Некоторые технические примечания. Законы физики, которые управляют нашей Вселенной, записываются языком математики. Для тех, кто в ладах с математикой, я дам несколько относящихся к законам физики формул и покажу, как я их использовал, чтобы получить некоторые значения для этой книги. В моих формулах часто фигурируют два числа – это скорость света c = 3,00 × 10⁸ м/с и ньютоновская гравитационная постоянная G = 6,67 × 10^–11 м³/(кг · с²). Я использую экспоненциальное представление чисел, так что 10⁸ означает 1 с восемью нулями – 100 000 000, или сто миллионов, а 10^–11 означает 0,00000000001. Я не стремлюсь к точности более одного процента, поэтому указываю в числах только два или три знака после запятой либо всего один, если число малоизвестно. Глава 4. Искривления пространства и времени, приливная гравитация. Простейшее количественное представление эйнштейновского закона искривления времени: положите рядом две пары одинаковых часов, чтобы они находились в покое друг относительно друга и находились на разных расстояниях от действующего на них гравитационного притяжения. Пусть R – это дробная разница скорости хода часов, D – расстояние между ними, а g – действующее на них гравитационное ускорение (направленное от часов, которые идут быстрее, к часам, которые идут медленнее). Тогда закон Эйнштейна утверждает, что g = Rc²/D. В случае эксперимента Паунда – Ребки в гарвардской башне R равнялось 210 пикосекундам в день: 2,43 × 10^–15, а высота башни D равнялась 73 футам (22,3 метра). Подставляя эти значения в формулу для закона искривления времени, получим g = 9,8 м/с², что действительно равняется гравитационному ускорению (ускорению свободного падения) на Земле. Глава 6. Анатомия Гаргантюа. Для черной дыры, которая, как Гаргантюа, вращается очень быстро, окружность горизонта C в экваториальной плоскости выражается формулой C = 2πGM/c² = 9,3M/M¤ км. Здесь M – это масса дыры, а M¤ = 1,99 × 10³⁰ – это солнечная масса. У очень медленно вращающейся дыры окружность горизонта вдвое больше. Радиус горизонта равен его окружности, деленной на 2π: R = GM/c² = 1,48 × 10⁸ в случае Гаргантюа, что практически равно радиусу орбиты Земли вокруг Солнца. Массу Гаргантюа я выбрал исходя из следующих рассуждений: масса планеты Миллер m вызывает направленное внутрь гравитационное ускорение g на поверхности планеты в соответствии с ньютоновским законом обратных квадратов g = Gm/r², где r – это радиус планеты. На стороне планеты, которая обращена к Гаргантюа, и на стороне, которая противостоит дыре, приливная гравитация Гаргантюа вызывает растягивающее ускорение gt (разница силы притяжения Гаргантюа между поверхностью планеты и ее центром, на расстоянии r), gt = (2GM/R)r³. Здесь R – это радиус орбиты планеты Миллер вокруг Гаргантюа, который практически соответствует радиусу горизонта черной дыры. Если приливное ускорение превысит собственное гравитационное ускорение планеты, ее разорвет на части, поэтому gt должно быть меньше g: gt < g. Подставляя формулы для g, gt и R, выразив массу планеты через ее плотность ρ как m = (4π/3)r³ρ и произведя некоторые вычисления, получим: M=√(3)c³ × √(2πG³ρ). Я оцениваю плотность планеты Миллер как ρ = 10 000 кг/м³ (что приблизительно соответствует плотности сжатых горных пород), откуда получаю выражение для массы Гаргантюа: M < 3,4 × 10³⁸ кг – это примерно 200 миллионов солнечных масс, что я, в свою очередь, аппроксимирую до 100 миллионов солнечных масс. Используя уравнения теории относительности, я получил формулу, которая связывает замедление времени на планете Миллер, S = (один час за семь лет) = 1,63 × 10⁻⁵, с долей α, на которую скорость вращения Гаргантюа меньше максимально возможной: 16S³/(3√3). Эта формула верна только для очень высоких скоростей вращения. Подставляя значение S, получим α = 1,3 × 10⁻¹⁴, то есть скорость вращения Гаргантюа меньше предельной приблизительно на одну стотриллионную долю. Глава 8. Внешний вид Гаргантюа. Уравнения для орбитального движения лучей света вокруг Гаргантюа, которые я предоставил Оливеру Джеймсу из Dоublе Negative, – вариант уравнений из приложения А в [Levin, Perez-Giz 2008]. Уравнения для изменения сечения пучков света – вариант уравнений из [Pineult, Roeder 1977a] и [Pineult, Roder 1977b]. В нескольких статьях, которые будут выложены по адресу arxiv.org/find/gr-qc, мы с командой Пола Франклина дадим конкретные формы наших уравнений и расскажем о подробностях их реализации и полученных в ходе моделирования результатах. Глава 12. Задыхаясь без кислорода. Вот расчеты, лежащие в основе заявлений, которые я делаю в главе 13. Это неплохой пример того, как ученый производит оценки. Цифры здесь весьма приблизительны; я указываю их точность лишь до одного знака после запятой. Масса земной атмосферы 5 × 10¹⁸ кг, из которых около 80 процентов – это азот, а 20 процентов – молекулярный кислород, O₂; тогда выходит, что в атмосфере 10¹⁸ кг O₂. Количество углерода в неперегнивших растениях (геофизики называют его «органическим углеродом») составляет около 3 × 10¹⁵ кг – приблизительно половина находится в поверхностных слоях мирового океана, и половина – на суше (таблица 1 из [Hedges, Keil 1995]). Обе эти части окисляются (преобразуются в СО₂) в течение примерно 30 лет. Поскольку молекула CO₂ состоит из двух атомов кислорода (полученного из атмосферы) и лишь одного атома углерода, а масса атома кислорода составляет 16/12 от массы атома углерода, после того как все растения на Земле погибнут, на окисление органического углерода будет затрачено 2 × 16/12 × (3 × 10¹⁵ кг) = 10¹⁶ кг O₂ – один процент всего атмосферного кислорода. Относительно подтверждений внезапного перемешивания океанов и теории, объясняющей причины этого явления, см. [Adkins, Ingersoll, Pasquero 2005]. Стандартная оценка количества органического углерода в океанских придонных отложениях, которые могут оказаться на поверхности в результате перемешивания океанов, принимает во внимание главным образом верхний слой отложений, содержимое которого, в свою очередь, перемешивается за счет океанских течений и активности живых существ. Углерод в этом слое скапливается по мере его осаждения с оценочной скоростью около 10¹¹ кг в год, а среднее время, которое требуется, чтобы этот углерод соединился с кислородом из океанской воды, составляет 1000 лет. Всего получается около 1,5 × 10¹⁴ кг – одна двадцатая от общего количества углерода на суше и в поверхностных слоях океана [Emerson, Hedges 1988, Hedges, Keil 1995]. Однако: 1) оценочная величина скорости осаждения может намного отличаться от действительной скорости осаждения; например Энн Баумгарт и другие [Baumgart et al. 2009], руководствуясь тщательными измерениями, оценили скорость осаждения углерода в Индийском океане около Явы и Суматры с фактором неопределенности, равным 50. При экстраполяции на весь Мировой океан это может дать до 3 × 10¹⁵ кг в верхнем слое отложений (столько же, сколько на суше и в поверхностных слоях океана); 2) изрядная часть осажденного углерода может попасть в нижний слой отложений, который не смешивается с водой и потому не окисляется, за исключением внезапных перемешиваний океана. Считается, что последний раз такое перемешивание происходило во время последнего ледникового периода, около 20 000 лет назад – этот срок в двадцать раз превышает время окисления углерода в верхнем слое отложений. Так что в нижнем слое может быть в двадцать раз больше органического углерода, чем в верхнем, а значит, и в двадцать раз больше, чем на суше и на поверхности океана. Если новое перемешивание океана выбросит этот углерод на поверхность, где он окислится, этого будет достаточно, чтобы вынудить всех людей на планете задыхаться от нехватки кислорода и умирать от отравления СО₂; см. конец главы 12. Поэтому такой сценарий возможен, хоть и крайне маловероятен. Глава 15. Внешний вид червоточины в «Интерстеллар». По решению Кристофера Нолана червоточина в «Интерстеллар» имеет диаметр в несколько километров. Угловой диаметр червоточины (в радианах) при наблюдении с Земли равен ее диаметру, деленному на расстояние от Земли, которое составляет около девяти астрономических единиц, или 1,4 × 10⁹ км (радиус орбиты Сатурна). Отсюда угловой диаметр червоточины – примерно 2 км / (1,4 × 10⁹ км) = 1,4 × 10^–9 радиан, или 0,0003 секунды дуги. Радиотелескопы планово достигают такого углового разрешения с помощью интерферометрии. Наземным оптическим телескопам, использующим технологию под названием «адаптивная оптика», а также космическому телескопу «Хаббл» (по состоянию на 2014 год) доступны лишь угловые разрешения в сто раз слабее. Двойные телескопы в обсерватории Кека на Гавайях с помощью интерферометрии достигают угловых разрешений, которые в десять раз слабее, чем угловой диаметр червоточины, и вполне вероятно, что в эпоху «Интерстеллар» оптическая интерферометрия между более удаленными один от другого телескопами позволит достичь лучших разрешений, чем 0,0003 секунды дуги. Глава 17. Планета Миллер. Если вы знакомы с математической записью ньютоновских законов тяготения, вас может заинтересовать их модификация, предложенная астрофизиками Богданом Пачинским и Полом Виита [Paczynski and Wiita 1980]. В этой модификации гравитационное ускорение невращающейся черной дыры вместо ньютоновского закона обратных квадратов, g = GM/r² выражается как g = GM / (r – r_h)². Здесь M – это масса дыры, r – радиус снаружи дыры, на котором ощущается ускорение g, а r_h = 2GM/c² – радиус горизонта невращающейся дыры. Это на удивление хорошее приближение к гравитационному ускорению, которое прогнозирует общая теория относительности[99]. Попробуйте с помощью этой модифицированной формулы сделать количественный вариант рис. 17.2[100] и определить радиус планеты Миллер. Результат будет верен лишь приблизительно, поскольку описание гравитации Гаргантюа по Пачинскому – Виита не учитывает вовлечение пространства в вихревое движение из-за вращения черной дыры. Глава 25. Уравнение профессора. Смысл различных математических символов, входящих в уравнение профессора (рис. 25.7), раскрыт на остальных пятнадцати досках, фотографии которых можно найти на сайте Interstellar.withgoogle.com в разделе, посвященном этой книге. Уравнение выражает «действие» S (классический предел «квантового эффективного действия») в виде интеграла лагранжевых функций L. Эти функции связаны с геометрическими свойствами пространства – времени («метриками») пятимерного балка и нашей четырехмерной браны, с набором полей, действующих в балке (которые обозначены как Q, σ, λ, ξ и φi), а также с «полями стандартной модели», действующими в нашей бране (включая электрические и магнитные поля). Поля и пространственно-временные метрики варьируются, чтобы найти экстремум (максимум, минимум или седловую точку) действия S. Условия экстремума представляют собой систему уравнений Эйлера – Лагранжа, которые определяют эволюции полей; это стандартная процедура вариационного исчисления. Профессор и Мёрф делают предположения относительно полей балка φⁱ, неизвестных функций U(Q), H_ij(Q²), M (поля стандартной модели) а также неизвестных констант W_ij, которые входят в лагранжевы функции. На рис. 25.8 я записываю на доске список этих предположений. Затем для каждого набора предположений профессор и Мёрф варьируют поля и метрики пространства – времени, выводят уравнения Эйлера – Лагранжа, а затем выполняют компьютерное моделирование, исследуя прогнозы этих уравнений относительно гравитационных аномалий. Глава 27. Кромка кратера. Это примечание – для читателей, которые хорошо знакомы с математической записью ньютоновского закона тяготения и законов сохранения энергии и углового момента. Я предлагаю вам самостоятельно вывести нижеследующую формулу для вулканоподобной поверхности, исходя из 1) приблизительной формулы Пачинского – Виита для гравитационного ускорения Гаргантюа, g = GM / (r – r_h)² (см. техническое примечание к главе 17 выше) и 2) законов сохранения энергии и углового момента. Собственно формула в системе обозначений из примечания к главе 17 с добавлением величины L – углового момента «Эндюранс» выглядит так: V(r) = – GM / (r – r_h) + L² / (2r²). Первое слагаемое здесь соответствует гравитационной энергии «Эндюранс» (на единицу массы), второе – его окружной кинетической энергии, а сумма V(r) и радиальной кинетической энергии v²/2 (где r – радиальная скорость) будет равняться полной энергии «Эндюранс» (на единицу массы). Кромка кратера соответствует такому радиусу r, где V(r) достигает максимума. Предлагаю вам с помощью этих идей и уравнений доказать мои утверждения из главы 27 – утверждения о траектории «Эндюранс», нестабильности траектории на кромке кратере и о старте к планете Эдмундс. Глава 30. Передача сообщений в прошлое. В балке, так же как и в нашей бране, положения в пространстве – времени, в которые можно передавать сообщения и вообще что-либо перемещать, ограничены законом, который гласит: ничто не может двигаться быстрее света. Чтобы изучить последствия этого закона, мы, физики, используем пространственно-временные схемы, на которых в точке каждого события располагается «световой конус будущего». Свет идет от этого события по световому конусу, а все остальное – то, что движется медленнее света, – попадает из точки события или на конус, или внутрь него. См., например, Gravity: An Introduction to Einstein’s General Relativity [Hartle 2003]. На рис. НТП.1 показан рисунок световых конусов будущего внутри тессеракта и на его гранях (в Кип-версии). Это математическое описание искривления пространства – времени, на которое я ссылаюсь в примечании 97 к главе 30. Физики называют такой рисунок световых конусов «каузальной структурой пространства – времени» внутри тессеракта. На рис. НТП.1 также показана мировая линия (фиолетовая кривая) гравитационно-волнового сообщения (силы), которое Купер отправил через тессеракт в спальню Мёрф, а также мировая линия луча света (красный пунктир), идущего из спальни через грани тессеракта, благодаря чему Купер видит, что происходит в спальне. Это пространственно-временная версия чисто пространственной схемы на рис. 30.5. Рис. НТП.1. Каузальная структура пространства – времени внутри тессеракта; одно пространственное измерение опущено. Можете разобраться, почему гравитационно-волновое сообщение движется со скоростью света и тем не менее перемещается назад как относительно времени спальни, так и относительно времени Купера? И постарайтесь понять, как луч света, двигаясь со световой скоростью, перемещается, напротив, вперед относительно обоих времен. Сравните это с описанием картины Эшера (рис. 30.6) в главе 30.