Ответы.

Из семи цифр.

Задача имеет не одно, а три разных решения. Вот они:

123 + 4–5 — 67 = 55; 1 — 2–3 — 4 + 56 + 7 = 55. 12 — 3 + 45 — 6 + 7 = 55.

Девять цифр.

Вот каким способом можете вы получить 100 из разряда девяти цифр и трех знаков плюс и минус:

123 — 45–67 + 89 = 100.

Это — единственное решение; никакое другое сочетание девяти цифр и знаков плюс и минус, употребленных три раза, не дает в результате 100.

Достигнуть того же результата, употребив знаки сложения и вычитания менее трех раз, невозможно.

Пятью двойками.

22 + 2 + 2 + 2 = 28.

Четырьмя двойками.

Число 37.

Решений имеется два:

Деление на 11.

Чтобы решить эту задачу, надо знать признак делимости на 11. Число делится на 11, если разность между суммой цифр, стоящих на четных местах, и сумма цифр, стоящих на нечетных местах, делится на 11 или равна нулю.

Испытаем, для примера, число 23 658 904.

Сумма цифр, стоящих на четных местах:

3 + 5 + 9 + 4 = 21;

Сумма цифр, стоящих на нечетных местах:

2 + 6 + 8 + 0 = 16.

Разность их (надо вычитать из большего меньшее) равна:

21 — 16 = 5.

Эта разность (5) не делится на 11; значит, и взятое число не делится без остатка на 11.

Испытаем другое число — 7 344 535:

3 + 4 + 3 = 10; 7 + 4 + 5 + 5 = 21; 21 — 10 = 11.

Так как 11 делится на 11, то испытуемое число кратно 11.

Теперь легко сообразить, в каком порядке надо писать девять цифр, чтобы получилось число, кратное 11 и удовлетворяющее требованиям задачи.

Вот пример: 352 049 786.

Испытаем:

3 + 2 + 4 + 7 + 6 = 22; 5 + 0 + 9 + 8 = 22.

Разность 22–22 = 0; значит, написанное нами число кратно 11.

Наибольшее из всех таких чисел есть: 987 652 413.

Наименьшее: 102 347 586.

Числовой треугольник.

Решение показано на рисунке. Средние цифры каждого ряда можно переставить и получить, таким образом, еще ряд решений.

Еще числовой треугольник.

Решение этой головоломки можно увидеть на рисунке. Средние цифры каждого ряда можно переставить и получить, таким образом, еще ряд решений.

Восьмиконечная звезда.

Решение можно увидеть на рисунке:

Магическая звезда.

Чтобы облегчить себе отыскание требуемого расположения чисел, будем руководствоваться следующими соображениями.

Сумма чисел на концах искомой звезды равна 26; сумма же всех чисел звезды — 68. Значит, сумма чисел внутреннего шестиугольника равна 78–26 = 52.

Рассмотрим затем один из больших треугольников. Сумма чисел каждой его стороны равна 26; сложим числа всех трех сторон — получим 26 × 3 = 78, причем каждое из чисел, стоящих на углах, входит дважды. А так как сумма чисел трех внутренних пар (то есть внутреннего шестиугольника) должна, мы знаем, равняться 52, то удвоенная сумма чисел на вершинах каждого треугольника равна 78–52 = 26; однократная же сумма равна 13.

Поле поисков теперь заметно сузилось. Мы знаем, например, что ни 12, ни 11 не могут занимать вершины звезды. Значит, испытания можно начинать с 10, причем сразу определяется, какие два числа должны занимать остальные вершины треугольника: 1 и 2.

Подвигаясь таким путем далее, мы наконец разыщем требуемое расположение. Оно показано на рисунке.

Числовое колесо.

Решение показано на рисунке.

Трезубец.

Вот требуемое расположение чисел. Сумма чисел в каждом из четырех рядов равна 25.