КНИГА ПЕРВАЯ. Количество.

Глава 1. Количество вообще.

§ 1. Количество есть соединение и разделение тождественного.

Определение количества как соединение и разделение вытекает из того, что основные его определения суть единство и множество, а основные процессы — увеличение и уменьшение, то есть присоединение и отделение.

Определение количества как соединение и разделение тождественного вытекает из того, что содержание в нём безразлично. Количество есть то, что остаётся по отвлечении от всех различий, или от качества, а это и есть тождественное.

Примеч. Поэтому все количественные определения сводятся к однородным понятиям с отвлечением от различий, например: две вещи, два определения, и т. д. Чтобы приложить категорию количества к какому бы то ни было содержанию, необходимо возвести это содержание к однородному понятию.

§ 2. Отсюда ясно, что количество есть самая отвлечённая из всех категорий относительно содержания. В количестве как таковом содержания никакого нет. Это чисто формальное сочетание соединения и разделения, то есть основных действий разума, что и должно составлять точку исхода.

Примеч. Следовательно, Гегель неправильно поставил количество второй ступенью категорий сущего. Это явствует из самого его изложения, ибо количество получается отвлечением от качества, а точку исхода чистого умозрения должно составлять полное отвлечение. Это подтверждается исторически, тем, что система пифагорейцев предшествовала системам элеатов и Гераклита, которые соответствуют первому положению Гегеля. Логика, со своей стороны, подтверждает правильность положения, данного здесь категории количества (см. выше таблицу категорий).

§ 3. Все означенные элементы количества суть чисто умозрительные. Соединение и разделение суть основные действия разума, которые сознаются им непосредственно, в силу самосознания. Точно так же умозрительна и категория тождества, которая даётся основным законом разума, независимо от всякого содержания.

Примеч. В чистом положении самосознания: «я есть я» заключается количественное определение: я полагает себя, как единое в двух разных определениях. Сознающий себя субъект есть единица, исключающая из себя другие, но внутри себя имеющая различие, то есть заключающая в себе многое. Отвлекаясь от качественных различий мыслящей субстанции, остаётся чистое количество как сочетание единства и множества, или как соединение и разделение тождественного.

§ 4. Тождество количества есть равенство. Поэтому в приложении к количеству закон тождества выражается отношением равенства: А=А. Это и есть основная алгебраическая формула, к которой сводятся все количественные отношения.

Глава 2. Единство и множество.

§ 1. Элементы чистого количества суть: 1) единство; 2) множество; 3) их отношение; 4) их сочетание.

§ 2. Единство и множество суть противоположные определения количества; но каждое из них, взятое отдельно как исключающее другое, является противоречащим определением.

§ 3. Количество, взятое как единое, тождественно с заключающимся в нём многим. Чтобы исключить из него многое, необходимо его разделить. Но разделённое количество, исключившее из себя другое, всё-таки есть количество, а потому внутри себя многое, следовательно, опять делимо. Логически нельзя положить количество, которое бы не заключало в себе ещё меньшее. Этот процесс идёт в бесконечность. Таким образом, бесконечная делимость составляет основное, логически необходимое свойство количества. Чисто единое есть предел, который в количественной области не достигается. Чтобы получить его, необходимо выйти из количества.

Примеч. Свойственная количеству бесконечная делимость, или бесконечное уменьшение, так же как и бесконечное увеличение, доказывают, что это — чисто логическое, или умозрительное определение. Всякое опытное определение, имеющее своим источником ограниченное впечатление, по существу своему ограниченно; только разуму как таковому свойственно выходить из всяких границ, или идти в бесконечность. Поэтому процесс в бесконечность есть чисто логический процесс, и всякое определение, которому, по самому понятию, свойствен этот процесс, есть чисто логическое определение.

§ 4. С другой стороны, и для получения чистого множества необходимо идти в бесконечность. Множество, отрицающее единство, тоже получается путём разделения; но так как каждое полученное разделением количество есть опять количество, то есть соединённое многое, то для исключения единства его необходимо опять разделить, и т. д. без конца. Таким образом, чисто единое и чисто многое оказываются неуловимыми определениями: с положением одного является и другое, чем самым полагается основное их тождество, а вместе — необходимость их сочетания.

§ 5. Это сочетание состоит в том, что всякое количество есть единое и многое вместе — величина. Величина есть количество определённое, или определённое единство множества.

§ 6. Определение устанавливается отношением к другим. Величина есть определённая величина вследствие того, что она больше или меньше других.

§ 7. По свойству количества, увеличение и уменьшение идут в бесконечность; а так как всякое увеличение и уменьшение дают новую величину, то и величин может быть бесконечное множество.

§ 8. Всякое прибавление даёт большую величину, а всякое убавление — меньшую. Посередине стоит равенство, которое есть отношение количества к себе, или тождество с собой.

§ 9. Образуя середину между большим и меньшим, равенство даёт одно определённое отношение; напротив, отношений большего к меньшему или меньшего к большему, в силу § 7, может быть бесконечное множество.

§ 10. Но и отношения могут быть равны или неравны между собой (см. «Логика», ч. 3, гл. 4, § 9). Отсюда разделение равенства на равенство числительное и равенство пропорциональное. Таким образом, количественные отношения образуют две перекрещивающиеся противоположности.

§ 11. Равенством пропорциональным, которое выражается формулой: a/b=c/d определяются отношения разных величин; равенство же числительное, выражаемое формулой: А=а+а+а… или А=а+b+с… определяет отношения различных элементов одной и той же величины.

§ 12. Эти элементы суть единство и множество. Как единое, величина есть целое: как многое, она состоит из частей.

§ 13. При равенстве целого и частей, отношение их может быть двоякое: в форме соединения или в форме разделения. Части могут образовать целое или совпадая, или исключая друг друга. Первое даёт величину интенсивную, второе даёт величину экстенсивную.

Примеч. Переход от одной формы в другую даёт напряжение, которое есть стремление совпадающих частей исключить друг друга. Это — форма, присущая всякой силе.

§ 14. Но и в экстенсивной величине, части, образуя целое, не отделяются друг от друга, а сливаются вместе. Величина как таковая, независимо от других определений, есть количество непрерывное, то есть такое количество, в котором части непосредственно переходят одна в другую.

§ 15. От других же величин каждая величина отделяется вытекающим из определения пределом, или границей.

§ 10. Граница каждой величины есть вместе граница другой. Следовательно, и через границу величина непосредственно, или непрерывно переходит в другую. Это выражается в том, что прибавление и убавление идут в непрерывной постепенности.

§ 17. Таким образом, граница величины является изменчивой. Величина есть то, что может увеличиваться и уменьшаться. В этом состоит существенный её признак.

Примеч. Таково определение величины в математике.

§ 18. Увеличение и уменьшение, будучи выражением изменяющейся границы, логически идут в обе стороны в бесконечность. Пределы их, или крайние границы, суть всё и ничего; первое есть предел объединения, второе — предел разделения.

§ 19. Таким образом, в понятии величины заключаются все категории чистого количества: единое, многое, всё и ничего.

Примеч. Экстенсивное количество как необходимая форма всякого внешнего сосуществования, есть пространство, которое поэтому необходимо представляется непрерывным и безграничным. Представляемое нами пространство совпадает с этим чисто количественным понятием, из чего явствует умозрительное его происхождение. Отсюда следует, что все рассуждения о том, что наше пространство составляет будто бы нечто специальное, зависящее от особенного устройства наших внешних чувств, основано только на неясности мысли.

§ 20. Двоякий предел величины, высший и низший, даёт новую противоположность количества: оно является как безграничное и граница.

Глава 3. Безграничное и граница.

§ 1. Безграничное есть количество, отрицающее границу, вследствие того, что оно выходит из всякой границы. Следовательно, как уже объяснено выше («Логика», ч. 1, кн. 3, гл. 2, § 27); это не отрицательное понятие, которое даёт лишь неопределенность, а положительное: границу отрицает количество, из неё выходящее и полагающее себя вне её.

Примеч. Вместе с тем это — понятие, а не представление, ибо безграничное не представимо.

§ 2. Но будучи положительным понятием, безграничное заключает в себе вместе с тем понятие о процессе отрицания, идеальным пределом которого оно является. Отрицает границу величина, из неё выходящая, то есть увеличивающаяся. Но увеличенная величина есть опять величина, следовательно, имеет границу. А так как последняя опять отрицается, то этот процесс идёт в бесконечность, никогда не достигая предела.

§ 3. В этом процессе выражается сама сущность количества: как чисто умозрительное определение, оно идёт за пределы всякой ограниченной величины.

§ 4. Со своей стороны, граница есть необходимый, но вечно изменяющийся элемент количества: она отрицается, но опять полагается и опять отрицается.

Примеч. Чистое выражение этого процесса есть время, которое есть форма всякого изменения.

§ 5. В противоположность безграничному, которое есть величина, отрицающая границу, граница отрицает величину, полагая ей предел. Но будучи границей двух величин, она представляет сочетание обеих, следовательно, она сама есть количество, и притом определённое, то есть величина.

§ 6. Эти две заключающиеся в границе величины, в свою очередь, имеют свою границу, их отрицающую; а так как последняя, по существу своему, есть опять сочетание обеих, то и здесь повторяется процесс в бесконечность как процесс делимости.

§ 7. И этот процесс имеет свой предел, который никогда не достигается, но к которому он приближается в бесконечности. Этот предел есть нуль — постоянная граница всякой величины.

§ 8. Этот постоянный предел есть внутренний предел границы при бесконечной её делимости. В нём граница получает новое определение — отрицательное. Если граница, с одной стороны, представляет сочетание граничащих величин и переход их одна в другую, то с другой стороны, она представляет и их разделение.

§ 9. Отсюда новое определение количества как раздельного. В противоположность величине, которая есть непрерывное количество, способное увеличиваться и уменьшаться, раздельное количество есть число, постоянное сочетание единиц.

Глава 4. Число.

§ 1. Элементы числа опять суть единство и множество, но здесь они определяются, как единица и счёт.

§ 2. Единица есть величина, взятая как единое, исключающее другое. Но и другое есть также единица, исключающая другие. А так как количество, по существу своему, безгранично, то раздельное количество полагается как состоящее из бесконечного множества единиц, равных друг другу, но исключающих одна другую.

§ 3. Это положение множества есть счет, то есть последовательное логическое шествие от единицы к единице с присоединением в уме одной к другой.

§ 4. Результат этого умственного процесса есть число, то есть определённое сочетание единиц.

§ 5. Состоя из единиц, число раздельно внутри себя, то есть представляет известный счёт единиц и этим счётом отличается от других. Следовательно, число есть величина, раздельная внутри себя и отдельная от других.

§ 6. Но счёт не ограничивается отдельным числом. Идя от единицы к единице, можно к данному числу единиц прибавлять новые единицы и образовать новые числа. Прибавляя таким образом единицу к единице, получаем ряд чисел, отличных друг от друга.

§ 7. Так как, по существу количества, единиц бесчисленное множество, то и ряд чисел, начиная с единицы, идёт в бесконечность.

§ 8. Эти умственные сочетания могут, в свою очередь, сочетаться и разделяться. Отсюда два основных действия, которые разум совершает с числами — сложение и вычитание.

§ 9. Эти два действия, в свою очередь, могут сочетаться двояким путём: посредством соединения и посредством разделения. Первое даёт умножение, второе — деление. Умножение соответствует числу; оно представляет счёт, но не единиц, а чисел: данное число берётся известное число раз, что и даёт известное сочетание единства и множества. Деление же есть показание счёта частей в целом числе, им определяется числовое отношение единства и множества.

§ 10. Но и сама единица как количество заключает в себе множество, следовательно, делима внутри себя. Отсюда дробь, которая, в противоположность целому числу, представляющему сочетание единицы и счета, представляет их отношение. Если число соответствует умножению, то дробь соответствует делению.

§ 11. Так как делимость количества идёт в бесконечность, то и счёт частей идёт в бесконечность: знаменатель дроби может увеличиваться по произволу. А с другой стороны, само целое, которое делится на части, не ограничивается единицей, а может представлять сочетание единиц, или число; следовательно, и оно идёт в бесконечность: числитель, как и знаменатель, увеличивается по произволу. Таким образом, и число дробей бесконечно.

§ 12. Будучи составлена из чисел, дробь представляет отношение чисел. Это отношение есть отношение целого к частям и само выражается числом, представляющим счёт частей. Это число есть показатель отношения.

§ 13. Но и отношение целого к счёту частей выражается дробью; тогда показатель выражает величину каждой части. Следовательно, показатель есть числовой выразитель отношения, элементы которого могут иметь разное значение.

§ 14. Как показатель отношения, он не зависит и от величины целого и частей; последняя может изменяться при сохранении тождества отношения. На этом основан закон пропорциональности.

Например, 2=4/2=6/3=8/4 и т. д.

§ 15. Отношения могут быть неравны. Но между неравными отношениями устанавливаются опять отношения, которые следуют тому же закону, то есть полагается тождество, не зависимое не только от изменения чисел, но и от изменения относящихся друг к другу отношений.

§ 16. Так как отношений может быть бесконечное множество, то и этот процесс идёт в бесконечность. Результат его состоит в положении тождественного с собой определения при бесконечно изменяющихся количественных сочетаниях.

§ 17. Этим самым полагается то основное отношение, которое лежит в существе количества. Количество есть соединение и разделение тождественного; но для лежащего в основании тождества количественное соединение и разделение суть чисто внешние. Это — два независимых друг от друга элемента. Эта независимость числительно выражается в том, что сохраняется тождество отношения при постоянно изменяющихся величинах.

§ 18. Но если эти элементы друг от друга независимы, то каждый из них имеет своё логическое существо и свои категории. Соединённые внешним образом в количестве, они, в силу логического анализа, распадаются на две противоположные области, из которых одна даёт категории бытия, а другая — категории действия. Первые определяют тождественное с собой основание, которое подвергается соединению и разделению, вторые — сам процесс соединения и разделения.

Примеч. Изложенное здесь развитие определений количества есть то самое, которое лежит в основании всей математики. Таким образом, основания метафизики и основания математики одни и те же. Поэтому они имеют значение непреложной истины. Разница между метафизикой и математикой в этом отношении заключается в том, что метафизика выводит умозрительно эти определения, а математика принимает их как совершенно очевидные для разума, и проводит их во всех подробностях, с полнейшей достоверностью, чем самым доказывается истина оснований. Но вследствие того что математика не исследует происхождения этих истин, а берёт их как данные, этот вопрос остаётся для неё открытым. Отсюда возможность неправильного его понимания. При неясности философской мысли, а тем более при ложном взгляде на саму логику даже великие математики не задумываются производить эти основные истины из опыта. При этом прогресс в бесконечность остаётся каким-то таинственным, необъяснимым началом, которое берётся неизвестно откуда. Для философа, исследующего логические основания количественных понятий, в этом отношении не может быть ни малейшего сомнения. Всё предыдущее изложение доказывает, что математические истины не что иное как чисто логические сочетания, или способы действия разума, носящие в себе такие признаки, которые совершенно исключают возможность происхождения их из опыта. Это чисто умозрительные начала, которые служат руководством для всякого опыта и которые одинаково лежат в основании как математики, так и метафизики. Само строение отвлечённой математики выражает изложенное выше развитие метафизических определений количества. Арифметика есть наука чисел, алгебра — наука об отношениях величин; дифференциальное исчисление исследует изменяющуюся границу, интегральное исчисление сводит изменения границы к цельной функции от нуля до бесконечного, или, проходя через нуль, от положительного до отрицательного бесконечного. Арифметика вырабатывается первая, как непосредственное отвлечение от конкретных представлений. Ей навстречу идёт чисто отвлечённое построение алгебры. Сочетание их даёт дифференциальное и интегральное исчисления. Таким образом, из математики можно a posteriori вывести изложенное выше метафизическое построение, которое через это получает непреложное основание. Но если основания математики и метафизики одни и те же, то в дальнейшем процессе они расходятся. Математика исследует дальнейшие приложения этих начал, не выходя из количественной области; для метафизики же количество составляет только первую ступень, которая сама собой, в силу логического анализа, указывает на необходимость дальнейшего движения. От количества она переходит к качеству, которое распадается на бытие и действие. Этот чисто логический переход, вытекающий из умозрительной системы категорий, исторически совершился в древнейшей философии. Пифагор провозгласил число сущностью всех вещей; начало верное, ибо количество есть существенное определение всякого бытия, но недостаточное, ибо им сущность бытия не исчерпывается. Поэтому философская мысль внутренним движением перешла от пифагорейского учения к двум противоположным школам элеатов и Гераклита, из которых первая односторонним образом развивала категории бытия, а вторая представила столь же одностороннее развитие категорий действия. Таким образом, чисто логическое и историческое развитие метафизики совпадают.