде волн, распространяющихся с большой, но определенной скоростью с =3∙10⁸ м/сек. Когда свет падает на поглощающую поверхность, возникает теплота, показывающая, что поток света несет энергию. Эта энергия должна распространяться вместе с потоком с той же скоростью света. На деле скорость света именно так и измеряется: до времени пролета порцией световой энергия большого расстояния[171]. При отражении света от зеркала теплота не выделяется, ибо отраженный луч уносит всю энергию, но на зеркало действует давление, подобное давлению упругих шариков или молекул. Если же вместо зеркала свет попадает на черную поглощающую поверхность, давление становится вдвое меньше. Это свидетельствует о том, что луч несет количество движения, поворачиваемое зеркалом. Следовательно, свет ведет себя так, как если бы у него была масса. Но можно ли откуда-то еще узнать, что нечто обладает массой? Существует ли масса по своему собственному праву, как, например, длина, зеленый цвет или вода? Или это искусственное понятие, определяемое поведением наподобие Скромности? Масса, на самом деле, известна нам в трех проявлениях: A. Туманное утверждение, характеризующее количество «вещества». (Масса с этой точки зрения присуща веществу — сущности, которую мы можем увидеть, потрогать, толкнуть.). Б. Определенные утверждения типа F∙Δt = Δ(Mv) и Е_кин = ¹/₂Mv². B. Масса сохраняется. Если мы отбросим неясное утверждение и отложим пока сохранение, то остается определить массу через количество движения и энергию. Тогда любая движущаяся вещь с количеством движения и энергией должна иметь «массу». Ее массой должно быть (количество движения)/(скорость), или 2∙(Е_кин)/(скорость)². Массу излучения нетрудно найти из оказываемого им давления при помощи следующих вычислений. Давление солнечного луча на зеркало очень мало, но его можно измерить с помощью чувствительной «световой мельницы» в вакууме, а плотность энергии измеряется по нагреванию небольшого черного поглотителя. Измерения показывают: [ДАВЛЕНИЕ СВЕТА на отражающее его зеркало] = [Удвоенная ПЛОТНОСТЬ ЭНЕРГИИ, равная (ЭНЕРГИЯ ПУЧКА)/(ЕГО ОБЪЕМ)]. Это согласуется с выводами законов электромагнетизма. Попробуем теперь получить давление из расчетов кинетической теории. Пусть пучок света протяженностью а (фиг. 60) падает перпендикулярно на кусочек зеркала сечением b x d и отражается им Представим себе, что свет — это N упругих шариков массой m, летящих со скоростью с. Тогда время, необходимое для того, чтобы весь пучок попал на зеркало, будет а/с.

Фиг. 60. Радиационное давление.

Полное изменение количества движения равно N∙2mc, т. е. СИЛА = ИЗМЕНЕНИЕ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ / ВРЕМЯ = = N∙2mc/(a/c) = 2∙N∙mc²/a, Или[172]. ДАВЛЕНИЕ = СИЛА/bd = 2Nmc²/abd = 2mc²/ОБЪЕМ. Сравним это с экспериментом. Тогда. 2∙(ЭНЕРГИЯ)/ОБЪЕМ = 2∙Мс²/ОБЪЕМ. Т. е. энергия пучка света равна Мс², или M = E/с². Таким образом, излучение, подобно потоку шариков, обладает массой, равной E/с². Это не строгое доказательство, а некое возможное истолкование экспериментальных следствий. Гораздо лучший вывод дан в конце гл. 31. Формула E = mc² напоминает выражение E = ¹/₂ Mv². Поскольку мы имеем дело с излучением, то v должно замениться на с. Но куда делась ¹/₂? Причина в том, что формула ¹/₂ Mv² дает неточное выражение для кинетической энергии. Оно справедливо для обычных скоростей, а для больших скоростей, близких к с, теория относительности дает другое выражение, о котором будет сказано в следующем разделе[173]. Излучение имеет массу Е/с²? При испускании излучения источник испытывает отдачу и мы заключаем, что он теряет массу Е/с². При поглощении излучения приемник должен приобретать дополнительную массу Е/с². Так что к излучению и его взаимодействию с веществом применим закон Е = М∙с². А можно ли его обобщить и всем формам энергии приписать массу Е/с²? Теория относительности отвечает утвердительно. 2) Теория относительности. Стремление увязать воедино серию экспериментальных парадоксов, касающихся абсолютного пространства и времени, породило теорию относительности. Два сорта экспериментов со светом давали противоречивые результаты, а опыты с электричеством еще больше обострили этот конфликт. Тогда Эйнштейн предложил изменить простые геометрические правила сложения векторов. Это изменение и составляет сущность его «специальной теории относительности». Более детальному обсуждению ее посвящена гл. 31. Теперь же мы примем эйнштейновскую схему обращения с длинами, временем, скоростями и другими векторами. После этого конфликты исчезнут, а экспериментальные результаты и общие законы уложатся в единую схему. Для малых скоростей (от медлительной улитки до быстрейшей из ракет) новая теория согласуется со старой: кинетическая энергия равна ¹/₂ Mv², а вещество сохраняет постоянную массу независимо от того, движется оно или нет. При высоких скоростях, сравнимых со скоростью света, наше измерение длин или времени модифицируется движением тела относительно наблюдателя, в частности масса тела становится тем больше, чем быстрее оно движется. Эйнштейн показал, что для тела, движущегося мимо нас со скоростью v, вместо правила m = const, нужно пользоваться формулой m = (постоянная)/√(1 — (v²/c²)), где с — скорость света. Входящую сюда постоянную мы называем «массой покоя» тела, m₀. После этого эйнштейновская формула принимает вид m = m₀/√(1 — (v²/c²)). Теория электричества уже использовала этот закон для «массы» движущихся электрических зарядов, а эксперименты с электронами высоких скоростей подтвердили его. Затем теория относительности провозгласила, что это увеличение массы носит совершенно общий характер. При обычных скоростях никаких изменений нет и только при скорости 100 000 000 км/час масса возрастает на 1 %. Однако для электронов и протонов, вылетающих из радиоактивных атомов или современных ускорителей, оно достигает 10, 100, 1000 %…. Опыты с такими высокоэнергетическими частицами великолепно подтверждают соотношение между массой и скоростью. Любая обычная скорость настолько мала по сравнению с с, что отношение v/c будет очень мало, а v²/c² — и того меньше. Следовательно, √(1 — (v²/c²)) практически равно единице. При малых скоростях масса оказывается постоянной, m = m₀/1. Затем, приняв ньютоновское определение силы F = Δ(mv)/Δt и измеряя работу произведением F∙Δs, Эйнштейн показал, что кинетическая энергия любого движущегося тела равна (m — m₀)∙с². Поскольку (m — m₀) — это приращение массы вследствие движения, то E_кин = (приращение массы)∙с². Это и есть соотношение Е =mc² для кинетической энергии и ее массы. Добавляя сюда постоянный запас энергии, заключенный в массе, m₀с², Эйнштейн нашел, что. ПОЛНАЯ ЭНЕРГИЯ = (m — m₀)∙с² + m₀с² = mс². (Более детально эти вопросы будут обсуждаться в гл. 31, но даже там мы не дадим вывода, ибо он требует высшей математики.). Формула E_кин = (m — m₀)∙с² выглядит совсем по-другому, чем E_кин = ¹/₂ mv². Они действительно отличаются, как и должно быть. Но посмотрите на эту величину при малых скоростях. Предположим, что v мало по сравнению с с, так что и v²/c² мало по сравнению с единицей. Затем, пользуясь теоремой о биноме (см. гл. 22, примечание на стр. 239), получаем. Т. е. старое выражение для кинетической энергии. Вот как работает хорошая теория, воспроизводя в предельном случае старый результат и указывая на его ограничение — малые скорости. Мы говорим, что дополнительная масса движущегося тела — это масса[174] его кинетической энергии. Тело с массой покоя тО при любой скорости обладает массой m₀ + (E_кин/c²), как это нетрудно увидеть из вида кинетической энергии в теории относительности. При малых скоростях биномиальное приближение дает. M = m₀ + (¹/₂mv²/c²) = m₀ + E_кин/c². На другом краю находится излучение, не имеющее массы покоя (m₀ = 0). Это не вещество и его нельзя удержать в покое, оно просто имеет массу m и движется со скоростью с, так что его энергия равна mс². О порциях энергии, или квантах, мы говорим как о фотонах, когда хотим отметить поведение света как потока частиц. Каждый фотон имеет определенную массу m, определенную энергию Е = mc² и количество движения (импульс) mс. 3) Ядерные превращения. В некоторых экспериментах с ядрами массы атомов после бурных взрывов, складываясь, не дают ту же самую полную массу. Освобожденная энергия уносит с собой и какую-то часть массы; кажется, что недостающая часть атомного материала исчезла. Однако если мы припишем измеренной энергии массу Е/с², то обнаружим, что масса сохраняется. 4) Аннигиляция вещества. Мы привыкли думать о массе как о неизбежном свойстве материи, поэтому переход массы из вещества в излучение — от лампы к улетающему лучу света — выглядит почти как уничтожение вещества. Еще один шаг — и мы с удивлением обнаружим то, что происходи: на самом деле положительный и отрицательный электроны, частички вещества, соединившись вместе, полностью превращаются в излучение. Масса их вещества превращается в равную ей массу излучения. Это случай исчезновения вещества в самом буквальном смысле. Как в фокусе, во вспышке света. Измерения показывают, что (энергия излучения при аннигиляции)/с² равна полной массе обоих электронов — положительного и отрицательного. Антипротон, соединяясь с протоном, аннигилирует, обычно с выбросом более легких частиц с большой кинетической энергией. 5) Создание вещества. Сейчас, когда мы научились распоряжаться высокоэнергетическим излучением (сверхкоротковолновыми рентгеновскими лучами), мы можем приготовить из излучения частицы вещества. Если такими лучами бомбардировать мишень, они дают иногда пару частиц, например положительный и отрицательный электроны. И если снова воспользоваться формулой m = Е/с² как для излучения, так и для кинетической энергии, то масса будет сохраняться.

Сохранение вещества и энергии.

Итак, мы ожидаем, что когда вещество теряет или приобретает энергию, даже если оно полностью исчезает или целиком создается, масса, с учетом массы излучения и других форм энергии, будет сохраняться. Хотя утверждение «вещество — это замороженная энергия» выглядит по-газетному наивно, теперь мы все же думаем, что так оно и выходит, что масса как комбинированное свойство вещества и энергии есть универсальная сохраняющаяся величина.

Мы имеем экспериментальное подтверждение этого для нескольких видов энергии: ядерной, излучения, обычной кинетической… и нет причин сомневаться в этом общем правиле. Если угодно, мы можем соединить законы сохранения массы и энергии в один Великий Закон Сохранения массы вещества + массы энергии.

Энергия, заключенная в веществе.

Поскольку переходы между веществом и энергией все же существуют, мы можем рассматривать массу всего вещества как массу некой «внутренней энергии». Однако в обычных случаях этот запас недоступен. Капелька его выделяется при радиоактивных превращениях, чуть побольше — при делении и синтезе ядер и, насколько нам сейчас известно, только при аннигиляции пар (электронов и других частиц со своими античастицами) выделяется большая доля массы.

Другие формы энергии?

Какие же еще существуют формы энергии? Обычно ученые отвечают на это довольно странно: «Ну, а какие еще формы вам необходимы?» Необходимы? Для чего? Когда в прошлом мы открывали новые формы энергии, то вскоре обнаруживалось, что они укладываются в общую схему и подчиняются одному великому бухгалтерскому правилу: сумма всех сортов энергии остается постоянной, или энергия никогда не создается и не уничтожается, она только переходит из одной формы в другую. В современной науке эта схема оказалась настолько полезной, что, развались она, мы бы почувствовали себя несчастными и остались бы «беспризорными». Если мы действительно обнаружим изменение энергии, которая не входит в наш теперешний список форм энергии, если мы обнаружим, что энергия исчезает или появляется из ничего, то попробуем придумать новый вид энергии, который учел бы эту разницу. Выглядит это не очень честно и напоминает банкира, выдумавшего клиента, чтобы сбалансировать свои счета! Так оно и было бы, если бы мы не публиковали открыто и честно свои предположения и не помнили, что сделали их. Но все же это рискованно. Оглядываясь на историю развития наших представлений об энергии, можно сказать, что прежде мы шли на такой риск и он великолепно оправдывался. Всего лишь столетие назад мысль о том, что теплота — это форма энергии, казалась странной. Многие ученые соглашались с ней, а другие говорили об этом как о культе. Мысль о том, что в атомном ядре заключена энергия, была порождена радиоактивностью примерно полвека назад, но полное подтверждение пришло лишь в последние годы.

Нейтрон — этот важнейший элемент атомных реакторов — был обнаружен вследствие недостачи в энергетическом балансе. Вера в законы сохранения энергии и импульса в атомных соударениях (вопреки очевидному нарушению) привела к убеждению, что существует невидимая частица, которая вскоре была названа нейтроном. А раз додумались до этого, то нетрудно было и открыть эту частицу экспериментально. Затем вопрос о сохранении энергии возник в другой области ядерных превращений. Некоторые радиоактивные ядра испускали электроны (β-лучи), но при одинаковых конечных продуктах электроны из атомов вылетали с различной скоростью. Их кинетическая энергия изменялась от нуля до некоего характерного максимума. Таким образом, из учета выпадало большое и переменное количество энергии, а заодно исчезало и некое количество движения и момента количества движения. Тогда физики изобрели самую маленькую частичку из всего атомного арсенала — нейтрино. Она не имеет заряда, как полагают, и не имеет массы покоя; она может вылетать из атома невидимой, почти неуловимой, унося в точности нужную (!) кинетическую энергию и момент количества движения, так чтобы счет был сбалансирован. Бессовестная выдумка? Вряд ли бессовестная, но, конечно, рискованная, а может и неумная. В худшем случае, это похоже на казначейство, выпускающее лишние деньги. Но в благоприятном случае это может привести к новым экспериментам и расширению наших знаний. Тем не менее вся эта готовность придумать «божественную» (!) форму энергии должна казаться возмутительной. На банковском языке она напоминает таинственную графу в счетах «плата за доброжелательность» или непредвиденного «божественного» клиента. И хотя это случается, все же не происходит краха банка и банкир сохраняет доброе имя. Нейтрино на самом деле оказалось подлинным клиентом в нашем банке. На протяжении многих лет, оставаясь неуловимым, оно продолжало исправно балансировать наши счета. А в последнее время было получено прямое экспериментальное доказательство существования нейтрино.

С такими неразвеянными сомнениями мы вернемся к ключевому вопросу: «Является ли энергия чисто экспериментальным объектам, а ее сохранение целиком основано на эксперименте или это схема, о которой мы мечтаем и о которой условились и стараемся поддержать ее?» В ограниченной области механической энергии можно считать, что сохранение гарантировано законами Ньютона и векторным характером сил. И, конечно, вы с уверенностью будете считать закон сохранения энергии гарантированным и хорошо обоснованным экспериментально, после того как познакомитесь с работами прошлого века по теплоте как форме энергии (см. гл. 29). Будь общий закон сохранения энергии плодом недомыслия или воображения, ошибка выявилась бы еще много лет назад.

Однако сейчас вы можете рассматривать закон сохранения энергии в наиболее общем виде как нечто большее, нежели обобщение эксперимента. Он превратился в соглашение; в самосогласованной схеме энергия определяется так, что ее полная величина просто по определению должна оставаться постоянной.

Если вы разочарованы, прочитайте следующее замечание Пуанкаре, одного из крупнейших физиков-теоретиков[175].

«Так как мы не в силах дать общего определения энергии, принцип сохранения ее попросту означает, что существует нечто, остающееся постоянным. Поэтому, к каким бы новым представлениям о мире ни привели нас будущие эксперименты, мы заранее знаем: в них будет нечто остающееся постоянным, что можно назвать энергией».

Задача 5. Вывод формулы. Используя определение ускорения и т. д., выведите выражение для кинетической энергии F∙s = Δ(mv²/2). (Покажите, что v² = v²₀ + 2as, и выведите отсюда требуемый результат.). Задача 6. Закон сохранения энергии. На бетонном тротуаре лежит мешок с песком в 100 кг. Рабочий поднял его на крышу здания на высоту 20 м, потом отпустил, мешок свободно упал на тротуар. А) Сколько химической энергии человека превратилось в потенциальную энергию земного притяжения? Выразите ее в джоулях. Б) В тот момент, когда человек отпустил мешок, 1) какой кинетической энергией обладал мешок? 2) каким был запас потенциальной энергии мешка, если уровень тротуара принять за нулевой? В) Когда мешок, падая из состояния покоя, пролетел 1 сек, то — 1) как низко он успел упасть? 2) какова его скорость? 3) какова его кинетическая энергия? 4) какова его потенциальная энергия? (Уровень тротуара принять за нулевой.). 5) пакова сумма кинетической и потенциальной энергии? Г) Когда мешок, падая из состояния покоя, пролетел 2 сек, ответы на вопросы 1 и 5 пункта (в) могут быть другими. Дайте ответ на каждый из них. Д) То же для случая 3 сек. Задача 7. Превращение энергии. В каждом из перечисленных в п. (а)-(m) событий энергия переходит из одной формы в другую. Найдите эти две формы. (Там, где встречается важная промежуточная форма, приведите и ее.) Виды энергии и предлагаемые обозначения даны в табл. 2 на стр. 410. (Примечание. Полученная из пищи энергия животных — это химическая энергия.). Пример. Быстро летящая пуля ударяется о стенку и останавливается. Ответ. Е_кин —> Е_тепл. А) Человек поднимает с пола камень и кладет его на полку. Б) Камень столкнули с полки, и он падает (но еще не упал на пол). В) Быстро падающий камень ударяется о землю. Г) Человек кидает камень в горизонтальном направлении. Д) Камень, брошенный по полу, останавливается. О) Порох в патроне взрывается, образуя сильно сжатый горячий газ. Ж) Этот газ толкает пулю по стволу ружья. З) Мальчик берет волчок и запускает его. И) Волчок остановился. К) Аккумулятор в автомобиле раскаляет прикуриватель. Л) Падающая вода на гидроэлектростанции зарядила аккумулятор машины (с помощью генератора[176]), М) Быстрое течение реки заряжает аккумулятор машины (с помощью турбины и генератора). Н) Аккумулятор машины заряжает конденсатор (который затем может дать искру). О) В горячей печи имеется глазок, из которого пышет жаром. П) Огромный вес, падая, заставляет работать радиоустановку (при помощи блоков, шестерен, генератора, радиоламп и т. д.), которая передает какие-то сигналы. Р) Солнце обогревает жилище. С) Солнце способствует росту растения. Т) Атомы радия излучают быстрые ядра гелия (альфа-частицы). Задача 8. Человек тянет ящик массой 30 кг по шероховатому полу, прилагая горизонтальное усилие 100 ньютон. Ящик движется с постоянной скоростью 3 м/сек. А) Каково ускорение ящика? Б) Какова действующая на него результирующая сила? В) Каково, следовательно, должно быть сопротивление пола движению ящика? Г) Увеличивает ли ящик свою кинетическую энергию в процессе движения? Д) Сколько энергии затрачивает человек на ящик в течение 10 сек? Е) Куда уходит энергия, затрачиваемая человеком? Задача 9. Человек тянет ящик массой 80 кг по не очень шероховатому полу с силой 100 ньютон. Пол сопротивляется с силой 40 ньютон. Ящик вначале покоился. Пользуясь абсолютными единицами силы, найдите: А) Ускорение ящика. Б) Насколько он продвинется за 3 сек? В) Какую энергию затратит человек на ящик за эти 3 сек? Г) Сколько из этой энергии передается шероховатой поверхности пола и в какой форме? Д) Сколько энергии остается сверх этого в виде прироста кинетической энергии? [Найдите это вычитанием результата (г) из ответа на вопрос (в).] Е) Вычислите скорость ящика спустя 3 сек. Воспользуйтесь соотношением Е_кин = ¹/₂ mv² и найдите ее увеличение. Ж) Согласуются ли (е) и (д)? (Если же нет…?). Задача 10. Пусть дана наклонная плоскость без трения с уклоном 3 м на каждые 5 м по плоскости (или на каждые 4 м по основанию). На наклонной плоскости покоится ящик массой 40 кг.

Фиг. 62. К задаче 10.

А) Если ящик удерживается веревкой, параллельной наклонной плоскости, то каково ее натяжение? (см. гл. 3). Б) Предположим теперь, что человек на верхнем конце плоскости тащит ящик за веревку и вытягивает 10 м веревки без увеличения скорости ящика. Накую он затрачивает энергию? В) Допустим, что человек отпустил веревку и ящик скатывается на 10 м по плоскости. При тех же предположениях вычислите ускорение ящика, а отсюда конечную скорость и увеличение кинетической энергии. Г) Пусть вместо втаскивания ящика по плоскости человек сначала поднял его вертикально на тот же уровень, затем без трения переместил по горизонтали на вершину плоскости (с помощью призрака Галилея!). Сколько энергии затратит он при таком подъеме ящика? Задача 11. Энергия пули. Пуля массой 0,002 кг, двигаясь со скоростью 300 м/сек, попадает в кусок дерева массой 1,998 кг, покоящийся на идеально гладкой (без трения) поверхности стола. Пуля врезается в дерево (оно, весьма предусмотрительно, имеет нужную массу), и вся система медленно движется по столу. Вычислите: А) Скорость системы после соударения (предполагая, как всегда, сохранение количества движения). Б) Кинетическую энергию пули до соударения. В) Кинетическую энергию системы после соударения. Г) Потерю кинетической энергии в ходе соударения. Д) Какая доля (в %) первоначальной кинетической энергии пули сохранилась в виде кинетической энергии системы? Е) Какая доля первоначальной кинетической энергии потеряна при соударении? Ж) В какую форму (предположительно) перешла кинетическая энергия? Задача 12. Вечный двигатель. Вечное движение (в смысле устройства, продолжающего движение без получения дополнительной энергии) вполне возможно. А) Приведите один-два примера почти вечного движения. Б) Почему в большинстве случаев вечное движение все-таки не осуществляется? Задача 13. Лыжный подъемник представляет собой петлю из троса, который перематывается мотором и втаскивает лыжников вверх по склону. Лыжный подъемник, приводимый в движение бензиновым мотором, втаскивает на гору лыжника, затем лыжник скатывается на лыжах по снегу, температура которого 6 °C. Проследите за переходами энергии на протяжении возможно большего числа стадий. Опишите требуемые формы энергий и (там, где это не очевидно) механизм перехода. Примечание. Когда машина движется или вращается с постоянной скоростью, у нее есть какая-то кинетическая энергия. Но она не увеличивается и не уменьшается и, следовательно, не входит в баланс энергий, о котором спрашивается в вопросах наподобие этого. Трос лыжного подъемника может передавать энергию деформации, но она просто поддерживает постоянную Кинетическую энергию. Энергия вращения машины также постоянна, поэтому она тоже не входит в баланс. Задача 14. Проследите в каждом из следующих случаев за переходами энергии вплоть до энергии Солнца: 1) уголь; 2) линия электропередачи от гидроэлектростанции. Задача 15. При полном сгорании 1 г животного жира дает 9,5 Кал (1 Кал = 1000 кал). Пусть ваш нормальный рацион составляет 4000 Кал/день, а вы сократили рацион питания (включая сладости) до ³/₄ нормального, но продолжаете прежнюю физическую деятельность. Сколько килограммов вы потеряете за месяц? Задача 16. А) Свинцовая пуля массой 0,010 кг, летящая со скоростью 300 м/сек, ударяется о массивную стенку и останавливается. Вычислите возрастание температуры пули при условии, что вся кинетическая энергия пули превратилась в теплоту и вся теплота осталась в пуле. Напомним, что. ТЕПЛОТА = (МАССА) ∙ Δ (ТЕМПЕРАТУРЫ)∙(УДЕЛЬНАЯ ТЕПЛОЕМКОСТЬ). Дает количество тепла в Кал, если масса взята в кг, а Δ (темп.) — в градусах (1 Кал = 1 ккал — 4300 дж[177]), удельная теплоемкость свинца равна 0,031). Б) Поясните, почему при вычислении возрастания температуря нет необходимости знать массу пули. Задача 17. Чтобы дать представление о величине 1 дж, на фиг. 63 показана установка. Туго натянутая струна пропущена черев два блока, образуя петлю. В одной точке к ней прикреплен груз М, а в другой — кольцо, так что, если потянуть за кольцо вниз, груз поднимается вверх. Ограничители дают грузу возможность подниматься только на 1 м. Какова должна быть масса М?

Фиг. 63. К задаче 17.

Задача 18. Тележка на «американских горах» массой 1000 кг начинает двигаться из состояния покоя в точке А по рельсам с вертикальным профилем (фиг. 64) и с пренебрежимо малым трением. Вычислите скорость ее в точке В.

Фиг. 64. К задаче 18.

Задача 19. Применение упругих соударений в ядерной физике. А) Предположим, что частица А с массой m и скоростью v испытывает лобовое соударение с покоящейся частицей В той же массы m. Соударение упругое, так что сохраняется количество движения (как обычно) и кинетическая энергия. После соударения частица А движется со скоростью v', а В — со скоростью w.

Фиг. 65. К задаче 19.

А) Напишите два уравнения, которые показывают, что соударение упругое; решив их, найдите, как движутся А и В после соударения (т. е. выразите v' и w через v). Б) Пусть А, как и выше, ударяется в покоящуюся частицу В, но масса В теперь равна 2m, т. е. вдвое больше массы А. Если это лобовое упругое соударение, то как будут двигаться А и В? В) Как после соударения будут двигаться А и В при тех же условиях, что и в вопросе (а), за исключением того, что масса В в Q раз больше массы А, т. е. массы их m и Q∙m? (фиг. 65). Г) Теперь вы получили «формулу», годную для применения в любом случае с данным отношением масс. Проверьте ее для случаев (а) и (б) (m, m m и m, 2m). (В этом достоинство формул. По серии измерений строится общая формула, которая сокращает время на расчета. Но плохо, когда формула используется без понимания, слепо заимствуется откуда-то. Это столь же опасно, как и лечение по чужому рецепту.). Д) Посмотрите по полученной в ответе на вопрос (в) формуле, что получится, если частица А во много раз массивнее частицы В, т. е. Q мало. Покажите, что шарик для гольфа должен отлететь от массивной клюшки со скоростью, почти вдвое большей скорости клюшки. (Если вы не согласны с этим выводом, попытайтесь сначала перейти к другому пределу — легкий шарик ударяется о массивную стенку.). Задача 20. Применение упругих соударений к ядерным реакторам. Воспользовавшись результатами задачи 19, ответьте на следующие вопросы: Частица А, двигаясь со скоростью v, испытывает упругое лобовое столкновение с частицей В. А) Какую долю первоначальной кинетической энергии теряет А, если. 1) А и В имеют равные массы mum? 2) В вдвое массивнее А? 3) Масса В очень мала по сравнению с А? 4) Масса В очень велика по сравнению с А? Б) В ядерных реакторах нейтроны замедляют, используя для этого редкие упругие соударения с ядрами некоторого вещества — «замедлителя», помещаемого с этой целью в реактор. По шкале, где ядро водорода имеет массу 1, ядро углерода имеет массу 12, алюминия — 23, свинца — 208, а электрон — 0,0005. Какое из веществ было бы лучшим замедлителем? Какое из них было бы на втором месте? Сам нейтрон по этой шкале имеет массу 1 («лучший» замедлитель на деле оказывается непригодным, ибо он поглощает нейтроны, так что мы должны предпочесть другое вещество. Конечно, не все соударения нейтронов лобовые, тем не менее это простое вычисление дает качественное указание). Задача 21. Математика — честный слуга. На одном из этапов вывода формулы в задаче 19 вы, по-видимому, сократили общий множитель w и получили простое уравнение с одним ответом. Каков «другой ответ» и что он означает? Задача 22. Важность скользящих соударений. Пусть частица А, летящая со скоростью v, сталкивается с покоящейся частицей В той же массы. Удар не лобовой, частица А улетает в одном направлении, а частица В — в другом (фиг. 66). Покажите, что если соударение упругое, а частицы А и В имеют равные массы, то их траектории после соударения должны образовать угол 90°. Поскольку количество движения — вектор, его сохранение можно представить в виде векторной диаграммы количества движения частиц до соударения и после соударения. Если кинетическая энергия сохраняется… Пифагора…).

Фиг. 66. К задаче 22.

Проверьте этот ответ на упругих шариках из стали или слоновой кости, подвешенных на длинных нитях. Это дает важный способ проверки равенства масс в ядерной физике. Мы можем фотографировать следы α-частиц (из радия) в камере Вильсона. Иногда (весьма редко) α-частицы сталкиваются с ядрами и их следы, образуют вилку наподобие буквы Y. Альфа-частицы — это ядра гелия, поэтому полученный выше результат, предсказывает при соударении их с ядрами гелия прямой угол между следами на развилке. Фотографии следов в камере Вильсона, содержащей гелий (атомы его движутся слишком медленно и не портят предположений), дают в точности 90° на развилке. Задача 23. Излучение: хороший пример из теоретической физики. (Это очень длинная задача, но она содержит важный анализ излучения. Вероятно, будет полезнее, если вы самостоятельно ответите на вопросы, нежели просто прочтете соответствующий текст и готовые ответы.). Некоторые общие свойства излучения предсказываются при помощи нехитрых теоретических рассуждений, опирающихся на общие понятия теплоты и температуры. Дополните изложенные ниже рассуждения, и вы получите эти свойства. Вообразите большой, хорошо изолированный сосуд, поддерживаемый при постоянной температуре, возможно очень высокой, так что его стенки раскалены добела; сосуд заполнен излучением, которое мечется туда и сюда между стенками ящика. Внутри сосуда создан вакуум, так что никакой теплопроводности и конвенции нет и теплота поступает к любым предметам в сосуде только в виде излучения. Опыт показывает, что если в такой сосуд поместить несколько предметов с различной температурой, то постепенно их температура сравняется с температурой стенок, даже если эти предметы различны по размерам, форме, материалу и поверхности. Рассмотрите следующие случаи и угадайте некоторые свойства излучения. 1) Предположим, что в сосуд помещен небольшой диск В. На него попадает излучение от стенок и других предметов в сосуде. Часть падающего излучения поглощается диском, а остальное отражается (и пропускается диском, если он прозрачный). Поглощенное излучение превращается в теплоту, которая стремится нагреть диск. Но отраженная (и пропущенная) часть излучения не дает теплоты, — она уносит свою энергию. В то же время диск сам испускает излучение и поток этого излучения зависит только от размеров, поверхности и температуры диска и не зависит от его окружения. Здесь делается очень важное предположение, что нагретое тело испускает излучение совершенно независимо от поглощения. А) После того как диск достиг окончательной температуры, он не нагревается и не охлаждается; каковы должны быть скорости поглощения излучения и его испускания по сравнению друг с другом? (Примечание. Просто потому, что температура перестала расти, эти две скорости не будут равны нулю. Диск по-прежнему в полной мере поглощает излучение и обильно испускает его.). Б) Предположим, что вначале, когда диск поместили в сосуд, он был холоднее самого сосуда. Почему диск нагревается и в конце концов приобретает конечную температуру? В) Если же вначале диск был горячее сосуда, то почему он потом остывает и приобретает свою конечную температуру? Г) Какое заключение (качественное) можно сделать из (б) и (в) относительно излучения и температуры? 2) Пусть теперь диск помещается попеременно в нескольких разных местах внутри сосуда, чтобы в каждом из этих мест диск приобретал со временем каждый раз достаточно постоянную температуру. Опыт показывает, что диск приобретет одинаковую температуру — температуру стенок сосуда независимо от того, куда он помещен. А) Поскольку диск находится при одной и той же температуре, куда бы его ни перемещали, испускаемое им количество излучения остается…? Б) Что теперь вы можете сказать об интенсивности излучения в любом направлении и в любой части сосуда, которое попадает на диск? 3) Предположим теперь, что в сосуд помещены три диска А, В и С одинакового размера, но сделанные из разных материалов. А — имеет блестящую металлическую поверхность (почти идеальное зеркало), В — имеет черную поверхность (почти идеальный поглотитель), С — прозрачный (стекло). А) Ответ на вопрос 2 говорит, что количество излучения, падающее на три разных диска А, В и С, должно быть…? Б) Большая часть излучения, падающего на прозрачный диск, проходит сквозь него. Что происходит с большей частью излучения, падающего на диски А и В? В) Что происходит с остальной частью излучения, падающего на диски А, В и С? 4) Эти три диска, хотя и поглощают излучение, не становятся горячее, и их температура, благодаря тому что они испускают излучение, остается постоянной. Скорости поглощения излучения дисками различны, но нагреваются они все до одной и той же температуры. Что можно сказать на основании ваших прежних ответов об относительном количестве излучения, испускаемого этими тремя дисками? 5) Какое из этого следует общее свойство относительно испускания и поглощения поверхностями разного рода? 6) Согласуется ли с этим вашим заключением какой-либо лабораторный эксперимент? Если «да», то кратко опишите его. 7) Опишите коротко рассуждения, которые привели вас к выводу общего свойства. «Предположим, что различные тела (черное, зеркальное и прозрачное) в наполненной излучением печи достигают одинаковой температуры независимо от того, куда они помещены. Мы, приходим к выводу, что…» (продолжайте дальше сами). 8) «Невидимки» в печи. Предположим, что вы можете заглянуть через глазок внутрь горячей печи и рассматривать раскаленные стены и помещенные туда предметы А, В и С. Вы увидите пышущие жаром стены, на фоне которых совершенно невозможно различить А, В и С (Именно с этим сталкиваются инженеры. Когда они смотрят в печь, то не могут различить предметы, находящиеся внутри нее. Вы можете убедиться в этом, заглянув в ярко горящую печь — контуры горящего угля или полена исчезают в общем жару.). А) Объясните эту неразличимость на основе всего сказанного выше. Б) Поясните ваши рассуждения.

Глава 27. Измерение количества тепла и температуры.

С точки зрения поэта: «О, ты, огонь, благословенный Богом, Хвалу Ему воздай и славу на века». С точки зрения ученого: «…если вы можете измерить и выразить в числах то, о чем говорите, — вы знаете это; но если вы не можете измерить, если не можете выразить числами, — ваши знания скудны и недостаточны. Они могут быть началом науки, но едва ли одной лишь силой вашей мысли превратятся в ее фундамент». Лорд Кельвин, «Популярные лекции и речи», 1891 г.

Эта глава предназначена для самостоятельного изучения без помощи преподавателя. Как и ученому, вам следует знать, как измеряется теплота и температура. Если же вас интересует смысл науки, то вы убедитесь, что простые измерения порождают глубокие вопросы.

Мы опускаем здесь технические детали калориметрии и не приводим обычных лабораторных упражнений, чтобы уделить больше времени более существенным вопросам.

В первой части настоящей главы описаны примитивные опыты по измерению количества тепла, которые вам следует самим проделать в лаборатории. Вторая часть посвящена температуре от простых описаний и до обсуждения глубокого смысла этого понятия. Познакомьтесь с ним, насколько у вас хватит духу.

I. ТЕПЛОТА.

Теплота и температура. Поставьте на огонь кастрюльку с водой и понаблюдайте за ее температурой. Пламя отдает тепло кастрюльке и ее содержимому и повышает их температуру. Кастрюлю больших размеров с бóльшим количеством воды нужно греть дольше и сжечь больше топлива, чтобы добиться такого же повышения температуры. Мы говорим большее количество тепла. В обыденном разговоре слово «тепло» звучит как синоним температуры, но в науке эти слова означают совершенно разные вещи[178]. Теплом мы называем ту «субстанцию», которая делает предметы горячее. Температура же только показывает, насколько горяч предмет или каков его «уровень теплоты».

Описание температуры и количества тепла.

Температура — это «степень нагретости» по определенной шкале. Градуировку термометра мы производим, исходя из нашего представления о тепле и холоде. Чтобы один термометр согласовался с другим, мы приписываем двум стандартным уровням «нагретости» — таящему льду и бурлящему кипятку — два числа: 0 и 100, и делим промежуток на сто равных долей[179]. О смысле измерения температуры мы будем говорить позднее, а сейчас рассмотрим термометры, как нечто само собой разумеющееся, наподобие секундомера. Они говорят нам о степени нагретости данного предмета. Эту степень нагретости они характеризуют по определенной шкале, и их показания мы называем «температурой».

Теплота — это то, что делает предметы горячее, расплавляет твердые вещества или испаряет жидкости. Когда мы нагреваем железный стержень или сосуд с водой на пламени или на электроплитке, то можем представить себе, что в предметы «вливается» некоторое количество тепла в виде невидимой и невесомой субстанции, которая делает их горячее. Чем больше количество железа или воды, тем больше требуется теплоты. Эта теплота возникает из горящего топлива, и чтобы нагреть 2 л воды до желаемой температуры, его требуется вдвое больше, чем для 1 л, а 5 л требуют в 5 раз больше топлива, чем 1 л. Дополнительное повышение температуры также требует затрат большего количества топлива.

Мы считаем, что если такое-то количество тепла нагревает предмет от 10 до 20°, то это же количество тепла нагреет его и от 20 до 30°.

В большинстве случаев эксперименты подтверждают это. Если «массу» таинственной тепловой субстанции измерить по количеству топлива, то если.

ТЕПЛОТА ~ РАСХОД ТОПЛИВА,

Имеем.

ТЕПЛОТА ~ МАССА НАГРЕВАЕМОГО МАТЕРИАЛА,

ТЕПЛОТА ~ ПОВЫШЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ МАТЕРИАЛА.

Первые опыты, проведенные около двухсот лет назад, не учитывали расхода топлива, но привели к тем же результатам, хотя теплота рассматривалась как некая невидимая субстанция и в опытах изучался ее переход от горячего тела к холодному. Мы тоже начнем с подобных опытов.

Поиски подходящего способа измерения теплоты.

Опыт 1. Нагревание воды. (Попытайтесь сделать это в лаборатории. Если не удастся, то посмотрите демонстрационный опыт.) Нагрейте немного воду в металлическом или стеклянном сосуде. Наперсток спирта, сгорающий в металлической чашечке, создаст стандартную «порцию» тепла, одну и ту же во всех опытах[180]. 1) Сообщите вашу «порцию» тепла 1 кг воды и замерьте повышение температуры. 2) Сообщите одну «порцию» 0,5 кг воды. Пламя едва ли «догадывается», сколько оно греет воды — 1 кг или 0,5 кг. Мы пытаемся рассматривать теплоту как некую невидимую субстанцию, проникающую в воду, и найти способ или схему измерения количества тепла, выделенного одной «порцией».

Фиг. 67. Опыт 1.

_{А — горелка; б — защита горелки и подставка для кастрюли; в — схема опыта.}

Правильный способ должен дать одинаковый ответ для обоих опытов. Разберите теперь три возможные схемы:

А) Повышение температуры. Допустима что повышение температуры — это единственная мера количества тепла. Удовлетворяет ли оно нашему требованию: одинаково ли оно для обоих приведенных опытов? Нет.

Б) Количество нагреваемой воды тоже важно, так как в случае большего количества воды повышение температуры будет меньше. Попытайтесь сложить повышение температуры с массой воды. Пусть вам удалось найти формулу вроде.

Δ ТЕМПЕРАТУРЫ ∙ 43 + МАССА ВОДЫ.

Справедлива ли эта формула для другой массы, скажем 2 кг?

В) Попытайтесь умножить массу воды на повышение температуры. Не придирайтесь к точности расчетов — они, конечно, очень грубы. Тепло легко утекает из любого прибора. В большинстве опытов экспериментаторы ведут отчаянную борьбу с потерями тепла в воздух и т. д., так что и в демонстрационном опыте и в вашем собственном вы можете рассчитывать лишь на грубое согласие.

Разнообразие экспериментов до нагреву успешно описывает предложенная выше схема (в), к тому же она согласуется с подходом к теплоте как энергии. Так что давайте примем ее и сформулируем правило.

Правило. Для измерения количества тепла назрейте им воду и помножьте.

МАССА ВОДЫ ∙ ПОВЫШЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ.

Единицы количества тепла.

Если масса воды измеряется в килограммах, а повышение температуры — в градусах Цельсия, то теплота получается в (кг воды)∙°С; мы называем эту единицу «килокалорией» («большой калорией»), или просто «Калорией» [181] (с большой буквы).

Итак, 1 килокалория — это количество тепла, необходимое для нагревания 1 кг воды на 1 °C. Если мы используем эти единицы теплоты, то наше правило кажется разумным. Например, «Сколько теплоты требуется для нагревания 3 кг воды на 5 °C?» Нагревание каждого килограмма на 1 °C требует 1 Кал (по определению). Нагревание 1 кг на 5 °C требует 5 Кал. Нагревание же 3 кг на 5 °C требует в 3 раза больше, или 3x5=15 Кал. Итак, нагревание 3 кг на 5 °C требует 15 «единиц», каждая из которых нагревает 1 кг на 1 °C, или 15 Кал.

В общем случае нагревание М кг воды на Δt градусов требует М∙Δt Кал. Это рассуждение молчаливо предполагает аддитивность теплоты, или количества топлива.

В качестве стандартного вещества, которому при измерении сообщается теплота, выбрана вода, так как она доступна и легко перемешивается. Чтобы выяснить, не ограничено ли наше правило только водой, повторим опыты с 1 кг другого вещества, скажем алюминия или глицерина. Умножение повышения температуры на массу материала, как и в случае воды, дает завышенный результат (для алюминия ответ получается больше в 5 раз). Чтобы добиться того же эффекта теплоты с другим веществом, мы должны, как и для воды, сначала перемножить массу и повышение температуры, а затем помножить это на особое, характерное для данного вещества число (для алюминия около 0,2), называемое удельной теплоемкостью. Удельная теплоемкость — очень полезная характеристика при тепловых расчетах, но мы не будем рассматривать ее здесь подробно[182]).

ДЕМОНСТРАЦИОННЫЕ ОПЫТЫ.

Опыт 2. Смешивание горячей и холодной воды. Проверим наше правило измерения теплоты в опыте с горячей и холодной водой — одним из первых опытов, которые привели к созданию методов измерения теплоты, или калориметрии. Нальем 0,3 кг холодной воды в один сосуд и 0,4 кг горячей воды в другой большой тонкостенный[183] сосуд. Тщательно перемешаем и измерим их температуры. Быстро выльем холодную воду в горячую, перемешаем и измерим окончательную температуру. В окончательной смеси холодная и теплая вода перемешались, но мы знаем, что их конечная температура — это температура 0.7 кг воды. Если теплота не исчезает, то следует ожидать, что горячая теряет, а холодная вода приобретает равные количества теплоты (со скидкой на потери теплоты). Вычислим повышение температуры холодной воды и понижение температуры горячей. Равны ли они? Конечно, нет, ибо температура сама по себе не является мерой количества тепла. Попробуем воспользоваться произведением. МАССА ВОДЫ ∙ ИЗМЕНЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ. Произведения не будут точно равны и противоположны, но это самое простое и удовлетворительное правило, и можно найти оправдание тому, что оно не выполняется совершенно точно. Опыт 3. Измерение количества тепла. 1) Измерьте количество тепла, переданное кастрюле с водой при сжигании 1 см³ спирта. 2) Измерьте количество тепла, переданное кастрюле с водой бунзеновской горелкой за 1 мин работы. Это очень простые, грубые опыты, но они позволят почувствовать масштаб Калории. 3) Если угодно, повторите опыты с различными массами воды или различными периодами нагревания. В последнем случае найдите количество тепла, подведенное за 1 мин. 4) Сожгите 1 см³ спирта под большим куском алюминия. Допуская, что спирт передает одинаковое количество тепла как алюминию, так и кастрюле с водой, оцените удельную теплоемкость алюминия. Если хотите, исследуйте различные сорта пламени горелки: желтое, коптящее, спокойное, ревущее. Исследуйте также температуру разных сортов пламени, использовав в качестве грубого индикатора кусочек железной проволоки или сгоревшую спичку. В расчетах можно либо рассматривать воду как единственный объект полезного нагревания, либо учесть теплоту, отдаваемую кастрюле. В этом случае надо знать удельную теплоемкость материала, из которого она сделана.

Фиг. 68. Опыт 3.

Опыт 4 (факультативный). Оценка температуры пламени на основе калориметрии. Наряду с измерением теплоотдачи бунзеновской горелки оцените температуру ее пламени. Для этого поместите кусок железа, скажем большую железную гайку на железной проволоке, в пламя горелки. Когда гайка нагреется докрасна, бросьте ее в небольшую кружку с холодной водой (желательно с теплоизолирующим кожухом, чтобы ее можно было назвать «калориметром»). Тщательно измерьте начальную и конечную температуры. (Погружение гайки будет эффектной, но опасной операцией. Разумно сначала сделать грубые измерения, чтобы установить, сколько же нужно взять воды.).

Фиг. 69. Опыт 4.

Чтобы вычислить температуру пламени, познакомьтесь с задачей 1, а величину удельной теплоемкости железа возьмите из других опытов.

Задача 1. Оценка температуры пламени (аналогично опыту 4, в большем масштабе.). Кусок железа массой 2 кг нагрет в печи и брошен в ведро, содержащее 30 кг воды с температурой 15,0 °C. После перемешивания температура води стала 25,0 °C. Удельную теплоемкость железа в этой области температур примите равной 0,159. А) Вычислите количество тепла, полученного водой. Б) Теплота, потерянная железом, равна. МАССА ∙ УМЕНЬШЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ ∙ УДЕЛЬНАЯ ТЕПЛОЕМКОСТЬ. Подставьте в это выражение имеющиеся у вас данные. В) Предположим, что количество тепла, потерянного железом, равно количеству тепла, полученному водой. Вычислите изменение температуры, железа. Г) Какую температуру печи это дает, заниженную или завышенную. Почему? Д) Будет ли такой опыт, но в большом масштабе более точным или менее точным, чем опыт в малом масштабе? Дайте обоснование вашего ответа. (Рассмотрите внимательно потери тепла.). Опыт 5. Нагревание снега. (Если снега нет, то подойдет и измельченный лед.) Наполните снегом небольшую металлическую кружку. Положите в снег термометр и измерьте его температуру. Сообщите снегу некоторое количество тепла, сжигая под ним 1 см³ спирта[184]. Перемешивайте тающий снег до тех пор, пока показания термометра не начнут меняться. Запишите показание термометра. Сообщите затем кружке еще такое же количество тепла. Перемешайте содержимое кружки и измерьте температуру. Продолжайте делать так, пока вода не станет теплой пли пока она не закипит. Очень важен перерыв после каждого нагрева, чтобы эффективное перемешивание успевало выравнивать температуру содержимого. На ранних стадиях на это потребуется минута или даже больше, потом хватит нескольких секунд, а в конце времени почти не потребуется. Нарисуйте график зависимости температуры от количества тепла. Какое заключение можно сделать из этого графика. (Примечание. Можно надеяться на качественные и приближенные количественные выводы.).

Скрытая теплота.

Опыт с нагреванием снега (или демонстрация, заменяющая его) показывает, что теплота не всегда ведет к нагреванию, иногда она тратится на плавление или испарение, причем в таких случаях температура не меняется. Мы считаем, что тепловая энергия уходит на отрыв молекул от твердого кристалла или на пополнение кинетической энергии, унесенной быстрыми испарившимися молекулами. «Пропавшее» тепло мы называем скрытым.

Опыты показывают, что для того, чтобы растопить 1 кг льда без изменения температуры, требуется 80 Кал. А чтобы превратить в пар 1 кг воды при 100 °C, требуется 540 Кал. Список тепловых расходов для превращения в пар 1 кг льда, взятого первоначально при температуре, скажем, — 10 °C, выглядит следующим образом:

_{Нагревание льда до точки таяния (поскольку удельная теплоемкость льда = 0,5)… 5 Кал.}

_{Плавление льда при температуре 0 °C (превращение твердого тела в жидкость без изменения температуры)… 80 Кал.}

_{Нагревание растаявшего льда до точки кипения… 100 Кал.}

_{Выкипание воды при 100 °C (без изменения температуры)… 540 Кал.}

Обратите внимание, насколько трудно отрывать молекулы от жидкости и превращать ее в пар. Превращение льда в кипяток обходится в 185 Кал, а выкипание берет почти в 3 раза больше. При конденсации пара теплоты выделяется гораздо больше, чем при охлаждении горячей воды: ожог паром гораздо тяжелее, нежели крутим кипятком.

Задача 2. Теплота превращения воды в пар. Электрокипятильник, работая 2 мин, нагревает 10 кг воды в баке от 20,0 до 22,6 °C. Тот же кипятильник при том же потреблении энергии был опущен на 2 мин в термос с кипящей водой. После этого термос, который вначале весил 2,000 кг, стал весить 1,950 кг. А) Сколько теплоты выделил нагреватель за 2 мин? Б) Сколько воды выкипело? В) Оцените теплоту выкипания 1 кг воды[185]. Г) Каков, по-вашему, получится ответ на предыдущий вопрос — завышенный или заниженный? Почему?

Фиг. 70. К задаче 2.

Задача 3. Теплота конденсации пара. Бак содержит 5,00 кг воды при 18 °C. Из большого кипятильника в бак через трубу поступает горячий пар и нагревает воду до 30 °C. После этого в баке оказывается 5,10 кг воды. А) Какова масса сконденсировавшегося пара? Б) Сколько теплоты получили 5,00 кг воды? В) Предположим, что холодная вода приобрела теплоту от пара, который сконденсировался и охладился до 30 °C. Сколько теплоты выделит 1 кг пара при такой конденсации и охлаждении? Г) Сколько теплоты выделил бы 1 кг воды при охлаждении от 100 до 30 °C? Д) Оцените теплоту конденсации 1 кг пара без изменения температуры. Е) Будет ли эта ваша оценка завышена или занижена? (Рассмотрите две возможные причини: первая — потери тепла и вторая — капли воды, принесенные паром и включенные в вес пара, дают меньшее тепловыделение.). Задача 4. Теплота плавления льда. В большом куске льда выдолблено углубление и внутренность осушена губкой. Быстро нальем туда 2,0 кг воды, при температуре 50 °C. Вода перемешивается до тех пор, пока не охладится до 0 °C. Затем вся вода в углублении тщательно собирается и взвешивается. Ее вес равен 3,25 кг. Сколько теплоты пошло на то, чтобы лед растаял? Сколько ее требуется для того, чтобы растаял 1 кг льда?

Фиг. 71. К задаче 4.

Теплота и энергия.

Сжатие нагревает газ — сообщает ему теплоту, хотя, если вас спросят: «Что делает с молекулами движущийся поршень?», вы ответите: «Он просто заставляет их двигаться быстрее». Таким образом, теплота, по-видимому, связана с молекулярным движением в газе. Она появляется и в тех случаях, когда куют мягкий металл или трут друг о друга неровные поверхности. Во всех случаях теплоту можно приписать движению атомов и молекул. Тщательные измерения показывают, что механическая энергия и теплота взаимопревращаемы с фиксированным «обменным курсом». В результате мы приходим к выводу, что теплота — это одна из форм энергии. Исследованию теплоты и ее связи с другими формами энергии посвящена гл. 29.

II. ТЕМПЕРАТУРА.

Термометры и температура.

Вопрос «Что такое шкала температур?» — годится для любого физика — от студента до профессора. Полный ответ на него занял бы целую книгу и мог бы послужить хорошей иллюстрацией изменения взглядов и прогресса физики за последние четыре века.

Температура — это степень нагретости по определенной шкале. Для грубой оценки, без термометра, можно воспользоваться чувствительностью собственной кожи, но наши ощущения тепла и холода ограничены и ненадежны.

Опыт 6. Чувствительность кожи к теплу и холоду. Этот опыт весьма поучителен. Поставьте три тазика с водой: один с очень горячей, другой с умеренно теплой, а третий с очень холодной. Опустите минуты на 3 одну руку в горячий, а другую в холодный таз. Затем обе руки опустите в таз с теплой водой. Теперь спросите-ка каждую руку, что она «скажет» вам о температуре воды?

Фиг. 72. Что «скажут» руки?

Термометр точно говорит нам, насколько вещь горячее или холоднее; с его помощью можно сравнить степень нагретости разных предметов, пользуясь им вновь и вновь, мы можем сопоставить наблюдения, сделанные в разное время. Он снабжен определенной неизменной, воспроизводимой шкалой — характерной принадлежностью любого хорошего прибора. Способ изготовления термометра и сам прибор диктуют нам ту шкалу и систему измерений, которой мы должны пользоваться. Переход от грубых ощущений к прибору со шкалой — не просто усовершенствование нашего осязания. Мы изобретаем и вводим в употребление новое понятие — температуру. Наше грубое представление о горячем и холодном содержит в зародыше понятие температуры. Исследования показывают, что при нагревании многие из важнейших свойств вещей изменяются, и для изучения этих изменений нужны термометры. Повсеместное распространение термометров в обиходе отодвинуло на второй план смысл понятия температуры. Мы считаем, что термометр измеряет температуру нашего тела, воздуха или воды в ванне, хотя на самом деле он показывает лишь свою собственную температуру. Мы считаем изменения температура от 60 до 70° и от 40 до 50° одинаковыми. Однако никаких гарантий того, что они действительно одинаковы, у нас, по-видимому, нет. Нам остается считать их одинаковыми по определению Термометры все же полезны нам как верные слуги. Но действительно ли за их преданным «лицом» — шкалой скрыта Ее Сиятельство Температура. Простые термометры и шкала Цельсия. Температуру в термометрах показывает расширяющаяся при нагревании капелька жидкости (ртути или окрашенного спирта), помещенная в трубку с делениями. Чтобы шкала одного термометра совпадала с другой, мы берем две точки: таяние льда и кипение воды в стандартных условиях и приписываем им деления 0 и 100, а интервал между ними делим на 100 равных частей[186]. Итак, если по одному термометру температура воды в ванне равна 30°, то любой другой термометр (если он правильно проградуирован) покажет то же самое, даже если у него пузырек и трубка совсем другого размера. В первом термометре ртуть расширяется на 30/100 расширения от точки плавления до точки кипения. Разумно ожидать, что и в других термометрах ртуть будет расширяться в той же степени и они также покажут 30°. Здесь мы полагаемся на Универсальность Природы[187]. Предположим теперь, что мы взяли другую жидкость, например глицерин. Даст ли это ту же шкалу при прежних точках? Конечно, для согласования со ртутным глицериновый термометр должен иметь 0° при таянии льда и 100° — при кипении воды. Но будут ли показания термометров совпадать при промежуточных температурах? Оказывается нет когда ртутный термометр показывает 50,0 °C, глицериновый термометр показывает 47,6 °C. По сравнению со ртутным глицериновый термометр на первой половине пути между точкой таяния льда и точкой кипения воды немного отстает. (Можно сделать термометры, которые дадут еще большее расхождение. Например, термометр с парами воды показал бы 12° в точке, где по ртутному 50°!). Какую же шкалу считать правильной? Какой термометр показывает истинную температуру? Давайте пока уклонимся от ответа на столь острые вопросы и разберемся, какой из термометров более удобен — ртутный, глицериновый или спиртовой. Удобнее всего ртутный, и тому есть ряд причин. Ниже описаны 8 особенностей ртути. Ваша задача — объяснить достоинство каждой из них. Достоинства первой особенности очевидны, седьмой — далеко не очевидны, как и недостатки восьмой особенности. Однако когда вы догадаетесь, в чем дело, то сразу же почувствуете, что это именно так Ваше объяснение восьмой особенности можно проверить на ртутном термометре экспериментально.

Фиг. 73. Сравнение расширения ртути и глицерина при нагревании (кривизна сильно преувеличена).

_{А — расширение глицерина по сравнению со ртутью, б — расширение ртути по сравнению с глицерином. Расширение одной жидкости можно рассматривать как предмет исследования, а расширение другой использовать для измерения температуры, но что здесь что? Как правильно распределить их роли?}

Особенности ртути. Достоинства. 1) Непрозрачна. 2) Остается жидкой в широкой области температур. 3) Трудно испарима при обычных температурах. (Спирт легко испаряется в области «больших» температур и конденсируется в области «малых». Что будет со спиртовым термометром, если опустить в теплую воду лишь его шарик?). 4) Имеет большой краевой угол со стеклом. (Что произойдет со спиртовым термометром, если его быстро охладить?). 5) Легко получается в чистом виде. 6) Это металл и, подобно другим металлам, обладает хорошей..? 7) При одном и том же повышении температуры расширяется меньше большинства жидкостей. Недостатки. 8) Слишком плотная. Задача 5. В чем состоят достоинства 1–7 особенностей ртути и чему мешает особенность 8? В некоторых учебниках упоминается еще одно достоинство: ртуть расширяется равномерно. Это уже совсем ненаучное утверждение. Оно не то, что неверно само по себе, а просто бессмысленно. Догадаетесь ли, в чем здесь загвоздка? Рассмотрим опыт, который обычно ставится для проверки характера расширения. Опыт 7. Прибор, измеряющий расширение ртути А, помещается в сосуд с водой (фиг. 74); он состоит из стеклянного шарика со ртутью и проградуированной трубки, которая измеряет расширение, В — термометр, т. е. стеклянный шарик со ртутью и проградуированная трубка, которая показывает температуру.

Фиг. 74. Абракадабра.

Послушный студент нагревал воду в сосуде, тщательно перемешивал ее, делал ряд отсчетов, строил график зависимости расширения от температуры, и был удовлетворен, получив прямую линию. Ему следовало бы понять, что этот опыт не дает никакой информации о расширении ртути[188], кроме подтверждения общего убеждения в Универсальности Природы. Таким образом, мы не можем сказать, что одна жидкость дает «правильную» температурную шкалу, а другая — неправильную. Мы можем выбрать любую из жидкостей и объявить, что она, по соглашению, и будет давать стандартную шкалу. При этом, однако, мы не можем утверждать, что получили истинную шкалу температур — ведь то же справедливо и по отношению к любой другой жидкости. Но коль скоро нет «единственной» жидкости, то, может быть, нет и истинной температуры? На первый взгляд это обескураживает, но приводит к полезным выводам. Первый — практический, мы вправе остановиться на ртутном термометре. Он удобен в использованиях, его легко изготовить и измеряет он температуру в определенной шкале. С теоретической точки зрения мы выяснили, что температура, будучи нашим собственным изобретением, связана с прибором для ее измерения. Вновь и вновь мы приходим к тому, что понятия должны подразумевать способ их определения — к так называемому «операционному определению»; следует избегать романтичного представления о том, что в основе лежит некое свойство природы, которое просто выявляется при таком подходе. Сравните это с различием между пространными рассуждениями философов о Правосудии, верой простых людей в единственность Правосудия и практическим подходом юристов к определению Правосудия посредством законов и их соблюдения. Вам может казаться, что некоторые измерения в науке связаны с сущностью предметов и не нуждаются в операционном определении, но будьте осторожны. Возьмите, например, площадь. Мы хорошо знаем, что такое площадь. Но несмотря на это, когда мы пытаемся определить площадь, например 6 м², мы ловим себя на том, что начинаем рисовать сетку и считать квадратики или же, если вас предупредили, что это означает признание операционного определения понятий, вы начинаете говорить о том, сколько краски потребовалось бы для покрытия площади, но это также операционный подход, ибо кисть тоже инструмент. До сих пор нам очень хотелось найти истинную температуру или более общую, более изначальную, чем температура, основанная на произвольном выборе ртути. Нечто похожее дает нам газовый термометр. Газовый термометр измеряет температуру по расширению образца воздуха иди другого газа или же по увеличению давления в фиксированном объеме (закон Бойля гарантирует нам их эквивалентность). Чтобы уменьшить трудности, связанные с расширением стекла, в качестве стандарта используют газовый термометр, ибо расширение газа в 20 раз больше, чем ртути, и тем самым влияние стекла сводится к минимуму. Кроме того, газовый термометр удобен и с методической стороны, так как все газы ведут себя практически одинаково. Показания термометров с различными газами практически идеально согласуются. Отказавшись от ртути в пользу газов, мы чувствуем, что приблизились к истинной температуре, если вы еще сохранили веру в не[189]>. Газовый термометр. На фиг. 75, а изображен термометр, который измеряет расширение газа. Капля ртути запирает в капилляре с запаянным концом объем сухого воздуха. При измерении необходимо погружать в среду весь термометр. Перемещение капли ртути в капилляре показывает изменение объема газа; на капилляре нанесена шкала с отметками 0 и 100 для точек таяния льда и кипения воды, как и у ртутного термометра. Такой термометр не годится для очень точных измерений Мы хотим рассказать о газовом термометре, чтобы пояснить общую идею. Термометр такого типа показан на фиг. 75, б. Ртутный барометр АВ измеряет давление постоянного объема газа в баллоне С. Но вместо того чтобы отмечать высоту столба ртути в барометре в единицах давлении, мы наносим на нем отметку 0, когда баллон помещен в тающий лед, и 100, когда в кипящую воду, я строим по ним всю шкалу Цельсия. Пользуясь законом Бойля, можно показать, что шкала у термометра, показанного на фиг. 75, б, должна быть такой же, как и у термометра на фиг. 75, а.

Фиг. 75. Газовый термометр.

_{А — в качестве меры температуры используется объем образца, газа при атмосферном давлении, ртутная капля работает как поршень с ничтожным трением, удерживающий газ в узкой трубке, расстояние до закрытого конца служит мерой объема, а следовательно, и температуры; б — в качестве меры температуры используется давление газа (гелия), занимающего постоянный объем.}

Применение газового термометра. При градуировке газового термометра, показанного на фиг. 76, мы погружаем баллон в тающий лед и наносим на шкалу барометра отметку 0. Затем повторяем всю процедуру, заменив лед кипящей водой; получаем отметку 100. Пользуясь определенной таким образом шкалой, строим график зависимости давления от температуры. (Если угодно, давление можно выражать в единицах высоты столба ртути.) Затем через точки 0 и 100 проводим прямую линию и, если необходимо, продолжаем ее. Это будет прямая, определяющая температуру в газовой шкале и дающая стандартные значения 0 и 100 в точках таяния льда и кипения воды. Теперь газовый термометр позволит нам измерить температуру, если мы знаем давление газа в баллоне при этой температуре. Пунктирная линия на фиг. 76 показывает, как найти температуру воды, при которой давление газа составляет 0,6 м ртутного столба. После того как мы выбрали газовый термометр в качестве стандарта, можно сверить с ним ртутный и глицериновый. Так было обнаружено, что расширение большинства жидкостей в зависимости от температуры, измеренной газовым термометром, несколько нелинейно Показания термометров двух типов расходились между точками 0 и 100, согласие в которых получается по определению. Но ртуть, как это ни странно, дает почти прямую линию. Вот теперь можно сформулировать «достоинство» ртути: «По газовой шкале температур ртуть расширяется равномерно» Это' удивительное совпадение показывает, что в свое время мы сделали очень удачный выбор — именно поэтому сейчас для непосредственного измерения температуры можно пользоваться обычными ртутными термометрами.

Фиг. 76. Газовая термометрия.

Абсолютная температура. Абсолютный нуль. Другое преимущество газового термометра — он указывает на наличие абсолютного нуля. Если мы охладим термометры, изображенные на фиг. 75, то в термометре а газ сожмется, а в термометре б давление упадет. Экстраполируя это поведение до еще меньших температур, мы наткнемся на абсолютный нуль, при котором газ приходит к нулевому объему в термометре а и нулевому давлению в термометре б. Если газы при уменьшении температуры действительно сохраняют свои свойства (чего на самом деле нет), нет надежды опуститься ниже абсолютного нуля или даже достичь его. Реальные газы превращаются в жидкости и затем в твердые тела раньше, чем охладятся до такой температуры, но это не мешает нам мечтать об абсолютном нуле как интригующем пределе. Его положение на обычной шкале Цельсия можно найти путем экстраполяции прямолинейной температурной зависимости газового термометра. Тщательные измерения с реальными газами показали, что абсолютный нуль следует поместить на шкале Цельсия приблизительно при —273 °C независимо от сорта газа. Попытки достичь этой температуры любыми способами охлаждения позволили подойти к ней довольно близко, но достичь ее не удалось. Дело в том, что этот предел вообще недостижим.

Фиг. 77. Температурная шкала газового термометра.

_{А — температура газа в °С (по собственной шкале); б — абсолютная температура газа в °К (по собственной шкале).}

Те, кому приходится вычислять объем газа при какой-то фиксированной температуре из измерений, проведенных при других температурах[190], используют эту прямую линию, проходящую через абсолютный нуль, чтобы свести задачу о расширении газа к простой пропорции наподобие следующей. Берем график температурной зависимости и перерисовываем его в новых осях с началом координат при —273 °C. Теперь температура отсчитывается, начиная с нуля в новом начале координат (это будет теперь «абсолютный нуль», или —273 °C). Новую температуру, отличающуюся от старой на 273°, мы назовем «абсолютной». Так мы отодвинули начало (но не сам график) на 273 единицы налево. Теперь наша прямая линия проходит через начало координат графика, где давление отложено по вертикальной оси, а абсолютная температура — по горизонтальной. Давление газа, р, изменяется пропорционально абсолютной температуре Т. Для любых двух температур Т₁ и Т₂: P₁/p₂ = T₁/T_2. Воспользовавшись газовым термометром (фиг. 75, а) или законом Бойля, мы находим, что дляобъемов V₁ и V₂ при постоянном давлении. V₁/V₂ = T₁/T_2. Этот закон верен для газов в области обычных температур, причем автоматически, ибо прямая линия проведена именно для определения температуры.

Фиг. 78. Зависимость давления газа (объем, постоянен) от абсолютной температуры (а) и зависимость объема газа (давление постоянно) от абсолютной температуры (б).

Если считать, что эта зависимость имеет место как при очень низких, так и при очень высоких температурах, то обнаружится, что разные реальные газы дают разные шкалы. Таким образом, мы должны вообразить идеальный газ — «излюбленный трюк теоретического мышления» — и пользоваться им для определения универсальной шкалы температур от абсолютного нуля до сколь угодно больших. При обычных температурах идеальный газ похож на большинство реальных, но не проявляет характерных особенностей своих «младших братьев», типа СО₂, и продолжает следовать простым законам поведения газов даже тогда, когда реальные газы начинают отходить от него и даже сжижаться[191]. Кинетическая теория и газовая температура. Кинетическая теория, которой мы верим благодаря успеху ее предсказаний, утверждает, что давление газа должно изменяться пропорционально средней кинетической энергии. Поскольку в газовой температурной шкале давление пропорционально абсолютной температуре, то, комбинируя эти два соотношения, получаем. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ МОЛЕКУЛ ~ АБСОЛЮТНАЯ ТЕМПЕРАТУРА. Поэтому температура приобретает простой смысл: Абсолютная температура измеряет среднюю кинетическую энергию молекул газа[192]. Общее понятие температуры. Наше понятие температуры приобрело теперь более определенные контуры. Но из опасения, что оно покажется слишком простым и вы будете догматически утверждать, что «настоящая температура — это средняя Кинетическая Энергия молекул», мы остановимся на обсуждении общего определения. Говоря по совести, мы не знаем, что такое температура, и, по-видимому, никогда не узнаем больше того, что она определена на основе избранной нами процедуры измерения[193]. Итак, выберем в качестве меры температуры произвольную физическую величину, которая обнаруживает разумные изменения при охлаждении и нагревании[194]. Измерим эту величину при таянии льда и кипении воды, отложим измерения на графике в точках 0 и 100 °C (или 273 и 373° абсолютной температуры), а затем проведем через эти точки прямую, определяющую шкалу температур. Пользуясь таким графиком, можно находить температуру по этой шкале. Первые создатели термометров выбирали в качестве физического свойства сначала объем образца воды, затем спирта, а потом ртути. Позднее же остановились на давлении образца газа. Можно также воспользоваться электропроводностью, термоэлектричеством, разностью расширения двух металлов и т. д. Все это действительно используется, но во вторичных термометрах, не предназначенных для определения температурной шкалы. Шкала таких термометров калибруется путем сравнения со ртутным, который в свою очередь градуируется по газовому термометру. При выборе физической величины критерием служит удобство проведения точных измерений, и страстному желанию найти истинную температурную шкалу суждено оставаться неудовлетворенным, если не обнаружится какого-либо универсального поведения, свойственного всем, а не только отдельным веществам (типа ртути) или газам. Самое удивительное, что это возможно. Сто лет назад Кельвин, изучая свойства идеальной тепловой машины (прародителя всех паровых машин, турбин и т. д.), придумал шкалу температур, взяв в качестве меры температуры нагревателя количество тепла, отбираемого такой машиной от нагревателя. На первый взгляд такая шкала не кажется ни слишком многообещающей, ни удовлетворительной, но она обладает замечательным свойством. Прежде всего шкала будет одной и той же независимо от конструкции машины и рабочего вещества (при условии, что машина идеальная, т. е. без трения и тепловых потерь из-за теплопроводности и т. п.). Хотя такую машину нельзя сделать, ее нетрудно вообразить благодаря простым и ясным условиям работы такой идеальной машины. Ее к.п.д., или, иначе говоря, эффективность превращения теплоты в полезную механическую работу (когда она работает как паровая машина), выше, чем у любой реальной машины. Но удивительно не это, а то, что к. п д. не зависит от устройства и рабочего вещества машины. Кельвин и др. доказывали эту независимость с помощью остроумных мысленных экспериментов. Основываясь на величине к. п д. (который, конечно, зависит от количества тепла, отбираемого от нагревателя), Кельвин построил «абсолютную термодинамическую шкалу температур». Наконец-то появилась шкала, не зависящая от индивидуальных свойств вещества! И что же, ученые признали ее за это? Ничуть. Ее приняли и используют теперь в качестве стандарта по совершенно другой причине — ввиду ее необычайной полезности. (Кроме того, она согласуется со шкалой газового термометра, что также облегчило ее признание!). В «цилиндр» такой идеальной машины можно помещать самые различные вещества и, наблюдая за ее к.п.д., получить возможность замечательно предсказывать свойства выбранного вещества. Получаются удивительные и очень полезные соотношения. Так, если в цилиндр поместить смесь льда и воды, то полученное уравнение выразит изменение точки таяния льда, приходящееся на атмосферу давления, через плотность льда, плотность воды, теплоту, обеспечивающую таяние 1 кг льда, и температуру Т таяния. Изменение точки плавления трудно измерить экспериментально, а теперь можно вычислить по четырем другим легко измеримым величинам! Можно «заполнить цилиндр» излучением, тогда уравнение скажет нам, что поток излучения от нагревателя пропорционален Т⁴, где Т — абсолютная температура в новой шкале. (Эта формула полезна для измерения температуры Солнца.) Поместив в цилиндр рой электронов, можно найти соотношение, которое полезно для расчета радиоламп! Подобная игра с воображаемым помещением в цилиндр различных веществ и получением полезных соотношений для них носит название термодинамики. С помощью термодинамики получаются результаты, важные для техники, химии, атомной физики и астрономии. Однако все результаты выражены через температуру в собственной шкале термодинамики — абсолютной термодинамической шкале Кельвина. Эти результаты были бы бессмысленными, если бы не открытое Кельвином совпадение шкалы идеальных машин со шкалой газового термометра. Поэтому в качестве стандарта и в целях практической точности мы пользуемся теперь газовыми термометрами и все термодинамические предсказания выражаем именно в этой шкале. В честь Кельвина комбинация шкалы идеальных машин и газовой шкалы названа шкалой Кельвина и обозначается °К. Итак, после долгих безнадежных попыток найти абсолютную температуру наш корабль бросил якорь в твердый грунт универсальности. Интересные температуры. На фиг. 79 на столбце А отмечены некоторые интересные температуры в градусах Кельвина. Очень низкие температуры здесь как бы сгрудились около абсолютного нуля. Такого сгущения и обрыва температур у 0° К удается избежать применением логарифмической шкалы (столбец Б). Для большинства людей абсолютный нуль, когда они впервые сталкиваются с ним, кажется странным ограничением, а некоторых он просто раздражает. Шкала Кельвина дает тот же абсолютный нуль, что и газовая, но термодинамические рассуждения показывают, что мы вряд ли сможем надеяться достичь его. Температур ниже абсолютного нуля либо не существует совсем, либо они не имеют обычного смысла[195]. Это ограничение кажется парадоксальным, но парадокс исчезает, когда мы пытаемся экспериментально достичь очень низких температур. Чтобы охладить материал от 100 до 10° К (т. е. примерно от температуры жидкого воздуха до температуры жидкого водорода), требуется много труда и денег. Столько же требуется и для охлаждения его еще ниже, от 10 до 1° К, столько же для охлаждения от 1 до 0,1° К и от 0,1 до 0,01° К, так что с точки зрения растущей стоимости абсолютный нуль кажется практически недостижимым. В этой истории стоимости мы учли и усовершенствования, которые могут уменьшить трудности. Но почему бы вместо чисел 100, 10, 1, 0.1… не использовать какие-то другие, более показательные в смысле равномерности трудностей? Можно, взяв логарифм, одинаковые множители ¹/₁₀ превратить в одинаковые шаги, т. е. брать lg 100, lg 10, lg 1, lg 0,1 и т. д., которые равны 2, 1, 0, —1 и т. д., когда в старой шкале температура все меньшими и меньшими шагами подползает к нулю, а логарифм все дальше и дальше бесстрашно опускается вниз: 2, 1, 0, —1, —2, —3 и т. д. до минус бесконечности. Старый «абсолютный нуль» будет теперь «минус бесконечностью» и кажется совсем недостижимым. Именно эта логарифмическая шкала, в которой так удобно размещаются очень низкие температуры, изображена на столбце Б фиг. 79. Но вправе ли мы использовать логарифм в качестве указателя туры? А на каком основании мы на нашем исходном графике температур пи просто давление? Мы же могли взять и (давление)² и √(давления) или, как сейчас, lg (давления). Сделано это было исключительно из соображений простоты и удобства. Мы и сейчас продолжаем основываться на давлении. Логарифмическая шкала не используется нами, а нарисована здесь просто чтобы помочь вам в ваших размышлениях над температурой.

Фиг. 79. Шкала температур.

_{А — абсолютная (Кельвина), Б — логарифмическая.}

Температура — искусственное понятие. Вернемся теперь к нашим рассуждениям о температуре. Начав с грубой идеи и ощущений, мы пришли к определенному понятию температуры, предписав способ ее измерения. На первый взгляд все это выглядит так, как будто бы и шкала, и все прочее — не прочная наука, а лишь плод нашего воображения. Между тем это не так. Мы можем изготовлять настоящие термометры и с пониманием и пользой применять их. Мы можем создавать теоретические системы и получать хорошие предсказания на языке определенной шкалы. И все же сама температура или ее выбор остается концепцией нашего ума с возможностью любого выбора температурной шкалы. Далеко не все физические величины, которые мы измеряем и которыми пользуемся в науке, выглядят столь искусственно. Некоторые кажутся очевидными, давно известными. Способы их измерения подсказывает наш здравый смысл. Возьмем, например, длину. Имеется ясное представление о длине и нет нужды в ее научном определении. Единицы измерения, конечно, произвольны, и это иногда приводит к путанице из-за плохого определения: единиц длины, но как только единицы установлены, процесс измерения длины кажется очевидным. Таких величин, которые сама Природа обеспечила системой измерения (наподобие длины), довольно много: площадь, число пальцев, возможно, плотность, по-видимому, вес. Но некоторые критикуют эту точку зрения, заявляя, что все измерения заключают в себе неявные предположения и определения. По их мнению, все понятия, лежащие в основе измерения:, должны быть, подобно температуре, плодом нашего собственного изобретения. С термометром на ракете. На прощание несколько слов об одном практическом вопросе. Межконтинентальные путешествия будут происходить на ракетах. Ракетные корабли с большой скоростью будут двигаться в атмосфере Земли, причем бóльшая часть пути будет приходиться на разреженную атмосферу и снижаться корабли будут в точке назначения. Какова же будет температура внутри корабля во время полета! Она будет зависеть от внешних условий и системы кондиционирования воздуха. Какова будет температура снаружи? На промелькнувшем в иллюминаторе термометре, подвешенном на воздушном шаре, будет очень низкая температура (особенно если термометр защищен от солнечного света), вероятно, что-то вроде —50 °C. На прикрепленном снаружи термометре, движущемся вместе с кораблем., температура будет около 10 000 °C. Почему?

Глава 28. Мощность.

В популярных журналах и даже многих популярных книгах о науке слова СИЛА, ЭНЕРГИЯ и МОЩНОСТЬ используются как эквиваленты, причем в «сомнительных случаях» предпочтение отдается слову МОЩНОСТЬ. Столь неряшливое словоупотребление при общем великом техническом прогрессе создает в головах читателей (и самих писателей) путаницу между этими тремя совершенно различными научными понятиями.

Мощность — это скорость передачи энергии:

МОЩНОСТЬ = ПЕРЕДАННАЯ ЭНЕРГИЯ / ВРЕМЯ = ΔE/Δt.

Энергия проявляется во многих формах, и ее переходы с одного места на другое или из одной формы в другую имеют для нас огромное значение. Плата за энергию — важнейшая статья наших расходов, поэтому мы должны знать, каков переход энергии, и мерой этого служит произведение сила на расстояние в разнообразных единицах: джоулях, кГм и т. д. Чтобы осуществить такой переход, нам нужны машины: бензиновый двигатель, паровая турбина, электромотор, фейерверк, человеческое тело. Машины осуществляют нечто большее, нежели простой перенос энергии с одноного места на другое, как в случае системы блоков, гидравлических прессов, рычагов[196]. Но нам еще хочется знать, насколько быстро машина передает (или может передавать) энергию. Здоровый человек, например, каждую секунду переводит из химической формы в механическую около 7 кГм энергии, полученной в виде пищи, когда он поднимает грузы. Такая способность может поддерживаться в течение нескольких часов. Если же он попробует работать в 10 раз быстрее, т. е. будет превращать ежесекундно из химической формы в механическую 70 кГм энергии, то сможет работать так не более нескольких минут. Чем бы его ни кормили, человек вскоре так устанет, что уже не сможет продолжать работу. Если же он попытается работать еще быстрее (скажем, 700 кГм за секунду), то из этого просто ничего не выйдет, его мышцы откажутся выполнять работу с такой скоростью. Паровые машины, когда их заставляют работать слишком быстро, становятся более расточительными. Электромоторы, мало потребляющие на холостом ходу, очень эффективны при средней нагрузке и останавливаются с воем при перегрузке. Вообще каждая машина имеет предел скорости, с которой она может превращать энергию. Ниже этого предела обычно имеется область оптимальных рабочих скоростей, которая должна быть известна тем, кто эксплуатирует машину.

При постоянной работе любой «машины» (например, электромотора, электролампы или паровой машины) скорость превращения энергии говорит, как часто придется оплачивать счета за электроснабжение или топливо. На каждом электроприборе (лампах, кипятильниках и т. д.) проставлена скорость потребления энергии, т. е. сколько они потребляют энергии не вообще, а в секунду, и в соответствии с этим мы производим наш выбор. Эту скорость превращения энергии мы и называем мощностью[197].

Единицы мощности.

Передачу энергии мы измеряем в ньютонах на метры (т. е. в джоулях), а время, необходимое для передачи, — в секундах; следовательно, мощность, или передачу энергии/время, — в ньютон∙м/сек, или дж/сек.

Один дж/сек — очень полезная единица, поэтому ей дано собственное имя — ватт (вт). Однако это лишь другое название. Никаким экспериментом нельзя доказать, что 1 вт равен 1 дж/сек, поскольку это верно по определению. В качестве более крупной единицы мы используем 1 киловатт (1 квт), который равен 1000 вт. Здоровый мужчина, взбегая по лестнице или влезая по веревке, может в течение нескольких секунд превращать химическую энергию в потенциальную энергию со скоростью 1 квт. Мощный электронагреватель, пока он включен, может превращать электрическую энергию в тепло со скоростью 1 квт. Если энергия измеряется в 1 кГм, то в качестве единицы мощности мы берем 1 кГм/сек. Измерения показали, что сильная лошадь, поднимающая грузы, способна в течение значительного времени превращать энергию своего питания в полезную механическую энергию со скоростью 75 кГм/сек. Эта скорость стала основой технической единицы мощности «1 лошадиная сила» (1 л. с), определяемой как 75 кГм/сек. Ее величина фиксирована, хотя лошади бывают разные и большинство из них не может работать в таком темпе.

Прогресс паровых машин от первого промышленного применения в 1700 г. и почти до современного вида, которого они достигли к 1800 г., в значительной степени обязан работам Джемса Уатта (Watt). Вот почему единица мощности названа его именем[198]. Уатт ввел в качестве единицы мощности лошадиную силу в те времена, когда лошади приводили в движение насосы, железнодорожные вагоны и другие механизмы. Как правило, эта единица неудобна, но ею пользуются до сих пор, за исключением того случая, когда предусмотрительный заказчик задает вопрос: «Если я куплю одну из ваших машин, сколько она заменит лошадей?».

Задача 1. Лошадиная сила (л. с.). Лошадь, с которой экспериментировал Уатт, передвигаясь со скоростью 6 м/мин, тянула веревку, которая через блок шла к грузу весом 68 кГ, опущенному в шахту. А) Покажите, что эти измерения приводят к уаттовской единице л. c., равной 75 кГм/сек. В) При непрерывной работе эта единица переоценивает лошадиные возможности. Была ли в этой связи мощность одной из первых машин Уатта, равная 3 л. с, больше или меньше буквального номинала?

Ниже мы приводим список единиц энергии и соответствующие им единицы мощности:

_{Энергия… Мощность.}

_{1 джоуль (дж)… 1 дж/сек = 1 вт.}

_{1 килограммометр (кГм)… 1 кГм/сек.}

_{1 киловат∙час (квт∙ч)… 1 л.с. = 75 кГм/сек; 1 квт = 1000 вт.}

Задача 2. А) Покажите, что 1 дж ~ = ¹/₁₀ кГм. Б) Покажите, что 1 л. с. равна примерно ³/₄ квт. Приняв 75 кГм/сек за 1 л. с., найдите ее величину в ваттах. (Выразите 75 кГ в ньютонах и 75 кГм в джоулях.). Задача 3. Альпинист весом 75 кГ за 10 сек поднимается вертикально вверх по веревке на высоту 6 м. А) Какую он приобретает потенциальную энергию? Б) Какова его полезная мощность, т. е. скорость, с которой химическая энергия превращается в полезную потенциальную энергию? Выразите ее в л. с. и в квт. Примечание. Инженеры часто говорят о «лошадиных силах» машины или даже человека, имея в виду мощность, выраженную в л. с. Это вульгаризация наподобие «быстроты скорости»; таким способом бывает полезно выражать максимальную мощность, развиваемую машиной.

Коэффициент полезного действия (к. п. д.).

Вычисленная в задаче 3 мощность — это скорость увеличения потенциальной энергии человека, которую он может затем использовать с помощью веревки и колес для выполнения некоторой работы, скажем поднимания кирпичей. Взбираясь по веревке, человек превращает запас своей химической энергии в потенциальную, но мощность, с которой он высвобождает химическую энергию, оказывается гораздо больше, так как при этом выделяется еще значительное количество тепла. Количество израсходованной химической энергии можно установить, собрав выдыхаемый альпинистом воздух и измерив его объем и содержание СО₂.

Эти данные позволяют вычислить потребность в питании, что в свою очередь может характеризовать полную мощность, развиваемую при подъеме. Для любой машины отношение полезной мощности на выходе к полной мощности на входе называется коэффициентом полезного действия (сокращенно к. п. д.). Альпинист, поднимающийся по веревке, по-видимому, растрачивает большую часть своей энергии в виде тепла. Если рассматривать альпиниста как машину для поднятия груза (самого себя) за счет энергии питания, то к. п. д. его, по-видимому, очень мал.

Задача 4. Физиологические измерения показывают, что поднимающийся по канату альпинист затрачивает дополнительно энергию в виде тепла (сверх обычной потребности) со скоростью по меньшей мере 220 кГм/сек. Приняв эту оценку, вычислите его к.п.д. (Это неточный расчет, так как для поддержания жизнедеятельности рацион питания человека рассчитывался на 24 часа. Поскольку при дополнительном рационе он поднимается по веревке лишь малую долю времени из 24 часов, то его общий к п.д. будет гораздо меньше. Если сравнишь человека, занятого тяжелым ручным трудом, с человеком, не занятым им, то окажется, что первому требуется дополнительное питание, причем в 3–6 раз больше, чем, казалось бы, требует выполняемая работа. К.п. д, человека при выполнении работы за счет дополнительного питания в лучшем случае составляет 25 %.

Электромотор берет из электрической сети большую мощность, нежели отдает приводимому в движение механизму. Разница связана с выделяемым в моторе теплом. К.п.д. большого мотора может составлять до 90 %. Электромотор — это искусный передатчик энергии. При малой нагрузке он потребляет из сети малую мощность. Если же его нагрузить, то он, продолжая вращаться с той же скоростью, соответственно потребует большую мощность. Полезную мощность мотора можно измерить механически, а полную мощность найти из показания вольтметра и амперметра. Позднее мы покажем, что при определенном способе присоединения амперметра и вольтметра мощность на входе в ваттах[199] находится из произведения.

ПОКАЗАНИЕ АМПЕРМЕТРА (в амперах) ∙ ПОКАЗАНИЕ ВОЛЬТМЕТРА (в вольтах).

Для лабораторных работ считайте, что эта формула правильна.

Более подробно о ней мы скажем позднее.

Животным свойственна большая способность к перегрузке, но, с другой стороны, они очень экономичны при малой нагрузке. В течение короткого времени лошадь можно заставить давать больше 1 л. с. А если она работает каждый день, но с затратой долей лошадиной силы, то ей соответственно будет требоваться меньше корма.

Мощность в человеческой деятельности.

В приведенной ниже табл. 3 даны результаты измерения скорости превращения химической энергии здоровым человеком при различных видах деятельности. Они получены измерением выдыхаемого СО₂, так что представляют общий расход питания, а не просто «полезную мощность».

Составляя расписание «типичного дня», мы с помощью этих данных можем найти полную потребность в питании. Она весьма индивидуальна. Для энергичного здорового студента она составляет от 3300 до 4900 Кал/день, а для студентки — 3000–8300 кал/день. Вычисленный из этих данных дневной рацион должен соответствовать полной затрате топлива в виде питания за тот же период. Это проверялось путем взвешивания пищи и измерения «топливного эквивалента» этой пищи. Допуская 5 %-ную потерю пищи — топлива, получали, что дневной рацион на 1–8 % превышает потребление энергии, найденное по выделению СО₂. Для столь сложных измерений это прекрасное согласие.

Тяжелая физическая работа вызывает необходимость в дополнительном питании. Вот данные для заводских рабочих США. Чтобы увидеть, на что способен человек, возьмем из табл. 4 найденные для тяжелой работы 410 вт, вычтем из них 90 вт низшего уровня (см. табл. 3), тогда на саму работу останется 320 вт. Примем, что к. п. д. рабочего 25 % (цифра довольно оптимистическая). Тогда полезная мощность составляет 25 % от 320, или 80 вт. Таким образом, одного человека, если он будет получать достаточное питание, хватит лишь на то, чтобы крутить генератор для питания 80-ваттной лампочки (в течение 8-часового рабочего дня).

Некоторые люди способны постоянно выдавать по 100 вт, другие же — меньше 80 вт. Для цивилизаций, в которых сила раба использовалась как основной двигатель в строительстве и т. п., мощность одного человека можно было бы считать равной 90 вт, или ¹/₈ л. с.

Задача 5. Какой мощности лампочку мое бы обеспечить человек, работая ежедневно от 4 часов дня до полуночи, если бы он крутил подходящий генератор, к. п. д. которого при превращении механической энергии в электрическую составляет 80 %?

Вы сами можете вычислить свою «полезную» мощность, замечая время подъема по лестнице. Получится довольно высокая оценка, но это порыв, который нельзя поддерживать длительное время. Можно также оценить свою полезную мощность при постоянной работе, решив, с какой скоростью вы сможете влезать по бесконечно длинной лестнице в течение многих часов. Поднимая свой вес, вы запасаете потенциальную энергию, а движение по горизонтали и энергия из-за трения ног о пол порождают теплоту. Это, очевидно, бесполезные растраты, так что горизонтальную часть пути мы не учитываем. Кроме того, нам неизвестны силы, препятствующие горизонтальному движению, и их трудно оценить даже грубо.

Задача 6. Человек весом 70 кГ, взбегая вверх по лестнице высотой 9 м, проходит по горизонтали 12 м и по наклону 15 м. 1) Вычислите полезную мощность превращения энергии питания в потенциальную энергию в кГм и в л. с. 2) Если к. п. д. мышц человека составляет 25 %, то на тепло растрачивается мощность в 3 раза больше полезной. Какая полная мощность необходима для вертикального движения? (В этих расчетах вам следует пользоваться высотой, а не длиной по наклону, так как горизонтальная часть движения не учитывается.).

Фиг. 80. К задаче 6.

Задача 7. В задаче 6 человек все же тратит некоторую мощность на горизонтальное движение. Используя изложенные ниже предположения, сделайте очень грубую оценку этих потерь. Когда человек ставит ногу на ступеньку, то он немного притормаживает. Энергия из-за трения ботинок о пол превращается в теплоту и пропадает. За 10 сек человек, взбираясь вверх на высоту 9 м, проходит по горизонтали, 12 м. Предположим, что лестница имеет 60 ступенек (каждая высотой 15 см), тогда длина каждого, шага будет 20 см. Ботинок не может скользить все 20 см, но небольшого скольжения избежать нельзя (если специально не устранить это как-то). Допустим, что при каждом шаге человек проскальзывает примерна на 2–4 см (проверьте это сами). Сила трения, препятствующая скольжению, по-видимому, не может быть больше нескольких килограммов. Предположим, что она составляет 1–2 кГ. А) Сколько энергии тратится из-за этого трения на выделение теплоты за 10 сек? Б) Какова мощность этих затрат? В) Если само тело выделяет теплоту, в 3 раза превышающую внешние затраты, то какова полная мощность, выделяющаяся при горизонтальном движении?

Фиг. 81. К задаче 7.

Задача 8. Подсчитайте собственную мощность при подъеме по лестнице. Ответьте на следующие вопросы, введя правдоподобные предположения или проделав простейшие опыты. 1) Какова высота ступеньки? 2) На сколько ступенек вы смогли бы подниматься каждую минуту, если бы вам предстояло подниматься много часов? (Примечание. Вы, по-видимому, переоцените свои возможности, если не проведете грубой проверки или не вспомните о восхождении на гору.). 3) Какова была бы ваша полезная мощность в кГм/сек и л. с. при поднятии с этой скоростью?

Единицы мощности.

Приближенное понятие о масштабе некоторых единиц можно получить, представив себе животное, которое способно карабкаться вертикально вверх с единичной мощностью (1 вт составляет примерно ¹/₁₀ кГм/сек, так что нам нужно найти животное весом около ¹/₁₀ кг, способное взбираться со скоростью 1 м/сек. Это могла бы быть небольшая белка, и 1 вт можно было бы назвать беличьей мощностью, a 1 квт — уже обезьяньей). Мощность небольших электромоторов, используемых в быту, колеблется от ¹/₁₀₀ до ¹/₂ л. с. А номинальная мощность промышленных двигателей — от ¹/₂ л. с. до десятков тысяч лошадиных сил. Номинальная мощность, указанная в паспорте электромотора, показывает, на какую максимальную мощность при соответствующем питании он способен. Электромотор может отдавать и больше, но будет перегреваться.

На некоторых электромоторах мощности указаны в л.с., а на других — в квт. Как же сравнить эти две единицы. Сделаем грубый расчет:

1 л. с. = 75 кГм/сек,

1 кГ = 9,8 ньютон ~= 10 ньютон,

Следовательно,

1 л. с. = 75∙9,8 дж/сек ~= 750 дж/сек,

Т. е.

1 л. с. ~= 0,75 квт = ³/₄ квт.

— очень удобное для инженеров число.

Цель приведенных ниже опытов — дать вам возможность почувствовать, что такое мощность и каковы единицы ее измерения, а также помочь в некоторых случаях установить свою собственную полезную мощность.

ЛАБОРАТОРНЫЕ ОПЫТЫ.

Опыт 1. Измерение собственной мощности — превращение энергии питания в полезную механическую работу. 1) Попробуйте взбежать вверх по лестнице (один пролет) с предельной быстротой. 2) Попробуйте взбежать вверх по очень высокой лестнице (один пролет) с предельной быстротой. 3) Поднимитесь по лестнице (один пролет) со скоростью, которую, по вашему мнению, вы сможете поддерживать в течение нескольких часов. …???… денных ниже единиц (в большинстве лабораторных опытов перевод результата в другие единицы — простая трата времени на арифметику, но здесь несколько единиц необходимы — свою собственную мощность полезно знать): А) кГм/сек, Б) лошадиные силы, В) дж/сек (ватт), Г) для заданий 3 и 5 — в Кал за 8-часовой рабочий день. Опыт 2. Измерение полезной мощности бунзеновской горелки при нагревании водя в кружке. 1) Наполните кружку водой и нагревайте ее в течение 1 мин. Сделайте необходимые измерения для вычисления количества тепла, сообщенного воде: ТЕПЛОТА = МАССА ВОДЫ ∙ ПОВЫШЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ. …???… тают наиболее горячим). Объясните результаты. Опыт 3. Если возможно, проверьте или используйте «топливный калориметр» для измерения полной теплоотдачи бунзеновской горелки или полной теплоотдачи при сгорании кусочка угля. Опыт 4. Измерьте мощность электрокипятильника, а) используя вольтметр и амперметр[200], б) нагревая им воду. (Воспользуйтесь уже собранной схемой из приборов и нагревателя, а позднее соберите ее сами.). Оба измерения можно проводить одновременно. Показания приборов можно снимать одновременно с нагреванием воды, когда нагреватель, скажем, в течение 2 мин будет находиться в сосуде с водой. Выразите мощности в ваттах и объясните, чем различаются эти две величины. Опыт 5. Определение полезной мощности и к. п. д. электромотора. Пусть электромотор не выполняет полезной работы, которая затруднит измерения, а просто крутит колесо с тормозным ремнем (см. ниже). Подсчитайте его мощность на выходе в кГм/сек и ваттах. Показания амперметра и вольтметра (пока воспользуйтесь собранной схемой) дадут нам величину полной мощности, поступающей из сети. Найдите ее. Подсчитайте к. п. д. мотора. (Примечание. Если вы хорошенько подумаете, то поймете, что к. п. д. мотора не может быть величиной постоянной, характерной для мотора при любой нагрузке. Каков, по-вашему, к. п. д. при холостом ходе, без нагрузки? А что вы получите, если мотор так нагрузить, что он вообще не сможет вращаться?). Применение тормозного ремня для измерения мощности. Чтобы измерить мощность человека, мы можем заставить его вытягивать груз с помощью длинной веревки (фиг. 82) или использовать систему блоков и большой груз, но все это сложно.

Фиг. 82.

Удобнее устройство, заменяющее висящий груз трением тормозного ремня о колесо или барабан. Одно из таких устройств показано на фиг. 83. В других используется велосипедная рама, а человек крутит педалями заторможенные колеса.

Фиг. 83. Тормозной пояс для измерения мощности.

_{Когда при вращении колесо трется о ремень (тормоз), переход энергии (из сообщаемой колесу механической формы в теплоту тормоза) определяется выражением Работа = (Сила)∙(Расстояние), а при одном обороте Работа = (Длина окружности)∙(Разность натяжений). Система с закрепленными пружинными весами эквивалентна системе с фиксированными грузами, перекинутыми через блоки, а это эквивалентно подниманию колесом груза (F1 — F2).}

Ременный или веревочный пояс ABCDE оттягивается вверх пружинными весами Х₁ и Х₂, так что он туго прижимается к нижней половине окружности обода колеса. Человек крутит колесо за рукоятку. Пружинные балансы препятствуют движению ремня вместе с колесом, и он трется о колесо по полуокружности BCD, мешая движению. Участок DE, натяжение которого измеряется весами Х₁, сильно тянет в сторону, противоположную движению колеса. На участке АВ натяжение, измеряемое весами Х₂, способствует движению. Если эти натяжения равны F₁ и F₂, то результирующая сила будет равна их разности F₁ — F₂. Когда колесо совершает один оборот, длина его окружности 2πR целиком проходит под ремнем, преодолевая силу трения (F₁ — F₂). Для человека, крутящего колесо, ситуация будет такой, как если бы пояс, оттягиваемый грузами F₁ и F₂, двигался вместе с колесом. А это было бы эквивалентно наматыванию на колесо веревки с грузом (F₁ — F₂), который заставляет человека затрачивать при каждом обороте энергию 2πR∙(F₁ — F₂). Вернемся теперь к реальному устройству с пружинными весами, показывающими силы F₁ и F₂. При каждом обороте человек должен затрачивать энергию, равную. (ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ 2πR) ∙ (РАЗНОСТЬ НАТЯЖЕНИЙ F₁ — F₂) Используя этот результат с учетом числа оборотов колеса и показания весов за определенный промежуток времени, мы можем вычистить мощность, превращаемую при торможении в теплоту. Хотя тормоз превращает эту мощность в бесполезное тепло, она могла бы быть полезной, если бы ремень был прикреплен к колесу и поднимал груз. Таким образом в подобной схеме измеряется «полезная» мощность. Задача 9. Перепишите и дополните следующие утверждения: (Пример. 1 узел — это единица скорости. Она равна 1 морской миле в 1 час.). А) 1 джоуль — это единица ___. On равен 1 ___. Б) 1 ватт — это единица ___. On равен 1 ___. В) 1 киловатт — это единица ___. Он равен 1 ___. (напишите числа и единица, выраженные в секундах, метрах, ньютонах, джоулях и т. д.). Г) 1 вт∙сек означает 1 вт х 1 сек, следовательно, это та же, что и 1 ___? Поэтому 1 вт∙сек есть единица ___. Д) 1 квт∙час есть единица ___. Он равен ___ (напишите числа и единицы, выраженные в секундах, метрах, ньютонах, джоулях и т. д.). Задача 10. Обычная цена электроэнергии составляет 4 коп. за киловатт∙час. Если бы дневной рацион 3300 Кал можно было принять в виде электричества, то во сколько бы вам обошелся день? ___ Задача 11. Диета и энергия. Сейчас в некоторых частях света средний рацион составляет меньше 2000 Кал в день, а в других 3300 Кал. Эти числа найдены из полной энергии, полученной при переваривании пищи. Других источников снабжения энергии для поддержания работы тела нет, за исключением материалов самого тела, жира и т. д. Для исследования вопроса о голодном рационе проделайте следующие вычисления. (Считайте, что 1 Кал = 1 ккал = 4200 дж.). А) Единицы: перевод рациона в другие единицы. Превратите 2000 Кал в день в другие единицы. (Заметьте, что это мощность.). (Указание. На вопросы, отмеченные звездочкой, дайте приближенный ответ.). 2000 Кал/день = ___ Кал/сек (не делайте сокращений, оставьте результат в виде сомножителей) = ___ дж/сек (не сокращайте) = (приблизительно) = ___ дж/сек, или вт. Здоровый человек может растратить эти 2000 Кал/день в виде тепла своего тела, так что трудно установить, сколько дополнительной энергии из этих 2000 Кал можно истратить на полезную механическую работу. Однако, чтобы выяснить положение человека, живущего на таком рационе, проделайте требуемые ниже вычисления. Б) Минимальный рацион. Спящий человек затрачивает в среднем на поддержание жизни (работы сердца, легких и т. д.) и согревание около 75 вт, тогда как уже при простом спокойном сидении ему нужно 120 вт. Какое снабжение пищей необходимо для такого человека, если он 8 часов в сутки спит, а остальные 16 часов спокойно сидит? * ___ Кал/день. В) Голодный рацион. Допустим, что рацион человека составляет 2000 Кал/день, причем ³/₄ этого рациона уходит на поддержание жизнедеятельности организма, а остающаяся ¹/₄, 500 Кал, может быть затрачена на другую деятельность. (Сомнительно, чтобы этих ³/₄ было достаточно. По-видимому, человек будет растрачивать свой жировой запас, а затем даже что-то менее безопасное.). 1) Сколько часов в день сможет он медленно брести по дороге, если эта дополнительная деятельность требует еще 100 вт? ___ часов в день. 2) По скольку часов в день он может затрачивать мощность ¹/₈ л. с. для полезной работы? Считайте, что ¹/₈ л. с. ~= 100 вт и что 300 вт уходит на тепловые потери во время этой полезной работы. * ___ часов в день. Г) Хороший рацион. Допустим, что ваш рацион составляет 8300 Кал/день; 2000 Кал вы используете на обычную жизнь (еду, сон, прогулки и т. д.). Допустим, что остальные 1300 Кал используются для такой деятельности, как рытье канав или поднимание грузов. 1) Предположим, что ваша деятельность требует полезной мощности 200 вт (~= ¹/₄ л. с.) и сопровождается тепловыми потерями 600 вт. Сколько часов в день вы сможете работать, тратя 1300 Кал? * ___ часов. 2) Крутя заторможенное колесо в лаборатории, найдите собственную полезную мощность. Допустим, что ваш к. п. д. равен 25 %, так что на дополнительное растрачиваемое тепло уходит в 3 раза больше, чем на полезную работу. Сколько часов в день такой работы обеспечивают вам 1300 Кал (с учетом затрат)? * ___часов. 3) Если бы все 1300 Кал вы могли затратить на подъем по лестнице, превратив их в потенциальную энергию без тепловых затрат, то сколько 5-метровых лестничных пролетов могли бы вы преодолеть за день? (Для этой оценки воспользуйтесь своим собственным весом.) * ___ пролетов. 4) Предположим, что ваш к. п. д. составляет 25 %. Сколько таких же пролетов вы сможете преодолеть, получая 1300 Кал в день? * ___ пролетов.

Глава 29. Экспериментальные основания закона сохранения энергии.

«В соответствии с общепринятыми правилами ревизии нами проверен балансовый отчет…, включая как проверку бухгалтерских записей, так и другие документы, о которых упоминалось выше… По нашему мнению…». Из акта ревизии.

Рассмотрение расхода топлива и механическое правило.

РАБОТА = СИЛА ∙ РАССТОЯНИЕ.

Привели нас к определенному понятию — энергии, изменение которой измеряется работой. Было установлено также, что энергия всегда сохраняется. Мы констатировали этот принцип или, скорее, просто приняли его, приведя ряд простых примеров. Все это было сделано для того, чтобы вы поняли, что такое энергия, прежде чем мы начнем говорить об ее удивительной истории.

Экспериментаторам прошлого нелегко было выпутаться из множества форм энергии и составить этакий «балансовый отчет». Вскоре после того, как Ньютон показал важность величины mv для механики, были высказаны предложения, что измерять эффект силы лучше величиной mv². Ей было дано энергичное имя vis viva — «живая сила», тогда как mv было названо просто импульсом. Тогда, в XVII веке, были даже две соперничающие школы: одни яростно защищали mv, а другие — mv². Однако позднее стало всем ясно, что полезны обе величины: прирост mv — это (сила)∙(ВРЕМЯ), а прирост mv² — удвоенная (сила)∙(РАССТОЯНИЕ).

Машины.

Произведение сила на расстояние уже давно играло важную роль в примитивных механизмах прошлого. Бессознательно им пользовались еще создатели первых машин, а Леонардо да Винчи (~1500 г.) уже ясно писал о нем. При расчетах колес, блоков, прессов и т. д. эти произведения «по обе стороны» устройства принимались равными, за вычетом некоторых затрат на трение. Если мы разность затраченной и полученной работы назовем изменением энергии, то идеальные механизмы (без трения) сохраняют ее. Гарантией служит эксперимент — либо непосредственное измерение на механизмах (с учетом потерь из-за трения), либо косвенное заключение из опытных правил для рычагов, гидравлических прессов и т. д.

Экспериментальное основание обязательно должно существовать. Кабинетный ученый не может гарантировать, что для равновесия детских качелей-весов F₁∙(плечо₁) будет равно F₂∙(плечо₂) (откуда можно заключить, что работы по обе стороны равны). Даже если он объявит, что его рассуждения делают это заключение весьма правдоподобным, в этом обязательно будет отголосок «лабораторных работ», выполненных им когда-то в юности[201].

Вечные двигатели.

Комбинирование простых механизмов в сложную схему не дает надежды получить энергии больше, чем затрачено. Неудачи с вечными двигателями привели к убеждению о сохранении энергии в ограниченном механическом смысле. В своем труде «Маятниковые часы» (1673 г.) Гюйгенс, современник Ньютона, предупреждал:

«Когда любое количество грузов силой их притяжения в движение приведено, то общий центр тяжести, по-видимому, не может подняться выше того места, кое он занимал до начала движения… Когда бы строители новых машин, пустые попытки построить вечный двигатель предпринимающие, с этим принципом познакомились, они бы лучше свои ошибки видели и совершенную невозможность сделать оный механическим способом поняли бы».

Потенциальная энергия + кинетическая энергия.

Закон рычага применим к уравновешенным качелям-весам как в покое, так и в движении. Когда на одном конце мальчик-толстяк с постоянной скоростью опускается вниз, на другом худенький мальчик взлетает вверх; действует закон рычага и, следовательно,

РАБОТА НА ВХОДЕ = РАБОТА НА ВЫХОДЕ.

Нетрудно нарушить этот закон. Подвиньте толстяка поближе к краю, тогда качели будут ускоряться и худенький мальчик взлетит вверх, а толстяк стукнется о землю. Если рассматривать вес мальчиков как силу на входе и на выходе, равенство (работа на входе) = (работа на выходе) уже не будет соблюдено — толстяк вносит больше, чем забирает худенький мальчик. Но нам нет нужды отказываться от закона сохранения энергии. Можно придумать другую форму, кинетическую энергию, E_кин, и вычислять ее по правилу E_кин = ¹/₂ mv², полученному из комбинирования F = m∙a и определения (работа) = F∙s. В начале XIX века сохранение энергии означало, что сумма.

ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ изменение которой равно (сила)∙(расстояние) + КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ величина которой равна ¹/₂ mv^2.

Постоянна (для идеальных механических систем). Этот закон полезен для решения задач физики и техники. На деле он состоит из II и III законов Ньютона и предположения, что силы складываются как векторы. Поэтому он основан на эксперименте в той же степени, что и II закон: F = m∙a. Это выявляет важную характеристику таких механических систем, о которой было известно уже в давние времена: изменение энергии при любых движениях не зависит от выбранного пути. Пусть, например, груз от двери сарая А переносится в дальний угол его чердака В. Как бы мы ни перемещали его:

— сначала подняли вверх, а потом переместили по горизонтали,

— сначала по горизонтали, а потом вверх,

— или вверх по наклонной плоскости,

— или по какой-то причудливой кривой (с помощью блоков),

— или даже сначала подняли над крышей, а затем опустили на чердак,

Прирост потенциальной энергии (E_пот) будет тем же самым.

Чтобы показать, как это следует из закона сохранения энергии, рассмотрим перемещение из А в В по двум путям, причем будем начинать и кончать состоянием покоя, трением пренебрежем.

Перенесем груз из А в В по пути I, а затем назад по пути II. Возвратившись в начальную точку А, мы пришли к той же потенциальной энергии. Следовательно, затраты на путях I и II одинаковы. В противном случае мы могли бы создать вечный двигатель, перемещая груз вверх по одному пути, а вниз — по другому и получая при каждом цикле прирост энергии.

Поверив в сохранение энергии, мы видим, что правило Галилея о наклонной плоскости очевидно; каков бы ни был наклон, масса М, сталкиваемая с высоты h, теряет потенциальную энергию, равную Mgh, и приобретает кинетическую энергию, равную ¹/₂ mv². Если нет потерь на трение, то эти два изменения должны быть сбалансированы, Mgh = ¹/₂ mv². Тогда скорость v = √(2gh) — одна и та же при любом наклоне высотой h, как отвесном, так и отлогом, как прямом, так и искривленном. Так что опыт Галилея был фундаментальной проверкой закона сохранения энергии.

Если математикам «дать» Солнце и планету при некотором начальном условии, то они смогут предсказать орбиту планеты. Один из наиболее простых способов — это написать уравнение, исходя из того, что сумма (кинетическая энергия) + (потенциальная энергия) (в изменяющемся гравитационном поле Солнца) вдоль орбиты остается постоянной. В комбинации с уравнением для другой сохраняющейся величины (например, момента количества движения) это приведет к уравнению для орбиты, т. е. к эллипсу[202].

Хотя закон сохранения энергии полезен, до сих пор он вряд ли был всеобщим. Включение же теплоты, химической энергии и др. в одну грандиозную схему привело к перерастанию его в важнейший закон.

Теплота как форма энергии.

Лукреций (~ 80 г. до н. э.) так описывал взгляды греческих философов, живших за несколько веков до него[203]:

«… телам изначальным, конечно, Вовсе покоя нигде не дано в пустоте необъятной. Наоборот: непрерывно гонимые разным движеньем, Частью далеко они отлетают, столкнувшись друг с другом, Частью ж расходятся врозь на короткие лишь расстоянья. Тех, у которых тесней их взаимная сплоченность, мало, И на ничтожные лишь расстоянья прядая порознь, Сложностью самых фигур своих спутанны будучи цепко, Мощные корни камней и тела образуют железа Стойкого, так же, как все остальное подобного рода. Прочие в малом числе, в пустоте необъятной витая, Прядают прочь далеко и далеко назад отбегают На промежуток большой. Из них составляется редкий Воздух…»

Воззрения греческих атомистов в течение многих веков либо предавались забвению, либо преследовались. Их идеи были возрождены только во времена Галилея. Причудливую теорию атомов строил Декарт, а Ньютон размышлял над теплотой как движением атомов. Философы последующего века создали грандиозные схемы применения могучей механики Ньютона к декартовым атомам. Они считали, что, задав положение и движение всех атомов, можно предсказать все, что произойдет в будущем. Но атомная картина все еще оставалась в рамках заумных рассуждений, а связь между теплотой и «атомным» движением была лишь внешней.

«Теплород».

В течение долгого времени после Ньютона представление о теплоте продолжало оставаться не слишком ясным. Примерно в 1750 г. Джозеф Блейк провел четкую грань между количеством тепла и температурой. Он измерял количество тепла, нагревая воду или растапливая лед. В последнем случае не требуется даже термометра — теплота измеряется по массе растаявшего льда. Он определил величину, которую мы теперь называем «удельной теплоемкостью», и построил теорию теплоты как некой жидкости, которая без потерь может перетекать из горячих тел в холодные. Даже когда кажется, что теплота исчезает при плавлении или испарении, она прячется в виде «скрытой теплоты», которая может быть выделена при обратном переходе.

Эта «жидкость» вскоре была названа флогистоном, или «теплородом». Нагревание тел означало наполнение пространства между атомами теплородом и увеличение его давления. Считалось, что между «атомами» воды, обладающей большой теплоемкостью, имеется много-свободного места. А в свинце с его малой теплоемкостью места для теплорода должно быть мало, небольшого количества его хватает, чтобы наполнить промежутки до высокой температуры. Было много споров о весе теплорода. Некоторые считали, что он обладает весом, другие же, убедившись в том, что нагретые тела легче, приписывали ему отрицательный вес. Наконец, Румфорд взвесил некое количество льда, нагрел его, пока не превратил в теплую воду, вновь взвесил и перемен не обнаружил. Однако это не опровергало существования теплорода, а лишь указывало на интересное его свойство — невесомость. К 1800 г. теория теплорода казалась хорошо экспериментально обоснованной. Она позволяла легко разбираться в нагревании, охлаждении, плавлении, испарении. Она объясняла даже расширение при нагревании: теплород раздвигал атомы, действуя на них силовыми полями, подобными тем, которые сейчас так популярны в атомной физике. Она с легкостью объясняла также нагревание вещества при трении. Соскальзывая вниз по канату, матрос выжимает из него теплород — говорили приверженцы теплорода? Они могли почти нарисовать картину, как руки человека выжимают теплоту из промежутков между атомами каната, подобно воде из мокрой губки. Но почему же теплород не возвращался обратно, когда матрос отпускал канат? «Да, не возвращается» — таков, по-видимому, был первый ответ. Разумеется, он не возвращается, ибо натертые предметы остаются горячими довольно долго и медленно передают тепло своему окружению. Суть дела в том, — следовали подробные объяснения, — что трение сдавливает канат, уменьшая в нем пространство для теплорода. Таким образом, теплород выжимается и обжигает человеку руки. Это изменение необратимо — в канате остается меньше места для теплорода.

Меньше места для теплорода? Но при атом сдавленный канат должен иметь и меньшую удельную теплоемкость. Это могло бы послужить решающей проверкой теплородной точки зрения. Эксперименты не обнаружили каких-либо изменений, хотя многие приверженцы теплорода цеплялись за свою точку зрения. Они, по-видимому, оправдывались тем, что выжимается лишь малая доля всего теплорода, поэтому изменения удельной теплоемкости должны быть очень малыми. В то время как Блейк и другие уточняли и улучшали измерения, все с большей настойчивостью выдвигалось другое объяснение теплоты — как энергии молекулярного движения.

«Теплота — это очень быстрое колебание неощутимых частичек предмета… то, что мы ощущаем как теплоту, для предмета не более как движение», Джон Лот (1796 г.). «… теплота — это vis viva, происходящая из-за неощутимого движения молекул тела». Лавуазье и Лаплас (1780 г.)[204].

Все более широкое применение паровых машин и новое понимание химии горения в XIX веке вызвали всеобщий интерес инженеров и натурфилософов (химиков и физиков) к природе тепла.

Лавуазье и Лаплас полагали, что животное и человек также «сжигают» свою пищу в кислороде с образованием воды и углекислого газа, получая столько же тепла, как если бы ту же пищу сжигали в маленькой печи и нагревали воду. Они утверждали, что измерение вдыхаемого кислорода или выдыхаемого углекислого газа могло бы показать, сколько мы «сжигаем» пищи. Она предложили идею химической энергии, которая высвобождается при горении. В 1779 г. Кроуфорд для определения потребления кислорода сажал в изолированный ящик морскую свинку и измерял ее теплоотдачу. Затем он заменил свинку небольшой печкой с горящим углем. При том же потреблении кислорода печка давала почти то же количество тепла. Аналогичный результат дал и горящий воск. Полученные результаты были обнадеживающими. Такие эксперименты поистине весьма трудны, но с той поры они систематически проводились на животных и человеке, и точность их все возрастала. Результаты показали, что выделяемая животными теплота согласуется с теплотой, полученной при сжигании, с точностью до 1 %.

Доказательство Румфорда.

В конце XVIII века граф Румфорд впервые экспериментально доказал, что теплота — вовсе не неуничтожимая жидкость, а нечто, получаемое при желании в неограниченном количестве за счет механической энергии. Сам Румфорд (его настоящее имя Бенджамен Томсон) был замечательным человеком. Уроженец Новой Англии, Румфорд легкомысленно стал противником, тех, кто победил в борьбе за независимость, и поэтому вынужден был эмигрировать в Англию. Он был известен не только как блестящий организатор и ученый-экспериментатор, обладающий способностями и огромной любознательностью, но и как политик, покрывший себя славой. Получив за выдающиеся заслуги рыцарское звание, Румфорд отправился в путешествие по Европе. В период своего пребывания в Баварии он так блестяще проявил свои организаторские способности, что был назначен на пост военного министра и ему поручено было реорганизовать армию. Успешна выполнив это, он, опираясь на армию, сумел организовать огромную массу безработных, наводнявших в ту пору Мюнхен, построил для них удобные бараки и обеспечил работой. Благодарное баварское правительство пожаловало ему графский титул; он выбрал себе имя Румфорд в честь небольшого местечка вблизи Конкорда в Нью-Хэмпшире. Дальнейшую славу ему принес разработанныи им дешевый, но здоровый пищевой рацион и специальное кухонное оборудование; Румфорд провел столько исследований по экономичным печам и очагам, что после своего возвращения в Англию давал консультации по этим вопросам в разных уголках страны. Еще будучи в Баварии, Румфорд исследовал теплоту, выделяемую при сверлении стволов бронзовых пушек. Он заметил, что тупое сверло очень плохо режет металл, но дает огромное количество тепла. Пока лошади приводили в движение очень тупое сверло, Румфорд успевал вскипятить поставленные на пушках котлы с водой. Он пришел к выводу, что выделение тепла безгранично и зависит лишь от продолжительности работы лошадей. Так Румфорд пришел к идее тепла как формы энергии[205]. Он нанес жестокое поражение сторонникам теплорода своими измерениями теплоемкости стружек. Он установил, что стружки имели ту же удельную теплоемкость, что и остальная часть пушки, т. е. в них было столько же свободного места для «теплорода».

1840–1860 годы. Доказательство.

В 1840 г. теория теплорода подверглась ожесточенным нападкам, хотя ее еще придерживались ученые[206].

Наступило время, когда появилось новое убеждение, что теплоту можно создать за счет механической энергии. Однако идея эта формулировалась пока неясно, слово «энергия» было непривычным, бытовало еще запутывающее все слово «сила». Чтобы теплота утвердилась как форма энергии, нужны были точные и разнообразные эксперименты. И с начала 1840 г. они появились во множестве.

Чтобы поверить в сохранение энергии, выполните эти эксперименты. Для победы в науке нужны сильные доказательства. Если теплота — действительно форма энергии, эквивалентная потенциальной и кинетической энергиям, то в каждом эксперименте, в котором происходит превращение одной формы энергии в другую, т. е. обмен «теплота —> механическая энергия», должен действовать один и тот же «обменный курс». Эксперименты, в которых за счет механической энергии создавалась теплота, следовали один за другим. Убыль механической энергии измерялась по формуле (сила)∙(расстояние), а увеличение количества тепла — произведением (масса нагреваемой воды), (повышение температуры). Каждый раз природе задавался вопрос: «Дает ли каждая единица потенциальной энергии одно и то же количество тепла?» или «Зависит ли от материала и метода эксперимента величина (ньютон)∙(метр) = (потенциальная энергия), которая должна исчезать для появления Кал? Если при любых переходах в теплоту — будь то химическая энергия или электрическая — «обменный курс» один и тот же, то мы можем говорить о всеобщем законе сохранения.

Многие из таких экспериментов были поставлены Дж. П. Джоулем — манчестерским пивоваром, ученым-любителем, который целью своей жизни поставил доказать, что теплота — это форма энергии. С огромным энтузиазмом и неподражаемым искусством Джоуль давал одно экспериментальное доказательство за другим. Его аргументы убеждали как разнообразием, так и точностью измерений.

Точное измерение количества тепла весьма затруднительно. Тепло утекает из любого прибора, температура которого отличается от комнатной. Эту утечку можно уменьшить, если использовать невысокие температуры, ибо скорость утечки приблизительно пропорциональна разности между комнатной температурой и температурой прибора. Утечку можно сделать менее существенной, применяя прибор больших размеров, так как утечка тепла — это поверхностный эффект, а полный запас тепла при данном повышении температуры пропорционален объему. Поэтому в большом приборе утечка будет составлять меньшую долю измеряемого количества тепла. Джоуль брал много килограммов воды и специальный термометр, градуированный с точностью до ¹/₂₀ градуса, так что он мог установить температуру с точностью до ¹/₂₀₀ градуса. Он прилагал большие усилия, чтобы уменьшить потери тепла и контролировать их. В некоторых случаях он пытался исключить утечку тепла, вычитая результаты двух экспериментов при «рабочем» и «холостом» ходе, в которых переход энергии был разным, а потери одни и те же.

В одном из своих ранних экспериментов Джоуль нагревал воду, заставляя ее протекать по очень тонким трубкам. Перфорированный поршень в цилиндре с водой приводился в движение весом падающих грузов. При этом (вес)∙(Δ высоты) давали ему убыль потенциальной энергии (скажем, в кГм), а (масса воды)∙(возрастание температуры) измеряли создаваемое количество тепла.

Джоуль нашел, что на каждую единицу теплоты (1 фунт воды на 1 градус Фаренгейта) затрачивается потенциальной энергии 770 фут∙фунт веса[207]).

Джоуль усовершенствовал метод. Для этого вода размешивалась. Делалось это с помощью специального колеса с лопатками, помещенного в изолированный контейнер с водой и приводимого в движение падающими грузами. Благодаря специальному устройству контейнера и лопаток трение сильно возрастало и для приведения лопаток в движение требовался значительный вес. Когда грузы падали до конца, Джоуль отцеплял их и поднимал вновь. Для нагревания воды потребовалось 20 таких циклов (см. задачу 2 в конце этой главы). Медленно снижаясь, при каждом падении грузы теряли потенциальную энергию, но заканчивали падение с небольшой кинетической энергией, которая передавалась при ударе полу. Джоуль тщательно учитывал эту кинетическую энергию, которая возникала за счет потери потенциальной энергии, но не давала вклада в измеряемое количество тепла.

Он тщательно измерял охлаждение сосуда, так что мог учесть утечку тепла и во время перемешивания воды. Затем брал полную потерю потенциальной энергии и полное тепловыделение и получал коэффициент перехода 780:1 в своих единицах. Такое отношение характерно не только для воды. Чтобы доказать это, Джоуль помещал в сосуд и ртуть, и китовый жир и даже определял выделение тепла при трении железных плиток[208].

Фиг. 84. Опыты Румфорда, Дэви и Джоуля с превращением энергии.

Позднее Джоуль вернулся к еще более точному измерению перемешивания воды. Его последний опыт с перемешиванием, сделанный через 40 лет после первого, был повторен Роуландом в университете Джона Гопкинса, однако крыльчатое колесо приводилось в движение паровой машиной.

В первых экспериментах Джоуль сделал очень смелый шаг — он пользовался только что открытым электрическим током. Джоуль, а также Генри в Принстоне и другие построили большие электромагниты.

Джоуль создал одну из первых электромагнитных машин, которую можно было использовать и как электромотор, и как генератор. Он брал катушку из медного провода, которая вращалась в поле между полюсами «электромагнита». Генератор приводился в движение падающими грузами. В отсутствие тока катушка вращалась легко, и для преодоления трения нужны были лишь небольшие грузики. Когда же катушка вырабатывала ток, приводить ее в движение становилось гораздо труднее — требовались значительно большие грузы.

Джоуль догадался, что дополнительная потенциальная энергия выделялась током в виде теплоты. Чтобы получить максимальный ток, он соединил концы катушки в короткозамкнутую цепь и, окружив катушку водой, собрал выделяемое тепло.

Вычитая результаты измерений при холостом ходе из результатов рабочих измерений, Джоуль исключал трение, учесть которое по-другому было бы невозможно. Итак, электрическая энергия в качестве промежуточного звена дала практически то же самое отношение, т. е. 780:1.

Затем Джоуль использовал свою машину как электромотор, работающий от батареи. Когда катушка была зажата (в покое), текущий через нее ток нагревал окружающую воду. Когда же катушка освобождалась и, вращаясь, поднимала груз, теплоты выделялось меньше, но груз приобретал потенциальную энергию.

Вычитание двух результатов для одинаковых химических изменений в батарее при переходе потенциальной энергии в теплоту снова дало отношение примерно 800:1. На этот раз общим источником была химическая энергия и Джоуль предположил, что при одном и том же расходе химикалий выделяется одна и та же энергия. (Из других химических опытов он убедился, что химическая, электрическая и тепловая энергии при взаимных переходах правильно «балансируют его счета».).

Фиг. 85. Опыты Джоуля, Роуланда и Хирна с превращением энергии.

Фиг. 86. Опыты Каллендера и Барнеса.

_{Косвенные методы используют электрические измерения. Амперметр градуируется по силе взаимодействия катушек с током, вольтметр градуируется на примитивном генераторе, дающем э. д с, которую можно вычислить из простой геометрии, измеренного тока и скорости вращения.}

* * *

Эксперименты по изучению взаимного превращения механической энергии и теплоты.

Краткое описание и результаты некоторых из наиболее известных экспериментов.

_{Год ∙ Экспериментатор ∙ Метод ∙ Результат в единицах Кал на тыс. дж.}

_{∙ 1708 ∙ Румфорд.}

_{Сверление пушки тупым сверлом. Лошади, приводившие в движение сверлильный станок, создавали «неограниченное количество» тепла. Сам Румфорд не вычислял механического эквивалента, но вычисления, основанные на его записях работы лошадей и нагревания воды, согласно Джоулю, позднее привели к указанной оценке ∙ 5 или 6.}

_{∙ 1799 ∙ Дэви.}

_{Трение двух кусочков льда один о другой, по его мнению, вызывает их таяние. Пользуясь часовой пружиной, он с помощью трения расплавлял в вакууме воск. (Эксперименты слишком грубы, чтобы служить истинной проверкой, но опыты Дэви сильно повлияли на взгляды других ученых.) ∙ 3,5.}

_{∙ 1842 ∙ Майер.}

_{Предложил термин «механический эквивалент тепла» и оценил его, исходя из удельной теплоемкости газов, но использовал неточные данные и делал произвольные допущения ∙ 3,5.}

_{∙ 1839–1843 ∙ Джоуль.}

_{Экспериментировал с электрическим током; он интерпретировал эффект нагревания и химический эффект на основе растущей веры в нечто, похожее на сохранение энергии, рассматривая теплоту как форму движения ∙ 3,5.}

_{∙ 1843 ∙ Джоуль.}

_{Построил простую электрическую машину, которая могла использоваться либо как генератор, либо как мотор. Приводя ее как генератор в движение падающими грузами, он измерял теплоту, созданную движением тока по катушке, погруженной в воду. (Роль катушки на деле выполнял статор машины.) Вычитание результатов эксперимента с выключенным магнитом («холостой ход») из результатов с включенным магнитом («рабочий ход») позволило ему учесть трение в подшипниках и т. д. ∙ (4,76; 5,38; 5,60; 4,90).}

_{∙ 1843 ∙ Джоуль.}

_{- Та же машина использовалась как мотор. (А) Мотор, приводимый в движение батареей, поднимал груз. (Б) Батарея создавала тот же ток и нагревала провода (на самом деле устройство было сложнее, но идея та же самая) ∙ (5,51; 3,15).}

_{- Улучшенная установка, описанная выше ∙ (4,62; 4,62; 3,95).}

_{∙ 1843 ∙ Джоуль.}

_{Вода пропускалась по тонким трубкам и нагревалась за счет внутреннего трения в жидкости. Измерялась сила, с которой поршень с очень маленькими отверстиями «продавливался» через воду в цилиндре ∙ 4,42.}

_{∙ 1844 ∙ Джоуль.}

_{Воздух, сжимаемый последовательными движениями компрессора, нагревался. Сосуд со сжатым воздухом помещался в большую массу воды для отвода и измерения количества тепла. При вычислении потребленной механической энергии Джоуль учитывал изменение сжимающей силы вследствие изменения давления по «закону Бойля» ∙ 4,22.}

_{∙ 1845 ∙ Джоуль.}

_{То же устройство, но с большим сжатием ∙ 4,27.}

_{∙ 1845 ∙ Джоуль.}

_{Сжатый воздух в сосуде, помещенном в водяную ванну, расширялся до атмосферного давления, охлаждаясь за счет этого ∙ (4,08; 4,37; 4,91).}

_{∙ 1845 ∙ Джоуль.}

_{Приводимая в движение падающими грузами крыльчатка перемешивала воду и за счет трения в жидкости, нагревала ее. (Первая форма эксперимента Джоуля.) ∙ 4,80.}

_{∙ 1847 ∙ Джоуль.}

_{- Усовершенствованная крыльчатка, перемешивающая воду. (Джоуль накручивал на барабан веревку с грузами и, чтобы получить достаточное повышение температуры, заставлял их падать по 20 раз. Он учитывал потерю тепла на нагревание воздуха и потерю кинетической энергии при ударе грузов о пол.) ∙ 4,21.}

_{- В том же устройстве вместо воды использовался китовый жир (о учетом измеренной удельной теплоемкости жира) ∙ 4,22.}

_{- В том же устройстве использовалась ртуть ∙ 4,24.}

_{∙ 1848 ∙ Джоуль.}

_{В том же устройстве перемешивалась вода. Было сделано 40 опытов с еще большей точностью. Джоуль полагал, что погрешность этих результатов составляет 0,5 % ∙ 4,15.}

_{∙ 1850 ∙ Джоуль.}

_{В том же устройстве перемешивалась ртуть ∙ 4,16.}

_{∙ 1850 ∙ Джоуль.}

_{Нагревание железных плиток трением ∙ 4,21.}

_{∙ 1857 ∙ Фавр.}

_{При одном и том же токе и продолжительности работы батарея создавала механическую энергию или теплоту ∙ (4,17-4,54).}

_{∙1857 ∙ Хирн.}

_{Сверление металла тупым сверлом ∙ 4,16.}

_{∙ 1861 ∙ Хирн.}

_{- Охлаждение водой металлического тормоза ∙ 4,23.}

_{- Нагревание воды при прохождении ее через узкую трубку под высоким давлением ∙ 4,16.}

_{- Расплющивание свинца. (Маятник-молот 300 кГ со скоростью 4,5 м/сек ударял по куску свинца 2,5 кГ на каменной наковальне массой 1 т. Свинец нагревался примерно на 5 °C.) ∙ 4,17.}

_{- Охлаждение сжатого воздуха при расширении в атмосферу ∙ 4,31.}

_{- Паровая машина (переход теплоты в механическую энергию). Арендовалась заводская паровая машина, для которой определялось полное количество тепла, переданное топкой пару; далее вычислялись затраты тепла на излучение, в конденсаторе и т д. и определялась полученная механическая энергия ∙ (4,12-4,23).}

_{∙ 1858 ∙ Фавр.}

_{Трение металлов в ртути ∙ 4,05.}

_{∙ 1857–1859 ∙ Вебер, Фавр, Зильберман, Джоуль, Боша, Ленц и Вебер.}

_{Косвенные электрические методы. Измерялась теплота, выделяемая током в проводах или в химических батареях. Оценка механической энергии производилась косвенно по электрическим приборам (амперметру, вольтметру и/или омметру). Электрические единицы еще не были твердо установлены, так что результат ненадежен ∙ (3,9; 4,2; 4,2; 4,2; 4,1; 4,1; 3,9–4,7).}

_{∙1865 ∙ Эдлунд.}

_{Расширение и сжатие металлов ∙ 4,35; 4,21; 4,30.}

_{∙1867 ∙ Джоуль.}

_{Количество тепле, выделенного известным током на известном сопротивлении ∙ 4,22.}

_{∙1867 ∙ Вебер.}

_{То же ∙ 4,21.}

_{∙1870 ∙ Виолле.}

_{Вращающийся в магнитном поле диск нагревался вихревыми электрическими токами. Измерялся механический момент и выделение тепла ∙ 4,26; 4,26; 4,27.}

_{∙ 1875 ∙ Пулуй.}

_{Трение металлов ∙ (4,167-4,180).}

_{∙1878 ∙ Джоуль.}

_{Перемешивание воды крыльчаткой; усовершенствованная установка (среднее из 34 опытов) ∙ 4,158 (5).}

* * *

Тем временем и другие экспериментаторы представили новые доказательства. Во Франции Хирн сделал схожие с Джоулем сравнения и, кроме того, добавил еще два новых, хотя и грубых, но важных опыта, поскольку они отличались от остальных. С помощью огромного железного молота в виде маятника он расплющивал кусок свинца о каменную наковальню. При этом измерялась кинетическая энергия маятника до удара с учетом остаточной кинетической энергии и потери ее сравнивались с теплотой, выделившейся в неупругом свинце. Хирн производил также и обратные измерения, когда теплота исчезала, а механическая энергия появлялась. Он арендовал обычную фабричную машину и замерял поступавшее количество тепла и выход механической энергии. Он определял теплоту горячего пара, вычитал из нее теплоту, растраченную в воздух, и т. д., и сравнивал остаток с увеличением механической энергии.

Посмотрите же теперь на все «улики» и судите сами. Получился длинный список результатов — от первых грубых прикидок до прецизионных измерений. Коэффициент перехода выражен в современных единицах — дж/Кал. Если вы рассмотрите работы самого Джоуля, то поймете, почему единица энергии названа его именем.

* * *

_{Итак, все было ясно. Оставалось лишь узнать самые «пустяки». Величина механического эквивалента J измерялась теперь с такой точностью, что нужно было пользоваться более точным значением ускорения силы тяжести g, а величина 1 Кал зависела от того, взвешивалась ли вода бронзовой гирей в 1 кг в воздухе или вакууме. Кроме того, стало ясно, что при повышении температуры воды от 10 до 11 °C и от 17 до 18 °C требуется разное количество тепла. Если, по определению, в качестве 1 Кал мы возьмем удельную теплоемкость при 20 °C (удобная комнатная температура), то при более низкой температуре она будет несколько больше. Так что для измерений с точностью до 0,1 % и выше. Мы должны договориться, при какой температуре определяется Калория.}

_{За последние восемь лет было проделано много точных измерений величины J. Ниже приведены некоторые результаты, полученные при взвешивании в вакууме и использовании «двадцатиградусной Калории» (т. е. определенной нагреванием воды от 19,5 до 20,5 °C).}

_{∙ 1878 ∙ Джоуль.}

_{Перемешивание воды. Результаты предыдущего эксперимента пересчитаны на взвешивание в вакууме и измерения газовым термометром ∙ 4,172.}

_{∙ 1879 ∙ Роуланд.}

_{Перемешивание воды крыльчаткой, приводимой в движение паровой машиной. Большое внимание было уделено конструкции прибора и точности измерения температуры ∙ 4,179.}

_{∙ 1892 ∙ Мицелеску.}

_{Перемешивание воды ∙ 4,166.}

_{∙ 1899 ∙ Каллендер и Барнес.}

_{Нагревание электричеством непрерывного потока воды. Повышение температуры измерялось также электрически! и методами ∙ 4,188.}

_{∙ 1927 ∙ Леби и Геркус.}

_{Перемешивание воды ∙ 4,1802 ± 0,0001.}

_{∙ 1939 ∙ Осборн и др.}

_{Нагревание воды электричеством ∙ 4,1819.}

* * *

Так в конце концов было установлено, что теплота, химическая и электрическая энергии способны к взаимным превращениям с потенциальной и кинетической энергиями и представляют собой различные формы универсальной сохраняющейся энергии.

Но энергия измерялась в разных единицах: потенциальная и кинетическая энергии в единицах работы, таких, как (ньютон)∙(метр), а теплота — в кг воды на 1 °C, или Калориях. Химическая энергия измерялась косвенно в тепловых единицах. Электрическая энергия могла измеряться в любых единицах. Мы использовали отношение этих единиц (1 Кал):(1 ньютон∙м) как «улику» против теплорода. Если теперь мы пришли к выводу, что теплота — это форма энергии, то их отношение должно быть универсальным, и нам необходимо точное значение этой величины. Взяв среднее из наиболее точных измерений, мы можем сказать, что.

Калория при 20 °C = 4180 дж,

Калория при 15 °C = 4184 дж.

Поэтому при вычислении можно пользоваться приближенным значением 4200 дж/Кал.

Термодинамика.

Итак, был установлен общий закон:

Теплота и механическая энергия могут переходить друг в друга с постоянным коэффициентом перехода.

Это утверждение мы называем первым началом термодинамики. В своей наиболее общей форме оно включает и такое утверждение, как «вечный двигатель невозможен». Мы установили этот закон на основе множества экспериментов, но при этом интересовались лишь такими вещами, как количество тепла, величина потенциальной энергии. Мы не вникали в детали и. не ставили вопросов: какие химические реакции происходят в батарее? Колеблются ли атомы расплющиваемого свинца? Такой общий подход характерен для термодинамики — и он противоположен подходу атомной физики, научающей сначала детали механизма атомных процессов, а затем на их основе делающей выводы.

Общее рассмотрение тепловых машин приводит ко второму началу термодинамики:

Теплота сама по себе не может переходить от холодного тела к теплому.

Это простое, почти тривиальное утверждение вместе с первым началом превращается в мощную теорию. Термодинамика приводит к кельвиновской шкале температур, является основой всех тепловых машин от паровоза до двигателя современной ракеты, основой теории холодильников и «перекачивания» тепла, дает возможность делать разнообразные полезные предсказания, например устанавливать связь между напряжением батареи и химическими реакциями в ней, или утверждать, что.

ПОТОК ИЗЛУЧЕНИЯ ~ Т⁴.

Общность подхода, лежащего в ее основе, придает ей еще большую силу, ибо изменения деталей внутреннего механизма процессов в системе не могут повлиять на ее заключения.

Когда к термодинамике добавляют молекулярную картину строения вещества, она превращается в «статистическую механику», которая исследует законы хаотического движения. Благодаря этому термодинамика связывается с атомной физикой. А в последнее время примененная вместо молекул к «битам информации», она перевернула теорию и практику связи.

Физика XIX века.

В начале прошлого века энергия была идеей, не имевшей прочной репутации. Но благодаря Джоулю и многим другим возникло представление о сохранении энергии: механическая переходит в тепловую, тепловая в механическую — баланс всюду сходился; химическая энергия превращалась в тепловую или сначала в электрическую, а затем в тепловую, электрическая энергия в химическую, а затем в тепловую — все это было обнаружено в массе опытов, которые проверялись и перепроверялись. Баланс все равно сходился.

Это был век торжества науки. В начале века утвердилась химия, и незадолго до этого был открыт электрический ток; в середине столетия наука об электричестве и электротехника стали развиваться гигантскими шагами, а в конце зародилась атомная физика. Но величайшим достижением, по-видимому, явилось установление закона сохранения энергии, причем энергия стала фундаментальным понятием, связавшим все воедино.

«Опыты Джоуля» в лаборатории. Работы Джоуля и его установки были чудом экспериментальной точности. Обычно результаты опытов искажаются потерями тепла. Чтобы оценить работу Джоуля, вам предстоит исследовать в лаборатории сохранение энергии. Но при этом вряд ли удастся добавить что-либо к полученным Джоулем экспериментальным доказательствам. Ваша работа скорее направлена на то, чтобы вызвать чувство уважения к Джоулю в его борьбе с трудностями и восхищение его искусством. Опыт. Измерение перехода потенциальной энергии силы тяжести в теплоту при падении свинцовой дроби (грубый эксперимент). Положите горсть свинцовой дроби в закрытую картонную трубку и быстро переверните ее так, чтобы дробь пролетела всю высоту трубки. Резко переверните трубку еще и еще раз, подряд раз 50. С помощью ртутного термометра измерьте температуру дроби, высыпав ее в бумажный стаканчик, до и после серии переворачиваний. При каждом переворачивании трубки свинец приобретает гравитационную потенциальную энергию за счет энергии переворачивания трубки. При падении дроби ее потенциальная энергия превращается в кинетическую, которая затем при неупругом ударе дроби о дно переходит в теплоту. Вычислите полную потенциальную энергию, потерянную дробью, и приращение количества тепла. Допустив, что весь запас потенциальной энергии переходит в теплоту и что теплота не теряется, вычислите механический эквивалент J, т. е. количество потенциальной энергии в джоулях, превратившейся в 1 Кал тепла. 1) Если хотите, взвесьте дробь или объясните, почему это не обязательно. 2) Удельную теплоемкость свинца примите равной 0,035 или посмотрите ее в таблицах. 3) Нарисуйте трубку и укажите, где находится дробь: а) в верхнем положении, б) в нижнем. С помощью этого рисунка определите, какую нужно брать высоту падения. 4) Когда дробь заканчивает свое падение, дно трубки должно находиться на твердом столе. Если вы держите трубку в руке, то удар «смягчается», так как ваша рука пружинит, и значительная часть кинетической энергии дроби отдается руке. С другой стороны, если при переворачивании вы сдвинете трубку вверх, а затем стукнете ею по столу, дробь будет падать с большей кинетической энергией, нежели дает расчет. 5) Почему мы советуем сделать 50 переворотов? После 5 переворотов температура возрастает слишком мало, а после 5000 установится постоянная температура. Почему? Что лучше: 10, 20, 50 или 100 переворотов? После выполнения этого опыта подумайте об его усовершенствовании. Что лучше: увеличить число переворотов, добавить дроби, удлинить трубку или взять другой термометр? Некоторые из этих изменений можно исследовать с помощью рассуждений, другие же требуют опытной проверки. Однажды группа учащихся сделала целую серию опытов, которые ясно показали, как одно из этих изменений может улучшить все дело. Это очень неточный эксперимент. Не думайте, что его результат будет в согласии с Джоулем и вряд ли можно избавиться от главных ошибок путем проведения многих опытов. Если у вас есть приборы для более серьезных измерений — воспользуйтесь ими. Задача 1. Опыт Джоуля и водопад. Водопад дает возможность провести эксперимент по перемешиванию воды в огромном масштабе. Джоуль проводил свой медовый месяц в Швейцарии, там он измерял разность температур между верхним и нижним уровнями водопада высотой около 50 м. А) Предположив правильность идеи Джоуля, оцените ожидаемую разность температур, для чего: 1) вычислите потерю потенциальной энергии 2 л воды; 2) вычислите повышение температуры, считая, что потенциальная энергия этих 2 л воды превращается в теплоту (допустим, вы знаете, что 1 Кал = 4200 дж). Б) Объясните, почему повышение температуры не зависит от массы воды выбранной для расчетов? В) Почему измерения нужно проводить в безветренный день? Чем плох ветреный день? Г) Даже в тихий день предсказанную разность температур могут дать только некоторые водопады. Опишите или нарисуйте типы водопадов, которые не дадут разности температур. Задача 2. Измерение температуры в опыте Джоуля. Крыльчатка в опыте Джоуля вращалась с помощью двух падающих грузов по 14 кг каждый. Груз опускался приблизительно на 2 м, затем Джоуль вновь накручивал веревку и отпускал грузы. В каждом опыте проводилось 12 таких падений. Эффективная масса воды в калориметре составляла около 7 кг. (Сюда включалась и поправка на калориметр, крыльчатку и т. п.). Допустим теперь, что коэффициент перехода между механической потенциальной энергией и теплотой составляет 4200 дж на каждую Калорию. Найдите возрастание температуры воды. (Это, конечно, искажение реального опыта. Джоуль измерял повышение температуры и отсюда выводил величину J. Однако было бы неправильно идти по этому пути, не приняв во внимание многочисленных поправок Джоуля и не используя его точные измерения. Вычисления, которые здесь требуются, покажут вам масштаб повышения температуры, которую должен был измерять Джоуль.).

Глава 30. Плодотворное развитие кинетической теории газов.

«Конструкция перегородки. При атмосферном давлении средний свободный пробег молекул имеет порядок десятитысячной доли миллиметра, или десятой доли микрона. Чтобы обеспечить истинный, «диффузионный» поток газа, диаметр бесчисленного множества отверстий в перегородке должен быть меньше одной десятой среднего свободного пробега. Следовательно, материал перегородки должен иметь миллионы отверстий диаметра, меньшего или равного 0,01 микрона (4∙10^-7 дюйма), и почти не содержать отверстий с диаметром, превышающим эту величину…. Даже при допущении атмосферного давления по одну сторону и полного вакуума — по другую… установка большого масштаба, как показывают расчеты, требует перегородок общей площадью во много акров». Г. Д. Смит, «Атомная энергия для военных целей»[209].

Скорость молекул и температура.

Теперь мы можем продолжить молекулярную теорию газов и разобраться с энергией:

ДАВЛЕНИЕ ∙ ОБЪЕМ = ¹/₃ N∙m∙v^¯2 = ²/₃ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ МОЛЕКУЛ.

По шкале газового термометра P∙V служит мерой абсолютной температуры Т. Следовательно,

КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ МОЛЕКУЛ ~ Т,

А.

СРЕДНЯЯ СКОРОСТЬ ~ √Т.

Задача 1. Температурные эффекты. А) Найдите точную зависимость от температуря скорости звука в воздухе. Б) Предскажите зависимость от температуры скорости проникновения газа через пористую перегородку. (Вопрос поставлен слишком неопределенно, чтобы ответ имел ясный практический смысл. Для определенности притом, что вся диффузионная установка нагревается в замкнутом объеме. В противном случае газ при нагревании станет более разреженным и вы не получите ожидаемой выгоды.).

Но как все-таки сравнить разные газы при одной и той же температуре? Нам необходимо вполне определенное правило, которое помогло бы предсказывать их свойства и проектировать диффузионные заводы, скажем для разделения изотопов. Правило оказывается простым.

Скорости молекул.

Даже в газе, состоящем из одинаковых молекул, разнообразие скоростей огромно. Средняя скорость молекул при данной температуре имеет вполне определенную величину, однако отдельные молекулы при каждом соударении изменяют свою скорость, двигаясь иногда быстрее, а иногда медленнее. Допустим, что мы можем заставить некоего «демона» наблюдать за молекулой и через каждую миллионную долю секунды записывать ее скорость. Тогда полученные им результаты будут выглядеть так, как это представлено на фиг. 87. Они изобразятся колоколообразной кривой, характеризующей хаотическое движение, скорость которого в большинстве случаев близка к среднему значению. Аналогичное распределение скоростей получится и на моментальной фотографии молекул газа. Такой график называется «максвелловским распределением», по имени Джеймса Клерка Максвелла, который первый дал описание движения молекул газа более века назад.

Фиг. 87. График распределения no скоростям (I).

_{A — число молекул (гистограмма), изображающее распределение по скоростям в газе. Каждый крестик на графике показывает молекулу, скорость которой лежит в маленькой окрестности скорости v}

_{Примечание. Каждому крестику левой части соответствует медленная молекула, а правой — быстрая (в данный момент). Максимум дает наиболее «популярную» скорость. Средняя скорость расположена недалеко от нее.}

_{Б — такая же колоколообразная кривая, показывающая шансы промаха стрелка, когда он целится прямо в «яблочко» мишени. (Один и тот же «закон случая» применим как к случайным вздрагиваниям руки стрелка, так и к молекулярным скоростям при хаотических упругих соударениях в газе). Кривая б нарисована для обычной плоской мишени с кругами равной ширины, кривая а давала бы вероятность попадания в трехмерную мишень со сферическими зонами.}

При наличии смеси двух газов приходится следить за двумя сортами молекул, которые при каждом соударении обмениваются импульсами и энергией. Наш «демон», потрудившись изрядно и записав все тщательно, должен был бы дать нам сведения о скорости, импульсе и кинетической энергии каждого сорта молекул. К сожалению, такого «демона» у нас нет, а сами мы рядом с молекулами Слишком неуклюжи и огромны и не способны наблюдать их по отдельности. Однако при некоторых предположениях мы можем проделать эту работу в уме.

Предположим, что:

1) молекулы движутся хаотически, они столь многочисленны и сталкиваются так часто, что оправдано статистическое рассмотрение;

2) при каждом соударении импульс сохраняется, т. е. молекулы подчиняются тем же законам столкновения, что и упругие шары;

3) при каждом соударении кинетическая энергия сохраняется; происходит упругое соударение[210], в противном случае молекулы через долю секунды падали бы на дно сосуда.

Пометим теперь любые две сближающиеся, сталкивающиеся и разлетающиеся молекулы номерами 1 и 2 и запишем простые алгебраические уравнения:

(Полный импульс до соударения) = (Полный импульс после соударения).

M₁v₁ + m₂v₂ = m₁v'₁ + m₂v'_2.

(Полная кинетическая энергия до соударения) = (Полная кинетическая энергия после соударения).

¹/₂ m₁v₁² + ¹/₂ m₂v₂² = ¹/₂ m₁v'₁² + ¹/₂ m2v'₂^2.

Одно соударение — лишь небольшой штриха общей картине. Эти уравнения нужно написать для миллиардов соударений и просуммировать по громадному множеству молекул. Результат оказывается простым: при смешении газов А и В молекулы обоих типов будут обладать одной и той же средней кинетической энергией.

¹/₂ m_Av^¯_A² = ¹/₂ m_Bv^¯_B^2.

Чтобы получить этот результат, нам нужна не таинственная физика, а высшая математика для усреднений, и придется еще позвать на помощь статистика. Он занимается той же работой, но в других областях. Например, для страховых компаний он усредняет продолжительность жизни многих людей в разных ситуациях. Продолжительность отдельной жизни может сильно отличаться от средней, но само среднее — удивительно надежная величина. Благодаря ей страховые компании оправдывают свои миллионные вложения. В газе же имеют дело с гораздо большим числом «клиентов» и событий, нежели любая страховая компания.

В наперстке воздуха более 50 000 000 000 000 000 000 молекул, каждая из которых сталкивается миллиарды раз в секунду. Поэтому, хотя и следует ожидать индивидуальных флуктуации, как в броуновском движении, усреднение дает надежные статистические предсказания[211].

Чтобы уяснить себе статистическую задачу, рассмотрим воображаемую социологическую ситуацию. Посадим на необитаемый остров миллион гигантов и миллион пигмеев, снабдив их деньгами, топливом, пищей и т. п. А теперь спросим статистиков: «Каково будет распределение среди гигантов и пигмеев через несколько лет?» Статистик потребует от нас уточнения: «Распределение чего? Денег? Одежды? Роста?» Свой ответ статистик может представить нам в виде графиков а и б на фиг. 88.

Фиг. 88. Графики распределений (II, III, IV, V).

_{Молекулы на Графике V сгруппированы в соответствии с величиной Мv независимо от направления скорости.}

Даже если мы потребуем, чтобы были сохранены первоначальные деньги и одежда (старые платья просто перешиваются), то должны ожидать одного и того же среднего для денег и разного среднего для одежды.

Вернемся к молекулам. Статистик скажет нам, что для любой смеси молекул распределение по кинетическим энергиям будет одним и тем же, с одинаковым средним значением у молекул различных типов[212]. Распределение по импульсам будет различным. (Среднее значение импульса, разумеется, в отсутствие ветра равно нулю. Здесь же мы говорим о величине Mv безотносительно к ее направлению.).

Равномерное распределение энергии.

Этот статистический результат называется равномерным распределением энергии. В любой смеси газов энергия распределяется между молекулами так, что средние кинетические энергии молекул разного типа оказываются одинаковыми. То же справедливо и когда газы не смешиваются, а содержатся в раздельных контейнерах, но при одной и той же температуре, ибо тогда их можно смешать без каких бы то ни было изменений. Следовательно, если два газа А и В находятся при одинаковой температуре, то.

¹/₂ m_Av^¯_A² = ¹/₂ m_Bv^¯_B^2.

Этот закон равномерного распределения энергии оказывается очень полезным. Рассмотрите в этой связи следующие задачи,

Задача 2. Скорость диффузии. Предполагая применимость равномерного распределения энергии, предскажите отношение скоростей диффузии двух газов А и В из резервуара с высоким давлением в вакуум через пористую перегородку. Задача 3. Разделение изотопов урана. Для атомных бомб и реакторов на обогащенном уране необходимо отделить легко расщепляющийся изотоп U²³⁵ от обычного изотопа U²³⁸, который мешает делению. Это достигается диффузией в огромном масштабе. Твердый уран химически переводится в газообразный фторид урана UF₆, диффундирующий через мелкие поры в специальной перегородке (см. фиг.16–18, стр. 358–360). Следуя изложенным ниже рассуждениям, установите возможный выход газа. 1) Химические эксперименты и рассуждения показывают, что молекула кислорода состоит из двух атомов, поэтому мы записываем ее как О₂, молекула водорода также составлена из двух атомов, Н₂, а молекулы фторида урана имеют состав UF₆. 2) Химические измерения говорят нам, что относительные массы отдельных атомов О, Н и F и обычного урана равны 16, 1, 19 и 238. Все это в шкале, где легчайшему атому, Н, приписывается масса 1 (точнее, 16,0000…— изотопу кислорода О¹⁶). А) Какова, по вашему мнению, будет скорость молекул кислорода по сравнению с молекулами водорода при той же температуре? Из соотношения (масса О₂)/(масса Н₂) = 32/2 и равномерного распределения энергии, (без возвращения к PV = ¹/₃…) вычислите отношение. (средняя скорость Н₂)/(средняя скорость О₂). Б) Повторите эти же сравнения для О₂ и UF₆. (Относительная масса UF₆ равна, конечно, не просто 238, а 238 для U плюс 6-19 для F₆, т. е. 238 + 114 = 352.). В) Вспомните теперь, что существует несколько сортов (изотопов) урана. В естественной смеси изотопов урана, полученной из руды, большинство атомов имеет относительную массу 238, редкого изотопа 235 в смеси всего 0,7 %; его-то как раз и нужно отделить. Предположим, что через пористую перегородку диффундирует смесь (U²³⁸F₆ и U²³⁵F₆). Более легкие молекулы. UF₆ отличаются по средней скорости от более тяжелых, поэтому в диффундировавшей смеси получается другая пропорция изотопов. Будет ли новая смесь относительно богаче или беднее U²³⁵F₆? Г) Объясните ваш ответ. 8) Установите процентную разницу между средними скоростями U²³⁸F₆ и U²³⁵F₆. (Примечание. Как показано в гл. 11[213], изменение некой измеряемой величины Q на х% для √Q дает изменение ¹/₂ х%.) В) Найденное выше различие средних скоростей иллюстрирует то мизерное изменение, которое дает диффузия на пути от природной смеси с 0,7 % U²³⁵F₆ к желаемому продукту, содержащему, скажем, 99 % U²³⁵F₆. Поэтому в каскадной диффузионной системе (см. фиг. 18, стр. 360) необходимо множество стадий. Сколько, по-вашему, потребуется последовательных стадий: дюжина? тысячи? миллионы? (Выберите разумное число.).

Масса молекул.

С помощью равномерного распределения энергии мы действительно можем определить массу молекул. Суть идеи иллюстрирует приводимая ниже задача 4. При этом достаточно косвенных экспериментальных измерений. По броуновскому движению частиц мы наблюдаем суммарный эффект, но не можем увидеть частых ударов молекул. Молекулярное движение безнадежно скрыто от нас. Мы можем регистрировать положение какой-то частицы через равные интервалы времени и измерять расстояние, пройденное за каждый интервал. Но это снова статистические данные и нам снова нужна помощь математики. Эйнштейн и другие показали, как по записи блужданий частицы найти ее истинную скорость.

На фиг. 89 показана траектория броуновского движения одной частицы, зарегистрированная знаменитым французским физиком Пэрреном. Он отмечал положение частицы через каждые 2 минуты.

Фиг. 89. Карта Пэррена.

_{Линии проведены по записям Пэррена и соответствуют расстоянию около 10^-5 м (1/100 мм) в воде. Масса частиц ~ 10^-16 кг.}

«Обсчет» измерении привел затем к значению средней скорости частицы v₁, а следовательно, и к массе толкающих частицу молекул. Сам метод, вообще говоря, не очень точен, если бы не золотые руки французского экспериментатора Пэррена, который посвятил этому годы своей жизни. Полученные им результаты согласовались с более надежными оценками, сделанными на основе измерений отношения заряда к массе для ионов и величины заряда электрона.

Задача 4. Измерение массы отдельной молекулы. Равномерное распределение энергии — вещь настолько общая, что ее можно применять и к броуновскому движению частицы пепла, пляшущей среди молекул воздуха. Предположим, что удалось измерить среднюю скорость частицы v₁ и ее массу m₁. А) Объясните, как можно вычислить массу отдельной молекула? Б) Скажите, какая еще экспериментальная информация нужна для ответа? В) Откуда взять эту дополнительную информацию? Задача 5. Масса «молекул воздуха»[214]. Вот данные, которые можно получить из броуновского движения. Правда, они искусственны и получены не из эксперимента, который должен был бы быть непосредственным, но зато типичны для реального броуновского движения. Наблюдения дают среднюю скорость случайного движения частицы пепла (масса которой 10^{-14 кг} — одна стомиллионная миллиграмма), равную примерно 10^-3 м/сек (1 мм/сек). Найдите массу «молекулы воздуха». (Точность вашего результата будет не выше 10–30 %, но для такой фундаментальной величины важна даже грубая оценка. Здесь дело в принципе, а не в точности.). Задача 6. Закон Авогадро. Свыше века назад итальянский ученый Авогадро, предложив блестящую гипотезу, вывел химию из серьезного тупика. Авогадро предположил, что равные объемы разных газов содержат одной то же число молекул (при одной и той же температуре и давлении). Это позволило простым способом — взвешиванием равных объемов двух газов — сравнивать массы, молекул. Полученные результаты согласовались с данными других источников, и химики порывались рассматривать «гипотезу» Авогадро как «закон». Сейчас, применив равномерное распределение энергии, вы сможете доказать его. Допустим, что газы А и В при одинаковом давлении Р занимают равные объемы V (фиг. 90). Газ А состоит из N_A молекул с массой m_A, а газ В — из N_B молекул с массой m_B. Напишите для каждого из газов предсказание кинетической теории PV = ¹/₃…, использовав равномерное распределение энергии, докажите равенство N_A = N_B, которое и составляет содержание закона Авогадро.

Фиг. 90. К задаче 6.

Задача 7. Химическая логика. Вот как закон Авогадро используется в химии. Если смешать равные объемы водорода (Н) и хлора (С1), то вспышка света вызовет химическую реакцию (взрыв), в которой они, соединяясь, образуют новый газ — хлористый водород HCl (в водном растворе — соляная кислота). (Если первоначальные объемы не равны, то избыток одного из газов остается неиспользованным.). Поэтому 1 л водорода и 1 л хлора дают 2 л смеси, а после взрыва — 2 л соединения хлористого водорода (когда газ остынет до первоначальной температуры). А) Если 1 л водорода содержит N молекул, то сколько молекул содержит 1 л хлора? Б) Сколько образуется молекул соединения? В) Разделив общее число исходных молекул на число молекул соединения, определите, сколько исходных молекул расходуется на образование одной молекулы хлористого водорода? Г) Что можно заключить о числе атомов водорода в молекуле газа водорода? Д) Дайте обоснование вашего ответа. Задача 8. Предсказание удельной теплоемкости гелия. Не будем измерять удельную теплоемкость гелия, а, подобно фокуснику, «вытащим» ее из нашей «теоретической шляпы». Пусть тепловая энергия гелия равна кинетической энергии его молекул, так что: 1) Из PV = ¹/₃… следует, что полная кинетическая энергия всех N молекул N∙(¹/₂ mv²) должна быть равна ___ 2) Предположим, что вся эта кинетическая энергия есть теплота, поглощенная газом при нагревании его от абсолютного нуля до той температуры Т, при которой он находится. Измерения газовым термометром показывают, что если газ находится при температуре тающего льда, это соответствует температуре 273 °C выше нуля. Полная масса газа равна N∙m, а повышение температуры равно 273 °C. Необходимая для нагревания теплота равна. МАССА ∙ Δ (ТЕМПЕРАТУРЫ) ∙ УДЕЛЬНАЯ ТЕПЛОЕМКОСТЬ. Комбинируя это с полученным выше результатом, найдите выражение для удельной теплоемкости через давление Р, объем V, массу Nm или М и т. д. 3) Примените это к гелию, используя следующие данные: 4 кг гелия при температуре таяния льда и давлении 1 атм (примерно 100 000 ньютон/м²) занимают 22,4 м³. Вычислите удельную теплоемкость гелия. Не забудьте, что вычисленная вами в п. 1 кинетическая энергия выражена в (ньютон)∙(метр), или джоулях, а теплота, вычисленная в п. 2, выражена в Калориях. Прежде чем ответить на вопрос, выразите обе величины в одинаковых единицах (1 Кал = 4200 дж). (Примечание. Вместо температуры тающего льда можете взять комнатную температуру 293 °C выше абсолютного нуля и объем 24 м³) Удельная теплоемкость газов. Сравните ваше решение задачи 8 с экспериментальным значением удельной теплоемкости гелия, равным 0,74[215]. Предсказания и эксперимент согласуются очень хорошо. Измеряемое значение одно и то же при всех температурах, как это следует из вычислений. Следовательно, наша теория хорошо оправдывается. Найдем теперь аналогичные данные для водорода. Если вместо 4 кг гелия мы возьмем 2 кг водорода в этом же объеме, то получим, что удельная теплоемкость должна быть около 1,5. Экспериментальное значение совершенно другое — около 2,5. Таким образом, наша теория продержалась недолго. Это расхождение оказывается полезным для новой теории. Получаемое из статистической механики равномерное распределение энергии в общем случае касается не только кинетической энергии движения. Оно утверждает только, что «средняя кинетическая энергия у всех молекул одинакова». Оно поровну наделяет энергией все независимые типы движений молекулы. Для атомов гелия, которые мы представляли в виде крошечных круглых шариков, хаотическое движение можно разбить на три независимые компоненты: движение вверх — вниз, вперед — назад и влево — вправо в направлениях х, у и z. Это — поступательное движение молекул, поэтому энергию его мы называем поступательной кинетической энергией. Равномерное распределение энергии говорит нам, что энергия в среднем складывается из трех равных долей поступательного движения. Сумма этих трех[216] долей должна давать полную кинетическую энергию, которая равна ³/₂ PV. Следовательно, на каждую долю поступательной энергии приходится ¹/₂ PV.

Фиг.91.Поступательное движение.

_{Атомы типа атома гелия обладают энергией поступательного движения. Любое такое движение можно разложить на три перпендикулярные составляющие вдоль осей х, у и z. Движение молекулы в каждом из этих трех направлений можно считать независимым.}

Фиг. 92. Молекула из двух атомов (типа H₂).

_{А — молекула представляет собой нечто «лохматое»; б — схематическое изображение такой молекулы в виде гантели.}

Но в молекулу водорода входят два атома Н-Н, и она, кроме того что движется как целое, может еще вращаться наподобие гантели (фиг. 93), т. е. обладать и вращательной энергией.

Фиг. 93. Вращательное движение.

_{Молекула из двух атомов (типа Н2) характеризуется двумя независимыми направлениями вращения. Здесь это вращения вокруг осей у и z.}

У такой гантели, вообще говоря, имеются три независимые оси вращения. Однако вращение вокруг третьей оси (оси гантели) возбудить при соударениях слишком трудно. Таким образом, необходимо учитывать две доли вращательной энергии, кроме трех долей поступательной, каждая из которых равна ¹/₂ PV. Следовательно, при расчете теплоемкости водорода надо иметь в виду, что теплота расходуется на увеличение не только поступательной, но и вращательной энергии, т. е. вместо трех долей нужно учитывать пять. Его удельная теплоемкость поэтому должна быть в ⁵/₃ раза больше наших предсказаний, а ⁵/₃∙(1,5) = 2,5; тогда согласие с экспериментальным результатом 2,40 оказывается очень хорошим. От этого же химики должны были бы прийти в восторг, ибо им не было известно, что такое молекула водорода: Н₂? Н₄? Н₆?…, теперь же они получили аргумент в пользу Н₂. К сожалению, все не так просто. Пара атомов в молекуле может еще колебаться друг относительно друга вдоль оси молекулы (фиг. 94).

Фиг. 94. Колебательное движение вдоль оси молекулы.

_{Это движение обладает потенциальной и кинетической энергиями.}

Колебательное движение потребует своей доли энергии, даже двойной доли, ибо любое колебание обладает как кинетической, так и потенциальной энергиями, а равномерное распределение обещает стандартную долю энергии каждой из них. Но тогда мы получили слишком много, 3,5. Экспериментальное значение теплоемкости водорода изменяется с температурой (фиг. 95).

Фиг. 95. Удельная теплоемкость водорода.

При очень низких температурах оно равно 1,5, в области комнатных температур 2,4, а при очень высоких — ползет к 3,5. Это как раз те значения теплоемкости, когда возбуждены такие движения: _{Поступательное (3) (всего 3 доли)… удельная теплоемкость 1,5. Поступательное (3) + вращательное (2)… удельная теплоемкость 2,5. Поступательное (3) + вращательное (2) + колебательное (2)… удельная теплоемкость 3,5.} Эти ступеньки для каждого из ожидаемых значений были загадкой, пока не сообразили, что они получаются из ограничений на вращательную и колебательную энергии — ограничений квантового типа. Квантовые правила возникшие из другого неожиданного поведения излучения, требуют, чтобы энергия на периодическое движение, такое, как колебания или вращение, бралась стандартными «порциями». Энергия каждой из таких «порций», или квантов, определяется правилом[217]; (ЭНЕРГИЯ КВАНТА) = (УНИВЕРСАЛЬНАЯ ПОСТОЯННАЯ)∙(ЧАСТОТА ПОВТОРЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ). Таким образом, вращение или колебание с высокой частотой должно обладать энергией в виде одной, двух, трех…. больших порций, возможно слишком больших, чтобы атом или молекула могли иметь хотя бы одну порцию для поддержания средней энергии, характерной для данной температуры. (Если бы сахар продавался и поедался только мешками по 100 кг, он исчез бы из рациона «среднего» жителя и лишь сказочным гигантам, пожалуй, такая норма была бы по вкусу.) Эти порционные ограничения на равномерное распределение энергии объясняют все особенности и предсказывают новые экспериментальные факты. Сообщим молекуле один квант энергии вращения. Это заставит ее вращаться очень быстро, ибо ее инерция вращения (момент инерции) довольно мала. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ВРАЩЕНИЯ = ¹/₂ (МОМЕНТ ИНЕРЦИИ)∙(УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ ВРАЩЕНИЯ)^2. Но при быстром вращении молекулы кванты ее энергии должны быть большими. Поэтому молекулы поглощают энергию либо большими квантами, либо не поглощают вовсе и не вращаются. При низких температурах средняя доля энергии, положенная по закону равномерного распределения, оказывается гораздо меньше одного кванта, так что вращаться могут лишь немногие молекулы. При комнатной температуре средняя доля составляет несколько квантов, и равномерное распределение осуществимо. Молекулы колеблются с очень высокой частотой, поэтому практически ни одна из молекул не может колебаться, пока газ не нагрет до очень высокой температуры. Удельная теплоемкость твердых тел. Аналогичное рассмотрение можно применить и к колебаниям атомов в твердом кристалле (фиг. 96).

Фиг. 96. Удельная теплоемкость твердого тела.

_{Все атомы кристаллической решетки твердого тела похожи друг на друга и каждый из них может колебаться. Равномерное распределение предполагает равную долю кинетической и потенциальной энергий на каждое из направлений колебаний атома в трехмерном пространстве. Отсюда мы получаем, что произведение удельной теплоемкости на атомный вес должно быть постоянной величиной, приблизительно равной 6. Однако экспериментальные измерения, как видно из точек на фиг. 97, при низких температурах дают гораздо меньшую величину.}

Допустим, что атомы гелия сконденсировались в твердое тело. Каждый атом теперь привязан упругими силами к своему месту в кристаллической решетке. У него нет ни поступательного, ни вращательного движения, но он может колебаться в трех независимых направлениях, так что должен обладать шестью долями колебательной энергии вместо трех долей поступательного движения. Поэтому удельная теплоемкость твердого гелия должна быть вдвое больше чем 0,75, т. е. 1,5. Однако замороженный гелий ведет себя не так просто; снова возникают квантовые неприятности. Но поведение других твердых тел при более высоких температурах хорошо согласуется с этим предсказанием. Умножая предсказанное для гелия число 1,5 на его атомный вес 4, мы получаем 6,0. Если вы проследите за рассуждениями в задаче 8, то увидите, что переход к другому элементу дает ту же самую величину произведения удельной теплоемкости на атомный вес. В этом заключается правило Дюлонга и Пти, открытое около века назад в решившее споры о химических атомных весах. Оно удивительно хорошо подходит повсюду, за исключением низких температур, где дают себя знать квантовые эффекты. При достаточно низких температурах квантовые ограничения сводят удельную теплоемкость к нулю. Кривую изменений теплоемкости можно получить комбинацией квантовых правил с кинетической теорией. «Достаточно низкие температуры» изменяются при переходе от одного твердого тела к другому и зависят от естественных частот колебаний атомов в кристалле. Поэтому, чтобы сравнить экспериментальные данные с теорией, мы для каждого твердого тела откладываем на графике свою шкалу температур. После этого все измерения ложатся на одну теоретическую кривую (фиг. 97). Таковы замечательные результаты изучения удельной теплоемкости столь скучного на первый взгляд предмета. Уже первые предсказания кинетической теории согласовывались с фактами, убеждая тем самым в правильности теории. Затем появились исключения и потребовали новой, квантовой теории, которая в свою очередь очень хорошо согласовывалась с экспериментом и объяснила целый ряд кажущихся противоречий.

Фиг. 97. Квантовая теория удельной теплоемкости.

_{Наложение квантовых ограничений на равномерное распределение энергии в случае колебаний атомов приводит к теоретическому предсказанию, изображенному сплошной линией.}

Каков диаметр молекулы?

Сколь велики молекулы воздуха? Это бессмысленный вопрос, если мы не скажем, сколь сильно мы предполагаем давить на молекулу, измеряя ее. Портной может уменьшить размер талии человека почти до нуля, перерезав ее при снятии мерки жесткой стальной проволокой. Мы можем уменьшить «диаметр» молекулы до нуля, измеряя его с помощью электронов, ускоренных миллиардами вольт. Здесь мы имеем в виду диаметр при «обычных соударениях», т. е. расстояние между центрами сталкивающихся молекул при наибольшем сближении или при плотной упаковке в жидкости или твердом теле. В наглядной модели атомной структуры — это размер внешнего электронного облака атомов в молекуле.

Грубую оценку размера молекул можно получить из измерения толщины масляных пленок (см. задачи 5, 6, 7 в гл. 6[218]). Это дает для молекулярной цепи из 19 атомов углерода длину 24∙10^-10 м или 24 А° (ангстрема). Тогда получаем, что «диаметр» каждого атома углерода в тесной цепочке равен 1–2 А°. Молекулы кислорода и азота содержат по два атома (по-видимому, больших по размерам, чем атом углерода), так что мы можем поместить эту гантель в «шарик» диаметром 3–4 А°[219]. Тогда их «поперечное сечение» относительно рассеяния будет около π (3,5∙10^-10/2)² м².

Для получения более надежных оценок мы не будем пользоваться результатами измерения пленок или броуновского движения. Мы подойдем по-иному: рассмотрим измерения с жидким и обычным воздухом и бурыми парами брома.

Размер молекул воздуха; непосредственные оценки. Проведем два эксперимента: 1) найдем изменение объема при переходе жидкого воздуха в газообразный и 2) рассмотрим диффузию брома в воздухе, измеряя скорость его распространения. Первое измерение дает нам возможность сравнить удаленность молекул друг от друга в газе и в жидкости. Второе — даст оценку «среднего свободного пробега молекул газа — среднего пути между двумя последовательными соударениями. Оба результата связаны с «площадью поперечного сечения» молекул газа или их диаметром. Комбинируя их, мы сможем получить хорошую, хотя и грубую, оценку диаметра молекул, а отсюда — вычислить массу молекул и число молекул в заданном объеме. «В отчаянии» физику удается получить приближенное значение размера молекулы «по порядку величины», но попытка установить размер точнее затуманивает вопрос множеством сложнейших деталек. Как в экспериментальных измерениях, так и в теоретических рассуждениях мы будем «сглаживать углы», упрощать, делать приближения, строить догадки, словом, поступать танк, как делают настоящие ученые, когда они впервые попадают в незнакомую им область[220]. Поэтому наши результаты могут быть лишь приблизительными. Тем не менее в таком вопросе, как атомные размеры, очень ценны даже неточные измерения, дающие порядок величины размеров и числа атомов и демонстрирующие возможность подобных измерений в микромире. 1) Изменение объема. Расстояние между молекулами воздуха. На сколько в среднем молекулы воздуха удалены от своих соседей? Чтобы поставить вопрос в более определенной форме, предположим, что мы на мгновение как-то разметили молекулы воздуха и навели среди них порядок, скажем посадили каждую молекулу в отдельный кубик с ребром длиной D, причем расположение этих кубиков регулярно. Тогда можно утверждать, что D — это «средняя удаленность» молекул воздуха.

Фиг. 98. Расстояние между молекулами в газе.

Мы считаем, что в жидком воздухе молекул столько, что они «касаются» друг друга, причем расстояние между центрами равно среднему диаметру молекул d. Жидкости плотны и текучи, они почти несжимаемы, и их молекулы должны быть тесно прижаты друг к другу; молекулы жидкости не «закреплены» жестко, как в «узлах» кристаллической решетки твердого тела, но и не разлетаются, как молекулы газа. Мы предполагаем, что молекулы жидкого воздуха размещаются в кубических ячейках, каждая с ребром d и объемом d³. (Это не самая плотная из возможных упаковок, она еще оставляет место для текучести.) Затем, когда жидкость превращается в газ, d превращается в D, а объем каждой ячейки возрастает от d³ до D³. Это изменение объема должно быть одинаковым как для одной молекулы, так и для всей массы воздуха. Не составляет труда измерить его. Наполним небольшую известного объема колбочку жидким воздухом. Затем быстро прикрепим к ее горлышку гибкую пластмассовую трубку. Другой конец трубки погрузим под воду, над которой помещен большой перевернутый вверх дном сосуд. Жидкий воздух в колбочке закипает, превращается в газообразный, его пузыри поднимаются вверх, собираются в сосуде, и измеряется объем.

Фиг. 99. От газа к жидкости.

Пример. 20 см³ жидкого воздуха превращаются в 15000 см³ обычного воздуха при комнатной температуре и атмосферном давлении. Следовательно, D³/d³ = 15000/20 = 750, а D/p = (750)^1/3 ~= 9 (с точностью до 1 %). Среднее расстояние между молекулами воздуха равно стороне кубика, содержащего одну молекулу, т. е. D ~= 9d. При атмосферном давлении молекулы воздуха удалены друг от друга на 9 или 10 диаметров. Это дает представление о количестве пустого места в газе и указывает на то, что наличие размеров молекул не очень мешает нашим простым теоретическим предсказаниям. Задача 9. На сколько диаметров удалены друг от друга молекулы в цилиндре с воздухом, сжатом до 125 атм? (Указание. При расстоянии ¹⁰/₁₂₅ диаметра молекулы еще не напоминают сельдей в бочке.). 2) Средняя длина свободного пробега. Сколько в среднем пролетает молекула между последовательными соударениями? Это расстояние, называемое средней длиной свободного пробега, не совпадает с расстоянием D. Если бы молекулы были точечными, они пролетали бы друг мимо друга, совершенно не сталкиваясь. Чем «толще» молекулы, тем большую мишень подставляют они под удар движущимся соседям, тем чаще происходят соударения. Длину свободного пробега можно оценить, используя в качестве «метки» видимые пары брома. Повторим демонстрацию диффузии брома в сосуде c воздухом (см. фиг. 10, стр. 351), отмечая скорость продвижения бурых паров. Пустим секундомер в момент, когда жидкий бром выпускался на дно высокой трубки. Спустя некоторое время, скажем 500 сек, измерим среднее расстояние, на которое пары брома поднялись вверх. Для этого нужно решить, где смесь брома и воздуха в трубке выглядит «полубурой», т. е. вдвое более светлой; чем «совершенно бурый» газ непосредственно над жидким бромом, и измерить высоту этого места над поверхностью жидкости. Это, очевидно, приближенная и субъективная оценка, но если каждый наблюдающий опыт в аудитории сделает свою оценку, отклонение вряд ли превысит 10 % от средней высоты. Каждая молекула брома достигает своего конечного положения в результате огромного числа шагов «случайных блужданий»[221]. Чтобы воспользоваться оценкой высоты «полупобурения», нужна помощь статистики. Нам необходимо выражение для среднего продвижения при большом числе последовательных шагов длиной L в хаотических направлениях. Эта проблема называется задачей о «случайных блужданиях» (ее называют еще задачей о «пути пьяницы», the drunkard's walk). Согласно статистическим исследованиям, это число равно √N, а ниже показано, как получить его в случае двух измерений. Все это справедливо и для трех измерений и полезно в некоторых физических задачах, таких, как выход фотонов из недр Солнца, диффузия нейтронов в «замедлителе» реактора, звучание поющего хора, а следовательно, и преимущество «согласованных» (когерентных) световых волн лазеров по сравнению со светом от горячего пламени или газа, где атомы «поют как нестройный хор».

Фиг. 100. Средний свободный пробег молекулы газа.

_{При атмосферном давлении средний свободный пробег гораздо больше расстояния D (Заштрихованная трубка показывает объем, заполняемый одной молекулой, движущейся среди остальных.).}

Представьте себе случайное блуждание молекулы брома, мечущейся от столкновения к столкновению в толпе молекул воздуха. Мы считаем, что все ее прыжки имеют одинаковую длину, равную среднему свободному пробегу L. Если за время t каждая из молекул делает N шагов, то среднее перемещение равно √(N)∙L. Число шагов подсчитаем так: полный (спрямленный) путь за время t равен vt, где v — скорость молекул брома. Число шагов на таком пути N = v∙t/L. Следовательно, среднее перемещение S равно. S = √(N)∙L = √(v∙t/L)∙L = √(v∙t∙L) Оценка расстояния «полупобурения» дает S, так что, зная v, можно вычислить L. Как и для других газов, v получается из измерения плотности и давления паров брома. Для тяжелых паров брома при комнатной температуре[222] это дает: v = 210 м/сек. Пример. Предположим, что группа наблюдателей определила высоту «полупобурения» 9 см над поверхностью брома за 500 сек. Спрямленный путь молекулы брома за это же время составил (210 м/сек)∙(500 сек), а число шагов на этом пути равно (210249500)/(Средний свободный пробег L). Тогда среднее перемещение S определится так: S = √(210∙500/L)∙L = √(200∙500∙L) Т. е. 9/100 м = √(200∙500∙L) Следовательно, L ~= (81/10⁴)/(210∙500) ~= 770∙10^-10 м или 770 А° Округленно средний свободный пробег молекул брома в воздухе можно считать равным 800 А°, и, по-видимому, не будет серьезной ошибкой считать таким же свободный пробег молекул воздуха в воздухе. (Если бы измерения дали в среднем 10 см вместо 9 см, то величина среднего свободного пробега составила бы 1000 А°, что подтверждает приближенный характер нашего результата.). Таким образом, оценки для обычного воздуха показывают, что: 1) молекулы удалены друг от друга примерно на 9 диаметров; 2) средняя длина свободного пробега составляет примерно 800 А° (800∙10^-10 м). Средний свободный пробег и давление. Удалим теперь половину молекул из сосуда с газом. Этим мы вдвое уменьшим вероятность попадания и удвоим, таким образом, средний свободный пробег. В общем случае средний свободный пробег должен изменяться обратно пропорционально числу молекул в единице объема, или обратно пропорционально давлению. При высоком вакууме в одну миллиардную атмосферу средний свободный пробег будет в миллиард раз больше, т. е. 10⁹∙800∙10^-10 м, или 80 мк. Это значит, что в радиолампе молекула остаточного газа барабанит по стенкам, а другие молекулы газа редко попадаются на ее пути. Диаметр молекулы. Соотношение πD²L = D^3. Между средним свободным пробегом L и диаметром d существует однозначная связь: чем больше d, тем больше площадь мишени при столкновении и тем меньше длина свободного пробега. Можно показать, что πD²L = объему, который в среднем приходится на одну молекулу в газе, т. е. D³. Геометрическое доказательство изложено ниже. Затем мы воспользуемся этим результатом для вычисления диаметра d из L и отношения объемов D³/d³. * * * Вычисление случайных блужданий («путь пьяницы»). Молекулы брома мечутся между молекулами, воздуха, получая удар за ударом и меняя направление после каждого из них. Насколько при этом им удается в среднем продвинуться вперед? Образец подобного движения можно понаблюдать на примере пьяного человека, возвращающегося туманной ночью с вечеринки. Выпустив из объятий фонарный столб, он делает один шаг, затем забывает о нем и делает второй, но уже в другом направлении, забывает и о нем и делает третий шаг… и так далее — N шагов в совершенно произвольных направлениях. На какое расстояние он отдалится от спасительного фонарного столба? Он может вернуться опять к столбу или оказаться очень близко от него. Он может отойти от столба на N шагов (в том редком случае, когда все шаги устремлены в одном направлении), но это маловероятна. Его перемещение по прямой лежит между 0 и N шагами. Мы же хотим найти среднюю величину перемещения, усредненную по множеству таких продвижений, состоящих из N шагов. Пусть человек вновь и вновь повторяет свою «прогулку» сначала. После каждой прогулки мы будем измерять его перемещение S. Усредним S по этим прогулкам. Для удобства будем искать среднее значение S², а затем извлечем квадратный корень, получив среднее квадратичное значение. Покажем, что это среднее должно приближаться к √N шагов (Например, если за основу берем 100 шагов, то ожидаем, что человек уйдет только на 10 шагов от начального места.) Вот доказательство в двумерном случае (трехмерный случай рассматривается так же). Нарисуем несколько первых шагов хаотического движения. Пусть длина каждого шага равна L, а всего имеется N шагов. Воспользовавшись координатами х и у, разложим первый шаг на компоненты х₁ и у₁, второй шаг на компоненты х₂ и у₂ и т. д. Для первого шага х₁² + у₁² = L², аналогично и для других шагов. Компоненты х и у перемещения S будут соответственно равны. (x₁ + x₂ +… + x_N) И. (y₁ + y₂ +… + y_N), S² = (x₁ + x₂ +… + x_N)² + (y₁ + y₂ +… + y_N)² = = х₁² + x₂² +… + 2х₁x₂ + 2х₁x₃ +… + y₁² + y₂² +… + 2y₁y₂ + 2y₁y₃ +… = = L² + L² + НУЛЬ = N∙L^2. «Смешанные слагаемые», наподобие 2х₁x₂, при усреднении по многим блужданиям дают нуль, ибо эти слагаемые могут одинаково часто быть как положительными, так и отрицательными и иметь величину от 0 до 2L². То же справедливо и для «смешанных слагаемых» с у. Поэтому среднее значение S = √(N)∙L. Доказательство станет нагляднее, если применит тригонометрию и разложить каждый шаг на горизонтальную и вертикальную компоненты: L∙cos θ и L∙sin θ. Тогда пара смешанных слагаемых, наподобие 2L²∙cos θ₁∙cos θ₂ и 2L²∙sin θ₁∙sin θ₂, складывается в 2L²∙cos (θ₁ — θ₂), а косинус одинаково часто бывает как положительным, так и отрицательным, давая в среднем нуль.

* * *

При столкновении двух молекул расстояние между их центрами равно радиусу одной + радиус второй молекул, т. е. диаметру d. Для упрощения будем считать, что радиус одной из сталкивающихся молекул равен d, а вторая молекула — просто точка (фиг. 101).

Фиг. 101. Упрощенная геометрия свободного пробега.

Расстояние между их центрами при соударении прежнему будет d. Представим теперь, что мы стреляем точечной молекулой по системе из ячеек с ребром D, каждая из которых содержит по одной молекуле-мишени радиусом d (фиг. 102). Летящая молекула проходит первый ряд ячеек, но, вероятнее всего, не попадает в цель, которая находится где-то внутри ячейки.

Фиг. 102. Средний свободный пробег.

_{Точечная молекула пронизывает ячейки. Сколько должна она пролететь ячеек до соударения? Молекуле, нацеленной на переднюю грань площадью D², должно казаться, будто молекулы задних ячеек мишени заполняют своими кружочками площадью πD² всю грань.}

Другой способ рассуждений. Вместо «раздувания» молекулы-мишени можно выстрелить «раздутой» молекулой, сжав остальные молекулы в точки, когда площадь поперечного сечения летящей молекулы равна πd². Во время полета она заполняет трубку с таким поперечным сечением; при каждом столкновении эта трубка изгибается (фиг. 103). Когда в такую «трубку» попадает молекула-мишень, происходит столкновение, а не попавшие в трубку молекулы остаются «за бортом». Между двумя последовательными соударениями молекула пролетает средний свободный пробег, так что заполненный объем равен. (ПЛОЩАДЬ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ) ∙ (СРЕДНИЙ СВОБОДНЫЙ ПРОБЕГ), Или πd²L. Но заполняя этот объем, она сталкивается только с одной молекулой, так что этот объем равен также D³, т. в. размеру ячейки, занимаемой одной молекулой газа. Следовательно, πd²L = D³, или L = D³/πd², как и выше. Еще более простой метод. За счет более смелых предположений можно прийти к оценке d даже без всякой геометрии и «труб». Будем рассуждать так. Поместим некое количество обычного воздуха в высокий цилиндр. Нажмем на поршень и сожмем воздух в 750 раз, чтобы молекулы сгрудились столь же тесно, как в жидком воздухе. (Если хотите, охлаждайте воздух до тех пор, пока он не станет жидким). Сгрудившиеся молекулы служат лучшей мишенью, так как средний свободный пробег станет в 750 раз меньше. Попытаемся теперь догадаться, каков будет средний свободный пробег молекул в воздухе, сжатом до плотности жидкости. Сообразите-ка, сколько ячеек должна пролететь одна молекула, чтобы удариться о другую, учитывая при этом расстояние не от центра до центра, а от поверхности до поверхности. Это трудная задача. Попытайтесь создать собственный метод и вот вам несколько наводящих соображений. Если бы среднее расстояние между соседними молекулами составляло один диаметр, то они сталкивались бы довольно часто, но все же свободного места оставалось бы еще столько, что они вели бы себя как газ, а не как жидкость. (Вспомните, что жидкости почти несжимаемы; давление в 20 000 атм сжимает воду лишь на 25 %.) Если же молекулы сгрудились настолько, что каждая проходит всего ¹/₁₀ диаметра до столкновения с другой, то они практически оказались бы связанными, как в твердом теле. Изобразите молекулы кружками на бумаге или одинаковыми монетами на столе, посмотрите, какой средний свободный пробег соответствует расстояниям от 0,1d до d. Допустим, вы выбрали ³/₄ d, тогда можно сказать: Средний свободный пробег в тесноте L/750 = (3/10)∙d. Т. е. 800∙10^-10/750 = (3/10)∙d. Следовательно, D = 3,6∙10^-10 м = 3,6 А°. (Нетрудно получить правильный ответ, выбрав для среднего свободного пробега нужную долю d, но это нечестно. Честнее установить верхний предел или оценить пробег из представления о строении молекул, причем не следует забывать, что это лишь приближенная оценка.). Итак продолжаем. Сколько же слоев ячеек должна пройти молекула, чтобы можно было гарантировать одно соударение? Об этом говорит нам средний свободный пробег. Площадь лицевой грани ячейки равна D², но молекула-мишень «подставляет» под обстрел только «яблочко» площадью πd². Предположим, что до соударения молекула должна пролететь X ячеек. Она видит перед собой X «яблочек», которые, будучи рассыпаны совершенно случайно, не перекрывая друг друга, должны заполнять площадь «входного окна» D², т. е. Х∙πd² = D², или Х = D²/πd². Полный путь через эти ячейки равен X∙D, но, с другой стороны, он равен среднему расстоянию, пройденному между двумя соударениями, т. е. среднему свободному пробегу L: СРЕДНИЙ СВОБОДНЫЙ ПРОБЕГ L = X∙D = (D²/πd²)∙D = D³/πd^2. Или. Lπd² = D³ = 750∙d^3. D = Lπ/750 = 800 A°∙3.14/750. Подставляя нашу оценку для L, получаем. D ~= 3,4 A°, или 3,4∙10^-10 м. Наш частный пример дал величину d = 3,4 А°. Подобные соображения обычно дают значения между 2 и 7 А°. Мы уже говорили, что это «символическое» измерение, проверка принципа, которая показывает способ извлечения характеристик микромира (масштаба размеров атома) из макроскопических (масштаба человека) измерений и теории. Читателю следовало бы самому проделать такой опыт и составить свою оценку. Точные измерения и совершенная теория дают величину 3,72 А°. Все же такая оценка, основанная на представлении о том, что молекула есть твердый шар, кажется искусственной. Однако она подтверждается более надежными оценками для массы и размеров молекул, основанными на методах, использующих значение заряда электрона, определенное в опытах Милликена. Мы будем считать отныне размер молекулы равным 3,72 А°, но записывать будем 3 ³/₄ А°, отразив таким образом наши сомнения. Расстояние между молекулами в воздухе будет тогда около 9∙3³/₄, или ~ 35 А°, так что для атмосферного воздуха получаются такие оценки; ∙ Размер (наибольшее сближение при столкновении)… 3 ³/₄ А° ∙ Удаленность (среднее расстояние между соседями)… 35 А° ∙ Средний свободный пробег (между соударениями)… 600—1000 А° ∙ Скорость (средняя)… 500 м/сек. Более полное статистическое исследование приводит к среднему свободному пробегу 650 А°. Задача 10. Исходя из данных приведенной ваше таблицы, вычислите количество соударений в секунду молекулы воздуха при атмосферном давлении.

Число молекул. Число Авогадро.

Теперь можно вычислить число молекул воздуха в данном объеме, скажем в небольшой комнате 3 м х 2 м х 4 м, т. е. объемом 24 м³. Каждой молекуле воздуха мы приписываем объем D³, или 750∙d³. Тогда число молекул будет.

24 м³/750∙(3³/₄∙10^-10 м)^3.

Или около 6∙10²⁶.

В такой небольшой комнате при комнатной температуре и атмосферном давлении заключено 600 000 000 000 000 000 000 000 000 молекул воздуха. Как утверждал Авогадро (см. задачу 6, стр. 531), это число одинаково для любого газа при том же объеме; в честь ученого мы называем его числом Авогадро.

Мы выбрали этот объем[223] потому, что число килограммов воздуха и других газов в таком объеме оказываются очень полезной величиной: 2 кг водорода, 4 кг гелия, 32 кг кислорода, 44 кг СО₂. Ведь это же как раз относительные массы молекул по химической шкале (масса атома водорода = 1). Каждую такую массу в килограммах мы. называем киломолем[224] (фиг. 104).

Фиг. 104. Киломоль.

Тогда один киломоль любого вещества содержит 6∙10²⁶ молекул. (Здесь для краткости будем называть его молем.).

Даже когда воздух откачан очень хорошим насосом и получен «высокий вакуум», т. е. давление будет составлять, например, миллиардную долю атмосферы, то в комнате еще останется 600 000 000 000 000 000 молекул (6∙10¹⁷).

Масса молекулы.

Теперь можно вычислить массу отдельной молекулы. Наша комната объемом 24 м³ содержит 6∙10²⁶ молекул, масса которых всех вместе составляет 28,8 кг. (Это определяется взвешиванием и измерением объема воздуха.) Таким образом,

Масса молекулы воздуха = 28,8/6∙10²⁶ = 4,8∙10^-26 кг.

Если вместо воздуха взять водород, то масса 6∙10²⁶ молекул будет равна 2 кг, а.

Масса молекулы водорода = 2 кг/6∙10²⁶ = 3,33∙10^-27 кг.

Зная из химических соображений[225], что молекула водорода состоит из двух атомов Н₂, мы заключаем, что.

Масса атома водорода = 1,67∙10^-27 кг.

Это масса «протона», которая будет очень важна для нас при подсчете энергии (см. гл. 43[226]).

Молекулы и температура.

По универсальной шкале газового термометра абсолютная температура измеряется произведением P∙V, так что, согласно определению, PV = RT, где R — постоянная величина. Если мы возьмем один моль газа, то независимо от его сорта R будет одной и той же.

Кинетическая теория дает.

PV = ¹/₃ N∙m∙v^¯2 = ²/₃ N∙(¹/₂ mv^¯2) = ²/₃ E_кин.

Следовательно,

Кинетическая энергия молекул = ³/₂ PV = ³/₂ RT.

Поэтому.

Средняя кинетическая энергия одной молекулы = ³/₂ RT/N = ³/₂ (R для одного моля газа / Число Авогадро для одного моля)∙T = ³/₂ k∙T.

Где k — газовая постоянная, отнесенная к одной молекуле.

Равномерное распределение энергии привело нас к одинаковой кинетической энергии для молекул любого сорта при одинаковой температуре Т, так что k — универсальная постоянная, одинаковая для молекул любого сорта[227].

Теперь можно придать температуре ясный и простой смысл.

Абсолютная температура характеризует среднюю кинетическую энергию любой молекулы. Это просто умноженная на 2/(3k) средняя кинетическая энергия. Мы считаем, что молекулы газа делятся своей кинетической энергией с молекулами стенок контейнера или шарика термометра по закону, похожему на закон равномерного распределения энергии.

Разделение изотопов урана.

Чтобы выделить U²³⁵ диффузией UF₆, нам нужна пористая перегородка, которая отличала бы быстрые молекулы от медленных. Большие отверстия в перегородке не дадут никакого разделения. Молекулы газа пройдут через них как обычный поток, сталкиваясь друг с другом и приобретая из-за разности давлений дополнительный импульс. Смесь молекул будет проходить через перегородку, не меняясь. Маленькие поры в доли среднего свободного пробега позволяют молекулам проявить свою индивидуальность. Если поры длинные, то, прорываясь сквозь них, каждая молекула множество раз ударяется о стенки и поэтому быстрая молекула получает преимущество по сравнению с медленной. Поры перегородки должны быть гораздо меньше 1000 А°, но больше самих диффундирующих молекул, скажем 5–6 А° для UF₆. Диаметр их должен быть между 100 и 10 А° — требование необычное для технологов и изобретателей. Такие перегородки можно приготовить, например, в виде тонких пористых пластинок прессовкой металлического порошка. Они используются в огромном масштабе, разделяя килограммами U²³⁵ в системе каскада из нескольких тысяч стадий с автоматической перекачкой и системой контроля за ядовитыми парами UF₆. Изменение содержания изотопа напоминает рост суммы вклада в банке по сложным процентам в течение многих лет. Для разделения нужно множество стадий с перекачиванием молекул на вход предыдущей стадии (см. фиг. 18, стр. 360).

Вакуумные насосы и барометры.

При проведении исследований по электронике и атомной физике в большинстве установок бывает необходимо создать хороший вакуум. Хороший вакуум нужен и в промышленных масштабах для изготовления радиоламп и рентгеновских трубок. Как сделать подходящие насосы и контролировать остаточное давление в миллионные или даже миллиардные доли атмосферы?

Механические насосы с поршнем в виде вращающегося в масле затвора могут с легкостью понизить давление от одной атмосферы ¹/₁₀, ¹/₁₀₀, и даже ¹/_{10 000} доли атмосферы. Для создания еще большего вакуума применяют более быстрые «поршни» — отдельные движущиеся молекулы. Поток «горячих» молекул паров ртути несется вдоль цилиндра, стенки которого охлаждаются холодной водой и замедляют молекулы при ударах до малых скоростей. Таким образом получается много быстрых молекул ртути в верхней части и медленных — в нижней. Попавшая сюда молекула воздуха чаще и сильнее толкается вниз молекулами горячей ртути, чем вверх холодной; сверху сыплются сильные удары, снизу только шлепки; насос так и работает: стук… шлеп…стук… шлеп… стук…шлеп…. И «бродяга» в среднем приобретает импульс вниз.

Попадая через отверстие А (фиг. 105) в основной объем, молекулы воздуха проталкиваются к отверстию В, где удаляются механическим насосом. Эта система как будто не очень много обещает, однако молекулы ртути при охлаждении так меняют, свою скорость, что прибор оказывается очень эффективным. Вместе с хорошим механическим насосом такой диффузионный насос способен понизить давление до миллиардных долей атмосферного. В промышленных диффузионных насосах стекло заменяется металлом, а ртуть — кипящим маслом. Радиолампы и другие приборы, в которых нужен высокий вакуум, при откачке прогреваются, чтобы выгнать прилепившиеся к стенкам газы. Для окончательной очистки внутри лампы производится электрический взрыв маленького кусочка металла (геттер), который, образуя на стенках тонкое зеркало, запирает тем самым оставшиеся там молекулы воздуха.

Для создания еще большего вакуума молекулы остаточного газа ионизуются путем бомбардировки электронами, а затем крепко «вбиваются» электрическим полем в стенки и остаются там.

Фиг. 105. Ртутный диффузионный насос.

_{«Молекулярный» насос.}

Как можно измерить очень низкое давление в «хорошем» вакууме? Для давления до ¹/₁₀₀ атм достаточно маленькой U-образной трубки со ртутью, с вакуумом, с одной стороны, и измеряемым давлением — с другой (фиг. 106).

Фиг. 106. Манометр для измерения вакуума.

Для давления ¹/_{1000 000} атм и меньше разница уровней слишком мала, чтобы заметить ее и не спутать с капиллярными эффектами. Для измерения высокого вакуума сейчас используются сложные ионизационные приборы, в которых из немногих оставшихся молекул выбиваются электроны и измеряется слабый ток образовавшихся ионов.

Для измерения обычного вакуума мы используем простой манометр Мак-Леода, придуманный талантливым шотландцем. В широкий цилиндр впускается большой объем остаточного газа, который сжимается ртутным поршнем, скажем, в отношении 10 000:1. Давление тогда должно возрасти в 10 000 раз. Это давление сжатого газа измеряется затем по разности уровней ртути. В манометре, изображенном на фиг. 107, газ из цилиндра диаметром 50 мм перегоняется в капилляр диаметром 1 мм, так что изменение сечения равно 50²:1. Длина же изменяется от 10 см в цилиндре до 2,5 см в капиллярной трубке, уменьшаясь в отношении 4:1.

Для объема получается отношение (2500)∙(4):1, или 10 000:1. Возросшее давление определяется по разности уровней[228] ртути в капилляре со сжатым газом и в параллельной трубке, подсоединенной к основному объему.

Фиг. 107. Манометр Мак-Леода.

_{Образец сильно разреженного газа сжимается в отношении, скажем, 1:10 000. Затем измеряется его давление, которое стало теперь в 10 000 раз больше. Заштрихованная область заполняется ртутью для «запирания» и сжатия образца газа.}

Теория реальных газов.

Теперь мы можем отшлифовать нашу теорию и превратить ее во всеобщий закон реальных газов. Молекулы упруги, свободны, малы…, но не бесконечно малы. Если сами они занимают некий объем, то пространство, доступное для движения, уже не будет совпадать с наблюдаемым объемом V, а несколько меньше V — b, где Ь — поправка, учитывающая размеры молекул[229]. Кроме того, молекулы не свободны от влияния друг на друга. При сближении они притягиваются; так, мы знаем, происходит в жидкостях. При больших сжатиях молекулы «сдерживают» друг друга, уменьшая давление на стенки сосуда. Правдоподобные рассуждения показывают, что наблюдаемое давление Р не просто RT/V, а RT/V — a/V², где а — постоянная[230].

Закон PV = RT превращается в.

(P + a/V²)∙(V — b) = RT.

Это уточненный газовый закон, называемый законом Ван дер Ваальса. (Соответствующие графики приведены на фиг. 110.).

Новая формула достаточно хорошо описывает поведение реальных газов, предсказывая отклонения от закона Бойля в обширной области давлений вплоть до тысяч атмосфер и даже ниже критической температуры. Она сводится к старой записи, когда V велико, например для воздуха при атмосферном давлении или ниже. (Хороший пример принципа соответствия Бора: новая теория должна сводиться к старой в пределе, когда новые условия оказываются несущественными.).

Это хорошая теория. Добавление реальных предположений приводит к более общим выводам. Мы можем сверить данные опыта с новым законом и найти для каждого газа величины а и Ь. Затем можно воспользоваться этим законом и привести показания газового термометра к идеальной газовой шкале. Величина Ь позволяет оценить диаметр молекул. А когда газ превращается в жидкость, поправка a/V² намного превышает обычное давление и возникает поверхностное натяжение, удерживающее жидкость в капле.

Разумное применение теории.

Используя манометр Мак-Леода, мы доверяем закону Бойля. Но откуда же известно, что закон Бойля справедлив при очень низком давлении, вдали от той области, где его можно экспериментально проверить? Чтобы гарантировать это, нужно измерять Р и V вплоть до этих давлений. Но как измерить Р? Ведь не барометром же Мак-Леода! Для этого мы обращаемся к кинетической теории газов и спрашиваем, можно ли доверять закону Бойля?

Обычно экстраполировать теорию очень рискованно, но здесь теория дает мудрый ответ: «Если и существует область, где можно пренебречь размером молекул и их притяжением и где должен быть справедлив простой закон, то где, как не при очень низких давлениях можно положиться на закон Бойля». Это необычный случай, когда теория сама гарантирует свою экстраполяцию с с большой точностью.

Можно ли сжать газ до жидкости?

Как делают жидкий воздух? Не просто сжатием. Даже если мы сожмем газ так, что он будет столь же плотным, что и жидкость, он по-прежнему будет занимать весь сосуд. Кажется, что его молекулы неспособны собраться в жидкость. Однако если мы охладим газ ниже критической температуры, то при сжатии он сможет превратиться в жидкость. Если же его охладить, а для сжижения сжать недостаточно, он по-прежнему будет вести себя как газ, который называют паром. Пар можно превратить в жидкость простым сжатием, но, чтобы превратить в жидкость истинный газ, следует сперва охладить его ниже критической температуры и сжать (продолжая при конденсации отбирать тепло). При наличии достаточного места любая жидкость превращается в пар.

Таким образом, каждое вещество характеризуется определенной критической температурой, выше которой оно — несжижаемый газ, а ниже — либо пар, либо пар + жидкость, либо жидкость в зависимости от давления. Комнатная температура для большинства газов значительно выше их критической температуры, а для всех жидкостей, — разумеется, ниже ее. Азот — это газ, водяной пар — это пар, ртуть — это жидкость, а свинец — это твердое тело. На Солнце все они были бы газами, на Нептуне — твердыми телами.

Критическая температура воздуха равна —140 °C, гелия — всего лишь несколько градусов выше абсолютного нуля, воды — около +365 °C, углекислого газа 31 °C. В обычные нежаркие дни огнетушитель, скажем, на ³/₄ заполнен жидким СО₂, над которым находится пар[231]. В очень жаркие дни граница жидкости исчезает и вся она превращается в пар. Это превращение можно наблюдать в стеклянной трубке (фиг. 108). При повышении температуры жидкость сильно расширяется, становясь менее плотной, тогда как плотность пара растет. Затем граница исчезает, но появляется вновь при охлаждении после внезапного «проливного дождя» капель жидкости. Хотя это и опасный опыт, но происходящие в нем изменения восхитительны.

Мы еще вернемся к проблеме критической температуры после того, как расскажем о молекулярной картине испарения.

Фиг. 108. Критическая температура.

_{Стеклянная трубка с жидкостью и паром нагревается.}

Закон Бойля и СО_2.

Вернитесь к фиг. 3 (стр. 331), на которой даны графики зависимости Р от V для воздуха. Углекислый газ проявляет ярко выраженные особенности, а при достаточно низкой температуре (ниже критической) они обнаружатся у любого газа. На фиг. 109 проводится сравнение между поведением воздуха и СО₂.

Фиг. 109. Сравнение поведения углекислого газа с воздухом.

_{Графики представляют собой экспериментальные изотермы (зависимость давления от объема при постоянной температуре).}

Выше 31 °C СО₂ — газ, и когда температура становится гораздо выше критической, он достаточно хорошо подчиняется закону Бойля. При любой температуре ниже 31 °C при увеличении сжатия он превращается из ненасыщенного пара в насыщенный пар+жидкость, а затем в жидкость. Ненасыщенный пар при низких давлениях приближенно подчиняется закону Бойля. Во время сжижения давление остается постоянным (равным давлению насыщенного пара). Сжать жидкость, конечно, трудно, поэтому для нее кривые на графике Р — V резко взмывают вверх.

Таким образом, изотермы ниже критической температуры далеки от простых гипербол (PV — постоянно). Тем не менее усовершенствованный газовый закон Ван дер Ваальса достаточно хорошо описывает их. Об этом говорит фиг. 110, на которой для газа выбраны подходящие значения параметров а и b. В промежуточной части экспериментальной кривой (область сжижения) предсказания теории расходятся с экспериментом, но предсказываемое теорией поведение системы неустойчиво и его трудно обнаружить экспериментально.

Фиг. 110. Изотермы, предсказываемые модифицированным законом Ван дер Ваальса.

_{Сплошными линиями показаны РV-зависимости при различных температурах. Пунктирные линии показывают места, где поведение реальных веществ отличается от предсказаний.}

Жидкость и пар.

Молекулы в жидкости тесно прижаты друг к другу (вспомните, что жидкость несжимаема). Тем не менее ее молекулы должны двигаться, по-видимому, с той же долей кинетической энергии, которая предписывается газам законом равномерного распределения. В открытом блюдце жидкость медленно исчезает, превращаясь в невидимый пар, если же поместить жидкость в закрытую бутылку, испарение вскоре прекратится. В этом случае пар и молекулы воздуха находятся вверху, жидкость — внизу, температура стеклянных стенок вокруг них одна и та же. Возможно, между ними существует равномерное распределение — одна и та же кинетическая энергия у всех компонент: молекул пара (и воздуха), молекул жидкости при их коротких перебежках между соударениями и двойная доля (кинетическая энергия + потенциальная энергия) у каждой из дрожащих молекул стекла бутылки. Для молекул газа или пара стекло — не гладкая стена, а дрожащий строй колеблющихся атомов, которые при бомбардировке отдают все, что получают. Вот почему молекулы газа отражаются от твердых стенок с той же скоростью и кинетической энергией, а от горячих стенок — с большей. Поверхность жидкости для молекул газа — тоже не зеркальная гладь, а бурлящая агрессивно настроенная среда, из которой временами вылетают молекулы пара.

Испарение.

Испарение — это отрыв молекул от своих соседей на поверхности жидкости. Задача 11 показывает, что испарение должно сопровождаться охлаждением.

Задача 11. Испарение. А) Какие экспериментальные факты свидетельствуют о притяжении молекул жидкости друг к другу? Б) Какие экспериментальные факты подтверждают, что в газах молекулы очень слабо притягиваются друг к другу (если вообще притягиваются)? В) 1) Изобразите испаряющуюся с поверхности жидкости молекулу, которая притягивается своими соседями с помощью короткодействующих (в несколько молекулярных диаметров) сил; 2) нарисуйте равнодействующую этого притяжения для молекулы, которая только что покинула поверхность; 3) большинству молекул, которые хотят оторваться, сделать это не удается из-за недостатка кинетической энергии; они напоминают брошенный вверх мяч, который пытается оторваться от Земли. Что происходит с такими молекулами? Изобразите путь некоторых из них. Г) Если молекула оторвалась, она совершает работу против равнодействующей сил притяжения, превращая часть своего запаса кинетической энергии в потенциальную энергию (запасенную в поле сил молекул). Кинетическая энергия большинства молекул меньше необходимой для полного отрыва, т. в. средней кинетической энергии недостаточно для отрыва. Только некоторые из молекул с кинетической энергией выше средней могут оторваться полностью. Что тогда происходит со средней кинетической энергией молекул, оставшихся в жидкости? Д) Рассматривая теплосодержание как кинетическую энергию молекул, объясните, что происходит с оставшейся жидкостью после испарения части молекул? Е) Почему некоторые молекулы, движутся сверхбыстро? Что это — особый вид молекул? Или это своего рода аристократы в мире молекул? Задача 12. Испарение и температура. При повышении температуры жидкости средняя кинетическая энергия молекул возрастает и большая доля молекул будет обладать энергией, достаточной для отрыва. А) Как, по вашему мнению, это повлияет на скорость испарения? Б) Если бы мы могли увеличить температуру настолько, что даже средней кинетической энергии молекул уже било бы достаточно для отрыва, что тогда произошло бы, по вашему мнению? (Над этим стоит поломать голову. «Кипение» — неправильный ответ.).

Насыщенный пар.

При испарении жидкости в закрытой бутылке пары достигают стадии «насыщения», когда молекулы возвращаются в жидкость с той же быстротой, с какой покидают ее. Это «динамическое равновесие» поддерживает определенное давление насыщенного пара.

С увеличением температуры давление сильно возрастает. При наличии воздуха жидкость испаряется очень медленно. Конечно, молекулы воздуха не могут удержать молекулы жидкости от испарения, но они нападают на «эмигрантов» и загоняют их назад в жидкость. Таким образом, воздух замедляет процесс насыщения, но не меняет окончательного давления.

Фиг. 111. Испарение и насыщенный пар.

Что создает хорошее самочувствие.

Охлаждение при испарении — свойство, жизненно необходимое для поддержания постоянной температуры нашего тела. Когда мы деятельны и сжигаем топливо — пищу, то 75 % энергии выделяется в виде тепла. Мы должны избавиться от него, иначе температура нашего тела будет повышаться и мы будем чувствовать себя плохо. Воздух медленно уносит тепло, но испарение с влажной кожи поглощает его очень быстро. Катящийся градом со лба пот не приносит ничего приятного, но пот, испаряющийся в сухом воздухе, охлаждает и облегчает ваше состояние. (Охлаждение в холодильниках также достигается испарением жидкости.).

В сильно переполненной комнате ваше лицо покрывается испариной, затем повышается температура и начинается головная боль. Опыты показывают, что это вызывается не углекислым газом. (Даже в очень переполненной людьми комнате концентрация СО₂ не достигает и четверти той, которая способна вызвать головную боль!) Все дело во влажности, которая мешает охлаждению. Обмахните лицо веером или подставьте его под струю воздуха от вентилятора, она отгонит сырой и принесет более сухой воздух, который поможет испарению пота. Хороший кондиционированный воздух должен быть сухим и прохладным, а не холодным и влажным, какой дают некоторые дешевые установки.

Кипение.

Жидкость испаряется при любой температуре. Если вода находится чуть ниже точки кипения, то пар поднимается с поверхности в виде многочисленных молекул, которые легко пробиваются через окружающий воздух. Когда же вода нагрета до точки кипения, внешняя поверхность испаряет чуточку больше, но приходит в действие механизм кипения; наряду с поверхностным испарением начинается испарение в растущие пузырьки пара. Именно эти пузырьки насыщенного пара и являются основным признаком кипения. Достигнув поверхности, пузырьки лопаются и извергают пар, так что в кипящей жидкости испарение идет быстрее. Однако для поддержания испарения необходим постоянный приток тепла, возмещающий охлаждение при испарении. Но почему жидкость не кипит, пока она не нагрета до определенной температуры, и почему температура при кипении остается постоянной? Почему точка кипения на вершине горы понижается?

Фиг. 112. Кипение.

_{А — вплоть до точки кипения жидкость испаряется только с поверхности; б — в кипящей жидкости испарение идет о поверхности и в пузырьках пара.}

Задача 13. Условия кипения. Пузырьки пара в жидкости — это единственный признак кипения. Обычно они образуются на дне кастрюли, ибо там жидкость горячее. Вокруг растущего пузырька пара находится вода, которая старается его сжать, сдавить, а внутри него насыщенный пар стремится расшириться. А) Если пузырьки не сжимаются, а могут расти, то каково должно быть давление пара внутри них по сравнению с давлением жидкости снаружи? Б) Каким приблизительно должно быть давление жидкости на небольшой глубине? В) Из предыдущего получается, следовательно, что кипение не может начаться до тех пор, пока жидкость не нагреется настолько, что давление ее пара будет равно ___? Г) Если жидкость во время кипения станет еще горячее, давление пара возрастет. Что произойдет с пузырьками? И что вследствие этого произойдет с температурой жидкости? (Вспомните, что испарение всегда отбирает тепло.) Какой вывод можно сделать относительно температуры кипения? Д) (Трудный.) Демонстрация поверхностного натяжения показывает, что давление внутри маленьких мыльных пузырей больше, чем внутри больших. Поэтому мы ожидаем, что для преодоления поверхностного натяжения маленькие пузыри при кипении должны иметь дополнительное внутреннее давление. Это дополнительное давление должно обеспечиваться давлением пара. Следовательно, для возникновения очень маленьких пузырьков пара температура жидкости должна быть ___? Е) Кипение жидкости зачастую характеризуется нерегулярным «взрывным» движением. Как это получается в соответствии со сказанным выше?

Поставьте кружку с водой на пламя горелки и понаблюдайте. Посмотрите, как начинается кипение; вы увидите, что роль «зачинщиков» играют маленькие пузырьки воздуха. Уменьшая внешнее давление, можно заставить жидкость кипеть при все более и более низких температурах. В высоких горах кипит теплая на ощупь вода.

Можно даже заставить воду кипеть и замерзать в одно и то же время, если температура будет немного превышать 0 °C[232]. При очень низком давлении точка кипения лишь немного превышает 0 °C, а точка замерзания (при полном отсутствии давления) поднимается несколько выше нуля и встречается с точкой кипения.

Если откачивать пар, то быстрое испарение охлаждает воду до тройной точки и даже превращает часть воды на поверхности в лед, тогда как кипение продолжается и через лед пробиваются пузырьки пара.

Фиг. 113. «Тройная» точка.

_{При очень низком давлении холодная вода кипит, замораживая при испарении остальную воду. В этой «тройной» точке кипение и замерзание происходят одновременно. «Тройная» точка возможна при таком давлении и температуре, когда возникает равновесие твердого тела, жидкости и пара. Для воды «тройная» точка расположена чуть выше 0 °C.}

Средний свободный пробег и зеркало.

Лучшие из современных зеркал изготовляются путем нанесения на поверхность стекла в высоком вакууме атомов металла. Для этого маленький кусочек алюминия нагревают до плавления и испарения раскаленной электрическим током вольфрамовой проволокой. Испаряющиеся при этом с большой скоростью атомы барабанят по стенкам. Помещенная поблизости стеклянная пластинка захватывает атомы, и получается прекрасная зеркальная поверхность — от прозрачной металлической пленки до толстого отражающего покрытия. Если вакуум достаточно хорош, любое препятствие дает резкую «тень» на чистом стекле. Это говорит о том, что атомы металла летят от расплавленной капельки по прямым линиям. Если же остатки воздуха сокращают средний свободный пробег атомов, то края тени оказываются размытыми.

Фиг. 114. Изготовление зеркала путем испарения алюминия в вакууме.

_{Препятствие отбрасывает резкую «тень» на чистое стекло.}

Критическая температура и кинетическая теория.

Теперь мы можем дать интерпретацию критической температуры. Молекулы газа при данной температуре независимо от давления обладают определенной кинетической энергией. Если температура высока, то, как не сжимай молекулы, этой кинетической энергии будет достаточно, чтобы разорвать силы, связывающие молекулы в жидкость. При более низкой температуре, если мы сжимаем молекулы настолько, что у каждой из них оказывается достаточно близких соседей, может образоваться жидкость.

Ван-дер-ваальсово притяжение a/V² в жидкости действует наподобие заряда: оно связывает молекулы в подвижную массу с некоторой упорядоченностью среди близких соседей, но без постоянной привязанности к своему месту, как в твердом кристалле. Таким образом, критическая температура представляет собой ту границу, за которой кинетическая энергия становится слишком большой, чтобы молекулы могли собираться в группы. Если же мы начинаем с жидкости, из которой в виде пара вылетают только некоторые «сверхбыстрые» молекулы, то можем поднимать температуру до тех пор, пока даже «средняя» молекула не будет обладать кинетической энергией, достаточной для отрыва. После этого жидкость распадается на части и превращается в газ!

Задача 14. Критическая температура. А) При повышении температуры поверхностное натяжение уменьшается. Каким оно должно быть при критической температуре? Б) Как установить критическую температуру по измерению поверхностного натяжения? В) Какой будет скрытая теплота испарения, т, е. теплота, необходимая для превращения 1 кг жидкости в пар без изменения температуры (при критической температуре)? Г) Обычно жидкость гораздо плотнее, чем пар. Каково соотношение между плотностью жидкости и пара при критической температуре?

Низкие температуры. Жидкий воздух.

Критическая температура воздуха составляет —140 °C. Воздух охлаждается ниже этой температуры, а затем посредством сжатия и охлаждения[233] превращается в жидкость. Для уменьшения испарения жидкий воздух хранится в сосуде с двойными стенками, между которыми создается вакуум. На открытом воздухе жидкий воздух постоянно кипит при температуре около—190 °C.

Демонстрационные эксперименты с жидким воздухом показывают следующее:

Жидкий воздух (кислород, азот) очень холоден, хотя и кипит. Он замораживает все живое — и животных, и цветы, делает резину хрупкой, а свинец упругим. Обычный стол для него очень горяч, так что он бегает по нему на подушке из слоя пара, подобно воде на раскаленной докрасна печи. При кипении его на открытом воздухе термометр (газовый, гелиевый) показывает температуру около —190 °C. При испарении и нагревании до комнатной температуры объем увеличивается в 800 раз.

Жидкий азот плавает на воде, кипит при более низкой температуре, чем кислород, так что может конденсировать жидкий кислород из атмосферы.

Жидкий кислород тонет в воде, цвет его голубой, он немного магнитный, может, если надо, служить компактным источником кислорода для поддержания горения. (Сигары и пучок тонкой стальной проволоки вспыхивают, если их поджечь, предварительно пропитав жидким кислородом, а гигроскопическая вата становится хорошей взрывчаткой.).

Высокие температуры. Ионы в газах.

Если увеличивать температуру твердого тела, то его излучение будет превращаться из инфракрасного в видимый красный, оранжевый…, раскаленный белый. Свет пламени спички обусловлен раскаленной добела сажей. Мы не будем обсуждать здесь, как электроны колеблющегося атома испускают свет — это слишком сложно. Однако раскаленные газы светятся по более простой причине и дают дополнительные сведения о строении атомов. При достаточно высоких температурах атомы можно возбуждать с помощью соударений.

Большинство соударений между атомами — упругие, т. е. сохраняется кинетическая энергия. Но при достаточно сильных соударениях кинетическая энергия может израсходоваться на отрыв атома от сложной молекулы, а очень сильные удары могут выбить из атома отрицательный электрон, оставив атом положительно заряженным. Этот процесс создания электрически заряженных частиц в газе называется ионизацией. Чтобы оторвать электрон от атома, требуется значительная энергия; при этом кинетическая энергия переходит в электрическую потенциальную энергию. При комнатной температуре соударения, приводящие к ионизации, слишком редки, чтобы их следовало принимать в расчет. При температуре пламени, скажем, 1200 °C кинетическая энергия некоторых молекул газа уже достаточна для ионизации ударом, хотя ионов всего несколько штук на миллиард, но и это количество уже заметно.

Фиг. 115. Образование ионов.

_{Ударившись об атом, электрон выбивает из него электрон и оставляет положительный ион. Отделившийся электрон может присоединиться к другому атому, образовав отрицательный ион.}

Атомам может быть причинен и несколько меньший ущерб. Не отрываясь от атома, электроны могут подняться на более высокий уровень. Получается «возбужденный» атом. Когда электроны возбужденного атома возвращаются на свое нормальное место, дополнительная энергия выделяется в виде излучения. Именно так, при возвращении электронов на низшие, наиболее стабильные энергетические уровни атомы излучают свет. Яркий желтый свет пламени, в которое бросили щепотку соли, зелено-голубой свет от меди или пылающий красный свет неоновой рекламы — все это излучается возбужденными атомами при возвращении в нормальное состояние или ионами, которые, захватив электроны, переходят из возбужденного в нормальное состояние.

Светящиеся газы могут проводить электрический ток, подтверждая присутствие в них заряженных ионов, переносящих этот ток. Ионы создаются в пламени главным образом благодаря выделению химической энергии, и местами возникают атомы более быстрые, нежели большинство атомов газа в пламени. При высоких температурах, скажем 6000 °C, как на поверхности Солнца, обычные соударения могут возбуждать достаточное количество атомов для создания видимого свечения. (Этот свет Солнца и других звезд тонет в гигантском потоке излучения, идущего из пышущих жаром недр.).

Однако сильное нагревание — слишком сложный способ получения ионов. Проще получить их с помощью электрического разряда. Приложим к газу сильное электрическое поле. При своем возникновении сам ион и оторванный от него электрон ускоряются полем и могут приобрести достаточно энергии, чтобы при соударении с молекулой газа создать еще один ион. Таким образом, каждый ион будет создавать вторичные ионы, которые в свою очередь также будут увеличивать число ионов. Возникает размножающийся лавинный, или цепной, процесс, который мы называем электрическим разрядом. Его можно проиллюстрировать на модели, изображенной на фиг. 116.

Фиг. 116. Модель лавины («разряда»).

В небольшие канавки на наклонной планке уложены шарики. Они представляют молекулы, а расстояние между канавками — средний свободный пробег. Шарик, изображающий ион, выпускается сверху планки и катится вниз, пока не встретит ряд «молекул». Если наклон невелик (слабое электрическое поле), «ион» остановится. Если наклон побольше, то шарик вытолкнет другой, а сам остановится. Возникает небольшой ток. Но если наклон достаточно велик (сильное электрическое поле), «ион» вытолкнет несколько шариков, каждый из которых вытолкнет еще несколько, и т. д. Возникает лавина («разряд»).

Хороший способ создать тонкую цепочку ионов — это пропускать через газ (жидкость или твердое тело) заряженную частицу с очень высокой энергией (ядро или электрон). Своим электрическим полем этот снаряд будет выбивать на пути электроны из многих атомов, оставляя тонкий след в виде ионизованного газа. Именно так поступают α-частицы и β-лучи радиоактивных атомов.

Фиг. 117. Очень быстрые заряженные частицы оставляют на своем пути след из ионов.

В одной из последующих глав мы расскажем, как можно сфотографировать этот след или воспользоваться им в счетчике Гейгера.

В слабом электрическом поле ионы движутся подобно падающим в воздухе частичкам пыли. Поле силы тяжести ускоряет частички пыли, но молекулы воздуха при каждом соударении отбирают часть приобретенной кинетической энергии. В среднем частичка теряет все, что приобретает за период между двумя соударениями, и кажется, будто она падает с постоянной скоростью, а ее вес компенсируется трением о воздух. С микроскопической точки зрения ее движение представляет собой целый ряд падений с ускорением, замедляемых соударениями. Если такая частичка обладает электрическим зарядом, ее можно «тянуть» электрическим полем. Для маленькой частички нетрудно сделать так, чтобы притяжение электрического поля намного превосходило притяжение поля силы тяжести (из-за малой массы). При этом частичка будет двигаться с гораздо большей постоянной скоростью. Но движение снова будет представлять собой серию прыжков с ускорением, замедляемых трением о воздух. (Именно так обстоит дело о крайне маленькими заряженными капельками масла при измерении заряда электрона в опыте Милликена.).

С электрически заряженными ионами во многом происходит то же самое. Ионы ускоряются электрическим полем до тех пор, пока не столкнутся с молекулами газа и не поделятся с ними дополнительной кинетической энергией, приобретенной от поля. Затем они вновь ускоряются до следующего соударения и т. д. (фиг. 118).

Фиг. 118. Путь иона в слабом электрическом поле.

В слабых полях соударения ионов упругие; приобретенной между двумя соударениями кинетической энергии недостаточно для создания других ионов. Они просто продолжают свой зигзагообразный путь, немного нагревая газ. Для создания дополнительных ионов они должны успеть набрать между двумя соударениями довольно много энергии, а для этого необходимо увеличить либо электрическое поле, либо длину свободного пробега.

В обычном воздухе разряд возникает в довольно сильном поле, скажем 3∙10⁶ ньютон/кулон, но выкачайте половину воздуха и средний свободный пробег вдвое удлинится. На этом более длинном пути в поле ионы перед соударениями будут набирать вдвое больше энергии, так что для появления разряда потребуется поле вдвое слабее. А если выкачать 99,9 % воздуха, так что давление станет ¹/₁₀₀₀ атм, то ионы будут размножаться гораздо более слабым полем. (Вывод: сжатый воздух — гораздо лучший изолятор, чем обычный.).

Приложите к металлическим электродам в длинной стеклянной трубке напряжение в 100 000 в и медленно выкачивайте из нее воздух. При атмосферном давлении в трубке ничего не произойдет. Но через разрядник снаружи будет проскакивать искра. При ¹/₁₀₀ атм в трубке появятся струящиеся разряды. При ¹/₁₀₀₀ атм эти разряды захватят всю трубку. Теперь в трубке окажется сложное месиво нейтральных молекул и атомов (некоторые из них возбуждены), положительных ионов, движущихся в одном направлении, отрицательных, движущихся в другом, несущихся сломя голову электронов, рентгеновских лучей, ультрафиолетового и видимого света (он-то и «светит»). Покройте трубку изнутри минералом, который светится под действием ультрафиолетовых лучей, и вы получите современную люминесцентную лампу. Выкачайте воздух до 1/1000 000 000 атм, так что там останется очень мало светящихся молекул, и впустите туда неон до давления ¹/₁₀₀ атм. Получится трубка неоновой рекламы. Впустите туда несколько больше газа и уменьшите напряжение до величины, достаточной для возникновения разряда, и вы получите счетчик Гейгера.

Фиг. 119. Разрядная трубка.

Лет сто назад эта смесь ионов, или плазма[234], была простым словесным украшением того, что происходило в таинственных трубках с «электрическими разрядами». Полвека назад при выяснении атомной структуры плазма была рассортирована на составляющие. Независимо от состава газа в столкновениях отщеплялись отрицательные электроны. Остатки же атомов, положительные ионы, различались в зависимости от сорта газа как массой, так и цветом свечения. Но для использования электронов и ионов в атомной физике вам нужны кое-какие знания об электрических цепях (гл. 32[235]) и электрических полях (гл. 33[236]). После этого мы вернемся к электронам…. ионам…. атомам. А затем, используя «яростные» удары снарядов, вылетающих из атомов, будем изучать атомные ядра.

Фиг. 120. Разрядная трубка с газом при различных давлениях.

Вязкость (внутреннее трение в газах).

Трение при медленном движении в газе — это простая «передача» импульса между блуждающими молекулами. Измерение трения в газе рассказывает нам о размерах молекул газа. Допустим, что в газе медленно движется твердое тело, спокойно увлекая за собой близлежащие слои газа. Каждая молекула, ударяясь о тело, отскакивает от него, добавив к своему случайному движению движение тела вперед. Она отлетает, обогатившись направленным вперед импульсом, и переносит этот импульс на расстояние свободного пробега до первого столкновения. Там она отдает свою долю движения вперед, а затем либо снова она, либо ее «уполномоченные» возвращаются к движущемуся телу, но с меньшим количеством движения и вновь отскакивают, обогащенные движением вперед. Таким способом при каждом соударении с молекулой газа движущееся тело «за свой счет» увеличивает ее импульс «вперед». Растрачивая свой импульс, тело движется, как если бы его тормозила сила трения. Именно такое «разворовывание» импульса и является причиной внутреннего трения в газах. Блуждая в потоке, молекулы при столкновениях передают этот краденый импульс друг другу, пока он не достигнет внешних стенок.

Фиг. 121. Внутреннее трение в газе.

_{Медленно движущееся через газ твердое тело тормозится молекулами, «растаскивающими» его импульс.}

Предположим теперь, что газ откачали и в нем осталась лишь половина былого множества молекул. Как при этом изменится сила трения? Теперь о движущееся тело ударяется и уносит его импульс в два раза меньше молекул. Сила трения за этот счет должна быть вдвое меньше. Однако средний свободный пробег будет вдвое больше, так что возвращающиеся молекулы приходят от (вдвое) более далеких слоев и, следовательно, приносят меньший импульс. Каждая молекула за счет этого должна быть гораздо более эффективна при «отбирании» направленного вперед импульса, и трение в газе должно возрасти. Детальная проверка показывает, что оба механизма полностью компенсируют друг друга: прирост за счет удвоения среднего свободного пробега полностью съедается уменьшением вдвое числа молекул. (Прочитайте на стр. 576 о «модели», иллюстрирующей внутреннее трение в газе.) «Воришек», растаскивающих импульс, стало наполовину меньше, но ловкость каждого из них вдвое возросла — теперь каждый уносит вдвое больше. Отсюда удивительное предсказание: внутреннее трение в газе не должно зависеть от давления. Это кажется абсурдным, ибо получается, что когда мы выкачиваем из сосуда весь воздух, пылинки будут падать, а маятник будет замедляться с одинаковой скоростью при 1 атм и при ¹/₂, ¹/⁴, ¹/₁₀, ¹/₁₀₀, ¹/₁₀₀₀ … атм! Для маленьких предметов это действительно верно в широкой области давлений. Проверьте, хотя сделать это не просто.

ДЕМОНСТРАЦИОННЫЕ ОПЫТЫ.

Опыт 1. Ко дну стеклянной колбы прикреплен тоненький кварцевый (из чистого расплавленного песка) стебелек о маленьким набалдашником. Если запустить этот крошечный маятник, он будет колебаться, но трение о воздух о течением времени уменьшит амплитуду его колебаний. Выкачивая все больше и больше воздуха, мы обнаружим, что затухание из-за трения в воздухе остается почти одним и тем же, как и предсказывает кинетическая теория. Однако это не может быть верно до самого конца, т. е. до полного вакуума. Наша теория должна лопнуть, она сама же предсказывает свой крах. Трение будет оставаться неизменным, пока средний свободный пробег увеличивается пропорционально уменьшению числа молекул. Но когда выкачано столько газа, что средний свободный пробег сравнивается с размерами колбы, дальнейшее выкачивание уже не будет увеличивать пробега, а лишь уменьшит число переносчиков импульса. Так что внутреннее трение постоянно вплоть до давлений, при которых длина свободного пробега порядка размеров колбы; при меньших давлениях внутреннее трение будет падать до нуля. Этим можно воспользоваться для оценки среднего свободного пробега. Выкачивайте воздух из колбы до тех пор, пока амплитуда колебаний маятника не перестанет уменьшаться. Измерьте давление оставшегося в колбе воздуха и радиус колбы. Затем найдите средний свободный пробег при атмосферном давлении. Опыт 2. Вот запись данных одного опыта. Радиус сферической колбы составлял 0,10 м. Внутреннее трение было почти постоянным, начиная от 1 и до 0,00001 атм. При давлении в 1 миллионную долю атмосферы трение заметно уменьшилось. Следовательно, при ¹/_{1000 000} атм свободный пробег составляет 0,10 м. При 1 атм давление и плотность будут в 1 000 000 раз больше (закон Бойля), а средний свободный пробег в 1 000 000 раз меньше. Поэтому он равен (0,1 м)∙(1 000 000), или 10^-7 м, т. е. 1000 А°. Эти данные подобраны так, чтобы получить правильный свободный пробег, и все же они вполне возможны. Настоящий эксперимент дает приближенные данные, и средний свободный пробег может оказаться в несколько раз больше или меньше. Средний свободный пробег можно найти из точных измерений скорости протекания газа через капиллярную трубку с тем же механизмом трения. Для атмосферного воздуха это дает около 10^-7 м, или 1000 А°.

Фиг. 122. Проверка независимости внутреннего трения в газе от давления.

_{А — высокое давление; б — низкое давление; в — при очень низком давлении средний свободный пробег превышает размеры колбы.}

_{Дальнейшее удаление газа уменьшает внутреннее трение.}

«Модель», иллюстрирующая внутреннее трение в газе. Механизм внутреннего трения в газах или вязкости можно проиллюстрировать следующей аналогией. Представьте себе железную дорогу. Имеется девять путей в направлении с севера на юг. По центральному пути на север идет скорый поезд с постоянной скоростью 100 км/час. По другим путям в том же направлении движутся длинные товарные поезда с открытыми платформами. Скорость соседних со скорым поездов 80 км/час, тех, которые идут по следующим путям, 60 км/час, затем 40 км/час и, наконец, крайних 20 км/час. На каждой из платформ стоят по два человека и регулярно бросают с востока на запад теннисные мячи. Кроме того, они ловят мячи, которые им бросают с соседнего поезда, так что масса поездов не уменьшается и не увеличивается. По краям полотна тоже стоят люди, которые ловят мячи, бросаемые с крайнего товарного поезда, и отбрасывают их обратно. Имеются люди и на скором поезде, они тоже ловят теннисные мячи и бросают их на восток и на запад. Им ничего не известно о физике относительных скоростей, и, не учитывая своего движения, они метят прямо в соседний поезд, т. е. бросают мячи перпендикулярно направлению движения поезда. Поэтому брошенный с поезда мяч переносит как боковой импульс, так и импульс в северном направлении, соответствующий скорости поезда. Мячи в среднем попадают в скорый поезд с той же частотой, что и вылетают из него, т. е. перебрасывание мячей не изменяет массы. Но оно уносит импульс.

Фиг. 123. Иллюстрация к приведенному примеру.

Каждый мяч, брошенный со скорого поезда, движется вперед (на север) со скоростью 100 км/час, и уносит некоторый импульс, направленный вперед. Каждый мяч, попадающий на скорый поезд с соседних товарных поездов, идущих со скоростью 80 км/час, приносит меньший импульс, направленный вперед. В итоге скорый поезд теряет больше импульса, чем получает. Это скажется в виде тормозящей поезд силы, и не компенсируй эту игру тяга локомотива, поезд затормозит. (Точки приложения силы — руки людей, когда они ловят возвращающиеся к ним мячи. Мяч движется вперед медленнее, чем человек, который должен выбросить вперед руки и смягчить удар. Когда человек ловит мяч, то ускоряет его до скорости поезда). Промежуточные поезда тоже теряют и приобретают мячи с одинаковой частотой, но в этой модели с одинаковой частотой идет потеря и приобретение ими импульса, ибо с одной стороны летят более быстрые мячи, а с другой — более медленные. Те люди, которые стоят по краям полотна, получают импульсы, направленные вперед, и испытывают силу, увлекающую их вперед. Такова модель движения твердого тела в газе. Скорый поезд представляем собой движущееся тело, товарные поезда — прилегающие к нему слои газа, а мячи — летящие вбок молекулы. Удалим теперь половину мячей и половину ловящих их людей, оставив половину платформ пустыми (так что мяч может пролетать на платформу на более удаленном пути). Прежде мяч всегда ловился на следующем пути. Теперь же в среднем до захвата он будет пролетать через соседний путь. Средний свободный пролет мяча удвоился! Скорый поезд теперь теряет мячи, летящие вперед со скоростью 100 км/час, а захватывает мячи, летящие вперед с двух более удаленных путей со скоростью только 60 км/час. Разность скоростей вместо 100—80 будет 100—60, так что каждый обмен мячами в среднем означает вдвое больший импульс. Однако вдвое уменьшилось и количество мячей. Тормозящая сила, следовательно, остается той же, мячей вдвое меньше, а вклад каждого в тормозящую силу вдвое больше. Задача 15. Опыт Цартмана. А) Опишите по собственному рисунку способ, которым Цартман измерял скорости молекул. Б) Покажите на рисунке пленку в барабане. В) Изобразите развернутую пленку и пометьте на ней ту запись, которую бы вы ожидали увидеть для газа, состоящего из молекул одного сорта. Г) Изобразите запись, которую вы ожидаете увидеть для смеси двух газов, — масса молекул одного из которых в 4 раза больше массы молекул другого. Подпишите ваши метки. Д) Объясните, как вы выбрали расстояние между метками. Задача 16. Формула для опыта Цартмана. А) Допустим, что в атом опыте молекулы со скоростью v дают на пленке метку на расстоянии у от нулевой. Как изменится у, если v удвоится? Как изменится у, если удвоить одну из следующих величин, оставив другие без изменения: — скорость вращения барабана, R оборотов в 1 сек? — радиус барабана r? — длину барабана по оси L? Б) Выведите формулу для вычисления v из измерений у, R и т. д, Задача 17. Вязкость. А) Когда небольшой предмет плавко движется в воздухе, увлекая его за собой, воздух оказывает «сопротивление внутреннего трения» и предмет останавливается. Опишите своими словами механизм внутреннего трения в газе с молекулярной точки зрения. Б) Если давление воздуха уменьшить вдвое, то как это скажется на скорости молекул, отраженных от движущегося тела, которая обусловливает тормозящую силу? В) Если давление воздуха уменьшить вдвое, то как это повлияет, на средний свободный пробег молекул? Г) Почему вы думаете, что изменение среднего свободного пробега повлияет на трение движущегося тела? Д) Как, по-вашему, подействует на внутреннее трение уменьшение давления воздуха вдвое? Е) Какое вы предвидите при атом ограничение? Задача 18. Молекулы в высоком вакууме. Используя упоминавшиеся в этой главе данные и считая радиолампу прямоугольным ящиком размером 2 см х 2 см х 5 см и объемом ²⁰/_10⁶ м³, найдите; А) Число молекул воздуха в нем при атмосферном давлении. Б) Число оставшихся молекул при обычном высоком вакууме (10^-9 атм). В) Число соударений в 1 сек выделенной молекулы с другими в высоком вакууме. Г) Число ударов в 1 сек выделенной молекулы, о стенки лампы в высоком вакууме. Задача 19. Модель газа. (Эта модель помогает получить представление о молекулах газа.) Допустим, что теннисный мяч, наполненный воздухом при атмосферном давлении, можно увеличить до размеров Земли, сохранив то же число «молекул газа», увеличенных в том же масштабе. Внутренний радиус мяча примите равным 0,032 м, а радиус Земли — 6,4∙10⁶ м. А) Дайте грубую оценку следующих параметров «молекул» в увеличенной модели: 1) диаметра, 2) среднего расстояния между ними, 3) средней длины свободного пробега. Б) Опишите указанные параметры в обыденных мерах типа «величиной с биллиардный шар» или ша расстоянии вытянутой руки». Задача 20. Отражение и энергия. А) Внутри тонкостенного резинового мячика находится атмосферный воздух. Мячик с силой ударился о массивную стенку и отскочил от нее. Воспользовавшись своим знанием кинетической теории, опишите изменения, происходящие с воздухом во время удара о стенку и отражения. Б) Если кусочек свинца ударяется о стальную мишень, он нагревается. Но если о мишень ударяется летящий с той же скоростью резиновый мячик и отскакивает от нее (почти с прежней скоростью), он едва ли нагреется. Обсудите эту разницу. Задача 21. Диффузионный насос. Ртутный (или масляный) диффузионный насос особенно хорош для откачивания остаточного водорода или гелия. Допустим, что массивная молекула ртути и некая легкая молекула испытывают лобовое столкновение. Предскажите их движение после столкновения. (Посмотрите задачу в конце гл. 26.) Опишите, как такие столкновения приводят к быстрому откачиванию.

Интерлюдия. МАТЕМАТИКА И ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ.

«Математика в определенном смысле представляет собой язык науки, основу успешной работы в области всех естественных и некоторых социальных наук». Каталог Принстонского университета (1947–1939) «Коль скоро разум жадность не поборет, То небо для чего ж?». Роберт Браунинг Хотя эта интерлюдия — лишь вспомогательная часть настоящего курса, тем не менее она затрагивает самые основы физической науки.

Глава 31. Точный язык, стенографическая машина и «блестящий канцлер» науки. Новая наука и новые взгляды.

«Математика — королева естественных наук». К. Ф. Гаусс (~ 1840 г.) «Математика занимается исключительно связями понятий друг с другом, не учитывая их отношения к опыту. Физика тоже имеет дело с понятиями, однако эти понятия приобретают физическое содержание только после четкого определения их связи с предметом исследования… Теория относительности — это физическая теория, основанная на внутренне непротиворечивой физической интерпретации… понятий движения, пространства, времени». А. Эйнштейн.

Математика — язык науки.

При сборе информации, формулировке законов и создании основ науки ученым для выражения мыслей нужен ясный язык. Обыденный язык гораздо грубее и туманнее, чем это кажется большинству людей. Выражение «я люблю овощи» столь неопределенно, что недостойно цивилизованного языка, оно нисколько не лучше нечленораздельных криков дикаря. «Термометр дает температуру воды». Термометр ничего не «дает». Все что вы делаете — это, внимательно поглядев на термометр, пытаетесь сделать выводы и почти наверняка немного ошибаетесь. Термометр к тому же вовсе не показывает температуру воды. Он показывает лишь свою собственную температуру. Кое-что из этих упреков относится к существу вопроса, но словеса отнюдь не помогают делу. Мы можем при желании сделать свои утверждения более определенными, но это приведет к выражениям, которые потребуют целого ряда комментариев. Язык же математики выражает смысл удивительно кратко и откровенно. Когда мы пишем 2x² — 3x + 1 = 0, то делаем очень определенное, хотя и не далеко идущее утверждение относительно х. Одно из преимуществ применения математики в науке состоит в том, что она помогает точно записать нашу мысль, избежав неясности и двусмысленности. Запись Δv/Δt = 9,8 ясна и без привлечения длинных словесных описаний ускорения, a y = 4,9∙t² говорит о падении камня без лишних слов о массе и притяжении.

Великое свойство математики — ее стенографичность при установлении связей и при проведении сложнейших рассуждений, когда мы соединяем воедино несколько соотношений. Равноускоренное движение можно определить так: «Пройденное расстояние равно сумме произведений начальной скорости на время м половине ускорения на квадрат времени», однако короче написать: s = v₀∙t + ¹/₂a∙t². Если бы вместо алгебры мы пытались оперировать словесными утверждениями, то по-прежнему могли бы из двух выражений для ускоренного движения получить третье по аналогии с выводом формулы v² =v₀² + 2∙a∙s в приложении 1 гл. 1[237]. Однако без компактной алгебраической записи рассуждения были бы убийственно громоздкими. Идя дальше, туда, где используется отточенная математика дифференциального исчисления, мы, рассуждая на словах, пришли бы к невообразимо сложным и запутанным выражениям.

Математика в таких случаях напоминает автомат, в котором вместо колес и поршней работают правила логики. Она получает от нас информацию — факты и соотношения из эксперимента и из нашей головы, схемы, которые подлежат проверке, а потом перемалывает все это и подает в новой форме. Хотя в ее изделие не обязательно входят все заложенные материалы, но, как положено настоящему автомату, она никогда не выдает того, чего не было заложено вначале. Создать науки о реальном мире машина никакими ухищрениями не сможет.

Математика — верный слуга.

Помимо обычных услуг, математика может творить в науке поистине чудеса. Как маленький кудесник, она может сотворить нечто новое для дальнейшего использования. Допустим, например, что падающее тело обладает постоянным ускорением 9,8 м/сек² и что любое движение, приданное ему вначале, попросту складывается с ускоренным движением. Тогда математическая машина возьмет ваше экспериментальное открытие, величину g и даст вам соотношение s = v₀∙t + ¹/₂∙(9,8)∙t². А теперь допустим, что в ваших исследованиях никогда не было тел, брошенных вверх, и вы никогда не видели поднимающегося и падающего по параболе мяча. Математическая машина, которую не смущают подобные обстоятельства, даст вам ответ, как будто никаких ограничений нет и в помине. Так, чтобы посмотреть, как выглядит бросок вверх, v₀ в формуле надо придать отрицательное значение. Формула тотчас же расскажет вам невообразимую историю. Камень — скажет она — летел бы все медленнее и медленнее верх, достиг бы высшей точки, а затем начал бы все быстрее и быстрее падать вниз. Но здесь вовсе не блестящая догадка, а обычное бесстрастное утверждение. В свое оправдание машина сказала бы: «Вы не сообщили мне, что v₀ должно быть направлено вниз. Я не знаю, верно ли новое предсказание. Единственное, что я могу сказать, что ЕСЛИ бы движение вверх подчинялось правилам, которые мне задали для движения вниз, ТО брошенный вверх мяч поднимался бы, затем останавливался и начинал бы падать вниз».

Блестящее предположение о том, что это основное правило может быть общим, сделал не кто иной, как мы сами. Именно мы приветствовали такую подсказку машине, а затем проверили все[238]. В качестве другого примера математики летящего снаряда рассмотрим уже встречавшуюся нам ранее задачу с двумя ответами.

Задача 1. В птицу, сидящую на дереве на высоте 15 м, бросили вертикально вверх камень с начальной скоростью 20 м/сек. Через сколько секунд после броска камень попадет в нее? (g ~= 10 м/сек). Ответ: 1 или 3 сек.

Фиг. 126. К задаче 1.

Этот ответ характеризует алгебру как очень честного, но довольно глупого слугу. Получилось два ответа, как собственно и должно быть для задачи, предложенной машине. Камень может попасть в птицу, когда летит вверх (через 1 сек) и когда падает вниз (через 3 сек). Если вы упрекнете машину за второй ответ, она будет оправдываться так: «Но вы же ничего не сказали о том, что камень должен попадать в птицу и, кроме того, что он должен попасть в нее, когда будет лететь вверх. Я только вычислила, через какое время камень будет на высоте 15 м над землей, а таких времен два». Вернувшись назад, вы увидите, что совершенно не отразили в математике контакт между камнем и птицей и ничего не сказали о направлении движения камня в этот момент. То, что инструкция неполная, — наша вина, а то, что машина вежливо дала вам все возможные в рамках инструкции ответы, — делает ей честь.

Если в каком-нибудь ответе на задачу получаются 3 или 2¹/₄ коровы, мы вправе отбросить второй ответ, но вы сами виноваты, что не сообщили математической машине некие важные сведения о коровах. В физических задачах, где возникает несколько ответов, мы обычно без особого смысла отбрасываем некоторые из них. Все эти ответы могут быть совершенно правильными, если же некоторые из них слишком уж странные, то, признав их, мы можем прийти к новым выводам. Если вы вспомните задачу 15 приложения II к гл. 1[239], то увидите, что означает второй ответ.

А вот еще задача того же типа.

Задача 2. Человек бросает в колодец глубиной 30 м камень, который начинает падать вниз со скоростью 5 м/сек. Когда он достигнет дна?

Фиг. 127. К задаче 2.

Припишем исходным данным подходящие знаки + и —, подставим их в подходящее выражение для свободного падения и решим уравнение. Получаются два ответа: один — разумный со знаком + («правильный» ответ), а другой с отрицательным знаком. Но так ли уж глуп отрицательный ответ?

Время, равное —3 сек, просто означает: «За 3 сек до того, как были пущены часы». Машине не было сказано о том, что камень брошен вниз человеком. Ей только сообщили, что в нулевой момент, когда были пущены часы, камень двигался вниз со скоростью 5 м/сек, а после этого падал свободно. Камень в нулевой момент времени мог просто выскользнуть из рук. Он мог быть брошен задолго до этого вторым человеком со дна колодца — предположим, он швырнул его вверх с достаточной силой, чтобы камень получил нужную скорость в нулевой момент. Таким образом, хотя наша теория говорит: «Джордж, стоя на краю колодца, бросил вниз камень…», ответ — 3 сек свидетельствует совсем о другой истории: «Алфред, стоя на дне колодца, сильно бросил камень вверх. Камень вылетел из колодца с уменьшающейся скоростью, достиг высшей точки и начал падать с возрастающей скоростью, пролетев мимо Джорджа через 3 сек после того, как его бросил Алфред. Джордж не успел поймать камень (в момент t = 0), так что тот пролетел мимо него со скоростью 5 м/сек и снова упал на дно колодца». Согласно математике, камень достигнет дна через 1 сек после того, как его выпустит Джордж из рук, или же он мог бы начать движение со дна за 3 сек до того, как пролетит мимо Джорджа. Вернемся к задаче 15 приложения II гл. 1 и попытаемся пояснить полученные там два ответа.

Задача 3. Человек, стоящий на вершине башни высотой 15 м, бросает вверх камень со скоростью 10 м/сек. Какое время понадобится камню, чтобы достичь земной поверхности?

Фиг. 128. К задаче 3.

В этой задаче математика ведет себя как исключительно честный слуга, совсем так, как честный мальчик из историй «Папаши Брауна» Дж. Честертона. Посыльный мальчик принес в глухую деревушку одному скряге телеграмму. По ошибке скряга вместо ¹/₃ пенса (самой мелкой английской монеты из светлой бронзы) дал мальчику «на чай» золотой фунт. Как же поступил мальчик, когда обнаружил ошибку? Забрал золотой, бессовестно воспользовавшись ошибкой? С притворной добросовестностью принес ее назад, надеясь, что скряга, растрогавшись, скажет: «Возьми его себе, малыш!»? Нет, он не сделал ни того, ни другого. Он просто принес сдачу — 19 шиллингов и 11 ³/₄ пенса точно. «Наконец-то я нашел честного человека!» — воскликнул восхищенный скряга и завещал мальчику все свое золото. И мальчик, со своей тупой честностью, так буквально понял волю скряги, что снял даже золотые коронки с его зубов.

Математика — умный слуга.

Самое удивительное — это то, что наша машина может приготовить «новый продукт» в таком виде, который соответствует совершенно новой точке зрения. Взглядом гения ученый может увидеть в новом смутные очертания виденного ранее, достаточные для работы воображения и проверки. Если мы попытаемся обойтись без математики, то потеряем нечто большее, нежели ясный язык: возможность стенографической записи рассуждений и мощное орудие переработки информации. Мы лишимся также части научного воображения на более высоком уровне.

С помощью математики можно закодировать современную науку в столь ясной форме, что в ней будет легче обнаружить простоту, которую многие ищут в науке. Это, однако, не грубая простота наподобие круговых орбит планет, а простота изощренная, понятная только на языке самой математики. Представим, например, что, ущипнув конец натянутой веревки, мы создали на ней горб (фиг. 129). Воспользовавшись вторым законом Ньютона, мы можем закодировать поведение горба в сложной математической форме. И совершенно неожиданно здесь явно проступит «математическое клеймо» волнового движения[240]. Математика предсказывает, что эта волна будет распространяться, и говорит, как, зная натяжение и массу веревки, вычислить скорость волны.

Еще один пример. Сто лет назад Максвелл с помощью математики свел воедино экспериментальные законы электромагнетизма и записал их в простой форме. Прежде всего он избавился от детален формы и размеров аппаратуры, как мы избавляемся от формы и размеров образца, вычисляя плотность металла по его весу и размерам. Удалив таким образом «граничные условия», Максвелл получил законы электричества, свойственные любой системе при любых обстоятельствах, как плотность свойственна любым образцам данного металла. Дифференциальное исчисление придало его законам окончательную форму, называемую дифференциальными уравнениями. Взгляните на них, пока не заботясь о понимании терминологии.

Допустим, что в момент времени t движущиеся либо покоящиеся электрические заряды и магниты породили соответствующие поля: электрическое с напряженностью Е(Е — вектор с компонентами Е_х, Е_у, E_z) и магнитное поле Н (с компонентами Н_х, Н_у, Н_z). Тогда в пустом пространстве экспериментальные законы, известные уже сто лет, будут описываться приведенными соотношениями.

_{Постоянная KH относится к магнитным полям. Она появляется в выражении для силы, действующей со стороны магнитного поля на электрический ток. (См. также гл. 37 «Магнитные силы», т. 3 настоящего издания.) Существует соответствующая постоянная для электрического поля KE, которая появляется в законе Кулона (см. гл 33 «Электростатика. Электрические заряды и поля», т. 3 настоящего издания).}

Посмотрите на колонку IV и сравните ее с колонкой III. Уравнения IV кажутся неполными, они портят общую симметрию[241].

Максвелл обнаружил этот дефект и исправил его, выдумав дополнительный ток в пустоте — «привидение», которое до тех пор даже никому и не снилось, но впоследствии ток этот был обнаружен экспериментально. А Как бы вы изменили уравнение IV, чтобы сделать его симметричным уравнениям III, если бы вам сказали, что часть уравнения пропущена (она была неизвестна еще в то время)? Попытайтесь.

Такое добавление не было ни счастливой догадкой, ни вдохновением свыше. Для Максвелла, отлично знавшего состояние науки, оно казалось обязательным, неизбежным расширением симметрии. В этом разница между развитием науки знающим специалистом и стихийным изобретательством энтузиаста-любителя.

Сделав свое фантастическое в то время добавление, Максвелл смог заложить всю связку уравнений в математический «автомат». Оттуда вышло удивительное уравнение знакомого вида — волновое уравнение, аналогичное тому, которое получилось для горба на веревке. Это новое уравнение утверждало, что изменяющиеся электрические и магнитные поля должны распространяться в виде волн со скоростью v = 1/√(K_H∙K_E), где К_H — постоянная, характерная для магнитных эффектов, создаваемых движущимися зарядами, а К_E — соответствующая электростатическая постоянная, введенная Максвеллом при усовершенствовании уравнений[242]. (Kg входит в закон обратных квадратов для сил, действующих между двумя электрическими зарядами.) Необычный вывод этого вы найдете в конце гл. 37[243].

К удовольствию Максвелла и удивлению его противников вычисленное значение v совпадало со скоростью света, который, как считалось в то время, представляет какие-то волны. Все сходилось к тому, что свет мог быть одним из видов предсказанных Максвеллом электромагнитных волн. Это произошло за много лет до того, как предсказание Максвелла было проверено путем непосредственной генерации электромагнитных волн электрическими токами. Работа Максвелла была одним из величайших достижений физики. А ныне пришедшие ей на смену столь же смелые гипотезы создают основы физики сегодняшнего дня.

Одним из величайших вкладов математики в физику явилась теория относительности, которую можно считать разделом и физики, и математики; для ее понимания требуется хорошее знание как математики, так я физики.

Сейчас мы обратимся к «Специальной теории относительности» Эйнштейна, потом снова вернемся к математике как языку науки.

Теория относительности.

Теория относительности привела к видоизменению механики и ломке старых научных представлений. Она возникла из простого вопроса: «Какова скорость нашего движения в пространстве?» Попытки экспериментально ответить на этот вопрос создали затруднения, которые заставили ученых думать о пересмотре существовавших представлений. В результате подобных переоценок возникла теория относительности — блестящий пример приложения математики и методологии к нашим взглядам на пространство, время и движение. Теория относительности — это раздел математики. Поэтому популярное изложение этой теории без математики почти наверняка обречено на неудачу. Чтобы понять теорию относительности, вы должны либо проследить за всеми выкладками по обычным учебникам, либо, как это сделано в данной книге, разобраться в исходных фактах и окончательных результатах, приняв на веру все, что касается работы самой «машины» математики.

Что можно сказать о пространстве? Где находится начало отсчета фиксированной системы и с какой скоростью мы движемся в пространстве? Сейчас точка зрения Коперника кажется нам удобной и мы рисуем в воображении вращающуюся Землю, которая несется по своей орбите вокруг Солнца со скоростью около 120 000 км/час. Солнечная система как целое мчится к созвездию Геркулеса со скоростью 180 000 км/час, тогда как вся Галактика…

Должно быть, мы летим по огромной эпициклоиде, не ведая об этом. Не ведая, ибо, как заметил Галилей, механика движения, а именно столкновений, полета снарядов и т. д., будет одной и той же как в покоящейся, так и в равномерно движущейся лаборатории[244]. Сам Галилей приводил в пример мысленные эксперименты с человеком, который на идущем по курсу корабле бросает камни с мачты. В гл. 2[245] мы иллюстрировали эту «галилееву относительность» мысленными экспериментами в движущемся поезде. Допустим, что один поезд проходит мимо другого с постоянной скоростью и без всяких толчков, причем все окутано таким туманом, что вокруг ничего не видно. Могут ли пассажиры определить, какой из поездов движется? Могут ли им помочь эксперименты по механике? Пассажиры могут наблюдать только относительное движение. Хотя все правила сложения векторов и законы движения выработаны в движущихся «земных» лабораториях, они тем не менее не обнаруживают никакого влияния этого движения.

Мы называем инерциальной любую систему отсчета или лабораторию, в которой справедливы законы Ньютона, предоставленные самим себе тела движутся по прямой с постоянной скоростью или остаются в покое, а сила сообщает пропорциональное ей ускорение. Мы установили, что любая система, движущаяся с постоянной скоростью относительно инерциальной, тоже будет инерциальна — в ней справедливы законы Ньютона. В последующих рассуждениях о галилеевой и эйнштейновской относительности мы предполагаем, что рассматриваем инерциальные системы подобно покоящейся относительно Земли. В обсуждениях общей теории относительности мы коснемся и других систем, в частности тех, которые ускоряются.

Природа не обеспечила нас строго инерциальной системой. Вращающаяся Земля в строгом смысле — не инерциальная система (ибо ее вращение вызывает центростремительное ускорение); если бы нам удалось найти одну идеальную систему, то принцип относительности гарантировал бы любое число других инерциальных систем. Любая система, движущаяся с постоянной скоростью по отношению к нашей первой, была бы столь же хорошей инерциальной системой; законы Ньютона, справедливые по определению в первоначальной системе, были бы справедливы и во всех остальных. Когда мы проводим опыты по механике и обнаруживаем, что законы Ньютона строго выполняются, то с точки зрения теории относительности просто демонстрируем, что наша первоначальная лаборатория была практически инерциальной системой. Напротив, любые эксперименты, демонстрирующие вращение Земли, показывают несовершенство нашего выбора инерциальной системы. Однако, сказав «Земля вращается», мы представляем себе идеальную систему, в которой законы Ньютона выполняются совершенно точно.

Теория относительности Галилея содержится в наших формулах. Когда для движущейся по горизонтали с ускорением ракеты мы пишем s = v₀t + ¹/₂ at², то это означает «запустить ракету со скоростью v₀ и это скажется в качестве простого добавления слагаемого v₀t к пройденному расстоянию».

То же самое можно сформулировать следующими словами: «Экспериментатор ε запускает ракету из состояния покоя и наблюдает движение по закону s = ¹/₂ at². Другой экспериментатор ε', бегущий со скоростью v₀, увидит движение по закону s' = v₀t + ¹/₂ at². Он должен добавить v₀t вследствие своего собственного движения» (фиг. 130).

Мы говорим, что равномерное и ускоренное движения не мешают друг другу, а просто складываются.

Наблюдатели ε и ε' сделали бы следующие заключения о расстоянии, пройденном за время t:

НАБЛЮДАТЕЛЬ ε

S = ¹/₂ at^2.

НАБЛЮДАТЕЛЬ ε'

S' = v₀t + ¹/₂ at^2.

Оба вывода говорят о том, что ракета движется с постоянным ускорением[246].

Оба заключения говорят, что в начальный момент t = 0 ракета находилась в начале координат.

Первое заключение говорит, что наблюдатель ε видит, будто ракета начала движение из состояния покоя. В момент пуска часов t = 0 ракета по отношению к наблюдателю не обладала скоростью. В этот момент ракета двигалась вместе с ним, если сам он двигался (так что ему она казалась покоящейся), а он дал ей возможность двигаться с ускорением.

Различие этих выводов свидетельствует, что относительная скорость наблюдателей ε и ε' равна v₀. Однако никакой информации об абсолютном движении здесь не содержится. Наблюдатель ε' может стоять на месте, в этом случае наблюдатель ε бежит назад с постоянной скоростью v₀ (запуская в момент t = 0 на бегу ракету, фиг. 131, б). А может быть, оба наблюдателя, и ε и ε', находятся в поезде, мчащемся с огромной скоростью (фиг. 131, в), но и тогда ε движется со скоростью v₀ относительно ε'. В любом случае v₀ будет относительной скоростью наблюдателей и никакой анализ их измерений не может сказать нам (или им), кто из них «действительно» движется.

Добавка v₀t только сдвигает график зависимости s от t, но не влияет на ускорение и силы. Следовательно, на вопрос: «С какой скоростью движемся мы в пространстве?», простая механика отвечает: «Никакие эксперименты с весами, пружинами и силами… не могут выявить нашей скорости. Ускорение дает о себе знать, но постоянную скорость мы не чувствуем». Мы можем измерять только относительную скорость, т. е. скорость по отношению к другим телам и системам отсчета.

Тем не менее мы все же рассуждаем так, как будто бы существует абсолютное движение, как будто бы мимо нас проносятся «верстовые столбы» пространства, но как их заметить? Однако прежде чем перейти к этому вопросу, где нас ждет большее разочарование, мы запишем правила относительного движения в простой алгебраической форме.

Фиг. 133. Обнаружение одинаковых механических законов.

Галилеево преобразование координат.

Сравнение результатов двух наблюдателей можно провести просто и в общем виде. Допустим, наблюдатель в описывает события в своей лаборатории. Другой наблюдатель ε', пролетающий мимо лаборатории с постоянной скоростью v, описывает те же события так, как видит их он. Оба наблюдателя ε и ε' приготовили для измерения одинаковые часы и метры и с каждым из них связаны оси X, Y и Z. Для удобства наблюдатели запускают свои часы (t = 0, t' = 0) в тот момент, когда находятся рядом. В тот же момент совпадают начала их систем и оси координат. Допустим, что, по мнению ε, событие произошло в момент t в точке (х, у, z) по отношению к своим осям[247]. Наблюдатель ε' регистрирует то же событие с помощью своих приборов: оно происходит в момент t и в точке (х', у', z') по отношению к движущимся вместе с ним осям координат. Как сравнить эти два результата? Здравый смысл говорит нам, что время для обоих наблюдателей будет одним и тем же, так что t = t'. Пусть относительная скорость наблюдателей равна v = м/сек и направлена вдоль оси Х. Тогда координаты у и z для них будут также одинаковы: у' = у, a z' = z. Но поскольку наблюдатель ε' вместе со своей системой координат переместился за время t от наблюдателя в на vt метров, его координаты х' будут на vt метров меньше, так что каждое х' должно быть равно х — vt. Итак,

Х' = х — vt, y' = y, z' = z, t' = t.

Эти соотношения, связывающие результаты наблюдений ε и ε', называются преобразованиями Галилея.

Обратные преобразования, связывающие наблюдения ε и ε', имеют вид.

Х = х' + vt, y = y', z = z', t = t'.

Оба типа преобразований равноправны для обоих наблюдателей и указывают просто на наличие относительной скорости наблюдателей +v в случае ε' —> ε и — v в случае ε —> ε'. Эта алгебраическая запись отражает наш обыденный взгляд на пространство и время.

Фиг. 134.

Скорость движущегося тела.

Если наблюдатель ε видит движущееся вдоль оси X тело и измеряет его скорость и отношением Δх/Δt, то, по мнению ε', то же тело движется со скоростью u', равной Δх'/Δt'. Использование алгебры и преобразований Галилея показывает, что u' = u — v. (Чтобы получить это соотношение в случае постоянных скоростей, надо просто разделить х' = х — vt на t.)

Предположим, например, что наблюдатель ε стоит у железнодорожного полотна и видит движущийся со скоростью v = 100 км/час. Другой наблюдатель ε' едет на товарном поезде со скоростью 40 км/час в том же направлении (фиг. 138).

Тогда экспресс с точки зрения ε' будет двигаться со скоростью.

U' = u — v = 100 — 40 = 60 км/час.

Если наблюдатель ε' движется в противоположную сторону, как при лобовом соударении, то v = —40 км/час, и ε' видит экспресс приближающимся со скоростью.

U' = 100 — (—40) = 140 км/час.

Это обычный способ сложения и вычитания скоростей. Он кажется о точки зрения «здравого смысла» единственно правильным, и в первых главах (т. 1) мы принимали его как нечто непреложное. Тем не менее окажется, что при очень больших скоростях его необходимо модифицировать.

Абсолютное движение?

Если мы обнаружим, что лаборатория находится в движущемся поезде, то сможем учесть скорость движения поезда и отнести результаты всех наших опытов к Земле. Обнаружив движение Земли, мы можем поместить систему координат на Солнце, затем на звезды, затем в центр тяжести всех звезд. Но если эти перемены не влияют на наше понимание механики, имеют ли они смысл? Разумно ли так беспокоиться об абсолютной неподвижной системе?

Ответить заставляет любопытство. «Да. Если мы движемся в космическом пространстве, то было бы интересно знать, с какой скоростью». Если этого не могут сказать механические опыты, то, может быть, могут прояснить опыты с электричеством? Для неподвижного наблюдателя электромагнитные явления целиком содержатся в уравнениях Максвелла. Посмотрим, что обнаружит движущийся наблюдатель при переходе от х к х' в соответствии с преобразованиями Галилея. Уравнения Максвелла тогда принимают более сложную форму. Доверяющий этим преобразованиям: экспериментатор сможет определить, что на самом деле движется — он или его приборы. Абсолютное движение проявилось бы в изменении формы законов теории электричества. Простейший способ найти эти изменения — воспользоваться распространением световых волн — электромагнитных полей, предсказанных уравнениями Максвелла.

Нашу скорость в пространстве можно найти, измеряя скорость распространения вспышек света. Подобные эксперименты пытались проделать еще семьдесят пять лет назад. Получился неожиданный результат. Оказалось, что не удается наблюдать никаких эффектов движения. Затем появилось множество попыток объяснить этот результат. Фитцджеральд в Англии предположил, что где бы в пространстве ни двигался предмет, он должен сокращаться в направлении движения, причем во сколько раз он сокращается — зависит только от скорости движения. При определенных условиях сокращение размеров приборов, регистрирующих световые сигналы, не позволило бы обнаружить движение в пространстве. Это странное сокращение, заставляющее сжиматься даже измерительные линейки, как и все находящееся в движении, казалось слишком невероятным и поэтому было встречено неодобрительно. К тому же не было дано механизма сокращения. Впоследствии голландский физик Лоренц (и Лармор в Англии) разработал последовательное «объяснение» механизма сокращения.

Преобразования Лоренца.

Лоренц создал электронную теорию вещества, согласно которой атомы содержат электрические заряды, которые, двигаясь, излучают световые волны.

Происшедшее вскоре после этого открытие электронов подкрепило его соображения, и было естественно, что Лоренц попытался объяснить неожиданный результат с точки зрения своей теории. Он обнаружил, что если потребовать неизменности уравнений Максвелла при движении электронов и атомов прибора, то длины в направлении движения при переходе от х к х' должны сокращаться в.

Раз.

Лоренц показал, что это сокращение (такое же, как у Фитцджеральда) приборов в точности «компенсирует» любой эффект движения в пространстве и таким образом объясняет экспериментальные результаты. Но, кроме того, он указал и причину сокращения. Он показал, как сокращение связано с электрическими силами в новой полученной им форме уравнений Максвелла. Очень странно думать, что тела при движении незаметно сокращаются — незаметно, ибо мы сами сокращаемся. Однако это ничуть не хуже прежней ситуации, связанной с существованием необъяснимых эффектов, которые получались при галилеевых преобразованиях уравнений Максвелла. Наряду с х' преобразуется и t'; кроме того, к t' пришлось добавить странное слагаемое. При применении таких преобразований уравнения Максвелла сохраняют простую форму для любого наблюдателя, движущегося с постоянной скоростью. Дальше вы увидите, как эти «преобразования Лоренца» были использованы в теории относительности, но сначала познакомьтесь со знаменитыми экспериментами с распространением световых сигналов.

Измерение скорости движения в пространстве.

Уже сто лет назад было ясно, что свет представляет собой волны, которые с очень большой скоростью распространяются в стекле, воде, воздухе и даже в «пустом пространстве» от звезд до нас. Считалось что это пространство заполнено «эфиром»[248], который переносит световые волны так же, как воздух — звук. Сейчас мы знаем, что свет (и другие радиоволны) представляет распространяющиеся электрические и магнитные поля и нет необходимости ни в каком «эфире», но прежде чем подойти к этой простой точке зрения, ученые столкнулись с вопиющим противоречием.

Эксперименты, призванные выяснить то, как быстро мы движемся через «эфир», дали удивительный результат: «никак!». Это нацело противоречило опытам с распространением звуковых волн в воздухе.

Звуки в воздухе распространяются в виде волн. Звук трубы, например, передается молекулами воздуха с определенной скоростью относительно самого воздуха, которая всегда одинакова независимо от того, движется труба или нет. Но движущийся наблюдатель обнаруживает, что его скорость складывается со скоростью движения звуковых волн. Когда он бежит по направлению к трубе, звук проходит мимо него быстрее (фиг. 139). Он может определить свою скорость движения относительно воздуха, измеряя частоту проходящих мимо него звуковых сигналов.

Наблюдатель заметит и другой эффект, если он движется стороной, приложив к уху звукоулавливатель (фиг. 140). Направление звука будет постоянно изменяться. Если известна скорость звука, то наблюдатель может определить и свою скорость. В любом случае измерения позволяют наблюдателю определить скорость относительно воздуха. Тот же эффект создает и ветер, избавляя нашего наблюдателя от беготни.

Подобные опыты со световыми волнами должны были выяснить нашу скорость относительно «эфира» — того, что было единственным символом абсолютного пространства. Опыты были проделаны, и результаты их оказались весьма многозначительными.

Аберрация звездного света.

Вскоре после смерти Ньютона астроном Бредли обнаружил небольшое годовое колебание положения всех звезд, обусловленное движением Земли по орбите. Представьте себе, что свет от звезды над головой — это хлынувший (с большой скоростью) ливень. Если на таком отвесном дожде вы держите зонтик прямо, капли будут падать на него под прямым углом, а капля, проникшая через дырочку посредине, упадет прямо вам на голову (фиг. 141, а).

А теперь припуститесь изо всех сил бегом. Дождь будет казаться вам косым (фиг. 141, б).

Чтоб защититься от него, придется наклонить зонтик под углом, полученным с помощью сложения векторов (фиг. 141, в).

Капли, пролетевшие через щель, будут по-прежнему падать вам на голову. Если вы бегаете по круговой орбите или взад-вперед по прямой линии, то должны наклонять зонтик так, чтобы он соответствовал направлению движения (фиг. 141, г).

Фиг. 141. «Аберрация» дождя.

Фив. 142. «Аберрация» дождя при сильном ветре.

Как раз это и обнаружил Бредли, когда пристально изучал в телескоп звезды[249]. Кажется, что звезды вблизи плоскости эклиптики отклоняются то туда, то сюда на небольшой угол, а звезды вблизи полюса описывают в течение года небольшие окружности. Следящий за звездами телескоп напоминает наклоненный зонтик. За шесть месяцев скорость Земли относительно Солнца меняет свое направление на противоположное, так что наклон телескопа за это время тоже должен соответственно измениться. Из этого небольшого изменения Бредли определил скорость света. Она согласовалась с единственной в то время оценкой, полученной по наблюдениям за спутниками Юпитера в различных точках земной орбиты[250].

Фиг. 143. Аберрация света звезд.

Чтобы капли падали на зонтик отвесно, вы должны наклонять его при беге или при ветре, если только ветер не несет воздух, а с ним и капли вслед за вами. (Если вы стоите под душем внутри мчащегося поезда, вам не придется наклонять зонтика.) Поэтому проведенные Бредли измерения аберрации говорили, что при движении Земли по орбите она перемещается в эфире в различных направлениях в пространстве со скоростью 30 км/сек.

Общее движение Солнечной системы в направлении каких-либо звезд остается незамеченным, ибо это дает постоянное отклонение направления на звезды, а Бредли измерял сезонное изменение наклона.

Опыт Майкельсона-Морли.

Семьдесят пять лет назад были задуманы новые эксперименты для обнаружения абсолютного движения. Одним из наиболее известных и решающих был эксперимент, выполненный Майкельсоном и Морли в Кливленде. Он явился одним из первых великих научных достижений Нового Света. В своем эксперименте Майкельсон и Морли заставили два луча света, идущие в разных направлениях, «шагать в ногу». Здесь не было движущегося наблюдателя и фиксированного источника, как в случае Бредли и звезд. Как источник, так и наблюдатель перемещались в пространстве вместе с лабораторией, и экспериментаторы пытались обнаружить движение эфира, переносящего световые волны. Полупрозрачное зеркало расщепляло свет на два пучка, один из которых шел вертикально, а другой — горизонтально (фиг. 144).

Фиг. 144. Схематическое представление опыта Майкельсона-Морли.

Зеркала поворачивали пучки назад, и они, вновь соединяясь, давали интерференционную картину. Малейшее изменение времени пролета одного луча по сравнению с другим смещало бы эту картину. Предположим теперь, что в какое-то время вся аппаратура движется вверх. Внешний наблюдатель увидел бы, что луч света отклоняется «эфирным» ветром вверх или вниз, причем наклон для каждого из путей будет один и тот же. В другое же время года Земля как целое движется горизонтально, поэтому горизонтальному лучу понадобится больше времени, чтобы пройти путь в оба конца, чем вертикальному.

В обычных курсах вы найдете описание этого эксперимента. С помощью алгебры показывается, что если вся лаборатория движется сквозь «эфир», то свету понадобится больше времени на то, чтобы пройти вдоль потока и вернуться назад, нежели пройти поперек потока. Вы можете убедиться в этом на следующем примере. Пусть вместо света взад и вперед в клетке летает птица, а клетка движется относительно воздуха (фиг. 145 и 146).

Можно либо равномерно тащить клетку в стоячем воздухе, либо оставить, клетку в покое и создать эквивалентный поток воздуха в противоположном направлении (фиг. 147).

Остановимся на последнем варианте, но эту историю с тем же результатом можно пересказать и для движущейся клетки. Предположим, что скорость птицы относительно воздуха составляет 5 м/сек, клетка представляет собой квадрат 40 м х 40 м, а ветер дует со скоростью 3 м/сек. Чтобы пролететь от одного конца до другого и вернуться назад, птице требуется 10 сек + 10 сек[251], т. е. всего 20 сек. Но чтобы пролететь от одного конца до другого и вернуться назад, требуется.

[40 м /(5–3) м/сек] + [40 м/(5 + 3) м/сек].

Или 20 сек + 5 сек, т. е. большее время[252]. Посадите птицу в клетку наподобие только что описанной; время пролета птицы поперек и вдоль клетки скажет вам, насколько быстро относительно воздуха движется клетка. Конечно, можно воспользоваться двумя птицами. Поверните клетку в другом направлении, и время пролета птиц скажет вам, в каком направлении движется клетка и с какой скоростью. Подобный же эксперимент со звуковыми волнами в лаборатории, движущейся относительно воздуха, дал бы вам скорость лаборатории. Пусть в одном углу комнаты стоит горнист и подает сигнал, тогда время возвращения эха от противоположных стен выявит общее движение лаборатории или наличие ветра. (Разумеется, если эта движущаяся лаборатория закрыта со всех сторон и увлекает находящийся в ней воздух с собой, эхо не обнаружит никакого движения.).

Соответствующие опыты со световыми сигналами трудны, но интерференционная картина крайне чувствительна ко времени прохождения. Когда Майкельсон и Морли поставили такой опыт, а Миллер повторил его, ответ получился удивительным: никакого движения «эфира» нет. Опыты повторялись при разных ориентациях и в разные времена года всегда с одним и тем же ответом «движения нет». Будь вы опытным ученым, вы бы сразу спросили: «А какова точность? Каковы ошибки?».

Ответ: «Они таковы, что позволили бы надежно определить скорость, равную ¹/₄ скорости движения Земли вокруг Солнца, а в последних[253] опытах — ¹/₁₀ скорости Земли».

Фиг. 148. Геометрия полета.

Аберрация тем не менее указывала на движение «эфира», равное ¹⁰/₁₀ этой скорости. Добавились данные других опытов, оптических, электрических. Вновь и вновь получался все тот же «нулевой результат». Налицо было явное противоречие.

АБЕРРАЦИЯ ЗВЕЗДНОГО СВЕТА. Попадающий в телескоп свет звезд через 6 месяцев меняет свой наклон. -> Земля движется по орбите вокруг Солнца сквозь «эфир». ОПЫТЫ МАЙКЕЛЬСОНА, МОРЛИ, МИЛЛЕРА. Сравнение времени прохождения в оба конца световых сигналов в двух перпендикулярных направлениях; дифракционная картина не меняется при повороте прибора или смене времени года. -> Земля не движется сквозь «эфир» или полностью увлекает его. - ПРОТИВОРЕЧИЕ.

К этому добавляла свои неприятности и развивающаяся теория электричества, ибо уравнения Максвелла, по-видимому, написаны для токов и полей в абсолютном пространстве («эфире»). В отличие от законов Ньютона они изменяются преобразованиями Галилея, приобретая в движущейся лаборатории иной вид. Впрочем, придуманные Лоренцем преобразования сохраняют форму уравнений Максвелла и в случае движущегося наблюдателя. Они, по-видимому, согласуются с фактами; эффекты не зависят от того, что движется — магнит или катушка. При преобразованиях Лоренца опыты по электричеству дают сведения лишь об относительной скорости (что они и делают), но ничего не говорят об абсолютном движении. Однако от преобразований Лоренца страдает механика. Они превращают F = m∙a и s = v₀ + ¹/₂ at² в столь необычную форму, что начинают противоречить наглядной относительности Галилея и простым законам Ньютона.

Для «объяснения» некоторых модификаций опыта Майкельсона-Морли было достаточно фитцджеральдова сокращения. Кеннеди и Торндайк, например, повторили его на приборе с неравными длинами плеч. Нулевой результат требовал лоренцева изменения масштаба времени и сокращения длин.

Введем теперь эту информацию в хорошую логическую машину. Она вынесет ясный и строгий приговор: «Информация противоречива». Сигнал очень тревожный. Но прежде чем переходить к решению проблемы, найденному Эйнштейном, прочтите описание поучительного фокуса.

ФОКУС. Этот неправдоподобный трюк познакомит вас с трудностью в признании теории относительности. Счет предметов — вещь абсолютная, не зависящая от точки зрения, так что этот фокус может ее понравиться физику с математическим складом ума, хорошо чувствующему природу. Пусть он отнесется к нему со снисхождением. Однако то, что невозможно при сложении шаров, действительно проявилось в сложении скоростей. Я хочу показать вам фокус. Беру черный мешочек и демонстрирую, что он пуст. Кладу туда 2 белых шарика. Считайте, один, два…, затем еще два: три, четыре. А теперь смотрите: я вынимаю 5 белых шариков, и мешочек снова пуст. Вложите эти данные в логическую машину и она вам скажет: «Противоречие». Что вы ответите на это? Обман зрения? Нет. Можете проделать это сами. (Миллер повторил опыт Майкельсона-Морли с большой точностью.). Хотите проверить, нет ли в мешочке потайных карманов? Пожалуйста. Их нет. Вернемся к записи. Мешочек без секретов, шарики круглые и крепкие, подсчитано все правильно: положили 2 + 2 и вынули 5. Что вы на это скажете? Если нельзя опровергнуть перепроверенные и несомненные наблюдения, то вы должны либо отречься от науки и потерять рассудок, либо перекромсать правила логики, включая и основные правила арифметики. Вы вынуждены будете признать: «В некоторых случаях 2 + 2 не дает 4». Но прежде чем искать спасения в коварной фразе «2 + 2 дает нечто», вы можете взяться за перечисление событий, где 2 + 2 дает 4, например сложение горошин на столе или денег в кошельке, и за перечень событий, где 2 + 2 дает нечто другое[254]. Для этого фокуса вы имеете три объяснения. А) «Это — колдовство» — заключение безусловно ложное. Б) «Работает особый механизм» — заключение едва ли лучше первого, оно отдает науку во власть нечистой силы. В) «Нужно изменить правила арифметики». Как это ни неприятно, вернее всего остановиться на нем. Это уже крайние меры. Подумайте внимательно, что бы вы предприняли в таком бедственном положении?

В обычной жизни мы не сталкиваемся с арифметическими парадоксами, однако вернемся к движению. Исключив ошибку эксперимента, мы останемся с теми же возможностями: колдовство, особый механизм, изменение физических законов движения.

Сначала ученые изобретали различные механизмы наподобие сплющивания электронов в эллипсоид при движении, но это привело к еще большим трудностям. Пуанкаре и другие готовы были изменить определение времени и пространства. Затем последовали два блестящих предложения Эйнштейна: откровенная точка зрения и единственная гипотеза — его принцип относительности.

Точка зрения теории относительности состоит в следующем — наука должна строиться на понятиях, которые можно наблюдать экспериментально; нельзя считать реальными ненаблюдаемые детали, вопросы о таких деталях не только не имеют ответа, но даже непристойны и ненаучны. С этой точки зрения абсолютное пространство (и, как полагали, заполняющий его «эфир») нужно выбросить из наших рассуждений, коль скоро мы убедились, что все попытки зарегистрировать его, обнаружить движение в нем обречены на провал. Такая точка зрения просто говорит: «Давайте будем реалистами; ни капли жалости».

Все попытки наподобие эксперимента Майкельсона-Морли-Миллера не указывают на наличие изменений скорости света. Опыты же с аберрацией вовсе не говорит, что свет движется с новой скоростью. Они просто дают новое направление его кажущейся скорости. Итак, гипотеза теории относительности состоит в следующем: Измеряемая скорость света (скорость распространения электромагнитных волн) одна и та же независимо от движения наблюдателя или источника. Это в корне противоречит здравому смыслу. Мы ожидали, что свет будет двигаться быстрее или медленнее в зависимости от того, бежим мы навстречу ему или от него. Тем не менее это просто реалистический итог всех опытов, в которых не удалось обнаружить движение наблюдателя или наличие «эфирного ветра». Вложим эти гипотезы в логическую машину, которая сначала ответила нам «Противоречие», но теперь удалим из нее «геометрические правила» для пространства-времени и движения, а также преобразования Галилея. Вместо этого попросим ее дать новые (простейшие) правила, которые делали бы всю схему внутренне непротиворечивой. Поскольку механика Ньютона выдержала проверку временем (движение кораблей, поездов, Солнечной системы и т. д.), новые правила должны сводиться при малых скоростях[255] к преобразованиям Галилея. Логическая машина ответила бы. «Есть только одна разумная схема — преобразования, предложенные Лоренцем и принятые Эйнштейном».

Вместо преобразований Галилея.

X' = x — vt,

Y' = y,

Z' = z,

T' = t.

Должны быть справедливы преобразования Лоренца-Эйнштейна.

X' = (x — vt)/√(1 — (v²/c²)),

Y' = y,

Z' = z,

T' = (t — (xv/c²))/√(1 — (v²/c²))

Которые при замене v на —v переходят в преобразования.

X = (x' + vt')/√(1 — (v²/c²)),

Y' = y,

Z' = z,

T = (t' + (x'v/c²))/√(1 — (v²/c²))

Где с — скорость света в пустоте. Эта скорость существенно входит в новые правила измерения, ибо новые преобразования так и выбраны, чтобы все попытки измерить эту скорость давали один и тот же ответ. Симметричная форма преобразований показывает, что эксперимент никогда не выяснит абсолютного движения. Мы можем обнаружить движение одного экспериментатора относительно другого, но никогда не сможем сказать, кто из них движется на самом деле.

Новые преобразования, конечно, объясняют и нулевой результат опыта Майкельсона-Морли-Миллера, ибо они специально для этого предназначены. Они объясняют и аберрацию, предсказывая одну и ту же аберрацию независимо от того, что движется — звезды или мы. Но они ведут к видоизменению механики Ньютона. Другими словами, из двух бед нам предстоит выбрать наименьшую: старые преобразования нарушают вид законов электромагнетизма, а новые — законов механики. Но старые законы электромагнетизма дают хорошее и простое описание природы в любых экспериментах как при высоких, так и при низких скоростях, а законы механики в своей классической форме все же нарушаются при высоких скоростях. Поэтому мы выбираем новые преобразования, модифицируем с их помощью законы механики и очень довольны, обнаружив, что модифицированные законы прекрасно описывают более точные эксперименты.

Новые преобразования выглядят не очень привлекательно[256], ибо они сложней и работать с ними менее приятно. Для сохранения галилеевой относительности Ньютон считал, что длины, массы и время не зависят от наблюдателя и друг от друга. Он мог утверждать, что с помощью механических экспериментов нельзя обнаружить равномерное движение в «пространстве»[257]. Когда же Эйнштейн распространил это утверждение на «неудачные» эксперименты со светом, он обнаружил, что результаты измерений длины, времени, а следовательно, и массы у наблюдателей с различными скоростями будут разными. Мы не рассказываем, как работает логическая машина, но на нее можно вполне положиться, как и на обычную алгебру[258].

Мы будем называть их, как принято, преобразованиями Лоренца.

Применение преобразований Лоренца.

Итак, примем новые усовершенствованные представления и посмотрим, как можно сравнить результаты измерений различных наблюдателей. Вернемся к наблюдателям ε и ε', которые снабжены совершенно одинаковыми метрами, часами и стандартными килограммовыми гирями. Наблюдатель ε' движется вместе со своей системой координат относительно наблюдателя ε со скоростью v, а ε движется относительно ε' назад, со скоростью —v.

Преобразования ε —> ε' и ε' —> ε полностью симметричный говорят только об одной и той же в обоих случаях относительной скорости v без каких-либо указаний на абсолютное движение и намека на то, кто из них «движется на самом деле».

Из этих преобразований вытекают результаты, которые необычны с точки зрения здравого смысла, но проявляются только при чрезвычайно больших скоростях. Наблюдатель, пролетающий мимо лаборатории на самолете или ракете, вполне может пользоваться преобразованиями Галилея. Он не обнаружил бы отклонений от правил сложения векторов и обычных законов движения механики Ньютона.

Скорость света с огромна:

С = 300000000 м/сек = 300 000 км/сек ~= 1 миллиард км/час.

В случае движения с обычными скоростями множитель v/c очень мал, а v²/c² еще меньше. Множитель √(1 — (v²/c²)) для любых практических целей можно считать единицей, а запаздывание времени xv/c² настолько незначительно, что практически мы имеем дело с преобразованиями Галилея.

Пусть теперь наблюдатель ε' движется относительно ε с колоссальной скоростью. В своей лаборатории каждый наблюдатель обнаружит одни и те же законы механики, а луч света будет распространяться с одной и той же скоростью в обеих лабораториях. Однако при скоростях 30 000, 60 000, 90 000 км/сек и еще больше наблюдатель ε увидел бы, что у проносящегося мимо него наблюдателя ε' творятся удивительные вещи. Наблюдатель ε воскликнул бы: «Вот чудак, у тебя же все приборы неправильные! Метр — короче моего, правильного, а часы отстают и за каждую секунду по моим точным часам они отсчитывают долю секунды». Между тем наблюдатель ε' не обнаружил бы в своей лаборатории никакого беспорядка и, взглянув на уносящегося ε и его лабораторию, закричал бы: «Сам чудак! У меня-то все в порядке, а посмотри, что творится у тебя! Метр короче… часы запаздывают…».

Допустим, наблюдатель ε измеряет и проверяет приборы ε' в тот момент, когда тот пролетает мимо. Оказывается, что метр, который ε считает стандартом, сократился до √(1 — (v²/c²)) м. Стандартные часы тикают медленнее, вместо секунды через каждые 1/√(1 — (v²/c²)) сек. А стандартная килограммовая гиря оказывается тяжелее: 1/√(1 — (v²/c²)) кг. Вот какие изменения увидит покоящийся наблюдатель в движущейся лаборатории. Однако движущийся наблюдатель, глядя на покоящуюся лабораторию, увидит те же самые особенности: метры там короче, часы идут медленнее, а массы увеличиваются. Преобразования Лоренца от ε' к ε и от ε к ε' совершенно симметричны. Если бы ε и ε' сравнили свои записи, они бы безнадежно переругались, ибо каждый из них обвинял бы другого в одних и тех же ошибках. Каждый из них видел бы, что все приборы другого, даже электроны, сжались в направлении движения. Каждый из них видел бы, что часы другого (даже колеблющиеся атомы) идут медленнее. (В направлениях X и Y, перпендикулярных движению, записи ε и ε' сошлись бы.) В том-то и состоит симметрия «относительности», что каждый из наблюдателей видит одни и те же дефекты в лаборатории коллеги независимо от того, кто из них движется. Важно только относительное движение между нами и приборами, так что не существует ни малейшей надежды выявить абсолютное движение.

Сокращение размеров и замедление хода часов определяются одним и тем же множителем 1/√(1 — (v²/c²)). При обычных относительных скоростях v двух наблюдателей этот множитель практически равен единице. Преобразования при этом превращаются в преобразования Галилея, характер которых согласуется с нашим «здравым смыслом». Возьмите сверхзвуковой самолет летящий со скоростью 3200 км/час (~ 900 м/сек). Для такой скорости множитель равен.

1/√(1 — (0,9 км/сек / 300 000 км сек)²), или 1,000 000 000 004.

Длина самолета сократится, а часы будут идти медленнее, менее чем на половину триллиардной доли процента. При скорости 10 000 000 км/час (около ¹/₁₀₀ с) множитель вырастает до 1,00005, а при скорости 100 000 000 км/час он превращается в 1,005 и приводит к изменению длины на ¹/₂%.

Вплоть до нашего столетия ученым не приходилось иметь дело со скоростями, близкими к скорости света, за исключением, конечно, самого света, где она сталкивались со сплошными трудностями. Сейчас даже из маленьких циклотронов вырываются протоны со скоростью ²/₁₀ с, что дает множитель 1,02, электроны, порождающие рентгеновские лучи, ударяются о мишень со скоростью ⁶/₁₀ с, что дает множитель 1,2; β-лучи вылетают из радиоактивных атомов со скоростью ⁹⁸/₁₀₀ с, что дает множитель 5, а электроны с энергией в миллиарды электрон-вольт из гигантских ускорителей — со скоростью 0,99999988 с и характеризуются множителем 2000.

В составе космических лучей имеются очень быстрые частицы — μ-мезоны. Энергия некоторых из них составляет около 1000 миллионов электрон-вольт, а скорость — ¹⁹⁹/₂₀₀ скорости света. Для них.

1/√(1 — (v²/c²)) = 1/√(1 — (199²/200²)) = 1/√(1/100) = 10.

Эти мезоны представляют собой нестабильные частицы со временем жизни около 2∙10^-6 сек (2 мксек). Они возникают при соударениях в верхних слоях атмосферы, и чтобы дойти до нас, им требуется около 20∙10^-6 сек. Кажется загадочным, как могут они прожить столь долго. Теория относительности дает ответ на эту загадку мы наблюдаем за внутренними часами летящих мезонов. А по нашим часам они идут медленнее в 10 раз. Так что время жизни летящего мезона должно казаться нам равным 20∙10^-6 в сек. С точки зрения μ-мезона его время жизни нормальное, 2 мксек, но толщина проносящейся мимо него атмосферы сокращается в 10 раз по сравнению с нашими представлениями. Так что за свою короткую жизнь он успевает пройти этот путь.

Фиг. 155. Изменения, предсказываемые теорией относительности.

_{А — длина движущегося метра по измерениям неподвижного наблюдателя; б — длина неподвижного метра по измерениям движущегося наблюдателя; в — время между тиканием стандартных часов по оценке неподвижного наблюдателя; г — масса стандартного килограмма по оценке неподвижного наблюдателя.}

Измерительные линейки и часы.

Измерительные линейки мы привыкли считать неизменными стандартами, прикладывая которые можно измерить длины или указать направления. Правда, это относится к идеализированному метру, который не коробится от сырости и не расширяется при изменениях температуры, но и эти слабости не могут поколебать доверия к его свойствам. Его длина была неизменной инвариантной. То же относится и к интервалу времени между «тиканием» хороших часов. (Если вы не доверяете маятниковым часам, возьмите настольные атомные часы.) Но теория относительности предупреждает, что измерительные линейки не обладают неизменной длиной. Вся идея твердого тела — безобидное и полезное представление физики XIX века — теперь только вводит в заблуждение. То же самое произошло и с идеей абсолютного времени, текущего независимо от пространства. Вместо этого оказалось, что движение влияет на наши измерения и только скорость свети неизменна. С более общей точки зрения скорость света с — масштабный фактор нашего выбора единиц в сложном пространстве-времени, которое для разных наблюдателей течет по-разному.

Изменение массы.

Если длина и время изменяются, то должна изменяться также и масса. Мысленный эксперимент, предложенный Толменом, поможет нам выяснить, какой должна быть масса по измерению движущегося наблюдателя. Будем считать, что закон сохранения импульса справедлив в любой (инерциальной) системе — мы должны опереться на какие-то правила, иначе не миновать произвола.

Пусть снова наблюдатели ε и ε' движутся в своих лабораториях с относительной скоростью v в направлении оси X. Допустим, они сделали два платиновых кубика, каждый из которых равен стандартному килограмму и которые совершенно одинаковы. Они могут, если угодно, даже пересчитать там все атомы. Каждый из наблюдателей помещает этот кубик на идеально гладкий стол (фиг. 156).

Пролетая мимо друг друга, они прицепляют в этот момент к кубикам длинную легкую пружину, направленную вдоль оси Y. Пружина дергает эти кубики, затем ее удаляют, а кубики приобретают некоторый импульс в направлении оси Y. После этого каждый экспериментатор измеряет компоненту скорости своего кубика вдоль оси Y и вычисляет его импульс. Затем записи сравниваются: каждый записал для своего кубика скорость 3 м/сек. «Раз скорости равны и противоположны, — заключают они, — то должны быть равны и противоположны импульсы». Им нравится принимать в качестве рабочего правила третий закон Ньютона. Но когда ε наблюдал, как работает ε', он видел, что тот пользуется часами, которые идут медленнее (хотя он согласен с метром, которым пользуется ε' для измерений вдоль оси Y). Поэтому ε видел, что, когда ε' измерил за 1 сек 3 м, на самом деле по часам ε требовалось более 1 сек. Следовательно, будь у него верные часы, ε' намерил бы скорость меньше 3 м/сек в 1/√(1 — (v²/c²)) раз. Доверяя третьему закону Ньютона и закону сохранения импульса, ε пришел бы к выводу, что раз его кубик приобрел импульс 1 кг∙3 м/сек, то масса другого кубика, двигавшегося по его расчету медленнее, должна быть больше[259] в 1/√(1 — (v²/c²)) раз. Но в то время как кубик после рывка пружины движется поперек стола, ε видит, что и кубик, и стол, и все остальное несется в направлении оси X с громадной скоростью v. Обладатель кубика ε', который покоится относительно стола, говорит, что масса его кубика 1 кг. Но наблюдателю ε', проносящемуся мимо ε', кажется, что масса этого кубика больше в 1/√(1 — (v²/c²)) раз.

Этот результат применим к любым движущимся массам. Для разных наблюдателей масса имеет разное значение. Посадите наблюдателя на движущееся тело, и он измерит так называемую «массу покоя», которая одинакова у всех электронов, у всех протонов, у каждого литра воды и т. п. Но, пролетая мимо тела или видя, как тело проносится мимо него, наблюдатель обнаружит, что тело имеет большую массу: m = m₀/√(1 — (v²/c²)). Для обычных скоростей множитель 1/√(1 — (v²/c²)) практически не дает никакого эффекта. Однако ионы, ускоряемые в циклотроне, значительно увеличивают свою массу. На свой возросший путь они тратят теперь слишком много времени, и если не принять особых мер, то они будут запаздывать все больше и больше! Электроны из ускорителей на миллиарды электрон-вольт настолько массивны, что вполне могут сойти за протоны.

Фиг. 157. Упругое соударение релятивистских масс.

_{А — столкновение α-частицы о покоящимся атомом. Несмотря на высокую энергию, α-частица из радиоактивного атома обладает скоростью 0,1 с, так что ее масса увеличивается незначительно. При столкновении с неподвижной частицей (ядро Не) той же массы она дает вилку с углом 90°, при столкновении с атомом водорода выявляется бóльшая масса α-частицы; б — столкновение медленного электрона с неподвижным. Получается вилка с углом 90°. При столкновении быстрого электрона с неподвижным угол указывает на гораздо большую массу быстрого электрона.}

Возьмем, к примеру, электрон из ускорителя на энергию два миллиона электрон-вольт, который вылетает со скоростью около 294 000 000 м/сек, или 0,98 с. Для него 1/√(1 — (98/100)²) ~= 1/√(4/100) = 5. Таким образом, для покоящегося наблюдателя масса электрона в 5 раз больше массы покоя[260]. (А вот другой способ получить этот результат. Кинетическая энергия электрона равна 2 млн. эв, а энергия, связанная с массой покоя, 0,5 млн. эв. Следовательно, этот электрон имеет кинетическую энергию, соответствующую 4 массам покоя, что вместе с первоначальной массой дает 5 масс покоя).

Фиг. 158. Фотография соударения очень быстрого электрона с неподвижным в камере Вильсона.

Эта зависимость от скорости проверялась отклонением очень быстрых электронов (β-лучей) электрическими и магнитными полями; результат превосходно совпал с предсказаниями. Другая проверка: соударение очень быстрых электронов с покоящимися электронами в камере Вильсона, которые не дают ожидаемой прямоугольной вилки. Зато измерение углов на фотографии фиг. 158 согласуется с предсказанием теории относительности для упругого столкновения массы 12,7 m и покоящейся массы m. Следы частиц искривлены, ибо все это происходило в сильном магнитном поле, перпендикулярном плоскости картинки (фиг. 159).

Фиг. 159. Измерения представленной на фиг. 158 фотографии.

Измерение кривизны дает импульс каждого из электронов после соударения и импульс налетающего электрона до соударения. Измерение углов подтверждает пропорцию этих импульсов. Если для вычисления масс воспользоваться формулой нерелятивистской механики (E_кин = ¹/₂ mv² и т. д.), предполагая упругое соударение, то масса налетающей частицы должна быть примерно в 4 раза больше массы частицы-мишени. Тем не менее следы выглядят как электронное соударение и мы не можем приписать двум электронам классические массы m и 4m. Поэтому попытаемся проверить релятивистскую механику с E_кин = (m — m₀)∙с².

ИМПУЛЬС = mv и m = m₀/√(1 — (v²/c²))

Тогда все оказывается согласованным. Из величины магнитного поля и измерения кривизны находим:

ДО СОУДАРЕНИЯ.

Налетающий электрон имеет массу 12,7∙m₀ и скорость 0,9969∙с.

Поскольку следы коротки и слабо искривлены, радиус кривизны измерить очень точно не удается. Поэтому импульс налетающей частицы, а следовательно, ее масса определяются с точностью до 6 %. Другими словами, -

Macca = 12,7∙m₀ ± 6 % = 12,7∙m₀ ± 0,8∙m₀ .

ПОСЛЕ СОУДАРЕНИЯ.

Разлетающиеся частицы имеют массы 8,9∙m₀ и 4,3∙m₀ и скорости 0,9936∙с и 0,9728∙с,

Где m₀ — масса покоя электрона, а с — скорость света. До соударения полная масса была равна 13,7∙m₀ (включая массу мишени), после соударения она стала 13,2∙m₀. В этом соударении масса сохраняется в пределах точности 6 %, подобно энергии, измеряемой теперь величиной mс².

Смысл изменения массы.

Существует простая физическая интерпретация изменений массы: добавочная масса является массой, соответствующей кинетической энергии тела. Проверим это с помощью алгебры, воспользовавшись разложением радикала для достаточно малых скоростей в ряд:

= m₀ + (1/2)∙m₀∙(v²/c²) + Пренебрежимо малые величины при малых скоростях.

= Масса покоя + E_кин/с^2.

=Масса покоя + Macca, соответствующая кинетической энергии.

Максимальная скорость с.

По мере роста скорости тела и приближения ее к скорости света ускорять тело становится все труднее и труднее — масса его приближается к бесконечности. Экспериментаторы, работающие с линейными ускорителями (которые разгоняют электрон по прямой), обнаруживают, что при высоких энергиях их «подопечные» приближаются к скорости света, но никогда не превосходят ее. При каждом последующем толчке электрон приобретает большую энергию (и, следовательно, большую массу), но становится лишь чуть-чуть быстрее (поэтому ускоряющие промежутки можно равномерно располагать вдоль пучка, что будет неким упрощением конструкции).

Рост массы до бесконечности при приближении к скорости света означает бесконечное «затруднение ускоряться». Наши попытки заставить тело двигаться быстрее остаются тщетными до тех пор, пока тело не достигнет очень больших скоростей, где приходится «карабкаться» по все более и более крутому склону к отвесной стене, когда скорость подходит к скорости света. Поэтому не следует удивляться предсказанию теории относительности, что никакое тело не может двигаться быстрее скорости света, ибо при попытке ускорить его до этой скорости мы сталкиваемся со все большей и большей массой и, следовательно, получаем все меньший отклик на действие ускоряющей силы.

Релятивистское сложение скоростей.

Двигаться быстрее света? Ну, конечно, это возможно: возьмите на ракету, летящую со скоростью ³/₄ с, ружье и выстрелите вперед пулей, летящей со скоростью ¹/₂ с относительно ружья. Тогда скорость пули будет ¹/₂ с + ³/₄ с = 1¹/₄ с. Но ведь это галилеево сложение скоростей, а нам нужно найти релятивистское правило!

Фиг. 160. Измерение скорости.

Пусть наблюдатель ε в своей лаборатории видит тело, движущееся со скоростью u вдоль оси X. Какова скорость этого тела по мнению наблюдателя е'?

По измерениям ε' скорость u = Δx/Δt, а по измерениям ε' скорость u' = Δx'/Δt', и простая алгебра с использованием преобразований Лоренца дает.

Вместо галилеева u' = (u — v). Обратное преобразование дает.

Для обычных скоростей скобка [] в знаменателе практически равна единице и формула сложения скоростей сводится к галилеевой. Проверьте это для пули, выпущенной из ружья в вагоне обычного экспресса. Едущий в вагоне наблюдатель ε' видит, что из ружья вылетает пуля со скоростью u', а наблюдатель ε, сидящий у полотна, видит, что пуля движется со скоростью u. Экспресс же, по его наблюдениям, проносится мимо со скоростью v. Тогда u = (u' + v)/[1].

Формула Галилея дает:

СКОРОСТЬ ПУЛИ ОТНОСИТЕЛЬНО ЗЕМЛИ = СКОРОСТЬ ПУЛИ ОТНОСИТЕЛЬНО ПОЕЗДА + СКОРОСТЬ ПОЕЗДА ОТНОСИТЕЛЬНО ЗЕМЛИ.

Фиг. 161. Сложение обычных скоростей.

Обратимся снова к опыту с ружьем на ракете, летящей со скоростью ³/₄ с, из которого со скоростью ¹/₂ с вперед вылетает пуля. Сидящий в ракете наблюдатель ε' видит, что пуля вылетает со скоростью u' = (1/2)∙с, а находящийся на земле наблюдатель ε видит, что ε' и ракета несутся со скоростью ³/₄ с; от ε' он знает, с какой скоростью из ружья вылетает пуля. Воспользовавшись затем релятивистской формулой, ε предсказываем скорость пули:

Т. е. немного меньше с.

Предпримем еще одну попытку превысить скорость света с. Запустим две ракеты навстречу друг другу со скоростями ³/₄ с и ¹/₂ с. Стоящий на земле наблюдатель ε видит своего коллегу ε' на ракете, летящей со скоростью v = (³/₄)∙с и другую ракету, летящую со скоростью u = —(¹/₂)∙с. Он думает, что ракеты должны сближаться с относительной скоростью 1¹/₄ с. Однако сидящий на ракете наблюдатель ε' видит, что вторая ракета приближается к нему со скоростью.

Их скорость сближения меньше с. Что бы мы ни делали, нельзя заставить материальное тело двигаться быстрее скорости света с точки зрения любого наблюдателя.

Фиг. 162. Сложение очень больших скоростей.

Фиг. 163. Две сближающиеся ракеты.

Скорость света.

Для проверки нового правила сложения скоростей убедимся, что с точки зрения наблюдателей, движущихся с разными скоростями, оно дает одну и ту же скорость света. Возьмем световой сигнал, распространяющийся, согласно ε, со скоростью с. Наблюдатель ε', двигаясь со скоростью v относительно ε в том же направлении, видит, что световой сигнал распространяется со скоростью.

Каждый наблюдатель получает одну и ту же скорость света с. (Удивляться здесь нечему, ибо преобразования Лоренца на это и рассчитаны.) Такой результат, несомненно, объясняет нулевой результат опыта Майкельсона-Морли-Миллера.

Энергия.

Видоизменим теперь точку зрения Ньютона, чтобы привести ее в соответствие с теорией относительности. Определим импульс как mv, где m — масса движущегося тела: m = m₀/√(1 — (v²/с²)). Определим силу F как Δ(mv)/Δt, а переход потенциальной энергии в кинетическую — как работу F∙Δs. Скомбинируем их и вычислим кинетическую энергию массы m, движущейся со скоростью v. Приведем только результат:

Мы приписываем телу постоянный запас «энергии покоя», m₀c², заключенный, по-видимому, в атомных силовых полях. Добавляем ее к Е_кин и получаем полную энергию тела Е, равную m₀c² +(mc² — m₀c²) = m₀c², т. е. Е = mc².

Фиг. 164. Измерение скорости одного и того же луча света.

Это справедливо независимо от скорости, но следует помнить, что m изменяется со скоростью. При малых скоростях mc² сводится к.

(Энергия покоя m₀c²) + (Е_кин = ¹/₂ mv²)

(См. выше рассуждения о разложении бинома).

Короткий и прямой вывод соотношения Е = mc² дан ниже.

Вывод соотношения Е = mc^2. Этот краткий вывод, данный Эйнштейном, основан на экспериментальном факте, который состоял в том, что при поглощении веществом излучения с энергией Е дж ему сообщается импульс Е/с кг∙м/сек. Опыты показывают, что давление излучения на поглощающую стенку равно количеству энергии в единице объема излучения. Допустим, что пучок площадью А падает по нормали на поглощающую поверхность. За время Δt на поглотитель падает пучок длины с∙Δt. Тогда импульс, сообщенный за время Δt, равен. ИМПУЛЬС = СИЛА Δt = = ДАВЛЕНИЕ ∙ ПЛОЩАДЬ ∙ Δt = (ЭНЕРГИЯ/ОБЪЕМ)∙ПЛОЩАДЬ∙Δt = = (ЭНЕРГИЯ/А∙с∙Δt)∙A∙Δt = ЭНЕРГИЯ/с. Это следует также из уравнений Максвелла. Рассмотрим один и тот же мысленный эксперимент с двух точек зрения. A. Поместим кубик вещества на идеально гладкий стол, снабдим его дополнительной энергией Е и направим на него порцию излучения с энергией ¹/₂ E справа и порцию с энергией ¹/₂ E слева. Кубик поглощает излучение и приобретает энергию Е, но полное приращение импульса равно нулю — он остается в покое. B. Как протекает это событие с точки зрения движущегося наблюдателя? Он движется со скоростью v к северу, но, согласно принципу относительности, можно считать, что он находится в покое, а стол и все прочее движется к югу со скоростью v. По его мнению, кубик движется к югу с импульсом Mv, а обе порции излучения налетают на кубик со скоростью с под углом, определяемым v/c. (Это напоминает аберрацию света звезд.) Каждая порция, с его точки зрения, обладает импульсом (¹/₂ Е/с) с составляющей в направлении на юг, равной (¹/₂ Е/с)∙(v/c). Считая себя покоящимся, наблюдатель видит, что полный импульс будет Mv + 2∙(¹/₂ Е/с)∙(v/c). После того как кубик поглотил излучение, наблюдателю по-прежнему кажется, что кубик движется на юг с той же скоростью v. Поэтому мы говорим, что в варианте А кубик не приобретает никакого импульса. Выясним, какова должна быть масса m, если мы верим в сохранение импульса: Mv + 2∙(¹/₂ Е/с)∙(v/c) = (M + m)∙v. Т. е. m = Е/с² или Е = mс², где m — увеличение массы, соответствующее увеличению энергии на Е.

Представление о единстве энергии и массы в соответствии с формулой Е = mс² выдержало множество успешных проверок в ядерной физике. Мы вновь вновь обнаруживаем, что часть массы элементарных частиц исчезает при ядерных расщеплениях, но при этом возникает избыток энергии — излучения в одних случаях и кинетической энергии разлетающихся осколков в других. Эта энергия уносила «недостающую» массу.

Выражение для массы m = m₀/√(1 — (v²/c²)) следует из преобразований Лоренца и закона сохранения импульса. Таким образом, Е = mс² следует из второго и третьего законов Ньютона в комбинации с преобразованиями Лоренца.

Если наблюдатель приписывает движущемуся телу массу m, импульс mv и полную энергию mс², то он обнаружит, что в любой замкнутой системе сохраняются масса, импульс (как векторная сумма импульсов) и энергия. При этом для тела, движущегося с относительной скоростью v, он должен пользоваться наблюдаемой массой m = m₀/√(1 — (v²/c²)). Однако ему приходится повторяться, ибо если сумма всех масс (m₁ + m₂ +…) постоянна, то полная энергия (m₁c² + m₂c² +…) также должна быть постоянной. Если энергия сохраняется, должна сохраняться и масса. Получив один закон, мы получим и второй. Вот почему некоторые ученые безответственно заявляют: масса и энергия — одно и то же, за исключением множителя с²». Поскольку с — универсальная постоянная, такое утверждение не приносит большого вреда, хотя обычно масса и энергия измеряются в разных единицах. Нет большого вреда и в том, что вы думаете о нем как о физической концепции. Однако остается очень важное различие между веществом и излучением (а также и другими формами энергии). Вещество состоит из частиц, полное число которых остается постоянным, при условии, что рождение и уничтожение пары [частица + античастица] не вносит никаких изменений. Излучение же состоит из фотонов, а их полное число изменяется при испускании и поглощении веществом.

Ковариантность.

Далее, Эйнштейн рассматривал импульс как некий «сверхвектор» с тремя пространственными компонентами и полной энергией в качестве четвертой временной компоненты. Таким образом, законы сохранения массы, импульса и энергии в релятивистской механике можно связать воедино. Преобразования Лоренца сохраняют вид этой формулы для любых (равномерно движущихся) систем отсчета независимо от их скорости. Подобные формулы или соотношения мы называем «ковариантными». В ковариантность вкладывается большой смысл — ковариантные законы обладают наибольшей общностью из всех возможных, и мы чувствуем, что это наиболее совершенное математическое выражение законов природы. Как сказал Фредерик Кеффер: «Мы потеряли систему отсчета, но приобрели универсальную символическую форму».

«Незаконный вопрос».

Ковариантность законов механики и электромагнетизма не оставляет никакой надежды на возможность обнаружения абсолютного движения. Это вновь приводит нас к основному принципу Эйнштейна, согласно которому ответ «невозможно» означает просто, что вопрос не имел смысла. Считать, что существует абсолютное пространство, что мы и делаем, задавая вопрос: «С какой скоростью… в абсолютном пространстве?» — совершенно ненаучно. Упоминая пространство, мы тем самым задаем еще один вопрос. Это незаконный прием, как и вопрос юриста: «Отвечайте мне только «да» и «нет». Вы перестали бить свою жену?» Ответ на него может быть только таким: «Разумный человек не отвечает на бессмысленные вопросы». Эйнштейн же предполагал, что разумный ученый не будет задавать бессмысленных вопросов.

Одновременность.

Наблюдатели ε и ε' не просто видят, что часы партнеров отстают. Дело обстоит куда хуже. Часы, расположенные на разных расстояниях, кажутся несинхронизованными. Допустим, каждый наблюдатель выстроил в своей лаборатории вдоль оси X целый ряд часов и все они показывают одно и то же время. Когда ε и м' проносятся друг мимо друга, то в начале координат они сверяют свои центральные часы. После этого каждый из них обвинял бы другого: «Его часы не были синхронизованы. Удаленные часы идут неверно даже по сравнению с его собственными центральными часами, и чем они дальше — тем больше ошибка. Чем дальше находятся часы в направлении движения в этом ряду, тем сильнее они отстают. Они показывали по сравнению с моим собственным временем более ранние часы. В направлении же, противоположном его движению, часы опережают мои все больше и показывают более поздний час по сравнению с моими правильными». (Это обвинение, предъявляемое Каждым из наблюдателей, не объясняется кажущимся запаздыванием времени по удаленным часам, обусловленным, конечно, скоростью распространения света. Каждый наблюдатель учитывает такое запаздывание или сравнивает свои часы, находящиеся в тот момент рядом с другими, и все же обнаруживает расхождение. Это отсутствие синхронизации удаленных часов связано с представлением каждого наблюдателя о скорости хода часов. Каждый заявляет, что часы партнера отстают. Каждый говорит: «Его центральные часы идут медленнее моих. Сейчас они сверены с моими, но некоторое время тому назад, когда они были вдали от меня, они должны были показывать более позднее время, чем мои. Вот почему сейчас показания наших часов совпадают. Позднее, когда они удалятся в другую сторону, они будут показывать более раннее время, нежели мои, так как эти часы идут слишком медленно».).

Согласно наблюдению ε, все его часы идут синхронно, в такт. Согласно ε', они тикают не синхронно. События, которые одновременна для ε, не одновременны для ε'. Это серьезнее изменение обычной точки зрения об универсальности времени, но оно является частью преобразований Лоренца. Вопрос об одновременности сыграл важную роль в процессе развития Пуанкаре и Эйнштейном принципа относительности. Обсуждая мысленные эксперименты, в которых скорость v постоянна, вы можете показать, что такое изменение необходимо.

Это иллюстрируется следующим примером.

Фиг. 166. Расстановка «синхронизованных» часов.

Пример. Наблюдатели ε и ε' расположили свои лаборатории в двух прозрачных железнодорожных вагонах на параллельных путях, причем один из них движется со скоростью v относительно другого. Как только вагоны проходят один мимо другого, ε и ε' высовываются в центральные окна и обмениваются рукопожатием. Но оказывается, что сами наблюдатели заряжены зарядами + и —, поэтому при соприкосновений между ними проскакивает искра. Рассмотрим теперь свет от этой искры. Из средней точки, где находились экспериментаторы, часть света проходит в вагоны. Наблюдатель ε видит, что свет достигает передней и задней стен вагона одновременно (фиг. 167, а). Наблюдатель ε' также видит, что свет достигает стен его вагона одновременно (фиг. 167, б). Каждый из них считает, что находится в неподвижном вагоне и свет, по его мнению, распространяется от центра с постоянной скоростью с. Но ε может наблюдать и за распространением света в вагоне, где едет ε'. Он видит те же события, что и ε', но, разумеется, не считает их одновременными, как об этом заявляет ε'. Пока свет успевает пройти полвагона, сам вагон продвигается вперед. Наблюдателю ε кажется, что свету для достижения передней стены приходится идти дольше, а для достижения задней — меньше. Поэтому ε видит, что свет раньте достигнет задней стены, тогда как ε' заявляет, что свет попадает па обе стены одновременно[261]. (В свою очередь ε' видит, что свет достигает концов вагона, в котором едет ε, в разные моменты, тогда как ε заявляет, что одновременно.) В обыденной жизни вы не встретите таких противоречий, ибо подобные споры возникают только в тех случаях, когда события очень близки по времени и очень удалены по расстоянию. Когда события Р и Q разделены по времени интервалом короче, чем время распространения света между соответствующими точками, у наблюдателей с разным характером движения будут разные точки зрения: один будет видеть, что события Р и Q одновременны, другой найдет, что Р происходят раньше, чем Q, а третий — наоборот, что Q происходит раньше, чем Р. В представлениях теории относительности Эйнштейна время считается тесно переплетенным с пространством в так называемом пространстве-времени, разделение которого на пространство и время зависит от движения наблюдателя. Но если мы принимаем существование пространства-времени, то должны будем переосмыслить и наши представления о причине и следствии.

Фиг. 167. Мысленный эксперимент.

Причина и следствие.

В вопросе о причинности в прежней науке было немало путаницы. Греки искали «первопричину». В последующем ученые искали непосредственную причину: «нагревание — причина плавления камня», «давление — причина течения жидкости», «α-частицы — причина образования ионов». Определить, что причина, а что следствие — не просто. Что означает: «Р вызывает Q». Самое лучшее сказать, что причина — это нечто, предшествующее следствию. Мы не придем к противоречию, если представим, что между ними существует некая связь.

Даже в обычных ситуациях (типа напряжение и деформация или разность потенциалов и ток) мы предпочитаем говорить, что события Р и Q происходят одновременно. Мы по-прежнему ищем соотношения, которые бы выражали наши представления, но события Р и Q обычно рассматриваются как братья, а не как родители и дети.

Теория относительности утверждает, что порядок некоторых событий может, по мнению разных наблюдателей, оказаться различным и каждый из них будет в равной степени прав На фиг. 169 показано, как разные наблюдатели, для которых событие Р происходит здесь и сейчас (т. е. в той же точке и в тот же момент), должны будут считать, что некоторые события (например, Q₁) происходят в абсолютном будущем, некоторые (Q₂) — в абсолютном прошедшем, а некоторые (Q₃) — в абсолютном где-то (absolute elsewhere — как назвал их Эддингтон)[262]. Относительно их порядка очередности с событием Р может возникнуть разногласие между наблюдателями, движущимися по-разному.

Таким образом, нужно быть повнимательнее. Нетрудно установить причину и следствие в простейших случаях наподобие незрелого яблока и расстройства желудка или α-частицы и ионов, но следует соблюдать осторожность с событиями, близкими по времени и удаленными пространственно, не то как бы они не попали в абсолютное где-то по отношению друг к другу.

В атомной физике вы встретитесь с еще одним сомнением в отношении причины и следствия. Радиоактивные превращения оказываются подвластны чистой случайности: время существования индивидуального атома непредсказуемо. В последней главе вы увидите, что природа переносит частичную невозможность предсказаний на все наши знания, снабжая индивидуальные атомные явления некой неопределенностью, в свете которой бессмысленно ожидать однозначных следствий при определенной «причине».

Преобразования Лоренца как вращения.

Фиг. 468 и 169 позволяют пролить новый свет на преобразования Лоренца, если сравнить их с простым вращением осей х и у. Воспользуемся алгеброй и найдем «преобразования», связывающие старые координаты точки с новыми координатами х', у' той же точки.

Фиг. 168. Диаграмма пространства-времени по Эддингтону.

_{Наблюдатель ε находится в начале координат, так же как и наблюдатель ε', который быстро движется вдоль оси х относительно ε. Линия «вижу сейчас» описывается уравнением x = — ct и отмечает все события, которые ε (или ε') видят сейчас. Зная величину скорости света с, ε следит за временем его распространения и размечает свою ось событиями, которые происходят сейчас вдоль оси х. Однако, для той же линии «вижу сейчас» поправки ε' будут другими и линией «сейчас» он называет свою ось х'. Продолжение линии «вижу сейчас» в направлении положительного времени дает максимальный наклон, который получается у ε' для линии «сейчас», ибо ε' не может двигаться с относительной скоростью, большей с, а его линия поэтому никогда не может наклониться больше «световой» линии с наклоном с. Покрутите эту картинку вокруг оси t, и световая линия даст вам двойной конус.}

_{Допустим что событие Р произошло вначале координат, в точке «здесь, сейчас», а другое событие — в точке Q. Если Q находится внутри верхнего светового конуса (Q1), оно явно находится в будущем для всех наблюдателей. Аналогично всякое событие внутри нижнего светового конуса (Q2) находится в абсолютном прошлом, для всех наблюдателей Q2, происходит раньше Р. Но Q3 в пространстве между конусами может быть будущим для ε и тем не менее прошлым для наблюдателя ε', так как его ось наклонна. Поэтому мы называем такую промежуточную область «абсолютным где-то». Если Q попадет туда, ни Р, ни Q не могут быть причиной друг друга, они просто происходят в разных местах.}

Фиг. 169. Диаграммы пространства (в одном измерении) и времени.

_{А — некое событие, происходящее на прямой линии (оси х), изображено точкой. Расстояние вдоль оси х показывает, где произошло событие, а высота показывает, когда оно произошло. Событие Р предшествует по времени событию Q. Для некоторой пары событий можно утверждать, что Р является причиной Q;}

_{Б — для движущегося наблюдателя начало отсчета переносится вместе с ним. В галилеевой системе он пользуется тем же масштабом времени, что и неподвижный наблюдатель.}

_{В — при преобразованиях Галилея лилии каждого часа для двух наблюдателей одни и те же и параллельны линии t = 0;}

_{Г — преобразования Лоренца поворачивают оси одной координатной системы пространства-времени по отношению к другой (хотя и на пренебрежимо малый угол, за исключением случаев, когда относительная скорость ε и ε' приближается к c).}

Спроектируем точку на оси х и у (фиг. 470).

Повернем теперь оси на угол A (вокруг оси z). По отношению к новым осям координаты точки будут x', у'. Обозначим символом s наклон новой оси х, так что s = tg А. Теперь видно, что.

X' = (x + b)∙cos A = (x + y∙tg A)∙cos A =

= (x + sy)/sec A = (x + sy)/√(1 + tg² A),

Т. е.

X' = (x + sy)/√(1 + s²)

Подобным же образом.

Y' = (y — sx)/√(1 + s²)

Преобразования при простом вращении осей показывают, что квадратный корень играет здесь ту же роль, что и в преобразованиях Лоренца. Действительно, мы получим лоренцеву форму преобразований, если вместо у возьмем t, умноженное на постоянную с и на i [квадратный корень из (—1)], а вместо наклона s возьмем i(v/c). Если y = ict, y' = ict', a s = iv/c, то преобразования вращения превратятся в преобразования Лоренца. Проверьте это. Отсюда видно, что преобразования Лоренца можно рассматривать как расслоение пространства-времени линиями разного наклона для разных наблюдателей.

Инвариантный «интервал» между двумя событиями.

Определим «интервал» между двумя событиями (x₁, t₁) и (x₂, t₂) по теореме Пифагора:

R² = (x₁ — x₂)² + (ict₁ — ict₂)^2.

Затем можно записать выражение для «интервала» R' для другого наблюдателя, который в своих координатах связывает те же два события в точках (x'₁, t'₁) и (x'₂, t'₂). Воспользуемся преобразованиями Лоренца и выразим R' через координаты первого наблюдателя. Тогда мы обнаружим, что R' совпадает с R. Преобразования Лоренца оставляют «интервал» неизменным. Это и составляет утверждение теории относительности — измерения с всегда дают одну и ту же ее величину.

Роль скорости с иллюстрируется историей, предложенной Джоном А. Уилером. Допустим, что обитатели некоего острова проводят все свои измерения в прямоугольной системе координат, но расстояние по оси, идущей с севера на юг, они измеряют в километрах, а с запада на восток — в метрах. Затем неожиданный сдвиг магнитного поля Земли на угол А вынуждает их повернуть свои оси в новом направлении. Однако они по-прежнему продолжают мерить расстояния С'—Ю' в километрах, а 3'—В' в метрах. Попытавшись вычислить расстояние между двумя точками по теореме Пифагора R² = (Δx)² + (Δy)², они обнаруживают, что в новых координатах R стало другим. Затем они открывают, что для обоих наборов осей значение R получается одним и тем же (которое к тому же полезно), если определить R² = (Δx)² + (1000∙Δy)². Этот «таинственный» множитель 1000 соответствует c в релятивистском интервале. Вывод таков: с не столько таинственная предельная скорость, сколько множитель, связанный с единицами измерения, который говорит, что время и расстояние не отличаются в корне друг от друга, а образуют однородное множество, в котором и то и другое можно измерять метрами.

Существует ли система отсчета, связанная с неподвижным пространством?

Итак, мы построили специальную теорию относительности с ее новой геометрией и физикой пространства и времени, с ее часами и метрами (основными приборами физики), которые своими изменениями при переходе в новую систему открывают универсальный характер и постоянство скорости света — предел скорости движущихся тел — и выявляют единую форму физических законов для всех наблюдателей, движущихся друг относительно друга с постоянной скоростью, тем самым безвозвратно сокрушая наши надежды на всякое абсолютное движение и системы отсчета, связанные с неподвижным пространством, вернее, объявляя вопрос о существовании таких систем лишенным всякого смысла.

Высшая ценность математики как языка науки. Математическая форма и красота.

Язык алгебры правдив, точен и даже плодотворен, но не обречен ли он навечно оставаться скучной, неинтересной прозой, никогда не способной подняться до высот поэзии? Большинство математиков отвергают это, считая математику прекрасной. Нужно научиться извлекать наслаждение из ее формы и элегантности, как и в случае поэзии. В качестве примера покажем, как можно придать красоту системе двух уравнений. Начнем с системы.

2x + 3y = 9. 4x — 2y = 10.

С помощью простых уловок можно избавиться от у и найти х = 3, а после этого y = 1. Но это слишком частный пример. Давайте обобщим его, заменив коэффициенты 2, 3, 9 и т. д. буквами а, Ь, c и т, д. Таким образом,

Ax + by = c, dx + ey = f.

Потрудившись немного, находим x = (ес — fb)/(ae — db). Затем, чтобы определить у, требуются новые ухищрения. Но это дает нам возможность решить, как прежнее, так и все подобные ему уравнения простой подстановкой числовых коэффициентов а, b, с и т. д. Если нам не нужно решать множество таких уравнений, вряд ли на это стоило бы тратить время и до поэзии здесь далеко как до неба. Но давайте рассуждать более систематично. Давайте считать х и у однородными вещами и отметим это сходство, переименовав их x₁ и х₂. Чтобы еще больше подчеркнуть это сходство, будем писать а₁, a₂, а₀ вместо a, b, c и соответственно a₁x₁ + а₂x₂ = a₀. Кроме этого, у нас есть коэффициенты второго уравнения. Можно обозначить их а'₁ и т. д. Но и в этом случае оба уравнения не будут вполне симметричными. Поэтому обозначим первый набор коэффициентов а'₁ т, д., а второй а''₁ и т. д. Тогда.

A'₁x₁ + а'₂x₂ = a'_0. A''₁x₁ + а''₂x₂ = a''_0.

Эта запись выглядит изящной, но много ли в таком изяществе толку? Разрешим уравнение относительно х₁. Получим.

X₁ = (a'₀a''₂ — a''₀a'₂)/(a'₁a''₂ — a''₁a'₂)

А вот и толк: нам не нужно разрешать уравнение относительно x₂ или y. Симметрия сразу дает нам ответ. Заметьте, что х₁ и х₂ (старые х и у) и; их коэффициенты отличаются только индексами 1 и 2. Если мы всюду заменим индексы 1 на 2, получится то же самое уравнение, а следовательно, и те же решения. Произведя эту замену в решении.

X₁ = (a'₀a''₂ — a''₀a'₂)/(a'₁a''₂ — a''₁a'₂)

Мы получим.

X₂ = (a'₀a''₁ — a''₀a'₁)/(a'₂a''₁ — a''₂a'₁)

Итак, мы без труда получили результат для х₂ (старого у). Экономия как будто небольшая, но представьте себе, как увеличилась бы сложность, если бы мы имели дело, скажем, с пятью уравнениями и пятью неизвестными. В такой симметричной записи системы мы просто решаем относительно одного неизвестного, а остальные четыре решения пишем исходя из соображений симметрии. Такая запись проста, экономична и красива с точки зрения математики. Более того, новая запись уравнений и ответов обща и универсальна. В некотором смысле — она ковариантна. Такая симметричная запись созвучна идеям Максвелла и Эйнштейна.

Это лишь небольшой шаг на пути поиска поэзии математического языка — всего лишь подходящий размер стиха. Следующим шагом должны быть не симметричная запись, а симметричные методы, например «детерминанты». Когда профессиональный математик разрабатывает обоснования доказательства своих методов, он создает логические построения и пишет выражения, которые для него столь же великолепны, как и лучшие из стихов.

Геометрия и наука: истина и общая теория относительности.

Таким образом, математика далеко выходит за рамки рабочей арифметики и некоего «автомата». Для более полного расцвета и развития она даже избавляется от скучных определений и некоторых ограничений логики, но тем не менее вся математическая схема основана на собственных исходных положениях; сердца ее исследователей пленяют числа, точки, параллельные линии, векторы…. Чистая математика — это наука в башне из слоновой кости. Результаты, полученные только с помощью правил логики, будут автоматически верны в той мере, в коей верны первоначальные предположения и определения. Удовлетворяет ли реальный мир этим предположениям — на первый взгляд это вопрос эксперимента. Разумеется, нам не следует доверять предположениям только потому, что они кажутся разумными и очевидными. Однако они могут больше напоминать определения тех действий, в случае которых математика в рамках этих определений может их языком описывать мир.

Мы привыкли думать, что после того, как математики создали свой мир пространства и чисел, нам осталось ставить опыты и выяснять, насколько с ним согласуется наш мир. Евклид, например, выдвинув предположения относительно точек, линий и т. д., вывел из них непротиворечивую геометрию.

На первый взгляд из грубого сравнения с реальными окружностями и треугольниками, нарисованными на бумаге или начерченными на земле, кажется, что результаты системы Евклида правильно описывают природу. Однако чувствуется, что для проверки, насколько правильно Евклид выбрал свои предположения и точно ли они воспроизводят природу, нужны все более и более точные эксперименты. Например, будут ли три угла треугольника составлять точно 180°[263]. Релятивистская механика и размышления о строении Вселенной поднимают серьезный вопрос о выборе наиболее подходящей геометрии. Математики давно знают, что евклидова геометрия — одна из нескольких возможных, которые совпадают в малом масштабе, но радикально отличаются по своей физической и философской природе в большом масштабе.

Специальная теория относительности имеет дело с наблюдателем, движущимся с постоянной скоростью относительно приборов или другого наблюдателя. После нее Эйнштейном была развита общая теория относительности, которая имеет дело с ускоряющимися системами.

Что же такое общая теория относительности и как она влияет на наши представления о физике и геометрии?

Фиг. 171. Разорванный треугольник (а) и треугольник на сфере (б).

Эйнштейновский принцип эквивалентности.

К общей теории относительности Эйнштейна привел вопрос: «Может ли наблюдатель в падающем лифте или ускоряющемся поезде установить, что он действительно ускоряется?» Конечно, он заметил бы появление странных сил (как и в опытах с тележкой на роликах при проверке соотношения F = mа в ускоряющемся вагоне[264]. Там на тележку действуют силы, которые приводят к отклонению от закона F = mа). Но можно ли какими-то опытами отличить ускорение системы отсчета от нового поля силы тяжести? (Если бы плотник построил в таком ускоряющемся вагоне лабораторию с надлежащим наклоном, то наблюдатель снова обнаружил бы, что закон F = mа справедлив, но величина g в этом случае была бы другой.) Поэтому Эйнштейн предположил, что никакие локальные эксперименты (ни механические, ни электрические, ни оптические) никогда не могут сказать наблюдателю, вызваны ли наблюдаемые им силы ускорением или локальным полем силы тяжести. Затем Эйнштейн сказал: «Законы физики должны иметь одну и ту же форму для ВСЕХ наблюдателей, включая тех, кто движется с ускорением». Другими словами, Эйнштейн потребовал, чтобы все законы физики были ковариантны относительно любых переходов от одной системы отсчета (или лаборатории) к другой. В этом суть общей теории относительности: все физические законы должны сохранять свою форму.

Эквивалентность механического поведения в поле силы тяжести и ускоренной системе отсчета давно была очевидна. Величайшим вкладом Эйнштейна было предположение об их полной эквивалентности, а именно предположение, что даже на оптические и электрические эксперименты поле силы тяжести будет влиять подобно ускорению системы отсчета. «Это утверждение дало долгожданную связь между гравитацией и остальной физикой…»[265].

Локальное ускорение гравитация (поле силы тяжести).

Принцип эквивалентности существенно меняет наши взгляды на движение и геометрию.

1. Локальная физика ускоряющегося наблюдателя. Если принцип эквивалентности верен, все эффекты, наблюдаемые в ускоренной лаборатории, можно описать дополнительным силовым полем. Если ускорение лаборатории равно а м/сек², мы можем считать лабораторию покоящейся, и вместо этого приписать действие на каждую массу m кг дополнительной силы — mа ньютон, силовому полю напряженностью — а ньютон/кг. При учете этого поля должны быть справедливы все правила обычной механики, точнее, та модификация, внесенная Лоренцем в механику Ньютона и геометрию Евклида, которая составляет специальную теорию относительности.

Пример А. Экспериментаторы в ускоряющемся железнодорожном вагоне или разгоняющейся ракете обнаруживают, что законы Ньютона применимы при малых скоростях при условии, что в дополнение ко всем видимым силам на каждую из масс m действует направленная противоположно ускорению сила — mа, обусловленная эквивалентным силовым полем[266]. Движущиеся с большими скоростями тела в такой лаборатории кажутся более массивными и т. п., в точности как это предсказывает специальная теория относительности. Пример Б. В лифте, падающем с ускорением а, экспериментатор, измеряя вес на пружинных весах, получит значение, соответствующее полю силы тяжести напряженностью (g — a) (см. задачу 10 в гл. 7, т. 1, стр 285). Пример В. В свободно падающем ящике сила, действующая со стороны эквивалентного поля на массу m, будет направлена вверх. Так как она полностью компенсирует вес тела mg, направленный вниз, нам кажется, что наступила невесомость. То же самое происходит и в опытах внутри ракеты, когда ее двигатели выключаются, и в опытах на спутнике, движущемся по орбите вокруг Земли: притяжение Земли здесь не чувствуется, ибо вся лаборатория ускоряется как целое. Пример Г. Во вращающейся лаборатории введение направленного наружу силового поля напряженностью v²/R сводит локальные особенности механики к случаю стационарной лаборатории.

2. Интерпретация силы тяжести. Любое реальное поле силы тяжести можно интерпретировать как локальную модификацию пространства-времени переходом в такую ускоренную систему, где поле исчезнет. Этот переход не помогает вычислениям, но указывает на новый смысл гравитации, который будет обсуждаться в следующем разделе.

3. Невесомость. Если поле силы тяжести действительно эквивалентно ускорению системы, то мы можем ликвидировать его, придавая нашей лаборатории подходящее ускорение. Обычная сила тяжести — притяжение Земли — действует вертикально вниз. Она эквивалентна направленному вверх ускорению g нашей системы. Если же мы позволим нашей лаборатории падать вертикально вниз, то не обнаружим в ней действия силы тяжести. В нашей лаборатории имеются два ускорения — «реальное» ускорение падающего тела и противоположное ему ускорение, заменяющее поле силы тяжести. Они в точности компенсируют друг друга и получается эквивалент стационарной лаборатории в отсутствие гравитации. Это попросту означает, что если лаборатория свободно падает, то в ней не чувствуется земного притяжения. Практически это осуществимо при космических полетах или спуске в свободно падающем лифте. В подобной ускоряющейся системе отсчета локально устранены все следы поля силы тяжести Земли или Солнца[267]. Теперь можно предоставить тело самому себе и понаблюдать за его поведением. Его путь в пространстве-времени оказывается прямой линией, и мы ожидаем, что тело будет подчиняться простым механическим законам. У нас получилась локальная инерциальная система отсчета.

4. Искусственная сила тяжести. Напротив, создавая большие реальные ускорения, можно получить мощное силовое поле. Если верить принципу эквивалентности, то можно ожидать, что это силовое поле будет действовать на вещество подобно очень сильному гравитационному полю. С этой точки зрения центрифуга тысячекратно увеличивает значение g.

5. Символические эксперимента. Для наблюдателя, движущегося с ускорением a, каждая масса m°, помимо других сил, действующих на нее со стороны известных тел m°∙а, кажется подверженной действию силы, противоположной ускорению. В поле силы тяжести напряженностью g масса притягивается с силой ∙g. Здесь m° обозначает инертную массу, которая входит в формулу F = ma, а обозначает гравитационную массу в законе всемирного тяготения F = G∙M∙m/d². Принцип эквивалентности гласит, что поле силы тяжести напряженностью g можно заменить противоположно направленным ускорением наблюдателя g:

∙g должно быть равно m°g, т. е.

Принцип эквивалентности требует, чтобы гравитационная масса была равна инертной, и символический эксперимент давно доказал, что так оно и есть. Как вы увидите из последующего, Эйнштейн в своей общей теории относительности придал этому равенству двух сортов масс более глубокий смысл.

Общая теория относительности и геометрия.

В малой области пространства-времени поле силы тяжести Земля, как и любые другие гравитационные поля, практически однородно. Поэтому в локальном опыте мы можем «убрать» притяжение, дав нашей лаборатории возможность свободно падать. При этом она будет подобна инерциальной системе в отсутствие гравитационных полей, т. е. предоставленные самим себе тела будут оставаться в ней в покое иди двигаться по прямой, а приложив к ним силу, мы обнаружим, что F = ma. Однако в большем масштабе, скажем в пространстве около Земли или около Солнца, мы должны использовать множество различных ускорений, чтобы устранить силу тяжести в каждой из локальных лабораторий. Чтобы согласовать прямолинейное движение в соответствии с первым законом Ньютона с его продолжением в соседней лаборатории, которая также свободно ускоряется, мы должны будем «искривить» траекторию. При переходе из лаборатории в лабораторию около тяготеющей массы придется изгибать ее еще больше. Как это объяснить? Вместо того чтобы говорить «мы обнаружим здесь, помимо всего, сипу тяжести», мы могли бы сказать. «Евклидова геометрия не соответствует реальному миру вблизи массивной Земли и Солнца». Общая теория относительности выбирает второе. Как и при создании специальной теории относительности, Эйнштейн искал простейшую геометрию, которая удовлетворяла бы новому предположению о том, что запись законов физики всегда должна быть одинаковой. Он пришел к геометрии общей теории относительности, в которой сила тяжести как некая странная сила, порождаемая массой, исчезла, уступив место возмущению пространства-времени в окрестности масс.

«С незапамятных времен физики и чистые математики работали в определенном согласии друг с другом относительно их доли участия в изучении природы. Сначала приходили математики и, проанализировав свойства пространства и времени, строили предварительную геометрию и кинематику (чистое движение). Затем, когда сцена была подготовлена, физики выводили действующих лиц: материальные тела, магниты, электрические заряды, свет и так далее, и представление начиналось. Однако, согласно революционной концепции Эйнштейна, действующие лица теперь сами готовят подмостки, появляясь на них: геометрия уже не предшествует физике, а неразделимо слита с ней в единый предмет. Свойства пространства в общей теории относительности зависят от присутствия материальных тел и их энергии…»[268].

Однако какая же геометрия более правильна — старая или новая? Вернемся к нашей точке зрения на математику как послушного слугу. Нельзя ли для описания физического мира воспользоваться любой геометрией, так сказать, деформировать картину мира, чтобы втиснуть его в геометрию? Тогда нашей задачей будет не нахождение правильной геометрии, а выбор простейшей или наиболее удобной, которая описывала бы мир с минимальным искажением. Если это так, то мы должны понять, что, выбирая геометрию, мыимеем дело с нашей Вселенной, и если мы для подгонки безжалостно корежили ее, то это не пройдет нам даром.

Если бы наш мир представлял собой, например, апельсиновую кожуру, то подходящей моделью для него был бы шар. Если же мы подойдем к нему с непоколебимой верой в плоскую геометрию, то должны растянуть кожуру на плоском столе так, чтобы она плотно прилегла к его поверхности. Тогда мы бы обнаружили, что клетки кожуры у внешнего края стали больше, но вынуждены были бы объявить это законом природы. Мы бы обнаружили странные силы, пытающиеся оторвать середину кожуры от стола, — снова «закон природы». Если мы заботимся об упрощении наших представлений о природе, то поведение апельсиновой кожуры подсказало бы нам в качестве модели пространства не плоскую, а сферическую геометрию. Все это звучит странно, но так оно и есть. Именно такие рассуждения в рамках трех- и четырехмерного пространства, вместо двумерного, использованы общей теорией относительности. Странные гравитационные силы могут быть непосредственным результатом стремления описать природу неподходящей геометрией — прекрасно развитой системой Евклида. Если бы мы выбрали другую геометрию, в которой материя возмущала бы вблизи системы отсчета, то гравитация из удивительного набора сил превратилась бы в простой вопрос геометрии. Теперь уже не нужно говорить, что ядро из-за силы тяжести летит, согласно старой геометрии, по «кривому» пути. Вместо этого мы можем считать, что оно следует по пути, который в новой геометрии представляет собой прямую линию в пространстве-времени, искаженном присутствием Земли.

Это было бы всего лишь простым изменением точки зрения (и как ученые, мы едва ли беспокоились бы об этом), если бы не открывало нам глаза на новые стороны природы или не улучшало понимания старых. А это так. С подобной геометрической точки зрения «криволинейный» путь свободно движущихся тел присущ новой геометрии пространства-времени и всякое летящее с данной скоростью тело, большое или маленькое, должно следовать по одному и тому же пути. Обратите внимание, как исчезает неожиданность символического эксперимента. Долговечная загадка равенства гравитационной и инертной масс оказалась решенной. Этим равенством, представляющим собой фундаментальное свойство природы, пренебрегали на протяжении веков, пока Эйнштейн не объявил его свойством пространства-времени, обусловленным присутствием вещества.

Даже световые лучи подобно пуле, движущейся со скоростью света, должны распространяться по криволинейному пути. В окрестности Земли эта кривизна незаметна, но лучи звезд, проходящие вблизи Солнца, должны отклоняться на угол около 0,0005°, измерение которого под силу лишь современным приборам. Фотографии, сделанные при полном солнечном затмении, показывают, что положение звезд, близких к краю Солнца, кажется сдвинутым на угол 0,0006°. С традиционной («классической») точки зрения Солнце создает поле силы тяжести, которое, по-видимому, видоизменяет прямолинейное распространение света в евклидовой геометрии. С точки зрения общей теории относительности мы заменяем силу тяжести Солнца таким локальным искажением геометрии, что по сравнению с простой евклидовой формой свет кажется нам «более медленным». Таким образом, лучи немного искривляются вблизи Солнца наподобие искривления лучей горячим воздухом над шоссе, когда возникает мираж, но в другую сторону.

Обнаружив простоту и плодотворность этой точки зрения, особенно когда она выливается в простейшую математическую форму, мы принимаем ее. Обычные лабораторные эксперименты показывают, что евклидова геометрия дает достаточно простое и точное описание пространства. Но в астрономических масштабах с громадными гравитационными полями мы должны либо пользоваться новой геометрией (в которой сетка «прямых линий» в пространстве-времени кажется нам слегка искривленной), либо как-то видоизменять законы физики. Современная наука предпочла изменения в геометрии. Это позволяет не только придать законам физики простой и универсальный вид, на вместе с тем иногда обнаруживать новые свойства.

Приспосабливая гравитацию к новой геометрической точке зрения, Эйнштейн обнаружил, что в простейшей, наиболее правдоподобной форме она приводит к закону, несколько отличному от закона всемирного тяготения Ньютона.

Фиг. 172. Движение планеты Меркурий.

Он вовсе не опроверг «закон Ньютона», а предложил лишь более правильную его модификацию, хотя основана она на радикальном изменении точки зрения. Не следует думать, что закон справедлив только потому, что предложен великим человеком или облечен в изящную математическую форму. Он рассматривается нами как блестящая догадка великого ума, чрезвычайно чуткого к звучанию правды реального мира. Мы воспринимаем его как перспективное и весьма правдоподобное предположение, но именно поэтому должны подвергнуть его безжалостной проверке. Предложенные Эйнштейном изменения предсказаний Ньютона, столь фундаментальные по своей природе, обычно дают слишком малый эффект, чтобы привести к какой-то разнице и в эксперименте и даже в большинстве астрономических измерений. Однако в случае быстрого движения планеты Меркурий по своей орбите они должны быть заметны. Ньютон предсказывал для орбит простой эллипс, искаженный возмущениями других планет, которые могут быть вычислены и наблюдаемы. Общая теория относительности предсказывает и другое движение — очень медленный поворот большой оси эллипса на 0,0119° в столетие. Это слабое движение было уже известно до предсказания Эйнштейна. Его открыл Леверье. Скорость его (т. е. небольшой остаток после учета возмущений) оказалась близка к 0,012° в столетие.

Такой взгляд на гравитацию позволяет астрономам обсуждать геометрию всего пространства и ставить вопросы о том, бесконечна Вселенная или ограничена своей собственной геометрической кривизной (наподобие сферы). Когда-нибудь мы, быть может, будем способны решить их.

В общей теории относительности еще немало трудностей и сомнений. Даже когда мы доверчиво опираемся на эту теорию, имея дело с движением Меркурия или красным смещением в свечении массивных звезд, то, по-видимому, должны связывать наши вычисления с какой-то системой отсчета — быть может, с отдаленными областями пространства вдали от тяготеющей материи, а быть может, с центром тяжести нашей Вселенной. Таким образом, пространство при нашем рассмотрении может быть «размечено» некоего рода абсолютными «верстовыми столбами». Однако это сомнение, эта угроза для мощной теории ничуть не пугает мудрого ученого. Он имеет ее в виду, веря в перспективность своих умозаключений.

Новая математика в ядерной физике.

В атомной и ядерной физике математика тоже берет свое. Вместо картинки с твердыми шариками-электронами, которые вращаются вокруг тоже твердого шарика — ядра, мы выражаем наши сведения об атомах в математической форме, для которой нельзя нарисовать простой картины. Для такого описания используется аппарат, специально приспособленный для этой цели, на котором стоит привычное математическое «клеймо» распространения волн. Несмотря на свою чисто математическую форму, оно приводит ко множеству плодотворных предсказаний — от прочности металлической проволоки и химической энергии до поведения радиоактивных ядер.

Мы вновь видим, что математика с ее строгими рассуждениями и доказательствами предлагает физике ясную форму, которая помогает нашим размышлениям. Однако теперь это уже далеко не слуга, а скорее лорд-канцлер, стоящий позади трона королевы-науки и предлагающий ей законы. Кроме того, мы можем сравнить математику с выдающимся архитектором, проектирующим здание, в котором еще более пышно расцветет древо Науки.

Примечания.

1.

Некоторые комментарии в этой главе заимствованы из превосходной популярной книги о первобытном человеке: V. Gordon Child, Man Makes Himself, New York, 1951.

2.

Этот период времени верен лишь с точностью до множителя 2. Даже если он справедлив в отношении развития человека в одной области земного шара, то может быть неверен для других областей.

3.

Опытный турист может определить время по звездам с точностью до 1/4 часа.

4.

Во времена древних цивилизаций не была надежных часов, существовали лишь песочные часы, лампы и водяные часы. Точное время определяли по Солнцу и звездам. Маятниковые часы и ручные часы — изобретение средневековья, отвечавшее запросам торговли и мореплавания.

5.

Lancelot Ноgьеn, Science for the Citizen, London, 1938. В первых главах автор говорит о том, как и почему развивалась астрономия, и дает прекрасное описание астрономических измерений и их применения в навигации. Часть настоящей главы взята из этой интересной книги.

6.

Такие догадки весьма рискованны. Несчастье молодой науки о доисторических временах в том, что неспециалисты и даже ученые (но работающие в других областях) считают, что могут строить догадки о том, как развивался первобытный человек, и даже о том, как он мыслил. (История очень страдает от таких любителей строить догадки. Почти все здание Познания построено на них.) Но здесь нам нужно составить себе правильное представление о том, как начала развиваться наука Можете, конечно, построить на этот счет собственную теорию, а можете обратиться к первым главам «Очерков истории» Уэллса, на которых основаны некоторые из приведенных здесь соображений. В книге Уэллса, которую часто критикуют за фактические неточности и ошибочность некоторых высказываний, читатель найдет то, что специалистам-историкам не удается ему дать — связное, хотя и несколько рискованное, изложение истории.

7.

Перевод К. И. Чуковского.

8.

Такое описание годится для северных широт.

9.

Если бы мы жили на протяжении нескольких столетий, то заметили бы изменения в форме некоторых созвездий, так как звезды все же перемещаются.

10.

При смене равноденствий направление оси вращения Земли медленно описывает конус относительно звезд, так что только несколько веков назад оно указывало на некоторую яркую звезду как на Полярную (см. рисунки в последующих главах). Сейчас направление земной оси указывает на нашу теперешнюю Полярную звезду, а во времена постройки пирамид оно указывало на другую звезду. За тысячу лет до нашей эры яркой Полярной звезды не существовало, и это, возможно, задержало развитие навигации.

11.

Lancelot НоgЬеn, Science for the Citjzen, London, 1938.

12.

Вспомним, что хотя Солнце ежедневно движется с востока на запад, совершая ежегодное движение по эклиптике, оно также смещается в обратном направлении, или с запада на восток. То же происходит и с планетами.

13.

Телескопы не могут выявить действительного размера звезд. Даже в самый мощный телескоп звезды выглядят точками, вернее маленькими кружками (на изображениях, получаемых с помощью оптических приборов, сказывается волновая природа света), причем чем крупнее телескоп, тем меньше кружок.

14.

V. Gordon Сhi1dе, Man Makes Himself, New York, 1951.

15.

Introduction to the History of Science, v. 1, 1927 (Институт Карнеги в Вашингтоне).

16.

«Магические числа» полезны в ядерной физике и поэтому занимают там почетное место. Современным примером почти бессмысленного числового мистицизма может служить описание атома Бора в некоторых руководствах по химии.

17.

Ипполит, цитируемый Дж. Сартоном (G. Sагtоn, A History of Science, Harvard, 1952, p. 214).

18.

Было бы историческим мистицизмом называть эту греческую атомистическую теорию, несмотря на ее кажущуюся современность, предвидением атомной химии Дальтона (1800 г.). Она не являлась научным открытием, опередившим на 2000 лет свое время. Это была великая идея, которая должна была еще 2000 лет дожидаться своего научного воплощения.

19.

Например, четыре времени года — от весеннего равноденствия до середины лета, от середины лета до осеннего равноденствия и т. д. — неодинаковы по протяженности. Вавилоняне в своих схемах для регулирования календаря по новолунию имели графики неравномерных движений Луны и Солнца.

20.

Молодые ученые не должны ограничиваться накоплением тех или иных фактов или сведений, чтобы не застрять на догреческой стадии развития науки.

21.

Согласно современной терминологии, вращение внешней сферы соответствует суточному вращению Земли, вращение следующей сферы соответствует собственному движению планеты по ее орбите вокруг Солнца, вращение двух других сфер комбинируется так, чтобы объяснить эффект наблюдения с Земли, которая движется в течение года вокруг Солнца.

22.

Современное название Асуан, где построена гигантская плотина на реке Нил.

23.

Допущения, говоря на научном языке, должны быть логичными. Такая формулировка озадачила бы древних мыслителей. Они считали, что логическим должен быть вывод из допущений.

24.

G. Sагtоn, A History of Science, цит. выше.

25.

Это изобретение было сделано на семнадцать столетий позже. Увеличивая рассматриваемый участок неба, телескоп дал возможность производить значительно более точные измерения.

26.

Эклиптика, по которой движется Солнце, пересекаем небесный экватор в двух точках. Когда Солнце достигает одной из них, она симметрична по отношению к земной оси. День и ночь равны для всех частей земного шара: наступает равноденствие. Прецессия — это медленное вращение всей небесной сферы, включая зодиак и Солнце, вокруг оси эклиптики, перпендикулярно ее плоскости. От столетия к столетию сдвиг прецессии приводит к тому, что к точкам равноденствия приходят разные участки зодиакального пояса (в которых эклиптика пересекает экватор). Вся небесная сфера участвует в этом медленном вращении вокруг оси эклиптики. Это применимо, например, к звездам, находящимся вблизи оси, проходящей с севера на юг, которая скреплена с Землей и образует с осью эклиптики угол 23¹/₂°; это движение увлекает Полярную звезду в сторону от оси, проходящей с севера на юг, и приносит с течением времени в этот участок неба другую звезду. Таким образом, в течение нескольких столетий в положении, соответствующем Полярной звезде, наблюдается яркая звезда, а в течение других столетий в этом месте в звездной картине будет пробел — звезда наблюдаться не будет. В течение сорока с лишним столетий, за период, прошедший от строительства пирамид до наших дней, накопился довольно значительный сдвиг. Исследуя туннели в пирамидах, построенные для наблюдения Сириуса в полночь в весеннее равноденствие; мы можем приближенно оценить когда были построены сами пирамиды.

27.

Если эта настойчивость при подборе кругов покажется вам искусственной, то вспомните, что:

А) ваши современные знания построены на том, что вам известно от других,

Б) хотя эта модель кажется в настоящее время нереальной, она пригодна как метод анализа.

Добавление одного круга к другому в греческой астрономии соответствует применению гармонического ряда (проекций круговых движений) для анализа сложных движений. Физики применяют в настоящее время такой «фурье-анализ», исследуя периодическое движение; анализируя звуки, предсказывая приливы и отливы, описывая поведение атома. Любое периодическое движение, каким бы сложным оно ни было, можно выразить в виде суммы простых гармонических движений. Каждое круговое движение в схеме Птолемея дает две такие компоненты — вверх и вниз, вправо и влево. Концентрические сферы Евдоксия можно также рассматривать как подобный анализ, но более сложный. С помощью той или другой схемы можно описать движение планет с любой точностью, если воспользоваться достаточным количеством компонент.

28.

Перевод С. И. Писарева, 1871.

29.

Подумайте немного, прежде чем осудить столь дерзкую точку зрения. Вам тоже не было в свое время нужно такое отношение к окружающему. В наше время люди вначале думают примерно так: «Я — важная особа, пожалуй самая важная, весь мир вертится вокруг Меня». В процессе дальнейшего развития поле зрения становится более широким, проходя, вероятно, следующие стадии: «Я»; «Я и мама»; «Я и моя семья»; «Я и другие»; «Я и мой народ», и, наконец, для немногих, «Я и Вселенная». Большинство людей не проходит через все это. Успехи человека в его общественной деятельности и интеллектуальном развитии, казалось бы, должны зависеть от того, сколько перечисленных стадий ему удалось пройти. Многим не удается продвинуться дальше первых двух-трех, и, хотя они могут добиться большого благополучия, вряд ли их интеллектуальные возможности, их духовный мир вызовут наше восхищение. Некоторые диктаторы мирового масштаба остановились на первой стадии «Я», а иные дошли даже до стадии «Я и мама», но не дальше. Другая крайность — те редкие личности, которые думали и чувствовали в соответствии со стадией «Я и Вселенная»; это были великие философы и пророки.

30.

Коперник пользовался значением, в 20 раз меньшим действительного, взятым из вычислений древних греков.

31.

По схеме Птолемея Венера также проходит через фазы, но не через все этапы от серповидной до «полумесяца» и затем до «полнолуния».

32.

«Николай Коперник», Сборник статей к четырехсотлетию со дня смерти, Издательство Академии наук СССР, 1947.

33.

Друг Коперника написал к книге робкое предисловие, в котором говорилось, что это всего лишь теория. На самом же деле Коперник считал, что его схема вполне соответствует действительности.

34.

Из лекции, прочитанной профессором истории и философии науки Гербертом Динглом в Лондонском университете. Другие приведенные здесь цитаты также взяты из этой лекции, впоследствии вошедшей в виде третьей главы в сборник «History of Science», London.

35.

Из лекции профессора Герберта Дингла.

36.

Я должен выразить свою признательность и восхищение Оливеру Лоджу, который первым продемонстрировал в своей книге «Пионеры науки» (Pioneers of Science, London, 1893), как история астрономии помогает понять историю физики. В последующих главах я заимствую из его книги некоторые общие идеи, а во многих местах отдельные выражения и целые абзацы. Я признателен ему и его предшественникам, к которым он в свою очередь обращался. Современные историки науки совершенно правильно удалили из его книги некоторые ошибочные данные, стремясь получить более объективное и всеобъемлющее описание исторических фактов, где было бы поменьше преклонения перед отдельными личностями] но эта книга — труд физика и человека с большим кругозором.

37.

Может показаться, что для предсказания даты встречи планет ошибка в месяц очень велика; однако эти таблицы были составлены Птолемеем четырнадцать столетий назад. Один месяц за 1400 лет — ошибка весьма малая, и это делает честь системе Птолемея, которая хотя и неуклюже, но довольно точно предсказывала такие события.

38.

Мы теперь знаем, что вспышка новой звезды, или просто новой, наблюдается довольно часто; внезапное сжатие или нечто иное приводит к нагреву звезды до высокой температуры. Гораздо реже (в среднем один раз в несколько столетий в нашей Галактике) наблюдается намного более яркая вспышка, так называемая сверхновая звезда. Такую звезду, вероятно, наблюдал Гиппарх, и новая Тихо тоже была сверхновой звездой. Согласно современным представлениям, при возникновении сверхновых звезд образуется радиоактивный элемент калифорний. Выполненные Тихо тщательные измерения угасания яркости звезды (по сравнению с другими звездами) хорошо соответствуют периоду полураспаду калифорния — фантастическое современное применение его замечательных наблюдений.

39.

Спустя несколько лет Тихо установил полную стоимость строительства обсерватории. В то время, по его оценке, она достигала 17 000 английских фунтов, что по нынешним временам составляет около 1,5 миллиона долларов.

40.

Из лекции Оливера Лоджа.

41.

Oliver Lodge, Pioneers of Sciencej, London, 1893.

42.

Большинство людей увлекается подобными загадками, хотя не столь пылко. Вам, вероятно, часто доставляло удовольствие решать задачи с последовательностями чисел, где вы пытались продолжить эти последовательности закономерным образом (проверка на сообразительность, различные головоломки). Попробуйте продолжить приведенные здесь последовательности. Если вам удастся это сделать и вы получите при этом удовольствие, вам станет до некоторой степени понятно то наслаждение, которое испытывал Кеплер при решении поставленных им перед собой задач.

А) 1, 3, 5, 7, 9, 11…?

Б) 1, 4, 9, 16, 25…?

В) 5, 6, 7, 10, 11, 12, 15, 16…?

Г) 2, 3, 4, 6, 8, 12, 14, 18…?

Д) 4, 7, 12, 19, 28…?

Е) 1 7 3 6 5 5 7 4 9…?

Ж) 0 1 8 8 1 1 0 2 4 1 5 6 2 5…?

В последовательностях (е) и (ж) вы должны проставить запятые.

43.

William Dampier, A History of Science, Cambridge, 1949.

44.

И сейчас имеется грубое эмпирическое правило, связывающее радиусы орбит друг с другом, так называемый закон Боде; но до недавних пор этому правилу не могли найти объяснения.

45.

В более позднем издании Кеплер специально постарался оттенить достижения Галилея. В одной из своих отвергнутых теорий он предполагал существование планеты между Марсом и Юпитером. Из боязни, что читатель может заподозрить его в том, что он претендует на открытие луны Юпитера, он добавил следующее примечание об этой планете: «Она не вращается вокруг Юпитера подобно звездам Медичи. Не ошибитесь. Я никогда не предполагал заранее, что они существуют».

46.

Может показаться странным, что Кеплер не подумал об эллипсе ранее. Это был хорошо известный овал, исследованный греками как одно из сечений конуса. Нам-то это кажется теперь очевидным, когда мы знаем ответ. Следует еще помнить, что эллипсы не имели тогда столь большого значения и именно Кеплер создал им славу. [Эллипс легко нарисовать о помощью веревки или нитки и двух гвоздиков с широкими шляпками (фиг. 83). Если вы никогда не пробовали начертить таким образом эллипс, сделайте это. Забавный эксперимент продемонстрирует вам свойства эллипса.].

Фиг. 83. Построение эллипса с помощью веревки и двух гвоздей.

47.

Предполагая, что орбиты планет представляют собой круги, Коперник произвел грубые оценки их радиусов, Тихо Браге дал несколько более точные оценки. Эти значения были известны Кеплеру, когда он пытался построить свою странную схему из правильных многогранников, и их неточность позволила ему считать, что они; по-видимому, подтверждают его теорию.

48.

William Dampier, A History of Science Cambridge, 1949.

49.

Ученые пользуются в этом случае словом «предсказать», хотя этот термин нельзя считать удачным. Здесь он означает «привести в соответствие с другими областями науки».

50.

Можно разделить R² не на Т, а на 5Т, тогда получим всюду 0,200, но в основном это дела не изменит.

51.

David Brewster, Martyrs of Science, 1848.

52.

Например, доказательство, которое Галилей приводил при рассмотрении падения трех камней (см. гл. 1 «Земное тяготение», входит в т. 1 настоящего издания), или доказательство, приводимое им при рассмотрении силы, действующей при разрыве проволок (см. гл. 5 «Связь между напряжением и деформацией», т. 1).

53.

Это более простое правило Галилея из задачи 2 гл. 1 («Земное тяготение», т. 1, стр. 42). Если Δt = 1, то Δs — скорость, и эта последовательность значений Δs означает постоянство ускорения — скорость непрерывно увеличивается со временем.

54.

Такие исключения могут быть отвергнуты при появлении соответствующих методов измерения. Например, изобретение термометра с определенной шкалой превратило наше субъективное представление о теплоте в целую область науки.

55.

«Венецианский купец», перевод Т. Л. Щепкиной-Куперник.

56.

David Brewster, Martyrs of Science, 1848.

57.

Галилей изобрел «военный компас» — комбинацию транспортира и скользящей линейки, и получал на него заказы из многих стран Европы. Эти приборы он посылал в качестве подарков различным влиятельным лицам, чтобы доказать, что может быть полезен «военному искусству».

58.

Сторонников Аристотеля. — Прим. ред.

59.

Галилео Галилей. Диалог о двух главнейших системах мира птолемеевой и коперниковой. Перевод А. И. Долгова, М. — Л., 1948.

60.

Эта история сомнительна, ибо паникадило, о котором идет речь, появилось в соборе на несколько лет позднее, нежели произошло само открытие. Однако Галилей писал в «Диалоге»: «…Тысячи раз я наблюдал колебания, чаще всего в церквах, где люстры, подвешенные на длинных шнурах, случайно приходили в движение».

61.

Хотя представление о массе — отчасти продукт воображения, а отчасти проистекает из свойств самой природы, пояснить его в нескольких словах невозможно Почувствовать природу массы можно только на опыте; называя ее «инерцией», мы ограничиваемся лишь простой терминологией. Когда Ньютон определил массу как «количество материи», он просто перенес неопределенность на определение материи. Однако это описание Ньютона не было таким бесполезным, каким его считают некоторые критики. Оно помогло современникам Ньютона понять, что он подразумевал под этим понятием. Может быть, оно остается полезным и для современных учащихся.

62.

Гл. 7 «Сила и движение» входит в т. 1 настоящего-издания.

63.

Гл. 1 («Земное тяготение») и гл. 2 («Полет снарядов. Геометрическое сложение: векторы») входят в т. 1 настоящего издания.

64.

G. de Santillana, «Historical Introduction», to Galileo's Dialogue.

65.

Термин «составление непрерывных величин» звучит как некая попытка дифференцирования. Необходимость применения дифференциального исчисления при решении математических задач непрерывно возрастала. Галилею самому такие методы были необходимы, и он пытался их разработать. Следующее поколение еще больше стало нуждаться в подобных методах, и не удивительно, что Ньютон и Лейбниц независимо изобрели дифференциальное исчисление.

66.

Развитие книгопечатания обусловило более широкое применение очков, что и привело в свою очередь к изобретению телескопа в результате случайной комбинации линз.

67.

David Brewster, цит. выше.

68.

G. de Santillana, цит. выше.

69.

G. d e Santillana, цит. выше.

70.

На фиг. 97 приведен титульный лист первого издания этой книги. Текстуальный перевод: Диалог Галилео Галилея, члена Академии деи Линчеи, профессора математики университета в Пизе и философа и главного математика его светлости Великого Герцога Тосканского, где он обсуждает в течение четырех дней две Главные Системы Мира Птолемея и Коперника (имеется русское издание в переводе А. И. Долгова, М., 1948).

71.

G. d e Santillana, цит. выше.

72.

Bertrand Rassel, The Scientific Outlook, New York, 1931, p. 33.

73.

Morris R. Cohen, The Faith of a Liberal Selected Essays, New York, 1946, p. 417. В этой книге содержится прекрасный очерк о книге Галилея «Две новые науки».

74.

William Dampier, A History of Science, Cambridge, 1949.

75.

William Dampier, цит. выше.

76.

Некоторые считают, что наука XVII столетия заложила основы индустриальной революции. По мнению других, последующие изменения происходили совершенно независимо от развития науки в целом и лишь благодаря некоторым фактическим знаниям.

77.

Мы можем проследить подобную деятельность некоторых людей начиная с детских лет. Юношеское увлечение коллекционированием марок или монет может превратиться в стремление накапливать научные данные, а мрачная решимость многих юношей преодолевать встающие перед ними трудные проблемы может превратиться в стремление к точности, столь характерное для Тихо Браге.

78.

Dorothy Stimson, Scientists and Amateurs, A History of the Royal Society, New York, 1948.

79.

Начиная с этого момента мы больше не будем рассматривать v и Δv в качестве векторов и не будем обозначать их жирным шрифтом, так как мы переходим к вычислению абсолютной величины ускорения, используя скорость v, которая является величиной вектора скорости, и Δv, которое является величиной изменения вектора скорости. Будем помнить, однако, что ускорение имеет направление, совпадающее с направлением вектора Δv.

80.

Если вы возьмете две линии, образующие угол X, и повернете каждую линию на 90°, то таким способом повернете все изображение на 90° и эти две линии в новом положении будут по-прежнему образовывать угол X.

81.

Если вы не верите такому рассуждению и утверждаете, что расхождение между дугой и хордой остается неизменным и лишь маскируется сближением А и В, исследуйте следующий случай — фиг. 106: выберите размер АВ, затем перейдите к хорде аЬ, вдвое меньшей АВ, но увеличьте вдвое новый рисунок так, чтобы хорда аь стала равной выбранному вами размеру АВ. Теперь посмотрите на новую хорду а'Ь'. Ближе ли она к своей дуге? Заметим, что увеличение само по себе не изменяет относительных пропорций между хордой и ее дугой — оно не изменяет углы, а действует подобно увеличительному стеклу.

82.

Люди иногда думают, что движение по окружности создает направленную вовнутрь силу, необходимую для поддержания его. Ребенок, который хочет получить леденец, не думает, что от его желания появятся деньги на покупку леденца. Какой-то внешний агент в образе доброго дяди может обеспечить деньги для этой покупки, иначе леденца не будет. Условие движения по окружности аналогично по смыслу. Реальное внешнее воздействие должно обеспечить надлежащую силу, иначе не получится круговой орбиты.

83.

По сути дела, именно это имел в виду Галилей, утверждая, что горизонтальная и вертикальная проекции движения снаряда не зависят друг от друга. В вершине рассматриваемой параболы вертикальное ускорение перпендикулярно направлению движения и требует реальной силы, направленной вертикально.

84.

Сила тяжести не играет особой роли. При развороте и здесь не учитывается.

85.

Физик-профессионал, наблюдая за этим экспериментом, сейчас же выскажет возражение, связанное с тем, что вращающиеся веревка + пружина не движутся в горизонтальной плоскости, а описывают широкий конус. Радиус круга R1, по которому движется гиря (фиг. 144), полностью не определяется длиной веревки + пружины, а равен части этой длины. Горизонтальная сила, заставляющая гирю двигаться по окружности, не равна натяжению веревки + пружины, а составляет часть ее. Наблюдение за действительный экспериментом такого рода успокаивает критика — он видит: наклон мал, поправочные множители близки к 1,00. А небольшой геометрический расчет поражает его — он находит, что обе поправки точно компенсируют друг друга?

86.

Детские игры с кубиками, игрушками, печками, кранами позволяют получить определенный опыт — то, что мы называем здравым смыслом. Когда мы говорим «здравый смысл подсказывает нам это», мы часто апеллируем именно к такому опыту, даже иногда вопреки предрассудкам и традициям.

87.

Биномиальная теорема:

Если n — положительное целое число, ряд содержит n + 1 член. В других случаях ряд бесконечен и значения х не должны превосходить единицу, чтобы приведенная формула оставалась справедливой. Когда х много меньше единицы, можно записать (1 + х)ⁿ ~= 1 + n∙х, потому что все остальные члены малы по сравнению с первыми. Это дает несколько полезных приближенных выражений, таких, как (1 + x)³ ~= 1 + 3x или √(1 + x) ~= 1 + ¹/₂x, если x мало Отсюда, в частности, следует, что ошибка у% в величине Y приводит к ошибке 3у% в величине Y³ и к ошибке ¹/₂ y% в величине √Y.

Примеры. Если твердое тело нагревается и его размеры увеличиваются на 0,02 %, то его объем увеличивается на 0,06 %. Когда маятник часов удлиняется летом на 0,02 %, его период колебаний возрастает только на 0,01 %.

88.

«…всегда думал о них. Предмет исследования постоянно передо мной, и я жду, пока первые пробивающиеся лучи рассвета постепенно не осветят его сильным и ярким светом».

89.

В Кембридже Ньютон предпринял широкие химические исследования, получив большое количество опытных данных, но и он не смог преодолеть царившего в то время хаоса в химических воззрениях.

90.

По-видимому, третий закон был сформулирован, когда Ньютону потребовалось изложить механику систематически, — другие законы и так обеспечивали развитие основной идеи. Закон был проверен в таком опыте: сталкивались два груза маятников и измерялись их скорости да и после соударения. Затем Ньютон вычислял изменения импульса. Он нашел, что эти величины равны и противоположно направлены у каждого груза. На основе второго закона Ньютон пришел к выводу, что действующие силы должны быть равны и противоположно направлены. Таким образом, опыт явился точной проверкой третьего закона. (Попытки «доказать» третий закон, растягивая в противоположные стороны пару пружинных весов или рассматривая действие сил на книгу, лежащую на столе, ни к чему не приведут. В таких попытках могут встретиться доводы, образующие порочный круг, или же они могут подтвердить первый закон вместо третьего.) В своих опытах Ньютон с большим искусством учел трение маятников о воздух. В Принципах дано подробное описание этих опытов.

91.

Гл. 8 («Столкновения. Количество движения») входит в т. 1 настоящего издания.

92.

Специальная теория относительности Эйнштейна обходится без фиксированной в пространстве системы отсчета. Общая теория относительности еще использует систему отсчета, связанную с неподвижными звездами, например для предсказания медленного вращения орбиты Меркурия.

93.

Предположим, что небольшой распылитель испускает струю мелких капель масла. Эти капли летят из ствола по прямым линиям, образуя широкий конус. Если экран (кусок хлеба, скажем) полностью перекрывает конус на расстоянии 1 м от ствола, то на расстоянии 2 м конус можно перекрыть экраном, площадь которого будет в 4 раза больше, а на расстоянии в 3 м — в 9 раз больше первого, поэтому толщина масла на экранах будет в пропорция 1:1/4:1/9… Это — «закон обратных квадратов намазывания маслом».

Фиг. 149. Закон, обратных квадратов.

94.

J. W. L. Glaisher, On the bicentenary of the Principles, 1887.

95.

Для случая Земли и яблока М₁ и М₂ — соответственно массы Земли и яблока; расстояние между ними равно радиусу Земли r. Таким образом, вес яблока M₂g = GM₁M₂/r². Отсюда следует связь между g и G:

G = G∙M₁/r^2.

УСКОРЕНИЕ g = ГРАВИТАЦИОННАЯ ПОСТОЯННАЯ ∙ МАССА ЗЕМЛИ / (РАДИУС ЗЕМЛИ)^2.

96.

Эту величину у вращающегося вокруг своей оси тела мы называем моментом вращения или просто спином в случае электрона, но для планет, вращающихся вокруг Солнца, применяется общий термин — момент количества движения. Такой термин применяется как для тел, вращающихся вокруг своей оси, так и для тел, движущихся по орбите.

97.

Солнце оказывает сильное и почти постоянное воздействие на Луну; среднего притяжения достаточно, чтобы заставить Луну следовать за Землей по ее годовой орбите.

98.

Луна движется по своей орбите вокруг общего центра масс G, совершая полный оборот за месяц (фиг. 173). А поскольку она всегда повернута одной и той же стороной к Земле, то Земля также вращается, совершая оборот за месяц, что мог бы установить наблюдатель, покоящийся по отношению к неподвижным звездам. Но Земля все время обращена разными сторонами своей поверхности к Луне. В целом Земля совершает один оборот в месяц относительно G, но месячного вращения Земли не возникает. Наоборот, при движении вокруг G Земля сохраняет ориентацию, если не считать суточного вращения, которым мы здесь пренебрегаем. (Мы пренебрегаем различиями в величине g при переходе от экватора к полюсу. Эти различия вполне ощутимы, но заметно не сказываются на движении океанской воды, ибо океаны испытывают тот же эффект суточного вращения Земли, какой испытывала, согласно ньютоновским вычислениям, на раннем периоде своего существования тестообразная Земля; таким образом, значения g почти те же, что будут «размазывать» океаны равномерно по выпуклой у экватора вращающейся Земле. Иными словами, мы предполагаем, что суточное вращение придало Земле «равновесную форму» и что то же относится и к океанам.) Итак, все части Земли движутся по одинаковым окружностям, аналогично тому как совершает круговое движение рука человека, протирающего окно (см. фиг. 67, стр. 121) При этом каждая часть обладает одинаковым ускорением v²/r, направленным в сторону Луны.

99.

Масса элемента = 3∙10⁷/9,8 ~= 3∙10⁶ ~= 3000 т. Так что это 3000-тонный (размером с дом) кусок скалы или соответственный объем воды или даже воздуха.

100.

У берегов, где есть заливы и узкие горловины, приливы могут подниматься на большую высоту, а у островов, в открытом океане сизигийные приливы поднимаются только на 1,3 м; высота подъема квадратурного прилива вдвое меньше. Поэтому прилив, обусловленный Солнцем и Луной, достигает 1,3 м, а прилив, происходящий тогда, когда Солнце и Луна действуют в разные стороны, поднимается лишь на 0,6 м. Отсюда следует, что высота солнечного прилива 0,35 м, а высота лунного 0,95 м. Таким путем мы можем оценить отношение масс Луны и Солнца. Однако задача оказывается очень сложной.

101.

Если мы зададим такой же вопрос, какой задавали Ньютону его коллеги: «Если принять закон обратных квадратов для притяжения, то по каким траекториям будут двигаться планеты и кометы?», то получим ответ: «Орбита будет коническим сечением, в одном из фокусов которого находится Солнце». Конические сечения — кривые, получающиеся при пересечении кругового конуса плоскостями.

Фиг. 175. Конические сечения.

Конус, пересеченный плоскостью, перпендикулярной его оси, даст окружность. Если плоскость, пересекающая конус, по отношению к его оси наклонена, то получается эллипс. Если наклон плоскости еще больше и она параллельна образующей конуса, то получается парабола. Сечение с еще большим наклоном плоскости дает гиперболу. Эти кривые принадлежат к одному математическому семейству. Их алгебраические уравнения сходны:

Окружность: x² + y² = 9.

Эллипс: x²/9 + y²/4 = 1.

Гипербола: x²/9 — y²/4 = 1.

Уравнение параболы выглядит по-другому (т. е. x² = 9y), но также связано с остальными. В физике мы встречаемся с эллипсом, изучая орбиты планет; все эти кривые встречаются среди орбит комет, а гиперболы — в том случае, когда атомное ядро бомбардируется α-частицами (α-частицы движутся по гиперболам). Измеряя рассеяние α-частиц на атомных ядрах, можно рассчитать рассеивающие силы. Эти силы подчиняются закону обратных квадратов, действующему между α-частицей и ядром атома. Мы приходим к выводу, что эти силы есть результат электростатического отталкивания между электрическими зарядами. Из дальнейших намерений мы можем даже оценить электрические заряды атомных ядер. Это пример того, как механика Ньютона в наши дни помогает изучать атом.

102.

Гл. 33 («Электростатика. Электрические заряды и поля») входит в т. 3 настоящего издания.

103.

Расстояние между ними изменяется от величины, равной сумме радиусов орбит, до величины, равной их разности: 1400 млн. км — 770 млн. км (1400—770); отношение этих величин 3,5:1.Это вызывает возмущающее притяжение, меняющееся в отношении 1:12.

104.

J. М. Кеуnеs, Newton the Man, в кн. Newton Tercentenary Celebrations of The Royal Society of London, Cambridge, 1947.

105.

Этот расчет был решающей проверкой великой теоретической идеи. Вы должны выполнить все арифметические действия очень точно, иначе это будет простой потерей времени. Ответы на два поставленных в задаче вопроса должны быть получены с тремя значащими цифрами (это потребует пяти десятичных порядков в значениях величин с размерностью м/сек²). Вначале получите ответы в буквенных выражениях, без каких-либо сокращений, а затем — численный результат.

106.

В задачах требуется очень приблизительный результат, дающий лишь общее понятие об относительных массах или величинах некоторых сил; точных арифметических вычислений не требуется, поэтому советуем учесть следующее:

A. Пользуйтесь алгебраическими выкладками до тех пор, пока это возможно.

Б. После этого подставьте арифметические величины, не сокращая их, и представьте результат со всеми коэффициентами. (Не сокращайте этот первый результат, а оставьте его нетронутым на тот случай, если вам понадобится к нему вернуться или потребуется его проверить.).

B. Перепишите «результат» пункта Б и сделайте грубую аппроксимацию, чтобы получить весьма приближенный ответ. Ниже даны три схемы аппроксимации:

А) Используйте грубые арифметические подсчеты. Это даст удовлетворительные результаты быстрее, нежели что-либо другое, если не считать специальных приемов и опыта. (Сведите все данные к степеням 2 или 10, а затем сокращайте. Помните: 2¹⁰ ~= 10³.)

Б) Пользуйтесь таблицами логарифмов. Достаточны логарифмы с двумя десятичными знаками,

В) Используйте логарифмическую линейку. Делайте грубые прикидки для определения первого десятичного знака.

Если ваш результат больше или меньше верного в 1000 раз, то он бесполезен, если же только на 40 % за счет неточности в выкладках, то он дает полезные данные.

107.

Гл. 10 («Колебания и волны») входит в т. 1 настоящего издания.

108.

Гл. 10 («Колебания и волны») входит в т. 1 настоящего издания.

109.

Гл. 39 («Радиоактивность») входит в т. 3 настоящего издания.

110.

Вообразим себе такую схему. Предположим, что величина G медленно уменьшается в соответствии с показаниями «атомных» часов. Маятниковые часы, показывающие гравитационное время в прошедшие времена, должны были идти быстрее (такое заключение делается на основе вращения Земли или по атомным часам). Тогда Земля в прошедшие времена должна была бы вращаться медленнее (судя по маятниковым часам). Примем гравитационное время, показываемое маятниковыми часами, за относительный стандарт и будем наблюдать за изменениями времени в атомной шкале. (Ни одну из этих шкал времени нельзя считать истинной по сравнению с другой — только предубеждение заставляет нас считать, что атомное время более правильно и течет с постоянной скоростью.).

Представим себе, например, что соотношение между этими двумя шкалами времени «экспоненциальное», так что атомные часы по сравнению с маятниковыми удваивают свою скорость за триллион «маятниковых дней». Мы выбираем это одно из бесчисленного количества возможных соотношений просто для иллюстрации. Чтобы эта иллюстрация была еще проще, вообразим, что скользящая шкала, связывающая эти две системы часов, изменяется не плавно, а скачками, так что после каждого триллиона дней по маятниковым часам атомные часы внезапно удваивают свою скорость — вдвое чаще тикают за маятниковый день, чем прежде. (Такая схема скачков безнадежно маловероятна. Математические расчеты легче проводить как раз для случая гладкой экспоненциальной зависимости, которая может быть ближе к истине.) Тогда мы найдем, что для каждого триллиона дней, которые мы отсчитываем в прошлое по маятниковым часам, атомные часы работали бы вдвое медленнее, т е. за каждый маятниковый день было бы вдвое меньше тиканий атомных часов.

Если вести счет времени назад, начиная с настоящего времени, то первый триллион дней будет одним и тем же в обеих шкалах времени; для следующего триллиона маятниковых дней атомные часы будут работать вдвое медленнее и покажут только ¹/₂ триллиона дней и т. д. Если мы путешествуем в прошлое такими периодами в триллион дней по маятниковым часам, то соответственно пройдем:

ПО МАЯТНИКОВЫМ ЧАСАМ.

1 триллион дней + 1 триллион + 1 триллион +…

ПО АТОМНЫМ ЧАСАМ.

1 триллион дней + ¹/₂ триллиона + ¹/₄ триллиона +…

Во втором ряду никогда не получится больше 2 триллионов, хотя первый ряд растет до бесконечности. Таким образом, отсчитывая время по атомным часам, мы приходим к конечному начальному времени. (2 триллиона дней назад в нашем примере), а соответствующий интервал для маятниковых часов сдвигается до минус бесконечности.

В этом примере, если измерять время с помощью радиоактивных превращений или по вращению Земли (которое определяет звездный день), мы должны будем прийти к выводу, что Вселенная возникла примерно 2 триллиона лет назад, но мы никогда не смогли бы вернуться назад к началу Вселенной, отсчитывая маятниковые дня или солнечные годы.

111.

Поскольку в этом задании вы не знаете массы Земли, то в своем ответе можете обозначить ее буквой М.

112.

Объяснение термина «оценка» см. в гл. 11 («Интерлюдия. Приложение во арифметике», входит в т 1 настоящего издания), а также см. примечание в конце гл. 22 (стр. 293 и 294).

113.

Из книги «People in Quandaries», New York, 1946.

114.

Гл. 44 («Современная физика») входит в т. 3 настоящего издания.

115.

Определение размеров атомов из рассмотрения процесса их столкновений дает различные результаты, так как при сильных столкновениях атомы как бы сплющиваются и их размеры уменьшаются. Поэтому при определении размеров с помощью таких косвенных измерений мы должны прибегать к некоторым теоретическим допущениям.

116.

Гл. 5 («Связь между напряжением и деформацией») входит в т. 1 настоящего издания.

117.

Превосходное обсуждение этих вопросов содержится в сообщении Джемса Б. Конанта (James В. Соnаnt, The Growth of the Experimental Sciences, Harvard, 1949). Более подробное обсуждение «тактики и стратегии науки» можно найти в книге того же автора (On Understanding Science).

118.

Гл. 1 («Земное тяготение») входит в т. 1 настоящего издания.

119.

Если бы Фауст имел в своем распоряжении соответствующее оборудование, он смог бы предложить вам микрофон, присоединенный к стеклянному столу, а также к усилителю и громкоговорителю. Если вы покатите стальной шарик по столу, то действительно услышите шумы, напоминающие хруст.

120.

Мы можем даже показать, что если медный брусок потереть о другой медный брусок, крошечные частицы, невидимые простым глазом, переходят с одного бруска на другой. Никакими химическими методами это взаимопроникновение продемонстрировать, конечно, не удается. Однако его можно показать с помощью других методов, о чем вы узнаете в конце нашей книги.

121.

Тот же метод «научного подхода» применяется некоторыми учеными в других областях, например в области общественных наук. Он оказывается полезным, если ему не следуют со слепым энтузиазмом — в последнем случае он может препятствовать прогрессу. Кроме того, мы не можем быть уверены в том, что метод, применимый в физике, окажется столь же плодотворным и в других областях науки.

122.

С прекрасным примером решающего эксперимента мы встречаемся в истории оптики. Двести лет назад существовали две точки зрения на природу света: корпускулярная теория Ньютона и волновая теория Гука и Гюйгенса. Обе теории объясняли общие свойства поведения световых лучей, например отражение и преломление, но вместе с тем исследование второго явления — преломления — могло служить решающей проверкой того, какая из двух теорий правильна.

Когда световые лучи падают под углом на поверхность воды, их наклон изменяется (направление луча приближается к направлению нормали к поверхности воды). Это изменение направления луча на границе двух сред называется преломлением; оно было хорошо известно как свойство света на протяжении тысячелетий. Птолемей вывел приближенный закон для угла преломления, а Снеллиус установил точный закон преломления за 50 лет до того, как Ньютон написал свою «Оптику». Обе теории — и Ньютона и Гюйгенса — объясняли преломление света и обе предсказывали закон Снеллиуса:

А. Корпускулы света должны притягиваться водой по мере приближения к ее поверхности (подобно молекуле пара, возвращающейся в жидкость).

Тогда их количество движения изменится следующим образом:

1) вертикальная компонента количества движения возрастет (под действием сил притяжения);

2) горизонтальная компонента останется неизменной (из соображений симметрии). В результате направление потока корпускул в воде приблизится к нормали к ее поверхности, т. е. будет наблюдаться преломление. Из геометрических соотношений вытекает закон Снеллиуса.

При таком изменении количества движения корпускулы должны двигаться в воде быстрее, чем в воздухе.

Б. Согласно волновой теории, гребни падающих световых волн должны задерживаться; попадая на поверхность воды, они должны поворачиваться и распространяться в воде по направлению, лежащему ближе к нормали.

Отсюда следует, что световые волны должны распространяться в воде медленнее, чем в воздухе.

Сравнение скорости света в воде и в воздухе могло бы стать решающим экспериментом при проверке правильности этих теорий. Такой решающий эксперимент был произведен Фуко лишь в 1850 г — через полтора столетия после Ньютона, Гука и Гюйгенса. Фуко показал, что свет распространяется в воде медленнее, чем в воздухе. Таким образом, вопрос был решен не в пользу теории корпускул, но только не в пользу данной частной модели, т. е. корпускул, имеющих постоянную массу и движущихся в воде с возрастающими скоростью, количеством движения и энергией. Возьмем вместо этого корпускулы, которые имеют одну и ту же энергию в воздухе и в воде, но масса которые изменяется при их попадании в воду. Тогда мы сможем сформулировать теорию, которая предскажет закон Снеллиуса и согласно которой корпускулы будут двигаться в воде медленнее, чем в воздухе. В этом случае найти выход из положения было легко, хотя результат получался неправильный, однако почти всякая теория может пережить свое осуждение «решающим экспериментом», прибегнув к сложным усовершенствованиям или изменениям.

123.

Даже современные стеклянные цилиндры имеют слегка конусообразную форму, за исключением тех случаев, когда для их изготовления используется специальный дорогостоящий процесс; поэтому если эксперименты «по проверке закона Бойля» дают отклонение от закона pV = const, то это обычно объясняют несовершенством цилиндров, а не особым поведением воздуха. Если воздух заменить другим газом, скажем СО₂, или органическими парами, то появляется истинное отклонение от закона Бойля (см. гл. 30).

124.

Для проверки или установления закона более, удобны графики в форме прямой линии.

125.

Химики часто имеют дело о «молем», или «грамм-молекулой», газа. Моль любого газа занимает 22,4 л при атмосферном давлении и температуре тающего льда. При комнатной температуре (и 1 атм) моль занимает около 24 л. Здесь мы выбрали 1000 молей, т. е. «киломоль», или «килограмм-молекула», которые занимают 24 000 л, или 24 м³, при комнатной температуре (примерно 20 °C).

126.

Здесь t — время, в течение которого должна действовать средняя сила, чтобы создать нужное изменение импульса. Следовательно, t — как раз те t сек, за которые произошло вычисленное изменение импульса.

127.

Потому что.

V^¯2 = Сумма всех v²/Число всех v^2.

= (v₁² + v₂² +… v_N²)/N.

Т. е.

(v₁² + v₂² +… v_N²) = N∙(v^¯2)

V^¯2 — это среднее значение квадрата скорости. Для получения этой величины нужно взять скорость каждой молекулы в данный момент, возвести ее в квадрат, сложить все квадраты и разделить на число молекул. Или же выбрать одну молекулу и усреднить ее квадрат скорости, скажем, по миллиону соударений.

128.

На самом деле при сжатии газ разогревается, однако мы полагаем, что, когда газ охладится до первоначальной температуры, молекулы вернутся к той же средней скорости, что и до сжатия, хотя им стало гораздо теснее.

129.

Они могут еще участвовать и в общем движении вследствие конвекции, но это движение легко отличить. Находясь в фокусе, эти кусочки белого пепла выглядят как маленькие, порой удлиненные клочки, когда же в результате конвекции или пляски они выходят из фокуса микроскопа, то превращаются в пушистые круглые шарики, похожие на отдаленные уличные фонари в кино, снятые не в фокусе.

130.

1 ангстрем (1 А°) равен 10^-10 м,

131.

Мелкие препятствия создают небольшую рябь, но она ничего не говорит об их форме. Синеватый свет, рассеиваемый тонкой дымкой, указывает просто на присутствие очень мелких частиц и ничего не говорит об их форме — круглые они, заостренные или продолговатые. Голубой цвет неба — это солнечный свет, рассеянный молекулами воздуха.

132.

Ускоренные в электронном микроскопе электроны ведут себя так, как будто тоже имеют длину волны, но гораздо меньшую, нежели длина волны света. Так что они открывают новую возможность «увидеть» независимо от того, рассматриваете ли вы их как частицы, размеры которых гораздо меньше атомов, или как сверхкороткие волны. Возникла целая отрасль — электронная оптика — с ее линзами для электронных микроскопов и телевизионных трубок (представляющих собой своего рода «проекционный фонарь» для электронов).

133.

Поскольку кинетическая теория построена на втором законе Ньютона, то сила должна выражаться в абсолютных единицах, ньютонах, а давление — в ньютонах на квадратный метр.

134.

Жидкий бром вносится в пробирку в маленькой стеклянной капсуле с длинным носиком, который легко обламывается.

135.

Простейшим прототипом опыта Цартмана является схема, показанная на фиг. 202 гл. 8 (т. 1, стр. 322) для измерения скорости ружейной пули.

136.

Это действительно рискованно, так как мы не рассматривали механизма передачи звука. Здесь и в самом деле встречается одно неожиданное обстоятельство, которое у гелия будет иным, — это легкость нагревания газа при распространении в нем звуковых волн сжатия. Мгновенное повышение температуры заставляет звуковые волны распространяться еще быстрее. В гелии этот эффект более заметен, чем в воздухе, и приводит к скорости звука, на 8 % большей, чем при простом сравнении с воздухом. Однако кинетическая теория газов может предсказать это влияние удельной теплоемкости: гелий должен обладать меньшей теплоемкостью.

137.

Гл. 43 («Физика атомного ядра») входит в т. 3 настоящего издания.

138.

Некоторые учебники рассматривают работу как форму энергии и различают работу, произведенную над пружиной, и работу, произведенную самой пружиной. Однако, по-видимому, правильнее рассматривать работу, т. е. произведение (сила)∙(расстояние), как показатель того, сколько энергии перешло из одной формы в другую или с одного места на другое. Работа при этом может быть положительной и отрицательной. Она показывает потерю энергии одним агентом и приобретение ее другим. Здесь мы не приписываем работе знаков + или —. У нас она просто показывает потерю энергии одной частью и приобретение ее другой.

139.

Существует, однако, совершенно другой вид произведения силы на расстояние, когда сила и расстояние направлены под прямым углом друг к другу. Эта величина измеряет «момент силы», или «пару сил», т. е. вращающий момент относительно какой-то оси. Это понятие полезно при рассмотрении блоков и рычагов.

Момент силы (который иногда называют парой сил) можно создать, надавив на спицы колеса. Если же при этом колесо остается в покое, то никакой работы не производится. В системе МКС момент силы измеряется в единицах метр∙ньютон, а энергия в ньютон∙метр. В этом курсе, однако, мы не касаемся ни самого момента сил, ни применений этого понятия для описания рычагов и создания углового ускорения.

140.

Эти произведения являются «моментами сил» в кГм.

141.

Чтобы показать, что блок подобен равноплечему рычагу, представим себе, что его колесо сделано из дерева, а с обеих сторон висят одинаковые грузы (см. фиг. 30). Вобьем в точках А и В гвозди и прикрепим ими веревку к колесу. Отрежем теперь остаток колеса и веревки, останется обычный рычаг. Чтобы уравновесить его, грузы должны быть равны, так что мы были правы, подвесив первоначально на колесо одинаковые грузы Если вместо одного груза за конец веревки тянет человек, мы все равно имеем дело с равноплечим рычагом, но одно плечо теперь изогнуто. Во всех случаях натяжение веревки по обе стороны колеса одно и то же. (При наличии трения колесо сопротивляется вращению и натяжение веревки на одном конце будет немного меньше, чем на другом).

142.

Напомним, что натяжение веревки есть сила тяги на ее концах, причем на каждом из них она направлена к середине. Оказать давление с помощью веревки нельзя.

143.

Слово «трансформировать» используется здесь в том же смысле, что и в электротехнике. Трансформатор преобразует электроэнергию (с небольшими потерями), изменяя по нашему желанию напряжение. Однако он изменяет, кроме того, и ток, так что мощность остается прежней.

144.

Правила, предназначенные для зазубривания, опасны и создают у мыслящих людей неправильное представление о науке. Они предназначены для бездумных ответов на экзаменах и справочников, которыми пользуются посредственные специалисты. (Посредственные специалисты — это те, кто слепо верит формулам, полагая, например, что формула для распределения напряжений в деревянном брусе применима к любой конкретной балке. Впрочем, такой инженер может оказаться даже полезным и хорошим работником, но при условии, что сам сознает свою ограниченность. Первоклассный специалист стремится узнать, что происходит на самом деле и почему. Он интересуется и тем, откуда взялась данная формула. Это ученый в душе, но с практическим складом ума. Такие люди редки и обычно работают очень успешно.

145.

Гл. 7 («Сила и движение») входит в т. 1 настоящего издания.

146.

От греческого слова, означающего «движение»; аналогичное происхождение и у слова «кино».

147.

Мотор и генератор почти в состоянии поддерживать движение друг друга, если от них не требовать отдачи «вовне» (вечное движение). Мотор с помощью ремня крутит генератор, а тот снабжает током мотор с небольшой добавкой от батарей для компенсации потерь на трение и нагревание проводов. Такое устройство используется как экономичная схема при испытании машин.

148.

«Нельзя получить нечто из ничего». Это утверждение — не очень остроумная попытка оправдать нашу веру. Практически из ничего можно получить очень многое, если речь идет о счастье, безрассудстве — о чем угодно, за исключением некоторых точно определенных величин, наподобие импульса и энергии. На деле физики очень много занимались (и продолжают заниматься) выделением и определением тех величин, которые нельзя получить «из ничего». Так что утверждение «нельзя получить нечто из ничего» применимо к энергии, но не доказывает невозможности вечного двигателя. В науке следует избегать ссылки на это в сущности бессодержательное утверждение.

149.

Потенциальной называлась энергия, которая способна превращаться в движение, но остается скрытой. Кинетическая же энергия, очевидно, та, что «несется» вместе с движущимся телом.

150.

Энергия газа — это энергия молекулярного движения, и мы называем ее тепловой. Можно сказать, что «теплота есть движение молекул», но избегайте утверждать, что «теплота происходит из-за соударения молекул». Это совершенна неверно. При столкновении одна молекула может передать некоторую энергию другой. Но соударение молекул не может создать тепла и уж, конечно, не является теплом. Если бы движущиеся молекулы газа внезапно «съежились», столкновений стало бы меньше и при той же скорости молекул газ сохранил бы свою тепловую энергию. Ошибка, по-видимому, возникает из-за представления о молекулах как о шероховатых шариках, которые при столкновении трутся друг о друга. А они при соударении просто сближаются, отталкиваются и разлетаются в разные стороны. Молекулы вовсе не похожи на шероховатые шарики. Шероховатость — это беспорядочные скопления молекул, на поверхности тела. Реальное трение — просто сцепление молекул друг с другом. И хотя оно может превратить кинетическую энергию движущегося тела в тепловое движение отдельных молекул, оно не может создать какого-то нового вида энергии.

Если молекулы раза ударяются о движущийся поршень, они отскакивают от него с другой скоростью — с большей, если поршень приближается к ним. При соударении с поршнем «теплота» все же увеличивается, но это происходит за счет энергии поршня, а вовсе не за счет таинственного акта, называемого соударением.

151.

Гл. 1 («Земное тяготение») входит в т. 1 настоящего издания.

152.

В этой книге мы всюду будем пользоваться большой Калорией (Кал), или килокалорией (ккал), которая равна теплоте, необходимой для нагревания 1 кг воды на 1 °C. Она в 1000 раз больше малой калории (кал), которая также иногда употребляется. Избегайте этой ошибки в 1000 раз!

153.

Большая часть этого параграфа взята из прекрасной главы, посвященной биохимии в книге W. Dampier, Matter and Change, Cambridge, 1924.

154.

При всем своем волновом поведении они переносят энергию в виде компактных квантов, «частиц энергии» [см. гл. 44 («Современная физика»), входит в т. 3 настоящего издания].

155.

Гл. 33 («Электростатика») и гл. 37 («Магнитные силы») входят в т. 3 настоящего издания.

156.

Мы называем эту энергию ядерной, так как она, очевидно, локализована в сердцевине атома, в ядре. Однако бытует и старое название «атомная энергия»; существует, например, Комиссия по атомной энергии. С таким же правом и химическую энергию (которая высвобождается при изменениях внешней оболочки атома — его электронов) можно называть атомной. Двояким образом можно использовать и термин «молекулярная» энергия — для обозначения энергии молекулярного движения (теплоты) и для скрытой энергии плавления и испарения.

157.

Пожалуй, не совсем уместно проводить параллель между ядерными изменениями, которые высвобождают «ядерную» энергию, и химическими изменениями, высвобождающими «молекулярную» энергию. Обычные виды топлива и взрывчатые вещества, в которых происходят химические превращения, дают по сравнению с ядерным делением и синтезом ядер гораздо меньшее выделение энергии. Существенно отличен и механизм этого процесса. Однако иллюстрировать разницу между делением и синтезом можно, назвав взрыв тринитротолуола случаем химического деления, а взрыв смеси кислорода с водородом с образованием воды — химическим синтезом.

158.

Эти реакции синтеза, протекающие в условиях очень высоких температур (миллионы градусов), обычно называют термоядерными. — Прим. ред.

159.

Среди экспертов существует расхождение в подсчете мировых расходов энергии частично из-за отсутствия значительного количества информации, о которой приходится только догадываться, а частично из-за различных методов учета. Например, нужно ли учитывать в качестве топлива продукты животноводства или это двойной учет корма? Приведенные здесь соображения взяты из брошюр, изданных ЮНЕСКО, — «Энергия на службе человека» № 1 А. Эгертона и № 6 Ф. Симона (UNESCO, Pans, NS 74 и 79, 1951). Данные относится к 1937 г. С тех пор ежегодное мировое потребление нефти, газа, энергии воды более чем удвоилось.

160.

Как была пущена в ход вся эта гигантская машина — Вселенная? Будет ли она замедляться или через какие-то длинные промежутки времени происходит таинственный «подзавод»? Это не нарушило бы закона сохранения энергии, но нарушило бы закон возрастания энтропии, который, по-видимому, тоже справедлив. А может быть, происходит какой-то непрерывный процесс создания вещества, который пополняет запас доступной энергия? Впрочем, это скорее предмет философии, к тому же астрономия и ядерная физика смогут, по-видимому, в будущем прояснить некоторые из относящихся сюда вопросов.

161.

Предположим, имеется тепловая машина, которая отбирает тепловую энергию Н₁ из нагревателя и отдает тепловую энергию Н₂ охлажденному конденсору. При этом из нагревателя в машину поступает энтропия Н₁/T₁, а в конденсор уходит энтропия Н₂/T₂. В лучшем случае Н₁/T₁ — Н₂/T₂ = 0 или Н₁/T₁ =Н₂/T₂. Но тогда мы можем вычислить эффективность машины:

ЭФФЕКТИВНОСТЬ = ТЕПЛОТА, ПРЕВРАЩЕННАЯ В МЕХАНИЧЕСКУЮ ЭНЕРГИЮ Н₁ — Н₂ / ТЕПЛОТА, ВЗЯТАЯ ИЗ НАГРЕВАТЕЛЯ Н₁ =

= (Н₁ — Н₂)/Н₁ = 1 — (Н₂/Н₁) = 1 — (T₂/T₁)

Итак, если изменение энтропии равно нулю, то.

ЭФФЕКТИВНОСТЬ = (T₁ — T₂)/T_1.

Это для идеальной машины. В любой реальной машине энтропия с каждым циклом возрастает за счет того, что она отдает большую теплоту Н₂, поэтому эффективность ее должна быть меньше.

162.

Точнее, мы должны говорить, что запасом химической энергии обладают топливо + кислород. Реализуется же она в результате обмена электронами в процессе сгорания.

163.

«Есть только один атомный реактор необычайной мощности, но на безопасном расстоянии. Он доступен всем, и имя ему — Солнце!» Ф. Симон (UNESCO, Pans, NS 79, 1951).

164.

Такое усреднение, т. е. ¹/₂ (начальная сила + конечная сила), справедлива только для пружин, которые подчиняются закону Гука. Это можно проверить либо геометрическими рассуждениями, наподобие галилеева рассмотрения ускоренного движения, либо следующими расчетами. Закон Гука гласит: (напряжение F) = k∙(растяжение х). При растяжении от нуля до х₁ прирост потенциальной энергии пружины равен.

При растяжении от х₁ до х₂ прирост потенциальной энергии равен.

165.

Увеличение потенциальной энергии при подъеме от поверхности Земли с радиусом R до бесконечности равно.

166.

Имеется в виду средняя сила, создаваемая газами в стволе. Скорость сгорания пороха можно подобрать так, что эта сила будет почти постоянна.

167.

Более прямое вычисление см. ниже.

168.

Гл. 43 («Физика атомного ядра») и гл. 44 («Современная физика») входят в т. 3 настоящего издания.

169.

С = 3,0∙10⁸ м/сек. Чтобы получилось общепринятое выражение, заменим значок массы М на m.

170.

С другой стороны, даже едва уловимая разница масс знаменует возможность выделения огромного количества энергии. Так, атомы водорода и гелия имеют относительные массы 1,008 и 4,004. Если бы четыре ядра водорода смогли объединиться в одно ядро гелия, то масса 4,032 изменилась бы до 4,004. Разница невелика, всего 0,028, или 0,7 %. Но она означала бы гигантское выделение энергии (преимущественно в виде излучения); 4,032 кг водорода дали бы 0,028 кг излучения, которое имело бы энергию.

0,028∙(3∙10⁸)² дж, или около 600000 000000 Кал.

Сравните это с 140 000 Кал, выделяющимися при соединении того же количества водорода с кислородом в химическом взрыве.

171.

Когда свет падает на поверхность некоторых металлов, он выбивает электроны, вылетающие точно так же, как если бы их ударил компактный шарик. Энергия света, по всей видимости, распространяется концентрированными порциями, которые мы называем «квантами». В этом и заключается квантовый характер излучения, несмотря на то, что эти порции, по-видимому, создаются волнами. Каждая порция света с одной и той же длиной волны обладает одной и той же энергией, определенным «квантом» энергии. Такие порции мчатся со скоростью света (собственно, они-то и есть свет), перенося энергию и количество движения (импульс). Все это позволяет приписать излучению некую массу — каждой порции приписывается определенная масса.

172.

Это в точности выражение для давления газа, но с потерянной ¹/₃, так как весь пучок движется в одном направлении, а не случайным образом. Кроме того, появился множитель 2, так как мы учитывали энергию только падающего пучка, а не падающего и отраженного вместе.

173.

До создания теории относительности кинетическая энергия была равна ¹/₂ mv² для любых скоростей и отсюда вытекало, что для упругих шариков.

ДАВЛЕНИЕ = 2∙Nmc²/ОБЪЕМ = 4∙Е_кин/ОБЪЕМ,

Но эксперимент для пучка света давал.

ДАВЛЕНИЕ = 2∙(ЭНЕРГИЯ)/ОБЪЕМ.

Вот простое объяснение этого расхождения, которое предлагалось в то время. Хотя оно подверглось критике и сейчас вышло из моды, но вам оно может оказать помощь. Солнечный свет — отнюдь не поток шариков, летящих с некой кинетической энергией. Это поток волн, который подобно любым колебательным системам содержит в равных долях потенциальную и кинетическую энергии.

Как и в качающемся маятнике или колеблющемся атоме, энергия в волне должна перекачиваться то туда, то сюда — из кинетической энергии в потенциальную и обратно. Алгебраическое усреднение этих энергий показывает, что их средние значения должны быть одинаковыми. Для электромагнитных волн потенциальную энергию можно ассоциировать с электрическим полем, а кинетическую — с магнитным. Следовательно, массой излучения М нужно наделять как «кинетическую» энергию ¹/₂ Мс², так и «потенциальную» ¹/₂ Мс², получая в итоге полную энергию Мс². Наше предсказание тогда выглядит так:

ДАВЛЕНИЕ = 2∙Nmc²/ОБЪЕМ = 2∙Mc²/ОБЪЕМ = 2∙(ЭНЕРГИЯ)/ОБЪЕМ.

Что согласуется с экспериментом. Это была попытка доказать, что свет представляет собой волны с потенциальной и кинетической энергиями, а не «частицы». Теперь же мы нашли лучший выход.

174.

При высоких скоростях за счет дополнительной массы тело приобретает дополнительную кинетическую энергию. Следовательно, появляется еще большая масса, которая делает кинетическую энергию немного больше. Эта «последовательность» сходится к определенной массе. Но, как только v приближается к с, истинная формула дает для любого кусочка вещества бесконечную массу (и бесконечную энергию).

175.

La Science et l'Hypothese, Paris, 1902, ch. 10 (есть русский перевод: Наука и гипотеза, Петербург, 1906).

176.

Когда механизм равномерно вращается или постоянно движется, его кинетическая энергия одна и та же, никакого увеличения и уменьшения не происходит, следовательно, она не входит в баланс превращения энергии, о котором спрашивается в задачах.

177.

См. примечание на стр. 397.

178.

К несчастью, ученые придали общепринятому в разговорном и литературном языке слову «тепло» совсем другой смысл. Мы говорим «теплая вода», читаем о «теплом дне». Во всех этих случаях ученые сказали бы «температура». Они сохранили слово «теплота» для того таинственного, что выделяется топливом и заставляет повышаться температуру предметов. Этой разницей ученые и литераторы запутывают людей Но литераторы здесь ни при чем. Нам самим следовало бы учесть разговорную практику и называть «теплом» то, что измеряет термометр, а для того, что нагревает предметы и, как выяснилось, является формой энергии, найти какое-то другое слово, хотя бы старое название «теплород». Однако мы уже не в силах изменить научный язык и должны мириться с укоренившимся разнобоем. Когда вы имеете дело с научными вопросами, лучшее, что можно сделать, это прибегать к словам «температура» и «теплота» в научном смысле.

179.

Так получается шкала Цельсия. (О шкале Фаренгейта см. примечание дальше). Полезно различать 1° Ц (или 1 °C) и 1 по шкале Цельсия. Первое — это температура на один градус выше точки таяния льда, второе же — повышение температуры на один градус в любом месте шкалы.

180.

Можно использовать небольшой ковшик объемом около 1 см³; этим ковшиком легко зачерпывать денатурированный спирт и выливать его в чашечку из алюминиевой фольги. Такое количество спирта сгорает менее чем за минуту и сообщает сосуду несколько калорий. Можно также воспользоваться бунзеновской горелкой, подставляя ее на определенное время под сосуд, можно на минуту опускать в воду (лучше дистиллированную!) электрокипятильник. Но использование часов может сбить вас, так как время на самом деле в определение теплоты не входит.

181.

До последнего времени всюду, кроме характеристики теплотворной способности питания, использовались малые калории. Мы в соответствии с общепринятой единицей массы, килограммом, пользуемся килокалорией, обозначая ее Калория, или сокращенно Кал. Когда говорят, что дневной рацион человека составляет 3000 Кал, это означает 3000 килокалорий.

182.

Измерению удельной теплоемкости часто отводится большое место в школьных лабораторных работах. При этом поощряются неточные измерения с погружением кусков горячего металла в холодную жидкость, от чего отказались уже более полувека назад.

183.

Сосуд с толстыми стенками забирает слишком много теплоты. Еще лучше взять тонкий полиэтиленовый мешок.

184.

Вместо спирта можно воспользоваться пламенем небольшой бунзеновской горелки. В этом случае в качестве одной «порции» тепла можно принять нагревание в течение ¹/₄ мин. Во время перемешивания и измерения температуры пламя следует убирать. Необходимо поддерживать постоянное горение, так как пламя легко сбить или упустить время. Проводить опыт гораздо легче, если каждые полминуты вам будут подавать сигналы.

185.

При ответах на вопрос. «Сколько теплоты..?» формулируйте его так:

Необходимая теплота = (15 кг)∙(35° — 5°) = (15)∙(30) = 450 Кал,

А не так:

Необходимое число Калорий ~ 450.

Вы работаете с теплотой, и это нужно отметить с самого начала; Калории — только единицы теплоты, и они должны стоять в конце. Ведь вы не говорите вместо «мой рост 1,75 м» — «мой метраж = 1,75» или «мои метры = 1,75». Ставить единицы впереди — неграмотно, избегайте этого. Существуют, правда, некоторые исключения, пришедшие из профессионального жаргона, такие, как «вольтаж», «тоннаж», «метраж», но уж не «Калораж»!

186.

При этом получается так называемая шкала Цельсия, которая сейчас широко используется. В США, Англии и некоторых других странах применяется шкала Фаренгейта, на которой точки таяния льда и кипения воды помечаются цифрами 32 и 212. Первоначально шкала Фаренгейта строилась на двух других точках. В качестве нуля бралась температура замораживающей смеси, а числу 96 (число, распадающееся на большое число сомножителей и поэтому удобное в обращении) сопоставлялась нормальная температура человеческого тела. После модификации, когда стандартным точкам были сопоставлены целые числа, температура тела оказалась между 98 и 99. Комнатная температура 68° F соответствует 20 °C. Несмотря на то что переход от одной шкалы к другой меняет числовое значение единицы температуры, он не затрагивает самой концепции температуры. Последнее международное соглашение ввело еще одно изменение: вместо стандартных точек таяния льда и кипения воды, определяющих шкалу, приняты «абсолютный нуль» и «тройная точка» для воды (см. гл. 30). Хотя это изменение в определении температуры — фундаментально, в обычную научную работу оно практически не вносит никакой разницы. Для тройной точки число выбрано так, что новая шкала очень хорошо согласуется со старой.

187.

Это рассуждение несколько наивно. Стекло ведь тоже расширяется. Действует ли расширение стекла на высоту столбика ртути? Что по этой причине, кроме простого расширения ртути, показывает термометр? Допустим, что два термометра содержат чистую ртуть, но шарики их сделаны из различных сортов стекла с разным расширением. Повлияет ли это на результат?

188.

Нелепость описанного способа измерения расширения ртути можно проиллюстрировать анекдотом об Абракадабре. Капитан одного корабля обнаружил, что его навигационный хронометр остановился. Тогда это была беда, ибо не существовало еще радиосигналов времени. Чтобы поставить свой хронометр точно по местному времени, пришлось зайти в порт Абракадабра. Капитан хотел узнать точное время, но в порту ему сказали: «Спросите у часовщика, что на окраине города. У него очень точные часы, он страшно гордится ими». Капитан понес свой хронометр к часовщику, который заверил его: «Можете вполне положиться на мои часы. Они ходят удивительно точно». Капитан поставил свой хронометр по часам мастера и для гарантии спросил: «А почему вы знаете, что ваши часы так точны?». «Я проверяю их по полуденному выстрелу пушки в таможне, и они идут секунда в секунду. Если же они врут, я подвожу их». Капитан был вполне удовлетворен.

Он отправился со своим хронометром на корабль и собирался уж было отчаливать, но разговорился с таможенником и, чтобы еще раз увериться, спросил его о пушке.

— У вас, говорят, есть пушка, которая стреляет в полдень?

— Да, сэр, есть.

— А выстрел дается около полудня или точно в полдень?

— Точно в полдень, сэр.

— Точно?

— Да, сэр, без сомнения.

— А откуда вы знаете, когда наступает точно полдень?

— О, сэр, будьте уверены, у нас на окраине города живет часовщик. У него очень точные часы и…

Эта притча должна предостеречь вас от чего-то еще худшего, нежели порочный круг, — от порочной спирали. Вы можете счесть, что это предупреждение излишне, но с подобными заблуждениями вы столкнетесь не раз и даже В учебных курсах.

Рассуждения такого рода в нашей книге будут называться «абракадабрами». Да послужит это слово предупреждением. Если вам попадутся такие рассуждения, а их можно встретить почти в любом курсе, то вы имеете право процедить обидное «Абракадабра».

189.

Многие утверждают, что операционный подход душит полет фантазии. Считают, что этот подход сделал бы науку очень правильной, но очень однообразной и затруднил бы прогресс. Макс Борн в своей небольшой книге «Физический эксперимент и физическая теория» говорит: «Название "операционный метод определения" получил… общепринятый среди физиков подход. Он состоит в требовании, чтобы физические величины определялись не путем полного сведения к знакомым понятиям, а набором процедур, необходимых для получения и измерения этой величины. Это здравый подход — своего рода защита от пустословия и словесного фетишизма. Он очень полезен в классической физике, где имеют дело с непосредственно измеряемыми величинами…, однако операционное определение неуместно, если распространить представление о поле на атомные ядра и электроны. В квантовой теории он терпит неудачу».

190.

Например, в химии измерение объема газов — одно из наиболее простых, но важных измерений. Газ — податливая штука. Объем газа, образовавшегося в эксперименте, зависит не только от масс компонент реакции, но и от его давления и температуры. Чтобы вычислить массу газа (воспользовавшись стандартной плотностью) или чтобы сравнить объемы газов, полученных в разных экспериментах, следует сначала Охладить газ (мысленно) до стандартной температуры 0 °C и найти объем, который он занял бы при этом, а затем по закону Бойля привести объем к стандартному давлению.

191.

В большинстве учебников приводится закон Гей-Люссака, который утверждает, что все газы расширяются одинаково и равномерно, а объем их пропорционален абсолютной температуре. Он собирает воедино все экспериментальные факты, которыми мы уже пользовались, а именно все газы приводят к одному и тому же абсолютному нулю —273 °C, если на графике зависимости объема газа от температуры продолжить прямую, проходящую через точки кипения воды и таяния льда до пересечения с осью температуры. Другими словами, при изменении температуры от одной данной точки до другой объем всех газов изменяется в одно и то же число раз. Но закон Гей-Люссака говорит еще, что расширение равномерно. Из наших рассуждений следует, что это имеет двоякий смысл:

1) Газы расширяются равномерно, если температуру измерять ртутным термометром. Это экспериментальный факт, связанный скорее с удачным выбором ртути.

2) Газы расширяются равномерно, если температуру измерять газовым термометром. Тогда это будет необходимым следствием определения газовой шкалы температур. Провозглашений его экспериментальным фактом есть абракадабра.

Закон Гей-Люссака должен включить либо первую, либо вторую точку зрения. Смешивать их непозволительно.

192.

Закон равномерного распределения энергии по степеням свободы (см. гл. 30) позволяет распространить это утверждение и на другие частицы: молекулы и атомы жидкостей и твердых тел. Однако при учете других движений, таких, как колебания (а для атомов в твердом теле это просто необходимо), возникают квантовые ограничения, которые сильно меняют всю картину.

193.

Мы знаем, что температура газового термометра — это мера Кинетической Энергии молекул, но это отнюдь не означает, что подобная температура — «истинная». Она появилась, когда мы выбрали газовую шкалу.

194.

Например, ртуть годится вполне, а вода нет, так как в интервале от 0 до 100 °C она сперва немного сжимается от 0 до 4 °C, а затем сильно расширяется. Водяной термометр давал бы «неоднозначные» показания».

195.

В последнее время были придуманы отрицательные абсолютные температуры. Для обычной термодинамики они остаются бессмыслицей, но приобретают реальной смысл в пограничной области, где электроника встречается с квантовой механикой.

196.

Поток горячего воздуха тоже «машина».

197.

Часто говорят, что мощность — это скорость потребления энергии или скорость снабжения энергией. Строго говоря, энергия никогда не исчезает и никогда не создается из ничего, а только переходит из одной формы в другую. Тем не менее, вспоминая об оплате счетов за электроэнергию, мы, естественно, думаем об одностороннем обмене и говорим о потреблении или о снабжении электроэнергией. Говорят также, что мощность — это «скорость, с которой совершается работа». В нашем курсе работа рассматривается не как форма энергии, а лишь как свидетельство ее превращения. С этой точки зрения слово «совершение», как и слово «потребление», не годится, правильнее было бы говорить «мощность — это скорость работы».

198.

Конечно, следовало бы единицу мощности назвать «уатт», а не «ватт», но традицию не изменишь. — Прим. перев.

199.

Мощность электрических машин обычно измеряется в ваттах, поэтому большинство считает, что вата — электрическая единица. Это не так. Ватт — единица мощности, применимая к любым машинам и любым превращениям энергии.

200.

Предположите, что справедливо правило:

ПОКАЗАНИЕ ВОЛЬТМЕТРА (в вольтах) ∙ ПОКАЗАНИЕ АМПЕРМЕТРА (в амперах).

Дает мощность (в ваттах).

Кажется странным, что мощность можно измерить только этими двумя приборами, без всяких часов. Ведь мощность — это скорость и для ее измерения нужны часы. Однако амперметр сам по себе есть измеритель скорости. В известном смысле в нем заключены часы, ибо он измеряет электрический ток в кулон/сек.

201.

Архимед считал, что он может получить правила рычагов из чистых рассуждений, на основе простых и очевидных аксиом. Но, будучи хорошим экспериментатором, он, несмотря на все теоретическое могущество, по-видимому, тщательно проверял свои правила. Как говорят, он с успехом использовал реальные рычаги и катапульты при защите Александрии.

202.

Если дано Солнце и две планеты, скажем Солнце, Земля, Луна, все становится намного труднее, ибо необходимо решить задачу о возмущении. И все же для решения знаменитой задачи «трех тел» первое, с чего следует начать, это с утверждения о сохранении энергии.

203.

Лукреций, О природе вещей, Изд-во АН СССР, 1946, стр. 79.

204.

Цитируется Ллойдом Тэйлором в книге «Physics, The Pioneer Science».

205.

Сохранились записи некоторых измерений Румфорда, выделившейся теплоты за 2 ¹/₂ часа сверления было достаточно для нагревания 12 кг воды от точки замерзания до кипения. Румфорд установил, что для вращения сверла достаточно одной лошади. Если из этих записей мы хотим определить энергию, соответствующую 1 Кал, то нужно сделать какое-то предположение о лошади. Воспользуемся оценками Уатта: 1 лошадь дает 75 кГм/сек, а за 2,5 часа — 75∙2,5∙60∙60 кГм = 700 000 кГм = 1 000 000 дж. Выделенное тепло нагревает 12 кГ воды на 100 °C, или составляет 1200 Кал, т. е. 1 Кал соответствует (7 000 000/1200) дж = 5500 дж.

206.

Невидимые жидкости всегда были модны в науке: теплород, электричество, эфир. Если вы отбрасываете идею таинственной жидкости как архаизм или шаманство, вспомните, что ей ведь приписывались только те свойства, которые соответствуют наблюдениям над природой и с которыми должен согласиться любой скептик. Считалось, что эти жидкости должны сохраняться так же, как сохраняются энергия и импульс. Ошибка поклонников теплорода заключалась в том, что они называли его «жидкостью» и приписывали этой жидкости свойства, которые явно не сохраняются; они «ставили не на ту лошадь», дав ей к тому же неудачное имя. Бенджамен Франклин и другие ученые прошлого «ставили» на сохранение другой жидкости, электрического заряда — одного из вероятнейших победителей в истории физики.

207.

Сейчас мы измеряем количество тепла в кг воды на градус Цельсия или Калориях, а потенциальную энергию — в абсолютных единицах (ньютон)∙ (метр), названных позднее в честь ученого — джоуль.

208.

Он учитывал даже звуковую энергию скрежета железных плиток. Для этого он нанял виолончелиста, который должен был состязаться в громкости со скрежетом плиток, а потом измерялась энергия, затрачиваемая смычком виолончели. В результате Джоуль получил 1 %-ную поправку.

209.

Трансжелдориздатг M., 1945.

210.

Мы считаем пока, что у молекул нет способа «избавиться» от энергии или хранить про запас дополнительную потенциальную энергию. Кинетическая энергия во время соударения на мгновение переходит в потенциальную, после чего она полностью высвобождается.

211.

При отклонении от среднего страховые компании с небольшим капиталом могут просто лопнуть (но им может и «повезти»), а для страховой компании с большим капиталом такие флуктуации благополучно усредняются. Так, от броуновского движения страдают носящиеся в воздухе бактерии, а воздушный шар испытывает лишь постоянное атмосферное давление.

212.

Легко сказать: «Одинаковые распределения можно получить из общих соображений». Но ведь те же обилие соображения дали бы одинаковые распределения и по импульсам, а это неверно. Нет, статистическое доказательство не так уж просто и очевидно.

213.

Гл. 11 («Интерлюдия. Приложение по арифметике») входит в т. 1 настоящего издания.

214.

Здесь и ниже автор говорит о «молекуле воздуха». На самом деле, конечно, таких молекул нет. Просто для грубых оценок различие масс и размеров молекул О₂ и N₂ несущественно. — Прим. ред.

215.

Это удельная теплоемкость «при постоянном объеме». Измерения «при постоянном давлении» включают некую работу над поршнем при расширении газа и здесь нежелательны. Величина теплоемкости при «постоянном объеме» составляет для гелия около ³/₈ теплоемкости «при постоянном давлении».

216.

Скорость молекулы v можно разложить на три составляющие v_x, v_y, v_z в направлениях х, у и z, а теорема Пифагора говорит нам, что сумма квадратов этих трех составляющих равна v². Следовательно, кинетическая энергия, отвечающая этим составляющие складывается в кинетическую энергию молекулы.

217.

Частота — это число полных циклов колебаний или вращений в секунду.

218.

Гл. 6 («Поверхностное натяжение: капля и молекулы») входит в т. 1 настоящего издания.

219.

Учитывая возможные сомнения в определении, и в измерениях, разумно, пожалуй, считать несколько числом. Например, «диаметр равен нескольким А».

220.

В последующих рассмотрениях мы будем считать молекулы воздуха или брома твердыми шариками определенного диаметра d, хотя «правдоподобнее» было бы представлять их продолговатыми и пушистыми. Мы сделаем еще допущение, что молекулы жидкости упакованы таким образом, что каждая занимает кубик объемом d³. Определяя случайные блуждания, мы считаем длину всех шагов, L, в среднем одинаковой, хотя и знаем, что пробег молекул от раза к разу сильно изменяется в окрестности среднего значения L. Окончательные значения представляют собой корень квадратный из средней квадратичной величины. Арифметическое среднее было бы приблизительно на 20 % меньше.

Оценивая «расстояние полупобурения» для брома, мы имеем дело со случайным блужданием в одном измерении вместо трех — только вверх. Более того, мы не знаем, какого типа среднее воспринимает наше зрение. Кроме того, точность в определении расстояния «полупобурения» будет невысока из-за того, что не учитывается разница размеров молекул брома и воздуха и в нашей упрощенной статистике отсутствуют точные множители, наподобие √π или √2.

Жидкий бром более чем в 8 раза плотнее жидкого воздуха, а молекулы брома в 5¹/₂ раз массивнее молекул воздуха. Отсюда ясно, что диаметр молекул брома в 1,2 раза больше молекул воздуха. Эффективный поперечник при соударении молекулы брома и воздуха будет тогда в 1,1 раза больше, чем для чистого воздуха, а площадь поперечного сечения — в (1,1)², или 1,2 раза. Но здесь мы тоже игнорируем разницу в 20 %.

221.

Зарисовка случайного блуждания из нескольких сот шагов приведена на фиг. 89 (стр.530). За выбранное нами время молекула брома претерпевает огромное число соударений (сотни миллиардов), а мы наблюдаем огромное множество таких молекул. Так что N (число соударений) невообразимо велико и усреднение происходит по огромному числу случайных блужданий.

222.

Доверяя Авогадро, мы из плотности и давления получаем, что молекула брома в 5,5 раза тяжелее молекулы воздуха; таким образом, мы приходим к химической формуле Вг₂ с «молекулярным весом» 160. А простая кинетическая теория утверждает, что средняя скорость молекул будет меньше √5,5 раз.

223.

22,4 мг при атмосферном давлении и 0 °C расширяются до 24 м³ при комнатной температуре.

224.

Киломоль в 1000 раз больше обычного химического моля, в котором имеют дело с граммами. Поэтому наше число Авогадро в 1000 раз больше числа молекул в моле.

225.

Гл. 35 («Химия и электролиз») входит в т. 3 настоящего издания.

226.

Гл. 43 («Физика атомного ядра») входит в т. 3 настоящего издания.

227.

Ей присвоено наименование постоянной Больцмана. — Прим. перев.

228.

Строго говоря, разность дает нам (10 000 Р — Р), или (9999 Р), но было бы слишком смело считать эту величину отличной от 10 000 Р.

229.

В задаче 14 гл. 25 (стр. 363) следовало предсказать влияние воображаемого увеличения размеров молекул. Это привело бы к укорочению длины свободного пробега и увеличению давления.

230.

A/V² — небольшая поправка, пропорциональная частоте соударений. Ми считаем, что непосредственно перед самым ударом о стенку взаимное притяжение может удержать медленные молекулы от удара. Оно заставляет их сталкиваться между собой или… как бы «поболтать по телефону». Число телефонных разговоров в городе пропорционально (плотности населения)². Точно также вероятность, а следовательно, и частота молекулярных соударений пропорциональна (плотности)², или (1/V²) Поэтому уменьшение измеряемого давления (вследствие взаимодействия) ~ 1/V². Таким образом, добавив к измеренному давлению Р величину a/V², мы получим эту формулу.

231.

При атмосферном давлении СО₂ не может существовать в виде жидкости. Если мы попытаемся охлаждением превратить его в жидкость, он станет твердым. Если из огнетушителя (давление около 60 атм) выпустить СО₂ в воздух, жидкость, забирая скрытое тепло, будет испаряться, превращая остальное содержимое в облако хлопьев «сухого льда».

232.

Эта «тройная» точка выбрана теперь в качестве «фиксированной» точки на шкале температур. Международное соглашение отвергло в качестве фиксированных точек температуру таяния льда и кипения воды и приняло эту точку и абсолютный нуль. Однако шкала обычных термометров осталась прежней.

233.

Наиболее простая схема сжижения для водорода и гелия — самых трудных с этой точки зрения газов — состоит в том, чтобы заставить газ толкать механический поршень, тем самым охлаждаясь.

234.

Словом «плазма» теперь обычно называют «ободранные» атомные ядра и электроны, т. е. вещество в «разодранном» виде, существующее в горячих звездах и термоядерных экспериментах.

235.

Гл. 32 («Электрические цепи») входит в т. 3 настоящего издания.

236.

Гл. 33 («Электростатика») входит в т. 3 настоящего издания.

237.

Гл. 1 («Земное тяготение») входит в т. 1 настоящего издания.

238.

Это простенький пример, выбранный из области хорошо знакомой вам физики; к сожалению, он настолько прост, что ответ уже был известен вам до того, как машина выдала его. Но есть много случаев, когда машина может выдать совершенно неожиданные утверждения и заставляет нас проверять их на опыте. Например, математическое исследование по волновой теории света говорит, что, когда диск отбрасывает в пучке света тень, в середине тени будет маленькое яркое пятнышко света (как если бы в каждой монете была дырочка).

239.

См. т. 1, стр. 75.

240.

Волновое уравнение приводится к характерному виду.

Оно описывает любую волну, распространяющуюся со скоростью с. (Если вы знакомы с дифференциальным исчислением, попросите кого-нибудь из физиков показать вам этот замечательный раздел математической физики.) Это уравнение связывает распространение в пространстве со скоростью изменения во времени. Для величины, убывающей обратно пропорционально квадрату расстояния, было бы нулем, а здесь оно равно величине, напоминающей ускорение. Для электромагнетизма величину d²V/dt² можно связать с излучением волн при ускорении электронов. О смысле = 0 см. гл. 33 («(«Электростатика. Электрические заряды и поля», входит в т. 3 настоящего издания). Оно эквивалентно соотношению I в таблице на стр. 589, т. е. закону обратных квадратов.

241.

Для дополнения уравнения IV вам потребуется ввести постоянную K_E, соответствующую К_H в уравнениях III. Знак минус в уравнении IV не необходим. Если уравнение IV дополнить, это несколько испортит симметрию, но этого требуют экспериментальные факты и сохранение энергии. Без этого не существовали бы радиоволны.

242.

В нашем курсе используются другие обозначения (см. гл. 33 и 37, т. 3). Силу между электрическими зарядами мы запишем в виде F =В∙(Q₁∙Q₂)/d². Сравнение с формулой Максвелла показывает, то наше В равно 1/K_E. Магнитную же силу между двумя отрезками проводов, по которым проходит ток, мы запишем в виде F = B'∙(C₁∙L₁)∙(C₂∙L₂)/d², а наше В' равно К_H. Предсказание Максвелла v = 1/√(K_E∙K_H) в. наших обозначениях выглядит так: v = √((1/B)∙B') = √(B'/B). Измерив В и В', можно предсказать скорость распространения электромагнитных волн. Арифметика здесь простая. Попытайтесь проделать вычисления и сравнить результат о измеренной скоростью света 3,0∙10⁸ м/сек. (В наших единицах B = 9,00∙10⁹, a B'=10^-7.)

243.

Гл. 37 («Магнитные силы») входит в т. 3 настоящего издания.

244.

Хотя при движении по орбите скорость Земли меняется, мы считаем ее постоянной на протяжении короткого времени эксперимента. На самом деле постоянство будет точным, так как любое изменение скорости Земли полностью компенсируется силой гравитационного притяжения Солнца, вызывающего эти изменения. На Земле в целом (например, в ее центре) мы не можем заметить никакого эффекта и видим разностный эффект в разных точках Земли, например приливы. Собственное вращение Земли приводит к заметным эффектам; маятник Фуко изменяет плоскость своего качания, а ускорение g на экваторе и полюсе оказывается разным и т. п. Однако там, где эти различия существенны, их можно учесть.

245.

Гл. 2 («Полет снарядов. Геометрическое сложение: векторы») входит в т. 1 настоящего издания.

246.

Первое утверждение проще, ибо оно принадлежит наблюдателю, который запустил ракету в момент t = 0 из состояния покоя.

247.

Например, он в момент t = 0 выпускает пулю, летящую со скоростью 1000 м/сек в направлении оси X. Тогда попадание пули в мишень, отстоящую в 3 м, можно записать как х = 3 м, у = 0, z = 0, t = 0,003 сек.

248.

Так древнегреческие философы называли универсальное вещество, которое, по их мнению, заполняет все пространство за пределами атмосферы.

249.

Эта аберрация в корне отличается от параллакса — кажущегося движения ближайших звезд на фоне удаленных. Аберрация тоже заставляет звезды двигаться, но она относится ко всем звездам и на порядок больше параллакса даже ближайших звезд. (Кроме того, аберрация звезды пропорциональна скорости Земли и отстает по фазе на три месяца от ее параллакса.).

250.

Это произошло задолго до успешных «земных» экспериментов (~1600): Галилей описал первую попытку определить время распространения вспышки сигнального фонаря между вершинами двух гор. Наблюдатель ε₁ посылал вспышку наблюдателю ε₂, который, увидев ее, немедленно посылал сигнал ε₁. Пока ε₂ не натренировался, они получали для света конечную скорость. Но по мере того как они совершенствовали свою технику, скорость вырастала все больше и больше, до,) «бесконечности» — скорость света слишком велика, чтобы можно было измерить ее таким способом.

(~ 1700): Ньютон знал только измерение света, проведенное Ремером по спутникам Юпитера.

(1849): Успешный опыт Физо, в котором свет отражался удаленным зеркалом, а вращающееся зубчатое колесо пересекало луч, создавая вспышки и пропуская их при возвращении в следующий промежуток между зубцами. Его результат подтверждал астрономические наблюдения. Как этот, так и все последующие «земные» методы основывались на прерывании светового луча и сходны с методом измерения скорости пули- или электронов.

Результат: скорость света равна 300 000 000 м/сек.

251.

Для этого требуются некоторые геометрические размышления (фиг. 148). Чтобы пролететь 40 м поперек клетки, птица должна пролететь 50 м по гипотенузе, но потом за это время ее снесет на 30 м. Простейший ответ 8 + 8 сек дает слишком мало.

252.

Если вы еще не убеждены и чувствуете, что путь в оба конца должен усредняться, проделайте мысленный эксперимент с ветром, который дует быстрее, скажем 6 м/сек. Тогда птица вообще не сможет лететь против ветра и время будет бесконечным.

253.

Последняя проверка (Таунс, 1958), проведенная с помощью микроволн в резонансной полости, дала нулевой результат, тогда как авторы могли заметить скорость, составлявшую ¹/₁₀₀₀ орбитальной скорости Земли.

254.

Ведь есть же случаи, где 2 + 2 не равно 4. При сложении двух векторов 2 + 2 дает что угодно между 0 и 4. Литр спирта и литр воды при смешивании дают меньше 2 литров. В изображенной на фиг. 151 электрической цепи все сопротивления R одинаковы, но эффект нагревания не складывается. Два тока, выделяющие по 2 дж/сек, складываются в один, выделяющий 8 дж/сек. Во все века, изучая природу, ученые занимались поисками и отбором тех величин, которые просто складываются наподобие массы жидкости (но не объема) и выделения током меди на электродах (но не нагревания).

Суть таких «исключений» в том, что все они относятся к случаю, когда при сложении происходит взаимодействие. Величины уже не являются чем-то независимым.

255.

Это одно из приложений великого «принципа соответствия» Бора: в любом предельном случае, где новые требования тривиальны (в нашем случае при малых скоростях), новая теория должна сводиться к старой.

256.

Эти преобразования могут показаться более разумными, если вы дите, что они представляют вращение пространственно-временных осей. См. стр. 636.

257.

Когда опыт привел нас к вере в правильность первого и второго законов Ньютона, то на самом деле просто нам здорово повезло в том смысле, что мы очутились в лаборатории, которая представляет собой практически инерциальную систему. Если бы мы экспериментировали на пляшущем на волнах корабле, то вряд ли могли бы сформулировать столь простые законы.

258.

Более подробно все это изложено во многих книгах. (Существует простое изложение теории относительности, например: А. Эйнштейн, Сущность теории относительности, ИЛ, 1955 и К. Дьюрелл, Азбука теории относительности, изд-во «Мир», изд. второе, 1970.— Прим. ред.)

259.

Допустим, что ε и ε' пролетают мимо друг друга со скоростью 165 000 км/сек. Тогда ε видит, что часы, которыми пользуется ε', идут медленнее и тикают через каждые 1,2 сек. Таким образом, он знает, что кубик наблюдателя ε' обладает скоростью 3 м/1,2 сек, или 2,5 м/сек. Его же кубик обладает импульсом 1 кг∙3 м/сек. Для сохранения импульса он должен считать, что другой кубик имел импульс 1,2 кг∙2,5 м/сек, так что масса другого кубика должна составлять 1,2 кг, т, е. возрасти на 20 %.

260.

Для летящего электрона или соседа, летящего с ним бок о бок, их массы — нормальные массы покоя, а вот у проносящегося мимо экспериментатора масса в 5 раз больше его массы покоя, к тому же он сплющен в 5 раз по сравнению со своей нормальной толщиной.

261.

Заметим, что это отклонение от одновременности не связано с упущением времени, необходимого световому сигналу, чтобы донести информацию до каждого из наблюдателей. Дело обстоит так, как будто каждый наблюдатель расположил вдоль своего вагона целый штат прекрасно натренированных помощников с часами, и эти помощники ведут наблюдения без запаздывания, а затем, собравшись, приносят свои записи наблюдателю, который сверяет их. Затем каждый из наблюдателей дает объяснение заявлению другого, что он видел, будто свет одновременно достиг концов его собственного вагона: «Что ни делает дурак, все он делает не так. Поставил в каждом конце вагона часы, которые показывают одно и то же время, когда на них падает свет. Это я тоже вижу. Но он ошибается, когда говорит, что его часы синхронизованы. Я вижу, что передние часы отстают от моих, стандартных, а задние часы — опережают. Я вижу, что до передней стены свету приходится идти дольше, мои часы, как и должно быть, показывают, что свет прибывает туда позднее. Но так как его часы несинхронизованы и идут медленнее моих, он не замечает опоздания. Ошибка в синхронизации часов как раз покрывает различие времен пролета из-за разных расстояний до концов его вагона». Как и в других подобных сравнениях, каждый наблюдатель обвиняет другого в тех ошибках, которые приписываются ему самому.

262.

Приведенные на фит. 169 причудливые рисунки крайне условны. В одномерном пространстве все события происходят на одной прямой линии, вдоль оси х. В лоренцевом мире считается, что относительная скорость ε и ε' очень высока. Искажение системы х', t' показывает точку зрения наблюдателя ε. Сам ε', разумеется, воспринимает свою систему как неискаженную, но зато ему кажется, что искажена система xt. Здесь невозможно показать эту важную симметрию, так что лоренцевы картинки должны восприниматься как иллюстрация. Буквальное толкование их может запутать читателя.

263.

Для вас это, вероятно, очевидно, ибо вы целиком полагаетесь на доказательство Евклида, на его авторитет. К тому же вы можете убедиться в правильности этого утверждения, взяв бумажный треугольник, оторвав углы и соединив их (фиг. 171). Допустим, однако, что мы живем на огромном шаре, не зная об этом. Маленькие треугольники, умещающиеся в классной комнате, дадут в сумме 180°. Но огромный треугольник будет иметь бóльшую сумму углов. Например, большой треугольник с вершиной в 90° на Северном полюсе будет иметь два прямых угла у основания на экваторе.

264.

См. задачи 28 и 29, гл. 7 (т. 1, стр. 299).

265.

Edmund Whittaker, From Euclid to Eddington, Cambridge, 1949.

266.

Свыше двухсот лет назад французский философ и математик Даламбер «формулировал общий принцип решения задач с учетом ускоренного движения, добавьте ко всем известным силам, действующим на ускоряющуюся массу m, дополнительную силу — ma, а затем рассматривайте равновесие массы m. Добавляя «даламберовы силы» для всех тел сложной системы, можно превратить динамическую задачу вычисления сил или движения в статическую задачу о равновесии сил. Этот прием часто применяется инженерами, однако такой профессиональный трюк может сбить с толку, так что при обучении мы избегаем его. Он входит в набор «лекарств от головной боли для инженеров», о которых упоминалось в гл. 21.

267.

Вот почему гравитационное притяжение Солнца «не создает» заметного поля силы тяжести, если мы движемся вместе с Землей по ее орбите вокруг Солнца. Заметный эффект возникает только при условии, что инертная и гравитационная массы для разных веществ не в точности пропорциональны. Малейшее различие упорно ищется, и если его обнаружат, это окажет огромнейшее влияние на нашу теорию.

268.

Edmund Whittaker, From Euclid to Eddington, Cambridge, 1949, p. 117.

Электричество и магнетизм. Атомы и ядра.

Часть IV. ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ.

Как хозяин в доме, вы должны знать об электричестве больше, нежели просто уметь сменить пробки. Необходимо понимать зависимость между током, напряжением и мощностью, преимущества и недостатки переменного тока. Первая глава этого тома рассказывает об электричестве в домашнем хозяйстве. Если вы интересуетесь атомной физикой, то должны иметь представление об электричестве и магнетизме, чтобы понять, как получают сведения об атомах. Последующие главы дадут вам такое представление. Если вы склонны к обобщениям и вас интересует построение теории, то обратитесь к главе о магнетизме, где вы найдете хороший пример развития теоретических идей. Стремясь усвоить знания, которые дает вам чтение этого тома, не упускайте из виду предостережений о пределах этих знаний. Настоящий ученый полностью сознает существование таких пределов. Он должен знать, «чего он не знает», ибо значительная часть труда ученого лежит на рубеже между известным и неизвестным. «Знание гордится тем, что так много узнало; Мудрость стыдится того, что не узнала больше». Уильям Купер (~1760 г.)

Глава 32. Электрические цепи. Лабораторные опыты.

…чтобы узнать вещь, нужно ее сделать; ибо хотя вы думаете, что знаете ее, в этом не может быть уверенности, пока вы не попытаетесь ее сделать. Софокл Эта глава посвящена лабораторным опытам. Прочтите их описание, не рассчитывая ни на какие лекции, и проделайте предложенные опыты. Если у вас ничего не получится, то посмотрите демонстрации этих опытов. Тогда, прочтя эту главу и опираясь на свои общие познания, вы сможете хорошо понять, что такое электрические цепи.

Первые сведения об электричестве, появившиеся много столетий тому назад, относились к электрическим «зарядам», полученным посредством трения. Электрические цепи, подводящие ток к осветительным лампочкам и электромоторам, появились лишь после изобретения батарей, которое датируется примерно 1800 годом. Потом развитие учения об электричестве пошло так быстро, что менее чем за столетие оно стало не просто частью физики, но легло в основу новой электрической цивилизации.

В этом курсе мы не будем следовать истории, а займемся изучением электричества посредством лабораторных опытов, которые проводятся с помощью современной аппаратуры. При этом будут использоваться общие сведения об электрических цепях, которые вы почерпнули, живя в мире автомобилей и электрического освещения.

Вот некоторые опытные факты об «электрических цепях», используемых для освещения домов, в системе электроосвещения автомобиля, в электрических звонках и т. д. Прежде всего необходим какой-то источник — батарея, генератор или провода, идущие от электростанции. Чтобы заставить лампочку гореть (или мотор вращаться), нужно протянуть от источника к лампочке и от лампочки обратно к источнику металлическую проволоку. Внутри лампочки находится тонкая металлическая нить накала; таким образом, на всем протяжении от источника к лампочке и обратно идет металлическая проволока того или иного рода. Если эту проволоку разорвать, лампочка погаснет.

Фиг. 1. Электрические цепи.

Выключатель — это просто приспособление, позволяющее производить такой разрыв. То же самое происходит, когда расплавляется проволочка в пробке. Эта непрерывная металлическая трасса для тока называется электрической цепью. Если исключить из цепи лампочку и составить цепь из длинного куска тонкой проволоки, то вся проволока нагреется; на всем ее протяжении происходит нечто такое, что приводит к нагреванию проволоки[1]. Если часть проволоки тонкая, а часть толстая, толстая проволока нагревается значительно меньше тонкой; лампочка в цепи, о которой шла речь вначале, представляет собой предельный случай цепи, состоящей из проволоки разной толщины. Если сократить длину проволоки, то она нагреется до более высокой температуры. Когда цепь состоит из очень короткого куска проволоки, проволока может нагреться до температуры, при которой она расплавится или вызовет воспламенение окружающих предметов. В этом случае говорят о «коротком замыкании», имея в виду любую электрическую цепь, настолько короткую, т. е. обладающую таким малым сопротивлением, что возникает опасность повреждения цепи.

Чтобы избежать опасностей, связанных с коротким замыканием, проволоку изолируют, защищают неметаллическим покрытием, например резиной, вощеной бумагой, тканью[2].

Задача 1. Короткое замыкание. Предположим, что провода, идущие от какого-либо источника к осветительной лампочке и обратно, как показано на фиг. 2, случайно касаются друг друга, и в точке X имеется хороший контакт между металлическими частями обоих проводов. А) Какие участки цепи должны нагреться больше всего? Б) Показанные на фигуре предохранители содержат проволочки из легкоплавкого металла. Если предохранители расплавятся, то какие: А или Б?

Фиг. 2. К задаче 1.

Рассматривая вновь цепь с лампочкой, мы обнаружим, что, если поместить лампочку в какую-нибудь другую точку цепи, она прежнему будет гореть. Если включить в цепь «последовательно» несколько лампочек, то все они будут гореть одинаково, но значительно менее ярко, чем одна лампочка. По-видимому, на всем протяжении цепи в ней что-то происходит: в цепи поддерживается некое состояние готовности заставить лампочку гореть. Специальные опыты с нитями накала электрических лампочек показывают, что лампочка светит просто в результате подвода тепла к нити: если бы мы смогли нагреть нить до такой же температуры при помощи бунзеновской горелки, она светилась бы так же ярко. Таким образом, рассматриваемое нами специфическое «электрическое свойство» цепи заключается, по-видимому, в том, что в любом месте цепи может выделяться тепло[3].

Фиг. 3. Все лампочки светят одинаково ярко.

Посмотрим, обладает ли цепь другими «электрическими свойствами». Не разрывая проволоки, сверните ее в спираль, как это сделали Эрстед и Ампер столетие тому назад. Вы увидите, что проволока, свернутая в спираль, намагничивает железный стержень: будучи введен внутрь спирали, стержень притягивает железные опилки. Если взять две такие спирали, каждая из которых включена в свою электрическую цепь, то можно намагнитить два стержня и наблюдать сильное взаимное притяжение или отталкивание между ними. Сами по себе спирали, без железных сердечников, лишь слабо притягивают или отталкивают друг друга.

Фиг. 4. Электромагнит.

Взаимное притяжение и отталкивание электромагнитов лежит в основе работы электрических двигателей, звонков, телефонов и некоторых типов измерителей тока (амперметров). Отметим опять-таки, что спираль может находиться в цепи в любом месте, лишь бы цепь оставалась замкнутой. Таким образом, цепь обладает еще одним «электрическим свойством»[4] — оно проявляется в магнитном действии цепи.

Обладает ли электрическая цепь еще каким-нибудь свойством?

Оказывается, да, но электрический эффект третьего вида, связанный с этим свойством, проявляется не столь заметно. Поэтому удивительно, что он был открыт одновременно с другими эффектами 150 лет тому назад, в бурный период великих открытий и изобретений в области электричества. Перережьте в каком-нибудь месте проволоку, из которой образована электрическая цепь, и погрузите оба конца проволоки в стакан с сырой водой[5]: вы заметите появление маленьких пузырьков газа. Добавьте к воде поваренной соли или уксуса, и вы сможете наблюдать значительно более ощутимый эффект: от одной или от обеих погруженных в раствор проволок поднимаются пузырьки газа, в растворе происходят химические превращения. Растворите в воде несколько кристаллов медного купороса и погрузите в голубой раствор концы медной проволоки: одна проволока будет становиться все тоньше и тоньше, а другая — покрываться все более толстым слоем меди. Происходит так называемое «электролитическое осаждение» меди. В этом случае мы говорим о «химическом эффекте».

Фиг. 5. Химическое действие электрического тока.

_{А — вода; б — раствор медного купороса.}

Электрический ток.

Все три эффекта могут наблюдаться в одной и той же цепи одновременно. Они имеют место даже внутри батареи или генератора, указывая на нечто, происходящее на всем протяжении цепи, на всех ее участках (фиг. 6). Эта особенность электрической цепи навела первых экспериментаторов на мысль о сходстве происходящего в цепи процесса с течением жидкости по замкнутому трубопроводу. Они представляли себе, что по цепи течет некая таинственная субстанция, электричество. Название, которое они присвоили этому течению, «электрический ток», оказалось исключительно удачным, и мы сохранили его. Если бы на самом деле в цепи ничего не протекало, то слово «ток», возможно, мешало бы ясному пониманию явлений. Теперь мы знаем, что ток действительно существует, — обычно это ток отрицательных электронов, — поэтому мы сохранили этот заимствованный из гидравлики термин для нашего лексикона. До сих пор мы не представили никаких доказательств реального существования такого тока и тем не менее стали пользоваться в нашем курсе этим термином, стремясь сразу же познакомить вас с представлением об электрическом токе.

Фиг. 6. В цепи можно наблюдать все три вида действий электрического тока.

В элементарных курсах электричества мы и сегодня уподобляем электрические цепи гидравлическим замкнутым системам из водопроводных труб, заполненных на всем протяжении водой, с насосами, кранами, расходомерами[6], манометрами…, которые мы ставим в соответствие генераторам, выключателям, амперметрам, вольтметрам… Как и во многих других случаях применения аналогий в обучении, эта аналогия позволяет начинающим легче понять явления, о которых идет речь. Поскольку трубы полны воды, очевидно, что расход воды (скажем, 10 л/мин) будет одинаков всюду в системе: расходомеры в А, Б, В и т. д. дадут одно и то же показание 10 л/мин[7]. Если труба разделена на несколько «параллельных» ветвей, то очевидно, что сумма расходов в отдельных ветвях равна расходу в магистрали (на фиг. 9 6 л/мин через ветвь X плюс 4 л/мин через ветвь Y дают в сумме расход 10 л/мин в магистрали). Для сложной системы, вроде той, что показана на фиг. 10, справедливо очевидное правило: для любой узловой точки, например точки А, суммарный расход во всех трубах, которые сходятся в этой точке, равен нулю (при этом расход жидкости, текущей в направлении точки А, учитывается со знаком плюс, а от точки А — со знаком минус). Однако утверждение, что электрическая цепь «в точности подобна» замкнутому контуру из труб, по которому течет вода, не есть доказательство верности такой аналогии. Понятие «электрический ток» носит ретроспективный характер, оно было введено после того, как мы опытным путем установили свойства электрической цепи, напоминающие свойства водяного контура. Вообще говоря, обращение к аналогиям — хороший педагогический прием, но злоупотреблять им, используя аналогию как доказательство, ученый не имеет права[8].

Получив представление об электрической цепи с помощью проведенной выше аналогии, вы должны по возможности самостоятельно, за своим лабораторным столом проделать необходимые работы, не ограничиваясь наблюдением демонстрационных опытов. Если вы работаете в лаборатории с партнерами, то каждый из вас должен сам начертить схему, прежде чем присоединять какие-нибудь приборы. Производить соединения по готовой схеме, водя по ней пальцем, — это работа для детей дошкольного возраста. С другой стороны, отбросить схему в сторону и составлять цепь «из головы» — не значит поступать подобно зрелому ученому: вы легкомысленно полагались бы на то, что вам повезет, а ученому чужд такой подход.

Фиг. 8. Аналогичные цепи.

Фиг. 9. Разветвленные цепи.

Фиг. 10. Раздолье для водопроводчика.

Как чертить схемы.

Физики и инженеры-электрики давно систематизировали изображение электрических схем. На фиг. 11 приведена сводка стандартных правил и символов, которыми мы будем пользоваться.

Фиг. 11. Стандартные обозначения элементов электрических цепей.

Все соединительные провода, толстые или тонкие, изображаются тонкими прямыми линиями, по возможности вертикальными и горизонтальными. Так, простые цепи чертятся в виде прямоугольников независимо от того, как они выглядят в реальном опыте. Разветвленную цепь тоже изображают с помощью горизонтальных и вертикальных линий, но можно пользоваться и наклонными[9].

Плюс и минус.

Некоторым электрическим явлениям присущи признаки определенного направления тока. Два полюса батареи неодинаковы. Поэтому, чтобы различать полюсы, их помечают красным и черным цветом или знаками «+» и «—» и называют положительным и отрицательным[10] зажимами. При изображении на схемах батарей, составленных из последовательно соединенных элементов, пользуются следующими общепринятыми обозначениями (знак «+» и «—» писать при этом не обязательно): отрицательный полюс изображают короткой вертикальной чертой (действительно напоминающей знак «—»), положительный полюс изображается длинным отрезком тонкой вертикальной линии (длина его достаточна, чтобы начертить знак «+»!).

При изображении на схемах батареи элементов, соединенных последовательно, т. е. «+» одного с «—» следующего, соединения между элементами опускают.

Фиг.15.

ОПЫТЫ С ЭЛЕКТРИЧЕСКИМИ ЦЕПЯМИ.

(Прежде чем приступить к выполнению опыта, начертите сами схему цепи.).

Опыт 1. Простая цепь. А) С помощью амперметра[11] «измерьте ток», протекающий через горящую маленькую лампочку. Для этого соедините проводами последовательно батарею, выключатель и амперметр, чтобы получилась замкнутая цепь. Б) Включите в цепь «переменное сопротивление» или «реостат»[12]и воспользуйтесь им для изменения тока через лампочку. В) Проверка плавких предохранителей. Имеется плавкий предохранитель с надписью «плавкая вставка 1 а»; проверьте утверждение фирмы-изготовителя, содержащееся в фирменной надписи. Опыт 2. Сопротивление. Насколько отличаются между собой значения тока, выходящего из сопротивления и входящего в него, т. е. насколько сопротивление уменьшает ток в различных частях цепи? В продолжение всего этого опыта значение переменного сопротивления должно оставаться постоянным. Включите амперметр (а) непосредственно до и (б) после переменного сопротивления и сравните его показания в обоих случаях.

Фиг. 18. Опыт 2.

Опыт 3. Ток через осветительные лампочки. Подключите к каждой из приведенных ниже цепей автомобильный аккумулятор без реостата, чтобы зажглись лампочки. Измерьте ток и обратите внимание на яркость свечения лампочек в каждом случае: А) одна автомобильная лампочка с выключателем; Б) две лампочки, соединенные последовательно, с выключателем; В) две лампочки, соединенные параллельно, с отдельным выключателем для каждой.

Фиг. 19. Опыт 3.

Опыт 4. Качественные опыты, демонстрирующие действия электрического тока. Проделайте некоторые из предлагаемых опытов, используя простую цепь, вроде цепи для проверки плавких предохранителей в опыте 1, в). Если у вас нет амперметра, то можно составить цепь и без него, но только нужно соблюдать осторожность, чтобы не пережечь реостат, поэтому необходимо включить в цепь подходящий предохранитель. 1. Тепловое действие тока. С ним вы уже встречались на примере ламп накаливания и плавких предохранителей. 2. Магнитное действие тока. Вставьте в цепь длинный кусок гибкой изолированной проволоки и пропустите через нее большой ток. Обмотайте проволоку вокруг железного стержня (например, большого гвоздя), чтобы получилась катушка с железным сердечником. Поднесите к катушке, когда по ней проходит большой ток, немного мелких железных опилок. Попробуйте включать и выключать ток. (Если пропускать через катушку очень большой ток, то эффект будет более ярко выражен, но тогда вам придется включать ток всего на несколько секунд, чтобы избежать повреждения проводов.) Проделайте опыт с катушкой без железного сердечника и с проволокой, не свернутой в спираль. При изображении схем этих опытов используйте стандартные обозначения электромагнитов с сердечником и без него.

Фиг. 20. Опыт 4 (2).

3. Химическое действие тока. Разорвите цепь и включите в рассечку две проволоки, погруженные в сосуд с водой. Проделайте опыт с дистиллированной водой, с водой, к которой добавлена серная кислота, с раствором медного купороса и понаблюдайте за действием тока во всех этих случаях. Медная проволока может участвовать во вторичных химических превращениях, поэтому опыты следует повторить, погружая в раствор стержни из химически инертного графита, например грифели от карандаша.

Фиг. 21. Опыт 4 (3).

ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ОПЫТ. АМПЕРМЕТРЫ И РАЗВЕТВЛЕННЫЕ ЦЕПИ. Составьте какую-нибудь сложную цепь, вроде показанной на фиг. 22. Снимите показания амперметров и сделайте выводы, которые вы считаете обоснованными.

Фиг. 22.

Задача 2. Амперметры. В схеме, изображенной на фиг. 23, один амперметр показывает значительно больший ток, чем другой. А) Предложите объяснение этому обстоятельству. Б) Как вы стали бы проверять свое объяснение экспериментально?

Фиг. 23. К задаче 2.

Задача 3. Электроснабжение. На фиг. 24 показана электростанция, снабжающая энергией две деревни. Ток поступает по толстым медным проводам, сопротивление которых пренебрежимо мало. Из очевидных соображений удобства включения и выключения ламп, а также из важных соображений, связанных с током и сопротивлением, лампы накаливания включены в каждой деревне «в параллель». Как изменится показание амперметра, включенного в цепь на станции. А) если 100 ламп, отстоящих на 1 км, будут выключены и в тот же момент включат 100 ламп, отстоящих от станции на 2 км? Б) если общее количество зажженных ламп удвоить?

Фиг. 24. К задаче 3.

Обратите внимание на то, что вы пользовались амперметром, не имея никаких сведений о его устройстве и принципе действия. Но это ничуть не хуже, чем пользоваться секундомером, не открывая его. Узнав, как амперметры ведут себя в реальных опытах, вы можете в зависимости от их поведения оценивать их качество и соответственно пользоваться ими. Говоря, что амперметры измеряют ток, мы просто продолжаем проводить эту убедительную аналогию.

Измерение тока.

Предположим, что мы укорачиваем цепь и «увеличиваем ток», что обнаруживается по более яркому свечению ламп, включенных в цепь. Опыты, подобные опыту 4, показывают, что при усилении теплового действия тока усиливаются и магнитное и химическое действия: электромагниты, включенные в цепь, притягивают сильнее, а в ваннах с растворами ускоряются химические превращения. Перечисленные действия электрического тока — это все, что мы о нем знаем… Поэтому было бы более реалистичным говорить, что сами эти эффекты представляют собой электрический ток, чем называть их следствием течения какой-то таинственной субстанции. И какую бы точку зрения ни принимать, если мы хотим придумать способ измерения тока, нам придется воспользоваться одним или несколькими действиями тока. Мы характеризуем ТОК всеми его действиями и выбираем одно из них для измерения величины тока. Аналогично мы поступили с температурой — ввели понятие новой величины и определили способ ее измерения путем выбора измеряемого эффекта (например, расширение тел) и измерительного прибора (например, ртутный термометр). В этом курсе мы будем измерять токи по их химическим действиям. Сделав такой выбор, воспользуемся электролитической ванной для осаждения меди и будем взвешивать медь, выделяющуюся на приемной пластине.

Фиг. 25. Химические действия тока складываются.

В качестве меры электрического ТОКА возьмем СКОРОСТЬ ВЫДЕЛЕНИЯ МЕДИ в электролитической ванне. Выбранная величина определяет то, что мы понимаем под электрическим током. Она выражает опытное утверждение, которое говорит лишь о следующем:

1. Опыт показывает, что, когда мы изменяем цепь с целью увеличить ток (о чем судят по тепловому и магнитному эффектам), химическое действие тока тоже усиливается (ускоряется).

2. При разветвлении цепи сумма скоростей выделения меди в ветвях равна скорости выделения меди в магистрали. Это убеждает нас в разумности сделанного выбора. В то же время, поскольку представление об электрическом токе, подобно представлению о температуре, является искусственным, мы можем выбрать определение по своему усмотрению (если только мы не пользуемся несколькими противоречащими друг другу определениями). Выбранная нами единица измерения тока соответствует раннему этапу развития учения об электричестве, отсюда ее несколько странная размерность. Она определяется так:

1 ампер — это величина такого тока, при прохождении которого через электролитическую ванну происходит выделение меди со скоростью 0,000 000 329 кг меди в секунду.

Вообще мы определим способ измерения тока следующим образом:

Ток измеряется скоростью переноса меди в электролитической ванне с раствором медного купороса[13].

Тогда.

- при силе тока 1 а выделяется 0,000 000 329 кг меди в секунду,

- при силе тока 2 а выделяется 0,000 000 658 кг меди в секунду,

- при силе тока 20 а выделяется 0,000 006 580 кг меди в секунду,

- при силе тока 1 а выделяется (I)∙ (0, 000 000 329) кг меди в секунду.

Этим определяется наша единица силы тока 1 а (сокращение от 1 ампер) и общий способ измерения; этим же соотношением определяется сила тока[14] как некая величина, пропорциональная скорости выделения меди при электролитическом осаждении.

Задача 4. Калибровка амперметра. А) Предположим, что в цепи течет неизвестный по величине ток. Разорвем цепь и включим в разрыв электролитическую ванну для осаждения меди. Допустим, мы установили, что га 1000 сек (примерно ¹/₄ часа) выделилось 0,00658 кг меди. Какова величина тока? Б) Каким образом вы могли бы убедиться (не вступая в противоречие с логикой), что ток после включения в цепь электролитической ванны остался тем же, что и раньше? В) Небольшой химический завод производит 12 000 т электролитической меди в год. Если завод работает круглосуточно, то какой величины ток он потребляет? (Произведите приближенную оценку, приняв 1 т = 900 кг.).

Количество электричества. Электрический заряд.

Субстанцию, которая течет по цепи, называют «электричеством»; это название существует уже 300 лет. Вместо туманного слова «электричество» мы говорим теперь о количестве электричества, о заряде электричества, об электрическом заряде или просто о заряде. Таким образом, теперь мы говорим о токе как о потоке зарядов. Обсуждая здесь эту тему, мы не объясняем, что такое заряд, а говорим лишь, что заряд есть нечто такое, что течет, когда появляется ток. Можно представлять себе заряд как огромный сгусток электронов. Позже мы встретимся с зарядами в опытах, посредством которых впервые изучались заряды, — в опытах с покоящимся электричеством. Единица измерения заряда («порция электричества») получила название кулона[15]. Один кулон дает силу тока 1 а за 1 сек. Ампер — это то же самое, что кулон/сек.

СИЛА ТОКА в амперах = ЗАРЯД в кулонах / ВРЕМЯ в секундах.

При силе тока 1 а мы говорим, что через поперечное сечение проводника в каждой точке цепи проходит один кулон за каждую секунду. Поставим в каком-либо месте цепи в качестве наблюдателя гнома и поручим ему считать проходящие мимо него кулоны. При силе тока 1 а он будет отсчитывать 1 кулон каждую секунду, 60 кулон в минуту, 3600 кулон в час. При силе тока 2 а он отметит 2 кулон в секунду и т. д. Поскольку ток в цепи всюду один и тот же, наш наблюдатель отметит в любой части цепи одну и ту же скорость прохождения кулонов. С течением времени любой выделенный кулон (предположим, нам удалось бы его пометить) сделает полный круг по цепи и начнет движение снова[16].

Таким образом, кулон — это порция электричества. Если через лампочку течет ток, то мы представляем себе, что по нити накала проходят кулоны бесконечной вереницей. Но, говоря все это, мы не объясняем электричества. Знаем ли мы электричество так же, как знаем, что такое длина, что такое справедливость или десятицентовая монета? Если мы пытаемся узнать, «что это на самом деле такое», понять изначальную природу электричества (что бы это ни значило), то мы снова возвращаемся в круг старых, как мир, проблем философии, и как ученые мы никогда этого не узнаем. С другой стороны, нам известно об электричестве, токах и электронах очень много: мы знаем о них по тому, что они делают. В этом смысле мы хорошо понимаем, что они собой представляют, и рассчитываем узнать еще больше.

Поток зарядов.

Итак, следуя первоначальным представлениям и современным знаниям об электронах, мы говорим, что при силе тока 5 а через сечение проводника в каждой точке цепи проходит 5 кулон электрического заряда в секунду. Расходомеры, установленные в различных точках замкнутого водяного контура, будут показывать одно и то же значение, если не происходит изменения сечения трубопровода и отсутствует утечка. Если наблюдатель зафиксировал в каком-либо месте расход 5 л/сек, то такое же значение отметит другой наблюдатель в любом другом месте. Мы представляем себе, что через сечение трубопровода проносится 5 л воды в секунду. (Действительная скорость самой воды зависит, кроме того, от ширины трубы, и в отношении электрического тока справедливы такие же соображения.) При силе тока 5 а, согласно нашим представлениям, мимо любого наблюдателя проносится 5 кулон в секунду. Ток силой I а означает, что через каждое сечение проводника в любой точке цепи проходит I кулонов в секунду.

В соответствии со сказанным мы определяем один кулон как такой заряд, который выделяет 0,000 000 329 кг меди или переносит эту массу через электролитическую ванну. (Такую ванну называют, довольно неудачно, медным вольтаметром; это название не следует путать с вольтметром.) Заметьте, сколько внимания приходится в новой, непривычной для нас области науки уделять формулированию ясных, непротиворечивых определений, или хотя бы описательных определений и честно признаваться в своем невежестве, и в то же время с какой легкостью мы пользуемся знаниями, основанными на соображениях здравого смысла, занимаясь, скажем, измерениями давления.

Мы до сих пор не объясняли, что представляет собой кулон, а просто определили кулон как нечто такое, что…

Задача 5. Продолжите начатую выше фразу.

Электроны.

Другие, исторически более ранние опыты дают основание считать кулоны «зарядами» электричества, подобными зарядам, которые мы собираем, проведя авторучкой по рукаву, при трении подошв обуви о пол или при запуске воздушного змея в грозу. Более поздние опыты указывают на существование крошечных частиц, несущих каждая отрицательный заряд 1,6∙10^-19 кулон, отрицательных электронов, которые играют роль универсальных строительных кирпичиков в атомах и носителей тока в металлах. Тогда мы можем сказать, сильно упрощая существо дела, что «кулон — это сгусток электронов, содержащий огромное количество этих мельчайших электрических зарядов». Многим это кажется удобным объяснением, и никакого особого вреда такое представление о кулонах не приносит. В проводе движущийся кулон, действительно, представляет собой целую армию движущихся электронов, которая насчитывает примерно 6 000 000 000 000 000 000 электронов. Рисуя грубую картину, — в известной степени опасную, ибо она содержит вполне определенные детали, которые мы не можем наблюдать экспериментально, — мы представляем себе, что часть электронов свободно передвигается в проволоке подобно молекулам газов[17].

Эти электроны изредка сталкиваются с массивными атомами металла (атомы закреплены в кристаллической решетке, но колеблются, обладая некоторой тепловой энергией). Когда по проволоке течет ток, «свободные» электроны движутся вдоль нее, увлекаемые электрическим полем. Они приобретают небольшую добавочную кинетическую энергию, но теряют снова в среднем столько же энергии при столкновениях с атомами металла. Таким образом, мы представляем себе, что электроны перемещаются по проволоке, сталкиваясь время от времени с препятствиями. Движение электронов можно уподобить тому, как мальчишки ватагой сбегают вниз по лесистому склону холма, набирая кинетическую энергию и теряя ее, когда они из озорства налетают на деревья. Не удивительно, что колебания атомов металла усиливаются, свидетельствуя об увеличении тепловой энергии.

Опыт 5. Проверка амперметра. Приняв определение единицы силы тока, основанное на скорости выделения меди при электроосаждении, проверьте шкалу вашего амперметра. Это можно проделать путем следующего демонстрационного опыта, чтобы избежать трудностей взвешивания малых количеств выделившейся меди. Через цепь, состоящую из большой электролитической ванны и амперметра, пропустите максимально возможный для амперметра ток. Ток должен входить в электролитическую ванну через провод, идущий к центру ванны; вторым электродом должен служить большой лист меди. Промойте, высушите и взвесьте медный лист до и после пропускания тока. Ток следует пропускать в течение определенного промежутка времени, скажем 1000 сек. Запишите результаты взвешиваний и показания амперметра. Вычислите ток, оцените абсолютную и относительную (в процентах) ошибки прибора[18]. Задача 6. Сравнение амперметров. А) Предположим, что несколько студентов хотят прокалибровать имеющиеся в их распоряжении амперметры. Есть ли необходимость проделывать опыт с электролитической ванной несколько раз? Дайте обоснование вашему ответу, Б) Предположим, некоторые из студентов не участвуют в опыте, но впоследствии хотят произвести калибровку своих амперметров. Каким образом они могут наверняка обойтись без повторения опыта с электролитическим осаждением меди? В) Какие предположения лежат в основе способа, указанного вами в качестве решения задачи б)? Г) Если используется слишком маленькая медная пластинка, то, хотя электрохимические эффекты остаются теми же самыми, новая медь собирается на пластинке настолько быстро, что образуются веточки меди, и некоторые из них отваливаются. Как это повлияет на вывод о точности амперметра? Д) Хороший способ быстро просушить медную пластинку состоит в следующем. Пластинку промывают сначала в водопроводной, потом в дистиллированной воде, затем промывают ее в спирте и поджигают остатки спирта на пластинке. Даже при этой обработке медь тускнеет, соединяясь с кислородом, и пластинка становится тяжелее. Как это увеличение веса пластинки скажется на выводе о точности амперметра? Е) Почему перед первым взвешиванием пластинку также следует промыть и высушить? Ж) Обычно составляют цепь и пропускают в течение короткого времени ток перед первым взвешиванием пластинки. После этого пластинку вынимают, промывают, высушивают и взвешивают. Укажите два преимущества этой методики. З) Сама по себе проверка амперметра с помощью электролитического осаждения меди — скучное занятие, которое носит характер формального эксперимента. Какой тогда смысл проделывать такую проверку в этом курсе? Практически было бы слишком нудным делом производить подобную калибровку амперметра во многих точках его шкалы. Чтобы уяснить метод калибровки, достаточно проделать ее в одной точке. В случае необходимости можно воспользоваться стандартными градуированными амперметрами и сравнить с ними свои приборы.

Что такое вольтметры?

Инженерам для наблюдения за передачей и распределением электроэнергии и физикам, занимающимся электрическими измерениями, нужны не только амперметры, но и вольтметры. Что же такое вольтметры?

Уподобляя электрическую цепь замкнутому водяному контуру, мы приходили к выводу, что вольтметр соответствует манометру. Вскоре вы сами в этом убедитесь, используя вольтметры для измерений энергии, отдаваемой зарядами на различных участках цепи. Эта область применения вольтметра, где они попредставление о нем как об электрическом манометре.

На фиг. 26, а и б показаны электрическая цепь и аналогичный ей водяной контур. Батарея В соответствует насосу В', выключатель S — крану S'. Амперметр А соответствует расходомеру А'. Сопротивление R соответствует узкой трубке R', внутри которой имеется много препятствий.

Фиг. 26. Еще раз об аналогии между цепями.

Как установил Джоуль, при движении жидкости по такой трубке выделяется некоторое количество тепла. Если мы хотим измерить давление, под действием которого создается поток в трубке R', то нужно воспользоваться каким-нибудь манометром. В качестве него можно взять U-образную трубку, наполненную ртутью. В этом манометре разность уровней ртути измеряет разность давлений между концами R'. U-образная трубка на самом деле измеряет разность давлений даже в том случае, если с одной стороны имеется вакуум. В обычном манометре для пара, какие устанавливают на паровых котлах, внутри имеется гибкая трубка С, которая разгибается под действием давления пара. Пар входит в трубку С с одного конца, другой конец закрыт. Трубка имеет не круглое, а почти прямоугольное сечение, поэтому давление пара заставляет ее разворачиваться, подобно тому как развертывается бумажная игрушка «тещин язык». Деформация трубки С измеряет давление, что отмечается с помощью стрелки, перемещающейся перед шкалой. Чем больше давление, тем больше разворачивается трубка С, развиваются большие упругие силы, которые уравновешивают силу давления пара.

Задача 7. Манометры. А) В манометре М (фиг. 26, в), когда стрелка уходит под действием пара в крайнее положение, ее можно вернуть к началу шкалы двумя способами. Во-первых, снять давление пара. Во-вторых, не изменяя давления пара… (Указание. В таких манометрах предусмотрено маленькое отверстие в наружном кожухе.). Б) Как вы думаете, принимая во внимание (а), измеряет ли манометр на самом деле «абсолютное давление» или разность давлений? Большинство манометров, применяемых на практике, в действительности измеряет разность давлений. На фиг. 26, г такой манометр измеряет разность давлений, которая поддерживает поток через трубку-сопротивление R'. Задача 8. Причина и следствие. Правильно ли говорить, что разность давлений создает поток, или следует утверждать, что поток создает разность давлений? А может быть, можно говорить и так, и так? Рассмотрите кратко поставленные вопросы; А) С точки зрения человека, приводящего в действие насос (фиг. 27, а). Б) С точки зрения пилота самолета, в носовой части которого имеется отверстие (фиг. 27, б). В) Можно ли в каждом случае определить экспериментально, что является причиной, а что следствием?

Фиг. 27. К задаче 8.

_{Две точки зрения на напор и поток. Что является причиной, а что следствием?}

Опыт 6. Вольтметр. 1) Начертите и составьте схему, показанную на фиг. 28, и добавьте к ней вольтметр — электрический манометр — с целью измерить «разность давлений», необходимую для горения лампочки Л. (Пора использовать вольтметр для исследований. Если вы не уверены в том, как его следует подсоединить, испробуйте сами различные варианты. «Неправильные» варианты тоже могут дать полезные сведения.). 2) Включите в цепь переменное сопротивление, чтобы можно было менять ток. Обратите внимание на то, как изменение тока влияет на показания вольтметра. (Это грубый предварительный опыт; измерения вы будете производить позже.).

Фиг. 28. Опыт 6 (1).

Электрический ток и энергия.

Основное применение электрических токов в современной цивилизации состоит в гибкой, быстрой и непрерывной передаче энергии. Провода, идущие от генераторов электростанции к моторам на заводе, действуют как идеальный бесшумный трансмиссионный ремень, который к тому же дает возможность регулировать передаточное отношение. Нити электрических лампочек накаливаются с помощью энергии сжигаемого угля или падающей воды на расстоянии многих километров от этих источников энергии. В начале прошлого столетия, прежде чем Закон Сохранения Энергии окончательно утвердился как великий закон природы, было установлено, что электрические батареи «потребляют» имеющиеся в батареях химикалии, когда они накаливают нити или вращают моторы. Генераторы, получившие распространение после батарей, оказывалось труднее вращать, когда они давали ток лампам или моторам, чем без нагрузки. Исследования Джоуля позволили установить замечательную взаимную связь между электрической, химической и тепловой энергиями, с одной стороны, и механической энергией — с другой.

Электрическая цепь в нашем представлении.

Постарайтесь представить себе, как электрическая энергия переносится током в различные части цепи. Кулоны — скопления электронов — движутся по цепи нескончаемым потоком. Они выходят из батареи, обладая изрядной потенциальной энергией (на каждый кулон, выходящий из 6-вольтового автомобильного аккумулятора, приходится 6 дж); заряды получают энергию, благодаря электрическому полю, и расходуют ее, продвигаясь по цепи. Они мчатся по толстой проволоке, почти не теряя энергии на этом отрезке своего пути.

В проволоке с более слабой проводимостью кулоны протискиваются в трудных условиях, спотыкаясь, запинаясь, налетая на атомы — в результате этого колебания атомов проволоки усиливаются, тепловая энергия атомов растет. В более тонкой проволоке электроны должны дрейфовать при той же величине тока, — быстрее, приобретая и теряя больше кинетической энергии, отчего и увеличивается нагрев проволоки. Проходя через электромотор, электроны преодолевают возникающее при их движении противодействие, словно давят на воображаемый поршень; при этом они отдают энергию, которая переходит в форму механической энергии. Наконец, электроны снова входят в батарею, которая за счет необходимых химикалиев дает им новый запас энергии для очередного путешествия по цепи.

Даже внутри самой батареи есть некоторое сопротивление, из-за которого часть энергии теряется в виде тепла. В хороших автомобильных аккумуляторах это сопротивление мало, и тепловые потери невелики, если не считать случаев, когда потребляется очень большой ток. При включении стартера потери энергии на нагрев могут быть очень большими. Случайное соприкасание пластин аккумулятора, при котором внутри него происходит короткое замыкание, может привести к выделению очень большого количества тепла, вызывающему коробление пластин; в результате этого режим короткого замыкания становится еще более тяжелым, и аккумулятор приходит в негодность.

Напряжение.

Мы представляем себе, что кулоны, преодолевая сопротивление в цепи, отдают энергию, которую они, получив от батареи, несут по проволоке. В батарее при этом происходят химические превращения. Джоуль установил, что количественно такие же химические превращения происходят, если те же вещества просто смешать в стакане, но в этом случае выделяется тепло.

Задача 9. Если поместить батарею и всю цепь целиком, включая химикалии, проволоку и все остальное, в химический стакан, то в нем выделится тепло. Когда Джоуль поместил химические ингредиенты прямо в стакан и наблюдал выделение тепла, куски металла, например цинка и меди, которые он брал, касались друг друга. С какой точки зрения этот последний «чисто химический» опыт можно все же рассматривать как опыт из области электричества?

Когда батарея включена в электрическую цепь, внутри нее не происходит выделения тепла из-за взаимодействия химикатов, тепло выделяется в проволоке (если включить в цепь электромотор, то можно получить механическую энергию). Амперметр говорит нам о том, насколько быстро кулоны движутся по проволоке, но мы не можем сказать, какое выделяется количество тепла (или энергии другого вида), пока не узнаем, кроме того, сколько энергии отдает каждый кулон, проходя по проволоке. Количество энергии, отдаваемой каждым кулоном, т. е. энергия, передаваемая источником одному кулону, очень важная и удобная величина для расчета энергии, отдаваемой в электрической цепи; мы будем называть ее напряжением. Предположим, у нас есть какой-то прибор, указывающий, что каждый кулон, проходя по проволоке, отдает 4 дж тепла. При этом амперметр говорит нам, что по проволоке идет ток силой 3 а (или 3 кулон/сек). Значит, каждую секунду через поперечное сечение проволоки проходит 3 кулон, каждый из которых отдает 4 дж. Следовательно, ток выделяет энергию с интенсивностью 12 дж в секунду или 12 вт[19]. Цепь преобразует электрическую энергию в тепловую с интенсивностью 12 вт.

Энергию, отдаваемую единицей заряда, полезно знать. В принципе мы могли бы измерить ее, зафиксировав некоторую порцию кулонов, прошедших через электромотор, поднимающий груз, и измерив потенциальную энергию, приобретенную грузом. Практически это было бы сложно и неточно, так как в реальных моторах часть подводимой к ним электрической энергии растрачивается, переходя в тепло. Вместо этого мы пользуемся измерительным прибором, изготовленным на основе более поздних сведений об электричестве, — вольтметром. Он измеряет энергию (в джоулях), передаваемую каждым кулоном, которая переходит из электрической в тепловую и другие формы энергии. Вольтметр измеряет отношение джоуль/кулон. Мы дадим единице 1 джоуль/кулон наименование 1 вольт в честь итальянского ученого Алессандро Вольта, который изготовил первые батареи.

Есть вольтметры, которые производят истинные измерения силы и вводят измеренное значение в расчет: СИЛА∙РАССТОЯНИЕ/ЗАРЯД (в кулонах). Однако обычные вольтметры представляют собой на самом деле своего рода измерители «тонкой струйки» потока. В этих вольтметрах измеряют малый ток, который через них протекает, и, используя характеристики прибора, представляют результат измерения в вольтах. Вы же должны рассматривать лабораторный вольтметр как запертый ящик, который нельзя открывать, и должны довольствоваться непосредственной проверкой того, что он действительно показывает число джоулей на кулон. Можно представлять себе, что вольтметр «приглашает» какой-то случайный кулон пройти через него, а потом, подобно разбойнику с большой дороги, который требует от прохожего «выложить деньги», «заставляет» кулон отдать свою энергию.

Прибор проградуирован так, чтобы можно было отсчитывать энергию, отдаваемую каждым кулоном в струйке тока, текущего через вольтметр. «Энергия, отдаваемая единицей заряда», — слишком длинное наименование для величины — объекта измерения, поэтому мы будем называть ее разностью потенциалов, или электрическим напряжением. «Разность потенциалов» — старый термин, введенный в связи с изучением неподвижно распределенных электрических зарядов. Инженеры употребляют, кроме того, жаргонный термин «вольтаж» от слова «вольт» вместо термина «напряжение».

Вольтметры как «электрические манометры».

Вольтметры покажутся вам еще более простыми в употреблении приборами, если представлять их себе как электрические манометры. Воспользуемся аналогией между электрическим током и течением воды по трубам и рассмотрим обоснование для такого представления о вольтметрах. Вольтметры изготовляют таким образом, чтобы они показали энергию, отдаваемую каждым кулоном на некотором выбранном участке цепи. Эта величина равна отношению.

ОТДАВАЕМАЯ ЭНЕРГИЯ (на некотором участке цепи) / ЧИСЛО ПРОТЕКАЮЩИХ КУЛОНОВ.

Или.

ОТДАВАЕМАЯ ЭНЕРГИЯ (в джоулях) / полный заряд (в кулонах).

Разность давлений на каком-либо участке водяного контура можно выразить таким же образом:

ОТДАВАЕМАЯ ЭНЕРГИЯ (в джоулях) / ПОЛНЫЙ ОБЪЕМ ПРОТЕКШЕЙ ВОДЫ (в кубических метрах).

Правильность проводимой аналогии легко установить путем следующих рассуждений. Предположим, что мы проталкиваем воду по длинной тонкой трубе с помощью поршня Р₁, находящегося в начале трубы, заставляя воду толкать поршень Р₂ на другом конце трубы. Труба обладает сопротивлением, поэтому давление р₁ в точке Р₁ должно быть больше давления р₂ в Р₂. Разность давлений р₁ — р₂ и движет воду, преодолевая силы сопротивления.

Как установил Джоуль, вода на выходе имеет несколько более высокую температуру, приобретая тепло за счет некоторой доли энергии, подводимой при помощи поршня Р₁. Пусть площадь поршня Р₁ равна А₁ квадратных метров; поршень перемещают на расстояние s₁ метров, преодолевая давление воды р₁ ньютон/квадратный метр. Сила, которую необходимо приложить к поршню р₁ чтобы его толкать, равна произведению: ДАВЛЕНИЕ∙ПЛОЩАДЬ, или р₁А₁ ньютон, а энергия, передаваемая от источника движения поршня воде, равна произведению: СИЛА∙ПРОХОДИМОЕ РАССТОЯНИЕ, или р₁∙А₁∙s₁ дж. Точно так же энергия, передаваемая водой телу, испытывающему действие поршня Р₂, равна р₂∙А₂∙s₂. Но произведение: ПЛОЩАДЬ ПОРШНЯ∙ПРОХОДИМОЕ РАССТОЯНИЕ представляет собой объем воды, проталкиваемой по трубе, равный V кубических метров.

А₁∙s₁ = V = А₂∙s₂, поскольку вода несжимаема. В таком случае разность между обоими количествами передаваемой энергии, которая представляет собой механическую энергию, отдаваемую воде, равна.

Р₁∙А₁∙s₁ — р₂∙А₂∙s₂ = p₁V — p₂V = (р₁ — р₂)∙V.

Следовательно, энергия, выделяющаяся в виде тепла в пределах рассматриваемого участка трубы, равна (р₁ — р₂)∙V дж. Значит,

ОТДАВАЕМАЯ ЭНЕРГИЯ (в джоулях) / ПЕРЕМЕЩАЕМЫЙ ОБЪЕМ (в кубических метрах) =

= (р₁ — р₂)∙V/V = (р₁ — р₂) (в ньютон/квадратный метр).

Таким образом, в гидравлической системе разность давлений р₁ — р₂ ньютон/квадратный метр дается отношением: отдаваемая энергия/перемещаемый объем. Это аналогично соотношению.

«ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ РАЗНОСТЬ ДАВЛЕНИЙ» = ОТДАВАЕМАЯ ЭНЕРГИЯ / ПЕРЕМЕЩАЕМЫЙ ЗАРЯД.

Физики никогда, правда, не говорят об «электрической разности давлений», употребляя для выражения этого понятия термин «разность потенциалов».

Фиг. 29. Передача энергии в гидравлической цепи.

Задача 10. РАЗНОСТЬ ДАВЛЕНИЙ = ЭНЕРГИЯ, ОТДАВАЕМАЯ НА ЕДИНИЦУ ОБЪЕМА — очень удачная формулировка, характеризующая давление. Какие единицы получаются из нее для давления, если: А) Энергия выражается в килограммометрах, а объем — в кубических метрах? Б) Энергия выражается в джоулях, а объем — в кубических метрах? (Покажите, как вы получили свой ответ.). В) Согласуется ли такая точка зрения на давление в том, что касается единиц с формулой кинетической теории для газов: ДАВЛЕНИЕ ∙ ОБЪЕМ = (1/3) ∙ ЧИСЛО МОЛЕКУЛ ∙ МАССА ∙ v^¯2?

Подключение вольтметра к электрической цепи.

Величина, которую измеряют вольтметрами, — это разность потенциалов, или электрическое напряжение, смысл ее мы охарактеризовали выражением «электрическая разность давлений». Точно эта величина определяется как энергия, отдаваемая одним кулоном. Показания вольтметра зависят только от количества энергии, отдаваемой на определенном участке цепи, каким может быть, например, электромотор, или катушка из проволоки. Зажимы вольтметра должны присоединяться к концам этого участка цепи. Вольтметр измеряет разность энергий кулона на входе и на выходе участка цепи, поэтому он должен присоединяться как к входной, так и к выходной точкам точно так же, как манометр подсоединяется к двум точкам, хотя часто одна из точек — это атмосфера.

Таким образом, мы говорим о напряжении или разности потенциалов между двумя точками цепи или между выводами какого-то прибора. Мы говорим о подключении вольтметра к зажимам прибора. Эта последняя формулировка удобна с точки зрения начертания или составления цепей, содержащих вольтметры. Если вы не вполне уверены в своих знаниях, то сначала вычерчивайте и составляйте схему без вольтметра, а потом подключайте вольтметр к концам участка, на котором вы хотите измерить разность потенциалов.

Проверка работы и точности вольтметра.

Проделайте описанные ниже опыты с вольтметрами и проверьте утверждение физиков и инженеров-прибористов о том, что вольтметры измеряют энергию, отдаваемую одним кулоном.

Опыт 7. Проверка характера шкалы вольтметра. (Вольтметр на 6 или более вольт.) Подсоедините вольтметр прямо к автомобильному аккумулятору, состоящему из трех элементов, потом подсоедините его к двум из трех элементов, потом только к одному. Запишите показания вольтметра. Убедитесь в том, что все три элемента одинаковы, путем предварительной опытной проверки, записывая показания вольтметра. Если вольтметр действительно измеряет. ЭНЕРГИЮ, ОТДАВАЕМУЮ ОДНИМ КУЛОНОМ, То, будучи присоединен к аккумулятору, он должен сказать нам, сколько электрической энергии аккумулятор готов передать каждому кулону за счет химической энергии. Получается такая картина: аккумулятор превращает химическую энергию в электрическую потенциальную энергию, которую кулон потом, продвигаясь по цепи, отдает в другой форме ((например, в форме тепловой энергии). Если кулон проходит только через один элемент аккумуляторной батареи, он приобретает соответствующее количество энергии (одна порция). Если кулон проходит через два элемента, включенных последовательно, то, согласно нашим энергетическим представлениям, он приобретает вдвое большее количество потенциальной энергии (порция + порция), причем каждый элемент внесет свой полный вклад независимо от других элементов. Если соединить последовательно три одинаковых элемента, то приобретенная кулоном энергия возрастет втрое (порция + порция + порция). Это подтверждается экспериментальным фактом, заключающимся в том, что в каждом элементе при прохождении одного кулона происходят количественно одинаковые химические изменения независимо от того, включен в схему один элемент или два, три… элемента, соединенных последовательно. Этот опыт не доказывает, что наш прибор измеряет отношение энергия/кулон, но вы можете сказать, согласуются ли ваши наблюдения с такой точкой зрения.

Фиг. 30. Опыт 7.

Опыт 8. Проверка шкалы вольтметра в одной точке. Это точный опыт, он дает возможность произвести настоящую градуировку вольтметра. Составьте схему, позволяющую непосредственно измерять энергию, отдаваемую одним кулоном, и пусть вольтметр тоже «измерит» ее. Самая простая установка содержала бы проволочное сопротивление R, которое отдает тепло воде, налитой в хорошо изолированный химический стакан («калориметр»). Начертите и составьте цепь из хорошей батареи, проволочного сопротивления R небольших размеров, которое должно быть погружено в воду, и переменного сопротивления, необходимого для поддержания неизменной величины тока в течение опыта. С помощью амперметра и часов измерьте число кулонов, проходящих через проволочное сопротивление, и предусмотрите необходимые средства для измерения количества выделяющегося тепла. Затем подсоедините испытуемый вольтметр так, чтобы он измерял энергию, отдаваемую каждым кулономв проволоке R (не во всей цепи). Включите установку на определенный промежуток времени и следите за тем, чтобы стрелка вольтметра во время опыта оставалась у фиксированной отметки. (Если ток меняется, то записывайте его значение каждую минуту и берите среднее.) По результатам ваших измерений вычислите отдаваемую энергию в калориях, затем в джоулях, а также вычислите суммарный заряд в кулонах, который отдает эту энергию. Из полученных данных вычислите истинное напряжение, считая ваши измерения энергии точными. Сравните это значение с показанием измерительного прибора и укажите погрешность прибора.

Фиг. 31. Опыт 8.

_{«Калориметр» с проволочным сопротивлением и мешалкой.}

Этот опыт трудно осуществить. Установку приходится налаживать заранее, и наши указания наверняка покажутся недостаточными. Например, сколько следует брать воды? В течение какого времени нужно пропускать ток? Как получить правильное показание вольтметра в момент включения тока? В связи с этими вопросами выявляется необходимость либо провести ряд предварительных опытов, либо иметь значительно более полные инструкции. Снабдить вас набором подробных указаний к лабораторному оборудованию, напоминающих кулинарные рецепты, значило бы следовать методике, пригодной разве что для обучения умственно отсталых детей. Это позволило бы испытать вашу прилежность, но едва ли способствовало бы развитию научного мышления. Здесь, как и в большинстве лабораторных исследований, стоит потратить время, чтобы провести грубый опыт и подумать над усовершенствованием своей аппаратуры и методики. Начните с опытов, дающих приближенные результаты, затем рассмотрите возможность оптимального использования аппаратуры с целью уменьшения ошибок. (При этом вам может потребоваться консультация людей, знакомых с вашим лабораторным оборудованием, но ее можно рассматривать лишь как общие указания экспертов, а не как рецепты поваренной книги.). Нужно быть готовым к тому, что некоторые ошибки в вашем опыте, по всей вероятности, будут значительными. Задача 11. Каковы таинственные «ошибки» в описанном выше опыте? Как они влияют на величину напряжения, вычисленную по данным ваших измерений, — завышают или занижают ее по сравнению с истинным напряжением? Каким образом можно бы их уменьшить?

Можно предложить значительно более надежные способы абсолютных измерений для проверки вольтметра, но они сложны и носят характер косвенных измерений[20]. Все они связаны с теми или иными измерениями силы и расстояния, тока и времени, предназначенными для определения напряжения в джоулях на кулон.

Описанный опыт демонстрирует лежащую в его основе идею. Повторять опыт в нескольких точках шкалы вольтметра не стоит: лучше поверить изготовителям вольтметров или сверить свой прибор со стандартным вольтметром, опять-таки тщательно градуированным.

Задача 12. Сравнение вольтметров. Предположим, что вы не производили проверки своего вольтметра, но хотите быстро сверить его с уже проверенным прибором. Начертите схему, которую вы использовали бы для сравнения обоих вольтметров в нескольких точках шкалы.

Примечание. Некоторые физики любят использовать опыт с вольтметром и погружаемой в воду проволочной спиралью, предназначенный для «измерения механического эквивалента теплоты», как дальнейшее подтверждение известных результатов Джоуля и широкое обобщение закона сохранения энергии. В таком случае они не могут использовать этот опыт также и для проверки вольтметра. Этим физикам придется предположить, что вольтметр уже проверен, скажем, абсолютным методом по генератору, о котором говорилось в примечании на стр. 40. Эксперимент, разумеется, тот же, но последующие рассуждения будут иными. В этом курсе нам представляется более целесообразным использовать указанный опыт, чтобы хорошо разобраться в назначении вольтметра. Во всяком случае, нельзя пользоваться этим опытом сразу и с той и с другой целью, это было бы совершенно антинаучно.

Если вы приняли точку зрения, согласно которой вольтметры измеряют энергию, передаваемую единицей заряда, т. е. что каждый вольт равен отношению джоуль/кулон, то можно перейти к двум важным вопросам: к расчету мощности и экспериментальному исследованию «закона Ома».

Мощность.

Если, накопив достаточно опыта в электротехнике, вы окончательно удостоверились в том, что напряжение — это действительно энергия, передаваемая единицей заряда, то вы можете приступить к изучению проблемы электроснабжения. С этой целью предлагаем вам проработать следующие задачи:

Задача 13. Расчет мощности. Предположим, что амперметр, включенный в цепь лампочки, показывает силу тока 3 а. Лампочка подключена к сети 120 в. Вопросы: А) Какое количество энергии рассеивается лампочкой в виде тепла и излучения за 10 сек[21]? Б) Какую мощность «потребляет» лампочка, т. е. насколько быстро лампочка преобразует электрическую анергию в тепловую и др.? Ответы: А) 1. Сила тока равна 3 а. ЭТО ЗНАЧИТ, ЧТО КАЖДУЮ СЕКУНДУ ЧЕРЕЗ ЛАМПОЧКУ ПРОХОДИТ 3 КУЛОНА. Следовательно, за 10 сек через лампочку проходит заряд, равный ___∙___ _{(единицы).} 2. Напряжение на лампочке равно 120 в. ЭТО ЗНАЧИТ, ЧТО КАЖДЫЙ КУЛОН, ПРОХОДЯЩИЙ ЧЕРЕЗ ЛАМПОЧКУ, ОТДАЕТ 120 дж (лампочке). (Иначе говоря, в лампочке на каждый кулон преобразуется 120 дж из электрической энергии в тепловую и др.). Объединяя данные, содержащиеся в пунктах 1 и 2, получаем, что. ЭНЕРГИЯ, ВЫДЕЛИВШАЯСЯ за 10 сек = = (___∙___)∙(___∙___ _{(единицы)}) = = ______∙______ _{(единицы).} Б) МОЩНОСТЬ = СКОРОСТЬ ПЕРЕДАЧИ ЭНЕРГИИ = ПЕРЕДАЧА ЭНЕРГИИ / Время. = ___∙___ _{(единицы).} Но для единицы дж/сек принято сокращенное наименование «ватт». Следовательно, мощность… = ___∙___ _{(новые единицы)}. Задача 14. Мощность. Автомобильная лампочка, подсоединенная толстым проводом к 6-вольтовому аккумулятору, потребляет 12 а. Вычислите потребляемую мощность в ваттах, используя видоизмененную форму записи ответа предыдущей задачи. Задача 15. Мощность. Электромотор потребляет от 100-вольтового источника питания ток величиной 20 а. Три четверти мощности идет на поднятие груза. Оставшаяся четверть теряется в виде тепла в моторе. Вопросы: А) Вычислите полезную мощность. Б) Часто мощность электромотора указывают в лошадиных силах. Подсчитайте приближенно мощность этого электромотора в л. с., имея в виду его полезную мощность. В) С какой скоростью поднимается вверх груз 50 кг? Г) Предположим, что для поднятия того же груза используются источник питания с напряжением 1000 в и электромотор, работающий не от 100 в, а от 1000 в. Какой ток потреблял бы новый мотор и почему? (Предполагается, что речь идет о подъеме точно такого же пятидесятикилограммового груза с такой же скоростью; коэффициент полезного действия нового мотора также равен 75 %.). Д) Какими, по вашему мнению, преимуществами и недостатками должна обладать система с напряжением 1000 в по сравнению со 100-вольтовой? A л. с. равна 746 вт, или приблизительно ³/₄ киловатта. Примите 1 кет равным ⁴/₃ л. с., а 1 л. с. — 75 кГм/сек.). Ответы: А) СИЛА ТОКА равна 20 а. ЭТО ЗНАЧИТ, ЧТО… НАПРЯЖЕНИЕ равно 100 в. ЭТО ЗНАЧИТ, ЧТО… Следовательно, энергия, выделяющаяся за каждую секунду, равна… Поэтому МОЩНОСТЬ равна ___∙___ _{(единицы).} ПОЛЕЗНАЯ МОЩНОСТЬ равна ___∙___ _{(единицы).} Б) Учитывая полезную мощность, величина мощности мотора должна быть близкой к ___ л. с. В) Согласно б), ПОЛЕЗНАЯ МОЩНОСТЬ = ___ = л. с. = ___ кГм/сек. Действующая СИЛА должна быть равна 50 кГ, и если груз поднимается со СКОРОСТЬЮ X м/сек, то мощность (выраженная через X) равна ___ кГм/сек. Следовательно, значение ___ должно быть таким же, как ___ кГм/сек. Поэтому СКОРОСТЬ ГРУЗА X должна быть равна… ___ м/сек. П. п. г) и д). См. вопросы.

Алгебраическая формула для мощности.

Вместо того чтобы повторять подробные выкладки с амперами и вольтами в каждой задаче, можно выбрать раз и навсегда символы, записать с их помощью решение этих задач и получить выражение, позволяющее определить мощность в каждом случае. Если этот путь кажется вам разумным, если вы считаете, что он дает экономию времени, то действуйте и пользуйтесь полученным результатом. (Не заучивайте его как формулу, позволяющую быстро получить правильный ответ на экзамене, ибо на экзамене, если он разумно проводится, вас спросят, откуда следует формула!).

ЗАДАЧА. Лампочка (или электромотор, или какой-нибудь другой прибор) потребляет от источника питания с напряжением V в ток силы I а. Вычислите энергию, выделяющуюся за t сек, и потребляемую мощность. ОТВЕТ. Сила тока равна I а. ЭТО ЗНАЧИТ, ЧТО ЗА КАЖДУЮ СЕКУНДУ ЧЕРЕЗ ЛАМПОЧКУ ПРОХОДИТ I КУЛОНОВ. Поэтому за t сек через лампочку проходит заряд, равный I∙t кулонам. Напряжение равно V в. ЭТО ЗНАЧИТ, ЧТО КАЖДЫЙ КУЛОН, ПРОХОДЯЩИЙ ЧЕРЕЗ ЛАМПОЧКУ, ОТДАЕТ V ДЖ. Итак, за t сек через лампочку проходит I∙t кулонов, каждый из которых отдает V дж. Таким образом, энергия, выделившаяся за t сек, равна I∙t∙V, или V∙I∙t дж. МОЩНОСТЬ = ЭНЕРГИЯ, ОТДАННАЯ В ЦЕПИ В ЕДИНИЦУ ВРЕМЕНИ = = ЭНЕРГИЯ, ОТДАННАЯ В ЦЕПИ / ВРЕМЯ = = V∙I∙t/t = V∙I дж/сек, или ватт. Таким образом, МОЩНОСТЬ = V∙I ватт. Задача 16. Линия электропередачи. Рассмотрим упрощенную модель линии электропередачи. Впоследствии мы дополним ее, чтобы приблизиться к реальной схеме, а пока нам важно познакомиться с постановкой задачи. На ферме имеется своя электростанция, которая снабжает энергией коттедж, удаленный от нее на некоторое расстояние. Коттедж потребляет силу тока 5 а. Ток идет от электростанции по медному проводу, укрепленному на столбах, проходит через лампочки накаливания в коттедже и течет обратно по такому же медному проводу, укрепленному на столбах. Вольтметр, подключенный в коттедже, показывает напряжение 100 в на каждой лампочке (и, следовательно, на подводящих проводах). А) Вычислите мощность, которую потребляет коттедж. Б) Вычислите мощность, которую дает электростанция. В) Где, по вашему мнению, расходуется разница в мощности б) — а)? В какой форме?

Фиг. 32 а. К задаче 16.

Е) На фиг. 32б изображена схема с двумя дополнительными вольтметрами V₁ и V₂. Каковы их показания? (Чтобы ответить на этот вопрос, нужно проделать расчет, который потребует от вас внимания и должен сопровождаться объяснениями.).

Фиг. 32б.

Задача 17. Экономические соображения. В старом театре для освещения сцены используется большое число 100-ваттных ламп накаливания. Администрация театра, желая идти в ногу с прогрессом, считает нужным сделать освещение более ярким и предлагает заменить каждую лампу 200-ваттной. А) Считая, что новые лампы обладают такой же световой отдачей (самое большее 2 свечи на ватт), скажите, как повлияет смена осветительных ламп на общее количество света? На суммарный ток? Б) Как вы думаете, почему смена ламп приведет к увеличению нагрева проводов, проложенных в стенах театра? (Приведите простые соображения общего характера, не производите расчетов. Даже если вы прибегнете к формулам, которыми пользуются инженеры, и рассчитаете нагрев, ваш ответ будет неверным. Увеличение нагрева настоящих медных проводов больше, чем следует из формулы!). В) Предположим, как это было бы в настоящем театре, где столкнулись с подобной задачей, увеличение нагрева б) считают опасным. 1) Где была бы скрыта опасность — в лампах накаливания или в стенах театра? 2) Каким образом можно избежать опасности, выбрав другое напряжение сети (и соответственно заменив лампочки)?

ЗАКОН ОМА.

Работы Ома.

Напряжение и ток — удобные характеристики электрических цепей. Одно из главных применений электричества заключается в быстрой транспортировке энергии из одного места в другое и передаче ее потребителю в нужной ему форме. Произведение разности потенциалов на силу тока дает мощность, т. е. количество энергии, отдаваемой в цепи в единицу времени. Чтобы проследить за потреблением мощности в системе коммунального энергоснабжения или в лабораторном опыте, очевидно, необходимы два прибора: вольтметр и амперметр[22]. Нельзя ли обойтись одним из приборов и вычислить мощность по показанию этого прибора и какой-либо характеристике цепи, вроде ее «сопротивления»? Эта идея оказывается весьма плодотворной. Что такое сопротивление провода, или вообще цепи в целом? Обладает ли проволока, подобно водопроводным трубам или трубам вакуумной системы, постоянным характерным свойством, которое можно было бы назвать сопротивлением? В трубах отношение.

РАЗНОСТЬ ДАВЛЕНИЙ, «СОЗДАЮЩАЯ ПОТОК» / РАСХОД.

Обычно является постоянной характеристикой трубы. Точно так же тепловой поток в стержне подчиняется простому соотношению, в которое входит разность температур, площадь поперечного сечения стержня и длина. Открытие такого же соотношения для электрических цепей представляет собой редкий пример успешных поисков, основанных на многообещающей догадке.

Георг Ом, немецкий школьный учитель, приступил к поискам этого соотношения в 1820-х годах. Он стремился к известности, которая открыла бы ему университетские двери, и выбрал область исследований, сулившую особые преимущества. Ом был сыном слесаря, так что знал, как вытягивать металлическую проволоку разной толщины для своих опытов. В то время нельзя было купить проволоку самых разных типов, как это можно сделать в наше время. Ом сам изготовлял проволоки для своих опытов и экспериментировал с ними, пробуя разные длины, разные толщины, разные металлы, и даже проводил опыты при различной температуре, варьируя каждый фактор поочередно, как все настоящие ученые. Батареи были еще слабые, они давали ток непостоянной величины, поэтому Ом пользовался в качестве генератора термопарой, горячий спай которой был помещен в пламя. Он использовал грубый магнитный амперметр, а разности потенциалов — Ом называл их «напряжениями» — измерял путем изменения температуры или числа термоспаев.

Учение об электрических цепях было еще молодо. После того как примерно в 1800 г. изобрели батареи, оно стало развиваться с быстротой растения в тропиках. Проектировались и изготовлялись, часто вручную, различные приборы, открывались законы, формировались понятия и терминология, развивались общие принципы — все это вело к более глубокому пониманию явлений. Углубление знаний об «электричестве», с одной стороны, носило характер становления новой области физики, а с другой — создавало базу для бурного развития электротехники: батареи, генераторы, системы электроснабжения для освещения и электрического привода, электропечи, моторы… словом, все, из чего складывается наша электрическая цивилизация. Открытия Ома имели огромное значение как для развития учения об электричестве, так и для развития прикладной электротехники. Они позволили легко предсказывать свойства цепей сперва для установившегося постоянного тока, а потом (в эквивалентной форме) для переменных токов. Книга Ома, насчитывавшая примерно 250 страниц, которую он опубликовал в 1826 г., изложив свои теоретические выводы и экспериментальные результаты, была встречена насмешками.

Метод грубого экспериментирования по заранее намеченному плану казался мало привлекательным в эпоху увлечения философией; так,

«... министр просвещения высказал мнение, что "физик, проповедующий подобную ересь, недостоин преподавать естественные науки". Ому не оставалось ничего другого, как уйти с занимаемой им должности преподавателя. Не добившись назначения в университет по той причине, что к его трудам не относились как к работе экспериментатора, Ом теперь потерял должность потому, что в других кругах его труды рассматривали как экспериментаторскую работу. В течение шести лет Ом жил в нищете, без уверенности в будущем, испытывая чувство горького разочарования. Постепенно, однако, его труды получили известность, сначала за пределами Германии. Ома стали чтить за границей, и соотечественники были вынуждены нехотя признать его у себя на родине. Наконец, в 1849 г., 22 года спустя после публикации его книги, Ом получил должность профессора Мюнхенского университета. Энергичная деятельность на этом посту приносила Ому большое удовлетворение, он занимал его в течение пяти лет вплоть до смерти, последовавшей в 1854 г.» [23]. Ом открыл простой Закон, устанавливающий связь между силой тока и напряжением для отрезка проволоки (для части цепи, всей цепи). Кроме того, Ом открыл правила, которые позволяют определить, что изменится, если взять проволоку другого знаменитого исследователя. Попытайтесь сами повторить открытие Ома, проделав описанный ниже лабораторный опыт с помощью современного оборудования. Опыт 9. Ток и напряжение. Как зависит напряжение между концами отрезка проволоки, обладающей определенным сопротивлением, от СИЛЫ ТОКА, текущего по ней? Воспользовавшись в качестве испытуемого объекта куском «проволоки, обладающей сопротивлением»[24], установите, как зависит напряжение между концами проволоки от силы тока, текущего по ней. Составьте схему, которая позволила бы пропускать по проволоке измеренный ток; при этом следует предусмотреть возможность изменения тока в широких пределах. Подключите вольтметр так, чтобы измерять напряжение на отрезке проволоки. Проделайте серию измерений в пределах возможно более широкого диапазона изменения тока. Проанализируйте результаты ваших измерений и попытайтесь найти какое-нибудь соотношение. Кроме того, постройте график для наглядного представления результатов измерений и попытайтесь сделать выводы из этого графика. Опыт 10 (необязательный). Повторите опыт 9, используя проволоку из какого-нибудь чистого металла, например железа или вольфрама (в вакууме). Опыт 11 (необязательный). Повторите опыт 9 с лампой накаливания с угольной нитью. Опыт 12 (необязательный). Повторите опыт 9, воспользовавшись пластинкой из тирита[25]. (Она служит в качестве предохранительного устройства, не давая току возрасти сверх определенной величины.). Опыт 13. Радиолампа. Повторите опыт 9 с простейшей радиолампой (диодом). Эта лампа состоит из стеклянного баллона, в который впаяны два металлических электрода; внутри баллона создан очень хороший вакуум. Один из электродов — анод, другой — вольфрамовая нить накала, которую можно нагревать, пропуская по ней электрический ток. Исследование вольтамперной характеристики этой лампы не просто познакомит вас с одной деталью радиоприемника. Это начало изучения электронных потоков, электронных пушек, осциллографов, телевизионных трубок и т. д. Если вы располагаете обычным источником питания, будь то, скажем, 120-вольтовая батарея или генератор, то для изменения напряжения, прикладываемого к нашей двухэлектродной радиолампе, потребуется реостат с огромным сопротивлением, которого может не оказаться. Вместо такого реостата следует воспользоваться остроумной схемой, называемой «делителем напряжения», которая описана ниже.

Фиг. 33. Простейшая радиолампа (диод).

Делитель напряжения. Делитель напряжения предназначен для получения плавно изменяемого напряжения от источника высокого постоянного напряжения. Возьмите реостат (переменное сопротивление), который можно без опасения включить на полное сопротивление в электрическую сеть. Подсоедините крайние точки А и В к источнику питания. Затем зажим испытуемого прибора соедините проводами со скользящим контактом S и одной крайней точкой В. Если скользящий контакт находится вверху, у точки А, то прибор оказывается подключенным к точкам А и В. Какое напряжение приложено в этом случае к прибору? Если скользящий контакт находится внизу, у точки В, то оба зажима прибора будут подключены к точке В. Какое напряжение приложено к прибору в этом случае? Если скользящий контакт находится посредине между А и В, скажем в точке С, то прибор будет подключен к точкам С и В. Подумайте, какое при этом напряжение будет приложено к прибору. Чтобы проверить свое предположение, проследите за рассуждением, проведенным ниже, а затем составьте схему, используя в качестве вашего прибора вольтметр. Предположим, что в этой схеме полное напряжение источника питания равно 120 в. Значит, кулон, проходя по сопротивлению от А до В, отдает 120 дж. На полпути в точке С кулону останется отдать только 60 дж. Если кулон станет следовать дальше по оставшемуся участку сопротивления, то он отдаст 60 дж. Если же кулон изберет обходной путь: от точки С через подключенный прибор в В, то он по-прежнему отдаст остальные 60 дж. Поэтому с точки зрения прибора приложенное к нему напряжение равно 60 дж/к, т. е. 60 в. (Это простое рассуждение справедливо в том случае, когда «прибор» обладает высоким сопротивлением и, следовательно, «отвлекает» на себя относительно малый ток. Если сопротивление прибора сравнимо с сопротивлением АВ, то наше рассуждение придется видоизменить. Кроме того, мы должны будем соблюдать осторожность, чтобы не пережечь участок AS.)

Фиг. 34. Делитель напряжения.

Задача 18. Применение делителя напряжения. В качестве делителя напряжения используется однородное по длине сопротивление со скользящим контактом. Сопротивление подключено к 120-вольтовому источнику питания, как показано на рисунке. Предположим, что скользящий контакт находится на расстоянии ³/₄ длины ab, считая от точки а. 1) Какое напряжение приложено к прибору, подсоединенному к точкам b и S? 2) Дайте объяснение или обоснование вашему ответу на вопрос 1).

Фиг. 35. К задаче 18.

Опыт 13. А) Радиорезистор[26]. Возьмите источник, дающий высокое напряжение, например 120 в постоянного тока, и делитель на- напряжения, чтобы можно было прикладывать к нашей радиолампе регулируемое напряжение. При этом нужно, как и раньше, измерять напряжение на выводах лампы и текущий через нее ток. Чтобы применение новой схемы не мешало наблюдать характеристику нового испытуемого элемента цепи, проверьте схему сначала на знакомом элементе — обычном проволочном сопротивлении (резисторе). Для того чтобы можно было проводить сопоставление с радиолампой, резистор должен иметь очень большое сопротивление. Чтобы убедиться в том, что характеристика испытуемого элемента симметрична, нужно производить измерения, пропуская ток через него сначала в одном направлении, потом в противоположном. На первый взгляд изменить направление тока при измерении нетрудно: просто поменять местами точки присоединения проводов, идущих от батарей или розетки, как показано на фиг. 36. Однако, в этом случае вольтметр и амперметр оба будут давать отклонения стрелок в обратную сторону. Вполне правильно считать теперь напряжения и токи отрицательными. Но это плохо для самих измерительных приборов, поэтому следует также поменять местами присоединения проводов на каждом измерительном приборе и добавлять знак минус к их показаниям. Итак, следует поменять местами точки присоединения проводов от источника питания, а также проводов, которые подходят к обоим измерительным приборам. Есть значительно более простой способ достичь того же самого результата: воспользуйтесь им! Постройте график, изображающий характеристику радиорезистора. Обычно при исследовании закона Ома откладывают напряжение по вертикальной оси, а силу тока — по горизонтальной. Радиоинженеры, выражая графически характеристики своих ламп, напротив, откладывают по вертикальной оси силу тока, а по горизонтальной — напряжение. Поэтому и вам следует откладывать силу тока по вертикальной оси, а напряжение — по горизонтальной, чтобы удобно было сопоставлять этот график с вашим следующим графиком для радиолампы. Расположите начало координат своего графика в центре листа бумаги, тогда вы сможете наносить на него и отрицательные значения величин. Если ваш резистор «подчиняется» закону Ома, то график, очевидно, должен получиться таким, как на фиг. 36, но резистор может нагреться при больших токах, и картина изменится. (Если вы как следует подумаете и будете проделывать опыт быстро, то сможете выяснить, связан ли нагрев резистора с какими-либо отклонениями в характеристике, которые вы наблюдаете.).

Трудности в применении вольтметра как измерителя ответвляющегося малого тока.

В случае цепей с очень высоким сопротивлением возникает новая трудность. Дело в том, что через сам вольтметр протекает малый ток — ведь обычные вольтметры представляют собой по существу измерители весьма малого тока. Нужно, чтобы подключение вольтметра, отбирающего на себя некоторую долю тока, не вносило ошибки в измерение тока через исследуемый участок цепи. На фиг. 37 показаны две схемы: а и б. Допустим, сила тока, текущего через испытуемый элемент, равна нескольким миллиамперам[27], и, сила тока через вольтметр тоже составляет несколько миллиампер. Какую схему вы бы выбрали, а или б? Будьте внимательны при выборе схемы для этого опыта и других опытов, в которых через исследуемый участок цепи течет малый ток[28].

Фиг. 37.

Опыт 13. Б) Радиолампа (нить накала холодная). После того как вы исследовали радиорезистор и набросали для него график, замените резистор радиолампой — диодом. Присоедините вашу цепь к аноду радиолампы и одному концу ее нити накала[29]. Опять-таки проделайте опыт во всем диапазоне напряжений от 0 до +100 в или больше и от 0 до —100 в. Постройте график по полученным результатам, какими бы они ни оказались. Опыт 13. В) Радиолампа (нить накала нагрета). Теперь снова проделайте опыт с радиолампой, но у которой нить накала (катод) нагрета. Нагрев нити накала производится током вспомогательной цепи, подключенной к батарее. Перечертите свою цепь, добавив к ней цепь накала, содержащую батарею, реостат, амперметр и выключатель. Замкните цепь накала, установив значение тока, рекомендуемое для выбранной лампы, и повторите предыдущие измерения. Снова постройте график, откладывая положительные и отрицательные значения. Опыт 13. Г) Знак зарядов. Есть основания полагать, что нагретая нить накала испускает какие-то электрически заряженные частицы, способные переносить ток от нити накала к аноду. Какой знак заряда должен быть у таких носителей тока, плюс или минус? Исследуйте внимательно аппаратуру, и с помощью необходимых рассуждений придите к ответу на этот важный вопрос, исходя из ваших опытов. Подобная радиолампа пригодится вам в дальнейших опытах.

СОПРОТИВЛЕНИЯ.

Сопротивление и единицы его измерения.

Опыты показывают, что простое соотношение, установленное для «проволоки, обладающей сопротивлением», является универсальным. Для большинства твердых проводников (и некоторых видов электролитических ванн, а иногда даже для проводящих газов) отношение.

НАПРЯЖЕНИЕ МЕЖДУ КОНЦАМИ ПРОВОДНИКА / СИЛА ТОКА, ТЕКУЩЕГО ЧЕРЕЗ ПРОВОДНИК.

При постоянной температуре представляет собой постоянную величину. Мы называем эту постоянную «сопротивлением» проводника.

Следовательно,

СОПРОТИВЛЕНИЕ = НАПРЯЖЕНИЕ МЕЖДУ КОНЦАМИ ПРОВОДНИКА / ТОКА, ТЕКУЩЕГО ЧЕРЕЗ ПРОВОДНИК.

И при употреблении обычных единиц равно отношению.

НАПРЯЖЕНИЕ в вольтах / СИЛА ТОКА в амперах.

Таким образом, сопротивление должно измеряться отношением вольты/амперы, т. е. числом вольт на ампер. Поскольку сопротивление часто встречается в электротехнических расчетах, единице сопротивления присвоено более короткое наименование: один вольт на ампер называют одним омом. Иначе говоря, «омы» — это сокращение для «вольт/ампер». Часто для максимальной краткости единицу «ом» записывают греческой буквой ω или Ω (малая и большая омега, последняя буква греческого алфавита).

Когда мы говорим, что сопротивление провода 5 ом (или 5 й), мы имеем.

В ВИДУ, ЧТО НА КАЖДЫЙ АМПЕР СИЛЫ ТОКА, ТЕКУЩЕГО ПО ПРОВОДУ, МЕЖДУ КОНЦАМИ ПРОВОДА ДОЛЖНО БЫТЬ ПРИЛОЖЕНО НАПРЯЖЕНИЕ 5 в.

Километр медного телефонного провода обладает сопротивлением несколько десятков ом. Километр силового кабеля обладает сопротивлением, составляющим доли ома или самое большее несколько ом. Сопротивление электрической лампочки составляет сотню ом или около того.

Измерение сопротивлений.

Чтобы измерить сопротивление, которое, как мы предполагаем, «подчиняется» закону Ома, возьмите пару значений напряжения и силы тока, отсчитанных по измерительным приборам. Если сопротивление очень велико, то вместо амперметра нужно взять миллиамперметр. Если сопротивление очень мало, то вместо вольтметра следует взять милливольтметр.

Если построена вольтамперная характеристика проводника в виде графика, то сопротивление равно отношению напряжение/сила тока или наклону графика.

Инженерам-электрикам часто требуется знать сопротивление линий электропередачи, телефонных проводов, обмоток электромоторов. Вы тоже встретитесь с задачами по электротехнике, в исходные данные которых входят сопротивления. Существуют остроумно устроенные приборы, позволяющие измерять сопротивление, не подвергая испытуемый элемент нагреву большими токами, но часто вполне можно обойтись простым способом, который вы применяли в ваших опытах. В измерениях, проводимых в опытах 14–19 (см. ниже), пользуйтесь именно этим способом.

Фиг. 38. Измерение сопротивления.

Опыт 14. Измерение сопротивления отрезка провода или катушки. Если вы приняли, что проволока «подчиняется закону Ома», т. е. что для нее характерно некоторое постоянное значение отношения напряжения к силе тока, то вам достаточно взять лишь одну пару измеренных значений силы тока и напряжения. Можно взять другую пару независимых значений для проверки, но если вы не собираетесь начать сызнова общее исследование нового элемента электрической цепи, то нет никакого смысла производить всю серию измерений. Снимите пару достаточно точных показаний приборов и вычислите сопротивление. (Помните, что измерения, при которых отсчет берется в самом начале шкалы измерительного прибора, вблизи нуля дают бóльшую процентную ошибку, чем измерения, при которых показания измерительного прибора снимаются в средней части шкалы.). Опыт 15. Измерьте сопротивление резистора (например, с маркировкой «2000 ом»). Чтобы произвести одно измерение, не обязательно использовать делитель напряжения, однако необходимо иметь в виду, что в измеряемый ток не должен входит ток, текущий через вольтметр. Опыт 16. Измерьте сопротивление вольтметра, которым вы пользуетесь. ЭЛЕКТРОЛИЗ И ЗАКОН ОМА. Опыт 17. Исследуйте вольтамперную характеристику электролитической ванны с медными электродами[30], предназначенной для электроосаждения меди. Опыт 18. Исследуйте вольтамперную характеристику электролитической ванны с подкисленной водой, в которой при протекании тока электродах выделяются кислород и водород[31]. Получающаяся характеристика такой электролитической ванны может ввести в заблуждение, и чтобы этого не произошло, нужно придерживаться следующей методики. Возьмите в качестве источника 6- или 8-вольтовый аккумулятор и подключите к нему прибор для электролиза воды без реостата. Вы можете прикладывать напряжения 2 в, 6 в и промежуточное значение, но вам, очевидно, придется оставить неисследованной область в пределах от 0 до 2 в. Набросайте график в виде ряда экспериментальных точек. Можно ли провести прямую вблизи точек этого графика? Можно ли его истолковать? Это будет рассмотрено ниже. Опыт 19 (необязательный). Обнаружение неисправности в кабеле или проводах. Предполагая, что справедлив закон Ома, определите место повреждения в модели линии телефонной проводной связи. Провода воздушных линий и подземные кабели могут подвергаться разного рода разрушительным воздействиям. При эксплуатации линий проводной связи и трасс электропередачи требуется определить место повреждения и направить к нему ремонтников.

Фиг. 39. Отыскание места повреждения.

При этом желательно не посылать велосипедистов для обнаружения запутанных проводов или землекопов, необходимых для вскрытия всего кабеля, ибо то и другое сопряжено с затратами времени и денег. Поэтому для обнаружения места повреждения и определения его удаления от концов линии пользуются электрическими методами. Определить место полного разрыва внутри кабеля, как на фиг. 39, а, трудно, зато определение места короткого замыкания вследствие касания двух проводов (фиг. 39, б) не представляет труда. (Причина? Птицы, лопата садовника.). Вам даются два провода, моделирующие, скажем, линию от Нью-Йорка (А) до Бостона (В) и обратно. Провода скручены в одной точке (С) для имитации короткого замыкания и закрыты кожухом, скрывающим место скрутки. Произведите измерение в А, затем перенесите свои приборы и произведите измерение в В. Измерьте длину провода от А до В и найдите путем расчета местоположение неисправности, руководствуясь здравым смыслом и используя простые пропорции и правила арифметики. Проверьте свой расчет, либо осмотрев провода, либо спросив, где находится место повреждения. Специалисты, занимающиеся отысканием повреждений в линиях, располагают остроумными приборами для измерения сопротивлений, но принцип, на котором основан метод поиска, такой же, как здесь.

Фиг. 40. Модель телефонной линии с «повреждением».

ОПЫТЫ С ИСТОЧНИКОМ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА.

По соображениям, о которых пойдет речь ниже, в современных системах электроснабжения не пользуются постоянным по величине напряжением, при котором через лампочки и другие устройства протекал бы неизменный по величине ток. Вместо этого используют переменное напряжение, которое изменяется, скажем, от +150 в до 100 в, до 50 в, до нуля, затем, пройдя значения —50 в, — 100 в, доходит до —150 в, а потом проходит те же значения в обратном порядке: —100 в, — 50 в, 0 и снова возрастает до +150 в и т. д. Иначе говоря, величина напряжения совершает простое гармоническое колебание с амплитудой 150 в (см. гл. 10). График зависимости такого напряжения от времени представляет собой «синусоиду» (фиг. 41).

Фиг. 41. Переменное напряжение.

Если приложить это напряжение к резистору, подчиняющемуся закону Ома, то оно в каждый момент времени создает соответствующий ток — маленькие резвые электроны обладают мгновенной реакцией, — поэтому график зависимости силы тока от времени такой же. Такой ток называют переменным и говорят об источниках напряжения переменного тока.

Опыт 20. Переменный ток. Как вы думаете, что будет, если пропустить переменный ток через лампочку? Подключите источник переменного тока к соответствующей лампочке (например, источник с напряжением 5 или 6 в к автомобильной лампочке). Что будет, если пропустить переменный ток через обычный амперметр?[32] Включите амперметр в цепь с лампочкой[33]. Сравните показание амперметра с показанием, которое он дает при накаливании той же лампочки постоянным током от источника с таким же напряжением.

Фиг. 42. Разность потенциалов и ток при подключении резистора к переменному напряжению.

Опыт 21. Напряжение переменного тока и вакуумный диод. Как вы думаете, что будет, если приложить напряжение переменного тока между анодом и катодом (или нитью накала) диода? 1) Составьте цепь, показанную на фиг. 43, использовав в качестве испытуемого объекта радиорезистор (RR). Отметьте показание миллиамперметра. 2) Включите вместо RR радиолампу (с любыми вспомогательными приборами, которые вы сочтете необходимыми). Посмотрите, что показывает миллиамперметр.

Фиг. 43. Опыт 21.

Опыт 22. Электроны чертят графики временной зависимости. Пучок электронов может служить для вычерчивания графиков временной зависимости точно так же, как он рисует изображение на экране телевизора. В следующей главе мы рассмотрим устройство трубок, применяемых для этой цели, теперь же мы просто воспользуемся прибором с такой трубкой для вычерчивания графиков напряжения переменного тока. Прибор этот называется электронным или катодно-лучевым осциллографом. Поперек экрана осциллографа непрерывно движется с постоянной скоростью световое пятно, образуя ось времени. Пятно смещается вверх и вниз пропорционально приложенному напряжению и, таким образом, вычерчивает график зависимости этого напряжения от времени. Чтобы увидеть, как действует диод, нужно рассмотреть на экране график зависимости тока, текущего через диод, от времени. Для этого нужно получить небольшое напряжение, изменяющееся прямо пропорционально току. С этой целью включают в цепь сопротивление, подчиняющееся закону Ома (SR), как показано на фиг. 44.

Фиг. 44. Опыт 22.

_{Изучение тока, текущего через компонент цепи, с помощью электронного осциллографа. Разность потенциалов на специально включенном сопротивлении SR пропорциональна току, под действием этой разности потенциалов светящееся пятно движется по экрану вверх или вниз.}

Составьте предыдущую цепь с радиорезистором RR, на который подается напряжение переменного тока, и включите в цепь сопротивление SR, как показано на фигуре. Подсоедините проводами концы сопротивления SR к осциллографу: кривая на экране представляет собой график зависимости тока в цепи от времени[34]. Теперь вместо резистора RR включите диод и снова посмотрите на экран. (Сперва подумайте над тем, как действует радиолампа, и посмотрите, не удастся ли вам предсказать форму кривой тока до того, как вы станете наблюдать ее на экране осциллографа.). Такое действие диода, в результате которого получаются полуволны тока одного направления, называется «однополупериодным выпрямлением»[35]. Оно оказывается весьма полезным в тех случаях, когда хотят получить постоянный ток от источника напряжения переменного тока. Например, аккумуляторы заряжают, пропуская через них ток в «обратном» направлении. Для этого нужно иметь постоянный ток. Переменный ток совершенно не годится для этой цели, он мог бы даже причинить известный вред. Выпрямительные лампы позволяют получить пульсирующий постоянный ток для зарядки аккумулятора от источника переменного тока (фиг. 45).

Фиг. 45. Диод как «однополупериодный» выпрямитель, используемый для зарядки аккумулятора.

Остроумная схема из двух диодов (иногда оба диода размещают в одном и том же стеклянном баллоне) дает «двухполупериодное выпрямление», при котором пульсирующий ток получается более близким к току с постоянной амплитудой. Поток электронов устремляется сначала через один диод, потом через другой, затем снова через первый и т. д. — подобно тому, как если доить корову двумя руками: молоко все время течет в одном направлении — в подойник. Таким образом, в аккумулятор поступают импульсы тока, который течет все время в одном направлении, проходя через диоды в виде потока электронов. Работа двухполупериодного выпрямителя рассмотрена в задаче 34. Советуем вам посмотреть соответствующий демонстрационный опыт. Опыт 23. Линия электропередачи. Позже мы будем рассматривать линии электропередачи в задачах, а еще позже вернемся к линиям с источниками переменного тока. Но на данном этапе желательно, чтобы вы сами исследовали в лаборатории с помощью измерительных приборов модель системы электроснабжения. В этом опыте наиболее плодотворным следует считать обсуждение измерений, поэтому мы дадим вам подробные указания к выполнению опыта. Протяните два провода из проволоки с высоким сопротивлением, укрепив их на стойках. Это будет модель линии электропередачи между электростанцией (ЭС) и поселком (П). Для имитации поселка, потребляющего электроэнергию, возьмите лампу накаливания (Л), а моделью электростанции пусть служит аккумуляторная батарея. На настоящих электростанциях щит управления освещается лампочкой, которая подключается в обход тех плавких предохранителей или разъединителей цепи, через которые поступает ток в поселок. Включите тоже такую лампочку (Л_щ). Она будет служить для сравнения с Л (измерять ток через Л_щ не следует). Включите прибор для измерения тока в линии электропередачи от электростанции до поселка и обратно. Возьмите длинные соединительные провода для вольтметра, чтобы проделать необходимые измерения величин, указанных в бланке с таблицей для записи результатов. Вычислите мощность, отдаваемую на каждом участке цепи. Проделайте арифметическую проверку очевидного ожидаемого результата. Вычислите коэффициент полезного действия, определяемый следующим образом. Коэффициент полезного действия — это отношение. ПОЛЕЗНАЯ МОЩНОСТЬ, потребляемая поселком / ПОЛНАЯ МОЩНОСТЬ, отдаваемая в линию электропередачи (включая потребляемую поселком). Теперь, оставив ту же линию электропередачи, возьмите вместо аккумулятора источник питания с высоким напряжением, скажем 120-вольтовую сеть постоянного тока. При этом придется взять другие лампочки, но можно выбрать лампочки той же мощности или той же силы света. Повторите опыт и вычисления. (На этом указания должны заканчиваться; как говорится, «делайте выводы». Если вы не сделаете сами важный вывод, значит, вы просто…).

Фиг. 46. Лабораторный опыт, посвященный изучению линии электропередачи.

_{А — линия электропередачи; б — модель линии электропередачи (в вашем лабораторном журнале вы должны начертить настоящие схемы цепи, а не просто эскизы, как на этой фигуре; «кабели» можно показать в виде резисторов); в — пример таблицы для записи результатов опыта.}

Поражение электрическим током.

Болевые ощущения при ударе током и вредное действие на организм вызываются, по всей вероятности, химическими эффектами электрического тока: возможно, появлением пузырьков газа в кроветоке и стеканием зарядов по нервам, которое сопровождается расстройством нервной системы. Таким образом, электротравмы связаны с током. Ощутимый удар током возникает при достаточно большом напряжении, под действием которого через сопротивление вашего тела протекает заметный ток. Сопротивление человеческого тела непостоянно во времени и меняется в широких пределах от одного человека к другому. Наибольшая доля сопротивления приходится на сухой наружный кожный покров: жидкая среда внутри человеческого организма содержит соли, которые делают ее хорошим проводником. Возьмитесь сухими руками за зажимы 6-вольтового аккумулятора. Ток, который входит в одну руку, проходит через ваше тело и выходит через вторую руку, слишком мал, чтобы его можно было заметить. Но миллиамперметр отметит наличие тока. Прикосновение к зажимам 100-вольтовой батареи причинит боль и представляет опасность.

Если вы здоровы и у вас хорошее сердце, то ваш преподаватель может предложить вам ряд напряжений, скажем 6 в, 10 в, 20 в и т. д. (от сухой батареи или от делителя напряжения), чтобы вы регистрировали напряжение, ток (с помощью миллиамперметра) и болевое ощущение. Можете оценить сопротивление вашего тела. Если смочить руки, то сопротивление тела станет значительно меньше. В этом случае даже небольшое напряжение может оказаться опасным или смертельным. Все дело в токе.

Если у вас влажная кожа, то вы, вероятно, будете испытывать при одном и том же токе те же болевые ощущения, но ток этот пойдет под действием значительно меньшего напряжения. Сила тока порядка десяти миллиампер может вызывать болевые ощущения. Сила тока в один ампер, по-видимому, смертельна. Одним из основных результатов поражения электрическим током следует считать расстройство нервного центра, управляющего дыханием.

При спасении пострадавшего первое, что нужно сделать, это оторвать его от электрической сети, а затем начать делать ему искусственное дыхание.

Задача 19. Вольтметр и батарея. Вольтметр, подсоединенный к концам участка провода, по которому проходит ток, говорит нам о том, сколько джоулей энергии «отдает» каждый кулон, проходя по этому участку проволоки. Кулон не производит этой энергии. Он переносит ее в форме электрической энергии (от батареи перенос происходит, по-видимому, под действием электрического поля) и освобождает в какой-то другой форме энергии, чаще всего тепловой. Таким образом, вольтметр говорит нам о количестве энергии, которое освобождает каждый кулон в какой-то форме, проходя по проволоке. Можно представлять себе вольтметр как прибор, который отбирает на пробу несколько кулонов и, пропуская их через свой механизм, выясняет, какое количество электрической энергии каждый кулон может отдать. Когда вольтметр подсоединяют к зажимам батареи или генератора, он опять-таки показывает вольты или джоули/кулон, но уже не говорит нам, какое количество энергии «переводится» каждым кулоном из электрической в тепловую от батареи или генератора. О чем говорит нам вольтметр в этом случае?

Источник энергии: э.д.с.

Источники питания — батареи и генераторы — независимо от того, как они работают, представляют собой устройства, сообщающие энергию (измеряемую в джоулях) электрическим зарядам (измеряемым в кулонах), которые перемещаются по цепи. Мы пользуемся выражением «6-вольтовый аккумулятор», не объясняя, что означает напряжение для аккумулятора. И вы совершенно правильно понимаете содержащуюся в этом выражении информацию как указание на величину энергии, сообщаемой кулону для каждого обхода цепи. При движении кулона по цепи происходит преобразование отдаваемой кулоном энергии из электрической в тепловую и т. д. В источнике питания, напротив, кулон получает электрическую энергию за счет других форм энергии: химической в батареях, механической в генераторах. Применительно к таким источникам электрической энергии мы не называем показание вольтметра напряжением, а присваиваем ему более громкое наименование: электродвижущая сила, или э.д.с. Э.д.с. измеряется в джоулях на кулон, т. е. в вольтах, но, говоря об э.д.с., имеют в виду преобразование энергии в обратном направлении: из химической или механической в электрическую.

Батарею, сообщающую энергию кулонам, можно уподобить двигателю тележки в аттракционе «американские горы», который осуществляет первоначальный подъем каждой тележки на гору, сообщая ей запас потенциальной энергии для спуска. Представим себе, что двигатель у подножия горы перед первым подъемом говорит тележке: «Вот тебе столько-то энергии для спуска. Используй это количество энергии, как хочешь, но не возвращайся обратно, пока не израсходуешь его полностью»[36]. Когда тележка возвращается «с пустыми руками», двигатель восполняет запас энергии, поднимая тележку для следующего спуска. Мы знаем из исследований Джоуля, что химические превращения, тепловое действие тока и т. д. играют должную роль в балансе закона сохранения энергии. Мы знаем также, что при прохождении каждого кулона через батарею должно произойти всегда одно и то же количество химических превращений (подобно выделению 0,000000329 кг меди, но в обратном направлении). Поэтому мы полагаем, что химическая энергия должна складываться из того количества энергии, которое тратится на каждый кулон и переходит в энергию, отдаваемую кулоном в цепи, скажем в виде тепла, и любого количества энергии, которое кулон сохраняет в виде «сбережений» после обхода цепи. В обычных цепях мы не обнаруживаем признаков увеличения запаса энергии с течением времени[37]. Правда, вы встретитесь с подобными случаями, когда будете знакомиться с «большими ускорителями», которые ускоряют ионы и электроны (см. гл. 42). Таким образом, мы считаем, что каждый кулон расходует при обходе цепи всю свою потенциальную энергию. Кулоны движутся и движутся по цепи, расходуя при каждом обходе количество джоулей, численно равное э.д.с., и завершая обход цепи «с пустыми руками». Часть этой энергии расходуется в самой батарее и теряется в виде тепла совершенно бесполезно. Точно так же генератор нагревается током, который он сам вырабатывает, вследствие чего коэффициент полезного действия генератора оказывается меньше 100 %.

Сводка полученных сведений об электрической цепи.

Мы представляем себе кулоны как крупные сгустки электронов, которые движутся по цепи, отдавая энергию, приобретенную при каждом прохождении их через батарею. Этот поток зарядов, который мы называем током и измеряем в кулонах в секунду и амперах, одинаков во всех точках цепи. Если цепь разделяется на несколько параллельных ветвей, то ток разделяется на меньшие токи, сумма которых равна полному току в основной цепи. Поскольку мы считаем, что кулон при полном обходе цепи отдает весь свой запас энергии, мы полагаем, что напряжения на всех участках внешней цепи должны в сумме равняться полному напряжению на зажимах батареи или генератора. Мы убеждаемся, что так оно и есть. Если из проводников, подчиняющихся закону Ома, составляется сложная цепь, то мы можем применить к ней эти представления о разветвлении токов и суммировании напряжений и рассчитать «сопротивление» группы проводников, соединенных последовательно или параллельно. (Эти расчеты имеют важное значение в технике, но здесь они нам не нужны.).

Опыты с радиолампами заставляют предполагать, что раскаленные металлы испускают отрицательно заряженные носители тока, которые мы называем электронами, и мы считаем, что электроны могут являться носителями тока в металлических проводах. Это предположение подтверждается некоторыми косвенными данными. Мы представляем себе рой электронов, беспорядочно блуждающих в решетке из атомов металла; электроны совершают дрейф под влиянием приложенного напряжения и теряют приобретенную ими кинетическую энергию при столкновениях, сообщая атомам тепло.

При электролизе (см. гл. 35), как мы считаем, носителями тока являются не электроны, а положительные и отрицательные ионы (заряженные атомы, которые потеряли или приобрели лишние электроны). Этим носителям тока тоже приходится преодолевать трение в жидкости — столкновения с молекулами, — «поэтому и они теряют энергию в виде тепла; кроме того, ионам, возможно, приходится преодолевать на своем пути тормозящие электрические силы, появляющиеся при химических превращениях у электродов. Таким образом, часть энергии ионов превращается в химическую энергию. В электромоторах носители тока — по нашему предположению электроны — встречают на своем пути поперечные магнитные поля, которые развивают э.д.с., тормозящую движение электронов. Поэтому приложенному извне напряжению приходится продвигать электроны, преодолевая дополнительные силы, вследствие чего часть энергии электронов преобразуется в механическую энергию.

Закон Ома. Правила и расчеты.

Опыты Ома, подтвержденные впоследствии с большой точностью для широкого диапазона токов, показали, что для металлов и некоторых других проводников отношение напряжение/сила тока при неизменной температуре остается постоянным. Это применимо к каждому участку цепи и ко всей цепи. В последнем случае мы говорим:

Э.Д.С. / СИЛА ТОКА = СОПРОТИВЛЕНИЕ ВСЕЙ ЦЕПИ.

(включая сопротивление батареи или генератора).

Постоянство отношения напряжение/сила тока представляет собой важный результат опыта. В большинстве исследований постоянному отношению присваивают наименование после того, как устанавливают его постоянство. Ом планировал свои исследования, исходя из представления о сопротивлении потоку. Тем не менее неразумно говорить, будто Ом доказал, что отношение напряжение/сила тока равно уже известной величине — сопротивлению, словно сопротивление было вполне определенной характеристикой, данной (и названной) неким божеством задолго до Ома и ожидавшей, пока докажут, что она равна отношению напряжение/сила тока. Правильнее сказать, что отношение напряжение/сила тока = постоянной, называемой сопротивлением.

Ом установил, что при увеличении длины проволоки вдвое сопротивление удваивается: сопротивление прямо пропорционально длине проводника. При увеличении диаметра проволоки вдвое сопротивление уменьшается в четыре раза: сопротивление обратно пропорционально площади поперечного сечения проводника. Объединяя оба утверждения, мы записываем:

Постоянная ρ называется удельным сопротивлением. Она представляет собой характеристику материала проволоки и не зависит от формы и размера образца (хотя она может изменяться с температурой). Обратная величина, 1/ρ, называется электропроводностью; она обладает замечательным сходством с теплопроводностью. Чтобы сравнить обе величины, запишем.

Следовательно,

Но сила тока — это скорость потока электричества, т. е. электрический заряд/время. Поэтому перепишем это равенство:

Тепло, проходящее по стержню благодаря теплопроводности, записывается следующим образом:

Таким образом, электропроводность (1/ρ) и теплопроводность (k) аналогичны. Действительно, значения обеих величин обнаруживают удивительное сходство. Металлы, будучи хорошими проводниками электрического тока, являются также хорошими проводниками тепла, а те из них, которые лучше всего проводят электрический ток, такие, как медь, серебро, алюминий, лучше всего проводят тепло. Соответствие настолько поразительно, что мы полагаем, что носители электрического тока ответственны и за перенос тепла.

Закон Ома не универсален.

Существует много материалов и приборов, которые не подчиняются закону Ома. Радиолампы, транзисторы, кристаллы минералов при плохом контакте обнаруживают несимметричные графики зависимости между напряжением и током. Графики эти искривлены, часто имеют ярко выраженные «изломы». Мы отнюдь не считаем эти исключения досадными: приборы с такими вольтамперными характеристиками используются в качестве выпрямителей (для зарядки аккумуляторов и детектирования радиосигналов) и находят другие важные применения в современной электронике. В системах электроснабжения для защиты от молний применяют прибор, изготовленный из карбида кремния, который обладает очень большим сопротивлением при обычных напряжениях, но когда молния ударяет в линию электропередачи и создает очень высокое напряжение, он разрушается, причем сопротивление его становится малым. Для всех этих «нелинейных» материалов и приборов мы по-прежнему можем вычислить сопротивление, но оно не имеет постоянного значения.

Последовательное и параллельное соединения.

Опыты показывают, что если несколько проводников сопротивлением R₁, R₂… и т. д. соединить последовательно, то общее сопротивление такой группы проводников R равно R₁ + R₂ +… т. е. сумме отдельных сопротивлений. Если несколько таких проводников соединить параллельно (присоединяя все проводники концами к одним и тем же двум точкам), то общее сопротивление R дается соотношением 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + и… т. д. Проводимость такой группы проводников 1/R равняется сумме проводимостей отдельных проводников. Эти правила могут быть выведены из предположений о сохранении энергии и правил для сложения токов.

Фиг. 47.

Температурная зависимость сопротивления.

Металлы меняют свое сопротивление с изменением температуры. Сопротивление таких химических элементов, как медь и вольфрам, увеличивается с ростом температуры[38]. Грубо говоря, сопротивление большинства чистых металлов в широких пределах изменяется прямо пропорционально абсолютной температуре.

Сопротивление углерода уменьшается с повышением температуры. У сплавов удельное сопротивление обычно больше, чем у металлов, которые входят в их состав; сплавы с высоким удельным сопротивлением применяют для высокоомных катушек в реостатах и т. д. У некоторых сплавов сопротивление почти не меняется с изменением температуры (например, у константана, сплава 60 % меди и 40 % никеля, который вы, возможно, применяли в вашем первом лабораторном опыте по изучению закона Ома с целью облегчить его выполнение). Эти сплавы используют для изготовления эталонов сопротивления.

Задачи.

Если известно сопротивление линии электропередачи, катушки генератора, или обмоток электромотора, то мы можем вычислить потери мощности, рассчитать силу тока, соответствующую заданному напряжению, и вообще выяснить, что должно произойти в цепи, не прибегая к сложным опытам. Инженеры-специалисты по проводной связи и передаче электроэнергии тщательно измеряют и записывают сопротивления своих линий. Поэтому они могут отыскивать неисправности путем простых измерений сопротивления с обоих концов линии. Предлагая вам арифметические задачи на закон Ома, мы стремились к тому, чтобы вы лучше поняли основы электротехники, а не просто теряли время на упражнения в арифметике, подставляя числа в готовые формулы. Внимательно анализируйте результаты ваших расчетов.

Словарь единиц измерения.

Ниже дан словарь некоторых единиц измерения, который может оказаться полезным. При решении задач нельзя допускать жаргонного употребления приведенных ниже соотношений вместо названий соответствующих физических величин.

1 джоуль = 1 ньютон-метр. 1 ампер = 1 кулон/сек. 1 ватт = 1 джоуль/сек. 1 вольт = 1 джоуль/кулон. 1 ом = 1 вольт/ампер.

Задачи к главе 32.

Задачи 1—19 приведены в тексте главы. Задача 20. Смысл «вольтов» и т. д. Утверждение «сила тока в цепи равна 5 а» означает, что через каждое сечение проводников в цепи за каждую секунду проходит 5 кулонов. Спишите следующие утверждения и дополните их аналогичным образом. А) Утверждение «сила тока в цепи равна… ампер» означает, что… Б) Утверждение «к небольшому нагревателю подводится мощность 10 вт» означает, что… В) Утверждение «напряжение между концами проводника равно 12 в» означает, что… Задача 21. Нити накала ламп. Две лампочки накаливания, А и Б, рассчитаны на различные напряжения, но обе дают одну и ту же мощность при нормальном режиме работы. Лампочка А светит на полную яркость при 6 в, Б — при 120 в. А) Какой ток потребляет лампочка Б по сравнению с А, больший или меньший? Б) Дайте четкое обоснование вашему ответу на вопрос а). В) Какой должна быть нить накала у лампочки Б, более короткой или более длинной, чем у лампочки А, при одинаковой толщине? Г) Какой должна быть нить накала у лампочки Б, более толстой или более тонкой, чем у А, при одинаковой длине? Д) Дайте четкие обоснования вашим ответам на вопросы в) и г). Задача 22. Дуговая лампа устойчиво горит, когда напряжение на ней равно 70 в. Какое сопротивление нужно включить последовательно с лампой, если ее подключат к источнику с напряжением 100 в? А) Напряжение источника 100 в. Что это означает? Б) Напряжение между концами дуги 70 в. Что это означает? В) Какое, следовательно, напряжение должно быть на добавочном сопротивлении? Г) Если дуга потребляет силу тока 5 а, то какой ток должен течь по сопротивлению? Д) Каково должно быть сопротивление соответствующего резистора? Е) Начертите цепь, состоящую из источника питания, дуговой лампы и добавочного резистора. Задача 23. Сопротивление лампы накаливания. А) Лампа накаливания потребляет 200 вт. Что это означает? Б) Лампа работает от 100-вольтового источника питания. Что это означает? В) Какой ток потребляет лампа? Г) Каково сопротивление лампы, когда она горит? (Покажите, как вы пришли к своим ответам.). Задача 24. Электронвольты. Когда электрон движется против направления поля, его энергия возрастает благодаря действию на него поля. Если электрон переместился из одной точки в другую, разность потенциалов между которыми 1 в, то говорят, что электрон приобретает один «электронволът» энергии (1 эв). Используя величину заряда электрона и определение вольта, вычислите значение одного электронвольта в джоулях. (Заряд одного электрона равен — 1,60∙10^-19 кулон.). Хотя это и отрицательный заряд (в соответствии с нашим выбором знаков), электронвольт не есть отрицательная энергия. Электрон, обладающий отрицательным зарядом, приобретает энергию, проходя отрицательную разность потенциалов, например, — 1 в. Задача 25. Полкилограмма урана (U²³⁵) содержит примерно 10²⁴ атомов. Установлено опытом, что при делении одного атома U²³⁵ освобождается примерно 200 000 000 электронвольт энергии. А) Какое количество тепла выделилось бы при полном делении полкилограмма U²³⁵; Б) Уголь, состоящий главным образом из углерода, дает 7000 килокалорий при сгорании 1 кг с образованием СО₂. Во сколько раз больше энергии дают 0,5 кг U²³⁵ по сравнению с 0,5 кг угля? В) Масса атома углерода близка к ¹/₂₀ массы атома урана, поэтому 0,5 кг угля содержат свыше 20∙10²⁴ атомов. Подсчитайте, какое количество энергии в электронвольтах на атом выделяется при сгорании угля. (Данные приближенные, и ваша оценка может быть верна с ошибкой 10–20 %.). Задача 26. А) Для какой величины служит единицей измерения киловатт∙час? Б) Выразите 1 киловатт-час в других общепринятых единицах (не употребляя слова «ватт»), В) Во многих городах 1 киловатт∙час стоит примерно 4 цента. Предположите для удобства расчетов, что 1 киловатт∙час стоит 3,6 цента. В таком случае 1 центом можно было бы оплатить…? (Укажите число и единицу измерения.). Задача 27. Общее свойство напряжения. В этой задаче рассматривается важное свойство напряжения (разности потенциалов) как величины, входящей в расчет энергии. Предположим, что в ветвях цепи на участке от X до Y, о котором идет речь ниже, нет «источников» э.д.с. — батарей, где происходят химические превращения, или генераторов с меняющимся магнитным полем. Тогда мы можем сказать, что каждый кулон растрачивает в какой-то форме в интервале между X и Y электрическую потенциальную энергию, принесенную из другого участка цепи.

Фиг. 48. К задаче 27.

А) В некоторой цепи два проводника А и Б соединены параллельно, как показано на фигуре. Для измерения напряжения между концами проводника А используют вольтметр. Вольтметр показывает 100 в. 1) Что такое напряжение между концами проводника Б? 2) Предположим, что напряжение между концами проводника Б не то же самое, что напряжение между концами проводника А, скажем напряжение на Б равно 101 в. Что произойдет, если пустить 1 кулон по пути Б и затем, затратив достаточное количество энергии (из той, что при этом выделится), перетащить этот кулон обратно по пути А? Какое количество энергии мы приобрели бы (из ничего) при таком обходе? Какой вывод вы можете сделать из этого рассуждения относительно поставленного выше вопроса 1)? Б) Как и в задаче а), имеются две параллельные ветви. Одна из них — проводник А, концы которого совпадают с точками X и Y; другая — радиолампа, в которой из раскаленной нити накала испускаются электроны; электроны движутся в лампе между X и Y. Если напряжение между концами проводника А 100 в, то, согласно рассуждениям, проведенным в а), напряжение между выводами радиолампы должно быть…? В) Точки X и Y соединены проводником А, как в задаче б), а другой путь от X до Y проходит не через проводник или радиолампу, а по воздуху, вдоль траектории блуждающего электрона, которому удается попасть из X в Y, избежав захвата. Если разность потенциалов между концами ника 100 в, то какую разность потенциалов проходит заряд, движущийся вдоль указанной траектории электрона? Г) Какое общее утверждение можно сделать относительно разности электрических потенциалов между двумя точками X и Y при условии отсутствия «источников»? Задача 28. Электрический заряд, проходя разность потенциалов, приобретает электрическую энергию и отдает ее в какой-то другой форме. В какой форме отдается энергия. А) В проволоке? Б) Когда к потоку электронов в радиолампе прикладывают напряжение? В) Когда пропускают ток через аккумулятор в обратном направлении, «заряжая» его? Задача 29. Задача о системе электроснабжения. Электростанция снабжает током отдаленный поселок по длинному тонкому медному кабелю, сопротивление которого составляет 0,1 ом от электростанции до поселка и 0,1 ом от поселка обратно к электростанции. Поселок потребляет 50 а, которые расходуются на освещение и другие нужды. А) Какой СИЛЫ ТОК проходит по медному кабелю от электростанции до поселка? Б) Какое НАПРЯЖЕНИЕ необходимо, чтобы под действием его ток такой силы проходил через сопротивление 0,1 ом? В) Под действием какого НАПРЯЖЕНИЯ ток идет по кабелю от поселка до электростанции? Г) Если НАПРЯЖЕНИЕ в поселке 100 в, то каково полное напряжение, вырабатываемое генератором на электростанции? Д) Какую МОЩНОСТЬ потребляет поселок? Е) Какая МОЩНОСТЬ теряется в обоих отрезках кабеля? (Чтобы найти МОЩНОСТЬ, умножьте НАПРЯЖЕНИЕ на СИЛУ ТОКА, но нужно правильно взять напряжение для рассматриваемого участка цепи.). Задача 30. Задача об электроснабжении фабрики: коэффициент полезного действия системы электроснабжения. Для решения этой задачи перепечатайте на машинке приведенный ниже текст, оставляя пустые места, куда потом нужно будет вписывать ответы. На фабрику по кабелю с общим сопротивлением 0,1 ом поступает 200 кет при напряжении на фабрике а) 100 в, б) 1000 в. Вычислите для каждого случая: 1) СИЛУ ТОКА; 2) НАПРЯЖЕНИЕ, которое теряется на кабеле при прохождении по нему этого тока; 3) МОЩНОСТЬ, которая теряется в кабеле; 4) КОЭФФИЦИЕНТ ПОЛЕЗНОГО ДЕЙСТВИЯ системы электроснабжения (определяемый как отношение мощность, потребляемая фабрикой / общая мощность, поступающая от электростанции) Чтобы ответить на поставленные в задаче вопросы, дополните приведенные ниже утверждения. Фабрика потребляет электроэнергию со скоростью 200 квт. Это означает, что ___ Вольтметр на фабрике показывает, что напряжение сети на фабрике 100 в. Это означает, что ___ на фабрике ___. Вольтметр на фабрике показывает, что напряжение сети на фабрике 100 в. Это означает, что на фабрике?/? или ___ кулон/сек. Этот ток течет от удаленной электростанции по питающему кабелю с общим сопротивлением (от станции и обратно) 0,1 ом. Закон Ома утверждает, что для большинства проводников отношение НАПРЯЖЕНИЕ/СИЛА ТОКА равно постоянной, называемой СОПРОТИВЛЕНИЕМ. Значит, в данном случае напряжение, необходимое, чтобы под действием него шел ток по питающему кабелю, должно быть ___, или ___ вольт. Это означает, что ___ в кабеле в виде тепла. Но сила тока в кабеле равна ___ кулон/сек. Следовательно, мощность, теряемая в кабеле, равна (___)(___), или ___ джоуль/сек, или ___ киловатт. Следовательно, коэффициент полезного действия системы электроснабжения, или отношение: МОЩНОСТЬ, ПОТРЕБЛЯЕМАЯ ФАБРИКОЙ / ОБЩАЯ МОЩНОСТЬ, ПОСТУПАЮЩАЯ ОТ ЭЛЕКТРОСТАНЦИИ. Равен ___, или ___ %. ПОВТОРИТЕ РАСЧЕТ ПРИ ТОМ ЖЕ ПОТРЕБЛЕНИИ МОЩНОСТИ ФАБРИКОЙ И ТОМ ЖЕ СОПРОТИВЛЕНИИ КАБЕЛЯ, НО ПРИ НАПРЯЖЕНИИ НА ФАБРИКЕ 1000 в. ЗАПИСЫВАЙТЕ ОТВЕТЫ В КОЛОНКЕ СПРАВА. Задача 31. Мощность. Утверждение «вольты, умноженные на амперы, дают ватты» представляет собой вульгарный, но удобный способ формулировки очень важного соотношения: МОЩНОСТЬ в ваттах = (НАПРЯЖЕНИЕ в вольтах)∙(СИЛА ТОКА в амперах). Проведите рассуждение, показывающее, что это соотношение верно. (Рассмотрите любое устройство, между концами которого существует напряжение V в при силе тока через него I а. Объясните, что означают эти данные, и покажите, что МОЩНОСТЬ должна быть равна V∙I вт.). Задача 32. Мощность и энергия, отдаваемые в резисторе. (При решении этой задачи оставляйте ответы в виде произведения сомножителей.). А) По проводнику течет ток силой 2 а, напряжение между концами проводника равно 42 в.

Фиг. 49. К задаче 32.

1) Чему равна МОЩНОСТЬ (скорость выделения энергии) в ваттах? 2) Чему равна МОЩНОСТЬ в калориях в секунду? 3) Какое количество ЭНЕРГИИ в джоулях рассеивается проводником за 10 сек? 4) Какое количество ЭНЕРГИИ в калориях рассеивается проводником за 10 сек? Б) По проводнику сопротивлением 21 ом течет ток силой 2 а. 1) С помощью закона Ома найдите напряжение между концами проводника. 2), 3), 4), 5) Ответьте на вопросы 1)-4), поставленные выше в а), В) Решите задачу б) для случая, когда по проводнику сопротивлением 21 ом течет вдвое больший ток, 4 а. Г) Сравните б) и в): как изменяются выделяемые в проводнике МОЩНОСТЬ и ЭНЕРГИЯ» если СИЛА ТОКА удваивается, а сопротивление остается неизменным? Задача 33. Закон Джоуля-Ленца для теплового действия тока. (Открытие этого закона относится к первому этапу изучения электрической цепи и представляет собой замечательное достижение»). В проводнике, по которому течет ток силой I а при напряжении V в между концами проводника, выделяется энергия со скоростью V∙I вт, за t сек выделяется V∙I∙t дж. Во многих случаях мы знаем сопротивление проводника и текущий по нему ток, но не знаем непосредственно напряжения на проводнике. Поэтому нужно вычислить мощность или энергию, зная СИЛУ ТОКА и СОПРОТИВЛЕНИЕ. Предположим, у нас имеется отрезок провода сопротивлением R ом, по которому течет ток силой I а. А) Запишите закон Ома и выразите напряжение через R и I. Б) Подставьте результат, полученный в а), в выражение для мощности НАПРЯЖЕНИЕ∙СИЛА ТОКА и дайте выражение для скорости выделения энергии в ваттах, используя R и I. В) Выразите результат, полученный в б), в калориях в секунду, Г) Дайте выражение для энергии, выделившейся за t секунд, 1) в джоулях, 2) в калориях. Ответы на вопросы б), в) и г) представляют собой выражения закона Джоуля — Ленца (количества «джоулева тепла»). Это ответы задачи 32 в общей форме. Рядовой инженер с этими формулами на короткой ноге, для техника они радость и гордость. Творчески мыслящие физики и инженеры тоже ценят их, но пользуются подобными формулами только тогда, когда понимают, как они получены. Ну, а что касается вас… Задача 34. Двухполупериодный выпрямитель. На фиг. 50 показана пара диодов, с помощью которых можно получить «двухполупериодное выпрямление». Чтобы с помощью такой комбинации диодов зарядить аккумулятор X от сети переменного тока, мы можем воспользоваться схемой, представленной на фиг. 50 (хотя в действительности вместо делителя напряжения берут трансформатор).

Фиг. 50. Схема двухполупериодного выпрямителя, используемого для зарядки аккумулятора.

_{Примечание. Цепь накала диодов не показана.}

К делителю напряжения ab прикладывается напряжение переменного тока с максимальным значением 200 в. Значит, когда напряжение между а и b равно 200 в, причем а положительно, напряжение между а и центральной точкой с равно 100 в и а положительно, а напряжение между Ь и с равно —100 в, причем Ь отрицательно. Четверть периода спустя напряжения эти равны нулю, а спустя еще четверть периода равны соответственно —100 и +100 в. А) Что происходит внутри обеих половин лампы в каждой из следующих стадий периода: 1) Когда напряжение ас равно +100 в, а напряжение ьс равно —100 в. 2) Четверть периода спустя, когда оба напряжения равны нулю. 3) Еще четверть периода спустя, когда напряжение ас равно —100 в, а напряжение be равно +100 в. Б) Начертите график временной зависимости (например, такой, как на экране осциллографа) для суммарного потока электронов через обе половины лампы (или через аккумулятор X). В) Начертите график временной зависимости для потока электронов, который получится, если удалить один анод (т. е. если лампа представляет собой простой диод). Задача 35. Экономика электроснабжения. Какие факторы следует учитывать при проектировании системы передачи электроэнергии с точки зрения наилучшего использования системы и снижения ее стоимости? Ответьте на этот вопрос, рассмотрев перечисленные ниже изменения в проекте системы, к которым может привести учет этих факторов. В каждом случае 1) скажите, как повлияет производимое изменение в проекте на рассматриваемую величину: приведет к ее увеличению, уменьшению или не изменит ее сколько-нибудь значительно, и 2) дайте обоснование вашему ответу на вопрос 1). А) От электростанции до поселка и обратно проложен питающий кабель. Изменится ли при данном кабеле коэффициент полезного действия при увеличении тока (включении большего числа осветительных ламп)? Почему? Б) Изменится ли коэффициент полезного действия при повышении напряжения питания (скажем, со 100 в до 1000 в) и соответствующей замене ламп накаливания? Почему? В) Повлияет ли переход к высокому напряжению на стоимость крепления кабеля на опорах (ТОГО ЖЕ САМОГО КАБЕЛЯ) и стоимость монтажа скрытой проводки? Почему? Г) Повлияет ли переход к высокому напряжению на условия безопасности работы на электростанции, на линии электропередачи, а также на безопасность потребителей электроэнергии? Почему? Д) Переход к высокому напряжению в поселке вызовет необходимость применения осветительных ламп с другой нитью накала. Какой должна быть новая нить накала по сравнению со старой: толще? Длиннее? Будет ли изготовление ламп, рассчитанных на значительно более высокое напряжение, гораздо сложнее или проще? Почему? Е) При протяженной линии электропередачи основная доля ее стоимости приходится на медный провод. Что вы могли бы порекомендовать для снижения стоимости линии? Какие другие изменения в линии электропередачи повлекла бы ваша рекомендация? Ж) Почему электроснабжение на переменном токе много удобнее, чем на постоянном? З) Укажите на некоторые недостатки электроснабжения на переменном токе. Задача 36. ЗАДАЧИ О ПОТОКАХ ЭЛЕКТРОНОВ, для решения которых достаточно иметь представление о содержании этой главы; см. задачи 1–4 в гл. 36.

Глава 33. Электрические заряды и поля: электростатика.

…Закон Кулона. Одноименные заряды отталкиваются, а разноименные притягивают друг друга с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними… во всех явлениях атомной и молекулярной физики, во всех твердых телах, жидкостях и газах и во всех явлениях, затрагивающих наши взаимоотношения с окружающим нас миром; единственная действующая сила, кроме тяготения, — это какое-либо проявление силы, описываемой этим простым законом. Силы трения, сила ветра, химические связи, вязкость, магнетизм, силы, заставляющие вертеться колеса фабрик и заводов, — все эти явления — не что иное, как закон Кулона… Дж. Р. Захариас В журнале «Science», 8 марта 1957 г. Изучению покоящегося электричества — «электростатике» — обычно отводится значительное место в курсе элементарной физики. Это дань застывшей традиции: ведь два столетия назад сведениями о покоящихся зарядах исчерпывались все знания об электричестве. Начинать изучение современных электрических цепей с электростатики — неправильный подход, и мы отказались от него. Кое-какие познания в электростатике вам, правда, понадобятся для изучения атомной физики. Насколько много вы увидите и узнаете из этой области физики, будет зависеть от аппаратуры, от погоды и от преподавателя. В общем, чем меньше, тем лучше.

Покоящиеся электрические заряды.

Если электрическая цепь не замкнута, то ток по ней не течет. Но когда к незамкнутой цепи подключают батарею, по цепи протекают кратковременные токи, как показано на фиг. 51.

Фиг. 51. Кратковременные токи.

_{А — цепь замкнута, установившийся ток; б — цепь с разрывом, установившегося тока нет; в — цепь с разрывом; кратковременный «зарядный ток» при замыкании ключа, для обнаружения которого требуется весьма чувствительный прибор; г — цепь, в разрыв которой введены пластины; кратковременные «зарядный» и «разрядный» токи большей величины.}

Если оба провода в месте разрыва цепи заканчиваются большими пластинами из листового металла (образующими «конденсатор»), то кратковременные «зарядные токи» больше по величине, или протекают более продолжительное время. В течение доли секунды протекает несколько «кулон/сек». Следовательно, сколько-то «кулонов» должно пройти от батареи к пластинам и остаться там, прежде чем поток зарядов прекращается. Измерительные приборы показывают, что положительный ток течет к одной пластине и от другой пластины (или что к другой пластине течет отрицательный ток). Поэтому мы считаем, что, следовательно, на пластинах имеются заряды «+» на одной и «—» на другой, и говорим, что пластины «заряжены».

Если отсоединить батарею и включить вместо нее в цепь кусок проволоки, то потечет кратковременный ток в обратном направлении, пластины будут «разряжаться» через проволоку. Но пока это не сделано, заряды остаются на пластинах, отталкиваются батареей или удерживаются каким-то притяжением, действующим в промежутке между пластинами[39].

Можно показать, что пластины, будучи заряженными, действительно, притягивают друг друга. Сделайте пластины легкими и гибкими, например возьмите полоски тонкого листового металла и подведите к ним заряды от батареи. После того как пластины зарядятся, они притянутся друг к другу. Чем больше напряжение батареи (э.д.с.), тем больше притяжение. Это можно использовать для построения простейшего вольтметра. Для этого следует взять одну пластину в виде тонкого листочка металла и подвесить ее внутри металлической коробки, играющей роль второй пластины.

Фиг. 52. Двухполюсным переключателем батарею включают в цепь или отключают батарею и замыкают цепь без нее. Амперметры А и А показывают одинаковые кратковременные токи, текущие в одну пластину из другой. (Опыт 7 гл. 41.).

Когда между подвешенным листком и коробкой прикладывают напряжение, листочек отклоняется в направлении ближайшей стороны коробки. Угол отклонения указывает напряжение (в неравномерной шкале). Этот старинный прибор, которым пользуются еще и сейчас, носит название «электроскопа с золотыми листочками». Это идеальный вольтметр: он не потребляет тока (если не считать тока в момент подключения), но он очень слабо реагирует на разность потенциалов, меньшую примерно 300 в. Будучи однажды заряжены, металлические предметы остаются заряженными после отсоединения батареи, если они укреплены на изолирующих опорах, и к ним не прикасаются, скажем, металлической проволокой или влажными пальцами. Подсоедините две гибкие пластины А и В (или два воздушных шарика с металлическим покрытием на проводящих нитях) к зажимам «+» и «—» батареи: они притягиваются друг к другу. Укрепите теперь пластины А и В, заряженные «+» и «—», на изоляторах и зарядите еще одну пару пластин, А' и В', тоже соответственно «+» и «—». Поднесите А' к А: они отталкиваются (см. фиг. 54, г); В и В' тоже отталкиваются, тогда как А и В притягиваются. Вот почему нам нужны обозначения «+» и «—».

Фиг. 54. Электроскоп.

Две пластины, присоединенные к батарее, обладают противоположными зарядами и притягиваются; эти заряды исчезают («нейтрализуются»), если убрать батарею и соединить пластины куском проволоки.

Гибкие пластины или воздушные шарики не обладают никакими особыми электрическими свойствами — они были выбраны затем, чтобы малые электрические силы уравновешивались малыми силами тяжести. Так ведут себя любые металлические предметы (если только они укреплены на изоляторах, чтобы предотвратить появление токов, уносящих заряды). По проводникам (металл, графит и т. д.) заряды легко перемещаются. Вот почему можно до предела зарядить металлический предмет одним касанием провода от батареи. На изоляторах тоже могут собираться заряды, но лишь в том месте, где провод касается изолятора.

Батарея, присоединенная к двум изолированным металлическим предметам, быстро отталкивает к ним заряды до тех пор, пока разность потенциалов между предметами не станет равной э.д.с. батареи.

Фиг. 55. Движение зарядов.

Иногда нам кажется, что мы сообщаем заряд одному отдельно взятому предмету, и у нас возникает недоумение, куда девался заряд противоположного знака. Обычно можно убедиться в том, что он находится на окружающих телах: на коробке электроскопа, на стенах комнаты, на самой земле. Мы можем по небрежности оставить другой провод от батареи на влажном столе или полу, и по нему заряд противоположного знака, отталкиваемый батареей, будет отводиться «на землю». Или, напротив, намеренно присоединяем другой провод к водопроводной трубе, которая имеет соединение с землей. Если один зажим батареи «заземлен», то можно незаземленным проводом заряжать предметы. В этом случае говорят о потенциале заряженного тела, подразумевая разность потенциалов между этим телом и землей[40].

Но есть еще один замечательный способ заряжать тела, который годится для всех материалов. Он известен в течение столетий как способ, неразрывно связанный с учением об электростатике, о покоящемся электричестве. Подойдем теперь к нашей теме по-новому и рассмотрим простые явления, относящиеся к этому способу. Забудьте на мгновение то, что вы знаете о токах и зарядах, и проследите, как накапливались знания в далеком прошлом.

Фиг. 56.

Новый подход к изучению электростатики: заряжение тел «трением».

Потрите стержень из пластика, эбонита или сухого стекла куском ткани или меха: он будет притягивать пыль и маленькие кусочки бумаги. Два одинаковых натертых стержня отталкивают друг друга. Мы говорим, что они заряжены. На данном этапе «заряд» — это лишь наименование свойств «притягивать кусочки бумаги» и «отталкивать такие же тела»[41]. Мы представляем себе, что на поверхности стержней что-то скапливается, нечто такое, что мы называем электричеством, и это воображаемое скопление электричества именуется нами зарядом электричества, электрическим зарядом или просто зарядом. Можно показать, сняв поверхностный слой стержня, что заряд, который мы определяем таким образом, остается на поверхности стержня.

Проводники и изоляторы.

Куском провода можно отвести заряды с поверхности заряженного тела, то же самое можно сделать, коснувшись поверхности пальцами или влажной нитью. Но с помощью изоляторов, например стекла или плексигласа, этого сделать нельзя. Возьмем образцы из различных материалов и прикрепим их к изолирующим ручкам так, чтобы любые заряды, приобретаемые образцами, не могли с них уходить. Мы обнаруживаем, что любые два разнородных материала, касаясь друг друга, становятся заряженными — металлы, неметаллы, элементы, соединения.

Силы взаимодействия между зарядами.

Вскоре мы убеждаемся в том, что есть два рода зарядов; мы будем обозначать их через «+» и «—». Заряженные стержни из плексигласа или эбонита отталкивают друг друга, заряженные стержни из стекла (потертые о шелк) также отталкивают друг друга. Но заряженный плексиглас притягивает заряженное стекло. Если потереть стержень из плексигласа о мех, то оба тела — стержень и мех — становятся заряженными и притягивают друг друга. Мы называем отрицательными заряды, появляющиеся на эбоните, плексигласе, сере, и положительными — заряды на стекле и мехе, которым потерли плексиглас[42]. Силы взаимодействия между заряженными телами таковы: «+» и «+» отталкиваются, «—» и «—» отталкиваются, «+» притягивает «—» и «—» притягивает «+». Это можно выразить старой формулой:

ОДНОИМЕННЫЕ ЗАРЯДЫ ОТТАЛКИВАЮТСЯ, РАЗНОИМЕННЫЕ ЗАРЯДЫ ПРИТЯГИВАЮТСЯ.

Фиг. 57. Электрические заряды.

Умножение зарядов: электрофор.

Заряд большой величины легко получить с помощью электрофора — диска из плексигласа (или эбонита), заряжаемого трением о мех. Диск располагается на столе, заряжается его верхняя поверхность. Возьмите металлическую пластинку с изолирующей ручкой и зарядите ее следующим образом:

1) Поднесите металлическую пластинку на очень близкое расстояние к заряженному диску. (Не беда, если она коснется диска, поскольку диск — изолятор.).

2) Коснитесь одним пальцем металлической пластинки, присоединив ее (через руку, тело, подошвы обуви) на мгновение к земле. Затем уберите палец.

3) Снимите пластинку с диска. Пластинка теперь заряжена и легко может отдать часть заряда другим телам при соприкосновении с ними.

Сейчас нам кажется это бессмысленным занятием, чем-то вроде колдовского ритуала. Мы воспользуемся этим процессом для получения зарядов и объясним его позже, хотя вы могли бы отгадать объяснение, используя то, что уже знаете.

Заряд на диске остается неизменным, поэтому процесс можно повторить и получить бесконечный поток зарядов, поступающих на пластинку. Как вы думаете, откуда берется энергия?

Опыты с заряженной пластинкой, электроскопом и пробным шариком.

Если заряженную пластинку электрофора поднести на близкое расстояние к чьему-нибудь вытянутому пальцу или к носу, то возникает искра, и пластинка теряет свой заряд. Человек, к которому поднесли пластинку, испытывает легкий электрический удар, но не остается заряженным, если он не стоит на изолирующей подставке. Пластинку можно заряжать повторно и сообщать с помощью нее заряд какому-нибудь металлическому предмету, пока он почти не перестанет воспринимать заряд при дальнейших прикосновениях[43]. При прикосновении к такому заряженному предмету можно вызвать большую искру и ощутить электрический удар. Если к этому предмету прикоснуться другим изолированным металлическим предметом или соединить оба тела влажной нитью, или металлической проволокой, то часть заряда первого тела перейдет ко второму. При распределении заряда между нашим металлическим предметом и землей предмет, по-видимому, теряет весь заряд: если распределение происходит в пропорции к размерам, то на нем, действительно, останется немного. Воздушным шарикам с металлическим покрытием, подвешенным на шелковых нитях, можно сообщить большие заряды и наблюдать отталкивание между ними. Можно изготовить электроскоп[44] «с золотыми листочками», подвесив на изоляторе одну или две полоски из тонкого листового металла. Это чувствительный прибор, служащий для обнаружения электрических зарядов. Он измеряет силу, действующую на листочек из-за наличия на нем заряда, благодаря уравновешиванию этой силы определенной долей силы тяжести. Электроскоп обычной конструкции состоит из металлического стержня, к которому привешен тонкий листочек. Стержень укреплен при помощи изолирующей пробки в верхней части металлического корпуса. Стержень заканчивается вверху за пределами корпуса шаром или пластинкой, через которые легко сообщить заряд листочку. Даже если просто поднести заряд на близкое расстояние, листочек отклоняется и остается в таком положении, пока заряд остается поблизости[45]. Чтобы перенести пробные заряды с какого-либо большого заряженного тела к листочку электроскопа, мы пользуемся маленьким пробным шариком. Каждая новая порция заряда увеличивает отклонение листочка. Если сообщить листочку некоторое количество положительного заряда, а потом подвести к нему небольшую порцию отрицательного заряда, то листочек слегка опустится. Это дает основание полагать, что новый заряд нейтрализовал какую-то долю прежнего. Таким образом, обозначения «+» и «—» оказываются вполне подходящими. Это дает в наше распоряжение простой способ обнаружения положительных и отрицательных зарядов. С помощью пробного шарика и электроскопа можно исследовать распределение «плотности заряда», на поверхности какого-либо заряженного тела. Мы убеждаемся в том, что заряд распределяется неравномерно. Наибольшую величину поверхностная плотность заряда имеет на остриях, наименьшую — на вогнутостях. Продолжая эти наблюдения, зарядим полый металлический цилиндр и исследуем его. Оказывается, на внешней поверхности может быть распределено большое количество заряда, а на внутренней поверхности заряд отсутствует.

Фиг. 59. Электрические заряды.

_{А и б — удар током; в — между воздушными шариками, заряженными посредством многократного применения электрофора, наблюдается отталкивание. Воздушные шарики должны иметь проводящую поверхность, для этого их покрывают тонким слоем металла или графита.}

Фиг. 60. Электроскоп.

Фиг. 61. Распределение заряда.

_{А — исследование распределения заряда на проводнике; б — область со знаками «+» изображает поверхностную плотность заряда; в — распределение заряда на наружной и внутренней поверхностях заряженного полого металлического стакана.}

Задача 1. На изолирующую подставку помещен незаряженный металлический стакан. Внутрь стакана на шелковой нити опускают заряженный металлический шар, касаются шаром стакана изнутри и извлекают шар. А) Какое количество заряда останется на шаре? Б) Какое количество заряда останется на шаре, если он касается стакана снаружи, а не изнутри?

Электростатическая индукция.

Простое приближение заряда к электроскопу вызывает известный эффект. Исследуем этот эффект (его называют «наведением» или «индуцированием» зарядов, или «электростатической индукцией»). Зарядим большой металлический шар и поместим его вблизи от длинного металлического цилиндра с закругленными торцами. Возьмем маленький пробный шарик и электроскоп и посмотрим, какие заряды имеются на цилиндре. Предположим, что большой шар заряжен положительно. В этом случае мы обнаружим на ближнем конце цилиндра отрицательный заряд, у середины заряд отсутствует или его мало, а дальний конец цилиндра будет заряжен положительно. Мы считаем, что эти положительные и отрицательные заряды с самого начала имелись в незаряженном цилиндре и что произошло их разделение под влиянием заряда большого шара. Заряды свободно перемещаются по цилиндру, поэтому положительный заряд большого шара притягивает отрицательные заряды и отталкивает от себя положительные. Соедините теперь цилиндр с землей, коснувшись его пальцем. Уберите палец и снова посмотрите, как заряжен цилиндр. На цилиндре по-прежнему будет отрицательный заряд у конца, ближайшего к шару; положительных зарядов на удаленном конце цилиндра нет. Мы говорим, что они ушли через наш палец дальше, «на землю». (Путь зарядов: рука — тело — ноги — сырая обувь — сырой пол и т. д.). Как вы знаете, это движение зарядов можно продемонстрировать с помощью микроамперметра. Теперь уберите большой шар, на котором по-прежнему имеется положительный заряд. На цилиндре останется отрицательный заряд, плотность его на концах будет очень велика. Мы «создали» отрицательный заряд на цилиндре (без потери первоначального положительного заряда на большом шаре). Этот отрицательный заряд можно снять и как-то использовать. Описанный процесс можно повторить сколько угодно раз, получая порции отрицательных зарядов, которые могут быть посланы по проволоке в виде тока малой величины. Обратите внимание на последовательность наших действий после того, как мы зарядили большой шар: 1) приближаем к шару металлический цилиндр, 2) касаемся на мгновенье цилиндра пальцем, 3) убираем цилиндр и убеждаемся в наличии на нем заряда, который можно использовать. Этот процесс называют электризацией через влияние, а само явление — электростатической индукцией. Подумайте, где вы встречались с ним раньше? Откуда берется энергия, получаемая вместе с зарядом цилиндра?

Фиг. 62. Стадии процесса электризации через влияние.

Задача 2. А) На стеклянном стержне имеется небольшой положительный заряд, полученный трением. Можно зарядить электроскоп, если «соскрести» некоторое количество заряда со стержня и перенести его на электроскоп. Как зарядится электроскоп: положительно или отрицательно? Б) Вы можете также создать заряд на электроскопе, поднеся к нему заряженный положительно стержень. Что вы должны будете затем сделать, чтобы часть заряда осталась постоянно на электроскопе, не приближая дальше стержень? Какой это будет заряд: «+» или «—»?

Теперь вы можете зарядить электроскоп положительно или отрицательно с помощью положительно заряженного стеклянного стержня. Попытайтесь сообщить дополнительный положительный и отрицательный заряд уже заряженному электроскопу.

Полые проводники (фиг. 63–65).

Поставьте небольшой металлический стакан сверху на электроскоп, так чтобы листочек мог воспринимать пробную порцию заряда стакана. Зарядите металлический шар В, держа его на изолирующей нити, и поднесите его на близкое расстояние к стакану снаружи. Чем ближе шар В поднесен к стакану, тем больше отклонение листочка — тем больше положительный заряд, отталкиваемый к электроскопу положительным зарядом шара В. Если вы коснетесь пальцем стакана или электроскопа, то листочек опускается до нуля. Но если вы после прикосновения уберете палец, а затем уберете шар, то на стакане и электроскопе останется отрицательный заряд — результат электризации через влияние. До этого, когда электроскоп показывал нуль, на стакане был отрицательный заряд, но он притягивался положительным зарядом шара, и к листочку никакого заряда не попадало. Такие заряды образно называют «связанными зарядами».

Начнем теперь опыт снова, когда стакан и электроскоп не заряжены, и опустим положительно заряженный шар внутрь стакана. Электроскоп показывает большой заряд, который остается неизменным, куда бы ни поместить шар В внутри стакана. Если В вынуть, то листочек опускается, если ввести снова, то восстанавливается прежнее отклонение листочка. Теперь коснитесь шаром В стакана: отклонение листочка остается тем же. Выньте шар В: сохраняется полное отклонение листочка. По-видимому, шар В отдал весь свой заряд. (Куда же мог уйти весь заряд шара В, приведенного в соприкосновение с внутренней поверхностью стакана?) Детально «объяснить» это можно так.

Мы говорим, что когда В находится внутри стакана, его положительный заряд удерживает равный по величине заряд противоположного знака на внутренней поверхности стакана (в виде «связанного заряда») и отталкивает такой же по величине положительный заряд к наружной поверхности первоначально нейтрального стакана и к электроскопу. Когда В касается внутренней поверхности стакана, оба заряда, находящиеся внутри стакана, получают возможность нейтрализовать друг друга. Шар В теряет весь свой заряд, но такой же заряд остается на внешней поверхности стакана. Это свойство полого цилиндра[46] находит различные применения. Два случая применения этого свойства рассмотрены в задачах 3 и 5.

Наблюдая электрические эффекты внутри заряженного металлического шара, мы можем даже проверить закон, который устанавливает характер силы взаимодействия между зарядами. Об этом говорится дальше.

Фиг. 63, а — д.

Задача 3 (фиг. 64). В генераторе Ван-де-Граафа на миллион вольт, который применяется в опытах по «расщеплению атомов», на огромном медном шаре накапливаются электрические заряды. Происходит это следующим образом. Внутрь медного шара одним своим концом заходит бесконечная шелковая лента, которая движется на двух роликах. Вне шара лента заряжается (например, с помощью простейшего устройства типа электрофора, описанного выше), а внутри шара лента касается проволоки-щетки. Почему заряды переходят с ленты на шар?

Фиг. 64. К задаче 3.

Генератор Ван-де-Граафа.

Электрофор, наше простейшее устройство, рассмотренное выше, можно усовершенствовать и превратить в так называемую электрическую индукционную (или электростатическую) машину, приводимую в действие вращением. Электрической индукционной машиной широко пользовались в прошлом для исследовательских работ и в учебных целях. Теперь эта машина — анахронизм, но ею все еще пользуются для демонстрационных опытов.

Более современную машину представляет собой генератор Ван-де-Граафа, изготовленный впервые Робертом Ван-де-Граафом в Принстоне. Такими машинами пользуются теперь в атомных исследованиях для получения разности потенциалов в несколько миллионов вольт и ускорения заряженных частиц.

На фиг. 65 показана уменьшенная модель генератора Ван-де-Граафа.

Фиг. 65. Модель генератора Ван-де-Граафа.

Бесконечная шелковая лента, приводимая в движение от руки, переносит заряды в клетку. К ленте приклеены металлические пластинки. У нижнего конца ленты с помощью устройства, которое производит электризацию через влияние, каждой металлической пластинке сообщается небольшой положительный заряд. Поскольку шелк — хороший изолятор, заряды эти никуда не уходят, и лента переносит их в клетку. Внутри клетки упругая проволока, которая касается ленты, собирает имеющийся на пластинках заряд. Большой металлический листочек, привешенный снаружи клетки, показывает, как накапливается заряд.

Фиг. 66. Сдвоенный генератор Ван-де-Граафа.

_{От источника с напряжением 200 000 в наносят положительные заряды на одну ленту, а отрицательные — на другую. Внутри огромной сферы с помощью остроумной схемы электризации через влияния (показана в упрощенной форме) заряды противоположного знака наносятся на нисходящую часть ленты, что облегчает работу источника. В очень крупных генераторах, дающих малый постоянный ток при разности потенциалов несколько миллионов вольт, важное значение имеют проблемы изоляции, и может лаже потребоваться поместить генератор в атмосферу сжатого газа.}

Задача 4. Объясните кратко, как положительные заряды переносятся на металлические пластинки на фиг. 65. Обратите внимание на то, что Р представляет собой металлическую пластинку, которая укреплена на изоляторе вблизи ленты, и несет отрицательный заряд; G — металлическая щетка, соединенная с землей, которая касается металлических пластинок вблизи Р.

В большой машине роль клетки играет огромный медный шар, иногда настолько больших размеров, что в нем могла бы разместиться настоящая лаборатория[47]. На шелковой ленте нет металлических пластинок, заряды остаются на самом шелке. Заряды наносятся на шелк внизу и снимаются вверху с помощью ряда острий, которые расположены на близком расстоянии от ленты, но не касаются ее[48].

Задача 5. Определение одинаковых и противоположных по знаку зарядов (фиг. 67). К электроскопу прикреплен небольшой металлический стакан. В стакан вводят маленький кусочек плексигласа и маленький кусочек меха на изолирующих рукоятках. И плексиглас, и мех не заряжены. Если заряды, получаемые трением, равны и противоположны по знаку, то что, по вашему мнению, произойдет с электроскопом на каждой из следующих стадий опыта, если задано, что в стадии б) листочек отклоняется на 60°: А) Мех и плексиглас потерты друг о друга внутри стакана (они не касаются стенок стакана). Б) Плексиглас извлекается из стакана (листочек отклоняется на 60°). В) Мех также извлекается из стакана, не касаясь его. Г) Плексиглас снова вводится в стакан. Д) В стакан вводятся снова и плексиглас, и мех.

Фиг. 67. К задаче 5.

Сохранение заряда.

Предметы, окружающие нас в повседневной жизни, кажутся незаряженными: между ними нельзя заметить притяжения или отталкивания; молекулы газа не обнаруживают тенденции перемещаться в каком-либо одном направлении в однородном электрическом поле. Если незаряженное вещество содержит положительные и отрицательные заряды, которые можно разделять или переносить, то они должны содержаться в равных количествах. Когда мы заряжаем предметы трением или с помощью батареи, то рассчитываем обнаружить равные количества противоположных по знаку зарядов.

Опыт, о котором идет речь в задаче 5, дает возможность произвести очень тонкую и вместе с тем важную проверку. Из этого опыта и опытов по наблюдению кулоновской силы взаимодействия зарядов можно заключить, что электрический заряд сохраняется: происходит обмен зарядами между телами без выигрыша или потери заряда, «создавать» можно только равные количества противоположных по знаку зарядов. Мы считаем, что этот фундаментальный принцип сохраняет силу и в атомной и ядерной физике.

Оказывается даже, что фотон излучения высокой энергии (который, конечно, не представляет собой ни вещества, ни электричества) превращается в пару электрон-позитрон с одинаковыми по величине и противоположными по знаку зарядами. Мы говорим о «зарядовом обмене» между некоторыми составными частями ядра — процесс этот происходит слишком быстро, чтобы его можно было описать языком механики, — и по-прежнему считаем закон сохранения заряда незыблемым.

Силы, с которыми заряды действуют друг на друга: закон Кулона.

Электричество и заряды — это такие термины, которые употребляют в тех случаях, когда наблюдается отталкивание и притяжение. Силы отталкивания и притяжения словно исходят от заряженных тел в радиальных направлениях. Сила отталкивания или притяжения, с которой один заряд действует на другой, направлена вдоль прямой, соединяющей оба заряда, и уменьшается с увеличением расстояния между ними. Спустя столетие после того, как Ньютон открыл закон всемирного тяготения, французский физик Кулон исследовал экспериментальным путем силу взаимодействия между зарядами и показал, что она так же, как и сила тяготения, изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния. Схема прибора Кулона показана на фиг. 68.

Фиг. 68. Крутильные весы Кулона.

_{А — вид сбоку; б — вид сверху.}

_{Сила оценивалась по углу закручивания нити. Заряженные шары тщательно изолировались. Весь прибор был закрыт, чтобы уменьшить влияние токов утечки через воздух.}

Он по существу не отличается от прибора, который Кавендиш примерно в это же время использовал для измерения гравитационной постоянной G. На изолирующем стержне АВ, подвешенном на тонкой нити CD, укреплен металлический шарик В, которому сообщен заряд. К шарику В приближают другой шарик В' и по мере приближения измеряют силу отталкивания по углу закручивания нити. Предполагая, что при закручивании нити справедлив закон Гука, Кулон сравнил силы взаимодействия при различных расстояниях d между В и В'. Он установил, что F изменяется пропорционально 1/d². Кулон изменял заряд Q одного шарика, а затем другого до ¹/₂ Q, ¹/₄ Q и т. д., измеряя в каждом случае силу взаимодействия, и установил (или, вернее, предположил и не обнаружил противоречий с этим предположением), что F изменяется пропорционально заряду шарика В(Q₁) и заряду шарика В'(Q₂).

Объединяя эти выводы, Кулон установил, что.

F ~ Q₁∙Q₂/d², или F ~ ∙(Q₁∙Q₂/d²)

Это закон Кулона. — универсальная постоянная, которая играет такую же роль, что и гравитационная постоянная G.

Задача 6. Кулон не располагал средствами для измерения зарядов Q₁ или Q₂. Тем не менее Кулон имел возможность при желании изменять заряд шарика Q до ¹/₂ Q и таким образом исследовать роль каждого из зарядов Q в выражении для силы взаимодействия* А) Каким образом Кулону удавалось уменьшить заряд Q до ¹/₂ Q (Указание. Он располагал дополнительным металлическим шариком такого же размера.). Б) Какое предположение относительно природы заряда нужно сделать, прибегая к приему, используемому для решения задачи а)? (Фактически это предположение было сформулировано почти как аксиома при введении понятия электрического заряда. Сегодня мы можем в известной степени подтвердить его экспериментально путем счета электронов и наблюдая пары электрон-позитрон.).

Значение зависит от выбора единиц измерения заряда точно так же, как значение постоянной G зависит от того, измеряем ли мы массу в килограммах или в фунтах. Мы будем пользоваться кулонами, с которыми вы уже встречались, когда шла речь о движении зарядов, а также метрами и ньютонами[49].

В этом случае значение определяется экспериментально близким к 9 000 000 000, т. е. 9,0∙10⁹ ньютон∙м²/ кулон².

В нашем курсе не обязательно знать значение , однако, имея в виду проследить связь между законом Кулона и электрическими токами, интересно измерить это огромное число. Чтобы измерить B, нам понадобятся сведения об электрических полях. Мы еще вернемся к этому вопросу.

Проверка закона Кулона.

ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ОПЫТ. Можно приближенно произвести непосредственную проверку закона Кулона, измерив силу взаимодействия между двумя зарядами. Мы сообщаем большой заряд двум металлическим шарикам[50] и «взвешиваем» один шарик, когда второй удален от него на 0,1, 0,2, 0,3 м и т. д., считая расстояние между центрами. Вам следовало бы посмотреть, как проделывается описываемый опыт, пусть это будут лишь грубые измерения, чтобы воочию убедиться в справедливости этого замечательного экспериментального закона. В задаче 7 приведен пример записи результатов измерений, позволяющий получить представление об этом опыте в том случае, если вам не удастся его посмотреть. Задача 7. Проверка закона Кулона (фиг. 69). Шарик А прикреплен к одному концу плексигласового коромысла. Слабая (но хорошая) стальная пружина уравновешивает вес шарика и позволяет измерить любую дополнительно действующую на шарик силу. У второго конца коромысла укреплена длинная стрелка, против которой расположена вертикальная шкала. Шарик В крепится отдельно на подвижном изолирующем стержне над шариком А. От стержня, на котором крепится шарик В, вниз отходит стержень из плексигласа с делениями, позволяющий измерить расстояние между шариками. Каждый шарик был заряжен с помощью электрофора. Шарик В относили на большое расстояние и устанавливали стрелку, связанную с шариком А, против нуля шкалы. Затем шарик В располагали над А на определенном расстоянии по вертикали и отсчитывали показание стрелки, по которому можно оценить силу отталкивания. (Шкала разбита на произвольные деления, каждое примерно по 1 см. Чтобы оценить жесткость пружины — нам она здесь не нужна, — на шарик А помещали груз 1 г; при этом отсчет по шкале равен 49.) Ниже в таблице приведена для примера запись результатов измерений («бесконечность» означает, что шарик В убран). А) Перепишите таблицу, добавив столбец ДЛЯ ПРОВЕРКИ ЗАКОНА КУЛОНА. Проделайте вычисления с целью проверить обратную пропорциональность квадрату расстояния. Б) Предполагая, что значение (которое мы измерим позже) равно 9,0∙10⁹, и считая оба заряда равными, оцените их величину в кулонах. (Обратите внимание на то, что сила должна быть выражена в ньютонах.).

Фиг. 69. Проверка закона обратной пропорциональности квадрату расстояния.

Электрические поля.

Мы представляем себе, что с каждым зарядом связано электрическое поле, подобное в известном смысле полю тяготения. Напряженность электрического поля в любой точке определяют как силу, действующую на пробный кулон, помещенный в эту точку. Принимая во внимание, что 1 кулон — огромный заряд, сформулируем это определение более реалистически следующим образом:

НАПРЯЖЕННОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ = СИЛА, ДЕЙСТВУЮЩАЯ НА МАЛЫЙ ПРОБНЫЙ ЗАРЯД / ВЕЛИЧИНА ПРОБНОГО ЗАРЯДА.

Мы получаем силу, действующую на единичный заряд, в ньютон/кулон[51].

На фиг. 70 показаны «демоны», занятые экспериментальным исследованием напряженности поля тяготения и электрического поля.

Фиг. 70. Измерение напряженности поля.

_{А и б — измерение напряженности гравитационного поля Земли; сила притяжения эталона килограмма измеряется в ньютонах; в — измерение напряженности электрического поля; г — «измеритель напряженности электрического поля».}

_{Чтобы избежать искажения измеряемого поля и не иметь дела при измерениях с огромными силами, пробный заряд должен быть значительно меньше, чем 1 кулон. Тогда мы должны будем измерять силу, действующую, скажем, на заряд в 1 миллиардную кулона, с помощью пружинных весов, проградуированных в миллиардных долях ньютона. При этом мы определим напряженность поля в ньютон/кулон.}

Напряженность поля вокруг малого изолированного заряда изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния.

НАПРЯЖЕННОСТЬ ПОЛЯ = СИЛА, ДЕЙСТВУЮЩАЯ НА ПРОБНЫЙ ЗАРЯД / ПРОБНЫЙ ЗАРЯД =

То же самое справедливо для изолированного заряженного шара. Напряженность поля — вектор. Кроме величины, поле характеризуется направлением силы, действующей на положительный пробный заряд. Можно начертить карту направлений электрического поля с помощью воздушного шарика, реального или воображаемого, несущего малый пробный заряд. На фиг. 71 показаны два громадных металлических шара, заряженных положительно и отрицательно. Заряженный воздушный шарик будет перемещаться от одного шара к другому вдоль любой из траекторий, показанных пунктирными линиями. Они называются силовыми линиями. Эти линии указывают направление поля, т. е. направление результирующей силы, действующей на пробный заряд.

Фиг. 71. Определение конфигурации электрического поля.

_{Путем геометрического построения находят последовательно в разных точках направление результирующей силы, приложенной к пробному заряду.}

Силовые линии искривлены потому, что на пробный заряд действуют силы отталкивания со стороны одного заряда, +Q₁, и силы притяжения со стороны другого заряда, — Q₂, которые изменяются по направлению и по величине от точки к точке. Пользуясь правилом сложения векторов, можно найти конфигурацию силовых линий в подобных случаях, хотя это связано с утомительной процедурой. Предположим, два заряда, создающие поле, равны и противоположны по знаку. Пробный заряд q, помещенный в точку Р, испытывает силу отталкивания F₁ со стороны заряда Q₁ и меньшую силу притяжения F₂ со стороны заряда Q₂ (меньшую потому, что Q₂ дальше). Сложение этих сил дает результирующую силу R, действующую на q. В точке Р силовая линия поля направлена вдоль R. Повторим теперь это рассмотрение для другой, соседней точки Р' затем для точки Р" и т. д. Точка Р' выбрана на малом расстоянии от Р, отсчитанном практически вдоль силы R (которая указывает направление поля в Р), точка Р" взята на R'. Можно затем объединить эти построения и получить часть силовой линии. Существуют методы, приводящие к цели быстрее. В них используются более сложные геометрические представления, но в основе лежит тот же закон обратной пропорциональности квадрату расстояния. Эти методы дают целую сетку силовых линий и позволяют определить картину силовых линий других полей, например, показанных на фиг. 72.

Фиг. 72. Картины электрических полей.

Задача 8. А) Заряды, поле которых показано на фиг. 72, в, не равны. Какой из них больше? Б) Дайте обоснование вашему ответу на вопрос а). В) Дайте ответ на вопросы а) и б) для зарядов, поле которых показано на фиг. 72, г.

Картины электрического поля.

Картину электрического поля можно получить, используя маленькие кусочки материала, которые способны выстраиваться вдоль силовых линий поля. Правда, эти демонстрационные опыты не позволяют «наблюдать» электрические поля столь же отчетливо, как магнитные поля с помощью железных опилок. Металлические предметы, имитирующие Q₁ и Q₂, заряжают какой-нибудь машиной, не останавливая ее, чтобы восполнять утечку заряда. Стеклянную ванну наполняют машинным маслом и в масло насыпают мелко настриженные волосы. Затем в ванну погружают металлические электроды. Волосы располагаются вдоль силовых линий поля. В кусочках волос создаются парные заряды, и они стремятся расположиться вдоль силовых линий. Вам следовало бы посмотреть эти картины электрических полей и сравнить их с аналогичными по конфигурации магнитными полями (см. гл. 34).

Фиг. 73. Определение конфигурации электрического поля опытным путем.

_{В чашу с густым маслом насыпают мелко настриженные волосы и создают сильное электрическое поле.}

На фиг. 74 показано электрическое поле, созданное равными и противоположными по знаку зарядами +Q и — Q, и магнитное поле вокруг стержневого магнита с «полюсами» +Р и — Р. Если на изображение электрического поля нанести контуры магнита, то обе картины будут в точности одинаковы. Обе построены, исходя из направления сил, обратно пропорциональных квадрату расстояния, которые действуют на воображаемое очень малое пробное тело. Закон обратной пропорциональности квадрату расстояния можно выразить математически простой общей формулой, которая позволяет рассчитать пространственную конфигурацию любого поля сил, обратно пропорциональных квадрату расстояния. Эта формула кажется простой для математиков и сложной для неспециалистов. Вот эта формула, которую мы приводим просто шутки ради:

D²V/dx² + d²V/dy² + d²V/dz² = 0.

Символ V обозначает в ней разность потенциалов между данной точкой пространства и некоторым опорным нулевым уровнем, за который принимают потенциал земли, или точки, находящейся в бесконечности. Эта формула настолько важна, настолько универсальна, что для нее ввели даже сокращенную форму написания ²V = 0 (читается: набла квадрат V равно нулю). Написаны целые книги, посвященные решению конкретных задач с помощью этой формулы для точечных зарядов, заряженных шаров, цилиндров, тел неправильной формы, сложных конфигураций зарядов. Закон обратной пропорциональности квадрату расстояния применим, кроме того, к гравитационным полям, к задачам о распространении тепла путем теплопроводности, к задачам о течении воды и т. д., а также к магнитным полям (с существенными ограничениями). Таким образом, решения уравнения ²V = 0, которые дают картину электрического поля для некоторой конфигурации зарядов, позволяют также найти магнитное поле или картину течения воды при соответствующей конфигурации источников и стоков. Результаты измерений, проведенных для поля одного рода, можно перенести на поле другого рода. Например, какую-нибудь задачу о теплопроводности, важную для проектирования двигателя, может оказаться трудно исследовать экспериментально, но можно исследовать электрическое поле заряженных тел, которым придана такая форма, чтобы имитировать источник тепла. Между течением воды и электрическим полем как будто бы небольшая связь; в самом деле, реальной физической связи мало, а то и вовсе никакой, существует лишь некая формальная связь геометрического описания в том и другом случаях. Тем не менее, если обратиться к конфигурации течения в резервуаре с источником и стоком, представленной на фиг. 226 в гл. 9, то вы обнаружите картину электрического поля, созданного равными по величине положительным и отрицательным зарядами.

Это показывает, как одну и ту же математическую теорию можно применить к различным областям знаний. Мы не знаем, когда именно проявление закона обратной пропорциональности квадрату расстояния, изученное в какой-нибудь одной области физики, внезапно приобретет важное значение, и труды, в которых оно изложено, достанут с полки, чтобы использовать в другой области. Например, физики давно установили, что закон обратных квадратов должен быть применим к диффузии растворенных солей в жидкости — растворяющийся в кофе сахар распространяется вдоль линий тока, подобных линиям тока воды в озере; скорость диффузии связана с концентрацией соли «законом Фика», который на самом деле является частным случаем закона обратной пропорциональности квадрату расстояния. Много лет спустя исключительно важное значение приобрела задача о диффузии нейтронов в ядерном реакторе. К услугам физиков сразу же оказались закон Фика и множество готовых решений.

Картины поля и силы.

Иногда творения кисти художника позволяют нам таинственным образом заглянуть в глубь его характера. Картины электрического поля точно так же позволяют сделать целый ряд выводов. Они должны дать вам возможность увидеть, как противоположные по знаку заряды цепко притягивают друг друга, а одноименные заряды отталкиваются, словно столкнувшись буферами, как взметаются вверх листочки электроскопа, как будто потянули за шнурок, которым поднимают шторы. Для Фарадея, размышлявшего над электрическими и магнитными полями столетие назад, эти силовые линии были в самом деле вполне реальными. Он представлял их себе в виде упругих трубок, каждая из которых начинается на положительном заряде, а заканчивается на равном ему по величине отрицательном заряде, развивает тянущее усилие вдоль своей оси и, раздаваясь в толщину, давит на соседние трубки. Такой образ мышления помогал Фарадею в его экспериментальных исследованиях и позволил ему подготовить базу, на которой зиждется электромагнитная теория света Максвелла. Мы и сейчас находим это представление полезным. Мы говорим даже о радиоволне как о колебании, распространяющемся вдоль силовой линии электрического поля, подобно волне, бегущей по веревке, хотя на самом деле это образное описание радиоволны вводит в заблуждение. Большинство ученых не мыслят категориями мистического «действия на расстоянии», мгновенно перекрывающего пустое пространство, отделяющее объект действия от источника действия, идет ли речь о силах тяготения или силах электрического притяжения. Вместо этого мы представляем себе, что воздействия переносятся полем (гравитационным или электрическим). Изменения, которые претерпевает сила, распространяются в виде изменений поля с определенной конечной скоростью.

Каждая силовая линия — это линия, вдоль которой маленький пробный заряд перемещается под действием электрического поля. В каждой точке силовой линии касательная к ней совпадает с направлением результирующей сил притяжения и отталкивания со стороны всех других зарядов, действующих на пробный заряд.

Фиг. 75. Исследование карты силовых линий электрического поля с помощью легкой стрелки, вращающейся на оси в центрах.

Можно наблюдать картины электрического поля (с помощью мелко настриженных волос в масле или маленькой стрелки, вращающейся в центрах) или найти конфигурацию поля геометрическим построением, используя утомительный способ векторного сложения сил, обратно пропорциональных квадрату расстояния, для нахождения направления результирующей. Можно также воспользоваться замысловатой смесью математического анализа и геометрии и рассчитать конфигурацию поля из уравнения . Все эти методы приводят, разумеется, к одному и тому же результату.

На фиг. 76 показаны картины электрического поля для некоторых случаев, а ниже даны пояснения к ним в духе представлений Фарадея.

Фиг. 76. Картины электрических цепей.

А) Силовые линии идут от положительного заряда к отрицательному. Они тянут разноименные заряды друг к другу. (Силовые линии натянуты, и это обусловливает взаимное притяжение зарядов.).

Б) Силовые линии электрического поля в пространстве между двумя положительными зарядами расходятся друг от друга подобно вагонеткам, столкнувшимся буферами. Можно указать «нейтральную точку», в которой поля сил отталкивания обоих зарядов в точности гасят друг друга. (Силовые линии словно раздаются в толщину под действием давления и отталкиваются друг от друга в разные стороны; это обусловливает, или, можно по крайней мере сказать, иллюстрирует отталкивание.).

В) Силовые линии поля одиночного заряда представляют собой радиальные прямые, которые расходятся от заряда лучами, подобно силовым линиям гравитационного поля точечной массы или шара. (Чем дальше от заряда, тем меньше густота линий; это иллюстрирует ослабление поля с увеличением расстояния.).

Г) Силовые линии поля, образованного любим заряженным куском металла, направлены перпендикулярно к поверхности. Они никогда не исходят от поверхности под другими углами. (Силовые линии поля покоящихся зарядов не могут быть наклонены к поверхности металла. В последнем случае они имели бы у поверхности составляющую, направленную вдоль поверхности; под действием этой составляющей вдоль поверхности происходило бы перемещение зарядов[52], на которых оканчиваются силовые линии, пока не установилось бы новое распределение зарядов, при котором силовые линии перпендикулярны к поверхности проводника.).

Д) Силовые линии, исходящие от заряженного проводника неправильной формы, сгущаются вблизи любого выступа или острия; вблизи вогнутостей или полостей густота силовых линий уменьшается. (Вблизи острия силовые линии могут расходиться радиально в область, где их густота уменьшается; таким образом, боковое давление, которое силовые линии испытывают со стороны своих соседей, «сталкивает» их с ровных мест в область выступов. Это не очевидно, зато обратный эффект, связанный с полостями, легко себе представить: если бы силовые линии заходили внутрь полости, то они должны были бы «вытолкнуть» друг друга оттуда.).

Е) Если силовые линии исходят от положительно заряженного острия, находящегося вблизи отрицательно заряженного плоского проводника, то они сгущены вокруг острия, где поле очень сильное, и расходятся в большую область вблизи плоскости, на которой оканчиваются, входя в плоскость перпендикулярно. Электрическое поле вблизи острия очень сильное. Оно может оказаться настолько сильным, что под его действием блуждающий электрон будет в состоянии бомбардировать молекулы воздуха и освобождать новые заряженные частицы — крошечные носители электричества. Первоначальный заряд на острие в этом случае притягивает вновь образованные носители зарядов противоположного знака. Притягиваясь к острию, они нейтрализуют часть находящегося на нем первоначального заряда. Носители заряда того же знака, что и заряд на острие, отталкиваются и стремительно уносятся прочь, увлекая за собой, благодаря столкновениям, молекулы воздуха и создавая «электрический ветер». Этот заряженный ветер используется для нанесения заряда на ленту в генераторе Ван-де-Граафа.

Электрический ветер можно использовать и для «собирания» заряда с заряженного предмета; в этом случае он служит для нейтрализации заряда противоположного знака. В конце этой книги вы встретитесь с применением сильного электрического поля, создаваемого острием заряженной иглы, для фотографирования атомов!

Фиг. 77. Действие заряженного острия в воздухе.

_{А — сильное электрическое поле вблизи острия вырывает электроны из нескольких атомов, оставляя атомы положительно заряженными. Как электроны, так и заряженные атомы совершают медленное перемещение в электрическом поле. Носители заряда противоположного знака движутся к острию и нейтрализуют часть находящегося на нем заряда. Носители одноименного заряда устремляются в направлении от острия, создавая «ветер», уносящий заряд.}

_{Б — когда с помощью острия «собирают» заряд с какого-то источника, то ветер, идущий от острия, нейтрализует часть заряда источника, и острие приобретает соответствующий заряд. Этот метод можно применить для «собирания» заряда с движущихся тел (например, с ленты в генераторе Ван-де-Граафа), когда трущимся приспособлением для «собирания» заряда можно причинить какое-нибудь повреждение.}

Еще более сильное поле может вызвать появление искр в воздухе вблизи острия или образование электронных лавин вокруг нити в счетчике Гейгера. Могут возникнуть даже гигантские вспышки между заряженными облаками и высоким деревом или верхом крыши. Заостренные металлические стержни, применяемые для защиты зданий, представляют собой молниеотводы, благодаря которым возникают слабые, невидимые и безвредные вспышки молнии, прежде чем разность потенциалов в электрическом поле между грозовым облаком и землей достигнет опасной величины. Но даже в случае большой вспышки молнии острие стержня служит местом, где разряд начинается раньше всего, и по стержню ток разряда отводится на землю, так что опасности не возникает.

Фиг. 78. Грозовые облака часто несут огромные электрические заряды, возникающие, возможно, при раздроблении дождевых капель.

_{Они индуцируют заряды противоположного знака на крышах строений и поверхности Земли. Если поле системы заряженных тел становится достаточно сильным, чтобы вызвать образование заряженных носителей из молекул воздуха, то может возникнуть вспышка молнии. Воздух оказывается довольно хорошим проводником для начавшейся вспышки молнии, и может пройти колоссальный ток.}

Каждая силовая линия должна начинаться на положительном заряде и оканчиваться на отрицательном. Вспомните, что силовая линия указывает направление результирующей силы, действующей на малый положительный пробный заряд, и вы сразу согласитесь, что каждая силовая линия должна проходить именно так: от положительного заряда к отрицательному.

Отсюда следует, что сгущение силовых линий вблизи заряженной поверхности должно означать увеличение плотности заряда на поверхности. Если это так, то на поверхности металлического тела неправильной формы заряд должен распределяться неравномерно: плотность заряда должна быть наибольшей вблизи острых выступов и наименьшей во впадинах и вогнутостях. Мы уже проверили это предположение, поднося маленький заряженный пробный шарик или пластинку к электроскопу (фиг. 61).

Ж) Электрическое поле в пространстве между параллельными заряженными пластинами однородно. Это поле удобно тем, что его напряженность можно рассчитать по показанию вольтметра. Мы будем пользоваться им при измерении постоянной , входящей в выражение закона Кулона, а позднее — при воспроизведении опыта Милликена, в котором измеряется заряд отдельного электрона. Постарайтесь представить себе картину этого поля, глядя на поле между двумя заряженными шарами и мысленно увеличивая диаметр шаров. Произведите в своем воображении экстраполяцию к предельному случаю бесконечно больших шаров (когда их поверхность плоская), между которыми по-прежнему остается малый воздушный промежуток. Но это лишь мысленные построения.

Фиг. 79. Заряжение параллельных пластин.

Фиг. 80. Экстраполяция.

Прибегнув к помощи алгебры или исследуя конфигурацию поля экспериментально, мы убеждаемся в том, что поле на самом деле такое, как показано на фиг. 81.

Фиг. 81.

В области между пластинами силовые линии представляют собой ряд параллельных и равноотстоящих прямых. (Интересно, что можно доказать математически с помощью уравнения , что если силовые линии параллельны друг другу, то они должны быть равноотстоящими прямыми.) Поле в этом случае всюду одинаково направлено и имеет одинаковую напряженность[53]: каким образом малый пробный заряд, помещенный между пластинами, смог бы узнать, где он находится среди леса параллельных силовых линий? Мы называем такое электрическое поле однородным. За пределами пластин поле практически отсутствует, если не считать областей вблизи краев пластин, где силовые линии выгибаются наружу (так называемый «краевой эффект»).

Пробный заряд величиной 1 кулон испытывал бы действие одинаковой силы в любой точке этого поля. Предположим, эта сила равна X ньютон. Значит, напряженность поля равна X ньютон на кулон. Давайте поручим некоему мифическому существу — демону протащить кулон от одной пластины до другой по силовой линии против электрической силы, действующей на кулон. Демону потребуется топливо, чтобы совершить работу, т. е. определенный запас энергии, которую он преобразует в потенциальную энергию кулона в электрическом поле. Демон должен прикладывать к переносимому кулону силу X ньютон на пути d м от одной пластины до другой. Он должен совершить работу при перемещении одного кулона, равную.

СИЛА∙РАССТОЯНИЕ = (Х ньютон)∙(d м) = X∙d дж.

Но это не что иное, как энергия, сообщаемая одному кулону при прохождении от одной пластины до другой; это разность потенциалов, выраженная в джоулях на кулон, или вольтах. Следовательно, если вольтметр, подключенный к пластинам, показывает V в, то.

X∙d дж/кулон = V в.

Отсюда.

НАПРЯЖЕННОСТЬ напряженность поля X ньютон /кулон = V/d в/м.

Таким образом, с помощью вольтметра и линейки можно измерить напряженность поля X; это оказывается удобным при проведении ряда важных опытов.

Фиг. 83. Xd ньютон-м/кулон = V дж/кулон.

Изоляторы и проводники.

Опыты показывают, что заряженные тела, помещенные на подставку из сухого плексигласа, серы или эбонита, продолжают оставаться заряженными. Мы называем такие вещества изоляторами. По металлической проволоке, графиту, влажной нити и т. д. заряды могут перемещаться. Эти тела «проводят» положительные и отрицательные заряды друг к другу, в результате чего они нейтрализуются; при посредстве этих тел можно произвести перераспределение заряда между заряженными металлическим телом и каким-либо другим проводящим телом. Если последним является тело огромных размеров, такое, как Земля, то оно забирает столь большую долю заряда, что весь заряд первого тела исчезает. Мы называем тела, проводящие электричество, проводниками. Вода, будучи очень плохим проводником по сравнению с металлами, все же проводит заряды достаточно быстро, чтобы помешать целому ряду опытов. Некоторые изоляторы, в частности стекло, питают склонность к воде, и на них образуется пленка из молекул воды. Стеклянные стержни почти совершенно непригодны в качестве изоляторов для опытов по электростатике, если их специально не просушить.

Фиг. 84. Демонстрация медленного движения заряда по влажной бечевке.

_{Для перенесения пробного заряда к каждому электроскопу служит маленький шарик. Заряд шара В увеличивается, а шар А теряет часть заряда.}

Задача 9. «Стекло притягивает молекулы воды». Это известный вывод, к которому приводит изучение поверхностного натяжения. Какой способ экспериментальной проверки вы бы предложили для выбора изолятора, при работе с которым не возникало бы больших трудностей из-за его увлажнения?

Ток — это движение зарядов.

Когда по проводнику движутся заряды по направлению к какому-либо заряженному телу или от него, мы говорим, что течет ток. Обнаружить действия тока (тепловое действие, химические эффекты, магнитное поле) можно, но они очень слабы[54]. Роуленд в 1876 г. проделал в этой связи замечательный опыт. Он раскрутил колесо, на обод которого были нанесены заряды, и наблюдал такое же магнитное поле, какое создал бы ток, текущий по ободу. Подключите в лаборатории батарею к пластинам очень большого «конденсатора» и отметьте с помощью измерительного прибора кратковременный импульс тока, связанного с движением зарядов к пластинам под действием батареи (опыт 7 гл. 41).

Вспомним теперь, как мы начали с заряжения тел от батареи, и вернемся снова к измерительным приборам и батареям, которыми пользуются в современной электротехнической лаборатории. Батареи являются источником статических зарядов, обладающих точно такими же свойствами, что и заряды, получаемые при натирании стержня. Кулоны зарядов Q₁ и Q₂, входящих в выражение закона Кулона, точно такие же, как кулоны, фигурирующие в соотношении «1 а = 1 кулон/сек». Они одинаковы по природе, и мы приравняем их по величине путем надлежащего выбора значения . (При экспериментальном определении значения мы будем пользоваться для измерения напряженности электрического поля обычным вольтметром, градуированным в дж/кулон.) Отныне мы будем пользоваться полным набором нашего оборудования, измеряя напряжение либо вольтметром, либо электроскопом, и брать заряды с одинаковым успехом от электрофора, генератора Ван-де-Граафа, батареи или даже от сетевого источника питания с трансформатором и выпрямляющим диодом.

Модернизация представлений.

Почему не пойти еще дальше в этой модернизации точки зрения и не излагать всю электростатику с помощью представления о свободных электронах? Просто потому, что ни один из экспериментов, рассмотренных до сих пор в этой главе, не обнаружил какого-либо явления, для описания которого необходимо привлечь электроны. Кроме того, существуют положительные заряды, в некоторых веществах движутся именно они.

Мы теперь знаем, что в металлических проводниках роль подвижных зарядов играют отрицательные электроны. Они могут свободно проходить через кусок металла, тогда как положительные заряды неподвижно закреплены в атомах твердого тела — металла. Таким образом, когда говорят, что «положительные заряды уходят по проволоке к земле», следовало бы сказать: «отрицательные заряды (электроны) идут по проволоке от земли и нейтрализуют положительные заряды у верхнего конца своего пути». Говоря: «шар, несущий положительные заряды», мы должны были бы сказать: «шар, с которого удалены отрицательные электроны». Когда говорят, что положительно заряженный шар, помещенный вблизи металлического стержня, «притягивает отрицательные заряды и отталкивает положительные заряды к другому концу стержня», следовало бы сказать: «притягивает отрицательные заряды, в то время как положительные заряды (нескомпенсированные) остаются у другого конца стержня».

В то же время в наших первых опытах ничуть не менее удобно считать, что движутся и положительные, и отрицательные заряды. В таком случае, поскольку неважно, движутся ли те и другие заряды или только отрицательные электроны, было бы антинаучно в этой связи настаивать на существовании какого-то различия. Тут вы сталкиваетесь с современной проблемой науки: хороша ли теория, которая удобна, непротиворечива и вполне подходит для объяснения рассматриваемого случая, или она должна быть, кроме того, истинной? Если вам сразу же необходимы настоящие электроны, то сформулируйте для себя с их помощью все прежние объяснения. Если вы приняли непреклонную позицию многих современных теоретиков, то придерживайтесь старой точки зрения, пока не столкнетесь со случаями, когда существенно, что «движутся только электроны». В необходимости ввести в рассмотрение электроны вы убедитесь дальше в этой книге; мы будем тогда пользоваться ими в полной мере.

Эбонитовый стержень отнимает электроны у меха, стеклянный стержень отдает их шелку. Мы знаем теперь, что любые два вещества, приведенные в соприкосновение друг с другом, обмениваются каким-то количеством электронов, причем одно приобретает добавочные электроны (приобретая тем самым отрицательный заряд), а другое теряет часть своих (становится положительно заряженным). Этот обмен электронами продолжается очень недолго после того, как оба тела приводятся в контакт. Обмен происходит до тех пор, пока не установится небольшая разность потенциалов (созданная разделенными при обмене положительными и отрицательными зарядами), которая препятствует дальнейшей миграции зарядов. При разобщении обоих тел механическое отделение одного тела от другого приводит к увеличению этой разности потенциалов, в результате чего разделенные заряды могут даже быть возвращены на место. Чтобы получить большой величины заряд «трением», необходим контакт между телами, причем дело тут не в трении, а в относительной скорости: быстро проведите шелком но стеклянному стержню, словно смахивая с него пыль, — не натирайте его.

Самый первый опыт по электростатике: притяжение мелких кусочков материала. Опыт, который проделывали древние греки, наблюдавшие притяжение мелких кусочков дерева и т, д. натертым янтарем, не так легко объяснить, как обычно полагают. Почему заряженное тело должно притягивать незаряженные кусочки материала? Потому что оно индуцирует в них заряды. Но тогда эти кусочки должны быть из металла, чтобы могло произойти разделение индуцированных зарядов. В самом деле, легкие кусочки металла, например мелкие обрывки алюминиевой фольги, очень хорошо притягиваются заряженным стержнем, и объяснением этому служит взаимодействие с индуцированными зарядами. С кусочками идеального изолятора едва ли можно было бы наблюдать какой-нибудь эффект, но кусочки дерева или бумаги всегда обладают достаточной влажностью, которая делает их слегка проводящими. Если эти кусочки лежат на столе, связанном с землей, то «одноименный» наведенный заряд может уходить в землю, тогда притяжение будет еще сильнее. Это явление иллюстрирует фиг. 85.

Фиг. 85. Заряженный изолятор притягивает мелкие стружки металла.

На самом деле, однако, притягиваются даже идеальные изоляторы, хотя чаще всего слабо. По-видимому, заряды внутри молекул могут несколько смещаться в противоположные стороны, в результате чего молекулы становятся как бы электрически вытянутыми или поляризованными, и заряды на конце молекулы, ближайшем к поднесенному заряженному телу, притягиваются. Даже атом может быть поляризован, когда его электронное облако и ядро оттягиваются в противоположных направлениях. Именно так чаще всего притягивают друг друга атомы и молекулы при сближении; вандерваальсовы силы поверхностного натяжения — это электрические силы, обусловленные поляризацией молекул в полях своих соседей.

Фиг. 86. Поляризация молекулы.

Экспериментальное подтверждение закона обратной пропорциональности квадрату расстояния.

Вместо измерения силы взаимодействия между двумя малыми зарядами закон обратной пропорциональности квадрату расстояния можно проверить косвенным, но не менее надежным путем, проделав удивительно простой решающий эксперимент. Если этот закон справедлив, то внутри пустой металлической коробки электрическое поле отсутствует, как бы сильно она ни была заряжена, и наоборот. Возьмите замкнутую металлическую коробку любой формы — цилиндрический стакан, полый шар, куб — и сообщите ей большой заряд. Затем выясните, что делается внутри коробки: есть ли там электрическое поле. Проверьте, если хотите, есть ли внутри коробки заряды, ибо там, где есть электрические заряды, должно быть и поле. Опыт показывает, что внутри коробки нет зарядов (если только не ввести внутрь дополнительные заряды с каким-либо предметом, укрепив его на изолирующей опоре) и нет электрического поля. Вам следует самим посмотреть, как проделывается этот опыт. Можно произвести его с небольшой полой металлической сферой и пробными шариками. А можно последовать примеру Фарадея, который забирался в большую проволочную клетку, предварительно заряженную. Несмотря на то что с внешней поверхности клетки вылетали искры, внутри не удавалось обнаружить никаких эффектов. Опыт простой и очевидный, но почему он подтверждает справедливость закона обратной пропорциональности квадрату расстояния?

Фиг. 87. Проверка закона обратной пропорциональности квадрату расстояния.

Мы рассмотрим доказательство для полого шара, хотя его можно распространить на замкнутую проводящую коробку любой формы. Мы избрали геометрическое тело, которое служит символом совершенства, — им, как вы увидите, давно пользовался Ньютон для гравитационного варианта этой задачи. Предположим, что шар, показанный в разрезе на фиг. 88, заряжен положительно.

Фиг. 88. Электрическое поле внутри заряженного металлического шара.

Из соображений симметрии можно заключить, что заряд равномерно распределен по всей его поверхности. Допустим, что некий наблюдатель пытается обнаружить электрическое поле в точке D внутри шара. Он видит область Р₁ поверхности шара в пределах узкого конуса. Эта область несет заряд Q₁ который отталкивает положительный пробный заряд q наблюдателя в точке D. Если рассматривать заряд Q₁ то в точке D его поле отлично от нуля и направлено вдоль P₁D. Но, обернувшись назад, наблюдатель увидит противоположную область поверхности шара Р₂, заряд которой Q₂ тоже вносит вклад в поле в точке D, но действует на пробный заряд в противоположном направлении. Теперь наблюдатель определяет границы обеих областей более тщательно, построив конус с вершиной в D и основанием Р₁ и аналогичный конус с основанием Р₂. Можно показать, что действия зарядов Q₁ и Q₂ в точности гасят друг друга. Если наблюдатель в D ближе к Р₂, чем к Р₁, то площадь области Р₂ будет меньше и будет содержать меньший заряд. Значит, Q₂ меньше Q₁, и с этой точки зрения должен действовать на пробный заряд в точке D с меньшей силой. Но по закону обратной пропорциональности квадрату расстояния заряд Q₂, находящийся ближе, должен действовать на пробный заряд в точке D с большей силой, чем Q₁. Покажем, что оба фактора компенсируют друг друга. При равномерном распределении заряда по всей сфере — это обусловлено симметрией — заряд на одном квадратном сантиметре поверхности сферы будет всюду одинаков; заряд, приходящийся на два квадратных сантиметра, будет вдвое больше и т. д. Заряды областей Р₁ и Р₂ будут пропорциональны их площадям. Поскольку обе области выделены конусами с одинаковыми углами при вершине, их площади пропорциональны квадратам расстояний их от D[55]:

ПЛОЩАДЬ Р₁/ПЛОЩАДЬ Р₂ = d₁²/d₂² из геометрии.

Следовательно,

Q₁/Q₂ = d₁²/d₂^2.

Если закон Кулона справедлив, то следует ожидать, что силы, с которыми Q₁ и Q₂ действуют на очень малый пробный заряд q, равны ∙Q₁∙q/d₁² и ∙Q₂∙q/d₂². Но мы показали, что Q₁ и Q₂ пропорциональны d₁² и d₂². Поэтому запишем вместо Q₁ и Q₂ K∙d₁² и K∙d₂². Тогда силы, действующие на пробный заряд q, будут равны.

∙(K∙d₁²)∙q/d₁² и — ∙(K∙d₂²)∙q/d₂^2.

Или ∙K∙q и —∙K∙q, а эти силы равны и противоположны по направлению и, следовательно, взаимно уничтожаются. (См. ниже более краткий алгебраический вариант доказательства.).

Мы рассмотрели только пару узких конусов, выделяющих области Р₁ и Р₂. Можно представить себе еще одну пару конусов, примыкающих к первой и также проходящих через точку D. Те же самые рассуждения применимы к этой и ко всем другим парам конусов, которыми теперь можно мысленно заполнить весь шар[56].

Проверка.

Если дан закон обратной пропорциональности квадрату расстояния, то можно показать, что «электрическое поле внутри полого заряженного шара отсутствует». При проверке закона обратной пропорциональности квадрату расстояния мы опираемся на обратное утверждение. Если некое утверждение верно, то обратное утверждение не всегда верно, но мы можем легко показать, что в данном случае оно верно. Геометрия конусов дает множители d₁² и d₂² в числителях приведенных выше выражений; в соответствии с законом обратной пропорциональности квадрату расстояний такие же множители оказываются в знаменателе каждой дроби. Один заряд больше другого, но эта разница компенсируется расстоянием в точно такой же пропорции. Если бы сила взаимодействия зарядов зависела от расстояния по какому-то другому закону и не подчинялась закону обратной пропорциональности квадрату расстояния, то в знаменателе каждой дроби были бы другие множители, и указанная выше компенсация нарушалась. Например, при обратной пропорциональности кубу расстояния действие большего по величине, но более удаленного заряда ослаблялось бы слишком сильно. (Так, если расстояния относятся, как 3:1, то площади вырезаемых областей относятся, как 9:1, и заряды на них, — как 9:1. Обратные квадраты расстояний относятся, как 1:9, и это компенсирует разную величину заряда. Обратные кубы расстояний относятся, как 1:27, и это нарушило бы компенсацию.).

Таким образом, если внутри равномерно заряженной сферы электрическое поле равно нулю, то сила взаимодействия между зарядами должна подчиняться закону обратной пропорциональности квадрату расстояния. Путем дополнительных геометрических построений, поразмыслив как следует над распределением зарядов на проводниках, можно обобщить этот вывод на замкнутую металлическую коробку любой формы. Если коробка отличается по форме от шара, то заряд распределяется на ее поверхности неравномерно. В самом деле, распределение заряда должно быть как раз таким, чтобы электрическое поле внутри всюду было равно нулю. Следовательно, мы располагаем простым и вместе с тем тонким методом проверки закона обратной пропорциональности квадрату расстояния: сообщить большой заряд замкнутой металлической сфере или коробке иной формы и проверить наличие полей. За пределами коробки электроскоп обнаруживает сильное электрическое поле, могут даже вылетать искры. Внутри коробки электрического поля, обусловленного внешними зарядами, нет.

Для более надежного обнаружения поля воспользуйтесь двумя маленькими шариками на изолирующих рукоятках. Поместите их незаряженными в исследуемую область. Коснитесь одним шариком другого, затем разведите их и проверьте на каждом наличие заряда (фиг. 87). Замкнутая металлическая коробка представляет собой идеальный экран для электрических сил (клетка из проволочной сетки почти так же хороша в этом отношении). Если она достаточно велика, то экспериментаторы могут спокойно работать в ней в условиях полной экранировки. Вы, наверное, замечали небольшие металлические экраны такого типа вокруг некоторых деталей вашего радиоприемника.

Приведенное подробное доказательство не нужно считать чем-то столь важным, что требуется помнить всю жизнь. Это характерный пример цепи научных рассуждений, ведущей от предположения о справедливости некоего закона к проведению его решающей проверки.

Алгебра.

Приведем значительно более краткое и изящное доказательство. Предположим, что сила взаимодействия зарядов подчиняется степенному закону вида F ~ 1/d². Оба узких конуса вырезают на поверхности шара области с зарядами Q₁ и Q₂; Q₁/Q₂ = d₁²/d₂², исходя из геометрии и соображений симметрии. Обе области действуют на пробный заряд q с противоположно направленными силами F₁ и F₂, такими, что.

F₁/F₂ = (Q₁/d₁ⁿ)/(Q₂/d₂ⁿ) = (Q₁/Q₂)/(d₂ⁿ/d₁ⁿ)

Если эти силы равны и противоположно направлены, то F₁/F₂ = 1 и (Q₁/Q₂)/(d₂ⁿ/d₁ⁿ) = 1. Следовательно, d₁ⁿ/d₂ⁿ = d₁²/d₂² . Поэтому, чтобы силы взаимно уничтожались, должно быть n = 2.

ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ОПЫТ.

Измерение кулоновской постоянной. (Этот демонстрационный опыт сам по себе не имеет важного значения для данного курса, но он поможет вам понять опыт Милликена, в котором измеряется заряд электрона.) Мы воспользуемся плексигласовой подставкой с рычагом, применявшейся при проверке закона обратной пропорциональности квадрату расстояния (фиг. 69). Чтобы измерить постоянную в выражении F = ∙Q₁Q₂/d², нам нужно знать F, Q₁ и Q₂. Мы используем два одинаковых заряда (Q₁, Q₂) и измеряем силу F взаимодействия зарядов на измеренном расстоянии d между ними. Теперь мы знаем F и d в выражении F = ∙Q²/d², но не знаем Q. Чтобы найти Q, необходим отдельный опыт. Для такого Опыта можно воспользоваться установкой, представляющей собой сильно увеличенную модель прибора Милликена, с помощью которого он измерял заряд масляной капли (фиг. 89).

Фиг. 89. Измерение постоянной , входящей в формулу закона Кулона F = ∙Q₁Q₂/d^2.

Поместим шар А, который по-прежнему несет тот же самый заряд, в электрическое поле с известной напряженностью и измерим действующую на шар силу. Для этого оставим шар А на рычаге, уберем второй шар и расположим пару металлических пластин так, чтобы одна оказалась над шаром A, а другая под ним. (Верхняя пластина разрезана на две половины для удобства монтажа). Затем присоединим к пластинам зажимы источника высокого напряжения и подключим вольтметр, чтобы измерить напряжение. Далее мы определяем силу, приложенную к А со стороны однородного электрического поля. Зная напряженность поля X ньютон/кулон и новое значение силы F ньютон, можно вычислить заряд Q в кулонах. Но мы сделали так, чтобы заряды обоих шаров были одинаковы, следовательно, мы знаемоба Q в исходном соотношении и можем теперь вычислить . Посмотрите, если удастся, этот демонстрационный опыт, он даст общее представление о том, как производятся важные с точки зрения науки измерения. Если вам не представится такой возможности, то проработайте предлагаемую задачу. Задача 10. Опыт для измерения Используя приведенные ниже данные измерений, вычислите: А) СИЛУ, приложенную к шару в опыте 2 (в ньютонах), Б) НАПРЯЖЕННОСТЬ ПОЛЯ между пластинами в опыте 2, В) и отсюда ЗАРЯД, который несет шар А, в опыте 2, Г) СИЛУ отталкивания в опыте 1 (в ньютонах), Д) значение (подставив вычисленное значение заряда и измеренное значение силы в опыте 1-е выражение закона обратной пропорциональности квадрату расстояния). Данные измерений: Калибровка рычага. В отсутствие зарядов стрелка рычага показывает нуль. Груз 1 Г (= 0,001 кГ), помещенный на шар А (незаряженный), перемещает стрелку с 0 до 56. Опыт 1. Равные (неизвестные) заряды Q и Q' отстоят друг от друга на d = 0,10 м. После приближения второго заряда на указанное расстояние из бесконечности показание стрелки изменилось от 0 до 26. Опыт 2. Заряд Q помещен в поле между двумя пластинами, отстоящими друг от друга на 0,40 м. После того как было создано электрическое поле (напряжение между пластинами при этом равнялось 16 000 в), стрелка, стоявшая на 0, стала показывать 16. (Примечание. Поле нужно прикладывать, увеличивая его напряженность постепенно, а пластины следует перемещать так, чтобы шар А оказывался посредине между ними, иначе не удастся избежать ошибок вследствие «зеркальных зарядов», индуцируемых на пластинах зарядом шара.).

Индуцируемые заряды и потенциалы.

Заряды легко перемещаются по проводникам. При этом не следует думать, что в металлической проволоке или каком-нибудь другом проводнике появится электрическое поле, если не подключить батарею, которая поддерживала бы непрерывное движение зарядов. Если в электрическое поле заряженного шара ввести незаряженный металлический стержень с закругленными торцами, в стержне сразу же происходит разделение зарядов и перемещение их вдоль поверхности. Перемещение зарядов будет происходить до тех пор, пока на всей поверхности стержня и во всех точках внутри него поле не станет равным нулю[57]. Тогда оказывается, что весь металлический стержень имеет один и тот же потенциал — разность потенциалов между различными частями стержня отсутствует, и ни в одной точке его нет электрического поля. Если бы существовали не равная нулю разность потенциалов между какими-нибудь двумя точками стержня или электрическое поле, то в металле текли бы токи до тех пор, пока разность потенциалов или электрическое поле не обратились бы в нуль.

Электрическое поле, равное нулю во всех точках металлического стержня, представляет собой результат сложения внешнего поля заряженного шара и поля, обусловленного зарядами на стержне.

Как только установится равновесие зарядов — это происходит очень быстро, — силы, приложенные к зарядам со стороны поля, будут направлены перпендикулярно поверхности металла и уже не смогут вызвать перемещения зарядов. Посмотрите на рисунки с изображением тел, наэлектризованных через влияние. Вы увидите, что в металлическом теле в одной его части могут находиться положительные заряды, в другой — отрицательные, в некоторых частях тело может быть не заряжено. Тем не менее все точки тела должны иметь один и тот же потенциал (т. е. разность потенциалов между любой точкой тела и землей должна быть одна и та же). Может показаться странным, что разность потенциалов между любыми частями равна нулю, хотя одна часть тела заряжена положительно, а другая — отрицательно. Но нужно помнить, что эти разнородные области, несущие положительные и отрицательные заряды и совсем незаряженные, существуют только из-за соседства других заряженных тел. Потенциал обусловлен совместным действием зарядов соседних тел и рассматриваемого тела.

Электростатическая индукция — интерпретация с помощью силовых линий.

На фиг. 90 явление электростатической индукции иллюстрируется с помощью силовых линий. На фиг. 92 показано заряжение электроскопа через влияние. Это окончательные равновесные карты силовых линий.

Фиг. 90. Электризация через влияние.

Фиг. 91. Что происходит, когда незаряженный металлический стержень подносят к заряженному шару?

_{Вольтметры показывают одну и ту же разность потенциалов между любой частью стержня и Землей. Следовательно, все части стержня находятся под одинаковым потенциалом, разность потенциалов между ними равна нулю. Обратите внимание на применение электроскопов в качестве вольтметров, не потребляющих тока.}

Фиг. 92. Стадии электризации электроскопа через влияние.

_{Заряженный стеклянный стержень индуцирует заряды на листочке и пр. Заряды, находящиеся на листочке, индуцируют заряды на металлическом корпусе, а поскольку корпус имеет соединение с землей, «одноименные» (отрицательные) заряды уходят с корпуса на землю.}

Фиг. 93. а — заряженное тело помещено в замкнутую металлическую коробку. Предполагается, что коробка соединена с землей, поэтому заряды на наружной поверхности не показаны; б — заряженный шар помещен в открытый маталлический стакан.

_{Вопрос: какова будет картина поля в каждом из трех показанных выше случаев, если шар смещен в боковом направлении и едва касается стенок коробки (стакана)?}

Фарадеев цилиндр.

Если тело с зарядом +Q поместить внутрь замкнутой металлической полости, то все силовые линии, идущие от +Q, должны кончаться на внутренней поверхности полости, на отрицательных зарядах, общая величина которых равна — Q. (Если бы силовые линии продолжались внутрь металла или проходили сквозь стенки полости, то существовали бы электрические поля и силы; они вызвали бы токи в металле, которые текли бы вплоть до установления равновесия зарядов.).

Высокий полый металлический цилиндр с открытым верхом ведет себя почти как замкнутая полость. Заряд +Q, внесенный внутрь цилиндра, индуцирует на внутренней поверхности цилиндра заряд — Q. На наружной поверхности распределяется равный ему по величине и противоположный по знаку заряд +Q, который уходит в землю, если цилиндр не изолирован.

Силовые линии в движении. Мгновенные токи (См. «моментальные снимки» на фиг. 94 и 95.).

Фиг. 94. Движущиеся силовые линии.

_{Металлический стержень при приближении к заряженному шару нарушает картину электрического поля вокруг шара. Здесь показаны «моментальные снимки» конфигурации поля, на которых видны «оборванные» силовые линии в движении. Движущиеся концы силовых линий тянут заряды, заставляя их принять новое равновесное положение, и при этом текут токи. Силовые линии могут не быть перпендикулярны поверхности металлического стержня. Они должны быть наклонены к ней, должны иметь составляющую вдоль поверхности, в направлении которой на заряды действует сила. По мере приближения стержня к заряженному шару все новые силовые линии обрываются, и концы их тянутся вдоль стержня.}

_{«Моментальные снимки» показывают стадии, длящиеся лишь очень короткое время. Движущиеся концы силовых линий поля — это движущиеся заряды, перемещение которых представляет собой кратковременный ток. Эти токи действительно существуют, но скоро исчезают, — как только и экспериментатор и металлический стержень приобретают один и тот же потенциал (потенциал земли). Тогда в отсутствие разности потенциалов токов не будет.}

Фиг. 95. Прикоснувшись к стержню пальцем, индуцированному заряду дают «уйти на землю».

_{А — по мере приближения человека он отрывает все новые и новые силовые линии; б — «моментальный снимок»: силовые линии сокращаются, концы их подтягиваются, подводя заряды к пальцу человека; в — еще один «моментальный снимок»: последняя из исчезающих силовых линий поля.}

Силовые линии электрического поля вокруг изолированного заряженного шара представляют собой расходящиеся от шара радиальные прямые, идущие к зарядам противоположного знака, которые располагаются на удаленных стенах, потолке, земле. При приближении к шару металлического стержня последний, если можно так сказать, обрывает некоторые силовые линии. Оборванные силовые линии своими концами «прикрепляются» к зарядам, расположенным на поверхности стержня, и тянут их вдоль поверхности. Так, если шар заряжен положительно, то идущие от него оборванные силовые линии захватывают на стержне отрицательные заряды и увлекают их в сторону шара, а другие концы оборванных линий захватывают положительные заряды и тянут их в направлении от шара. По мере приближения стержня к шару разрывается все большее число линий, которые в соответствии с нашими представлениями разделяют в стержне бóльшие по величине индуцированные заряды.

Прикосновением пальца можно укоротить силовые линии, натянутые между металлическим стержнем и стенами. Правда, в переходный момент силовые линии могут даже удлиниться (если силовые линии идут к отрицательным зарядам на стоящем поблизости столе, то они, возможно, должны будут удлиниться, когда будут проходить через плечо экспериментатора). Но в конечном счете они сократятся до полного исчезновения, что на самом деле и происходит. Перед тем как вы поднести палец, силовые линии были протянуты от положительных зарядов на металлическом стержне к отрицательным зарядам на полу и на стенах. Когда вы коснетесь стержня пальцем, один конец силовой линии начинает тянуться к другому или оба конца — друг к другу (через палец, руку, тело, пол), пока концы силовой линии не встретятся и не произойдет их нейтрализация. (В металлах перемещаются отрицательные концы силовых линий и тянут за собой электроны.).

Батарея.

Между зажимами батареи, не включенной в цепь, существует электрическое поле. Соедините зажимы проволокой, и поле будет стремиться исчезнуть; силовые линии поля, «стягивающие» зажимы батареи, будут тянуть заряды вдоль проволоки, создавая тем самым ток, который можно рассматривать как проявление непрекращающегося стремления избавиться от поля.

Фиг. 96. Батарея обладает собственным электрическим полем.

Силовые линии и движущиеся заряженные частицы.

Силовые линии электрического поля указывают в каждой точке направление силы, действующей на малый пробный положительный заряд. Предположим, мы вносим в электрическое поле крошечную заряженную частицу. Будет ли она двигаться вдоль силовой линии? Оказывается, только вначале. Дело в том, что частица перемещается всегда в направлении ее результирующего количества движения. В любой точке частица при своем движении испытывает действие силы, направленной по касательной к силовой линии, и количество движения частицы в этом направлении увеличивается. Это приращение количества движения складывается с предшествующим количеством движения, которое может иметь другое направление, если силовые линии искривлены. Электроны, например, приобретают ускорение вдоль силовых линий электрического поля. Однако после того, как электроны начали двигаться, они не могут точно следовать направлению искривленных силовых линий, а уносятся в направлении вектора количества движения.

Фиг. 97. Движение маленькой положительно заряженной частицы, обладающей массой, в электрическом поле.

_{В каждом случае частица начинает двигаться из состояния покоя в точке А. Частица движется с ускорением, поскольку со стороны электрического поля к ней приложена сила, действующая на ее положительный заряд. Траектория частицы показана жирной пунктирной линией. (Отрицательная частица, например электрон, довершала бы такое движение при противоположном направлении поля.).}

_{На фигуре в показана частица в поле между положительной пластиной и двумя отрицательно заряженными стержнями, разделенными зазором. Траектория частицы не может сильно искривиться, и она проносится между стержнями.}

Так электрические поля заставляют двигаться электроны: увлекают их от катода к аноду двухэлектродной радиолампы — диода, управляют потоком электронов в усилительной лампе — триоде, ускоряют пучок электронов в так называемой электронной пушке, создают периодическое горизонтальное движение электронного луча в пределах некоторого угла в осциллографической или телевизионной трубке. Попытайтесь представить себе картину электрических полей, которые увлекают электроны и управляют их движением в описываемых ниже приборах.

Электроны в электрическом поле.

Если поместить в электрическое поле заряженную частицу, то на ней соберется несколько силовых линий поля, которые начнут тянуть частицу, как показано на фиг. 98, а. Электроны, обладающие отрицательным зарядом, движутся под действием силы, направленной противоположно полю[58], как показано на фиг. 98, б. Разумеется, электрическое поле, действующее на электрон (фиг. 98, в), не претерпевает изменений из-за присутствия электрона, который не искажает общей картины поля. Стрелка на фиг. 98, в указывает направление силы, приложенной к отрицательному электрону, находящемуся в электрическом поле.

Фиг. 98. Заряженное тело малых размеров в электрическом поле.

_{А и б — результирующее поле; в — заряд тела слишком мал, чтобы искажать однородное поле. Фигура в изображает также внешнее поле, которое действует на заряд тела во всех случаях независимо от того, велик заряд или мал.}

_{Стрелка указывает направление силы, действующей на отрицательный заряд.}

Испускание электронов накаленными металлами.

Опыты с простыми радиолампами показывают, что раскаленная нить накала служит источником некоего переносчика тока, способного поддерживать ток в одном направлении — от нити накала к аноду. Это имеет место даже в том случае, если в лампе создан самый высокий вакуум — идеальный изолятор, разделяющий нить накала и анод. Поскольку ток есть движение зарядов, в лампе должны появляться какие-то носители тока, обладающие электрическим зарядом. При холодной нити никакого тока нет: эффект прохождения тока наблюдается только, когда нить раскалена. Таким образом, мы приходим к предположению, что носители тока испускаются нитью. Миллиамперметр и вольтметр говорят нам, что если эти носители перемещаются от нити накала к аноду, то они должны обладать отрицательным зарядом. Ток через лампу условно рассматривается как ток положительных зарядов, текущий от анода к нити накала, направление этого тока считается положительным; говорят также об отрицательном токе в направлении от нити накала к аноду. Разность потенциалов, обусловливающая этот ток, приложена так, что анод положителен, а нить накала отрицательна. Поэтому электрическое поле притягивает отрицательные заряды от нити накала к аноду. Если изменить направление приложенной разности потенциалов, то никакого тока не будет, носители будут испытывать действие силы, направленной в сторону нити накала, и не смогут двигаться. Мы называем эти носители тока отрицательными электронами или просто электронами.

Фиг. 100. Простейшая радиолампа.

_{А — когда нить накала холодная, тока нет (если только к лампе не приложена очень большая разность потенциалов, под действием которой вырываются электроны из «холодных» атомов).}

_{Б — при таком включении батареи, как показывает вольтметр, анод положителен, а катод отрицателен. Миллиамперметр показывает, что через лампу течет положительный ток в направлении <— (или отрицательный ток в направлении —>).}

Фиг. 101. Если окошко из тонкого листового вольфрама, впаянное в торец стеклянной трубки, достаточно сильно нагреть пламенем газовой горелки, то через трубку под действием подходящего электрического поля будет проходить поток электронов.

По-видимому, в раскаленной металлической нити накала есть свободные электроны, которые движутся с большой скоростью и могут вылетать за пределы нити, подобно молекулам, испаряющимся из жидкости. Электроны способны вырваться из металла только в том случае, если соседние атомы смогут сообщить им достаточное количество добавочной энергии, когда металл достаточно нагрет. Чтобы заставить металл испускать электроны, необязательно нагревать его электрическим током. Полоска листового вольфрама, если нагреть ее в пламени небольшой газовой горелки, будет точно так же испускать электроны. Во многих современных радиолампах применяется так называемый косвенный подогрев. В этом случае накаленный поверхностный слой, который испускает электроны, — катод[59] разогревается маленьким электрическим подогревателем, находящимся в непосредственной близости к нему. Обычно катод имеет вид трубки, внутри которой проходит проволочный подогреватель. Катод часто покрывают слоем особого состава из смеси окислов, благодаря которому электроны интенсивно испаряются при сравнительно низкой температуре.

Мы будем в дальнейшем изображать радиолампы с отдельным катодом К и подогревателем НН.

Фиг. 102. Радиолампа с отдельными катодом и подогревателем.

Фиг. 103. Схематическое изображение двухэлектродной радиолампы.

РАДИОЛАМПЫ.

Диод и его применение для выпрямления тока.

Электроны, испаряющиеся из накаленного катода, движутся под действием электрического поля в пространстве между катодом и анодом. Они ускоряются и налетают на анод, передавая ему свою кинетическую энергию и усиливая хаотические колебания атомов материала анода, в результате чего анод нагревается.

Фиг. 104. Простейшая радиолампа (диод).

_{Внутри баллона создан высокий вакуум.}

_{1 — если нагреть вольфрамовую нить накала до белого каления, то электроны интенсивно испаряются из нее и образуют внутри баллона своего рода облако. Электронное облако, если оно сохраняется, создает тормозящее электрическое поле, которое противодействует дальнейшему испарению электронов.}

_{2 — батарея, присоединенная к нити накала и к аноду, создает между ними электрическое поле. Поле, показанное на фигуре, заставляло бы положительный заряд двигаться от анода к нити накала; в действительности под действием этого поля отрицательный заряд перемещается от нити накала к аноду.}

_{3 — при накаленной нити и приложенном поле поток электронов движется через лампу к аноду. Если изменить направление поля на обратное, то электроны отталкиваются назад, и тока в лампе нет. Если увеличивать приложенное поле, то поток электронов достигает максимума, когда все электроны, испаряющиеся с катода, попадают на анод.}

Лампа, в которой создан хороший вакуум, наполняется облаком электронов, подобно молекулам насыщенного пара. Если между катодом и анодом лампы приложить электрическое поле соответствующей величины и направления, то электронное облако будет перемещаться к аноду, и пойдет ток. Облако электронов ослабляет поле; некоторые электроны отталкиваются отрицательным зарядом облака назад, к катоду, поэтому ток через лампу мал.

Только приложив очень большое напряжение, мы получим максимальный ток, когда все электроны проносятся в направлении анода по мере их «испарения». Если теперь приложить еще большее напряжение, то увеличить ток уже не удастся. Этот неизменный максимальный ток называется током насыщения. (Смысл слова «насыщение» здесь, к сожалению, расходится со значением этого слова в выражении «насыщенный пар». Понятие «ток насыщения» вызывает представление о том, как молекулы пара уносятся сильным ветром сразу же после испарения — мечта хозяйки, которой приходится сушить белье.).

Фиг. 105. «Характеристика» диода: график зависимости тока от напряжения.

_{Обратите внимание на то, что I — это отрицательный ток, идущий от катода к аноду.}

Электроны в диоде могут пересекать пространство между катодом и анодом только в одном направлении — от катода к аноду. Таким образом, лампа действует как вентиль, легко пропуская ток, когда анод положителен, и не пропуская тока при обратной разности потенциалов, приложенной к электродам лампы. Это свойство диода используют в тех случаях, когда требуется получить прямой (постоянный по направлению) ток от источника переменного тока. Сеть коммунального электроснабжения дает переменный ток, пригодный для освещения и работы нагревательных приборов и специально сконструированных электромоторов, но совершенно непригодный для зарядки аккумуляторов или высоковольтного питания усилительных ламп в радиоприемнике.

Задача 11. Зарядка аккумуляторов. На фиг. 106 показан диод, у которого катод подогревается током от 6-вольтового аккумулятора. Диод используется для зарядки 18-вольтовой аккумуляторной батареи (три автомобильных аккумулятора, соединенных последовательно) от источника переменного тока. Срисуйте все изображенные на фигуре приборы и дополните схему необходимыми для ее работы соединениями. Примечание. Чтобы зарядить аккумулятор, ток (имеется в виду положительный ток, совпадающий по направлению с условным током положительных зярядов) должен входить в его положительный зажим, проходить через аккумулятор и выходить из отрицательного зажима; если рассматривать ток отрицательных зарядов (отрицательный ток), то он, разумеется, должен проходить в противоположном направлении.

Фиг. 106. К задаче 11.

Схему выпрямления тока, элементы которой показаны на фиг. 106, можно усовершенствовать, используя два диода. Если приложить между катодом и анодом диода переменное напряжение, то в цепи появятся импульсы тока одного направления (по одному импульсу на каждый период), чередующиеся с интервалами, когда ток отсутствует. Схема выпрямления, в которой используются два диода, дает вдвое больше импульсов тока, два за каждый период. Пульсирующим током, который дают обе схемы, можно заряжать аккумулятор. Можно сгладить этот ток с помощью дросселя и конденсатора и получить постоянное по амплитуде напряжение, необходимое для работы радиоламп. Описанное получение постоянного тока из переменного, как уже говорилось, носит название выпрямления, поскольку ток после выпрямления не меняет своего направления и течет лишь в прямом направлении. Обязательно посмотрите, как происходит выпрямление переменного тока, на экране осциллографа.

Трехэлектродная лампа.

Простой диод можно превратить в еще более полезный электровакуумный прибор, если ввести в него третий дополнительный электрод с отверстиями — сетку, которую располагают вблизи катода, чтобы усиливать или ослаблять поток электронов, направленный к аноду. Это трехэлектродная лампа, или триод, — основная лампа, используемая в радиоприемниках; она может служить для усиления электрических напряжений и токов и выпрямления тока. (Есть еще более сложные радиолампы; они содержат например, дополнительные сетки для захвата рассеянных электронов, но это, так сказать, украшения к основной лампе-триоду. Кстати, те же самые задачи, притом с меньшими хлопотами, могут быть решены с помощью транзистора.).

Фиг. 107. Триод.

_{Схематическое устройство трехэлектродной радиолампы — триода, имеющей нить накала, анод и сетку. Небольшая, обычно тормозящая разность потенциалов между нитью накала и сеткой сильно влияет на поток электронов, вылетающих из нити, давая возможность легко управлять им. Многие электроны проходят сквозь ячейки сетки, и за пределами сетки ускоряющее поле увлекает их к аноду.}

Фиг. 108. Триод.

Триод как усилитель.

Между катодом и сеткой прикладывают небольшое напряжение, «сигнал», который нужно усилить. Анод поддерживается под высоким напряжением неизменной величины по отношению к катоду. Это напряжение создает сильное электрическое поле за пределами сетки, стремящееся оттянуть электроны к аноду. В триоде небольшое изменение напряжения между сеткой и катодом очень сильно влияет на поток электронов, летящих к аноду: на этом основано усилительное действие лампы.

Если сетка оказывается положительной по отношению к катоду, то электроны сразу же попадают в ускоряющее поле. Сетка притягивает электроны из облака, окружающего катод, они устремляются к сетке, приобретая дополнительное количество движения. При этом траектории большей части электронов не совпадают с искривленными силовыми линиями поля, идущими к сетке, и электроны проносятся сквозь сетку. За пределами сетки электроны захватываются ускоряющим полем и мчатся к аноду. Триод становится подобным диоду в режиме насыщения. Этот тяжелый режим, когда сетка положительна, используется редко: обычно сетка находится при отрицательном потенциале по отношению к катоду.

Если сетка отрицательна, то картина получается иной; этот режим работы лампы имеет гораздо большее практическое значение. Отрицательная сетка сдерживает электронное облако. Некоторые электроны просачиваются сквозь ячейки сетки и устремляются к аноду под действием сильного поля за пределами сетки. Если же сетка лишь слегка отрицательна по отношению к катоду, то часть силовых линий поля, идущих от анода, проходит через сетку и закрепляется на электронах. В этом случае электроны, испытывая небольшое притяжение, медленно перемещаются от катода к сетке, а пройдя сквозь сетку, устремляются к аноду. Поток электронов в промежутке катод — сетка сильно зависит от разности потенциалов между сеткой и катодом, и с помощью нее очень легко управлять этим потоком. Малые изменения напряжения между сеткой и катодом сильно влияют на поток электронов, покидающих катод, и тем самым на анодный ток. Это очень удобный способ управлять потоком электронов с помощью малого напряжения. Чтобы достичь такого же изменения потока электронов путем изменения напряжения между катодом и анодом, это последнее пришлось бы изменить много больше. Иначе говоря, триод позволяет увеличивать (усиливать) напряжение.

Более того, триод усиливает мощность. К сетке и от нее текут лишь очень малые токи: большая часть электронов направляется к аноду. Таким образом, в цепь сетки триода под действием малого напряжения поступает чрезвычайно малый ток, в то время как в анодной цепи появляется гораздо больший ток, который, протекая через достаточно большое сопротивление, вызывает большие изменения напряжения. Другими словами, триод отдает в анодную цепь значительно большую мощность и вызывает значительно большие изменения мощности, чем подводятся к сетке. Триод напоминает в этом отношении современную машину-автомат, в которой с помощью легкого нажатия кнопки управляют огромными количествами энергии. В управлении потоком энергии состоит основная функция триода как усилителя. Дополнительная энергия поступает от источника высокого постоянного напряжения (это может быть батарея или сетевой выпрямитель), который включают в анодную цепь.

Фиг. 109. Электрическое поле в триоде при положительной сетке (ненормальный режим).

_{Сквозь сетку проходит мощный поток электронов, стремительно уносимых полем к аноду; некоторые электроны задерживаются сеткой С. Тонкие стрелки показывают скорости электронов. Толстые стрелки указывают направление силы, действующей на отрицательные электроны со стороны поля.}

Фиг. 110. Электрическое поле в триоде при отрицательной сетке (обычный режим работы лампы),

Фиг. 111. Триод в действии.

_{Электроны, испускаемые накаленным катодом, образуют облако в области между катодом и сеткой. Электроны, которым удается пройти сквозь ячейки сетки, движутся под действием сильного поля к аноду. Разность потенциалов между сеткой и катодом управляет потоком электронов.}

Фиг. 112. «Характеристика» триода.

_{Напряжение анода поддерживается при снятии этой «характеристики» постоянным.}

Триоды в радиоприемниках.

В усилителе радиоприемника приходящие радиосигналы создают малые напряжения между катодом и сеткой триода[60]. Возникающие в результате этого изменения потока электронов, направляющихся к аноду, вызывают большие изменения напряжения между концами так называемого «сопротивления нагрузки», включенного в анодную цепь, с которого «снимают» эти изменения напряжения. Напряжение на сопротивлении нагрузки можно приложить между сеткой и катодом еще одного триода для дальнейшего усиления и в конечном счете заставить работать от этого напряжения динамик.

Чтобы динамик приемника мог работать от радиосигналов, их нужно не только усилить, но и выпрямить — пропустить через какое-то устройство, дающее на выходе ток одного направления. Необходимость выпрямления радиосигналов не очевидна; почему их приходится выпрямлять, будет рассказано в гл. 41.

Триод может работать как выпрямитель у нижнего излома своей характеристики — графика зависимости тока от напряжения, где характеристика загибается, приближаясь к горизонтальной оси. Однако, несмотря на возможность использовать одну и ту же лампу как для выпрямления, так и для усиления, лучше разделить обе эти задачи и применять разные лампы.

Триоды сочетают усилительные свойства с достоинствами диодов. Диоды находят применение в «источниках питания» для получения постоянного тока из переменного; эти источники используются вместо батарей. Обеим лампам угрожает конкуренция со стороны новых приборов — маленьких «транзисторов», в которых нет накаливаемых элементов. В транзисторе в кусочке полупроводникового кристалла создается однонаправленное управляемое противодействие движению электронов на стыках полупроводниковых материалов двух типов в одном и том же кристалле.

Фиг. 113. Усиление радиосигналов.

_{А — усиление на одном триоде; б — две ступени усиления.}

Электронная пушка.

Тут вы оказываетесь похожим на человека, который всю жизнь говорил прозой, сам того не зная. Вы, должно быть, имели дело с электронной пушкой, не зная об этом. Электроны, испаряющиеся из накаленного катода, ускоряются под действием электрического поля и бомбардируют анод. Если в аноде проделать отверстия, то через каждое отверстие будет выбрасываться поток электронов. Электроны продолжают свой путь, пока не ударятся о стенки баллона или, если в лампе есть остатки газа, пока не потеряют энергию при столкновениях с молекулами газа. Если электроны обладают достаточно большой энергией, то они могут пройти даже сквозь тонкие стеклянные или металлические стенки баллона и вылететь в атмосферу, где вскоре тормозятся.

Электронная пушка, предназначенная для получения узкого пучка электронов, обладает некоторыми дополнительными особенностями устройства. Анод имеет лишь одно отверстие, добавлены сетки для управления фокусировкой и интенсивностью пучка. Благодаря фокусировке электроны выходят очень узким пучком или собираются в маленькое пятнышко к моменту достижения мишени, если пучок при выходе расходящийся. Чтобы добиться этого, создают небольшие дополнительные электрические поля. Проблемы, связанные с получением полей нужной конфигурации, составляют новую область техники — «электронную оптику», в которой пользуются плодотворной аналогией между классической оптикой и механикой электронов.

Интенсивностью пучка электронов управляют посредством отрицательно заряженной сетки, которая расположена вблизи нити накала и создает поле, тормозящее поток электронов. Сетка таким образом управляет числом электронов, которые достигают ускоряющего поля. Если сетка находится под большим отрицательным потенциалом, она отталкивает все электроны обратно к нити накала. Если сетка слегка отрицательна по отношению к катоду, то она позволяет осуществить эффективное управление потоком электронов. При положительной сетке плотность потока максимальна, и пушкой уже нельзя управлять. На схемах мы будем изображать такие электронные пушки без дополнительных сеток или анодов.

В ранний период изучения электронов, на пороге 1900 г., таких обильных источников потока электронов не было. Вместо них Дж. Дж. Томсону и другим исследователям пришлось пользоваться электронами, которые были вырваны из металлов или выбиты из молекул разреженного газа в разрядных трубках, а затем ускорены в трубке под действием разности потенциалов в несколько тысяч вольт. Это давало слабый пучок электронов с неодинаковой кинетической энергией.

Фиг. 114. Электронные пушки.

_{А — трубка, в которой создан вакуум; б — трубка с небольшим количеством газа; в — трубка, в которой создан вакуум; электроны выходят наружу через очень тол кое металлическое окно в торце трубки.}

Осциллографы.

Пучок электронов, вылетающих из электронной пушки, если его путь проходит через вакуум и он не встречает больше электрических полей, имеет вид прямой линии, а скорость электронов не меняется. Налетая на торцевую стенку стеклянного баллона, электроны останавливаются, их кинетическая энергия переходит в тепло, за исключением тех редких случаев, когда вместо этого при торможении электрона испускается фотон (квант) рентгеновского излучения. Если покрыть стекло слоем специального флуоресцирующего состава, то в том месте, куда ударяются электроны, появится светящееся пятно. Налетающие электроны вызывают свечение не в результате нагрева, а благодаря возбуждению электронов в атомах покрытия. Этим светящимся пятном можно чертить графики и рисовать изображения. Электрические поля отклоняют пучок справа налево и слева направо в горизонтальном направлении или вверх и вниз, заставляя его вычерчивать графики или рисовать изображения на телевизионном экране. Электроны в пучке движутся очень быстро и обладают ничтожно малой массой, поэтому пучок невероятно быстро и легко реагирует на действие отклоняющих полей.

На фиг. 115 показана трубка электронно-лучевого осциллографа — предшественница телевизионных трубок.

Фиг. 115. Трубка электронно-лучевого осциллографа.

Электроны вылетают узким пучком из пушки G и налетают на экран S, расположенный на противоположном конце трубки. Экран S покрыт слоем вещества, которое светится при бомбардировке электронами. Пучок фокусируется пушкой в маленькое светящееся пятно на экране. Проходя через отклоняющее электрическое поле, созданное между пластинами Р₁ и Р'₁, пучок смещается вверх или вниз, так как электроны получают некоторое количество движения в вертикальном направлении. Имеется еще одна пара пластин, Р₂ и Р'₂, между которыми создают поле для отклонения пучка в горизонтальной плоскости. Если к пластинам Р₁ и Р'₁ подключить батарею (с э.д.с. скажем, 45 в) так, чтобы верхняя пластина стала положительной, то пучок отклонится вверх, и пятно будет находиться в определенном положении в верхней части экрана S, пока подсоединена батарея[61]. Если к пластинам Р₁ и Р'₁ подвести переменное напряжение, то пятно будет перемещаться вверх и вниз, практически мгновенно следуя за изменениями напряжения. Чтобы вычертить графическую картину изменения вертикального отклонения во времени, горизонтальное электрическое поле должно перемещать пучок с постоянной скоростью по экрану трубки в горизонтальной плоскости. Схема такой «развертки» рассмотрена в задаче 11 гл. 36. Вам следовало бы поработать с трубкой в лаборатории (опыт 10 гл. 41).

В телевизионной трубке пятно должно совершать периодическое перемещение вверх и вниз и справа налево, быстро покрывая всю площадь кадра. Одновременно с этим перемещением пятна по экрану его яркость должна изменяться под действием приходящих радиоволн, благодаря этому получаются светлые и темные части изображения.

Фиг. 116. Схема с простой электронно-лучевой трубкой для вычерчивания графической картины изменения тока во времени.

_{Разность потенциалов на сопротивлении, пропорциональная току в цепи, прикладывается к пластинам трубки и создает вертикальное отклоняющее электрическое поле. «Переключающая лампа» в цепи развертки представляет собой специальную газонаполненную радиолампу, подобную неоновой газосветной лампе. При низком напряжении эта лампа не проводит тока. Когда напряжение на ней достигает определенной величины, лампа внезапно вспыхивает, и через нее проходит ток (благодаря образованию ионов при столкновениях). Ток, проходящий через высокое сопротивление, заряжает конденсатор. Когда конденсатор зарядится до определенного напряжения, лампа вспыхивает, давая возможность конденсатору быстро разрядиться до нулевого напряжения. Таким путем получают пилообразное напряжение, необходимое для развертки.}

Задача 12. Предположим, вы располагаете электронной пушкой типовой конструкции и вас попросили спроектировать телевизионную трубку. Как бы вы предложили осуществить изменение яркости пятна? (Существует несколько схем, некоторые из них можно использовать не только в телевизионной трубке.). Указание. Электроны, которые ударяются об экран, должны обладать максимальной скоростью пучка, иначе они вообще не смогут возбудить свечение.

В современных телевизионных трубках отклонение электронного пучка осуществляется не электрическими, а магнитными полями. Вскоре вы увидите, что их можно использовать вместо электрических полей.

Энергия электрического поля. Волны.

[Оставшаяся часть этой главы описывает необыкновенные явления, находящие полное объяснение и подтверждение при более серьезном изучении, чем то, которое предлагается здесь. Тем не менее она проливает некоторый свет на понятие электрической энергии и дает представление об электромагнитных волнах.].

Движущиеся заряды переносят с собой создаваемые ими поля, силовые линии поля движутся вместе с зарядами, подобно тому, как пышные усы — вместе с их обладателем. Во всем пространстве вокруг проводов электрической цепи, по которым течет ток, должны перемещаться силовые линии[62]. Именно эти движущиеся силовые линии переносят электрическую энергию от батареи к различным частям цепи через разделяющее их пространство. Силовые линии натягиваются и тянут заряды, поддерживая ток, и передают энергию своей упругой деформации, почти как движущийся приводной ремень.

Это движение сопровождается новым эффектом: появлением магнитного поля, у которого также есть силовые линии (силовые линии совсем иного рода, хотя и с похожей конфигурацией). Магнитное поле, связанное с протеканием тока по цепи, обладает, оказывается, собственным запасом энергии, количество которой пропорционально величине (сила тока)². Сходство с кинетической энергией, которая пропорциональна величине (скорость)², наводит на мысль, что энергию магнитного поля можно рассматривать как кинетическую энергию цепи, связанную, возможно, с кинетической энергией движения электронов. Эта «кинетическая энергия» магнитного поля тока дает основание считать, что оно обладает чем-то подобным массе. А потенциальная энергия, присущая электрическим полям, позволяет провести аналогию между их поведением и поведением пружины или растягиваемого шнура. В действительности между обоими видами поля существует взаимосвязь. Вместе взятые они образуют электромагнитное поле, обладающее как «пружинистостью», так и инертностью, или массой. Мы знаем, что в любой среде, которая характеризуется упругостью и массой, могут распространяться волны: вдоль натянутой веревки, вдоль массивной витой пружины, в воздухе — в виде звуковых волн. Таким образом, мы можем высказать смелую догадку и предположить, что в электромагнитном поле могут распространяться волны. И действительно, можно заставить электрическую цепь посылать волны, если быстро изменять текущий по ней ток. Это те самые радиоволны, существование которых столетие назад предсказал Максвелл. Вывод Максвелла представлял собой не просто догадку, а был основан на его математической формулировке законов электрического и магнитного полей.

Электромагнитные волны.

В тех случаях, когда ток в цепи быстро меняется и заряды не просто движутся, но движутся с ускорением и замедлением, должны происходить изменения полей. Эти изменения, как мы теперь знаем, распространяются не мгновенно — информация о них достигает удаленных от цепи областей пространства лишь некоторое время спустя. Чтобы понять, как это происходит, рассмотрим цепь с разрывом, наподобие той, о которой говорилось в начале этой главы (фиг. 51). Подключим цепь сначала к батарее, а потом к источнику переменного напряжения. На фиг. 117 показана такая цепь, причем в разрыв включен конденсатор, т. е. две пластины, параллельные друг другу и разделенные воздушным промежутком. Под действием переменного напряжения заряды движутся то к пластинам конденсатора, то от пластин. В этом смысле говорят, что конденсатор проводит переменный ток.

Фиг. 117. Конденсатор в электрической цепи.

_{Если конденсатор включен последовательно в цепь постоянного тока, лампочка обнаруживает в лучшем случае кратковременный импульс тока. Если цепь с конденсатором подключить к источнику переменного тока, то заряды будут то подходить к пластинам конденсатора, то уходить от них, проходя через лампочку. Поэтому лампочка горит, хотя и менее ярко, чем без конденсатора. Следуя предложению Максвелла, мы представляем себе, что через конденсатор проходит ток изменяющегося электрического поля, который создает магнитное поле с замкнутыми кольцевыми силовыми линиями.}

На фиг. 118 показано распределение зарядов на пластинах и график зависимости напряжения между пластинами от времени.

Фиг. 118. График зависимости переменного напряжения на конденсаторе от времени.

Чтобы распространить электрическое поле, существующее между пластинами, на большую область пространства, замените пластины двумя антенными стержнями, А и В.

На фиг. 119 показано электрическое поле вокруг стержней, заряженных от батареи.

Фиг. 119. Заряжение антенной системы.

_{Пара пластин, присоединенных к батарее, заряжается (одна положительно, другая отрицательно) до тех пор, пока разность потенциалов между ними не станет равной э.д.с. батареи. Если пластины заменить стержнями, то электрическое поле вокруг заряженных стержней будет таким, как показано на фигуре. Поле симметрично, причем стержни играют роль оси симметрии. Чтобы полностью представить себе картину поля, вообразите, что приведенный рисунок вращается вокруг этой оси. Остальные компоненты схемы, провода и батарея, тоже создают электрические поля; они здесь не показаны.}

На фиг. 120, 121 представлены картины электрического поля около стержней, к которым приложено напряжение, медленно изменяющееся с течением времени по величине и направлению. Когда напряжение максимально, стержни заряжены (один положительно, другой отрицательно) так, как показано на фиг. 121, а. Фиг. 121, б соответствует моменту, когда напряжение уменьшилось вдвое; фиг. 121, в иллюстрирует состояние, в котором напряжение равно нулю. В стадиях от а до б — и от б до в заряды движутся вдоль стержней обратно к источнику, унося с собой свои силовые линии, которые постепенно исчезают. В следующую четверть периода напряжение, количество зарядов на стержнях и поле достигают максимума, но заряды на стержнях и напряжение будут противоположны этим величинам в стадиях a, б, направление поля также изменится на обратное. Затем все перечисленные величины снова изменяются до нуля, и мы возвращаемся к первой стадии процесса. Заряды нагнетаются к антенным стержням и откачиваются от них. Вдали от стержней можно обнаружить в лучшем случае слабое излучение.

Фиг. 120. Антенные стержни заряжаются от батареи (положительно и отрицательно), при этом вокруг них создается электрическое поле.

Фиг. 121. Дипольная антенна.

_{Антенна подключена к источнику переменного напряжения. Приведенные рисунки изображают картину электрического поля в окрестности обоих стержней. (Разумеется, вокруг остальной части схемы тоже существует поле.) Предполагается, что частота переменного напряжения очень мала, поэтому изменения поля происходят очень медленно. При нарастании и спадании напряжения заряды «приливают» в стержни и наоборот; при этом раскрываются и сокращаются громадные зонтики из силовых линий — возникает пульсирующее электрическое поле, которое находится в фазе с напряжением. Изображенные конфигурации силовых линий соответствуют сечению реальной картины поля в плоскости: поле на самом деле имеет пространственную картину. Чтобы представить себе ее, вообразите, что картина, изображенная в плоскости, вращается вокруг оси стержней.}

На фиг. 122 показаны те же стадии при значительно более быстром изменении величины и направления переменного напряжения (или при значительно большей длине стержней). Удаленные части поля в каждый момент времени не получают вовремя информации об изменениях напряжения и не исчезают, подобно более близким частям. Они отделяются в виде замкнутых петель, которые потом оттесняются следующей группой силовых линий, появляющихся и увеличивающихся в размерах при новом нарастании напряжения. Представьте себе, что длинным кнутом внезапно хлопают с такой силой, что образующаяся на нем петля в результате резкого движения отрывается. От настоящего кнута петля, конечно, отделиться не может, а вот на силовых линиях поля может образоваться такая отделяющаяся петля. Вычисления, проведенные с помощью модифицированного уравнения для движущихся зарядов, предсказывают именно такую картину. Схематические изображения картин поля, представленные на фиг. 122, 124, 125, основаны на таких вычислениях; впервые их проделал Герц, который первым же экспериментально получил радиоволны.

Фиг. 122. Дипольная антенна.

_{Антенна подключена к источнику переменного напряжения высокой частоты. Изменение напряжения происходит очень быстро.}

_{1 — источник напряжения включают в момент, когда напряжение равно нулю. Стержни не заряжены.}

_{2 — напряжение, величина заряда и поле возрастают, этим сопровождается движение зарядов по стержням (1/8 периода спустя после включения источника).}

_{3 — напряжение, величина заряда и поле возросли до максимума (1/4 периода после включения источника при незаряженных стержнях).}

_{4 — напряжение, величина заряда и поле уменьшаются, удаленные же области поля остаются на своем месте. Участки линий, ближайшие к стержням, стягиваются, и внешние области линий поля превращаются в замкнутые петли.}

_{5 — напряжение и величина заряда равны нулю (1/2 периода после включения источника). Однако поле остается в форме замкнутых петель, которые перемещаются от стержней, «отталкиваемые» вновь образующимися петлями.}

_{6 — по стержням стремительно движутся новые заряды противоположного знака, вновь создавая поле в центральной области. Это нарастающее поле «отталкивает» петли предшествующего поля в области пространства, более удаленные от стержней.}

_{7 — величина нового заряда и вновь появившееся напряжение достигают максимума. Образуется новое поле с обратным направлением стрелок» которое достигает максимума.}

_{8 — картина поля спустя 3/2 периода после показанной выше. Сюда переместились крайние петли. Новая картина поля в окрестности стержней соответствует еще одной перемене знаков.}

Фиг. 123. Упрощенное объяснение образования петель из силовых линий поля.

_{Проследите за исчезновением одной силовой линии.}

_{1 — при сближении зарядов, на которых начинается и оканчивается линия, происходит сближение участков линии, прилегающих к стержню, в то время как более удаленные участки остаются неподвижными.}

_{2 — можно представить себе, что заряды каждого знака переходят прямо на противоположный стержень, а не идут к источнику и обратно.}

_{3 — если бы силовая линия оставалась подобной упругой трубке, она перекрещивалась бы, как показано на фигуре а.}

_{4 — с настоящими силовыми линиями такого происходить не может, поэтому они разделяются: а —> б + в.}

Фиг. 124. Радиоволны.

_{Мгновенная картина электрического поля, излучаемого двумя короткими стержнями (такими, как на предыдущих фигурах), подсоединенными к источнику быстропеременного напряжения. Видны замкнутые петли из силовых линий поля, которые отталкиваются по мере образования у стержней новых петель и распространяются дальше в виде радиоволн. Поле в непосредственной близости к стержням, изображенное на предыдущих фигурах, здесь не показано. Радиальные стрелки указывают направление распространения мгновенной картины поля, приобретающей все большие размеры по мере удаления от антенны. Вы должны представлять себе, как эта картина поля распространяется от источника (стержней) со скоростью света, увеличиваясь в размерах по мере удаления. Группа замкнутых петель из силовых линий поля распространяется практически в радиальном направлении от источника, как только выйдет из непосредственной близости к нему. Поэтому интенсивность излучения должна следовать закону обратной пропорциональности квадрату расстояния.}

Фиг. 125. Радиоволны, испускаемые небольшой антенной, вблизи поверхности земли.

_{На фигуре показаны вертикальная антенна и поверхность земли (зеркальное изображение антенны относительно поверхности земли служит нижним «стержнем»); такая система излучает электромагнитные волны над поверхностью земли. Стрелки указывают направление распространения мгновенной картины поля, увеличивающейся в размерах по мере распространения.}

Отделившись, петли уносятся со скоростью света; находясь в движении, они и представляют собой свет, хотя их длина волны может не попадать в пределы узкой области длин волн видимого света.

Один за другим следуют периоды переменного напряжения, сопровождаемые появлением все новых и новых групп отделившихся петель-линий поля, изображенных на фиг. 124. Изменяющиеся электрические поля возбуждают в смежных областях пространства переменные магнитные поля; радиоволна — это и есть такое электромагнитное поле, распространяющееся в пространстве.

Пара стержней представляет собой простую дипольную антенну (диполь), которую используют для приема и передачи ультракоротких радиоволн. Для длинных волн требуется антенна больших размеров. Одним «стержнем» служит вся антенна, включая вертикальный провод, ведущий от нее, роль второго «стержня» играет зеркальное изображение антенны, располагающееся под поверхностью земли.

Поле и движение. На подступах к теории относительности.

На первый взгляд электрическое и магнитное поля кажутся не только непохожими, но и совершенно независимыми друг от друга. Однако между ними существует связь.

1. а) Покоящиеся заряды создают постоянные электрические поля,

Б) Покоящиеся магниты создают постоянные магнитные поля.

2. а) Установившийся ток в цепи создает постоянное магнитное поле (и движущееся электрическое поле, хотя оно может и не обнаруживаться).

Б) Движущийся магнит создает движущееся вместе с ним магнитное поле и постоянное электрическое поле (в этом заключается принцип действия электрического генератора).

3. С изменяющимся током в цепи (например, переменным током) связаны изменяющиеся электрическое и магнитное поля. Такая цепь излучает электромагнитные волны, интенсивность излучения их становится больше, если изменения величины и направления тока происходят быстро, и цепь обладает правильно выбранной «площадью излучения».

4. Электромагнитные волны представляют собой движущееся электромагнитное поле — электрическое и магнитное поля, перпендикулярные друг к другу, которые вместе распространяются в пространстве.

Изменения поля одного вида возбуждают в соседних областях пространства переменное поле другого вида, и электромагнитная волна продолжает распространяться.

Каким образом электрическое и магнитное поля связаны между собой?

Более глубокие исследования показывают, что изменение или, образно говоря, движение поля каждого вида всегда сопровождается появлением поля другого вида: движущееся электрическое поле создает магнитное поле, а движущееся магнитное поле создает электрическое поле. Но представьте себе, что движется не поле, а сам экспериментатор. Будет ли он наблюдать такое же магнитное поле, когда он движется поперек электрического поля, создаваемого зарядом?

Если нет, значит, наш наблюдатель может сказать, что именно движется: он или заряд, а следовательно, он нашел способ обнаружить абсолютное движение. Другими словами, он может установить «верстовые столбы» в абсолютном пространстве. Только эксперимент может дать достоверный ответ на этот вопрос. Однако мы можем высказывать предположения, применяя обычную геометрию движения к законам Максвелла точно так же, как могли бы мысленно построить траекторию падающего апельсина, какой ее видит бегущий мимо наблюдатель. Размышляя таким образом, мы приходим к выводу, что законы Максвелла должны принимать какую-то иную, более громоздкую форму для любого наблюдателя, кроме «покоящегося», жестко связанного с «верстовым столбом», зафиксированным в пространстве. Но действительные эксперименты дают нам законы электродинамики в одинаково простой форме для какого угодно наблюдателя, покоящегося или движущегося по лаборатории. Что же является ошибочным: простые законы, которые подтверждает опыт, или простая геометрия, которой мы пользовались, выдвигая свое предположение?

Игнорируя это необычное противоречие, ученые XIX столетия пытались исследовать свое движение в пространстве по влиянию этого движения на опыты с электромагнитным полем. Любой измеренный эффект, пропорциональный скорости и, ясно обнаруживает наличие относительной скорости между экспериментатором и прибором, когда в лаборатории происходят изменения движений. Что же касается влияния какого бы то ни было движения лаборатории в пространстве как целого, то это влияние исключается простым вычитанием. Опыты эти показали, что неважно, как совершается относительное движение: движется ли наблюдатель, прибор или оба одновременно. Но пытались произвести и другие опыты: пытались измерить время прохождения световых вспышек по какому-либо пути и обратно в различных направлениях в пространстве. Световая вспышка представляет собой группу электромагнитных волн, распространяющихся в «пространстве», и измерение времени ее распространения могло бы дать эффект, зависящий от v². Таким образом, ученые могли бы, руководствуясь обычной геометрией, обнаружить наше движение в пространстве. Однако, несмотря на все новые и новые попытки, не удавалось обнаружить никакого эффекта. Мы уверены, что движемся, и тем не менее не обнаруживаем никакого движения. Какой же вывод мы должны сделать: что были неправильно проведены опыты, выбрана неподходящая геометрия или что неверна идея «верстовых столбов» в пространстве? Этот основной вопрос послужил толчком к созданию теории относительности.

Задачи к главе 33.

Задачи 1—12 приведены в тексте главы. Задача 13. Электрофор. Электрофор — это устройство, позволяющее получать неограниченное количество электрических зарядов. Электрофор состоит из: А) плексигласового диска, заряжаемого трением о мех (при этом отрицательные электроны «соскабливаются» с меха и переходят на плексиглас, где остаются на поверхности или вблизи нее, поскольку плексиглас — очень хороший изолятор); Б) металлической пластины с изолирующей ручкой. Заряды получают следующим стандартным способом (после того как плексиглас потерт мехом): 1) подносят пластину на близкое расстояние к плексигласу; 2) пальцем касаются пластины, чтобы соединить ее с землей (электрическим проводником огромных размеров); 3) убирают палец; 4) удаляют пластину; на ней остается заряд, которым можно воспользоваться. Даже если пластина касается плексигласа, с него снимается очень небольшой заряд, ибо плексиглас — очень плохой проводник. А) Изобразите рисунками различные стадии этого процесса, проставив на них знаки «+» и «—» там, где, по-вашему, есть заряды. Проведите силовые линии поля. Б) Объясните кратко, что происходит от одной стадии до ближайшей следующей. Задача 14. Подготовка к опыту Милликена, посвященному измерению заряда электрона. Очень маленькой капельке жидкости (вылетающей из пульверизатора) сообщают заряд, равный заряду одного электрона. Капельку впускают в пространство между двумя горизонтальными металлическими пластинами, расположенными одна над другой. Пластины подсоединяют к батарее, которая создает в промежутке между ними вертикальное электрическое поле напряженностью 100 000 ньютон/кулон. (Это значение напряженности можно вычислить, зная напряжение батареи и расстояние между пластинами.) Если величина поля как раз достаточна, чтобы заставить капельку парить в воздухе, не поднимаясь и не опускаясь, то какова масса капельки? Дано: ЗАРЯД ЭЛЕКТРОНА = -1,6∙10^-19 кулон. (Этот расчет, проведенный в обратном направлении, соответствует методу, посредством которого Милликен измерил заряд электрона.) Сравните полученный результат с пределом измерения наиболее чувствительных химических микровесов, близким к одной миллиардной грамма, или 10^-12 кг. Задача 15. Предварительная задача, связанная с опытом Милликена. При падении крошечной дождевой капельки сила сопротивления воздуха, действующая на капельку, изменяется прямо пропорционально скорости. (Это тщательно проверено опытом.) Силы сопротивления, действующие на капли разных размеров, прямо пропорциональны радиусам капель. Следовательно, сила сопротивления воздуха = К∙r∙v, где К — постоянное число, известное из опытов по изучению движения воздуха в трубах. (Предположим, значение К таково, что произведение К∙r∙v дает силу в ньютонах.) Когда дождевая капля начинает падать, она сначала движется ускоренно, но вскоре достигает постоянной скорости. А) Какие две силы действуют на каплю в любой стадии ее падения? Б) Чему должна быть равна результирующая сила, когда капля падает с постоянной скоростью? В) Напишите уравнение, вытекающее из а) и б), используя К и другие коэффициенты, приведенные выше. Г) Предположим, что другая капля имеет вдвое больший радиус. Какова ее масса? Покажите из вашего уравнения в), что эта капля будет падать в четыре раза быстрее. Задача 16. Электрические поля и закон обратной пропорциональности квадрату расстояния: подготовка к опыту Милликена. Мы используем электрические поля в целом ряде измерений в «атомной физике». Приводимая ниже задача поможет вам понять, что такое электрические поля. НАПРЯЖЕННОСТЬ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ определяется как СИЛА (в ньютонах), действующая на ЕДИНИЦУ МАССЫ (1 кг). Она измеряется в ньютон/кг. НАПРЯЖЕННОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ определяется как СИЛА (в ньютонах), действующая на ЕДИНИЦУ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ЗАРЯДА (1 кулон). Она измеряется в ньютон/кулон. А) Какова (примерно) напряженность гравитационного поля Земли, т. е. с какой силой (в ньютонах) Земля притягивает 1 кг. — в вашей лаборатории? — в любой точке на расстоянии 6340 км от центра Земли? — в любой точке на расстоянии 12 680 км от центра Земли? Б) Напряженность гравитационного поля Земли можно вычислить другим методом, исходя из гравитационной постоянной G. Это более утомительный и нерациональный способ, если мы уже знаем напряженность непосредственно из наблюдений за падающими телами, но он иллюстрирует метод, используемый для определения напряженности электрических полей. Покажите, что можно получить то же самое значение напряженности поля в лаборатории, воспользовавшись следующими данными: Гравитационная постоянная G = 6,67∙10^-11 (ньютон∙м²/кг²), входящая в формулу F = G∙M₁∙M₂/d². Расстояние от лаборатории до центра Земли ~= 6,34∙10⁶ м. Масса Земли ~= 6,0∙10²¹ т ~= 6,0∙10²⁴ кг. Используя формулу закона всемирного тяготения, вычислите приближенно силу, с которой Земля притягивает пробную массу 1 кг вблизи поверхности Земли. Это и есть напряженность гравитационного поля Земли в данной точке. В) Воздушному шарику, диаметр которого 0,2 м (радиус 0,1 м), сообщают заряд 1 микрокулон, т. е. 1∙10^-6 кулон. (Это большой заряд для такого шарика.) Вычислите напряженность электрического поля на расстоянии 0,5 м от центра шарика. Постоянная , входящая в формулу закона обратной пропорциональности квадрату расстояния для силы взаимодействия зарядов, равна 9∙10⁹ (ньютон∙м²/кулон). (Постоянная появляется вместо G.) Г) Вычислите напряженность электрического поля на расстоянии 1,0 м от центра шарика. Д) Когда мы имеем дело с электрическим полем в пространстве между двумя параллельными пластинами (таким полем пользовался Милликен при измерении заряда электрона, оно используется в электронно-лучевых трубках для отклонения пучка электронов)г мы исходим из опытных данных о том, что это поле однородно. Это значит, что поле имеет одинаковую напряженность всюду в пространстве между пластинами и направлено прямо от одной пластины к другой перпендикулярно пластинам. Если мы знаем напряжение между пластинами (допустим, что к пластинам подключен вольтметр параллельно батарее, подсоединенной к пластинам для создания поля), то мы можем вычислить поле, как в следующем примере. Предположим, что разность потенциалов между двумя параллельными пластинами, отстоящими друг от друга на 0,4 м, равна 15 000 в.

Фиг. 126. К задаче 16.

1) Разность потенциалов 15 000 в между пластинами означает, что… Дополните эту фразу. 2) Исходя из 1), вычислите энергию, сообщаемую электрическим полем 1 кулону, проходящему от одной пластины до другой, в джоулях. 3) Предположим, что 1 кулон, помещенный в поле в качестве пробного заряда, испытывает силу X ньютонов (т. е. предположим, что напряженность поля между пластинами равна X ньютон/кулон). Представим себе, что эта сила движет кулон от одной пластины до другой. Какое количество энергии будет таким образом сообщено кулону? (Обратите внимание, что оно в точности равно произведению СИЛА∙ПУТЬ.). 4) Напишите уравнение, из которого следует, что в 2) и 3) в ответе получается одна и та же величина. Решите это уравнение и найдите напряженность поля X. Задача 17. Задачи с применением математического анализа. (Эти задачи имеют важное значение для изучения атомной физики.). Чтобы детально разработать любую картину строения атома, вроде простой модели Бора, необходимо знать потенциальную энергию отрицательного электрона на расстоянии r от положительного ядра. (Точно так же, попытавшись рассчитать орбиту планеты, мы столкнемся с необходимостью определить потенциальную энергию тела в гравитационном поле.) Для этого нам нужно знать разность потенциалов V между бесконечностью и точкой, удаленной от заряда ядра Q на расстояние r. Если заряд +1 кулон при перенесении его из бесконечности в точку, удаленную от ядра на r, приобретает электрическую потенциальную энергию V дж, то электрон с зарядом е приобретает энергию V∙e дж. Поскольку е отрицательно и равно —1,6∙10^-19 кулон, электрон при переводе его из бесконечности на орбиту с радиусом r теряет потенциальную энергию. Вот почему электрон не может покинуть орбиту, пока ему не будет сообщена добавочная энергия путем бомбардировки. Итак, вы найдете выражение для V, которым пользуются в атомной физике. Оно получается в результате вычисления работы, совершаемой против силы отталкивания ∙Q(1)/d² при перенесении +1 кулон из d = бесконечности в d = r. Сила отталкивания меняется с изменением расстояния d, поэтому определить V простым перемножением СИЛА∙ПУТЬ нельзя. Вместо этого мы должны разбить весь путь на очень короткие участки, вычислить работу на каждом участке и сложить результаты. Разбивая путь на все более короткие участки, мы получим в пределе то, что дает метод математического анализа, называемый интегрированием, (Существуют приемы, позволяющие проделать этот расчет без помощи математического анализа, однако каждый, кто в состоянии проследить за подобными выкладками, смог бы за это время познакомиться с математическим анализом, доставив себе большое удовольствие.) Приведем вывод формулы математического анализа, заменив букву d на х. Предположим, что пробный заряд +1 кулон проделал часть пути, находясь на расстоянии х, и мы перемещаем его еще на некоторый отрезок пути — dx. (Символ d употребляется вместо Δ в случае предельного перехода и обозначает бесконечно малую величину, а знак минус указывает на перемещение в направлении начала отсчета величины х, т. е. означает отрицательное приращение х.) Тогда работа на этом отрезке пути равна. Следовательно, V = ПОЛНАЯ РАБОТА = СУММА ВСЕХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ РАБОТ НА ПУТИ ИЗ БЕСКОНЕЧНОСТИ ДО х = r. Работа, совершаемая внешней силой, переходит в потенциальную энергию заряда в электрическом поле. Записанный интеграл равен потенциальной энергии, приходящейся на единицу заряда. А) Произведите интегрирование, помня, что — постоянная, равная 9,0∙10⁹, a Q — заряд центрального ядра — тоже постоянная величина. Б) Решение задачи а) дает величину V на расстоянии r от точечного заряда Q. Оно дает, кроме того, величину V на поверхности заряженного шара радиуса r, несущего заряд Q. Почему? В) Исходя из б), оцените потенциал металлического шара величиной с бейсбольный мяч (r ~= 0,05 м), несущего заряд 1 микрокулон (10^-6 кулон). Потенциал шара выражается в вольтах. Г) В соответствии с простыми моделями атома «радиус» атома водорода — то расстояние от ядра, на котором электрон проводит большую часть времени, — близок к 0,5 А° (= 0,5∙10^-10 м). Заряд электрона, равен —1,6∙10^-19 кулон; ядро, находящееся в центре, обладает таким же по абсолютной величине положительным зарядом. 1) Вычислите величину V, обусловленную зарядом ядра, равным +1,6∙20^-19 кулон, на «наружной поверхности» атома (для атома водорода). 2) Вычислите потенциальную энергию электрона в джоулях там же, умножив V на заряд электрона, равный —1,6∙20^-19 кулон. Затем разделите полученную величину на заряд электрона, чтобы выразить потенциальную энергию в электронвольтах. (Обратите внимание на то, что эта потенциальная энергия отрицательна. В модели Бора электрон обладает, кроме того, кинетической энергией, которая численно ровно вдвое меньше потенциальной и, конечно, положительна. Таким образом, половина найденного здесь вами значения указывает энергию, которую необходимо затратить, чтобы выбить электрон из атома и превратить атом в ион. Опыты по бомбардировке атомов водорода показывают, что для атома водорода эта энергия равна 13,6 электронвольт.). 3) α-частицами, несущими заряд +2е, обстреливают атомы золота. Изредка какая-нибудь α-частица отлетает строго назад. В этом случае мы представляем себе, что α-частица движется к атому золота, преодолевая силу отталкивания со стороны большого положительного заряда ядра атома, пока не потеряет всю свою кинетическую энергию, которая переходит в потенциальную энергию частицы в электростатическом поле. После этого α-частица летит назад. Ив приведенных ниже данных (все они взяты из опытов) оцените, на какое самое близкое расстояние α-частица приближается к ядру атома золота. Сравните свой ответ с традиционным «размером» атома (радиус порядка 0,5∙10^-10 м). ОПЫТНЫЕ ДАННЫЕ, α-частица, вылетающая из ядра атома радия, имеет: — скорость v ~= 1,6∙10⁷ м/сек, — массу m ~= 6,6∙10-²⁷ кг, — заряд 2e = + 2∙1,6∙10^-19 кулон. Ядро атома золота значительно более массивное, а заряд его равен 79е = 79∙1,6∙10^-19 кулон.

Глава 34. Магнетизм. Опыт и теория.

Отличительная особенность магнитов — их пол… Тот сорт магнита, что был найден в Трое, имеет черный цвет и женский пол и, следовательно, лишен притягивающей силы. Плиний, «Естественная история» ~77 г. н. э. Электрические поля ускоряют и отклоняют пучки электронов, но их оказывается недостаточно, чтобы узнать заряд, массу и скорость движущихся электронов или заряженных атомов. Для этого необходимы еще и магнитные поля. Так что прежде, чем начать изучение атомов, мы должны вкратце познакомиться с магнетизмом. Цель настоящей главы показать, что представляют собой магнитные поля и как они используются для изучения атомов. В ней дается также простая теория магнетизма, которая может служить примером очень хорошей теории.

Магниты.

Магнит — это металлический брусок, который может притягивать небольшие кусочки железа, например железные опилки. К концу нашего повествования мы, возможно, захотим видоизменить это грубое определение, но на том более высоком уровне понимания оно нам уже не потребуется[63]. Вначале перечислим четыре основных свойства магнитов:

1) Магниты притягивают и захватывают небольшие кусочки железа.

Фиг. 127. Магнит притягивает железные опилки.

2) Длинный магнит, подвешенный на нити, поворачивается до тех пор, пока не устанавливается приблизительно в направлении север-юг (N-S). Подвешенные магниты другой формы также самостоятельно ориентируются, показывая, что у них имеется определенная «магнитная ось», которая стремится принять направление N-S.

Фиг. 128. Подвешенный магнит ориентируется в направлении север-юг. Его конец, указывающий на север, называется северным магнитным полюсом.

3) Стрелки компаса (как и всякий свободно вращающийся магнит), помещенные вблизи другого большого магнита, стремятся повернуться к «полюсам» этого магнита.

Фиг. 129. Определение полюсов магнита с помощью компасной стрелки.

_{Компасная стрелка, которая сама является небольшим, свободно вращающимся магнитом, поворачивается так, что ее северный полюс указывает на южный полюс магнита (или ее южный полюс на северный полюс магнита). В действительности, компасная стрелка показывает направление магнитного поля, создаваемого большим магнитом. Силовые линии этого поля исходят из областей вблизи полюсов, но выходят из магнита не под прямым углом, так как в отличие от электрических свойств металла магнитные материалы не являются хорошими магнитными «проводниками».}

4) Если стержни, сделанные из подходящего материала, потереть магнитом, то они намагнитятся. Этот способ — трение магнитного железняка, естественного магнитного материала, о стальной стержень — и был древнейшим способом получения магнитов. Сейчас гораздо проще и лучше намагничивать стержень, помещая его внутрь проволочной катушки, через которую пропущен электрический ток.

Фиг. 130. Намагничивание стального бруска.

_{А — по бруску проводят магнитом; б — брусок на короткое время помещается внутрь катушки с током.}

Полюсы[64].

Те места магнита, которые сильнее всего притягивают железные опилки, называются полюсами. У длинных намагниченных брусков полюсы обычно находятся на концах, хотя, если постараться, можно изготовить магнит и с полюсами в других местах. Пробная компасная стрелка, поднесенная к полюсу магнита, будет точно указывать на этот полюс. Вообще говоря, полюсами следует считать те области магнита, откуда исходит его магнитное действие. Простой намагниченный брусок, свободно подвешенный за середину, будет крутиться до тех пор, пока его полюсы не совпадут с линией, идущей приблизительно в направлении север-юг. Таким образом, за ось магнита можно принять прямую, соединяющую его полюсы. Полюс магнита, который поворачивается к северу, мы сокращенно называем северным полюсом и обозначаем буквой N, вкладывая в это название тот смысл, что этот полюс указывает на север[65].

ОПЫТЫ С МАГНИТАМИ.

(Посмотрите демонстрации этих опытов или проделайте их сами.).

Опыт 1. Изготовление магнитов. Поместите стержни из различных материалов внутрь полой проволочной катушки, через которую пропущен электрический ток. Исследуйте магнитные свойства стержней с помощью железных опилок или мелких гвоздей при включенном и выключенном токе. Попробуйте также, как действует переменный ток. Эти эксперименты покажут вам, что. 1) большинство веществ, как, например, медь, стекло, дерево, не поддаются намагничиванию; 2) железо, сталь и некоторые сплавы (эти материалы называются магнитными) можно намагнитить. Они частично сохраняют свою намагниченность и после выключения тока, или если их вынуть из катушки с током; 3) с помощью катушки, через которую пропущен переменный ток, удается размагнитить намагниченный стержень; 4) тем не менее, используя ту же катушку с переменным током, можно сохранить стержень намагниченным; 5) из некоторых сортов закаленной стали выходят отличные постоянные магниты. Мягкое железо намагничивается лишь на то время, когда через катушку течет электрический ток, а после выключения тока оно почти полностью теряет свои магнитные свойства; 6) электрический ток в полой катушке без всякого железного сердечника сам по себе обладает магнитным действием. Опыт 2. Подвешенные магнита. Подвесьте к кронштейну стержень на шелковой нити. Заметьте его ориентацию и затем поднесите к его концам другие стержни. Вы увидите, что. 7) если стержень намагничен, то он устанавливается во вполне определенном положении, приблизительно в направлении N-S; 8) ненамагниченный кусок мягкого железа или немагнитный медный стержень остаются неподвижными[66]; 9) полюсы магнита, которыми он захватывает железные предметы, будут притягивать или отталкивать полюсы другого магнита; легко убедиться, что магниты имеют два типа полюсов, обычно по одному на каждом конце, причем отталкивание и притяжение происходят следующим образом: N-полюс отталкивает N-полюс, S-полюс отталкивает S-полюс, N-полюс и S-полюс притягивают друг друга. ___ «ОДНОИМЕННЫЕ ПОЛЮСЫ ОТТАЛКИВАЮТСЯ, А РАЗНОИМЕННЫЕ ПРИТЯГИВАЮТСЯ. Силы взаимодействия между двумя полюсами обратно пропорциональны квадрату расстояния между ними (закон обратных квадратов). Открыть или проверить этот закон не так-то легко. Для этого нужны два изолированных полюса, способных двигаться по направлению друг к другу или друг от друга. Мы не можем воспользоваться для этого двумя обычными магнитами, поскольку каждый из них обязательно имеет оба полюса, и должны прибегнуть к специальным ухищрениям, как, например, взять очень длинные магниты, у которых другие полюсы находятся столь далеко, что уже не играют роли. Мы можем также взять небольшие магниты и проверить, совпадают ли силы взаимодействия с теми, которые предсказываются законом обратных квадратов для всех четырех полюсов. Тщательные эксперименты, в которых силы взаимодействия измеряются путем уравновешивания (или с помощью крутильных весов Кулона), показывают, что они действительно хорошо соответствуют закону обратных квадратов. Хотя здесь мы и не имеем таких совершенных критериев, как, например, отсутствие электрического поля внутри заря- заряженного металлического ящика в электростатике, зато располагаем другими, вполне удовлетворительными косвенными методами. Опыт 3. Постоянные и временные полюсы. Подвесьте на нити брусок из мягкого железа. Вы заметите, что 10) Мягкое железо всегда притягивается обоими полюсами магнита. Погрузите магниты в железные опилки. Опустите туда и стержень из мягкого железа. Выньте и снова погрузите один конец стержня из мягкого железа в опилки, а к другому его концу поднесите полюс магнита. 11) Магнит, находящийся вблизи стержня из мягкого железа, сообщает ему на некоторое время способность притягивать железные опилки (фиг. 132). Дальнейшие опыты показывают, что это явление объясняется временным намагничиванием мягкого железа, причем направление намагничивания обеспечивает притяжение стержня магнитом.

Фиг. 132. а — мягкое железо временно намагничивается в присутствии другого магнита; б — полюсы магнита из мягкого железа.

Задача 1. Какие экспериментальные факты еще до того, как вы испробовали действие магнита на подвешенный железный стержень, убеждали вас в том, что мягкое железо легко меняет свою намагниченность? Опыт 4. Применение компаса. Закрепите магнит на оси так, чтобы он легко поворачивался в горизонтальной плоскости. Именно так и действует стрелка компаса! Некоторые из предыдущих экспериментов можно теперь повторить, поднося к магниту компас (фиг. 129). Это даст нам возможность использовать компасную стрелку для маркировки полюсов любого магнита индексами N и S. Острие стрелки компаса, которое (приблизительно) указывает на север, мы зовем северным полюсом (N-полюсом) и все аналогичные полюсы других магнитов тоже называются северными. (См. ниже замечание о магнитных полюсах Земли.). Опыт 5. Временное намагничивание мягкого железа. Найдите с помощью компаса северный и южный полюсы длинного магнита и подержите один из его концов около конца бруска из мягкого железа. Проверьте, что на каждом конце бруска образуются полюсы. Поверните магнит другой стороной и снова исследуйте железный брусок. Какие полюсы возникли у бруска в том и другом случае?

Магнитные поля.

Мы говорим, что магнит всюду вокруг себя создает магнитное поле, аналогично тому, как электрические заряды создают электрические поля. Линии, вдоль которых двигался бы маленький пробный северный полюс, мы называем магнитными силовыми линиями. Если же возможность получить свободный полюс кажется вам сомнительной, то под ними можно подразумевать линии, вдоль которых ориентируется крошечная компасная стрелка. Оба этих определения эквивалентны: магнитное поле, которое притягивает северный полюс стрелки в направлении вдоль силовой линии, отталкивает ее южный полюс в обратном направлении, заставляя стрелку повернуться вдоль линии. (Напряженность магнитного поля мы могли бы по аналогии с напряженностью электрического поля определить как результирующую силу, действующую на единичный пробный полюс со стороны всех расположенных поблизости магнитов. Однако вводить такое определение нет необходимости.) Картину расположения магнитных силовых линий можно воспроизвести, исходя из закона обратных квадратов точно таким же путем, как и для электрических полей. Поэтому большинство рассуждений, касавшихся характера распределения электрического поля, применимо и здесь. Нужно только не забывать о том, что у нас нет таких идеальных проводников магнетизма, какими являются металлы для электричества. И хотя конфигурации силовых линий обоих полей бывают сходными, магнитное поле по своей природе совершенно отлично от электрического. Это два различных силовых поля, и одно из них относится к тем физическим объектам, которые мы называем магнитами, а другое создается обычными электрическими зарядами.

Опыт 6. Магнитные поля. Чтобы лучше познакомиться с природой магнитного поля и расположением магнитных силовых линий, проведите опыты с компасной стрелкой. Как бы ни была помещена стрелка, она устанавливается в направлении магнитного поля. Положите магнит и рядом с ним небольшой компас на лист бумаги. Перемещайте компас в направлении, указываемом его стрелкой. При этом ваш компас будет двигаться вдоль магнитной силовой линии. Отмечайте путь компаса на бумаге. Для этого поставьте карандашом точку прямо против острия компасной стрелки. Передвиньте компас дальше, так, чтобы точка осталась позади. Поставьте следующую точку и т. д., как показано на фиг. 133. После этого начните снова и наметьте вторую линию, идущую из другой начальной точки, и продолжайте так до тех пор, пока вы не получите полную картину распределения линий.

Фиг. 133. Вычерчивание карты магнитного поля с помощью компаса. Приблизьте небольшой компас к северному полюсу магнита и поставьте точку у северного полюса компасной стрелки. Перемещайте компас в направлении, указываемом стрелкой до тех пор, пока точка не окажется сзади ее южного полюса. Снова поставьте точку впереди северного полюса стрелки и т. д.

Возможно, что некоторые линии вам будет удобно начинать от края листа. Вместо компаса можно воспользоваться железными опилками, которые ведут себя как небольшие компасные стрелки, соединяясь в цепочки, идущие вдоль силовых линий. Опилкам труднее поворачиваться, поэтому помогите им выстроиться, легонько постучав по листу бумаги. Сделайте натурные зарисовки силовых линий для различных расположений магнитов.

Фиг. 134. Железные опилки указывают расположение силовых линий.

Помните, что несколько расходящихся в разные стороны линий дают лучшее представление об общей конфигурации поля, чем их густое скопление (фиг. 135, 136). На фиг. 137 показано несколько примеров расположения магнитов, для которых полезно изучить ход силовых линий.

Фиг. 135. Сделайте аналогичные карты для различных расположений магнитов, показанных на фиг. 137.

_{Размер каждой карты должен быть с ладонь руки или больше. Советуем вам при составлении карты пользоваться пунктирными линиями. Помните, что небольшое число основных линий лучше передает общую картину, чем густое скопление.}

Фиг. 136. Примеры конфигураций магнитного поля.

Фиг. 137. Примеры расположения магнитов для составления карт магнитного поля.

Интерпретация карт магнитного поля.

Составляя карты различных магнитных полей, мы видим, что они могут кое-что рассказать нам о силах, которые действуют на магниты, создающие эти поля. Силовые линии кажутся похожими на упругие натянутые трубки, которые пытаются сокращаться в продольном направлении, одновременно расталкивая друг друга и выгибаясь в сторону, как если бы они были заполнены жидкостью. Конфигурация линий между северным и южным полюсами напоминает протянутые навстречу щупальца, что говорит о притяжении; между двумя северными полюсами линии сплюснуты и наталкиваются друг на друга, как буфера, что свидетельствует о силах отталкивания. В более сложных случаях можно заметить, что силовые линии как бы растягивают и изгибают магнит.

По мере приближения к полюсу силовые линии сходятся все более тесно. Мы уже знаем, что у полюсов магнитное поле становится сильнее (закон обратных квадратов). Так что сгущение силовых линий идет рука об руку с ростом напряженности поля. Если детально исследовать самые различные конфигурации силовых линий, то обнаружится, что чем больше сгущаются линии, тем сильнее становится поле. Таким образом, картина силовых линий может дать нам представление о напряженности поля. (В более серьезных курсах магнетизма эта идея преломляется в некоторый способ численного определения напряженности магнитного поля по густоте силовых линий.).

Полезно выработать привычку представлять себе магнитные силовые линии как агенты, посредством которых магниты притягивают и отталкивают друг друга, так как это представление приложимо и к магнитным силам, с которыми электрические токи взаимодействуют с другими токами и магнитами. Таким образом, карты магнитных полей дают нам в руки способ наглядного изображения действия электрических моторов, амперметров и т. п. приборов.

Электрическое поле имеет совсем другую природу, однако конфигурация силовых линий этого поля также может сказать о его напряженности. Можно представить себе, что радиоволны бегут вдоль комбинации силовых линий электрического и магнитного полей наподобие колебаний туго натянутых веревок. Этот пример дает ощущение того, что силовые линии электрического и магнитного полей вполне реальны. Конечно, не следует забывать, что в действительности существуют не силовые линии, а сами поля.

Магнитное поле Земли.

Если воспользоваться компасом, чтобы построить карту окружающего нас магнитного поля, то мы получим ряд параллельных линий, идущих приблизительно с севера на юг. Подвешенный на нити намагниченный стержень, представляющий собой гигантскую компасную стрелку, повернется в том же направлении. Эти линии говорят о существовании магнитного поля, которое, разумеется, останется и после того, как мы уберем все наши магниты. Обследовав всю поверхность Земли, мы увидим, что линии сходятся на севере Канады, а также в некоторой области в Австралии. Почти повсюду эти линии идут не горизонтально, а наклонены к земной поверхности[67]. Их направление указывает на то, что Земля похожа на огромный магнит с магнитной осью, слегка повернутой относительно географической оси вращения (фиг. 138). Именно это слабое земное магнитное поле используется для навигации с помощью компаса, несмотря на то, что стальные корабли обладают собственным магнитным полем, которое частично имеет переменный характер, что сильно затрудняет навигационное дело.

Фиг. 138. Эквивалентный магнит для внешнего магнитного поля Земли.

_{А — Земля и эквивалентный магнит; б — магнитные силовые линии на поверхности Земли показывают только направление (но не напряженность) горизонтальной компоненты земного магнитного поля; в — Земля и ее магнитное поле в разрезе.}

Северный полюс стрелки компаса указывает на север Канады. Следовательно, там должен находиться южный магнитный полюс Земли. (Этот полюс, однако, называют Северным магнитным полюсом. Если это будет вас затруднять, то избегайте таких сокращений, как «северный полюс», и называйте все полюсы их полными именами, т. е. «полюс, указывающий на север». Это избавит от путаницы. Когда же вы полностью уясните себе этот вопрос, вам, возможно, снова захочется вернуться ради экономии времени к сокращенным наименованиям.).

Магнитное поле Земли на значительных пространствах однородно, т. е. имеет постоянное направление и напряженность. Поэтому с его помощью можно провести очень важный опыт — проверить равноправность северного и южного полюсов магнита. Положим магнит на пробку и пустим его плавать в воду. Земное магнитное поле повернет магнит в направлении N-S. Будет ли оно также перемещать его в каком-либо определенном направлении, например на север? Если северный и южный полюсы плавающего магнита обладают равной силой (хотя создаваемые ими поля противоположны по направлению), можно ожидать, что магнитное поле Земли будет притягивать их одинаково. Под действием такого притяжения магнит повернется вокруг своей оси, но не будет двигаться по поверхности воды ни на север, ни в каком-либо другом направлении. Если же полюсы плавающего магнита неодинаковы, то можно ожидать, что магнитное поле Земли будет действовать на них с различной силой и заставит магнит перемещаться в некотором направлении. Проведите этот важный опыт сами.

Хотя земное магнитное поле довольно слабое, оно способно заметно искривить путь электронного пучка. В следующих разделах мы увидим, как магнитное поле может выталкивать проводник с электрическим током, действуя подобно катапульте. Потоки заряженных частиц космического излучения, приходящие из мирового пространства, также заворачиваются земным магнитным полем. Это позволяет использовать Землю во многих современных экспериментах с космическими лучами как гигантский анализирующий магнит.

Как намагничивают магниты.

В современной практике намагничивание магнитов производится с помощью электрического тока. Для этого ток пропускается не через намагничиваемый металлический брусок, а через намотанную вокруг него проволочную катушку. Магнитное поле внутри длинной цилиндрической катушки (соленоида) однородно, а напряженность его легко менять, регулируя ток. Поэтому такая катушка чрезвычайно удобна для опытов по намагничиванию. Если мы поместим стальной брусок внутрь соленоида и подадим в катушку ток, то увидим, что при включенном токе брусок намагничивается. После выключения тока брусок по-прежнему остается магнитом, хотя и несколько более слабым. Для намагничивания бруска достаточно пропускать ток через катушку в течение всего лишь доли секунды. Существует несколько материалов, пригодных для получения таких «постоянных магнитов». Для этой цели подходит большинство сортов закаленной стали.

Еще лучше специальные стали, содержащие вольфрам или кобальт. Некоторые новые сплавы, в состав которых входит алюминий, например «алнико», позволяют создавать еще более сильные магниты, однако требуют больших полей для намагничивания. Все эти материалы также можно намагнитить, помещая их на короткое время в магнитное поле. Обращение магнитного поля путем перемены направления тока в катушке меняет и направление намагничивания.

Как размагничивают магниты.

Намагниченный стальной брусок можно полностью размагнитить, помещая его внутрь катушки, через которую пропущен переменный ток, и затем медленно вынимая оттуда. Другой способ — постепенно уменьшать силу переменного тока до нуля с помощью реостата.

Временное намагничивание мягкого железа.

Пытаясь намагнитить кусок мягкого железа, т. е. чистого железа, или стали, которая еще не прошла закалку, мы заметим, что добиваемся успеха лишь на то время, пока через намагничивающую катушку идет ток. Если ток выключить, брусок почти полностью потеряет магнитные свойства. Мягкое железо оказывается прекрасным материалом для временного намагничивания, поэтому оно используется для изготовления сердечников электромагнитов в электромоторах и других электромагнитных устройствах.

Мы можем временно намагнитить брусок из мягкого железа, поднося к нему магнит. Если N-полюс магнита находится около конца А бруска АВ, то стрелка компаса покажет, что брусок приобрел магнитные свойства, причем его южный полюс оказывается в А, т. е. вблизи N-полюса магнита, а северный — на удаленном от магнита конце В. Если же мы унесем магнит, эти полюсы сразу исчезнут. Теперь вы можете понять, почему ненамагниченные железные опилки притягиваются к магниту. Он намагничивает эти небольшие кусочки железа, но неоднородное магнитное поле оказывает неодинаковое воздействие на их полюсы. Кусочки железа, близкие к северному полюсу магнита, будут иметь на краю, обращенном к магниту, южный полюс, и этот полюс будет сильно притягиваться к магниту. Их северный полюс будет находиться дальше от магнита, т. е. в более слабом магнитном поле. Таким образом, опилки будут сильнее притягиваться к магниту, чем отталкиваться от него[68].

Обобщая эти рассуждения, можно сказать, что магнит притягивает любой ненамагниченный кусок железа, создавая в нем временное намагничивание. Даже маленькая компасная стрелка будет временно намагничивать железный брусок. Будучи более подвижной, чем тяжелый брусок, стрелка будет сама поворачиваться и указывать в его сторону. Ее вращение говорит нам только о том, что как стрелка, так и железный брусок могут намагничиваться и что по крайней мере один из них уже намагничен. Следовательно, наблюдая притяжение, нельзя сказать, являются ли магнитами оба тела. Однако такое заключение легко сделать, если мы увидим, что они отталкиваются.

Магнитные и немагнитные материалы.

Если попытаться намагнитить образцы из меди, железа, стекла и других материалов, помещая их в соленоид с током, то выяснится, что лишь некоторые из этих образцов обнаруживают магнитные свойства. Такие материалы мы называем магнитными. К ним принадлежат железо, многие железные сплавы, никель.

Ряд веществ, как, например, жидкий кислород и некоторые соединения железа, тоже в слабой степени проявляют магнитные свойства, но большинство веществ немагнитно. Основываясь на этом, мы говорим, что немагнитные вещества невозможно намагнитить в противоположность магнитным, и последние, если они намагничены, мы называем магнитами. Более тонкие опыты опровергают это простое правило. Многие вещества при помещении их в магнитное поле обнаруживают слабые временные магнитные эффекты, и мы можем проследить их магнитные свойства вплоть до атомного уровня. Более того, мы в состоянии показать, что некоторые атомы, сами являются магнитами, и знаем способ (который будет описан далее), как измерить их магнитные свойства. Даже те немногие металлы, как, например, железо, которым свойственны значительные магнитные эффекты и которые могут служить материалом для постоянных магнитов, также обязаны своими свойствами атомному магнетизму. Их атомы обладают специфической способностью объединяться, при этом атомные магнитики выстраиваются-особым образом, создавая прочные постоянные группы. Атомная теория предсказывает также и другие магнитные свойства атомов. Весьма забавно, что результатом этих предсказаний является отрицательный магнетизм, совсем не похожий на тот, с которым мы всегда встречаемся, и теория утверждает, что им, хотя и в очень слабой степени, обладают все вещества. На чем основаны эти предсказания? Достаточно ли они правдоподобны? Наблюдался ли этот отрицательный магнетизм на опыте? Если да, то почему же не для всех веществ? На эти вопросы мы кратко ответим в гл. 41.

Магнитное поле электрического тока.

Опыты говорят нам о том, что всякий электрический ток создает вокруг себя магнитное поле. Магнитное поле, окружающее длинную катушку из проволоки, которую часто называют соленоидом, очень похоже на поле намагниченного стержня. При детальном сравнении оказывается, что конфигурации внешних магнитных полей такого стержня и соленоида, имеющего ту же форму и размеры, попросту одинаковы. Можно показать, что внутри полой катушки магнитные силовые линии идут плотным параллельным пучком, образуя сильное однородное магнитное поле.

Задача 2. Почему лучше намагничивать стальной стержень, помещая его внутри соленоида с током, а не снаружи? Задача 3. На чертеже а фиг. 139 изображено магнитное поле длинного соленоида. Если уменьшать длину соленоида, сжимая его, как гармошку;, конфигурация поля будет меняться, как показано на чертеже б. Представим себе, что катушка сжата до предела (чертеж в), так что превратилась в один виток. Можете ли вы предсказать, как будет выглядеть магнитное поле витка с током, представив себе характер сжатия силовых линий? Изобразите ожидаемую конфигурацию поля. Согласуется ли она с опытом?

Фиг. 139.

Задача 4. Внешнее магнитное поле соленоида совпадает с полем намагниченного стержня одинаковых размеров и формы. Какую же форму имел бы магнит, создающий такое же поле, как и виток с током в? Нарисуйте или опишите этот эквивалентный магнит. Магнитные свойства катушки с током. ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ОПЫТ. Катушка с током во всем подобна магниту. Если ее подвесить, она будет поворачиваться до тех пор, пока ее ось не укажет в направлении N-S. Она ведет себя так, как будто имеет на концах «полюсы», которые притягивают или отталкивают полюсы других магнитов. Небольшая катушка с током, помещенная в магнитное поле Земли, магнита или другой катушки, будет поворачиваться наподобие стрелки компаса, пока ее магнитная ось не станет параллельной внешнему полю.

Магнитное поле прямого провода с током.

Есть один особый очень важный случай проводника с током, когда нельзя подобрать эквивалентного магнита одинакового размера и формы. Это случай длинного прямого провода с током. С помощью железных опилок или крошечного компаса можно показать, что магнитные силовые линии такого проводника представляют собой опоясывающие его окружности, расположенные, разумеется, не в одной плоскости, а повсюду вокруг него. Магнитное поле сильнее вблизи провода и ослабевает вдали от него.

Этот первый эффект магнитного действия электрического тока был открыт следующим образом. В конце своей лекции о свойствах электрического тока датский ученый Эрстед поместил токонесущий провод около компасной стрелки и был до глубины души изумлен, увидев, что стрелка повернулась. «Опыты, которые он начал проводить в апреле 1820 г., являются одними из самых памятных во всей истории науки»[69]. Когда известие об этом открытии распространилось по Европе, оно породило целую лавину исследований. Ампер и другие ученые, пытаясь объяснить эти опыты, вскоре ввели в физику понятие электромагнитного поля.

Фиг. 140.

Явление, обнаруженное Эрстедом, представлялось крайне удивительным. Компасная стрелка, расположенная параллельно проводнику, при включении тока поворачивалась на 90°. Таким образом, силы действовали на компасную стрелку не в направлении прямой, соединяющей ее полюс с проводником, а в перпендикулярном направлении.

Фиг. 141.

Последующие опыты подтвердили это заключение и показали, что сила, действующая со стороны магнита на ток, перпендикулярна как направлению магнитного поля, так и направлению тока — проводник с током, помещенный в магнитное поле, испытывает боковое усилие. Эти новые силы полностью отличались от уже известных обычных сил, таких, как, например, силы тяготения (направленные по прямой от одной массы к другой) или силы, возникающие при столкновении упругих шаров или молекул (которые отбрасывают их в противоположные стороны), а также силы (притяжения или отталкивания), действующие по прямой между электрическими зарядами и между магнитными полюсами. До открытия Эрстеда были известны только такие силы, которые действуют вдоль прямой, соединяющей взаимодействующие тела.

Фиг. 142.

Незадолго до Великой Французской Революции школа мыслителей, включая Вольтера и других, создала механистическую философию полностью предсказуемой Вселенной, основываясь на концепции таких простых сил. Когда обнаружилось, что новые электромагнитные силы зависят от скорости движения электрических зарядов (тока), они стали казаться еще более странными. Это были силы, которые увеличивались с ростом скорости и действовали перпендикулярно ей! Однако именно такие силы заставляют работать электрический двигатель.

Мы можем проиллюстрировать происхождение этих сил с помощью карты магнитного поля. Круговое магнитное поле, окружающее прямолинейный проводник с током, само по себе несколько необычно, но и только. Однако в комбинации с однородным магнитным полем оно создает отклоняющие силы, без которых невозможна работа электродвигателей, измерительных приборов, телевизионных трубок и некоторых гигантских ускорителей заряженных частиц. Чтобы продемонстрировать, откуда возникают эти силы, изобразим магнитные силовые линии с помощью векторов.

Магнитное поле действует как катапульта.

Мы сможем предсказать направление действия результирующей силы, складывая векторы сил, отвечающих двум различным полям. Конфигурация однородного магнитного поля — это ряд равномерно идущих параллельных силовых линий, как показано на фиг. 143, а, а силовые линии прямолинейного проводника с током — это окружности, изображенные на фиг. 143, б. Мы рисуем эти окружности сгущающимися вблизи проводника, чтобы показать, что поле около него сильнее. (Детальное рассмотрение показывает, что.

НАПРЯЖЕННОСТЬ ПОЛЯ ~ 1/РАССТОЯНИЕ ОТ ПРОВОДНИКА,

Поэтому мы обязаны рисовать окружности вдвое теснее друг к другу при сокращении расстояния наполовину.) Векторное сложение этих двух полей дает примерно ту же картину, что мы получили в гл. 9 для воздушного потока, обтекающего вращающийся шар[70]. Поэтому мы поступим точно так же, как и раньше. Изобразим оба поля вместе, как на фиг. 143, в.

Фиг. 143. Метод сложения векторов и доказательство выталкивающего действия магнитного поля на проводник с током.

В некоторой произвольной точке А нарисуем стрелки-векторы, отмечающие напряженности обоих полей, одну в направлении однородного магнитного поля, а другую по касательной к окружности. Сложим эти векторы и обозначим результирующее направление короткой стрелкой, выходящей из А. В другой точке В однородное поле не меняется, а поле, создаваемое током, ослабевает. Сложим опять их векторы и снова обозначим результирующее направление короткой стрелкой, исходящей из В (чертеж г). Нанесем множество таких стрелок по всей диаграмме. Они покажут нам направление результирующего поля, которое мы хотели найти. Начертим силовые линии этого поля, проходящие через стрелки (чертеж д).

Здравый смысл подсказывает нам следующие очевидные выводы:

А) Вблизи проводника преобладает магнитное поле, создаваемое током, и силовые линии суммарного поля практически совпадают с окружностями, в центре которых находится проводник.

Б) На больших расстояниях от проводника магнитное поле тока пренебрежимо мало, и силовые линии результирующего поля совпадают с прямыми силовыми линиями однородного магнитного поля.

В) Имеется некоторая нейтральная точка х, где суммарное поле равно нулю. В этой точке оба поля полностью компенсируют друг друга.

Чтобы правильно начертить конфигурацию результирующего магнитного поля, нужно запастись терпением. К счастью, карту поля можно получить, пользуясь косвенными геометрическими методами (основанными на математическом соотношении, которое обычно записывается ), и тому, кто их знает, будет легко вычертить ее на нашей диаграмме. Соответствующая картина показана на фиг. 143, е.

Если, следуя Фарадею, мы будем видеть в магнитных силовых линиях графическое изображение реальных сил, которые действуют на магниты и проводники с током, то придем к заключению, что результирующее магнитное поле, изображенное на последнем рисунке, будет тянуть проводник вниз. Таким образом, здесь мы имеем дело с поперечной силой, перпендикулярной как проводнику, так и направлению однородного магнитного поля. Разглядывая эти картинки, мы можем сказать, что результирующее поле действует наподобие катапульты или рогатки (фиг. 144).

Фиг. 144. Опыт, демонстрирующий конфигурацию магнитных силовых линий при взаимодействии токов.

Поперечная (катапультирующая) сила[71].

Действует ли на самом деле эта сила непосредственно на проводник с током, проходящий поперек магнитного поля? Проверьте это на опыте, используя гибкий провод, электрическую батарею и подковообразный магнит. Включайте электрический ток при различных положениях проводника в сильном однородном поле между полюсами магнита. Если ток достаточно велик, то, как мы и ожидали, возникает поперечная сила, смещающая провод в сторону (см. опыт 1 гл. 41). Но для электрического тока не обязательно нужен проводник; он может быть и просто пучком заряженных частиц, например электронов. Такой электронный луч также отклоняется магнитным полем, — этот эффект, широко используемый в практических целях, мы рассмотрим в гл. 37. (Чтобы эффект был сильнее, магнитное поле должно быть перпендикулярно электрическому току или пучку электронов, так как продольная компонента поля не оказывает на них никакого влияния.) Испытайте действие намагниченного стержня на электроннолучевую трубку. Результат этого опыта очень напоминает тот, о котором мы говорили в гл. 9, однако теперь направление поперечной силы оказалось противоположным направлению силы Бернулли.

Попытки получить отдельный магнитный полюс. Начала теории магнетизма.

Вернемся к стальным магнитам и проведем еще один опыт. До сих пор в каждом магните мы всегда находили два полюса. Спросим себя, можно ли отделить северный магнитный полюс от южного наподобие того, как мы поступали с электрическими зарядами[72]. Попытаемся разрезать магнит пополам. Для этого намагнитим кусок стальной проволоки или пружину от часов. Убедимся с помощью железных опилок, что на концах магнита образовались полюсы, а небольшой компас поможет нам определить, где северный полюс, а где южный. Затем с помощью ненамагниченных ножниц разрежем магнит посередине и исследуем полюсы каждой половинки. Как бы в насмешку над нашими попытками, в местах разреза возникают новые полюсы. Мы получили просто-напросто два новых магнита.

Это необычное свойство магнитов тут же ставит перед нами два новых вопроса:

1) Сколь малые магнитики можно получить, разрезая магнит на все более мелкие части?

2) Почему в месте разреза снова возникают полюсы?

Попытки разобраться в этих вопросах привели к созданию теории магнетизма, одинаково хорошо объясняющей все магнитные явления — от обычных свойств магнитов до важнейших деталей магнитной структуры атомов.

ОСНОВЫ ТЕОРИИ МАГНЕТИЗМА.

Комментируя распространенную шутку о том, что «путь развития науки заключается в наблюдении фактов и пренебрежении теориями», Моррис Коэн писал[73].

«Если, однако, мы проследим за развитием какого-либо подлинно научного исследования, то станет очевидным, что без определенного ведущего принципа, без научной идеи, гипотезы или теории мы даже не сможем понять, какие факты нам необходимы. Полностью неверно также и то, что мы в состоянии раскрыть природу вещей путем одного только наблюдения. Если бы это было так, то развитие науки оказалось бы гораздо более легким, и занятие ею было бы по силам каждому. Однако в действительности в научном исследовании порой приходится применять очень трудоемкие и искусные методы, чтобы исключить то, что кажется основным для обычного наблюдателя… Теории — это отправные точки или вершины, с которых можно увидеть вещи в их взаимосвязи. Они, как указал Ченси Райт, глаза и уши ученого, необходимые ему, чтобы предвидеть и открывать явления, до поры до времени скрытые». «Конечно, теории оказывают на нас определенное психологическое давление, которое заставляет цепляться за них, несмотря на противоречащие им факты, но разве с меньшим упорством цепляемся мы за наши взгляды в повседневной жизни? В этой связи следует отметить два обстоятельства. Во-первых, в науке, как и в любом другом виде человеческой деятельности, мы не можем обойтись без твердой точки зрения. То, что представляется противоречащим нашей теории, при тщательной проверке может, наоборот, оказаться ее подтверждением или следствием…». «Второе, и самое важное, обстоятельство заключается в том, что научная гипотеза обычно отвергается только в том случае, когда становится очевидным, что другая гипотеза лучше согласуется как со всеми предыдущими наблюдениями, так и с новыми фактами. Таким образом, путь к настоящему познанию состоит не в том, чтобы избегать теорий и предвидения, а в том, чтобы систематически умножать их число. Это позволит нам иметь несколько различных точек зрения и предохранит нас от излишней уверенности в правоте какой-либо одной из них. Вот почему логические или математические методы в физике, химии, общей биологии и других теоретических науках столь плодотворно помогают нам открывать еще неизвестные факты».

Как построить теорию?

Какую же теорию магнетизма хотели бы мы построить? Прежде всего нам нужна теория, способная объяснить результаты наших опытов и помочь лучше понять природу магнетизма, служа нам как бы справочником понятий и идей. В предыдущих разделах мы рассказали об общих свойствах магнитов, которые были получены в результате опытов и большинство которых известно уже несколько веков[74]. Мы едва ли могли бы создать полезную для себя теорию, не основываясь на фактах, почерпнутых из опыта. Конечно, можно было бы начать и с таких утверждений: «Магниты таковы, какие они есть. Что бы ни содержалось внутри магнитов, это как раз то, что необходимо, чтобы обеспечить им нужные свойства. Стали присущ «магнитотропизм», т. е. способность к магнетизму. Это и есть моя теория магнитов». Подобная теория была бы безусловно «правильной», но совершенно бесполезной, и разумный исследователь не стал бы терять на нее время[75]. Итак, мы начнем с простой теории, объясняющей, почему у магнитов есть полюсы. Магнитный полюс — это не экспериментальный факт, это представление, искусственная идея, которой мы пользуемся, когда интерпретируем свои опыты. В ходе этих опытов мы приходим к выводу, что на самом деле полюсов не существует. Однако это не может само по себе разрушить нашу простую теорию. Мы будем придерживаться ее до тех пор, пока она не перестанет нам служить. Представление о полюсах обогащает наш словарь, но оно не в состоянии подсказать нам новые опыты или позволить лучше понять суть дела. Так что, не отказываясь от термина «магнитный полюс», давайте все же поищем лучшую теорию. Сейчас мы уже вооружены некоторым опытом и можем отважиться на смелые предположения. Попытаемся же построить некоторую общую схему или картину и сделаем из нее в свою очередь новые заключения, которые подвергнем затем проверке опытом.

«Молекулярная» теория магнетизма.

Вы, очевидно, помните, что многие химические, электрические и даже некоторые механические свойства веществ можно объяснить исходя из их атомного строения. Поэтому мы вправе спросить себя: связаны ли свойства магнитов со специфическим поведением составляющих их атомов или молекул? Задав этот вопрос, сразу же проведем опыт. Попробуем разломать магнит, чтобы узнать, что у него внутри. В глубине души мы питаем надежду, разрезав магнит пополам, отделить друг от друга его северный и южный полюсы. Однако наш опыт дает неожиданный результат. В месте излома возникает пара разноименных полюсов, так что каждый из двух кусков представляет собой новый самостоятельный магнит. Если мы разломаем магнит осторожно, без сотрясения, то увидим, что сила, с которой полюсы притягивают железные предметы, осталась прежней, т. е. новые полюсы ни в чем не отличаются от старых. Можно разрезать магнит на очень большое число кусков, и каждый из них также останется магнитом. Если мы попытаемся снова составить эти куски друг с другом, то едва только их края придут в соприкосновение, новые полюсы как будто исчезнут. Можно думать, что на самом деле они не исчезли, а просто не дают внешнего магнитного поля, поскольку их поля противоположны и практически нейтрализуют друг друга. Продолжая мысленно разрезать магнит на все более и более мелкие части, мы убедимся, что нам придется остановиться на той стадии, когда мы поделим его на мельчайшие «элементарные» магнитики.

Примерно сто лет назад считалось, что ими являются как раз молекулы или атомы железа. Сейчас мы склонны думать, что эти магнитики составлены из групп атомов, по многу миллионов в каждой, которые называются «доменами» и видимы в микроскоп. Но пока мы скажем о них только то, что они представляют собой очень маленькие и крайне многочисленные простейшие магнитики, поэтому можно вообразить себе магнит разрезанным на множество таких крошечных элементарных магнитов. Составив их вместе, чтобы получить один большой магнит, мы бы заметили, что эти магнитики выстроились таким образом, что северный полюс одного примыкает к южному полюсу соседнего, так что их внешние поля взаимно компенсируются всюду, кроме концов магнита. Там на одной торцевой плоскости наружу будут обращены все N-полюсы, а на другой — S-полюсы элементарных магнитиков. Таким образом, можно, если хотите, представить себе, что обычный магнит заполнен выстроенными подобным образом маленькими магнитиками, хотя пока в такой сложной картине еще мало пользы. Мы можем даже построить модель такого магнита, состоящую из большого числа маленьких компасных стрелок, которые при наложении внешнего магнитного поля выстраиваются в определенном направлении. В такой модели стрелки остаются выстроенными, пока имеется магнитное поле. При его выключении они довольно сложным образом перестраиваются, стремясь образовать замкнутые циклические группы из нескольких стрелок, направленных друг за другом. Эта модель годится и для ненамагниченного железа или стали: магнитное поле находящихся внутри них элементарных магнитиков не подавлено, но сами магнитики расположены неупорядоченно, причем не хаотически, а скорее циклическими группами.

Давайте внимательно подумаем над этой идеей, чтобы понять, сможет ли она послужить основой плодотворной теории. Будем считать, что магнитный материал состоит из бесчисленного множества элементарных магнитиков, которые в намагниченном бруске упорядочены, а в ненамагниченном находятся в беспорядке. Опыты показывают, что мягкое железо с легкостью намагничивается и так же легко размагничивается, а закаленные стали требуют более сильных полей для намагничивания, а затем частично сохраняют свою намагниченность, становясь постоянными магнитами. Поэтому мы должны предположить, что в мягком железе элементарные магнитики способны легко поворачиваться, а в твердой стали они крепко сцеплены с соседними, испытывая с их стороны сопротивление, сходное с трением. Чем же может нам помочь эта простая картина? Прежде всего мы видим, что она объясняет появление новых полюсов при делении магнита на части. Если только мы не разрушим при этом сами элементарные магнитики, то в месте разреза обязательно возникнут новые полюсы. Однако такое объяснение вовсе нельзя считать большим успехом. Наша теория просто объяснила те же самые экспериментальные факты, от которых она отталкивалась, иными словами, выдала нам ту же самую информацию, которая была в ней заложена. Больше того, она высказала без каких-либо оснований утверждение, что сами элементарные магнитики невозможно разделить пополам. Содержится ли подобное утверждение в их определении? Если мы приписываем им такое, свойство, то это еще не означает, что они обладают им в действительности.

Фиг. 145. Образование новых пар полюсов при разрезании или разламывании магнита.

Фиг. 146. Новые полюсы почти полностью исчезают при сближении половинок магнита.

Фиг. 147. Модель, иллюстрирующая предположение об элементарных магнитиках.

_{Можно представить, что магнит составлен из мельчайших «элементарных магнитиков», расположенных, как показано на фигуре. Полюсы соседних магнитиков взаимно нейтрализуют друг друга повсюду, кроме краев магнита.}

В настоящее время мы объясняем природу магнитов с помощью предложенных Ампером молекулярных электрических токов. Мы приписываем происхождение магнетизма атомным электронам, обладающим собственным вращением и движущимся по замкнутым орбитам в атомах. Такие замкнутые токи образуют магнитное поле, аналогичное полю витка с током, и, конечно, их невозможно разделить на отдельные «полюсы».

Однако этот первый успех теории пока что не может нас удовлетворить. Если бы все ее содержание заключалось только в объяснении того, как возникают полюсы магнитов, то от нее было бы мало проку. Ценность всякой теории состоит в том, что она способна дать исчерпывающие ответы на новые вопросы, которые мы и рассмотрим ниже.

Фиг. 148. а — компасные стрелки выстроены большим магнитом; б — те же самые стрелки после сотрясения, вызывающего их перестройку в отсутствие магнитного поля.

Фиг. 149. Упрощенное изображение элементарных магнитиков.

Фиг. 150. «Элементарные магнитики» в стальном бруске.

1. Существует ли предел намагничивания? Мы умеем создавать электрические токи огромной силы, и если отвлечься от нагрева проводника, то их дальнейшее увеличение ничем не ограничивается. Может ли при этом намагниченность железного стержня повышаться беспредельно? Наша теория сразу же отвечает на этот вопрос: «Нет, не может. Когда все элементарные магнитики выстроятся одинаковым образом, то будет достигнут предел намагничивания». Это вполне определенное предсказание легко проверить на опыте. Результаты такого опыта изображены на фиг. 151. Как мы видим, предел намагничивания наблюдается в действительности.

Фиг. 151. Стадии намагничивания железного бруска.

_{График показывает запись, полученную в результате опыта. Схемы с элементарными магнитиками иллюстрируют представления простейшей теории магнетизма. Более современная точка зрения о существовании «доменов» объясняется на фиг. 162.}

2. Где расположены полюсы! Мы уже знаем, что стержень из твердой стали сохраняет магнитные свойства, даже если убрать намагничивающее поле. Зададим вопрос: «Остаются ли при этом его полюсы точно на концах магнита?» Теория отвечает нам: «Нет, элементарные магнитики на концах стержня как бы развернуты, так как впереди них нет других таких же магнитов, взаимодействие с которыми выстроило бы их в одну линию. Одноименные полюсы на торцевой поверхности стержня будут отталкивать друг друга, благодаря чему некоторые из них сдвинутся к боковым граням» (фиг. 152). Опыт подтверждает, что полюсы намагниченного стального бруска действительно несколько «размазаны» (проверьте это свойство намагниченного бруска с помощью железных опилок или компаса).

Фиг. 152. Полюсы могут «размазываться» у краев магнита.

3. Как сохранять магниты? Сказанное выше заставляет нас задуматься над тем, как предотвратить «размазывание» полюсов и, что было бы еще хуже, полную потерю намагниченности стержня. Теория с готовностью подсказывает нам нужный ответ. Если впереди нашего магнита положить другой магнит так, как показано на фиг. 153, то это поможет сохранить одинаковую ориентацию всех элементарных магнитиков. Способ хранения магнитов, расположенных цепочкой друг за другом, оказывается очень удобным. Однако и он не решает задачи: что делать с магнитами, расположенными на краях такой цепочки?

Фиг. 153. Способ сохранения полюсов на торцевых плоскостях магнита.

4. Что происходит с магнитом при ударе молотком? Магниты не терпят грубого обращения и теряют свои свойства при резких ударах молотком, нагревании и т. п. (см. соответствующий опыт). Можно ли это чем-нибудь объяснить? «Да», — говорит теория и четко указывает на то, что причина этого заключается в нарушении порядка в расположении элементарных магнитиков. «Как только мы устраним намагничивающее поле, элементарные магнитики будут стремиться перестроиться в циклические группы, однако взаимное сцепление мешает их перестройке, благодаря чему намагниченность частично сохраняется. Любое же сотрясение дает — им возможность перейти из упорядоченного состояния в неупорядоченное». Все это, конечно, хорошо, но, как и в большинстве теоретических объяснений, здесь только раскрывается «причина» того, что мы уже знаем. Давайте заглянем несколько глубже и спросим себя: «Можно ли намагнитишь брусок, ударяя по нему молотком, даже если сам молоток изготовлен из немагнитного материала?» Без помощи теории мы едва ли смогли бы ответить на этот вопрос, а попытки решить его экспериментальным путем тоже вряд ли привели бы к успеху. Теория же четко отвечает нам, что в определенных условиях это возможно, а опыты подтверждают это предсказание. (Какие это условия? Если вы отгадали правильно, то сможете сами убедиться в своей правоте. См. соответствующий демонстрационный опыт.).

5. Поиски трещин в стальных отливках. Несмотря на наше пренебрежительное отношение к первому теоретическому предсказанию, согласно которому в том месте, где мы разломали магнит, появляются новые полюсы, оно получило полезное практическое применение. Инженеры находят в стальном литье не видимые глазом трещины, намагничивая отливку и затем поливая ее смесью железного порошка с маслом. Теория говорит нам, что около трещин на поверхности намагниченного материала должны появиться полюсы. Благодаря этому железный порошок будет собираться вдоль края трещин в небольшие складки — длинные выпуклые бугорки, напоминающие широкий мостик через канаву. Такой способ прекрасно помогает находить мельчайшие трещинки в стальном литье (фиг. 154).

Фиг. 154. Проверка стального литья на трещины.

_{На намагниченную отливку наносится смесь масла с железным порошком. Частички железа собираются в складки вдоль трещин, где проявляется действие разноименных магнитных полюсов.}

6. Намагничивание переменным током. Мы можем намагнитить брусок в одном направлении, затем в обратном, снова в том же направлении и т. д., помещая его внутрь соленоида с переменным током[76]. Обнаружим ли мы какую-либо разницу в поведении брусков из мягкого железа и твердой стали? Теория говорит нам: «Поскольку элементарные магниты в твердой стали, по-видимому, испытывают при переориентации сильное сопротивление, сходное с трением, мы можем ожидать, что стальной брусок при перемагничивании будет значительно сильнее нагреваться, чем брусок из мягкого железа». При проверке такого предсказания на опыте этот эффект часто маскируется другими, но он, безусловно, имеет место и очень важен с технической точки зрения. Катушки электромоторов и генераторов наматываются на железные сердечники. Если через эти катушки пропускается переменный ток, то необходимо, чтобы сердечники были изготовлены из мягкого железа. В противном случае сердечники будут нагреваться, подвергая опасности изоляцию проводов и бесполезно растрачивая энергию. В машинах постоянного тока сердечник ротора также попеременно намагничивается в различных направлениях, поэтому он должен быть изготовлен из мягкого железа.

7. Важнейшие достижения теории. Итак, теория помогла нам сделать важные заключения, часть которых попросту совпала с уже известными нам фактами, а другая легко проверяется опытом. Теперь мы в состоянии получить ответ на очень трудный вопрос — ответ, который является, пожалуй, одним из самых значительных успехов теории. Предположим, что кто-то пытается намагнитить стальное кольцо. Можно ли считать, что он добился своей цели, если не обнаруживается ни полюсов, ни внешнего магнитного поля? Можно ли считать кольцо намагниченным в разумном смысле этого слова?

Если забыть про теорию магнетизма, то последует немедленный ответ: «Это невозможно». «Когда нет полюсов, нет и магнита». Но, вспомнив теорию, мы сделаем уже совсем иное заключение: «Да, кольцо можно намагнитить, так что силовые линии замкнутся, а элементарные магнитики выстроятся друг за другом по кругу». Такой вывод является выдающимся успехом теории. Она дает нам возможность понять то, что нельзя было бы постичь другим способом.

Одним из важнейших достижений теории является то, что она придает физическому понятию или идее, в нашем случае — намагниченности, новый смысл. При этом она поднимается выше своей обычной роли толкователя известных или предсказателя новых фактов и становится способной проникать в самую суть явлений. Такая теория приводит к существенно более глубокому пониманию фактов и заслуживает похвалы, адресованной киплинговскому слоненку: «Ты не смог бы сделать всего этого, будь у тебя обычный короткий нос». Немногие теории сумели подняться на такую высоту — или лучше сказать, немногие сумели продемонстрировать свои успехи столь четко, как теория магнетизма[77].

«Намагниченность кольца, — продолжает теория, — можно проверить, разрезав его. Если оно действительно намагничено, то в месте разреза появятся полюсы». Такой опыт несложно выполнить, и, если кольцо было приготовлено надлежащим образом, мы действительно обнаружим полюсы, создающие сильное магнитное поле.

Подобные кольцевые магниты в наше время весьма распространены и очень важны для техники, хотя они изобретены вовсе не с целью проверки теории. Железные сердечники трансформаторов также часто конструируются в виде замкнутых колец, чтобы в них создавались замкнутые силовые линии. Такой характер намагничивания очень существен для хорошей работы трансформатора, а сами трансформаторы необходимы в современной технике для передачи электроэнергии на расстояние. Несколько позже мы узнаем еще об одной возможности проверки намагниченности кольца, которая вовсе не требует разрезания его на части.

Фиг. 156. Вопрос к теорий магнетизма.

8. Теперь мы можем вернуться к вопросу о способе сохранения магнитов. Подковообразные магниты часто снабжаются «башмаком» — бруском мягкого железа, который замыкает их полюсы. Такие же «башмаки» используются и для сохранения свойств прямых магнитов. В обоих случаях магниты создают в мягком железе временное намагничивание, и, что очень существенно, возникает замкнутое намагниченное кольцо, аналогичное рассмотренному выше. Основываясь на нашей теории, мы вправе ожидать, что «башмак» действительно должен давать полезный эффект.

Вообще говоря, схемы с изображением различным образом выстроенных элементарных магнитиков помогают нам понять состояние намагниченности материала самых разнообразных образцов. Однако не следует забывать, что, хотя эти картинки выглядят весьма правдоподобно, они все же далеки от реальной действительности.

Фиг. 157. «Башмаки» из мягкого железа.

Фиг. 158. Магнитные силовые линии в статоре электромотора, изготовленном из мягкого железа.

Задача 5. Вопросы по теории магнетизма. А) Опишите, что произойдет, когда, пытаясь получить изолированные «полюсы», вы разрежете намагниченный стальной брусок на небольшие куски. Воспользовавшись маленькими стрелками для обозначения элементарных магнитиков, или, точнее, доменов, которые в настоящее время считаются основными элементарными единицами магнетизма, покажите, как этот эксперимент подтверждает «теорию» магнетизма. Б) Нарисуйте схемы, иллюстрирующие образцы из намагниченной и ненамагниченной стали, и покажите, как представление об элементарных магнитиках согласуется с результатами опыта по разделению магнита на части. В) Какое различие в поведении элементарных магнитиков мягкого железа и закаленной стали может объяснить разницу в наблюдаемых свойствах образцов из этих материалов? Г) С помощью теории прокомментируйте каждый из следующих вопросов. Ответы, где это возможно, дополните схемами. 1) Имеется ли предел намагниченности стального бруска? 2) «Полюсы» намагниченного бруска не расположены точно на его краях и не распределены точно по торцевой плоскости. Объясните, почему. 3) Нагревание магнита приводит к его размагничиванию. Объясните, по какой причине. 4) Удары молотком по магниту приводят к его размагничиванию. Дайте объяснение. 5) В некоторых условиях удары по стальному бруску могут намагнитить его, даже если молоток сделан из немагнитного материала. В каких условиях это возможно? Объясните. 6) Когда намагниченные бруски хранятся в коробке, их располагают таким образом, чтобы концы замыкались «башмаком». Могут ли эти «башмаки» действительно помочь сохранить магниты в намагниченном состоянии? Из какого материала они должны быть изготовлены? 7) Подковообразные магниты также снабжают «башмаками». Нарисуйте схему, иллюстрирующую роль последних. 8) Экспериментатор считает, что намагнитил стальное кольцо, хотя не в состоянии обнаружить полюсов, а около кольца нет внешнего магнитного поля. Имеется ли какой-нибудь разумный смысл в утверждении, что кольцо «намагничено»? Объясните. 9) Если на предыдущий вопрос вы ответили утвердительно, то покажите, как можно проверить намагниченность кольца. 10) Брусок из стали или мягкого железа помещен в катушку с переменным током. Замечено, что брусок нагрелся. Такое нагревание возникает благодаря ряду эффектов, один из которых заключается в перемагничивании бруска магнитным полем переменного тока. Какое ожидается различие в нагревании мягкого железа и твердой стали? 11) Магнит помещен внутрь катушки с переменным током, и сила тока медленно падает до нуля. Объясните, почему таким способом можно размагнитить магнит. Ответ проиллюстрируйте рисунком или чертежом.

Фиг. 159. Демонстрационный прибор для изучения намагничивания железных или стальных образцов.

_{Образец помещается в намагничивающую катушку А, через которую пропускается электрический ток. В процессе намагничивания образец создает магнитное поле, которое отклоняет электронный луч вверх или вниз. (Катушка А также создает внешнее магнитное поле. Чтобы предотвратить действие этого поля на электронный луч, с другой стороны электронно-лучевой трубки помещается «компенсирующая» катушка В, через которую проходит тот же самый ток. Магнитное поле этой катушки нейтрализует поле катушки А в области, где проходит электронный луч.).}

_{Перемещение луча вверх и вниз позволяет следить за изменением намагниченности образца. Электронный луч отклоняется также вправо и влево электрическим полем между пластинками Р1 и Р2, связанными с сопротивлением R, через которое проходит намагничивающий ток. Согласно закону Ома, разность потенциалов на его концах изменяется в соответствии с силой тока. Так же меняется и поле, действующее на образец. Поэтому величина горизонтального отклонения луча является мерой напряженности намагничивающего поля. Таким образом, электронный луч вычерчивает график намагничивания {вертикальное отклонение) в зависимости от величины намагничивающего поля (горизонтальное отклонение).}

_{Если катушка питается постоянным током, который постепенно увеличивают с помощью реостата, то возрастание намагниченности образца можно заметить по смещения светящегося пятна на экране трубки. Если же катушка включена в сеть переменного тока, то достаточно держать реостат в одном определенном положении. Во время каждого цикла намагничивания электронный луч вычерчивает одинаковые кривые, и это происходит так быстро и столь часто, что мы видим на экране неподвижное изображение.}

Экспериментальное изучение стадий намагничивания.

Мы можем исследовать, как намагничивается металлический брусок, поместив его внутрь соленоида и постепенно увеличивая ток в обмотке. Будем считать, что напряженность магнитного поля внутри соленоида прямо пропорциональна току (почему это так, объясняется ниже), так что величину силы тока можно принять за меру напряженности намагничивающего поля. Величину же намагниченности самого бруска будем измерять по производимому им действию на небольшую компасную стрелку или пучок электронов в электронно-лучевой (осциллографической) трубке. Мы можем плавно менять ток с помощью реостата или включить соленоид в сеть переменного тока, который 60 раз в секунду будет менять намагниченность бруска. Подадим на вертикальные пластины осциллографической трубки электрическое поле, пропорциональное величине намагничивающего тока, которое развернет электронный луч горизонтально 60 раз в секунду, а намагничиваемый брусок расположим таким образом, чтобы его магнитное поле в то же самое время отклоняло бы электронный луч вверх или вниз в зависимости от направления намагничивания. При этом электронный луч вычертит на экране трубки замкнутую кривую, представляющую собой график намагничивания нашего бруска, в котором величина горизонтального отклонения отвечает напряженности магнитного поля, а вертикальное отклонение соответствует намагниченности.

Если проводить опыт с первоначально ненамагниченным образцом, то при увеличении тока в соленоиде график намагничивания мягкого железа будет представлять собой кривую, в которой различаются три участка.

1) При малых напряженностях магнитного поля возникает небольшая (пропорциональная?) намагниченность.

2) С увеличением поля кривая изгибается и начинает расти гораздо более круто, причем в средней области изменению магнитного поля соответствует значительно большее, чем раньше, возрастание намагниченности.

3) При еще больших полях кривая достигает насыщения, которое и является пределом намагничивания.

В переменном поле мягкое железо намагничивается до насыщения, затем намагниченность падает до нуля, снова достигает насыщения, но уже в обратном направлении и т. д. Закаленная же сталь дает характерную петлю, т. е. кривую, прямая и обратная ветви которой не совпадают друг с другом. Образец частично сохраняет намагниченность даже тогда, когда само намагничивающее поле упало до нуля. Такая инерция намагниченности по отношению к намагничивающему полю носит название «гистерезис». Чем больше петля, тем сильнее «трение», которое испытывают крошечные элементарные магнитики, тем значительнее нагревание образца в каждом цикле намагничивании.

Теперь вам понятно, почему намагниченный брусок размагничивается, когда его помещают в соленоид с переменным током и медленно вынимают оттуда. Переменное магнитное поле 60 раз в секунду меняет намагниченность бруска. По мере извлечения магнита из соленоида он испытывает все более и более слабое воздействие намагничивающего поля, так что петля намагниченности становится все меньше и меньше. Цикл за циклом эти петли сжимаются (так что вся картина становится похожей на разрезанную луковицу) до тех пор, пока они не сойдутся в точку в центре графика, что соответствует полному размагничиванию.

Фиг. 160. Кривые намагничивания.

Более современная теория. Магнитные домены.

До сих пор мы не делали никаких определенных предположений о размерах элементарных магнитиков и не сказали ни слова о том, как они выглядят. В последние годы были получены убедительные доказательства, что эти магнитики представляют собой не отдельные молекулы, а довольно большие группы металлических кристаллов. Эти группы, получившие название «домены», выглядят очень маленькими, когда рассматриваешь их под микроскопом, но в сравнении с отдельными атомами они кажутся колоссальными скоплениями. Конечно, домены можно разделить на еще меньшие магнитики и постепенно дойти до отдельных атомов. Так что настоящими элементарными магнитиками мы по-прежнему должны считать атомы[78]. Границы домена можно увидеть в микроскоп, если посыпать поверхность намагниченного предмета очень тонким железным порошком, точно так же как при проверке литья на трещины.

Весь металл внутри домена намагничивается только в одном направлении — обычно вдоль одной из главных кристаллических осей. В ненамагниченном металле намагниченность отдельных доменов равновероятно направлена по или против любой из осей кристалла, по-видимому, образуя пространственные циклические доменные семейства. При намагничивании металла происходят следующие два типа изменений:

А) Некоторые домены увеличиваются в размере за счет соседних, добавляя в свой единый блок атомы из других блоков. Растут как раз те домены, которые были намагничены в направлении, близком к направлению намагничивающего поля. Если поле слабое, то эти изменения невелики и обратимы: вся картина целиком восстанавливается при снятии поля (стадия 1 на фиг. 162). Более сильные поля производят необратимые изменения границ доменов. Удачно ориентированные домены вырастают в размерах еще больше, и мы получаем сильный магнит (стадия 2).

Фиг. 161. Размагничивание стального бруска.

Б) В сильном магнитном поле намагниченность доменов лишь приблизительно следует направлению поля. Напомним, что намагниченность доменов направлена вдоль осей кристаллов металла, а не внешних контуров металлического бруска, которые указывают лишь направление наиболее просто осуществимого намагничивания. Атомы домена, естественно, стараются выстроиться в наиболее удобном для них направлении. Однако приложенное внешнее поле может оказаться не параллельным ни одной из кристаллических осей. Тогда требуются очень большие поля, чтобы повернуть направления намагниченности удачно ориентированных доменов ближе к направлению магнитного поля (стадия 3).

В) В некоторых случаях отдельные домены могут внезапно перестраивать направление своей намагниченности от менее благоприятного к более благоприятному. Такой характер изменения менее прост, чем мы привыкли думать.

Фиг. 162. Магнитные домены в металлическом бруске на различных стадиях намагничивания.

_{Это упрощенное схематическое изображение иллюстрирует механизм изменений, происходящих с доменами. Обозначения направления намагниченности, перпендикулярной плоскости чертежа: — намагниченность направлена на наблюдателя; — намагниченность направлена от наблюдателя.}

А что же в действительности?

Привлекая все новые и новые предположения (в форме подробных рассказов о доменах) для объяснения наблюдаемых явлений, мы, кажется, снова рискуем испортить свою научную репутацию. Однако для защиты нашей точки зрения обратимся к экспериментальным наблюдениям узоров, образованных железным порошком на поверхности намагниченного образца, которые показывают границы между доменами. Можно заметить, что эти узоры меняются по мере намагничивания бруска, демонстрируя увеличение одних доменов за счет других. Кто видел это, тот, безусловно, согласится, что опыт подтверждает нашу теорию.

Фиг. 163. Опыт, позволяющий услышать изменения доменов.

Известна и другая замечательная демонстрация изменений, происходящих с доменами, которые слишком малы, чтобы их можно было бы увидеть непосредственно, но хорошо регистрируются электрическими методами. Намотаем вокруг железного образца небольшую катушку и присоединим ее концы к усилителю, чтобы обнаружить очень слабые изменения наведенного потенциала, связанного с изменением намагниченности образца. Кроме того, к выходу усилителя подключим громкоговоритель. Начнем намагничивать образец, приближая к нему магнит, и мы услышим странный шорох, напоминающий шум песка, падающего на барабан. В действительности этот шорох представляет собой быструю последовательность коротких щелчков, как раз таких, какие можно было бы ожидать от бесчисленного множества доменных скачков. Если бы в намагничивании участвовали не домены, а отдельные молекулы, то щелчки были бы неизмеримо слабее и слишком частыми, чтобы произвести такой шум. Таким образом, этот хорошо различимый шорох свидетельствует о том, что домены представляют собой большие группы молекул. С недавнего времени мы стали объяснять происхождение этой последовательности щелчков несколько иначе. Раньше мы думали, что каждый щелчок связан с внезапным изменением направления намагниченности домена. Теперь мы знаем, что число таких щелчков гораздо больше количества доменов в образце. По-видимому, каждый щелчок связан с изменением границ домена, т. е. с обратимым ростом и сдвигом двух соседних доменов, как это происходит на первой стадии намагничивания.

В этом небольшом разделе физики мы показали, что теория является полезным наставником экспериментатора и мудрым другом научного исследователя. Если вы спросите: «Верна ли она?» — ученый сначала ответит: «Она полезна». Затем он добавит: «По крайней мере частично она верна». Некоторые из теоретических представлений, безусловно, верны, в чем вы сами можете убедиться, поставив опыты. Если же часть из них, как, например, представления о магнетизме атомов, покажутся вам несколько фантастичными, то, прежде чем спрашивать об их реальности, следовало бы ответить на вопрос: чем они полезны? Тем не менее как наша научная любознательность, так и романтическая страсть к атомам побуждают нас узнать, что происходит внутри домена. И мы добиваемся успеха в этих исследованиях. Пропуская пучки отдельных атомов через неоднородные магнитные поля, мы обнаруживаем, что некоторые атомы на самом деле представляют собой магниты (фиг. 164–166).

Фиг. 164. Некоторые атомы ведут себя как маленькие магниты.

_{Для исследования их магнитных свойств используются неоднородные магнитные поля.}

_{1 — любой магнит, помещенный в однородное магнитное поле, поворачивается, но не испытывает продольного смещения; на него действует пара равных по величине, но противоположных по направлению сил; 2 — любой магнит, помещенный в неоднородное магнитное поле, поворачивается и движется в область более сильного поля.}

Фиг. 165. Опыт по измерению магнитного момента атомов.

_{Электрически нейтральные атомы испускаются в вакуум, проходят через неоднородное магнитное поле и отклоняются в область наибольшей напряженности поля. Далее атомы попадают на чувствительную фотопленку, образуя на ней пятно.}

_{Поразительный результат этого эксперимента заключается в том, что атомы создают три таких пятна в точках с координатами +у, 0 и — у. Это говорит о том, что атомы действительно представляют собой магниты, но их ориентация загадочным образом ограничена тремя направлениями, или, другими словами, «квантована».}

Фиг. 166. Магнитные свойства атомов.

_{Не забывайте, что изображения атомов на этом рисунке весьма фантастичны и очень далеки от действительности. Электрон, движущийся по некоторой «орбите», создает магнитное поле наподобие электрического тока, обтекающего виток провода, и наделяет при этом свой атом магнитными свойствами. Кроме того, электрон имеет еще и собственное вращение, в результате которого создается добавочное магнитное поле. Однако лишь немногие атомы обладают магнитными свойствами, поскольку у большинства из них магнитные поля, создаваемые множеством электронов, компенсируют друг друга.}

Мы умеем, кроме того, заставлять атомы, помещенные в сильные магнитные поля, испускать свет, исследуя который можно еще больше узнать об их магнитных свойствах. Наконец, мы убеждаемся, что электроны, некоторые атомные ядра и даже не обладающий электрическим зарядом нейтрон ведут себя как крошечные магнитики. Каждый из них создает вполне определенное магнитное поле, которое мы связываем с так называемым механическим «спином» — вращательным моментом, присущим частице. Эти магнитные свойства серьезно помогают нам разобраться в структуре атомного ядра.

Недавно проведенные опыты по отражению пучков нейтронов от магнитных материалов доказывают реальность существования границ доменов. Эти опыты дают нам возможность подсчитать действительное число доменов по измерению отражения нейтронного пучка. Таким образом, старая теория магнетизма и новейшая экспериментальная ядерная физика, возникновение которых разделено целым столетием, связываются друг с другом воедино.

Рассказывая эти подробности о поведении атомов, мы хотели просто сообщить новые результаты и не ставили перед собой цели экспериментально или каким-нибудь другим путем обосновать их реальность. Поэтому вам следует принять их на веру как интересные факты и как подтверждение того, что физики сумели довести до тонкостей свою широко применимую теорию магнетизма.

Глава 35. Химия и электролиз.

Под элементами я понимаю… некоторые первичные простые тела, которые нельзя разложить на части и невозможно получить из каких-либо других тел, а также друг из друга. Все сложные вещества составлены из этих элементов и в конечном счете распадаются на них. Роберт Бойль, 1661 г. Мы не можем быть уверены, что вещество, которое мы сейчас принимаем за элемент, является таковым на самом деле. Мы лишь в состоянии сказать, что такая субстанция является пределом возможностей современного химического анализа, и ее нельзя расщепить на более простые части, по крайней мере в настоящее время. Антуан Лоран Лавуазье, 1789 г. Эта глава предназначена для тех читателей, которые не знают химии. В ней излагаются основы химической науки, необходимые для изучения атомной физики, изложенной в пятой части настоящей книги. Если у вас не было курса химии, то загляните в эту главу, чтобы получить общее представление о химических превращениях, атомном весе, атомном номере, ионах и т. п. Если же вы уже знакомы с химией, то ваши знания, безусловно, шире и глубже того, о чем здесь говорится. Поэтому проявите снисходительность, читая эту главу.

ЧТО ТАКОЕ ХИМИЯ.

Рассказать о химии в одной главе — все равно что одной короткой фразой описать содержимое бакалейной лавки: «На полках там стоит много банок со съестным и т. д.». Поэтому мы поставим себе задачу изложить только наиболее важные факты и основные представления химии и не будем раскрывать все богатейшее содержание этой науки или весь арсенал ее искусных средств. Мы обойдем молчанием и драматическое описание истории ее возникновения из средневековой алхимии и впечатляющее применение ее достижений в наш век логики и эксперимента. Мы перечислим только ее основные результаты — точнее, те взгляды, с которыми химики пришли к началу нашего столетия[79].

Химическое производство и методы. Синтез.

Сначала ремесленники-красильщики, а впоследствии и ученые-химики научились приготовлять множество самых разнообразных веществ. В их работе широко применялись такие «физические методы», как растворение в воде, фильтрование и выпаривание растворов, дистилляция, электролиз и т. п. Но были и чисто «химические методы», как, например, нагревание двух смешанных друг с другом веществ с целью получить новое, отличное от них вещество, проведение химических реакций с помощью пламени и взрывов, получение газов при смешивании некоторых растворов и т. п. Провести границу между этими двумя понятиями очень трудно: нагревание минерала похоже на физический процесс, но оно же может привести и к химическим изменениям.

Начала химических знаний зародились на заре цивилизации. Первыми руководствами по химии были тщательно оберегаемые рецепты красильщиков и алхимиков. Современная химия напоминает сложнейшую кулинарную книгу — с анализом и рецептами, обоснованиями и правилами. «Чтобы приготовить омлет, — говорится в обычной поваренной книге, — нужно взять четыре яйца, немножко масла, щепотку соли». Если отвлечься от неопределенности в количестве этих продуктов, то такой рецепт похож на научную инструкцию по приготовлению омлета, его синтезу.

В химии многие вещества создаются в результате синтеза. Например, воду можно получить при взрыве смеси кислорода и водорода, двуокись углерода — при сжигании угля, а серную кислоту — в результате сгорания серы на воздухе с небольшими добавками избыточного кислорода (в присутствии платины, способствующей их соединению), а затем смешивания образующейся газообразной трехокиси серы с водяным паром.

Химический анализ.

Поговорим теперь о процессе, обратном приготовлению омлета, о выделении его составных частей или анализе, который осуществить много труднее, даже если мы не начали поджаривать наш омлет. Но химик захотел бы пойти еще дальше. Разделив вещества, необходимые для приготовления омлета, он стал бы разлагать их на еще более простые вещества, такие, как вода, соль и др. Последние тоже представляют собой химические соединения, которые можно разложить на составные части. Например, яичный желток является не простым веществом, а смесью, из которой можно выделить несколько компонентов, а соль уже представляет собой отдельное химическое соединение. Она сохраняет свои физические свойства, какую бы малую ее часть мы ни взяли. Мельчайшая крупинка соли будет тем же кристаллом кубической формы, с той же плотностью и температурой плавления и будет так же преломлять световые лучи. При растворении в воде она даст одинаковое, пропорциональное разведению понижение точки замерзания. (Этот тонкий эффект используется в физической химии для оценки молекулярного веса.) И все же эти критерии довольно грубы, они не могут доказать, что поваренная соль не является однородной смесью, такой, как, например, стекло. Только химический анализ может сказать нам о том, что мы имеем дело с единым соединением, все молекулы которого одинаковы. Приведем два из бесчисленного множества примеров. Поваренную соль бросают в воду и получают соленый на вкус раствор (химический признак), который становится мутным при смешивании с солями серебра (анализ на хлориды). Каждый такой опыт с поваренной солью дает одинаковые результаты безотносительно к количеству взятой соли и независимо от того, получили ли мы ее путем рекристаллизации или очистили другим способом и сделали ли это однажды или повторяли такой процесс много раз. Переходя ко все меньшим количествам соли и даже к сильно разбавленным растворам ее, мы встретимся с некоторыми практическими трудностями, но не заметим никакого изменения самой природы превращений. Отмечая постоянство химических свойств поваренной соли, мы можем перенести, экстраполировать их на ее отдельные молекулы. Только тогда, когда будут обнаружены свойства, отличные от свойств поваренной соли, мы сможем считать, что расщепили ее молекулы на атомы составляющих их элементов.

Теперь, когда мы узнали, что смеси можно разделить на простые однородные вещества, подобные поваренной соли, пора пойти дальше в построении химической науки по пути разложения химических соединений, если они действительно являются соединениями, на составляющие их первичные элементы. Это и есть те самые элементы, о которых 300 лет назад писал Роберт Бойль (см. эпиграф в начале главы).

Возвращаясь к нашему примеру чистого вещества, кусочку поваренной соли, зададим себе вопрос, подошли ли мы к пределу делимости или можно разложить соль на еще более простые вещества — элементы? Итак, сложное ли вещество — поваренная соль?

Электролиз — способ выделения элементов.

Да, соль можно расщепить на элементы, применяя более интенсивные методы анализа, например электролиз, т. е. пропуская электрический ток через раствор или другую жидкость с целью получения искомых продуктов, которые выделяются на погруженных туда электродах. Расплавим соль и пропустим через нее электрический ток. Мы заметим, что при этом появляются два новых вещества, свойства которых резко отличаются от соли. На одном электроде образуются пузырьки хлора — зеленоватого, ядовитого, удушливого газа, на другом выделяется серебристо-серый металл — натрий. При этом поваренная соль разложится полностью. Дальнейшее разложение, скажем, частично на соль, а частично на песок — невозможно. Натрий и хлор — это элементы, из которых образована поваренная соль. Таким образом, элементы — это простейшие вещества, на которые расщепляются все соединения, но которые сами не поддаются дальнейшему расщеплению. Как только мы научились выделять элементы и узнали их свойства, мы получили основной строительный материал для синтеза всевозможных других веществ. Обыкновенная поваренная соль разлагается на элементы натрий и хлор всегда в одной и той же пропорции: каждые 117 кг соли дают 46 кг натрия и 71 кг газообразного хлора. Тот факт, что из любых количеств соли натрий и хлор всегда выделяются в той же самой пропорции 46:71, однозначно характеризует это химическое соединение и дает убедительное подтверждение тому, что мы имеем дело всегда с одним и тем же простым веществом. Этот факт не только помогает нам лучше представить себе атомы, но дает даже большее: мы можем считать, что элементы натрий и хлор состоят из мириадов одинаковых атомов, только атомы хлора приблизительно в 1,5 раза тяжелее атомов натрия. Тогда поваренная соль состоит из отдельных групп атомов (молекул), по одному атому натрия и хлора в каждой, соединенных вместе какой-то таинственной силой. Если же массы этих двух видов атомов находятся в отношении 46:71, а мы в настоящее время знаем, что это действительно так, то легко понять, почему они входят в поваренную соль всегда в неизменной пропорции. Как само представление об атомах, так и соотношение масс 46:71 остаются непроверенными предположениями, пока они объясняют только свойства обыкновенной соли. Но когда мы узнаем, что постоянство содержания элементов выполняется опять и опять при переходе от одного вещества к другому, то атомная гипотеза получает серьезную поддержку и признание. Начав искать аналогичные соотношения между массами атомов в других химических превращениях, мы тут же их находим. Таким образом, мы приходим к пониманию сущности химии и узнаем, что она может предсказывать и объяснять результаты опытов, т. е. является наукой в подлинном смысле этого слова.

Смеси… Соединения… Элементы…

Понимание различия между смесями, соединениями и элементами является необходимой основой изучения химии, поэтому мы начнем этот раздел с нескольких примеров.

Насыпьте кучку из песка, соли, железной пыли и древесных опилок и хорошо их перемешайте. В какой бы пропорции они ни были взяты, вам всегда удастся снова разделить их, имея ковш воды и магнит. Эти вещества образовали смесь. Если песок состоит из камешков, то это будет грубая смесь, из которой их можно непосредственно достать руками. Если же песок и другие частицы очень малы, то такую смесь мы называем тонкой, но и ее удается рассортировать вручную под микроскопом или с помощью других более искусных методов.

Можно приготовить еще более тонкие смеси различных веществ, например, растворяя поваренную соль в воде, сливая вместе воду и спирт или сплавляя цинк и медь для получения латуни. Это будут молекулярные смеси, которые уже нельзя рассортировать руками. Воздух тоже представляет собой смесь газов — азота, кислорода, углекислого газа, а также небольшого количества гелия и других благородных газов. Пропорции, в которых составлены эти смеси, могут быть самыми разнообразными, поскольку названные вещества смешиваются в широких пределах. Тем не менее разделить эти смеси всегда удается. Вы можете выпарить воду из раствора, благодаря чему соль выпадает в виде кристаллов, провести дистилляцию спирта, выделить медь путем электролиза, охладить газы до жидкого состояния и дать им поочередно выкипеть. Теперь рассмотрим составные части смесей: поваренную соль, спирт, воду, медь — и зададим вопрос, является ли каждая из них также смесью? Все они обнаруживают постоянные физические свойства — плотность, температуру плавления, кристаллическую форму и т. п. Ни одно из этих веществ не проявляет никаких признаков смесей, которые могли бы быть составлены в разнообразных пропорциях и рассортированы в виде различных молекул каким-либо фантастическим демоном. Напротив, каждое из них обладает свойствами, присущими соединению (или элементу): части, из которых оно состоит, входят в него в постоянных пропорциях. Соединения — это единые по своей природе вещества, однородные по составу от больших количеств до последней молекулы. Их определение фактически совпадает с определением молекулы — мельчайшей отдельной частицы вещества, которая обладает всеми его характерными свойствами. Молекула представляет собой всегда одинаковую для одного и того же химического соединения группу атомов, удерживаемых вместе электрическими силами.

Попытаемся разложить поваренную соль на еще более простые вещества. Такие не очень действенные методы, как нагревание или охлаждение, не дают никаких окончательных изменений. Только электролиз расплавленной соли превращает ее в газообразный хлор и натрий. Электролиз воды также вызывает ее превращение в два других газа — кислород, в котором ярким пламенем сгорают горючие вещества, и водород, легчайший из газов, образующий с кислородом взрывчатую смесь. Можно ли расщепить эти новые вещества на еще более простые? Все попытки осуществить это путем нагрева до очень высоких температур, повторного электролиза, даже путем воздействия другими очень агрессивными химическими веществами терпят неудачу[80]. Поэтому мы называем эти химические вещества элементами. Железо и медь — это тоже элементы, как и углерод, ртуть, алюминий, йод, но не латунь или воздух, которые представляют собой смеси, и не вода или поваренная соль, относящиеся к соединениям. При синтезе, разложении и превращении веществ мы никогда не меняем самих элементов. Они остаются неизменными первичными кирпичиками во всех химических процессах[81].

«Образование одного вещества из других посредством химических превращений возможно только в том случае, если в этих других веществах присутствуют все необходимые элементы. Хотя такое утверждение нигде не выражалось в виде закона, оно тем не менее является фундаментальной аксиомой, отличающей химию от алхимии»[82].

Вернемся к анализу обычной поваренной соли и зададим вопрос: откуда известно, что натрий и хлор представляют собой элементы, т. е. первичные составные части, а не какие-то промежуточные вещества? Хотя теперь мы знаем это безошибочно, нужно напомнить, что признание многих веществ элементами пришло не сразу и первое время следовало лишь из безуспешных попыток расщепить их на еще более простые части. Некоторые вещества, такие, как золото, серебро, свинец, считались элементами уже очень давно, еще с тех пор, когда они были получены в тиглях средневековых алхимиков. Значительно позже, когда удалось выделить из воздуха несколько различных газов, было установлено, что азот и кислород также не поддаются дальнейшему разложению: при действии на них другими химическими веществами всегда получалось увеличение веса конечного продукта, а не расщепление его на более простые части с меньшими весами. Газ, который мы теперь называем углекислым, оказывается возможным разложить на газообразный кислород и черную сажу (или даже чистой воды алмаз), и он легко синтезируется из них (при сгорании углерода). Долгое время вода тоже считалась элементом, пока Кавендиш не расщепил ее на газообразные кислород и водород. Вода сначала была названа НО, так как считалось, что в каждой молекуле воды соединились по одному атому кислорода и водорода. Прошло длительное» время, пока химические опыты и другие аргументы не заставили ученых поверить, что настоящая формула воды Н₂О.

В течение длительного периода развития химии неудачи попыток расщепить вещество на составные части были для химиков единственной надежной гарантией того, что они имеют дело с элементом. Затем сто лет назад Менделеевым, а также другими учеными была предложена стройная упорядоченная система элементов. Об этой системе, называемой в настоящее время периодической, мы вкратце расскажем в этой главе несколько позже. Она представляет собой нечто вроде генеалогического древа элементов, расположенных в соответствии с их атомными весами и химическими свойствами. Периодическая система служит великолепным поясняющим руководством, поэтому в каждой книге по химии она упоминается, пожалуй, гораздо чаще, чем родословная героев в иных детективных рассказах. Все вещества, про которые мы сейчас знаем, что они являются элементами, располагаются в ней в удивительно простом порядке, указывая на правильность первоначальных догадок об их природе[83]. В настоящее время окончательное решение, является ли данное вещество элементом, принимается на основании измерений частот его спектральных линий, лежащих как в рентгеновской, так и в видимой световой областях.

Химические превращения, или реакции.

В качестве примера химических реакций, которые современный химик объясняет как обмен электронами между атомами, мы рассмотрим превращения, происходящие с углекислым газом. Углекислый газ, СО₂,— это тяжелый бесцветный газ, который получается при сжигании угля в атмосфере кислорода или образуется (вместе с водой) при окислении или расщеплении питательных веществ (таких, как, например, сахар) в живом организме. В процессе горения атомы углерода присоединяют по две молекулы кислорода, образуя тяжелые молекулы СО₂. В обычных условиях этот газ не отдает свой кислород для поддержания горения других веществ — атомы кислорода связаны в нем очень прочно, поэтому им можно погасить не только легкое пламя, но даже и большой пожар. Этот газ слегка ядовит, он вреден для живого организма тем, что препятствует нормальному газообмену в легких. Углекислый газ растворяется в воде, придавая ей слабый кислый привкус (и образуя хорошо знакомый напиток — газированную воду). При этом получается непрочное химическое соединение, известное под названием угольной кислоты (СО₂ + Н₂О = Н₂СО₃), или гидрокарбоната, так как радикал СО₃ (который в свободном состоянии не существует) называется карбонатом. Если добавить в раствор поваренную соль (хлористый натрий), то там образуется весьма сложная смесь. Опыты по электролизу водных растворов показывают, что при растворении подобных веществ они расщепляются на электрически заряженные атомы или группы атомов (радикалы), называемые ионами. Можно представить, что в полученной нами смеси будет присутствовать некоторое количество положительных ионов натрия, отрицательных ионов хлора, положительных ионов водорода и отрицательных ионов СО₃. Теперь уже нельзя сказать, что там есть хлористый натрий и угольная кислота или соляная кислота и карбонат натрия, или даже смесь всех четырех веществ, так как при растворении в воде любая пара разнородных молекул образует те же самые четыре иона. Вероятнее всего, каждая из комбинаций то объединяется, то расщепляется снова, так что все молекулы находятся в неустойчивом состоянии.

Наши рассуждения будут бездоказательны до тех пор, пока мы не удалим из раствора какое-либо вещество, чтобы расстроить установившееся там равновесие. Однако сейчас это не так-то легко сделать, поскольку все они растворены в воде. Предположим теперь, что мы смешали растворы другого карбоната и другого хлорида, например карбоната натрия (соды) и хлористого кальция (вещества белого цвета, которым посыпают зимой тротуары, чтобы с них стаял лёд). И в этом случае раствор будет содержать смесь ионов — ионы натрия, ионы кальция, ионы хлора и ионы карбоната. Спросим опять, что же мы имеем на этот раз: карбонат натрия и хлористый кальций или хлористый натрий и карбонат кальция, или же какое-то промежуточное вещество? В рассматриваемом примере одна из получающихся комбинаций не растворима в воде. Случайные столкновения между ионами приводят к образованию молекул карбоната кальция, которые уже не растворяются в воде, а собираются в мельчайшие белые крупинки мела и выпадают из раствора в виде твердого осадка. Такой необратимый процесс происходит до тех пор, пока осаждение углекислого кальция не прекратится из-за того, что его уже просто не останется в растворе. Отфильтрованный и просушенный осадок представляет собой чистый мел, и его можно использовать по назначению. Здесь мы имеем наглядный пример химического производства.

Однако было бы неразумно и неудобно получать мел таким способом (если только мы не нуждаемся в особо чистом продукте), поскольку его можно непосредственно добывать в горных карьерах. Откроем секрет, что те вещества, которые использовались в нашем химическом «производстве», вероятно, и были приготовлены из этого натурального мела.

Взяв в качестве исходного сырья мел, мы можем разложить его прокаливанием на углекислый газ и известь. Известь, или окись кальция, — это белый порошок, получающийся при «ржавлении» на воздухе металлического кальция. 100 кг мела дают 56 кг извести и 44 кг углекислого газа. Практически этот процесс используется, конечно, не для получения углекислого газа, а в первую очередь для производства извести, которая необходима для сельского хозяйства и химической промышленности. Известь немного растворяется в воде, образуя слабый горьковатый раствор, содержащий ионы кальция и, вместо ожидаемых ионов кислорода, ионы гидроксила ОН^-, которые получаются в результате ее взаимодействия с водой при растворении.

Взяв продукты разложения мела, полученные путем прокаливания (при котором его молекулы как бы разбиваются сильными ударами микроскопических молоточков), мы можем снова соединить их вместе. Известь + углекислый газ опять образуют мел. Однако эту реакцию трудно провести с кусками твердой извести, так как доступ к ней углекислого газа затруднен. Гораздо лучше растворить известь в воде и пропускать углекислый газ через раствор. При этом будут хорошо видны белые облачка образующегося мела[84].

Химические формулы и уравнения.

Факты, с которыми мы здесь сталкиваемся, становятся все более сложными и трудными для понимания и запоминания. Химики стараются упростить их, используя лаконичные уравнения, которые показывают, как атомы элементов соединяются или замещают друг друга. Эти уравнения выражают их уверенность в неуничтожимости материи и неизменности составляющих эту материю атомов, которая позволяет им записывать по одинаковому числу атомов одного и того же элемента в обеих частях уравнения. Атомы не исчезают, их «баланс» всегда сходится. Каждый атом мы изображаем одной буквой (или, где это необходимо во избежание неопределенности, двумя буквами). Атом углерода обозначается буквой С, кислорода — буквой О, кальция — буквами Са, хлора — буквами С1. Для водорода, азота, серы приняты обозначения Н, N, S. Атом натрия записывается Na, что происходит от старого латинского названия поваренной соли natrium, а атом меди Си (от cuprum). Соединение одного атома кальция и одного атома кислорода — окись кальция (известь) обозначается СаО. Если же молекула какого-либо соединения содержит два одинаковых атома, то после их символа пишется индекс 2, например СО₂ или H₂SO₄[85].

Химическое превращение, происходящее при сжигании угля, о котором мы уже говорили, изображается так;

С + О₂ = СО_2.

[углерод + кислород дают углекислый газ].

[Один атом углерода соединяется с содержащей два атома молекулой кислорода, образуя одну молекулу углекислого газа.].

Сейчас вы уже накопили достаточно знаний, чтобы догадаться, что атомы кислорода, водорода, хлора и многих других газов объединяются в молекулы по два, т. е. образуют молекулы О₂, N₂ и т. д. Действительно, имеются весьма веские основания записывать их именно таким образом (разумность этого, в частности, заключается в следующем: одноатомный водород Н в отличие от двухатомного Н₂ отвечает свободному, только что рожденному агрессивному атому водорода, с жадностью вступающему в химические реакции).

Другое, знакомое нам превращение:

CO₂ + H₂O = H₂CO₃.

[Одна молекула углекислого газа при растворении соединяется с одной молекулой воды, образуя молекулу угольной кислоты.].

Мы помним также, что Н₂СО₃ может расщепляться на ионы водорода Н⁺, Н⁺ и ион СО₃, т. е. СО₃^-:

H₂CO₃ H⁺ + H⁺ + CO₃^-

При сливании растворов хлористого натрия и угольной кислоты смесь остается совершенно прозрачной, а при смешивании растворов углекислого натрия Na₂CO₃ и хлористого кальция СаС1₂ мы видим облачко осаждающегося мела:

Na₂CO₃ + СаСl₂ = СаСО₃ + 2NaCl[86].

Зная, что растворенные вещества могут расщепляться на ионы, осторожный химик написал бы такое уравнение для электрически заряженных ионов и заменил бы знак равенства «=» стрелками , которые означают, что процесс может протекать в обоих направлениях. Но если бы он заметил, что одна из четырех комбинаций СаСО₃ нерастворима, то поставил бы только одну стрелку;

Na₂CO₃ + CaCl₂ —> CaCO₃ + 2NaCl.

Возьмем теперь наш только что полученный мел СаСО₃ и прокалим его;

CaCO₃ CaO + CO_2.

[мел превращается в известь и углекислый газ].

Здесь стрелки направлены в обе стороны, так как реакция может идти в любом направлении в зависимости от температуры. Растворяясь в воде, известь образует раствор гидроокиси кальция:

CaO + H₂O —> Ca(OH)_2.

Гидроксильная группа ОН входит в состав самых едких щелочей, хотя сама известковая вода обладает весьма слабыми щелочными свойствами. Опустим в воду небольшой кусочек металлического натрия, и он вырвет атом водорода из молекул этой нейтральной жидкости, образуя сильную щелочь:

Na + H₂O —> NaOH + H.

[натрий и вода дают гидроокись натрия и водород].

Выделяющиеся пузырьки газообразного водорода говорят нам о том, что нужно удвоить это уравнение и записать его в виде.

2Na + 2Н₂О —> 2NaOH + Н₂.

Гидроокись натрия (каустическая сода, или едкий натр) — это мыльный на ощупь, едкий щелочной раствор, нейтрализующий кислоты.

2NaOH + H₂SO₄ —> Na₂SO₄ + Н₂О.

[Гидроокись натрия (каустическая сода) + серная кислота (сернокислый водород) дают сернокислый натрий и воду.].

Кислоты.

Все кислоты содержат водород и неметаллические элементы (хлор в соляной кислоте, сера и кислород в серной). Для кислот характерно, что входящие в них атомы водорода в водном растворе становятся ионами Н⁺, придавая ему кислый вкус. (В растворах щелочей в противоположность этому образуются ионы ОН^-.)

Распознавать кислоты по их кислому вкусу все же опасно, лучше познакомиться с их другими свойствами. Кислоты способны нейтрализовать щелочи, образуя воду и выделяя тепло. Они реагируют со многими металлами, которые замещают в них водород. Большинство кислот вытесняет углекислый газ из растворов карбонатов.

Мы можем непосредственно получить соляную кислоту, смешивая равные объемы водорода и тяжелого зеленоватого газа хлора или беря их в весовой пропорции 2:71 и вызывая взрывную реакцию с помощью вспышки ультрафиолетового света:

Н₂ + С1₂ —> 2HCl.

[водород + хлор образуют при взрыве пары хлористого водорода, или гидрохлорида].

Хлористый водород — легко растворяющийся в воде газ, образующий концентрированные растворы с очень кислым вкусом. Обычная соляная кислота и есть раствор хлористого водорода. Она широко применяется в химической промышленности и участвует в пищеварении человека.

Простейший способ получения углекислого газа в лабораторных условиях — подействовать соляной кислотой на мел:

CaCO₃ + 2HCl —> СаС1₂ + Н₂О + СО₂.

Если продувать СО₂ через раствор едкого натра, то последний реагирует с ним с образованием карбоната. (Если хотите, можно сказать, что СО₂ дает угольную кислоту Н₂СО₃, которая затем нейтрализует щелочь NaOH.).

2NaOH + CO₂ —> Na₂CO₃ + H₂O.

Серную кислоту можно получить из минеральной необработанной серы:

S + O₂ —> SO_2.

[сера при сгорании образует двуокись серы].

И затем.

2SO₂ + O₂ —> 2SO_3.

[двуокись серы присоединяет добавочный атом кислорода].

Чтобы осуществить последнюю реакцию, необходимо привести газы в контакт с платиной, которая действует подобно посреднику, ускоряя реакцию, но выходя из нее неизменной. Такие вещества мы называем катализаторами. Эта реакция медленно протекает слева направо, если платина не нагрета, а при очень высоких температурах идет в обратном направлении. Поэтому ее следует записать так:

2SO₂ + O₂ 2SO_3.

И если нам необходимо наладить производство серной кислоты, то нужно выбрать такую температуру, чтобы реакция быстро протекала слева направо. Затем, растворяя SO₃ в воде, получаем.

SO₃ + H₂O —> H₂SO_4.

[трехокись серы, соединяясь с водой, образует серную кислоту].

Щелочи.

Щелочи — это вещества, которые при растворении в воде образуют ионы гидроксила (ОН)^-. Обычно они представляют собой окиси или гидроокиси металлов. Большинство металлов на воздухе покрывается пленкой, которую мы и называем окисью. Железо ржавеет, медь становится тусклой, на кальции образуется белая корка извести, а натрий присоединяет кислород и влагу столь энергично, что его приходится хранить погруженным в масло. Некоторые из этих окислов не реагируют с водой, другие же растворяются или вступают с ней в реакцию, образуя гидроокиси.

Ионы гидроксила (ОН)^- сообщают этим растворам характерный горький вкус и способность нейтрализовать кислоты, а также оказывают разъедающее действие на кожу. Примерами щелочей являются гидроокись натрия NaOH, гидроокись кальция Са(ОН)₂, гидроокись аммония NH₄OH, где группа аммония NH₄ ведет себя подобно металлу.

При смешивании растворов кислоты и щелочи ионы Н⁺ и (ОН)^- соединяются, образуя воду и выделяя значительное количество тепла. Если эти растворы взять в нужной пропорции, то продукты реакции будут нейтральными веществами, не обладающими свойствами ни кислоты, ни щелочи[87]. (Конечно, если одно из веществ было в избытке, то раствор будет показывать характерные для этого вещества свойства.).

НС1 + NaOH —> NaCl + H₂O + (тепло).

[хлористый водород (соляная кислота) + гидроокись натрия (каустическая сода) образуют хлористый натрий (поваренную соль) + воду], или.

H₂SO₄ + 2NaOH —> Na₂SO₄ + 2H₂O + (тепло).

[серная кислота (гидросульфат) + гидроокись натрия дают сульфат натрия + воду].

Оба эти примера иллюстрируют общее правило:

Щелочь + кислота дают соль + воду + (тепло).

Здесь под словом «соль» понимаются многочисленные нейтральные соединения, одним из которых является обычная столовая соль. (Другие примеры солей: техническая сода, сульфат меди, хлористый кальций.) Соли — нейтральные соединения, однако по своей структуре они похожи на кислоты, в которых водород замещен одним или несколькими атомами металла.

Если подействовать гидроокисью натрия на «жирные кислоты», с которыми мы встречались в опытах по изучению поверхностного натяжения, то образующаяся в результате этой реакции соль оказывается обыкновенным мылом. Однако промышленный способ изготовления мыла является несколько более сложным.

ХИМИЯ И АТОМЫ.

Доказательства существования атомов.

В приведенных нами примерах химических превращений мы говорили об атомах, не приводя никаких доказательств в пользу их существования. В каждом уравнении буквы, отвечающие определенному элементу, например Н или С1, означали «один атом» (водорода или хлора). Конечно, эти обозначения можно было бы считать просто удобным способом описания, понимая под ними «некоторое количество» водорода или «немного» хлора. Однако, когда мы пишем химическое уравнение, в обеих частях которого каждый символ появляется в равных количествах, мы подразумеваем тем самым, что атомы существуют, а число их сохраняется. Мы считаем, что каждый элемент имеет свои атомы, которые участвуют в обмене между молекулами, но не могут создаваться или исчезать. Эта уверенность основана на тщательных измерениях веса веществ, принимающих участие в химических реакциях. В настоящее время самым простым способом разложения веществ на элементы является электролиз. Пропустим через воду электрический ток, и на электродах появятся пузырьки водорода и кислорода в весовом отношении 1:8, а уровень воды начнет понижаться, причем понижаться очень медленно, поскольку вода гораздо плотнее, чем эти газы. (На получение каждого кубического метра смеси газов расходуется ¹/₂ кг воды, и эта смесь весит в точности ¹/₂ кг.

Вода, кислород и водород всегда сохраняют весовое соотношение 9:1:8.) Но воду можно разложить на водород и кислород и другими способами, например пропуская пар над докрасна раскаленным железом, которое забирает из воды весь кислород, освобождая водород. И опять на каждые 9 кг воды получается 1 кг водорода. С другой стороны, газообразный фтор отнимает у воды содержащийся в ней водород, в результате чего образуется кислород. При этом во всех случаях выдерживаются следующие весовые пропорции:

9 частей воды дают 1 часть водорода + 8 частей кислорода.

Те же самые весовые пропорции соблюдаются и при синтезе воды. Если мы взорвем смесь 1 кг водорода и 8 кг кислорода, то получим в точности 9 кг воды. (При смешивании в другой пропорции избыток газа не участвует в реакции, например 3 кг водорода + 8 кг кислорода —> 9 кг воды + 2 кг водорода.).

Как мы уже говорили раньше, при электролизе расплавленного хлористого натрия получаются газообразный хлор и сода в весовой пропорции 71:46. Сжигание углерода[88] в атмосфере кислорода дает СО₂, в котором эти элементы находятся в пропорции 3:8. Если же доступ воздуха к горящему углероду ограничен, то образуется другое соединение — легкий ядовитый бесцветный газ, смесь которого с воздухом взрывоопасна. Этот газ называется окисью углерода (или угарным газом) и содержит углерод и кислород уже в пропорции 3:4. Неизменные пропорции содержания элементов в соединениях легко объяснить на основе представления о существовании однородных атомов каждого составляющего элемента. Это представление становится еще более убедительным, когда мы рассмотрим количественные соотношения между элементами в нескольких различных соединениях. Взгляните на следующую таблицу:

Изучение соотношений между элементами среди большого количества других химических соединений дает аналогичные результаты, которые убедительно подкрепляют атомную гипотезу. Если считать, что весь водород состоит из одинаковых легких атомов, то атомы кислорода будут тяжелее их в 8 или, возможно, в 16 раз, атомы хлора — в 35,5 раза, натрия — в 23 раза и т. д. Мы можем представить молекулу любого химического соединения состоящей из таких атомов. Ясно, что в молекулах различных соединений может присутствовать по нескольку атомов одного элемента. (Например, если гидроокись натрия — это NaOH, то вода будет Н₂О, а если вода была бы НО, а не Н₂О, то гидроокись натрия нужно было бы записать NaO₂H.).

Использование количественной, основанной на опыте атомной теории необычайно облегчило понимание химических процессов и явилось огромным достижением науки. Эта теория в удивительно четкой форме была сформулирована Джоном Дальтоном приблизительно в 1808 г. Новые тщательные измерения и открытия ряда неизвестных элементов, сделанные Берцелиусом, Дэви и многими другими учеными, еще более способствовали ее быстрому прогрессу. Во всех химических процессах атомы вели себя так, что их относительная масса оставалась неизменной. Постоянное подтверждение этого правила в любых измерениях заставляет нас признать, что атомы реально существуют, и, придя к представлению о неизменных массах атомов, мы создали такую стройную концепцию, что нам трудно было бы отказаться от нее, даже если бы вдруг оказалось, что атомы — это только иллюзия!

Если все же наши представления правильны, если простейшие однородные атомы, которые могут объединяться друг с другом в молекулы, существуют, то можно сделать еще один важный вывод: когда одни и те же элементы образуют несколько различных соединений, то количества элементов в этих соединениях должны быть связаны между собой весьма простыми соотношениями. Этот так называемый Закон Кратных Отношений является одним из немногих законов, которые были сначала обнаружены теоретически и лишь затем подтверждены на опыте. Рассмотрим следующую таблицу:

(В этой таблице использованы числовые значения, которые демонстрируют простоту соотношений особенно наглядно. В действительности измерения не дают непосредственно столь простых соотношений.).

Если формулы воды Н₂О, хлористой меди (закисной) CuCl, двуокиси углерода СО₂ так просты, то изображаются ли другие вещества столь же простыми формулами?

Даже приведенные примеры не могут окончательно доказать, что атомы действительно существуют. По крайней мере один из выдающихся химиков прошлого столетия утверждал свое право не верить в них, пока, практически только в начале нашего века, эксперименты с атомными частицами (броуновское движение, опыты Милликена по измерению заряда е электрона и отношения заряда к массе e/m электронов и ионов, а также опыты по рассеянию альфа-частиц) не заставили признать атомы безусловно необходимыми для описания материи.

Мы далеки от утверждения, что простым взвешиванием можно измерить относительные массы отдельных атомов. Но как же узнать, в 8 или 16 раз масса атома кислорода больше, чем водорода? Широко известное соединение углерода и водорода — газ метан — содержит их в весовом соотношении 3:1. Можно ли записать метан в виде СН, сказав, что углерод только в 3 раза тяжелее водорода? Химики считают, что на самом деле формула метана СН₄, т. е. соотношение между углеродом и водородом следует записать (4x3):(4х1) = 12:4, иначе говоря, углерод в 12 раз тяжелее водорода. Как удалось сделать такое важное заключение? Эта задача была решена с помощью хитроумного химического приема. Метан был обработан хлором, который заместил в нем водород. Если бы метан содержал по одному атому С и Н, то он превратился бы в СС1. Если же метан — это СН₄, то в нем можно заменить на хлор 1, 2, 3 или даже 4 водородных атома. И в самом деле, действием хлора на метан были получены четыре различных химических соединения. Первое — тяжелый газ СН₃С1, второе — еще более тяжелый газ СН₂С1₂, затем жидкость СНС1₃ (хлороформ) и, наконец, ядовитая жидкость — четыреххлористый углерод СС1₄.

Вот как распределяются весовые пропорции между элементами в этих веществах:

Как только вы разберетесь в этих соотношениях и приведете их к виду, который изображен в правой части таблицы, вам станет ясно, что масса атома углерода должна быть в 12 раз больше массы атома водорода. (Если, конечно, в действительности формула метана СН₈, то атом углерода будет тяжелее не в 12, а в 24 раза. Однако в этом случае можно было бы ожидать появления еще и других хлорзамещенных метана, таких, скажем, как СН₇С1, которые в действительности не обнаруживаются. Имеются и другие убедительные доказательства, подтверждающие правильность выбора значения 12.).

Вернемся теперь опять к воде. Если ее формула НО, то отношение масс атомов водорода и кислорода 1:8. Почему же мы должны считать, что вода — это Н₂О, т. е. что атом кислорода в 16 раз тяжелее атома водорода. Когда впервые было обнаружено, что вода содержит кислород и водород, ей как раз и приписали состав НО. Эта ошибка была исправлена только с появлением закона Авогадро, что в значительной степени помогло атомной химии прийти к ее современному состоянию.

Объемы газов и химические превращения.

Современные методы взвешивания и точные расчеты показывают, что массы элементов относятся приблизительно как целые числа. Однако в прежние времена более легким и очевидным количественным методом было измерение объема газов. Если мы соединим водород и кислород при температуре, скажем, 100 °C и будем поддерживать образующуюся при этом воду в виде пара, то обнаружим, что 2 л водорода соединяются с 1 л кислорода, образуя 2 л пара, или 1 л хлора и 1 л водорода дают 2 л газообразной соляной кислоты, или при горении 2 л окиси углерода расходуется 1 л кислорода и получаются 2 л двуокиси углерода.

Можно привести десятки подобных примеров простых соотношений между объемами реагирующих газов. (Конечно, все измерения должны производиться при постоянной температуре и одном и том же давлении, скажем при давлении, равном атмосферному.).

Закон Авогадро.

Вскоре после того, как Гей-Люссак указал на то, что объемы вступающих в реакцию газов подчиняются простым соотношениям, итальянский ученый Амадео Авогадро высказал блестящую догадку (~ 1813 г.), что (при любых выбранных температуре и давлении) равные объемы различных газов содержат одинаковое число молекул, т. е. независимо от сорта газа в одном и том же сосуде содержится равное число молекул. Авогадро так убедительно аргументировал свои мысли, что если бы вы прочитали его записи, то сочли бы заключения, сделанные им, неопровержимыми. Данные современной физики (см. гл. 30) полностью подтверждают правоту ученого, и мы называем этот закон законом Авогадро.

Применим закон Авогадро к химической реакции, в которой 1 л хлора (N молекул) соединяется с 1 л водорода. Этот пример иллюстрируется фиг. 167.

Фиг. 167. Доказательство двухатомного состава молекул водорода, хлора и хлористого водорода.

Опираясь на закон Авогадро, а также на экспериментальные факты, мы приходим к заключению, что одна молекула хлористого водорода содержит половину молекулы водорода и половину молекулы хлора; иными словами, обе эти молекулы должны обладать способностью делиться пополам. Это значит, что молекула водорода может быть Н₂, Н₄ или Н₆, но не Н. Останавливаясь на самом простом предположении, будем считать, что она представляет собой Н₂. Это предположение мы могли бы подкрепить соображениями такого рода, которые мы рассматривали, говоря о метане, хотя до сих пор ни один чисто химический эксперимент не исключил полностью возможность того, что правильным ответом было бы Н₄ или Н₆. По тем же самым причинам мы считаем, что молекула газообразного хлора должна быть С1₂. Что же мы можем сказать, основываясь на аналогичных аргументах, о реакции, в которой получается двуокись углерода? Что говорит нам реакция образования воды? Вы можете удостовериться сами, что воду необходимо записывать Н₂О.

В любых химических реакциях, в которых исходными или конечными продуктами являются газы, мы снова и снова встречаемся с простыми соотношениями между их объемами — 1:1, 2:1, 3:2 и т. д. (при условии, что объемы измеряются при постоянных температуре и давлении). Связывая эти экспериментальные факты с законом Авогадро, мы все более убеждаемся в том, что сталкиваемся здесь с образованием или перестройкой молекул: одна молекула дает другую молекулу, из двух молекул получается одна или из трех две и т. д.

Атомные веса.

Таким образом, в результате точных измерений масс веществ, участвующих в химических реакциях, а также объемов реагирующих и образующихся газов в науку вошла замечательная атомная гипотеза, т. е. представление о том, что каждый элемент имеет однородные атомы с характерной для них массой и что молекулы — это стандартные, родственные группы атомов. Простота количественных соотношений, которые дала атомная теория, оказала неоценимую помощь развитию химии. Но для широкого количественного использования теории химикам не хватало данных о массах атомов различных элементов, точнее, об их относительных массах, выраженных в некоторой удобной шкале. Эти массы удалось измерить путем тщательного взвешивания веществ, образующих химические соединения.

Относительные массы атомов в шкале, где за единицу принимается масса атома водорода, называются атомными весами. Результаты взвешиваний показали, что для О и Н, входящих в состав воды, соблюдается соотношение 8:1; измерение объемов этих газов показало, что состав молекулы воды — Н₂О; таким образом, атомный вес кислорода должен быть равен 16. Соотношение 23:16:1 для Na, О и Н, входящих в состав гидроокиси натрия, показывает, что ее формула должна быть NaOH, а атомный вес натрия — 23.

К 1810 г. Дальтон исследовал около 20 элементов и приблизительно установил их атомные веса. С этого времени высокое экспериментальное искусство и тщательная логика исследования стали неотъемлемой чертой всех измерений атомных весов. Уже сто лет назад было изучено около трех четвертей из известных нам сейчас почти ста элементов, а их атомные веса измерены с достаточно хорошей точностью.

Если определить химическое соединение как вещество, содержащее составляющие его элементы в неизменных пропорциях, то мы не должны удивляться, узнав, что опыт действительно подтверждает постоянство содержания элементов в любом произвольно выбранном соединении! Итак, поистине удивительные и важные экспериментальные факты заключаются в следующем:

A) Существует бесчисленное количество веществ, каждое из которых обладает постоянным содержанием составляющих его элементов и определенными физическими[89] и химическими свойствами независимо от того, где оно было найдено или каким путем получено. (Если бы лишь немногие из веществ подчинялись этому правилу, то химия была бы совсем иной. Может быть, она оказалась бы и более простой, но, скорее всего, была бы перегружена изобилием разнообразных смесей.).

B) Элементы, входящие в различные соединения, находятся между собой в очень простых весовых соотношениях, указывая тем самым на то, что каждый атом одного и того же элемента имеет постоянную характерную массу независимо от того, в какой химической комбинации он находится[90]. Можно только удивляться, что все химические соединения построены по одинаковой схеме, причем каждый элемент обладает одним и тем же атомным весом во всех соединениях, куда он входит.

Откуда же химик берет уверенность, что при построении таблицы атомных весов он не опустил множитель ¹/₂, или 2, или 3? Если вода была бы НО, то кислород мог бы обладать атомным весом 8, а если гидроокись натрия была бы Na₂OH, то атомный вес натрия стал бы 12,5 (заметим, что сернокислый натрий и в самом деле имеет 2 атома натрия в своей молекуле Na₂SO₄). Если же гидроокись натрия оказалось бы Na(OH)₂, то атомный вес натрия был бы 46. В ряде случаев такие сомнения действительно возникают, но химики разработали хорошие способы разрешать их и находить правильный множитель. Пример с численными соотношениями между объемами газов позволяет принять нужное решение в случае кислорода и воды. Другое эмпирическое правило, установленное Дюлонгом и Пти, помогает определить атомный вес натрия. Это правило гласит, что для большинства элементов, находящихся в твердом состоянии[91],

АТОМНЫЙ ВЕС ∙ УДЕЛЬНАЯ ТЕПЛОЕМКОСТЬ ~= 6.

Удельная теплоемкость натрия близка к 0,3. Умножая это число на возможные значения атомного веса натрия, получаем.

0,3 х 12,5 = 3,7; 0,3 х 23 = 6,9; 0,3 х 46 = 14,

Т. е. правильным следует признать значение 23.

После создания периодической системы ошибочный выбор стало легко исключать на том основании, что вакантное место имеется только для правильного значения атомного веса. А в начале нынешнего века были созданы специальные приборы — масс-спектрографы (см. гл. 38), которые позволили непосредственно измерить одну за другой массы всех атомов. При подмешивании к исследуемому образцу атомов с известной массой, например водорода и кислорода, служащих в качестве калибровочных точек, масс-спектрограф позволяет получить однозначную шкалу для измерения атомных весов.

Зная атомный вес, мы можем рассчитать и молекулярный вес любого вещества, химическая формула которого нам известна. Молекулярный вес — это масса одной молекулы, выраженная в том же масштабе, что и атомные веса. (Не спутайте этот термин с молем, который относится к большому макроскопическому количеству вещества и которому можно дать следующее определение: «моль — это количество вещества, масса которого, выраженная в граммах, численно равна его молекулярному весу». В этой книге вы встретитесь и с киломолем, определение которого отличается только тем, что грамм заменяется килограммом.).

Если формула химического вещества нам не известна, но оно находится в газообразном состоянии, то его молекулярный вес (а из него и формулу) нетрудно найти экспериментально. Для этого нужно только измерить веса равных объемов неизвестного газа и, например, водорода, а затем с помощью закона Авогадро найти отношение масс молекул обоих газов. Поскольку мы знаем, что масса молекулы водорода Н₂ в нашей шкале, по определению, равна 2, то можем сразу узнать искомую массу молекулы, т. е. молекулярный вес вещества. Последний в свою очередь может помочь нам найти атомный вес какого-либо из составляющих его элементов[92]. Для инертных газов, таких, как гелий, не образующих химических соединений, измерение плотности газа — это единственный способ узнать молекулярный вес, который совпадает у них с атомным весом.

Нельзя забывать, что, помимо большой практической ценности использования атомных весов в количественном анализе и химическом синтезе, они сыграли исключительно важную роль в развитии химии. При создании периодической системы элементы первоначально располагались в ней строго по порядку возрастания их атомных весов. Измерения атомных весов выявили одну замечательную особенность: в шкале, где атомный вес водорода равен 1, большинство их оказалось целочисленными. На это свойство указал английский физик Уильям Проут меньше чем через десятилетие после того, как Дальтон выдвинул атомную теорию химии. По мнению Проута, это свойство говорило о том, что атомы каждого химического элемента, по-видимому, построены из одинаковых составных частей, а именно атомов водорода. Такое объяснение выглядело крайне привлекательным не только из-за присущего ученым стремления к простоте, но также и потому, что отвечало традициям древнегреческой философии. Подобная идея невольно напрашивается сама, если взглянуть на следующую таблицу:

Даже во времена Проута не было недостатка в примерах, которые делали эту гипотезу весьма правдоподобной[93]. Однако вскоре нашлись и противоречащие ей исключения: многократные измерения атомных весов С1 и Си дали значения соответственно 35,45 и 63,5. От гипотезы Проута пришлось отказаться. Блестящая идея, но… пришлось подождать около ста лет, пока она не получила неожиданное объяснение (см. гл. 38 и 40). Это объяснение оказалось совсем необычным. Оно пришло вместе с совершенно новыми взглядами на природу атома, которые позволили предсказать возможность овладения «атомной энергией».

Валентность.

Если нам известны атомные веса элементов, то дальнейший анализ покажет, в какой пропорции атомы входят в молекулы соединения. С помощью такого анализа нам удается узнать, что, например, молекула хлористого водорода содержит равное число атомов водорода и хлора, что в метане на каждые четыре водородных атома приходится один атом углерода, что газ ацетилен имеет равное число атомов водорода и углерода, а в хлористом алюминии атомов хлора в 3 раза больше, чем алюминия. Однако, установив пропорцию, мы еще не знаем числа атомов каждого элемента в молекуле. Скажем, хлористый водород мог бы быть НС1 или Н₂С1₂, или Н₃С1₃, метан — СН₄, С₂Н₈…, а ацетилен — СН, С₂Н₂… и т. д. Чтобы решить эту задачу, т. е. определить истинную формулу молекулы, необходимо определить ее молекулярный вес.

Если соединение представляет собой газ, то проще всего измерить его плотность и воспользоваться законом Авогадро. Например, пусть измерение плотности газа показало, что молекулярный вес газообразного хлористого водорода равен 36,4, таким образом, его формула должна быть НС1; молекулярный вес метана 16, т. е. его формула СН₄; молекулярный вес ацетилена 26, т. е. его формула С₂Н₂.

При растворении твердых веществ в жидкостях в их поведении проявляется нечто общее с газами. К примеру, они создают некоторое добавочное давление на тонкие пленки из некоторых материалов, так называемое «осмотическое давление», которое нетрудно измерить. Кроме того, они немного меняют точку кипения и точку замерзания жидкости. Величина каждого из этих эффектов пропорциональна числу молекул (или ионов) растворенного вещества, и измерение любого из них позволяет оценить молекулярный вес.

Зная формулу молекулы, мы можем по-новому описать образование химического соединения, воспользовавшись очень удобным понятием валентности. Возьмем простые молекулы, состоящие из двух атомов, НС1, NaCl, H₂, и вообразим, что каждый из атомов снабжен своеобразной связью, с помощью которой он может соединиться с соответствующей связью другого атома. Поэтому мы можем изобразить атомы в виде Н^-, С1^-, Na^-, а соединения — в виде Н-С1 и т. д. Однако нам известны и другие соединения: Н₂О, СаС1₂, СаО, которые показывают, что у атомов кислорода и кальция должно быть уже по две связи — О— (или О=)…

«Число таких связей» каждого атома мы называем валентностью. Водород, хлор, натрий, как и некоторые радикалы, например (ОН), обладают валентностью 1, они одновалентны. Кислород, кальций, а также радикал сульфат (SO₄) имеют валентность 2. Валентность алюминия 3 (хлористый алюминий — это А1С1₃). Формулы метана СН₄ и углекислого газа СО₂ показывают, что валентность углерода 4.

Это свойство углерода позволяет ему образовывать бесчисленное разнообразие соединений. Длинная цепочка радикалов — СН2—, изображенная в гл. 6, — лишь одна из тысяч типов таких цепочек, одно из многих миллионов его соединений. К ним мы еще вернемся, когда будем говорить об «органической» химии.

Некоторые из атомов, по-видимому, проявляют различную валентность. Медь имеет валентность 2 в сульфате меди CuSO₄ и в одном из окисных соединений — СиО. Одновременно она способна образовывать закись Си₂О, ведя себя как одновалентный элемент. Точно так же валентность азота может быть 3 (вспомним газ аммиак NH₃) или 5, но иногда 1 и даже 6.

Валентность — характерное для нормального поведения элемента свойство, которое помогает запомнить и объяснить химические превращения, а также изобразить структурные формулы сложных молекул. Здесь мы дали только общепринятое и грубое представление о валентности. Современные химики различают несколько видов валентности, точнее, типов связей между атомами. Они объясняют эти связи электрическими силами, которые удерживают положительные и отрицательные ионы друг подле друга. В некоторых случаях такая связь возникает из-за того, что электроном совместно владеют два атома.

ПЕРИОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ХИМИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ.

С развитием химии, сопровождавшимся исследованием свойств элементов и измерением их атомных весов, а также свойств широких классов соединений, возникла потребность в некоторой общей упорядочивающей схеме. Создавшаяся ситуация чем-то напоминала ту, в которой оказывается юный коллекционер почтовых марок, когда он сталкивается с изобилием марок какого-либо государства. Если он догадается расположить их отдельными рядами друг под другом, так чтобы каждый ряд отвечал одинаковому году выпуска, а столбец — стоимости марки, то легко подметит некоторые общие для всех выпусков закономерности, скажем, что «все почтовые марки достоинством в 1 цент — зеленого цвета». Возможно, он не удержался бы от соблазна сделать и другие, иногда слишком поспешные выводы. Однако польза выбранной им системы заключается только в том, что она устанавливает определенный порядок. Химические элементы ставят перед нами гораздо более трудную, но и более важную задачу. Выстраивая их в порядке возрастания атомных весов, Менделеев (~ 1869 г.) и другие ученые увидели, что некоторые основные химические свойства элементов регулярно повторяются наподобие того, как каждый новый выпуск почтовых марок начинается с зеленой марки стоимостью в 1 цент. Однако химические свойства не столь очевидны, как цвета почтовых марок. Поэтому, коль скоро вы не изучали химию, это поразительное повторяющееся сходство, возможно, и не произведет на вас должного впечатления. Мы не будем пытаться вовлечь вас в дискуссию по вопросам химии, а просто расскажем о некоторых выводах, следующих из периодической системы, и приведем примеры действенности ее предсказаний. (См. таблицу, которая помещена двумя страницами ниже.).

Начнем с самых легких элементов: водорода (1), гелия (4), лития, бериллия, бора, углерода и т. д. в порядке возрастания атомного веса. Мы увидим перед собой последовательность абсолютно не схожих друг с другом легких элементов. Оставив в стороне простейшие из них — водород и гелий, — перейдем к ряду, содержащему восемь элементов. Элементы, идущие за ними, повторяют многие свойства этого ряда, поэтому следующие восемь элементов мы запишем во втором ряду, располагая его ниже первого, в результате чего получим столбцы «семейств» или групп элементов со сходными свойствами. Будем продолжать в том же духе, переходя ко все более тяжелым атомам и не всегда заканчивая ряд на восьмом элементе, а иногда удлиняя его, если это диктуется химическими свойствами[94].

После того как элементы разместятся в таблице, мы заметим, что «щелочные металлы» — литий, натрий, калий, рубидий, цезий и недавно открытый франций — окажутся в одном столбце. Все они мягкие, химически активные металлы, которые с жадностью вступают в реакцию с водой, вытесняя из нее водород и образуя едкие щелочные, мыльные на ощупь растворы. Атомы каждого из этих металлов одновалентны, т. е. имеют всего одну химическую связь и потому соединяются с одновалентным хлором, образуя хлориды, например хлористый натрий. С физической точки зрения эти металлы характерны тем, что позволяют получать хорошие светочувствительные поверхности, так как свет легко вырывает электроны из их атомов, и применяются для изготовления фотоэлементов (электронных глаз). В настоящее время мы считаем, что их химические и физические свойства тесно связаны между собой: электрон, который легко выбивается из атома под действием света, так же легко заимствуется другим атомом, например атомом хлора.

В середине первого столбца появляется вторая подгруппа, состоящая из менее активных металлов, которые перемежаются с металлами первой подгруппы. Здесь мы встречаемся с медью и такими «благородными» металлами, как серебро и золото. Второй столбец содержит уже металлы с валентностью 2, к которым относятся бериллий, кальций, барий, стронций и радий. Сульфаты этих металлов не растворимы в воде (например, CaSO₄ — обожженный гипс, или алебастр, который используется также в качестве мела для классных досок, и BaSO₄, хорошо поглощающий рентгеновские лучи и применяемый в медицине при просвечивании желудочного тракта). Здесь присутствует и вторая подгруппа — цинк, кадмий, ртуть (сульфаты которых уже растворимы), прежнему обладающая валентностью 2.

В правой части таблицы тоже имеется столбец с очень активными элементами, на этот раз уже неметаллами — фтором, хлором, бромом и йодом. Все они соединяются с водородом, образуя кислоты, все оставляют ожоги на коже, хотя в малых дозах хлор и йод могут быть полезны, так как обладают бактерицидным действием. Плотность и агрессивность этих элементов меняются вдоль столбца по мере возрастания атомного веса. Фтор представляет собой легкий желтоватый едкий газ, этакий необузданный злодей, который действует без разбора почти на любые вещества — от платины до человеческого тела. Хлор — это тяжелый зеленый ядовитый газ, который способен разрушить ваши гортань и легкие. Бром, самый яркий по окраске член семейства, — едкая красно-коричневая жидкость, легко превращающаяся в пары коричневого цвета, всегда готовый обжечь вам кожу, если вы посмеете к нему прикоснуться. И, наконец, йод — наиболее спокойный из них, который при комнатной температуре образует темные кристаллы, но легко возгоняется при нагревании, образуя фиолетовые пары. Каждый из этих элементов соединяется с калием, натрием, кальцием и любым другим металлом, образуя соли.

Элементы в столбцах, расположенных ближе к середине таблицы, не выказывают столь же очевидных для не химика общих свойств, но искушенный специалист тоже различит там строгую упорядоченность. Средний столбец начинается, как и другие, похожими друг на друга элементами — углеродом и кремнием. Оба эти элемента — неметаллы, их валентность равна 4, они образуют с водородом сходные соединения СН₄ и SiH₄, а с двухвалентным кислородом СО₂ и SiO₂ (песок). Но затем семейство как будто разделяется на две родственные линии — титан, цирконий, гафний в одной, и германий, олово, свинец в другой. Обе ветви в своих последующих поколениях все более приобретают металлические свойства.

Инертные газы — гелий, неон, аргон — даже не были известны в период создания периодической системы. Когда спустя примерно тридцать лет они были открыты, для них пришлось учредить отдельный столбец. Но, получив «прописку», они образовали специфическую группу, целое семейство химических тунеядцев — полностью инертных, не способных образовывать какие-либо соединения. Сейчас их принято называть «благородными газами». В отличие от водорода, кислорода и других газов, которые существуют в форме Н₂, О₂ и т. д., их атомы не способны даже соединяться в молекулы и проводят свою жизнь в одиночестве. Последнее утверждение на первый взгляд может показаться просто выдумкой. В самом деле, если эти газы не образуют химических соединений, если они позволяют себе игнорировать химию, то можно ли вообще установить их атомный вес и доказать, что он совпадает с молекулярным? И все же мы уверены, что это так.

Вы уже видели в гл. 30, как измерения удельной теплоемкости, опиравшиеся на надежную физическую теорию, позволяют твердо установить, что молекулы благородных газов содержат по одному атому.

Периодическая система химических элементов удобна не только для запоминания их свойств или выбора последовательности изучения, но обладает всеми достоинствами, присущими самым замечательным теориям и концепциям. Она позволила предсказать свойства еще не открытых элементов, для которых остались пустые клетки. Одновременно периодическая система ставит перед нами ряд новых проблем — от причин нарушения расположения элементов по возрастанию атомного веса[95] до кардинальных вопросов о структуре атомов, знание которой позволило бы объяснить саму периодичность свойств элементов.

Часть периодической системы элементов приведена на фиг. 168. Полную систему с более подробными объяснениями и поучительными описаниями поисков отсутствующих элементов, свойства которых она предсказывала и которые в конце концов заполнили ее пустующие клетки, вы найдете в учебниках химии.

Фиг. 168. Периодическая система элементов Менделеева.

АТОМНЫЕ НОМЕРА.

Атомные номера в периодической системе химических элементов.

Первоначально система химических элементов была составлена по возрастанию атомного веса. После того как такое расположение было признано удачным, казалось естественным присвоить каждому элементу порядковый номер, аналогично тому как поступает филателист, нумеруя по порядку свои марки[96].

С химической точки зрения эти номера очень удобны, и мы запишем их над каждым элементом нашей системы. (Из книг по химии вы узнаете, что эти номера имеют гораздо более глубокое значение: они соответствуют числу электронов в атоме. Однако это объяснение дается уже атомной физикой, и мы будем рассказывать о нем в последующих главах.) Таким образом, мы приписываем водороду номер 1, гелию номер 2… и так вплоть до элемента номер 92 — урана.

Длительное время мы не знали, считать ли уран последним элементом периодической системы или за ним существуют другие элементы. Сейчас мы уже научились получать элементы с номерами 93, 94 и т. д., бомбардируя атомными частицами тяжелые атомы. Возникла новая, «ядерная» химия, перспективы которой поразительны. Мы можем заглянуть еще дальше и предугадать свойства атомов, гораздо более тяжелых, чем любые известные нам сейчас. Как и атомы с номерами от 84 до 102, они будут нестабильны (радиоактивны), причем должны распадаться настолько быстро, что не стоит удивляться, если они вообще не существуют в природе[97].

Современные представления об атомном номере.

В наши дни мы рассматриваем атомный номер как основную характеристику химического элемента. Мы знаем, что он представляет собой величину положительного электрического заряда атомного ядра, измеренную в единицах заряда электрона. Таким образом, атомный номер говорит нам, сколько электронов содержится в электрически нейтральном атоме. Распределение и энергия связи этих электронов зависят от заряда ядра, и поскольку поведение элемента определяется числом внешних электронов, которыми его атомы обмениваются в химических реакциях, то можно сказать, что химические свойства элемента зависят от заряда ядра, т. е. атомного номера. Внутренние электроны атома, крепко удерживаемые его ядром, почти не принимают участия в химических реакциях, за исключением разве лишь самых легких атомов, в которых число электронов невелико. Поэтому сближение атомов, происходящее при образовании химического соединения, не может создать силы, достаточные для того, чтобы заставить внутренние электроны заметно изменить свои состояния. Однако внутренние электроны ответственны за испускание и поглощение рентгеновских лучей. Если вырвать из атома внутренний электрон, например бомбардируя его другими атомными частицами, то как только соседний электрон займет его место, атом испустит рентгеновский квант, длина волны которого характеризует заряд атомного ядра. Таким образом, изучая рентгеновские лучи, испускаемые мишенями, изготовленными из различных элементов, мы можем определить атомный номер этих элементов. Поступая так, мы узнаем положение элемента в периодической системе, не прибегая к измерению атомных весов, и поэтому можем надеяться, что не обойдем ни одного из них. Для этого способа безразлично, находятся ли элементы в свободном состоянии или в соединении с другими. Он с абсолютной достоверностью дает нам атомный номер, т. е. заряд атомного ядра, свой для каждого элемента.

Атомы радиоактивных элементов неустойчивы, и хотя они обладают всеми свойствами, присущими отдельному элементу, — определенными химическим поведением, атомным номером и не обнаруживают никаких признаков делиться на еще более элементарные составные части, эти свойства сохраняются у них не вечно. Один за другим атомы радиоактивного элемента внезапно превращаются в атомы другого элемента. Спустя некоторое время количество первоначального (родительского) элемента сокращается за счет появления соответствующего количества другого (дочернего) элемента. Последний обладает всеми свойствами самостоятельного химического элемента (поэтому в свою очередь тоже может быть радиоактивным) и занимает соответствующее место в другом столбце периодической системы. В момент превращения атом выбрасывает мельчайшие осколки — альфа- и бета-частицы (а часто и гамма-лучи), обладающие колоссальной энергией. Излучение, или «радиация», таких частиц нестабильными атомами было первым обратившим на себя внимание свойством этих элементов, поэтому процесс самопроизвольного распада атомов и был назван радиоактивностью (см. гл. 39 и 43).

Альфа- и бета-частицы, вылетающие из атомного ядра, уносят электрический заряд, поэтому меняют заряд ядра, а следовательно, и атомный номер элемента, сдвигая его в другое место периодической системы. (С химической точки зрения причина, которая заставляет нас отнести новый атом к другому столбцу таблицы химических элементов, заключается в том, что с изменением заряда ядра меняется и его атомный номер, т. е. число и конфигурация атомных электронов, а следовательно, и химические свойства.).

Открытие радиоактивности могло бы заставить нас пересмотреть прежнее определение элемента как раз и навсегда неизменной простой субстанции, но нас спасает атомный номер. Атомный номер присущ только элементу; исследование любого соединения даст лишь атомные номера составляющих его элементов.

До начала нынешнего века казалось, что атомный вес столь же хорошо определяет химический элемент, как и атомный номер. Тщательный количественный химический анализ давал всегда одно и то же значение атомного веса элемента. Это казалось настолько естественным, что принималось как само собой разумеющееся. Затем оказалось, что атомный вес свинца, извлеченного из различных руд, немного различается. Могли ли существовать два сорта атомов свинца — легкие и тяжелые? Последующее изучение с помощью масс-спектрографов показало, что большинство элементов представляет собой смесь атомов с немного различающимися атомными весами. Атомные веса, полученные в результате химических измерений, являются средними значениями нескольких различных атомных весов, сложенных в пропорции, которая в окружающем нас мире, по-видимому, всегда остается неизменной. Что же представляют собой настоящие атомные веса? В какой степени их новые измерения спасают дискредитированную гипотезу Проута? Это мы увидим в последующих главах. Здесь же мы расскажем еще об одной причине, которая дает основания считать, что атомный номер лучше характеризует свойства элементов, чем атомный вес.

ЭЛЕКТРОЛИЗ.

Электрохимия.

Электрический ток легко проходит через водные растворы кислот, щелочей и солей, что говорит о существовании в таких растворах носителей тока. Как вы уже, наверно, догадались, этими носителями являются ионы, что по-древнегречески означает «несущий». В большинстве водных растворов даже небольшое напряжение без всякого труда и задержки вызывает электрический ток, поэтому можно думать, что ионы присутствуют во всем растворе и под действием приложенного электрического поля способны переносить заряды, создавая электрический ток. Мы знаем, что и в некоторых твердых кристаллах «+»- и «—»-заряды тоже сосредоточены на ионах, например кристалл хлористого натрия представляет собой кубическую решетку ионов Na⁺ и С1^-. Атомы натрия и хлора обменялись электроном и превратились в ионы, притяжение которых и обеспечивает устойчивость кристалла[98].

Будем последовательно пропускать электрический ток через несколько ванн с растворами, погрузив туда металлические проводники (электроды). В раствор сернокислой меди CuSO₄ опустим медные электроды, в ванну с водой (+ кислота) — некорродирующие угольные или платиновые электроды, в ванну с соляным раствором — электроды специальной конструкции, позволяющие улавливать газообразные продукты и предотвращать их химическое взаимодействие с водой. По мере прохождения тока на каждом электроде выделяется некоторое количество вещества. Если пропускать ток вдвое дольше или удвоить силу тока, то количество полученного продукта тоже удвоится. Таким образом, масса вещества, выделившегося на каждом электроде, прямо пропорциональна произведению ток-время, или электрическому заряду, который прошел через ванну. Но масса каждого продукта определяет число выделившихся на электроде атомов, т. е.

ЧИСЛО АТОМОВ ~ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЗАРЯД, ПРОШЕДШИЙ ЧЕРЕЗ РАСТВОР,

Или.

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЗАРЯД ~ ЧИСЛО АТОМОВ.

Последнее утверждение означает, что существуют элементарные носители электрического тока — атомы или группы атомов, несущие некоторый постоянный заряд, так сказать «атомы» электричества верхом на атомах материи.

Далее, массы продуктов, появившихся на различных электродах под действием одинакового заряда, прошедшего через растворы, находятся в весьма многозначительных соотношениях. Так, если под действием электрического тока выделился 1 кг водорода, то тот же самый ток за то же самое время дает 23 кг натрия или 35,4 кг хлора или 108 кг серебра. Эти массы пропорциональны атомным весам продуктов. Следовательно, все они содержат одинаковое число атомов. Разделив массу продуктов на число атомов, мы узнаем массу отдельного атома, переносящего в каждом случае тот же самый заряд. При этом подразумевается, что ионы — это отдельные атомы, которые всегда несут равный электрический заряд, одинаковый для каждого атома элемента[99]. Мы используем такое представление, обозначая ионы знаками «+» и «—», соответствующими одному единичному электрическому заряду ((который, как мы теперь знаем, равен заряду электрона), т. е.

Н⁺ Na⁺ С1^- Ag⁺.

Однако, когда при электролизе воды выделяется 1 кг водорода, то одновременно получается 8, а не 16 кг кислорода, а в ванне с раствором сернокислой меди выделяется только 31,8 кг меди (с атомным весом 63,6). Это говорит о том, что либо тот же самый заряд переносится половинками атомов кислорода и меди, либо целые атомы этих элементов несут двойной заряд. Безусловно, мы должны выбрать вторую возможность. При этом ион меди приходится обозначать Си⁺⁺. Для того чтобы пропустить через раствор одно и то же количество электричества, понадобится вдвое меньше таких ионов, чем, скажем, ионов водорода. (Мы пока подождем говорить об ионе О⁺⁺. Кислород получается при электролизе как вторичный продукт, и настоящими носителями являются не ионы кислорода.) Заметим, что кислород и медь имеют валентность 2.

Возможно, что все ионы атомов с валентностью 2 несут двойной заряд. Измерение выхода кальция и цинка при электролизе растворов их солей подтверждает это предположение. Исследуем также алюминий, валентность которого 3, а атомный вес 27. Мы сможем убедиться, что тот ТОК∙ВРЕМЯ, который необходим для получения 1 кг водорода, даст не 27, а только 9 кг алюминия. Таким образом, ион алюминия — это А1⁺⁺⁺.

Некоторые ионы составлены из целой группы атомов. Вода, например, расщепляется на ионы Н⁺ и ОН^-, каустическая сода — на ионы Na⁺ и ОН^-, серная кислота — на Н⁺, Н⁺ и SO₄^-. Чистая вода бедна ионами, большая ее часть существует в виде молекул Н₂О или составленных из этих молекул групп. Поэтому, чтобы облегчить электролиз воды, нужно обогатить ее ионами, например, добавляя туда H₂SO₄. Это значительно увеличивает содержание ионов Н⁺ и дает также много ионов SO₄^-. Когда ионы SO₄^- подходят к электроду, они отдают ему свои два отрицательных заряда и одновременно взаимодействуют с окружающими молекулами воды, образуя кислород и H₂SO₄, которая снова расщепляется на ионы[100]. То есть.

H₂SO₄ —> H⁺+ H⁺+ SO₄^-,

SO₄^- —> SO₄ + 2 заряда^-,

H⁺+ H⁺ —> H₂ + 2 заряда⁺,

SO₄ + H₂O —> O + H₂SO₄,

H₂SO₄ —> H⁺ + H⁺ + SO₄^- и т. д.

Таким образом, кислота не расходуется, и по окончании длительного электролиза ее остается столько же, сколько было вначале, но количество воды уменьшается за счет появления водорода и кислорода.

Электролиз и ионы.

При электролизе раствора сернокислой меди ионы Gu⁺⁺ отдают отрицательному электроду свои заряды и осаждаются на нем (независимо от того, из чего он сделан), превращаясь в незаряженные атомы. Ионы SO₄^- идут к другому электроду и, если он изготовлен из меди, то взаимодействуют с ним, образуя сульфат меди. Таким образом, суммарный эффект состоит в том, что чистая медь просто-напросто переносится с одного электрода на другой, без какой-либо убыли сульфата меди. В результате один электрод омедняется, а с другого медь постепенно переходит в раствор.

Фиг. 169. Ионы, из которых составлены кристаллы поваренной соли, при растворении соли переходят в раствор.

_{Если к раствору приложено электрическое поле, то эти ионы становятся носителями электрического тока. (Изображение кристалла соли взято из статьи П. Р. Роуленда, опубликованной в Science News, № 15, март 1950 г.).}

Итак, мы узнали, что растворы кислот, солей и т, и, содержат ионы, например,

Когда к таким растворам подводится постоянное напряжение, то создается электрическое поле, заставляющее ионы двигаться через раствор. Ионы с зарядом «+» движутся в обычном для электрического тока направлении (от «+» к «—»). Ионы с зарядом «—» перемещаются в обратном направлении. Перенос электрического тока осуществляется обоими типами зарядов. Если хотите, движение этих зарядов и есть электрический ток. Увлекаемые электрическим полем ионы дрейфуют в противоположных направлениях (чаще всего с различной скоростью), одновременно участвуя в хаотическом движении молекул воды. (Вблизи электрода электрическое поле очищает раствор от ионов одного знака, и ионы другого знака вынуждены спешить, чтобы самим осуществить весь электрический ток.) Поскольку каждый из ионов обязательно достигает своего электрода, то в конце концов его заряд нейтрализуется (фактически ион теряет лишние или приобретает недостающие электроны). Заряд уходит дальше по электрической цепи, а образовавшиеся незаряженные атомы вступают в контакт с водой и металлическим электродом и ведут себя так, как им велит их химическая природа. Например, ионы меди (которые в растворе имеют голубой цвет), попадая на электрод, захватывают два электрона и превращаются в два атома красной меди, прочно пристающие к электроду. В отличие от них ионы натрия, становясь нейтральными атомами металлического натрия, взаимодействуют с водой, вытесняя из нее водород и образуя щелочь едкий натр.

Законы Фарадея.

Большей части наших сегодняшних представлений об ионах и электролизе мы обязаны Майклу Фарадею, который получил их практически из ничего, на самой заре экспериментов с электрическими токами. В серии замечательных опытов, основанных на точном предвидении, он изучил явления, происходящие при электролизе (которому он и дал это название), и свел все их разнообразие к двум простым законам, впоследствии заслуженно получившим его имя. Открытые им законы (~ 1833 г.) можно сформулировать следующим образом:

I. Независимо от состава раствора и материала электродов масса вещества, образованного на электродах, прямо пропорциональна произведению ток время, или количеству электричества.

II. При одинаковом количестве электричества масса вещества, полученного на различных электродах, пропорциональна.

ХИМИЧЕСКОМУ ЭКВИВАЛЕНТУ ВЕЩЕСТВА, т. е.~ АТОМНЫЙ ВЕС / ВАЛЕНТНОСТЬ.

Ионы в растворе.

Имеются убедительные свидетельства того, что участвующие в электролизе ионы возникают в растворе сразу, и растворенные молекулы не ждут, пока их разобьет на части электрическое поле, которое мы прикладываем к раствору, чтобы пошел электрический ток. Это доказывается следующими наблюдениями:

1) Чтобы начался электролиз, достаточно лишь небольшого постоянного напряжения. (Некоторое дополнительное начальное напряжение связано с эффектом обратного тока, который создается продуктами электролиза, образующими мельчайшие источники электрического тока около электродов. При электролизе раствора сернокислой меди с медными электродами такого эффекта не обнаруживается, и ток следует закону Ома, однако если электроды изготовлены из инертного материала, например платины, то эффект существует. Он проявляется также и при электролизе воды. См. опыты 17 и 18 в гл. 32.)

2) Когда мы пытаемся измерить молекулярный вес растворенной соли (по ее «осмотическому давлению» или изменению точки замерзания раствора), мы замечаем, что растворенных частиц стало почти вдвое больше по сравнению с тем, чего можно было бы ожидать, если бы молекулы оставались целыми. Это говорит о том, что они расщепились на ионы. С другой стороны, для растворов, которые не проводят электрического тока, например растворов сахара, молекулярный вес растворенного вещества получается нормальным, потому что оно не образует ионов.

3) Такое утверждение хорошо согласуется с известными химическими свойствами вещества. Выпадение твердого осадка или образование газа, пузырьками выходящего наружу, как мы себе представляем, происходит в результате встречи ионов противоположного знака, которые нейтрализуют друг друга и соединяются с образованием продукта, уходящего из раствора. Ионы — это активные посредники большинства химических реакций, происходящих в растворах.

Число Фарадея и отношение е/М для ионов.

Измерения показывают, что для получения 1,008 кг водорода необходимо 96 500 000 кулон электричества. Тот же самый заряд дают 35,4 кг хлора, (16,00/2) кг кислорода или (63,6/2) кг меди. (Количество электричества, необходимое для получения одного химического эквивалента вещества, выраженное в граммах, мы называем числом Фарадея или сокращенно «фарадеем», а если масса вещества выражена в килограммах, то «килофарадеем».).

Рассчитаем отношение заряд/масса для одного иона водорода (протона), предполагая, что все они одинаковы:

Е/М = 96 500 000/1,008 = 95 700 000 кулон/кг.

Отношение заряда к массе для иона меди равно.

3 034 000 кулон/кг.

(Обратной величиной: 0,000 000 329 кг меди/кулон мы уже пользовались в гл. 32, когда давали определение ампера.).

Ионы, электроны и периодическая система химических элементов.

Забегая вперед в область физики, занимающейся моделями атома, набросаем здесь схему простой теории атома. Мы представляем атомы в виде облака электронов, окружающего центральное ядро, с которым внутренние электроны очень сильно, а внешние более слабо связаны электрическими силами. Атомы элементов первого столбца периодической системы (литий, натрий и т. д.) имеют один слабо связанный электрон, который с легкостью переходит к другим атомам. Этот электрон бóльшую часть времени проводит вне компактной группы внутренних электронов, сконцентрированных ближе к ядру. Именно такая компактная группа окружает ядро атомов элементов, принадлежащих нулевому столбцу. Там нет электронов, которые можно легко вырвать из атома, а следовательно, нет и способности образовывать ионы, нет и химических соединений. Элементы первого столбца охотно отдают свой единственный внешний электрон, и их атомы участвуют в химических реакциях в виде однократно заряженных ионов. Если эти элементы находятся в твердом состоянии и к ним прикладывается электрическое поле, то такие электроны практически беспрепятственно переходят от атома к атому, создавая электрический ток. Поэтому можно ожидать, что элементы первой группы будут хорошими проводниками. И действительно, все элементы первого столбца — металлы, очень хорошие проводники электричества.

Атомы элементов второго столбца имеют по два внешних электрона, не входящих во внутреннюю стабильную группу, теряя которые, они становятся ионами ⁺⁺. Эти элементы также являются металлами и хорошо проводят электрический ток.

Теперь напрашивается новое объяснение столбцов периодической системы. Номер столбца отвечает валентности, т. е. числу слабо связанных внешних электронов. Посмотрев на алюминий, находящийся в третьем столбце таблицы и имеющий ионы А1₊₊₊, мы можем ожидать, что он имеет три внешних электрона.

Обращаясь к седьмому столбцу, мы не будем говорить, что входящие в него элементы обладают семью слабосвязанными внешними электронами, а скажем, что здесь имеется почти замкнутая инертная группа, похожая на те, которые окружают атомы элементов нулевого столбца. И в самом деле, характер электронного облака атомов элементов седьмого столбца таков, что требуется еще только один электрон, чтобы образовалась замкнутая группа. Поэтому не нужно удивляться, что фтор, хлор и другие элементы этого семейства с готовностью отбирают электрон (у натрия, воды и почти у всех других веществ), образуя отрицательные ионы. Откуда мы знаем, что для образования замкнутой группы достаточно одного добавочного электрона? Чтобы понять это, взгляните на нулевой столбец, который находится в преддверии седьмого столбца.

Все эти причины заставляют нас рассматривать валентность как меру сродства атомов к электронам. Например, электрон атома натрия захватывается хлором, и образуется ионная молекула Na⁺—Cl^-. Оба эти иона, если забыть об их избыточном электрическом заряде, очень похожи на атом инертного газа. Именно поэтому мы и наблюдаем сильное притяжение, придающее кристаллам прочность, сильные ионные свойства, но не обнаруживаем тенденции к повторному обмену электронами, который мог бы дать новые химические свойства.

Задача. Что, по вашему мнению, происходит с атомами кальция и хлора при соединении их в хлористый кальций, если основываться на представлении об образовании устойчивых электронных групп при обмене атомов электронами?

Притяжение между ионами — это не единственная форма химической связи. В некоторых соединениях такая связь осуществляется за счет того, что несколько атомов совместно владеют одним или более электронами, находящимися между ними. Чтобы объяснить происхождение валентности такого типа и предсказать саму ее возможность, необходимо привлечь современную квантовую теорию, или «волновую механику».

«Физическая» связь между отдельными молекулами тоже возникает благодаря смещению электронов одной молекулы под действием электрического поля другой, в результате чего заряды молекул «раздвигаются» [+… —] и молекулы поляризуются. Затем они поворачиваются и сближаются таким образом, что заряд одной молекулы оказывается вблизи заряда противоположного знака другой молекулы, а возникающие при этом силы притяжения обеспечивают устойчивость связи. Механизм такого взаимодействия также описывается квантовой теорией.

Молекулы воды.

При растворении солей в воде ионы, по-видимому, образуются очень охотно, но нет даже намека на то, что они возникают в таких растворителях, как, скажем, бензол. Мы считаем, что сама молекула воды, которая может образовать ионы Н⁺ и ОН^-, электрически поляризована и имеет на одном конце заряд «-+-», а на другом «—».

Известно, что водяные пары легче конденсируются на электрически заряженных частицах. Особенно легко капли тумана образуются на ионах газов (см. гл. 39, где описано, как это свойство используется в камерах Вильсона для исследования атомных частиц). Известно также, что если поместить воду между пластинами электрического конденсатора, то его емкость, т. е. способность накапливать электрический заряд от присоединенной к нему батареи, увеличивается в 81 раз. Это происходит потому, что поляризованные молекулы воды поворачиваются в электрическом поле, частично компенсируя его своим собственным полем. При растворении соли в воде молекулы последней помогают образованию ионов, скапливаясь вокруг них таким образом, что к иону направлены заряды противоположного ему знака. Каждый ион собирает вокруг себя целую гроздь молекул воды, которая тащится за ионом, сильно затрудняя его движение. Вот почему ионы так медленно перемещаются в электрическом поле.

Как увидеть движение ионов.

Ионы, так же как и атомы, столь малы, что разглядеть их невозможно, но мы можем увидеть, как они движутся в электрическом поле, по изменению окраски раствора. Поместим немного голубых ионов Си⁺⁺ или желтых хромат-ионов в раствор с бесцветными ионами (чтобы приостановить перемешивание из-за конвекции, добавим немного желатина, который, однако, не мешает электрическому току и движению ионов). Когда мы наложим электрическое поле, то окрашенное пятно начинает очень медленно перемещаться — со скоростью около миллиметра в минуту. Здесь мы воочию наблюдаем движение настоящих ионов — сгустков заряженных атомов.

ОРГАНИЧЕСКАЯ ХИМИЯ.

Химия углерода. Органические соединения.

Углерод, обладающий валентностью 4, обнаруживает замечательную способность соединяться с элементами, расположенными по обе стороны среднего столбца периодической системы, где он помещается, и даже со своими собственными братьями — другими атомами углерода. Он соединяется с водородом, образуя метан СН₄, с хлором, образуя СС1₄, а также с кислородом, азотом, серой и т. д. Легко образуются целые цепочки углеродных атомов, присоединивших водород. Так, из метана получаются этан (газ)… октан (жидкость, входящая в состав бензина)… и еще более длинные цепочки, отвечающие твердым веществам (например, парафин).

В частности, эти формулы позволяют понять, почему мы часто встречаемся с химическими соединениями, обладающими одинаковым количеством атомов С, Н и т. д., но различными химическими свойствами. Они даже дают нам способы различить, с какой разновидностью мы имеем дело в данном образце. Во многих органических веществах водород, входящий в состав углеводородной цепочки, может замещаться хлором. Возможно и образование боковой цепочки при замещении одного атома водорода атомом углерода, входящим в эту цепочку. Кроме того, соседние углеродные атомы могут соединяться, используя не одну, а две или три связи, как, например, в ацетилене H — C C — H.

Если в состав соединения входит кислород, то, обладая валентностью 2, он забирает у углерода две связи. Атом кислорода также может встать в цепочку между углеродом и водородом. Так, при замене в этане крайнего атома водорода радикалом — О — Н получается спирт СН₃СН₂ОН, формула которого напоминает щелочь, но который не обладает щелочными свойствами.

Если вместо двух атомов водорода ввести в спирт еще один атом кислорода, удерживаемый двумя связями, то мы получим уксусную кислоту с характерным для всех органических кислот кислотным остатком СООН.

Атомам углерода удобно соединиться в кольцо, которое обычно содержит шесть атомов в виде симметричного шестиугольника, как, например, в бензоле С₆Н₆.

(На фиг. 172, а каждый атом углерода одной связью соединен с атомом водорода и две связи использует для того, чтобы образовать кольцо. Если вам покажется, что четвертая связь осталась без дела, вы можете либо употребить ее, чередуя в кольце одиночные и двойные связи, либо считать это дефектом плоской модели.) Существование углеродного кольца, содержащего 6 атомов, убедительно подтверждается опытами по замещению водорода в бензоле другими атомами. Если вы поверите в то, что структурная формула бензола действительно представляет собой кольцо, то это поможет вам ответить на вопросы, подобные следующим.

Задача. Обрабатывая бензол хлором, можно получить хлорбензол С₆Н₅С1, бензол С₆Н₄С1₂ и трихлорбензол. Можно выделить эти три различных вещества и выбрать из них то, анализ которого показывает, что оно является бензолом. В этом соединении 2 атома водорода замещены хлором, однако его химические и физические свойства существенно зависят от расположения атомов хлора в кольце. На фиг. 172, б показаны два различных расположения, одно из которых симметрично, а другое существенно асимметрично. В действительности известно несколько различных дихлорбензолов. Один из них — парадихлорбензол продается как средство против моли. А) Сколько, по вашему мнению, существует различных дихлорбензолов? Б) Химики могут поверить вашему предсказанию и даже установить, который из возможных дихлорбензолов имеется в чистом образце, поступив следующим образом. Сначала обработают его хлором, чтобы превратить в трихлорбензол. Затем узнают, сколько различных трихлорбензолов имеется в конечном продукте. Нарисуйте структурные формулы для каждого из дихлорбензолов, которые вы нашли, решая задачу а). Укажите, сколько различных трихлорбензолов вы ожидаете получить при добавлении к каждому из полученных дихлорбензолов по одному атому хлора.

Органическая и неорганическая химия.

Многие из описываемых соединений углерода найдены в живой материи, а наиболее сложные из них были получены только из растений и организмов животных. Поэтому раздел химии, который изучает эти вещества, был назван органической химией. Сейчас мы знаем, что углерод способен образовать бесчисленное множество соединений, многие из которых оказались очень полезными, и за всеми ними мы сохраняем это название. Органическая химия не менее важна и разнообразна, чем химия других соединений, которую мы называем неорганической.

Современная органическая химия далеко ушла от таких простых веществ, как спирт, уксусная кислота и т. п. Она занимается анализом и синтезом, раскрывает формулы соединений и создает их в лаборатории. Она дает нам растворители, красители, мыло, пластмассы, лекарства и другие полезные вещества с молекулярным весом, достигающим сотен и даже тысяч. Ученые видят успехи органической химии не только в обилии полученных ею соединений, но также в блестящем подтверждении логики ее аргументации, которая скрывается за проделанной работой. Сейчас органическая химия занимается белками пищи и живой материи с молекулярным весом, доходящим до 35 000. Состав этих белков уже известен, так что можно написать для них общую формулу, но работа по разгадке архитектуры их структурных формул еще продолжается.

Часть V. АТОМЫ И ЯДРА.

«Атомная физика», физика нашего столетия, — сложная наука. Здесь знания накапливаются сразу в нескольких различных направлениях исследований, каждое из которых критикует другие и помогает им. Не существует поэтому логической последовательности глав А, Б, В… которая бы просто и последовательно изложила историю развития знания или позволила обо всем сразу получить ясное представление. Глава В требует предварительного разъяснения в главе А, но в то же время и сама проливает свет на некоторые вопросы, не получившие объяснения в главе А; некоторые из этих проблем потребуется еще раз осветить в главах Г и Д. Мораль: прочитайте этот раздел дважды — при втором прочтении вы увидите в нем больше смысла. Вздумай автор упомянуть все важные вопросы, ему пришлось бы заполнить эту часть книги информацией, не получившей объяснения, и она стала бы похожей на коллекцию марок. Чтобы не подрывать таким образом репутацию науки, мы предпочли выбрать лишь некоторые темы для тщательной проработки с тем, чтобы читатель уяснил основные представления изучаемой области знаний. Поступая так, некоторые важные проблемы мы рассмотрим достаточно полно, в определенных случаях подходя к рубежам современной науки, и тогда читатель сам сможет исследовать другие области путем самостоятельного чтения книг, уже написанных, и тех, которые будут написаны в будущем.

Вводные задачи к главе 36.

Задача 1. Простейшая электронная пушка. Электронная пушка — это устройство для создания пучка электронов (обычно быстродвижущихся). Эти электроны, которые, как мы предполагаем, все одинаковы, очень малы (масса 1/1840 массы атома водорода) и отрицательно заряжены (—1,6∙10^-19 кулон); их можно затем использовать для получения телевизионных изображений и графиков на экранах осциллографов, для бомбардировки мишеней при проведении атомных исследований и т. д. В этой задаче обсуждается устройство таких пушек. Источники тока, недостающие на схеме, добавьте сими (см. задачи к гл. 32 и 33). Электронная пушка состоит из источника электронов, которым является горячий катод С, накаляемый подогревателем НН, диафрагмы М, через которую электроны вылетают. Кроме того, во многих случаях добавляются управляющие пластины или сетка G (фиг. 1).

Фиг. 1. К задаче 1.

А) Катод необходимо нагреть, чтобы с него начали испаряться электроны в достаточном количестве. Б) Чтобы на выходе из пушки двигаться достаточно быстро, электроны должны быть ускорены большой разностью потенциалов. Она обеспечивается батареей (или эквивалентным ей источником), которая создает электрическое поле, направленное вдоль пучка, чтобы ускорить электроны на пути от катода к выходному отверстию в диафрагме. В) Когда такой стремительный поток несется от катода к диафрагме пушки, то ее конструкция перегревается за счет выделения тепла при потере кинетической энергии многочисленными электронами, которые останавливаются и поглощаются стенками, не сумев проскочить в выходное отверстие. Чтобы избежать этого, между С и G прикладывается небольшое тормозящее поле. Тогда лишь небольшая часть потока проникает дальше G и затем ускоряется. Г) Для «отклонения» электронного пучка вверх или вниз между пластинами Р и Р' прикладывается вертикальное электрическое поле. Все эти электрические поля можно создавать, подключая в соответствующих точках источники нужного напряжения. Перечертите эскиз, добавив батареи во всех местах, где они требуются, учитывая следующие, достаточно типичные требования: А) спиралька, подогревающая катод, потребляет 5 а и имеет сопротивление 2 ом; Б) для ослабления потока лучше использовать напряжение 12 в; В) разгон потока до необходимой скорости требует напряжения порядка 2000 в; Г) для системы отклонения пучка между пластинами Р и Р' нужно приложить 40 в, если расстояние между ними 0,02 м. Не забудьте убедиться, что полюса батарей подключены с учетом того факта, что электроны заряжены отрицательно (поставьте на полюсах + и —). Поле между Р и Р' должно отклонять электроны вверх. Задача 2. Отклонение пучка. Пучок электронов выходит из электронной пушки и движется вдоль длинной трубки. Пластины Р и Р', соединенные с батареей, как показано на фиг. 2, создают электрическое поле.

Фиг. 2. К задаче 2.

А) По какому пути полетят электроны, покинув пушку, если между пластинами Р и Р' не будет включено поле? Б) Как будет меняться скорость электронов, продолжающих движение вдоль трубки, если разность потенциалов между Р и Р' отсутствует? В) Назовите общий физический закон, который подводит итог наблюдениям над определенными природными явлениями, а выводы из него используются для предсказания других аналогичных явлений и на который вы опирались, отвечая на вопросы а) и б). Г) Пусть теперь напряжение на пластины Р и Р' подано; тогда между ними существует сильное однородное, вертикально направленное поле, а за пределами области, ограниченной пластинами, это поле пренебрежимо мало. На что будет похожа траектория пучка в сильном поле? (У этой траектории есть определенное название, приведите его, а также нарисуйте траекторию.). Д) Где вы встречали ситуацию, когда тело движется по подобному пути в однородном силовом поле? Е) Когда пучок покидает область между пластинами Р и Р', где имеется поле, он подвергается действию пренебрежимо слабого поля. Опишите траекторию пучка на этом участке и покажите ее на, вашем эскизе.

Глава 36. Электроны и электрические поля.

…за его работы по изучению элементарного электрического заряда и фотоэлектрических явлений… (Из решения о присуждении Нобелевской премии по физике за 1923 г. Р. А. Милликену). …за его открытия в физической науке. (Из решения о присуждении медали Копли, высшей награды Королевского Общества[101], Дж. Дж. Томсону).

Исследование атомных частиц.

Мы знаем, что электроны, испаряющиеся из раскаленной спиральки, несут отрицательный заряд; но как измерить заряды отдельных электронов и их массы и показать, что все они одинаковы? Как измерить их скорость при вылете из электронной пушки? И потом говорят, что электроны, оторванные от молекул разреженного газа в электрической разрядной трубке, — это те самые универсальные частицы, из которых состоит материя. Как доказать, что они именно таковы? Как можно показать, что они гораздо меньше, чем атомы? Как проникнуть в атомную структуру, исследуя положительные ионы — то, что осталось от атомов в разрядной трубке? Как регистрировать ядерные снаряды (альфа- и бета-частицы), которыми стреляют радиоактивные атомы?

Электроны, ионы, ядра… Это некоторые из крошечных частиц, изучаемых современной физикой; мы описываем их индивидуальные особенности, определяя их заряд, массу, скорость… Их нужно ловить на лету. Остановившись, они затеряются среди атомов стенок приборов, проводов и т. д.[102] Поэтому нужную информацию мы добываем, отклоняя их от первоначального направления с помощью полей — точно так же, как можно оценить скорость мячика по тому, как влияет на его полет поле тяготения. Гравитационные поля слишком слабы для изучения атомных частиц. Конечно, все эти частицы, когда летят, подвергаются действию силы тяжести, но при любом разумно выбранном напряжении электронной пушки они движутся слишком быстро, для того чтобы их падение можно было заметить на тех расстояниях, которые им обычно приходится пролетать. (Альфа-частица, испущенная радием, пролетев километр, сдвинулась бы под действием тяготения за это время на несколько миллионных долей сантиметра, а электроны в телевизионной трубке на таком же пути — на десятимиллионную долю сантиметра, если бы у нас была трубка в километр длиной.) Поэтому мы заставляем действовать на электрический заряд, который несут эти частицы, электрическое и магнитное поля.

В этой главе мы покажем, что можно сделать с помощью электрических полей, а в следующей главе вернемся к магнитным полям и увидим, как, объединяя действия полей обоих типов, определить скорость частицы и ее существенную опознавательную характеристику; отношение заряда к массе, e/m.

Поля и пучки.

Электрическое поле к электронам мы уже прикладывали. В трубке осциллографа напряжение в электронной пушке создает поле, направленное вдоль пучка электронов, чтобы разогнать их, а отклоняющие поля качают пучок вверх-вниз и из стороны в сторону. В разрядной трубке электрическое поле, направленное вдоль нее, ведет положительные ионы в одну сторону, а электроны и отрицательные ионы — в противоположную, создавая толчею возбужденных атомов, которые испускают свет, когда их электроны возвращаются в состояния с наименьшей энергией.

Фиг. 3. Пучок частиц несет отрицательный заряд.

Пучок из электронной пушки.

Пучок частиц, испускаемых горячим катодом и ускоряемых напряжением электронной пушки, несет отрицательный заряд. В этом можно убедиться, включив последовательно с вакуумным диодом миллиамперметр или поймав пучок в маленькую металлическую чашечку, соединенную с электроскопом. Чтобы показать, что все «снаряды» в этом пучке одинаковы и что они суть электроны, мы должны провести измерения, используя отклоняющие поля. В задачах к настоящей главе предлагаются данные, типичные для реальных экспериментов. Чтобы понять, как можно исследовать электроны, решите эти задачи.

Задача 3. Прямое измерение скорости электрона. В задаче демонстрируется метод, который был использован для измерения скорости электронов в пучке, вылетающем из электронной пушки. Мы применяем колебательный контур для создания отклоняющего электрического поля, действующего на пучок[103]. Имея такой контур, можно попеременно подавать на пару металлических пластин положительные и отрицательные заряды с частотой, скажем, 10 000 000 раз в секунду. Тогда и электрическое поле в пространстве между пластинами будет менять свое направление — вверх, вниз, снова вверх, снова вниз, с той же частотой: тоже 10 000 000 раз каждую секунду. Располагая современными насосами, легко получить в длинной трубке такой хороший вакуум, что электрон проделает весь свой путь без столкновений. На фиг. 4 показана такая трубка с электронной пушкой у одного конца. Поток электронов, испущенных раскаленным катодом С и ускоренных напряжением пушки (которое составляет, скажем, 1600 в в промежутке между точками С и М), выходит через небольшое отверстие А в диафрагме пушки М и продолжает лететь вдоль трубки, больше не меняя скорости. Пара горизонтальных пластин Р₁ и Р₂ помещается за отверстием А, так что пучок электронов проходит через вертикально направленное электрическое поле между пластинами. Как раз за пластинами расположена перегородка с отверстием В. Если переменное электрическое поле, описанное выше, приложено к области между Р₁ и Р₂, оно будет раскачивать электронный пучок вверх и вниз, так что электроны будут проникать через отверстие В маленькими порциями, один раз по пути вверх, другой раз по пути вниз (ДВАЖДЫ ЗА ЦИКЛ), как струя из пожарного шланга, если ею водить по забору с дыркой. Эти порции будут лететь вдоль трубки с постоянной скоростью и. На этом пути они пролетают между другой парой пластин Р₃ и Р₄, к которым прикладывается то же самое переменное электрическое поле, синхронное с полем между пластинами Р₁ и Р₂. Вслед за этой парой пластин стоит вторая диафрагма с отверстием D. За этим отверстием расположен коллектор Е, собирающий электроны и соединенный с усилителем и счетчиком, который регистрирует электронные сгустки, достигающие Е. Отверстия А, В и D располагаются на одной прямой между С и Е.

Фиг. 4. К задаче 3. Измерение скорости электронов.

ДАННЫЕ. Отверстия В и D расположены на расстоянии 1,20 м друг от друга. Из независимых измерений известно, что колебательный контур, соединенный с обеими парами пластин, имеет частоту 10 000 000 колебаний в секунду. Если напряжение между катодом электронной пушки С и ее диафрагмой равно 1600 в, то, как это обнаружено в эксперименте, действительно имевшем место, через отверстие D на коллектор попадает много электронов. Если напряжение пушки составляет 1500 или 1700 в, то электронов мало. Заметьте, что путь, проходимый электронами в отклоняющем поле пластин, очень короток, так что электроны пролетают через поле быстро — за малую долю периода колебательного контура. А) Укажите причину, по которой электроны не долетают до Е, если только пушка не заставляет их двигаться со строго определенной скоростью (т. е. со скоростью, соответствующей напряжению 1600 в, а не 1500 или 1700 в). Б) Оцените на основании вышеприведенных данных скорость электронов. (Сделайте простейшие предположения из всех возможных. Они приведут к тому, что ваша оценка даст максимальную скорость.). В) Объясните, почему и некоторые другие скорости могут согласоваться с описанными наблюдаемыми фактами. Г) Рассчитайте одну или несколько таких скоростей. Д) Как бы вы попробовали выяснить (перестраивая аппаратуру), какой выбор решения, б) или г), правилен? (Эта задача требует как здравого смысла, так и тщательных размышлений.).

Фиг. 5. Напряжение, подаваемое генератором, описанным в условии задачи 3.

Задача 4. Как оценить отношение заряда к массе по напряжению на электронной пушке и скорости электрона. Поток электронов выбрасывается из электронной пушки, расположенной в конце длинной трубки. Пусть скорость их измерена (см. предыдущую задачу) и равна v. Батарея дает напряжение V между точками С и М, которое разгоняет электроны от первоначального состояния покоя до конечной скорости и, с которой они и вылетают из пушки. Каждый электрон, несущий заряд в е кулонов, проходит разность потенциалов V в, приложенную к пушке, набирая кинетическую энергию. Если вакуум хороший, то вся энергия, которую батарея передает электрону с помощью электрического поля пушки, переходит в его кинетическую энергию. Эксперименты показывают, что: если напряжение, приложенное к пушке, составляет 100 в, то электроны вылетают со скоростью и, которая в результате измерения оказалась равной 6 000 000 м/сек. (ЭТО НЕ ОПЕЧАТКА). Используйте эти данные для оценки массы одного электрона по следующему рецепту: А) Обозначьте массу электрона в кг через т. Запишите кинетическую энергию, с которой он движется вдоль трубки, выразив ее через m. (Запишите и единицы измерения.). Б) Обозначьте заряд в кулонах через е. Какую энергию он приобрел, пройдя через 100-вольтовую разность потенциалов электронной пушки? Выразите ее через е. (Опять не забудьте про единицы.). В) Проследите, чтобы ответы на пункты а) и б) были выражены в одних и тех же единицах. Запишите уравнение, отражающее тот факт, что энергия, переданная электрону 100-вольтовой батареей, как раз и есть его кинетическая энергия. Решите его и найдите отношение заряда к массе для электрона, т. е. е/m. Г) В другом, совершенно особом опыте Милликен обнаружил, что заряд электрона е равен —1,6∙10^-19 кулон. Если так, то чему равно значение массы электрона в кг?

Все электроны одинаковы.

Прямое измерение и неудобно, за исключением случая достаточно медленных электронов; но кто бы ни делал измерения, описанные в задачах 3 и 4, из сопоставления их результатов всегда получалось одно и то же значение е/m, какую бы скорость электронов ни брали, какое бы напряжение ни прикладывали к электронной пушке. Из какого материала ни сделай пушку, значение е/m все равно получается одним и тем же: все электроны имеют одинаковое отношение заряда к массе. Этот вывод о том, что электроны едины, универсальны, был получен в результате исследований, выполненных в начале нашего столетия. Однородных пучков, создаваемых пушками с известным напряжением, тогда не было, и приходилось выполнять более сложные измерения, используя электрическое поле, чтобы отклонять электроны, а затем еще магнитное поле. С тех пор отклонения пучков в разных направлениях электрическими и магнитными полями постоянно используются в фундаментальных экспериментах атомной физики. В задаче 5 показано, как можно использовать поперечное электрическое поле.

Можно сопоставить отношение е/m с результатами других опытов, чтобы получить очень важную информацию об атомах; но и сами по себе измерения е/m позволяют высказать два утверждения огромного значения:

1) Отношение е/m имеет одну и ту же величину для всех электронов, от самых медленных до довольно быстрых, из какого бы источника они ни вылетали. Их можно испарять из раскаленной нити, выбивать из атомов металла светом (как в фотоэлементе), срывать с атомов рентгеновскими лучами, радиоактивные атомы могут выстреливать их в виде бета-частиц — результат будет тот же самый, что и при первоначальном способе выбивания их из атомов при соударениях в разрядной трубке. Это означает, что электроны все одинаковы, что электрон — универсальная составная часть материи.

2) Если производить опыты с очень быстрыми электронами, величина е/m оказывается меньше стандартной. Это означает, что если заряд е остается постоянным, то масса при высоких скоростях становится больше — в полном согласии с теорией относительности.

Задача 5. Отклонение пучка электронов электрическим полем. Одним из первых экспериментальных способов исследования катодных лучей была посылка пучка через электрическое поле (см. выше вводную задачу 2). Отношение заряда к массе для частиц в пучке можно определить также, измеряя вместо напряжения на трубке отклонение пучка». Задача покажет вам, как рассчитать е/m по результатам таких измерений. Предположим, что пучок электронов вылетает из пушки со скоростью 2,4∙10⁷ м/сек, т. е. 24 000 000 м в секунду (как определить эту скорость, сказано в задаче 3). Этот пучок пропускается через протяженную область, поперек которой приложено электрическое поле (фиг. 6). В конце своего пути пучок попадает на флуоресцирующий экран, так и не успев выйти за пределы области, пронизанной полем.

Фиг. 6.

Приводимые ниже данные вполне могут быть получены в реальном опыте. Представьте себе, что так оно и есть, что попытка измерить отношение е/m для электрона предпринята, и рассчитайте е/m (в кулонах на килограмм). _{Скорость частиц в пучке (см. задачу 3)… 2,4∙10⁷ м/сек. Отклонение пучка в приложенном поле… 0,015 м вниз по вертикали. Расстояние между пластинами, создающими поле… 0,050 м. Длина области, в которой действует… поле 0,20 м. Разность потенциалов между пластинами… 120 в.} (Обратите внимание, что напряжение на пушке не задается, поскольку знать его не нужно.). Рассчитайте: А) Напряженность электрического поля между пластинами, т. е. силу, в ньютонах, действующую на один кулон. Б) Силу, действующую со стороны поля на заряд е, т. е. на один электрон. В) Ускорение электрона. Обозначьте его массу в килограммах через m. Г) Время, которое потребуется электрону, чтобы пересечь область 0,20 м, где имеется поле. (Примечание, 0,20 м — длина области по горизонтали, и скорость, названная выше, — тоже горизонтальная. Влияет ли как-нибудь вертикальная скорость, приобретаемая электронами? Относительно независимости движений проконсультируйтесь у Галилея.). Д) Затем рассчитайте расстояние s, которое электрон проходит по вертикали под действием поля. Для этого заметьте, что электрон попадает в поле с нулевой скоростью по вертикали и движется с ускорением, рассчитанным в пункте в), в течение времени, рассчитанного в пункте г). (В результате должна получиться формула для s, в которую войдут величины 0,20 м, заряд е, масса m и т. д.). Е) Отношение е/m. Как сказано выше, результаты измерения дают расстояние, равное 0,015 м. Напишите уравнение, показывающее, что отклонение, рассчитанное в пункте д), в самом деле 0,015 м. Решите это уравнение для е/m. В этой задаче вам заранее была известна скорость, которая могла быть измерена методом приложения переменного электрического поля, изложенным в задаче 3. Пока вы ее не знаете, она входит в тот набор неизвестных, которые в виде комбинации e/mv² можно рассчитать по отклонению в электрическом поле. В большинстве опытов с катодными лучами скорость неизвестна, пока не выполнены измерения с отклоняющим магнитным полем. Задача 6. Сравнение атомов с электронами. Разговор сейчас пойдет об ионах, которые позволяют растворам проводить электрический ток. Химические данные давно указывали на то, что переносчики электричества — это отдельные атомы, а иногда группы атомов, несущих заряды, причем заряды одинаковые. Каждый равнялся крошечной универсальной «атомной единице» электричества (которая была названа «электроном» задолго до того, как были открыты настоящие электроны). В некоторых случаях заряды равнялись 2 или 3 таким единицам, В начале нынешнего столетия при изучении диффузии ионов были получены опытные данные, указывающие на то, что основная единица заряда ионов химических соединений по величине совпадает с зарядом, который несут летящие электроны и который был измерен Дж. Дж. Томсоном. Итак, определяя отношение заряда к массе У продуктов электролиза, мы выполняем измерения, которые, вероятно, с сохранением тех же самых пропорций можно было бы выполнить и над отдельными атомами. Сравнивая это отношение заряда к массе с тем, которое получено для электронов в пучке электронной пушки, мы можем, следовательно, сравнить атомы с электронами. Таким образом, для ионов содержит важную для атомной физики информацию. А как измерить это отношение, покажут приведенные ниже вопросы. ДАННЫЕ. Когда ток проходит через воду, содержащую кислоту, с металлических пластин (электродов), по которым приходит и уходит ток, срываются пузырьки кислорода и водорода (кислота в этом случае лишь посредник, поставляющий ионы). Опыт показывает, что при пропускании тока в 10 а в течение 1000 сек выделится 0,001244 кубометра газообразного водорода (при комнатной температуре и давлении в 1 атм). Если в одной и той же теплой комнате взвешивать большой стеклянный шар, наполнив его сначала водородом при атмосферном давлении, затем пустой, затем наполнив водой, то весы дадут следующие показания: _{Масса шара, наполненного водородом… 1,60084 кг. Масса пустого шара… 1,60000 кг. Масса шара, наполненного водой… около 11,60 кг.} А) Используя эти данные, рассчитайте плотность водорода в кг/м³. Б) Чему равна масса водорода, выделившегося при «электролизе» в опыте, описанном выше? В) Чему равен электрический заряд (= количеству электричества), прошедший через аппарат? Г) Весь заряд, притекающий на пластину, где выделяются пузырьки водорода, переносится, скорее всего, этим самым водородом. Если это так, то чему равно отношение заряд/масса для полного заряда, перенесенного полной массой водорода? Д) Предположим, что все «водородные носители» совершенно одинаковы и являются не чем иным, как атомами водорода. Чему равно е/М, отношение заряда к массе, для иона атома водорода? Е) опыты с электронными пучками показывают, что для электрона е/m составляет около 1,8∙10¹¹ кулон/кг. (Это означает, что 1 кг электронов имел бы заряд в 180 000 000 000 кулон.) Сравните значения е/М для иона водородного атома и е/m для электрона, вычислив отношение этих значений. Ж) Полагая, что е в обоих случаях одинаково, сравните m и М.

Значения е/m.

Измеряя отклонение в электрическом поле, можно вычислить отношение e/mv². Напряжение на электродах пушки также дает нам e/mv². Так что, если мы знаем это напряжение, то отклонение пучка в электрическом поле не дает нам никакой новой информации[104]. Чтобы вычислить отношение e/m — важнейшую характеристику заряженных атомных частиц, мы должны либо непосредственно определить v, либо измерить отклонение частиц в магнитном поле (см. гл. 37), которое даст отношение e/mv. Пока предположим, что мы можем исключить и и найти значение e/m.

Сто лет назад электроны как таковые не были известны. Единственным указанием на существование «атомов электричества» были данные электролиза, веско свидетельствовавшие в пользу того, что каждый атомный ион несет стандартный электрический заряд, имеющий одну величину для всех ионов химических соединений, за исключением лишь отдельных случаев, когда эта величина удваивалась или утраивалась. Пятьдесят лет назад были получены электронные пучки, с которыми производились самые разнообразные опыты. Дж. Дж. Томсон выполнил первые последовательные, хотя и грубые измерения зарядов и масс электронов и положительных ионов; их-то он и считал основными компонентами атомной структуры. Некоторые результаты измерений e/m и е/М приведены в таблице на стр. 274.

Если не считать изменений, происходящих при очень высоких энергиях, все электроны имеют одно и то же отношение e/m, 1,76∙10¹¹ кулон/кг. Сравните это с отношением е/М для самого легкого из ионов, Н⁺. Такие ионы переносят 96 500 000 кулон на каждые 1,008 кг водорода, выделяющегося при электролизе. Так что для Н⁺ е/М = 9,57∙10⁷ кулон/кг. Для электронов отношение e/m почти в две тысячи раз больше. Тогда, если е одинаково у обеих частиц, значение m у электронов должно быть почти в две тысячи раз меньше. [Несколько раньше с помощью изобретательно поставленных опытов и логических рассуждений было показано, что произведение N∙e одинаково для ионов в газах и ионов, образующихся при электролизе (N — число Авогадро). Ни N, ни е не были известны, а произведение N∙e оказалось возможным оценить: с одной стороны, существовали измерения «валового выхода» при электролизе, тех самых 95 700 000 кулон, переносимых килограммом водородных ионов, с другой стороны, хитроумные опыты с ионами газов с использованием явления диффузии. После их выполнения рассудили, что в случае ионов газов е — это заряд выбитого электрона, а N — одно и то же как для ионов, так и для электронов; следовательно, и е одно и то же.] Так впервые было показано, что электроны — это крошечные осколки атомов[105].

Таблица значений e/m и е/М.

(Самые первые измерения были недостаточно точны. В таблице приведены данные, полученные уже тогда, когда были разработаны хорошие экспериментальные методики; численные результаты обычно рассчитывались по отклонениям частиц в электрическом и магнитном полях.).

Частицы ∙ Значение e/M и е/m, кулон/кг. ∙ Катодные лучи в разрядной трубке: электроны, выбитые из атомов газа или металлического электрода с помощью бомбардировки. [Поскольку это был самый первый метод получения электронных пучков (благодаря нему за ними и закрепилось название катодных лучей), приводятся результаты трех различных экспериментов.] ∙ 1,775∙10¹¹; 1,761∙10¹¹; 1,759∙10^11. ∙ Электроны, вылетающие из вольфрамовой спиральки, накаленной добела (как в диоде) ∙ 1,76∙10^11. ∙ Электроны с раскаленного докрасна оксидного катода (какие применяются в современных радиолампах) ∙ 1,78∙10^11. ∙ Электроны, выбитые из металла ультрафиолетовым светом («фотоэлектрический эффект», используемый в фотоэлементах) ∙ 1,756∙10^11. ∙ Внутриатомные электроны, вынуждаемые внешним магнитным полем к изменению своих «орбит» (эффект Зеемана) ∙ 1,761∙10^11. ∙ Электроны в водородных и гелиевых атомах: использован метод сравнения электронной массы с массой атома по измерениям длин волн в спектрах, трактуемых теорией Бора, которая считается верной ∙ 1,761∙10^11. ∙ Медленные бета-частицы, испускаемые радиоактивными атомами ∙ 1,763∙10^11. ∙ Бета-частицы (медленные… умеренно быстрые… быстрые), испускаемые радиоактивными атомами; получается непрерывный набор значений ∙ от 1,76∙10¹¹ до 0,35∙10^11. ∙ В более поздних экспериментах, когда электроны, испускаемые горячими катодами, стали разгонять до огромных энергий на ускорителях, нижняя граница интервала получаемых значений е/m опустилась; получены величины, в тысячи раз меньшие — это изменение связывается с релятивистским увеличением массы. ∙ Положительно заряженные лучи: положительные ионы в разрядных трубках. Значение е/М зависит от того, какой газ наполняет трубку: — ион водорода Н+ ∙ 1,76∙10¹¹/1840. — ион кислорода О⁺ ∙ 1,76∙10¹¹/16∙1840. — ион кислорода О⁺⁺ ∙ 1,76∙10¹¹∙2/16∙1840. — ионы ртути Hg⁺, Hg⁺⁺ … до Hg^++++++++ ∙ 1,76∙10¹¹ (от 1 до 8)/200∙1840. ∙ Положительные ионы при электролизе: — ион водорода Н+ ∙ 1,76∙10¹¹/1840. — меди Си⁺⁺ ∙ 1,76∙10¹¹∙2/63,6∙1840. — ион хлора С1^- ∙ 1,76∙10¹¹/35∙1840. ∙ Альфа-частицы, испускаемые радиоактивными атомами ∙ 1,76∙10¹¹∙2/4∙1840. ∙ И многие недавно открытые частицы (например, μ-мезоны) ∙ 1,76∙10¹¹/~200.

Вычислим дроби более точно;

M/M = (e/M)/(e/m) = 9.75∙10⁷/1.76∙10¹¹ = 1/1840.

Электрон и атом, его потерявший (т. е. оставшийся от атома положительный ион), имеют равные и противоположные по знаку заряды, поскольку вещество обычно нейтрально. Но массы их чрезвычайно сильно отличаются. Не удивительно, что электроны так подвижны в электрических полях: легко отклоняемый пучок электроны образуют в телевизионной трубке, мгновенно, как охваченная паникой толпа, срываются с места в счетчике Гейгера. При таком большом в сравнении со своей маленькой массой заряде они ускоряются в электрических полях много быстрее, чем заряженные атомы. Лишь когда электроны приобретают огромные кинетические энергии, миллиарды электронвольт, они кажутся (неподвижным наблюдателям) такими же массивными, как атомы.

Зачем нужно знать е.

Если мы сможем измерить е, то, поделив эту величину на определенное ранее отношение е/m, найдем массу отдельного электрона. А массу отдельного атома с его помощью узнать еще проще, поскольку е/М для атомных ионов легко определяется из опытов по электролизу. По атомным массам можно рассчитать массу любой молекулы, а следовательно, число молекул в любом образце жидкости или газа. Кроме того, теории атомной структуры не обходятся без вычислений, для которых необходимо знать истинную величину е. Точное знание этой величины имеет чрезвычайно важное значение.

Измерение е.

К 1900 г. существование электрона как атомной частицы было установлено и определено отношение elm для него, но о величине е можно было строить лишь приблизительные догадки. Экспериментальные факты по электролизу задолго до этого указывали на то, что существуют «атомы электричества», во всем подобные друг другу, причем некоторые ионы несут по одному такому атому электрического заряда, другие — по два и т. д. К 1910 г. величина е стала крайне необходимой для развития атомных теорий — теорию Бора нельзя было бы как следует проверить, не зная как следует ни е, ни е/m. Дж. Дж. Томсон и другие попытались измерить е, формируя облачка из мельчайших водяных капелек, каждая из которых образовывалась вокруг иона с зарядом е, а затем собирая эти облачка. Это дало лишь грубую оценку, и не было никакой уверенности, что все эти заряды в точности равны[106]. Тогда Р. А. Милликен[107] и поставил свой великий эксперимент, в котором использовал крошечную капельку масла, собиравшую небольшой заряд с ионов воздуха. Он снова и снова измерял полный заряд капельки и каждый раз обнаруживал, что тот в небольшое целое число раз (например, в 1, 2 или 10) больше некоторого основного заряда, который во всех случаях был одним и тем же. Поначалу он не знал ни величины этого универсального основного заряда, «электрона», ни того, сколько таких зарядов помещалось на его капельке. Он должен был проводить измерения со многими заряженными каплями, а потом устраивать арифметическую «угадайку». Задача была «похожа на случай, когда вам надо найти вес одного яйца, если даны веса большого числа бумажных кульков с яйцами, в каждом из которых находится свое, к тому же неизвестное число яиц»[108].

Задача 7. А) Пусть кульки с яйцами весят 12,16, 28, 24 унции. Попробуйте определить вес яйца и число яиц в каждом кульке. Б) Предположим, что вам дали еще один кулек, а он весит 14 унций. Как это отразится на ваших предположениях? В) Добавили еще один кулек, весящий 12,1 унции. К какому заключению вы придете?

По существу метод, использованный Милликеном и его предшественниками, совпадает с тем, который, как рассказывалось в гл. 33, использовался для измерения заряда металлического шара. Он заключался в измерении силы, действовавшей на шар со стороны однородного электрического поля. Для измерения е несколько электронных зарядов передавалось крошечной капельке жидкости, плавающей (или, точнее, медленно падающей) в воздухе. Капелька помещалась в вертикальное электрическое поле, которое, действуя на заряд капельки, тянуло ее вверх. Единичный заряд электрона е очень мал, и видимая дождевая капля была бы для него слишком тяжела; потребовался бы миллиард или около того электронных зарядов, чтобы в реально возможном поле удержать ее на весу. Поэтому была использована очень маленькая капля из пульверизатора, настолько маленькая, что ее по-настоящему и не видно было — лишь крошечную звездочку рассеянного ею света можно было наблюдать в микроскоп. Такая миниатюрная капелька равномерно опускается в воздухе — трение о воздух компенсирует действие тяготения. Постоянную скорость этого движения вниз можно измерить и использовать для того, чтобы «взвесить капельку». Если включить вертикальное электрическое поле, оно добавит еще одну силу: действие поля на электрический заряд капельки. В первых экспериментах электрическое поле подбиралось так, чтобы не давать капельке падать, так что она парила в воздухе. Однако большей точности удалось добиться, используя более сильное поле и заставляя капельку сперва двигаться вверх, а потом позволять ей падать в отсутствие поля. Таким образом, измерения можно было повторять, «вздергивая» капельку вверх и позволяя ей падать снова и снова, играя с ней, как кот с мышью. В этом и состояло выполненное Милликеном измерение электронного заряда — великолепный образец экспериментального исследования, которое принесло ему неувядающую славу.

Чтобы понять, как Милликен проводил свои измерения, проработайте приведенную ниже задачу 8. Капелька (чаще масляная, чем водяная) обычно образовывалась со случайным зарядом, полученным за счет трения о стенки трубки пульверизатора, подобно тому, как эбонитовая палочка электризуется о мех. Путешествуя вверх и вниз, она могла случайно изменить свой заряд, встретив ион в окружающем воздухе. Это изменение сразу сообщало ей новую скорость дрейфа вверх в электрическом поле. Иногда Милликен вызывал быстрое изменение заряда, используя рентгеновские лучи для того, чтобы выбить электроны из самой капельки. Он заставлял одну и ту же капельку многократно менять свой заряд, а после этого должен был решать задачу о «яйцах в кульке».

Задача 8. Опыт Милликена по определению заряда электрона. Милликен проводил свой опыт с маленькой масляной каплей, которая получила небольшой заряд от ионов воздуха. Он мог часами экспериментировать с одной и той же каплей, заставляя ее снова и снова подниматься вверх, а затем позволяя ей падать. В отсутствие электрического поля капля падает с постоянной скоростью, характерной для капли данного размера. А) Проводя опыты с масляной капелькой, Милликен обнаружил, что скорость ее падения оставалась постоянной в течение многих часов, сколько бы раз ей ни позволяли падать. Однако с капелькой воды вело обстояло иначе — время ее падения постепенно увеличивалось. К какому выводу вы приходите относительно масляной капельки? Б) Во включенном электрическом поле капелька двигалась вверх с постоянной (но в разных опытах различной) скоростью. Эта скорость оставалась постоянной на протяжении многих циклов подъема, а затем вдруг принимала новое значение. Эти внезапные изменения учащались после того, как Милликен включал находившуюся поблизости рентгеновскую трубку. Дайте объяснение этих внезапных изменений. Вот некоторые данные измерений, выполненных с одной капелькой, которая многократно падала со скоростью v = 2,305 см/мин (см. сноску на стр. 280). После включения электрического поля она в течение нескольких циклов поднималась со скоростью u₁ = 2,516 см/мин. Затем скорость подъема внезапно изменилась и в течение одного или нескольких циклов была равна u₂ =1,434 см/мин, затем опять изменилась до u₃ = 0,903 см/мин, затем до 0,369 см/мин, потом опять до 0,903 см/мин и после принимала значения 1,958, 0,903 и 1,434 см/мин. Как теория, так и эксперимент показывают, что при очень медленном движении шарика через вязкую жидкость (а также и при движении через воздух, если капелька достаточно мала) сила сопротивления, возникающая за счет трения о жидкость, дается выражением. F = K∙(скорость), Где К — постоянная, зависящая от коэффициента трения жидкости и радиуса шарика, а они не меняются в течение всего эксперимента с капелькой. Когда капля падает в отсутствие поля, на нее действуют лишь две силы: ее вес m = 9,8 ньютон и сила трения K∙v. Разогнавшись вначале, капля падает затем равномерно, без ускорения. В) Напишите уравнение, показывающее, как эти две силы связаны между собой при равномерном падении. [При написании этого уравнения используйте экспериментальное значение v = 2,305 см/мин[109].] Г) Предположим, что электрическое поле, когда оно включено, имеет напряженность X ньютон/кулон и действует на заряд капельки, равный Q кулон. С какой силой поле действует на капельку? Д) Когда поле включено, капелька движется вверх со скоростью и (например, 2,516 см/мин), и на нее действует сила трения K∙v, направленная вниз и препятствующая этому движению. Вес капли m = 9,8 ньютон — это тоже сила, направленная вниз. Начав движение, капля движется с постоянной скоростью без ускорения. Напишите уравнение, связывающее три силы, действующие на капельку. Е) Исключите из последнего выражения вес m = 9,8 ньютон, подставив его значение из первого уравнения, и перепишите результат в форме Q =… Это новое уравнение должно показывать, что Q прямо пропорционально (v + u), если X постоянно. Ж) Используйте результат, полученный в пункте е), для анализа данных измерений Милликена, которые приведены выше. Величина v равнялась 2,305 см/мин и не менялась, а разные значения и приведены выше. Если (v + u) служит мерой полного заряда Q, то изменения (v + u) должны служить мерой изменения заряда, т. е. заряда, получаемого каплей от ионов и т. д. Изменение заряда ΔQ определяется по изменению (v + u), которое равняется изменению v+ изменение u. Но u не меняется, так что изменение v равно нулю и ΔQ определяется изменением u. Рассчитайте изменения скорости подъема капли и используйте их для определения изменения заряда, т. е. для определения заряда, подхваченного каплей. Рассчитайте все значения изменения u. Найдите одно элементарное изменение, которое объяснит все наблюдаемые изменения, и предположите, что оно соответствует одному электронному заряду. Затем скажите, сколько электронов должно было участвовать в каждом наблюдаемом изменении заряда. [Результаты Милликена не могли быть «абсолютно точны». Последний знак в приводимых им значениях, скорее всего, сомнителен. Так что вы не должны обращать внимания на небольшие различия. Что значит «небольшие» — ваше дело догадаться. Милликен обсуждал этот вопрос, когда разбирал возможные ошибки своего эксперимента, и даже поссорился (вспомним яйца в кульке) с одним из своих соперников, который долго отстаивал существование «субэлектрона». Сомнения в последнем знаке, который приводит Милликен, означают, что случайная ошибка может приводить к изменениям Δu в 1 или 2 %.]. З) Используя то изменение и, которое, согласно вашему решению, отвечает одному электронному заряду, вернитесь к значению (v + u), которое определяет ПОЛНЫЙ заряд, и рассчитайте, сколько электронных зарядов несла капля, начиная свое движение, когда скорость ее подъема u₁ составляла 2,516 см/мин. Расчеты в пунктах ж) и з) показывают, каким способом Милликен доказал, что все электроны имеют один и тот же заряд.

Фиг. 7. Опыт Милликена.

Универсальный атом электричества.

Измерения с одной капелькой могли гарантировать существование основного атома электрического заряда. Но для того чтобы доказать, что основной «атом заряда» есть универсальная постоянная, Милликен должен был выполнить множество опытов с капельками различных размеров, с разными жидкостями и с различными способами ионизации. Если бы в каком-нибудь эксперименте обнаружилась нецелая доля введенного им гипотетического заряда вместо целого их числа, то он вынужден был бы выбрать меньшее значение «атома электричества» — и тогда необходимость переходить ко все меньшим и меньшим атомам разрушила бы как его надежды на успех, так и наши нынешние теории строения атомов.

Чтобы определить истинную величину заряда в кулонах, он рассчитал вес капельки по скорости ее падения и известному коэффициенту трения при обтекании воздушным потоком. Эти алгебраические выкладки довольно длинны, но не трудны; кроме того, в книге Милликена они прекрасно объяснены.

Результат: каково бы ни было происхождение заряда, из какого бы материала ни состояла капелька, полный заряд на ней всегда равнялся целому числу, умноженному на один и тот же основной электрический заряд.

1,60∙10^-19 кулон.

Это величина отрицательного заряда каждого электрона (или положительного заряда, который остается у атома, ионизованного в результате потери электрона, или отрицательного заряда иона, полученного добавлением электрона к атому). Это и есть универсальный атом электричества.

Задачи к главе 36.

Задачи 1, 2 — вводные, в начале главы. Задачи 3–8 — в тексте. Задача 9. Электричество в сравнении с гравитацией. А) Атом водорода, лишенный своего единственного электрона, называется водородным ионом или «протоном». Он имеет заряд +е. Пусть водородный ион и электрон помещены на расстоянии d м друг от друга. Используя данные, приведенные ниже, запишите: 1) выражение для силы их электрического притяжения, 2) выражение для силы их гравитационного притяжения. Б) Рассчитайте отношение электрической и гравитационной сил, вычисленных в пункте а). В) Почему, производя расчеты при изучении атомных моделей, мы обычно пренебрегаем гравитацией? ДАННЫЕ. Гравитационная постоянная G = 6,6∙10^-11 ньютон» м²/кг². Постоянная закона Кулона = 9,0∙10⁹ ньютон∙м²/кулон². Масса электрона = 1/1840 массы водородного иона (массу водородного иона обозначим через М). Заряд электрона е = —1,6∙10^-19 кулон. Задача 10. Электрон в электрическом и гравитационном полях. В типичном осциллографе, использующем катодные лучи, для отклонения электронного пучка к верхнему краю экрана или к одной из его боковых сторон используется электрическое поле 10 000 в/м. Сравните силу, с которой такое поле действует на электрон, с силой тяжести, действующей на тот же электрон. Задача 11. Осциллограф. В корпусе электронного осциллографа помещаются радиолампы (диоды с анодом и подогревным катодом), которые выпрямляют поступающий переменный ток, превращая его в полупериодные или двухполупериодные «всплески» постоянного тока, а также катушки индуктивности и конденсаторы для переделки этих всплесков в постоянное напряжение. Там есть трансформатор, подающий переменный ток, подлежащий выпрямлению, и обеспечивающий низкое напряжение для подогревных спиралек. Но основной деталью является сама электроннолучевая трубка. А) Набросайте упрощенный чертеж такой трубки в разрезе или сделайте объемный рисунок, обозначив ясно основные части. Б) Объясните, откуда берется зеленое пятнышко на экране. В) Чтобы сделать зеленое пятнышко ярче, питание, подаваемое на трубку, можно изменить по крайней мере двумя различными способами. Попробуйте догадаться, что это за способы, и объясните, почему каждое из этих изменений дает желаемый эффект. (В современных трубках, когда поворачивается ручка увеличения яркости, ни один из этих двух наиболее очевидных способов не используется!). Г) Когда разность потенциалов с прибора, проверяемого с помощью осциллографа, подается на клеммы V и G, пятнышко смещается вверх или вниз (а если на клеммы подан переменный ток, то оно смещается попеременно вверх — вниз, вверх — вниз и т. д.). Объясните, как поданное напряжение вызывает такой эффект[110]. Д) Когда мы хотим зафиксировать зависимость этого движения вверх и вниз от времени, мы заставляем пятнышко равномерно смещаться по горизонтали (затем очень быстро обратно, затем снова в первоначальном направлении и т. д.). Это смещение обеспечивается цепью, которая тоже помещается в корпусе прибора; она в основных чертах изображена на фиг. 8. Посмотрите на эту диаграмму и объясните, как работает такая система получения равномерного смещения (развертки). (Примечание. Быстрое движение в обратном направлении требует быстрого переключения с помощью радиолампы. Описывать лампу здесь нет смысла. На схеме указано ее включение параллельно конденсатору. Лампа содержит газ, в нем происходит электрический пробой, когда разность потенциалов достигает определенного значения.).

Фиг. 8. К задаче 11.

Глава 37. Магнитные катапульты: работа электродвигателей и изучение атомов.

Краб, живущий на мелководье, — настоящий политик. Когда опасность угрожает ему сверху, он смотрит прямо перед собой и убегает вбок. Автор неизвестен

Катапультирующие силы.

На проволоку с током, расположенную поперек магнитного поля, действует выталкивающая сила, перпендикулярная и полю, и проволоке. Это та самая «катапультирующая сила», о которой упоминалось в гл. 34 (см. примечание на стр. 187). Если ток потечет в обратную сторону или магнитное поле изменит свое направление на противоположное, то и направление действия силы изменится на обратное. Если проволока не закреплена, то она движется, как краб, упомянутый в эпиграфе[111].

Катапультирующая сила действует на поток электронов в вакууме точно так же, как на ток, текущий по проволоке.

Фиг. 9. Катапультирующие силы. Трапеция в магнитном поле.

_{Сила, поле и ток перпендикулярны друг другу так же, как взаимно перпендикулярны оси х, у, z.}

ДЕМОНСТРАЦИОННЫЕ ОПЫТЫ. Поднесите магнит к электронному осциллографу или к телевизионной трубке, и вы увидите, что пятнышко на экране сдвинется. Рассмотрев направление пучка электронов и направление магнитного поля, определите, куда сдвигается пучок — вдоль поля (как это было бы в случае электрического поля) или в сторону, крабообразно.

Пучок электронов, называемых катодными лучами, можно создать, выбивая электроны из молекул газов, оставшихся в разрядной трубке после откачки (или из металлического катода), и разгоняя их высоким напряжением электронной пушки, из которой они вылетают через прорезь в диафрагме. Эти электроны, ударяясь об экран, установленный слегка наискось вдоль их пути, заставляют его светиться и отмечают тем самым свой путь. Попробуйте поднести к трубке магнит или проволоку, по которой течет ток.

Фиг. 12. Катапультирующая сила.

_{Электронный пучок в осциллографе или телевизионной трубке.}

Фиг. 13. Катапультирующая сила.

_{«Катодные лучи» (пучок электронов) в разрядной трубке с наискось установленным экраном.}

Действие катапультирующих сил еще более наглядно демонстрируется с помощью узкого пучка электронов из небольшой электронной пушки, когда он пропускается через пары ртути или водорода, заставляя их светиться (фиг. 14). Если приложить магнитное поле, то оно будет увлекать поток электронов в сторону, в направлении, перпендикулярном их движению, как Земля увлекает Луну. Светящаяся полоска замыкается в кольцо. Для этого магнитное поле должно быть перпендикулярно направлению движения электронов. Если скорость пучка имеет составляющую вдоль направления магнитного поля, то эта составляющая остается неизменной, превращая путь, по которому движется пучок, в сверкающую спираль. То же самое, только в грандиозных масштабах, происходит с потоками электронов, испускаемых Солнцем, когда они попадают в магнитное поле Земли.

Фиг. 14. Измерение отношения е/m для электронов.

_{Катушки с током создают магнитное поле, перпендикулярное плоскости рисунка.}

Применения катапультирующих сил.

Катапультирующие силы вращают валы электродвигателей; с их помощью работают амперметры; они препятствуют вращению роторов электрических генераторов; сортируют изотопы атомов; не дают сбиться с пути пучку частиц в циклотроне и дают возможность измерить величину отношения elm у атомных частиц. Сначала мы кратко обсудим их «технические» применения, а затем «атомные»,

Задача 1. Вводная к теме «Катапультирующие силы». Примечание. При решении задач пользуйтесь следующими правилами для определения направления магнитных полей (стрелки отмечают направление, в котором будет двигаться северный полюс магнита (N-полюс): А) Силовые линии идут от северного полюса к южному. Б) Для кругового магнитного поля, окружающего проводник с током, справедливо следующее правило: сожмите пальцы ПРАВОЙ руки в кулак вокруг большого пальца, направив его вдоль тока — сжатые пальцы покажут направление силовых линий (см. гл. 34). В) Направление магнитного поля, создаваемого кольцевым проводником с током, можно определить либо с помощью правила, изложенного в пункте б), либо по следующему рецепту: сожмите пальцы ПРАВОЙ руки, а большой палец отставьте (как при одобрительном жесте «на большой»); держите руку так, чтобы согнутые пальцы указывали направление течения тока по витку, тогда большой палец покажет направление магнитного поля в центре катушки. (Фактически большой палец меняется ролями с остальными пальцами: когда он показывает направление тока в прямолинейной проволоке, то прочие пальцы согнуты подобно замкнутым силовым линиям кругового поля.). На фиг. 15 показана проволока А, перпендикулярная плоскости рисунка в магнитном поле, создаваемом подковообразным магнитом NS. Электрический ток течет по проволоке от читателя, за страницу.

Фиг. 15. К задаче 1.

1) Срисуйте этот эскиз в большем масштабе, без проволоки, и изобразите на нем поле магнита. 2) Срисуйте эскиз без магнита и изобразите магнитное поле тока. 3) Воспроизведите весь рисунок с изображением полного магнитного поля (см. гл. 34). 4) Укажите направление, в котором будет действовать сила, приложенная к проволоке. Задача 2. Амперметр. На фиг. 16 приведено объемное изображение витка проволоки, подвешенного на оси в пространстве между полюсами подковообразного магнита. Ток течет по витку в направлении, указанном стрелкой.

Фиг. 16. К задаче 2.

1) Нарисуйте этот чертеж в разрезе, как на фиг. 15, но уже с двумя проволоками F и Е (вместо одной А), изображающими виток в разрезе. 2) Покажите на своем рисунке полное магнитное поле. 3) В какую сторону направлена сила, действующая на проволоку F? 4) А сила, действующая на проволоку Е? 5) К чему приводит суммарное действие этих катапультирующих сил? 6) Тонкая спиральная пружинка, подчиняющаяся закону Гука, препятствует вращению витка на оси. Объясните, почему стрелка, прикрепленная к витку, будет отклоняться пропорционально силе тока в витке?

Электродвигатели.

Мы теперь можем объяснить, как работает электродвигатель, рассматривая его как видоизмененный амперметр[112]. Виток больше не удерживается пружинками, а может свободно вращаться на оси, на которую насажен. Он окружен мягким железом для увеличения массы и усиления намагничивания. Постоянный магнит, создающий поле, заменяется электромагнитом, способным давать более сильное поле. Катапультирующие силы вращают виток, как и в амперметре. Когда ротор (виток + железный сердечник), поворачиваясь, пройдет по инерции через мертвую точку, он должен бы начать вращение в обратную сторону, если бы не остроумный прием: меняется направление тока в витке. Это происходит каждые пол-оборота, так что виток проворачивается еще на пол-оборота… и еще на пол-оборота… и т. д. Изменение направления тока производится автоматически переключателем, который сам вращается с ротором. Этот переключатель, называемый «коллектором», состоит из половинок разрезанного надвое медного цилиндра, укрепленного с помощью изолятора на оси витка. Ток приходит и уходит от источника через «щетки», трущиеся о медь.

В один момент «щетка+» подает ток на полуцилиндр А, а с него через виток на полуцилиндр В и через «щетку—» на выход. Спустя пол-оборота «щетка+» подает ток на полуцилиндр В вокруг витка в обратно направлении, но виток при этом находится уже в новом положении, так что для поддержания непрерывного движения ток должен течь именно в этом направлении. Настоящие электродвигатели содержат множество витков, ориентированных по-разному, чтобы движение было более плавным, а соответствующий коллектор изменяет направление течения тока в каждом витке в нужный момент. Если интересуетесь деталями, посмотрите на настоящий электромотор.

Фиг. 17. Простейший электромотор с коллектором.

Закон катапультирующих сил.

Для описания и объяснения опытов, демонстрирующих «атомные» применения катапультирующих сил, нам нужно четкое правило, выражающее силу через ток, длину проволоки и т. д. Мы получим такое правило, но вывод его может показаться сложным — это будет самая сложная «формула» в нашем курсе. Однако это правило существенно для понимания атомной физики — без него нам пришлось бы давать вам детские описания аппаратуры без настоящего объяснения. Так что вам следует изучить приводимый ниже вывод правила и научиться пользоваться этим правилом[113].

В нашем курсе мы выбираем в качестве способа измерения тока определение скорости осаждения меди на электроде[114], так что магнитные эффекты, вызываемые током, являются предметом экспериментального исследования. Опыт показывает, что сила, действующая на проволоку с током, пересекающую магнитное поле, меняется прямо пропорционально изменению этого тока.

ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ОПЫТ.

Как сила зависит от тока? Подвесим проволоку или виток к коромыслу весов. Пропустим через вес ток, величина которого измерена. Приложим сильное магнитное поле в направлении, перпендикулярном проволоке, и путем взвешивания определим катапультирующую силу. На фиг. 18 показана установка, позволяющая продемонстрировать, что. СИЛА ~ ТОКУ. Чтобы выяснить, какие другие факторы определяют величину катапультирующей силы, мы сначала получим некоторые общие сведения, потом попробуем угадать простой закон, а затем проверим его.

Фиг.18.

Катушки, по которым проходит ток, ведут себя подобно магнитным стержням той же формы и размеров. Замкнутые витки с током подобны очень коротким толстым полосовым магнитам. Два витка притягивают, отталкивают или поворачивают друг друга в точности так же, как эквивалентные им полосовые магниты. Однако в отличие от полосовых магнитов такие витки обладают магнитными полями, которые проходят через них насквозь, причем силовые линии образуют замкнутые кольца (см. фигуры гл. 34). Магнитное поле, проходящее через центр кругового витка, почти однородно в области значительных размеров, и это обстоятельство мы будем использовать при измерениях. Если токи текут по двум длинным параллельным проводникам А и Б, то каждый из них находится в круговом магнитном поле, создаваемом током другого проводника. Кольцевые силовые линии поля, создаваемого током А, пересекают проводник с током Б под прямыми углами. Катапультирующая сила, действующая на Б, перпендикулярна этим кольцевым линиям и направлению проводника Б. Следовательно, она должна быть направлена прямо в сторону проводника А. Если вы начертите силовые линии суммарного магнитного поля, то обнаружите, что проводники притягиваются, если токи в них текут в одном направлении, и отталкиваются, если направления токов противоположны.

Фиг. 19. Катапультирующие силы между параллельными проводниками.

_{Ток одного из проводников создает поле, пересекающее другой проводник под прямым углом. Если этот второй проводник также несет ток, он подвергается действию катапультирующей силы. И тогда на первый проводник будет действовать сила, равная по величине и обратная по направлению.}

Для получения простого закона катапультирующих сил нам не нужны длинные проводники или витки целиком. Вместо этого попытаемся упростить задачу, выбрав для рассмотрения короткий отрезок проволоки, по которой идет ток. После этого мы сможем рассматривать длинные проводники, витки и целые электрические цепи как состоящие из коротких отрезков и находить силу, действующую на проводник в целом, складывая силы, действующие на отдельные отрезки. Этот прием полезен при расчете сил, действующих на катушки в электродвигателях, амперметрах и т. д. Если заменить короткий отрезок проводника с током на отдельный движущийся электрон, то наше и без того упрощенное рассмотрение упрощается до предела. Ампер и другие физики высказали много остроумных догадок о форме закона, который мы ищем, сто лет тому назад, но у них не было способа детально проверить свои догадки, поскольку в их распоряжении имелись только замкнутые цепи целиком. Однако они с успехом проверяли свои предсказания на электрических цепях разнообразных форм[115].

Фиг. 20. Суммарное магнитное поле параллельных токов.

_{Притяжение между токами, текущими в одном направлении, и отталкивание в случае токов, текущих в противоположных направлениях.}

Чтобы вывести нужный закон, начнем с рассмотрения двух длинных параллельных проводников, по которым текут токи I₁ a и I₂ a и которые находятся друг от друга на расстоянии d м. Они будут вызывать катапультирующие силы, действующие в поперечном направлении, как показано на фиг. 22. После этого выберем два очень коротких отрезка проводников, находящихся друг против друга, L₁ и L₂, и не будем обращать внимания на остальные части проводов. Рассматривая их как части длинных параллельных проводников, можно ожидать, что каждый из отрезков будет окружен круговым магнитным полем. Если токи текут в одном направлении, то катапультирующие силы будут притягивать эти два «элемента тока» друг к другу. (Отрезок L₁ , например, по которому течет ток I₁, пересекается магнитными силовыми линиями тока I₂ в проводнике под прямым углом; поэтому на него действует сила — F, направленная слева направо.). Из опыта, описанного выше, мы знаем, что эта сила изменяется прямо пропорционально току в проводнике: F ~ I₁ (из опыта). Если бы мы увеличили длину отрезка проводника вдвое, соединив последовательно два проводника L₁, то, очевидно, сила, действующая на них, была бы равна двум F, т. е. на удвоенную длину пришлась бы удвоенная сила, т. е. сила, действующая на исследуемый проводник, пропорциональна его ДЛИНЕ.

Фиг. 21. «Элементы токов».

_{На двух длинных проводниках выбраны короткие участки L1 и L2, один напротив другого.}

Фиг. 22. Силы, действующие между элементами токов.

_{Их направление подсказывается видом силовых линий суммарного магнитного поля.}

F ~ L₁ (предположение, оправдываемое мысленным экспериментом или здравым смыслом), F ~ I₁ и F ~ L₁ или F ~ I₁L_1. Но схема симметрична — кто может сказать, какой из проводников «действует» на другой, создавая магнитное поле, а какой «подвергается действию»? F ~ I₂L₂ так же, как F ~ I₁L_1. Или. F ~ (I₁L₁)∙(I₂L₂) Полный закон взаимодействия должен содержать расстояние между отрезками проводника. Простые опыты показывают, что F уменьшается с увеличением d. Зная это, что вы можете предположить? Наиболее правдоподобное предположение об обратной квадратичной зависимости, будучи подвергнутым опытной проверке, подтверждается. Тогда. F ~ (I₁L₁)∙(I₂L₂)/d^2. Или. F = B∙[(I₁L₁)∙(I₂L₂)/d²] Где В — общий постоянный множитель. Однако от закона в такой форме пользы мало. Необходим множитель, который бы учитывал отклонения направлений от параллельных и перпендикулярных — этих отклонений мы будем стараться избегать, выбирая простейшие геометрические условия. В опытах мы пользуемся замкнутыми цепями, так что будем считать L₁, короткой стороной длинного прямоугольного витка (а впоследствии участком траектории электрона). Для удобства мы возьмем не один короткий отрезок L₂, а много таких отрезков, соединенных последовательно, и образуем из них кольцевой виток, в центре которого будет располагаться L₁ (фиг. 23, 24). Тогда вокруг каждого из отрезков, образующих виток и несущих ток I₂ а, возникнет кольцевое магнитное поле, пересекающее отрезок L₁, расположенный в центре, и каждый из кусочков кольца будет расположен на расстоянии R, равном радиусу кольца, от L₁. Тогда сила, действующая на L₁, дается выражением. F = B∙[(I₁L₁)∙(I₂∙первый отрезок L₂)/R²] + B∙[(I₁L₁)∙(I₂∙второй отрезок L₂)/R²] + и т. д. (по всем отрезкам L₂, образующим кольцо) = F = B∙[(I₁L₁)∙(I₂)/R²] (первый отрезок L₂ + второй отрезок L₂ + по всему кольцу) = F = B∙[(I₁L₁)∙(I₂∙2πR)/R²] Если кольцо содержит N витков, то. F = B∙[(I₁L₁)∙(I₂∙2πR∙N)/R²] Сформулировав предполагаемый закон, мы проверяем его, измеряя силу, действующую на короткую сторону прямоугольной рамки с током, помещенной в центр кольцевого витка, по которому также течет ток. Пример такого рода изображен на фиг. 23, 24. Без экспериментальной проверки придется поверить этому закону на слово.

Фиг. 23. Проверка закона катапультирующих сил с помощью элементов токов.

_{Измеряется сила, действующая на короткую сторону L1. Кольцевой виток, несущий ток I2, рассматриваем как последовательность коротких отрезков, отстоящих от центра на расстояние R.}

Фиг. 24. Определение катапультирующей силы для частичной проверки закона.

_{А — длинный виток подвешен на коромысле весов, и ток на него подается через чашечки со ртутью; б — длинный виток кладется на рычажные весы, и ток также подводится через чашечки со ртутью.}

Определение постоянной В.

Если в демонстрационном опыте, подобном тому, который изображен на фиг. 24, мы выполним все необходимые измерения (т. е. определим все линейные размеры, измерим оба тока и силу), то после этого сможем оценить постоянную В. Точные измерения дают значение В = 0,000000100,т. е. 10^-7. Это и в самом деле круглое число 1/10 000 000, поскольку величина ампера выбрана так, чтобы сделать его круглым. Следовательно, в нашем определении ампера через скорость осаждения меди мы вынуждены использовать некруглое число 0,000 000 329 кг меди в 1 сек. Отныне мы будем писать 10^-7 вместо В, чтобы избежать путаницы — ведь есть другая постоянная , которую мы использовали при записи закона Кулона, определяющего силу, действующую между зарядами. Используя «закон катапульты», нужно помнить, что 10^-7 — не просто число вроде 2π, а имеет размерность:

B = 10^-7 ньютон∙м²/а²∙м² = 10^-7 ньютон/а^2.

Поразительное предсказание Максвелла.

(Рассуждения, приведенные ниже, слишком трудны для элементарного объяснения; скорее всего этот параграф останется загадкой. Можете его пропустить, если хотите, а можете и прочитать, чтобы познакомиться с рядом удивительных выводов.).

Для катапультирующих сил, т. е. для действия магнитного поля на ток, справедливо выражение.

F = B∙[(I₁L₁)∙(I₂∙L₂)/d²], где B = 10^-7 ньютон/а^2.

Здесь В относится к магнитному полю.

По закону Кулона сила, действующая между двумя электрическими зарядами, равна.

F = [Q₁Q₂/d²], где = 9,0∙10⁹ ньютон∙м²/кулон².

Здесь относится к электрическим полям. Величины В и совершенно разные. Мы не ожидаем наличия между ними какой-либо связи, пока не обнаружим, что изменение магнитного поля порождает поле электрическое. (Опыты с магнитами и катушками в гл. 41 продемонстрируют это; в них будет показано, что движущийся магнит создает электрическое поле и возбуждает ток в замкнутом проводнике.) Сто лет назад Максвелл высказал блестящую догадку, предположив, что наблюдается и обратный эффект: изменение электрического поля порождает магнитное поле. Постоянный ток, например поток электронов, движущихся с постоянной скоростью, сопровождается движущимся электрическим полем и стационарным магнитным полем. Но при изменении тока, например при ускоренном движении электронов вверх и вниз в радиоантенне, происходят изменения в движущемся электрическом поле и в сопутствующем магнитном поле. Эти изменения электрического и магнитного полей должны распространяться вместе в виде электромагнитной волны, причем изменения одного поля будут непрерывно порождать другое поле. Так Максвелл открыл радиоволны чисто теоретическим путем. Тогда две постоянные В и , одна для магнитного поля, а другая для электрического, должны быть связаны. Рассмотрим дробь.

_{для сил, действующих между электрическими зарядами} / B _{для катапультирующих сил.}

Эта дробь имеет размерность (ньютон∙м²/кулон²)/(ньютон/а²) или (м²∙а²)/кулон² или м²/сек², или (м/сек)². Это размерность квадрата СКОРОСТИ. Возьмите в качестве величины дроби 9,00∙10⁹/10^-7, или 9,00∙10¹⁶, и извлеките квадратный корень, тогда получится значение скорости: 3,0∙ 10⁹ м/сек. Это хорошо известная величина — скорость света. Максвелл в своей подробно разработанной теории показал, что дробь √(/В) не просто имеет размерность скорости, но должна представлять собой скорость распространения волны, образованной переменными электрическим и магнитным полями. С такой точки зрения свет оказывается электромагнитными волнами, а результаты измерения его скорости согласуются со значением этой скорости, рассчитанным на основании чисто теоретических соображений по двум постоянным измеренным в электрической лаборатории. Свет, радиоволны, рентгеновские лучи… все электромагнитные волны распространяются в пространстве с этой скоростью.

Если вы видели, как измеряются обе постоянные В и , одна путем определения силы, действующей между двумя заряженными шариками, с помощью весов, а другая при оценке силы взаимодействия двух токов, то сами сможете рассчитать скорость света из этих измерений.

Катапультирующая сила, действующая на движущийся электрон или ион.

Теперь нам нужно произвести еще одно изменение в нашем законе: заменить отрезок проводника L₁ по которому течет ток I₁ отдельным движущимся зарядом, таким, например, как летящий электрон. Катапультирующие силы, вне всякого сомнения, действуют на движущиеся заряды; вы сами можете посмотреть на отклонение пучка электронов в электроннолучевой трубке. И можно представить себе, что ток I₁ создается потоком электронов, текущим внутри проводника.

Предположим, что ток I₁ создается за счет дрейфа n частиц, каждая из которых несет заряд Q и перемещается со скоростью и вдоль проводника L₁. Поставим на выходном конце L₁ наблюдателя, чтобы он считал заряженные частицы, замечал время и вычислял ток I₁. Он пускает свой секундомер в тот момент, когда выходит первая частица А. Он останавливает его, когда некоторое время спустя показывается последняя частица, поскольку ей необходимо было пройти расстояние L₁ со скоростью v. На это уходит время, равное L₁/v сек. За этот промежуток наблюдатель видит появление n частиц, каждая из которых несет Q кулон. Он оценивает ток как ЗАРЯД/ВРЕМЯ, равный nQ/(L₁/v) кулон/сек или nQv/L₁ а. Так что вместо I₁ а мы получили nQv/L₁ а. И вместо I₁L₁ в «законе катапульты» мы должны записать (nQv/L₁)∙L₁, или nQv. Тогда катапультирующая сила, действующая на порцию из n заряженных частиц, дается выражением.

Сила, действующая на отдельную частицу с зарядом Q и скоростью v, определяется как.

(мы заменили I₁L₁ на Qv), или.

F = 10^-7∙(Qv)∙(H), где Н называется магнитным полем, и в центре кольцевого витка Н имеет величину I₂∙2πRN/R².

Это та сила, которая искривляет путь потока электронов или любых других заряженных частиц. Она всегда направлена перпендикулярно направлению движения, так что не может изменить величины скорости частиц. Их скорость меняется только по направлению. Эта сила, равная 10^-7∙QvH, называется «силой Лоренца» в честь голландского физика Г. А. Лоренца, который впервые ввел ее при изучении электронов.

Задача 3. Путь электронного пучка в магнитном поле. Пучок электронов, каждый из которых имеет отрицательный заряд, выстреливается горизонтально в направлении на север, в область, где существует вертикальное однородное магнитное поле, А) Какое направление имеет сила, действующая со стороны этого магнитного поля на электроны пучка? Б) Когда направление пучка изменится под влиянием этой силы, то катапультирующая сила, действующая на электроны, также примет новое направление. Укажите это новое направление. В) Направление движения продолжает изменяться, а величина скорости электронов сохраняется неизменной (в вакууме). Почему? Г) Величина силы, действующей в этом новом направлении, больше, меньше или та же самая? Д) Направление движения продолжает изменяться, и путь пучка, изгибаясь, образует кривую. Что это за кривая? Е) Предположим, вы хотите замедлить электроны. Как этого добиться? (Вопрос сложнее, чем кажется. Он требует тщательного размышления; на него вы должны ответить правильно. Существует несколько хороших методов. Ответ поясните рисунком.).

Фокусировка.

Пучок заряженных частиц, выпущенный перпендикулярно магнитному полю, движется по круговому пути. Это дает дополнительное преимущество: возможность его фокусировки. Нарисуйте несколько электронных пучков, узким веером вылетающих из пушки с одинаковой скоростью. Теперь приложите магнитное поле, перпендикулярное всем пучкам. Каждый пучок изогнется в дугу окружности. На фиг. 26 центральный пучок веера С показан окружностью. Все пучки образуют окружности одного и того же радиуса, выходящие, однако, из пушки каждая в своем собственном направлении. На рисунке показаны пучки А и D в начале своих круговых орбит. Если провести полные окружности, то они будут пересекаться друг с другом вблизи точки X, диаметрально противоположной точке вылета. Это свойство фокусировки используется в измерениях и при конструировании ускорителей.

Фиг. 26. Фокусировка.

_{Электронные пучки, расходящиеся веером, фокусируются магнитным полем. Попробуйте завершить рисунок.}

Задача 4. Фокусировка. Нарисуйте узкий веер электронных пучков, выходящих из маленькой щели (скорость частиц в пучке одинакова). Тщательно вычертите их круговые орбиты с помощью циркуля, или обводя карандашом донышко стакана либо бутылки, и постройте диаграмму, демонстрирующую свойство фокусировки. Задача 5. Поток ионизованных атомов в магнитном поле. Поток ионизованных водородных атомов (т. е. ядер водорода, протонов) пропускается с большой скоростью через однородное магнитное поле. А) Какую форму будет иметь траектория пучка? Б) Рассчитайте радиус траектории пучка r в этом поле, используя данные, которые вы получите, отвечая на вопросы 1) и 2), приведенные ниже. ДАННЫЕ. Каждый атом имеет массу 1,66∙10^-27 кг, заряд +1,60∙10^-19 кулон и скорость 100 000 м/сек. Магнитное поле создается током, протекающим по кольцевой катушке. Катушка насчитывает 1000 витков, имеет радиус 0,40 м и через нее пропущен ток 3 а. Пучок движется вблизи центра катушки в той же плоскости, в которой располагаются ее витки. 1) Рассчитайте силу, действующую со стороны магнитного поля на каждый движущийся атом. 2) Помня, что эта сила перпендикулярна направлению движения атомов, рассчитайте радиус их траектории. (Не забывайте, что для того, чтобы частица двигалась по кругу, на нее должна действовать сила mv²/r, направленная к центру круга. Эта сила как раз и порождается магнитным полем, действующим на движущуюся частицу.). Предупреждение. Не путайте r с R — радиусом витков катушки.

Фиг. 27. К задаче 5.

Задача 6. Пучок электронов в магнитном поле. Предположим теперь, что в задаче 5 в качестве движущихся частиц выбраны не ядра водорода, а электроны с той же скоростью, тем же зарядом (только отрицательным), но массой, в 1840 раз меньшей. Опишите траекторию такого пучка в том же магнитном поле.

Стенки термоядерной установки.

Если нам удастся запустить управляемую термоядерную установку для получения энергии в больших количествах, то среду, в которой будет протекать термоядерная реакция, нельзя будет удержать в аппарате, стенки которого будут изготовлены из обычного вещества, так как для осуществления реакции потребуется температура в десятки и сотни миллионов градусов. В задаче 7 намечен возможный путь использования магнитного поля для удержания заряженных частиц с целью осуществления термоядерной реакции.

Задача 7. Отклонение пучка электронов в магнитном поле. Предположим, что электронный пучок, описанный в задаче 6, кроме составляющей скорости, перпендикулярной полю, имеет еще некоторую составляющую, параллельную полю, (Например, его полная скорость может быть в 1,41 раза больше, чем в задаче 6, и иметь направление, образующее с направлением поля угол 45°. Тогда скорость будет раскладываться на две одинаковые по величине составляющие: 100 000 м/сек в направлении, перпендикулярном полю, и 100 000 м/сек вдоль поля.) Опишите траекторию пучка в этом случае.

Определение скорости электромагнитных волн.

(Рассуждения, приведенные ниже, грубо приближенны, и изложение лишь с натяжкой можно назвать правдоподобным, поскольку мы пренебрегаем всеми ограничениями, которым пришлось бы подчиниться, если строго придерживаться теории относительности и современной электродинамики. Можете пропустить эти рассуждения, а можете и прочитать, только не принимайте их слишком всерьез. Это лишь попытка показать, как можно осмыслить предсказания Максвелла, располагая только теми сведениями, которые вам уже известны. В такой форме это, конечно, не настоящая физика, и приведенные ниже рассуждения должны лишь напомнить вам о двух вещах:

А) хотя для настоящего вывода потребовалась бы довольно сложная математика, в существе явления ничего таинственного нет;

Б) выработка настоящего строгого вывода часто начинается с такого вот грубого, приближенного рассмотрения: чтобы продержаться до конца в первом раунде, хороши любые средства.

Мы будем придерживаться того же хода рассуждений, что и при нахождении скорости, с которой волна бежит по туго натянутой веревке.

Прежде чем разбираться в выводе, приведенном ниже, вернитесь еще раз к рассуждениям в конце гл. 10. Там мы нашли скорость, рассматривая движение излома, «коленца», вдоль веревки. Здесь мы также рассчитаем скорость движения «коленца», только не по веревке, а по силовой линии электрического поля.

Предположим, экспериментатор неподвижно держит заряд +Q в начале координат. Внезапно он дает заряду толчок, и тот начинает двигаться вверх со скоростью u. После этого экспериментатор поддерживает движение заряда Q с постоянной скоростью и вдоль оси у. Сообщение о том, что заряд Q вышел из состояния покоя и начал движение со скоростью u, будет распространяться в стороны в виде волны, бегущей, если хотите, вдоль силовых линий поля заряда Q. Исходное электрическое поле, создаваемое зарядом Q, имеет горизонтальную компоненту вдоль оси х. Но когда с момента начала движения заряда пройдет время t и он переместится на расстояние ut, силовая линия, которая была сначала горизонтальна, теперь будет направлена от Q слегка наклонно вниз до «коленца» К, после которого она снова превращается в исходную горизонтальную линию. Сообщение о начале движения заряда Q только что пришло в точку К. Излом, «коленце» — это характерная точка профиля волны, и она движется вдоль линии со скоростью v.

Теперь предположим, что другой экспериментатор, R, бежит вдоль линии рядом с «коленцем» со скоростью v, не обгоняя его и не отставая. Когда мы рассматривали волну, бегущую по веревке, то вводили воображаемого бегуна, который нес ящичек, заключавший в себе излом веревки, без приложения к веревке какой-либо силы, так что все силы, необходимые для поддержания движения «коленца», обеспечивались натяжением веревки. В рассматриваемом теперь случае представим себе бегуна, несущего небольшую, сделанную из изолятора рукоятку, на которую насажены два заряда. Рукоятка имеет форму рогатки Y, и заряды +q и — q сидят на ее рожках. Мы стоим на месте, смотрим, как он бежит, и видим, что результирующего заряда на рогатке нет, он равен нулю, а поэтому мы не ожидаем, что на рогатку Y благодаря наличию заряда Q или благодаря его движению будет действовать какая-то сила. Мы скажем: «Посмотрите, на рогатке нет никакого суммарного заряда, нит, ее можно поместить в маленький черный ящичек, который будет перемещаться без посторонней помощи, знать ничего не зная об изломе силовой линии».

Если рогатка Y движется впереди «коленца» или за ним, то оба заряда +q и — q находятся в совершенно одинаковом электромагнитном поле, так что мы действительно не обнаруживаем действия на Y какой-либо результирующей силы, присутствие заряда Q и его движение ничем себя не обнаруживают. Но даже если Y движется «грудь в грудь» с точкой излома силовой линии (так что заряд +q находится впереди этой точки, а — q позади), то результирующая сила, действующая на Y, будет по-прежнему равна нулю, и в этом случае Y сможет двигаться со скоростью v без помощи со стороны бегуна. Пробный предмет, движущийся вместе с волной, как пловец на доске на гребне прибоя, не будет ощущать действия какой-либо силы со стороны волны. (Это предположение существенно, но оно не является ни очевидным, ни убедительным[116]. Если вы принимаете его, читайте дальше и посмотрите, как мы теперь получим скорость v. Если вы считаете его не соответствующим действительности, значит, вам удалось найти в цепи рассуждений слабое звено.).

Теперь рассмотрим те силы, которые все-таки действуют на +q и — q в точке излома. Передний заряд, +q, чувствует только горизонтальную силу, толкающую его вперед, прочь от заряда Q, поскольку он находится впереди точки излома, в первоначальном горизонтальном поле. А другой заряд, — q, притягивается к Q наклонной силой, тянущей его назад и вверх. Однако заряд — q чувствует и действие катапультирующей силы тоже, поскольку заряд Q движется, и «новость» о начале этого движения до заряда — q уже дошла. Попробуйте путем рассуждений установить направление этой катапультирующей силы, и вы убедитесь, что она направлена вертикально вниз. Если скорость Q мала, так что расстояние ut, пройденное им, мало по сравнению с расстоянием vt, пройденным изломом (u << v), то горизонтальные силы, действующие на +q и — q, практически погашают друг друга, поскольку и +q, и — q находятся практически на одинаковом расстоянии от заряда Q, создающего поле. На заряд +q не действует никакая вертикальная сила, так что вертикальные силы, действующие на — q, должны скомпенсироваться, чтобы суммарная полная сила, действующая на рогатку Y, равнялась нулю.

Вот чему равны эти две вертикальные силы:

1) Вертикальная составляющая силы электростатического притяжения, действующего между +Q и — q.

Это вертикальная составляющая силы, равной ∙Q∙q/r², т. е.

Поскольку расстояние ЕК практически[117] равно расстоянию vt, пройденному волной.

2) Катапультирующая сила, действующая на заряд — q, движущийся со скоростью v, возникает из-за движения заряда Q со скоростью u. Здесь мы имеем дело с движущимися зарядами, а не с короткими проводниками, несущими ток. Для них мы должны в выражении «закона катапульты» писать Qu вместо I₁L₁ и qv вместо I₂L₂. Кроме того, эти два «тока» не параллельны друг другу, а образуют друг с другом прямые углы. Однако магнитное поле от, (Qu), когда заряд Q не успел уйти далеко от начала координат, все еще будет круговым и будет пересекать «ток» (qv) под прямым углом (фиг. 28), так что выражение для катапультирующей силы должно быть по-прежнему справедливым:

Катапультирующая сила = B∙[(I₁L₁)∙(I₂∙L₂)/d²] = B∙[(Qu)∙(qv)/r²]

Если в итоге на Y не действует никакая сила, то силы 1) и 2) должны быть равны по величине и противоположны по направлению:

Сократим Q, q, t, u и r². Все детали, характеризующие наш мысленный эксперимент, исчезли:

/v = Bv или v² = /B.

Следовательно, скорость волны v = √(/B). Это скорость, с которой должен распространяться излом. Волну любого другого профиля можно рассматривать как состоящую из многих «коленец», движущихся с одинаковой скоростью. Это и есть универсальная скорость движения электромагнитных волн в пустом пространстве, одинаковая для волн любой формы и любых частот.

Фиг. 28. Спустя время t заряд +Q находится в точке Е на расстоянии ut от начала координат O, а «коленце» К — на расстоянии vt от О.

Глава 38. Разделение атомов.

Не само знание, но любовь к познанию характеризует ученого. В отличие от него «философ» — это человек, построивший систему представлений, охватывающую, как он думает, все наиболее ценное из того, что стоит знать. Если человек горит жаждой познания и проверяет свои рассуждения, сопоставляя их с данными опыта, каждый ученый будет признавать в нем брата по духу независимо от того, насколько малы знания этого человека. К. С. Пирс

Сортировка.

ВЫПИСКА ИЗ ФИРМЕННОГО КАТАЛОГА, РАЗОСЛАННОГО БАНКАМ: «Эта машина с механическим приводом сортирует и считает с большой скоростью перемешанные монеты… будет считать все монеты от пенни до полудоллара, будет непрерывно засыпать их в мешки или заворачивать заранее заданные количества монет в бумажные обертки… работают два ряда циферблатов: один регистрирует каждый сорт монет в долларах и центах… другой ряд регистрирует каждый номинал монет численно, например 399 пенни, 204 никеля и т. д».

В давние времена банкиры имели время и озабоченно подсчитывали свою кассу. Определение округленного веса мешка монет пришло на смену трудоемкому счету. Современные банкиры покупают машины. В давние времена ученый был даже в худшем положении, чем банкир: он мог разделять атомы химически по элементам и взвешивать «полными мешками», но не мог взять в руки отдельные атомы. Он предполагал, что природа, подобно хорошему чеканщику, выпускает все атомы одного элемента подобными, но это предположение было ошибочным. В настоящее время у нас есть прибор, который сортирует атомы столь же эффективно, как машина — монеты. Этот прибор — масс-спектрограф — использует средства, описанные в двух предыдущих главах (электрические и магнитные поля), для разделения какого-нибудь образца на отдельные атомы и взвешивает атомы. Если элемент содержит не более одного сорта атомов, это взвешивание будет образцом химического анализа, но масс-спектрографическое взвешивание даст нам значительно больше, чем химический анализ. Эксперименты с первыми масс-спектрографами помимо разделения атомов одного элемента на составляющие показывали простое правило — целочисленность масс ядер. Позднее более точные измерения показали небольшие отклонения от этого правила, и эти отклонения, разбивающие нашу веру в простоту природы, привели к сведениям огромной важности об атомном ядре.

Прежде чем рассмотреть современные масс-спектрографы, мы должны взглянуть на историю методов разделения атомов, которая началась в начале нашего столетия,

Осколки атомов.

Все электроны имеют отрицательный заряд и все подобны друг другу. Однако положительные ионы — остатки атомов, у которых оторваны электроны, — сильно различаются. Разделение атомов на электроны и положительные ионы — это первое расщепление «неделимых» единиц материи, и оно дает первые наметки атомной структуры.

Наиболее легкий путь получения осколков атомов для их последующего анализа — бомбардировка молекул газа. В настоящее время мы обстреливаем образец газа пучком электронов из маленькой электронной пушки. Полвека тому назад, когда начали производить разделение атомов, бомбардировка осуществлялась приложением высокого напряжения к газу, находящемуся при низком давлении, — при этом ионы и электроны производили еще больше ионов при соударениях. В светящемся электрическом разряде между электродами происходило хаотическое движение электронов, положительных и отрицательных ионов, нейтральных атомов и молекул, рентгеновских лучей и видимого света. Электроды (металлические пластины) вводились в трубку с двух сторон, в каждом электроде высверливались отверстия (фиг. 29).

Фиг. 29. Разрядная трубка с газом при низком давлении, с отверстиями в электродах, позволяющими потокам электронов и положительных ионов распространяться за пределы электрического поля.

Поэтому потоки заряженных частиц проходили через отверстия в пластинах в «заанодное» и «закатодное» пространство. Пучок электронов простреливался через отверстие в аноде. Противоположно заряженный пучок простреливался в противоположном направлении; этот пучок оказался состоящим из значительно более тяжелых частиц, несущих положительные заряды. Каждый из пучков был подвергнут разделению с помощью электрического и магнитного полей.

Пучок электронов наилучшим образом обнаруживает свои свойства в почти полном вакууме, когда имеется мало молекул газа, которые могут замедлять электроны при столкновениях, или ионов, ослабляющих электрическое поле. Именно тогда ясно проявляется единая черта этих частиц независимо от вещества, из которого они получены: одно и то же значение e/m.

Для получения потока положительных частиц в трубке должно быть оставлено некоторое количество газа, поставляющего ионы, которые и образуют поток положительно заряженных частиц.

В анализируемом пространстве должен поддерживаться достаточно хороший вакуум, который сохраняется с помощью непрерывной откачки при очень тонком отверстии в электроде.

Измерения отклонений положительных пучков показали, что они состоят из частиц с массой много большей, чем у электронов; массы частиц зависят от сортов газов и паров в разрядной трубке:

— водород имеет массу 1840 m и заряд +е в сравнении с массой электрона m и зарядом электрона — е;

— кислород имеет массу 16x1840 m и заряд +е, а иногда +2е;

— углерод (полученный испарением твердого образца или разрушением молекул газа, подобного СН₄) имеет массу 12x1840 m и заряд +е.

Взвешивание осколков атомов, освобожденных от некоторого числа электронов, явилось одним из важнейших экспериментов в атомной физике. Из этих экспериментов могло быть сделано первое предположение о внутренней структуре атомов: часть атома должна состоять из легких электронов, большая часть массы атома приходится на положительный остаток. Таким образом, атомы — «нерасщепляемые» элементарные частицы химии — были разделены на компоненты. Задача 1 иллюстрирует общую идею такого разделения в упрощенном виде.

Задача 1. Разделение атомов в газовом разряде. На фиг. 30 показана разрядная трубка с электродами А и В в виде металлических пластин. К электродам приложена большая разность потенциалов для создания сильного поля в области Y между электродами. Предполагается, что во внешних областях X и Z горизонтальное электрическое поле отсутствует. В области Y находится небольшое количество газа, в газе образуются электроны и положительные ионы.

Фиг. 30. Разрядная трубка с отклоняющими пластинами (см. задачу 1).

Большинство электронов, увлекаемых полем, ударяется в пластину В, но некоторые проходят через отверстие, образуя пучок в области Z. Вертикальное электрическое поле, создаваемое пластинами Р_z и P'_z, отклоняет этот пучок вниз. В области Z действует и магнитное поле, перпендикулярное плоскости страницы; это поле также отклоняет пучок электронов вниз. Рассмотрим теперь действие таких же полей на положительные ионы, проходящие через отверстие в пластине А в область X. А) Между пластинами Р_x и P'_x действует такое же электрическое поле, как между пластинами Р_z и P'_z. Куда это поле будет отклонять положительный пучок — вверх или вниз? Б) В области X действует такое же магнитное поле, как и в области Z. Куда это поле будет отклонять положительный пучок — вверх или вниз? Почему? В) Электроны, проскакивающие область Z, были образованы вблизи пластины А и прошли в области Y расстояние, на котором происходит полное падение напряжения V электронной пушки (как это часто делается в подобных трубках). Предположим также, что некоторые положительные ионы с одинаковым по величине зарядом +е стартуют вблизи пластины В и появляются в области X, тоже испытав действие полного падения напряжения V. Приложение одинаковых электрических полей между пластинами Р и Р' к потокам в области X и Z будет давать одинаковые отклонения обоих потоков и не будет показывать разницы в массах частиц. Объясните, почему отклонения должны быть равными. (Не делайте подробных расчетов. Придумайте качественное объяснение при рассмотрении горизонтальных скоростей или аргументируйте объяснение приближенными алгебраическими оценками.). Г) 1. Если два вида частиц имеют одинаковые заряды и проходят через одну и ту же область пространства с падением напряжения V, все они имеют одинаковую кинетическую энергию. ¹/₂ Mv_i² = V∙e для ионов, ¹/₂ Mv_e² = (-V)∙(-e) для электронов. Теперь предположим, что одинаковое магнитное поле Н действует на оба потока (в областях X и Z). Сила, действующая на частицу с зарядом Q, движущуюся со скоростью и, определяется выражением. F = 10^-7(Qv)(H). Каждый поток будет двигаться по круговой траектории. Сравните кривизну траекторий, записывая отношение радиусов R_i/R_e в зависимости от М и m. 2. Если отношение М/m составляет около 26 000 (как это имеет место для ионов азота) и определенное магнитное поле искривляет пучок электронов в окружность радиусом 0,05 м, то какой радиус будет иметь ионный поток? Д) Если некоторые частицы стартуют с середины области Y и проходят путь, где падение потенциала составляет только ¹/₂ V, каково будет их отклонение в. 1) электрическом поле? 2) магнитном поле?

Как видно из задачи 1, электрические поля сами по себе не дадут нам возможности сортировать движущиеся ионы по массам. Дело в том, что электрическое поле уже накладывалось вдоль потока посредством ускоряющего напряжения пушки; повторное использование электрического поля, действующего поперек потока, не даст новой информации. Но при наложении магнитного поля на пучок, созданный действием напряжения пушки, мы можем сортировать ионы в пучке. Если мы приложим высокое напряжение между пластинами А и В (фиг. 30) и приложим магнитное поле к пучку в области X, мы получим отклонения, пропорциональные значениям е/Мv.

При анализе положительных пучков повышаются требования к высокому вакууму, и нужны значительно более сильные поля, чем при анализе пучка электронов. Задача 1, д) показывает, что ионы, которые стартуют в различных точках области Y, будут иметь различные энергии; таким образом, даже ионы с одинаковым значением е/М будут давать различные отклонения. Однако мы можем создать приспособления для получения потока ионов с равными скоростями или с равными кинетическими энергиями, и тогда отклонения ионов позволят проводить прямые измерения е/М для каждого сорта ионов,

Первые измерения.

Грубые измерения перед самым началом XX века начали показывать, что частицы в положительных пучках имеют массы атомов и молекул (если их заряд +е или несколько единиц +е). В 1910 г. Дж. Дж. Томсон пропустил тонкий пучок через электрическое и магнитное поля, подобранные таким образом, чтобы ионы давали определенные метки для каждого значения е/М, несмотря на различие в их скоростях. Его измерения показали следующее (см. таблицу в гл. 36).

Водород из разрядной трубки обнаруживает значение е/M около 108 кулон/кг, такое же, как для ионов водорода при электролизе. Метка ионов Н⁺⁺ с удвоенным значением отношения ЗАРЯД/МАССА не появляется; таким образом, нет никаких признаков того, что атом водорода может терять более чем один электрон. Однако Томсон нашел половинное значение, которое он правильно интерпретировал как принадлежащее ионизованным молекулам водорода, H₂⁺. В разрядной трубке с кислородом Томсон регистрировал ионы с е/М в 1/16 от е/М для ионов Н⁺, по-видимому, ионы О⁺. Он также регистрировал удвоенное значение указанной величины, которую можно отнести к О⁺⁺. Записывая значения е/М, Томсон мог сравнивать между собой массы атомов многих элементов, или, как химики давно называли их, «атомные веса». Таким образом, ион О оказался тяжелее иона Н в 16 раз.

Помещая в разрядную трубку газ метан, СН₄, Томсон получил метки для масс 1, 12, 16, принадлежащих Н⁺, С⁺, ионизованным молекулам метана СН₄⁺ и даже нестабильным группам, таким, как СН₂⁺ — не известным в то время химикам свободным радикалам.

Ион ртути мог нести до восьми «+» зарядов.

Эти данные согласовались с данными для ионов и атомов, полученными ранее при проведении электролиза и исследовании химических свойств.

Но затем возник изумительный сюрприз: газ неон в трубке дал странную запись. Атомный вес неона был хорошо известен и составлял 20,2, но запись показала две метки: одну для ионов с массой в 20 раз тяжелее иона водорода, другую, тусклую метку для массы 22.

Задача 2. Решающий опыт. Томсон был уверен, что метка «20» относится к ионам неона, так как интенсивность ее была пропорциональна количеству неона в смесях газов, которые он исследовал. Слабая линия 22 должна относиться к более тяжелой разновидности атомов неона или должна быть отнесена к странному соединению неона с примесным водородом в трубке — NeH₂. Как поставить простой решающий опыт для выбора между этими двумя возможностями?

Изотопы.

Существуют два неона, два атома-брата у одного и того же элемента. Один из них на 10 % тяжелее другого. Они были названы изотопами. Этот термин уже был введен для обозначения подобных атомов при исследовании радиоактивности.

Масс- спектрографы.

После открытия изотопов неона возникло широкое поле деятельности для разделения атомов. Одна хитроумная схема за другой изобретались для «фокусировки» потоков положительных лучей в четкие тонкие метки, которые могли обеспечить точные измерения масс атомов.

Это был удивительный метод определения масс атомов различных веществ. Трудности в выделении отдельных элементов не существовали! Каждый тип атомов дает свои метки, и мы можем даже оценить пропорции составляющих вещество атомов по плотности меток. Правда, некоторые молекулярные группы также дают метки, но опытный масс-спектрографист может расшифровывать масс-спектры так же легко, как врач расшифровывает состав крови.

Сначала ионы фокусировались на экран, покрытый специальным составом, который светился, когда ионы ударялись об экран. Затем были использованы фотопластинки или фотопленки — после проявления темные метки появлялись в тех местах, в которые попадали ионы (фиг. 31).

Фиг. 31. Вид спектра масс.

(Эскизы с масс-спектрограмм на фотопластинке. Метка для каждой ионной массы на оригинале серая или черная. Здесь они показаны только черным цветом.).

А — спектр масс, записанный Астоном от газообразного брома (80 и 81) и двуокиси углерода (44), введенных в разрядную трубку. СО₂ поставляет ионы, которые дают метку 44 (СО₂⁺), 22 (СО₂⁺⁺) и 28 (СО⁺). Бром поставляет ионы, которые дают метки 39,5 и 40,5 (Вг⁺⁺), а также 26,3 и 27 (Br⁺⁺⁺). В разрядной трубке имеются также следы Н, Cl, S и др. элементов, и они поставляют ионы, которые дают метки 35 и 37 (С1⁺), а также 36 и 38 (НС1) и др. (из книги: F. W. Аstоn, Mass Spectra and Isotopes, E. Arnold Ltd, London).

Б — спектр масс, полученный Демпстером. Ионы кадмия (Cd⁺) были получены методом «горячей искры», проскакивающей между кадмиевыми электродами в вакууме. Фотография показывает метки всех изотопов и их относительное содержание (из: Ргос. Am. Phil. Soc. 75 (1935)).

Во всех этих опытах получали метки для каждой атомной массы. Расположение меток на полосе фотопленки сильно напоминает оптические линейчатые спектры, получаемые от светящегося газа. Это подсказывает подходящее наименование — масс-спектрограф для прибора, который дает развернутую запись масс атомов. Мы иногда называем этот прибор масс-спектрометром, если он предназначен для очень точных измерений. Можно заметить, что оптические спектры различных элементов отличаются друг от друга, но спектры различных изотопов одного элемента различаются несущественно.

В настоящее время ионы одной массы обычно фокусируются на тонкую щель. Ионы проходят через щель и собираются на коллекторе; при разрядке коллектора возникает небольшой электрический ток, который можно усилить и зарегистрировать. Изменяя поле, можно пропускать через щель потоки с разными массами, при этом на графике возникает острый пик для каждой атомной массы. На фиг. 32 показан такой график. Рассчитанные по результатам точных измерений массы являются массами ионов. Для нахождения масс нейтральных атомов мы должны добавить к массе иона массу потерянного электрона (потерянных электронов), что легко сделать.

Фиг. 32. Запись на масс-спектрографе.

_{Эта запись получена М. Б. Сэмпсоном на масс-спектрографе, подобном показанному на фиг. 34. При анализе ионов стронция запись показывает, что наиболее распространенным является изотоп 88 (82 %), другие изотопы имеют массовые числа 87, 86, 84. Не видно отметки для радиоактивного изотопа стронций-90, содержание которого составляло 0,05 % от общего количества атомов стронция.}

Гипотеза Проута.

Открытие изотопов дало новый ответ на старую химическую загадку, заключающуюся в приблизительной целочисленности масс атомов. Столетие тому назад Проут отметил эту простую закономерность для химических «атомных весов». Принимая массу атома водорода за 1,01, получаем (используя современные величины, найденные при точных химических взвешиваниях) следующие значения атомных весов;

_{(Наилучшее приближение к целочисленности получается при использовании шкалы, в которой масса кислорода принята равной точно 16, чем при использовании шкалы, где за единицу принята масса водорода. В кислородной шкале масса водорода — 1,008. Специалисты-химики давно пользуются кислородной шкалой. Сейчас мы также воспользовались этой шкалой.).}

Приведенный выше список — специальный подбор немногих чисел, хорошо согласующихся с гипотезой Проута. В списке Проута были более округленные величины. Целые числа встречались в этом списке слишком часто для того, чтобы это можно ыло объяснить счастливой случайностью. Проут предположил, что все атомы построены из водородоподобных блоков. Но многочисленные исключения упорно портили картину; наибольшую неприятность доставлял хлор, для которого тщательные химические измерения давали атомный вес 35,5 при каждом новом измерении.

Сорок лет спустя масс-спектрографы принесли спасение и показали, что нет атомов хлора с атомным весом 35,5, но есть смесь двух изотопов, 35 и 37, в такой пропорции, что средний атомный вес составляет 35,46.

Задача 3. В масс-спектрограмме хлора имеются также метки у чисел 36 и 38. Разумно предположить, что эти метки обусловлены другими ионами, помимо простого иона С1⁺, хотя они всегда появляются при использовании хлора, А) Существование какого иона вы можете предположить, если известно, что в приборе использовались другие газы для сравнения? Б) Как можно проверить ваше предположение на этом же приборе?

Массы изотопов.

Многие элементы имеют по два и более изотопов. Массы изотопов приблизительно целочисленны по отношению к Н = 1 или O = 16. Даже кислород, атомный вес которого химики решили принять равным 16 в качестве стандарта, имеет довольно редкий изотоп с массой 17[118] (поэтому мы теперь используем определенный изотоп кислорода О₁₆ в качестве стандарта массы 16,0000).

При более тщательном исследовании у водорода найден тяжелый изотоп с удвоенной массой, называемый теперь дейтерием[119].

Еще позднее был найден изотоп водорода утроенной массы, называемый теперь тритием. Он радиоактивен.

Конструкция масс-спектрографов.

В задачах 4 и 5 обсуждаются конструкции существующих масс-спектрографов.

Примеры масс-спектрографических результатов.

Здесь приведено несколько примеров, отобранных для иллюстрации смесей изотопов, найденных в природе. Массы даны с округлениями. Результаты прецизионных измерений будут обсуждаться в следующем разделе. Точные значения отличаются от приведенных целых чисел на величины до 0,1. Принятая шкала: масса атома О¹⁶ = 16,00000.

Задача 4. Масс-спектрограф Бейнбриджа с селектором скоростей. Этот прибор, предложенный Дж. X. Бейнбриджем, сначала выделяет ионы с определенным значением скорости, а затем производит определение е/М с помощью магнитного поля (фиг. 33). Электрическое поле в области Y создает скопления ионов. Сильное электрическое поле между электродами А и В движет поток ионов через щель S, ионы обладают широким набором скоростей. Ионы проходят узкий коридор между пластинками Р и Р', к которым приложена постоянная разность потенциалов. В объеме коридора действует также постоянное магнитное поле, напряженность которого перпендикулярна сти чертежа. Электрическое поле между Р и Р' смещает в сторону ионы, движущиеся вдоль коридора вниз. Магнитное поле ориентировано так, что оно смещает ионы в противоположную сторону. Таким образом, ионы в потоке должны проходить сквозь скрещенные электрическое и магнитное поля. Пройти вниз по всему коридору и успешно достигнуть щели S' смогут только те ионы, для которых действия электрического и магнитного полей взаимно погашаются. Показать, что все ионы с различными значениями е и М, но с некоторой одинаковой скоростью могут пройти селектор, проведя следующие расчеты:

Фиг. 33. Масс-спектрограф типа Бейнбриджа с селектором скоростей (см. задачу 4).

А) Если разность потенциалов между Р и Р' составляет V в, а расстояние между пластинками равно d м, то напряженность поля между пластинками будет (V/d) в/м. С какой силой будет действовать это поле на ион, имеющий заряд е кулон и движущийся со скоростью u м/сек? (См. гл. 33.) Б) Если напряженность однородного магнитного поля равна Н, то сила, действующая на движущийся заряд, определяется уравнением F = 10^-7(Qv)∙(H). С какой силой будет действовать магнитное поле на движущийся ион? В) Рассчитайте скорость ионов, которые могут пройти коридор до щели S'. Те ионы, которым удалось пройти через вторую щель (S''), выходят в область W, где нет электрического поля. Но то же самое однородное магнитное поле с напряженностью Н действует во всей области W. (Вектор напряженности перпендикулярен плоскости чертежа.). Г) Предскажите траекторию в области W для пучка ионов с одинаковой массой М и скоростью и, найденной выше. Д) Где должен фокусироваться такой пучок, выходящий из S' в виде узкого веера? Е) Где будет фокусироваться пучок, если ионы имеют ту же выделенную скорость v, что и в пункте д), но удвоенную массу 2М? Ж) Набросайте эскиз установки и укажите в нем подходящее место для фотопленки, которая должна регистрировать сфокусированные пучки ионов с массами М, 2М, 3М и т. д., движущиеся с выделенной скоростью v. Задача 5. Масс-спектрограф с моноэнергетическим ионным источником. В этой конструкции (фиг. 34) все ионы с различными массами проходят через область с одним и тем же падением напряжения. При этом все ионы, с единичным зарядом +е будут иметь одинаковую кинетическую энергию (иона с удвоенным зарядом +2е будут получать удвоенную кинетическую энергию, но метки этих ионов можно отличить от остальных). Ионная пушка имеет три части: 1) маленькая электронная пушка для бомбардировки газа с целью получения ионов. При этом попутно совершается работа расщепления молекул газа на отдельные атомы; 2) в области между пластинкой В и сеткой G ионы осторожно направляют в сторону сетки малой разностью потенциалов между В u G. 3) Ионы дрейфуют через сетку и встречают сильное электрическое[120] поле с большой разностью потенциалов V между G и диафрагмой пушки М. Таким образом, все ионы, двигающиеся из области позади G, получают практически одинаковую кинетическую энергию, так как они проходят всю область падения напряжения пушки V в. Предположим, что поток, выходящий из пушки, содержит ионы с массой М кг и зарядом +е кулон. Предположим также, что эти ионы попадают в однородное магнитное поле с напряженностью Н, перпендикулярной их траектории. При этом их траектория превращается в окружность радиусом r.

Фиг. 34. Масс-спектрограф с моноэнергетическим ионным источником и с фокусировкой магнитным полем (см, задачу 5).

А) Объясните, почему кинетическая энергия каждого иона, равная ¹/₂ mv², должна составлять eV дж. Б) Покажите, что радиус r круговой траектории должен описываться выражением. Примечание. Сила, действующая на заряд Q, движущийся со скоростью v через магнитное поле с напряженностью Н, составляет. F = 10^-7(Qv)∙(H). В) Предположим, что V и Н остаются постоянными и имеется два вида ионов с одинаковыми зарядами, но различными массами — одна масса вдвое больше другой. Как будут различаться радиусы фокусирующих окружностей для этих ионов? Г) Предположим, имеются два вида ионов, масса одного из них вдвое больше массы другого, как в пункте в). Предположим, что ускоряющее напряжение V изменено, а Н осталось постоянным. Во сколько раз пришлось изменить V, чтобы тяжелый ион фокусировался при том же радиусе, что и легкий ион?

В задаче 5, в) предполагается, что фотопленка, располагающаяся в фокусирующей области, облучается пучками ионов различных масс и при проявлении демонстрирует четкие метки для каждого значения массы.

В задаче 5, г) потоки ионов с различными массами последовательно попадают в одну и ту же выходную щель при изменении ускоряющего напряжения. Ионы попадают на коллектор позади щели; ионный ток усиливается и показывает относительное содержание ионов данной массы. График зависимости ионного тока, ПРОХОДЯЩЕГО ЧЕРЕЗ ЩЕЛЬ, ОТ УСКОРЯЮЩЕГО НАПРЯЖЕНИЯ, показывает распределение ионов по массам. Типичный график показан на фиг. 32.

Химия и массы атомов.

В давних измерениях, которые мы описали, массы атомов сравнивались с массами, полученными при химических взвешиваниях; но это было взвешивание огромных количеств атомов в предположении, что все атомы одного элемента одинаковы. В течение более чем столетнего бурного развития химии изотопы никогда себя не проявляли. Все изотопы одного элемента имеют одинаковые химические свойства. Свидетельство этого — постоянство содержания изотопов хлора (35 и 37), что дает постоянный «атомный вес» 35,46 в самых различных весовых определениях хлора из различных источников, из различных процессов, в которых хлор участвовал, прежде чем он был выделен и взвешен.

За полстолетия до исследования ионов в газах были хорошо измерены заряды атомов, переносящих ток в растворах солей. Продукт, получаемый при электролизе, легко взвесить, можно также измерить полную величину перенесенного заряда и таким образом найти точное значение е/М для каждого типа ионов. Когда первые измерения с ионами в газах дали подобные же значения е/М, появилось предположение, что одинаковые атомные частицы несут одинаковый заряд и в газах, и в жидкостях, и это предположение казалось правильным.

Но измерение е/М при электролизе производится взвешиванием больших количеств веществ, и для каждого элемента находятся усредненные значения отношения.

ЗАРЯД е / СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ М ДЛЯ ИОНОВ ДАННОГО ЭЛЕМЕНТА.

Усреднение не создавало причин для беспокойства, пока все атомы одного элемента считались идентичными — очевидное допущение, которое считалось безусловной истиной при рассмотрении атомов во всей химии XIX столетия. Даже в начале 1900-х годов идентичность атомов казалась правильным представлением, исключение составляли некоторые проблемы специальной области — исследования радиоактивности. Конечным продуктом различных рядов распада (генеалогических деревьев) является свинец; стало казаться, что различные ряды, которые были открыты, оканчиваются атомами свинца с немного различающимися массами. Был и другой намек, связанный с поведением некоторых промежуточных членов рядов, которые вели себя подобно свинцу, но определенно имели необычные массы, — мы теперь знаем, что это был радиоактивный свинец.

Термин изотопы напрашивался для таких атомов одного элемента с различающимися (слегка) массами. Однако этот намек о неравенстве масс был отнесен к числу специальных представлений учения о радиоактивности, и идентичность атомов оставалась правилом вплоть до анализа положительных лучей, показавшего, что атомы являются изотопами.

Присутствие таких «неравных двойников» явилось как неожиданным, так и полезным в химии. Теперь, когда мы знаем о существовании изотопов и можем разделять их, используя различия физических свойств, мы применяем изотопы, как индикаторы в химических реакциях. Дейтерий, тяжелый изотоп водорода, особенно полезен как свидетель, показывающий пути атомов водорода при синтезе органических молекул.

Изотопы могут быть разделены различными физическими методами (см. описание диффузионного метода в гл. 25 и 30). В случае необходимости мы можем использовать масс-спектрограф для разделения изотопов и сбора точно известных количеств каждого иона в местах, где они фокусируются. Такой метод использовался для выделения легкого изотопа урана U²³⁵ в ранних опытах с делящимися материалами. Сейчас разделенные изотопы некоторых элементов широко применяются в качестве меченых атомов.

Маленькие несоответствия.

Открытие изотопов принесло новое признание гипотезе Проута. Однако очень точные измерения на масс-спектрографах, в которых ионные потоки собираются в очень острых фокусах, показывают, что массы атомов не являются точно целыми числами (в какой бы шкале они ни выражались). Отклонения выглядят незначительными до тех пор, пока мы не переведем их в эквивалентную разность энергий, используя формулу Е = mс². А вот тогда мы обнаружим, что масс-спектрограф смог обеспечить точные измерения, необходимые для расчетов при ядерных превращениях.

Выделение энергии при делении и синтезе. Примеры использования точных значений масс атомов.

Исследование и использование соотношения Е = mс² в ядерной физике будет описываться в гл. 43. Между тем если вы пожелаете принять кое-что на веру, то сможете увидеть приложение этой формулы к точным масс-спектрографическим измерениям. Мы попытаемся рассмотреть два упрощенных примера из ядерной физики — один из них реакция синтеза, другой — реакция деления.

Расчеты не являются абсолютно точными, а результаты не имеют практического значения. Однако примеры хорошо иллюстрируют характер энергетических расчетов.

Мы используем следующие значения масс[121] из современных масс-спектрографических данных (за счет которых можно даже повысить на один-два порядка точность расчета):

Таблица масс атомов. (в шкале, где масса атома кислорода принята за 16,0000). Н¹ (обычный водород)… 1,0081. Не⁴ (обычный гелий)… 4,0039. Ag¹⁰⁷ (самый легкий изотоп серебра)… 106,939. Хе¹²⁸ (один из самых редких изотопов ксенона)… 127,944. U²³⁵ (делящийся изотоп урана)… 235,116.

Синтез.

Предположим, что четыре атома водорода могут соединиться вместе и образовать один атом гелия. Осуществить такую реакцию химическими методами невозможно. Превращения элементов, по-видимому, происходят в очень горячих звездах. Излучение Солнца, по всей вероятности, поддерживается ядерными реакциями, происходящими по схеме кругового цикла, но подобные реакции невозможны при обычных земных температурах.

Предположим, мы хотим получить около 4 кг гелия. Тогда нам потребуется четыре порции водорода, по 1 кг каждая. По точному расчету возьмем.

4 x 1,0081 кг вещества —> 4,0039 кг вещества.

Предположим, и это будет правильно, что разность 0,0285 кг составляет массу энергии, освобождающейся в виде излучения, кинетической энергии и т. д. Доверяя соотношению Е = mс², мы будем ожидать выделения энергии:

Δ_{ЭНЕРГИЯ} = (Δm)∙с² = 0,0285 кг∙(3,0∙10⁸ м/сек)² ~= 2,6∙10¹⁵ дж ~= 600 000 000 000 больших калорий.

Сравним это значение с «молекулярным синтезом» атомов водорода и кислорода при образовании воды:

ХИМИЧЕСКАЯ РЕАКЦИЯ. 2Н₂+ О₂ —> 2Н₂О. 4 кг водорода + 32 кг кислорода —> 36 кг воды с выделением 140000 больших калорий.

При использовании того же самого количества водорода (соединяющегося с кислородом воздуха) выделение энергии в четыре миллиона раз меньше.

Деление.

Предположим, что атом U²³⁶ делится на два более легких атома — атом серебра Ag¹⁰¹ и атом газа ксенона Хе¹²⁸ — и что другие частицы не появляются. (Большинство событий деления сопровождается освобождением нейтронов, поэтому, хотя ксенон и серебро и являются возможными продуктами деления, это — искусственный пример. Однако он подходит для оценки освобождающейся энергии.) Предположим, превращению подвергается 235 кг урана:

ЯДЕРНОЕ ПРЕВРАЩЕНИЕ. U²³⁵ —> Ag¹⁰⁷ + Хе^125. 235,116 кг —> 106,939 кг +127,944 кг. 235,116 кг вещества —> 234,883 кг вещества.

Принимая E = mc², мы ожидаем освобождения энергии:

Δ_{ЭНЕРГИЯ} = (Δm)∙с² = 0,233 кг ∙ (3,0∙10⁸ м/сек)² ~= 2∙10¹⁶ дж ~= 5 000 000 000 000 больших калорий.

Сравним это с химическим разрушением молекул тринитротолуола (ТНТ). При взрыве 235 кг ТНТ освобождаемая энергия составляет около 850 000 больших калорий. Молекула ТНТ легче атома урана на 3 %. Таким образом, одна молекула ТНТ при взрыве дает выход энергии в шесть миллионов раз меньше, чем один атом урана (по приведенной выше оценке),

Иголка в стоге сена. Значение прецизионных измерений.

Если мы хотим знать «вес стога сена» для научных целей, не так важно, будет ли находиться в стоге иголка во время взвешивания. Но если мы захотим знать «вес иголки» и можем взвесить ее только вместе с сеном, то мы должны будем произвести взвешивание стога сена с иголкой и просто стога сена с очень высокой точностью, если хотим найти малую разность с некоторой точностью.

Снова и снова в истории науки малые разности, полученные в прецизионных экспериментах, порождают новые большие открытия: ранние астрономические записи дали возможность Гиппарху открыть прецессию точек равноденствия; страсть Тихо Браге к точным измерениям дала Кеплеру его верную 8-минутную разность, «благодаря которой…»; предельно точные измерения оптических спектров дали возможность расширить представления атомной модели Бора, и, наконец, высокая точность масс-спектрографических измерений масс атомов предзнаменовала управление энергией ядерных превращений.

Предварительные задачи к главе 39.

Задача 1. Камера Вильсона, применяемая в ядерной физике. Известно, что очень маленькая водяная капля испаряется много легче, чем лужа с плоской поверхностью (или большая круглая капля). Дело здесь не только в важной роли, которую играет отношение поверхности к объему для разных капель. Известно, что большая капля или лужа, оставленные в насыщенном влагой воздухе (100 % влажности), будут сохраняться, в то время как крошечная капля испарится. А) Покажите на эскизе испарение молекулы с ОЧЕНЬ маленькой круглой капли и сообразите, почему молекула в этом случае может улетучиваться особенно легко. (Намек: молекулы воды притягиваются друг к другу — это проявляется в поверхностном натяжении, — но это притяжение действует только на коротком расстоянии в несколько молекулярных диаметров. Это ограничение проявляется в том, что пленки нефти и т. п. имеют одинаковое поверхностное натяжение независимо от того, являются ли они толстыми, тонкими или очень тонкими, — только предельно тонкие пленки имеют меньшее поверхностное натяжение.). Б) После этого угадайте причину, по которой облако водяных капель с трудом образуется даже в пересыщенном воздухе. (Намек: каждая дождевая капля должна начинаться, как…?). В) Обычный пыльный воздух содержит частицы пыли, к которым вода может легко прилипать. Хотя частицы и кажутся микроскопическими, они все же велики по сравнению с крошечными водяными каплями. Почему туман легче образуется в пересыщенном пылью воздухе? Г) Образец влажного пыльного воздуха помещен в цилиндр с подвижным поршнем. Поршень быстро выдергивается, и воздух расширяется. Почему образуется туман? (Заметим, что холодный воздух насыщается меньшим количеством водяных паров, чем теплый.). Д) Пыль способна формировать водяные капли; однако и в воздухе, свободном от пыли, капли могут образоваться в присутствии электрически заряженных молекул или атомов (= «ионов»). (Очевидно, что молекулы воды будут притягиваться к электрически заряженным объектам. Молекулы воды можно представить в виде продолговатых тел с «+» зарядом на одном конце и «—» зарядом на другом. Можно также представить, что внешнее поле легко деформирует молекулы, придавая им указанную выше «форму», подобно тому как магнит превращает мягкое железо в постоянный магнит.) Объясните, почему водяные капли легко образуются на ионах, несущих «+» или «—» заряд?

Фиг. 35. К задаче 1.

_{Простейшая камера Вильсона.}

Е) Мы полагаем, что атомы имеют электроны, которые можно отделять. Некоторые атомы легко теряют электрон; другие атомы легко захватывают электрон. (После потери или приобретения электронов атомы становятся «ионами».) Обычный воздух не проводит тока, но воздух становится проводником, когда в нем возникает пламя или когда через него проходят альфа-, бета-, гамма- или рентгеновские лучи. Некоторые из этих лучей представляют собой движущиеся заряженные частицы, которые оставляют след из заряженных ионов, когда они пролетают в воздухе (трек). Подобные высокоскоростные «пули» движутся слишком быстро, чтобы собирать воду на себе. Если мы хотим увидеть треки их во влажном воздухе, он должен подвергнуться быстрому охлаждению. Объясните, почему треки могут стать видимыми. Ж) Прибор, который позволяет наблюдать треки «ядерных пуль» визуально, называется камерой Вильсона. В простейшем виде камера Вильсона представляет собой стеклянный цилиндр, содержащий влажный воздух над поршнем из воды, управляемым сжатием резиновой груши. Объясните, почему следующая процедура сделает треки видимыми: 1) сжатие резиновой груши, 2) выдержка в течение некоторого времени, 3) быстрое отпускание резиновой груши; при этом появятся треки в виде линий из капелек воды. Задача 2. [Эта задача о ионах (носителях) в газах. Они подобны ионам, которые дают красное свечение в неоновых трубках, используются в счетчиках Гейгера, вызывают электрические искры. Ответы старайтесь обосновать.]. Если в простой цепи с батареей имеется воздушный зазор, постоянный ток в цепи протекать не будет, так как воздух является изолятором — он имеет «бесконечно большое сопротивление». Однако если в зазор введено пламя, в цепи пробегает очень маленький ток. (Все токи в этой задаче являются ОЧЕНЬ маленькими, например 10^-12 а.). Если ввести в воздушный зазор или поместить вблизи него небольшое количество соединений радия, также потечет небольшой ток. Этот ток не приходит из пламени или радия. Ток появляется, когда воздух становится слабо проводящим.

Фиг. 36А. К задаче 2.

А) О чем это говорит, что могло случиться с (некоторыми) молекулами? Если препарат радия оставить у зазора, ток будет постоянным. Если теперь увеличить напряжение (с помощью делителя напряжения или увеличения числа батарей), ток пропорционально увеличится (закон Ома) до определенной величины. При еще больших напряжениях ток достигнет постоянного значения А, которое будет сохраняться в широкой области напряжений. Б) Что, по-вашему, случается на стадии А? При значительно более высоких напряжениях ток быстро возрастает (участок В), и вскоре образуется искра. В) Что, по-вашему, происходит на стадии В, когда батарея создает очень сильное электрическое поле в воздухе? Г) (ТРУДНЫЙ). Если давление воздуха уменьшить наполовину (плотность упадет вдвое, и длина свободного пробега удвоится), какие изменения, по-вашему, произойдут в графике и почему? Задача 3. Если мы создадим очень большое электрическое поле, например, между двумя металлическими шариками, между ними проскочит искра, А) Во время проскакивания искры протекает ток в цепи какого-то источника, который используется, чтобы зарядить шарики. Какие вещества несет этот ток в искре? Б) Если искровой разряд начался, он обычно продолжается, пока источник напряжения в состоянии поддерживать ток. Другими словами, если первая искра проскочила, следующие искры, как кажется, идут по проторенному пути. Объясните это. В) Если напряжение между шариками настолько велико, что вот-вот может проскочить искра, но еще не проскакивает, туман или пламя спички часто могут вызвать появление искры. Почему? Г) Вместо пламени спички [в задаче в)] маленький кусочек радия, поднесенный к зазору, может вызвать искру. Почему? Д) Предположите, что оба шарика подсоединены к большой емкости. Емкость заряжается, а затем источник заряда отключается еще до начала искры. Искра образуется от зажженной спички. Искра с треском проскочит и иссякнет. Почему искра не будет повторяться в этом случае? (Утверждение «искра вытекла из ионов» не может считаться ответом.).

Фиг. 36Б. К задаче 3,д).

Задача 4. Когда электрический заряд подводится к проводнику неправильной формы, заряд распределяется неравномерно по всей поверхности (см. гл. 33). А) На какой части поверхности плотность заряда будет больше и соответственно больше напряженность поля у поверхности образца? Б) В счетчике Гейгера одним из электродов является очень тонкая проволока, помещенная в центре трубки. Подумайте над причиной такого конструктивного исполнения. Задача 5. Как известно, альфа-частицы являются заряженными атомами гелия. А) Отклонения в магнитном и электрическом полях показывают, что они имеют значения е/М, вдвое меньшие, чем для ионов водорода, «Химические» свойства гелия с очевидностью говорят нам, что масса атомов гелия в 4 раза больше массы атомов водорода. Таким образом, вместо того чтобы говорить, что альфа-частица имеет ¹/₂ (е/М) по сравнению с водородом, мы можем сказать, что она имеет отношение заряда к массе 2е/4m, и считать, что ее заряд равен 2е, удвоенному заряду электрона. Б) Используя счетчик Гейгера, можно сосчитать число альфа-частиц, испускаемых маленьким образцом радия за определенное время. В) С другой стороны, можно выстрелить таким же потоком альфа-частиц (в вакууме) в маленькую металлическую коробку, собрать заряд за то же время и измерить его (или же измерить ничтожный ток, который будет протекать при соединении коробки с землей). 1) Какую важную часть информации об атомах можно получить, сопоставляя результаты измерений б) и в)? (Заметим, что б) и в) относятся к одинаковому потоку альфа-частиц.). 2) Какую дальнейшую информацию об атомах можно получить, объединяя наблюдение и обсуждение пункта а) с ответом на предыдущий вопрос?

Глава 39. Радиоактивность и инструменты ядерной физики.

1892 Хотя никто и не может утверждать, что будущее физической науки не содержит в запасе чудес, даже более удивительных, чем прошлое, кажется вероятным, что большинство фундаментальных принципов уже хорошо известно и что дальнейшее развитие будет состоять в корректном применении этих принципов ко всем явлениям, с которыми мы будем сталкиваться… Один выдающийся физик заметил, что будущие истины физической науки видны в шестом знаке после запятой. А. А. Майкельсон (Профессор физики, институт Кейса, университет Кларка, Чикагский университет) 1909 Новые открытия, сделанные в физике за последние несколько лет, идеи и возможности, подсказываемые ими, оказали на ученых влияние, подобное воздействию Ренессанса на литературу… На пути вздымаются еще более высокие вершины, и они покорятся каждому, кто поднимается на них пока еще широкими дорогами… Дж. Дж. Томсон (Профессор экспериментальной физики Кавендишской лаборатории, Кембриджский университет)

Иногда мирное семейное благополучие нарушается независимыми обстоятельствами, и анализ всех нарушений, вместе взятых, позволяет выявить их причину. Точно так же открытие радиоактивности и связанных с ней рентгеновских лучей, катодных лучей, фотоэлектронов и других ионов возбудило определенные подозрения, а затем привело к познанию внутренней структуры атомов.

Радиоактивность продемонстрировала нам, что из сокровенных глубин атомов выбрасываются их осколки; она показала, что некоторые атомы нестабильны и не сохраняются неизменными. Она выявила родство одних элементов с другими и обнаружила трансмутацию, превращение одного элемента в другой, дала нам в руки снаряды для исследования структуры всех атомов. Более того, экспериментируя с радиоактивными материалами, мы разработали инструменты, получившие широчайшее применение в современной физике: камеру Вильсона, счетчик Гейгера и другие приборы, которые регистрируют отдельные атомные частицы.

Ионизующее излучение.

При открытии радиоактивности, незадолго до начала нашего века, интерес был прикован к воздействию излучений на заряженные электроскопы и на фотопленки. Электроскопы теряют свой заряд, когда радиоактивные вещества помещаются вблизи них; а на фотопластинках после проявления возникают темные пятна, как при облучении пластинок светом[122].

Фиг. 37. Радиоактивность и ионизация.

_{А — радиоактивный материал создает ионы в окружающем воздухе; б, в — заряженный электроскоп разряжается, если вблизи него помещен радиоактивный материал.}

Когда радиоактивные химические элементы (уран, радий и др.) были выделены, их излучения стали еще сильнее, в некоторых случаях даже окружающий их воздух светился. Ясно — эти вещества излучают что-то, что образует ионы в воздухе или в фотографической эмульсии. Первым проявлением радиоактивности была способность к ионизации. «Количество радиоактивности» измерялось по произведенной ионизации[123].

Казалось, что ионы производятся чем-то, что испускается непосредственно веществом; эти ионизующие агенты были названы «лучами». (Мы знаем теперь, что лучи образуют ионы, отрывая электроны от атомов на своем пути.).

Опыты с пластинками, поглощающими излучение, указывали на три вида лучей, различающихся по поглощению в веществе:

α) Сильно ионизующие лучи, которые проходили только 2,5–5 см в воздухе по прямой. Эти лучи были названы α-лучами (а впоследствии α-частицами). Лист толстой бумаги задерживал их, но они проходили через папиросную бумагу или через несколько листочков фольги из золота.

β) Лучи, которые проходили большее расстояние; в воздухе ~ 30–50 см, многослойную стопку бумаги, несколько миллиметров легкого металла. Их ионизующее действие ощущалось на расстояниях в воздухе, в десятки раз больших, чем для α-лучей, но их траектория не была столь прямолинейной. Они были названы β-лучами.

γ) Лучи, которые распространялись намного дальше, легко проходили расстояние в воздухе в несколько метров (с ослаблением интенсивности по закону обратных квадратов, вызванным расхождением пучка лучей с увеличением расстояния), расстояние в свинце в несколько сантиметров (с экспоненциальным поглощением; каждый сантиметр свинца «срезает» одинаковую долю интенсивности). Эти лучи, вскоре идентифицированные как электромагнитное излучение, подобное рентгеновскому, были названы γ-лучами.

Узкая трубка с небольшим количеством радия представляла собой «пушку», которая выстреливала пучок лучей. В вакууме все типы лучей распространялись по прямолинейным траекториям на неопределенно большие расстояния.

Сначала были загадочными и природа этих «лучей», и источник их возникновения. Затем тяжелые металлы уран и торий были выделены из руд и было найдено, что лучи исходят от металлов, а не от кислорода, кремния и других элементов, содержащихся в рудах. Эти тяжелые металлы были сильными источниками лучей. Радий, открытый при химической переработке, сильнейший излучатель, оказался еще одним тяжелым металлом.

Лучи и заряды.

Электрический заряд, который несут «лучи», был исследован собиранием лучей в металлический стакан в вакууме. Оказалось, что а-частицы несут положительный заряд; β-частицы — отрицательный заряд, γ-лучи не несут заряда.

Отдельные α-частицы могли быть сосчитаны тренированным наблюдателем, замечающим крошечные световые вспышки, которые возникают при столкновении а-частиц с экраном, покрытым минералом. Такие подсчеты дали очень важные сведения об атоме (см. задачу 5, а также гл. 40).

Мы теперь знаем, что эти лучи исходят из самой середины атомов — их ядер. Вы увидите, как эти лучи идентифицируются, измеряются и используются. Но сначала взгляните на действительную картину их полета. Она отображена на изумительных фотографиях, дающих самые наглядные результаты во всей атомной физике. Эти фотографии подобны тем, которые дают присяжным заседателям в суде более ясные показания, чем дюжина устных свидетельств.

Картины в камере Вильсона.

Как можем мы сфотографировать полет одиночной атомной частицы, к тому же очень быстрой? Прямая фотография невозможна — частица очень мала и летит слишком быстро. Но мы можем получить картину ее полета, рассматривая разрушения, производимые частицей на своем пути. Вот пример, предложенный профессором Андраде. Выстрелим пушечным ядром вдоль поверхности поля, на котором растет пшеница, и попытаемся сфотографировать его траекторию с самолета. Ядро пролетело до того, как была сделана фотография; после его полета нельзя различить разбитые колосья, но через небольшое время вы сможете сфотографировать темную линию, созданную черными дроздами, слетевшимися клевать упавшие зерна. Лучи от источников радиации оставляют беспорядочные скопления ионов в воздухе, через который они проходят. Следы ионов можно сделать видимыми, если на ионах будут конденсироваться маленькие капельки воды. Возникающую тонкую линию из капелек можно рассмотреть или сфотографировать. Это атомный вариант создания облачного следа, оставляемого в небесах струей газов, выбрасываемых двигателем самолета.

Приспособление для получения видимых траекторий атомных частиц было изобретено и усовершенствовано Ч. Т. Р. Вильсоном. Камера Вильсона позволяет нам видеть и фотографировать пути отдельных частиц, летящих через воздух, — электронов, альфа-частиц или более тяжелых ядер, которые являются составными частями атомов. Мы можем, следовательно, «видеть» отдельные атомные события: столкновения, превращения, взрывы…

Работа камеры Вильсона.

Когда вода конденсируется, образуя капли или обыкновенный туман, каждая капля образуется на частице пыли, которая является как бы зародышем[124]. Капли тумана будут вырастать из предельно маленьких капелек, образованных из случайно собравшихся нескольких молекул воды. Подобные комплексы могут чрезвычайно легко испаряться; фактически они никогда не образуются в отсутствие специального инициатора. Большая кривизна поверхности крошечной капли делает испарение очень легким. Маленькие капли не будут образовываться в воздухе, насыщенном водяными парами, но большие капли будут образовываться на больших частичках пыли, покрытых водой. (В масштабе нашего рассмотрения на молекулярном уровне капелька или частица пыли, которая настолько велика, что уже может быть видимой, является большой.)

Воздух, который содержит немного водяного пара и является лишь чуть влажным, имеет низкую относительную влажность. Если добавлять все больше и больше водяного пара — воздух достигнет насыщения (относительной влажности 100 %, при которой добавление водяного пара только вызывает конденсацию). Предел насыщения зависит от температуры. В жаркий день кубический метр насыщенного паром воздуха (1,2 кг) содержит около 23 г воды, а в холодный день — только 10 г. Возьмем теплый влажный и пыльный воздух и охладим его. Водяных паров станет более чем достаточно для насыщения, и они начнут конденсироваться в туман на частицах пыли, а также на стенках сосуда. Возьмем теплый влажный воздух, свободный от пыли, и быстро охладим его. В воздухе произойдут такие изменения:

Теплый…почти насыщенный —> нет тумана, сухие стенки.

Охлажденный…насыщенный —> вода готова конденсироваться.

Охлажденный…пересыщенный —> вода конденсируется на стенках, есть готовность к образованию тумана, но нет инициаторов.

Еще более охлажденный…перенасыщенный —> конденсация воды на стенках, начало образования тумана на чем угодно(?).

Какой-нибудь ион может служить вместо частицы пыли как инициатор образования капельки тумана. Молекулы воды электрически поляризованы или становятся таковыми, попадая в электрическое поле. Ион (электрически заряженный атом или молекула) будет легко собирать вокруг себя гроздь молекул воды, давая начало капельке. Возьмем теплый влажный, свободный от пыли воздух, создадим в нем некоторое количество ионов и затем охладим его:

Теплый…почти насыщенный.

Охлажденный…насыщенный —> вода готова конденсироваться.

Охлажденный…пересыщенный —> конденсация воды на стенках и конденсация воды на ионах.

Фиг. 38. α-, β-, γ-лучи, излучаемые источником, проходят через воздух.

Фиг. 39. α-, β-, γ-лучи поглощаются листами различных материалов.

Фиг. 40. α-, β-, γ-лучи беспрепятственно распространяются в вакууме, нагревают поглотивший их материал.

Фиг. 41. α-, β-, несут заряд, γ-лучи заряда не несут.

Фиг. 42. α- лучи вызывают крошечные вспышки света, ударяясь об экран, способный давать свечение.

Вот как получается картина в камере Вильсона: теплый влажный, свободный от пыли воздух внезапно охлаждается, сразу же после этого через камеру простреливается ионизующий луч. Луч оставляет положительно и отрицательно заряженные ионы вдоль всего своего пути (трека), и крошечная капелька тумана конденсируется на каждом ионе. Весь трек просматривается в ярком свете как линия из крошечных капель; иногда капель так много, что они выглядят сплошной линией. Внезапное охлаждение производится предоставлением возможности воздуху вытолкнуть поршень наружу. Воздух предварительно освобожден от пыли, и электрическое поле выметает прочь образовавшиеся ранее ионы.

Таким образом, в камере регистрируются только треки, образованные после одной операции расширения воздуха. Вспомним, что трек выявляет разрушения, вызванные частицей, собственно ее электрическим полем. Водяные капли образованы ионами, которые оставлены проходящими частицами. Ни в каких случаях водяная капля не образуется на самой быстрой частице или на ядерных мишенях, разлетающихся, от соударений с ней.

Задача 6. Камера Вильсона (дополнение к задаче 1). В простейшей форме камера Вильсона представляет собой стеклянный цилиндр, содержащий влажный воздух над поршнем из воды, которая может выходить при расправлении сжатой резиновой груши (фиг. 35). Объясните, почему следующие операции делают трек видимым: 1) сжатие резиновой груши; 2) выдержка в течение некоторого времени; 3) внезапное расправление груши и появление треков. Что происходит на каждой стадии?

Треки альфа-частиц в камере Вильсона.

Альфа-частицы дают прямые треки в несколько сантиметров длиной, настолько усеянные водяными каплями, что они выглядят подобно миниатюрной струе из пожарного шланга. Мы можем сосчитать ионы по общему числу водяных капель или суммарным электрическим методом: 200000 ионов в 5-сантиметровом треке. Альфа-частица выбивает электроны из 200 000 «атомов» воздуха при прохождении. Это необычное поведение: ни одного сильного столкновения, но лишь 200 000 слабых (для альфа-частицы) столкновений. Что может случиться с обычной молекулой в воздухе на таком пути? Имея длину свободного пробега 10^-7 м, она должна ударить 0,05/10^-7 соседей, испытать 500 000 прямых столкновений, делающих ее траекторию зигзагообразной.

Альфа-частица производит приблизительно такое же число столкновений — для точечных снарядов, обстреливающих молекулы воздуха, мы можем принять диаметр мишени, равным половине диаметра молекулы, и число столкновений в ¹/₄ часть от 500 000. Но почти во всех этих столкновениях альфа-частицы идут напролом, что можно видеть, рассматривая следующие фотографии:

Фиг. 43. Фотография в камере Вильсона.

_{α-лучи от маленького источника — смеси тория С и тория С'. Заметьте, что имеются две группы α-лучей, каждая с определенным пробегом в воздухе (из книги: Rutherford, Chadwick and Ellis, Radioactive Substances and their Radiations, Cambridge Univ. Press). Источник излучения внизу фотографии.}

Фиг. 44. Фотография в камере Вильсона.

_{α-лучи во влажном азоте. Один луч претерпел столкновение с ядром азота, и трек разделился, α-частица пошла вниз. Ядро отдачи — азот — дало короткий толстый трек (P. M. S. В1аскеtt, Proc. Roy. Soc. Lond.). Источник излучения находится слева.}

Фиг. 45. Стереоскопическая фотография в камере Вильсона.

_{α-лучи во влажном гелии. Измерения показывают, что два луча «вилки», возникшей в результате столкновения, образуют между собой угол 90°(P. M. S. В1аскеtt, Ргос. Roy. Soc. Lond.). Источник излучения внизу фотографии.}

Фиг. 46. Фотография в камере Вильсона.

_{α-лучи во влажном водороде. Один луч претерпел столкновение с ядром водорода, которое пошло вперед и вверх, оставив более тонкий трек (Р. М. S. Blackett, Ргос. Roy. Soc. Lond.). Источник излучения находится слева.}

(Инспектор Грегори):

«Есть ли еще какие-то моменты, на которые вы советовали бы мне обратить внимание?».

«На странное поведение собаки в ночь преступления».

«Собака? Но она никак себя не вела!».

«Это-то и странно», — сказал Холмс[125].

Удивительное заключается в том, что альфа-частица не изменяет свой трек. Это не просто результат высокой скорости.

Фиг. 47. Фотография в камере Вильсона.

_{Трек β-лучей во влажном воздухе (С.Т. R. WiIsоn, Proc. Роу. Soc, Lond.). Источник излучения находится слева.}

Если попытаться медленно прогнать биллиардный шар среди других таких же шаров, находящихся в покое, то он испытает много сильных столкновений. Если прогнать его очень быстро, то результат будет тем же самым. Только если остальные шары будут относительно легкими (шарики от пинг-понга), траектория движущегося шара будет прямой.

В каждом из многих малых столкновений альфа-частица «толкает» легкий электрон, без труда выбрасывая его из атома. Возникает загадка: где остаток каждого атома, который альфа-частица «толкнула»? Атомы массивны, и при рассмотрении остатков атомов возникают те же вопросы, что и при рассмотрении альфа-частиц. Добавим, что вместо того, чтобы отклониться или даже повернуть назад, альфа-частица проходит прямо через 200 000 атомов. Следовательно, остаток атома должен быть много меньше, чем мы думаем, так как он оказывается очень малой мишенью. Насколько малой? Никогда ли не бывает прямых столкновений? На фотографиях иногда встречаются треки, показывающие прямые столкновения с чем-то массивным. После столкновения массивный объект также оставляет трек. Таким образом, каждая альфа-частица дает трек, обусловленный слабыми столкновениями, и имеются лишь редкие случаи треков с изломами, которые показывают прямые столкновения. В воздухе альфа-частица может даже быть отброшена назад, и тогда объект столкновения дает толстый направленный вперед трек. В гелии треки имеют форму «вилок» с характерным углом между направлениями разлетающихся частиц. В водороде альфа-частицы всегда движутся вперед, и мишень (Н) также отлетает вперед, образуя более слабый трек.

Структура атома.

Итак, из фотографий атомных событий мы ясно видим, что атомы в основном пусты и лишь во внешних их областях находятся легкие подвижные электроны. Атомы должны иметь очень маленькие массивные ядра, содержащие большую часть массы, — с ними быстрые альфа-частицы изредка сталкиваются. Измерения отклоненных треков (углы, счет водяных капель и др.) показывают, что эти редкие столкновения являются упругими, кинетическая энергия и момент сохраняются. Сталкивающиеся тела ведут себя подобно твердым упругим биллиардным шарам.

Как и при столкновении шаров, измерения углов позволяют нам узнать относительные массы. В воздухе альфа-частица сталкивается с объектом, имеющим массу, в несколько раз большую, чем ее собственная. В гелии «вилка» всегда составляет угол 90°, из чего можно заключить, что в этом случае альфа-частица сталкивается с объектом, имеющим массу, равную ее собственной (см. гл. 26, задача 22). Углы разлета частиц в водороде показывают, что сильные столкновения происходят с объектом, имеющим лишь ¹/₄ массы альфа-частицы. Вспомним относительные атомные массы из химии:

Водород 1, гелий 4, азот 14, кислород 16 и электрон (в той же шкале) 1/1840.

Измерения «вилок» дают для альфа-частицы массу 4, позволяя предположить, что она ион гелия. Если это гелий, то ничего удивительного нет в таких коротких и прямых треках — тяжелый, электрически заряженный атом гелия идет напролом через воздух и срывает электроны, в 7000 раз более легкие, чем он сам.

Фиг. 48. Фотография в камере Вильсона.

_{Треки β-лучей. Один быстрый β-луч пересекает камеру. Другие треки принадлежат медленным лучам (С. Т. R. WiIsоn, Proc. Roy. Soc. bond.). Источник излучения находится слева.}

Фиг. 49. Фотография в камере Вильсона.

_{Электроны, выбитые из атомов пучком рентгеновских лучей, проходящих во влажном воздухе (слева направо). Пучок γ-лучей производит подобное действие, образуя меньшее количество более длинных треков (С. Т. R. WiIsоn, Ргос. Roy. Soc. Lond.).}

Фиг. 50. Фотография в камере Вильсона.

_{β-лучи в магнитном поле. Поле не очень сильное. Радиоактивный источник находится на поверхности цилиндра — в левой части рисунка (Е. С. Crittenden, Jr.).}

Фиг. 51. Фотография в камере Вильсона.

_{α-лучи в магнитном поле. Поле очень сильное. Обратите внимание на увеличение кривизны и заметный загиб у конца траектории, где частица уже замедлена многими столкновениями (П. Л. Капица) (из книги: Rutherford, Chadwick and Ellis, Radioactive Substances and their Radiations, Cambridge Univ. Press). Источник излучения находится слева.}

Треки бета-лучей.

Посмотрите на фотографию бета-лучей, проходящих во влажном воздухе. Длинные разбросанные треки с отдельными ионами здесь и там и с множеством искривлений. Картина ясная: быстрый электрон пролетает среди других электронов той же массы, находящихся во власти всех локальных электрических полей.

Треки гамма-лучей.

Поток гамма-лучей сам по себе не дает видимых треков. Гамма-луч обычно идет прямо, подобно свету, проходящему через стекло, не оказывая никакого воздействия на вещество. Иногда он выбивает электрон, который освобождается с малой энергией отдачи. В конце концов гамма-луч встречает некоторый электрон в атоме, который он выбрасывает, передавая ему всю свою энергию. Такие электроны, излучаемые приблизительно во все стороны от пучка, дают разбросанные во все стороны треки, подобные трекам бета-лучей.

Разделение «лучей» электрическим и магнитным полями.

Прежде чем изображения в камере Вильсона получили четкое объяснение, потоки «лучей» были проанализированы пропусканием их в вакууме через электрическое и магнитное поля. Отклонения в электрическом поле пропорциональны e/mv²; в магнитном поле отклонения пропорциональны e/mv; сопоставление результатов позволяет найти v и е/m:

α) Альфа-частицы имеют положительный заряд; имеют е/М, составляющее ровно половину от е/М для водородных ионов, Н⁺; излучаются с различными скоростями вплоть до 16 000 км/сек.

β) Бета-частицы имеют отрицательный заряд; имеют такое же отношение е/m, как электроны, эмиттируемые из нагретых нитей[126], и т. д. Это действительно электроны; излучаются с высокими скоростями вплоть до 294 000 км/сек (98 % скорости света).

γ) Гамма-лучи не имеют заряда; движутся прямо вперед, на них не воздействуют поля.

Таким образом, α- и β-лучи — это ускоренные частицы.

Фиг. 52. Наглядные диаграммы, показывающие траектории α-, β- и γ-лучей.

_{А — в электрическом поле; б — в магнитном поле: в магнитном поле α-лучи изгибаются намного меньше, чем в электрическом (примерно в 100 раз).}

Гамма-лучи.

Гамма-лучи ведут себя подобно очень коротковолновым рентгеновским лучам. Они испытывают дифракцию в кристалле — регулярно расположенные атомные слои в кристалле действуют, как микроскопическая дифракционная решетка. Они перемещаются со скоростью света и могут выбивать электроны из всех видов материи, т. е. обладают гигантским фотоэлектрическим действием.

Идентификация альфа-частиц.

Ряд очевидных результатов указывает, что α-частица является дважды ионизованным атомом гелия Не⁺⁺: углы при столкновениях, сопоставление числа частиц и собранного заряда, измерение е/М. Резерфорд и Ройдс подтвердили эти результаты, собирая альфа-частицы, и доказали, что собранные альфа-частицы образуют гелий. Образец газа радона (дочерний продукт радия), излучающий альфа-частицы, был запаян в стеклянную трубку с очень тонкими стенками. Некоторые альфа-частицы, излучаемые радоном, проходили через тонкую стенку в наружную трубку. Пропускание через эту трубку искры позволяло наблюдать желтое свечение возрастающей интенсивности. Это свечение было характерным для гелия. С помощью дополнительных испытаний убедились в том, что гелий не мог натекать в трубку из воздуха.

Происхождение радиоактивности.

Должны происходить бурные события, чтобы электроны вылетали из атомов со скоростями, близкими к скорости света; гелий с «++» зарядами выстреливался из других атомов с огромной скоростью. Эти частицы не могут быть продуктами обычных химических или физических взаимодействий, подобно СО₂, который выделяется из мела или идет пузырями из содовой воды. Когда радий и уран участвуют в химических превращениях, радиоактивность всегда их сопровождает. Не из этих ли материнских ядер вылетают частицы? Для ответа на этот вопрос необходимы представления о строении атома; альфа-частицы как исследовательские снаряды сами помогают создавать такие представления. Мы рассмотрим этот вопрос в гл. 40.

Радиоактивность и химия.

Превращения радиоактивных атомов сами по себе открывают большой простор для исследований. В начале 1900-х годов физики и химики объединились для исследования химической природы радиоактивных элементов. Уран, радий и другие радиоактивные элементы не только излучают ионизующие лучи, но при этом полностью изменяют свою химическую природу. Они оказываются способными, будучи сначала одним химическим элементом, затем превращаться в другой химический элемент. Радий является металлом с большой плотностью и химическими свойствами, близкими к свойствам бария и кальция. Радий излучает альфа-частицы и медленно исчезает. Вместо него появляется новый элемент, тяжелый, совершенно инертный газ, сейчас называемый радоном. Этот газ принадлежит к семейству гелия, неона… — все они инертны, не вступают в химические взаимодействия. Мы знаем теперь, что, когда одиночный атом радия претерпевает «радиоактивный распад», он излучает одну альфа-частицу и становится атомом радона.

Атом радия, следовательно, является чем-то нестабильным. Купите стерженек радия и попытайтесь сохранить его. Только половина его останется 1600 лет спустя радием. Вероятность для отдельного атома радия распасться[127] в следующие 1600 лет составит 50 % и т. д. Его дочерний атом радон является гораздо более нестабильным. Время его распада наполовину составляет 4 дня. Этот четырехдневный период есть период полураспада радона. Попытайтесь сохранить образец чистого газообразного радона, и четыре дня спустя вы обнаружите, что половина его исчезнет, превратившись, в твердые элементы. Давление газа упадет наполовину. Сохраняйте его еще четыре дня, и половина остатка исчезнет, и т. д.

Пока атом радия еще является таковым, т. е. до момента, когда он взорвется, он имеет постоянные химические свойства определенного элемента, занимающего определенное место в периодической системе элементов. Когда атом радия излучает альфа-частицу, появляется новый атом — радон, который имеет другие свойства и переходит в другую клетку периодической системы. Он остается там до тех пор, пока в свою очередь не распадется. Новый атом является соответствующим элементом, опять нестабильным. Радон излучает альфа-частицу и становится «радием А» с 3-минутным периодом полураспада — «радий А» еще более нестабилен, чем радон. «Генеалогическое древо» продолжается через ряд нестабильных элементов. Некоторые из них излучают альфа-частицы, некоторые излучают бета-лучи. «Древо» заканчивается «радием G», который является одной из форм обычного, стабильного свинца. Таким образом, радиоактивность не только снабжает нас нужными снарядами, она также с очевидностью показывает, как один химический элемент спонтанно превращается в другой — естественную трансмутацию (превращение) элементов, не зависимую от человека (и, как казалось вначале, не контролируемую человеком). Приведенное в таблице «генеалогическое древо» показывает ряд радия от урана до свинца. (Действительное древо более сложное: есть боковые ветви, которые присоединяются к главной цепи. Имеется несколько других подобных же семейств, идущих более или менее параллельно, от начала, подобного урану, и оканчивающихся свинцом.).

В наши дни бомбардировкой стабильных атомов почти всех элементов частицами высоких энергий из больших ускорителей мы можем производить новые радиоактивные элементы каждый со своим «генеалогическим древом», хотя во многих случаях имеются только одна или две стадии, которыми превращения заканчиваются на стабильном атоме. Некоторые из новых радиоактивных элементов занимают место за ураном в периодической системе, например плутоний. Он распадается (совершая переходы, подобные описанным выше) на другие атомы вдоль «генеалогического древа», которое проходит сверху вниз через уран, подобно семейству радия. Таким образом, «генеалогическое древо» радия типично и для старых радиоактивных семейств, встречающихся в природе, и для многих новых семейств, начинающихся с элементов, которые мы производим при облучении.

В таблице, где показано «генеалогическое древо», символы, подобные Ra — Е, — старые, относящиеся к ранним химическим разделениям радиоактивных веществ. Атомы представлены дочерями, внучками и т. д. радия. Хотя они имеют совершенно различные химические свойства, они все носят фамильное имя радия. Теперь, при огромном изобилии радиоактивных атомов, естественных и искусственных, мы предпочитаем обозначать их стандартными символами химических элементов. "Например, радий В химически идентичен свинцу, и мы обозначаем его РЬ (свинец — plumbum по-латыни). При описании радиоактивных превращений мы обычно даем дополнительную информацию к символу. Так, радий В — это ₈₂РЬ²¹⁴. Индекс 82 — «атомный номер» элемента, порядковый номер элемента в периодической системе. Все разновидности свинца имеют номер 82. Индекс 214 — «массовое число» атома — округленное значение массы атома в шкале, где масса водорода принята за 1. Разные изотопы свинца имеют разные атомные веса. Значение 214 — аномально высокое для свинца и позволяет ожидать нестабильности, вызванной переполнением ядра частицами.

В химии радиоактивных атомов нет ничего необычного, за исключением предельно малых количеств их, которые могут быть обнаружены и точно измерены по радиоактивности. Смешаем некоторое количество радия В с обычным свинцом как «носителем» и мы никогда не разделим их химически до тех пор, пока сам радий В сохраняется. Расплавим смесь: радиоактивность, обусловленная радием В, сохраняется. Растворим смесь в азотной кислоте и выкристаллизуем нитрат свинца: нитрат свинца берет с собой всю радиоактивность. Смешаем кристаллы с другими солями (калия, алюминия, вольфрама…), затем проведем анализ на свинец: вся радиоактивность выделяется со свинцом. Однако мы должны поспешить проводить эти химические эксперименты, так как радий В распадается с периодом полураспада 27 мин в радиоактивный висмут. Проводя химические операции медленно, мы будем находить все меньше радиоактивности, сопровождающей свинец, и все больше радиоактивности, связанной с висмутом. После получаса половина исходной радиоактивности свинца исчезнет.

Радий В и радий С — два изотопа свинца. По химическим и обычным физическим свойствам они являются свинцом; но один нестабилен с 27-минутным периодом полураспада, а другой стабилен. Мы называем второй «естественным» свинцом только потому, что человек нашел его раньше, и сейчас он встречается намного чаще, чем нестабильный. Если мы теперь просмотрим все химические элементы, то увидим, что каждый элемент имеет несколько изотопов. Некоторые из них стабильны (разделяются в масс-спектрографе), а некоторые нестабильны (получены с помощью циклотронов и т. п.). Мы также находим небольшое количество нестабильных изотопов в природе — в виде естественных радиоактивных элементов.

Изменения атомного номера и атомного веса.

Альфа-частица выносит из атома массу, равную 4, и, таким образом, мы должны ожидать, что атомный вес дочернего атома будет меньше атомного веса материнского атома, излучающего альфа-частицу, на 4. Прямое химическое взвешивание показывает, что радий имеет атомный вес 226. Следовательно, его дочерний атом должен иметь атомный вес 226 — 4, т. е. 222. Это предсказание было проверено измерением плотности газа радона[128]. Результат: атомный вес очень близок к 222. При излучении β-луча атомный вес не должен изменяться. Ядро излучает электрон, но дочерний атом нуждается в одном внешнем электроне и берет его у соседей. Масса электрона очень мала и составляет, как известно, 1/7000 от массы альфа-частицы.

Когда атом излучает альфа-частицу (α⁺⁺ или Не⁺⁺, или ₂Не⁴), он перескакивает в новую клетку периодической системы, на две клетки левее, изменяя атомный номер на две единицы. Когда мы будем обсуждать теорию строения атома, вы получите объяснение этого.

Когда атом излучает β-луч (β^- или е^-), он перескакивает на один атомный номер вправо. Существует много новых нестабильных атомов, получаемых при протонной бомбардировке. Они излучают позитроны (β⁺) и должны перескакивать влево на один атомный номер.

Фиг. 54. Радиоактивный распад.

Период полураспада. Чисто случайный характер радиоактивности.

Радиоактивные атомы не могут быть старше или моложе, подобно людям. Группа людей, родившихся одновременно, через А лет после рождения уменьшается наполовину — 50 % остается в живых и 50 % умирает. Кажется, что здесь проявляется период полураспада в А лет, однако оставшаяся через А лет половина группы не будет просто уменьшаться наполовину за следующие А лет. Возьмите образец радиоактивного элемента с периодом полураспада 4 дня. После 4 дней половина его атомов останется неизмененной, с надеждой на будущее — как всегда. После следующих 4 дней половина этого остатка останется неизмененной, снова с надеждой на будущее, и т. д. Начнем с 1 000 000 атомов. После 4 дней от начала останется 500 000, после 8 дней — 250 000, после 12 дней — 125 000 и т. д. Это выглядит как результат действия чисто случайной причины. Если выделить какой-то атом, то независимо от его возраста можно держать пари 50:50 «за» и «против» его распада в следующие 4 дня. Каждый тип радиоактивного атома имеет постоянную вероятность распада в следующую секунду времени[129].

Современная теория указывает, что чем больше вероятность распада (короче период полураспада), тем больше должна быть энергия, освобождающаяся в атоме и выносимая из него альфа-частицами и т. п.

Счетчики.

Как мы измеряем количество радиоактивного материала? Откуда мы знаем, что он имеет постоянный период полураспада? Конечно, не прямым взвешиванием или другими химическими средствами — очень уж малы образцы. Мы измеряем образцы по ионизации, которую они производят. Если один образец производит вдвое больше ионов в секунду, чем другой из того же материала, мы заключаем, что он вдвое больше по величине, содержит вдвое больше атомов. Мы можем так утверждать, потому что полагаем, что атомы имеют одинаковую вероятность распада. При этом двукратная скорость распадов (измеренная по ионам, произведенным испущенными лучами) означает двукратное количество нераспавшихся атомов.

Таким образом,

СКОРОСТЬ ДВИЖЕНИЯ ЛИСТОЧКОВ ЭЛЕКТРОСКОПА ПОЗВОЛЯЕТ НАЙТИ:

СКОРОСТЬ, С КОТОРОЙ ИОНЫ ВЫНОСЯТ СВОЙ ЗАРЯД ИЗ АТОМА ЧИСЛО ИОНОВ, ПРОИЗВОДИМОЕ В СЕКУНДУ В ОБЪЕМЕ ЭЛЕКТРОСКОПА ЧИСЛО АЛЬФА- (ИЛИ БЕТА-) ЧАСТИЦ, ПРОСТРЕЛИВАЕМЫХ ЧЕРЕЗ ЭЛЕКТРОСКОП В СЕКУНДУ ЧИСЛО РАДИОАКТИВНЫХ АТОМОВ, РАСПАДАЮЩИХСЯ В СЕКУНДУ ЧИСЛО АТОМОВ, ИМЕЮЩИХСЯ В НАСТОЯЩЕЕ ВРЕМЯ В ОБРАЗЦЕ.

Следовательно, скорость движения листочков электроскопа измеряет наш образец. Определяя эту скорость снова и снова, с течением времени мы можем видеть, как образец распадается, и оценить период полураспада.

Счетчики Гейгера.

Для точных измерений мы теперь используем счетчик Гейгера. Он умножает ионы, произведенные каждой частицей, и создает стандартные импульсы большой величины. Эти импульсы могут быть легко сосчитаны. Альфа-частицы (или бета-частицы, или γ-лучи) образца простреливают маленькую коробочку, или трубку, содержащую подходящий газ. Они создают в этом газе ионы. Внутри трубки натянута изолированная проволочка. Между проволочкой и стенками трубки приложена большая разность потенциалов. Этим создается сильное электрическое поле в газе, особенно вблизи поверхности тонкой проволочки. Поле недостаточно велико для самопроизвольного проскакивания искры. Однако если в газе возникают какие-то ионы, они ускоряются электрическим полем настолько, что сами начинают производить ионы при столкновениях. Число образовавшихся ионов становится все больше и больше — развивается цепная реакция. Ионы переносятся поперек трубки к проволоке и стенкам электрическим полем и создают импульс заряда, который может быть усилен для приведения в действие механического счетчика или громкоговорителя. В гейгеровском счетчике простейшего вида используются электроны, выбитые из атомов газа, до того как они объединяются с нейтральными атомами в тяжелые отрицательные ионы. Эти электроны, движимые сильным полем, вблизи центральной нити выбивают электроны из других атомов, а эти электроны… и вся электронная лавина собирается центральной проволочкой.

Каждый ионизующий «луч», попадающий в трубку, действует как триггер. Когда вы смотрите на счетчик или слушаете громкоговоритель, вы ожидаете свидетельства взрыва в единичном радиоактивном атоме. Число импульсов за секунду, измеренное счетчиком Гейгера, используется для измерения количества радиоактивного вещества. Трубка соединяется через усилитель со шкалой, которая регистрирует импульсы, обычно с помощью маленьких зажигающихся неоновых лампочек[130].

Другие счетчики используют меньшее электрическое поле — ниже порога лавинообразования. В этом случае величина импульса будет пропорциональна полной энергии ионизующей частицы. Величина импульса показывает, сколько ионов производит частица, и тем самым позволяет оценить первоначальную энергию частицы. Распады отдельных ядер можно регистрировать и с помощью электроскопов специальных конструкций — со шкалой, которая рассматривается в микроскоп.

Фиг. 55. Предварительное изучение счетчиков.

_{Соедините батарею и лампу через сосуд с чистой водой. Добавьте горсть соли для создания в воде ионов: лампа загорится. Это устройство может служить счетчиком числа горстей, если после каждой вспышки производится выключение лампы и перенаполнение сосуда.}

Фиг. 56. Заряжайте конденсатор от высоковольтного источника до тех пор, пока поле в зазоре не достигнет величины, близкой к началу самопроизвольного проскакивания искры. Поднесите зажженную спичку к зазору: с треском проскочит искра. Это устройство может служить счетчиком числа зажженных спичек. Оно имеет довольно большое «время восстановлениям — источник должен зарядить конденсатор.

Фиг. 57. Гейгеровская счетная трубка.

Фиг. 58. Включение счетчика Гейгера.

Радиоактивный распад. Лабораторный эксперимент. Если вы можете получить небольшое количество радиоактивного материала с подходящим периодом полураспада, проделайте следующую серию измерений. Используйте скорость движения листочков электроскопа, или импульс/минута в счетчике как меру радиоактивности вашего образца. Отложите на графике РАДИОАКТИВНОСТЬ В ФУНКЦИИ ВРЕМЕНИ (в днях). Ваш график должен выглядеть подобно графику I на фиг. 60.

Фиг. 60. Радиоактивный распад.

_{1/2 Т — период полураспада.}

График I показывает распад, но из него не следует постоянство периода полураспада. Причина этого может быть в том, что ваша оценка радиоактивности включает эффект фона в измеренную радиоактивность. Сделайте измерение фона без образца, вычтите его из каждого вашего результата и затем отложите разность на график. Существование фона является важным обстоятельством во многих научных измерениях. Для учета фона производится «холостой опыт» с реактивами в химии, выделяется «контрольная группа» в биологии, психологии, социологии. После учета фона вы сможете оценить период полураспада из графика, подобного графику II, и вы должны убедиться в его постоянстве при длительных измерениях. Теперь возьмите логарифм каждого значения радиоактивности. В течение времени, равного периоду полураспада, величина радиоактивности делится на 2. Когда вы используете логарифмы, деление заменяется вычитанием логарифмов. За время полураспада логарифм радиоактивности должен уменьшиться на log 2 по сравнению с начальным значением. Если учтен фон, график log радиоактивности в функции времени (в днях) должен убывать на log 2 для каждого отрезка времени, равного периоду полураспада, т. е. должен быть прямой линией. Прямая линия — лучшее свидетельство чисто случайного (экспоненциального) распада радиоактивного вещества[131]. (См. график III.).

Структура атома.

Электроны легко отделяются от атомов при бомбардировке. Это позволяет грубо представить атомы состоящими из нескольких электронов, слабо связанных с неким массивным остатком. Используя альфа-частицу для исследования атомов, мы находим, что все атомы в большей части своего объема пусты, а их легкие, слабо связанные электроны расположены снаружи, далеко от компактной массивной сердцевины.

Радиоактивные атомы показывают, что они сами нестабильны и могут испускать метательные снаряды высокой энергии. Мы видим, что частицы (и их энергия) исходят из сердцевины атома. Мы даже подозреваем, что все атомы, как стабильные, так и нестабильные, могут иметь субатомные частицы (α-частицы? электроны?…?…), локализованные в сердцевинах атомов и обладающие большим запасом энергии.

Полстолетия тому назад это были только важные допущения. Более поздние эксперименты и размышления над их результатами позволили сделать уточнения и построить полезную модель атома, в центре которого располагается ядро.

Задачи к главе 39.

Задачи 1–5 — предварительные задачи, помещенные в конце предыдущей главы, задача 6 помещена в тексте этой главы. Задача 7. Предположим, вы получили радиоактивную медь с периодом полураспада 10 мин. А) Сколько периодов полураспада содержится в одном часе для этого образца? Б) Какая часть первоначального количества меди останется у вас через один час после получения? В) Какая часть меди останется у вас через 2 часа после получения? Задача 8. Фиг. 64 показывает часть диаграммы, составленной по данным, имеющимся в таблице, включенной в эту главу. Сделайте полную диаграмму для всей таблицы, используя данные, приведенные в таблице. Вы можете показать нестабильность атома (в таблице приведены периоды полураспада) с помощью волнистой линии, которую будете проводить на границе атома. Заметьте, что радий относится к той же группе химических элементов, что и барий, и имеет химические свойства, близкие свойствам бария, но он не является тем же химическим элементом, что и барий. Он может быть отделен от бария химически. Подобно этому, радон есть что-то, напоминающее гелий. Оба они являются инертными газами. В то же время радий В имеет химические свойства, совершенно точно совпадающие с химическими свойствами свинца. Это один и тот же элемент, и они неразделимы химически. Однако радий В нестабилен (—радиоактивен), а свинец стабилен.

Фиг. 64. Эскиз к задаче 8.

Задача 9. А) Для измерения распада радиоактивного элемента используется счетчик Гейгера. Фон дает 20 отсчетов (импульсов) в минуту. Измерения с образцом дают: Выберите результаты измерений, которые вам кажутся подходящими, и оцените период полураспада элемента (нет необходимости использовать логарифмирование). Б) Счетчик Гейгера используется для измерения распада радиоактивного элемента. Используйте логарифмы для оценки периода полураспада элемента по данным, приводимым ниже. Фон пренебрежимо мал по сравнению с высокой скоростью счета в присутствии образца. Скорость счета вначале… 1000 отсчетов в 1 мин. Скорость счета 2 час спустя… 100 отсчетов в 1 мин. Log 2 = 0,301; log 3 = 0,477; log 5 = 0,700. Задача 10. Предположите, что вы имеете смесь одинакового количества атомов двух радиоактивных элементов — А с периодом полураспада 6 мин, Б с периодом полураспада 60 мин и что оба они излучают бета-лучи. Вы измеряете β-излучение смеси с помощью электроскопа, А) Который из двух элементов, А или Б, будет воздействовать на ваш электроскоп сильнее в течение первых нескольких минут? Б) Скажите, какая приблизительно часть общего эффекта обусловлена тем элементом, который вы назвали в а)? В) Какой элемент должен давать больший эффект (при малом суммарном эффекте) через 2 часа? Г) Какую приблизительно часть суммарного эффекта вы имели в виду, формулируя ответ в в)? Д) ТРУДНЫЙ. СДЕЛАЙТЕ УМНУЮ ДОГАДКУ. Предположите, что вы измеряете активность подобной смеси 2 часа или больше. Набросайте приближенно вид графика, который вы должны получить в координатах: log скорости движения (исправленной на фон) листочков электроскопа по вертикальной оси и время (в днях) по горизонтальной. Задача 11. А) Опишите главные различия в виде треков альфа-лучей и бета-лучей в камере Вильсона. Б) Используйте ваши знания о природе альфа- и бета-лучей для объяснения этих различий. Задача 12. При наблюдении треков альфа-лучей в камере Вильсона вы можете видеть, что все они прямые. При исследовании большого числа фотографий можно увидеть трек с крутым изломом и с другим треком, начинающимся от места излома (трек в виде «вилки»). А) Что видите вы поучительного в том, что подавляющее число треков имеет вид прямых линий? Б) Как вы думаете, что случается, когда трек имеет излом? Задача 13. Когда альфа-лучи пропускаются через влажный гелий, треки их изредка изламываются. При этом наблюдается следующее: 1. Угол между двумя ветвями «вилки» очень близок к 90°. 2. Обе ветви «вилки» подобны, они одинаково заселены водяными каплями. А) Какое заключение можете вы сделать только из наблюдения 1? Какое предположение вы можете сделать? Б) Принимая во внимание ваш предыдущий ответ, какой вывод вы можете сделать из наблюдения 2? Задача 14. А) Когда быстрый электрон простреливается через камеру Вильсона, его тонкий, близкий к прямому трек иногда показывает излом, дающий разветвление под углом 90°. Обе ветви выглядят приблизительно одинаково тонкими. Объясните этот случай. Б) Когда очень быстрый электрон испытывает столкновение, подобное такому, как в а), ветви идут под углом, меньшим 90°, и одна из ветвей направлена вперед приблизительно по пути начального трека. Предполагая, что другие данные указывают на тот же тип столкновения, что и в а), объясните изменение в геометрии. Задача 15. Космические лучи являются потоками частиц очень высокой энергии (и γ-лучей), которые движутся со всех сторон к нам и сквозь нас. Они состоят из смешанного потока атомных ядер, электронов и других частиц. Положительные электроны (позитроны) были открыты в камере Вильсона в 1932 г. в треках, произведенных космическими лучами. Электроны очень высокой энергии проходят через камеру Вильсона (через ее стенки и другие детали) и дают в ее рабочем объеме прямой трек, который можно сфотографировать благодаря водяным капелькам, образованным на ионах, возникших при столкновениях между быстрым электроном и электронами атомов в камере. Ионы разделены значительными расстояниями, так как они созданы очень легкой и очень быстрой частицей. Трек выглядит довольно тонким, но его можно сфотографировать. Если наложить сильное магнитное поле (перпендикулярно треку), трек слегка изгибается. Электроны очень высоких энергий могут легко проходить через толстые металлические пластинки, хотя при этом они будут терять часть своей энергии. А) Если мы знаем из наблюдения трека, что он образован электроном, то что мы можем узнать, измеряя кривизну трека? Б) Если трек искривлен в направлении, противоположном искривлению большинства треков, то мы предполагаем, что он произведен либо положительным электроном в отличие от остальных отрицательных электронов, либо отрицательным электроном, который был…? В) Для выбора одного из двух предположений в б) введите металлическую пластинку в середину камеры, рассчитывая, что трек пройдет через пластинку. Такие случаи происходят (фиг. 65 и фиг. 123). Каким образом результат сможет подсказать нам решение?

Фиг. 65. К задаче 15.

Задача 16. В гл. 43 (фиг. 125) приведена картина, полученная в камере Вильсона при столкновении «нейтрона», приходящего в известном направлении от источника. Трек самого «нейтрона» невидим. Какое заключение можете вы сделать из этого? Дайте ясное объяснение вашего заключения. Задача 17. Нарушения, производимые в живой ткани радиоактивным материалом (могут быть ожоги и другие нарушения в тонких слоях), вызваны главным образом ионизацией в ткани. А) Какие лучи вызывают большие нарушения в ткани — те, которые тормозятся в ткани, или те, которые легко проходят через нее? Б) Сравнивая α-лучи, β-лучи и γ-лучи одинаковой энергии, мы видим, что α-лучи теряют всю свою энергию на создание большого количества ионов на пути в несколько сантиметров в воздухе; β-лучи создают намного меньше ионов на сантиметре пути и преодолевают много большее расстояние в воздухе; γ-лучи пролетают через воздух, оставляя на единице пути очень малое число ионов, γ-луч передает часть своей энергии электронам отдачи при случайных встречах. Но-в конце концов он отдает какому-то электрону всю свою энергию. В этом случае электрон выбрасывается из атома с очень высокой скоростью и является подобным β-лучу — он создает много ионов при своем замедлении. (Хотя γ-луч может создать β-луч, отдавая всю свою энергию электрону, он отказывается от «выбора» подходящего электрона при столь многих встречах, что успевает внедряться в вещество на большие расстояния.) Нарушения, вызванные такими лучами, иногда могут быть полезны для подавления роста злокачественных образований. 1) Какое излучение и почему вы порекомендуете пациенту для лечения кожи: α-, β- или γ-излучение? 2) Как глубоко заденет кожу и лежащую под ней мягкую ткань обработка излучением? 3) Что может применяться для облучения внутренних органов? Задача 18. А) Около вас могут пронести 1 г радиоактивного элемента с коротким периодом полураспада или 1 г радиоактивного элемента с большим периодом полураспада. Какой из них является для вас более опасным? Б) Разные изотопы плутония имеют различные периоды полураспада. Первый изотоп плутония был произведен циклотронной бомбардировкой. Он имеет относительно небольшой период полураспада. Был ли он в силу этого более безопасным при проведении предварительных экспериментов, которые должны были выполняться для определения химических свойств плутония в то время, когда первые урановые реакторы еще строились? (См. гл. 43.) Задача 19. Через трубку выпускается тонкая струя пара из парового котла. На расстоянии первых нескольких сантиметров от конца трубки пар практически невидим, но дальше образуется маленькое облако. Один изобретатель пытался «устранить облако электрически», пропуская искры через струю у самого среза сопла. Объясните, почему его попытка потерпела неудачу. (Найдите доказательство невозможности «электрического устранения облака».). Задача 20. Возможности использования индикаторов. Предположим, ваш дядя, вице-президент маленькой корпораций, спросил вас, как радиоактивные индикаторы могут использоваться для решения производственных проблем его бизнеса. Он изучал физику много лет назад, к тому же физику в основном классическую, с небольшими сведениями по атомной физике. Он, конечно, ничего не знает о радиоактивных индикаторах. Объясните ему, как вы будете использовать индикаторы, в примерах, приведенных ниже, и ответьте на два его вопроса: 1) «Однако предмет будет оставаться навсегда радиоактивным?» 2) «Зачем мне знать период полураспада и что это значит — «учитывать распад»?». А) Ваш дядя управляет фермой, где выращивают цыплят, и он нашел, что слишком много яиц имеет мягкую скорлупу. Он сказал: «Не стоит больше добавлять в пищу устричную скорлупу. Куры используют кальций только тогда, когда они высиживают цыплят!» Объясните ему, как вы будете применять индикатор для того, чтобы узнать, будет ли мел (карбонат кальция), даваемый курам в пищу, быстро попадать в яичную скорлупу. (Предположите, что вы можете получить небольшое количество Са⁴⁷ с периодом полураспада 4,8 дня. Этот изотоп сейчас можно купить.). Б) Ваш дядя управляет сталелитейной компанией, прокатывающей тонкие стальные листы 30 см шириной и несколько тысячных долей сантиметра толщиной. Как может он быть уверен, что лист имеет постоянную толщину, когда он еще горячий и находится в движении? Предположите, что вы получаете Fe⁵⁹ с периодом полураспада 46 дней» Объясните, почему индикатор не создает никакой опасности для потребителей стали.

Глава 40. Атомы. Эксперимент и теория.

Теория — обаятельная мать тяжелого, нудного эксперимента. Харлан Мэйс, мл., Принстон (Из экзаменационной работы по элементарной физике, 1949 г.) Настоящая глава представляет собой обзор атомной теории от идей греков до ранней модели атома, содержащего ядро.

Ранние представления об атомах и молекулах.

Еще задолго до того, как появились реальные данные, ведущие к понятиям атомов и молекул, греческие мыслители представляли себе материю созданной из огненных движущихся частиц, названных «атомами», что означает неделимые бесконечно малые объекты, которые казались непостижимыми. Вероятно, эта картина возникла в результате действительно научных рассуждений — о движении в природе, а может быть, созданию ее благоприятствовала детская жажда определенных правил и упрощенных представлений, которые позволят считать трудный для понимания окружающий мир менее сложным, более понятным. Мы не должны презирать это убеждение в простоте природы, даже если подозреваем, что основы этого убеждения ненадежны. Современная наука построена на более взрослом представлении, что в природе все закономерно. Мы постоянно имеем дело с простыми законами, описывающими наши экспериментальные данные, и при создании теории добиваемся простоты. Первичная основа всей нашей науки может состоять из простых недоказанных положений, используемых в качестве исходных точек для сложных выводов, результаты которых затем проверяются и применяются для описания материального мира.

Представления греков об атомах были только удачными догадками, но они создали основу, облегчившую ученым будущих времен постановку вопроса о теории атома, когда экспериментальные данные были собраны и настало время для создания научных теорий[132].

Убеждение греков в возможности простого сведения природы к четырем элементам — Земле, Воздуху, Огню и Воде — развивалось в последующие века. Подобное убеждение было и у нас, подготовив тем самым к восприятию гипотезы Проута; позднее она была блестяще подтверждена с помощью масс-спектрографа. Однако как ученые мы не удовлетворены ее простотой, а обращаем внимание на небольшие отклонения от этой простоты, что ведет к новой области знаний — к представлениям об атомной энергии.

Доказательство существования атомов и молекул, 1700–1900 гг.

Поскольку химия развивалась из алхимии, она поощряла идею существования атомов как основных строительных кирпичей, из которых образованы молекулы и соединения. Химические соединения могут быть расщеплены на составляющие элементы, пропорции которых можно измерить прямым взвешиванием. Опыт показывает, что данное соединение всегда имеет те же самые пропорции составляющих — результат, который легко «объясняется» с помощью допущений: а) что каждый элемент имеет свой собственный сорт идентичных атомов и б) что сложные молекулы состоят из идентичных групп таких атомов.

Например, соляная кислота всегда разлагается на водород и хлор в пропорциях 1 к 35,5 по массе. Мы воображаем все водородные атомы подобными с массой М и все атомы хлора подобными с массой 35,5 М, а также все молекулы соляной кислоты подобными, с держащими атом водорода и атом хлора, соединенные вместе, с массой М + 35,5, М или 36,5 М. Принимая эту картину, мы должны ожидать, что все анализы соляной кислоты дадут те же пропорции 1 к 35,5, и это так и есть. Однако этот факт не имеет ценности для формирования картины строения молекул («теории»?), действительно объясняющей подобные наблюдения, так как на самом деле картина создается в результате наблюдений. Химический анализ подсказывает нам две другие мысли:

1. Одинаковые элементы дают совершенно различные соединения: в подобных случаях пропорции в одном соединении очень просто связаны с пропорциями в другом соединении. Например, водород и кислород соединяются, образуя воду, в пропорциях 2 к 16 по весу. Они также соединяются в пропорции 2 к 32, образуя другое соединение. Эти два соединения в химических сокращениях обозначаются как Н₂О и Н₂О₂.

2. Те же самые относительные значения масс должны использоваться для атомов элементов во всех соединениях, которые они образуют в сложных молекулах, состоящих более чем из одного атома, скажем из двух или трех. (Например, мы можем обозначить массы атома водорода, атома кислорода и атома хлора как 1, 16, 35,5. Эти массы годятся для всех соединений, где есть Н, или О, или С1, таких, как НС1, Н₂О, Н₂О₂, НС1О₄.) Точно так же при строительстве из детского конструктора все сооружения состоят из нескольких типов одинаковых деталей. Подобные очевидные соображения поддерживали ранние химические представления об атомах и молекулах; факты легко понимались в терминах атомов и молекул, но не давали доказательства существования атомов. Кинетическая теория газов, которую начал продумывать Ньютон и затем развили Джоуль и другие, показала, что представление о движущихся упругих молекулах может «объяснить» закон Бойля и дает другие предсказания, хорошо согласующиеся с экспериментом. Это снова поддержало идею о существовании молекул, но опять-таки не доказывало их существования. И все же представление о молекулах облегчало размышления о свойствах газов.

Казалось, что броуновское движение делало представление о движущихся молекулах в газах и жидкостях действительно реальным. Наблюдатели ощущали себя созерцающими едва ли не молекулярные бомбардировки. Допуская в кинетической теории представление о равнораспределении энергии, можно было использовать измерения броуновского движения для оценки масс молекул газа. Полученные значения масс были невероятно малыми и составляли.

1/300 000 000 000 000 000 000 000 000 кг.

Для молекулы водорода. (Большие значения масс получены для других молекул. Их можно легко оценить по результатам химических взвешиваний.).

Между тем экспериментальные данные, полученные при изучении электролиза, приводили к представлениям о заряженных ионах в растворах, способных переносить ток при наложении электрического поля. Если все ионы одного элемента состоят из идентичных атомов или групп атомов, то явление электролиза показывает, что электрические заряды всех ионов должны быть одинаковыми. Каждый ион данного вида должен иметь один и тот же самый заряд. Часть ионов имеет заряд «+», часть «—», а некоторые виды ионов имеют удвоенные или утроенные заряды; кроме того, любые заряды любых ионов должны быть кратны некоему универсальному единичному заряду. Таким образом, представления об «атомах» электрического заряда соединились с представлениями об атомах век тому назад.

Атомные веса и атомные номера.

В прошлом веке химики взвесили атомы многих элементов и создали каталог их свойств. При этом об абсолютных массах атомов можно было лишь смутно догадываться, но относительные массы были точно измерены с помощью химического разделения и взвешивания. Эти массы в шкале, где масса атома водорода принята за 1, были названы атомными весами (А)[133].

Химики, люди профессионально систематичные, расположили свои химические элементы точно по порядку возрастания атомных весов: водород — 1,0 [гелий, открытый позже, — 4,0], литий — 6,9, бериллий — 9,0, бор — 10,8, углерод — 12,0, азот — 14,0, кислород — 16,0, фтор — 19,0 и т. д. Затем они пронумеровали свои элементы по порядку: водород — № 1, гелий. — № 2, литий — №. 3 и т. д. Эти порядковые номера были названы атомными номерами и стали обозначаться буквой Z. Каждый из них составляет примерно около половины соответствующего атомного веса[134].

Гипотеза Проута.

Появилась новая догадка, что даже атомы, основные строительные кирпичи вещества, сами составлены из групп простейших строительных блоков — из атомов водорода (Проут). Целочисленность атомных масс находилась в соответствии с догадкой Проута. Целочисленность встречается слишком часто, чтобы быть чисто случайной. Примеры: водород — 1, углерод — 12, кислород — 16. Однако были и досадные исключения. Например, хлор, атомный вес которого был тщательно измерен, имел дробный атомный вес 35,5; это же имело место для меди — атомный вес 63,6.

Таким образом, гипотеза Проута была отброшена, чтобы снова возродиться в нашем веке после открытия изотопов. Мы знаем теперь, что хлор имеет 2 сорта атомов с относительными массами 35,0 и 37,0. Обычный газообразный хлор является смесью этих атомов. Независимо от источника, откуда был взят хлор, смесь состоит из одинаковой пропорции двух близнецов хлора. Так как близнецы химически неразделимы, химики были уверены, что они имели дело с одним хлором с атомным весом 35,5.

Размеры атомов.

Размеры атомов, если их представить в виде круглых твердых тел, были приближенно известны в прошлом веке: диаметр атома оценивался в несколько А° (10^-10 м). Диаметр может быть оценен несколькими путями.

1. Оценка средней длины свободного пробега (ДСП) при определенных давлениях в газах дает «диаметры» сталкивающихся молекул, или, точнее, хорошее приближение к ним. Значение ДСП можно оценить из результатов измерений внутреннего трения в газе. (Конец XIX столетия.).

2. Измерение поверхностного натяжения тонких пленок масел давало оценку размеров длинных молекул органических соединений. (Конец XIX столетия.).

3. В нашем веке мы получили более определенные оценки. Зная массы отдельных атомов (например, из наблюдения броуновского движения), мы можем рассчитать число их, например, в твердом бруске известного размера. По этому числу можно рассчитать среднее расстояние между отдельными атомами. Применительно к твердому телу мы будем называть это расстояние «диаметром» атома. Более надежные данные для подобных расчетов были получены объединением результатов измерений е/М для ионов с величиной е из опытов Милликена.

Во всех этих оценках была значительная неопределенность; кроме того, некоторые из этих оценок относились к атомам, другие — к молекулам, являющимся группами атомов. И все-таки оценки определенно указывали на диаметр около 10^-10 м для атома и несколько больше для молекулы. В нашем веке эти оценки были подтверждены измерением с помощью рентгеновских лучей расстояний между слоями атомов в кристалле.

Строение атомов, 1890–1910 гг.

К концу прошлого века были открыты и исследованы катодные лучи и положительные лучи. В разрядной трубке, содержащей газ при низком давлении, сильное электрическое поле создает 2 потока частиц:

1. Катодные лучи. Кажется, что они образуются вблизи электрода, соединенного с минусом батареи. Они проходят через трубку и могут проскочить через отверстие в положительном электроде, как поток заряженных частиц. Отклонения в электрическом и магнитном полях показывают, что они являются отрицательно заряженными частицами, движущимися очень быстро и имеющими одинаковое для всех них elm независимо от вида газа.

2. Положительные лучи. Они идут в противоположном направлении и могут проходить через отверстие в отрицательном электроде. Отклонения в полях показывают, что они являются положительно заряженными, имеют высокие скорости и различные значения е/М, во много раз меньшие, чем e/m для катодных лучей.

Мы называем отрицательные частицы катодных лучей «электронами». Мы получаем те же самые электроны с тем же значением e/m во многих процессах. Они могут испаряться из раскаленных нитей, выбиваться из металлов светом, вырываться из атомов рентгеновскими лучами. Они также испускаются некоторыми радиоактивными атомами (бета-лучи). Их e/m в 1840 раз больше, чем е/М для ионов водорода при электролизе. Мы догадываемся (на основании серьезных косвенных доказательств), что заряд е имеет одно значение и для электронов, и для ионов водорода в газе или растворе и, следовательно, что электроны имеют массу, близкую к 1/1840 массы атома водорода. Электроны кажутся универсальными одинаковыми составляющими разных атомов, довольно легко отделяющимися при бомбардировке атомов и в других процессах.

Частицы положительных лучей представлялись остатками атомов после потери ими одного или нескольких электронов. Их е/М имеет то же значение, что и для соответствующих ионов при электролизе. И на самом деле положительные лучи есть быстро движущиеся ионы. Они могут быть группами атомов или единичными атомами и могут иметь несколько «+» зарядов (например, Н⁺,О⁺, О⁺⁺, Н₂О⁺, СН₃⁺).

Первоначальная картина атомной структуры содержала две эти составляющие. Для сохранения стабильности системы электроны представлялись втиснутыми в большой положительно заряженный шар и выглядели наподобие изюминок в пудинге. Это была модель, предложенная Дж. Дж. Томсоном и общепринятая в начале нашего века: массивный положительный «пудинг» 10^-10 или более в диаметре с довольно маленькими, легкими отрицательными электронами, вставленными в него в количестве, как раз достаточном, чтобы сделать «пудинг» нейтральным. Подобная картина объясняла эффекты, наблюдавшиеся в разрядной трубке, и позволяла легко понять, почему очень быстрые частицы, подобные альфа- и бета-лучам, могли проходить прямо через вещество. Они проходили прямо через «пудинг», никогда не сталкиваясь с объектами достаточно большой массы, имеющими достаточно большой заряд для того, чтобы вызвать сильные отклонения.

Так же как археолог производит реконструкцию из осколков, Томсон и другие создали атомную модель из кусков разбитых вдребезги атомов, найденных в электрической разрядной трубке. Однако такое простое воссоединение составляющих поставило серьезные вопросы. Отрицательные электроны не могли бы оставаться свободно лежащими снаружи положительного остатка, они были бы втянуты внутрь огромными силами, действующими на таких маленьких расстояниях; они должны были бы проваливаться внутрь положительного остатка. Нельзя было создать воображаемую модель из «+» и «—» частиц, удерживающих друг друга в равновесии, при существовании закона обратных квадратов для сил, действующих между частицами. Электрические притяжения и отталкивания в принципе могли бы удерживать их в равновесии, но образование при этом было бы нестабильным — любые малые нарушения должны были углубляться и вести к разрушению системы. (Школьник, проводящий опыты с магнитами, может заставить один из них какое-то мгновение плавать в воздухе, но этот плавающий магнит скоро свалится в сторону, если только школьник не приложит к нему силу, не подчиняющуюся закону обратных квадратов, например своими пальцами или деревянными подпорками.) Ирншоу показал, что такая нестабильность неизбежна. Любая совокупность покоящихся тел, действующих друг на друга только силами, подчиняющимися закону обратных квадратов, — электрические заряды, магниты, притягивающиеся массы, — находится в неустойчивом равновесии. Он вывел теорему, показывающую это из уравнения ²V = 0 — математической записи закона обратных квадратов. Теорема Ирншоу не относится к системам, движущимся с ускорением, например, к электронам, вращающимся подобно планетам на орбитах, но предположение о таком движении порождало другое серьезное возражение. Электрон, бегающий по орбите, имеет ускорение v²/r. Хорошо известно, что при движении зарядов с ускорением должны излучаться электромагнитные волны. Следовательно, вращаясь на орбите, электрон должен излучать, терять энергию, и его орбита стянется к центру за ничтожную долю секунды. Первые опыты в области радио показали, что если заряды ускоряются (при протекании переменных токов в радиоантеннах), то волны излучаются. Свет, относительно которого известно, что он по существу является радиоволнами с очень короткими длинами волн, по всей вероятности, излучается электронами, ускоряющимися где-то в атоме. Атомы иногда могут излучать свет, представить же их излучающими непрерывно мы не можем — они должны были бы скоро прекратить свое существование. Для обхода этой трудности Томсон представил электроны встроенными в положительный «пудинг» и предположил, что они связаны загадочными силами, не подчиняющимися закону обратных квадратов и обеспечивающими устойчивость атома.

Однако к 1910 г. эта картина перестала быть удовлетворительной. Альфа-частицы, использовавшиеся как снаряды для исследования структуры атома, дали результаты, которые не могли быть объяснены моделью атома в виде пудинга. Резерфорд предложил новую модель атома, почти пустого, с крошечным атомным ядром, окруженным электронами, движущимися по орбитам — и ничего не говорящую о трудной проблеме излучения электрона.

Рассеяние альфа-частиц и атом Резерфорда, 1910–1915 гг.

Поток альфа-частиц может насквозь простреливать тонкие слои, например фольгу из золота. Но некоторые из альфа-частиц отклоняются от прямого пути на небольшие углы, скажем 5 или 10°. В редких случаях альфа-частицы отклоняются на большие углы — на 60 или на 80°, а в очень редких случаях отклоняются на очень большие углы, например на 150°. Вы можете видеть такие случаи в камере Вильсона — будет наблюдаться «вилка» очень редкой формы.

Резерфорд считал экспериментально относительное число случаев рассеяния на большие углы и увидел, что модель атома Томсона не согласуется с тем, что большие отклонения случаются редко. Если «пудинг» представляет собой твердый объект, то все альфа-частицы должны отклоняться. Если атом — очень рыхлый объект, то все частицы должны идти прямо. Отскакивание назад может произойти при столкновении с чем-то тяжелым (с массой, большей, чем у альфа-частицы, а было известно, что она являлась заряженным атомом гелия), и при этом должны были действовать большие силы отталкивания. Резерфорд предположил, что эти силы могут возникать при действии обычного закона обратных квадратов в процессе отталкивания между зарядом альфа-частицы и зарядом положительной части атома золота. Если это так, альфа-частицы должны приближаться к положительному заряду на расстояния, намного меньшие, чем 1 или 2 А° («размер атома»), чтобы испытать действие сил, способных замедлить их и отбросить назад. Далее, необходимо предположить, что «+» заряд атома золота не экранирован действием собственных отрицательных электронов. Таким образом, Резерфорд предложил новую модель атома: чрезвычайно малое положительно заряженное ядро, в котором сконцентрирована почти вся масса атома, и определенное число электронов, расположенных далеко от ядра и вращающихся на орбитах наподобие планет, вращающихся вокруг Солнца. По Резерфорду, следовало, что.

— атом водорода имеет ядро с элементарным зарядом +е и внешний электрон с зарядом — е;

— атом гелия имеет ядро с удвоенным зарядом +2е и два внешних электрона, каждый с зарядом — е;

— атом лития имеет ядро с зарядом +3e и три внешних электрона и т. д.

Такую запись можно продолжать для других элементов периодической системы. По Резерфорду, Z-й атом с атомным номером Z, определяющим место элемента в периодической системе, будет иметь ядро с зарядом +Ze и Z внешних электронов.

Затем Резерфорд поставил следующие математические вопросы:

«1. Если альфа-частица с «++» зарядом выстреливается прямо в атом, какую форму должна иметь траектория альфа-частицы в области, занятой электронами, и вблизи ядер?

2. Если именно такие атомы находятся в тонкой золотой фольге, как должны быть распределены альфа-частицы по направлениям после ударов альфа-частиц о фольгу?

Примем закон обратных квадратов для сил отталкивания между альфа-частицами и сердцевиной атома. Предположим, что сердцевина атома золота несет заряд +Ze».

Математический аппарат дает ясные предсказания:

1. Траектории должны иметь гиперболическую форму[135] (для отталкивания, в то время как законы Кеплера дают эллиптическую форму траекторий при действии притяжения).

2. Распределение рассеянных альфа-частиц должно следовать определенному соотношению между их скоростями и направлениями; справедливость этого соотношения может быть экспериментально проверена.

К 1910 г. еще не была развита методика счета альфа-частиц с помощью счетчика Гейгера и не было достаточного для статистической обработки количества фотографий столкновений альфа-частиц в камере Вильсона. Резерфорд использовал для наблюдений крошечные вспышки света («сцинтилляции»), возникающие при ударах альфа-частиц об экран, покрытый минералом. Наблюдатель должен был находиться около 20 мин в темноте, пока его глаза адаптируются. После этого, прослеживая экран в микроскоп, он видел слабые вспышки от каждой альфа-частицы, ударившейся в экран[136].

Фиг. 66. Рассеяние альфа-частиц.

Итак, математический аппарат предсказывал число сцинтилляций, ожидаемых на маленьком подвижном экране, располагаемом в различных положениях для подсчета альфа-частиц, отклоненных от своей траектории на определенные углы. Эти предсказания были тщательно проверены. Предсказанное число частиц составляло следующую часть полного числа частиц, выстреливаемых в золотую фольгу (большинство частиц проходит через фольгу без отклонений):

Где К — константа, которую можно рассчитать из геометрии опыта (расстояния от точки пересечения α-лучей с экраном до фольги и толщины фольги); +Ze — заряд ядер золота, заряд, который имели бы Z положительно заряженных электронов; А — угол отклонения. Это предсказание было основано на законе обратных квадратов, без которого ни сомножитель 1/v⁴, ни 1/(sin⁴ A/2) не могли появиться. Резерфорд и его сотрудники исследовали оба эти предсказанных множителя.

Используя а-частицы с известными большими, средними и малыми скоростями, они проверили предсказание.

ЧИСЛО УДАРОВ ОБ ЭКРАН ~ 1/v^4.

Умножая найденные числа ударов об экран на v⁴. Вы уже встречались с результатами этих измерений в задаче 3 гл. 18. Результаты измерений очень хорошо совпадали с предсказанными. Это само по себе давало ясное указание на законность применения закона обратных квадратов. Для рассеяния на один и тот же угол более быстрые частицы должны были пройти ближе к ядру — при этом возникают большие силы в их более короткой встрече, — и мы должны ожидать тем меньшее число попаданий (в среднем) таких частиц, чем меньше диаметр мишени.

Более общее рассмотрение взаимодействий в глубине атома золота позволяет видеть, что число ударов об экран изменяется как 1/(sin⁴ A/2) в соответствии с предсказанием.

Альфа-частицы, простреливающие лист золота, действуют как исследователи поля, показывая своими отклонениями, действие каких сил они испытали. В тонком листе большинство из них не может проходить очень близко от ядер, поэтому они отклоняются только на малые углы; некоторые проходят довольно близко и отклоняются заметно, а редкие α-частицы отклоняются на большие углы, так как они оказались случайно нацеленными на область, очень близкую к ядрам золота. Таблица показывает результаты опыта. Такие результаты восхитили бы Кеплера. Совпадение отношений в последней колонке дает ясное свидетельство в пользу закона обратных квадратов, действующего в огромной области внутри атома золота.

_{* От первоначального направления движения альфа-частиц.}

_{** Число сцинтилляций, наблюдавшихся за определенное, постоянное для всех опытов время, для заданного угла А°.}

_{Примечание. В подлинных экспериментах Гейгер и Марсден проводили один ряд измерений для больших углов отклонения и другой ряд для малых углов отклонения с намного более слабым радиоактивным источником. Для получения единого ряда данных в приведенной выше таблице числа сцинтилляций для малых углов были умножены на соответствующий коэффициент.}

_{Оригинальные данные можно найти в журнале Philosophical Magazine, 25, 610 (1913), табл. II.}

Резерфорд мог даже оценить заряд ядер. Первые его расчеты указывали на атомный номер — порядковый номер элемента-рассеивателя в периодической системе. Уже «носилась в воздухе» идея, что этот порядковый номер, который численно составляет около половины атомного веса для легких элементов, должен играть большую роль в объяснении структуры атома. Казалось возможным полагать, что число электронов в атоме составляет около половины числа, определяющего атомный вес. Исключение составлял водород, терявший только один электрон. Но уже гелий (масса гелия больше массы водорода в 4 раза) может легко терять два электрона; он не показывает никаких признаков возможности потерять большее их число. Была сделана попытка рассчитать число электронов в атоме углерода, заставляя его рассеивать рентгеновские лучи, вероятно, излучаемые при «вибрациях» атомных электронов. Рентгеновские лучи могли рассеиваться твердыми телами, и казалось вероятным, что «вибраторами», взаимодействующими с рентгеновскими лучами, были электроны. С трудом полученная округленная оценка числа электронов в атоме углерода дала значение около 6. Но количество электронов, вращающихся вокруг ядер в атомной модели Резерфорда, должно быть численно равно положительному заряду ядра Z.

Резерфорд, таким образом, сделал предположение, что заряд ядра равен порядковому номеру элемента в периодической системе, его атомному номеру[137]. Это положение можно проверить, исследуя рассеяние альфа-частиц, так как константа К, входящая в предсказание, может быть рассчитана — все члены формулы, кроме Z, известны. Таким образом, наблюдение рассеяния альфа-частиц позволяет рассчитать значение Z. Было изучено рассеяние альфа-частиц тонкими листами меди, серебра, платины. Порядковые номера этих элементов в периодической системе или «атомные номера», равны 29, 47, 78. Изучение рассеяния α-лучей этими металлами дало значения Z, равные 29,3, 46,3, 77,4, с точностью в 1 %.

Далее, мы можем рассчитать, насколько близко от ядра прошла альфа-частица, если мы уверены в приложимости закона обратных квадратов и знаем величину заряда ядра. Мы найдем, что хорошим приближением является 10^-14 м, или 0,0001 А°. Это в 10 000 раз меньше оценки для размера атома (1 или 2 А°). Таким образом, представляется, что 9999/10 000 объема атома является пустым. (См. задачу 17 в гл. 33).

Итак, мы имеем ясную картину атома с крошечным массивным ядром, несущим положительный заряд, в Z раз больший, чем заряд электрона, и Z электронами, вращающимися вокруг ядра на большом расстоянии от него. Атом водорода имеет Z = 1, ядро с единичным положительным зарядом и один электрон; атом гелия с Z = 2 имеет ядро с зарядом «++»и два электрона и т. д. Отдавая свой электрон, атом водорода превращается в ион водорода Н⁺, который мы сейчас называем протоном. Отдавая два свои электрона, атом гелия превращается в альфа-частицу, Не⁺⁺. (Не удивительно, что испускаемая альфа-частица — гелий без электронов — имеет ровно два «+» заряда.) Другие атомы при образовании ионов обычно теряют только один или два электрона из многих.

Картина, представляющая атом в виде миниатюрной солнечной системы, оказалась слишком упрощенной. Последующие исследования показали, что электроны не вращаются по планетарным эллиптическим орбитам и не разложены по орбитам с такой точностью, как предметы по полочкам у хорошей домохозяйки. Ранняя модель атома содержала слишком много ненаблюдаемых деталей, хотя рассеяние альфа-частиц и дало ясную информацию о том, что атом является почти пустым образованием с маленьким, массивным, положительно заряженным ядром, создающим вокруг себя электрическое поле, убывающее обратно пропорционально квадрату расстояния и действующее на больших расстояниях в пределах области, определяемой размерами атома, найденными ранее. Картина атома, данная Резерфордом, была явно незаконченной, требовались дальнейшие теоретические рассмотрения и дальнейшие исследования. Теоретические рассмотрения, начатые Бором, привели к новой теории, к которой мы и обратимся.

Задачи к главе 40.

Задача 1. А) Какие очевидные экспериментальные факты убеждают нас, что гравитационное поле Солнца подчиняется закону обратных квадратов в большой области, простирающейся от 57 600 000 до 44 800 000 000 км? Б) Какие наблюдения можно сделать (случайно) для расширения области исследования гравитационного поля Солнца в сторону уменьшения и увеличения границ, указанных в а)? В) Какие эксперименты показывают, что взаимодействие атомного ядра (например, ядра атома золота) с внешними электрическими зарядами подчиняется закону обратных квадратов? Г) Какие другие сведения об атомном ядре дают эксперименты, о которых говорится в в)? Задача 2. Связь рассеяния альфа-частиц с их скоростью. Если вы не решили задачу 3 в гл. 18, вы можете проанализировать условия этой задачи снова, используя более новые знания, полученные при изучении этой главы.

_{Когда две нейтральные молекулы (или два атома) налетают друг на друга, то при сближении происходит их поляризация (небольшое смещение разноименных зарядов в противоположные стороны). Благодаря этому между молекулами возникает слабое притяжение (притяжение разноименных зарядов эффективнее отталкивания одноименных).}

_{При более тесном сближении системы электронов в атомах начинают сплющиваться, оказывая сопротивление сближению (принцип Паули, глава 44). Электроны могут перейти на орбиты, охватывающие оба атома. При этом возникает сильное отталкивание между атомами за счет кулоновского взаимодействия ядер. Тогда атомы разлетаются со своими первоначальными кинетическими энергиями.}

_{Медленный электрон (например, с энергией 1/2 эв) не может вызвать каких-либо изменений в атоме. Он упруго отскакивает от массивного атома.}

_{Однако более быстрый электрон (например, с энергией 100 эв) может выбить у атома электрон (за счет своей кинетической энергии). Выбитый электрон блуждает до тех пор, пока не захватывается другим атомом, образуя из него отрицательный ион.}

_{Электроны, проходя близко от атомов, выбивают из них электроны, превращая их в положительные ионы. Выбитые электроны могут присоединяться к другим атомам, превращая их в отрицательные ионы. Если положительные и отрицательные ионы не развести в разные стороны электрическим полем, то они вскоре могут встретиться и нейтрализовать друг друга.}

_{Проходя близко от атома или через его внешние области, α-частица легко вытягивает из него электрон своим электрическим полем. Электрон, блуждая, может быть захвачен атомом, и образуется отрицательный ион, α-частица проскакивает мимо, практически не отклоняясь.}

_{Одна из α-частиц, подойдя близко к ядру, отклоняется им на большой угол. Большинство же проходит прямо, не отклоняясь.}

Фиг. 67. Картина атомных и ядерных столкновений.

_{Эти рисунки, условно отражающие некоторые детали атомной структуры, иллюстрируют подлинные атомные события.}

Глава 41. Лабораторная работа по изучению свойств электронов: от генераторов до осциллографов.

Sine experientia nihil sufficienter sciri potest. Без опыта нет достоверного знания. Роджер Бэкон (~1250 г) Об опыте, духовном и практическом. …прививайте любовь к наблюдению и исследованию явлений природы — главную движущую силу научной деятельности. Если эта любовь есть, научное творчество и прогресс неотделимы, если ее нет, научное творчество, даже скрупулезно «взращиваемое», бесплодно. Студента нужно учить так, чтобы лицом к лицу с задачами он чувствовал себя истинным исследователем, в значительной степени предоставленным самому себе, готовым вырвать у природы ответы на вопросы, которые он ей задает. Сэр Перси Нунн («Новое преподавание», ~1918 г.)

Как генераторы «создают ток»? Почему энергию дешевле передавать с помощью переменного тока? Каковы основные детали радиоприемников, усилителей, телевизионных трубок… и как они работают? И как мы изучаем свойства электронов в этой «аппаратуре»? Эти вопросы, характерные для нашего века электричества, выходят за рамки «домашнего электричества», изложенного в гл. 32, и для того, чтобы на них можно было ответить, необходимы дополнительные сведения. Хороший курс физики должен содержать ясные ответы на некоторые из них, но это невозможно сделать только с помощью простых картинок и занимательных историй. Вместо этого вам предлагается самим найти ответы, уяснив некоторые из опытов, изложенных в настоящей главе. Проделайте опыты сами либо посмотрите, как их демонстрируют, либо пропустите эту главу.

Опыт 1. Катапультирующая сила. Соберите цепь, в которой через гибкий провод, висящий поперек магнитного поля, протекает сильный постоянный ток. Вместо провода можно использовать подвешенную металлическую трапецию с перекладиной поперек поля. Наблюдайте за действием катапультирующей силы. (Сила будет казаться слабой. Чтобы ощутить эту силу в большем масштабе, схватите рукой вал электрического мотора и попробуйте остановить его вращение.).

Фиг. 68. Катапультирующая сила.

Опыт 2. Сила, действующая на электроны. Направьте пучок электронов поперек магнитного поля. Для этого поднесите магнит к электроннолучевой трубке осциллографа. Посмотрите, как действует сила на пучок, и зафиксируйте его отклонение. Поднесите тот же магнит к гибкому проводу, по которому течет ток в известном направлении (опыт 1), и сравните его отклонение с отклонением пучка катодных лучей. Доказывает ли это, что катодные лучи представляют собой поток отрицательных зарядов? Опыт 3. Опыты с магнитами и катушками. (Это целая серия опытов с объяснениями к ним. Сделайте их сами, изучив объяснения.). Опыт 3(а). Предварительные опыты с магнитами и катушками. Подсоедините маленькую катушку из изолированного провода (скажем, из 40 витков) к чувствительному микроамперметру[138]. Так как в этой цепи нет батареи, тока в цепи не будет. Если, однако, каким-либо образом в катушке создается напряжение, оно возбуждает ток через прибор. Попробуйте сделать следующее: 1) Ввести N-полюс постоянного магнита в катушку. Отметьте направление и амплитуду отклонения стрелки амперметра. Удалите магнит и заметьте отклонение. 2) Повторите пункт 1) с S-полюсом. 3) Повторите пункт 1) с двойным числом витков. (Скрутите вдвое катушку так, как показано на фиг. 69.). 4) Наденьте катушку на полюс подковообразного магнита. Снимите ее.

Фиг. 69. Подготовительный опыт с магнитами и катушками.

_{Удваивайте число витков в катушке, скрутив ее вначале в виде восьмерки, а затем сложив так, как показано на рисунке.}

Магниты и катушки. Теоретическая интерлюдия.

В предыдущих опытах измерительный прибор показывал слабый ток всякий раз, когда магнит двигался вблизи катушки. Ток возникал благодаря напряжению, «наведенному» при движении магнита. По-видимому, необходимым условием возникновения тока является либо движение магнита, либо какие-нибудь другие изменения магнитного поля. Катушка сама по себе не может знать, как ведет себя магнит; она узнает о его движении только по изменению магнитного поля. Предположим, что катушка подносится к магниту из положения А в положение В, как показано на фиг. 70.

Фиг. 70. Катушка и магнитные силовые линии.

_{При движении катушки относительно магнита она пересекает силовые линии магнитного поля, и поэтому полное число магнитных силовых линий, пронизывающих катушку, меняется.}

При движении в катушке наводится напряжение, которое вызывает в ней ток, причем «с точки зрения катушки» происходит какое-нибудь одно из следующих изменений:

1) либо провода катушки пересекают силовые линии магнитного поля, что на рисунке отмечено разрывами на силовых линиях в тех точках, где катушка пересекла их,

2) либо меняется полное число силовых линий, пронизывающих катушку.

Если подумать, то станет ясно, что 1) и 2) означают одно и то же: число линий, пронизывающих катушку, не может меняться, если катушка не пересекает силовых линий.

Открытие Фарадея.

Опыты по изучению этих индукционных эффектов были начаты около 100 лет назад Майклом Фарадеем и Джозефом Генри. Они пришли к общему выводу, что, когда провод пересекает силовые линии магнитного поля или меняется число силовых линий, пронизывающих электрическую цепь с этим проводом, всякий раз в проводе возникает наведенная э.д.с., стремящаяся вызвать в нем ток. Если цепь замкнута, то течет ток. Именно этот ток заставляет отклониться стрелку прибора. Если же цепь разорвана, то тока нет, но можно показать, что при этом напряжение в цепи тем не менее существует. Обычные микровольтметры на самом деле представляют собой микроамперметры, пропускающие ток. Поэтому последнее утверждение невозможно проверить в столь малом масштабе. Однако для проверки его в большом масштабе существует устройство, в котором в сильном магнитном поле быстро движется большое число витков провода — не что иное, как большой генератор! Соединив работающий генератор с хорошим вольтметром, можно убедиться, что наведенное напряжение действительно есть. Это напряжение есть не что иное, как э.д.с. генератора.

В 1820-х гг. пришло время, когда это открытие созрело. Ампер и Эрстед искали его (но не поняли, что все дело заключается в движении магнита), и Фарадей в Англии, и Генри в Америке пытались «превратить магнетизм в электричество». В 1832 г. они оба провозгласили об открытии того, что теперь называется электромагнитной индукцией.

Подобно вашей работе с «магнитами и катушками», их простые опыты, казалось бы, страшно далеки от современных мощных энергосистем, но они открыли принцип, на котором основаны сегодняшние генераторы. Тот же принцип существен для электромоторов: во вращающихся катушках моторов поля магнитов наводят «обратную э.д.с.», которая ограничивает силу тока и позволяет моторам выдерживать большие нагрузки.

Понаблюдайте, как увеличивается ток через мотор, работающий на постоянном токе, когда нагрузка на мотор возрастает. Добавление нагрузки немного его замедляет, но тогда «обратная э.д.с.» становится меньше, ток, обусловленный внешним напряжением, возрастает, а это приводит к увеличению силы и подхватыванию мотором возросшей нагрузки.

Мы не будем касаться устройства генераторов, но вам следовало бы посмотреть на работу простого генератора постоянного тока: вращающуюся катушку с коллектором, обеспечивающим выпрямление генерируемого в катушке переменного тока.

Объяснение с помощью электронной теории.

Электронная теория позволяет просто понять, что такое наведенное напряжение. Представим себе металлический провод, содержащий облако свободных электронов, способных переносить ток. Когда провод движется поперек магнитного поля, вместе с ним движутся его свободные электроны, причем тоже поперек поля. Каждый движущийся электрон создает электрический ток, направленный поперек поля. Поэтому можно ожидать, что каждый электрон испытывает действие отклоняющей силы, перпендикулярной направлению движения и поля. Следовательно, сила направлена вдоль провода. Эта сила, действуя на электроны, толкает их вдоль провода, создавая э.д.с., стремящуюся вызвать ток точно так же, как если бы это была батарея. Таким образом, считается, что э.д.с. индукции обусловлена силами, действующими на свободные электроны при движении их поперек магнитного поля[139].

(Положительные заряды отклоняются силой в противоположную сторону: на них действует та же э.д.с., приводя их в движение, если они свободны.).

Закон Ленца.

В какую сторону течет индукционный ток? Чтобы ответить на этот вопрос, следовало бы проделать опыт с движущимся магнитом и катушкой и сравнить направление отклонения стрелки прибора с тем, которое наблюдается при прохождении через него известного тока. При этом вы обнаружили бы, что в каждом случае индуцированный ток течет через катушку (или прямой провод) в таком направлении, что создаваемое самим током магнитное поле препятствует вызванному изменению поля, т. е. если магнит приближается к катушке, то ток в ней создает магнитное поле, отталкивающее магнит, если же магнит удаляется от катушки, то ток заставляет катушку притягивать его; если же катушка вращается и, следовательно, меняется число пронизывающих ее силовых линий магнитного поля, то ток создает поле, препятствующее вращению. Эффекты, вызванные индукцией, всегда противятся изменениям, вызывающим их. Это «инерция» движения в более общей формулировке. Она называется законом Ленца в честь Эмиля Ленца, сформулировавшего его. В справедливости этого закона можно убедиться на опыте или же, если вы верите в закон сохранения энергии, вывести из него. Когда цепь разомкнута, тока индукции нет, зато есть э.д.с. индукции, которая действует в том направлении, в котором протекал бы ток, если бы цепь была замкнута.

Отрицательный магнетизм: универсальный диамагнетизм Теперь можно пролить свет на упомянутый в гл. 34 «отрицательный магнетизм», свойственный всем веществам. Каждый электрон, описывающий нечто, вроде «орбиты» вокруг атомного ядра, эквивалентен крошечной электрической цепи. Когда мы включаем внешнее магнитное поле, его силовые линии, пронизывая орбиту электрона, наводят в ней э.д.с., которая ускоряет или замедляет электрон таким образом, чтобы препятствовать возрастанию магнитного поля в области орбиты. Тогда до тех пор, пока приложено внешнее магнитное поле, движение электрона по орбите остается измененным. (Магнитный вклад электронных спинов, однако, остается неизменным.).

Следует ожидать, что все электронные орбиты атомов должны участвовать в этом сопротивлении (т. е ослаблении воздействия) — все вещества должны отталкиваться магнитом, правда очень слабо. Этот «диамагнетизм» маскируется положительным эффектом в таких атомах, как железо и кислород, электроны которых создают направленное вдоль приложенного извне результирующее магнитное поле, складывающееся с ним. Железо и кислород притягиваются магнитом. Нов веществах, состоящих из немагнитных атомов (у которых спины и орбиты компенсируют друг друга в магнитном отношении), диамагнетизм проявляется в качестве единственного магнитного свойства вещества.

Картина силовых линий.

Если угодно, можно представить себе провод, который при движении тянет за собой силовые линии магнитного поля и вытягивает их на некоторое расстояние, пока они не порвутся. Эта воображаемая картина дает возможность понять существование и направление реального индукционного тока. Например, когда провод, направленный перпендикулярно рисунку, движется вверх в поле подковообразного магнита, как показано на фиг. 72, а, можно представить себе, что за проводом тащится часть силовых линий, подобно гирляндам, как показано на фиг. 72, б. Если добавить немного деталей, нарисовав фиг. 72, в, то получится поле, которое было бы, если бы по самому проводу тек ток. Этот предполагаемый ток есть не что иное, как ток индукции, если есть он один. Согласно картине суммарного поля, провод должен двигаться вниз. Предсказанный фиг. 72, в наведенный ток препятствует первоначальному движению провода.

Фиг. 72. Провод, движущийся поперек силовых линий магнитного поля. (Воображаемая картина механизма возникновения индукции.).

Опыт 3(б). Продолжая ранее проведенные опыты, присоедините катушку к микроамперметру и начните вдвигать в нее и выдвигать из нее один из полюсов подковообразного магнита. Можете ли вы сказать в свете проведенного выше рассмотрения, почему при этом возникает переменный ток? Опыт 3(в). Поместив катушку между полюсами подковообразного магнита и двигая ее, можно изменять число пронизывающих катушку силовых линий. Сделайте это. Перемотайте катушку так, чтобы она могла поместиться в пространстве между полюсами подковообразного магнита, и начните вращать ее (фиг. 73). Получится простейший генератор переменного тока. Обратите внимание на то, что когда катушка находится в положении а, то ее пронизывает, скажем, 100 магнитных силовых линий, в позиции б — нуль, а в позиции в — 100 линий. Изменение числа линий при переходе от позиции а к в равно — 200 линиям;скорость же изменения максимальна в позиции б.

Фиг. 73. К опытам 3 (в) и 3 (д).

Очевидным недостатком примитивного генератора в опыте 3 было то, что провода от катушки все больше и больше скручивались по мере ее вращения. В настоящих генераторах это устраняется путем соединения катушки с двумя «скользящими кольцами», которые вращаются вместе с катушкой и трутся о неподвижные металлические «щетки», связывающие их с внешней цепью. Пронаблюдайте это. Опыт 3(г). Вращение проводов можно заменить вращением магнита. Сделайте это. Такое устройство используется во многих современных больших генераторах переменного тока. Опыт 3(д). Генератор с железным сердечником в катушке. Найдите маленький железный сердечник и поместите его внутрь катушки, пропустив через отверстие в нем медную ось и прилепив ее воском. Повторите опыты 3(в) или (г), сравнив при этом результаты, полученные без сердечника и с ним. Опыт 3(е). Другая постановка опыта 3(д). Вместо специального сердечника воспользуйтесь бруском мягкого железа, который служит «башмаком» вашего подковообразного магнита. Наденьте катушку на «башмак» и поднесите ее близко к магниту. Попробуйте вращать «башмак». Вместо этого попробуйте вращать магнит. Опыт 3(ж). Как в 3(е), наденьте катушку на «башмак» подковообразного магнита. Поднесите «башмак» близко к полюсам магнита, а затем подвигайте его в разные стороны от магнита. Повторите опыт, надев катушку на один из полюсов магнита. Это демонстрирует принцип действия наушника телефонной трубки, если его, как это делали раньше, использовать в качестве микрофона.

Трансформаторы.

Вместо магнита поднесите к катушке другую катушку. Когда по катушке течет ток, она действует как магнит, и можно убедиться, что она действительно действует на первую катушку подобно магниту. Вместо того чтобы подносить катушку с током, можно просто включать мгновенно в ней электрический ток. Магнитную связь между катушкой с током и катушкой, в которой мы хотим индуцировать токи, можно усилить, продев через обе катушки брусок из мягкого железа.

Опыт 3(з). Так же как и ранее, подключите катушку к амперметру. Чтобы увеличить число витков цепи с 40 до 80, не меняя сопротивления в ней, соедините последовательно две такие катушки (фиг. 74). Эти две катушки будут образовывать «вторичную обмотку», в которой вы предполагаете наводить токи. Теперь вместо магнита воспользуйтесь «первичной обмоткой», подсоединенной к батарее со специальным переключателем, при помощи которого можно включать и выключать ток как в прямом, так и в противоположном направлениях[140]. С помощью этого переключателя пустите «переменный» ток через первичную обмотку. Придвиньте первичную катушку близко к вторичной и увеличьте связь между ними С помощью «сердечника» из мягкого железа. Запишите показания микроамперметра, подключенного ко вторичной катушке из 40 витков, затем из 80. Чтобы сопротивление было постоянным, обе катушки все время должны быть соединены последовательно. Обратите внимание на то, что 80-витковую катушку можно сделать двумя путями: соединить катушки по 40 витков один раз так, чтобы они были намотаны в одну сторону, а другой раз — в разные стороны. Такое устройство представляет собой простейший трансформатор.

Фиг. 74. Опыт 3 (з): простейший трансформатор.

_{Изображена одна из разновидностей переключателя. Какой бы вам ни попался в руки переключатель, исследуйте его и, руководствуясь соображениями здравого смысла, попытайтесь найти подходящий способ его применения. Это тест на сообразительность.}

Трансформаторы. Дальнейшее обсуждение.

Трансформатор состоит из двух изолированных друг от друга катушек, намотанных на железный сердечник. Для осуществления магнитной связи между катушками вполне годится простое кольцо из мягкого железа. При колебаниях тока в одной катушке кольцо периодически намагничивается, сначала по часовой стрелке, затем против часовой стрелки, снова по часовой и т. д. В другой катушке при этом наводится переменное напряжение.

Наматывая все большее и большее число витков во второй катушке (вторичной), можно получать все более и более высокое напряжение, вольт за вольтом, пропорционально числу намотанных витков. У повышающего напряжение трансформатора первичная обмотка состоит из небольшого числа витков толстой проволоки, а вторичная — из большого числа витков тонкой. Тогда низкое переменное напряжение, приложенное к первичной обмотке, вызывает в ней сильный переменный ток, который наводит высокое переменное напряжение во вторичной обмотке. На основании закона сохранения энергии следует ожидать, что с вторичной обмотки должна сниматься точно такая же (или меньшая) мощность, какая подведена к первичной. Поэтому во вторичной обмотке высокому напряжению должен отвечать слабый ток.

Сердечники трансформаторов имеют самую различную форму, чаще всего форму двойного кольца, изображенного на фиг. 76, б, на центральную стойку которого намотаны обе катушки. Стрелки изображают направление намагниченности в сердечнике в некоторый произвольный момент времени. На электрических схемах трансформаторы изображаются символами, такими, как на фиг. 77, причем катушки изображаются в виде спиралек из проводов — катушек старинной формы.

Фиг. 75. Применение трансформатора.

_{Первичная обмотка состоит из нескольких витков толстого провода, вторичная — из большого числа витков тонкой проволоки.}

Фиг. 76. Устройство трансформаторов.

Фиг. 77. Символы для обозначения трансформаторов в цепях.

Опыт 4. Трансформатор. (Сделайте опыт сами или посмотрите его.) Возьмите U-образный сердечник и прямой брусок для замыкания его концов[141]. Наденьте на одну из стоек сердечника катушку из боль- того числа витков провода — это будет первичная обмотка и намотайте на вторую стойку немного витков изолированного провода — это будет вторичная обмотка. Замкните концы сердечника бруском. Подключите первичную обмотку к сети переменного напряжения в 120 в. Подключите ко вторичной обмотке 6-вольтовую лампочку. Если она горит тускло, добавьте во вторичную обмотку несколько витков.

Фиг. 78. Опыт 4. Самодельный трансформатор.

Опыт 5. Модель линии электропередачи переменного тока. Используйте модель линии передачи постоянного тока (беи затем 120 в), которая была в опыте 23 гл. 32. Пусть роль «электростанции» вначале будет играть источник переменного напряжения в 6 в. Воспользуйтесь сначала этим источником для соединения низковольтной линии передачи без трансформаторов. Включите одну 6-вольтовую лампочку на «электростанции», а другую такую же — в «деревне», на самом дальнем конце линии передачи. Убедитесь, что низковольтная система на переменном токе работает столь же плохо, как аналогичная система на постоянном. Затем около «электростанции» поставьте маленький трансформатор, повышающий напряжение, а возле «деревни» — понижающий. (Для этого воспользуйтесь трансформаторами от электрических звонков или теми, которые работают в сети накала радиоламп. В этих трансформаторах числа витков в обмотках отличаются в 20 раз, причем катушка с малым числом витков сделана из толстой проволоки.). Запишите ваши наблюдения. Эти измерения нельзя сделать без специального амперметра для переменного тока. Однако в качестве индикатора высокого напряжения можно воспользоваться электрической лампочкой на 120 в.

Фиг. 79. Опыт 5. Модель линии электропередачи переменного тока.

Переменный ток и передача энергии.

Для эффективной передачи электрической энергии необходимо использовать высокое напряжение. Для безопасной работы с машинами и моторами на концах линий передачи необходимо иметь низкое напряжение.

Низковольтные линии передачи совершенно неэкономичны, если только они не сделаны из очень толстого провода, обладающего малым сопротивлением. Протяженные линии из таких тяжелых проводов были бы страшно дороги как из-за дороговизны металла, так и из-за высокой стоимости опор для поддерживания проводов. Эффективное решение — переменный ток плюс трансформаторы.

Трансформаторы обладают двумя крупными достоинствами:

1) они весьма эффективны — мощность на выходе может составлять до 95 % от мощности на входе, т. е. всего лишь 5 % потерь на тепло;

2) они не требуют за собой наблюдения — работающий мотор плюс генератор для преобразования постоянного напряжения требуют гораздо большего внимания и обслуживания. Поэтому всюду, где желательно эффективно менять напряжение, используются переменные токи и трансформаторы.

Для передачи электроэнергии внутри города на линии передачи подается переменное напряжение в несколько тысяч вольт, а для передачи от мощных электростанций в города, расположенные от них на большом расстоянии, подается переменное напряжение до миллиона вольт.

Опыт 6. «Электромагнитная инерция». Когда ток, протекающий по мотку провода, меняется, то меняется также и напряженность создаваемого им магнитного поля. Это переменное поле индуцирует в самом витке напряжение, препятствующее этому изменению. Следовательно, каждая катушка обладает «самоиндукцией», ослабляющей изменение тока. Такое поведение напоминает свойство любого куска вещества двигаться по инерции, оказывая сопротивление изменению его скорости. Если внутри катушки помещен железный сердечник, то эффект еще сильнее. Подключите лампочку к источнику постоянного напряжения. Попробуйте добавить в цепь большую проволочную катушку, кроме увеличения сопротивления, включение катушки никак не влияет на работу лампочки. Теперь, заменив постоянное напряжение таким же по величине, но переменным напряжением, попробуйте включить лампочку сначала без катушки, а затем с последовательно включенной катушкой. Попробуйте в катушку всунуть железный сердечник. Если со вторичной обмотки не снимается мощность, то первичная обмотка трансформатора обнаруживает большую самоиндукцию. Поэтому ток в первичной обмотке намного меньше того, который был бы при постоянном напряжении — это одна из причин, почему в трансформаторе не происходит потерь энергии. Катушка (обычно с железным сердечником), которая используется ради ее самоиндукции, называется индуктивностью или «дросселем». Дроссельные катушки вместе с емкостями используют для того, чтобы сглаживать скачки напряжения в усилителях.

Фиг. 80. Опыт 6. «Электромагнитная инерция (масса?)».

_{Проволочься катушка оказывает сопротивление любому изменению тока. Это противодействие (мгновенное появление напряжения противоположного знака) становится во много раз больше, если в катушке есть железный сердечник. При постоянном токе катушка никак не влияет на работу лампы, за исключением разве того, что она создает дополнительное сопротивление. В случае же переменного тока это влияние на работу лампы весьма заметно.}

Опыт 7(а). Емкость. (Этот опыт не находится в прямой взаимосвязи с «магнитами и катушками», но приводится здесь, поскольку емкости используются в цепях переменного тока и в радиоприемниках.). Емкость (старое название — «конденсатор») состоит из двух металлических пластин, отделенных друг от друга слоем диэлектрика. Часто она изготовляется наклеиванием тонкой металлической фольги на обе стороны листа вощеной бумаги. Затем, проложив еще один лист вощеной бумаги, всю конструкцию скручивают в трубку и помещают в защитную оболочку. Вам следует воспользоваться маленькой емкостью такого рода. Каждый вывод на оболочке соединен со своей металлической пластиной. Такого рода емкости часто используются в радиотехнике. Будучи соединенными с батареей, пластины приобретают заряды «+» и «—», а между пластинами при этом возникает электрическое поле. Таким образом, на пластинах запасается заряд. Емкость не может проводить ток, так как пластины разделены изолятором. Следовательно, заряды должны перетекать с пластины на пластину каким-то другим образом. Исследуйте, как это происходит, используя цепь, изображенную на фиг. 81. Соедините батарею (через предохранитель) с клеммами В и С, расположенными на деревянной панельке. С каждой стороны электрической емкости включите по микроамперметру. Полная схема цепи изображена на рисунке. Микроамперметры должны показать вам, возникает ли мгновенный ток, когда вы заряжаете емкость, соединяя клемму А с В. Затем можно отключить батарею и, замкнув цепь, «разрядить» емкость. Проделайте это, соединив провод А с клеммой С. (Простейший способ: держа провод А в руке, коснитесь им сначала В, затем С, потом снова В…) Повторите опыт с напряжением в 4 в вместо 6 в, а затем в 2 в.

Фиг. 81. Зарядка емкости.

_{Дли зарядки емкости соедините коней А провода с клеммой В. Для разрядки ее соедините А с С.}

Электрическая упругость. Колебания.

Емкость в электрической цепи подобна пружине в механическом устройстве. Емкость, соединенная с катушкой индуктивности, подобна пружине с подвешенным к ней грузиком. Нагруженная пружина может совершать простые гармонические колебания (см. гл. 10). Аналогичное поведение обнаруживает комбинация емкость + катушка: токи через катушку могут испытывать простые гармонические колебания, заряжая пластины конденсатора до напряжения, осциллирующего по простому гармоническому закону. Такие «колебательные контуры» нужны в радиотехнике для излучения и приема радиоволн. Мы не будем изучать их в этом курсе.

Фиг. 82. Аналогия между цепью колебательного контура и массивным маховиком с пружиной.

_{Замечание. Электрическая катушка индуктивности аналогична массе, а не скрученной пружине.}

Фиг. 83. Колебательный контур, управляющий лампой-усилителем с обратной связью для поддержания осцилляции.

Опыт 7(б). Емкость как фильтр переменного/постоянного тока. Попробуйте включить емкость последовательно в цепь с электрической лампочкой, питаемой вначале от постоянного напряжения, а затем от переменного. Источник постоянного тока заряжает пластины конденсатора мгновенно, так же как и в 7(а). Если емкость его велика, лампочка моментально вспыхнет, как только импульс заряжающего тока пройдет через нее. После этого уже нет тока и лампочка не горит. Если же напряжение переменное, то ток через лампочку будет течь все время, в результате чего она будет ярко гореть. На самом деле ток течет не через емкость[142], а благодаря колебаниям напряжения перетекает от одной пластины к другой и обратно. При этом заряды на пластинах емкости и электрическое поле между ними меняются: От НУЛЯ до ⁺«МАКСИМУМА»^- через НУЛЬ до ^-«МАКСИМУМА»⁺ через НУЛЬ до ⁺«МАКСИМУМА»^- … и т. д. В остальной части цепи течет переменный ток, перенося эти заряды. При постоянном напряжении, вызывающем постоянный ток, сопротивление емкости равно бесконечности — ток не течет через изоляционную прокладку. При переменном же напряжении емкость ведет себя как обычное сопротивление[143] — чем больше емкость, тем меньше «сопротивление» или «импеданс». Именно в силу быстрых изменений переменного напряжения кажется, что через емкость проходит ток. При ускорении этих изменений — при переменном токе более высокой частоты — «сопротивление» меньше. (Заряд той же величины будет попадать на пластины за более короткое время, тем самым давая больший ток, и, следовательно, «сопротивление» меньше.) Итак, емкость может действовать как фильтр, с помощью которого можно отделять переменный ток от постоянного. Для переменного же тока смешанной частоты она может действовать как фильтр частот: позволять легко проходить переменному току высокой частоты и оказывать гораздо большее сопротивление переменному току низкой частоты. В этом смысле емкость противоположна «дроссельной» катушке, которая препятствует изменению тока в цепи и, следовательно, легко проводит постоянный ток, оказывая сопротивление переменному току низкой частоты и большое сопротивление току высокой частоты. Далее будет видно, что в радиоцепях емкость нередко выступает в роли такого фильтра. Часто можно будет увидеть комбинацию конденсатора и дроссельной катушки, используемую в усилителях для сглаживания скачущего по величине постоянного тока в стабильный постоянный ток, или для «выпрямления» переменного тока в постоянный, или же для отделения переменного тока высокой частоты («радиочастоты») от переменного тока низкой частоты (звуковой частоты).

Фиг. 84. Опыт 7 (б).

Опыт 8. Триод. Описание общего принципа работы триода приведено в гл. 33. Стандартные радиолампы, играющие существенную роль в радиоприемниках, передатчиках, усилителях и т. д., являются триодами с подогревным катодом, сеткой и анодом. Другие лампы с причудливыми названиями и большим числом электродов (так называемые пентоды) фактически являются тоже триодами, но с дополнительными деталями. Основной принцип действия у них тот же самый. Студенты, обучающиеся на радиоинженеров, проделывают длительные опыты с триодами, чтобы построить для них график анодный ток в зависимости от напряжения НА СЕТКЕ, ПОСКОЛЬКУ из этого графика можно получить интересную информацию, такую, как «сопротивление» лампы, коэффициент ее усиления, емкость и т. д. В нашем курсе следует проделать более простой опыт: включить лампу и обнаружить ее усиление. (Используйте простой триод, такой, как 6Ж5.). Устройство лампы. Неотъемлемой частью лампы является нагревающий провод или нить накала (соединенная с клеммами H, H). Нить накала подогревает окружающий ее катод (соединенный с выводом K), который, будучи раскаленным, испускает электроны. Катод окружен спиральным проводом, сеткой (соединенной с выводом G), изолированной от катода. За ними расположен анод — экран из темного металла. К сожалению, практически только анод и можно увидеть сквозь стеклянный корпус лампы. Внутри лампы хороший вакуум. Попросите дать вам разбитую лампу и посмотрите на сетку и нить накала: все устройство — прямо ювелирная работа, чудо механической сборки. Опыт 8(а). Включение лампы (фиг. 85). А) Смонтируйте цепь для разогрева нити накала, включив в нее выключатель, амперметр и батарею на 6 в, без реостата. Нити накала большинства ламп, рассчитаны на работу при 6,3 в, но ток от 6 в тоже сможет разогреть катод достаточно сильно, так, чтобы из него вылетало необходимое количество электронов.

Фиг. 85. Подогрев катода.

Б) Для того чтобы можно было управлять потоком электронов, между сеткой и катодом должна существовать определенная разность потенциалов. Если сетка заряжена положительно, она способствует лишь разрушительному действию ливня электронов, поэтому в электронике на сетку никогда не подается положительное напряжение. Чтобы иметь ощутимый контроль, потенциал сетки должен быть на несколько вольт ниже потенциала катода.

Фиг. 86. Смещение на сетке.

В) Для того чтобы иметь возможность создавать между сеткой и катодом подходящую разность потенциалов, воспользуйтесь потенциометром и батареей (с э.д.с. скажем, 10 в).

Фиг. 87. Делитель напряжения на сетке.

Г) Чтобы на анод попали все электроны, которые летят на сетку, между анодом и катодом должна существовать достаточно большая разность потенциалов. Какого знака должно быть напряжение на аноде, «+» или «—»? Воспользуйтесь напряжением сети постоянного тока в 120 в и включите в цепь миллиамперметр. Включать вольтметр нет необходимости. Нарисуйте вашу цепь, соберите ее и опробуйте для того, чтобы удостовериться в наличии анодного тока. После этого лампа готова к опытам 8(б) и 8(в).

Фиг. 88. Анодная цепь.

Усиление.

Когда триод работает как усилитель, то напряжение, приложенное между его сеткой и катодом, он превращает в еще большее напряжение на сопротивлении, включенном в анодную цепь. Основной механизм усиления (описанный в гл. 33) таков: изменение сеточного напряжения влечет за собой сильное изменение потока электронов через сетку. Проходя через сетку, поток ускоряется полем, создаваемым большой разностью потенциалов между анодом и катодом, в направлении к аноду. Следовательно, изменения сеточного напряжения приводят к большим изменениям «анодного тока» — тока электронов от катода через сетку к аноду, затем через анодную батарею (или что-либо эквивалентное ей) назад к катоду. Кроме того, этот анодный ток может проходить через любую аппаратуру, последовательно включенную в анодную сеть. Именно в ней могут проявляться усиленные изменения напряжения. В анодной цепи происходит не только усиление напряжения. В ней также происходит и усиление тока. Поэтому получаемая мощность на выходе анодной цепи превышает во много раз мощность на входе цепи сетки. В отличие от трансформатора лампа усиливает мощность, причем дополнительная энергия черпается от батареи в анодной цепи.

Опыт 8(б). Триод-усилитель. Сделайте следующие изменения вашей цепи: А) В анодную цепь включите реостат сопротивлений, чтобы можно было сделать разность потенциалов пропорциональной потоку электронов. Это «выходное напряжение». В многокаскадных усилителях оно может затем подаваться на сетки других ламп. Б) Параллельно переменному напряжению, приложенному между сеткой и катодом вопыте 8(a), включите вольтметр V₁. Он будет показывать изменения напряжения «на входе». В) Параллельно сопротивлению в анодной цепи включите вольтметр V₂. Он будет показывать изменения напряжения «на выходе». Начните двигать ручку 10-вольтового реостата на входе сетки вверх-вниз и следите за показаниями обоих вольтметров. Вы должны увидеть «усиление»: при изменении показания V₁ на 1 в наблюдается изменение показания V₂ на несколько вольт. Коэффициент усиления небольшого триода, такого, как 6Ж5, равен 5—10. У некоторых триодов он может достигать значения 10 или 20, или еще выше. Чтобы оценить коэффициент усиления, померьте и сравните между собой изменения напряжений на V₁ и V₂. Определите для вашей схемы область отличного от нуля анодного тока, устранив тем самым область «обрезания», в которой анодный ток падает до нуля. Запишите найденную для вашей схемы оценку «коэффициента усиления напряжения» лампы. Если вы хотите измерить «коэффициент усиления напряжения» в лампе более профессионально, попробуйте в качестве факультативной работы проделать опыт 8(г).

Фиг. 89. Опыт 8 (б).

Опыт 8(в). Усиление музыкальных звуков. Воспользуйтесь той же самой цепью для усиления быстро меняющегося тока, который в громкоговорителе или телефоне вызывает музыкальный звук. Переменное напряжение, поданное на сетку, следует усилить, чтобы на переменном сопротивлении в анодной цепи возникало несколько большее напряжение. Низкое переменное напряжение с частотой в несколько сотен колебаний в секунду можно получить, использовав колебательный контур. Когда благодаря этому напряжению через телефонную трубку течет переменный ток, то возникает напевный музыкальный звук, причем тон этого звука тем выше, чем выше частота колебаний. (Вместо колебательного контура, дающего звук одной ноты, можно было бы использовать выходное напряжение транслирующего музыку небольшого приемника или проигрывателя.). Разомкните цепь между сеткой и катодом и присоедините концы колебательного контура к выводным проводам. Смещение на сетке, создаваемое батареей или потенциометром, оставьте[144]. Хотя в нем нет особой нужды, но так у вас будет уверенность, что сетка останется заряженной отрицательно. Попробуйте менять смещение на сетке. После этого послушайте и посмотрите усиление лампы следующим образом: А) Опыт с телефонной трубкой. Соедините телефонную трубку выводными концами с колебательным контуром и послушайте, как звучит «вход». Затем провода от телефонной трубки подсоедините параллельно сопротивлению в анодной цепи и послушайте, как звучит «выход». (Телефонная трубка должна обладать высоким сопротивлением, иначе ее подсоединение будет сильно менять параметры цепи.). Б) Опыт с электронно-лучевым осциллографом. Соедините выводные концы колебательного контура с пластинами вертикальной развертки осциллографа и подстройте вертикальную развертку так, чтобы амплитуда вертикальных колебаний луча составляла около 1 см. Затем включите горизонтальную развертку (она заставляет электронный луч двигаться взад и вперед по горизонтали), чтобы иметь возможность наблюдать колебания напряжения во времени[145]. Затем к клеммам вертикальной развертки подсоедините концы сопротивления на выходе и посмотрите, как меняется во времени выходное напряжение. Оцените коэффициент усиления напряжения, сравнив в обоих случаях максимальные отклонения луча. Запишите полученное значение и сравните его с оценкой, найденной вами ранее по показаниям вольтметра. Опыт 8(г). (Для факультативной работы.) Коэффициент усиления. Другой вариант опыта 8(б). Здесь излагается способ более профессиональной оценки коэффициента усиления. К источнику анодного напряжения подсоедините потенциометр, а вольтметр отключите от анодного сопротивления и включите его так, как показано на фиг. 90. Затем попробуйте изменить величину анодного тока на одно и то же значение сначала путем изменения напряжения на сетке, а затем анодного напряжения. Это покажет, насколько меняется напряжение в анодной цепи при эквивалентном изменении напряжения в цепи сетки. Далее сделайте следующее: А) Найдите ту область изменения напряжения на сетке, которая отвечает плавному изменению тока в анодной цепи, тем самым выкинув из рассмотрения область «обрезания», в которой анодный ток падает до нуля. Затем понемногу меняйте напряжение на сетке в определенном интервале, «скажем от —3 до —1 в. Наблюдайте за изменением анодного тока. (Запишите абсолютные показания прибора, а не разности.). Б) Затем при одном или двух использованных значениях напряжения на сетке сделайте так, чтобы ток в анодной цепи менялся на точно такую же величину при изменении анодного напряжения. (По-прежнему записывая показания прибора.) Затем вычислите коэффициент усиления, подобно тому как это сделано в приведенном ниже примере. Пример. Предположим, что при изменении напряжения на сетке от —3 до —1 в ток в анодной цепи возрастает от 3 до 7 ма. Допустим, что при постоянном напряжении на сетке — 1 в ток в анодной цепи можно уменьшить с 7 до 3 ма путем изменения напряжения в анодной цепи со 120 до 80 в. Тогда одно и то же изменение тока (в данном примере) происходит при изменении анодного напряжения на 40 в, а напряжения на сетке — на 2 в: необходимо 40 в вместо всего лишь 2 в. Следовательно, сетка в 20 раз более эффективно изменяет величину анодного тока, чем анодное напряжение. Отсюда вывод таков: коэффициент усиления равен ⁴⁰/₂, т. е. 20.

Фиг. 90. Опыт 8 (г).

Необходимость выпрямления в радиотехнике.

Хотя мы не будем изучать радиотехнику детально, вы уже должны быть готовы к пониманию принципов действия основных частей радиоприемника. Однако сделаем следующие необходимые пояснения.

Частоты звуков речи и музыки заключены в интервале от нескольких десятков до нескольких тысяч колебаний в секунду. Существуют два возражения против использования радиоволн в таком диапазоне частот: 1) для достаточно мощной радиостанции, работающей на столь низких частотах, необходима грандиозная система антенн; 2) владельцы радиоприемников будут слышать одновременно все соседние станции, т. е. сплошную какофонию звуков.

Если большую мощность трудно излучать на частоте радиоволны 1000 колебаний в 1 сек, то это легко делать на частоте 1 000 000 колебаний в 1 сек. Поэтому радиостанции излучают радиоволны высоких частот (радиочастоты), амплитуда которых, однако, меняется в соответствии с колебаниями звуков речи или музыки (звуковые частоты).

Основная волна («несущая»), когда она не несет какую-либо мелодию, выглядит так, как показано на фиг. 91.

Фиг. 91. Временная развертка радиоволны.

_{Частота волны 1 000 000 колебаний в 1 сек, амплитуда постоянна.}

Картина звуковой волны, которую необходимо передать с помощью радиоволны, выглядит подобно изображенной на фиг. 92.

Фиг. 92. Временная развертка звуковой волна с частотой в несколько сотен колебаний в 1 сек.

_{Слева — одна музыкальная нота: синусоида, повторяющаяся с частотой, скажем, 400 раз в 1 сек; справа — гласный звук или нота, взятая на музыкальном инструменте. Форма волны сложнее, повторения происходят с частотой, скажем, 400 раз в 1 сек.}

Амплитуду основной радиоволны заставляют следовать форме звуковой волны: она «промодулирована», как на фиг. 93.

Фиг. 93. Радиоволна, «модулированная» звуковыми колебаниями.

_{Частота радиоволны равна миллиону или больше колебаний в 1 сек, следовательно, в одном периоде акустической волны укладываются тысячи радиочастотных колебаний. На приведенных рисунках истинные соотношения не выдержаны.}

Радиоволны такого вида излучаются радиовещательной станцией. Когда такая волна достигает антенны радиоприемника, она наводит в ней колеблющееся с частотой волны напряжение. При этом между антенной и землей возникает слабый ток той же самой частоты. Если приемная система устроена так, что ее собственные колебания точно такой же частоты, то имеет место «резонанс»[146], и поступающая радиоволна вызывает колебания большой амплитуды. Владелец радиоприемника настраивает свою систему антенна — земля на частоту волны той радиостанции, которую он хочет слушать. Он делает это вращением ручки конденсатора колебательного контура, который в его приемнике включен в цепь, связывающую антенну с заземлением.

Принятые антенной модулированные радиочастотные колебания подаются на сетку триода и преобразуются в усиленные колебания тока в анодной цепи, причем увеличение мощности этих колебаний происходит за счет анодной батареи. Можно представить себе, как в приемнике друг за другом следуют новые стадии усиления, после окончания которых ток направляется в громкоговоритель. Но это будет полнейшим заблуждением. Массивная катушка или диффузор громкоговорителя не способны следовать быстрым радиочастотным колебаниям. Даже если бы они и могли, то получился бы не звук, а всего лишь высокочастотный шум, меняющийся в такт звуковым колебаниям. Поэтому необходимо перевести радиочастотные колебания в нечто, что передавало бы картину звуковых колебаний. Это производится путем выпрямления радиочастотных колебаний (в радиотехнике это называется «детектированием»). На фиг. 94 (это перерисованная фиг. 93) изображена картина колебаний тока на входе радиоприемника и соответствующая ей картина колебаний напряжения на сетке радиолампы.

При выпрямлении тока или напряжения с помощью устройства, аналогичного диоду, действующему подобно одностороннему клапану, остается лишь только верхняя половина изображенной картины колебаний, а нижняя отсекается.

Если бы ток, передающий исходную картину колебаний, попадал в громкоговоритель, то он действовал бы на диффузор следующим образом, не приводя к сколько-нибудь заметному отклику с его стороны:

Выпрямленный ток будет раскачивать колебания диффузора следующим образом:

Массивный диффузор суммировал бы эти толчки, происходящие с частотой миллион колебаний в секунду, и отвечал бы на их общее среднее подобно следующему:

Такое сглаженное среднее выпрямленных радиочастотных колебаний заставляет диффузор громкоговорителя следовать несколько ослабленным звуковым колебаниям. Поэтому из громкоговорителя выходят звуковые волны, являющиеся хорошей копией первоначальных звуковых волн, служивших для модуляции радиочастотных волн.

Такие медленные колебания звуковой частоты могут быть далее усилены другим триодом, действующим как «усилитель звуковой частоты».

Конечное напряжение звуковой частоты создается лампой, обязательно обладающей высоким сопротивлением, но сами громкоговорители[147] имеют низкое сопротивление. Вместо «сопротивление» скорее следовало бы говорить «импеданс», имея в виду более общий характер сопротивления цепи «меняющемуся току»[148]. Для работы громкоговорителя нужны большие токи при слабых напряжениях в отличие от того, что получается от радиолампы — слабые токи и большие напряжения. Необходимо «уравнять» импедансы громкоговорителя и усилителя, что и делается с помощью понижающего трансформатора. При этом выигрыш в мощности отсутствует, но токи и напряжения получаются такими, какие необходимы для воспроизведения звука.

Выравнивание «импедансов».

Такое выравнивание импедансов необходимо в разных областях. Боксер-профессионал своим ударом (на ринге) щуплому пареньку наносит слабый ущерб — тот просто отлетает прочь. Если же он ударит слона, то сам отскочит назад. Когда же он наносит удар противнику равного с ним веса, то этот удар для последнего может быть по-настоящему сокрушительным. Почти точно так же для наилучшей передачи энергии или мощности от источника к потребителю необходимо, чтобы их импедансы были одинаковыми. Возьмем простой пример: батарея, которая снабжает электроэнергией электрическую плиту.

Как устроить плиту, чтобы она брала от батареи максимум энергии? Ток в такой простой цепи (батарея + плита) выделяет в электроплите тепло. Однако батарея обладает собственным внутренним сопротивлением, и поэтому ток в ней также выделяет тепло, правда, абсолютно бесполезное. Попробуйте сделать плиту с очень высоким сопротивлением: ток в цепи будет мал и, следовательно, тепла в ней выделяться будет очень мало, причем в основном в плите. Попробуйте соорудить плиту с очень низким сопротивлением: тогда ток будет большим, тепла будет выделяться много, причем в основном в батарее. В том и другом предельных случаях плита получает мало тепла. Но при некотором промежуточном сопротивлении плита получит гораздо больше тепла. Расчетом и методом проб и ошибок можно показать, что электроплита будет получать наибольшее количество тепла в том случае, когда она обладает таким же сопротивлением, как и батарея. Тогда в той и в другой выделяется одинаковое количество тепла. Потребитель получит максимальную энергию тогда, когда сопротивление потребляющих приборов (импеданс) одинаково с сопротивлением источника энергии, при этом он получает 50 % общего количества выработанной энергии. (Под это условие не подходит электростанция, снабжающая энергией лампочки в городе: в этом случае скорее желательно иметь постоянное напряжение, чем максимум переданной энергии. Поэтому сопротивление лампочки гораздо выше сопротивления системы электроснабжения.).

При каскадной передаче энергии в радио или в моторе автомобиля от аккумулятора к стартеру желательно, чтобы передача была максимальной. Поэтому необходимо выравнивать импедансы. Это делается путем изготовления каскадов с равными импедансами или путем включения выравнивающего устройства.

В том случае, когда равенства импедансов нет, можно его обеспечить, воспользовавшись определенным устройством. Допустим, необходимо передать энергию упругим соударением от движущегося шара к покоящемуся. Если массы шаров одинаковы, то передача энергии будет хорошей — при лобовом столкновении 100 %, а в среднем 50 % Если, однако, массы различны, энергия движущегося шара может практически не измениться. В этом случае для передачи максимально большой энергии необходимо воспользоваться устройством, таким, как рычаг (вроде детской доски-качалки, но с вертикальной осью).

Покоящийся шар (фиг. 100) кладется вплотную к доске-рычагу, по которой на некотором расстоянии от оси ударяет движущийся шар. Расстояния должны быть выбраны так, чтобы система шар + рычаг по массе эффективно была эквивалентна покоящемуся шару. То же самое в электроприборе осуществляет трансформатор: его подбирают таким образом, чтобы систем прибор + трансформатор был эффектно равен импедансу другого прибора.

Фиг. 100. Выравнивание импедансов.

Выравнивание импедансов происходит и в других областях. Боксер-профессионал, нанося удар щуплому пареньку, использует свой свободный локтевой сустав как рычаг. Конструкторы ядерных реакторов в качестве «замедлителей» нейтронов выбирают водород или углерод. Нейтрон или электрон, сталкиваясь с ядром золота, теряет лишь малую часть своей энергии. Только сталкиваясь с равной массой, они могут потерять значительную часть своей энергии. Длинный расширяющийся рупор уравнивает маленький громкоговоритель с окружающим воздухом. Хирург использует свой стетоскоп для того, чтобы уравнять импедансы уха и грудной клетки. Ухо человека содержит три маленькие косточки, которые служат для приведения в соответствие импедансов воздуха в ушной полости и жидкости во внутреннем ухе. Сердце человека находится в гармонии с системой артерий и вен до тех пор, пока они не обызвествляются с возрастом.

Радиоприемники.

На самом деле электрические цепи в радиоприемнике гораздо сложнее, но их основные составные части, искусно смонтированные в сложные схемы в целях большей экономичности, чувствительности, избирательности и большего усиления, — это те, которые были описаны выше. Обычный радиоприемник должен выполнять следующие функции:

Прием: электромагнитное поле индуцирует токи в антенне. Настройка: нужная радиостанция выбирается путем подстройки конденсаторов на резонанс. Выпрямление: радиочастотные колебания выпрямляются. Усиление: амплитуда радиочастотных или акустических колебаний, или тех и других одновременно, усиливается по величине, причем с возрастанием их мощности. Выравнивание: импеданс одного каскада усиления выравнивается со следующим. Воспроизведение: динамик излучает звуковые волны.

На фиг. 101 изображено несколько радиосхем. Ни одна из них не могла бы нормально работать. Они намеренно упрощены, чтобы легче было продемонстрировать основной принцип их действия.

Фиг. 101. Простейшие радиоприемники.

_{Нижний приемник в принципе должен работать, но практически едва ли мог бы работать. [Необходимо было бы устранить возможность возникновения собственных осцилляции в первом триоде. Анодную батарею следовало бы заменить питанием «от сети» (трансформатор + диод + сглаживающая дроссельная катушка + емкость). Катодный подогрев необходимо было бы осуществлять переменным током от трансформатора, а смещение на сетке создавать более сложным образом. Для получения избирательности в разумных пределах контур настройки нужно было бы заменить более сложным устройством.].}

Опыт 9. Измерение е/m и скорости электронов. (Подробности зависят от находящейся в вашем распоряжении аппаратуры. Вам следует либо самим проделать эти опыты, либо посмотреть на их демонстрацию.). Благодаря исключительно большой величине отношения е/m электроны были первыми обнаружены в качестве мельчайших осколков атомов. В тех же экспериментах было показано, что даже электроны, вылетевшие из электронной пушки с низким напряжением, движутся с громадными скоростями. Проделайте эти важные измерения с потоком электронов из маленькой пушки. Для того чтобы найти для них е/m и их скорость, необходимо сделать два независимых опыта: 1) Исследовать действие электрического поля, создаваемого ускоряющим напряжением пушки. 2) Исследовать действие магнитного поля, закручивающего поток электронов по кругу. Приборы и измерения. Узкий пучок электронов вылетает из простейшей электронной пушки, схематически изображенной на фиг. 102. Электроны, испарившиеся из раскаленной нити, ускоряются электрическим полем в направлении от нити к внешнему цилиндру. Поток этих электронов проходит через узкую щель в цилиндре. Все электроны вылетают с одинаковой кинетической энергией и движутся затем с постоянной скоростью. Измерьте ускоряющее напряжение пушки. Пучок электронов закручивается на круговую орбиту магнитным полем, создаваемым большой кольцевой катушкой. Измерьте радиус круговой орбиты. Для этого пучок необходимо сделать видимым. Это можно осуществить, заставив пучок светиться. Его направляют или на плоский экран, покрытый каким-либо подходящим составом, или пропускают сквозь газ: пары ртути или водород при очень низком давлении. Диаметр орбиты измерьте с помощью линейки, держа ее поблизости. Проделайте необходимые измерения по определению величины напряженности магнитного поля, создаваемого катушкой.

Фиг. 102. Измерение v и e/m электрона.

Вычисления. 1) Из измерения ускоряющего напряжения в пушке. А) Начните с алгебраических выкладок. Полагая, что электрон обладает зарядом е кулон, массой m кг и проходит в пушке разность потенциалов V в, напишите уравнение, согласно которому энергия, приобретенная электроном в пушке, равна его кинетической энергии в выходящем пучке. Б) Подставьте в это уравнение величину ускоряющего напряжения и вычислите e/mv². 2) На основании измерения размера орбиты в магнитном поле. Вспомним, что заряд в е кулон, двигаясь со скоростью v поперек магнитного поля, в центре кольцевой катушки испытывает действие силы, равной. Где N — число витков в катушке радиусом R, I₂ — сила тока в катушке, выраженная в амперах. F = 10^-7∙(ev)∙(H) Где H — напряженность магнитного поля, равная (I₂∙2πN)/R. А) На основании ваших измерений вычислите величину H в ампер-витках на метр. Б) Напишите уравнение, согласно которому сила 10^-7∙(ev)∙(H) равна реальной силе, закручивающей траекторию электронов в круг радиусом r (обратите внимание, что r — это радиус орбиты, a R — радиус катушки). В) Подставьте найденную величину Н и измеренное значение r в это уравнение и вычислите величину e/mv. 3) На основании этих двух результатов для e/mv² и e/mv вычислите v. 4) Вычислите е/m. 5) а) Выразите полученное вами е/m в виде числа, кратного е/М для ионов водорода, равного, согласно данным электролиза, 9,57∙10⁷ кулон/кг. Б) Вычислите отношение найденного вами значения к величине скорости света 3,0∙10⁸ м/сек. Опыт 10. Регулировка и использование электронно-лучевого осциллографа. Предостережение. Большая трубка осциллографа, как и все телевизионные трубки, дорога. Поэтому не оставляйте пятно неподвижным на экране и не «прожгите» экран. Если в течение некоторого времени пятно, оставляемое электронным лучом, стоит на одном и том же месте, экран повреждается. Опасность здесь точно такая же, как в случае солнечного луча, сфокусированного линзой на клочке бумаги. Если же пятно движется по экрану, то опасность порчи экрана отсутствует. Не оставляйте пятно неподвижным на экране в течение времени, большего чем несколько секунд. Заставьте пятно бегать по экрану, или расфокусируйте его, или поверните ручку интенсивности до того положения, когда пятно совсем исчезнет. Назначение ручки «Интенсивность». Не делайте пятно ярче, чем это необходимо. Слишком высокая яркость пятна повышает опасность порчи экрана, хотя ничем и не угрожает остальным частям трубки. Опыт 10(а). Ручки управления осциллографом. Экспериментирование. На передней панели осциллографа имеется несколько разных ручек управления, большинство которых соединено с расположенными внутри делителями напряжения. Покрутив эти ручки, попробуйте определить, чему каждая из них соответствует, и научитесь быстро устанавливать требуемое изображение. (При этом примите во внимание надписи рядом с ручками и замечания, приводимые ниже.). Чертеж. Нарисуйте в вашей тетради переднюю панель осциллографа вместе с ручками управления и клеммами. Четко надпишите, какие функции выполняет каждая из них. Проверочное испытание. Когда вы научитесь получать на экране осциллографа хорошее изображение картины переменного напряжения и сможете уверенно пользоваться ручками управления, попросите дать вам несложное задание. Вам могут предложить быстро установить какое-нибудь простое изображение на экране осциллографа, ручки которого повернуты самым произвольным образом: изображение при этом может либо отсутствовать вообще, либо меняться самым замысловатым образом. Вероятно, можно было бы это делать путем кручения наугад ручек управления, но вряд ли такой путь привел бы к успеху. Продумайте логический подход к решению задачи.

Замечания об осциллографах.

А) Отклоняющие пластины. В лучевой трубке имеется две пары «отклоняющих пластин», предназначенных для отклонения луча с помощью электрического поля. Каждая пара соединена с соответствующей парой клемм на корпусе осциллографа — для вертикального и горизонтального отклонений. Одна из клемм каждой пары соединена с металлическим корпусом и служит для заземления. Это соединение у обеих пар пластин является общим.

В большинстве осциллографов клеммы соединены с отклоняющими пластинами не прямо, а через усилитель, расположенный внутри корпуса. В усилитель подается слабое напряжение с клемм, оно усиливается, после чего подается на отклоняющие пластины.

Усилитель обычно рассчитан на работу с переменным напряжением. Поэтому это устройство не годится для постоянного напряжения, скажем, от батареи. Такое напряжение должно подаваться прямо на пластины.

Б) Клеммы «контрольного сигнала». Для контроля и регулировки подается слабое переменное напряжение. Оно снимается с расположенного внутри трансформатора и подается на клеммы, помеченные «Контроль» и «Земля». Этот контрольный сигнал можно подать на отклоняющие пластины с помощью одного провода, соединив «Контроль» с одной из вертикальных (или горизонтальных) пластин, поскольку другое соединение существует само собой: клемма «Земля» является общей как для контрольного напряжения системы пластин вертикального и горизонтального отклонений, так и для всего металлического корпуса прибора. Используйте этот контрольный сигнал (около 6 в) для создания переменного отклонения и исследуйте форму его волны.

В) Синхронизирующий сигнал. Движение луча по экрану регулярно повторяется, но, несмотря на это, изображение было бы нечетким, если бы луч не начинал движение всегда с одной и той же начальной точки изображения. Следовательно, желательно сделать так, чтобы луч возвращался назад каждый раз точно на одной и той же стадии изображения. Это делается с помощью одного остроумного внутреннего устройства. Луч движется по экрану нарастающим во времени электрическим полем, обусловленным возрастающим во времени напряжением, вырабатываемым в особом устройстве внутри корпуса. Пока это напряжение возрастает до некоторой большой величины, пятно проносится через весь экран, затем его необходимо вернуть назад. Это возвращение производится с помощью особой лампы, наполненной ионизующимся газом, выключающей напряжение, несущее по экрану луч, по достижении некоторой вполне определенной большой величины. На лампу подается это растущее во времени напряжение, и, когда напряжение достигает некоторой критической величины, в газе лампы вспыхивает разряд, в результате чего происходит «закорачивание» напряжения, движущего луч по экрану. При этом напряжение снимается, луч возвращается в исходную точку, после чего начинается новый цикл его движения. Как сделать так, чтобы наверняка это возвращение каждый раз происходило на одной и той же стадии изображения? Это делается путем добавления к напряжению, движущему луч, некоторого «синхронизирующего сигнала» перед тем, как это напряжение подается на газонаполненную лампу-выключатель.

Синхронизирующий сигнал представляет собой малую копию реально анализируемого напряжения (напряжения, подаваемого на вертикально отклоняющие пластины). Таким образом, на газовую лампу, ожидающую, когда растущее напряжение развертки достигнет своей критической величины, подается напряжение развертки плюс копия анализируемого напряжения. Последнее меняется вместе с изображением на экране, и, когда пятно на экране совершает скачок вверх, добавка синхронизирующего сигнала к развертывающему напряжению угрожает выключить развертку.

Синхронизирующий сигнал выглядит как серия «соломинок», как положительных, так и отрицательных, добавляемых к напряжению развертки, и к концу развертки выброс наверх синхронизирующего сигнала будет той последней «соломинкой», которая выключает развертку и тем самым заставляет начаться новую развертку. Тогда развертка будет запускаться снова и снова одним и тем же выбросом вверх в изображении.

Синхронизирующий сигнал должен быть достаточно интенсивным, чтобы осуществить выключение. Однако если он слишком велик, то он может расстроить изображение. Поэтому следует использовать ручку «синх.» лишь для того, чтобы получать неподвижное изображение, но не больше. Предусмотрена также возможность получать синхронизирующий сигнал от внешних приборов. Не пользуйтесь ими, а держите включенной ручку «ВНУТРЕННЯЯ СИНХРОНИЗАЦИЯ».

Г) Загадочные изображения. Нас окружает множество переменных электрических полей, в основном обусловленных полями переменного тока частоты 50 гц в сети освещения, причем наше тело играет роль как бы антенны. Если коснуться провода, соединенного с отклоняющими пластинами, можно получить причудливые изображения. Они обусловлены случайными полями, до некоторой степени отфильтрованными нашим телом, действующим подобно емкости. Эти изображения выглядят интересно. Однако их диагностическая ценность мала.

Опыт 10(б). Волновая картина речи и музыки. Для получения волновой картины вашего голоса на экране осциллографа воспользуйтесь микрофоном телефонной трубки. Когда звуковые волны из вашего рта падают на микрофон телефона, они заставляют прогибаться и выпрямляться тонкую металлическую пластинку-мембрану. Пластинка в какой-то степени следует за колебаниями вашего голоса. За этой пластинкой расположена коробочка с насыпанным в нее угольным порошком. Мембрана попеременно то давит на порошок, то ослабляет давление. Уголь проводит ток. Однако, если между частичками угля имеется слабый контакт, сопротивление будет велико. Таким образом, при колебаниях диафрагмы сопротивление порошка меняется. Через угольный порошок проходит электрический ток от батареи, причем этот ток меняется вместе с изменениями сопротивления, обусловленными за движениями мембраны, а последняя в свою очередь следует за звуковыми волнами. Следовательно, колебания тока имитируют исходные звуковые волны, хотя и с заметными искажениями. Такой переменный ток посылается в первичную обмотку повышающего трансформатора, слабые изменения тока в которой приводят к значительным изменениям напряжения во вторичной обмотке. Последнее напряжение можно использовать для создания тока через слуховую трубку телефона или направить в осциллограф. Соедините выход вашего трансформатора с отклоняющими пластинами осциллографа и пробуйте говорить и петь в микрофон телефона. Если тянуть какую-нибудь одну ноту, то можно отрегулировать развертку и ее синхронизирующий сигнал так, чтобы получить неподвижную картину, изображающую форму звуковой волны вашего голоса. Зарисуйте несколько таких изображений. (Если вы говорите по-французски, попробуйте произнести сложное легкое «и», такое, как в «tu». На осциллографе будет видно, что этот звук содержит характерную высокочастотную компоненту. Затем произнесите звук шепотом. Эта компонента будет слышна, как свистящий музыкальный звук. Подобные упражнения могут помочь вам произносить трудные гласные.). Если в вашем распоряжении имеются камертон, органные трубы и т,д., поэкспериментируйте также и с ними. Попробуйте получить «биения», создаваемые двумя высокими звуками различной частоты. Для этой цели подойдут любые два камертона, две органные трубы или два студента, свистящие не в тон. Разность тонов, один из которых по высоте на две октавы выше первой октавы, а другой на один-два тона ниже первого, прекрасно демонстрирует эффект.

Фиг. 103. Микрофон с угольным порошком.

_{Звуковые волны заставляют угольный порошок вести себя как переменное сопротивление.}

ОПЫТЫ НА БОЛЕЕ СОВРЕМЕННОМ УРОВНЕ.

Другие опыты по изучению или демонстрации достижений физики нашего века сформулированы в доступном для вашей лабораторной работы виде. (Опыты в оригинальной постановке либо слишком дороги, либо слишком сложны, чтобы их можно было выполнить в ограниченный отрезок времени.) Некоторые из приводимых ниже опытов уже выполнимы, другие обещают быть таковыми:

11. Опыт Милликена. Измерение заряда электрона. 12. Радиоактивный распад. Измерение времени полураспада (см. гл. 39). 13. Альфа-частицы. Пробег, опыты по рассеянию. 14. Свойства бета- и гамма-лучей. 15. Опыты с нейтронами. 16. Камеры Вильсона (расширяющиеся или диффузионные). 17. Изучение треков атомных частиц в фотоэмульсиях. 18. Самодельная радиолампа (с высоким вакуумом, полученным путем испарения металлической проволоки для связывания остаточного газа на стенках). 19. Фотоэлектрический эффект и квантовые постоянные. Измерение отношения h/e. 20. Измерение размеров молекулы по средней длине свободного пробега путем пропускания пучка атомов через газ с низким давлением.

Предварительные задачи к главе 42.

Задача 1. Простейшие формулы для циклотрона. [Циклотрон — это устройство для получения ионов (заряженных атомов) высокой энергии путем повторяющихся ускорений, в каждом из которых ион проходит определенную разность потенциалов. Для того чтобы сообщать ионам ускоряющие импульсы многократно, прикладывается магнитное поле, чтобы ионы двигались по круговым орбитам. Вам требуется выяснить, как должны быть распределены во времени ускоряющие импульсы. Это кардинальная проблема устройства.]. Предположим, что ион с массой m кг и зарядом Q движется со скоростью v м/сек поперек однородного магнитного поля напряженностью Н а∙ виток/м. В магнитном поле на движущийся заряд действует сила, (Магнитное поле должно быть перпендикулярно направлению движения. Составляющая магнитного поля любой величины вдоль скорости заряда не вносит никакого вклада в эту силу.) При этом сила дается выражением F = -10^-7QvH. (Когда магнитное поле — поле в центре кругового витка провода, оно равно H = 2π∙N∙I₂/R и его следует измерять в а∙виток/м. В нашей задаче магнитное поле создается железным сердечником с двумя катушками, так что именно оно обозначено через Н.) (Замечание. В некоторых книгах вместо множителя 10^-7 иногда стоит 1/с, а также иногда фигурирует 4π. Это различие связано с использованием других единиц измерения е вместо кулонов.). Сила перпендикулярна как полю, так и направлению скорости иона, поэтому она, не меняя величины скорости иона, изгибает траекторию его движения в окружность, А) Напишите уравнение, согласно которому приведенная выше сила (выраженная через Н) является центростремительной силой, заставляя ион двигаться по окружности радиусом r. Б) Решите уравнение, найденное в а) относительно скорости v, получив v =… В) Какое время необходимо для обращения некоторого объекта по окружности радиусом r со скоростью v? Г) Объедините результаты пунктов б) и в) и выразите время обращения по окружности через Q, Н и т, д., исключив r из выражений. Д) Пусть электрический импульс ускоряет ион после каждой полуокружности его траектории. Как будет изменяться время между двумя последовательными импульсами, подаваемыми соответственно после прохождения ионом двух следующих друг за другом полуокружностей, — увеличиваться, уменьшаться или оставаться все время постоянным? Четко обоснуйте ваш ответ. Задача 2. Циклотрон и относительность. В больших циклотронах ионы набирают громадную энергию за большое число оборотов по окружности, а так как энергия связана с массой, то масса иона слегка возрастает» Если ионы вращаются достаточно долгое время, то нужно ли на более поздней стадии ускорения уменьшить или увеличить длительность электрических импульсов?

Глава 42. Ускорители — большие машины.

Физик… накапливает опытные данные, согласовывает и объединяет их вместе искусными экспериментами…, но самоуверенное утверждение, что это и есть природа, мы должны воспринимать… с доброжелательной улыбкой и некоторой долей сомнения. Гёте, «Созерцание природы» Мозг постоянно ищет новую информацию о периодичности и закономерностях происходящего вокруг нас. Этот процесс, который я называю сомнением, приводит к обнаружению существенно новых аналогий. Как только они найдены, мы, естественно, получаем основу для построения нашей системы законов. Затем считаем, что мир похож на наше построение, и продолжаем говорить о нем в наших терминах. Но рано или поздно появляется некто, сомневающийся, некто, пытающийся провести новые сравнения; если ему сопутствует успех, человечество научится лучше понимать мир, больше в нем видеть. Дж. 3. Юнг, «Сомнение и уверенность в науке»

УСКОРИТЕЛИ — ИНСТРУМЕНТ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ АТОМОВ.

Наш век — это век больших машин, которые на обыденном языке можно назвать «атомными таранами». Это ускорители атомов (или, более строго, ионные ускорители) и ускорители электронов. Ионизованные атомы и электроны, движущиеся с большими скоростями и обладающие огромными энергиями, являются исследовательским инструментом современной физики. Их используют для исследования других атомов, бомбардируя последние частицами высокой энергии. Изучая рассеяние быстрых частиц на покоящихся атомах, можно судить о внутренней структуре этих атомов или даже о структуре их ядер.

Иногда наши бомбардирующие «атомные снаряды» отскакивают от атомов мишени упруго; кинетическая энергия при этом сохраняется, и оба тела — снаряд и мишень — остаются неизменными. В некоторых случаях происходят неупругие столкновения, атомы мишени «возбуждаются», так что затем они испускают γ-лучи и, возможно, даже после этого остаются нестабильными. А иногда происходят сильные ядерные изменения: налетающая частица попадает в мишень, но не выходит из нее; вместо «застрявшей» частицы из мишени могут вылететь какие-либо другие частицы — своего рода ядерный бильярд. В этом случае образуются новые атомы, чаще также нестабильные. Таким образом, стреляя по подходящим мишеням атомными снарядами из ускорителей, можно создавать новые радиоактивные атомы, чтобы затем использовать их для атомных исследований или как «метки» обычных элементов в химических реакциях, в биологических процессах, в медицине, металлургии и т. д.

В природе имеются некоторые естественные атомные снаряды — излучения радиоактивных атомов. Это α-лучи, которые представляют собой ядра атомов гелия, выбрасываемые с энергией в несколько миллионов электронвольт, и β-лучи — электроны, испущенные со скоростями, достигающими 98 % скорости света. Но нужно учитывать, что использование этих естественных средств весьма ограничено. Выбор энергии частиц ограничен, число «снарядов» в потоке зависит от количества полученного радиоактивного материала — обычно его мало. Вплоть до 1917 г. казалось, что выбор радиоактивных источников фиксирован: считалось, что атомы либо всегда стабильны и их нельзя расщепить, либо радиоактивны, но на процесс их распада невозможно повлиять. Действительно, ни термические, ни механические, ни химические воздействия не оказывали никакого влияния на характер радиоактивного распада. Но Резерфорду удалось добиться успеха, сделав нестабильными атомы обычного азота при помощи бомбардировки их α-частицами. «Жертва» поглотила пущенный в нее снаряд, испустила ядро водорода (протон), превратившись при этом в атом кислорода О¹⁷. Это первое искусственное превращение одного элемента в другой вселило надежду, что мы сможем по своему желанию осуществить и другие ядерные превращения. В течение 12 лет такие надежды царили в атомной физике. Экспериментаторы охотились за необычными эффектами при подобного рода бомбардировках, но с переменным успехом. Теоретики мечтали о странных атомных частицах, которые были бы даже незаряженными, — «нейтронах». Конструкторы, отказавшись от естественных пушек из радиоактивных ядер в пользу искусственных ускорителей, делали эскизы машин, способных ускорять пучки заряженных атомов до невероятных энергий. Обстрел других ядер — мишеней высокоэнергетическими протонами обещал вызвать важные превращения.

Поэтому идея ускорения пучка ионов водорода для использования их в качестве бомбардирующих снарядов выглядела крайне соблазнительной. Создание такого ускорителя, который мог бы «стрелять» атомными «снарядами» регулируемой энергии, действительно было весьма привлекательным, особенно если бы он создавал плотные потоки «снарядов» и разгонял их до более высоких энергий, чем энергии используемых уже альфа-частиц.

Вылетающие из радиоактивных атомов альфа-частицы, по-видимому, ускорялись в электрическом поле своих ядер-родителей. Если мы хотим создать свои собственные атомные «снаряды», мы должны снабдить их электрическим зарядом и затем, чтобы ускорить их, использовать в «пушке» электрическое поле. Мало надежд на то, что мы сможем непосредственно ускорять электрически нейтральные атомы, а еще меньше — не обладающие зарядом нейтроны, так как мы не можем тянуть или толкать их с большой силой. Гравитационному воздействию подвержена любая материя, заряженная или незаряженная, но величина гравитационного воздействия очень мала[149].

Необходимо использовать сравнительно более сильное воздействие электрического поля на заряженные атомы. Таким образом, проблемы состояли в следующем: создать в качестве снарядов заряженные атомы — что сравнительно легко — и получить огромную разность потенциалов, чтобы разогнать эти снаряды, — а это значительно труднее и дороже.

Ядерный словарь. Протоны и др.

Ядра водорода Н⁺ (или ₁Н¹) играют столь важную роль как в обсуждении структуры ядра, так и при использовании их в качестве бомбардирующих снарядов, что им дали специальное название, которым мы уже пользовались, а именно протоны.

Протон — это ядро атома водорода, лишенного своего единственного электрона. Когда мы говорим, что более тяжелые ядра состоят из протонов и нейтронов, мы объединяем оба сорта частиц общим названием нуклоны, (Существуют также специальные названия для более тяжелых изотопов водорода. Ядро «тяжелого водорода», или «дейтерия» ₁Н², часто называют дейтроном; радиоактивное ядро сверхтяжелого водорода, «трития» ₁H³, носит название тритон).

Фиг. 104. Ускорители: принципиальная схема.

_{А — электронный ускоритель является просто электронной пушкой, снабженной некоторыми приспособлениями для создания высокой ускоряющей разности потенциалов или ее эквивалента; б — ионный ускоритель (ускоритель Ван-де-Граафа, циклотрон, линейный ускоритель, беватрон и т. д.) является просто огромной ионной пушкой, ускоряющей пучок положительно заряженных ионов для бомбардировки ими мишени. Ионы являются атомами водорода, гелия… лишенными электронов, т. е. фактически ядрами этих атомов. Пушка снабжена некоторыми приспособлениями для создания высокой ускоряющей разности потенциалов или ее эквивалента; в — ионный ускоритель «в сборе» состоит из ионного источника, ионной пушки и мишени. Ионы образуются в результате облучения атомов газа электронами из электронной пушки. Для создания ионов в установку вводится тонкая струя разреженного газа; большие насосы обеспечивают высокий вакуум.}

Фиг. 105. Применения ускорителей.

_{«Большие машины» сами по себе не являются объектами экспериментальных исследований. Они только снабжают экспериментаторов «инструментами» для изучения атомных ядер. Этими инструментами являются высокоскоростные заряженные частицы (электроны или ионы). Ускорители создают пучки таких частиц высокой энергии для бомбардировки ими мишеней. На рисунке изображены некоторые из возникающих при этом эффектов.}

Ускорители.

В начале 1930-х годов с открытием нейтрона, оказавшегося полезным для разведывательных набегов на атомные ядра, были построены первые большие машины, которые начали выдавать плотные потоки снарядов для исследования.

В Принстоне Ван-де-Грааф изобрел высоковольтный генератор непрерывного действия, в котором заряды переносятся шелковой лентой-конвейером на большой металлический шар — по существу это процесс непрерывной электризации посредством индукции. Пара таких машин давала разность потенциалов между их шарами-накопителями, равную 500 000 в. Эту установку, равноценную гигантской батарее, можно было использовать для ускорения протонов и других ионов до энергии 500 000 эв, или 0,5 Мэв. Современные огромные машины Ван-де-Граафа, занимающие целые здания, могут вырабатывать разность потенциалов в несколько миллионов вольт и пропускать очень большие ионные токи. Были надежды получить еще более высокое напряжение, но стоимость установки и изоляторов в таком случае резко возросла бы. Поэтому вместо того, чтобы непосредственно создавать огромные напряжения, экспериментаторы попытались сложить действие многих сравнительно малых напряжений. В Калифорнии был построен первый большой циклотрон. В Кавендишской лаборатории в Кембридже молодые сотрудники Резерфорда создали установку, в которой многократно использовалось напряжение от выпрямителя переменного тока. Они складывали напряжение ступеньками, подобно лестнице. Специальные радиолампы искусно переключали заряжающее напряжение с одного конденсатора на следующий в высокой башне из конденсаторов, создавая таким образом большое напряжение на всей башне.

Резерфорд, как всегда, стремившийся испробовать новые средства для бомбардировки ядер, нетерпеливо относящийся ко всякого рода задержкам, однажды сказал: «Что ж, посмотрим, что наконец у вас получилось». Их ожидал большой успех: оказалось, что протоны, разогнанные в их установке до энергии всего 150 000 эв, смогли проникнуть в ядра атома лития и вызвать их распад на два атома гелия. Это искусственное расщепление атомного ядра проходило в масштабах много раз больших, чем случайно обнаруженное ранее Резерфордом расщепление атомов азота (фиг. 106). Человечество смогло отныне заставить «делиться» маленькие ядра атома лития[150].

Фиг. 106. Расщепление ядра атома лития.

Циклотроны.

В это же время строился циклотрон, ускоряющий пучки ионов до высоких энергий по совершенно другому принципу. Вместо того чтобы создавать источники напряжения на миллионы вольт и более, подключать их к большим ионным пушкам, преодолевать большие трудности с надежной изоляцией установки, нельзя ли многократно использовать значительно меньшее напряжение, скажем 30 000 в, доводя энергию ионов до очень большой величины, не используя нигде в установке соответствующую данной энергии огромную разность потенциалов? Образно говоря, для того чтобы бросить мяч с очень большой скоростью, нельзя ли вместо одного гигантского броска, сделанного великаном, добиться этой же цели, последовательно ударяя мяч достаточно большое число раз? Для мяча одно из таких решений состояло бы в том, чтобы привязать его веревкой к столбу, как это делается в детском теннисе, и ударять его каждый раз, когда он проходит полную окружность. Таков же основной принцип работы циклотрона. Нельзя, конечно, привязать ионизованный атом к столбу, но его можно заставить двигаться по круговой орбите, поместив ион в магнитное поле, перпендикулярное его траектории (фиг. 108). Если атом движется по такой окружности, его можно разгонять, периодически создавая в определенных участках траектории электрическое поле.

Фиг. 108. Магнит циклотрона.

Как уже говорилось, для того чтобы частица двигалась по кругу, к ней нужно приложить магнитное поле, перпендикулярное направлению ее движения. Поэтому циклотрон снабжен огромным магнитом, единственное назначение которого — удерживать движущиеся ионы на круговых орбитах, чтобы к ним можно было прилагать ускоряющие силы снова и снова, используя электрическое поле. Мы не можем неоднократно ускорять ионы электрическим полем умеренной напряженности, просто создав его в области движения ионов, так как ионы будут одинаково часто двигаться как по направлению поля (ускоряясь на этих участках траектории), так и против поля (теряя энергию на этих участках), так что желаемого ускорения вовсе не произойдет. Для этой цели нужно использовать небольшую хитрость, выключая или включая электрическое поле в подходящие моменты времени; этим мы предотвратим ненужное торможение ионов на определенных участках траектории, заставив электрическое поле только ускорять ионы.

Чтобы увидеть, как это делается практически, рассмотрим следующую упрощенную схему циклотрона.

Фиг. 109.

_{А — магнит из мягкого железа намагничивается током, текущим по двум катушкам, так что в зазоре между полюсами магнита создается строго вертикальное и практически однородное магнитное поле; б — камера В — это прямоугольная коробка, в которую заключены ионный источник, дуанты для создания ускоряющих электрических полей и зонды для измерений в пучке ускоренных ионов. В камере поддерживается высокий вакуум; в — токи в катушках намагничивают железо и создают магнитное поле. Катушки, как правило, охлаждаются водой.}

Посредине зазора между магнитными полюсами находится откачанная до высокого вакуума большая коробка б, в которой ускоряются ионы. Это камера циклотрона. В ней находится источник протонов Н⁺, которые должны ускоряться. В камере расположены два ускоряющих электрода D и D'. Временно представим себе их в виде двух металлических пластин, расположенных друг против друга и подсоединенных к батарее, D — к положительному полюсу, a D'— к отрицательному. (На самом деле устройство в камере совсем другое, мы только временно рассмотрим эту модель, чтобы потом легче понять работу реальной установки.) Предположим, что напряжение батареи, к которой подключены электроды D и D', равно 20 000 в. Таким образом, в пространстве между заряженными электродами создается сильное однородное электрическое поле, а в других областях пространства (за пластинами) электрическое поле практически отсутствует.

Будем считать, что положительно заряженный ион образовался где-то в центральной области между D и D'. Под действием электрического поля он начнет двигаться к D'. Представим себе, что непосредственно в месте попадания иона на электрод D' в пластине имеется маленькая дырка, через которую он вылетает наружу, т. е. попадает в ту часть пространства, где электрическое поле пренебрежимо мало. Но магнитное поле перпендикулярно траектории иона, поэтому за электродом D' он будет двигаться по окружности. Описав полуокружность, ион снова подлетит к D', но уже с противоположной стороны. Представим, что и в этом месте сделана небольшая дырка. Влетев через эту дырку в пластине D', ион снова попадает в электрическое поле, но теперь уже он движется против поля и поэтому замедляется. При этом скорость иона уменьшится ровно на столько, на сколько она возросла при его ускорении. Чтобы увеличить энергию иона и на этом этапе его движения, необходимо изменить направление электрического поля на противоположное. Другими словами, пока ион пролетает полуокружность за D', нужно отключить батарею и затем присоединить ее к электродам D и D' противоположным способом. В этом случае, вернувшись в область D-D', ион получит новый ускоряющий «шлепок». Далее, вылетев быстрее через дырку в пластине D, ион снова движется по полуокружности, но большего радиуса, чем раньше, так как после ускорения скорость его возросла. Когда он через дырку в D снова попадет в электрическое поле, необходимо, чтобы направление поля было таким же, как в начале движения, т. е. за время движения иона за электродом D необходимо снова переключить полюсы батареи.

Фиг. 110. Движение ионов в упрощенном циклотроне. Ионы предварительно ускорены электрическим полем между пластинами D и D' внутри камеры.

_{А — ион ускоряется; б — ион вылетает через дырку в D', но так как он движется в магнитном поле, то начинает вращаться по круговой траектории; в, г — ион продолжает двигаться по круговой траектории, не меняя величины скорости (так как он вне электрического поля); д — ион через дырку снова влетает в электрическое поле; е⁺ — если электрическое поле такое же, как и раньше, то ион замедляется, но г — если направление электрического поля изменится на противоположное, то ион будет снова ускоряться; ж — после первого ускорения, движения по полуокружности и второго ускорения ион снова вылетает через дырку в пластине D, но с возросшей скоростью; з — магнитное поле изгибает траекторию иона в полуокружность большего радиуса, так как ион движется быстрее, и т. д.}

Теперь вы видите, какая получается история. Ион вращается по раскручивающейся спирали, состоящей из полуокружностей, двигаясь все быстрее и быстрее после каждого «шлепка» электрическим полем; но это электрическое поле должно менять направление на противоположное каждый раз за время движения иона по полуокружности. Если заряд иона равен заряду электрона, то 20 000-вольтная батарея сообщает ему энергию 20 000 эв каждый раз, когда ион пролетает ускоряющий промежуток D-D'. Если ион начал движение из состояния покоя недалеко от электрода D, то, достигнув электрода D', он приобретет энергию 20 000 эв; следующую порцию энергии в 20 000 эв он получит, описав полуокружность, еще 20 000 эв — после следующей полуокружности и т. д. Таким образом, после каждой полуокружности энергия иона увеличивается на 20 000 эв, или на 40 000 эв в течение каждого цикла ускорения. Описав 1000 полуокружностей, ион разгонится до энергии 1000 х 20 000 эв, т. е. 20 Мэв. Такую же энергию ион приобрел бы от единственного «шлепка» батареи, создающей разность потенциалов 20 000 000 в. Изоляция и хранение такой батареи обошлись бы весьма дорого. Здесь же использовалась батарея напряжением только 20 000 в, изготовить которую сравнительно легко, а энергия и скорость ионов, предназначенных для бомбардировки других атомов, такие, как будто бы у нас была батарея на 20000000 в.

Это чудесно («теперь можно разбивать атомы»)! Но остались еще серьезные трудности. Каким образом быстро переключать батарею в нужные моменты времени? Как подобрать время переключения батареи при возрастании полуокружностей, по которым движется ион? Как предохранить ион от действия на него электрического поля (хотя и очень маленького) при его движении по полуокружностям вне ускоряющего промежутка D-D'? Как избежать бесполезной траты ионов, которые не попадают в дырки в электродах D и D', а застревают в металле? Это не второстепенные вопросы; чтобы установка заработала, на них должны быть найдены ответы. Сейчас мы покажем, как эти проблемы решаются в реальных ускорителях.

Нам необходимо изменять направление электрического поля на противоположное каждый раз, когда ион описывает полуокружность. Вместо батареи с быстродействующим переключателем используется источник переменного напряжения. В качестве такого источника применяется высокочастотный генератор, похожий на те, что имеются на радиостанциях, который периодически меняет направление электрического поля в промежутке D-D'. Но теперь возникает второй вопрос и, кажется, более серьезный. Сможет ли ион вовремя пройти каждую следующую полуокружность?

Чтобы получить полный ускоряющий импульс, ион должен попасть в промежуток D-D' в то время, когда разность потенциалов между D и D' максимальна. Если же он попадет туда немного раньше или немного позже, то ускорение будет меньшим. Если ион опоздает на четверть периода, то он вовсе не получит ускоряющего импульса, а при задержке на полпериода ион будет двигаться против электрического поля, т. е. будет тормозиться.

Очевидно, нужно подобрать такую частоту генератора, чтобы максимум напряжения в промежутке D-D' приходился на момент нахождения в нем иона, а за время движения иона по первой полуокружности поле успевало бы изменить свое направление и достичь максимального значения к моменту подлета иона к электроду. Но как быть с последующим движением иона, когда он начнет описывать все большие и большие полуокружности? Будет ли при этом ион успевать за периодическими изменениями электрического поля? Нужно ли менять частоту генератора таким образом, чтобы ионы каждый раз получали максимальный импульс, или можно заставить вращаться ионы по полуокружностям различных радиусов за одно и то же время? Вторая возможность была бы наилучшим решением проблемы, но можно ли ее осуществить? Другими словами, когда ион движется быстрее по большей полуокружности, будет ли путь достаточно длинным, чтобы пройти его за прежнее время? Для исследования этой задачи нужно было бы проделать «циклотронную алгебру» задачи 1. Проведите расчет, если вы этого еще не сделали, и вы обнаружите, что если магнитное поле постоянно во всей области движения иона, то и время движения иона по полуокружностям любого радиуса постоянно!

В этом основная причина простоты работы циклотрона. Генератор создает переменное напряжение фиксированной частоты, соответствующей величине магнитного поля и отношению е/М для кона (е — заряд, М — масса иона), которое в регулярные интервалы времени сообщает пучку ионов ускоряющие импульсы; ионы движутся по все увеличивающейся спирали, состоящей из полуокружностей нарастающих радиусов.

Фиг. 111. Усовершенствование упрощенного циклотрона.

_{Заменим пластины D и D' решетками, так чтобы ион мог свободно пролетать через отверстия и двигаться по спирали, состоящей из полуокружностей. Вместо того чтобы переключать туда-сюда клеммы батареи, подсоединим D и D' к генератору, так что в промежутке D — D' создается переменное электрическое поле. Это поле должно достигать максимального значения «+» или «—» через одинаковые промежутки времени, причем тогда, когда в эту область влетают ионы.}

Фиг. 112. Усовершенствование упрощенного циклотрона до практически действующего устройства.

_{Вместо решеток D и D' поставим друг против друга пару дуантов (дуант — полая полукруглая коробка с открытым торцом) так, чтобы их торцы занимали место пластин D и D'. В пространстве между антами создается переменное электрическое поле. Полые дуанты экранируют ионы при их движении по полуокружностям от влияния случайных электрических полей.}

Вернемся теперь к другим вопросам. Как предохранить ионы от действия электрического поля при их движении по полуокружностям за промежутком D-D' и как избежать бесполезной траты ионов при их столкновениях с электродами D и D'? Обе проблемы решаются одновременно, если заменить пластинки D и D' полыми коробками определенной формы. Известно, что внутри закрытой металлической коробки электрическое поле равно нулю; электрические заряды, подводимые к ней, располагаются на внешней поверхности металла, вследствие чего обращается в нуль электрическое поле как в стенках коробки, так и в пространстве внутри нее. В почти закрытой коробке электрическое поле практически везде равно нулю, за исключением областей пространства, непосредственно прилегающих к отверстию. Поэтому простые пластины D и D' мы заменим плоскими, почти закрытыми медными коробками, расположенными так, чтобы между их открытыми частями остался тот же узкий промежуток D-D'. Размеры коробок выбираются так, чтобы в них помещалась самая большая полуокружность траектории иона. Чтобы наглядно представить себе вид этих коробок, предположим, что мы разрезали в вертикальной плоскости на две равные половинки консервную банку.

В результате получились две коробки, имеющие форму D и D; вследствие такой формы их и называют «дуантами». Там, где в рассмотренной нами раньше грубой схеме располагались металлические пластины с отверстиями, в реальной машине находятся открытые плоскости дуантов. Таким образом, теперь ионы не теряются при столкновениях с электродами, так как они влетают в открытые щели дуантов; кроме того, ионы экранированы от влияния случайных электрических полей, так как их траектории почти полностью лежат в пространстве, ограниченном медными стенками дуантов.

Теперь мы должны рассмотреть другие проблемы: как создать ионы в пространстве между дуантами, как избежать нежелательных столкновений ионов с молекулами газа и, наконец, как «вывести» пучок ионов из циклотрона, т. е. как направить пучок ускоренных ионов на экспериментальные мишени — ведь именно с этой целью они и ускорялись? Ионы образуются при облучении газообразного водорода электронами из небольшой электронной пушки, расположенной вблизи центра камеры. Для этой цели внутрь камеры вводится тонкая струя водорода под низким давлением; большие насосы откачивают излишки водорода и случайно попавшие внутрь молекулы воздуха, поддерживая в камере максимально возможный вакуум.

Таким образом, полностью процесс ускорения ионов в циклотроне протекает следующим образом: в центре камеры циклотрона атомы водорода ионизуются потоком электронов; электрическое поле в промежутке D-D' сообщает образовавшимся ионам небольшую энергию; описав полуокружность внутри дуанта, ионы возвращаются в ускоряющий промежуток между дуантами как раз в тот момент, когда поле изменило направление и достигло максимальной величины, снова ускоряются, описывают полуокружность большего радиуса во втором дуанте, снова ускоряются в промежутке D-D' (электрическое поле успело снова изменить свое направление), описывают еще большую полуокружность в первом дуанте (скорость ионов возросла) и т. д. до тех пор, пока радиус самой большой полуокружности не сравняется с размерами дуантов. На самой дальней от центра орбите энергия ионов достигает огромного значения; в принципе экспериментальные образцы для облучения ионами могут быть внесены прямо внутрь камеры. Однако, для того чтобы вводить и выводить мишени из камеры, необходимо соорудить вакуумный шлюз (подобно люку в подводных лодках для выхода из лодки под водой). Кроме того, для многих экспериментов удобнее вывести пучок ионов с наибольшей полуокружности (т. е. обладающих наибольшей энергией) наружу через окошечко из тонкого листа металла в стенке кожуха. Пучок выводится при помощи «отклоняющей пластины», на которую подается соответствующее электрическое напряжение. Затем этими ионами высокой энергии, обычно протонами, можно бомбардировать по нашему выбору любую мишень, наблюдая при этом изумляющее разнообразие ядерных превращений.

Фиг. 114. Вертикальное сечение циклотрона.

_{Ионный источник в центре камеры состоит из электронной пушки, облучающей молекулы водорода (вводимые внутрь тонким потоком через трубку), которые сперва распадаются на атомы, а потом ионизуются, образуя ионы. Н⁺. Процесс ионизации происходит так быстро, что ионный источник похож на горящую электрическую дугу.}

Фиг. 115. Использование циклотронного пучка.

_{А — «зонд» вводится так, что его конец захватывает пучок ионов внутри дуанта, на наибольшей полуокружности (т. е. когда ионы обладают максимальной энергией); б — «отклоняющая пластина», обладающая большим отрицательным потенциалом, изгибает траекторию ионов так, что они через окно в кожухе вылетают из циклотрона и по длинной пустой трубе подводятся к экспериментальной аппаратуре.}

Циклотроны для более высоких энергий.

Описанный выше простой циклотрон может ускорять ионы до энергий в несколько миллионов электронвольт. Если построить более крупный циклотрон, ожидая получить более высокие энергии, то окажется, что ионы с энергией несколько Мэв не успевают вовремя подлетать к ускоряющему промежутку. На внешних полуокружностях, где ионы должны были бы приобретать большую энергию, они вращаются все медленнее и медленнее. Другими словами, наша «циклотронная алгебра» в этом случае ввела нас в заблуждение. Почему же это произошло? Ведь если заряд иона не изменился и не изменилась величина магнитного поля (предполагается, что мы умеем строить электромагниты достаточно больших размеров), то, согласно классической ньютоновской механике, и время оборота иона по любой полуокружности не должно меняться при изменении ее радиуса. Причину этого явления объясняет специальная теория относительности. Согласно теории относительности, масса быстро движущегося иона увеличилась, так как кинетическая энергия сама по себе эквивалентна некоторой массе, которая складывается с массой покоя иона. Вследствие этого релятивистского увеличения массы ион не успевает за изменениями электрического поля. Можно исправить положение, модифицировав высокочастотный генератор. Сгусток ионов от ионного источника на ранних стадиях их движения ускоряется периодически, как это было описано раньше. Затем генератор медленно уменьшает частоту электрического поля, создавая все реже и реже ускоряющие импульсы в промежутке между дуантами, как раз тогда, когда туда подлетают потяжелевшие высокоэнергетические ионы. После многократного ускорения из маленького циклотрона, диаметр магнита которого составляет всего около 1 м, выводятся ионы огромной энергии — около 20 Мэв. Затем увеличивают частоту генератора до нормальной, чтобы таким же способом ускорить новую группу ионов. Изменение частоты генератора осуществляется изменением емкости в колебательном контуре. Меняя частоту генератора в широких пределах, можно добиться ускорения частиц в циклотроне до энергий в несколько сотен Мэв. Правда, в этом случае понадобятся огромные магниты, весом в тысячи тонн.

Специальная теория относительности.

Согласно теории относительности, при увеличении кинетической энергии частицы скорость частицы хотя и увеличивается, но всегда остается меньше скорости света с, в то время как неограниченно увеличивается наблюдаемая масса частицы. Именно этот эффект и имеет место в больших ускорителях. Это повышает стоимость и требует изменения устройства машины. При высоких скоростях масса протона возрастает; из-за этого мы вынуждены тратить средства на создание схем, «модулирующих частоту» генератора циклотрона. В больших кольцевых ускорителях ионы приобретают наибольшую энергию на поздних стадиях «ускорения», когда они описывают полуокружности почти за одно и то же время, так как их скорость очень близка к с и почти не меняется при дальнейшем ускорении; это обстоятельство должно быть учтено при модуляции частоты генератора[151]. Релятивистское увеличение массы выведенных из циклотрона протонов должно проявляться при их столкновениях с мишенями.

Наличие предельной скорости в релятивистской механике даже упрощает конструкцию электронных ускорителей: уже на первых этапах ускорения скорость электронов так близка к с, что последующее движение электронов происходит по круговым орбитам постоянного радиуса и за одно и то же время Т = 2πR/с. Правда, с каждым оборотом электрона увеличивается его кинетическая энергия и, следовательно, масса; поэтому, чтобы удержать его на данной орбите, по определенному закону должно возрастать и магнитное поле. Таким образом, релятивистская механика и опыт полностью согласуются.

Необходимость еще больших энергий.

Частицы еще больших энергий являются очень ценным инструментом исследования ядер. При столкновениях с ядрами они могли бы вызвать новые ядерные превращения. Физики заинтересовались, можно ли при помощи частиц достаточной энергии получить новые виды материи (т. е. новые виды элементарных частиц). Известно, что фотон энергии 1 Мэв и больше может «родить» пару электронов с отрицательным и положительным зарядами. Какова должна быть энергия, чтобы «родилось» ядро атома водорода, которое примерно в 2000 раз тяжелее электрона? Казалось бы, в 2000 раз больше энергии, необходимой для возникновения электрона, т. е. 2000 Мэв. Однако из простой теории столкновений следует, что этой энергии недостаточно. Для рождения «протонной пары», т. е. протона и «антипротона» — таинственного и давно предсказываемого отрицательно заряженного партнера протона, который был открыт совсем недавно, — потребуется значительно большая энергия, примерно 5000 Мэв. Такая «пара» возникает дополнительно к исходной налетающей бомбардирующей частице, т. е. является будто бы «материей ниоткуда»; на самом деле масса пары возникла за счет кинетической энергии налетающей частицы.

При столкновениях ионов с ядрами рождаются и другие элементарные частицы. Это мезоны, обладающие различными массами, промежуточными между массой электрона и массой протона и электрическими зарядами — е, 0, е. Как оказалось, эти странные короткоживущие частицы играют важную роль, связывая ядра воедино, и физики-ядерщики принялись тщательно изучать их свойства. Вместо того чтобы ждать, пока несколько таких мезонов появится в космических лучах, мы можем сами производить их, бомбардируя различные мишени ионами высоких энергий из ускорителей. Но для создания плотных потоков мезонов необходимы ионы с энергией от 500 до 1000 Мэв или даже больше. Таким образом, в этой новой и очень важной области появляется новая единица[152] энергии — Бэв (биллион электронвольт).

Кольцевые ускорителя.

Чтобы построить циклотрон, ускоряющий ионы до энергии в несколько Бэв, необходимо затратить слишком много металла на магниты. А нельзя ли сделать так, чтобы магнит находился только вокруг наибольшей устойчивой орбиты, т. е. чтобы посреди магнита было большое, диаметром в десятки метров, отверстие, а камера имела форму бублика? Можно, такова конструкция кольцевых ускорителей. Некоторые из них уже построены и действуют, причем получили специальные названия: «космотрон», «бэватрон» и т. д. Их гигантские кольцевые магниты собраны из многих С-образных тонких секций. Между «челюстями» магнита помещена вакуумная камера в форме бублика. Один дуант расположен внутри короткой экранированной «дрейфовой трубы», а другим является вся оставшаяся часть бублика. Ионы ускоряются переменным электрическим полем, создаваемым в зазорах у концов дрейфовой трубы. Частицы, которые должны ускоряться такими машинами, ионизуются и предварительно ускоряются до энергий в несколько Мэв малыми ускорителями, типа генератора Ван-де-Граафа. Затем они инжектируются в бубликообразную камеру и вращаются внутри нее, приобретая после каждого оборота дополнительную энергию за счет электрического поля, создаваемого высокочастотным генератором. Поскольку теперь область движения ионов ограничена тороидальной, т. е. в виде бублика, камерой, при увеличении энергии ионы не могут переходить на окружности большого радиуса, как в циклотроне. Вместо этого с ростом энергии ионов должно меняться магнитное поле, удерживающее их на данной орбите. Вначале, когда ионы только инжектируются в камеру и, следовательно, их энергия мала, магнитное поле тоже мало. По мере увеличения скорости частиц должно увеличиваться и магнитное поле, чтобы ионы постоянно двигались по одной и той же орбите. После миллиона (или около этого) оборотов внутри камеры энергия ионов достигает заданного максимального значения; отклоняющая система выводит ионы для бомбардировки мишеней. Затем магнитное поле уменьшается до первоначального значения, ускоритель готов принять следующую порцию инжектируемых ионов.

Куда деть энергию, запасенную огромным магнитом, когда после цикла ускорения необходимо уменьшить магнитное поле? Нельзя допустить, чтобы она бесполезно терялась, а потом дорогой ценой снова производить ее для ускорения очередной группы частиц. Следовательно, ее нужно сберечь, используя либо огромные маховики, либо систему гигантских конденсаторов и дросселей (энергия магнита в первом случае запасается в виде механической, а во втором — в виде электромагнитной энергии).

Так как ионы все время движутся по одной и той же орбите, частота генератора должна меняться: после каждого оборота энергия ионов увеличивается, и, следовательно, возрастает, хотя и не намного, их скорость. Поэтому должны быть специальные схемы, которые согласованно увеличивали бы частоту генератора и напряженность магнитного поля. Такие схемы успешно разработаны; большие машины, использующие их, ускоряют ионы до энергии 5 Бэв и более. При столкновении протонов такой высокой энергии (масса протонов при этом увеличивается примерно в 6 раз) с ядрами мишени образуются целые пучки мезонов и даже антипротоны, свойства которых теперь исследуются.

Фиг. 116. Кольцевой ускоритель.

_{Гигантский кольцевой магнит построен из множества тонких С-образных секций. Камера в виде бублика помещается между «челюстями» кольцевого магнита.}

Фиг. 117. Кольцевой ускоритель.

_{Быстрые ионы, предварительно ускоренные на установках типа генератора Ван-де-Граафа, инжектируются в кольцевой ускоритель, совершают в нем около миллиона оборотов (энергия их при этом достигает нескольких Бэв) и затем отклоняющей системой выводятся наружу.}

Задачи к главе 42.

Задачи 1, 2. Предварительные задачи (на последней странице предыдущей главы). Задача 3. Циклотрон и альфа-частицы. Предположим, что циклотрон, рассчитанный для ускорения протонов, используется для ускорения альфа-частиц, являющихся дважды ионизованными атомами гелия Не⁺⁺, т, е. ядрами атомов гелия, масса которого в 4 раза, а заряд в 2 раза больше, чем у протона. Магнитное поле циклотрона не меняется. А) Как следует изменить, если нужно вообще, частоту генератора? Б) Какой будет кинетическая энергия альфа-частиц по сравнению с расчетной кинетической энергией протонов? (Релятивистскими поправками пренебрегите.). Задача 4. Линейный ускоритель. Представим, что «спиральная» траектория ионов в циклотроне развернута в прямую линию. Тогда, не принимая во внимание магнит, циклотрон превратится в «линейный ускоритель». Подобные машины сконструированы и хорошо работают, но очень дороги. Для движения ионов необходимо строить очень длинные трубы, откачанные до высокого вакуума. Ионы создаются в одном конце трубы, ускоряются при движении вдоль трубы и попадают на мишень в противоположном конце. Частицы ускоряются электрическим полем, создаваемым с определенными интервалами вдоль трубы. В одном из вариантов линейного ускорителя внутри вакуумной трубы располагается серия металлических цилиндров А, В, С, D, Е…, удлиняющихся по мере удаления от ионного источника, которые экранируют ионы при их движении внутри цилиндров и, обладая разным потенциалом, создают ускоряющее электрическое поле в узких щелях между собой. Для этого цилиндры через один, т. е. А, С, Е, …, соединены с одним полюсом высокочастотного генератора, а лежащие между ними цилиндры В, D… — с другим. А) Как связаны между собой расстояние между ускоряющими промежутками А₂-В₁, В₂-С₁…., скорость ионов (постоянная внутри цилиндров) и частота генератора, если ионы влетают в каждый ускоряющий промежуток в тот момент времени, когда электрическое поле в нем максимально? Б) Как должны быть расположены ускоряющие промежутки (т. е. как нужно менять длины цилиндров), чтобы происходило ускорение медленных ионов из состояния покоя при постоянной частоте генератора? В) Как должны быть расположены ускоряющие промежутки (частота генератора постоянна), чтобы ускорялись очень быстрые частицы (например, электроны, предварительно ускоренные до энергий в несколько Мэв)?

Фиг. 118. К задаче 4. Линейный ускоритель.

Глава 43. Ядерная физика.

«Цель научного и инженерного поиска — увеличить и улучшить наши знания об окружающем мире. Постоянное стремление добыть эти знания вызвано либо простым желанием постичь законы природы, либо желанием использовать силы природы для улучшения материальных условий жизни человека. Оба эти стремления можно грубо охарактеризовать как жажду познавать и стремление использовать. В ученом преобладает первое, в инженере — второе. Это различие в мотивах продолжает существовать, хотя методы и специфические задачи науки и инженерного дела становятся все более схожими». «Хотя все наши научные и технические знания основаны на наблюдении, эксперименте и логическом анализе, накапливались они двумя различными путями в соответствии с двумя различными стремлениями, о которых я упомянул выше. Технические науки всегда были более эмпиричны. Инженера или изобретателя прежде всего интересует практическая сторона дела. Если он способен создать машину или придумать процесс, которые дадут ему желаемый результат, то его может и не интересовать, почему все так происходит. Но как раз это «почему» и волнует ученого. Часто для того, чтобы как-то продвинуться в понимании, ученому необходимо упростить условия решаемой им задачи. Ему приходится сократить число переменных. Но, делая это, он часто оказывается изучающим нечто, что не имеет непосредственного отношения к практической стороне жизни. Исторически наука развивалась, обходя проблемы, слишком трудные для понимания. Прогресс же в технических науках происходил на основе успехов в использовании определенных процессов или машин, причем независимо от того, все ли при этом вполне понятно. Для инженера на первом месте польза от машины или процесса, для ученого — понимание…». «За последние пятьдесят лет изменились связи как между отдельными науками, так и между наукой и техникой. Благодаря возросшему объему научных знаний и эффективности научных методов стало возможным плодотворное применение методов и знаний одной науки в другой… За это же время технические науки стали настолько сложными, что одними только эмпирическими методами в них уже не обойтись. Короче говоря, стало не только возможным, но и необходимым использовать науку в инженерном деле. Различие в стремлениях пока еще остается и часто оказывается решающим, но методы и задачи становятся все более и более похожими». Генри Д. Смит.

«Атомная энергия»? «Превращения»?

Открытие радиоактивности вызвало много волнующих вопросов, α-, β-, γ-лучи уносят громадную энергию из атома. Нельзя ли воспользоваться этими богатыми запасами энергии, запрятанными в радиоактивных атомах?

Исходный радиоактивный элемент превращается в совершенно другой дочерний элемент. Нельзя ли извлекать из этих превращений пользу, скажем, превращая свинец в золото? Для того чтобы добиться этого, необходимо уметь управлять такими радиоактивными превращениями: ускорять уже известные или заставлять происходить новые. Вначале экспериментаторы пытались воздействовать на радиоактивные превращения разными способами. Однако скоро они убедились, что радиоактивная неустойчивость ряда элементов неизменна и не поддается воздействию, и наоборот: стабильность нерадиоактивных элементов в той же степени неуязвима. Эксперименты продолжались, и теперь уже известно, как добиться успеха: использовать бомбардирующие частицы высоких энергий. Если посмотреть, какие энергии для этого необходимы, то станет ясно, почему первые попытки потерпели неудачу.

Энергии радиоактивных превращений.

α-, β- и γ-лучи — основные компоненты радиоактивного распада — возникают с энергиями в несколько Мэв. Быстрая α-частица в воздухе на пути 50 мм создает 200 000 пар ионов. Из расчета примерно 30 эв на одну пару ионов получается 6 000 000 эв.[153] Эти лучи не могут выходить из внешних областей распадающегося атома, из далеких от ядра частей электронного облака: для образования альфа-частицы там недостаточно массы. Электрическое поле не способно испускать β-лучи; оно к тому же слишком слабо, чтобы родить какой бы то ни было луч с энергией в несколько миллионов электронвольт. Лучи могут выходить только из ядра, и чтобы повлиять на их образование, нужны сравнимые по величине энергии, скажем в несколько миллионов электронвольт.

Это рушит любые надежды на создание радиоактивности простым разогревом: кинетическая энергия молекул газа при комнатных температурах примерно равна ¹/₃₀ эв, а при температуре раскаленной добела печи — всего лишь около ¹/₃ эв. Вот если бы создать печь с температурой внутренних частей звезды, тогда другое дело.

Энергии химических превращений.

Энергии химических превращений также невелики: в этих превращениях молекула теряет или приобретает несколько электронвольт. Например, при сгорании угля выделяется тепло!

С _{[1 атом углерода]} + О_{2 [1 молекула кислорода]} —> _{[ПРОДУКТЫ]} СО_{2 [1 молекула углекислого газа]} + Тепло_{[4 эв тепла]}.

При сгорании других видов топлива получается примерно то же самое. Даже при взрыве — всего лишь очень быстром сгорании в ограниченном объеме, при котором мгновенное выделение тепла создает волну сжатия в воздухе, — выделяемая энергия в расчете на одну молекулу еще очень мала. При взрыве смеси бензина с кислородом выделяется от 40 до 50 эв на одну молекулу[154]. На каждую сгоревшую молекулу тринитротолуола приходится 30 эв. Громкий хлопок при взрыве кислорода с водородом происходит при выделении всего лишь 2 эв в расчете на одну молекулу образовавшейся воды[155]. Эти утверждения следуют из измерений поглощенного или выделенного тепла в химических реакциях, но они согласуются с результатами измерений путем бомбардировки атомов электронами. Можно обстреливать нейтральные атомы и молекулы медленными электронами. Электроны с энергией в несколько электронвольт рассеиваются на атомах упруго, но если мы будем стрелять электронами с большей энергией, в несколько десятков электронвольт, они выбьют у «жертвы» электрон и сделают из нее положительный ион. Для атомов натрия или калия, которые расстаются со своими электронами легко, на это требуется всего 4 или 5 эв, для атома водорода — 13,6 эв, для молекулы водорода — 15 эв, для атома гелия — 25 эв, и около 80 эв необходимо для того, чтобы одним залпом выбить оба электрона из атома гелия и сделать из него α-частицу. Считается, что химические реакции состоят в захвате и обмене внешними электронами, и поэтому приятно получить еще одно подтверждение этого: в процессах с участием в них электронов поглощается или выделяется энергия ст нескольких электронвольт до нескольких десятков электронвольт. Внутрь электронного облака более тяжелых атомов, имеющих много электронов, можно заглянуть поглубже, если стрелять более быстрыми электронами и возбуждать рентгеновские лучи или стрелять рентгеновскими лучами и срывать внутренние электроны.

Но даже в этом случае мы имеем дело с энергиями только в десятки тысяч электронвольт или около этого (если, конечно, не переходить к самым тяжелым ядрам, когда необходимы энергии около 100 000 эв).

Химия и радиоактивность.

Итак, мы уподобили α- и β-лучи ракетам, стартующим из ядра. Когда они вылетают из ядра, масса последнего меняется: альфа-частица уносит массу, равную 4 массам атома водорода. Бета-частица уносит ничтожную массу, которая снова восстанавливается, когда образовавшийся атом захватывает недостающий ему внешний электрон. Заряд ядра при этом также меняется. Альфа-частица уносит заряд +2е, уменьшая тем самым заряд ядра (атомный номер понижается) на 2 единицы. Бета-частица уносит заряд — е, увеличивая заряд ядра на +е. При этом атомный номер ядра увеличивается на 1.

Фиг. 121. Радиоактивные превращения.

Изменения атомного номера Z ведут к такому же изменению в числе внешних электронов нейтрального атома и тем самым к изменению его химических свойств, которые определяются внешними электронами. Число же и распределение этих электронов определяются зарядом ядра Ze, и мы бессильны превратить один химический элемент в другой, не имея возможности изменить заряд ядра. Мечта алхимиков о превращении свинца (Z = 82) в золото (Z = 79) осуществилась бы, если бы можно было отобрать у каждого ядра свинца по три +е заряда. При радиоактивном распаде элементов заряд их меняется. Нельзя ли вызвать или хотя бы повлиять на такие изменения? Первые эксперименты показали: нет, и теперь ясно, что надеяться на это было безнадежно, пока не стали доступны для бомбардировки снаряды с очень высокой энергией. Масса электронов очень мала: они, словно кометы, легко заворачиваются ядром. Альфа-частицы несут «++» заряд и поэтому отталкиваются ядром. Они вылетают из радиоактивного ядра с кинетической энергией в несколько миллионов электронвольт. Поэтому для их возвращения назад нужна такая же по величине энергия. (Бесполезно использовать для бомбардировки нейтральный атом: уже на ранней стадии сближения с ядром его электроны отрывались бы от него и ядро отталкивалось бы подобно α-частице.) Однако некие надежды возлагались на бомбардировку быстрыми альфа-частицами легких атомов с малым атомным номером, т. е. с малым зарядом ядра. Они-то и привели к первым успехам в искусственном превращении элементов.

Искусственный распад. Превращения, осуществленные человеком.

Спустя четверть века после открытия радиоактивности Резерфорду удалось сокрушить ядра нескольких атомов, облучая их быстрыми альфа-частицами. Альфа-частицы, выпущенные из радиоактивного источника, пронизывали газообразный азот. В конце своего пробега альфа-частицы иногда выбивали вперед более легкие частицы. Выбитые частицы закручивались с помощью магнитного поля, и тем самым можно было убедиться, что это протоны[156] Н⁺. Несмотря на то что эти события были редкими, они были сфотографированы. Около четверти миллиона треков в камере Вильсона было снято на кинопленку и обнаружено семь таких событий (фиг. 122). На снимках была видна отскочившая легкая частица, несомненно протон, и короткий трек атома отдачи, но исходная α-частица на них уже видна не была. Измерения углов и длины треков показали, что при столкновении сохранялся лишь момент количества движения, но не кинетическая энергия.

Фиг. 122. Фотоснимки в камере Вильсона.

_{Превращения ядра при его бомбардировке. Фотоснимок Блэккетта, демонстрирующий открытие Резерфорда. Альфа-частица сталкивается с ядром азота и исчезает. В результате-возникает ядро отдачи кислорода и протон (ядро водорода) (P. M. S. ВIаскеtt, Ргос. Roy. Soc. Load.).}

Запишем теперь это следующим образом:

Альфа-частица (ядро Не) СТАЛКИВАЕТСЯ с ядром атома азота ИСПУСКАЕТСЯ протон (ядро Н) получается новое ядро??? (заряд = +2е) (заряд = + 7е) (заряд = +е) (заряд = 7е + 2e — 1e) (масса = 4 массы протона) (масса = 14) (масса = 1) (масса = 14 + 4–1).

Таким образом, новое ядро должно иметь заряд +8е, характеризующий кислород, и массу 17, до некоторой степени необычную, но не такую уж неожиданную для кислорода. (С помощью масс-спектрографа было показано, что в обычном кислороде помимо атомов О¹⁶ всегда присутствуют более тяжелые атомы О¹⁷.)

Фиг. 123. Позитрон.

_{Открытие Андерсоном положительного электрона. Трек пронизывает слой свинца. В направлении, перпендикулярном фотографии, от читателя приложено сильное магнитное поле. (Копия с фотоснимка К. Д. Андерсона, хранящегося в музее науки в Лондоне.).}

С тех пор как появилось сообщение Резерфорда, осуществлено много таких «ядерных» реакций, сначала путем бомбардировки существующими в природе снарядами (α-частицами), а затем более мощными снарядами — протонами, ускоренными на больших машинах, и, наконец, еще более эффективными снарядами — лишенными заряда нейтронами. Эти ядерные превращения составляют обширную область ядерной «химии».

Фиг. 124. Образование пар. Рождение вещества.

_{Отрицательные и положительные электроны рождаются γ-квантом, пришедшим снизу. В направлении, перпендикулярном фотоснимку, приложено сильное магнитное поле (W. A. Fowler, E. R. Gаегttnег, С. С. Lаигitsеn).}

Фиг. 125. Распад ядра, вызванный нейтроном.

_{Нейтрон, столкнувшись с ядром азота, поглощается им. Образующееся ядро испустило α-частицу и испытало отдачу. Первичный нейтрон, трек которого на фотоснимке не виден, пришел от источника в направлении, указанном стрелкой (N. Feather, Ргос. Roy. Soc. Lond.).}

Ядерная «химия».

Для ядерных реакций используется теперь принятая в химии запись уравнений. Например, ядро атома радия обозначается его химическим символом Ra, а атомный номер, т. е. заряд ядра, равный +88 зарядам электрона, и масса атома, равная 226 (в шкале, в которой Н ~= 1, O = 16), записываются так: ₈₈Ra²²⁶. Распад атома радия с испусканием альфа-частицы и превращением его в атом радона записывается следующим образом:

₈₈Ra²²⁶ = ₈₆Rn²²² + ₂Не^4.

Открытое Резерфордом превращение азота записывается следующим образом:

₂Не⁴ + ₇N¹⁴ = ₈O¹⁷ + ₁H¹.

Первая «большая машина» была не очень большой: она ускоряла протоны только до энергии 150 000 эв. Но уже эти протоны могли проникать в атомы литиевой мишени и раскалывать ее ядра. Фотоснимки в камере Вильсона подтвердили предположение о том, что «протон, попадая в атом лития, рождает две альфа-частицы высокой энергии»:

₁H¹ + ₃Li⁷ = ₂He⁴ + ₂He⁴.

Протоны налетают с энергией около 150 000 эв. Каждая родившаяся альфа-частица имеет энергию 8 500 000 эв, т. е. обе частицы — 17 Мэв. Следовательно, можно сказать, что.

₁H¹ + ₃Li⁷ + (0,15) Мэв = ₂Не⁴ + ₂Не⁴ + (17) Мэв,

Где Мэв означает миллион электронвольт. Альфа-частицы рождаются с кинетической энергией, гораздо большей, чем приносит с собой протон. Когда они сталкиваются с молекулами воздуха, то теряют свою энергию на ионизацию атомов, а также время от времени на столкновения с ядрами. Эта энергия в основном переходит в тепло. Сравните получающиеся количества тепла — 17 000 000 эв от одного атома лития с 4 эв, приходящимися на один атом сгоревшего угля.

Фиг. 126. Схематическое изображение атомных ядер.

_{(Замечание. Остальная часть атома — его электронное облако — в выбранном по схеме масштабе простирается на десятки метров от рисунка.).}

_{Изображение ядерных событий, представленных на последующих рисунках, заимствовано из книги «Classical and Modern Physics», by H. White, D. Van Nostrand Соmр., Princeton. 1940.}

Фиг. 127. Первое искусственное расщепление ядра.

Фиг. 128. Излучение альфа-частицы.

Фиг. 129. β-излучение.

Фиг. 130. γ-излучение.

Фиг. 131. Деление атома лития при бомбардировке его протонами.

Ядерная энергия. Никакой надежды на практическое использование.

В данном случае имеет место гигантское выделение «ядерной энергии». В отличие от огромной энергии, получаемой при естественной радиоактивности атомов, ядерной энергией можно управлять: ее можно получать при помощи бомбардировки протонами. Нельзя ли на ней построить электростанцию? Нет! Хотя энергии выделяется и много, при этом едва лишь окупится стоимость деления одного атома. Во-первых, необходим ускоритель, постройка и эксплуатация которого весьма дороги. Во-вторых, только один из десятков тысяч протонов способен расщепить атом лития, поэтому каждый «удачный» протон обходится гораздо дороже стоимости его кинетической энергии.

Фиг. 132. Фотоснимок в камере Вильсона.

_{«Деление» ядра атома лития на две α-частицы при бомбардировке ядрами водорода на ускорителе. Снимок приведен в случае бомбардировки ядрами тяжелого водорода (дейтронами Н²), а ядра лития были ядрами легкого лития Li⁶. Видно несколько пар α-частицы, разлетающихся к стенкам камеры. (В этой реакции α-частицы образуются с энергией 11 Мэв каждая.) Видны также более короткие треки α-частиц, образующихся наряду с нейтронами в других ядерных реакциях.}

Итак, получение энергии слишком дорого и выход ее слишком мал, чтобы это было выгодно. Вот если бы энерговыделение было самоподдерживающимся, т. е. если бы каждый взрывающийся атом лития вызывал деления соседних атомов, подобно тому как это происходит при горении обычного топлива, когда одна частичка поджигает другую, вот тогда бы существовал удивительный источник тепла. Тогда частичка лития, «зажженная» протоном, давала бы начало целой цепи реакций деления[157], где выделялась бы энергия в количестве, которое даже не снилось ни одному поставщику топлива. Но один атом лития не может «зажечь» другой атом: при распаде не возникает протона, способного это сделать.

По тем же причинам нет никакой надежды на практическое использование многих других ядерных превращений, полученных с помощью более мощных ускорителей. Однако изучение этих ядерных превращений дало исключительно ценную информацию — начала проясняться внутренняя структура ядер.

Количественное изучение этих реакций показало, что масса вещества точно не сохраняется. Если составить суммы масс вещества: вначале сумму масс ядер мишени и бомбардирующей частицы, а затем сумму масс ядер образующихся частиц, то сумма масс ядер, вступающих в реакцию, не совпадает с таковой после реакции. Но если точно так же, как и веществу, энергии приписать массу, то баланс окажется правильным: полная сумма [масса вещества + масса энергии] одинакова до и после каждого ядерного превращения.

Масса и энергия. Е = mс^2.

С самого начала нашего столетия существовало мнение, что энергия обладает массой[158]. В гл. 26 изложена довольно правдоподобная история, на основании которой можно предположить, что любой энергии Е отвечает масса величиной Е/с². В настоящее время в результате многочисленных экспериментальных проверок выяснено, что энергия в любой форме имеет массу Е/с² и поэтому соотношение Е = mс² является универсальным.

Реакция деления атомов лития послужила прекрасным подтверждением точки зрения, согласно которой энергия обладает массой. Массы частиц, участвующих в этом событии, были тщательно измерены с помощью масс-спектрографа. В стандартной шкале масс, в которой масса атома О¹⁶ равна 16,0000, частицы имели следующие массы:

Бомбардирующая частица: протон ₁H¹, M = 1,0076. Мишень: ядро лития ₃Li⁷, М = 7,0165. Полная масса до взаимодействия М = 8,0241. Продукты взаимодействия: Альфа-частица ₂Не⁴, М = 4,0028. Альфа-частица ₂Не⁴, М = 4,0028. Полная масса после взаимодействия М = 8,0056.

Полная масса после события несколько меньше, чем до него, если сложить массы частиц точно так же, как складываются массы частичек обычного вещества. Если теперь учесть массы, соответствующие начальным и конечным значениям кинетических энергий, то можно сказать, что каждая такая масса равна кинетической ЭНЕРГИИ/с². Затем следует выразить результаты в шкале масс, в которой массе О¹⁶ соответствует 16,0000 или атому водорода — масса 1,0081. Для того чтобы выразить результат в новых единицах измерения, вычислите энергию, которой соответствует точно такая же масса, как масса протона, и выразите ее сначала в джоулях, а затем в электронвольтах.

Вычисление переводного множителя. Масса протона равна 1,67∙10^-27 кг[159], энергия, которой соответствует такая масса, равна.

Е = Мс² = (1,67∙10^-27 кг)∙(3,00∙10⁸ м/сек)² = 1,50∙10^-10 кг∙м²/сек²,

Или (кг∙м/сек²)∙м,

Или ньютон∙м, или дж.

Любая энергия, кинетическая, потенциальная и т. д., равная 1,50∙10^-10 дж, обладает массой 1,67∙10^-27 кг, т. е. массой протона.

Но обычно энергии ядерных превращений выражаются в эв или Мэв. Вспомним здесь, что энергия в 1 эв равна энергии, приобретаемой зарядом, равным заряду электрона, т. е. 1,60∙10^-19 кулон, прошедшим разность потенциалов в 1 в.

Следовательно,

1 эв = (1,60∙10^-19)∙(1 дж/кулон) = 1,60∙10^-19 дж.

Таким образом, энергия, которая обладает массой, точно такой же, как масса протона, равна.

1 67∙10^-27 кг = 1,50∙10^-10 дж / 1,60∙10^-19 дж/эв.

Расчет на основании этих точных данных дает для энергии с массой протона значение, равное 938 Мэв.

[Лучший метод. Метод, который использовался выше, хотя и наиболее прост для понимания, но не является наилучшим. (Заряд электрона использовался дважды, причем был скрыт тот факт, что он сокращается.) Более удачный метод следующий:

Энергия, соответствующая массе М кг, равна Мс², или М∙(3,0∙10⁸)² дж.

1 эв равен.

(заряд электрона, е кулон)∙(1 дж/кулон), или е дж.

Следовательно,

Энергия, соответствующая массе М кг, равна.

М∙(3,0∙10⁸)²/e эв.

Или.

(3,0∙10⁸)²/(e/М) эв.

Пусть М — масса протона, а е — заряд электрона, е/М — отношение заряд/масса для ионов водорода, равное, как это следует из измерений в опыте по электролизу воды, 95 700 000 кулон/кг[160]. Тогда энергия, соответствующая массе, равной массе протона, составляет.

(3,0∙10⁸)²/95 700 000 эв = 9,0∙10¹⁶/9,57∙10⁷ эв = 0,94∙10⁹ эв или 940 Мэв].

Атомные единицы массы и энергии. В настоящее время массы (относительные) выражаются в «атомных единицах массы», в которых масса О¹⁶ полагается равной 16,0000. В этой шкале единиц масса атома водорода равна 1,0081; масса протона, т. е. ядра водорода, равна 1,0081 — ¹/₁₈₄₀, что составляет 1,0076. Точные измерения с помощью масс-спектрографа дают следующие значения масс в этой шкале единиц:

В этой шкале единиц энергия, соответствующая массе в 1 единицу, несколько меньше 938 Мэв, приходящихся на массу протона, и равна 938.(1,0000/1,0076), т. е. 931 Мэв.

Этот переводной множитель играет очень важную роль при расчете выделяемой атомной энергии.

ЭНЕРГИЯ 931 Мэв ОТВЕЧАЕТ 1 АТОМНОЙ ЕДИНИЦЕ МАССЫ.

(в шкале единиц, в которой масса О¹⁶ равна 16,0000).

Проверка соотношения Е = mс² для реакции деления лития.

Теперь, полагая, что 931 Мэв соответствует 1 а.е.м., можно записать массы, отвечающие кинетическим энергиям. Попробуем сделать это в случае бомбардировки лития:

РЕЗУЛЬТАТ:

₁H¹ + ₃Li⁷ + (0,15) Мэв _{[к.э. протона]} =? = ₂Не⁴ + ₂Не⁴ + (17) Мэв _{[к.э. α + α]},

МАССЫ: 1,0076 + 7,0165 + (0,15/931) _{(масса, соответствующая кинетической энергии, в тех же единицах)};

=? = 4,0028 + 4,0028 + (17,0/931) _{(масса, соответствующая кинетической энергии, в тех же единицах)};

1,0076 + 7,0165 + 0,0002 =? = 4,0028 + 4,0028 + 0,0183;

ПОЛНЫЕ МАССЫ: 8,0243 =? = 8,0239.

Теперь полные массы гораздо ближе друг к другу по величине. Полная масса вещества изменилась с 8,0241 до 8,0056, т. е. уменьшилась на 0,0185. Масса, отвечающая кинетической энергии, изменилась с 0,0002 до 0,0183, т. е. на 0,0181. Это увеличение составляет 98 % от потери энергии. Различие в 2 % вполне укладывается в ту неопределенность, с которой производятся весьма сложные измерения кинетической энергии. Точному балансу должна была бы отвечать кинетическая энергия α-частиц, равная 0,0187: ее измеряемая энергия должна бы быть равной 17,4 вместо 17 Мэв. Обратите внимание на то, с какой точностью необходимо было измерить массы атомов для проведенной выше проверки соотношения Е = mс². Первые успехи измерений на масс-спектрографе — доказательство существования изотопов с целочисленными массовыми числами и высокая точность химического анализа — далеко превзойдены. Теперь точные измерения на нем показывают, что массы атомов не являются целыми числами, кратными величине массы водорода, или какой-нибудь другой фундаментальной единице. Всегда существует небольшое отличие, имеющее глубокий смысл, если мы верим в соотношение Е = mс², а мы верим в него. Проделано множество детальнейших проверок, подобных одной из первых — на литии, и все подтвердили его. Его подтверждают также странные события, в которых участвуют «позитроны» — электроны с положительным зарядом, рассмотренные в дальнейшем. Подкрепляемое теорией относительности и экспериментальными проверками, соотношение Е = mс² используется для того, чтобы предсказать превращения энергии в других ядерных событиях. Можно даже предсказать огромное выделение энергии при распаде массивного ядра на два меньших — при делении и при объединении легких ядер в одно большое — при синтезе.

Структура ядра. Нейтрон.

Прежде чем перейти к изучению свойств нейтрона, следует либо снова просмотреть задачи 20 и 21 к гл. 8, либо попытаться решить приводимую ниже более легкую задачу 1.

Задача 1. Потери кинетической энергии в упругом столкновении. Мобилизуйте свои знания и здравый смысл для ответа на следующие вопросы: А) Шарик пинг-понга, летящий со скоростью 20 м/сек на север, ударяет по лбу стоящего слона. Пусть удар абсолютно упругий (нет потери кинетической энергии на тепло), а ступни слона лишены трения. 1) Куда полетит шарик после удара — на юг или на север? 2) Куда будет двигаться слон — на юг или на север? Б) Предположим, что шарик весит 2 г (0,002 кг), а слон — около 2000 кг. Оцените грубо (с точностью, скажем, 1 %): 1) Изменение импульса шарика. 2) Изменение импульса слона (предполагая, что импульс сохраняется)». 3) Скорость слона после удара. 4) Кинетическая энергия слона после удара. 5) Кинетическая энергия шарика после удара. В) Сохранит ли шарик большую часть своей кинетической энергии или же после удара разделит ее поровну со слоном? Г) Поменяйте теперь массы местами: считайте, что слон очень быстро скользит в северном направлении и ударяет неподвижно висящий шарик от пинг-понга. 1) По вашему мнению, сильно ли изменится движение слона после столкновения? 2) Какую скорость, вы считаете, приобретет шарик подле столкновения? (Чтобы ответить на этот вопрос, не прибегая к алгебраическим вычислениям, представьте себе, что вы мчитесь на слоне в тумане. Вам представляется, что слон покоится, а шарик налетает на вас и на слона. Как, по вашему мнению, движется шарик до столкновения? Каким будет казаться вам его движение после удара? Теперь вспомните, что слон движется, и скажите, как будет выглядеть движение шарика после удара с точки зрения стоящего на земле наблюдателя?). 3) Останется ли кинетическая энергия слона после столкновения той же самой или она разделится поровну между слоном и шариком? Д) Предположим теперь, что массы слона и шарика одинаковы: абсолютно упругий шарик, движущийся в северном направлении, ударяет «в лоб» точно такой же шарик, но покоящийся. 1) Как, на ваш взгляд, будут двигаться шары после столкновения? (Если вы сомневаетесь в ответе, попытайтесь поставить хотя бы грубый эксперимент и экстраполируйте его результат на идеальный случай.). 2) Будет ли шар двигаться с первоначальной кинетической энергией, потеряет ли большую часть ее или же при ударе она разделится поровну между шарами? Е) Резюме. Каково должно быть отношение массы налетающего тела к массе покоящегося, чтобы при упругом столкновении первое тело замедлилось?

В 1930 г., когда строились первые большие ускорители, все теории строения атома ждали экспериментальной проверки. Модель атома, предложенная Резерфордом, была уже усовершенствована — внешние электроны уже не вращались по строго определенным планетарным орбитам, а слились в одно волновое облако, но тем не менее атом еще рисовался рыхлым, с крошечным положительным ядром. Поскольку из ядра могут вылетать электроны, протоны и альфа-частицы, думали, что каждое ядро состоит из протонов и электронов (причем альфа-частица рассматривалась как некоторое компактное образование). Но при таком описании ядро оказывалось неустойчивым. Подобное ядро, казалось, должно было скорее распасться, чем оставаться стабильным; электроны не должны были умещаться в ядре: они настолько легки, что длина их волны слишком велика для этого. Кроме того, существовали серьезные затруднения, связанные с необходимостью выполнения закона сохранения момента количества движения. Тогда-то и были открыты нейтроны. Они изменили все представления о строении ядра.

В ряде экспериментов по бомбардировке атомов получались странные результаты. Казалось бы, альфа-частицы должны (время от времени) выбивать протоны из ядра азота и некоторых других легких элементов. В этом смысле бериллий, очень легкий металл с Z = 4, должен был быть многообещающим для использования его в качестве мишени. Но при бомбардировке бериллия альфа-частицами возникали какие-то странные лучи, которые не создавали ни ионов, ни треков в камере Вильсона. Может быть, улучи? Но толстые листы свинца почти не задерживали эти лучи. Но, может быть, — это очень жесткие, глубокопроникающие γ-лучи? Тогда возникал серьезный вопрос: «Откуда взяться такой энергии?» В отличие от свинца блок из парафинового воска или бак с водой почти полностью поглощали эти загадочные лучи. Кроме того, лучи выбивали протоны из поглощающего их воска или воды. Если бы это были γ-лучи, то это находилось бы в серьезном противоречии с законом сохранения энергии и импульса. Тогда коллега Резерфорда Джеймс Чэдвик написал в журнал «Нейчур» короткое сообщение, ставшее вскоре широко известным. Он обратил внимание на то, что эти противоречия легко разрешаются, если предположить, что «новые» лучи — не γ-лучи, а нейтральные незаряженные частицы с массой, примерно равной массе протона. Такими частицами могут быть не нейтральные атомы (положительные ядра со всеми их электронами), а, если можно так выразиться, «нейтральные ядра». Такие нейтроны, не создававшие вокруг себя электрического поля, не могли бы создавать ионы и испытывать заметное электрическое отталкивание ядрами; они легко проходили бы через вещество, не теряя своей энергии и не оставляя трека в камере. Если бы нейтрон сталкивался с тяжелым ядром в редком «лобовом» соударении, то он упруго отскакивал бы от него без существенной потери энергии. Но если бы он сталкивался с легким ядром, скажем, лучше всего с протоном, то он выбивал бы это ядро, отдав ему значительную часть своей энергии. Нейтроны упруго отскакивают от свинца, но выбивают протоны.

Вскоре на основании измерений импульса нейтрона до и после столкновения была рассчитана его масса. Она оказалась равной 1,0089 в отличие от 1,0076 — массы протона. Нейтрон начали широко использовать в качестве бомбардирующей частицы, и скоро он стал играть важную роль в исследованиях атомов. Когда нейтроны попадают в мишень, то они не испытывают отталкивания со стороны ядер мишени, а проходят мимо них без отклонения, даже если и подходят совсем близко к этим ядрам. Время от времени один из них попадает в ядро мишени и исчезает там, оказываясь запертым в нем таинственными ядерными силами. При этом возникает новое ядро. Добавление нейтрона не меняет заряда ядра.

Поэтому новое ядро является изотопом старого, тяжелее его на единицу массы. Оно может оказаться ядром неизвестного изотопа, часто к тому же нестабильного. Тогда это открывает легкий путь получения новых радиоактивных атомов. В настоящее время, бомбардируя ядра нейтронами, можно получать изотопы практически любого элемента, какого только пожелаем. Вначале источником нейтронов служила смесь радия с бериллием. Затем нейтроны стали получать, выбивая их на циклотронах из разных ядер протонами. Такие нейтроны хорошо послужили.

В настоящее время в мощных ядерных реакторах получают много разных нейтронов: и быстрых, и со средними скоростями, и медленных. Облучение нейтронами теперь легко производится путем помещения образца внутрь реактора. Например, радиоактивный фосфор, Р³² был получен в реакторе облучением нейтронами обычного фосфора Р³¹.

Фиг. 133. Получение нейтронов.

Фиг. 134. Составные части ядра.

Состав ядра.

Вернемся теперь снова к структуре ядра. Модель ядра с нейтронами, входящими в его состав, представлялась более удовлетворительной: протоны и нейтроны в каждом ядре и никаких электронов. Атомный номер Z дает число протонов, а остальная часть «массы ядра» («атомный вес» минус Z) — число нейтронов. Ядро гелия (α-частица), например, с зарядом +2е и массой 4 больше не представлялось неустойчивым образованием из четырех протонов и двух электронов, обеспечивающих правильное значение заряда ядра. Теперь оно представляется тесным комочком из двух протонов и двух нейтронов. Правда, для того чтобы понять, что их удерживает вместе, необходимо было допустить существование особых сил, однако такой союз казался вполне возможным, тем более что он обеспечивал сохранение спинового момента количества движения. Таким образом, теперь каждое ядро представляется состоящим из протонов, число которых определяет заряд ядра и часть его массы, и связанных с ними нейтронов, число которых обеспечивает остальную часть массы ядра. У легких элементов число нейтронов и протонов примерно одинаково, у тяжелых же избыток нейтронов может достигать 50 %. (См. примерна приведенной выше диаграмме.).

Такая картина строения ядра подтверждается экспериментами, выполненными на больших ускорителях с очень быстрыми протонами. Попадая в атом мишени, протон с большой частотой выбивает из него нейтрон и примерно столь же часто другой протон. (Пустите-ка бильярдный шар по столу, заставленному редко расположенными белыми и черными шарами, число которых одинаково. Такой шар может прокатиться без столкновений. Но если уж он сталкивается, то это происходит равновероятно с белыми и черными шарами.) Это, казалось бы, говорит о том, что нейтроны и протоны действительно являются непременными составными частями ядра. Как они устроены и как они взаимодействуют внутри ядра — на эти вопросы пока нельзя дать окончательный ответ. Другими словами, пока еще не найдена полностью удовлетворительная «модель» ядра, хотя несколько претендующих на то моделей обещают ею быть. Полное описание ядерных сил пока еще отсутствует.

Положительные электроны, «позитроны».

На полученном в 1932 г. удивительном фотоснимке в камере Вильсона ясно видно, что существуют положительные электроны. Карл Андерсон фотографировал треки частиц высокой энергии, приходящих из космического пространства (прямо на нас). Этот всепроникающий поток космических лучей доходит до нас в виде смеси протонов, электронов, нейтронов и других частиц, заряженных и незаряженных. Первичными частицами являются протоны и другие атомные ядра с энергиями в миллионы или даже в миллиарды Мэв. Многие из них проходят, невредимо через нашу атмосферу, часть же тормозится в беспорядочных столкновениях, производя «вторичное космическое излучение»: γ-кванты, ливни электронов, протонов, нейтронов и мезонов. Магнитное поле Земли настолько сильно закручивает траектории заряженных частиц, что на экваторе частицы с низкой энергией не могут достигнуть поверхности Земли. Чтобы измерить импульсы этих частице помощью камеры Вильсона, физики, исследуя смесь первичных и вторичных частиц, используют сильное магнитное поле. Стенки из тяжелого металла задерживают частицы локального происхождения, они не задерживают космические лучи высоких энергий, и те проходят через камеру. Для того чтобы происходило расширение камеры, когда частица проходит в выбранном направлении, систему счетчиков Гейгера можно расположить по схеме «следящего телескопа». Электроны очень высокой энергии легко проходят через камеру, стенки и т. д., оставляя треки из водяных капель, сконденсировавшихся на ионах внутри камеры, которые можно сфотографировать. Ионы, созданные столь быстрой частицей, довольно редко разбросаны на ее пути. Поэтому оставленный ею трек выглядит «тонким», но тем не менее его легко можно сфотографировать. Андерсон сфотографировал трек, который был похож на трек быстрого электрона (импульс частицы определялся по отклонению в магнитном поле, пронизывающем камеру. При этом длина трека исключала возможность принять его за трек более тяжелой частицы, такой, как протон). Андерсон решил, что он обнаружил положительный электрон.

Задача 2. Доказательства того, что существует положительный электрон (см. фотографию Андерсона, фиг. 123). А) Если Андерсон определил по форме, что это трек электрона, что нашел бы он, измерив кривизну трека в разных точках? Б) Если трек был закручен в сторону, противоположную большинству треков на подобных фотоснимках, то он был оставлен либо положительным электроном, подобным отрицательному, либо отрицательным электроном, который имел…? В) Чтобы решить, какое из двух предположений в пункте б) правильно, Андерсон перегородил камеру металлической пластинкой, надеясь сфотографировать трек, который пронижет пластинку. См. его удачный фотоснимок. На основании чего по этому фотоснимку можно утверждать, что трек принадлежит положительному электрону?

Положительные электроны, называемые теперь позитронами, были предсказаны за несколько лет до этого П. А. М. Дираком на основе умозрительной теории. Так что, когда Андерсон сделал свое открытие, теория готова была его объяснить. В целях математической завершенности и симметрии развиваемой им теории Дирак предположил, что существует целое море электронов с отрицательной кинетической энергией, если хотите, нереальных и, следовательно, не наблюдаемых. Однако если одному из таких эфемерных электронов с «отрицательной энергией» — (е^-) передать энергию (2mс²), достаточную для того, чтобы его энергия стала положительной, возникает обычный электрон е^- и «дырка» в океане мифических — (е^-) электронов. Эта «дырка» затем будет вести себя как реальный положительный электрон. Таким образом, теория предсказывала положительный электрон как нечто вроде зеркального отображения обычного электрона. В терминах «античастиц» позитрон отвечает «антиэлектрону».

Поскольку удалось обнаружить в камере Вильсона реальный е⁺-электрон, то начали искать, а затем и обнаружили ранее предсказанное событие рождения «из ничего» пары е⁺ и е^-. γ-лучи высокой энергии, падая на атом, способны затратить свою энергию на создание пары электронов е^- и е⁺. Это не что иное, как создание излучением вещества — материальных частиц (фиг. 156).

Задача 3. Энергия, необходимая для создания пары. Масса покоя электрона и позитрона одинакова и равна ¹/₁₈₄₀ массы протона (масса протона соответствует энергии 940 Мэв). А) Какой энергией (наименьшей) должен обладать γ-луч, чтобы быть способным родить пару е^- и е⁺? Б) Какой кинетической энергией (в эв) должен обладать электрон, чтобы его полная масса в неподвижной системе координат была вдвое больше его массы покоя? В) Насколько тяжелее казался бы β-луч с кинетической энергией 2 Мэв по сравнению с электроном, движущимся с малой скоростью? Г) Какую энергию (в эв) должен иметь γ-луч для создания пары е^- и е⁺ и выбрасывания каждой частицы с кинетической энергией 2 Мэв?

Фактически γ-луч с такой энергией создал бы в камере Вильсона неподвижную пару. γ-луч с большей энергией (более крупный квант, с более короткой длиной волны) способен превратить избыток энергии в кинетическую энергию пары и толкнуть электрон и позитрон вперед. Тогда в камере Вильсона с магнитным полем такая пара будет видна как буква V (фиг. 124). Массивное атомное ядро служит γ-лучу как бы наковальней, на которой он выковывает пару — процесс идет при условии выполнения закона сохранения энергии и импульса. В камере Вильсона рождение пар происходит вблизи ядер атомов газа или ядер металлической пластинки, помещенной в камеру для того, чтобы сделать этот процесс более вероятным.

Когда было найдено, что многие искусственно созданные радиоактивные атомы излучают позитроны е⁺ (или β⁺), последние стали привычным явлением. Обычный атом, в ядро которого на циклотроне влетел лишний протон, часто оказывается нестабильным. Для своих размеров новое ядро чувствует себя пересыщенным протонами (или, что то же самое, обедненным нейтронами). Поэтому с большой вероятностью могут произойти следующие превращения:

[A] один из протонов —> нейтрон и электрон, причем электрон должен унести с собой положительный заряд, т. е. это должен быть β⁺ в силу универсального закона сохранения заряда[161]. Ядро другого радиоактивного атома может оказаться переобогащенным нейтронами, и тогда в нестабильном ядре:

[B] нейтрон —> протон + электрон, причем электрон уносит с собой отрицательный заряд, т. е. излучается β^-[162].

Следовательно, утверждать, что нейтрон «состоит» из тесно связанных протона и электрона, по-видимому, нельзя. Правильнее говорить в более общем смысле (см. фиг. 135).

Упомянутые выше превращения [А] и [В] — это лишь тени более сложных событий, которые разыгрываются среди частиц и зарядов. Превращение типа [В] происходит спонтанно для свободных нейтронов: нейтроны радиоактивно распадаются на протон, электрон (₁H⁺ и е^-), и нейтрино с периодом полураспада, примерно равным 12 минутам. Превращение [А] не может происходить без затраты дополнительной энергии. В таком превращении, теперь это достоверно известно, также участвует нейтрино. Во всех превращениях выполняются два правила:

1. Сохраняется заряд: если возникают новые заряды, то при этом число положительных и отрицательных зарядов одинаково.

2. Сохраняется число частиц при условии, что частицы и им соответствующие античастицы (например, е^- и е⁺) считаются «одинаковыми, но противоположного знака» и вычеркиваются при подсчете[163].

Общий вывод таков: «старое представление о том, что частица представляет собой связку других частиц, следует оставить и использовать для ядерных превращений установленные новые правила». На молекулы в химии распространяется старая идея кулинарного рецепта для приготовления торта: например, можно говорить, что молекула воды состоит из двух атомов Н и одного О.

Однако если распространить его дальше на субатомный уровень и говорить, что «нейтрон состоит из протона и электрона», то при этом можно ввести себя в заблуждение. Здесь кулинарная аналогия заведет нас слишком далеко. К подобным утверждениям следует относиться с осторожностью, как относятся к утверждению ребенка, вытащившего червяка из яблока и сказавшего: «Из яблока получился червяк!».

Приведем еще некоторые экспериментальные данные относительно структуры нейтрона:

1) Масса нейтрона на 0,001 а.е.м. больше массы протона. Если учесть связанный с массой дополнительный запас энергии 1 Мэв, выделение энергии в превращении нейтрон —> протон не является неожиданным. Однако такое превращение нельзя представить как простое раскалывание на куски нестабильного образования, потому что.

2) хотя свободный нейтрон и нестабилен, в атомных ядрах он живет бесконечно долго,

3) хотя у нейтрона нет заряда, вокруг него существует магнитное поле, что, по-видимому, указывает на движение внутри него каких-то зарядов,

4) результаты обстрела нейтронов (в связанном состоянии в атомных ядрах) электронами как будто свидетельствуют о том, что магнитное поле существует и внутри нейтрона, однако в нем нет и намека на какие-либо заряды.

Существует предположение, что нейтрон обладает внутренней структурой, возможно, представляет собой протон с вращающимся вокруг него отрицательным мезоном. Однако такое предположение выглядит рискованным, поскольку, если его понимать буквально, оно находится в противоречии с некоторыми экспериментальными фактами.

Аннигиляция вещества.

Может также происходить событие, противоположное рождению пар. Позитрон встречается с обычным отрицательным электроном, и они исчезают, рождая γ-лучи:

Е⁺ + е^- —> γ + γ.

Для того чтобы выполнялся закон сохранения энергии и импульса, в результате реакции должно возникать два γ-луча, движущихся в противоположных направлениях. Они и наблюдаются, если радиоактивный образец, излучающий β⁺, поместить между двумя цилиндрическими счетчиками. Счетчики тогда регистрируют одновременно пару γ-лучей как раз той энергии, которую следовало бы ожидать, — 0,5 Мэв каждый. Их энергию можно измерить по числу ионов, которые создаются в ионизационной камере γ-лучами при выбивании электронов.

Фиг. 136. а — аннигиляция; б — образование пар.

_{Задача 4. Аннигиляция электронов.}

_{Покажите, что, если при превращении пары электронов в пару γ-лучей не происходит потери массы, каждый γ-луч обладает энергией, равной 0,5 Мэв.}

Лирическое отступление.

Таким образом, соотношение Е = mс² выполняется не только для быстрых частиц, но применимо также и к рождению и аннигиляции вещества. Критикам, отрицавшим это, говоря, что «электроны — не обычное вещество», пришлось ждать с 1930 по 1955 г., чтобы увидеть рождение ядер водорода — протонов и антипротонов. Сегодня на самых больших ускорителях можно получать частицы с энергией в несколько миллиардов электронвольт, которые способны создавать такие пары за счет своей кинетической энергии.

Теперь известны целые серии таких «зеркальных» пар: электроны и позитроны, протоны и антипротоны, нейтроны и антинейтроны. Частицы последней пары не обладают зарядами противоположного знака, так как у них вообще нет заряда, но они отличаются по своим магнитным и спиновым свойствам. Встречаясь друг с другом, частицы и античастицы немедленно аннигилируют. Некоторые ученые усмехаются над выдумками фантастов, когда они рисуют «антиматерию» и «антимиры», однако не следовало бы. Ведь предсказание Дирака о существовании положительных электронов вначале тоже казалось абсурдным.

Новые радиоактивные ядра.

В наше время радиоактивные ядра с искусственной радиоактивностью легко получатся путем введения в них дополнительных нейтронов. При этом заряд ядра не меняется (тот же самый элемент, те же самые химические свойства), но обладает слишком большой массой, слишком большим числом нейтронов при данном числе протонов. Такая теснота чревата превращениями: переходом одного из нейтронов в ядре в протон. Это происходит при распаде нестабильного ядра. Причем рождаются «+» и «—» заряды; «—» заряд улетает из ядра в виде маленькой частицы: рождается электрон и уносится в виде β-луча. (Одновременно должно также испускаться невидимое нейтрино.).

Период времени с 1930 по 1940 г. был ознаменован богатым потоком ядерно-физических данных. Можно было похвастаться: квадратные клетки периодической системы элементов, отвечавшие каждому элементу, разрослись в целый ряд ячеек, в которых поселились различные изотопы. Стабильные и нестабильные, все — атомы одного и того же элемента, но с разной массой. Для каждого нестабильного изотопа добывалась новая информация: период его полураспада, частицы, которые он излучает, энергия, выделяющаяся при его распаде.

Фиг. 137. Таблицы.

_{Сплошные черные квадратики изображают стабильные изотопы. Светлые квадратики — «искусственные» нестабильные радиоактивные изотопы, создаваемые при облучении и т. п. Крестиками помечены «естественные» радиоактивные изотопы, встречающиеся в природе. (Большинство из них, за исключением обычного калия, имеющего один радиоактивный изотоп, отвечают самым большим атомным номерам.).}

На фиг. 138 приведена схема одного из опытов по облучению.

Фиг. 138. Ядерные превращения при бомбардировке меди на циклотроне.

Протоны с энергией 20 Мэв бомбардируют мишень из меди. В результате множества столкновений они останавливаются в ней, пройдя путь в 1 мм, причем почти каждый раз их кинетическая энергия переходит в тепло. Однако малая часть их, проходя вблизи ядра атома меди, попадает в область действия мощных ядерных сил и захватывается ядром. Иногда вслед за этим вместо протона вылетает нейтрон. Оставшееся же ядро оказывается радиоактивным ядром цинка. В иных случаях протон выбивает из ядра и протон, и нейтрон одновременно. Тогда получается ядро меди, но аномально легкое (Си⁶²) и радиоактивное.

Другой пример приведен на фиг. 139.

Фиг. 139. Получение радиоактивного натрия бомбардировкой дейтронами на циклотроне.

_{Ядра тяжелого водорода (дейтерия) ускоряют на циклотроне и направляют на мишень из естественного натрия. Дейтрон, попадая в ядра мишени, выбивает из них протоны.}

В циклотрон вводят тяжелый водород, его ядра (дейтроны) ускоряют, а затем используют для бомбардировки мишени из естественного натрия. Дейтрон попадает в ядра атомов мишени и выбивает из них протон (что эквивалентно попаданию нейтрона в ядро натрия). При этом получается радиоактивный атом натрия с периодом полураспада, около 15 часов. Атом излучает β-лучи (и γ-лучи, уносящие некоторый избыток энергии), превращаясь в стабильный атом магния.

Радиоактивный натрий широко используется в научных исследованиях. В ничтожном количестве его добавляют к обычному натрию, затем получают соль и в таком виде прослеживают его путь через растения и животных. Можно также исследовать обмен атомами натрия между солью в кристаллическом состоянии и насыщенным ее раствором. Или же можно изучать, как замещает натрий другие атомы в органических молекулах. Присутствие радиоактивного натрия можно обнаружить счетчиком Гейгера, регистрируя β-лучи, сигнализирующие о распаде атомов натрия. Хорошим счетчиком можно обнаружить 0,00 000 000 000 000 000 001 кг, т. е. 10^-20 кг радиоактивного натрия на естественном радиоактивном фоне.

Ядерные силы.

Из экспериментов по рассеянию альфа-частиц (а также протонов и других частиц на ускорителях) было найдено, что в широком интервале расстояний сила, с которой действует какое-либо ядро мишени, есть обратно пропорциональная квадрату расстояния электрическая сила. Вне атома создаваемая зарядом ядра электрическая сила практически полностью экранирована электронным облаком этого атома. В то же время и внутри этого облака внешних электронов падающая на ядро заряженная частица испытывает действие только обратно пропорциональной квадрату расстояния электрической силы, описываемой законом Кулона.

В атомах легких мишеней, радиус которых порядка 1 A° во всей области расстояний, начиная с внешних частей электронного облака, т. е. с расстояний порядка 0,1 А° вплоть до расстояний, в тысячи раз меньших, порядка 0,00001 А°, единственное действующее поле — это поле силы Кулона. В электронном облаке это поле несколько слабее, так как электроны действуют с силой противоположного знака по сравнению с ядром, но это также поле кулоновских сил. Так что весь атом, начиная с расстояний от ядра порядка 1/10000 А° вплоть до его внешних областей, ~1 А° окружен кулоновскими полями. В тяжелых ядрах типа золота картина та же самая, только многоэлектронное облако простирается еще ближе к ядру.

Фиг. 140. Атомные силы.

Возвращаясь к модели холмов силовых полей, изложенной в гл. 8, модель атома Резерфорда можно изобразить в виде равномерно заостряющейся кверху колонны так, как это сделано на фиг. 141 (при этом модель атома Томсона изображалась бы в виде пологого бугра, покрытого неглубокими хаотически разбросанными воронками, занятыми электронами, фиг. 142).

Фиг. 141. Диаграмма энергетического холма. Закон квадрата обратного расстояния.

_{Отталкивание в атоме Резерфорда.}

Фиг. 142. Диаграмма энергетического холма. Атом Томсона.

Представим себе, что сила Кулона отсутствует, а ядро ведет себя как твердый шар, сильно отталкивающий при «контакте» (жаргонный термин, означающий «при сближении на очень малое расстояние в атомном масштабе»). Тогда модель энергетического холма представлялась бы в виде плоской равнины с резко возвышающейся над ней узкой колонной, изображающей «контакт» (фиг. 143). Поле интенсивных сил притяжения изображалось бы в виде ямы с крутыми стенками (фиг. 144).

Фиг. 143. Диаграмма энергетического холма. Твердая, непроницаемая сердцевина малого радиуса в качестве мишени.

Фиг. 144. Диаграмма энергетического холма. Сила притяжения.

Представим себе, что в нескольких таких моделях, каждая из которых изготовлена со многими силовыми колоннами или ямами, представляющими большое число атомов в рассеивающей мишени, в разных направлениях пускаются маленькие шарики. Тогда в моделях с разной формой колонн пущенные снаряды будут рассеиваться в разных направлениях по-разному. В модели силы Кулона часть шариков будет рассеиваться на прямые углы (фиг. 145) и очень немногие из них — назад.

Фиг. 145. Рассеяние α-частиц или протонов.

По сравнению с ней модель узких колонн будет рассеивать гораздо меньше и точно так же, как и вывернутая по отношению к ней наизнанку модель ям с крутыми стенками, поскольку почти все снаряды будут проходить без отклонения. Если рассуждать в противоположном направлении, то окажется, что можно выбирать модели, используя экспериментальные данные по рассеянию. Бомбардировка протонами или другими частицами на все более крупных ускорителях дает возможность изучать рассеяние на все более близких к ядру расстояниях. Тогда обнаруживается, что модель холма для силы Кулона, хорошо оправданная в применении к рассеянию медленных α-частиц, имеет свои пределы применимости. Эксперименты по рассеянию показывают, что при максимальном приближении к ядру положительный снаряд испытывает меньшую по величине силу, чем та, которая должна быть согласно закону Кулона. Частицы, которые отскакивают назад при рассеянии, являются как раз частицами, приближающимися к ядру на максимально близкое расстояние. Их оказалось гораздо меньше, чем ожидалось.

На расстояниях порядка 0,00001 А° (10^-15 м, или, как называют теперь физики-ядерщики, 1 ферми) начинают заметно проявлять себя новые силы. На этих расстояниях должны действовать силы притяжения очень малого радиуса действия, благодаря которым на вершине холма энергетический уровень делает перегиб, а затем погружается в яму. Такая впадина в центре представляет собой ядерную яму — жилище обитателей ядра, проживающих, по-видимому, в очень стесненных условиях. Обитателей стабильных ядер можно рисовать себе находящимися в яме на большой глубине, причем без какой-либо надежды выбраться из нее. В радиоактивных ядрах они занимают уровни, не слишком удаленные от края ямы: во всяком случае, эти уровни выше основного, так что у них есть шансы вырваться из нее. Отметим тот факт, что и холм, и яма не являются материальными категориями — каким-то подобием кофейной чашки, — а представляют собой лишь образы на энергетической диаграмме. Тем не менее они позволяют уяснить, как и почему составные части ядра находятся внутри ядра.

Фиг. 146. Ядерные силы и ядерная энергия.

_{α1 — α-частица в ядре с энергией нише «основного» уровня будет оставаться все время в нети — ядро стабильно; α2 — α-частица с такой энергией может вылетать из ядра; α3 — подобная α-частица пребывает вне ядра.}

Фиг. 147. Модели ядерных энергетических холмов.

Бомбардировка нейтронами.

Иная картина возникает, если в качестве исследовательских снарядов использовать не α-частицы и протоны, а нейтроны. В силу того, что у нейтрона нет заряда и, следовательно, электрического поля вокруг него, он, проходя мимо атома, не срывает его электроны. Не испытывает он отклонения и в поле кулоновских сил ядра. В большинстве случаев нейтрон движется, не испытывая отклонения ни возле атома, ни внутри атома, ни в непосредственной близости к ядру. Если нейтрон использовать как метательный снаряд, то в «модели холмов» атом для него представляется в виде энергетической плоской равнины. Однако нейтроны могут испытывать столкновения, если случается, что они проходят на очень близком расстоянии от ядра мишени. Тогда они рассеиваются, отклоняясь в сторону, или захватываются ядром и задерживаются в нем. Это показывает, что нейтроны испытывают действие ядерных сил[164], причем это силы очень короткого радиуса действия. Эти короткодействующие силы вполне могут оказаться теми же самыми силами, действие которых испытывают заряженные частицы. На тех расстояниях от ядра, где ядерные силы начинают прогибать вершину кулонова холма, на плоской равнине для нейтронов зияет глубокий колодец[165].

Думается, что при уменьшении жилой площади, приходящейся на каждого обитателя и так перенаселенного ядра, ядерные силы из сил притяжения переходят в силы отталкивания. Ядерное «племя» не должно ни слипаться в комок, ни разлетаться во все стороны.

Фиг. 148. Диаграмма энергетического холма в случае нейтрона, приближающегося к ядру.

Бомбардировка нейтронами. Упругие соударения.

В большинстве случаев, если только мишень не состоит из легких ядер и столкновение не лобовое, нейтрон, проходя недалеко от ядра мишени, сталкивается с ним упруго, отдавая ему лишь малую часть своей кинетической энергии. При упругом столкновении с тяжелым ядром мишени, таким, как ядро свинца, даже в лобовом столкновении нейтрон теряет менее 2 % своей кинетической энергии; радиус действия ядерных сил настолько мал, что лобовые или близкие к ним соударения очень редки. Однако в силу того, что атомов много, поскольку даже кусочек вещества, который нам кажется крошечным, содержит их громадное число, нейтрон, проходя через мишень, быстро замедляется благодаря упругим столкновениям. Быстрый нейтрон (т. е. нейтрон с кинетической энергией ~1 Мэв, образующийся при делении U²³⁵) будет двигаться сквозь окружающий материал сначала с большой скоростью, затем со средней, а потом с малой скоростью до тех пор, пока он в столкновениях не замедлится до «тепловой» энергии (т. е. когда его кинетическая энергия сравняется с энергией молекул газа при температуре материала). Это приводит к тому, что полный пробег быстрого нейтрона в большинстве твердых тел составляет несколько сантиметров по сравнению с пробегом протонов или альфа-частиц с той же первоначальной энергией, равным нескольким тысячным долям сантиметра.

Фиг. 149. Бомбардировка ядер.

Бомбардировка нейтронами. Захват.

Иногда при соударении на очень близких расстояниях нейтрон захватывается ядром мишени. Частота этих событий, по-видимому, сильно колеблется от одного элемента к другому и различна даже для изотопов одного и того же элемента. Вероятность захвата также сильно зависит, причем довольно сложным образом, от скорости нейтрона[166].

Часто новое ядро, образовавшееся после захвата, оказывается нестабильным, радиоактивным. Эксперименты по захвату нейтронов позволяют исследовать не только структуру ядра, но и получать новые нестабильные атомы. Ниже перечислены некоторые из нескольких сотен таких событий, известных в настоящее время.

Фиг. 150. Облучение нейтронами.

Фиг. 151. Получение дейтерия.

1) Ядро водорода поглощает нейтрон и становится ядром «тяжелого водорода» (дейтерий), которое представляет собой сильно связанные друг с другом протон и нейтрон.

₀n¹ + ₁H¹ —> ₁H^2.

2) Ядро серебра может поглотить нейтрон и стать радиоактивным. Особенно часто это случается для медленных нейтронов.

Это легко демонстрируется: стоит лишь замедлить быстрые нейтроны с помощью бака с водой, как серебряная монета становится радиоактивной (фиг. 152 и 153).

Фиг. 152. Получение радиоактивного серебра путем облучения нейтронами.

Фиг. 153. Облучение нейтронами.

_{Источником быстрых нейтронов служит смесь радия и бериллия. Нейтроны, сталкиваясь с ядрами водорода воды, теряют энергию в каждом столкновении, замедляясь до тепловых скоростей в результате примерно десятка столкновений. После этого у них велики шансы при тесном сближении с ядром атома серебра поглотиться им. Нейтроны, кроме того, сталкиваются с ядрами атомов кислорода, однако при столкновении с ними они теряют гораздо меньшую энергию. Иногда они захватываются ядрами атома водорода, образуя ядра «тяжелого водорода».}

3) Ядро алюминия поглощает нейтрон, испустив α-частицу, превратившись в радиоактивный натрий — тот самый полезный изотоп, который получается при облучении натриевой мишени дейтронами:

₀n¹ + ₁₃Al²⁷ —> ₁₁Na²⁴ + ₂He^4.

4) Ядро бора может поглотить медленный нейтрон и развалиться на ядро лития и α-частицу, разлетающиеся в разные стороны с суммарной кинетической энергией 2,8 Мэв. (Для регистрации медленных нейтронов в ионизационные камеры впускают газ, содержащий бор.).

₀n¹ + ₅B¹⁰ —> ₃Li⁷ + ₂He^4.

5) Кадмий обладает исключительно большим сечением захвата медленных нейтронов, что делает его незаменимым при использовании в качестве поглотителя для управления ядерным реактором.

6) Радиоактивный углерод и «углеродные часы». Когда нейтрон попадает в ядро азота, он иногда выбивает из него протон, образуя ядро радиоактивного углерода:

₀n¹ + ₇N¹⁴ —> ₆C¹⁴ + ₁H^1.

Радиоактивный углерод С¹⁴ распадается с периодом полураспада 5600 лет, испуская β-лучи и превращаясь снова в азот:

₆C¹⁴ —> ₇N¹⁴ + _-1e^0.

Это дает чудесный способ для определения возраста археологических находок. Нашу атмосферу постоянно пронизывает поток нейтронов, входящих в состав приходящих издалека космических лучей или образуемых этими лучами в атмосфере (некоторые из них сталкиваются с атомами азота в воздухе и образуют С¹⁴). Эти атомы входят в состав содержащегося в атмосфере углерода (и в течение некоторого времени в океане) в основное в виде соединения СО₂. Как известно, поток космических лучей оставался постоянным в течение многих столетий и привел к образованию малой, но неизменной доли радиоактивного углерода в мировом содержании СО₂ — той доли, которая установилась в результате баланса между распадом и образованием нового СО₂ в атмосфере. Но так как СО₂ используется деревом для образования древесины (или морскими животными при формировании скелета), то углерод в этом соединении входит в твердый материал, в который не может больше поступать радиоактивный углерод из азота. Радиоактивная часть углерода распадается с периодом полураспада 5600 лет. Следовательно, измеряя содержание радиоактивного углерода в образце (скажем, в морской раковине), можно определить его возраст, т. е. сколько времени прошло с тех пор, когда содержащийся в нем углерод образовался в атмосфере. Для измерения такой β-активности были сконструированы чувствительные счетчики, и теперь можно определять возраст образцов кусочков древесины или одежды, оставшихся нам от древних цивилизаций[167].

Фиг. 154. Радиоактивный углерод.

_{А — образование: нейтроны бомбардируют азот; б — распад.}

7) Деление. Иногда при поглощении нейтрона уран ведет себя странным образом. Обсудим это ниже.

Деление.

Двадцать лет тому назад возникло подозрение, что при облучении урана медленными нейтронами образуются новые элементы, стоящие за последним элементом в периодической системе. Было ясно, что в облученном уране возникали и некоторые другие элементы, причем химический анализ показал, что они не были соседними по таблице элементами, такими, как обычные продукты распада при захвате. Было высказано предположение, что при этом создавались новые, еще не известные элементы. Затем химический анализ показал, что эти странные радиоактивные продукты были не сверхтяжелыми атомами, а изотопами хорошо известных атомов, расположенных в середине периодической системы элементов, таких, как барий, цезий, криптон, йод и многих других, каждый из которых проявлял себя в химических реакциях точно так же, как обычный атом того же элемента, в какие бы соединения он ни входил. Это было интерпретировано как разделение огромного ядра урана на два крупных осколка, не равных, но сравнимых по размеру. Это событие было названо делением по аналогии с процессом биологического деления клетки. Нейтрон, попадая в ядро урана, делал его нестабильным и раскалывал на две «половинки», которые разлетались друг от друга под действием колоссальной силы кулоновского отталкивания их зарядов.

Массивные «осколки деления» разлетались друг от друга, унося с собой громадную кинетическую энергию, в сумме около 200 Мэв.

Фиг. 155. Уран и нейтроны.

_{Представление о ядре как колеблющейся капле может совершенно неверно трактовать истинный механизм деления ядра. Эта картина может быть совершенно неоправданной при попытке описать механику микроскопического процесса, происходящего внутри ядра, хотя использование этой аналогии, с ее математическим описанием, привело к появлению плодотворных рабочих гипотез. Как бы там ни было, наблюдаемые факты таковы: нестабильное ядро U²³⁶ делится на два крупных неодинаковых осколка за очень короткое время, испуская при этом нейтроны.}

Фиг. 156. Деление урана.

_{Пример «генеалогического древа» для пары возможных продуктов деления.}

_{Ядро атома U²³⁶ делится различными способами. На приведенных рисунках изображен един из таких способов вместе со всеми последующими превращениями двух радиоактивных «осколков деления».}

В камерах Вильсона это событие было сфотографировано, а энергии «осколков» измерены с помощью ионизационных счетчиков. Большая часть энергии освобождается в результате простого электростатического отталкивания между «половинками» ядра, заряженными положительно (заряд каждой «половинки» по величине равен нескольким десяткам зарядов электронов), разбегающихся из своего невероятно тесного жилища. При этом важно не только то, что выделяется потрясающее количество энергии, но и то, что появляется возможность возникновения цепной реакции, поскольку кроме осколков деления вылетает еще несколько нейтронов. Нельзя ли устроить так, чтобы эти нейтроны делили другие атомы урана или чтобы урановый блок взрывался? В случае естественного урана — смеси изотопов — нет: нейтрон легко вызывает деление только чистого U²³⁵.

Обычно нейтрон поглощается естественным ураном, его изотопом U²³⁸. С помощью масс-спектрографа было показано, что уран состоит из двух изотопов U²³⁵ и U²³⁸ и очень редкого изотопа U²³⁴. На масс-спектрографе же были отделены друг от друга ничтожные количества этих изотопов. Когда они были исследованы, то свойство делиться было обнаружено лишь у U²³⁵. При этом деление происходило чаще при захвате медленных нейтронов, чем быстрых. Изотоп U²³⁸ также сильно поглощал нейтроны, особенно быстрые. Естественный уран представляет собой смесь: 99,3 % U²³⁸ и только 0,7 % U²³⁵, который хорошо делится. Если деление происходит в куске естественного урана, то быстрые нейтроны, которые при этом образуются, в основном, захватываются ядрами U²³⁸ и цепной реакции не получается. Только в куске чистого U²³⁵ могла бы возникнуть цепная реакция, так что он мог бы взорваться, как бомба. Многое из этого уже было известно или предполагалось к началу второй мировой войны, когда изготовление атомной бомбы стало одновременно и военной, и научной задачей.

Прежде чем обсуждать, как используется деление (а теперь и синтез), повторим некоторые ранее приведенные рассуждения о топливе и взрывах.

Замечание о мирном и военном использовании горючего.

Человек не может жить без горючего: приготовление пищи, отопление и освещение, машины для фабрик, транспорта и связи — все это требует горючего в той или иной форме. Большинство орудий войны, начиная с примитивного копья, брошенного за счет поглощаемой с пищей энергии, и кончая современными снарядами, выбрасываемыми раскаленными газами, требует горючего.

Фиг. 157. На первом рисунке представлена химическая реакция С + О₂ —> СО₂. На других рисунках представлены некоторые ядерные превращения.

Сегодня почти все наше горючее черпается из лучей Солнца, упавших давно или падающих в настоящее время. Мы быстро тратим наши запасы солнечного света, и нашим пра-пра-пра… правнукам придется жить на то, что они сами заработают, т. е. на доходы, а не на проценты от капитала. Уже сейчас уровень цивилизации в существенной степени определяется запасами горючего; открытие новых его источников или потеря старых может способствовать или, наоборот, затруднять жизнь нации. Там, где запасы 500 нефти истощаются или уходят к другому потребителю, там, где дорожает уголь из-за естественного требования шахтеров улучшить их жизненный уровень, там, где улучшение условий жизни всего народа требует больших затрат горючего для отопления и для работы машинного оборудования, люди заинтересованы в открытии новых источников полезной энергии: они ищут новые залежи угля и нефти, строят новые плотины, ветряные двигатели и мечтают использовать ядерную энергию. В далеком будущем из-за роста населения людям, по-видимому, будет угрожать голод из-за истощения источников горючего и свежей воды, если, конечно, человек не научится использовать новые источники, такие, как те, которые в настоящее время обещает дать использование деления и синтеза ядер.

Современный снаряд вылетает из пушки благодаря превращению химической энергии в тепло и может взорваться только за счет дальнейшего мгновенного выделения тепла. И это всё, что представляет собой взрыв: запас потенциальной энергии мгновенно переходит в тепло, сообщая громадную кинетическую энергию всему окружающему: газовым молекулам, осколкам бомбы… поршню автомобиля. При взрыве газ сильно нагревается и благодаря высокой скорости его молекул оказывает высокое давление. Раскаленный сжатый газ давит на окружающий воздух за счет столкновений молекул друг с другом, и его энергия разносится во все стороны сильной волной сжатия — это и есть та звуковая волна взрыва, которая при мощном взрыве приносит большие разрушения.

Запас любого вида энергии, способной выделиться мгновенно, может дать взрыв: сжатый газ в воздушном пистолете или бутылка содовой (кинетическая энергия движения молекул); хлопок в ладоши (кинетическая энергия); бензин с кислородом, порох и динамит (химическая энергия). Взрывчатое вещество не всегда взрывается — углекислый газ может просочиться под крышкой бутылки, насыпанный в кучку порох может сгореть совершенно спокойно. Чтобы происходил взрыв, энергия должна освобождаться быстро: длинная цепь маленьких взрывов способна создать лишь фейерверк. Кроме того, энергия должна выделиться в малом объеме. Именно тогда возникает резкий толчок взрывной волны, а не просто столб дыма. Поэтому бомба должна быть сделана из компактного материала, причем при взрыве горение должно быстро распространяться по всему веществу: один кусок горящего вещества должен поджигать другой, этот — следующий и т. д. Но такая стационарная цепная реакция[168] горения дала бы слабый взрыв. В развивающейся цепной реакции воспламенение должно быстро нарастать, что произойдет, если один кусок воспламеняющегося вещества будет поджигать несколько соседних, а каждый из них — несколько других.

Для иллюстрации возьмите обойму бумажных спичек и подожгите крайнюю из них. Вдоль обоймы пойдет стационарная цепная реакция. Возьмите теперь большой коробок спичек или сложите вместе несколько обойм бумажных спичек и подожгите одну из них. Получится развивающаяся цепная реакция.

Разумеется, скорость цепной реакции не может расти до бесконечности, так как для этого не хватит материала. Она будет расти до некоторой максимальной величины, а затем ее рост оборвется из-за отсутствия вещества.

Деление и захват нейтронов.

При делении образуются очень быстрые нейтроны с кинетической энергией ~1 Мэв. Прежде чем замедлиться до «тепловых» скоростей и иметь энергию, равную средней кинетической энергии соседних атомов, они проходят свыше десятка сантиметров в окружающем уране. Для того чтобы понять устройство ядерной бомбы и ядерного реактора, необходимо знать, как зависит от скорости нейтрона вероятность его захвата ядром урана.

Атомная бомба. Получение U^235.

Чтобы изготовить атомную бомбу, необходимо было выделить чистый U²³⁵ из естественного U²³⁸, иначе последний, захватывая нейтроны, мешал бы цепной реакции. Разделение казалось безнадежным делом, так как тот и другой уран являются атомами одного и того же элемента и, следовательно, обладают одинаковыми химическими свойствами. Были известны физические методы разделения изотопов (например, диффузионный метод разделения газов), но могли ли они быть использованы в широком масштабе, достаточном для производства необходимого для бомбы материала? (Подробности о методах, которые пытались тогда применять, о трудностях и успехах можно найти в книгах об «атомной энергии»[169]. Один из успешных методов состоит в том, что пары гексафлуорида урана заставляют диффундировать через перегородку с очень мелкими порами. Молекулы с U²³⁵ обладают большими скоростями, чем молекулы с U²³⁸, поэтому они проскакивают через поры быстрее. Одна стадия диффузии дает лишь слабое разделение. За тысячи же стадий — цикл за циклом, при экономном возвращении в циклы «выжатых» фракций, удается получить поток достаточно чистого U²³⁵. (См. диаграммы в гл. 25, задачу 11 в гл. 25 и задачу 3 в гл. 30.)

Другой метод состоит в использовании установки, напоминающей масс-спектрограф огромного размера. На такой установке вначале получают ионы урана, затем ускоряют их до нужной энергии в электрическом поле и закручивают их траектории с помощью сильного однородного магнитного поля. Ионы описывают орбиты в форме полукруга, один конец которого выходит из жерла ионной пушки, другой упирается в маленький стакан для сбора ионов.

Фиг. 158. Иллюстрация цепной реакции на модели «буквенной цепи».

_{Эта модель состоит в том, что читатель посылает в три адреса сообщение с одной буквой, прося каждого адресата в свою очередь послать в новые три адреса по букве, а — развивающаяся цепная реакция. Скорость такой реакции зависит от числа букв, посланных на каждой стадии. Скорость реакции быстро возрастает, и реакция носит «взрывной» характер. (Это модель бомбы.) б — стационарная цепная реакция. В данном случае скорость реакции на всех стадиях постоянна. (Это модель реактора, работающего в стационарном режиме.) (Рисунки заимствованы из книги К. Мендельсона «Что такое атомная энергия?», опубликованной Мартином, Зеккером и Варбургом в Лондоне, рисунки Виктора Рейнганума и автора книги.).}

Ионы U²³⁵, как более легкие, описывают полукруг меньшего радиуса и собираются в отдельный стакан. В расчете на единицу выхода эта схема более дорогая, но с ее помощью, по-видимому, получали наиболее чистые образцы, необходимые для первых экспериментов. Та же установка может быть использована для разделения других, необходимых для исследования изотопов, например продуктов деления.

Ясно, что, когда военным властям предложат новую взрывчатку, они зададут очевидный вопрос: «Вы уверены, что она сработает? А нельзя ли попробовать взорвать маленький образец?» В данном случае на оба эти вопроса ученые ответили: «Нет». Они добавили: «Мы надеемся, что она сработает, и наша надежда основана на прочной теории. Мы знаем, что маленькая бомба не сработает». Причина, по которой они настаивали именно на большой бомбе, заключалась в следующем: при каждом делении урана испускается лишь несколько нейтронов, и их легко потерять.

Для того чтобы выделение энергии в цепной реакции происходило со взрывом, эти нейтроны должны способствовать новому делению. Они не должны поглощаться другими атомами, такими, как U²³⁸, но и не должны быть потеряны. А потерять нейтрон очень легко — ведь он так ловко проскакивает через вещество. Из маленькой бомбы нейтроны, возникшие при делении, все выскочили бы, и попытки взорвать ее окончились бы неудачей. В очень большой бомбе, содержащей кусок U²³⁵, нейтроны деления сновали бы между атомами урана до тех пор, пока не столкнулись бы с ними и не вызвали новые акты деления.

Бомба небольшого размера не может взорваться, большая — обязана. Между этими двумя предельными размерами существует определенный «критический размер», такой, что кусок U²³⁵, меньший критического размера, не взорвется, а больший — взорвется. Критический размер составляет всего несколько кубических сантиметров, а вес — лишь несколько килограммов: уран настолько тяжел, что его 1 см³ весит около 0,02 кг. Критический размер считался военным секретом, но, зная «размеры» ядер[170], можно было легко догадаться, каков он. Теперь, когда хорошо известны площади мишеней — ядер U²³⁵ по отношению к захвату нейтронов (поперечные сечения захвата нейтронов), критический размер может вычислить любой достаточно образованный физик-теоретик любой страны.

Фиг. 159. Деление урана: цепная реакция.

_{Рисунки весьма схематичны. Клетка с надписью «деление» обозначает именно это событие. Нейтроны, возникающие при делении, разлетаются во все стороны. На рисунке же они показаны вылетающими вперед, чтобы показать последовательные стадии процесса размножения.}

Для взрыва обычной бомбы необходим взрыватель или детонатор. В случае атомной бомбы дело обстоит иначе. Большая бомба взорвется сразу, как только случайные нейтроны, всегда присутствующие в космических лучах (или возникающие при спонтанном делении), вызовут в ней хотя бы одно деление. Следовательно, бомбу необходимо изготовлять из кусков, каждый из которых имеет размер, меньший критического, и не может взорваться самопроизвольно. Далее эти куски необходимо соединить быстро, настолько, чтобы бомба не успела взорваться раньше, чем она будет полностью собрана. Нужно взять, скажем, два куска U²³⁵, каждый размером ³/₄ критического, и мгновенно стукнуть их друг о друга так, чтобы получился кусок в 1 1 ¹/₂ критического размера, который бы после этого взорвался. Это можно сделать быстро, скажем, выстрелив из маленькой пушки одним куском урана по другому. Как это делается в действительности, — наверно, военный секрет. Самый же главный «секрет»[171] — то, что это вообще можно сделать, — был разглашен самим взрывом атомных бомб.

При взрыве атомной бомбы массой порядка 2,5 кг урана рассеивается много неподелившегося материала. Поэтому нельзя оценить всю выделившуюся энергию, считая, что каждый атом U²³⁵ дает 200 Мэв. Но даже с поправкой на неполное использование материала и на утечку нейтронов энергия, выделяющаяся при взрыве бомбы, огромна. Выделение энергии (кинетической энергии осколков деления) настолько велико, что взрыв сопровождается мощным потоком все испепеляющего излучения и сильнейшей ударной волной сжатия. Продукты деления, избыточные нейтроны[172] и гамма-лучи способны производить сильные и глубокие радиационные повреждения.

Фиг. 160. Принцип устройства атомной бомбы. (Весьма схематическое изображение.).

_{А — в куске делящегося материала, например U²³⁵, размер которого меньше критического, цепная реакция не может развиваться из-за утечки нейтронов; б — кусок делящегося материала с размером больше критического можно составить из более мелких кусков. В большом «блоке» цепная реакция, начавшись, будет нарастать взрывным образом. В разгоняющейся цепной реакции нейтроны, возникающие в каком-либо делении, дают более чем одно новое деление. Однако имеет место утечка большого числа нейтронов.}

Реакторы. Производство плутония.

После открытия деления была прослежена судьба поглотившего один нейтрон атома U^238[173]. Новое ядро, U²³⁹, нестабильно, оно излучает β-лучи и скоро превращается в атом неизвестного элемента, стоящего за ураном в периодической системе элементов. Ядро ₉₂U²³⁹ излучает β-лучи и становится ₉₃?²³⁹. Новый элемент тоже нестабилен. Он, излучая β-лучи, превращается в другой неизвестный элемент. По аналогии с планетами следующие за ураном новые элементы были названы нептунием и плутонием.

₀n¹ + ₉₂U²³⁸ —> ₉₂U²³⁹ —> _-1e⁰ + ₉₃Np²³⁹ —> _-1e⁰ + ₉₄Pu²³⁹.

Из теории, достаточно хорошо описывающей свойства ядер, следовало, что плутоний должен так же хорошо делиться, как и U²³⁵. Опыты по бомбардировке крошечных образцов на циклотроне подтвердили это. Таким образом, возможен новый материал для бомбы, причем гораздо более просто получаемый. Плутоний отличается по своим химическим свойствам от урана, поэтому его можно отделять химическим способом.

Это был новый элемент, ранее неизвестный, получаемый в ничтожном количестве на циклотроне: зачастую всего лишь несколько атомов. Нельзя ли получить его в большом количестве для изготовления бомбы? Когда нейтроны простреливают толстый блок естественного урана, они почти все поглощаются атомами U²³⁸, рано или поздно давая плутоний. Но где взять громадное количество необходимых для этого нейтронов? От делящегося U²³⁵.

При делении возникают очень быстрые нейтроны, которые скоро замедляются, сталкиваясь с окружающими ядрами. К сожалению, ядра U²³⁸ настолько сильно поглощают нейтроны промежуточной энергии, что для начала деления U²³⁵ и тем самым для поддержания потока нейтронов не осталось бы ни одного нейтрона. Медленные нейтроны, наоборот, легко поглощаются U²³⁵, вызывая его деление. Так что задача состояла в том, чтобы замедлить нейтроны и не дать им всем успеть поглотиться в случае, когда они имеют промежуточную скорость. Тогда была предложена и опробована следующая схема, приведшая в конце концов к успеху.

Большие блоки урана (U²³⁵ и U²³⁸ в природной смеси) помещались в огромный реактор, заполненный каким-нибудь легким элементом, действовавшим как замедлитель. В замедлителе нейтроны тормозились, не поглощаясь, благодаря (редким) упругим столкновениям с его ядрами, в каждом из которых терялась малая доля их энергии. Вода была бы идеальным замедлителем, если бы входящий в ее состав водород не имел тенденции захватывать нейтроны, превращаясь в «тяжелый водород» — дейтерий. Сам дейтерий тяжелой воды тоже был бы хорошим замедлителем, но отделение тяжелой воды от обычной стоит дорого. Довольно хорошим замедлителем является чистый углерод, ядра которого только в 12 раз тяжелее нейтрона. (В лобовом соударении нейтрон теряет 15 % своей кинетической энергии.) Вылетевшие при делении U²³⁵ нейтроны блуждают по урану и замедлителю до тех пор, пока они не замедлятся до скоростей молекул газа, находящегося при комнатной температуре, т. е. до «тепловых энергий», составляющих примерно ¹/₃₀ эв. Тогда с большей вероятностью они поглощаются U²³⁵ (и вызывают новое деление), чем U²³⁸. Атомов U²³⁸ гораздо больше, но они захватывают нейтроны промежуточных скоростей и очень слабо — медленные нейтроны.

Фиг. 161. Получение плутония.

_{А — уран и нейтроны. Время от времени быстрый нейтрон захватывается ядром U²³⁸, причем последнее становится более тяжелым ядром урана. Это ядро нестабильно (радиоактивно), оно излучает β-лучи. Так как такое ядро урана перенасыщено нейтронами, оно заставляет один из его нейтронов превратиться в протон, причем возникающий + заряд компенсируется — зарядом, уносимым β-лучом. Новое ядро имеет заряд +93 е, т. е. оно является ядром нового элемента, на одну клетку отстоящего от урана в периодической системе элементов. Этот элемент называется нептунием; б — ядро атома нептуния нестабильно. Оно излучает β-лучи, превращаясь в ядро плутония. Плутоний от урана можно отделить химическим путем; в — плутоний, как и U²³⁵, является делящимся материалом. Кроме того, он нестабилен, так же как уран или радий, и, излучая α-частицу, превращается в U²³⁵.}

При определенном соотношении между урановыми блоками и окружающим замедлителем в таком реакторе нейтроны ведут себя следующим образом: один из нейтронов, возникающих при каждом делении U²³⁵, замедляется, а затем осуществляет новое деление U²³⁵. Остальные нейтроны, вылетающие при делении U²³⁵, как быстрые, так и медленные, захватываются атомами U²³⁸ и ведут к образованию плутония.

Подобно бомбе, самоподдерживающийся реактор должен обладать размером больше некоторого критического, иначе из него будет выходить слишком много нейтронов[174].

Фиг. 162. Реактор; нейтроны в «ядерном котле» из урановых блоков, окруженных замедлителем.

_{(Прямыми отрезками показан путь нейтронов между отдельными столкновениями. Различная, толщина отрезков характеризует величину скорости нейтрона.) а — нейтрон вызывает деление, в результате которого возникают 3 нейтрона; б — нейтрон вызывает деление; один из образовавшихся 3 нейтронов вызывает новое деление. Другой поглощается ядром U²³⁸.}

Критический размер для реактора на естественном уране с графитовым замедлителем равен примерно размерам коттеджа, даже если он окружен отражателем нейтронов из тяжелого металла. Непрерывно «сгорая», U²³⁵ дает не только нейтроны, но колоссальный поток тепла, за счет осколков деления. Для охлаждения реактора необходимы громадные вентиляторы или целые реки воды. Тепло можно использовать для производства полезной энергии в большом масштабе. При этом, однако, возникает серьезная проблема защиты от радиоактивности.

Чтобы получить плутоний, необходимо извлечь уран из реактора, растворить его и химическим путем отделить плутоний от неиспользованного урана и продуктов деления. Так как такая смесь обладает высокой радиоактивностью, это разделение должно производиться на расстоянии. Полученный плутоний служит материалом для изготовления атомных бомб или компактных реакторов, используемых в качестве источников тепловой энергии.

Открытие плутония — выдающееся достижение. Человек сумел получить доселе не известный элемент, причем не в количестве одного-двух атомов, а сотни граммов.

Фиг. 163. Схематическое изображение, дающее общее представление о процессе получения плутония.

Фиг. 164. Реактор (схематический вид).

_{А — в «ядерном котле», состоящем из урановых блоков, помещенных в графитовый замедлитель, и окруженном защитной оболочкой, охлаждающей воде сообщается громадное количество тепла. При делении U²³⁵ возникают осколки деления, выделяются тепло и нейтроны. Один из нейтронов деления вызывает новое деление, додерживая цепную реакцию на стационарном уровне. Другие нейтроны теряются из-за утечки либо поглощаются U²³⁸, который в результате последовательных двух превращений становится плутонием. Затем урановые блоки извлекаются и подвергаются химической обработке, выполняемой на расстоянии с помощью манипуляторов, с целью отделить плутоний и продукты деления от «несгоревшего» урана; б — реактор для получения радиоактивных атомов. Внутри защитной оболочки находится газ нейтронов, движущихся подобно молекулам сквозь графитовый замедлитель и урановые блоки. Образец, помещенный в такой «нейтронный газ», подвергается обстрелу большого числа нейтронов, в результате чего некоторые из атомов превращаются в другие атомы, среди которых могут оказаться радиоактивные. Пучок нейтронов, выходящий через отверстие в оболочке реактора, также можно использовать для облучения образцов.}

Использование нейтронов в реакторах.

Успешное использование реакторов зависит от числа нейтронов, возникающих при одном акте деления U²³⁵. Этих нейтронов не слишком много, но достаточно, чтобы мог работать крупный реактор. При делении возникает иногда 1 нейтрон, иногда 3, иногда больше. В среднем на одно деление U²³⁵ приходится около 2,5 нейтрона. Эта величина имеет очень важное экономическое значение. Если бы это число равнялось 1,00 или меньше, цепная реакция была бы невозможна. Но если бы оно было во много раз больше, скажем 10, цепная реакция развивалась бы легко и критический размер был бы мал.

Из среднего числа нейтронов деления, равного 2,5, один нейтрон может вызвать новое деление, а один или два нейтрона могут:

А) избегнув захвата, выйти из реактора или поглотиться, не дав никакого выхода;

Б) вызвать новое деление и, следовательно, способствовать развитию взрывной цепной реакции;

В) образовать новое делящееся ядро, например поглотиться в U²³⁸, которое затем превращается в ядро плутония.

Реакторы с расширенным воспроизводством ядерного горючего (бридерные реакторы).

Грамотно сделанный реактор должен быть достаточно велик по размерам, чтобы утечка нейтронов была мала, и изготовлен из материалов, поглощение нейтронов в которых не проходит даром. В таком реакторе может быть столько нейтронов деления, что число образующихся атомов плутония больше числа делящихся атомов U²³⁵. Это так называемый «реактор с расширенным воспроизводством горючего», т. е. реактор, в котором образуется больше нового делящегося вещества (из U²³⁸), чем сгорает U²³⁵, или плутония.

Так же как и в других реакторах, в рассматриваемом реакторе выделяется громадное количество тепла: акты деления происходят непрерывно, с постоянной скоростью, причем в каждом выделяется около 200 Мэв. Это тепло отводится циркулирующим потоком жидкости или газа, и реактор может служить источником полезной энергии.

Будущее ядерной энергетики.

Можно знать, как нужно облучать стабильный атом маленькими снарядами, такими, как нейтрон, чтобы получить нестабильное ядро. Но отсюда совсем неясно, какая при этом выделится энергия. Тем не менее величину выделяемой энергии в ядерных событиях можно предсказывать на основании точных масс-спектрографических измерений масс. Для этого нужно воспользоваться соотношением Е = mс². Если известно, на какие продукты распадается ядро лития при бомбардировке, энерговыделение можно вычислить по измеренным массам. Аналогично, если известно, на какие продукты делится ядро U²³⁵, можно предсказать величину выделяемой энергии. Более того, можно четко указать, при делении каких элементов энергия будет выделяться.

Считается, что ядро состоит из протонов и нейтронов, которые объединяются общим названием нуклоны. Представим себе процесс образования ядра из отдельных нуклонов. При сближении нуклоны должны притягиваться друг к другу и, образуя ядро, должны отдать часть своей энергии. При этом они оказываются тесно связанными, так что для того, чтобы оторвать их снова друг от друга, необходимо затратить определенную энергию. Поскольку нейтроны при объединении отдают часть своей энергии, получающееся ядро обладает несколько меньшей массой. Если бы при упаковке в ядро нуклоны не притягивали друг друга с большой силой, масса ядра была бы равна сумме масс образующих его нуклонов. В качестве примера рассмотрим какое-нибудь ядро, скажем литий. Ядро ₃Li⁷ состоит из 3 протонов и 4 нейтронов. Согласно измерениям (на масс-спектрографе), его масса в атомных единицах равна 7,0165. Масса свободного протона равна 1,0076, а нейтрона 1,0089. Сумма масс.

3∙1,0076 + 4∙1,0089 = 7,0588.

Эта сумма больше истинной массы, равной 7,0165. Поэтому при объединении в ядро Li⁷ нуклоны «потеряли» некую часть своей массы, или, точнее, при этом выделилась энергия, унесшая эту массу с собой. Казалось бы, потеря массы невелика, но она отвечает огромной энергии (45 000 000 эв на одно образовавшееся ядро Li⁷).

Подобный эффект имеет место для любого ядра в периодической системе элементов (кроме Н¹): масса ядра всегда меньше суммы масс составляющих его нуклонов. Поэтому при образовании любого ядра из протонов и нейтронов, а это возможно, должна выделяться огромная энергия. Эта энергия называется энергией связи ядра. Иными словами, энергия связи — это энергия, которую необходимо затратить, чтобы разорвать ядро на отдельные нуклоны.

При объединении в ядро составляющие его нуклоны должны потерять часть своей массы — массу, отвечающую энергии связи.

Фиг. 165. Энергия связи.

_{А — энергия связи равна той энергии, которая выделилась бы, если бы нейтроны и протоны соединить вместе и образовать составное ядро; б — поэтому энергия связи равна той энергии, которую нужно затратить, чтобы ядро разбить на куски; в — энергия связи на нуклон — наибольшая для самых стабильных ядер средних элементов.}

Фиг. 166. Треки осколков деления на фотоснимках в камере Вильсона.

_{На этих снимках осколки деления оставили толстые треки, что свидетельствует о большой величине заряда осколков. Некоторые из треков меньшей толщины созданы протонами, выбитыми нейтронами пучка, другие — а-частицами из урана (J. К. Воggi1d, К. J. Brostrom, Т. Lauritsen, Royal Danish Academy of Arts and Science). Трек осколка деления ядра урана (слева) при облучении нейтронами. Осколок деления, двигавшийся через газовую смесь водорода и водяного пара, выбивал вперед и вбок (короткие следы) протоны, испытав одно сильное столкновение с ядром кислорода (длинный трек).}

Фиг. 167. Треки двух осколков деления ядра урана, выходящие из тонкой металлической пластинки, помещенной посреди камеры.

Фиг. 168. Фотоснимок в камере Вильсона: космические лучи».

_{Частицы космических лучей, проходя сквозь слой плотного вещества над камерой, создают электроны и позитроны (быстрые и медленные), оставляющие след в камере, помещенной в сильное магнитное поле. На снимке видно необычное событие: распад нестабильной частицы (два жирных трека в виде буквы V).}

По измеренным массам атомов можно вычислить энергию связи и, зная ее величину, предсказать величину энергии, которая должна выделиться в том или ином ядерном событии, малая при бомбардировке или большая при делении и синтезе ядер. Однако в силу того, что нам приходится иметь дело с разными ядрами, распадающимися различными путями, подсчет энергии легче производить, если пользоваться массой, приходящейся на один нуклон, т. е. отношением массы всего ядра к полному числу нуклонов. Тогда ясно, что если в каком-либо событии масса на один нуклон уменьшилась, то нуклоны потеряли часть своей массы и, следовательно, при этом выделилась какая-то энергия. Поэтому обычно рисуют очень важный график: масса на один нуклон в зависимости от массового числа для всех элементов. Из этого графика сразу видно, какую массу потерял каждый нуклон при образовании того или иного атома: достаточно сравнить значение массы на один нуклон в этом атоме со средней массой изолированного нуклона — величиной, значение которой лежит где-то между 1,0076 для протона и 1,0089 для нейтрона, скажем 1,0083. Чем ниже точка, отвечающая тому или иному атому на графике, тем больше его энергия связи.

Фиг. 169. Треки в фотоэмульсии.

_{Треки частиц здесь образуют не капельки воды, как в камере Вильсона, а почернение в фотоэмульсии из-за выделившихся частичек серебра. На этом фотоснимке, сильно увеличенном, показана «звезда», или «взрыв» ядра: частица космических лучей столкнулась с одним из ядер фотоэмульсии, вероятно с ядром серебра, и разбила его на 7 протонов, 5 альфа-частиц и несколько тяжелых осколков. Трек первичной частицы не виден.}

Масса на один нуклон вычисляется следующим образом:

МАССА на ОДИН НУКЛОН = МАССА ЯДРА/ЧИСЛО НУКЛОНОВ.

Где.

МАССА ЯДРА = МАССА НЕЙТРАЛЬНОГО АТОМА — МАССА ЕГО ЭЛЕКТРОНОВ.

МАССА АТОМА атома (или, точнее, его ИОНА⁺) измеряется на масс-спектрографе с высокой точностью; она выражается в атомных единицах массы (в этих единицах масса О¹⁶ равна 16,0000); число нуклонов в атомном ядре (протоны + нейтроны) — его массовое число — это масса атома (в атомных единицах массы) («атомный вес»), округленная до ближайшего целого числа.

Для любого атома в периодической системе элементов, равно как и для всех его изотопов, масса ядра (в атомных единицах массы) мало отличается от целого числа. Например:

— масса водорода равна примерно 1, точнее 1,0076.

— масса лития 7,0165.

— масса железа меньше 56, а именно 55,938.

— масса ядра урана 235,068.

Это целое число (1…. 7…. 56…. 235….) означает число нуклонов в ядре, т. е. его массовое число. Разности между атомными (или ядерными) массами и целыми числами показывают различия в энергиях связи — в величине энергии, выделяемой при объединении нуклонов в ядро.

Если массу ядра разделить на число нуклонов, т. е. на массовое число, то получаются величины, которые начинаются с 1,009 для нейтрона и 1,008 для протона, а затем падают по величине до минимального значения, равного 0,9993 для «средних элементов», таких, как железо, медь, бром, криптон, и далее медленно возрастают примерно до 1,0003 в случае урана. Поэтому, если бы тяжелое ядро можно было поделить на два промежуточных ядра, то его нуклоны потеряли бы значительную массу в силу большого выделения энергии. Как это видно из графика от урана к средним элементам, масса на один нуклон падает примерно на 0,001. Для 235 нуклонов в ядре U²³⁵ масса, отвечающая выделенной энергии, была бы равна 235∙0,001, т. е. 0,235 а.е.м. Энергия, отвечающая такой массе, равна 0,235∙931 Мэв, т. е. около 200 Мэв.

Фиг. 170. Кривая «масса, приходящаяся на один нуклон в ядре», в зависимости от массового числа:

_{Масса, приходящаяся на один нуклон = Масса ядра, найденная с помощью масс-спектрографа / Полное число протонов и нейтронов}

Фиг. 170. (продолжение).

Из графика следует, что энергия при делении может выделяться только в случае тяжелых ядер. Ядра средних элементов — самые стабильные: их нуклоны не могут потерять массу, в какую бы сторону ни двигаться на графике: влево или вправо, т. е. они обладают самой большой энергией связи.

Энергия, выделяющаяся при синтезе ядер.

Энергия может выделяться не только при делении, но и при синтезе, т. е. при слиянии легких ядер. Кривая на графике падает от легких ядер к средним, а это значит, что при синтезе должна выделяться энергия. В отличие от деления для синтеза нет необходимости в нейтронах. В этом случае задача состоит в том, чтобы, преодолев электрическое отталкивание, сблизить легкие ядра на достаточно малые расстояния друг от друга, где уже начинают действовать между ними ядерные силы притяжения. Если бы можно было заставить два протона и два нейтрона объединиться в ядро атома гелия — или же четыре протона с соответствующими превращениями, — то при этом выделилась бы огромная энергия.

Заставить сблизиться ядра можно с помощью нагрева до высоких температур, когда в результате обычных столкновений ядра смогут сблизиться на столь малые расстояния, чтобы ядерные силы вступили в игру, и произошел синтез. Начавшись, процесс синтеза, по-видимому, сможет дать такое количество тепла, которое нужно для поддержания высокой температуры, необходимой для дальнейших слияний ядер. При этом получился бы грандиозный фейерверк, размеры которого контролировались бы только количеством необходимого материала. Такой процесс, по-видимому, происходит в горячих звездах. Вероятно, что многостадийный процесс «горения» водорода, в результате которого происходит синтез ядер гелия, является источником непрерывного потока солнечной радиации.

Что касается наших технических возможностей, то синтез ядер обычного водорода требует слишком высоких температур — или же слишком большого времени, за которое успевали бы происходить случайные столкновения необычайной силы, чтобы его можно было использовать. Ядра тяжелого водорода, дейтроны, легче синтезировать, но это также задача исключительной трудности. Лучше использовать тритоны, еще более тяжелые ядра водорода, — для соединения их с ядрами водорода или дейтерия. Однако тритий (сверхтяжелый водород) нужно получать в реакторе, и он дорого стоит.

Нельзя ли использовать еще более тяжелые атомы? Следующими по списку идут изотопы лития, которые могли бы служить материалом для компактной термоядерной бомбы. Вероятно, у такой бомбы запалом должна служить бомба из делящегося вещества. Проблема использования синтеза ядер в мирных целях, например для производства электрической энергии, упирается в очень трудную проблему удержания реакции. Газ должен быть раскален, скажем, до 50 000 000 °C, и любая твердая оболочка, соприкоснувшись с ним, обратится в пар. Если к тому же при синтезе выделяется полезное тепло, то задача удержания реакции еще больше усложняется. Однако можно надеяться удержать реагирующие вещества с помощью электромагнитного поля. Ведь можно же подвешивать в воздухе магнит с помощью других магнитов, хотя такое равновесное положение и является неустойчивым. Если пропускать ток достаточно большой силы через газ, то образуются потоки электронов и положительных ионов, движущихся навстречу друг другу. Под действием магнитного поля, которое окружает ток, такая колонна движущихся зарядов будет сжиматься в узкий шнур. В этом заключается так называемый пинч-эффект. Пинч-эффект и силы, создаваемые внешними магнитными полями, меняющимися по определенному закону, можно использовать для удержания плазмы — смеси быстро движущихся ядер и электронов в «магнитной бутылке», где происходит реакция синтеза.

Глава 44. Дальнейшая теория и эксперимент. Физика сегодня.

«Каждая новая теория… полагает, что она наконец является той счастливой теорией, которая дает «правильный» ответ… Если мы будем знать, что логика, математика, физическая теория являются лишь нашими изобретениями для формулировки в компактной и доступной для обращения форме того, что мы уже знаем, и, подобно всем изобретениям, не достигают полного успеха в том, для чего они были предназначены, и еще меньшего успеха вне области своего первоначального предназначения, и что наша единственная надежда проникнуть с помощью этих изобретений в нечто совсем неизвестное основана на прошлом опыте, почему же иногда мы были настолько удачливы, что смогли продвинуться хоть на короткое расстояние за счет приобретенной инерции?». П. У. Бриджмен, 1936 «Природа физической теории» «В полночном молчании времени снов, Когда вы освобождаете свое воображение…». Роберт Браунинг [Эта последняя глава не столько заканчивает курс, сколько связывает его с будущими самостоятельными исследованиями и чтением литературы. Ее следует читать на досуге, для «души». Она не может полностью снабдить вас всеми современными знаниями в окончательном виде. Вместо этого у вас останутся сомнения и обрывки незаконченного знания — а этим характеризуются границы любой развивающейся науки.].

КЛАССИЧЕСКАЯ ФИЗИКА.

К началу этого века на протяжении жизни примерно сотни (или около этого) поколений человечество создало огромный каркас физической науки:

∙ Статика блоков и тросов, колонн, мостов… правила равновесия. ∙ Динамика движущихся тел, сила и масса, законы движения, энергия и импульс. ∙ Гидростатика насосов, давление воздуха, условия плавучести судов и их остойчивости…, законы давления в жидкости, закон Бойля… ∙ Гидродинамика потоков жидкости как при ламинарном, так и при вихревом движении. ОБЪЕДИНЕНЫ ЗАКОНАМИ НЬЮТОНА. ∙ Электромагнетизм зарядов, токов, магнитов…, полей… ∙ Оптика световых лучей, движущихся по прямой и отклоняющихся под действием линз с образованием изображения, волновое поведение при дифракции и интерференции, электромагнитная теория света. ОБЪЕДИНЕНЫ ЗАКОНАМИ (УРАВНЕНИЯМИ) МАКСВЕЛЛА. ∙ Акустика: физика музыкальных инструментов и звуковые волны. ∙ Теплота: термометрия и калориметрия, теплота как форма энергии. ∙ Свойства вещества: упругость, трение твердых тел и жидкостей, поверхностное натяжение и т. д. ОБЪЕДИНЕНЫ С МЕХАНИКОЙ. ∙ Кинетическая теория газов и рассмотрение теплоты как молекулярного движения (движения молекул). ∙ Поведение атомов и молекул в кристаллических структурах, при поверхностном натяжении, упругость, диффузия. МЕХАНИКА, ПРИМЕНЕННАЯ К СОВОКУПНОСТИ НЕВИДИМЫХ МАЛЫХ ЧАСТИЦ. ∙ Термодинамика: соотношение между теплотой, работой и материей. РАССМАТРИВАЛИСЬ КАК ВСЕОБЩИЕ ПРАВИЛА.

Рядом с физикой в огромную науку о структуре и свойствах молекул развилась химия:

Неорганическая Химия: химические реакции и их характеристики, интерпретируемые в терминах элементов, соединений, атомов и молекул.

Органическая Химия: изучение углеродных соединений, содержащихся в живой материи: почти бесконечное семейство молекул — исследованных, внесенных в каталоги, наглядно изображенных «структурными формулами» и даже синтезированных из элементов, — заключенное в пределах от простой молекулы СО₂ до огромных и сложных протеиновых молекул.

Физическая Химия: изучение физического действия химических процессов: теплота реакции, теплота растворения; измерение массы молекулы по давлению паров, по изменению осмотического давления, по изменению точки замерзания растворов; механика и статистика химических реакций и т. п.

Однако между Физикой и Химией оставался большой разрыв. Химики все шире использовали физические инструменты, но, как ни странно, физики зачастую оставались в стороне и теряли хорошие возможности связать химические превращения и достижения в области физических знаний.

Выделились, сохраняя в то же время сильную связь с физикой и химией, другие науки — астрономия, минералогия и т. п. Во всей физической науке возникли в качестве надежных результатов и критериев определенные всеобщие правила, или Принципы: векторное сложение скоростей, сил и т. п.; галилеевская относительность; ньютоновские законы движения; постоянство массы; сохранение импульса, сохранение энергии; закон тяготения; закон Кулона и содержащие его уравнения Максвелла; трактовка света и др. как электромагнитных волн; неделимость атомов, идентичность всех атомов данного элемента.

Физику, развитую в это время, называют теперь Классической Физикой. Она казалась хорошо понятой, завершенной (за исключением мелких деталей), точной и вполне удовлетворительной. Кое-что из нее было распространено вниз (по масштабной шкале изучаемых объектов) на атомы и молекулы и вверх на солнечную систему в предположении, что там применимы те же самые общие правила и принципы. Физику падающего камня, отскакивающего мяча и т. п. самонадеянно экстраполировали[175] на планеты и молекулы газа.

НОВАЯ ФИЗИКА.

Уверенность и полнота классической физики были опрокинуты в этом реке пятью великими достижениями:

1. С открытием электронов и радиоактивности была обнаружена атомная структура. Атомы можно разрушить, и они даже могут превращаться в другие атомы. Возникла ядерная модель атома.

2. Теория относительности разъяснила некоторые парадоксы и изменила наши представления о пространстве, времени, массе и полях.

3. Было обнаружено, что у света (и всех других видов излучений) энергия упакована в «снаряды», хотя распространяется он подобно волнам. Возникла квантовая теория. Это привело к модели атома Бора, который руководствовался своим принципом соответствия.

4. Было обнаружено, что объекты атомной физики (электроны, ядра…) ведут себя и как волны, и как частицы. Двойственное поведение «волна-частица», таким образом, оказалось свойственным и излучению, и частицам вещества. Это привело к новой теории, «квантовой механике», с важными философскими идеями принципа неопределенности и дополнительности.

5. Было открыто множество новых субатомных частиц: электроны, ядра, нейтроны, мезоны, нейтрино и недавно много других.

Из этих достижений указанное в пункте 1 было описано в предыдущей главе, указанное в пункте 2 — в гл. 31. Достижения, указанные в пунктах 3 и 4, обсуждаются в этой главе. Мы не будем касаться описания новейших частиц, указанных в пункте 5,— экспериментальное и теоретическое наступление на них продолжается, и нам остается с нетерпением ожидать решения существующих сегодня загадок ядерных сил и структуры ядер.

Атомная физика 1890–1915 гг.

В начале этого века «атомная физика» была юной наукой, быстро растущей на базе новых экспериментов с электричеством. Старая наука об электричестве и магнетизме была построена в прошлом веке, обеспечив последовательные знания о зарядах, токах и полях. С практической стороны ученые и инженеры развили — посредством интерполяции — промышленное использование этой науки, создав электромоторы, измерительные приборы, лампы, силовые системы и линии связи. С теоретической стороны экспериментальные законы, объединенные в уравнениях Максвелла, логически привели к предсказанию радиоволн.

На грани веков радиоволны были получены с помощью электричества, хотя еще и не использовались, и было установлено, что свет представляет собой очень короткие радиоволны. Затем, когда картина казалась близкой к завершению, появились новые сведения об атомах и электронах сразу из нескольких различных источников: открытие рентгеновских лучей, радиоактивности, фотоэлектрического эффекта и эмиссии электронов из нагретых металлов; исследования ионов и электронов в разрядных трубках. Оказалось возможным расчленить атомы на положительные ионы и универсальные электроны с доступными измерению свойствами. В начале века была предложена и проверена картина внутренней структуры атомов.

В первой четверти этого века количество знаний об атомах увеличилось, но появились некоторые серьезные парадоксы. Резерфорд предложил хорошую теоретическую модель атома: малое по размерам массивное ядро окружено движущимися электронами подобно крошечной солнечной системе. Электроны все одинаковы, с массой, равной 1/1840 массы атома водорода, и с универсальным зарядом е = —1,6∙10^-19 к. Ядро невероятно мало; его диаметр составляет 1/10 000 А° — атомной единицы длины. Ядра являются носителями положительного заряда, варьирующегося от +е для ядра водорода (протона) до +92 е для ядра урана. Из заряда исходит электрическое поле, убывающее обратно пропорционально квадрату расстояния от заряда. Число Z единиц +e, содержащихся в заряде, дает «атомный номер» элемента и определяет его место в периодической системе химических элементов. Последнее объясняется тем, что Z дает также число электронов, окружающих ядро в нейтральном атоме. Эти электроны, сгруппированные по некоторой схеме в слои, или оболочки, отвечают за химические свойства. Атомы, которые теряют или приобретают электроны, становятся ионами — активными агентами во многих химических процессах. Электрические силы между положительно и отрицательно заряженными ионами связывают некоторые молекулы, например молекулу соли Na⁺—С1^-. В других химических соединениях, наоборот, электроны находятся в совместном владении атомов, вместо того чтобы быть переданными полностью какому-либо атому. Все атомы и молекулы удерживаются электрическими силами. У легчайших атомов (водород, гелий, литий…) их немногочисленные электроны находятся далеко от ядра, в огромной области пространства[176], где действует поле, подчиняющееся закону обратных квадратов. Наиболее тяжелые атомы (золото, уран и т. д.), с числом электронов, близким к сотне, удерживают эти электроны в нескольких слоях. Самые внутренние группы (остающиеся все еще далеко от ядра) сильно связаны электрическим полем большого заряда ядра, и обычные химические действия на них не влияют. Однако их можно разрушить при бомбардировке электронами большой энергии, фотонами рентгеновских лучей и т. п.

Фиг. 171. Атомные картины.

_{А — атом Резерфорда; б — модели атома Бора; в — ионы в кристалле соли.}

Только самые внешние группы электронов участвуют в химических превращениях. Для этих электронов притяжение к ядру в значительной степени нейтрализовано отталкиванием от более внутренних электронов, оказывающих «экранирующее» действие. Поэтому самые внешние электроны слабо связаны и легко обмениваются или обобществляются, создавая силы, объединяющие атомы в химических соединениях, и поля, которые запасают «химическую энергию». Данные химии наводят на мысль о том, что только несколько электронов принадлежит к этой наиболее внешней группе, и более поздняя теория Бора в деталях подтвердила картину: один электрон в водороде, натрии, калии и других металлах, которые, теряя его, образуют положительно заряженные ионы («+» ионы); 2 в меди и других металлах, которые образуют «++» ионы; 3 — в алюминии… В хлоре самая внешняя группа содержит 7 электронов и может захватить еще один, чтобы образовать компактную стабильную группу из восьми электронов и превратить атом в ион С1^-, электронная структура которого подобна структуре нейтрального атома аргона. (Именно поэтому натрий так легко соединяется с хлором, образуя соль, в которой атомы остаются ионизованными даже в твердом кристалле.) Кроме этих предположений, следующих из данных химии, ясной схемы пространственного распределения электронов не было. И фордовская модель оставляла нерешенным неприятный парадокс: вращающиеся по окружности электроны должны были бы излучать электромагнитные волны[177] и двигаться по свертывающейся спирали все быстрее и быстрее — инфракрасный свет, затем красный, зеленый…, ультрафиолет…, рентгеновские лучи…, — что привело бы к быстрому разрушению атома. Ясно, что на самом деле атомы не разрушаются подобным образом. Мы не видим таких «сгорающих» атомов, а, напротив, обнаруживаем, что они стабильны. Почему?

Кое-что было известно о структуре самих ядер. Радиоактивные элементы испускают α-, β- и улучи с такой энергией, которая свидетельствует об их ядерном происхождении. Масс-спектрографы показали, что ядерные массы представляются почти целыми числами, умноженными на массу протона. Поэтому теории ядерной структуры исходили из представления о компактной группе протонов и электронов, удерживаемых вместе специальными силами. Теперь мы видим, что модель была неудобной: электроны настолько легки, что их длина волны слишком велика для того, чтобы поместиться внутри измеренных предельных размеров ядра. Кроме того, существовала проблема сохранения спина. С открытием нейтрона были предложены более подходящие компоненты ядер. Теперь стали считать, что они состоят из протонов и нейтронов[178], каким-то образом очень сильно связанных.

При распаде радиоактивного атома выделяется огромное количество энергии, которое можно точно измерить. Но для данного одиночного радиоактивного атома нельзя предсказать точно время, которое он проживет до распада. Мы можем указать только вероятностную величину, такую, как период полураспада для большого количества атомов. Понаблюдайте за счетчиком Гейгера, регистрирующим альфа-частицу, — вы увидите, что альфа- частицы появляются в произвольные моменты времени совершенно случайно, подобно каплям дождя на жестяной крыше. К началу 1900-х годов физики уже обращались к статистической точке зрения по другим поводам. Она была хорошо проверена в кинетической теории, где было видно, что регулярные характеристики и свойства, такие, как постоянное давление газа, устойчивый поток газа…, закон Бойля…, являются статистическими средними, характеризующими огромное скопление молекул. Теперь оказалось, что вероятность определяет распад радиоактивных ядер, бегство альфа-частиц из ядерной толчеи. Каким образом большинство ядер постоянно остается в виде целого, в то время как другие взрываются совершенно случайно? Этот вопрос адресован новой точке зрения, новой теории.

Относительность, 1905 г.

Тем временем была развита и принята на вооружение теория относительности. С философской стороны она проповедовалась как реформирующее учение: нельзя наделять картину природы деталями, которые нельзя проверить. Нельзя даже задавать вопросы, которые предполагают существование таких деталей. (Например, нельзя наделять электроны ненаблюдаемыми свойствами, спрашивая, какого они цвета, или изображая для них отчетливые орбиты.) С собственно физической стороны теория относительности предсказала различные эффекты и явления, наблюдаемые в опытах с движущимися объектами. Вот некоторые из них:

I. Покоящийся (или движущийся мимо объекта) наблюдатель обнаружит у движущегося объекта увеличенную массу m, большую, чем его «масса покоя» m₀. Эта масса m будет расти с увеличением скорости, стремясь к бесконечности при приближении скорости объекта к скорости света. Следовательно, никакие материальные объекты нельзя ускорить настолько, чтобы они двигались быстрее света, поскольку для этого потребовалась бы бесконечная сила.

II. С любого вида энергией связана масса, величина которой равна энергии, деленной на квадрат скорости света: m = Е/с².

III. Следует считать, что любое тело массы m обладает полной энергией mс². (Эта величина включает кинетическую энергию тела и его «энергию покоя» m₀с², связанную с его внутренней структурой.).

IV. Прошедшее, настоящее и будущее не всегда абсолютно разделены. Движущиеся по-разному наблюдатели будут делать разные заключения о некоторых событиях (далеко разделенных в пространстве или очень близких во времени). Один наблюдатель может обнаружить, что события Р и Q произошли одновременно, другой наблюдатель, движущийся с иной скоростью, может увидеть, что Q произошло раньше Р, а третий наблюдатель знает, что Р произошло раньше Q. Таким образом, теория относительности предостерегает нас от самоуверенного обращения с причиной и следствием[179].

V. Все наблюдатели, как бы они ни двигались, при измерении получат одну и ту же величину скорости света — движение к источнику или от него никак не повлияет на результат измерения. Это было исходным предположением, из которого были выведены правила теории относительности. Теперь мы обобщим его в более широкое требование ко всем измерениям, а именно: ВСЕ ЗАКОНЫ ФИЗИКИ ИМЕЮТ ОДИНАКОВУЮ ФОРМУ ДЛЯ ВСЕХ НАБЛЮДАТЕЛЕЙ, НЕЗАВИСИМО ОТ ИХ ДВИЖЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИСХОДЯЩЕГО В ПРИРОДЕ СОБЫТИЯ[180].

Модели.

В начале этого века стало выясняться, что при построении «моделей» природы, будь то крошечные атомы или огромные звездные галактики, были сделаны очень далеко идущие предположения. Зная правила, выведенные из экспериментов, масштаб которых сравним с размерами человека[181], мы рискнули предположить, что они справедливы для атомов. Мы применили макроскопическую физику к микроскопической природе. Мы интерпретировали микроскопическую природу на языке макроскопических механизмов — ускоряющихся платформ, летающих бейсбольных мячей и т. п. До тех пор, пока модель была плодотворной — давала понятную интерпретацию результатов предложенных экспериментов и подтверждалась результатами различных опытов, — она была хорошей. Но после предупреждения теории относительности, прозвонившего ученым прямо в уши, они стали гораздо более осторожными в высказываниях о справедливости своих моделей. Их студенты были склонны считать, что модель объясняет причину, но наиболее мыслящие из них не раз останавливались при попытке объяснить почему («мы знаем из нашей модели, что это происходит потому, что…»), предпочитая говорить, что («в рамках нашей модели это выглядит подобно… и, возможно, мы увидели бы в эксперименте, будет ли…»). Это старый урок, никогда полностью не выученный — если бы это случилось, ученые впали бы из легковерного восхваления в сверхосторожное отрицание, — но уроку предстоит повторяться снова и снова. Как хорошему ученому вам следует быть подозрительным в отношении моделей. Но вы не должны рассматривать модели как нечто детское. Они играют важную роль в методах, которыми пользуется человеческий ум для познания и обучения. Когда наши чувства сообщают нам что-либо совершенно новое, мы прежде всего мысленно стремимся найти что-нибудь известное, что напоминает нам это новое. Мы очень прочно прикрепляем к новым вещам старые известные ярлыки и очень медленно склоняемся к новым взглядам[182]. Даже те способные современные ученые, которые наиболее громко призывают к операционалистским методам — «описывать все в терминах методов наблюдения», — оставляют свое воображение свободным для моделей, когда они размышляют о новых разработках.

РАЗВИТИЕ КВАНТОВЫХ ИДЕЙ, 1900–1915 гг.

Традиционные модели в нескольких областях физики были опровергнуты открытиями, указывающими на странные свойства света и других видов излучений: «порции» энергии. Когда уже казалось установленным, что свет представляет собой электромагнитные волны, в экспериментах стали обнаруживать, что он также состоит из определенных малых порций энергии, подобных частицам. Это квантовое[183] представление возникло из нескольких парадоксальных противоречий между экспериментами и классической теорией[184].

Оно разрешает конфликты одним правилом, модифицирующим классическую физику: Любой обмен энергией между веществом и излучением происходит лишь определенными порциями энергии, «квантами». Для каждой порции или кванта.

ЭНЕРГИЯ = (УНИВЕРСАЛЬНАЯ ПОСТОЯННАЯ, h)∙(ЧАСТОТА ИЗЛУЧЕНИЯ).

Таким образом, дискретны не только вещество и заряды, поделенные на части в виде атомов и электронных зарядов, но в определенных важных обстоятельствах дискретна также и энергия. Наименьшей величины (атомной единицы) энергии не существует, но (для определенных форм энергии) у величины отношения энергии к частоте имеется универсальный «атом», или единица, h. Это квантовое ограничение выглядит безобидным — особенно для читателей, слышавших об этом раньше, — но оно вступает в противоречие с ньютоновской механикой, если ее применять к молекулам, атомам, электронам…:

1) Раскалите добела кусок черного металла так, чтобы он испускал интенсивный поток излучения: ультрафиолет + видимый свет + инфракрасное излучение + радиоволны. Общие соображения, основанные на ньютоновской механике, предсказывают, что больше всего энергии будет излучаться в области ультрафиолета (самая короткая длина волны, наибольшая частота). Но на самом деле это неверно. Термоэлемент, измеряющий интенсивность излучения, показывает, что максимум потока энергии приходится на середину спектра. Это противоречие было известно в 1900 г. и впервые привело к предположению о существовании квантового ограничения. При наложении этого ограничения механическая теория предсказывает наблюдаемый спектр.

2) Нагревайте твердый образец или газ и измеряйте удельную теплоемкость при различных температурах. Ньютоновская физика предсказывает, что при неизменных прочих условиях удельная теплоемкость остается постоянной, не зависит от температуры. Неверно. Измеренная величина удельной теплоемкости при изменении температуры от очень низкой до очень высокой растет от очень малой величины до величины, предсказываемой классической физикой. Квантовое ограничение предсказывает это (см. гл. 30).

3) Попадая на поверхность металла, свет может вырвать оттуда электроны. По классической механике мы представили бы, что приходящие на поверхность световые волны все сильней и сильней раскачивают электрон, «привязанный» к атому металла, до тех пор пока электрон не оторвется на свободу. С этой точки зрения, чтобы достаточно сильно раскачать электрон слабым светом, всегда необходима длительная выдержка; кроме того, очень сильный свет (большой интенсивности) может выбрасывать электроны с большей энергией. Неверно. Независимо от того, тусклый свет или яркий, электроны вылетают с одной и той же полной энергией. Этот «фотоэлектрический эффект» оказался легко поддающимся объяснению и расчету после того, как Эйнштейн предположил, что энергия света упакована в «снаряды», порции.

4) Определенные экспериментальные свойства спектров кажутся странными с точки зрения классической физики. В последнем столетии были измерены и выражены простыми формулами интервалы между яркими линиями в спектре горящих газов. Классически их нельзя «объяснить». Аналогичные закономерности проявляются в крайней коротковолновой части спектров рентгеновских лучей. Бор показал, каким образом квантовая теория может дать хорошее объяснение этим фактам и обеспечить широкую область для дальнейшей интерпретации.

В следующих разделах — более детально обсуждаются все эти вопросы, при решении которых были сформированы основы квантовой теории.

Спектр белого света.

Раскалите добела кусок черного металла и проанализируйте его излучение. Еще лучше, разогрейте печку и позвольте излучению выходить через дырку в ее стенке. Вспомните, что хороший поглотитель должен быть и хорошим излучателем [гл. 26, задача 23, и гл. 4, опыты 6, ж) и з)]. Самый лучший излучатель — это абсолютно черное тело. Дырка в ящике является хорошим поглотителем: все, что попадает внутрь, будет отражаться там от стенки к стенке до тех пор, пока совсем не поглотится, — никакая черная краска на собачьей конуре не выглядит чернее открытой для собаки дверцы. Поэтому дырка должна быть абсолютным излучателем. Внутри печки излучение должно содержать полный набор волн, типичный для излучения «черного тела», а весь комплект содержащегося внутри набора выходит через дырку. Разложите излучение в спектр с помощью дифракционной решетки и измерьте с помощью зачерненного термоэлемента поток энергии в различных областях. График на фиг. 173 показывает результаты такого эксперимента.

Вспомните, что решетка разделяет свет на составляющие по длинам волн, и это разделение показывает, что у красного света длина волны примерно вдвое больше, чем у голубого. Простую гармоническую волну характеризуют три величины: I) длина волны, λ — расстояние от одного гребня до другого; II) частота f — число полных длин волн, прошедших мимо наблюдателя в секунду, или число колебаний источника в секунду, или число колебаний любого датчика (в секунду), на который, проходя мимо него, действует волна; III) скорость v, с которой перемещается профиль волны. За 1 сек профиль волны смещается на расстояние v, а мимо исходной точки проходит f таких профилей длиной λ. Следовательно, v = f∙λ. СКОРОСТЬ = ЧАСТОТА ∙ (ДЛИНА ВОЛНЫ). Для любой периодической волны. Для света в воздухе или вакууме и— универсальная величина 3∙10⁸ м/сек, которую мы обозначаем буквой с. Обозначим еще частоту через v вместо f (v — буква греческого алфавита, аналогичная русской «н», читается «ню»). Тогда c = v∙λ, и частота v = c/λ. Поскольку с — постоянная, частота обратно пропорциональна длине волны. Чем меньше длина волны, тем больше частота. Приведенная ниже таблица грубо показывает некоторые значения этих величин.

Фиг. 173. Энергетический спектр излучения.

_{А — экспериментальное устройство; б — детали термопары; в — дырка — превосходный излучатель типа «черного тела».}

Обратимся к теории и посмотрим, что она предсказывает для такого графика, если исходить из знания других отраслей физики.

Надежные термодинамические аргументы приводят к некоторым вполне определенным предсказаниям о полном излучении «черного тела» при различных температурах:

1. Закон Стефана:

(ПОЛНЫЙ ПОТОК ЭНЕРГИИ во всем спектре) ~ (АБСОЛЮТНАЯ ТЕМПЕРАТУРА ИЗЛУЧАТЕЛЯ)^4.

Или.

E ~ T^4.

2. Закон Вина:

Длина волны λ_макс, на которую приходится максимум графика, показывающего зависимость энергии излучения от длины волны, обратно пропорциональна абсолютной температуре, так что.

λ_макс∙T = Const.

Эксперименты подтверждают справедливость этих законов вплоть до наибольших энергий, которые можно измерить газовым термозвезд по шкале Кельвина. Оба закона дают одинаковую температуру поверхности Солнца примерно 6000° К.

Фиг. 174. Излучение (экспериментальные факты).

Но дальнейшее рассмотрение на основе традиционной[185] (ньютоновской) механики предсказывает также детальную форму графика, и она оказывается совершенно неверной. Это предсказание в вопиющем противоречии с фактами гласит: обмен энергией внутри печки должен приводить к передаче энергии от любой длины волны к более короткой до тех пор, покапрактически вся энергия не окажется в ультрафиолете или еще дальше. Таким образом, на предсказанном графике кривая стремится к бесконечности в области ультрафиолета. Разумеется, эта «ультрафиолетовая катастрофа» не наблюдается у реальных излучателей, от разогретого докрасна железа до ярко-белого Солнца. Они излучают тепло в виде оранжевого света вместо того, чтобы остывать из-за быстрой ультрафиолетовой вспышки. Физики делали повторные попытки вывести экспериментальное энергетическое распределение из обычной волновой теории, уравнений Максвелла и электронной теории. Всех постигала неудача: снова и снова предсказания хорошо совпадали с экспериментом на красном конце спектра, но на другом конце возникала ультрафиолетовая катастрофа. Тогда около 1900 г. немецкий физик Макс Планк подошел к проблеме с другой стороны и спросил, как Эйнштейн в теории относительности (исторически позже. — Перев.): как нужно минимально модифицировать теорию, чтобы согласовать ее с фактами? Он располагал только экспериментальной кривой, но не ее алгебраической формулой, поэтому и не мог с помощью логики найти точную модификацию. Вместо этого Планк обратился к догадкам и предположениям, как в свое время поступил Кеплер. После блестящего умозрительного анализа он нашел успешное правило. Планк заметил, что необходимо некоторое правило, которое бы оставляло красный свет практически неизменным, но подавляло фиолетовое и ультрафиолетовое излучение. Рассмотрим аналогичную задачу в большом бакалейном магазине. Как можно ограничить продажу каких-либо товаров, не повышая цены на них? Можно было бы продавать товары только большими партиями. Например, для распределения в семье денег на покупки не имеет особого значения, что рис, сахар и соль продаются не вразвес, а в пакетах по полкилограмма. Но если сахар упакован в неделимые мешки по 50 кг, то его будут покупать только те семьи, в которых есть сильные руки, большой автомобиль и другие ресурсы. Торговля сахаром в магазине почти прекратилась бы из-за ограничений, наложенных расфасовкой в слишком большие мешки.

Фиг. 175. Излучение энергии из «абсолютно черного» излучателя при различных температурах. (экспериментальные факты).

Суть предположения Планка состоит в том, что энергия излучения упакована маленькими (атомных масштабов) порциями, так называемыми «квантами». Размер квантов не одинаков для разных цветов — они крошечные у инфракрасного, маленькие у зеленого и большие у ультрафиолетового излучения. Как повлияет такая упаковка на предсказываемый спектр излучения? Предположим, радиация выходит из дырки в печке, и рассмотрим обмен энергией между излучением и стенками внутри печки. Квантовые ограничения будут наиболее заметны для ультрафиолетового конца спектра, где кванты велики. Инфракрасный свет будет непрерывно изливаться обильным потоком крошечных квантов, слишком крошечных, хотя и многочисленных, чтобы повлиять на обмен энергией. Но ультрафиолетовый свет должен либо излучаться большими квантами, либо вовсе не излучаться. Голубое, фиолетовое и, особенно, ультрафиолетовое излучение будет существенно подавлено, и тем самым будет предотвращена ультрафиолетовая катастрофа. Более детально правило Планка гласит:

Излучение упаковано порциями («кванты»),

В век атомов вещества, атомов электричества — это естественное предположение, которое следует попытаться проверить.

Каждый квант состоит из излучения единственной частоты (и, следовательно, единственной длины волны, т. е. из света «одного цвета» — из монохроматического излучения).

Правило, определяющее размеры квантов:

ЭНЕРГИЯ КВАНТА ПРОПОРЦИОНАЛЬНА ЧАСТОТЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ДАННОМ КВАНТЕ, ИЛИ ЭНЕРГИЯ = h∙ЧАСТОТА, ИЛИ E = h∙v (и, следовательно, Е ~ 1/λ), где h — универсальная постоянная (теперь ее называют постоянной Планка), a v, как обычно, частота излучения.

Исходя из этого, Планк предсказал распределение энергии в излучении черного тела. Его предсказание совпадает с экспериментальным графиком как в области ультрафиолета, так и в остальных частях спектра. В инфракрасной области формула Планка приводит к традиционным, известным раньше предсказаниям, совпадавшим здесь с экспериментом. Так что это было замечательное предположение для всех областей. Разумеется, оно привело к согласию с экспериментом; в противном случае Планку, как в свое время Кеплеру, пришлось бы выдвигать другие гипотезы. Поразительно, что то же самое правило разрешает и другие, казалось бы, совершенно иные парадоксы.

Фиг. 176. Излучение (факты и теория).

Значение квантовой постоянной h.

Универсальная постоянная h в единицах СИ равна 6,62∙10^-34.

Поскольку h = (энергия кванта)/частота, то его размерность дж/сек^-1, или дж∙сек. Таким образом,

H = 6,62.10^-34 дж∙сек.

Планк не угадывал этой величины; она получилась из сравнения с экспериментом. Планк изменял картину излучения от гладкого, непрерывного потока, подобного струе воздуха, до зернистого, подобного струе песка. При большей выбранной величине h и все «песчинки» должны быть большими, а чем больше зернистость, тем больше она ощущалась бы. Если величина h равна нулю, то все «песчинки» слишком малы для проявления, и тогда получается обычное предсказание ультрафиолетовой катастрофы. Если h очень велика, то «песчинки» короткой длины волны должны быть слишком большими, так что их не смогут создать атомы обычной печки, и тогда ультрафиолета вообще не было бы, если только температура не слишком высока. При некоторой промежуточной величине h предсказания прекрасно согласуются с фактами. Подбором получается величина 6,6∙10^-34 дж∙сек.

Величина квантов.

Квантовое правило Е = h∙v расфасовывает зеленый свет по маленьким порциям энергии, величиной около 2,5 эв. У красного света — большая длина волны (меньшая частота) и меньшие кванты, 1,8 эв. Кванты голубого света — большие, 3 эв. Это крошечные порции: посмотрите на зажженную свечу в другом конце комнаты, и в ваш глаз будет попадать в секунду около 10 000 000 000 квантов видимого света. При моментальном снимке в фотоаппарате используется примерно 1 000 000 000 000 квантов. Однако десяток голубых квантов может создать пометку на фотопленке, а человеческий глаз настолько чувствителен к ним, что нервы в его сетчатке реагируют чуть ли не на одиночный квант. Продолжая рассмотрение за границы видимой части спектра, мы обнаруживаем инфракрасное излучение, распределенное по очень малым порциям энергии, и радиоволны в настолько маленьких порциях, что вряд ли можно надеяться непосредственно заметить действие (удары) отдельных квантов — но они ясно обнаружены непрямыми экспериментами, где они переворачивают спин атома.

С другой стороны, ультрафиолетовый свет распространяется большими квантами (что-нибудь около 12 эв), рентгеновские лучи излучаются огромными квантами (такими, как 50 000 эв), а γ-лучи — вообще гигантскими квантами (до 10⁶ эв и больше). Поглощение одного большого кванта может изменить ген наследственности в живой клетке и даже убить клетку.

Фиг. 177. Теория излучения (подгонка теории Планка к экспериментальным фактам выбором h).

Квантовая революция.

Может показаться: не слишком ли много беспокойства из-за единственного расхождения между теорией и экспериментом? Но это расхождение было жизненно важным, поскольку относилось к спектру излучения каждого нагретого тела (от парового котла до звезд) и показывало, что в теории, скомбинированной из механики, волновой теории света и электронной теории, что-то совершенно неверно. Хотя недостаток был обнаружен макроскопическими экспериментами, Планк проследил его происхождение до атомных масштабов: атомы испускают и поглощают свет атомными порциями энергии (и, по-видимому, он так и должен распространяться).

Ученые консервативны: они отнюдь не стали сразу приветствовать революционные изменения теории, а, напротив, упорно держались за свои старые взгляды как за жизненные принципы. Многих шокировала идея о том, что излучение состоит из «пуль», и они сомневались в том, что правило Планка Е = h∙v дает адекватное и необходимое описание природы. Тогда Эйнштейн защитил правило Планка от враждебного отношения, показав, что оно объясняет также и другие загадки: изменение удельной теплоемкости с температурой и фотоэлектрический эффект. А Пуанкаре дал общее математическое доказательство того, что если требовать согласия с экспериментальными фактами, то излучение должно обладать определенной дискретной упаковкой. Сегодня имеется так много экспериментальных доказательств существования энергетических порций в излучении, что все принимают квантовую точку зрения. Но на многие годы осталась основная загадка: каким образом излучение может быть одновременно и непрерывным потоком волн и градом «пуль»?

Фиг. 178. Величина кванта энергии.

_{Объем изображенного шара показывает энергию одного кванта.}

Удельная теплоемкость[186].

Измеренная удельная теплоемкость простых твердых тел и газов не согласуется с предсказаниями кинетической теории. Эйнштейн и другие авторы попытались применить квантовое ограничение Е = h∙v к тепловой энергии, которая заключена в колебаниях атомов и вращении молекул. Результат: превосходное согласие с экспериментом. Таким образом, квантовое правило распространяется не только на излучение, но и на другие явления: на любое периодическое движение (такое, как колебание или вращение), имеющее определенную частоту. (Кинетическая энергия свободного поступательного движения осталась неквантованной, см. гл. 30.)

Фотоэлектрический эффект.

Своего объяснения ожидало от квантовой теории еще одно парадоксальное явление; связанные с ним экспериментальные факты как бы кричали: «Кванты!» Речь идет о фотоэлектрическом эффекте, который в наши дни используется в электронном «зрении» и который, видимо, всегда, хотя и в более сложной форме, использовался в наших собственных глазах. Луч света, падающий на чистый металл, может выбивать из него электроны. Слабый свет выбивает электроны с той же кинетической энергией, что и яркий свет, но просто их число оказывается меньшим. Даже если свет настолько слаб, что вылетают одиночные электроны через минуту или еще реже, все равно они имеют ту же самую скорость. И каким бы слабым ни был свет, электрон никогда не ждет до тех пор, пока он наберет достаточно энергии от столь слабого постоянного потока: иногда он вылетает с полной скоростью сразу, как только будет включен свет; в других случаях он может ждать дольше, чем в среднем это нужно, — и все происходит совершенно случайно. Такого поведения нельзя ожидать, если непрерывный поток волн раскачивает электрон вверх — вниз до тех пор, пока не разорвет его связи, — подобно ребенку в ванне, создающему колебания воды, приводящие к выплескиванию ее через край. Наблюдаемое поведение электронов соответствует скорее свету, излучаемому порциями, подобными кусочкам динамита. Это наиболее прямое подтверждение существования квантов — «зерен» света.

Фиг. 179. Фотоэлектрический эффект.

ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ОПЫТ 1. Соедините с электроскопом лист чистого цинка, сообщите ему положительный заряд и направьте на него луч белого света. Ничего не произойдет. Повторите то же самое, сообщив цинку отрицательный заряд. Листочки электроскопа опадают: под действием света цинк теряет отрицательно заряженные электроны. Поставьте на пути света лист стекла — заряды больше не будут утекать. Более сложные опыты утверждают: ультрафиолетовый свет — это существенный фактор; утечка заряда происходит из-за того, что электроны выходят, или, лучше сказать, выбиваются под действием ультрафиолета и затем удаляются под влиянием электрического поля заряженной пластины. Если пластина заряжена положительно, то электроны тоже могут быть выбиты, но поле пластины возвращает их обратно. Этот демонстрационный опыт показывает лишь грубые черты эффекта — зернистость света не заметна, если только не использовать очень слабый свет. Но тогда при выбивании одиночных электронов необходимо очень большое усиление (для возможности регистрации эффекта).

Фиг. 180. Демонстрация фотоэлектрического эффекта.

ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ОПЫТ II. Направьте слабый свет на счетчик Гейгера с прозрачным окошком в его трубке (или дайте возможность попадать туда рентгеновским лучам из удаленного источника). Счетчик будет срабатывать при «вспышке» ионов, порожденной каждым электроном, который выбивается из газа в трубке, — но чтобы эта демонстрация была убедительной, необходимо сделать ее значительно более утонченной.

Фотоэлектроны и цвет света. Частицы, вылетающие с освещенной пластины в вакууме, можно исследовать с помощью электрических и магнитных полей. Оказывается, это обычные электроны с энергией в несколько электронвольт. У натрия и некоторых других металлов эффект вызывается видимым светом, и эти металлы используются в устройствах типа «электронного глаза». У большей части металлов эффект вызывается ультрафиолетовым излучением. Если использовать свет достаточно короткой длины волны, эффект обнаруживается на всех веществах.

Для любого определенного металла и одноцветного света все электроны получают одну и ту же энергию[187] (она равна стандартной энергии, характерной для данного цвета, за вычетом стандартного «налога», выплаченного в виде энергии, за выходэлектрона из металла). Вывод: свет переносит свою энергию стандартными порциями (пакетами).

Фиг. 181. Фотоэлектрический эффект: описание механизма, предложенное Эйнштейном.

Размеры энергетических пакетов для разных цветов должны быть различными. При использовании голубого света энергия появляющихся фотоэлектронов больше, чем при использовании зеленого света; красный свет в большинстве случаев слишком «беден», чтобы внести плату за выход электрона. Ультрафиолетовый свет извлекает электроны с большей энергией, нежели видимый свет. Рентгеновские и γ-лучи дают еще более сильный эффект: они выбивают электроны из любого вещества, хотя часто проходят в веществе длинный путь, прежде чем выберут для этого какой-либо электрон. На снимке в камере Вильсона показаны треки таких «фотоэлектронов», выбитых из молекул воздуха рентгеновскими лучами (см. фиг. 49). Все треки показывают электроны одной и той же энергии — рентгеновские лучи также «зернисты».

Для классической физики такое поведение кажется очень странным. Это примерно так же, как если бы океанские волны, входя в гавань, не могли раскачать корабли, стоящие здесь на якоре, но после того как некоторое время ничего не происходило, один корабль вдруг подпрыгнул бы на 100 м в воздух; снова штиль, потом другой корабль… тоже на 100 м. Вскоре стало ясно, что фотоэффект не может быть спусковым механизмом, в котором свет «освобождает электроны, уже снабженные энергией их будущего движения, поскольку ее величина определяется цветом света. Кто заказывает музыку, тот и должен расплачиваться с музыкантом. Но классическая теория не дает свету такого кармана, из которого он мог бы расплатиться»[188].

Фотоэлектрический эффект продолжал оставаться загадкой до тех пор, пока Эйнштейн не применил к нему квантовую теорию. Пусть энергия падающего света поступает квантами. Один электрон получает целый квант энергии, частично выплачивает ее за то, чтобы ускользнуть от собственного и соседних атомов, и вылетает с остатком (кванта энергии) в виде кинетической энергии.

Предположим, что энергия, необходимая для освобождения электрона, равна Е₀ — это «налог за выход», подобный «налогу» за испарение молекулы из жидкости. Тогда квант света может выбить электрон, если энергия кванта Е больше, чем Е₀. Вылетающему электрону остается.

КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ = Е — Е₀ = h∙v — E₀.

С этой точки зрения для одноцветного света все фотоэлектроны должны иметь одну и ту же энергию. Для большинства материалов величина Е₀ больше, чем энергия кванта у голубого света, и лишь у ультрафиолетового и рентгеновского излучения энергия кванта может превысить Е₀.

Фиг. 182. Фотоэлектрический эффект и окраска света.

_{Красный свет не может выбить ни одного электрона почти ни из какой поверхности; голубой свет выбивает из некоторых металлов электроны с малой кинетической энергией; ультрафиолетовый свет выбивает электроны с большей кинетической энергией; рентгеновские лучи и γ-лучи выбивают электроны из любого материала с еще большей кинетической энергией. А γ-лучи высокой энергии могут даже отрывать нуклоны от ядер (фоторасщепление).}

Фиг. 183. Фотоэлектрический эффект и цвет света; аппаратура для измерений.

Для проверки предложенного Эйнштейном соотношения приложим к собирающей пластинке тормозящее электрическое поле, достаточное для того, чтобы электроны, в отсутствие поля достигающие этой пластины, останавливались вблизи нее. Если для этого достаточно разности потенциалов в V в, то выбитые электроны должны были иметь кинетическую энергию (V в)∙(е кулон), или V∙e дж. Поэтому V∙e должно быть равно hv — E₀(Ve = hv — E₀). График зависимости тормозящего напряжения V от частоты v, полученный при использовании света нескольких различных цветов, должен быть прямой линией. Тангенс угла наклона этой прямой должен быть равен.

H/e, т. е. ПОСТОЯННАЯ ПЛАНКА / ЗАРЯД ЭЛЕКТРОНА.

Задача 1. По-видимому, вы заметили, что раньше в этом курсе использование слова «должен» осуждалось. («Ученые говорят о том, что происходит фактически, а не о том, что должно…») Как вы расцениваете с этой точки зрения использование чуть выше слова «должен» (причем дважды)? Задача 2. Покажите математически, что тангенс угла наклона должен быть равен h/e.

Милликен провел тщательные измерения с фотоэлектронами из натрия и других веществ. Чтобы уменьшить помехи от различных загрязнений, он обрабатывал в вакууме поверхность чистого металла на маленьком токарном станке с выведенным наружу магнитным управлением! Он не только проверил предсказание Эйнштейна, но даже измерил величину h/e и получил значение h, согласующееся с величиной, которую Планк получил другим путем.

Задача 3. Фотоэлектрический эффект и квантовая постоянная. Измерения Милликена показаны на фиг. 184 [Physical Review, VII, 362 (1916)]. Оцените с помощью этого графика квантовую постоянную h, если известно, что е = —1,6∙10^-19 кулон. Частота света для различных использованных им цветов дана в герцах и вычислена по отношению скорости света к длине волны, которая в свою очередь измерена с помощью дифракционной решетки. Разность потенциалов, указанная на графике, — это наименьшее тормозящее напряжение, которого достаточно для того, чтобы предотвратить попадание на коллектор электронов, выбитых светом. (При нахождении этой разности потенциалов из измеренных им величин Милликен учитывал «э.д.с. батареи», созданной двумя, различными металлами, которые были использованы в качестве фотоэлектрической поверхности и коллектора, но это не влияет на наклон графика.).

Фиг. 184. Фотоэлектрический эффект: измерения Милликена (к задаче 3).

Соотношение Эйнштейна остается справедливым также для ультрафиолета, рентгеновских и γ-лучей, равно как и для всех веществ. Таким образом, фотоэлектрический эффект ясно обнаруживает квантовые свойства излучения. Видимый свет в лучшем случае лишь слегка щелкает по электронам, ультрафиолетовый свет их выбрасывает, рентгеновские лучи вышвыривают их, а γ-лучи выбивают их прямо-таки, как ударом хлыста. А у γ-лучей очень короткой длины волны кванты настолько велики, что они могут разбить ядро. Вот пример: фоторасщепление дейтрона:

Фактически этот процесс дает хороший способ измерения массы нейтрона. Нужно только найти минимальную энергию, которую должны иметь γ-кванты в этом процессе, и скомбинировать ее с массами водорода и дейтерия, измеренными с помощью масс-спектрографов. Соотношение Эйнштейна применимо также к обратному процессу: быстро движущиеся электроны могут, останавливаясь в мишени, создавать рентгеновские лучи. Чем выше напряжение на пушке, тем больше кинетическая энергия электронов и тем выше максимальная частота образующихся рентгеновских лучей. (Это дает полезное правило, поскольку частота определяет проникающую способность рентгеновского излучения.) Гораздо более медленные электроны могут иногда создавать кванты видимого света, замедляясь при столкновениях.

Фиг. 185. Фоторасщепление дейтрона.

_{Фотон γ-лучей с энергией 2,2 Мэв или больше может разорвать ядро тяжелого водорода на протон и нейтрон.}

Фотоны.

Таким образом, в начале этого века была принята квантовая теория с ее единственным правилом: ЭНЕРГИЯ КВАНТА = h∙ЧАСТОТА. Она успешно объяснила спектр излучения, удельную теплоемкость, фотоэлектрический эффект, образование рентгеновских лучей. Планк показал, что при излучении атомов энергия упакована в кванты. Затем Эйнштейн продвинулся еще дальше, показав, что излучение само по себе должно быть упаковано в кванты.

Фиг. 186. Природа света.

Это было в 1905 г. — в том самом году, когда он опубликовал также свою теорию броуновского движения и выдвинул специальную теорию относительности! Таким образом, квантовая теория с помощью Эйнштейна превратилась из правила упаковки в стройное рассмотрение излучения как малых частиц. Чтобы подчеркнуть представление о частицах, всякий раз, когда имеют в виду корпускулярный аспект в поведении излучения, говорят о фотонах (по аналогии с электронами, нуклонами и т. п.). Все фотоны перемещаются (в вакууме или воздухе) со скоростью света с. Тогда, как следует из релятивистской формулы для массы, они должны иметь нулевую массу покоя. Это не вещество, поскольку их никогда нельзя найти покоящимися. При движении они имеют массу m, такую,

Что.

ЭНЕРГИЯ, m∙с² = ЭНЕРГИЯ, h∙v.

И.

ИМПУЛЬС = m∙с = ЭНЕРГИЯ/с = h∙v/с.

Таким образом, мы представляем излучение как ведомый волнами, перемещающимися со скоростью света с, поток фотонов, каждый из которых переносит массу, импульс, энергию h∙v.

Фиг. 187. Природа света.

_{В экспериментах проявляются две свойственные свету формы поведения, которые кажутся противоречивыми, но которые можно согласовать следующим путем. Пропускаем свет через «прерыватель» (отбирающий короткие сигналы света) и направляем его на поверхность металла, из которой свет может выбивать электроны. При этом используется настолько слабый пучок света, что если свет представляет собой непрерывный поток волн, то нам всегда придется ждать почти до конца такого сигнала, прежде чем наберется энергия волны, достаточная для вырывания одного электрона. Однако, если свет представляет собой поток частиц, мы ожидаем, что электроны будут испускаться на произвольных стадиях; иногда в конце сигнала, иногда в середине, а иногда при поступлении самого начала сигнала. Такой эксперимент был проделан. Каждый выбитый электрон ускорялся к мишени, где он выбивал большое число электронов в «фотоэлектронном умножителе», который действует как усилитель для одного выбитого электрона. Импульс заряда от этого усилителя наблюдался на осциллографе, развертка которого синхронизирована с прерывателем. Оказывается, импульсы поступают произвольно во все моменты светового сигнала. Посмотрите об этой демонстрации замечательный кинофильм Джона Кинга «Фотоны», сделанный P.S. S. С. (В фильме, который вы увидите, этот вопрос иллюстрирован такой задачей: человек хочет получить литр молока из снабжающего его потока, который поступает через прерыватель. Имеются две формы снабжения; 1) сплошной поток по желобу, при котором человеку приходится ждать определенное время, пока наполнится его литровая бутыль; 2) конвейер, доставляющий ему литровые бутылки, наполненные молоком, — причем они беспорядочно расставлены вдоль конвейера.).}

_{Теперь свет от одного источника будем пропускать через две щели и посмотрим, какая картина получится на удаленном экране. Если свет представляет собой потек частиц, то в том месте экрана, куда попадает свет от обоих источников, должно быть сплошное светлое пятно. Если же свет — непрерывный поток волн, то на экране должны быть интерференционные полосы. Фактически мы видим полосы — интерференционные полосы Юнга. Но если наблюдать, как поступает энергия в интерференционные полосы, то можно обнаружить, что она поступает в частицах (квантах или фотонах). На светлые полосы поступает много фотонов, тогда как на темные — очень мало. Итак, мы можем сказать, что свет состоит из частиц, ведомых волнами при образовании интерференционной картины. (См. другой превосходный фильм Р. S. S. С. «Интерференция фотонов», снятый Джоном Кингом.)}

Столкновения фотонов с электронами. Комптон-эффект.

Поскольку фотоны переносят импульс, они должны оказывать давление на поглощающую стенку, а на полностью отражающую стенку — удвоенное давление. Оказывается, это в самом деле так. Измерение очень малого давления пучка света было выполнено[189] и подтвердило выражение для импульса Е/с. Если фотоны представляют собой компактные частицы, обладающие импульсами, то значения этих импульсов должны изменяться при столкновениях с другими частицами, такими, скажем, как электроны. Так и происходит. Фотоны рентгеновского излучения отклоняются при столкновении с электронами, слабо связанными в некоторых атомах, и уходят в новом направлении с меньшей энергией и, стало быть, большей длиной волны. Электроны же отскакивают с соответствующей частью первоначальной энергии фотона, и их короткие следы отдачи можно увидеть в камере Вильсона. Такой «эффект отдачи» открыл А. X. Комптон, и его измерения согласуются с предсказаниями для таких столкновений между «частицами». (Разумеется, для предсказаний нужно использовать релятивистскую механику, поскольку фотоны движутся со скоростью света.) Этот эффект дает одно из лучших доказательств того, что фотоны представляют собой частицы, которые подчиняются механическим законам сохранения и при столкновениях с частицами вещества могут передавать одновременно энергию и импульс.

Атом «действия», h.

Постоянная Планка h — это универсальная «атомная» постоянная. Подобно скорости света, ее величина не изменяется при преобразованиях теории относительности — она одинакова для всех наблюдателей. Это не атом энергии. Это атом отношения энергия/частота или же произведения энергия∙период, или же произведения энергия∙время, которое называется «действием». Если вы подумаете, то сообразите, что в ньютоновской механике действие имеет вид произведения: сила∙расстояние∙время.

Глядя на это выражение, можно предположить, что такая величина вполне может обладать полезными свойствами. Это в самом деле так. Законы Ньютона и многие другие законы физики можно переформулировать такими словами: «Снаряды, планеты, электроны, световые волны, — все физические объекты выбирают для своего движения такой путь, чтобы действие было или минимально, или максимально, — говоря математическим языком, принимало экстремальное значение. Природа ведет себя так, как будто ей нежелательно, чтобы действии оказалось чуть меньше или больше».

Фиг. 188. Эффект Комптона.

_{Фотон рентгеновского излучения, столкнувшись со слабо связанным атомным электроном, уходит с меньшей энергией (большей длиной волны); электрон испытывает отдачу.}

АТОМ БОРА-РЕЗЕРФОРДА, 1915–1925 гг.

Резерфордовская модель атома имела успех — она способствовала размышлениям и экспериментам, — но парадокс оставался. В атоме вокруг ядра существует поле, убывающее по закону обратных квадратов (что было доказано рассеянием альфа-частиц), а электроны остаются в этом поле далеко от ядра (это также было подтверждено рассеянием альфа-частиц, а позднее спектрами рентгеновских лучей). Поэтому: 1) электроны не могут покоиться в состоянии устойчивого равновесия (теорема Ирншоу). Атомы не разрушаются, излучая при этом электромагнитные волны; следовательно, 2) электроны не могут находиться в движении по эллиптическим кеплеровским орбитам. Утверждения 1) и 2) противоречат друг другу. Далее, иногда атомы излучают; они испускают свет. Световое излучение раскаленного газа расщепляется на очень резко определенные цвета, спектральные «линии» определенной длины волны и частоты колебаний. Частоты излучений возбужденных атомов весьма определенно сгруппированы в несколько серий, характерных для атомов каждого элемента. К 1905 г. были известны общие формулы для спектральных серий, а измеренные частоты некоторых серий расшифрованы с помощью простого закона, для которого теория не могла предложить удовлетворительного объяснения. По-видимому, этот простой закон каким-то образом учитывал квантовые ограничения, поскольку дело касалось фотонов, (Каждая спектральная линия представляет собой свет одного цвета, одной частоты, поэтому она должна представлять собой поток фотонов с одинаковой энергией.) Этот простой закон содержит постоянную, которая оказывается одинаковой для многих спектров. Если бы удалось получить эту универсальную константу спектров, комбинируя другие общие постоянные, такие, как заряд электрона е, скорость света с, постоянная Планка h и т. п. (и подбросив им на помощь числа типа π, 2 или √2), это было бы очень приятным открытием. А если бы при этом еще мощно было привести ясные теоретические аргументы в пользу выбора именно такой комбинации, то это было бы великим открытием. В этом направлении было много попыток и заявлений об успехе — ученые от Пифагора до Кеплера и позже вплоть до нынешних дней искали золотое правило, которое бы объединило вместе наиболее важные числа; результаты этих поисков простирались от бессмыслицы до знаменитых открытий. Бор не только нашел такую комбинацию для постоянной спектра, но и обосновал ее, что принесло ему прочную славу.

Атом Бора. Правила.

В 1913 г. смелый и неизвестный молодой датский физик Нильс Бор предложил минимальные изменения классической физики, с помощью которых можно объяснить факты и, комбинируя которые, сделать замечательные предсказания. Обратившись к парадоксу со стабильностью атомов, которые должны были бы быстро коллапсировать[190], он предложил следующие новые правила:

ПЕРВОЕ ПРАВИЛО. Атомы построены в соответствии с моделью Резерфорда, но электроны движутся по стабильным орбитам без излучения. (Хотя этим заявлением противоречие было только подтверждено, но его ясное признание уже было большим утешением.).

ВТОРОЕ ПРАВИЛО. Разрешены только некоторые орбиты. Эти стабильные орбиты определяются по квантовым правилам следующим образом. У электрона, движущегося по стабильной орбите, действие должно всегда быть равным h, или 2h, или 3h…, nh…[191]. Имеем.

ДЕЙСТВИЕ = ЭНЕРГИЯ ∙ ВРЕМЯ,

= [СИЛА ∙ РАССТОЯНИЕ] ∙ ВРЕМЯ,

= [СИЛА ∙ ВРЕМЯ] ∙ РАССТОЯНИЕ,

= ИМПУЛЬС ∙ РАССТОЯНИЕ.

Для круговой орбиты, например, мы смело берем в качестве расстояния длину окружности и пробуем проверить правило:

ИМПУЛЬС ∙ (ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ) = h,

Или 2h, или 3h…

Вообще, mv∙2πR = nh, где n = 1 соответствует низшей разрешенной орбите, n = 2 — следующей и т. д. Квантовое число n должно быть целым числом.

На модель атома в виде солнечной системы таким образом накладываются жесткие ограничения: разрешены лишь определенные орбиты, а именно только такие, на которых ДЕЙСТВИЕ равно nh, где n — целое число.

ТРЕТЬЕ ПРАВИЛО. Один из электронов атома можно переместить (например, при бомбардировке) на свободную внешнюю орбиту, так что получится «возбужденный» атом с большей энергией. Затем электрон может перескочить с внешней орбиты на свободную внутреннюю. Когда это происходит, атом испускает избыток энергии в виде кванта света.

H∙ЧАСТОТА ИСПУЩЕННОГО СВЕТА = ИЗБЫТОК ЭНЕРГИИ ЭЛЕКТРОНА=

= ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОНА на «внешней» орбите — ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОНА на «внутренней» орбите.

Атом Бора. Плодотворная теория.

Бор сохранил резерфордовскую картину атома, в котором электроны мчатся по орбитам вокруг ядра, притягивающего их с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния. Поэтому «диаграмму холма» для их энергии (диаграмму потенциальной энергии) нужно было бы изображать по-прежнему. Как и в случае настоящей солнечной системы, эта диаграмма для сил притяжения изображает яму вместо холма. Но второе правило квантовых ограничений Бора как бы вырезает уступы вдоль стен ямы и ограничивает орбиты этими уступами. На фиг. 191 показан набросок «диаграммы холма» для Солнца, вокруг которого по круговой орбите движется одна планета, а другая описывает эллипс. Этот «холм» был хорош для сил притяжения к Солнцу.

Фиг. 191. Энергетический холм (яма).

_{Диаграмма для солнечной системы (из книги К. Mendelsshon, What is Atomic Energy, Sigma Books, Ltd.).}

Аналогичной была бы «диаграмма холма» для ядра и электронов в «атоме Резерфорда без квантовых ограничений». На фиг. 192 показана упрощенная «диаграмма холма» атома с набором «квантовых уступов» для круговых орбит. В схеме Бора были учтены также другие уступы (уровни энергии), отвечающие эллиптическим орбитам. Форма, размеры и другие характеристики каждой орбиты были определены несколькими квантовыми числами.

Фиг. 192. Энергетический холм (яма).

_{Диаграмма для модели атома Бора (из книги К. Mendelsshon, What is Atomic Energy, Sigma Books, Ltd.).}

Низший уступ, определенный по квантовым правилам Бора значением n = 1, дает наименьшую разрешенную орбиту. Здесь энергия электрона минимальна; эта орбита наиболее стабильна, поэтому можно было бы ожидать, что электрон будет падать вниз до этого уровня, если только это возможно, и останется здесь. Действительно, следовало бы спросить: почему же не все электроны падают на этот нижний уступ, а все атомы не сжимаются до минимальных размеров? Мы знаем, что так не происходит, и это была одна из многих тайн, которые вскоре объяснились правилом, сформулированным В. Паули под названием принципа исключения[192]. Здесь принцип в сущности утверждает, что на уступе может находиться лишь один электрон, только один электрон с данным набором квантовых чисел. Никогда, ни в каком атоме несколько электронов не могут занимать совершенно одинаковые орбиты. Теперь, правда, мы удваиваем каждый выступ, чтобы поместить туда два электрона с противоположными спинами. С помощью современных знаний можно обосновать принцип Паули, однако долгое время он оставался произвольным, но очень полезным руководством для моделей атома.

В сущности Бор сказал: «Электроны не могут непрерывно излучать; атомы не подчиняются традиционным законам физики. Если вы примете мое смелое предположение, факты обретут больше смысла». А Паули добавил ограничительное правило: «Только один электрон на орбите». Эти правила выглядят как законодательство, основанное на декретах, но они успокаивают волнение, вызванное парадоксами атомной модели, обогащая знания. Они дали Бору возможность вычислить универсальную постоянную спектра, исходя из фундаментальных компонент е, h, с, e/m, и плодотворно объяснили все спектры, которые вскоре после объяснения перешли в разряд решенных проблем, и осветили другие нерешенные проблемы. Еще когда Бор продолжал развивать свои правила, Мозли использовал их в грубой теории спектров рентгеновских лучей, что позволило ему измерить атомные номера, — почти перед этим стал понятен смысл атомного номера с точки зрения строения атома, содержащего ядро.

Правила Бора, например, предсказывают диаметр обычного атома водорода, который уже был экспериментально известен из грубых измерений.

Размеры атома водорода.

Общие размеры атома водорода определяются диаметром орбиты 2r единственного электрона, вращающегося вокруг ядра атома (в модели Бора). Два атома, удаленные на расстояние больше 2r, будут нейтральными друг для друга и не смогут взаимодействовать с большой силой. При расстоянии между атомами меньше 2r орбиты их электронов окажутся перекрывающимися, и здесь должны возникнуть нарушения, приводящие к притяжению, а при еще меньших расстояниях — к отталкиванию[193]. Таким образом, величина 2r должна определять «диаметр» атома при слабых столкновениях и, возможно, при образовании молекул. Экспериментальные оценки (грубые из длины молекулы масла и хорошие из данных о внутреннем трении в газообразном водороде) показывают, что «диаметр» атома водорода немного больше 1 А° (10^-10 м). Ниже показано, как Бор вычислил величину 2r с помощью своих квантовых правил.

Квантовое правило Бора mv∙2πr = nh для электрона на самой низшей, наиболее стабильной орбите с n = 1 даст mv∙2πr = h, или mv = h/2πr. Электроны удерживаются на своих орбитах в атоме притяжением заряда ядра Ze, которое обратно пропорционально квадрату расстояния, так что.

Причем для водорода Z = 1.

Используем алгебру, чтобы исключить отсюда орбитальную скорость электрона и найти радиус орбиты через h, и т. п.:

Разделив первое равенство на последнее, получим.

Т. е. радиус орбиты равен.

Используем экспериментальные значения:

H (по Планку или Милликену)… 6,62∙10^-34 дж∙сек;

(из измерений силы, действующей на заряд в электрическом поле)… 9,00∙109 ньютон∙м²/кулон²;

Е (Милликен)… — 1,60∙10^-19 кулон;

M (из значения е по Милликену и e/m по отклонению заряда в полях)… 9,11∙10^-31 кг.

Тогда.

А в качестве размерности для r получается.

Что сводится к метру.

Здесь было приведено предсказание Бора для размеров атома водорода, полученное математически. Посмотрите на исходные величины:

H — постоянная Планка для квантов излучения; — постоянная в законе Кулона; е и m — заряд и масса электрона. Вывод: диаметр электронной орбиты в невозбужденном атоме водорода 1,06∙10^-10 м, или ~ 1 A°; «размер атома», в хорошем согласии с прямыми измерениями.

Бор и спектры — электронные гармоники?

Крупнейшим достижением теории Бора было предсказание ею спектра излучения раскаленного водорода. Этот линейчатый спектр был другим парадоксом, нуждавшимся в объяснении, — экспериментальные формулы требовали простой теории. Если раскаленные добела твердые вещества излучают сплошной спектр «черного тела», то пылающие газы (разогретые или возбужденные электрическим разрядом) дают совершенно иной спектр. Анализ их излучения показывает, что в спектре отсутствует свет большей части цветов, а имеются лишь очень узкие и очень яркие полоски определенных цветов, т. е. спектр состоит из ярких «линий», каждой из которых соответствует практически одна длина волны (см. гл. 10). У каждого газа есть свой характерный набор линий: красная линия (и много других) у неона; желтая (и несколько ультрафиолетовых) у паров натрия (которые можно получить, поместив поваренную соль в пламя) и т. д. Длины волн ярких спектральных линий имеют вполне определенную величину для атомов каждого элемента. Они дают первоклассный способ анализа любых материалов — будь то образцы промышленных изделий или газы в далеких звездах. Линии каждого элемента группируются вдоль спектра в правильные серии с переменным шагом. С помощью выполненных в прошлом веке тщательных измерений длин волн было рассортировано много таких серий. В расположении каждой серии явно наблюдается некоторая система. Для водорода и некоторых других газов из измерений было получено очень простое основное правило, отражающее такую систему.

Фиг. 193. Получение и анализ спектров.

Если белый свет из раскаленного твердого тела проходит через холодный газ, то мы можем наблюдать «спектр поглощения»: полный спектр белого света с черными линиями, в которых свет отсутствует, при длине волны, на которой газ излучал бы свет, если бы он был раскален. Эти линии поглощения можно использовать для анализа атмосферы вокруг «твердых» звезд, в том числе и нашего Солнца, в спектре белого света у которых наблюдаются темные линии, характерные для водорода, паров натрия, кальция и т. д. Эти линии, очевидно, получаются из-за того, что атомы более холодного газа поглощают свет, который соответствует их «собственным колебаниям»[194]. Они должны затем снова испускать точно такой же свет, но уже во всех направлениях, так что линия выглядит темной по сравнению с другими цветами, которые приходят непосредственно из более горячей «сердцевины» звезды. Эти факты снова наталкивают на мысль о некотором механизме колебаний, способном реагировать на волны определенной частоты.

Фиг. 194. Эскизы спектров.

_{Эти черно-белые эскизы — только тусклая имитация. Взгляните на реальные вещи: посмотрите на неоновую вывеску через призму или дифракционную решетку; держите блестящую швейную иглу на солнце и рассматривайте ее через призму, которую следует держать близко к глазам, — вы увидите фраунгоферовские линии поглощения. (В реальных спектрах линий обычно гораздо больше, чем изображено здесь. Относительная яркость линий зависит от условий возбуждения атомов.).}

Далее, было ясно, что атомы, возбужденные бомбардировкой или электрическим полем, могут колебаться и испускать волны света с различными частотами. Есть ли сходство между этими собственными «естественными частотами» атома и колеблющейся струной? Струна арфы или скрипки может колебаться с любой частотой из некоторой серии в соответствии с тем, что стоячая волна имеет одну пучность или 2, 3, 4… пучности. Тогда частоты находятся в той же самой пропорции, т. е. 1:2:3:4:…, а издаваемые музыкальные ноты имеют соответствующие частоты.

Для струны теория согласуется с экспериментом. Второй закон Ньютона предсказывает серию:

ЧАСТОТА = (постоянная К)∙(n),

Где n = 1, 2, 3… Частоты света разных цветов в спектре атома водорода образуют почти столь же простую серию, формула для которой (из эксперимента) имеет такой вид:

ЧАСТОТА = (постоянная К)∙((1/2²) — (1/n²))

Где n = 3, 4, 5… для последовательных линий серии. Точные измерения[195] с помощью высококачественной дифракционной решетки дали значение.

К = 3290 000 000 000 000.

Бор предсказал эту формулу с постоянной К, равной.

(см. следующий раздел). При использовании измеренных величин h, е, m и Z = 1, = 9,00∙10⁹ эта формула дает.

К = 3 286 000 000 000 000.

В более полной форме предсказание Бора выглядело так:

V = K∙((1/n_f²) — (1/n_i²))

Где n_f — «конечное» квантовое число для орбиты, на которую «падает» электрон, одинаковое для всех линий серии, а n_i означает «начальное» квантовое число другой орбиты, с которой «падает» электрон.

Видимой серии для водорода соответствует n_f = 2 и n_i = 3, 4, 5…

Задача 4. Две другие серии для водорода были уже известны, а еще две были открыты позднее там, где их предсказал Бор. Посмотрите на приведенную выше общую формулу и предскажите формулу для серии в ультрафиолетовой области с большими квантами и для серии вблизи инфракрасной области.

Другие элементы после возбуждения также дают линейчатые спектры, если они находятся в газообразном состоянии. При расшифровке большинства линейчатых спектров можно использовать почти ту же самую константу К, а остальная часть формулы имеет довольно похожую алгебраическую форму. Поэтому с точки зрения предположений Бора все линейчатые спектры приобретают следующий смысл: каждая линия образуется в результате того, что электрон «перепрыгивает» с одной разрешенной орбиты (или «уровня») на другую, испуская разность энергий в виде кванта света этой спектральной линии. Сами по себе орбиты, определенные квантовыми правилами, стабильны: электрон может оставаться длительное время на одной из них, не излучая. В этом причина того, что (холодный) газ не светится до тех пор, пока его не облучат. Излучение испускается лишь при изменении орбит. Поэтому, чтобы электрон мог испускать свет, он должен сначала двигаться по внешней орбите, т. е. находиться на высоком энергетическом уровне и иметь возможность «упасть» на низший уровень. И в этом же причина того, что атомы газа испускают резкие спектральные линии, каждая из которых имеет определенную длину волны, поскольку получается при переходе между определенными орбитами. Таким образом, спектры создаются возбужденными атомами. Ион (атом, потерявший электрон), получая обратно потерянный электрон, может испускать одну или последовательно несколько линий, когда этот электрон «падает» с одного энергетического уровня на другой.

Сегодня понятие «стабильные орбиты» звучит слишком категорично, но мы будем использовать лишь их существенное свойство — определенность энергии на каждой из них — и поэтому будем говорить об «уровнях энергии».

Так Бор преобразовал спектроскопию, которая была эмпирической схемой исследования газов, в важное средство изучения атомной структуры.

Фиг. 195. Размещение линий спектров по шкале частот.

_{А — проанализированный по сериям спектр гелия; б — видимые серии атомарного водорода.}

Спектроскопическая постоянная по Бору. Примите на веру или вычислите сами.

Предсказание постоянной К требует математических выкладок для вычисления энергии электрона в поле ядра. Примите на веру результаты таких выкладок, приведенные на математической схеме (фиг. 196), или проследите за приведенными ниже вычислениями.

Фиг. 196. Схема математических расчетов для атома Бора.

Нам нужно знать энергию электрона для квантовых чисел n = n_i и n = n_f. Тогда мы сможем предсказать частоту измеряемого фотона, поскольку.

H∙v излучения = ΔE = ΔE_i — ΔE_f.

Электрон, движущийся по орбите, имеет энергию Е, складывающуюся из кинетической энергии (К. Э.) и потенциальной энергии (П. Э.) (которая равна энергии, накопленной в электрическом поле системы электрон + ядро). Перенесем электрон из бесконечности на расстояние r от ядра с зарядом Ze. Он притягивается ядром, поэтому при сближении электрона с ядром энергия переходит от электрического поля к электрону (в виде кинетической энергии).

При изменении расстояния х между электроном и ядром на величину dx из электрической потенциальной энергии в кинетическую энергию передается величина.

F∙dx, или.

Это уменьшение потенциальной энергии атома, т. е. энергия, реализованная из накопленного запаса. (Здесь эта величина положительна, поскольку как F, так и dx отрицательны: F — притяжение внутрь, a dx — смещение внутрь, уменьшение х.) Очевидно, наибольшую потенциальную энергию электрон имел на бесконечности, когда его отвели наиболее далеко от притягивающего ядерного заряда, и он по дороге туда накопил потенциальную энергию. Поэтому, если считать потенциальную энергию электрона на бесконечности равной нулю, то вблизи ядра она должна быть отрицательной.

Потенциальная энергия электрона, перенесенного из бесконечности на орбиту радиусом r, равна.

Что после интегрирования дает.

0 — ∙(e)∙(Ze)/r.

Таким образом, потенциальная энергия электрона равна.

П.Э. = — ∙(e)∙(Ze)/r.

Поскольку при орбитальном движении.

— mv²/r = ∙(-e)∙(Ze)/r² (знак минус показывает направление силы внутрь),

То.

П.Э. = —∙(e)∙(Ze)/r = —mv² = — (2 x К.Э.)

Полная энергия.

Е = К.Э. + П.Э. = ¹/₂ mv² + (—mv²) = — ¹/₂ mv^2.

Нам нужно знать выражение для энергии Е (через квантовое число n и другие постоянные), не содержащее v или r. Воспользуемся соотношением для орбитального движения.

— mv²/r = ∙(-e)∙(Ze)/r^2.

И исключим r с помощью квантового правила mv∙2πr = nh:

Mv² = ∙(e)∙(Ze)/r.

Mv = nh/2πr.

Разделив первое равенство на второе, получим.

V = ∙(e)∙(Ze)∙(2π)/nh.

Тогда.

Подставим n = n_i для начального и n = n_f для конечного уровней, между которыми переходит электрон, и получим.

Откуда спектроскопическая постоянная.

При подстановке измеренных значений е, e/m, h, и для водорода Z = 1 эта формула дает превосходное согласие с величиной K, полученной экспериментально из измерений спектров, а именно 3,286∙10¹⁵ в сравнении с 3,290∙10¹⁵.

Дальнейшие предсказания.

Предсказания Бора можно продолжить. Предположим, атом гелия потерял один из двух своих электронов, а оставшийся электрон испускает свет при переходе между орбитами. Тогда ионизованный атом гелия с одним оставшимся электроном подобен атому водорода с двойным зарядом ядра +2е. Для Z = 2 предсказываемые частоты излучения ровно в 4 раза больше частот излучения водорода (см. формулу Бора для К). Такие линии были уже открыты в спектре гелия при искровом разряде и ошибочно приписывались водороду в каком-то необычном состоянии. Бор не только указал, что они исходят от однократно ионизованного гелия, но, используя входящую в предсказание малую поправку на конечность массы ядра, оценил отношение массы электрона к массе протона и получил 1/1830.

Кроме того, формула Бора для водорода, примененная к переходам внутренних электронов в тяжелых атомах, предсказывает частоту рентгеновского излучения, которая много больше частоты видимого света, поскольку постоянная К содержит[196] множитель Z². Это позволило Мозли сравнить атомные номера (Z) различных элементов, находя квадратный корень из частоты рентгеновского излучения от соответствующей мишени. Это был первый простой способ измерения атомных номеров. Атомы любого элемента могут излучать несколько серий, причем формулы, связывающие частоты соответствующих линий из разных серий имеют вид арифметических разностей. Бор сразу объяснил эти соотношения, приписав все спектральные линии переходам с одних энергетических уровней на другие. Каждая серия относится к определенному конечному уровню энергии. Тогда вычитание частоты одной линии из другой дает разность между энергиями двух верхних уровней, и эту разность можно получить несколькими вычитаниями (фиг. 197). Бор смог также вычислить «энергию ионизации» атома водорода, т. е. энергию, необходимую для полного удаления электрона из атома. По его предсказаниям эта величина равна 13,54 эв[197]. Трудный эксперимент — бомбардировка атомарного водорода электронами — дал значение 13,6 эв.

Используя измеренные спектры частот рентгеновского излучения и видимого света, Бор изобразил энергетические уровни атомов всех элементов и построил схему строения атома, объясняющую периодическую систему химических элементов. В его схеме электроны вращаются по определенным окружностям (или эллипсам), образующим группы, или оболочки. Это была довольно удачная схема. Она «объяснила» общие химические свойства элементов и даже предсказала свойства одного неизвестного элемента и помогла его открыть (речь идет о гафнии).

Плодотворность теории подтвердила объявленные Бором правила; но они оставались произвольными правилами без обоснований.

Фиг. 197. Уровни энергии в воровской модели атома (упрощенно).

Основа уверенности Бора. Принцип соответствия.

Все же эти правила были не совсем произвольными, поскольку Бор прежде всего сохранил надежную связь с прежней теорией. Рассмотрим некоторый предельный случай, когда квантовые ограничения становятся несущественными. Здесь предсказания, которые делает новая теория, должны совпадать с предсказаниями старой, классической теории. В тех местах, где старый теоретический материал оказывается непригодным при объяснении фактов, его нужно вырезать; но новый материал, который используется для того, чтобы залатать брешь или расширить целое изделие, на краях должен вплетаться в старую ткань.

Принцип соответствия: в той области, где различия между предположениями старой и новой теории несущественны, обе теории должны перекрываться и находиться в согласии друг с другом. Такое утверждение кажется очевидным, но оно служит мощным направляющим правилом для новых предположений. Это общее правило подойдет для любой науки, для каждой хорошей теории.

Примеры вы уже встречали:

Правила теории относительности сводятся к обычной геометрии и механике при малых скоростях (в предельном случае, когда множитель √(1 — v²/с²) ~= 1. Формула Планка для излучения черного тела в длинноволновой области согласуется с классическими предсказаниями (в предельном случае, когда кванты малы и их много). Второй закон Ньютона F = M∙a сводится к первому закону Ньютона, если тело движется с постоянной скоростью (в предельном случае а = 0). Законы Кеплера для эллиптических орбит согласуются с более простой теорией для круговых орбит (в этом предельном случае).

Думающий читатель сумеет распространить принцип соответствия дальше: на изобретение или критику новых теорий из области геометрии, развития популяций, промышленных циклов управления, этики…

Поэтому Бор постулировал, что квантовые правила для орбит должны накладывать все меньше ограничений при увеличении квантового числа. Для орбиты с n, равным, скажем, 1000, переход на соседнюю орбиту должен тогда сопровождаться лишь малым процентным изменением величины «действия» электрона (равному произведению импульс∙длина окружности). Дискретность действия, требуемая квантовой теорией, должна быть несущественна. До перехода и после него электрон должен иметь почти одну и ту же частоту обращения, а частота, которую может иметь испущенный свет, совпадает с этой почти неизменной частотой обращения электрона — как этого и требует классическая теория. В этом предельном случае больших n правила Бора действительно приводят к согласию со старой теорией. Потребовав соответствия, Бор смог найти нужное новое правило mv∙2πr = nh; но хотя принцип соответствия помогает выбрать верное правило, однако не дает его обоснований. И все-таки Бор и другие ученые, выдвигая замечательные предположения новой теории, продолжали требовать такого «соответствия», или согласования в той области, где новая теория встречается со старой.

Трудности.

Эта плодотворная теория испытывала трудности трех видов:

А) Она оказалась не в состоянии детально предсказать спектры других атомов (кроме водорода); она не могла объяснить химические силы и строение молекул.

Б) В руках людей, рассуждающих менее осторожно, чем Бор, модель обрела черты реальности. Орбиты стали четко очерченными в пространстве — на обложках некоторых книг их так и продолжают изображать! Ученые забыли предостережение Эйнштейна: не украшать теорию деталями, которые нельзя проверить. Нам никогда не удается увидеть орбиты. Их можно сконструировать, только предположив, что применимы макроскопические (большего масштаба) правила планетарной солнечной системы. В действительности известно лишь то, что у атомов есть определенные уровни энергии и что при переходах между уровнями испускаются и поглощаются фотоны.

В) Более того, квантовое правило Бора для выбора орбит или уровней по-прежнему не имело правдоподобного объяснения, и не было никаких причин электронам оставаться на орбитах, не излучая.

Дальнейшее применение этой теории, как это случается со многими другими хорошими теориями, обнаружило ее слабость.

Для спасения теории ее нужно было модифицировать, и вскоре это было сделано. Изменение теории было радикальным и началось с экстраординарного предположения, которое сделал французский физик Луи де-Бройль.

ЧАСТИЦЫ И ВОЛНЫ.

Новая теория.

«Давайте будем рассматривать электроны подобно световым волнам, — предложил де-Бройль. — Хотя это частицы вроде снарядов, но они являются также и волнами».

Свет имеет два типа свойств, которые кажутся прямо противоположными: волновые свойства и свойства снарядов (частиц). Разумеется, во многих отношениях оба типа свойств приводят к одинаковым результатам. Свет распространяется по прямой линии с определенной скоростью, он переносит энергию и импульс, оказывает давление на поверхность тел; его лучи отражаются и преломляются (искривляются) на границе различных материалов. Все это может происходить и с потоком снарядов, и с вереницей волн. Но имеется и существенная разница.

СНАРЯДЫ (частицы) ∙ ВОЛНЫ. С: ПЕРЕНОСЯТ СВОЮ ЭНЕРГИЮ (КИНЕТИЧЕСКУЮ ЭНЕРГИЮ) И ИМПУЛЬС КОМПАКТНЫМ ПАКЕТОМ. В: ПЕРЕНОСЯТ СВОЮ ЭНЕРГИЮ, РАСПРЕДЕЛЕННУЮ ПО ВСЕМУ «ФРОНТУ ВОЛНЫ». С: ПРИ НАЛОЖЕНИИ ДВУХ ПОТОКОВ ИХ ВКЛАДЫ ПРИБАВЛЯЮТСЯ ОДИН К ДРУГОМУ: В: ПРИ НАЛОЖЕНИИ ДВУХ ПОТОКОВ (ИЗ ОДНОГО ИСТОЧНИКА) ИНТЕРФЕРИРУЮТ. С: СНАРЯДЫ + СНАРЯДЫ = БОЛЬШЕЕ ЧИСЛО СНАРЯДОВ. В: ВОЛНЫ + ВОЛНЫ = БОЛЬШЕ ВОЛН В ОДНИХ МЕСТАХ, НО В ДРУГИХ МЕСТАХ ВОЛНЫ ОТСУТСТВУЮТ. С: ОТБРАСЫВАЮТ РЕЗКУЮ ТЕНЬ. В: ОГИБАЮТ ПРЕПЯТСТВИЯ. С: либо ПРОХОДЯТ через ДЫРКУ В СТЕНКЕ, либо НЕ ПРОХОДЯТ — СНАРЯД НЕ МОЖЕТ ПРОЙТИ ЧАСТИЧНО ЧЕРЕЗ ОДНУ. А ЧАСТИЧНО ЧЕРЕЗ ДРУГУЮ ДЫРКУ В ОДНОЙ И ТОЙ ЖЕ СТЕНКЕ. В: МОГУТ ПРОХОДИТЬ С ОДНОЙ СТОРОНЫ СТЕНКИ НА ДРУГУЮ ЧЕРЕЗ ЛЮБОЕ КОЛИЧЕСТВО ДЫРОК. ПОПЕРЕЧНЫЕ ВОЛНЫ МОГУТ ОБЛАДАТЬ ПОЛЯРИЗАЦИЕЙ.

Свет и любое другое электромагнитное излучение обладают свойствами, указанными в обоих колонках таблицы. Слабый свет звезд выбивает фотоэлектроны, отдавая всю свою энергию, куда бы он ни попал. Но, собирая тот же самый свет линзами огромного телескопа, можно получить интерференционную картину, в которой виден весь широкий фронт волны.

Рентгеновские лучи также выбивают фотоэлектроны, полностью передавая им свою энергию, а когда они рассеиваются на атомах, каждый квант отскакивает от некоторого электрона и точно так же, как это сделал бы снаряд, передает ему малый импульс отдачи (эффект Комптона, фиг. 188). Но при рассеянии рентгеновских лучей на кристаллической решетке, образованной слоями атомов, получается гладкая, коллективная картина интерференции; подобно световым волнам, у них также проявляется поляризация. Так что теперь мы описываем свет, рентгеновские лучи и т. п. как фотоны, снаряды энергии и импульса, ведомые вдоль своих траекторий волной; отчасти это соответствует давнишнему предположению Ньютона.

Де-Бройль сделал свое «возмутительное» предположение: припишем реальным снарядам (частицам) такие же волновые свойства. Если наделить каждую частицу вещества сопровождающей ее волной с неизвестной фазой, некоторой длиной волны и скоростью перемещения, то это позволит электрону, атому, любому движущемуся объекту образовывать интерференционную картину! Тогда мы должны сказать, что в некоторых отношениях электрон ведет себя как волна (ЯВЛЯЕТСЯ волной). В других случаях он ведет себя как частица (ЯВЛЯЕТСЯ частицей). Когда де-Бройль написал свое предположение в виде короткого поразительного письма в общедоступный научный журнал, многим казалось, что он почти сумасшедший. Со временем это принесло ему Нобелевскую премию.

Ниже приведен его рецепт рассмотрения, основанный на том, что для света уже приняты и корпускулярное, и волновое представления. Воспользуемся связывающим их квантовым правилом, чтобы выразить длину волны через характеристики частиц:

Определим теперь длину волны λ частицы вещества точно так же:

ДЛИНА ВОЛНЫ = h/ИМПУЛЬС = h/mv.

Тогда частица, обладающая большой массой и обычной скоростью, будет иметь настолько малую длину волны λ, что эффектами интерференции и дифракции можно пренебречь, — винтовочная пуля должна лететь по прямой, а не осыпать мишень со всех сторон частями интерференционно-дифракционной картины. Но у малых частиц, таких, как электрон, должны проявляться волновые эффекты. Подобно рентгеновским лучам, электроны из трубки с разностью потенциалов 50—100 в должны иметь длину волны, сравнимую с расстоянием между атомными плоскостями в кристаллах. Дэвиссон и Джермер из лаборатории, принадлежащей компании «Белл телефон», наблюдали «волны электронов», облучая маленький кристалл никеля потоком электронов[198]. К тому времени, когда де-Бройль высказал свое предположение, они уже обнаружили, что электроны, вместо того чтобы рассеиваться в широком интервале направлений, отдают предпочтение некоторым из них, что весьма загадочно для поведения частиц. Затем, приняв предположение о волнах, они проделали тщательные измерения: электроны из пушки с напряжением 54 в, которыми облучали кристалл никеля, интенсивно рассеиваются на угол 50° по отношению к отраженному назад пучку, а на все другие углы, кроме угла рассеяния назад, — очень слабо.

Фиг. 198. Электроны как волны: опыт Дэвиссона и Джермера.

Задача 5. Волны электронов? А) Рассчитайте длину волны де-Бройля для «54-вольтовых» электронов по следующей схеме: кинетическая энергия электрона равна энергии, полученной его зарядом при прохождении разности потенциалов 54 в. Вычислите: 1) скорость электрона v (пользуйтесь обычной механикой, поскольку он движется медленно по сравнению со светом. Возьмите е/m = 1,8∙10¹¹ кулон/кг); 2) его массу m (Используйте значения е/m и е. Возьмите е =1,6∙10^-19 кулон); 3) его импульс mv; 4) его длину волны λ. (Возьмите h = 6,6∙10^-34 дж∙сек, или (м)∙(кг∙м/сек).). Ответ к вопросу 4 получится в метрах. Выразите его также в ангстремах (10^-10 м). Б) Повторите контрольные расчеты Дэвиссона и Джермера. По измерениям с рентгеновскими лучами им было известно, что расстояние между слоями атомов в их кристалле никеля составляет 2,15 А°. Волновая теория предсказывает, что для волн с длиной волны λ, падающих на дифракционную решетку с постоянной d, дифракционный максимум приходится на угол А, который определяется из соотношения d∙sin A = λ. (Как в случае рентгеновских лучей, в случае электронов сильный дифракционный максимум создают несколько слоев атомов, отражающих волны совместно в одной и той же фазе. Тем не менее можно все же использовать приведенную выше формулу для плоской решетки, выведенную в гл. 10. Но там d означало расстояние между штрихами решетки, здесь — расстояние между рядами атомов кристалла. При таком расчете для получения максимума дифракционного пучка требуется точно такая же длина волны, как и при полном трехмерном рассмотрении.). 1) Вычислите К для волн, которые дают дифракционный максимум под углом 50° при рассеянии на кристалле с межатомным расстоянием 2,15∙10^{- 10} м (sin 50°= 0,766). 2) Сравните полученный результат с предсказанной вами в пункте а) «длиной волны» использованных электронов.

Измерения показали, что интерференционная картина соответствует длине волны λ = h/mv. Одновременно аналогичная проверка была проведена в Англии Г. Томсоном. С тех пор проводилось много измерений аналогичных дифракционных картин для потоков электронов, протонов, атомов и даже нейтронов. Эти картины показывают, что частицы движутся в направлении распространения волн. Волны сообщают нам, где мы сможем обнаружить частицы, [Никаких исключений в этом отношении мы не ожидаем. Убедившись в волновом поведении атомов, мы считаем, что оно свойственно также бейсбольным мячам и винтовочным пулям, но грубые оценки их длин волн даже при медленном движении показывают, что они (длины волн) слишком малы, чтобы их можно было измерить или как-либо заметить любые волновые эффекты.].

Наиболее яркую демонстрацию волновых эффектов придумал Г. Мёлленштедт. Он натянул чрезвычайно тонкую проволоку поперек пучка электронов, вылетающих из пушки. На удаленной фотопленке, регистрирующей поток, образуется тень проволоки. Затем проволоке сообщается малый положительный заряд. Электрическое поле этого заряда отклоняет поток электронов, проходящих по обе стороны от проволоки, поэтому тень исчезает, а вместо нее появляется «яркое» пятно в том месте, где перекрываются два потока, проходящих с двух сторон проволоки. В этом пятне видны полосы Юнга — места, где.

«электроны + электроны = больше электронов»,

И другие места, где.

«электроны + электроны = нет электронов».

В темных полосах отнюдь не происходит взаимного уничтожения электронов — просто они не могут туда попасть, поскольку волновая природа уводит их куда-нибудь в другое место. Эта техника весьма трудна — картину нужно увеличить линзами электронного микроскопа, — но результаты великолепны.

Посмотрите на фиг. 199–202 и сравните картину, образованную электронами, и аналогичную картину для световых волн.

Фиг. 199. Волны из двух когерентных источников образуют интерференционные полосы.

Фиг. 200. «Бипризма» из стекла преобразует источник света в два источника так, что создаются световые интерференционные полосы.

Фиг. 201. Эксперимент Мёлленштедта.

_{Для электронов электрическое поле возле положительно заряженной проволоки действует как «бипризма». Как и для фотонов, имеются «яркие» полосы в тех местах экрана, куда попадает много электронов, и «темные» полосы, куда попадает мало электронов, — направляющие «волны материи» создают интерференционную картину. Картина настолько мала, что ее приходится увеличивать линзами электронного микроскопа, а затем еще увеличивать с помощью оптики.}

Фиг. 202. а — интерференционная картина, образованная видимым светом (увеличено в 30 раз).

_{Фотографию сделал Генри А. Хилл из Принстонского университета;}

Б — интерференционная картина, образованная электронами (увеличено в 5000 раз).

_{Фотография Г. Мёлленштедта и X. Дюкера из Тюбингенского университета. Эксперимент опубликован в журнале «Zeitschrift fur Phisik», том 145, 1956.}

Сложный конфликт.

Идею дуализма «волна — частица» трудно воспринять для света, но еще труднее — для атомов, электронов и всех кусочков вещества. Свет, проходящий через пару щелей в стенке, образует на удаленном экране интерференционные полосы Юнга. Но его энергия, очевидно, переносится пулеподобными квантами, большая часть которых попадает на яркие и лишь малое число квантов — на темные полосы. Если через две щели проходит поток электронов[199], снова получается интерференционная картина, так что каждый индивидуальный электрон должен каким-то образом пройти через обе щели[200]. Его волна должна проходить через обе щели, иначе как же получится интерференционная картина? Но как это может сделать пуля?

Волновые пакеты.

По отношению к этому парадоксу де-Бройль выдвинул некоторые утешительные соображения — но его аргументы сложны и требуют математики в большей мере, чем мы здесь дадим, Его идея состояла в следующем: представлять волны, соответствующие фотонам или частицам вещества, как компактную группу мелких волн, подобную всплеску на воде, который можно создать одиночным шлепком по поверхности воды в ванне или бассейне.

Проследите, как такая группа волн распространяется по воде; вы увидите, что она с определенной скоростью v расплывается как кольцо возмущения. Теперь понаблюдайте за деталями такой группы при ее распространении. Она содержит маленькие волны, перемещающиеся медленнее, чем вся группа в целом. Маленькие волны позади передовой группы непрерывно погибают, тогда как на фронте группы рождаются новые волны. Эта идея группы волн, обладающих различными скоростями, составляет суть схемы де-Бройля. Электроны и световые кванты (фотоны) представляют собой группы волн, компактно переносящие энергию и импульс.

То, что мы обычно наблюдаем как «частицу» (электрон, протон, фотон…), — это «волновой пакет» (см. фиг. 272 ч. I). Однако «всплески» внутри него образованы многими близкими длинами волн, которые собираются вместе, создавая результирующую картину. Эти наборы волн находятся в фазе вблизи центра группы, а переходя в другие места, они взаимно погашаются. Но каждую индивидуальную волну-составляющую можно рассматривать как простирающийся далеко вперед и назад «путепровод». Это волна, которая приводит частицу-пакет к светлой полоске в интерференционной картине. Волны, ведущие частицу, перемещаются быстрее, чем вся группа в целом, в противоположность волнам на воде. Импульс частицы с массой m и скоростью v равен mv; ее волновой пакет перемещается сгрупповой скоростью v, волнам пакета соответствует длина волны h/mv. А сами волны перемещаются со скоростью V, большей v. В действительности V∙v = c², так что V даже больше с. Это не противоречит теории относительности, поскольку V — только скорость перемещения фазы волны, а не скорость распространения энергии. Вы можете представить себе волны, которые бегут впереди частицы, чтобы разметить интерференционную картину и сообщить частице, куда ей следует идти. Загадка дуализма «волна-частица» при этом сохраняется, но все же легче совместить идею волны с частицей, если говорить, что «то, что вы обычно наблюдаете как частицу, представляет собой компактный пакет волн (волновой пакет)» (взгляните снова на фиг. 272 ч. I).

Идея де-Бройля не только объяснила эксперименты, в которых у электронов и других частиц обнаруживается волновое поведение, но и с совершенно неожиданной стороны осветила модель Бора. А затем привела к великому развитию современной атомной теории.

Волны и атом Бора.

Де-Бройль прояснил причину загадочного правила mv∙2πr = nh, установленного Бором для разрешенных орбит. Описывающий такую орбиту электрон имеет длину волны λ = h/mv, так что mv = h/λ. Тогда правило Бора приводит к соотношению (h/λ)∙2πr = nh, или 2πr = nλ. С этой точки зрения стабильными являются только такие орбиты, на которых длина волны электрона укладывается целое число раз (n): 2πr₁ = λ₁, 2πr₂ = λ₂, 2πr₃ = λ₃ и т. д. Электрон должен, так сказать, вплетать свою волну туда, где она уже есть (подобно змее, глотающей свой собственный хвост), и образовывать стоячую волну (см. гл. 10) с целым числом длин волн на окружности[201] (фиг. 206). Тогда мы уже видим не твердую частицу с центростремительным ускорением v²/r, которая должна была бы излучать, а волновую картину, заполняющую орбиту. Для многих физиков такая картина давала но крайней мере удобное объяснение произвольного правила Бора: «разрешенные орбиты» соответствуют допустимым стоячим волнам.

Фиг. 206. Модель атома Бора, в которой электроны заменены волнами де-Бройля.

Теперь мы рассматриваем эти волны де-Бройля как схему, которая сообщает нам о возможном местонахождении электрона: чем сильнее[202] волна в какой-либо области, тем вероятнее, что мы обнаружим там электрон. Эти волны — бегущие волны для движущихся свободных электронов или стоячие волны для электронов, связанных в атоме, — не есть волны движущегося вещества или переменного поля — это «волны вероятности». Кольцевые волны, предложенные впервые для объяснения боровских орбит, могут определять вероятность местонахождения электрона в некоторой области возле окружности. Либо они могут быть эквивалентны волнам, бегущим навстречу друг другу по кольцу. Тогда уже бесполезно спрашивать, в какой точке окружности расположен электрон. В настоящее время для указания вероятности местонахождения электрона мы имеем другие волновые картины для разных состояний: радиальные и круговые стоячие волны. Первая боровская орбита атома водорода заменена радиальной кривой, показывающей интенсивность волны и доходящей до самого ядра. Хотя большую часть времени электрон проводит на разных расстояниях от ядра, среднее расстояние совпадает с предсказанным ранее Бором. А если эту кривую симметрично покрутить по всем направлениям, она изобразит для электрона облако вероятности, рассеянное вокруг ядра. Волновые картины для более сложных атомов и для более высоких энергетических состояний показывают более сложную форму облака. Каждая картина изображает только облако вероятности местонахождения электрона, но частота волнового движения для данной картины является определенной, а это означает определенность уровня энергии электрона.

Такая точка зрения объясняет, в частности, почему атом не может сжиматься так, чтобы электроны двигались по все меньшим и меньшим орбитам. Если положение каждого электрона действительно описывается стоячей волной, то на длине окружности наименьшей орбиты должна укладываться ровно одна длина волны — немыслимо, чтобы в кольцевой стоячей волне содержалась только часть длины волны, — которая должна определить минимальный размер, до которого можно сжать атом. (Соответствующее ограничение для простейшей стоячей волны остается справедливым и при замене циркулярных «орбит» более общими картинами.).

Некоторый смысл приобретает и принцип Паули: посадите несколько тождественных электронов на одну и ту же «орбиту» — картины их стоячих волн сложатся в одну-единственную картину, и тогда мы можем ожидать, что обнаружим один электрон вместо нескольких[203].

Новая атомная теория.

Мощный аппарат был развит Шредингером. Исходя из дебройлевского квантово-волнового постулата, он составил общее волновое уравнение (см. т. 2, стр. 588) для электронов. Затем он посмотрел, какие решения в форме стоячих волн должны соответствовать полю кулоновских сил, меняющихся по закону обратных квадратов внутри атома. Это аналогично следующему: определить скорость волны вдоль натянутой струны (см, гл. 10: СКОРОСТЬ² = НАТЯЖЕНИЕ / МАССА НА ЕДИНИЦУ ДЛИНЫ); подставить ее в общее волновое уравнение (²V = (1/c²)∙(d²V/dt²)); наложить «граничные условия», как, например, для жестко закрепленной струны длиной L (закреплены концы, что предотвращает движение в точках х = 0 и x = L); затем найти частоты возможных стоячих волн (как в гл. 10, где вычислены частоты для 1 пучности, 2 пучностей и т. д.). В случае, который рассматривал Шредингер, частоты по квантовому правилу дают энергии. Волновые уравнения и граничные условия здесь более сложны, чем для струны, но они приводят к ценным результатам.

Эта новая интерпретация вскоре была математически применена к волновому рассмотрению электронов в атомах, которое далеко превосходит в успешных предсказаниях теорию Бора. Как и рассмотрение Бора, оно оказалось успешным в применении к атому водорода, даже с более тонкими деталями, и, сверх того, в применении к сложным атомам. Рассмотрение перераспределения электронов при химических превращениях в волновом описании также дало правильные предсказания. Волновое описание было успешно распространено на ядерную физику и интерпретировало радиоактивность в терминах волн-частиц, которые просачиваются через потенциальный барьер ядра. Все это — ценой отказа от какой-либо наглядно определенной модели или картины. Картина атома Бора содержала необязательные конкретные детали — недоказуемые экспериментально и, следовательно, недопустимые для любой долговременной научной теории. Теперь четкие орбиты исчезают и заменяются математическими формулировками волновой модели, которые дают определенные уровни энергии, в точности соответствующие энергиям электронов на старых боровских орбитах. Но у нас нет картины соответствующих волн. Кроме математической формулировки, у них нет ничего общего с волнами на воде или с волнами света. В нашем новом рассмотрении используются такие волны, интенсивность которых показывает, где с наибольшей вероятностью должен быть электрон. Интенсивность волны в выбранной области показывает, сколько шансов за то, что здесь находится электрон. Об интерферирующих световых волнах мы говорим, что математическое описание сообщает нам шансы того, что фотон попадает в определенную часть картины: самые низкие шансы соответствуют темной полосе, самые высокие — светлой. Для связанных электронов в стабильных состояниях атомов у нас есть утверждение о стоячих волнах, которые описывают только облако вероятности распределения электронов: наиболее вероятно здесь, вероятно там, менее вероятно во всех других местах.

Точно так же облако вероятности имеется внутри радиоактивного ядра, например для группы нуклонов α-частицы: вероятность того, что α-частица находится внутри, велика, но, так как волны вероятности распределены во всем пространстве, у α-частицы имеются некоторые шансы оказаться снаружи. В один прекрасный момент она воспользуется этими шансами; тогда она уже снаружи, и после этого электрическое поле выбрасывает ее вдаль. Это грубое, вульгаризованное «объяснение» радиоактивности.

Фиг. 207. Другие волновые картины атомных моделей.

Фиг. 208.

Фиг. 209. Волновые картины в ядрах.

Новое рассмотрение атомов оказалось точным, но отнюдь не простым. При более детальной разработке идея о волнах становится более плодотворной, но сами волны от этого не становятся более реальными. Для их описания мы имеем хороший математический аппарат, но не имеем модели для интерпретации результатов. По существу модели оказались обреченными на неудачу, поскольку они часто вводят в заблуждение. Наша картина атомов и их поведения осталась математической моделью — сложной моделью с зацепляющимися друг за друга частями, которая приводит к плодотворным результатам. Поэтому мы вверяем атомную теорию математикам. Они развили новые средства, например сложную алгебру с нетривиальными правилами[204]. Несмотря на странность методов, результаты превосходны и во всех перечисленных ниже пунктах подтверждаются экспериментальными проверками:

Волновой формализм дает для сложных атомов уровни энергии и вероятности нахождения электрона на каждом уровне; это приводит к успешным предсказаниям частот спектральных линий и их яркостей. При описании молекул как комбинации атомов волновой формализм предсказывает химические энергии и силы поверхностного натяжения. Он даже предсказывает углы и расстояния между атомами в длинных молекулярных цепях, что подтверждается измерениями с помощью рентгеновских лучей. Вычисленные вероятности нахождения электрона в некоторой области определенного атома согласуются с измерениями рассеяния потока электронов на атомных электронах в мишени из таких атомов. Кинетическая энергия α-частиц сообщает нам их длину волны. Это дает вероятность их просачивания через ядерный барьер, что позволяет с определенным успехом предсказать период полураспада радиоактивного ядра.

Но нам приходится оставить аппарат всей этой плодотворной теории в математической форме: мы не можем предложить хорошей модели, в которой все казалось бы «разумным». Мы возвращаемся к детской аргументации «потому что это так» или к взгляду древних греков «это в природе вещей». Как и у древних греков, у наших физиков-атомников есть четкие правила — правила квантования и симметрии, правила, которые работают, — но для них нет первопричины. Сформулировав несколько правил, сказать: «Здесь записано, как ведет себя природа», — вместо того, чтобы во всем обвинять сотни демонов разных мастей, — это все-таки хорошая наука. С этих пор люди, работающие сейчас в физике, оказались разделенными на занимающихся теорией и занимающихся экспериментом. Экспериментатор продолжает исследовать, проверять предсказания, искать новые явления, часто с помощью большой дорогостоящей аппаратуры, для своих непрямых атак на субмикроскопический мир атомов и ядер. Физик-теоретик использует надежные математические методы, избегая думать на языке моделей, к которым склонны более практичные умы. Среди тех и других мы находим великих мыслителей и мудрейших ученых, которые могут объединять теорию и эксперимент и продвигать вперед наше понимание природы.

Принцип неопределенности.

Если движение электрона представляет собой распространение его собственной волны, то при желании точно зафиксировать его положение возникает такое же затруднение, как и в случае камеры-обскуры со слишком малым отверстием. Стреляйте пучком электронов через узкое отверстие в стенке: узкий пучок пройдет через него. Но сделайте-ка отверстие еще меньше, такое, чтобы его диаметр по величине сравнялся с длиной волны электрона: пучок прошедших электронов разойдется во все стороны. Он обязан так сделать. Это не есть отклонение, вызванное ближайшими атомами стенки, от которого можно избавиться: это происходит вследствие волновой природы электрона. Попробуйте предсказать, что произойдет дальше с электроном, прошедшим за стенку, и вы, как ни странно, оказываетесь бессильными. Вам точно известно, в каком месте он пересекает стенку, но сказать, какой при этом импульс в поперечном направлении он приобретет, вы не можете. Наоборот, если вы желаете точно определить его импульс и с уверенностью утверждаете «он появится с импульсом mv в первоначальном направлении, вот и все», то для этого вы должны увеличить отверстие настолько, чтобы электронная волна проходила прямо, лишь слабо расходясь во все стороны из-за дифракции. Но тогда вы точно не знаете, в каком же месте электрон-частица прошел через стенку: отверстие-то широкое. Насколько выигрываешь в точности определения импульса, настолько проигрываешь в точности, с какой известно его положение.

Предельную точность, нам доступную, можно найти из соотношения λ = h/mv. Из общей теории распространения волн следует, что если волна проходит через отверстие диаметром, равным λ, или меньше, то она при этом полностью расходится во все стороны; волна же, прошедшая через отверстие диаметром несколько десятков длин волн или еще больше, проходит практически не расходясь (см. гл. 10). Если зафиксировать положение движущейся частицы у стенки с точностью до нескольких длин волн λ, то при этом есть риск сообщить ей в поперечном направлении импульс, составляющий большую, но неизвестную часть от его первоначального, направленного вдоль его движения импульса mv. Если же достаточно знать положение частицы грубо, с точностью до нескольких десятков длин волн λ, то за счет такой жертвы ее конечный импульс будет известен с точностью до величины, составляющей малую часть начального импульса.

Фиг. 210.

Приводимая ниже таблица содержит утверждения, выглядящие более строгими, чем они есть на самом деле, однако в ней приведены результаты полного исследования с учетом детальной геометрии волн.

Это грубые утверждения относительно точности нашего знания. Однако детальное рассмотрение приводит к тому же самому выводу: в каждом случае произведение неопределенностей равно λ∙mv, т. е. (h/mv)∙(mv) = h.

(НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ КООРДИНАТЫ Δx)∙(НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ ИМПУЛЬСА Δ(mv)) ~= (КВАНТОВАЯ ПОСТОЯННАЯ h)

Эти неопределенности отвечают разным измерениям: неопределенность одного измерения приводит к появлению неопределенности в другом. Чем точнее производится одно измерение, тем с меньшей точностью можно предсказать результат другого измерения. Неопределенность возникает не вследствие плохой аппаратуры: она лежит в самой природе. Процесс измерения одной величины обязательно ухудшает возможности точного измерения другой. Так как каждая из этих неопределенностей отражает неточность нашего знания, то последнее обязательно в какой-то степени является неточным. Поэтому не следует говорить, что произведение (Δx)∙(Δmv) точно равно h, скорее следует говорить, что оно примерно равно h или «порядка h».

Это и есть принцип неопределенности Гейзенберга. Он сыграл исключительно важную роль при построении математического аппарата для описания волн-частиц в атомах. Его строгое толкование в опытах с электронами таково: подобно световым волнам электроны сопротивляются любым попыткам выполнить измерения с предельной точностью. Этот принцип меняет и картину атома Бора. Можно определить точно импульс электрона (а следовательно, и его уровень энергии) на какой-нибудь его орбите, но при этом его местонахождение будет абсолютно неизвестно: ничего нельзя сказать о том, где он находится. Отсюда ясно, что рисовать себе четкую орбиту электрона и помечать его на ней в виде кружочка лишено какого-либо смысла.

Еще более кардинальные изменения вносит принцип неопределенности в философское мировоззрение. Нельзя получить знание с предельной точностью, которую мы желаем, причем дело тут вовсе не в разуме, терпении, технике или деньгах. Мысленно можно построить сверхмикроскоп для наблюдения электрона. Будет ли тогда уверенность, что координаты и импульс электрона одновременно измеримы? Нет. В любом таком микроскопе для наблюдения должен использоваться тот или иной «свет». Вообще, чтобы «увидеть» электрон, в таком сверхмикроскопе на электроне должен рассеяться хотя бы один квант «света». Такое столкновение приводило бы к изменению движения электрона, вызывая непредсказуемое изменение его импульса (комптон-эффект). И для того, чтобы точно определить местоположение электрона, «свет» должен быть исключительно короткой длины волны, иначе его дифракционное изображение размоется. Поэтому этот квант должен быть исключительно коротковолновым, крайне высокочастотным: это должен быть гигантский квант, фотон γ-лучей. Но в таком случае столкновение будет сильным и импульс отдачи электрона окажется весьма неопределенным. Подробные вычисления на основе соответствующих выражений для импульса отдачи в комптон-эффекте и теории дифракции света в микроскопе дают (Δx)∙(Δmv) ~= h.

Подобным же образом этот объективно существующий закон неопределенности работает в случае энергии и времени. Нельзя абсолютно точно измерить кинетическую энергию частицы за бесконечно малый отрезок времени. Неопределенность нашего знания энергии ΔЕ и интервала времени ее измерения Δt связаны следующим образом:

ΔЕ∙Δt ~ h[205].

Во всех приведенных выше соотношениях неопределенностей даже знак ж является слишком точным. Следует говорить (Δx)∙(Δmv) ~ h (примерно такой же величины, как h). Но даже в такой формулировке это лучшее, на что можно надеяться. Поэтому следует говорить «примерно такой же величины, как… или больше[206]».

Этот малый квант действия h играет роль как бы площади дыр в той частой сети, с помощью которой мы желаем выловить информацию в природе. «Клетка точности» вокруг какого-либо куска информации, который мы хотим поймать, должна иметь площадь большую, чем h, иначе улова не будет. Пытаясь поймать какую-нибудь подробную информацию, можно растянуть нашу сеть в каком-нибудь одном аспекте и сузить ее дыры, однако при этом дыры станут длиннее в другом отношении. Подробность, если можно так выразиться, узкая в «ширину», должна быть достаточно велика в «длину», иначе она ускользнет через дыры. Нельзя измерить точно и одновременно величину импульса и координаты: можно только точно измерить одну из них, однако за счет ухудшения знания о другой.

Отсюда ясно, что аппаратура экспериментатора и направление его поиска жестко определяются вопросом, который он изучает. Решив осуществить какое-либо измерение, он тем самым теряет надежду узнать результат точного другого измерения. Это утверждение не звучит как обычное извинение начинающего профессионального ученого: «экспериментальная ошибка», или «вероятная ошибка ± столько-то процентов для данного прибора». Это есть результат всегда существующего, неустранимого взаимодействия прибора и наблюдателя.

На подобное ограничение в биологии уже давно было обращено внимание Г. Дж. Уэллсом: зоолог, экспериментирующий с живым организмом, никогда не имеет дело с абсолютно здоровым, нормальным экземпляром, поскольку сам акт экспериментирования приводит к изменениям в организме исследуемого существа. Современные биологи и те, кто занимается опросом населения, а также все психологи сталкиваются с аналогичным эффектом.

Это ограничение точности физических экспериментов оставалось неосознанным, пока экспериментаторы имели дело с большими телами, состоящими из большого числа атомов. Для таких тел статистические средние (которые мы, жалкие экспериментаторы, обычно наблюдаем) сглаживают флуктуации и дают нам величины, удовлетворяющие строгим законам[207].

Вы уже встречались с эффектом такого сглаживания в случае постоянного давления. Подумайте, однако, что если бы физические эксперименты могла проводить бацилла, то она дала бы совершенно иное описание природы: поверхностные силы перевешивали бы силы гравитации, броуновское движение было бы всеобъемлющим, фотоны бы действовали поодиночке или попарно. Если бы мы могли сами непосредственно это наблюдать, можно было бы еще надеяться видеть и предсказать эти иррегулярности, но при переходе к еще меньшему масштабу — масштабу отдельного атома — присущая природе связь неопределенностей действовала бы в полную силу и препятствовала бы нашему настойчивому любопытству.

Неопределенность и корпускулярно-волновая природа.

Если в некоторый момент времени точно замерить местоположение электрона, то это уничтожит все шансы точно измерить его скорость. Это в новой формулировке отражает свойственный природе дуализм волна — частица. Если решено точно измерить скорость электрона, то это позволит определить его импульс и длину волны, важную характеристику последней. Длина волны электрона находится путем измерения длинной последовательности волн (длинного цуга волн), что отрезает путь к рассмотрению электрона в виде компактной частицы и, следовательно, его положения. Если, наоборот, определяется его положение, то тем самым подразумевается, что электрон — частица, и оставляется в стороне вопрос о его волновой природе, что уничтожает возможность что-либо сказать об его импульсе. (См. фиг. 272 из ч. I, иллюстрирующую это.).

Это не безнадежное противоречие между человеком и природой (до этого далеко!): это всего лишь результат наших попыток навязать не свойственное природе обличье. На микроскопическом уровне атомы, электроны и кванты реально ведут себя не как волны и не как частицы. Если в поведении объекта стараться видеть корпускулярные черты, так как что-то в нем их нам напоминает, то это означает измерение характеристик, которыми электрон и атом обладали бы, если бы они действительно были частицами. Человек всегда пытался рисовать себе богов в человеческом обличье. Теперь же он пытается навязать атомам образы его собственных развлечений: мячей, капель воды, океанских волн…

Принцип дополнительности.

На основании ранних экспериментов и упрощающих предположений были сформулированы законы Ньютона, уравнения Максвелла, теория относительности, которые довольно хорошо описывают поведение больших движущихся масс, зарядов и т. д. Затем было предположено, что эти представления годятся и для электронов, ядер, квантов… Точнее, поскольку непосредственный контакт с микромиром отсутствует, люди предпочли применить в этой области макроскопические законы, не зная, подходят ли они или нет, и затем вынуждены получать следствия. Теперь мы видим, что неразумно спрашивать, верны или нет эти законы. Можно предположить, что они верны, и тогда мы получаем взгляд на природу, открывающийся в этом предположении (если спросить: «Насколько шторм свиреп?», то можно ответить — «Очень свирепый». Но было бы неразумно отсюда заключить, что у штормов есть характер). Что бы ни представлял собой микромир в действительности — а это «в действительности» может само по себе быть макрочеловеческой ошибкой, — это не есть мир волн или частиц. Втиснутый в рамки волнового описания вопросом о волнах мир дает волновой ответ и игнорирует частицы. Или, будучи спрошенным о частице, он дает ответ, игнорирующий волновую природу частиц. Но это не природа, которая вешает занавес перед фактами о частице, когда ей задают вопрос о волновой природе. Это всего лишь наши вопросы, которые принуждают рядиться не-волну-не-частицу — электрон в неудобную волновую одежду или в одинаково не подходящую ей одежду частицы. Фактически волновая картина использует «для корректного описания не электрон, а состояние знания об электроне»[208].

Люди достаточно умны, чтобы не задавать переполненные предположениями вопросы слишком грубо, однако сознают, что в тех случаях, когда два противоречащих друг другу описания могут быть по отдельности пригодными, то.

А) описания взаимно дополняют друг друга: каждое из них «верно», если интересоваться одним определенным свойством материи;

Б) описания взаимно исключают друг друга: если используется одно из них, нечего надеяться применить другое с тем же успехом.

Это и есть всесильный принцип дополнительности Бора, сформулированный им следующим образом (слово «классический» относится к традиционным законам старой устоявшейся физики): «Любое использование классических представлений немедленно приводит к отказу от использования других классических представлений, в разных аспектах одинаково необходимых для объяснения явления»[209].

Для того чтобы почувствовать, что такое принцип дополнительности, ниже предлагаются четыре коротких вымышленных примера.

ПЕРВЫЙ ПРИМЕР. Предположим, что вам дали игрушечный «атом», вылепленный из куска глины. Если бы вас попросили определить «длину» этого «атома», то вы могли бы скатать глину в «колбаску» полуметровой длины. Если бы вас спросили о диаметре «атома», вы могли бы подумать о шаре, затем скатать глину в шарик диаметром 5–6 см и измерить. Поступая подобным образом, вы не можете ответить сразу на оба вопроса. Эта выдумка показывает тот путь, по которому наш выбор вопроса контролирует способ ответа и который запрещает взаимоисключающие эксперименты. Эта иллюстрация, однако, вводит в заблуждение, так как глина остается у вас в руках и вам никто не запрещает пытаться выполнить оба задания с одной и той же глиной. ВТОРОЙ ПРИМЕР. Предположим, что у вас в руках только что вылупившийся жук, последний из своей разновидности. Если необходимо узнать, как долго могут жить молодые жуки данной разновидности без пищи, можно поместить его в коробку и проверить, сколько он проживет. Если же нужно узнать, за какое время жук удваивает свой вес, находясь на сахарной диете, можно кормить его и наблюдать за его успехами. Однако нельзя проделать оба этих эксперимента с одним и тем же жуком. Оба эксперимента взаимно исключают друг друга. Эта выдумка показывает, как выбор одного вопроса полностью отрезает нам возможность ответить на другой. Данная иллюстрация, однако, также вводит в заблуждение, поскольку это такая ситуация, которая меняет наши планы (надежды), но не поведение природы: оба вопроса нормальны, и мы только искусственно создали видимость трудности. ТРЕТИЙ ПРИМЕР. Некий нервный вкладчик, вложивший свои сбережения в банк, дрожит за свои деньги и желает убедиться, что они в целости и сохранности. Он пытается удостовериться в этом двумя способами. А) следит за регулярностью выплаты интересующих его процентов и по ним заключает, что его деньги в банке; Б) ярко представляя себе, как в детстве заглядывал в свою свинку-копилку, иногда заходит в банк и просит показать ему его деньги. Банк соглашается на это, но предупреждает, что так дело дальше не пойдет. (Далее ему объясняют, что, если всем вкладчикам вздумается выдвигать подобные требования, банк вообще не сможет нормально работать.) Вкладчик с успехом может воспользоваться обоими способами. Однако каждый из этих способов заставляет его отказаться от другого, поскольку выглядит достаточно надежным. Вкладчику приходится изменить свое представление о банковском деле и зарубить себе на носу, что, хотя его деньги и в безопасности, это все же не то, что хранить их у себя в подвале. ЧЕТВЕРТЫЙ ПРИМЕР. Предположим, имеется маленький ящик вроде спичечной коробки, из которого доносится какое-то поскрипывание. Двум лицам предлагается, не открывая ящик, исследовать, что там внутри. В — любитель-биолог слушает и решает, что внутри ящика сидит насекомое, скорее всего сверчок. Решив так, В может задаться рядом научных вопросов и ответить на них. Он вслушивается в звуки, определяет их тональность и длительность и, зная, что сверчок издает звуки, потирая ножки друг о друга, оценивает (можно себе вообразить) число зазубрин на ножках сверчка и расстояние между ними. Это даже может его навести на мысль о том, к какой разновидности сверчков следует отнести сидящего в ящике. Это хорошая догадка на основании его гипотезы — но в своем желании понять, что же внутри ящика, В может не заметить, какое ограничение он накладывает сам на себя своей первой гипотезой. Между тем Е — радиоинженер — смотрит, слушает и решает, что внутри ящика помещен маленький транзисторный передатчик. По размеру ящика и высоте звука он прикидывает (можно себе представить) величину электрической емкости, которая дает такие поскрипывания. Затем В и Е встречаются. Несмотря на коренное различие в объяснении, они соглашаются продолжить эксперимент. Им пока еще не позволяют открыть ящик, но разрешают в щелку капнуть немного машинного масла. Тон скрипа понижается. Биолог В говорит: «Это как раз то, что я предполагал — в вязком масле сверчку тяжелее двигать ногами». Инженер Е говорит: «Это разрешает все сомнения — масло, попадая между обкладками конденсатора, всегда увеличивает его емкость, что и должно приводить к понижению высоты звука». Каждый полагает, что эксперимент свидетельствует в пользу его объяснения, но при этом он забывает, что проделанный им опыт получает смысл только в рамках выбранного им самим способа объяснения.

Дополнительность.

Дополнительность имеет место во многих областях интеллектуальной деятельности человека: в науке, философии, этике, наконец, в самой жизни. Существует много вещей, обладающих различными, взаимоисключающими друг друга свойствами. На основании опыта, приобретенного в атомной физике, нельзя утверждать: «это противоречащие друг другу точки зрения». Досадно, что каждое кажется верным, и раздражает, что одна точка зрения полностью отрезает нас от других. Однако тут следует винить доставшуюся нам в наследство от древних греков способность мыслить с помощью категоричных да и нет. Следует уразуметь, что наше неудовольствие происходит от необходимости вести себя не способом А, не способом В, а неким неизвестным образом, скажем типа А, в случае чего необходимо забыть о способе В. Вместо этого следует научиться иметь в виду обе точки зрения, используя каждую наиболее рациональным образом.

На фиг. 211 изображена модель, служащая для демонстрации дополнительности[210].

Фиг. 211. «Игральный ящик» для иллюстрации дополнительности.

Две игральные кости помещены на концах длинного выдвижного ящика АВ в отделениях со стеклянными окошками. Выдвижной ящик вставляется в туннель так, что можно вытягивать его то с одного конца, то с другого и видеть кости. Чтобы посмотреть на кость А, нужно вытянуть ящик за конец А. При этом кость А видна, а В — нет. Чтобы посмотреть на кость В, нужно вдвинуть ящик в туннель настолько, чтобы показалась кость В. Движение ящика включает опрокидывающий механизм (расположенный в туннеле), который подбрасывает вторую кость, когда первая показывается из туннеля. (Это можно делать рукой, ударяя по резиновому дну ящика.) Механизм включается только тогда, когда ящик проходит больше половины пути через туннель. Так, если полностью вдвинуть ящик в туннель (обе кости внутри туннеля), а затем снова его вытянуть за тот же конец, то число очков на кости окажется тем же самым. Можно вытягивать ящик за конец А сколько угодно раз, но каждый раз будет видна одна и та же грань кости А. Если, однако, ящик вдвинуть поглубже, так чтобы показалась кость В, то можно услышать, как перед этим срабатывает подбрасывающий механизм. После этого уже нельзя с определенностью сказать, какое число очков покажет кость А, когда ее вытащат в следующий раз. Когда видишь, что выпало на одной кости, то не знаешь, что будет на другой.

Это не «модель» в научном понимании, а всего лишь механическая игрушка, демонстрирующая дополнительность. Если концу А сопоставить «положение электрона» (или «где?»), то конец В следует обозначить как «импульс» (или «как быстро?»). Но если концу А приписать «кинетическую энергию частицы», то концу В следует сопоставить «время». Существует много других пар величин, дополнительных — важных и взаимоисключающих друг друга. Если иметь дело с одной из них, то при этом полностью исключается знание другой. Ниже приведен список таких величин, составленный Уилером:

Дополнительность не противопоставляет противоположности, скажем любовь и ненависть, а только объединяет взаимоисключающие свойства одного и того же, такие, как любовь и правосудие. Следует научиться жить с учетом дополнительности.

ЕЩЕ НЕМНОГО ТЕОРИИ.

Предсказание новой частицы. Мезон Юкавы.

В качестве последнего примера физической теории предлагается проследить, как из корпускулярно-волновой теории вытекает необходимость существования неожиданной субатомной частицы — мезона, представляющего собой нечто среднее между электроном и протоном. (Нижеследующее представляет собой примитивное изложение громадного раздела чистой теории. Способ изложения выбран не наилучший и даже не совсем физический. Его следует скорее рассматривать в качестве наводящего. Вспомните, что зачастую верный подход обнаруживается при грубой попытке рассмотрения вопроса, подобно тому как это делается ниже.).

Тридцать лет назад, когда в рамках новой корпускулярно-волновой физики разрабатывалась структура атомов, структура ядер еще оставалась загадкой, частично разгаданной, а частично неясной, заставлявшей думать о существовании неких неизвестных сил, цементирующих ядро. В атомах электроны и ядра связаны электрическими силами, обратно пропорциональными квадрату расстояния, причем картина волн де-Бройля определяет вероятности их расположения. Внутри же ядра должны существовать другие силы, которые уравновешивают силы электрического отталкивания протонов и заставляют протоны и нейтроны находиться вместе. Действительно, из опытов по рассеянию следует, что такие силы существуют внутри ядра. Когда быстрые α-частицы или протоны налетают на ядра, часть из них при столкновении на близких расстояниях рассеивается назад на большие углы, причем число их оказывается неожиданным. Их оказывается гораздо меньше, чем можно было бы ожидать, если исходить из отталкивания по закону «обратного квадрата расстояния», т. е., видимо, должны действовать новые силы, силы притяжения, причем такие, действие которых ощущается только на очень малых расстояниях от ядра[211]. В модели «холма» потенциальной энергии такие «короткодействующие силы» заставляют кривые потенциальной энергии загибаться вниз и спускаться в кратер. На краю кратера короткодействующие силы притяжения уравновешивают силы электрического отталкивания, действующие на налетающую заряженную частицу. На внешнем склоне «холма» силы скоро обращаются в нуль, внутри же кратера они оказывают исключительно сильное влияние на любую частицу в ядре. Из экспериментов по облучению следует, что для ядер радиус кратера в среднем примерно составляет 1,4∙10^-15∙(А)^1/3 м, где А — атомный вес. Будем называть это расстояние радиусом ядра r. Следовательно, относительно радиуса действия ядерных сил нам уже что-то известно. По измеренным энергиям связи можно было бы оценить размеры ядра при плотной упаковке. Однако истинная природа или механизм их действия оставались неизвестными, и никто не представлял себе, как связать их с макромиром.

В 1935 г. японский физик Юкава выдвинул потрясающее предположение: внутри ядра всегда находятся некие субатомные частицы, которые испускаются одними нуклонами и поглощаются другими. О таком «процессе обмена» ранее никто не догадывался. Если бы подобные частицы обладали подходящей массой и в некоторых случаях зарядом, то обмен ими объяснял бы ядерные силы. (Это нечто вроде эффекта связи двух ненавидящих друг друга партнеров по теннису через теннисный мяч. Пока мяч носится по корту, партнеры остаются на теннисной площадке.) Картина таких «обменных сил», следует из теоретической схемы, построенной физиками-теоретиками для «объяснения» обычных электрических сил, таких, как силы электрического отталкивания двух электронов. Рассмотрим вначале эту схему.

Как электроны отталкивают друг друга? Можно говорить, что каждый из них действует на другой посредством электрического поля. Однако для объяснения связи, существующей между электрическим полем и электроном, в настоящее время в качестве необходимого компонента привлекают фотоны. Когда электрон, движущийся ускоренно, излучает (или поглощает) фотон, то между излучением и электроном происходит обмен энергией и импульсом, в результате чего электрон испытывает действие силы. Если же электрон двигался бы в поле электрических сил без ускорения, то физики-теоретики и в этом случае могли бы сказать, что происходит обмен энергией и импульсом через фотоны. Правда, такие «виртуальные» фотоны испускались бы и поглощались столь быстро, что их никогда не удалось бы увидеть. Такие фотоны, «отскакивая» от электрона (или какой-нибудь другой заряженной частицы), уносили бы с собой импульс и создавали бы силу. Тогда это были бы те наблюдаемые силы, которые действуют на заряд со стороны электрического поля. Иногда при ускорении электрона один из таких фотонов вырывается из «связки» и улетает в виде наблюдаемого кванта света. За исключением таких фотонов, виртуальные фотоны не наблюдаемы. Однако можно себе вообразить обмен такими фотонами электронов, когда один из них некоторую малую часть времени (по-видимому, около 1 %) проводит в состоянии с большей энергией, поглотив один из таких фотонов. (Если подобная картина для вас выглядит дикой и раздражающе непонятной, вспомните, что это лишь некая теоретическая модель для того, чтобы перенести на атомы наши привычные способы рассуждения. Ее использование плодотворно, она позволяет делать предсказания и расширяет круг наших представлений.).

Юкава пытался найти механизм, посредством которого протоны и нейтроны удерживаются в ядрах. Эти силы ведут себя различно на разных расстояниях: с увеличением расстояния они уменьшаются от громадных значений внутри ядра до пренебрежимо малых значений сразу вне «кратера», причем гораздо быстрее, чем по закону 1/r². Юкава убедился, что частицы с нулевой массой покоя, такие, как фотон, не могли бы играть роль связующего агента для таких сил. Чтобы объяснить известные об этих силах экспериментальные сведения, необходимо было приписать частицам некоторую массу покоя. Такие частицы могли бы обеспечить ядерные силы, рождаясь, переходя к другому нуклону и поглощаясь им прежде, чем самый искусный экспериментатор успевал бы заметить какие-либо изменения энергии. Попытаемся здесь дать оценку массы такой частицы. (Опираясь на твердо установленный в настоящее время факт, что такие частицы действительно существуют, будем использовать для этой частицы ее современное название — «мезон».).

Представим себе, что возникший мезон перед тем, как поглотиться, успевает в течение короткого времени совершить несколько оборотов над краем ядерной ямы — подобно электрону на боровской орбите, но с гораздо меньшими размерами. (Ниже будут рассмотрены другие предположения о волновом поведении мезона.) Для существования такой «орбиты» волна де-Бройля должна представлять собой стоячую волну в форме окружности радиусом r, причем в простейшем случае на длине этой окружности 2πr должна укладываться одна длина волны λ. Тогда.

λ = 2π∙r.

Поскольку для любой частицы λ = h/mv, то отсюда mv = h/2π∙r.

Выше только говорилось о частице (не заботясь о деталях), масса же ее m и скорость v остаются неизвестными. Если сказать, что v равно с, то ясно, что это будет переоценка (если, конечно, только частица не является фотоном, масса покоя которого равна нулю, а скорость точно равна с). Если же сказать, что m равна массе покоя мезона m₀, то это будет недооценкой. Для грубой прикидки скомбинируем оба эти приближения, надеясь, что при этом неточности скомпенсируются: напишем m₀с вместо mv и получим.

M₀с = h/2π∙r.

Отсюда m₀ = h/2π∙r∙c, и величину m₀ можно оценить по известным значениям h, с и оценке радиуса ядра r ~= 1,4∙10^-15 м:

M₀ = (6,62∙10^-34 дж∙сек)/(2∙3,14∙(3,0∙10⁸ м/сек)∙(1,4∙10^-15 м)) ~= 250∙10^-30 кг.

Сравните это значение с массой покоя электрона, равной примерно 0,9∙10^-30 кг. Чтобы успеть просуществовать (недолго) в ядре и обеспечить соответствующие силы связи на соответствующих расстояниях, «обменная» частица должна обладать массой покоя в несколько сот электронных масс. Это означает, что она должна быть в 5 или 10 раз легче, чем самый легкий атом.

Вскоре после этого предсказания, казавшегося столь странным и фантастическим, промежуточные частицы были обнаружены среди треков, оставленных космическими лучами в камере Вильсона. Вначале это выглядело как поразительное подтверждение предсказания — даже величина массы была примерно правильной. Затем оказалось, что у новых частиц, явно нестабильных, время полураспада и другие характеристики не согласовывались с предсказаниями теории. Однако последующие экспериментальные поиски привели к обнаружению еще большего числа разных частиц. Некоторые из них оказались такими, какими их предсказал Юкава, и, как теперь думают, играют в ядрах роль необходимого связующего материала. В настоящее время для дальнейшего изучения можно создавать на ускорителях самые разнообразные мезоны, причем свободные, вне ядер.

Мезоны как вполне реальные частицы в настоящее время стали привычным понятием в субатомной физике. Мезонная теория играет важную роль в ядерной физике. Измерения мезонных масс (~270 электронных масс)[212] подтвердили гипотезу Юкавы, высказанную тогда, когда таких частиц никто не наблюдал и о существовании которых никто не догадывался.

[Замечания по поводу других моделей волнового поведения мезона в ядре:

1) Картина стоячей кольцевой волны выглядит слишком надуманной. С физической точки зрения лучше представлять себе мезон блуждающим внутри кратера потенциальной ядерной ямы. В этом случае представление о стоячей волне де-Бройля было бы более похожим на задачу о колеблющейся струне. При этом предположении простейшая стоячая волна должна иметь нулевую амплитуду на краях ямы (здесь располагаются узлы волны). При этом ¹/₂ λ равна диаметру ядерного кратера, равному 2r, или λ = 4r вместо λ = 2π∙r.

2) При более последовательном рассмотрении нет необходимости привлекать ни волны, ни яму, а следует исходить из принципа неопределенности в том его виде, в котором он формулируется для энергии и времени:

ΔE∙Δt = h/2π (по крайней мере).

Пусть один нуклон в ядре испускает мезон и передает его какому-нибудь другому нуклону, отстоящему от первого на расстояние где-то между 0 и 2r. Изменение энергии ΔE, т. е. ее неопределенность в данный момент времени, равна энергии, затраченной на образование мезона, т. е. m₀с². Предположим, что свой путь до другого нуклона, в среднем равный r, мезон проходит со скоростью с. На это уходит время, равное Δt = r/c. Если мезон живет достаточно долго, успевая пройти этот путь и оставаясь незамеченным экспериментатором, то ΔE∙Δt должно в точности равняться h/2π, и, следовательно,

(m₀с²)∙r/c = h/2π

Отсюда следует ранее найденная оценка массы мезона m₀ = h/2π∙r∙c]

ЕЩЕ ОДИН ЭКСПЕРИМЕНТ.

Видимые атомы.

Для того чтобы ознакомиться с последним в этой главе разделом экспериментальной физики, оставим фантазирование и посмотрим на фотоснимки отдельных атомов, хитроумные способы получения которых теперь можно обсудить с техническими подробностями. На фиг. 215 изображена фотография атомов, расположенных на самом острие вольфрамовой иглы. Изображение создается ионами гелия, рассеянными острием иглы, на флуоресцирующем экране. На фиг. 212 показана установка, сконструированная Эрвином Мюллером[213].

Фиг. 212. Ионный микроскоп Мюллера для наблюдения атомов.

_{На рисунках даны простейший вид прибора и пояснения принципа его действия. Для более подробного ознакомления см. Scientific American, 196, June 1957.}

Очень острая вольфрамовая игла помещается в центре стеклянной колбы, внутри которой имеется хороший вакуум при незначительном содержании газа гелия. Между нитью и опоясывающим ее металлическим кольцом радиусом r прикладывается высокая разность потенциалов. Так как игла очень острая, электрическое поле вблизи ее острого конца исключительно велико. Оно настолько велико, что способно у атома гелия, проходящего мимо острия иглы, вырвать электрон[214]. Образовавшийся ион ускоряется электрическим полем. Он летит от поверхности по прямой и падает на круглый экран, покрытый флуоресцирующей краской, заставляя экран светиться при ударе. (Падающий на экран ион выбивает в краске электроны, а когда атомы вещества краски обретают их снова, то они высвечиваются.) Электрическое поле вблизи острия иглы особенно велико, причем силовые линии поля выходят из поверхности (в той степени, в какой о поверхности можно говорить в атомном масштабе) в перпендикулярном к ней направлении. Поэтому ионы ускоряются этим полем в направлении, перпендикулярном поверхности. На некотором отдалении от острия, там, где поле слабее, скорость и направление движения ионов уже меняются слабо. Поэтому вспышки на экране от ударов ионов в точности воспроизводят увеличенную картину расположения точек, с которых они стартовали на поверхности острия. Там, где на поверхности иглы имеются заострения, электрическое поле у поверхности ее очень сильное и способно создавать и ускорять большую часть ионов гелия. Следовательно, яркое пятно на экране соответствует заострениям или ребрам на поверхности иглы.

Теперь вообразим себе иглу в атомном масштабе. Ее «конец» представляет собой последний слой атомов вольфрама, который лежит на чуточку более широком слое атомов, а тот в свою очередь лежит на еще более широком слое и т. д. Острие может быть столь острым, что последний слой состоит всего лишь из десятка атомов или несколько большего числа их. Однако даже в этом случае атомам гелия конец иглы не представляется очень острым. Что уж действительно выглядит острым, так это края слоев атомов, те места, где какой-нибудь слой обрывается и «поверхность» образует ступеньку между поверхностями соседних слоев.

Картина дифракции рентгеновских лучей говорит о том, что металлический вольфрам кристаллизуется в виде регулярной последовательности атомных слоев, напоминающей аккуратно сложенную горку апельсинов или древних пушечных ядер. На фиг. 213, а изображена модель такой упорядоченной горки, сделанная из маленьких пробковых шариков. Точно так же, как на конце острия иглы, в этой горке у каждого слоя имеются боковые грани, причем каждый следующий слой на несколько шариков шире. Пометив крайние шарики каждого слоя, можно предсказать, какое изображение будет давать острие настоящей иглы из вольфрама. Все крайние шарики на модели были закрашены флуоресцирующей краской, светящейся в ультрафиолетовом свете. На фиг. 213, б приведена фотография этой модели, сделанная в ультрафиолетовом свете. Сравнивая ее с фиг. 213, в, сделанной с помощью настоящей установки, можно убедиться, что картина, создаваемая пучком атомов гелия, отражает подлинную картину послойного расположения атомов вольфрама.

Такие эксперименты должны выполняться при очень низких температурах, иначе собственное движение атомов гелия будет вносить заметные искажения, — желательно, чтобы ионы двигались только за счет электрического поля. Кроме того, при обычных температурах атомы гелия, по-видимому, рассеиваются на атомах вольфрама без последующей ионизации: для ионизации, вероятно, необходимо их более длительное пребывание в электрическом поле, а это имеет место лишь тогда, когда ионы движутся медленно.

Фиг. 213. Интерпретация изображения острия иглы в ионном микроскопе. (Из Scientific American, 196, June 1957.).

_{А — модель из уложенных слоями пробковых шариков для воспроизведения картины расположения атомных слоев на конце очень острой вольфрамовой иглы; б — крайние шарики каждого слоя модели а были покрашены флуоресцирующим веществом, способным светиться в ультрафиолетовом свете; здесь приведена фотография этой модели в ультрафиолетовом свете; в — фотография, сделанная с помощью ионного микроскопа. Изображение создается ионами, летящими с острия вольфрамовой иглы.}

Фиг. 214. Вид острия вольфрамовой иглы (помещаемой в ионный микроскоп) и обычной острой иглы (слева) в обычном оптическом микроскопе.

_{Фотография Эрвина В. Мюллера.}

Поэтому аппаратура охлаждается жидким водородом (спокойно кипящим в сосуде с кипящим азотом). При этом изображение таково, как на фиг. 215.

Фиг. 215. Фотография острия вольфрамовой иглы, сделанная на ионном микроскопе.

_{Фотография передает картину расположения атомных слоев на кончике иглы и ее боковых сторонах (увеличение 3 000 000). (Фотография Эрвина В. Мюллера, Пенсильванский университет.).}

Если дать вольфраму чуть-чуть нагреться, то картина еще остается прежней, но при этом видно движение некоторых атомов вольфрама: видно, как некоторые из них мигрируют и испаряются.

Правильно ли сказать: «На этой фотографии я вижу сами атомы непосредственно»? Это зависит от уровня вашего мышления. Если вы не знаете, что такое электрическое поле, что такое распределение заряда и поля вблизи острия, что такое ионизация, средняя длина свободного пробега, свечение экрана… вы, наверное, скажете: «Какое там непосредственно! Эта картина — всего лишь какая-то система пятен плюс туманные рассуждения насчет атомов».

Однако, будучи уже знакомым с достижениями науки, вы можете с уверенностью воскликнуть: «Да, я вижу сами атомы!» И за этим утверждением будет скрываться обретенное вами глубокое понимание.

ЛЮДИ НАУКИ.

Ученые.

Я надеюсь, что здесь, в конце курса, вы поразмышляете об ученых и о том, ради чего они делают открытия и объясняют их. Пифагор… Птолемей… Коперник… Тихо… Кеплер… Галилей… Ньютон… Джоуль… Максвелл… Резерфорд… Эйнштейн… де-Бройль… Бор — все они сделали великие открытия, все внесли вклад скорее в наше интеллектуальное богатство, чем в житейские блага или успехи, и то, что они дали нам, составляет непреходящие ценности, достающиеся бесчисленным поколениям. При взгляде в будущее мы видим обширную область фактов, законов, теорий, предположений — научные знания, — которая будет увеличиваться все больше и, как мы надеемся, будет стремиться к завершенности. Это изучение природы — составляющая часть интеллектуальной жизни человека — приносит удовлетворение всем ученым. Наука в их руках — это не только деятельность по собиранию фактов, или установлению законов, или выбору направления экспериментов. Это прежде всего искусство чувствовать, как лучше выбрать точку зрения или наиболее подходящее направление исследований, чтобы расширить понимание природы. Чистая наука — погоня за знаниями и пониманием природы — всегда будет удовольствием. Что же, ученые в их башне из слоновой кости, башне из экспериментов и теорий работают лишь для себя, ничего не давая остальному человечеству, подобно безмолвным поэтам в уединении? Ответ мыслителя: «Нет, они прибавляют человеку интеллектуальные возможности». Ответ практика: «Нет, ученые полезны, поскольку со временем их открытия используются в технике». Но сегодня существует новая группа исследователей-инженеров, которые соединяют деятельность ученого и инженера, и наш вопрос становится более общим. В каком вообще соотношении по их значению для человечества находятся ученые, инженеры и инженеры-физики?

Ученые и инженеры.

Наука дает технике возможность развиваться и процветать. Современный инженер[215], используя научные знания, выполняет великолепную работу и всюду необходим. Лет сто назад хороший инженер опирался главным образом на огромные запасы опыта эмпирического экспериментирования и изучения методом проб и ошибок, унаследованного от предыдущих поколений. Но теперь, когда потребности и методы усложнились и меняются более быстро, хорошие инженеры опираются непосредственно на научные знания. Это изменение состоит в современной технике в уменьшении «степени эмпиризма», как ее назвал Джеймс Б. Конант[216]. Для инженеров это означает продвижение вперед, но оно делает их более зависимыми от помощи ученых. Они теперь используют так много научных материалов, сконцентрированных в компактные формулы или таблицы в справочниках, что остается слишком мало времени для изучения их источников; поэтому им приходится либо принимать эти материалы на веру, либо консультироваться у научных советников.

Современный инженер-физик — творческий инженер или ученый-прикладник — объединяет в себе инженерное искусство с основательными знаниями науки. Он обладает творческими способностями и вооружен научными знаниями вплоть до последних достижений. По своей подготовке и роду занятий он — ученый, но его интересуют больше новые применения науки, чем сами новые достижения науки. Таким образом, инженер-физик занимается интерполяцией в той или иной области существующей науки, тогда как чистый ученый по своему призванию стремится к достижению новых знаний и более глубокого понимания и, стало быть, пытается провести экстраполяцию. С учетом этого отличия цивилизация должна была бы оценивать чистых ученых наравне с поэтами и артистами. Все ученые так или иначе вносят вклад в интеллектуальное и эмоциональное развитие человека.

Однако у практика остаются вопросы: «Инженер-физик использует все науки как зерно для своей мельницы, и он энергично работает над развитием самой науки. Почему же тогда при наличии многих лучших умов, занимающихся технической физикой, необходимы чистые ученые?» Я думаю, на это существует ответ: «Ученый в своей башне из слоновой кости вносит такой вклад, без которого не может обойтись в течение длительного времени ни нация, ни цивилизация: он обеспечивает интеллектуальной пищей следующее поколение ученых и инженеров. Техническая физика, подобно мулу, обладает силой и умом, но не может воспроизвести подобное себе следующее поколение. Причина в том, что.

Следующему поколению первоклассных инженеров-физиков необходимы свежие взгляды и знания и новая мудрость, если они хотят работать как творцы, а не как обычные технические руководители. И эти свежие взгляды появляются из философских интересов, которые поддерживают и развивают ученые». Чистый ученый обязательно в какой-то мере философ; он размышляет над своими собственными мыслями, критически рассматривает свои собственные эксперименты и приобретает общий взгляд на свою науку. Он знает кое-что о том, на чем основаны его знания; он немного знает о том, что он знает, и он всегда ясно может сказать, чего он не знает. И в возрастании своего знания он находит глубокое удовлетворение.

Квалифицированный ученый.

Что делает ученого специалистом по сравнению с непрофессионалом? Каждый из нас является непрофессионалом, любителем и дилетантом во всех областях, за исключением нашей собственной. Мы в состоянии изучить правила и использовать их, забывая о том, что мы не профессионалы, но мы делаем с ними серьезные ошибки. Неученый может купить маленькую книгу, в которой сообщаются «все законы физики», — он может даже пересчитать наиболее важные из них на пальцах двух рук. Профессиональный физик знает законов не больше — он может помнить даже меньшее число законов, поскольку он полагается на книги, которые напомнят то, что потребуется ему, но он держит в уме два обширных комментария к фактам, законам, принципам… два комментария, которые являются продуктом его образования, опыта и размышлений.

1. Он знает ограниченность каждого факта или закона, пределы его применимости, смысл его терминов, он имеет широкие представления о его связях с реальным материалом. Такие знания образуют то, что мы называем «маленькой черной записной книжкой в кармане ученого», — символ богатого опыта, имеющегося у ученого и отличающего его от осведомленного непрофессионала, который может цитировать законы, но не умеет надежно их использовать. (Он знает, например, что в некоторой формуле изгиба балки Р — это напряжение, а не сила, что формула применима лишь при малых растяжениях и много больших сжатиях. Он никогда не спутает Р с силой и не применит формулу к дереву, которое изгибается и раскалывается совершенно иначе. Аналогично он знает, почему закон Бойля применим для газов при очень низких давлениях, поэтому он не будет ожидать, что этот закон останется справедливым также при очень низких температурах.) Эту записную книжку можно назвать «детальные знания и понимание».

2. Далее мы видим, что каждый хороший ученый имеет другую «записную книжку», которая сообщает ему, каким образом взаимосвязаны его конкретные знания. Ее объем очень велик, неограничен. Ее можно назвать «теория».

Обладание этими двумя воображаемыми записными книжками достигается в процессе обучения, что делает ученого специалистом. Как образованный неспециалист вы можете идти дальше вперед, чтобы присоединиться к ученым, если вы понимаете, как он пользуется этими «записными книжками».

Гений и чудак.

Каждому из нас — будь то ученый, инженер или неспециалист — доводилось встречать энтузиастов, предлагающих новые научные взгляды — не изобретения или хитроумные приспособления, а революционизирующую теорию. Как отличить блестящее достижение от нелепого вздора? Все можно нарядить так, чтобы это выглядело привлекательным и разумным для постороннего человека. Больше того, все может выглядеть обещающим успех и вполне возможным даже в глазах специалиста. Мы все делаем ошибки при распознавании «чудаков»: мы смеемся над непризнанными гениями или преклоняемся перед бессмыслицей, облеченной в звонкие фразы; но ученый, с его развитым чутьем к своему искусству, имеет наилучшие шансы отличить пророка от чудака. Мудрость ученого основана на прошлых знаниях, но сам он глядит в будущее. Инженеру-физику, смотрящему главным образом в настоящее и прошлое, труднее отличить пророка от чудака.

Чудак — это зачастую искренний ученый по своим намерениям, а временами и по образованию, который стремится к новым взглядам, что уводит его от последовательного познания природы. В его смелых размышлениях и мыслях нет вреда — они свойственны и хорошей науке, — опасна его некритическая уверенность в своей правоте. Если ученый экстраполирует, а инженер интерполирует, то чудак предполагает и верит эмоционально, с закрытыми глазами. Весьма курьезно, но энтузиазм чудака заражает многих неспециалистов тем же самым слепым доверием. Мы надеемся, что, хотя эта книга и не сделает вас специалистом, ваши глаза будут открыты.

Удивление и восхищение. Интеллектуальный прогресс.

Вместо сильного эмоционального убеждения, что его взгляды на природу — это истина в последней инстанции, для ученого главное чувство состоит в наслаждении поисками и достижением более широкого понимания природы. Его главная забота — рост знаний, а не их хранение. Он разделяет с нашими древними предками ощущение любопытства и чувство удивления и восхищения; он расширяет их до огромного чувства интеллектуального прогресса. У вас есть возможность разделить с ним это чувство.

Вы и Наука.

Итак, наше рассмотрение физики в этом курсе прошло полный цикл, вернувшись к исходным вопросам о причинах, объяснениях, об эксперименте и теории. Вы не получите четкого заключения, говорящего, что следует называть «правильной» наукой; по существу, вам преподнесли еще более неоконченное, чем вначале, обсуждение этого вопроса; осталось еще больше знаний, требующих развития. Но сжатое воспоминание об упорядоченных фактах должно теперь выглядеть менее важным, чем чувство, что вы понимаете ученых и их работу, или чем убеждение, что наука имеет смысл как часть мудрости человечества.

Если вам доставляет удовольствие наблюдать за научными поисками, а у вас в душе остались некоторые вопросы для дальнейших размышлений; если вы получаете удовольствие от встреч, споров и работы с учеными; если вам нравится экспериментировать; если вы можете отличить «отважный консерватизм» теоретика от безбрежного энтузиазма «чудака», а прежде всего, если вы будете больше иногда читать о науке для себя как образованного человека, живущего в век науки, — тогда этот курс сделал свое дело.

Будущее науки — и практических знаний, и интеллектуального богатства — сильно зависит от отношения неспециалистов: родителей, учителей, должностных лиц, членов правительству… всех образованных людей; поэтому поддерживать доброе имя науки — дело рук каждого из вас как членов научной цивилизации.

ОБЩИЕ ЗАДАЧИ.

В этом разделе собраны вопросы и задачи по материалам нескольких глав и, быть может, даже всей книги в целом. Задачи, помещенные перед гл. 1, и большинство задач и вопросов из других глав тоже входят в этот раздел, поэтому безразлично, откуда решать задачи на определенную тему.

Задачи этого раздела играют важную роль в обучении, в особенности на более поздней стадии курса. Здесь содержатся: списки небольших статей для обзоров; некоторые общие задачи (или образцы «экзаменационных вопросов»), в которых требуется дать описания, вычисления, обоснования или выдвинуть смелую гипотезу; некоторые вопросы, требующие значительного времени для обдумывания и отвечать на которые нужно скорее изложением своего мнения, чем односложным «правильным ответом». В разделе помещено также несколько очерков.

Там, где требуется обосновать ответ, сделать это намного важнее, чем дать сам ответ. Большие несложные рисунки сэкономят ваше время, сделают ответ более ясным и покажут, что вы поняли, как используют диаграммы ученые. Те вопросы, которые требуют короткого ответа, снабжены указанием такого типа: «напишите 3 строчки» или «—3 строчки».

ТЕРМИНЫ И ЕДИНИЦЫ.

1. Для каждого понятия а) дайте короткое определение или описание, четко объясняющее, что это такое (~2 строчки; лучше использовать слова, а не символы); б) укажите их обычные единицы в системе СИ (основанной на метре, килограмме, секунде):

А) скорость; о) ток, поток;

Б) ускорение; п) сопротивление;

В) плотность; р) заряд;

Г) удельный вес; с) кинетическая энергия;

Д) сила; т) Р. П. (разность потенциалов);

Е) импульс; у) э.д.с. (электродвижущая сила);

Ж) вес; ф) напряженность гравитационного поля;

З) масса; х) напряженность электрического поля;

И) напряжение; ц) краевой угол (включите рисунок);

К) деформаций; ч) длина свободного пробега молекул газа;

Л) давление; ш) постоянная Планка;

М) длина волны; э) отношение e/m для атомной частицы;

Н) частота.

2. Напишите короткую заметку, определяющую, описывающую или объясняющую каждое из следующих понятий (~3 строчки для каждого):

А) равноденствие, д) квадрант (инструмент).

Б) планета, е) параллакс.

В) комета, ж) плоскость эклиптики.

Г) полярная звезда.

3. В каждом случае, данном ниже, ясно показать, что две единицы, используемые там, совпадают или по крайней мере эквивалентны:

А) Напряженность электрического поля может быть измерена в в/м или ньютон/кулон.

Б) Напряженность гравитационного поля, измеренная в ньютон/кг, дается ускорением в м/сек².

В) Изменение момента количества движения в кг∙м/сек создает импульс в ньютон∙сек.

Г) Поверхностное натяжение в ньютон/м (сила натяжения на единицу длины кромки мениска) есть в то же время механическая энергия в дж/м², необходимая для того, чтобы создать единицу площади новой поверхности.

Д) Скорость диссипации энергии в сопротивлении обычно выражается в ваттах, но может быть выражена и в а²∙ом (используя соотношение P = I²R).

4. Назовите физическую величину, для измерения которой используется каждая из нижеуказанных единиц, и дайте ее значение в общепринятой системе единиц СИ:

(Пример: 1 А° — единица длины. Она равна 10^-10 м.).

А) 1 эв; б) 1 квт∙час; в) 1 световой год.

ЭКСПЕРИМЕНТЫ И ЗНАНИЯ.

5. Опишите известные вам эксперименты (или те, которые демонстрировались вам на лекциях, или которые вы делали сами в лабораториях), показывающие, что:

А) импульс в столкновениях (даже неупругих) сохраняется.

Б) постоянная сила создает постоянное ускорение.

6. Дайте короткий перечень экспериментов, которые встречались вам раньше, для любых трех из указанных ниже случаев, объяснив, как были получены результаты (~1 страница для каждого из трех случаев):

1) измерение радиуса Земли.

2) использование движения Луны в проверке гравитационного закона обратных квадратов.

3) измерение расстояния между Луной и Землей.

4) измерение расстояния между Венерой и Солнцем в единицах расстояния между Солнцем и Землей.

5) измерение величины гравитационной постоянной G, входящей в соотношение F = GM₁M₂/d².

СВЕДЕНИЯ О МОЛЕКУЛАХ.

7. Какая количественная или качественная информация о молекулах содержится в каждом из нижеследующих пунктов? (Не отвечайте одним словом, а дайте короткое объяснение.).

А) броуновское движение.

Б) поверхностное натяжение.

В) диффузия (рассеяние) паров брома.

Г) площадь масляной пленки на воде.

Д) измерения давления, объема и массы образца воздуха.

Е) измерения удельной теплоемкости газа при различных температурах.

СВЕДЕНИЯ ОБ АТОМАХ.

8. Напишите короткую заметку (несколько строк), характеризующую вклад каждого из следующих примеров в наши знания об атомах и (или) радиации:

А) рассеяние α-частиц в золоте.

Б) картинки треков α-частиц в камере Вильсона, наполненной влажным гелием.

В) измерение е/m для электронов.

Г) эксперименты по фотоэлектрическому эффекту.

Д) интерференционные полосы Юнга, производимые светом.

Е) дифракция рентгеновских лучей на кристаллах.

Ж) дифракция электронов на кристаллах никеля.

З) наложение магнитного поля на камеру Вильсона, в которой получают фотографии треков.

9. Коротко опишите, как каждое из следующих экспериментальных открытий повлияло или какой вклад оно внесло в астрономические представления:

А) наблюдения Венеры Галилеем.

Б) наблюдение Галилеем пятен на Солнце.

В) открытие Галилеем спутников Юпитера.

Г) открытие Урана (1780 г.).

Д) открытие Нептуна (1840 г.).

Е) очень точные измерения положения Марса, сделанные астрономом Тихо Браге.

Ж) измерения Холли и других исследователей, показавшие, что кометы движутся по вытянутым эллипсам.

10. Когда пучок электронов ускоряется в электрическом поле и затем отклоняется в магнитном, можно сделать измерения, которые дадут информацию, касающуюся электронов. Ми не получим величины заряда электрона, но измерения дадут нам другую величину, одну и ту же для всех электронов. Что это за величина, которую можно рассчитать по результатам этих измерений?

11. Физики часто описывают атомы следующим образом. Атомы малы, их линейные размеры порядка нескольких ангстрем. В них имеется много легко отделяемых электронов с малой массой и отрицательным зарядом. Почти вся масса атомов сконцентрирована в очень маленьких ядрах, которые несут положительный заряд (+Z электронных зарядов, если Z — порядковый номер элемента в периодической системе элементов, где элементы распределены по их атомным весам). Некоторые элементы имеют несколько видов ядер (изотопов) с различными массами, но с тем же самым зарядом. Существуют нестабильные атомы, которые самопроизвольно распадаются, излучая α-частицы, β-лучи и т. д. α-частица — это ядро атома гелия с зарядом +2е. Электроны в атомах намного легче, чем ядра (масса каждого составляет ~1/1800 массы всего атома водорода), отрицательно заряжены и все одинаковы. Внешние, слабо связанные электроны легко удаляются из атома при облучении его ультрафиолетовым светом. Детали такого описания атомов не являются фантазиями, рожденными воображением, чтобы «объяснить» природу. Это всего лишь набор экспериментальных фактов. Выберите несколько деталей данного выше описания атомов и опишите эксперименты, на которых они основаны. (Укажите вид использованной аппаратуры. Укажите основной путь, которым можно получить такое описание, — информацию из измерений или наблюдений. Не нужно давать детальных расчетов. Слово «несколько» указывает на значительную свободу выбора. Вы должны описать по крайней мере три различных вида экспериментов.).

КОЛЕБАНИЯ ПРУЖИНЫ.

12. Ниже приведены значения длины некоторой стальной пружины, когда к ней подвешены разные грузы:

А) Предскажите полную длину пружины при подвешенном грузе массы 1,8 кг.

Б) Предскажите полную длину пружины при подвешенном грузе 5,45 кг.

В) На каких физических соображениях вы основываете предсказания а) и б)?

Г) Считаете ли вы оба предсказания а) и б) одинаково надежными? Объясните.

Д) Подвешенный к пружине груз 0,9 кг оттягивают ниже положения равновесия и затем отпускают. Груз начинает колебаться в вертикальном направлении. Почему можно ожидать, что груз будет совершать простые гармонические колебания?

Е) Предскажите значение амплитуды (максимальное смещение груза от положения равновесия в каждом цикле) для простого гармонического колебания, описанного в пункте д).

Ж) Укажите четкое основание для вашего предсказания.

З) Предскажите амплитуду простого гармонического колебания, совершаемого подвешенным к пружине грузом 1,8 кг.

И) Физик-теоретик замечает, что при ответе на вопрос, содержащийся в пункте д), используются те же аргументы, что и при ответе на вопрос в пункте е); поэтому он пользуется ими и для предсказания амплитуды простых гармонических колебаний, совершаемых грузом 2,7 кг. Эксперимент показывает, что это предсказание неверно для определенной пружины с перечисленными свойствами. Предложите объяснение.

ДВИЖЕНИЕ.

13. С пятью одинаковыми прямоугольными брусками проделывают следующее:

Один оставляют свободным (тело А), два скрепляют тонким горизонтальным стержнем в виде гантели В, два оставшихся сплавляют вместе в один брусок С той же самой формы и плотности, но больший по величине (фиг. I).

Фиг. I.

А) Когда А, В и С свободно падают в воздухе, они находятся в движении одного типа. Какое вы делаете заключение из этого наблюдения? (~3 строчки).

Б) Когда А, В и С падают в воде, каждый из них сначала ускоряется, затем у каждого устанавливается постоянная скорость, которая сохраняется до конца движения. Почему у них устанавливается и затем сохраняется постоянная скорость? (~3 строчки).

В) Падая в воде, А и В достигают одной и той же конечной скорости, в то время как большее тело С — другой.

1) Будет ли скорость тела С больше или меньше скорости А и В?

2) Объясните корректно, почему скорость у С другая, чем у А и В.

СИЛА, РАЗРЫВАЮЩАЯ ПРОВОЛОКИ.

14. а) Какое соотношение можно предположить, исходя из «здравого смысла», между силой F_B, разрывающей проволоку, и ее диаметром d?

Б) Предположим, что экспериментатор, измеряющий силу F_B для нескольких стальных проволок разного диаметра, но одинакового состава, хочет изобразить свои измерения в виде графика, точки которого лежат на прямой линии. Если он будет откладывать по оси ординат вверх F_B, то что он должен отложить по оси абсцисс, чтобы получить прямую линию (d, 1/d, √d и т. д.)?

В) Теперь предположим, что на фиг. II представлены его результаты в виде такого графика. Замечаем, что точки в верхнем правом углу лежат далеко от прямой линии.

Фиг. II.

1) Являются ли эти точки ошибочными? (четко обоснуйте ваш ответ; напишите ~2 строчки).

2) Каких размеров проволоки, к которым эти точки относятся: самые толстые, средние или самые тонкие?

Г) Предположим, вам сказали, что все стальные проволоки прошли закалку перед измерениями, результаты которых изображены на графике фиг. II, т. е. проволоки сначала нагрели, а затем немедленно поместили в холодное масло. Предложите, выдвигая смелую гипотезу, объяснение положению точек в верхнем правом углу, не уложившихся на прямую линию (напишите ~2 строчки).

Д) Приведите доводы, защищающие вашу гипотезу пункта г) (напишите ~3 строчки).

Е) Какие эксперименты могут быть испробованы для проверки вашей гипотезы пункта г) (напишите ~5 строчек).

МОДЕЛЬ КРАНА.

15. Инженер проектирует кран для поднятия огромных прямоугольных бетонных блоков. Кран поднимает блок с помощью одного стального троса. Чтобы испробовать свой проект, инженер делает модель крана, в которой все детали (включая трос и бетонный блок) сделаны из того же самого материала и имеют ту же форму, что и в проектируемом кране, но все линейные размеры уменьшены в 12 раз.

Фиг. III.

Модель работает хорошо и способна поднять пять бетонных блоков без обрыва троса. Когда реальный кран сделан, оказывается, что при подъеме одного блока трос обрывается. Прокомментируйте и объясните неудачу с краном (~5 строчек). Предположите, что материалы модели и крана одинакового качества и полностью термически обработаны.

УМЕЛАЯ ОЦЕНКА.

16. Сделав разумные предположения о массе, скорости, времени удара и т. д., оцените силу, действующую на гвоздь, когда его вбивают каким-то средней величины молотком (вам не дают результаты измерений, а просят самих взять их значения, которые вам кажутся разумными, и затем рассчитать ответ). Прежде чем использовать ваши предположения в расчете, вы должны их четко сформулировать. Поскольку вы используете только предположения, приемлем любой разумный ответ, если вы объясните, как его получили.

АКСЕЛЕРОМЕТР.

17. К потолку лифта подвешена стальная пружина. Когда она не нагружена, ее длина 0,18 м. Если к нижнему концу пружины подвесить груз 1 кг, ее длина станет равной 0,24 м. Если к грузу добавить еще 1 кг, длина пружины будет уже 0,30 м. Предположим, что лифт равномерно ускоряется. Когда к пружине подвешен груз 1 кг, ее длина в таком ускоряющемся лифте становится равной 0,25 м и остается постоянной во все время движения лифта.

А) Как направлено ускорение лифта, вверх или вниз?

Б) Лифт движется вверх или вниз?

В) Рассчитайте ускорение лифта. Укажите единицы ускорения.

Фиг. IV.

18. Спортивный автомобиль хорошей марки может ускориться из состояния покоя до скорости 100 км/час в течение 10 сек. Оцените:

А) Его ускорение.

Б) Расстояние, которое требуется, чтобы достичь скорости 100 км/час.

В) Чтобы испытать тормоза, у автомобиля, идущего со скоростью 100 км/час, выключают мотор и тормозят на горизонтальной дороге. Самое лучшее, что могут сделать тормоза, это остановить автомобиль на дистанции 90 м.

Вес автомобиля 900 кг. Оцените среднюю тормозящую силу, действующую на автомобиль во время остановки.

Г) Какая задача из гл. 7 в основных чертах совпадает с задачей в)? (Замечание: в этом вопросе не требуется найти другой задачи о тормозящем автомобиле или стартующем бегуне. Вас просят проявить гибкость ума и найти задачу, которая формулируется по-другому, но требует того же самого решения.).

Д) Те же самые тормоза испытываются в гараже так: мотор у машины выключается (тормоза включены полностью) и машину тянет вперед прикрепленный к ней трос, который перекинут через блок (без трения) и имеет на конце свинцовый или стальной груз. С 272,4-килограммовым железным грузом, висящим на тросе, машина движется с постоянной скоростью юзом. Оцените тормозящую силу.

Е) Если ваши ответы на пункты в) и д) не будут согласовываться между собой, укажите причину расхождений, лучшую, чем неправильные измерения.

Фиг. V.

МАССА И ВЕС.

19. Напишите короткую заметку, сопоставляющую массу и вес. Опишите свойства каждого понятия (~1 страница).

20. Один ученый-чудак, занятый поддержанием путаницы между массой и весом, придумал схему, в которой как силы, так и массы выражены в килограммах, и соотношение F = ma справедливо. Он получил эту ужасную схему, создав специальную единицу длины «звено», которая делает соотношение F = ma справедливым. При этом ускорение измерено в единицах «звено»/сек².

А) Если чудак производит измерения в Нью-Йорке, 1 «звено» =… метра?

Б) Укажите четкое обоснование вашего ответа на вопрос а).

ЗАДАЧА О ШЛАНГЕ.

21. Пожарный пускает горизонтальную струю воды на гладкую вертикальную заднюю стенку автофургона 1800 кг весом. Вода, попадая на автофургон, разбрызгивается во все стороны по задней стенке и стекает вниз. Расход шланга 150 л в 10 сек при горизонтальном истечении воды со скоростью 9 м/сек.

Фиг. VI.

А) Сила, действующая на заднюю стенку автофургона (стоящего на тормозе), равна…?

Б) Если тормоз отпущен и автофургон может двигаться по горизонтальной дороге без трения, его ускорение в первый момент будет…?

В) Когда автофургон движется вперед (вся вода еще попадает на его заднюю стенку), его ускорение будет (возрастать? уменьшаться? оставаться тем же самым?), потому что…?

Г) Предположим, что теперь пожарный направляет горизонтальную струю воды в открытую дверь в задней стенке автофургона, вся вода попадает внутрь и собирается там. Как можно сравнить ускоренное движение (тормоз отпущен) в этом случае с движением в б) и в), данных выше?

Дайте четкое основание (а может быть, основания) (~4 строчки).

22. Человеку, стоящему спокойно на абсолютно гладкой поверхности замерзшего озера, дают длинный ящик, в котором находится зверь, быстро бегающий из одного конца ящика в другой. В тот момент, когда человек получает ящик, зверь находится на середине пути от одного конца к другому (1 на фиг. VII). Предположим, вы можете наблюдать, как человек держит ящик (вы не видите, что происходит внутри ящика). (Ящик и человек находятся в покое в первый момент, когда человек его получает.).

Фиг. VII.

А) Увидите ли вы, что человек движется? Если он движется, то как? Обоснуйте ответ.

Б) Теперь зверь устал и лег на дно посередине ящика. Как будет двигаться человек?

В) Зависит ли ваш ответ на вопрос б) от того, в какую сторону бежал зверь (справа налево или наоборот) в тот момент, когда он решил остановиться? Почему?

Г) Человеку, спокойно стоящему на вращающемся без трения столике, передают (например, сосед, не касаясь его) крутящееся велосипедное колесо, насаженное на вертикальную ось, так, что человек может держать его как зонтик (фиг. VII, 2). В тот момент, когда он получает колесо, он находится еще в покое. Затем человек кладет вторую руку на ободок и останавливает колесо. Предскажите, что произойдет?

Д) Теперь человек, не останавливая колеса, отклоняет ось от вертикального направления (фиг. VII, 3); сначала ось направляется наклонно вверх, затем горизонтально, затем наклонно вниз и наконец вертикально вниз. Как вы думаете, что произойдет, когда он будет держать его в новом положении все еще вращающимся?

Е) Обоснуйте ваш ответ на вопрос д).

ЗАКЛЮЧЕНИЯ.

23. а) Детали поверхности Юпитера скрыты тучами, и все же мы знаем, что Юпитер вращается. Какие наблюдения говорят нам об этом? Объясните, как мы можем оценить скорость вращения Юпитера?

Б) Мы не видим молекул газа и все-таки знаем, что они быстро движутся. Из каких наблюдений мы это знаем?

В) Мы не можем видеть молекулы, однако нам известно, что молекулы гелия — единичные атомы, а молекулы водорода состоят из пары атомов. Какие физические наблюдения или измерения (отличные от химических экспериментов и аргументов) говорят нам о том, что молекулы гелия — единичные атомы?

ИСПАРЕНИЕ.

24. С открытой поверхности блюдца испаряется жидкость, и вентилятор разгоняет пар.

А) Почему оказывается, что жидкость исчезает в этом случае быстрее, чем когда вентилятор выключен (~1 строчка)?

Б) Почему жидкость исчезает быстрее, если ее подогреть? (Замечание. Фраза «Молекулы разлетаются быстрее» не является адекватным объяснением.) (~3 строчки).

МОЛЕКУЛЫ ВОЗДУХА И ГРАВИТАЦИЯ.

25. а) Если барометр поднять на крышу высокого здания, он покажет меньшее давление, а если взобраться с ним на гору, то можно заметить еще большие изменения и т. д. Объясните эти изменения на языке кинетической теории газов (~2 строчки).

Б) Камень, поднятый над землей, снова падает на землю, если дать ему возможность свободно двигаться. Почему с точки зрения кинетической теории газов все молекулы воздуха не падают на землю?

СРЕДНЯЯ ДЛИНА СВОБОДНОГО ПРОБЕГА МОЛЕКУЛ.

26. Молекулы воздуха при атмосферном давлении имеют среднюю длину свободного пробега ~10^-7 м.

А) Что это значит?

Б) Если уменьшить давление воздуха до половины атмосферного при той же самой температуре:

1) Как изменится средняя длина свободного пробега?

2) Будет ли среднее расстояние между молекулами тем же самым, значительно больше или значительно меньше?

3) Какие изменения в трении воздуха можно ожидать (для медленного ламинарного потока)?

4) Укажите четкое основание вашего ответа на вопрос 3.

В) Предположим, что мы можем при атмосферном давлении изменить молекулы так, что у них будет двойной диаметр, но все прочее останется тем же самым: та же масса и т. д.

1) Как изменится средняя длина свободного пробега?

2) Как изменится среднее расстояние между молекулами?

3) Предположим, что вы можете перевести в жидкость этот новый газ и сравнить с жидким воздухом. Как вы думаете, что даст сравнение плотностей этих двух жидкостей?

ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ГАЗА (СЛОЖНЫЕ РАССУЖДЕНИЯ).

27. Когда газ уносит тепло от нагретого тела, перенос тепла по большей части осуществляется с помощью конвекции — большие массы газа движутся как целое. Хотя газы и относят к очень плохим проводникам, однако, если конвекция предотвращена, у газов, подобно твердым телам, наблюдается некоторая теплопроводность. (Конвекция может быть предотвращена, если в газ добавить очень мелкие кусочки ваты или коры или когда нагретое тело, имеющее форму горизонтальной пластины, располагается над холодной горизонтальной пластиной так, что между ними находится газ. В последнем устройстве, используемом для измерения теплопроводности газов, конвекции нет либо она ничтожна, так как для осуществления ее должны быть потоки нагретого газа, движущегося вниз.

А) Предложите механизм теплопроводности газа, исходя из кинетической теории газов. (Выдвиньте гипотезу.) (~2 строчки.).

Б) Пусть у вас имеются два газа А и В, молекулы которых одинаковы в размерах и одинаковы во всем, за исключением того, что масса молекулы газа В в 4 раза больше массы молекулы А. Как можно сравнить теплопроводность двух газов? (Какой из них будет лучшим проводником? Если сможете, скажите, насколько лучшим.).

В) Обоснуйте ваш ответ на вопросы б) (~2 строчки).

Г) В качестве грубого экспериментального теста сделайте следующее: нагрейте кусок проволоки в воздухе до красного каления электрическим способом, нагретую проволоку погрузите в сосуд с СО₂, а затем в гелии.

ЗАКОНЫ КЕПЛЕРА.

28. Предположим, что Вселенная устроена по-другому и в ней действует закон обратных кубов вместо закона обратных квадратов (F = GM₁M₂/d²).

Тогда I закон Кеплера не должен выполняться: орбиты планет не будут эллипсами.

А) Будет ли справедлив II закон Кеплера (закон равных площадей)? Почему?

Б) Какую форму должен принять III закон Кеплера для круговых орбит? (Дайте только алгебраический расчет.).

ЭКСПЕРИМЕНТ С ОРБИТАМИ.

29. Предположим, что экспериментатор пытается продемонстрировать I–III законы Кеплера с помощью прибора, показанного на фиг. 110 гл. 21.

«Планета» массы М, расположенная на абсолютно гладкой основе из сухого льда, движется по орбите на горизонтальном алюминиевом столе. Она прикреплена к концу натянутой нити, идущей к центру стола, где есть дырка. Через маленький блок (без трения) нить соединена с грузом m, висящим ниже стола. Экспериментатор может начать двигать «планету» по орбите с любым радиусом круговой или другой формы. Он находит, что эти орбиты некруговые и имеют странную форму. Они также и не эллипсы, т. е. I закон Кеплера не применим.

А) Будет ли II закон Кеплера (равных площадей) применим к каким-нибудь орбитам в этом устройстве? ко всем? или ни к каким? Почему?

Б) Экспериментатор находит, что для круговых орбит различных размеров III закон Кеплера не справедлив. Отношение R³/T² не одно и то же для всех орбит. Найдите правило, которое будет справедливо для этого устройства, если М и m остаются неизменными.

МАССА ЛУНЫ.

30. а) Объясните, почему мы не можем оценить массу Луны (в единицах массы Земли, Солнца и т. д.) так же легко, как массу Юпитера (~2 строчки),

Б) Предположим, что к Луне запущен искусственный спутник, который остается вращаться вокруг нее по круговой орбите с малым радиусом. По данным, приведенным ниже, для этого предполагаемого спутника оцените массу Луны в долях массы Земли.

ДАННЫЕ. Период обращения спутника вокруг Луны 6 час. Расстояние от центра Луны до спутника видно с Земли под углом 1/100 рад; следовательно, радиус орбиты спутника составляет 1/100 расстояния от Луны до Земли. Период обращения Луны (относительно звезд) 27,3 дня.

СИЛА ТЯЖЕСТИ НА ЮПИТЕРЕ.

31. а) Сделайте грубые оценки напряженности гравитационного поля на поверхности Юпитера, используя данные, приведенные ниже, и укажите единицы, в которых дан ваш ответ.

Масса Юпитера: около 300 масс Земли.

Радиус Юпитера: около 10 радиусов Земли.

Б) Как показывают ваши вычисления, проделанные выше, гравитационное поле на поверхности Юпитера гораздо больше, чем на земной поверхности.

Предположим, что Юпитер имеет атмосферу, подходящую для жизни, и на нем развились некоторые виды животных. Как вы считаете, будут ли самые большие животные Юпитера больше наших самых больших слонов? или такие же? или меньше?

В) Обоснуйте ваш ответ на вопрос б) (~4 строчки).

32. Летающая платформа, предназначенная для полета одного человека, состоит из опрокинутого бочонка с огромным пропеллером внутри, который гонит большой поток воздуха вниз. Пилот стоит на крыше бочонка. Пропеллер, установленный внутри, засасывает воздух через дырки в боковых стенках бочонка внутрь и гонит его через открытое дно вниз со скоростью 15 м/сек. Пусть платформа весит 68 кг (металл и топливо), пилот весит 91 кг; следовательно, общий вес системы 159 кг.

Фиг. VIII.

А) Вычислите, сколько воздуха должен прогнать пропеллер за 10 сек, чтобы платформа + пилот висели неподвижно в воздухе в течение 10 сек. (Полностью объясните ваши вычисления.).

В) Предположим, что скорость пропеллера можно удвоить.

Выскажите ваши соображения по поводу следующего:

I. Как это может отразиться на выходной скорости воздуха?

II. Как это скажется на количестве воздуха, засасываемого пропеллером в одну секунду?

III. Как это должно подействовать на реактивную движущую силу?

IV. В каком движении будут находиться платформа+пилот после этого изменения?

(Если сможете, дайте подробную формулировку.) (~2 строчки.).

ФИЗИКА В КОСМИЧЕСКОМ КОРАБЛЕ.

33. Пусть в космическое пространство, где нет никаких гравитационных эффектов, запущен огромный космический корабль (имеющий форму согнутой в кольцо трубы радиусом 30 м и внутренним диаметром 3 м). Снаружи корабля атмосфера отсутствует. Для удобства пассажиров корабль ыстро вращается вокруг оси, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через его центр. Пассажиры, находящиеся внутри корабля, замечают, что нить подвешенного маятника располагается вдоль диаметра АВ (фиг. IX).

А) Нарисуйте одного маленького пассажира корабля, стоящего на ногах внутри кольца так, чтобы он чувствовал свое положение нормальным около точки А, другого — около точки В и третьего — около С.

Фиг. IX.

Б) Один из этих пассажиров держит перед собой яблоко на уровне плеч и затем отпускает его (без подталкивания в каком-то определенном направлении). Опишите движение (если оно будет), каким видит его пассажир. (Используйте слова или рисунок.).

В) Предположим, что корабль прозрачный. Снаружи вблизи корабля находится наблюдатель, который движется поступательно вместе с кораблем, но не вращается. Опишите движение яблока, каким его видит этот внешний наблюдатель. (Если вам нравится, используйте рисунок.).

Г) Теперь предположим, что пассажир открывает иллюминатор или люк, отпускает яблоко и наблюдает за ним некоторое время, за которое корабль успевает сделать ¹/₄ оборота. Какую траекторию, описываемую яблоком, увидит внешний наблюдатель? Какую траекторию увидит пассажир? (Дайте рисунок.).

Д) Пусть теперь пассажир отпускает наружу таким же образом, как в пункте г), светящееся яблоко, пережидает несколько оборотов и начинает наблюдать за ним в телескоп. Опишите путь яблока, каким он его видит.

РАСЧЕТ ТОПЛИВА.

34. Если бы человек мог жить на одном алкоголе, как много бы ему понадобилось спирта в день при пищевой норме потребления 3000 килокалорий в день? Для своих оценок используйте информацию, которую дает эксперимент, описанный ниже, и оставьте ваш ответ с множителями без сокращения.

Маленькая лампа равномерно сжигает спирт. Она потребляет 2 кг спирта в течение 24-часового дня. Ее пламя окружено свернутой кольцами медной трубкой, по которой непрерывно течет вода, входящая в трубку при температуре 16 °C и выходящая из нее при температуре 24 °C. По трубке протекает 11 кг воды за 10 мин. (Трубка очень тесно окружает пламя, так что охлаждение исключается, и все устройство в целом укутано асбестом, т. е. можно считать, что утечка тепла в воздух пренебрежимо мала.).

Фиг. X.

ЛАБОРАТОРНАЯ ЗАДАЧА.

35. Предположим, что в процессе исследования вам понадобилось знать удельную теплоемкость какого-то масла и вы решили оценить ее с помощью маленькой электрической нагревательной спирали. Опишите коротко измерения, которые вы должны проделать, и скажите, как можно вычислить удельную теплоемкость. Предполагается, что у вас есть любой прибор, включая подходящую нагревательную спираль и батарею, но нет вольтметра. (Если вам хочется, можете использовать омметр.) (~¹/₂ страницы.).

ЛАБОРАТОРНЫЕ ВОПРОСЫ.

36. В цепи, показанной на фиг. XI, R₁, R₂, R₃ — проволоки одного и того же типа и равной длины. Сопротивление каждой 1 ом. В качестве батареи включена 6-вольтовая автомобильная батарея. Сопротивлением всех соединяющих проводов и батареи можно пренебречь. Пусть Р и Q — простые измерительные приборы, включаемые для чувствительных измерений.

А) Какой тип прибора Р следует использовать?

Б) Какой тип прибора Q здесь нужен?

В) Если переключатель S выключен («открыт»), что покажут Р и Q?

Г) Когда переключатель S включен, что покажут Р и Q?

Д) Если переключатель S включен, но проволока R₁ удалена или разорвана, что покажут приборы?

Фиг. XI.

НАУЧНЫЕ МЕТОДЫ И ИДЕИ.

37. «В построении областей науки теория и эксперимент часто играют дополнительные роли». Внимательно обсудите это утверждение, иллюстрируя ваше обсуждение примерами из книги.

38. Что подразумевается под законом в науке? (~2 страницы.).

(Очевидно, что на этот вопрос нет единого «правильного ответа».) Вас приглашают высказать свое собственное мнение и замечания, скажем, интеллигентному, но не занимающемуся наукой человеку, который задает такие вопросы: что такое законы, почему приборы (или природа) подчиняются им, как они используются, справедливы ли они? Если можно, дайте примеры из этого курса.

ХОРОШИЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ.

39. а) Что вы должны иметь в виду как ученый, если вы характеризуете эксперимент как хороший, или успешный (~1 страница)? (Очевидно, что на этот вопрос нет единого «правильного ответа». Вас приглашают высказать свое мнение и заключения, скажем, интеллигентному человеку, не занимающемуся наукой, который говорит: откуда вы знаете, экспериментируете вы или просто играете с приборами, и какая разница между исследованием и обычными техническими измерениями? (Дайте, если хотите, примеры из какой-либо работы, проделанной вами при изучении этого курса.).

Б) Несколько лет назад Автодорожное управление разметило несколько необычной системой белых линий полотно дорог, имеющих плохие обочины на поворотах, и расставило знаки: «Автодорожное управление. Экспериментальная маркировка дорог». Обсудите смысл «успеха» такого эксперимента.

40. Напишите реферат на тему одной из предлагаемых пар видов деятельности. Сравните в ваших рассуждениях: используемые методы, ценность того, что вы достигаете, предмет и цель деятельности.

1) Физика и поэзия.

2) Физика и история.

3) Физика и критика (литературная, музыкальная и т. п.).

41. Каковы, по вашему мнению, основные задачи и функции теоретической физики?

При ответе на этот вопрос обсудите некоторые из следующих примеров:

— Резерфордовская картина атома.

— Кинетическая теория газов.

— Теория относительности.

— Ранние работы по радиоактивности или рентгеновским лучам (из самостоятельного чтения).

42. Обратитесь к книгам:

«A History of Science» by sir William Dampier,

«Out of My Later Years» by Albert Einstein,

«Experiment and Theory in Physics» by Max Born,

«The Edge of Objectivity» by Charles Gillispie.

И другим книгам по философии науки. Затем напишите короткий реферат, отвечающий своими словами на вопрос: какие задачи у теоретической физики?

НАУЧНОЕ ЗНАНИЕ.

43. а) Как научное знание приходит в физику? Обсудите роли, которые играют наблюдения, эксперимент и математика. Дайте примеры.

Б) Может ли только одна математика дать новые знания о реальном мире? Если это так, укажите пример и критически проанализируйте его. Если нет, объясните, почему математика важна, если она может только воссоздать то, что мы уже узнали из эксперимента.

В) Посоветуйтесь с людьми, которые изучают биологию, геологию или физиологию, и установите, как в одной из этих наук получают знания. Сравните методы, используемые в этой науке с методами в физике.

44. «Ньютоновская теория всемирного тяготения создала грандиозную умозрительную схему для солнечной системы и Земли». Что это за теория, каковы ее достижения, и почему она так грандиозна? (При обсуждении достижений нужно не просто перечислить их, но и аргументировать их.) Однако вам не нужно тратить время на то, чтобы дать полные математические выкладки, за исключением, может быть, одного достижения, которое вы выберете.

45. «Кинетическая теория газов создает ложное чувство хорошей осведомленности о молекулах. Ее нельзя назвать хорошей теорией потому, что картина, которую она создает, это всего лишь некое построение на основе только отчасти верных предположений». Допустим, что вас попросили подготовить речь или написать длинное письмо, которое оспаривает или отвергает точку зрения, высказанную выше. Напишите план или короткую заметку, отражающие важные пункты вашей речи или письма (~1 страница).

46. а) Предположим, что вы сделали очень точные измерения плотности образца химически чистой меди, зная с очевидностью, что ваши экспериментальные ошибки составляют около 0,007 % ваших результатов. Охотно ли вы опубликуете утверждение, касающееся плотности химически чистой меди?

Б) Предположим, что вы измерили плотность мороженого из ближайшего ларька. Опубликуете ли вы утверждение, касающееся плотности мороженого, и поручитесь ли вы за него?

В) На основе ваших ответов на пункты а) и б) в качестве примеров прокомментируйте принцип однообразия природы (т. е. принцип, согласно которому объекты в природе ведут себя одинаково при одинаковых обстоятельствах). Обсудите вопрос, основан ли принцип на опыте или философском предположении.

«БРИТВА ОККАМА».

47. Посмотрите книги по философии (особенно по философии науки) или по истории науки и найдите, что означает «бритва Оккама».

А) Кратко расскажите об этом.

Б) Найдите и сформулируйте ньютоновский вариант ее.

В) Пригодна ли она сегодня?

48. Почему мы не относимся к астрологии как к науке? (Напишите короткий реферат. Вас просят привести обоснованные аргументы с обсуждением определений без претензий на осуждение или неоправданные требования.).

Астрология — это система подробных традиционных правил, применяющихся к хорошей астрономической информации; она претендует на то, чтобы предсказывать или открывать будущее человека или его характер по расположению планет и звезд.

СУЕВЕРИЕ.

49. Как вы думаете, что означает «суеверие»? Проанализируйте связь между суеверием и наукой в смысле материального удобства и интеллектуального благополучия.

50. а) Мы говорим, что можем вывести закон Бойля-Мариотта PV = const из кинетической теории. Предположим, что выдающийся ученый вывел из другой теории (не кинетической) соотношение P/V = const. Этот результат противоречит результатам экспериментальных исследований с газами. Предположим, однако, что в обоих случаях математические выводы оказываются абсолютно правильными. Поверите ли вы новой теории? Если так, то почему? Если нет, то что вы можете заподозрить?

Б) Предположим, что вы познакомились с двумя теоретическими выводами закона Бойля-Мариотта. Оба совершенно разные; они делают разные предположения и основаны на совершенно разных идеях о том, что такое газ, но оба ведут к соотношению PV = const. Могли бы вы отдать предпочтение одной точке зрения и ее выводам перед другой? Если нет, то почему? Если да, почему и на каком основании?

В) Какие замечания, касающиеся справедливости теоретических доказательств, вы можете сделать?

51. Следующие пункты определяют некоторые характерные черты физической науки. Подыщите пример в одно предложение для каждой черты из изученного вами материала курса (~2 строчки для каждого).

А) Экспериментальное испытание предсказания.

Б) Математический вывод из предположений.

В) Акцент на опыте, общем для большинства людей.

Г) Получение закона из эксперимента.

Д) Придумывание определения или введение термина, чтобы облегчить развитие какого-то направления в науке.

Е) Изобретение величины, вычисляемой из результатов измерений, которая не зависит от формы и размеров образца.

Ж) Измерение физической константы большим количеством приборов для того, чтобы показать, что закон, в который она входит, справедлив.

З) Подавление субъективного желания.

52. Какие заключения вы можете сделать из каждого следующего факта:

А) Жидкий воздух существует.

Б) Некоторые «естественно» радиоактивные элементы излучают α-частицы, но ни один из них не испускает протоны или дейтроны.

В) Воздух комнатной температуры достаточно хорошо подчиняется закону Бойля-Мариотта в интервале давлений от нескольких атмосфер до малой доли атмосферы.

Г) Ускорители электронов высокой энергии, в которых электроны пролетают вдоль тех же самых орбит много раз, работают должным образом, когда ускоряющие импульсы разделены равными временными промежутками (после ранних стадий ускорения).

Д) В эксперименте с «монетой и пером» перо падает столь же быстро, как монета, при любом низком давлении, таком, как 0,01 am, — высокий вакуум не является необходимым для такой демонстрации, однако он необходим при измерении средней длины свободного пробега молекулы.

СОСТАВЛЕНИЕ ФОРМУЛЫ.

53. Хорошие ученые часто используют формулы при оформлении результатов экспериментов. Они присваивают букву-символ каждой величине, которую измеряют, и находят правила, которым хотят придать алгебраическую форму; затем применяют алгебру, чтобы получить формулу для результата, который хотят вычислить, и потом используют арифметику.

В этом пути имеется два преимущества перед прямым арифметическим путем:

1) он придает арифметике более компактную форму (некоторые множители могут быть сокращены), что экономит время и уменьшает опасность ошибки;

2) конечную формулу можно применять для обработки результатов большого количества разнообразных наборов измерений. Таким образом, формула не есть нечто хранящееся в справочниках или заученное наизусть и слепо применяющееся для решения задач, это составная часть пути ученого при выполнении его работы. Попытайтесь составить формулы в следующих примерах.

А) Специалист по баллистике стреляет ружейной пулей массы m килограмм с горизонтальной скоростью v м/сек в платформу массы M, стоящую на абсолютно гладком рельсовом пути. Специалист измеряет время t сек, необходимое для того, чтобы платформа при отдаче прошла путь S метров.

Получите формулу, начинающуюся так: v =…, которая выразит v через результаты измерений m, М, S, t.

Б) Предположим, что в эксперименте Цартмана (гл. 25) барабан имеет диаметр d м и делает n оборотов в секунду. Молекулы со скоростью v м/сек делают отметку на записывающей пленке при прохождении у метров от начала отсчета. Выведите формулу для вычисления v из измерений.

В) Сила сопротивления трения, действующая на маленькую сферу, медленно движущуюся в воздухе, дается формулой F = Krv, где К — константа для воздуха, r и v — радиус и скорость сферы. Предположим, что маленькая капля жидкости плотности d падает с постоянной «конечной скоростью» v_t в воздухе. Измерение этой скорости может быть использовано для определения веса капли (см. эксперименты Милликена в гл. 36). Найдите формулу для вычисления массы капли m как функции измеренных величин d, v_t и К (которые должны быть измерены отдельно друг от друга).

Г) В пункте в) r может быть дано в метрах, v — в м/сек и F — в ньютонах. Тогда К выразится в н∙сек/м². Предположим, что вы продолжаете пользоваться этими единицами. Ваш ответ — формула для m — должен быть записан в единицах, которые приведут к килограммам. Поработайте над единицами в вашем ответе и найдите, так ли это.

Д) Экспериментатор измеряет g, хронометрируя колебания маятника, состоящего из маленькой сферической гири, висящей на нити длиной X (от опоры до верхушки гири). При маленькой амплитуде п полное время колебания туда и обратно равно t секунд. Предполагая для периода справедливость выражения T = 2π√(L/g) найдите формулу вида g =… для вычисления g из его измерений n, t, d и т. д.

Е) Если экспериментатор для своих измерений в пункте д) пользуется единицами МКС (метр, килограмм, секунда), будет ли его формула выражать g в подходящих единицах? Сделайте проверку единиц.

СЛОВАРЬ.

(См. также задачи 1 и 5, предшествующие гл. 1, и задачи 12, 13, 16 в конце гл. 1.)

ТОЛКОВАНИЕ.

54. Эпизод, напечатанный ниже, взят из Scientific American, May 1950 г., том 182, № 5, стр. 27–28. Этот журнал публикует превосходные научно-популярные статьи, при этом он заботится о том, чтобы сделать их достоверными и правдивейшими.

Предположим, что вы хотите объяснить коротко какие-то физические новости человеку, знающему физику гораздо хуже вас. Напишите короткую заметку о каждом подчеркнутом слове или фразе, объясняющую их значение настолько ясно, насколько это возможно. (Ваши заметки должны помочь вашему читателю понять, о чем идет речь, а также удивить его вашими познаниями.).

_{(Ввиду отсутствия режима подчеркивания использовал курсив. — [☺]).}

«Элемент 98». Несколькими днями позже того, как Scientific American напечатал статью в апрельском выпуске, озаглавленную «Искусственные элементы», в которой сообщалось: «В данный момент список установленных элементов заканчивается 97-м», число элементов возросло до 98. О получении 98-го элемента, шестого искусственного добавления к периодической системе, было доложено в Калифорнийском университете. Новый элемент был получен на 60-дюймовом циклотроне в Беркли при бомбардировке α-частицами с энергией 35 миллионов электронвольт нескольких миллионных долей грамма кюрия-242. 60-дюймовый циклотрон, в котором впервые получены и пять других искусственных элементов, был предпочтен в этой работе гигантскому 184-дюймовому по той причине, что последний дает а-частицы с энергией 400 Мэв, которые раскалывают ядра мишени вместо того, чтобы захватываться ими. 98-й элемент имеет период полураспада только 45 мин, и поэтому трудно было выделить то крошечное количество, которое получилось. Он был опознан только потому, что калифорнийские ученые смогли предсказать его период полураспада и химические свойства. Хотя элемент, пожалуй, никогда не будет получен в весовых количествах, его свойства имеют значительную теоретическую важность. Этот элемент — гомолог диспрозия, 66-го элемента, который входит в серию редкоземельных элементов, начинающуюся с лантана. Успешная идентификация 98-го элемента, основанная на предсказании, подтверждает теорию того, что искусственные элементы, располагающиеся за ураном, входят во вторую редкоземельную серию, чьим прототипом является элемент 89 — актиний. Если эта теория правильна, можно ожидать открытия еще пяти новых элементов, которые завершат серию.

ПЛАНИРОВАНИЕ ЭНЕРГИИ.

55. ЧЕЛОВЕЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ.

Человек получает в день с пищей 3000 ккал. На поддержание его дыхания и прочее им расходуется 1500 ккал в день, а на прогулки в свободное время он тратит еще 1000 ккал. Его работа состоит в том, что он носит тяжести вверх по лестнице. Ежедневная работа, только восхождение наверх по лестнице и переноска тяжести, стоит ему 200 ккал, и еще 800 ккал он тратит в виде выделяющегося тепла.

А) Сколько нужно ему еще пищи, чтобы полностью скомпенсировать все расходы?

Б) Ниже указано, что ему делать, чтобы выполнить работу. В каждом случае скажите, думаете ли вы, что это поможет ему (да или нет), и дайте краткое обоснование (~2 строчки) вашему ответу, предположите, что в каждый МОМЕНТ ЧЕЛОВЕК МОЖЕТ ВОСПОЛЬЗОВАТЬСЯ ТОЛЬКО ОДНИМ СОВЕТОМ,

1) Есть больше сладостей.

2) Твердо решить не сдаваться (не принимая других мер> которые перечислены здесь).

3) Использовать свои жировые запасы и, может быть, некоторые другие ткани своего тела.

4) Пить воду всякий раз, когда почувствуется усталость.

5) Держаться за перила лестницы, поднимаясь вверх, и подтягиваться на руках, чтобы помочь ногам.

6) Подниматься на эскалаторе, приводимом в действие электрическим мотором.

7) Оставаться внизу и использовать систему блоков, чтобы поднимать грузы, которые ему нужно нести наверх.

8) Спокойно стоять или лежать в постели в свободное время вместо прогулок.

9) Приспособить себе противовес, привязав к плечам канат и перекинув его через абсолютно гладкий блок, который находится на верху лестницы, к свободному концу каната привязать груз, немного меньший, чем его собственный вес (когда он не нагружен).

56. ИССЛЕДОВАНИЯ ПО ИСПОЛЬЗОВАНИЮ СОЛНЕЧНОЙ ЭНЕРГИИ И КОМИССИЯ РАЗВИТИЯ.

(Эта ситуация полностью надуманная, хотя некоторые ее задачи могут возникнуть реально, и тогда может быть использована одна из описанных здесь схем.).

Предположим, что.

I) некая важная административная комиссия, которая рассматривает способы использования солнечной энергии, пригласила вас в качестве советника;

II) в силу некоторой серьезной необходимости желательно разработать такие схемы, которые были бы осуществимыми, даже если бы они были и не эффективными и требовали огромных сумм денег для исследований и разработок;

III) могут быть созданы технические устройства, использующие тепло воды и т. д., согретых солнечным светом;

IV) комиссия получила от большого числа людей предложения и объяснительные записки. Вас просят критически рассмотреть их и сделать замечания, используя ваши научные знания.

(Конечно, в реальной жизни ваше первое замечание может быть таким: «Могу ли я посмотреть записи экспериментов», или «Я должен сам делать некоторые эксперименты», или «Я думаю проконсультироваться со специалистами в этой области». Однако при оценке предложений вы должны просто найти конкретную ошибку, или одобрить, или сообщить основную причину сомнения.).

Для простоты вы можете в дальнейшем предполагать, что те положения, которые выделены курсивом, правильны и не нуждаются в критике.

1) У каждого предложения поставьте значок, говорящий о том, как вы смотрите на предложение: как на хорошее, сомнительное или плохое.

Пользуйтесь следующими значками:

ОК = вероятно, хорошее или заслуживающее проверки;

? = сомнительное;

Х = ложное, вводящее в заблуждение, вероятно, чепуха.

2) Дайте краткое обоснование (скажем, от 1 до 5 строк) вашему замечанию. (Ценность вашего ответа будет определяться его обоснованием.).

СХЕМА А. ОГРОМНЫЙ ПЛОСКИЙ РЕЗЕРВУАР С АЛЮМИНИЕВОЙ КРЫШКОЙ, УСТАНОВЛЕННЫЙ ПОД ОТКРЫТЫМ НЕБОМ И НАПОЛНЕННЫЙ ВОДОЙ, БУДЕТ СОБИРАТЬ ТЕПЛО, КОТОРОЕ МОЖЕТ БЫТЬ ИСПОЛЬЗОВАНО В ДАЛЬНЕЙШЕМ.

Предложение А1. «Покрасьте крышку резервуара в черный цвет.».

Предложение А2. «Это правильно, что черная краска полезна, но та же масса краски поглотит столько же тепла, если она останется в банке. Вместо раскрашивания поставьте на крышку резервуара открытую банку с черной краской.».

Предложение A3. «Корпорация предлагает свою особую краску № 477В, которая в 10 раз лучше, чем черная, притягивает тепло к поверхности. Покрасьте ею поверхность.».

Предложение АЧ. «Замените воду в баке такой же массой твердого алюминия, и вы накопите в 5 раз больше тепла.» (Алюминий имеет удельную теплоемкость 0,2, так что можно ожидать увеличения температуры в 5 раз по сравнению с водой.)

Предложение А5. Алюминий выделяет тепло, если его поместить в серную кислоту, превращаясь в сульфатное соединение. Помажьте крышку равномерно кислотой.

Предложение А6. Некоторое количество тепла, собранное резервуаром, должно быть использовано для приведения в действие электрического генератора с тем, чтобы зарядить батареи, от которых будут питаться лампы, освещающие резервуар в облачные дни.

СХЕМА В. РАСТУЩИЕ ДЕРЕВЬЯ. «На месте резервуара вырастите на той же площади деревья, спилите их, высушите и сожгите. Это даст вам в 10 раз больше тепла».

СХЕМА С. СОЛНЕЧНЫЙ СВЕТ МОЖЕТ ОСВОБОЖДАТЬ ЭЛЕКТРОНЫ С ПОВЕРХНОСТИ НЕКОТОРЫХ МЕТАЛЛОВ. ПУЧОК ЭЛЕКТРОНОВ С ТАКОЙ ПОВЕРХНОСТИ МОЖНО СОБРАТЬ И ИСПОЛЬЗОВАТЬ ДЛЯ ПРИВЕДЕНИЯ В ДЕЙСТВИЕ МЕХАНИЗМА. ОДНАКО ЭЛЕКТРОНЫ ИСПУСКАЮТСЯ С ОЧЕНЬ МАЛЫМИ СКОРОСТЯМИ.

Предложение С1. «Пучок может быть собран и подведен к усилителю на триодах, который произведет больший пучок при более высоком напряжении. Используйте это.».

Предложение С2. «Магниты, размещенные на поверхности, будут действовать на электроны и ускорять их.».

Предложение СЗ. Пропустите освобожденные электроны через р-n-ходы в полупроводнике. Соедините последовательно много таких р-n-переходов для увеличения напряжения и используйте эту батарею для приведения в действие электромотора.

СХЕМА D. МОЖНО ИСПОЛЬЗОВАТЬ ЗЕРКАЛА ДЛЯ ОТРАЖЕНИЯ СОЛНЕЧНОГО СВЕТА НА КИПЯТИЛЬНИК, ГДЕ БУДЕТ ПОЛУЧАТЬСЯ ПАР.

Предложение D1. Окрасьте кипятильник в черный цвет.

Предложение D2. Покрасьте зеркало в черный цвет.

Предложение D3. Вместо воды налейте в кипятильник жидкость с большими молекулами. Когда жидкость закипит и получится пар, от трения между большими молекулами выделится огромное количество тепла.

СХЕМА Е. Комиссии сделала предложение корпорация, которая приобрела у изобретателя секрет нагревания листа железа до красного каления солнечным светом.

Была устроена демонстрация на опытной модели, в ходе которой железный лист, помещенный на крыше демонстрационного ящика изобретателя, накалялся докрасна и вода в огромном жестяном ящике закипала.

Изобретатель объяснил, что модель в полную величину должна работать так же хорошо, ибо он получил математическую формулу, которая применима к любым размерам прибора. Он объяснил также, что в научных журналах пока нет еще даже и намека на его изобретение, что оно уже 20-летней давности и содержится в исключительном секрете, так что выдержало проверку временем. Комиссия убеждена в том, что изобретатель заслуживает доверия, так как его последняя книга по отдельным отраслям физики была раскуплена в огромных количествах и ей посвятили большие статьи (хотя до некоторой степени и враждебные) газеты, имеющие большую известность. Комиссия, на которую произвела впечатление эта схема, предложила одобрить приобретение секрета и строительство установки в полную величину. (Дайте, если хотите, более длинный комментарий.).

«ОЦЕНИВАНИЕ».

57. Сделайте очень грубую оценку в некоторых из следующих пунктов. Ваш метод оценивания интересен так же, как и сам результат, так что вы должны объяснить, как вы делаете оценки.

А) Какая часть общей территории Соединенных Штатов Америки занята дорогами всех видов? (Составляет ли эта часть 10 %, которые должны делать жизнь едва возможной, или 0,0001 %, которыми можно пренебречь, или где-то между этими двумя цифрами?).

Б) Предполагая, что выливание масла на поверхность бурного моря дает успокаивающий эффект, оцените область, которая может быть успокоена 10 литрами подходящего масла.

В) Сколько аптек в Соединенных Штатах?

Г) Какую, по вашему мнению, максимальную температуру имеет железный гвоздь при забивании его обыкновенным молотком? Известно, что точильный камень «взрывается», когда вращается слишком быстро. Оцените скорость вращения, при которой он «взрывается».

Д) Примем как вольное допущение, что у автомобильной шины, катящейся по гладкой дороге, стирается при каждом обороте слой резины толщиной в одну молекулу. Оцените размер молекулы. (Заметим, что резина состоит из огромных молекул, каждая из них изображается сложными молекулярными цепями, не похожими на молекулы масел.).

Е) Оцените массу горы.

Ж) Оцените энергию урагана. Сравните ее с энергией взрывов, производимых человеком.

ПОПУЛЯРНЫЕ СТАТЬИ И БОЛЬШИЕ РЕФЕРАТЫ.

Научно-популярная статья потребует от вас научного чтения и записей размышлений над новыми для вас знаниями. Если после прочтения этой книги или изучения этого курса вы достигнете как знания фактов, так и понимания физической науки в целом, то вам может захотеться удостовериться в ваших приобретениях (перед самим собой или перед другими), показав, что вы можете читать и разъяснять другим дополнительную литературу в некоторой незнакомой вам области физики. Для этого вы должны выбрать какую-нибудь физическую тему, которая не изучалась в этой книге, но с которой все-таки вы могли соприкоснуться при работе над этим курсом, и связать с уже изученным материалом. Потратьте несколько недель на изучение вашей темы по книгам и научным журналам и затем напишите ваш собственный отчет по ней. Это даст вам возможность восполнить пробелы в курсе и, что более важно, благоприятную возможность показать, насколько хорошо вы можете теперь изучать науку дальше при самостоятельном чтении. Таким образом, «чтение статей» является проверкой усвоения курса.

Ниже предложены некоторые темы. Списки предлагаемых книг не даны, потому что выбор зависит от библиотечного обслуживания и может измениться, когда появятся новые книги. Кроме того, есть большая польза в самостоятельных поисках книг, в наведении справок по научным статьям и сравнении содержания одной книги с содержанием других. В этом состоит отличие доклада по одной книге от обзора, который дает ощущение основательных знаний. При написании вашей статьи вы должны помнить о читателе, для которого она предназначается. Вашим заданным читателем может быть ваш однокурсник, который выбрал другую тему для своей статьи, но хочет изучить вашу, читая вашу статью. Или он может быть студентом, который прослушал курс лекций по физике где-нибудь в другом месте, освоил фактический материал и хочет ознакомиться с вашей трактовкой. Или вы можете выбрать профессионального учителя физики, который намеревается прочитать вашу статью и оценить ее, но этот выбор, вероятно, будет менее выгодным для вас. Даже когда вы выберете себе тему, у вас останется еще широкий выбор между детальным рассмотрением узкой ее части или поверхностным охватом в целом. Это дело вкуса. Вдумчивый читатель примет ваш выбор широты охвата и будет ожидать соответствующего уровня глубины рассмотрения. Основой его оценки будет ощущение того, подаете ли вы материал, разобравшись в нем, и сделали ли вы его настолько своим собственным, что можете толковать другим. Вам предлагается не просто представить собранную информацию, а изложить основательные знания и результаты тщательного обдумывания. Итак, качество, а не длина вашего обзора будет главным критерием.

I. История радиоактивности.

(1890–1915 гг. или с 1915 г. до настоящего времени).

По данному вопросу написаны хорошие книги. Их изучение — интересное занятие, и на эту тему вы можете написать сочинение любой степени трудности. Трудно написать плохую статью на эту тему, потому что как только вы начнете читать, то увидите широкие возможности. И относительно короткая статья легко может начать разрастаться, все шире и шире охватывая тему. Так что эта тема — хороший выбор, если вы не знаете, на чем остановиться.

II. Эксперимент Милликена для определения е.

Милликен написал великолепный отчет о своей работе. Сначала обратитесь к его книге. Этого может оказаться достаточным.

III. Камеры Вильсона: принцип действия, снимки, расшифровка снимков.

Устройство и действие прибора описать легко. Основная работа при написании этой статьи должна состоять из подборки интересной информации, из выяснения того, какие сведения об атомных и ядерных превращениях можно получать из нее, и наконец из описания результатов исследований. Эта статья легко может превратиться в разочарующе беглый перечень фактов, но, если отнестись к ней внимательно и сделать ударение на выводах, она может получиться очень хорошей.

IV. Треки частиц в фотоэмульсиях или в пузырьковых камерах.

Последние — преемники камер Вильсона. С их помощью получено большое количество новой информации о ядрах. В статье требуется дать более подробное описание приборов и методик измерений, но, как и в предыдущем пункте, успех статьи будет зависеть в большой степени от хорошего описания результатов и объяснения выводов.

V. Открытие и свойства рентгеновских лучей.

Рентгеновские лучи имеют романтическую историю — есть хорошие описания открытия Рентгена — и нашли очень важное применение в медицине и атомной физике. В этой статье значительное внимание должно быть уделено использованию рентгеновских лучей в физике, например при классифицировании кристаллических структур. Работа над статьей будет легче и плодотворней, если вы уже изучили оптику.

VI. Космические лучи.

Частицы высоких энергий, летящие из отдаленных областей космоса, приходят к нам как сложная смесь электронов, ядер, μ-мезонов и т. д. Они могут вызывать сильные изменения в атомах, и экспериментатор может пользоваться этим в своих целях, хотя таких частиц довольно мало. Для этого применяют камеры Вильсона, ионизационные камеры, счетчики. Помещая их в аэростатах, шахтах, на кораблях, можно изучать или использовать влияние атмосферы и магнитного поля Земли. Чтение при изучении предлагаемой темы чрезвычайно трудное, однако это очень богатая область. Было бы разумным выбрать для статьи часть этой области. Великолепный выбор — если у вас смелый и любознательный ум.

VII. Физика частиц высоких энергий.

Космические лучи и самые большие ускорители дают возможность исследовать электроны, ядра, μ-мезоны с очень высокой энергией (и скоростью, близкой к с). Статья об экспериментах, результатах и их интерпретациях должна быть трудной, но вознаграждающей за все трудности.

VIII. Масс-спектрографы: устройство, принцип действия, результаты.

Подробности простого устройства даны в гл. 38; современные действующие конструкции намного более сложны и остроумны. Это техническая тема, но у вас есть необходимые основы для ее изучения и несколько хороших описаний современных конструкций.

IX. Ускорители: устройство и принцип работы.

В настоящее время существует много типов ускорителей, отличающихся от ускорителя Ван-де-Граафа и циклотрона, описанных в тексте. Изучение современных ускорителей требует глубокого понимания электромагнетизма. Это, должно быть, трудная, но интересная работа. Примеры: линейный ускоритель, «бетатрон», ускоритель «космотрон».

X. Свойства атомных частиц.

Все еще открывают новые разновидности частиц: α-, β-частицы, электроны, позитроны, нейтроны, нейтрино, мезоны и т. д. Список продолжают еще более странные частицы. Эта тема в общем перекликается с пунктом I, но она продолжена до рубежа современных исследований. Выберите и опишите несколько частиц или дайте обзор всех. Как эти частицы получаются, выделяются и исследуются? Что мы таким образом узнаем об атомах?

XI. Свойства электронов: открытие, измерение заряда и других характеристик, волновые свойства, фотоэффект.

Эта тема значительно выходит за рамки курса. При широком охвате материала она окажется трудной, но интересной.

XII. Волны: поведение частиц.

Великая революция в физике произошла почти полвека тому назад на основе открытия, что как фотоны, так и частицы имеют двойственную природу: они ведут себя как частицы и имеют в то же время волновые свойства. Изучите экспериментальные доказательства этого. Если вы в ладах с математикой, выясните, как новые идеи повлияли на теоретическую физику.

XIII. Эксперименты, показывающие, что «классическая физика ложна».

Обзор экспериментов, которые привели к развитию квантовой теории, а именно эксперименты по определению удельной теплоемкости, излучение черного тела, фотоэффект, открытие волновых свойств материи и т. д., — трудная тема, требующая упорного изучения, но вы будете вознаграждены за упорство. Вероятно, было бы лучше всего ограничиться двумя из упомянутых экспериментов и изучить их досконально.

XIV. Очень низкие температуры: получение и эксперименты, в которых они используются.

Это область температур ниже температуры обычных охлаждающих смесей или сухого льда. Она начинается от температуры «жидкого воздуха» и доходит почти до абсолютного нуля. Имеется большое разнообразие методов и аппаратуры для получения жидкого воздуха, жидкого водорода, жидкого гелия, и, наконец, хитроумные размагничивающие схемы позволяют получить (и измерить) еще более низкие температуры вблизи абсолютного пуля. При очень низких температурах большинство веществ становятся твердыми и хрупкими, но существуют и другие неожиданные эффекты, которые делают исследования очень увлекательным занятием.

Трудная тема!

XV. Физика звезд.

Как были измерены массы, температуры, размеры и т. д. звезд и исследована звездная эволюция? Очень интересная тема и почти неограниченное поле деятельности. В некоторых учебниках даны короткие описательные объяснения «астрофизики», но вам нужно прочитать намного больше, чтобы понять, как наши знания о звездах получаются из наблюдений, как результаты наблюдений интерпретируются теорией.

XVI. Спектроскопия в астрономии.

Расположения, скорости, температуры и т. д. планет, звезд, туманностей были исследованы при помещении спектроскопа в телескоп. Звездная спектроскопия расширила также наши знания об атомных спектрах в таких состояниях возбуждения и ионизации, которые не доступны исследователям в обычных земных условиях. Таким образом, мы можем сказать, что такой спектроскоп является астрономическим инструментом нашей эпохи. Эта статья требует описаний некоторых методов использования спектроскопов, затем обсуждения физической интерпретации результатов.

Романтическая, современная, астрономическая тема, но весьма трудная.

XVII. Возраст Земли: физические оценки.

Эта тема не требует геологических знаний или рассуждений. Физические методы широко использовались для определения возраста Земли — одним из современных методов является радиоактивный метод. Чтобы обосновать эту тему как физический очерк, вам нужно изложить физические методы и показать, как их результаты и интерпретация связаны с геологическими данными.

XVIII. Биография: жизнь и творчество в физике одного из ученых, перечисленных ниже.

А) Эрнест Резерфорд, б) Дж. Дж. Томсон, в) П. Н. Лебедев. Так как это описание человека и его работы, то оно должно содержать по крайней мере короткую биографию. Поскольку эта тема имеет в виду изучение важных этапов развития физики, статья должна дать полный и ясный отчет о деятельности человека в физике — его физические открытия должны быть как описаны, так и объяснены. Легко недооценить серьезные возможности этой темы или недооценить количество ожидаемого физического материала. При серьезном отношении изучение творчества одного из ученых могло бы стать очень интересным делом.

XIX. Механика Ньютона и философия.

Как ньютоновская физика связана с философскими взглядами его современников? Как его деятельность повлияла на философию последующих поколений? Такая статья должна быть интересна как физику, так и философу. Чтобы написать ее, вы должны быть большим любителем философии, но вам не нужно быть философом-специалистом.

XX. Философия физической науки с точки зрения любителя.

Если вы уже изучали философию науки по установленной программе, то вы увидите, что работа над таким очерком не очень благодарна; она покажется больше похожей на курсовой реферат, чем на изложение новых размышлений при чтении нового. Но если вы любитель без соответствующей подготовки, но относитесь с интересом к философии, вы сможете получить удовольствие, литая и описывая этот предмет, и вы должны надеяться на то, что читатели будут симпатизировать любительской точке зрения. Просмотрите книги, перечисленные ниже, и те, которые вы сможете найти по философии науки. Вы должны положить в основу своего реферата по крайней мере две из этих книг: «Философия науки» Стефана Толмина, «Эксперимент и теория в физике» Макса Борна, «Метафизические основы современной физической науки» И. А. Барта.

«Philosophy of Science» by Stephen Toulmin.

«Experiment and Theory in Physics» by Max Born.

«The Metaphisical Foundations of Modern Physics Science», by E. A. Burtt.

XXI. Физика звука и музыка.

Существует много хороших книг, описывающих и объясняющих физику звука. При написании статьи вы должны показать, что тщательно разобрались в физике, а не просто описываете результаты или сформулированные правила. Ваша статья должна дать и удовольствие, и полезные знания музыканту, который прочтет ее.

XXII. Если вы выбрали свою собственную тему, то очень важно выполнить следующие условия:

А) Она должна быть достаточно богатой физическим материалом, так что, когда вы напишете вашу статью, вы сможете рассматривать ее как солидный научный труд.

Б) Она должна быть темой, по которой есть несколько имеющихся в распоряжении (доступных) современных книг.

Примечания.

1.

Мы тем самым распространили нагрев нити накала лампочки на всю цепь.

2.

Теперь изоляционное покрытие наносят на проволоку в виде обмотки, оплетки, слоя лака или пластика с помощью машин-автоматов. В те времена, когда электрические схемы только появились, массового производства изолированной проволоки не было. Голую проволоку, которую применяли на фермах и предприятиях, приходилось изолировать вручную с помощью нитки или полосок ткани. Профессору Джозефу Генри, проводившему столетие назад в Принстоне опыты над устройствами — предшественниками радио, потребовалось изготовить обмотки для большого электромагнита. Чтобы изолировать проволоку, он разорвал на полоски шелковую юбку своей жены и обмотал ими проволоку.

3.

Заметьте, что мы уже назвали это электрическим свойством, а если появилась необходимость присвоить ему специальное наименование, значит, речь идет о свойстве, достаточно важном.

4.

Мы присваиваем этому свойству тот же самый эпитет «электрический», поскольку оно всегда проявляется наряду с тепловым эффектом. Мы приходим к выводу, что оба свойства представляют собой различные аспекты одного и того же явления — смелое предположение, оказавшееся удачным.

5.

В дистиллированной воде эффект получается очень слабый, поскольку дистиллированная вода — почти изолятор.

6.

На фиг. 7 показан расходомер простой конструкции, предназначенный для измерения расхода жидкости, скажем, в л/мин. Вода течет вверх по вертикальной суживающейся книзу трубе мимо стеклянного или металлического шарика В, диаметр которого немного меньше диаметра самой узкой части трубы. Поток воды уносит шарик вверх по трубе до места, в котором он остается неподвижным. Достигнутая шариком высота характеризует величину расхода. Чем больше скорость течения воды, тем выше должен подняться шарик, прежде чем зазор между ним и стенками трубы не окажется достаточно большим, чтобы вода могла течь мимо шарика, не проталкивая его еще выше. Модель такого расходомера интересно посмотреть, это даст возможность лучше представить себе, что такое амперметр. Такие расходомеры есть в продаже под названием ротаметров. Вместо шарика в них используется поплавок с наклонными пазами, который вращается вокруг своей оси, достигнув равновесного положения. В то время, как поплавок ротаметра свободно вращается в трубе, стеклянный шарик держится вблизи стенки трубы. (Задача: почему шарик ведет себя таким образом? Решение связано с материалом, изложенным в нашем курсе ранее.).

Фиг. 7. Ротаметр — измеритель расхода для жидкостей.

7.

В противном случае вода должна где-то накапливаться или где-то должна быть утечка воды. Если рассматривается течение несжимаемой жидкости в замкнутом трубопроводе, то расход в нем должен быть всюду одинаков.

8.

С давних пор предъявляют претензии преподавателям за то, что они с легкостью прибегают к иллюстрациям. Действительно, средневековые ученые совершали большую ошибку, делая вывод о том, «что должно быть», на основании утверждений кого-нибудь из авторитетов. А современные популяризаторы науки делают другую ошибку, втискивая с трудом добытые знания в сомнительные аналогии, из которых затем будто бы вытекают научные выводы. Попытки облегчить понимание физики с помощью аналогии могут увести читателя в сторону от истины, если его вовремя не предостеречь.

9.

Пересечение двух проводов, которые не имеют между собой контакта, для ясности показывают на схеме так, как на фиг. 14, а. Соединение проводов изображают точкой (фиг. 14, б). Не чертите пересечений проводов без переходов и без точек — это новейшее условное обозначение может вас запутать, хотя от некоторых радиоинженеров можно услышать, что «это очевидно для каждого, кто понимает, что имеется в виду».

Фиг. 14.

10.

Названия «положительный» и «отрицательный» ввел Бенджамин Франклин. Мы могли бы вместо этого употребить названия А к Б, но арифметические понятия «плюс» и «минус» удачно напоминают, что речь идет здесь о «противоположных» электрических зарядах, которые могут нейтрализовать друг друга точно так же, как положительные и отрицательные числа, +6 и —6, при сложении дают в сумме нуль.

11.

Применение амперметров в лаборатории. В самых распространенных типах амперметров, если поменять местами провода, идущие от батареи к зажимам амперметра, стрелка прибора отклоняется в обратную сторону. Это вполне подходящее основание для утверждения, что два полюса батареи неодинаковы. Чтобы избежать неправильного включения и повреждения прибора, изготовители амперметров помечают один зажим знаком плюс. Амперметр не имеет реальных полюсов «+» и «—», как батарея, поэтому пометка зажимов амперметра соответствует не его физическим особенностям, а лишь некоему произвольному условию, заключающемуся в следующем: зажим, к которому подводится провод от «плюса» источника питания, помечается знаком «+».

Фиг. 16.

Хороший амперметр очень легко испортить. Стрелка прибора прикреплена к рамке, которая вращается в подшипниках из драгоценного камня с очень малым трением, как баланс в наручных часах. Точки опоры на концах оси рамки не представляют собой точек в геометрическом смысле слова — слишком острый конец оси согнулся бы и затупился, но площадь торцов оси, опирающихся на камни, чрезвычайно мала. Вес подвижной системы, действующий на эту малую площадь опоры, создает колоссальное давление, которое в хороших измерительных приборах может быть порядка тонны на 1 см² и может затупить острие опоры. Если резко опустить прибор и поставить его на стол, то отрицательное ускорение, во много раз превысившее g, приводит к многократному возрастанию давления на опору. Острие может затупиться, и произойдет заедание стрелки прибора. Ремонт таких амперметров стоит дорого, и обращаться с ними нужно очень осторожно.

12.

Слово «реостат» означает «успокоитель» или «регулятор потока». Обычные лабораторные реостаты представляют собой однослойную катушку из проволоки, сделанной из специального сплава, которая присоединена концами к зажимам А и Б; по катушке перемещается ползунок Г, имеющий электрический контакт с проволокой и присоединенный к зажиму В. Чтобы получить переменное сопротивление, нужно использовать два из трех зажимов.

Фиг. 17.

13.

В русской терминологии величину электрического тока называют также «силой тока». — Прим. перев.

14.

Имея в виду наше определение, основанное на скорости электролитического осаждения меди, мы можем экспериментально исследовать магнитное действие тока, как это сделали Ампер и Эрстед свыше ста лет тому назад. В последние годы физики пришли к соглашению изменить логический порядок построения стандартной системы электрических единиц и понятий. Современное официальное определение единицы силы тока исходит из того, что токи пропорциональны их магнитным действиям. Ампер определяется через силу взаимодействия между двумя параллельными проводниками, по которым текут токи, обусловленную магнитным полем токов. (В соответствии с этим подходом магнитное действие пропорционально току по определению, а химическое действие тока подлежит экспериментальному изучению.) Эта новая система упрощает задачу точного воспроизведения эталонов. Система, которая принята в нашем курсе, основанная на скорости электроосаждения меди, позволяет скорее прийти к ясному пониманию вопросов в целом и лучше представлять себе, что такое амперы, кулоны и т. д., поэтому мы и будем пользоваться этой системой. Обе системы одинаково логичны, но смешение их было бы страшно нелогично.

15.

По имени французского экспериментатора Кулона, который установил примерно 170 лет тому назад закон для сил взаимодействия между такими порциями электричества. В дальнейшем вместо привычного термина «заряд» часто используется образное выражение «кулон».

16.

Простые опыты ничего, однако, не говорят нам об их фактической скорости, поскольку мы не знаем общего числа кулонов, текущих по проводнику. Мы считаем теперь, руководствуясь косвенными данными атомной физики, что полный движущийся заряд, представляющий собой ток в металле, составляет огромную величину. В куске тонкой медной проволоки длиной 30 см ток осуществляют примерно 10²² электронов (считая по два «электрона проводимости» на атом). Заряд каждого электрона равен 1,6∙10^-19 кулон, следовательно, суммарный движущийся заряд близок к 1600 кулон. Если по проволоке идет ток силой 1 а, то должен происходить дрейф электронов вдоль цепи со скоростью примерно ¹/₅₀ см/сек или 1,2 см в минуту. (Этот дрейф — он-то и представляет собой ток — накладывается на хаотическое движение электронов в кристаллической решетке атомов металла, а это движение, как утверждает квантовая теория, происходит с огромной скоростью, свыше 320 км/сек.).

17.

Современная квантовая теория утверждает, что эти «свободные» электроны обладают чрезвычайно высокой кинетической энергией, при всех температурах в 200 раз превышающей кинетическую энергию, которую они имели бы в результате «равного распределения энергии по степеням свободы» при комнатной температуре. Они имеют также очень большую среднюю длину свободного пробега, которая уменьшается при повышении температуры, отчего электрическое сопротивление возрастает.

18.

Не следует затемнять существо этого опыта процедурой точного взвешивания. Опыт важен как часть цельного курса изучения электричества. Если взять амперметр для больших токов и лист меди площадью что-нибудь 30 x 30 см² или больше, то выделившуюся медь легко взвесить, так что всем будет виден результат. Электролитическое осаждение, проводимое как демонстрационный опыт, может быть рассчитано на продолжительное время, в течение которого будут рассматриваться другие вопросы.

19.

Это первый из многих очень важных расчетов, которые проделывают в электротехнике. Пусть вас не смущают научные термины. Вместо «джоуль энергии» читайте «буханка хлеба», а вместо «кулон» — «грузовик», тогда наши рассуждения будут выглядеть следующим образом. Если через мой двор ежедневно проезжает 3 грузовика и с каждого грузовика мне дают по 4 буханки хлеба, то сколько буханок хлеба я получаю в день? Ответ:

3 ГРУЗОВИКА В ДЕНЬ ∙ 4 БУХАНКИ С ГРУЗОВИКА = 12 БУХАНОК В ДЕНЬ.

Это арифметика начальной школы. Многие важные расчеты в электротехнике столь же просты. Для проверки убедитесь, что после сокращения получаются, как в приведенном в тексте расчете, разумные единицы. Например, если бы вы по недомыслию произвели деление, то получили бы:

4 БУХАНКИ С ГРУЗОВИКА / 3 ГРУЗОВИКА В ДЕНЬ, или (4/3)∙(БУХАНКА∙ДЕНЬ / ГРУЗОВИК∙ГРУЗОВИК),

Т. е. 1,33 буханка-день на грузовик в квадрате — полная бессмыслица.

Остерегайтесь медика, который не силен в математике и, деля число таблеток на больного на число больных в день, прописывает таблетко-дни на больного в квадрате!

20.

Один такой способ — получаемый с его помощью результат имеет очень важное значение в теоретической электротехнике — состоит в следующем. Изготавливают очень простой генератор, напряжение которого можно вычислить непосредственно, зная его конструктивные параметры и скорость вращения и измеряя ток, создающий магнитное поле. Таким путем можно получить эталонное напряжение. (Обычно этот генератор используют для получения эталонного сопротивления, не прибегая ни к каким измерениям тока. Э.д.с. генератора компенсируют разностью потенциалов на концах сопротивления, по которому протекает ток, служащий для создания магнитного поля в генераторе. Именно таким путем пришли к эталону ома.).

21.

Заполните оставленные для ответов пропуски на машинописной копии текста задачи.

22.

Вольтметр и амперметр могут быть объединены в один прибор, носящий название ваттметр, но такие приборы дороги, довольно неудобны в употреблении и не находят повсеместного применения.

23.

Из книги Л. У. Тейлора, «Physics, The Pioneer Science»,

24.

Всякая проволока обладает сопротивлением. Выражение «проволока, обладающая сопротивлением», вводит в заблуждение. Однако у тонкой проволоки и проволоки, изготовленной из специальных сплавов, сопротивление настолько превышает сопротивление толстой медной проволоки одинаковой с ней длины, что употребление этого выражения оказывается уместным, ибо оно подчеркивает контраст. Для этого опыта вам должны дать проволоку из специального сплава, имеющего относительно большое сопротивление и мало меняющего его с изменением температуры. У чистых металлов, таких, как медь, железо и т. д., сопротивление возрастает примерно на 4 % при увеличении температуры на 10 градусов; в то же время у некоторых сплавов сопротивление остается почти постоянным при изменении температуры. Так, у константана, сплава из 60 % меди и 40 % никеля, при возрастании температуры на 10 градусов сопротивление изменяется на 0,05 % или того меньше. Сплав этот дешев и как раз подходит для данного опыта.

25.

Керамика на основе карбида кремния с нелинейной зависимостью тока от напряжения. — Прим. перев.

26.

Термином «резистор» обозначают деталь, которая служит для введения в цепь сопротивления. — Прим. перев.

27.

Миллиампер — одна тысячная часть ампера, 0,001 а.

28.

Амперметры имеют очень малое сопротивление, поэтому напряжение на амперметре соответственно очень мало.

29.

В некоторых лампах имеется вывод от центра нити накала или от окружающего ее покрытия, называемого катодом. Если у взятой вами лампы есть такой вывод, то его нужно использовать вместо одного из концов нити накала.

30.

Электроды — это проволоки или пластины, через которые ток входит в электролитическую ванну и выходит из нее.

31.

Такой электролитической ванне неудачно присвоено наименование «водяной вольтаметр» — не путать с вольтметром, с которым она не имеет ничего общего.

32.

Разумеется, существуют специальные амперметры, позволяющие измерять переменный ток. В приборах одного типа магнитное поле, создаваемое током, намагничивает (временно) два железных стержня. Стержни отталкивают друг друга независимо от того, в каком направлении течет ток. Один стержень неподвижен, другой, подвижный, вращается в опорах. Сила отталкивания, которая действует между стержнями и вызывает отклонение подвижного стержня, уравновешивается усилием со стороны волосяной пружины, соответственно возрастающим при увеличении отклонения. К подвижному стержню прикреплена стрелка, против которой располагается неравномерная шкала.

33.

Следите за тем, чтобы не повредить амперметр. Если амперметр не показывает переменный ток, то хотя стрелка его остается вблизи нуля, ток нагревает катушку, находящуюся внутри прибора, точно так же, как нить лампы накаливания. Для верности сначала испробуйте прибор в цепи постоянного тока, потом перейдите к переменному току того же напряжения, но не переключайте амперметр на диапазон с меньшим предельным током.

34.

Электронно-лучевой осциллограф имеет собственный «датчик времени» — генератор развертки, который обеспечивает непрерывное движение светового пятна поперек экрана. Это горизонтальное движение пятна по экрану регулярно повторяется с такой частотой, что кривые, вычерчиваемые при каждом пробеге пятна слева направо, накладываются одна на другую.

35.

Любое устройство, которое пропускает ток в одном направлении и служит для получения постоянного тока (пульсирующего или неизменного по амплитуде) из переменного, называется «выпрямителем». Выпрямитель является важным узлом радиоприемников.

36.

Чаще всего тележка, получив потенциальную энергию, движется с ускорением и развивает все большую кинетическую энергию. Это соответствует ускоренному движению электронов в вакууме за счет энергии батареи. В некоторых тележках, предназначенных для детей, трение настолько велико, что большая часть спуска совершается с постоянной скоростью. Определенная доля потенциальной энергии идет на нагрев рельсов и воздуха. Это соответствует прохождению тока по проводам под действием батареи.

37.

Обычно тележки останавливаются, возвратившись к месту старта. Они не возвращаются с запасом избыточной кинетической энергии, чтобы у на последующих спусках, двигаться все быстрее и быстрее.

38.

Если вы были внимательны, то могли заметить признаки этого явления в вашем первом опыте, посвященном электрической цепи.

39.

Аналогом разрыва в электрической цепи (или конденсатора) в водяном контуре служит не заглушка в трубе, а эластичная мембрана из материала вроде листовой резины, перпендикулярная к оси трубы. В этом случае насос Р может создать кратковременный ток, заставив мембрану прогнуться.

Фиг. 53. Аналог конденсатора в гидравлической цепи.

40.

В некоторых случаях, например при изучении строения атома, мы относим нуль потенциала от «земли» в бесконечность.

41.

Мы пользуемся этим словом, чтобы охарактеризовать определенную ситуацию, но даем ей лишь название, а не объяснение. В прежние века, говоря о заряженных телах, вероятно, сказали бы, что они «заколдованы».

42.

Бенджамин Франклин выбрал названия «положительный» и «отрицательный» задолго до того, как появление батарей позволило получить сведения об электрических токах.

43.

Если говорить о напряжении, то пластинка заряжается до определенного напряжения (разности потенциалов между пластинкой и землей). Потенциал заряжаемого предмета повышается, приближаясь к потенциалу пластинки, и на него переходит все меньшая и меньшая доля заряда пластинки.

44.

«Скоп» — от греческого слова — «смотрю». Название означает «прибор для наблюдения эффектов, связанных с электрическим зарядом».

45.

Электрическая сила обусловлена отталкиванием со стороны зарядов, находящихся на стержне, к которому крепится листочек, и притяжением зарядов противоположного знака, находящихся на стенках, корпуса электроскопа. Если соединить листочек с каким-либо большим заряженным телом, то листочек воспринимает лишь малую долю всего заряда; воспринимаемый листочком заряд является мерой напряжения объединенного объекта (тело + листочек). Таким образом, отклонение листочка указывает разность потенциалов между объектом (тело + листочек) и окружающими стенками, или землей.

46.

Его называют цилиндром (ведерком) Фарадея; Фарадей столетие тому назад использовал в своих опытах ведерко для охлаждения вина.

47.

Оказывается, в такой лаборатории нельзя находиться экспериментаторам: она полностью экранирована от любого электрического поля, но не защищена от рентгеновского излучения.

48.

Специфическое действие острий рассматривается ниже.

49.

Один способ выбора единиц, которым широко пользовались в электростатике в прошлом столетии, а иногда пользуются и в наше время, заключается в следующем. Требуют, чтобы постоянная B равнялась просто 1,000, выбирая величину единицы измерения Q так, чтобы это условие выполнялось. Однако единица измерения оказывается при этом чрезвычайно малой и неудобной для использования при рассмотрении явлений, связанных с протеканием тока. Выбором единицы можно упростить вычисления при изучении одной области явлений, но тогда возникают трудности в какой-то другой области. Подобный выбор единиц никак не затрагивает физических основ рассматриваемых явлений.

50.

Заряды, находящиеся на одном шарике, отталкивают заряды на другом шарике, заставляя их переходить по металлической поверхности и смещаться к противоположной стороне второго шарика. Строго говоря, следовало бы брать расстояние не между центрами шариков, а несколько большее расстояние. Результаты опыта ухудшаются, кроме того, из-за утечки зарядов, которая имеет место всегда, исключая очень сухую погоду.

51.

Если заряды находятся на металлических предметах, то введение пробного заряда в пространство между ними привело бы к смещению первоначальных зарядов и тем самым к изменению поля, которое мы пытаемся измерить. Чем меньше пробный заряд, тем меньше это изменение поля. Поэтому мы берем все меньший и меньший заряд и мысленно совершаем математическую операцию перехода к пределу. ПРЕДЕЛ отношения СИЛА/ЗАРЯД мы называем НАПРЯЖЕННОСТЬЮ ПОЛЯ. Предел в математическом смысле и в этом случае представляет собой идеальную меру физической величины, как было указано в гл. 1, когда шла речь об ускорении, давлении, и плотности; но и здесь атомистическая природа электричества не позволяет нам достичь этого предела.

52.

Иначе говоря, в металле существовали бы токи, приводящие к перераспределению зарядов.

53.

Вообразите себя в роли положительного пробного заряда электричества. Доберитесь до точки А, находящейся между необъятным по площади положительно заряженным потолком и таким же необозримым отрицательно заряженным полом, и посмотрите, какие заряды на вас действуют. Вверху вы видите положительно заряженный потолок, пластину бесконечно большой площади, покрытую ровным слоем заряда. Сместившись в сторону, вы увидите то же самое, если пластины бесконечно протяженные. Переместившись кверху и продолжая смотреть вверх, вы увидите, что приблизились к какой-то части потолка. При этом любой конус в пределах вашего угла зрения будет захватывать меньшую область потолка. Оба фактора, а именно изменение обратной величины квадрата расстояния до потолка и изменение площади потолка, охватываемой взглядом, прямо пропорциональное квадрату расстояния, в точности компенсируют друг друга. Поэтому вы будете испытывать одну и ту же силу отталкивания со стороны потолка, на какой бы высоте вы ни находились. Точно так же пол будет действовать на вас с одинаковой силой притяжения независимо от того, где вы находитесь. Следовательно, вы могли бы считать, что попали в однородное поле. (По той же причине, если рассматривать рассеяние света, белый потолок над вами казался бы вам по мере приближения к нему точно таким же, а вовсе не более ярким.).

Если вы находитесь за пределами пространства между пластинами, скажем под ними, то вверху было бы два потолка: отрицательно заряженная пластина прямо над вами и положительно заряженная пластина над нею. Вторая пластина, лежащая выше первой, если она бесконечно протяженная, действовала бы на вас с силой отталкивания, равной силе притяжения со стороны нижней пластины. Поэтому вы пришли бы к выводу, что находитесь в области, где результирующее поле равно нулю.

Фиг. 82.

54.

Заряды, с которыми имеют дело в опытах по электростатике, очень малы, меньше одной миллионной кулона. Разности потенциалов велики: 10 000 в для заряженной пластинки электрофора, миллионы вольт в больших машинах. В очень грубом приближении можно считать, что для возникновения искры длиной 2,5 см в воздухе требуется напряжение 50 000 в.

55.

Например, если Р₂ в 3 раза дальше от D, чем Р₁, то конус с вершиной в D расширяется в направлении к Р₂ до тех пор, пока его основание у Р₂ не станет в 3 раза шире, чем у Р₁. Если это круговой конус, вырезающий на сфере круговую область, то диаметр области Р₂ будет в 3 раза больше диаметра области Р₁. Следовательно, диаметры относятся, как 3:1, отношение радиусов тоже 3:1, а площади относятся, как З²:1, или 9:1.

Эти рассуждения справедливы для конусов любой формы. Если доказательство для круговых конусов кажется вам трудным, представьте себе узкую пирамиду, вырезающую на поверхности сферы прямоугольники. Построение такой пирамиды производится следующим образом. Сначала постройте маленький прямоугольник Р₁. Соедините его вершины с точкой D, где находится пробный заряд, и продолжите проведенные линии за D до нового пересечения со сферой, в результате него получится подобный прямоугольник Р₂ другого размера.

56.

Большинство этих очень узких конусов пересекает поверхность шара наклонно, но это не нарушает рассуждений, поскольку наклон одинаков у обоих оснований конусов Р₁ и Р₂. Любая хорда окружности или сферы образует равные углы с касательными, проведенными через ее концы.

57.

Если не считать поля, силовые линии которого перпендикулярны поверхности металлического стержня; эти силовые линии начинаются на поверхности и идут от нее.

58.

Такое направление силы, действующей на электроны, является следствием первоначального выбора знаков «+» и «—», сделанного учеными. Стоило им выбрать знаки по-другому, и стрелки, обозначающие направление электрического поля (и тока на схемах), указывали бы направление движения электронов. Теперь менять первоначальный выбор слишком поздно: развитие электротехники утвердило его в качестве всеобщего соглашения. И студенты, которые способны разобраться в электрических цепях и полях, смогут запомнить, что на электроны действует сила, направленная противоположно стрелкам, указывающим от «+» к «—». Правда, не всегда движутся отрицательные электроны. В жидких растворах и в газах есть положительные и отрицательные носители тока, движутся и те, и другие, разумеется, в противоположных направлениях. Существуют, кроме того, положительные электроны, которые движутся в направлении стрелок (пока не исчезают в результате гибельного столкновения с отрицательными электронами). Наконец, в некоторых кристаллических полупроводниках мы находим так называемые «дырки» — места в кристалле, не занятые электронами. Электрон из другого места кристалла может пойти по направлению к «дырке» и заполнить «пустое место», оставив пустое место там, где он ранее находился. Таким образом, «дырки» могут перемещаться так, как будто перемещаются положительные заряды.

Фиг. 99. Электрон в электрическом поле.

_{Силовые линии электрического поля снабжают стрелками, указывающими направление силы, действующей со стороны поля на малый положительный пробный заряд. Электроны обладают отрицательным зарядом, поэтому со стороны поля на них действует сила в строго противоположном направлении.}

59.

Катод — это давнее название отрицательного электрода в электролитической ванне. Положительный электрод, через который, как об этом говорилось, в раствор входит ток положительного направления, был назван анодом. Положительный электрод в радиолампах или электрод с отверстием в электронной пушке называется анодом.

60.

Для работы триода нужны две вспомогательные батареи или два других источника постоянного напряжения. Чтобы изменения напряжения на сетке достаточно эффективно влияли на поток электронов, сетка должна быть слегка отрицательной по отношению к катоду. Этого добиваются включением небольшой батареи последовательно с источником изменяющегося сигнала или применением равнозначной схемы, которая позволяет обойтись без батареи. Чтобы создать поле, увлекающее электроны к аноду, необходимо высокое напряжение; источником этого напряжения служит специальная батарея (так называемая «анодная батарея») или выпрямитель, работающий от сети переменного тока.

61.

Между прочим, длительная бомбардировка одного места экрана вредна, луч может «прожечь» экран. Поэтому, работая с осциллографом в лаборатории, не следует надолго оставлять пятно в одной точке экрана. Трубку телевизионной камеры тоже можно повредить таким образом (хотя со временем ее свойства восстанавливаются), и оператору приходится внимательно следить за тем, чтобы не прожечь трубку.

62.

Если вы представляете себе ток как медленное перемещение роя отрицательных электронов по проволоке, в которой остается неподвижным такое же скопление положительно заряженных атомов, то вы должны, кроме того, представить себе, что электроны несут с собой пучок силовых линий, входящих в электроны, в то время как положительные атомы связаны с пучком неподвижных силовых линий, выходящих из них. Движение силовых линий поля по-прежнему имеет место.

63.

Физика далеко не всегда нуждается в формальных определениях, подобных тем, которые встречаются в словарях. Физическая идея может быть понятна и плодотворна, хотя и не поддается точному определению. (Напомним о трудности определения понятия СПРАВЕДЛИВОСТИ в религии и философии.) С другой стороны, нам, безусловно, необходимо выработать четкие определения для тех физических величин, которые мы измеряем (например, температуры, напряженности электрического поля и т. п.). «Так как, без сомнения, истинный смысл физической величины следует находить на основании того, что человек делает с ней, а не того, что он говорит о ней», — P. W. Вгidgmеn, The Logic of Modern Physics.

64.

Если наблюдать магнит в действии, то в существование полюсов очень легко поверить как в реальность. Сейчас мы уже знаем, что на самом деле никаких полюсов не существует, так как все свойства магнитов связаны с внутриатомными электронными токами, не имеющими разделенных «полюсов». Хотя привлечение понятия полюсов в учебных целях в настоящее время и но поощряется, мы все же пока воспользуемся им, не вкладывая в него какой-либо реальный смысл.

65.

Те, кто уже изучал физику, могут заметить, сколь тривиальными представляются теперь эти сведения, хотя в некоторых элементарных курсах им придается самостоятельное значение.

66.

Если подвесить вас на веревке, то ваше тело тоже займет некоторое определенное положение и, будучи выведенным из него, обязательно возвратится обратно, но по причинам, уже не связанным с магнетизмом. Каким способом можно было бы убедиться, что поддерживающая нить не искажает результатов ваших опытов с магнитами?

Фиг. 131.

67.

На большей части территории Соединенных Штатов магнитное поле Земли круто наклонено вниз под углом до 70° к горизонту. Магнит, способный следовать за полем, должен был бы наклоняться в том же направлении. Почему же обычная компасная стрелка остается в горизонтальном положении и не перекашивается? Ведь ось никак не может предотвратить перекос, и мы должны были бы увидеть, что северный кончик стрелки царапает дно коробки компаса. Если вы дадите правильный ответ на этот вопрос, то поймете, что имеется простой способ проверить вашу догадку опытным путем, и сможете сами выбрать подходящий прибор для такой проверки.

68.

Аналогичные соображения справедливы и в случае притяжения электрически заряженными предметами небольших кусочков бумаги и т. п. Электрическое поле, создаваемое этими предметами, притягивает и отталкивает заряды, «индуцированные» на кусочках бумаги, создавая как притяжение, так и несколько более слабое отталкивание. Часто заряд, индуцированный на удаленном краю бумажки, стекает на землю, что еще более усиливает эффект. Магниты всегда имеют два, (либо ни одного) полюса и один из полюсов никогда не может исчезнуть, как это бывает в случае стекания электрического заряда на землю.

69.

Г. Сартон.

70.

Картина, возникающая в таком магнитном поле, полностью совпадает с той, которая имеет место при обтекании вращающегося цилиндра однородным воздушным потоком (см. гл. 9). Заметим, однако, что сила действует здесь в обратном направлении.

71.

Впервые здесь и далее в гл. 37 автор называет силу, действующую со стороны внешнего магнитного поля на помещенный в него проводник с током, а также силу, действующую на движущийся во внешнем магнитном поле заряд, «катапультирующей» (catapult force). В научной литературе принято именовать первую из указанных сил «пондеромоторной силой, действующей на проводник с током, помещенный во внешнее магнитное поле» (силой Ампера), а вторую — силой Лоренца. Тем не менее, желая сохранить стиль оригинала, мы не сочли целесообразным изменить терминологию автора. — Прим. ред.

72.

Наведите на концах проводника положительные и отрицательные заряды. Затем разрежьте проводник пополам, и вы получите два разноименно заряженных куска.

73.

Morris R. Cohen, The Faith of a Liberal, Henry Holt and Company, N. Y.

74.

За поколение до Галилея английский физик Гильберт написал замечательную книгу о магнетизме и электричестве. В ней он не только изложил результаты своих опытов, но и высказал ряд правильных предположений, в частности сравнивал Землю с намагниченным шаром.

75.

Тем не менее в некоторых других областях знаний к подобным утверждениям относятся с уважением.

76.

Обычное переменное напряжение возрастает до максимума, затем падает до нуля, достигает максимума противоположного знака, снова возрастает и т. д., делая 60 полных циклов в секунду. Если приложить такое переменное напряжение к катушке, то через нее потечет переменный ток, который создаст магнитное поле, меняющееся с той же частотой. (Частота 60 циклов в секунду принята в США. В СССР и европейских странах стандартная частота переменного тока равна 50 циклам в секунду. — Прим. перев.)

Фиг.155.

77.

В этом грубая теория магнетизма похожа на теорию химической структуры в органической химии, которая позволяет нам ответить на, казалось бы, бессмысленные вопросы о количестве соединений, обладающих одинаковым составом, но различными химическими свойствами. Так, с помощью бензола С₆Н₆ можно получить дихлорбензол С₆Н₄С1₂. Если мы спросим: «Сколько может быть различных дихлорбензолов?» — то без знания структурной химии вопрос покажется глупым; но эта теория незамедлительно отвечает: «Три». И действительно, их существует три. Теория дает даже нечто большее — она показывает нам, как опытным путем определить, с каким из трех веществ мы встретились в исследуемом чистом образце.

78.

«Домены можно сравнить с человеческими нациями: мы всегда видим людей объединенными в нации, но первичные единицы человечества — это всегда отдельные люди». — Фредерик Кеффер.

79.

Имеются достаточно веские причины представить здесь химию, так сказать, «в готовом виде», чтобы, не задерживаясь, продолжить изучение физики. Если бы нас непосредственно интересовала сама химия, то такой метод был бы, конечно, неприемлем. Вы получили бы неправильное представление как о самой науке, так и об отношении к ней ученых.

К сожалению, однако, весьма соблазнительно преподнести начальный курс любой науки в «готовом виде», просто перечисляя различные факты и выводы. Это дает возможность сообщить начинающему определенный запас сведений, без которого он не сможет ни понять, ни оценить теорию. Поэтому преподаватель часто впадает в искушение дать сначала лишь основную необходимую информацию, смысл которой разъясняется на следующей стадии процесса обучения. Однако студенты, которые не перешагнули первую ступень, получают очень обедненное представление о науке только как о коллекции разнообразных фактов, и от них ускользает стройная система знаний, в которой и заключается ее основное содержание. Вот почему мы и стремимся избежать этого. Все же при кратком изложении другой области науки, в настоящей книге — химии, а в книгах по химии — ядерной физики, нам приходится забыть о своем желании и сообщать множество сведений без объяснения того, как они были получены. Пусть это примечание послужит и предупреждением, и оправданием дальнейшему.

80.

Химическое воздействие на хлор и кислород может привести к образованию новых веществ, но только путем присоединения. Например, при взаимодействии хлора или кислорода с натрием получается осадок белого цвета, масса которого равна сумме масс участвующих в реакции металла и газа. Иными словами, взаимодействие снова порождает более сложное вещество, а не приводит к расщеплению на составные части. Таким образом, тщательное взвешивание предохраняет химию от ошибочных заключений.

81.

В начале нынешнего столетия мы научились изменять ядра атомов элементов, бомбардируя их атомными частицами высокой энергии, полученными на ускорителях (см. гл. 42 и 43). Таким образом, мы можем превратить одни атомы в другие, переходя от простоты химических представлений к совершенно иным горизонтам. Однако при обычном рассказе об атомах мы предпочитаем придерживаться точки зрения, принятой в химии, поскольку атомы невозможно изменить обычным химическим или физическим воздействием.

82.

3) К. В. Krauskopf, Fundamentals of Physical Science, 1st ed., N. Y. Mc-Graw Hill, 1941.

83.

В течение длительного времени все еще имелись основания для беспокойства по поводу правильности периодической системы. Даже в нашем столетии был «открыт» один элемент, заполняющий пустующую клетку, который как оказалось позже, не обладал нужными химическими свойствами. Тогда Нильс Бор, основываясь на своей модели атома (см. гл. 44), предсказал ожидаемые свойства элемента, который должен был бы стать на свободное место. Последовавшие затем тщательные поиски позволили выделить из подходящих минералов этот элемент, названный гафнием.

84.

Эта реакция служит простым методом опознавания углекислого газа. Проведите ее сами. Взболтав известь в воде и подождав, пока ее избыток осядет, слейте чистый раствор, и вы получите известковую воду. Подуйте в эту воду через соломинку, и вы увидите, как вырастает белое облачко мела. Воздух, лишенный углекислого газа, не вызывает такого действия. Продолжайте некоторое время продувать воздух, содержащий углекислый газ, и наблюдайте за дальнейшими изменениями. Химия, оказывается, не столь проста, как может показаться с первого взгляда…

85.

Индексы, стоящие в химических формулах, конечно, обозначают, что атомы добавляются, а не умножаются, как в алгебре. Так, наименование фирмы «Хаггинс, Хаггинс, Смит, Осборн, Осборн, Осборн и Осборн», химик записал бы как H₂SO₄.

86.

Как правило, мы не пишем в химических уравнениях воду, в которой растворены реагирующие между собой вещества. Считается, как само собой разумеющееся, что в обеих частях уравнения присутствует одинаковое число молекул воды. Хотя вода не оказывает действия на конечные продукты реакции, она в сильной мере способствует ей, вызывая образование ионов, т. е. играет тем самым очень существенную роль.

87.

«Нейтральный» в химии означает: не обладающий свойствами ни кислоты, ни щелочи.

88.

Этот процесс трудно осуществить в небольших масштабах, так как углерод нужно хорошо нагреть, чтобы началось горение, а затем снабжать в надлежащих количествах воздухом, или кислородом, но без тяги, которая создала бы сильное охлаждение. В больших масштабах это совсем просто; примером может служить угольный пожар.

89.

Забегая вперед и вспоминая про изотопы (см. гл. 38, 40, 43), мы можем отчасти усомниться в этом.

90.

Обычная химия ничего не может сказать о величине атомов, хотя имеются четкие основания считать, что атомы должны быть крайне малы, а количество их — огромно. Микрохимия, которая имеет дело с миллионными долями грамма, также бессильна почувствовать различие в весе на одну молекулу. Как мы теперь хорошо знаем, мельчайшая крупинка вещества, которую можно непосредственно подержать или взвесить, содержит колоссальное число атомов.

91.

Это правило предсказывается кинетической теорией, а квантовая механика объясняет исключения из него. См. гл. 30 и 44.

92.

Пусть, например, взвешивание газов при комнатной температуре и атмосферном давлении показало, что Плотность водорода Н₂ = 0,0836 кг/м³,

Плотность соляной кислоты НС1(?) = 1,52 кг/м³.

Тогда.

Молекулярный вес НС1/2(= мол. вес Н₂) = 1.52/0.0836.

Т. е. молекулярный вес НС1 = 2∙1,52/0,0836 = 36,4. Таким образом, если формула НС1 выбрана правильно, то атомный вес хлора получается 36,4–1 = 35,4.

Другой пример: мы в состоянии правильно предсказать плотность различных газов, не производя непосредственных измерений. Предположим, что мы хотим сравнить между собой СО₂ и воздух. Воздух содержит ⁴/₅ N₂ (молекулярный вес 28) и ¹/₅ O₂ (молекулярный вес 32). Таким образом, воздух имеет молекулярный вес 28,8, промежуточный между N₂ и О₂, т. е. он должен быть приблизительно в 14,4 раза тяжелее водорода. Атомный вес углекислого газа СО₂ (12 + 2 х 16) = 44, поэтому его плотность в 44/28,8 ~=1¹/₂ раза больше плотности воздуха, и не удивительно, что он образует иногда удушливые скопления на дне пещер.

Угарный газ, СО, имеющий молекулярный вес (12 + 16) = 28, немного легче воздуха.

93.

В настоящее время в качестве стандарта шкалы атомных весов выбирается атомный вес кислорода, равный 16. При этом атомный вес водорода становится 1,008, но атомные веса других легких элементов еще более приближаются к целым числам.

94.

Еще лучше было бы записать ряды элементов на ленте, обернутой спиралью вокруг цилиндра. При таком расположении красота периодической системы становится более очевидной.

95.

Один из примеров такого нарушения виден в той части системы, которая приведена на фиг. 168. Инертный газ аргон и активный щелочной элемент калий, имеющие атомные веса соответственно 40 и 39, казалось бы, нужно поменять местами. Однако многочисленные попытки обосновать такую возможность тщательными измерениями полностью провалились. Было ли это случайной неудачей периодической системы или ее пороком в целом? Нет, этот пример, конечно, не мог ее полностью дискредитировать, поскольку в активе периодической системы имелось уже немало достижений. Однако он оказался весьма серьезным «исключением», которое грозило остаться незаживающей раной на теле химии. Все же современной физике удалось объяснить причину этого несоответствия, вернее показать, что его вообще не существует. См. гл. 38.

96.

Имеется определенная система присвоения почтовым маркам порядковых номеров, которые называются «числами Скотта». Атомные номера — это своеобразные «числа Скотта» химических элементов.

97.

Теоретические оценки, основанные на так называемой оболочечной модели атомного ядра, показывают, что с ростом атомного номера снова могут появиться более стабильные элементы. Так, например, вполне возможно, что один из элементов с атомными номерами 114 и 126 или оба будут сравнительно устойчивы. — Прим. перев.

98.

Это не просто блестящая догадка, а четкое заключение, сделанное на основании исследования атомных слоев в кристаллах поваренной соли рентгеновскими лучами. Эти лучи, отраженные от наклонных плоскостей кубического кристалла, образуют дифракционную картину, которая показывает, что они проходят через слоистую среду, состоящую из большого числа неодинаковых слоев, в которой периодически встречаются слои, содержащие большее число электронов, т. е. сильнее рассеивающие рентгеновские лучи. Ими могут быть только плоскости кристалла, содержащие хлор, атомный номер которого 17 больше атомного номера натрия — 11. Повторяя эксперимент с хлористым калием, в химическом отношении сходным с NaCl и имеющим почти идентичную кристаллическую структуру, английский ученый сэр Уильям Брэгг обнаружил удивительное различие. Наклонные плоскости кристалла KCl создавали дифракционную картину, которая свидетельствовала о полной тождественности всех плоскостей, т. е. о том, что все они одинаково богаты электронами. Взгляните теперь на атомные номера калия и хлора в периодической системе химических элементов. Они дадут вам число рассеивающих рентгеновские лучи электронов нейтрального атома. Как же могло случиться, что все атомы кристалла стали обладать одинаковым количеством электронов? И на какие другие атомы стали похожи эти новые образования по своей электронной структуре? (Посмотрите на периодическую систему снова.) Можно ли ожидать, что они когда-нибудь вернутся в исходное состояние или навсегда останутся в кристалле такими?

99.

Наблюдения, безусловно, не доказывают, что имеет место такая простая картина. Самое большее, что мы можем сказать, заключается в следующем: поскольку такое объяснение является самым простым, мы предпочитаем с ним согласиться, пока оно не будет опровергнуто новыми экспериментальными данными. Такой выбор не таит в себе ничего плохого, если мы не будем забывать, что сделали его из соображений удобства.

100.

Если электроды сделаны из свинца, ионы SO₄ соединяются с ним, образуя сернокислый свинец. Эта реакция является частью процесса зарядки аккумуляторов. Если же электроды сделаны из меди, то они тоже соединяются с ионами SO₄^-. При этом вместо кислорода и серной кислоты образуется сернокислая медь, которая также расщепляется на ионы.

101.

Королевское Общество — название Академии Наук в Англии. — Прим. перев.

102.

Если только они не радиоактивны (тут заложены изумительные возможности).

103.

В подлинном эксперименте вместо электрического поля было использовано переменное магнитное.

104.

Это разочарование закономерно; ведь, подавая напряжение на пушку, мы прикладываем к электронам электрическое поле, ускоряющее их вдоль направления их пути. Не следует ожидать получения развой информации в двух случаях, когда используется одно и то же средство — электрическое поле.

105.

Открытие это созрело в конце прошлого столетия, но Дж. Дж. Томсон выполнил первые четкие измерения е/m, и в этом смысле мы говорим, что он «открыл электрон».

106.

Не было доказано и то, что массы всех атомов одного химического элемента равны, но это казалось настолько правдоподобным, что ни у кого не вызывало сомнения. Теперь-то мы знаем, что это не так.

107.

Милликен дал превосходное популярное изложение своей работы, сопроводив его убедительными выдержками из своего лабораторного журнала, в книге: Electrons (+and—), University of Chicago Press, 1947.

108.

Ф. А. Саундерс, из книги: A Survey of Physics, New York, Henry Holt, 1930.

109.

Все, скорости выражены в непривычных единицах, использованных Милликеном, — в см/мин. Нет нужды переводить их в м/сек, поскольку нам для расчетов нужны лишь относительные значения. Считайте, что К выражено в соответствующих единицах, а именно в ньютон/(см/мин).

110.

У большинства осциллографов в корпусе имеется также усилитель для увеличения сигнала, поступающего на клеммы, перед подачей его на отклоняющие пластины. В нем главным образом используются триоды (см. гл. 41, опыт 8).

111.

В школьных учебниках приводится правило для того, чтобы запомнить, как будет двигаться проволока: так называемое правило правой руки, на которой три пальца расставлены под прямыми углами друг к другу так, как изображено на фиг. 10.

Фиг. 10. Как показать на пальцах три взаимно перпендикулярных направления.

В школе этому правилу придают большое значение, оправданное, вероятно, только тем, что оно дает возможность задать на экзамене простой вопрос, в то время как явление, скрывающееся за ним, сложнее. Очень важно знать, что сила перпендикулярна магнитному полю и току — как большой палец на фиг. 10 перпендикулярен двум другим. Но в прямом или обратном направлении действует сила, вызывающая это «крабообразное» движение, часто не имеет значения. Если, например, магнитное поле направлено горизонтально вдоль линии север-юг и ток течет горизонтально вдоль направления восток-запад, то катапультирующая сила вертикальна и тянет проволоку вверх или вниз (фиг. 11). Важно знать, что сила вертикальна, а вверх или вниз она направлена, несущественно. При таком подходе разумным ответом на вопрос о направлении сил, токов и т. д. будет: вперед-назад, влево-вправо, вверх-вниз. В приведенном выше примере ответ будет «вверх-вниз».

Фиг. 11. Куда направлена сила?

Если вы хотите иметь правило на более высоком физическом уровне, например для запоминания знака минус в «Законе Ленца» (там он существен), то воспользуйтесь другим простым правилом правой руки: сжатые в кулак пальцы показывают направление кругового магнитного поля, а отставленный большой палец — направление тока в прямой проволоке, создающей это поле. Правило в такой формулировке поможет предсказывать и направление катапультирующих сил. Это простое универсальное правило объяснено в замечании к задаче 1.

112.

В другой, простейшей форме объяснение звучит так: один электромагнит, ротор, вращается другим электромагнитом, создающим поле, причем коллектор меняет направление тока в роторе каждые пол-оборота и тем обеспечивает непрерывность движения.

113.

Однако не нужно зазубривать вид формулы — так науку не изучают. Чтобы подчеркнуть, что учащиеся ничего не должны твердить как попугаи, все необходимые стандартные формулы и, в частности, те, которые мы сейчас рассматриваем, необходимо печатать в экзаменационных билетах.

114.

При рассмотрении электродинамики на более высоком уровне ток в наше время определяется и измеряется по производимым им магнитным эффектам. При такой системе описания магнитное поле тока изменяется в точности так, как изменяется ток — автоматически, по определению — то же самое относится и к силе, действующей на ток в магнитном поле. И при таком описании первый закон электролиза Фарадея является экспериментальным законом.

Основной экспериментальный факт заключается в том, что, когда мы увеличиваем «ток», что бы это ни означало, его химическое и магнитное воздействия увеличиваются в той же пропорции. Если мы выбираем один эффект как средство для измерения «тока», то эксперимент показывает, что другой эффект меняется пропорционально этому «току». Для сравнения вспомните роль закона Шарля в теории газов.

115.

Во многих учебниках «формула Ампера» просто вводится без всякого объяснения или экспериментального обоснования. Не удивительно, что электродинамика в таком изложении представляется чем-то вроде колдовства. Проследите за рассуждениями, чтобы убедиться в их разумности, но не заучивайте их.

116.

Заметьте, что и на Q не действует никакая сила со стороны зарядов на рогатке Y, поскольку, хотя каждый из них сам по себе и может быть велик, они бесконечно близки друг к другу. Следовательно, экспериментатор не должен прикладывать силы или затрачивать энергию для поддержания Q в движении — этот заряд будет двигаться и без его помощи. Следовательно, вряд ли можно ожидать, что Q со своей стороны действует с отличной от нуля результирующей силой на Y.

117.

Даже в этом приближении надобность отпадает, если рассчитать как следует магнитное поле с учетом наклонности направления ЕК.

118.

Природный кислород состоит из трех стабильных изотопов: О¹⁶ (99,759 %), О¹⁸ (0,204 %) и О¹⁷ (0,037 %). — Прим. перев.

119.

Это не молекула водорода и не два обычных атома Н, слабо между собой связанных. Это один атом удвоенной массы, который сопровождает обычный водород во всех химических реакциях, не отделяясь от него. Только очень сильная атака гамма-лучей или столкновения при невероятно высоких температурах могут разбить ядра дейтерия на нейтроны и протоны (ядра обычного водорода).

120.

Эта схема, обеспечивающая получение ионами одинаковой кинетической энергии, кое в чем напоминает прием, применяемый в ресторане для того, чтобы избавиться от трудного гостя, не беспокоя других посетителей. Управляющий вступает с ним в джентльменский разговор и медленно ведет его к двери. Там жертва получает полный изгоняющий импульс от швейцара.

121.

Это массы целых атомов. В гл. 43 мы будем вычитать суммарную массу атомных электронов и оперировать с массой ядра. Но, оставляя электроны в атоме, как мы это здесь делаем, мы не меняем существенно расчетов.

122.

Именно так была открыта радиоактивность, вскоре после рентгеновского излучения, в поиске других проникающих излучений, которые создают вуаль на фотопластинке. Уран, помещенный вблизи пластинки на несколько часов, оставлял метку даже в том случае, когда пластинка была завернута в толстую черную бумагу. Части пластинки, прилегающие к образцу, обогащенному ураном, оказывались черными, а части, защищенные металлическими экранами, оставались светлыми. Такие радиоавтографы получают сегодня выдерживанием фотопленки в контакте с биологическими образцами, содержащими «метки» какого-нибудь радиоактивного элемента. Например, радиоактивный фосфор Р³², добавленный в пищу животных, пометит растущие зубы. Приготовив срез зуба несколько дней спустя после приема Р³² и поместив его в соприкосновение с фотопленкой, мы получим радиоавтограф.

123.

Мы до сих пор используем электроскопы для оценки мощных источников излучения, измеряя скорость образования ими ионов. Маленькие электроскопы, по внешнему виду напоминающие авторучки, использовались для контроля радиационной безопасности. Счетчики Гейгера впоследствии заняли место электроскопов при измерении слабых источников или при точных измерениях.

124.

Не всякая пыль будет служить для образования капель. Должен ли быть материал частиц таким, чтобы вода, попадая на частицу, образовывала с ее поверхностью большой (а может быть, маленький) краевой угол? Этот вопрос чрезвычайно важен для городов, борющихся со «смогом».

125.

Артур Конан-Дойль, Собр. Соч. в 8 томах, изд. «Правда», Москва, 1966, т. 2, повесть «Серебряный».

126.

Это справедливо для медленных электронов. При очень высоких скоростях е/m у электронов аномально мало — это пример релятивистского изменения массы.

127.

Как нам описывать изменения? Будем ли мы говорить, что атомы радия исчезают, или изменяются, или разлагаются, или разламываются, или взрываются, или распадаются. «Исчезают» — термин, который может ввести в заблуждение, «изменяются» — слишком неопределенный. Остальные четыре выражения можно употреблять.

128.

Закон Авогадро гласит, что кубический метр одного газа содержит такое же количество молекул, как и кубический метр другого газа (при одинаковых температуре и давлении). Следовательно, при сравнении двух газов отношение плотностей = отношение масс одинакового числа молекул = отношение масс отдельных молекул. Для радона, имеющего одноатомную молекулу с массой 222, мы будем ожидать плотность в 111 раз большую, чем для водорода Н₂, молекула которого имеет массу 2. Эксперимент дает для радона плотность в 111,5 раза большую. Это совпадение чрезвычайно хорошее, если иметь в виду трудности измерений проводимых с быстро распадающимся образцом.

129.

Некоторым философам науки на вопрос, откуда мы знаем, что время течет равномерно, и почему мы уверены, что идентичные периоды хорошего маятника происходят за равные времена, можно ответить, что мы вправе принять постоянный период полураспада некоторого радиоактивного материала как некую аксиому и затем основывать измерение времени на распаде этого материала.

130.

Простейшее включение ламп использует систему умножения на 2:

Первая лампа мигает «да» («нет»)… при поступлении каждого импульса;

Вторая лампа мигает «да» («нет»)… после каждых 2 импульсов;

Третья лампа мигает «да» («нет»)… после каждых 4 импульсов;… и т. д.,

Счет импульсов ведется в шкале 1, 2, 4, 8, 16 и 32 вместо десятичной системы в шкале 1, 10, 100…

Это более экономичная шкала, легко читаемая при самой малой тренировке. Она также используется инженерами связи и проектировщиками автоматических устройств. Двоичная система применяется в большинстве вычислительных машин, использующих ячейки «да» — «нет». Применение таких ячеек с неизбежностью ведет к употреблению двоичной счетной шкалы. Горящие сигналы на шкале считываются таким образом: есть 1, нет 2, есть 4, нет 8, нет 16, есть 32, в сумме 1 + 4 + 32 = 37. Механический счетчик (на фиг. 59 справа) покажет «1» каждый раз, когда все лампы зажжены и гаснут, т. е. при [1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + еще один импульс], или 64 импульсах. Показание механического счетчика на рисунке читается так: 152 раза по 64, а суммарный счет составляет 37+ (152 x 64), т. е. 9765 импульсов.

Фиг. 59.

131.

Мы можем определить характер изменения радиоактивности чисто расчетным путем. Если мы имеем N радиоактивных идентичных атомов в момент времени t, то dN/dt есть скорость роста радиоактивности, увеличения числа атомов в секунду. Скорость распада есть — dN/dt. Для чисто случайного процесса.

СКОРОСТЬ РАСПАДА СОСТАВЛЯЕТ ПОСТОЯННУЮ ДОЛЮ ИМЕЮЩЕГОСЯ В ДАННЫЙ МОМЕНТ ЧИСЛА ОБЪЕКТОВ:

— dN/dt = k∙N, где k — постоянная доля,

Log N = —k∙t + const (и log N при любом основании, отложенный в функции от t, должен давать наклонную прямую линию);

Log N = —k∙t + log N₀, где N₀ — начальное количество атомов при t = 0,

N = N₀∙e^-kt.

Такой экспоненциальный закон убывания часто фигурирует в науке.

132.

Некоторые жидкости неограниченно смешиваются с другими; многие твердые тела растворяются в жидкостях; цветные краски быстро и равномерно распределяются в жидкостях; газы диффундируют и сжимаются. Эти обычные наблюдения наводят на мысль о существовании перемешивающихся крошечных частиц, таких, как атомы или молекулы. Танец пылинок в солнечном луче намекает на характер движения атомов.

133.

В наши дни величина А — целое число, ближайшее к «атомному весу» изотопа, — называется «массовым числом изотопа».

134.

В этом месте оригинала не приводится имя великого русского ученого Д. И. Менделеева, создателя периодической системы элементов. — Прим. перев.

135.

Расчеты предсказывают: при действии сил притяжения траектории будут описываться уравнением эллипса х²/а² + у²/Ь² =1 или (для скоростей, превышающих скорость, необходимую для выхода из зоны притяжения) уравнением гиперболы х²/а² — у²/Ь² =1 при действии сил отталкивания траектория всегда будет гиперболической.

136.

В настоящее время мы снова вернулись к использованию сцинтилляций, но применяем электронный глаз (фотоумножитель) для усиления эффекта и наблюдения сцинтилляций.

137.

Когда Бор создавал свою первую модель атома, Мозли попытался использовать ее для объяснения характеристических рентгеновских лучей, излучаемых ближайшими к ядру электронами. Он сделал смелое предсказание и провел серию превосходных измерений с различными мишенями, составленными в виде миниатюрного поезда, протаскиваемого перед пучком электронов в вакууме. Так неожиданно появились первые оценки зарядов ядер для многих элементов.

138.

Раньше примитивный амперметр назывался «гальванометром». Теперь это название используется для любого чувствительного прибора, предназначенного для регистрации или измерения малых токов. Современный термин для обозначения тех же приборов — «микроамперметр».

139.

По величине указанной силы можно предсказать истинную величину наведенного напряжения в полном согласии с экспериментом. Набросаем в общих чертах схему вывода. Если провод движется вбок со скоростью v м/сек, то электрон с зарядом в е кулон испытывает действие силы F = 10^-7∙evH, где Н — магнитное поле (-I₂∙2πN/R) в центре кольца из провода. Поэтому напряженность созданного электрического поля равна.

X = СИЛА/ЗАРЯД = 10^-7∙evH/e = 10^-7∙vH.

Пусть L — длина движущегося провода, а Е — э.д.с., наведенная во всем проводе. Тогда (как показано в гл. 33)

НАПРЯЖЕННОСТЬ ПОЛЯ X = РАЗНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛОВ/РАССТОЯНИЕ = E/L.

Е = X∙L = 10^-7∙vHL.

Но vL есть не что иное, как площадь, пересекаемая проводом в единицу времени.

Е =10^-7∙H∙(ПЛОЩАДЬ, ПЕРЕСЕЧЕННАЯ ЗА ОДНУ СЕКУНДУ).

Если величину магнитного поля характеризовать числом силовых линий, пронизывающих единицу площади, то (H)∙(ПЛОЩАДЬ) равно числу пересеченных линий.

Е =10^-7∙H∙(СКОРОСТЬ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ЛИНИЙ МАГНИТНОГО ПОЛЯ).

Это и есть наведенная э.д.с. Более строгое рассмотрение показывает, что она должна быть со знаком минус (закон Ленца):

Е = -10^-7∙(dN/dt)

Где dn/dt означает либо скорость пересечения линий поля H, либо СКОРОСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ ЧИСЛА ЛИНИЙ n, ПРОНИЗЫВАЮЩИХ ЦЕПЬ.

140.

Такой переключатель может показаться сложным. Если хотите, исследуйте его детально или же поверьте нам на слово, что такой переключатель получится, если соединить провода от батареи со средними клеммами рубильника, провода от первичной катушки с парой крайних клемм рубильника, вторую пару крайних клемм соединить накрест с первой парой крайних клемм.

141.

Они сделаны из штампованных тонких листов железа в форме U и I. Чтобы избежать потерь из-за «вихревых токов», которые возникают в литом сердечнике, сердечники всех трансформаторов сделаны из тонких листов. Сам сердечник представляет собой «вторичную обмотку», но только в виде целого блока, а не большого числа витков. До тех пор пока он не разбит на множество тонких листов, малые напряжения вызывают в нем громадные переменные циркулирующие токи, выделяющие большое количество тепла.

142.

В своей электромагнитной теории Максвелл предположил, что переменное колеблющееся электрическое поле в изоляторе конденсатора представляет собой одну из форм электрического тока. В этом смысле ток все время течет по цепи. Так как между пластинами конденсатора может быть вакуум, новая разновидность тока не есть просачивание зарядов через плохой изолятор, а представляет собой ток в пустоте. Но как определить, что такой ток там есть? По создаваемому им магнитному полю. Эта фантастическая идея позволила Максвеллу предсказать электромагнитные волны; но в простейших рассуждениях мы не будем ее использовать.

143.

Имеется существенное отличие: ток выделяет в сопротивлении тепло независимо от того, переменный он или постоянный. В емкости же переменное напряжение не приводит к выделению тепла — оно просто туда-сюда перегоняет заряды, запасая или расходуя энергию электрического поля. Кроме того, существует различие в «фазах». В обычном сопротивлении ток колеблется «в ногу» с приложенным переменным напряжением; в емкости же ток зарядки опережает его на четверть цикла, достигая своего максимального значения на четверть цикла раньше напряжения. Разность фаз связана с величиной тепловых потерь простым алгебраическим соотношением.

144.

Если одним и тем же колебательным контуром и источником напряжения пользуются несколько групп студентов, существует опасность короткого замыкания источника напряжения при перепутывании входа и выхода. В целях безопасности напряжение на колебательный контур следует подавать от маленького трансформатора, причем каждой группе от своего.

145.

Специальная ручка, обозначенная «синхронизация», предназначена для установления стабильной картины, для того чтобы заставить луч описывать каждый раз одну и ту же траекторию. Ручку лучше самим не трогать, а в случае необходимости отрегулировать изображение лучше обратиться за помощью. Принцип действия сигнала «синхронизации» будет объяснен позже.

146.

Античное название — «ответные колебания» (симпатические колебания). Родитель, раскачивающий своего ребенка на качелях, совершая малые толчки с определенной частотой, в резонанс, может сильно раскачать его.

147.

Диффузор обычного громкоговорителя приводится в движение маленькой катушкой, находящейся в поле магнита — своего рода электрический мотор в возвратно поступательном варианте.

148.

Импеданс включает обычное омическое сопротивление и сопротивление, связанное с напряжениями, индуцированными магнитными полями переменных токов.

149.

Например, увеличение скорости атома водорода, свободно падающего в вакууме из состояния покоя, составляет примерно 180 м/сек на 1,6 км пути, т. е. прирост кинетической энергии атома меньше чем 1/1000 эв.

150.

«Деление» — термин, используемый биологами для обозначения процесса «разделения надвое». Некоторые простейшие организмы, например амёба, размножаются делением. Особь-родитель постепенно принимает продолговатую форму, посредине у нее образуется узкая перемычка, затем она делится на два новых организма.

Фиг. 107.

151.

Например, при увеличении кинетической энергии протона от 1 Бэв до 2, 3, 4 Бэв его скорость соответственно возрастает от 0,87 с до 0,94, 0,97, 0,98 с. Другими словами, при энергии 4 Бэв скорость протона составляет 98 % скорости света, а не 2,8 с, как это получается из нерелятивистской формулы:

Кинетическая энергия = ¹/₂ mv^2.

152.

Хотя Мэв был впервые использован для обозначения «миллиона электронвольт», строгие ученые-стилисты прочитали это сокращение как «мегаэлектронвольт». По новому соглашению, 1000 Мэв называют «1 Гэв», где буква Г происходит от слова «гигантский».

153.

При замедлении в веществе вплоть до остановки α-частицы тратят свою кинетическую энергию на ионизацию атомов; при последующей нейтрализации ионов большая часть их энергии переходит в тепло. Следовательно, радиоактивный материал в пробирке является источником тепла. Так, радиоактивность скал не дает Земле остыть.

Пусть у вас 2 кг α-активного элемента. Спустя время его полураспада 1 кг распадется, выделив, скажем, 500 000 000 больших калорий. Сравните это количество с тем, которое дает обычное топливо, такое, как уголь или нефть, — от силы 10 000 больших калорий на 1 кг. 1 кг радиоактивного материала дает такое же количество тепла, как 50 т угля. Правда, это происходит за время его жизни.

154.

При сгорании бензина на его молекулу приходится большая энергия, чем на атом углерода при сгорании угля, поскольку она крупнее. При сгорании 1 кг бензина и 1 кг угля выделяются сравнимые количества тепла. Правда, сжечь уголь так быстро, чтобы это происходило со взрывом, трудно.

155.

Следовательно, можно ожидать, что для расщепления молекулы воды на водород и кислород потребуется 1–2 эв. Вот почему в опыте по электролизу воды «прямая закона Ома» (гл. 32, опыт 18) не проходит через начало координат, а отрезает на вертикальной оси начальную разность потенциалов 1–2 в. Это соответствует как раз той энергии, которую 1 кулон заряда переводит из электрической в химическую — э.д.с. «водяной батареи» шиворот-навыворот.

Фиг. 120.

156.

Начиная с этого места, мы всегда будем ядро атома водорода называть протоном, современным названием этой фундаментальной атомной частицы. Протон, ион атома водорода Н⁺, ядро атома водорода ₂Н¹ — все это названия одной и той же частицы: атома водорода без его единственного электрона.

157.

Чтобы получить простейшую цепную реакцию, поднесите зажженную спичку к крайней спичке в обойме бумажных спичек. Разгоняющаяся цепная реакция получится, если поджечь стопку таких обойм или полный коробок спичек.

158.

Некоторые физики говорят: «масса — это энергия» или «энергия — это масса» и даже «вещество — это энергия». При этом смешиваются свойства и то, что ими обладает, а это едва ли помогает стать на научную точку зрения. Энергия имеет массу точно так же, как алюминий имеет массу, как медь имеет оранжевый цвет. Настоящие же ученые, зная, что переводной множитель с² (между измеренными массами и энергиями в обычных единицах) есть универсальная постоянная, считают, что разумнее говорить, что масса и энергия — это разные меры одной и той же сущности. Так, вещество представляется нам в виде частиц (например, атомы, электроны) с определенной массой; и даже если нам нравится представлять его в виде массы определенной энергии, заключенной внутри частиц, то, становясь на эту точку зрения, не следует сводить вещество к энергии. Иногда оказывается, что вещество (две частицы) исчезает, а что-то обладающее массой (излучение) возникает — и это превращение вещества в излучение можно легкомысленно объявить как «превращение вещества в энергию».

159.

Из эксперимента Милликена следует, что е = 1,60∙10^-19 кулон. В опыте по электролизу воды или из измерений зарядов положительных ионов в газоразрядной трубке получается, что е/М = 9,57∙10⁷ кулон/кг.

Простое вычисление дает.

М = 1,60∙10^-19/9,57∙10⁷ кулон/(кулон/кг) = 1,67∙10^-27 кг для протона.

160.

Так как заряд, переносимый 1 киломолем, равен 96 500 000, то отсюда 96 500 000 кулон/1,008 кг = 95 700 000 кулон/кг.

161.

Пример: Си⁶², полученная на циклотроне выбиванием нейтрона из обычной Си⁶³ быстрым протоном.

₂₉Си⁶² —> ₂₈Ni⁶² + ₊₁е⁰.

162.

Пример: Радий В (изотоп свинца) излучает β-лучи и становится изотопом висмута.

₈₂Pb²¹⁴ —> ₈₃Bi²¹⁴ + _-1e^0.

Обычный фосфор Р³¹, приобретая дополнительный нейтрон из числа нейтронов внутри ядерного реактора, может стать радиоактивным Р³², который излучает β^-:

₁₅P³² —> ₁₆S³² + _-1e^0.

С периодом полураспада 14 дней.

163.

Необходимо, по-видимому, чтобы выполнялось следующее правило: сохраняются по отдельности числа тяжелых (протоны и т. д.) и легких (электроны и т. д.) частиц. Столкновение с частицей сверхвысокой энергии может настолько встряхнуть ядро, что оно буквально брызнет во все стороны тяжелыми и легкими частицами. Число тяжелых частиц при этом сохраняется; никогда не наблюдалось чтобы хотя бы одна из них полностью распалась на легкие частицы.

164.

Вероятно, отчасти это электрические силы вследствие внутренней электрической структуры нейтрона.

165.

Тот факт, что вместо возвышающегося холма имеет место яма, еще не означает, что рассеяние назад невозможно. Снаряд может облететь вокруг горлышка потенциальной ямы подобно комете, облетающей Солнце.

166.

Простой анализ процесса столкновения заряженных частиц, отталкивающих друг друга на достаточно далеких относительных расстояниях, показывает, что.

При малых скоростях захват маловероятен, поскольку частицы не могут подойти близко друг к другу на расстояния, где силы притяжения существенны;

При больших скоростях захват маловероятен, поскольку время, в течение которого частицы находятся на близком расстоянии друг от друга, слишком мало, чтобы ядерные силы успели проявить свое действие (F∙Δt = Δ(mv), и если Δt очень мало, то….

В случае медленных нейтронов запрета на захват не существует, и можно ожидать, что захват возрастает с уменьшением скорости. В действительности поведение имеет более сложный характер: имеются явные признаки того, что захват легче всего происходит при определенных, «избранных» скоростях, что следует интерпретировать как «резонанс», если нейтрон представлять как волну.

167.

Благодаря W. F. Libby, открывшему этот метод [см. ноябрьский номер Amer. Journ. of Phys., 26, № 8 (1958)].

168.

Стационарно протекающая цепная реакция — это как раз то, что используется в ядерных котлах-реакторах.

169.

Прежде всего: Henry D. Smyth, Atomic Energy for Military Purposes, Princeton, 1945.

170.

Из экспериментов по рассеянию протонов высокой энергии или α-частиц следует, что, начиная с расстояний порядка 10^-14 м от центра атома, единственная действующая сила — это обратно пропорциональная квадрату расстояния сила Кулона. На этих расстояниях с ней начинают конкурировать «ядерные силы связи», а на меньших — превосходят ее. Поэтому говорят, что радиус легких ядер составляет — 10^-15 м, а радиус тяжелых — в несколько раз больше. Для радиусов многих ядер эксперименты по рассеянию нейтронов дали такого же порядка величину, но для хороших поглотителей, таких, как кадмий, во много раз большую.

171.

Люди, далекие от науки, часто недооценивают трудностей (и стоимости) соблюдения научной тайны. Они даже заблуждаются относительно существа проблемы. Многие же ученые сожалеют о том, что она существует, считая, что секретность тормозит научный прогресс. Чтобы проиллюстрировать эту трудность, представим себе следующее: допустим, что по всему миру распространилась какая-то неизвестная болезнь. Вдруг в одной из стран много людей было вылечено, но «как» — оставалось тайной, разве что пошел темный слушок: «…с помощью листьев кокосовой пальмы». Сколько времени потребуется медицинским учреждениям какой-либо крупной страны на раскрытие тайны? Услышав о кокосовой пальме, они сузят поле своих поисков до необходимого размера, а правительство страны, зная, что лечебное средство существует, охотно и быстро выделит для этой цели необходимые средства и оборудование.

172.

Нейтроны сами непосредственно не создают ионов, но они выбивают протоны, которые способны это делать. Именно так нейтроны повреждают живые клетки.

173.

При поглощении быстрого нейтрона U²³⁸ деления происходят, но не так часто, чтобы сама цепная реакция поддерживалась в U²³⁸ или смешанном уране. Время от времени ядро U²³⁸ делится спонтанно, т. е. без поглощения нейтрона. Спонтанное деление может дать тот самый первичный нейтрон, который дает начало цепной реакции.

174.

Диффузия нейтронов, выделившихся в активной зоне реактора, к поверхности реактора происходит по «закону Фика», т. е. аналогично тому, как происходит диффузия растворенной в воде соли. Этот закон иллюстрирует еще одно решение уравнения ²V = 0.

175.

«Экстраполяция» означает использование известных сведений с целью сделать предположения, приближенные подсчеты относительно того, что находится или происходит за известной областью. Напротив, «интерполяция» означает приближенный подсчет внутри известной области. Если мы знаем время, когда поезд выходит из Бостона и когда он прибывает в Нью-Йорк, то мы можем с помощью интерполяции приближенно подсчитать, когда он проходит через Нью-Хэйвен; но чтобы оценить время его прибытия в Вашингтон, мы пользуемся экстраполяцией. Интерполяция безопасна — с достаточным количеством данных мы можем начертить надежный график и по нему вполне надежно получить промежуточную информацию. Экстраполяция рискованна — поезд может иметь конечную остановку в Филадельфии и совсем не прийти в Вашингтон! Однако большинство плодотворных предположений в науке делается с помощью мудрой экстраполяции, которую Джон А. Уилер назвал «daring conservatism» — «отважная осторожность». (Игра слов: «conservative» означает также «сдержанный», «умеренный», «осторожный». — Прим. перев.)

176.

Здесь нет вещества, но, вообще говоря, эта область пространства заполнена энергией — потенциальной энергией электрического поля ядра.

177.

В современных кольцевых ускорителях электроны, мчащиеся по огромным круговым орбитам, не только «должны», но и действительно излучают, что приводит к огромным издержкам затраченной энергии.

178.

Можно считать, что сам нейтрон состоит из протона, электрона и нейтрино — на такие продукты распадается свободный нейтрон. Но если мы исследуем структуру нейтрона внутри ядра, у него обнаруживаются иные свойства. Он ведет себя подобно одной частице или, может быть, подобно протону, тесно связанному с мезоном, — можно снова представить, что такая система испускает электрон и нейтрино. С этой последней точки зрения можно сказать, что все ядра и фактически все вещество «сделаны» из протонов, электронов и нейтрино с электронами в ядре, связанными в частице, называемой нейтроном; мезоны действуют как ядерный «известковый раствор». Однако при проникновении внутрь ядра представление о «реально» существующих здесь электронах уводит нас слишком далеко от наблюдаемых электронов, обладающих размерами того же порядка, что и ядро.

179.

Здесь автор допускает неточность: высказанные в п. IV утверждения о событиях Р и Q справедливы лишь в том случае, если они не связаны причинно-следственной связью. Это ясно хотя бы из того, что один из наблюдателей видит события происшедшими одновременно в разных точках пространства. — Прим. перев.

180.

Здесь имеется в виду движение с постоянной по величине и направлению скоростью. Обобщением этих положений на случаи движения наблюдателей с переменной скоростью занимается общая теория относительности, существенно связанная с теорией гравитации. — Прим. перев.

181.

Филипп Моррисон указывал, что вещи, с которыми люди работают и которые они делают, приходятся на узкую область масштабов. Самый большой небоскреб лишь в 300 раз выше человека. Если мы попытаемся построить небоскреб высотой в 3000 человек, наши материалы не выдержат, если только не сделать его в форме горы. Шарик из шариковой ручки составляет около 1/3000 ширины человека. Мы (достаточно) опрометчивы для того, чтобы предполагать, что наши непосредственные экспериментальные правила распространяются на звезды, удаленные на расстояние в 3 000 000 000 000 000 000 человек, или на электроны — в область размером 1/300 000 000 000 000 ширины человека.

182.

Психологи предлагают наблюдателю смотреть через глазок в деформированную комнату, построенную криво, со скошенными стенами и потолком, но раскрашенную так, чтобы создать перспективу и скрыть искажения. Нормальный наблюдатель считает в рамках известной ему модели, что он видит обычную неискаженную комнату. Затем, когда обычные люди входят в комнату в разных ее углах, он придерживается своей модели и утверждает, что эти люди — гиганты и карлики (фиг. 172).

Фиг.172.

183.

От латинского слова «quantum», обозначающего «сколько» или «как много». Это слово вообще обозначает часть, долю или разделенную порцию. В физике оно обозначает строго определенную порцию: «ровно столько, сколько получается по формуле».

184.

Эта идея произвела настоящую революцию сначала в атомной физике, затем во всех основных областях физики и химии и, наконец, в философии науки. Однако это слишком длинная история, чтобы ее можно было рассказать здесь как следует. Потребовалось бы длительное обсуждение экспериментальных доказательств с использованием серьезного математического анализа. Потребовалось бы детальное рассмотрение волн; это включало бы математическое рассмотрение вероятностных распределений; и тогда аргументы привели бы вас к принятию нового взгляда на природу в атомных масштабах: с одной стороны, строгие «полицейские» правила квантовых ограничений, а с другой стороны, «система свободного предпринимательства», вероятностное поведение в атомном мире, рядом с которым ньютоновский детерминизм выглядит подобным рабству. Здесь мы лишь упомянем некоторые результаты. Мы даже не можем определенно адресовать вас к другим книгам. В элементарных книгах сообщается некоторая информация и констатируются правила. Фундаментальные книги настолько уснащены математикой, что к ним, по-видимому, требуются еще новые разъяснения.

185.

Для этого нужно использовать законы Ньютона, из которых следует равномерное распределение энергии по всем степеням свободы, а также геометрию волн. Тогда расчеты + алгебра + геометрия после утомительной работы непреложно приведут к результату, противоречащему опыту. Схема рассуждений такова: представим себе волну, образующую систему стоячих волн, когда она зигзагами двигается внутри печки. Лишь некоторые длины волн могут подойти для того, чтобы образовать стационарную систему в ящике-печке, причем лучше, нежели длинные, для этого подойдут более короткие волны, еще лучше — волны очень короткой длины и т. д. При равномерном распределении энергии по степеням свободы каждая стоячая волна получает равную долю энергии излучения, и поэтому…

186.

См. гл. 27 и 30. Удельная теплоемкость — это относительная величина. Она показывает, сколько требуется тепла, чтобы нагреть образец вещества, в сравнении с количеством тепла, необходимым для такого же нагревания такой же массы воды. Численно — это количество тепла в килокалориях, необходимое для увеличения температуры 1 кг вещества на 1 °C. Квантовое ограничение должно сказываться при очень низких температурах: среднее количество тепла, приходящееся на каждую степень свободы одного атома, очень мало. Энергия атома, обладающего квантом некоторого повторяющегося движения, будет при этом много больше средней, поэтому очень малое количество атомов будет иметь такие кванты. Этот тип движения практически должен отсутствовать, что приводит к неожиданно малой удельной теплоемкости.

187.

В реальных экспериментах электроны распределены по скоростям от определенного максимума до нуля; ясно, что скорость электронов, выбитых из глубины пластинки, меньше, поскольку они должны преодолевать сопротивление, проходя мимо других атомов.

188.

A. S. Еddingtоn, The Nature of the Physical World, Cambridge Univ. Press, 1928). В этой книге дано превосходное обсуждение с полезными аналогиями теории «копилки» в сравнении с теорией «крупной ставки» (в фотоэффекте).

189.

Эти эксперименты были выполнены П. Н. Лебедевым в конце прошлого века. — Прим. перев.

190.

Т. е. электроны должны были бы, теряя энергию, падать на ядра. — Прим. ред.

191.

Этот выбор не представляется очевидным или однозначным. Как в свое время Кеплер, Бор искал простое правило, которое могло бы описать факты. Кеплер начал с круговых орбит, Бор — с классической физики.

192.

В русской литературе его чаще называют «принципом Паули». — Прим. перев.

193.

Это отталкивание — совсем не очевидное следствие. С точки зрения классической физики можно предполагать, что при этом легкие электроны сбиты с пути, а положительно заряженные ядра отталкиваются. Современный физик указал бы на принцип Паули: при столкновении электроны одного атома избегают контакта с электронами другого, предоставляя возможность ядрам отталкиваться. Как бы то ни было, при сближении атомов на достаточно малые расстояния они отталкиваются.

194.

Здесь снова для одного и того же вида излучения хороший излучатель является хорошим поглотителем.

195.

Измерения спектроскопистов дали величину К/с (где с — скорость света) с относительной неопределенностью, меньшей 1/1 000 000. Вычисленная Бором величина согласуется с экспериментом в пределах 0,1 %.

196.

Атомный номер вольфрама, который обычно используется в качестве мишени в рентгеновских трубках, равен 74; поэтому множитель Z² увеличивает частоту в 74², т. е. 5500 раз, и уменьшает в 5500 раз длину волны по сравнению с излучением водорода, у которого Z = 1. В результате спектр линий сдвигается из видимой области (~ 5000 А° для зеленого света) в область проникающего рентгеновского излучения (~ 1 А°).

197.

Подставьте в формулу для энергии Е электрона на орбите с квантовым числом n значения n = 1 и n = . Чтобы найти энергию ионизации, найдите разность полученных величин. Проделайте это, используя измеренные значения е, e/m и т. д. и Z = 1 для водорода. Если использовать единицы СИ, ответ получится в джоулях. Вспомните, что для перехода к электронвольтам нужно поделить результат на 1,60∙10^-19 дж/эв.

198.

Об их работе см. превосходный популярный рассказ Карла К. Дарроу в журнале «Scientific American»; май 1948 г., том 178, № 5.

199.

Фактически для электронов мы не можем сделать пару щелей, но для той же цели могут служить два слоя атомов в кристалле; можно также воспользоваться описанной выше схемой с заряженной проволокой.

200.

Как на юмористической картинке, изображающей лыжню на горном склоне, две линии которой разделяются и проходят с двух сторон сосны, а затем соединяются снова.

201.

Чтобы увидеть кольцевую стоячую волну, налейте до половины воду в круглую стеклянную бутылку. Резко сообщите бутылке небольшое вращательное движение и найдите частоту, при которой у стенок бутылки на поверхности воды образуется стоячая волна. Более детальную иллюстрацию стоячих волн см. в гл. 10.

Фиг. 205.

202.

Здесь «сила» измеряется КВАДРАТОМ (модуля) АМПЛИТУДЫ этой волны. (По существу, речь идет об интенсивности волны. — Прим. ред.)

203.

Вряд ли можно признать убедительным или хотя бы правильным такое объяснение принципа Паули. Дело обстоит гораздо сложнее (например, фотоны и π-мезоны хотя и обладают волновыми свойствами, но не подчиняются принципу Паули), поэтому на первом этапе принцип Паули удобнее рассматривать как исходный закон, не требующий теоретических обоснований. — Прим. перев.

204.

Чтобы проследить за соответствующим рассмотрением, нам нужны такие математические средства, излагать которые здесь у нас нет возможности. Этим объясняются смутность и неясность нашего описания, которое не определяет точно новую теорию.

205.

Докажем это соотношение для фотона следующим образом: пусть квант света имеет энергию E = hv = mc² и импульс mс или Е/с, где m — его масса.

Следовательно, неопределенность импульса составляет.

Δ(m∙c) = Δ(E/c)

Скорость фотона равна с; следовательно, если проделанный им путь известен с точностью Δ(x), то время известно с точностью Δ(t) = Δ(x)/c.

Следовательно, неопределенность Δ(x) = c∙Δ(t). Отсюда.

Δ(m∙c)∙Δ(x) = Δ(E/c)∙c∙Δ(t).

Если Δ(m∙v)∙Δ(x) ~ h, то тогда Δ(Е)∙(Δ(t) ~ h.

Если энергия фотона (и, следовательно, его частота и длина волны) измеряется достаточно точно, скажем с точностью 1 %, то Δ(E) = E/100 и Δ(t) должна быть больше h/(E/100), или 100∙h/E∙(100∙h/hv), или 100/v, т. е. 100 полных периодов колебаний волны. Для измерения Е (или v) с точностью 1 % необходимо затратить такое время.

206.

Анализ того лучшего, на что можно надеяться, иногда приводит к соотношению Δ(x)∙Δ(m∙v) ~= h/2π, т. е. в лучшем случае к выигрышу на множитель, равный 6.

207.

Для приборов в человеческий рост неопределенность Δх может оказаться лишь ничтожной долей высоты объекта, а неопределенность Δ(mv) — ничтожной частью его импульса (напомним, что масса объекта огромна), и тем не менее их произведение будет во много раз больше h. Например, попробуйте произвести измерения над бейсбольным мячом, масса которого 0,2 кг, движущегося со скоростью 3 м/сек. Предположим, что его положение удалось определить с точностью до длины волны зеленого света (лучшее, что можно получить с помощью оптического микроскопа). Тогда неопределенность Δх равна 5000 А°, или 5∙10^-7 м. Далее, предположим, что время его полета на расстояние 1 м нами определяется с точностью до 1/1 000 000 сек (максимум, на что можно надеяться для такого большого объекта). Тогда точность, с какой известна его скорость, составляет 3/1 000 000, т. е. 3∙10^-6. Тогда точность определения импульса также составляет 3/1 000 000, или 3∙10^-6 измеренной величины, 0,2∙3 кг∙м/сек. Следовательно, Δ(mv) ~= 2∙10^-6. При этом Δх∙Δ(mv) ~= (5∙10^-7)∙(2∙10^-6) ~= 10^-12. В любом случае нельзя получить это произведение меньшим, чем h = 6,6∙10^-34. В данном примере это произведение получилось в тысячу миллиард миллиардов раз больше его минимальной величины: нет даже намека на подобное ограничение. Просто мы встречаемся с некоторыми экспериментальными трудностями, которые можно преодолеть.

С другой стороны, возьмем электрон, вылетающий из электронной пушки со скоростью 6∙10⁶ м/сек под действием напряжения 100 в. Попытайтесь сделать так, чтобы диаметр его трека составлял один атомный диаметр, т. е. Δх ~= 10^-10 м, и измерить его скорость с 10 %-ной точностью, т. е. с точностью до 0,6∙10⁶ м/сек. Тогда.

Δ(mv) ~= (масса 9∙10^-31 кг)∙(Δv, 0,6∙10⁶ м/сек) ~= 5∙10^-25,

Δх∙Δ(mv) ~= 10^-10∙5∙10^-25, или меньше чем, 0,001∙h.

Здесь наши надежды зашли слишком далеко. Нельзя зафиксировать путь электрона с точностью до одного атомного диаметра и одновременно измерить скорость с точностью, большей 10 %. Это как раз и есть неустранимая неопределенность.

208.

Джон А. Уилер.

209.

NieIs Bohr, Atomic Theory and Description of Nature, Cambridge, 1934.

210.

Построенная, видимо, по предложению Н. Бора для Международной выставки 1939 г. описанная модель представляет собой увеличенную копию модели, сконструированной Воге и Уилером, см. The American Scientist, 44, № 4, October 19563 «A Septet of Sybils», by J. A. Wheeler.

211.

Здесь дается очень упрощенная и не совсем правильная картина рассеяния. На самом деле все обстоит сложнее. В частности, при больших углах рассеяния и больших энергиях вероятность рассеяния увеличивается по сравнению с той, которую следовало бы ожидать при электростатическом взаимодействии частиц. — Прим. ред.

212.

Более легкие мезоны (210 электронных масс), которые были обнаружены первыми, ведут себя несколько иначе, скорее всего как тяжелые нестабильные электроны.

213.

Точное описание прибора см. в статье самого проф. Мюллера, Scientific American, 196, 113, June 1957, в которой приведен целый ряд других снимков и диаграмм.

214.

Можно произвести грубую оценку электрического поля путем следующих рассуждений. Угадаем сначала, каков «радиус» конца иглы. Учитывая, что атомы образуют слои (поглядев на само изображение), догадываемся, что последние слои содержат по меньшей мере дюжину атомов, причем каждый слой лежит на таком же другом, но на один атом шире и т. д. Тогда уже из простого рисунка видно, что радиус острия, выглядящего грубым и «угловатым» в атомном масштабе, равен примерно 30 атомным диаметрам 30 х 3 А° ~= 100∙10^-10 м. Атом гелия мал, диаметр его меньше чем 1 А°. Примем его радиус равным ¹/₄ А°. Нам известно, что энергия, необходимая для удаления одного электрона, примерно равна 25 эв. Следовательно, для того чтобы оторвать электрон от атома гелия и увести его на бесконечность, необходима разность потенциалов 25 эв, причем большая часть ее должна приходиться на близкие расстояния от атома, где велико поле, создаваемое ядром. Острие вольфрамовой иглы «закруглено», причем радиус закругления в 400 раз больше. Поэтому для создания вокруг него точно такого же поля, как вокруг атома, разность потенциалов между острием и бесконечностью должна быть в 400 раз больше, т. е. должна равняться 400∙25 в, или 10 000 в. Реально между иглой и кольцом прикладывается несколько десятков тысяч вольт. (Большая часть этой разности потенциалов приходится на ближайшую окрестность острия, скажем на расстояние порядка одного радиуса. При этом напряженность поля равна 10 000 в/100∙10^-10 м, или 10¹² в/м. На расстоянии, равном радиусу атома гелия, это поле дает [10¹² в/м]∙[¹/₄∙10^-10 м], или 25 в, т. е. как раз ту разность потенциалов, которая необходима для ионизации атома. Проведенный расчет, разумеется, представляет собой замаскированный вариант первоначального, но только проведенный в обратном направлении.).

215.

Разумеется, инженер и ученый иногда объединяются в одном человеке — тогда эти замечания относятся к нему в каждой роли отдельно.

216.

См. его превосходную книгу On Understanding Science (Yale Univ. Press, New Haven, 1947).