66. Зри в корень. Найти хотя бы один корень уравнения (x + 1) (x + 3) × (x + 5) (x + 7) = 945. Варианты ответов. 1. 2. 2. 4. 3. –10. Правильный ответ: 1, 3. Приглядимся к уравнению: в левой части четыре множителя, каждый из которых отличается от соседнего на 2. Если разложить 945 на четыре таких множителя, то решение, можно считать, уже у нас в руках. Раскладываем: разумеется, 945 делится на 5; разделили, получили 189, сумма цифр дает 18, значит, оно делится еще и на 3; поделили, получили 63, а это 7 и 9, в итоге имеем 945 = 3 × 5 × 7 × 9, и x = 2 очевидно является решением. Но также решением является и –10: (–9) × (–7) × (–5) × (–3) снова равно 945 (минус на минус на минус на минус дает плюс). А есть ли еще решения? Заменим x на y = x + 4, тогда уравнение будет выглядеть так: (y – 3)(y – 1)(y + 1)(y + 3) = 945. Вспоминая, что (y – a)(y + a) = y² – a², преобразуем уравнение к виду (y²–1)(y²–9) = 945. Заменим еще одно обозначение y² = z и получим квадратное уравнение на z: z² – 10z – 936 = 0 (мы просто раскрыли скобки и перенесли все из правой части уравнения в левую). У этого уравнения есть два корня: 36 и −26. С первым все понятно: подставляя z = (x + 4)², мы как раз получим уже известные нам первые два решения. А как быть со вторым? Ну, тут история позаковыристее, нужно взять квадратный корень из отрицательного числа. Кто-то скажет, что таких не бывает, а мы скажем: бывает, это же просто i × √26, где i = √−1 – мнимая единица. Таким образом, оставшиеся два корня уравнения – это 4 ± i × √26.