Физика. 89. Льдина в бассейне. В бассейне плавает глыба льда. Через некоторое время она тает. Что случилось с уровнем воды в бассейне? Варианты ответов. 1. Повысился. 2. Понизился. 3. Остался неизменным. Правильный ответ: 3. Уровень воды, разумеется, не изменится, и это очень легко объяснить наглядно. Поместим льдину в бесконечно легкую кастрюлю и пустим плавать в нашем бассейне. Льдина растаяла, но, так как масса содержимого кастрюли не изменилась, не изменился и уровень воды в бассейне. При этом, очевидно, уровень воды внутри (после таяния льда) и снаружи кастрюли (раз она не имеет массы) обязаны совпадать. Мысленно удаляем нашу воображаемую кастрюлю – вуаля, наше предположение доказано. Привет сторонникам теории глобального потепления. 90. Без весла. Посреди озера в штиль рыбак умудрился сломать весло. Рыбак подумал, что сможет плыть и без весла, если будет действовать следующим образом: бегом бежать от кормы к носу лодки и медленным шагом возвращаться обратно. Прав ли рыбак и в какую сторону он в таком случае поплывет? Варианты ответов. 1. Разрази его гром, прав! Поплывет носом вперед. 2. Прав, морской черт! Только поплывет он задом – кормой вперед. 3. Дурак ваш рыбак, и метод его дурацкий. Правильный ответ: 1. Если представить, что трения об воду нет, то рыбацкий труд, конечно, не имел бы смысла: по закону сохранения импульса лодка смещалась бы против направления движения рыбака, а за полный цикл (корма – нос – корма) смещение равнялось бы нулю. Но трение в воде есть, более того, оно квадратично зависит от скорости: чем больше скорость (лодки), тем сильнее сопротивление воды. Соответственно, когда рыбак бежит от кормы к носу, лодка смещается назад на меньшее расстояние, чем вперед – когда он неспешно прогуливается в обратном направлении. 91. Камни на пашне. Каждый год по весне на пахотных землях появляются камни, про такие говорят, что они «из земли растут». Откуда они берутся? Варианты ответов. 1. Их выталкивает сила Архимеда. 2. Камни выходят на поверхность из-за промерзания грунта при минусовых температурах. 3. Их разбрасывают по полям диверсанты-вредители. Правильный ответ: 2. Земля промерзает неравномерно: у камней теплопроводность (хотя в данном случае уместнее сказать «хладопроводность») выше, чем у почвы. Как следствие, лед возникает прежде всего под камнем и за счет расширения (при переходе из жидкой фазы в твердую вода расширяется) выталкивает камень вверх. Вот и весь секрет роста. 92. Синий камень. В Переславле-Залесском с незапамятных времен был Синий камень, которому поклонялись меряне и другие язычники. Монахи находящегося неподалеку Борисоглебского монастыря мечтали избавиться от соседства с камнем и зимой 1788 г. повезли его на санях по Плещееву озеру, но лед под тяжестью треснул, и камень ушел под воду на глубину около 1,5 м. А через 70 лет взял и вышел обратно на берег. Как ему это удалось? Варианты ответов. 1. Его вынесли льды. 2. Его вынесли произраставшие под ним водоросли. 3. Сам выбрался, камень-то волшебный! Правильный ответ: 1. Вода в водоеме, как известно, промерзает сверху. Таким образом, поверхностный лед имеет возможность захватить камень. По весне лед трескается, и льдина с вросшим в нее камнем может дрейфовать – в том направлении, куда в среднем дует ветер. В Переславле преимущественное направление ветра – от озера к монастырю, туда-то и вынесло Синий камень. 93. Масло для Нептуна. [9]. В старину в бурю моряки выливали в воду масло или жидкий жир (например, китовый). Для чего они это делали? Варианты ответов. 1. Масло на поверхности воды мешает возбуждаться волнам. 2. Глупое суеверие, моряки просто приносили жертву Нептуну. 3. Питательная пища привлекает в большом числе рыб, которые беспорядочными телодвижениями разбивают волны. Правильный ответ: 1. Волны в воде хорошо поднимаются, если там уже есть волны: ветер раздувает рябь, и волны растут и растут. А если ряби не будет, то расти им будет особо и не из чего. Масляная пленка как раз и подавляет появление ряби, в этом и эффект: волны на жировой пленке получаются ниже и слабее. 94. Ходить по воде. [10]. Можно ли ходить по воде и что для этого нужно сделать? Варианты ответов. 1. Да ну, это все библейские сказки. 2. Да, если перебирать ногами быстро и энергично. 3. В специальной обуви из материала малой плотности (скажем, пенопласта). Правильный ответ: 2. Человек будет держаться на поверхности, если сила отталкивания сравняется с его весом. Эта сила равна F = kρv²S (примем без вывода; здесь ρ = 1000 кг/м³ – плотность воды, v – скорость удара стопы, S = 2 дм² – площадь стопы, k ∼ 0,2 – безразмерный коэффициент сопротивления). Приравнивая ее к весу человека массой m = 60 кг, получаем v² ≥ mg/(kρS) = 150 м²/с², v ≥ 44 км/ч. Это к вопросу об «энергично», а откуда же берется условие «быстро»? Все просто: за время t наш спринтер уходит под воду на расстояние ∼vt, и пусть это будет не больше чем «по колено» (примерно полметра). Отсюда получаем, что перебирать ногами он должен со скоростью не менее 25 шагов в секунду. 95. Солнце – человек – радуга. Когда человек видит радугу, где по отношению к нему находится солнце? Варианты ответов. 1. У него над головой. 2. У него за спиной. 3. В центре окружности, образующей радугу. Правильный ответ: 2. Радуга возникает вследствие двойного внутреннего отражения солнечного света в капле: луч заходит внутрь капли, отражается от внутренней стенки раз, потом другой и выходит наружу в направлении «назад», под углом примерно 40° к первоначальному. Соответственно, радугу можно видеть, только стоя между дождем (туманом, фонтаном и т. п.) и источником света, – значит, солнце всегда будет за спиной. 96. Черные дыры в миниатюре. [11]. Каков минимальный размер черной дыры? Варианты ответов. 1. Это размер атома, у которого радиус ядра задевает орбиты внутренних электронных оболочек. 2. Это ядро дейтерия[12] и, соответственно, его размер. 3. Какой может быть самая маленькая клякса? Вот так и с черной дырой: может быть сколь угодно мала. Правильный ответ: 1. Вопрос, что считать черной дырой. Можно определить и так: это вещество с плотностью черной дыры (очень большой!). Самая большая плотность вещества, известная нам, – нуклонная плотность, та, что в ядре атома (и, по-видимому, у черных дыр такая же). Значит, если сжать атом до размеров ядра, он и будет черной дырой! Чем больше заряд ядра, тем, с одной стороны, крупнее само ядро и тем, с другой стороны, ближе к ядру располагаются электроны – по оценкам, при заряде ядра Z ∼ 100 нижние электронные оболочки как раз начнут втягиваться в ядро. (Z = 100 – не так уж и много, к примеру, у урана заряд ядра Z = 92.). 97. Быстрее света. Может ли материальная частица двигаться со скоростью большей скорости света? Варианты ответов. 1. Как учил Эйнштейн: нет, ни за что и никогда. 2. Может, если она движется в сплошной среде, в которой скорость света меньше c (скорости света в вакууме). 3. Такое возможно, если пользоваться неинерциальной системой отсчета. Правильный ответ: 2. Предельной скоростью распространения чего бы то ни было (тел, частиц, сигналов) является, вне всяких сомнений, скорость света в вакууме c = 3 × 10⁸ м/с. Но в среде свет может распространяться с меньшей (и существенно меньшей – иногда вполовину) скоростью. Вот тут-то частица и может пойти на обгон! А если она еще и заряженная, это приведет к красивому излучению Черенкова – Вавилова, с помощью которого, в частности, детектируют и измеряют релятивистские (т. е. мчащиеся с околосветовой скоростью) частицы. 98. Ледяные пули. Можно ли стрелять пулями из льда? Варианты ответов. 1. Если не очередью, то можно. 2. Если стрелять очень быстро – чтобы пули не успевали таять. 3. Нет. Правильный ответ: 1. Вообще говоря, ответ зависит от того, чего вы хотите. Будем исходить из предположения, что задача самая распространенная – поразить цель. Тогда стрелять очередями не получится: лед будет таять в разогретом стволе, и до цели в лучшем случае долетят капли. По той же причине не получится стрелять льдом на большие расстояния – он растает в атмосфере. Отметим, что идея с ледяными пулями – находка для детективного автора, это ж идеальное орудие убийства – улики исчезают за несколько минут! Старушка Агата была бы довольна. 99. Отраженная капля. [13]. Когда крупная капля падает в воду, отражается (выбрасывается из воды вверх) капля, поднимающаяся на высоту, существенно превышающую первоначальную – ту, с которой падала первая капля. Почему не выполняется закон сохранения энергии? Варианты ответов. 1. Новая капля гораздо меньше, чем первая. 2. Новая капля берет дополнительную энергию из резервуара с водой. 3. На поверхности воды есть волны, капля может получить дополнительную энергию от одной из них. Правильный ответ: 1. Разумеется, закон сохранения энергии выполняется. Новая капля просто существенно меньшего размера (а значит, и массы), а поскольку энергия первой капли m₁gh₁ (h₁ – высота, с которой она падала), второй – m₂gh₂ (h₂ – высота, на которую она поднялась), то, очевидно, при m₂ < m₁h₂ может быть больше h₁, без нарушения закона сохранения, m₂gh₂ ≤ m₁gh₁. 100. Охота за золотом. В богатом месторождении золота в 1 м³ руды благородного металла содержится всего 10 г. И его еще нужно извлечь – он рассеян в руде в виде частиц массой всего 0,01 нг (нано = 10⁻⁹, так что вес одной золотой частицы – 10⁻¹¹ г). До каких размеров нужно раздробить руду, чтобы это золото можно было как-то извлечь (например, растворением)? Варианты ответов. 1. До частиц размером 1 мм. 2. До частиц размером 1 мкм (10⁻⁶ м). 3. До частиц размером 1 нм (10⁻⁹ м). Правильный ответ: 2. Очевидно, нужно дробить до размеров золотых частиц (точно так же, как, к примеру, гранат – не драгоценный камень, а фрукт – мы дробим до размеров гранатового зернышка). Нам известны не размеры, но масса частиц, а масса и размеры связаны друг с другом через плотность, m = ρl³ (m – масса, ρ = 20 т/м³ – плотность, l – размер), откуда l есть корень третьей степени из m/ρ, l ∼ 1 мкм. 101. Горная трапеза. Почему в горах можно пожарить шашлык, но практически нереально сварить суп? Варианты ответов. 1. На высоте настолько холодно, что нагреть воду выше 30 °C не представляется возможным. 2. Притом что костер так же горяч, как и в долине, воду до 100 °C не нагреть никак. 3. Ерунда, суп сварить не проблема, главное – прихватить с собой кастрюлю. Правильный ответ: 2. Температура кипения тем ниже, чем ниже атмосферное давление. Чем выше в горы, тем давление ниже – а значит, ниже и температура кипения воды. Точка кипения смещается на один градус с увеличением высоты на 300 м, так что в высокогорье воду больше чем до 70 °C не нагреть. В таком «кипятке» все варится очень-очень долго, и даже чай им заварить проблематично. 102. Наперегонки. Градина и дождевая капля одинаковых размеров и почти одинаковой массы (мы пренебрежем их различием) начинают двигаться одновременно с одинаковой высоты. Кто из них приземлится первой? Варианты ответов. 1. Градина. 2. Дурацкий вопрос – прилетят одновременно. 3. Капля. Правильный ответ: 3. Ответ на первый взгляд неожиданный, а на второй – очевидный. Дело в том, что градина не может менять форму, а капля – может и, испытывая воздействие воздуха, обязательно будет менять форму. Причем изменения будут сильнее в тех точках, где сильнее сопротивление (воздействующие силы больше, чем в иных точках), – значит, капля рано или поздно примет такую форму, что в целом сопротивление воздуха будет меньше, чем в случае с градиной. 103. Толстый – тонкий. Два парашютиста – один высокий и худой, другой плотный и приземистый – выпрыгивают из самолета «солдатиком». Кто будет двигаться быстрее до раскрытия парашюта? Варианты ответов. 1. Будут двигаться с одинаковой скоростью. 2. Коротыш быстрее. 3. Длинный быстрее. Правильный ответ: 3. Сопротивление движению в воздухе прямо пропорционально сечению движущегося тела. У короткого это сечение больше, значит, и падать он будет медленнее – но в дальнейшем, конечно, их уравняют раскрывшиеся парашюты. 104. Движение реликтовой воды. В залежах каменной соли содержатся включения реликтовой (древней) воды. Если внутри соляного месторождения разместить тепловой источник, будут ли эти включения двигаться (подсказка: растворимость соли растет с температурой)? Варианты ответов. 1. Будут, по направлению к тепловому источнику. 2. Будут, по направлению от теплового источника. 3. Останутся неподвижными. Правильный ответ: 1. Есть источник тепла – значит, есть и градиент (проще сказать, неоднородность) температуры. Там, где горячее, подсказывают нам, – там и растворимость выше. Соответственно, вода станет «проедать» горячую стенку и с необходимостью (иначе полость разрастется неограниченно, а так не бывает) «отступать» от холодной (на ней соль будет кристаллизоваться). Температура, очевидно, растет в направлении источника тепла – вот к нему, родимому, вода и поползет. 105. Сколько крыльев нужно самолету? В наше время самолеты в основном монопланы, по одному крылу с каждой стороны. Но на заре авиационной эры были бипланы (по два крыла с каждой стороны), трипланы (по три), квартопланы (по четыре) и даже квинтопланы (по пять). Для чего делали столько крыльев? Варианты ответов. 1. Чтобы повысить устойчивость машины в полете. 2. Из соображений безопасности (одно крыло отвалится, остальные останутся). 3. Чтобы уменьшить размах крыльев. Правильный ответ: 3. Подъемная сила крыла прямо зависит от его площади: больше площадь – больше сила. Так что вместо того, чтобы строить моноплан, можно соорудить квинтоплан – и при той же самой подъемной силе крыло будет иметь впятеро меньшую площадь (поскольку крыльев – пять)! Такие крылья проще собирать, крепить, возможно, они и понадежнее будут, да и парковать компактный самолет удобнее. Так что зачем делали бипланы и трипланы, более-менее ясно, остается вопрос: почему сейчас остались одни монопланы? Дело в том, что в современной авиации скорость полета радикально (по меньшей мере на порядок) возросла, а подъемная сила растет не только с площадью крыла, но и со скоростью движения – так что для нынешних самолетов уже не нужно так много крыльев, хватает и двух. 106. О цвете неба. Почему небо голубое, а солнце на заре красное? Варианты ответов. 1. Солнце излучает свет, поэтому оно красное; небо поглощает свет, поэтому оно синее. 2. Потому что молекулы атмосферы сильнее рассеивают свет большей частоты (синий). 3. Просто такой цвет: у солнца красный, у неба голубой, у травы зеленый, у асфальта серый и т. п. Правильный ответ: 2. Все дело, конечно, в воздухе. Если бы атмосферы не существовало, было бы как на Луне: небо – черное, а солнце – белое (каким оно, в сущности, и является). Но она есть, и это все меняет: воздух рассеивает свет, причем разный свет по-разному (закон Рэлея[14]): коротковолновый свет (воспринимаемый глазом как синий) рассеивается сильнее, чем длинноволновый (красный). Рассеянный коротковолновый свет окрашивает небо, при этом у солнца мы его отобрали, оставив преимущественно красный. Кстати, солнце в зените еще не такое красное, скорее желтое, а вот на заре – помидор помидором. Почему? Оставим вам этот вопрос в качестве несложного самостоятельного упражнения. 107. Загадка эскимосов. В иглу (доме эскимосов, сделанном из льда) для обогрева разводят костры. По идее, это должно приводить к сырости – лед тает, вокруг лужи, с потолка течет – но нет, в иглу всегда сухо. В чем секрет? Варианты ответов. 1. Слабый огонь – если развести костер посильнее, то воды будет полно. 2. Появляющаяся вода, как губкой, поглощается льдом. 3. Эскимосы регулярно протирают влажный лед. Правильный ответ: 2. Как установили еще Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц[15], расплав (в нашем случае вода) полностью смачивает (значит, эффективно притягивается; вот ртуть, чтобы было понятно, ничего не смачивает) твердую фазу того же вещества (т. е. лед). А поскольку лед – довольно-таки пористое вещество, то оно успевает впитывать всю воду в эскимосском жилище. Конечно, у всего есть свои пределы: если поставить там тепловую пушку, рано или поздно стены иглу потекут, но тепла от костра и человеческих тел недостаточно, чтобы лед намок. 108. Подвижная пластина. Биметаллическая пластина[16] при нагреве искривляется в определенную сторону. А при охлаждении что с ней будет происходить? Варианты ответов. 1. В противоположную сторону искривится. 2. Ничего, никаких деформаций. 3. В ту же сторону искривится. Правильный ответ: 1. Температурное расширение в первом приближении линейно по температуре, т. е. с достаточной точностью можно писать Δx = kΔT, где Δx – удлинение, ΔT – изменение температуры, k – некий коэффициент, зависящий от свойств материала. Биметаллическая пластина состоит из двух материалов, у которых эти коэффициенты, скорее всего, различны – значит, один расширяется сильнее, чем другой, – за счет чего и будет происходить искривление (та сторона, что расширяется быстрее, будет выпуклой, а вторая – вогнутой). Но при понижении температуры она же будет и быстрее сжиматься – значит, она уже станет вогнутой, а противоположная сторона выпуклой, т. е. деформация пойдет в противоположном направлении. 109. Лазерный холодильник. [17]. Лазерный луч, проходя через поглощающий газ, передает ему энергию и тем самым его нагревает. А можно ли представить ситуацию, когда газ будет лазером, напротив, охлаждаться? Варианты ответов. 1. Да, при определенном подборе частоты лазерного излучения. 2. Нет, это противоречит как закону сохранения энергии, так и Третьему началу термодинамики. 3. Зависит от направления лазерного луча: при проходе в одну сторону он нагревает газ, при проходе в обратную – охлаждает. Правильный ответ: 1. Атом может поглощать фотоны с последующим рассеянием: грубо, глотает и выплевывает. Но не всякие, а только определенной частоты (так называемая частота перехода), или, что то же самое, энергии (частота фотона ω и его энергия E связаны через постоянную Планка, E = ħω). Вспомним эффект Доплера: частота приближающегося к нам источника света выше, чем в случае, если бы он покоился. Настроим лазер так, чтобы его частота была ниже частоты перехода, и будем облучать им газ – тогда поглощать будут только те атомы, которые летят навстречу лазерному лучу (с достаточной скоростью – чтобы измененная за счет эффекта Доплера частота фотона совпала с частотой перехода), а после испускать свет на частоте перехода – т. е. на большей частоте, нежели поглотили. Значит, немного энергии мы у таких атомов отобрали – а это как раз энергия теплового движения, никакой другой же нет. Получается, охладили. 110. Хаотические резисторы. Есть 1000 одинаковых резисторов, которые случайным образом (какие-то последовательно, какие-то параллельно) соединяются друг с другом. А как друг к другу относятся максимальное и минимальное сопротивление такой цепи? Варианты ответов. 1. Как 1000: 1. 2. Как ∞ (минимальное сопротивление ноль). 3. Как 1 000 000: 1. Правильный ответ: 3. Задачка с подвохом, который состоит в том, что никакого подвоха нет! Пусть сопротивление одного резистора – r. Когда оно будет максимальным? Когда все они включены в цепь последовательно – здесь все сопротивления складываются, R_max = 1000 r. А минимальным когда? Когда они включены параллельно, тогда складываются обратные сопротивления, 1/R_min = 1000/r. Отсюда R_max/R_min = 1000 × 1000 = 1 000 000. 111. Неожиданный диполь. [18]. Трехатомная молекула углекислого газа (CO₂) не имеет дипольного момента, а молекула воды (H₂O) имеет, почему так? Варианты ответов. 1. Вода всегда находится в диссоциированном[19] состоянии, HO⁻ и H⁺. 2. У CO₂ есть дипольный момент, но, поскольку все положения молекулы равновероятны, в среднем он равен нулю. 3. В молекуле CO₂ все атомы расположены на одной прямой, а в молекуле H₂O – нет. Правильный ответ: 3. В молекуле CO₂ атомы расположены на одной прямой в цепочке O−C−O. Из соображений симметрии ясно, что дипольного момента у нее не может быть: если бы он и был, то он обязан был бы находиться в параллели с осью молекулы; но если молекулу перевернуть на 180°, то направление диполя сменится на противоположное, притом что это будет та же молекула, точно так же расположенная, как первоначальная. Вектор (диполя) равен самому себе с обратным знаком – значит, он равен нулю. Другое дело молекула воды – атомы в ней не лежат на одной линии, а образуют треугольник; при этом кислород оттягивает электроны от водорода – отсюда и дипольный момент. 112. Чернобыльский след. Во время аварии на Чернобыльской АЭС в 1986 г. вышедшая наружу радиоактивность составила 5 × 10¹⁸ Бк (Бк – это Беккерель, или один распад в секунду), в основном она пришлась на изотопы с периодом полураспада 30 лет (Cs-137, Sr-90 и др.). Какой будет эта радиоактивность к 2286 г.? Варианты ответов. 1. 5 × 10¹⁷ Бк. 2. 1,67 × 10¹⁶ Бк. 3. 5 × 10¹⁵ Бк. Правильный ответ: 3. Период полураспада – это время, за которое активность снижается вдвое. Если период полураспада равен 30 годам, то через 300 лет активность уменьшится в 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2¹⁰ = 1024 раза. 113. Летит и светится. Радиоактивная частица разогревает воздух вокруг себя и за счет этого поднимается вверх. Как высоко она может забраться? Варианты ответов. 1. Остановится, когда подъемная сила сравняется с весом частицы. 2. Неограниченно высоко: выйдя за пределы атмосферы, будет снесена в космос солнечным ветром. 3. Это движение имеет случайный характер, подъемная сила компенсируется случайными соударениями с другими частицами – так что будет просто болтаться в воздухе, как пыль. Правильный ответ: 1. Для того чтобы на частицу действовала подъемная сила, вокруг нее должна быть атмосфера, это и из условий задачи следует. Как только частица поднимется достаточно высоко, туда, где атмосферы нет (вернее, где она достаточно разрежена), подъемная сила снизится, сравнявшись с весом частицы, после чего подъем прекратится. 114. Куда летим? Прямоточный реактивный двигатель – это просто труба, в середине которой сгорает топливо, а газы (продукты сгорания), по идее, могут выходить с обоих ее концов. Таким образом, самолет может полететь не вперед, а назад, а может вообще никуда не полететь – если газы будут выходить сразу в обе стороны. Как же добиваются того, чтобы газы выходили в определенном направлении и самолет все же летел вперед? Варианты ответов. 1. Там ставят вентилятор, который задает нужное направление выхода газов. 2. Закрывают расположенное спереди отверстие заглушкой. 3. Включают реактивный двигатель после достижения самолетом определенной скорости. Правильный ответ: 3. Как и в обычной печной трубе, в реактивном двигателе нужно создать тягу. Если самолет слегка разогнать, не включая реактивный двигатель (с помощью обычного ДВС), тяга возникнет сама собой – трубу будет продувать от переднего края к заднему. После этого запускаем реактивный движок – и вуаля, газы выходят строго в направлении тяги – т. е. из заднего отверстия трубы. 115. Пылесос раздора. Марина Сергеевна приобрела модный пылесос с прозрачными корпусом и шлангом. Через три дня она пришла в магазин сдать его обратно: мол, изделие бракованное, при работе в шланге возникают какие-то разряды. В магазине проверили прибор и убедились, что он совершенно исправен. Кто кого обманывает? Варианты ответов. 1. Никто: искры и правда то есть, то нет. 2. Марина Сергеевна, она все выдумала. 3. Сотрудник магазина – очень уж брак назад принимать не хочется. Правильный ответ: 1. Известно, что диэлектрические тела заряжаются при трении друг о друга. При работе пылесоса сухая пыль трется о шланги, между заряженными частицами могут возникать разряды, видимые невооруженным глазом. Почему же Марина Сергеевна это видела, а продавец в магазине – нет? Ответ очевиден: Марина Сергеевна закачивала в пылесос пыль, а продавец – чистый воздух. 116. Ограниченная видимость. Одна пылинка закрывает в воздухе определенную площадь, так называемое сечение ослабления. Пусть в воздухе плавает пыль размером 1 мкм и концентрацией 1000 частиц на 1 см³ – как далеко можно видеть в таком тумане? Варианты ответов. 1. 10 м. 2. 100 м. 3. 1 км. Правильный ответ: 3. Чисто арифметическая задача: какую площадь закрывают пылинки в тонком слое толщиной, скажем, 1 мм и сечением (для простоты) 1 см²? Сечение ослабления 1 мкм² = 10⁻⁸ см², частиц с таким сечением в нашем слое 10² (1000 × 0,1 см × 1 см × 1 см), общая площадь, закрываемая пылинками, 10⁻⁸ × 10² = 10⁻⁶ см², или 1/1 000 000 от площади нашего слоя. Сколько нужно взять таких слоев, чтобы полностью закрыть нашу площадь в 1 см²? Очевидно, миллион. Миллион слоев по 1 мм дают толстенный слой в 1 км – это и есть предел видимости в таком загрязненном воздухе. 117. Самая высокая гора. [20]. Самая высокая гора, как известно, – Джомолунгма, 8,8 км высотой. Почему не бывает гор выше? Варианты ответов. 1. Это случайность – какая-то гора должна же быть самой высокой. 2. Бывали и более высокие горы, но проиграли в этом соревновании из-за выветривания пород. 3. Более высокая гора «потечет» под собственным весом. Правильный ответ: 3. Дайверы знают, что с погружением на каждые 10 м давление воды вырастает на 1 атм. Плотность горной породы где-то втрое больше плотности воды – значит, там метр за три, прибавляем 1 атм на каждые 3 м высоты. При этом предел текучести, он же – предел прочности на сжатие, для горных пород лежит в диапазоне 1000–3000 атм. Если давление выше, порода просто течет. А 3000 атм на какой высоте наберется? 3 × 3000 = 9000 м – аккурат высота Джомолунгмы! Любая гора большей высоты просто растечется в своем основании. Кстати, то же случилось бы и с Вавилонской башней – видимо, так Бог страховался на случай, если его трюк со смешением языков не сработает. 118. Самая глубокая дыра. Самое глубокое место в природе – Марианская впадина в Тихом океане, 11 км. Самое глубокое рукотворное отверстие – Кольская скважина, 12 262 км. Можно ли глубже? Варианты ответов. 1. Куда уж глубже! Нет. 2. Можно и глубже, если укреплять стенки углубления сверхпрочным графеном[21]. 3. Скважину глубже сложно себе представить, а вот впадина могла бы быть и помощнее. Правильный ответ: 3. Проблема сверхглубоких скважин – это температура, которая с увеличением глубины растет по линейному закону – на 1 °C каждые 20–50 м. В Кольской скважине у дна она может достигать 600 °C, т. е. там не порода, а расплав – при попытке углубить скважину ее продолжение будет заливать жидкой материей. Иное дело впадина в океане – там тепло отводится большим объемом воды, так что Марианская впадина – это не предел, можно представить себе дыру и гораздо более глубокую, глубже даже Кольской скважины. Чем может быть ограничена такая глубина – пока неизвестно. 119. Как замаскироваться рыжему? В каком зеркале рыжий сможет увидеть себя перекрашенным в синий? Варианты ответов. 1. В зеркале, покрытом пленкой, поглощающей в красном спектре. 2. В зеркале, быстро приближающемся к наблюдателю. 3. В зеркале из специального кварца – из того же, из которого делали «фиолетовую лампу». Правильный ответ: 2. Велик соблазн выбрать вариант 1, но он неверный: в зеркале с поглощающей пленкой все красные оттенки просто блекнут, но не превращаются в синие. Иное дело быстро приближающееся зеркало: за счет эффекта Доплера все красные цвета сдвигаются в синий спектр. Напротив, если зеркало удаляется, то синеволосый мужчина резко рыжеет. Другое дело, что скорость зеркала при этом представляется неправдоподобной – порядка 2/3 от скорости света в вакууме, или 200 000 км/с. Так что рыжий сможет любоваться на свое отражение очень недолго. 120. Невесомость на земле. Мост представляет собой дугу окружности радиусом 250 м. Может ли водитель автомобиля, едущего по мосту, почувствовать себя в невесомости? Варианты ответов. 1. Навряд ли. 2. Разве что снесет ограждения и слетит с моста. 3. Если как следует разгонится – например, до 180 км/ч. Правильный ответ: 3. Невесомость – это, по определению, отсутствие веса, т. е. давления тела на поверхность или опору. Чтобы ощутить невесомость, необязательно отправляться в открытый космос – достаточно оказаться в падающем лифте. Чтобы наша машина послужила таким лифтом, нужно, чтобы центробежная сила mv²/R превысила силу тяготения mg (m – масса автомобиля, v – скорость, R = 250 м – радиус, g = 10 м/с² – ускорение свободного падения), откуда находим v > √gR = 50 м/с = 180 км/ч. 121. Перезаряжаемые шары. Десять одинаковых металлических шаров лежат на одной прямой. Первый шар заряжен электрическим зарядом, его толкают кием, и последовательно сталкиваются: первый – второй, второй – третий, третий – четвертый, …, девятый – десятый. Как относятся заряды на десятом и на первом шарах? Варианты ответов. 1. 1: 1. 2. 1: 256. 3. 1: 1024. Правильный ответ: 2. Когда два шара соприкасаются, их заряды уравниваются, ничего другого быть не может хотя бы из соображений симметрии. Пусть заряд первого был Q, после столкновения со вторым у него осталось Q/2. У второго и третьего после их столкновения – по Q/4, у третьего и четвертого по Q/8 и т. д. Значит, на n-м столкновении у (n + 1) – го шара – заряд Q/2ⁿ. Всего таких столкновений, очевидно, девять. То есть у десятого шара заряд Q/2⁹. Делим это число на заряд первого шара – а он теперь Q/2! – и получаем 1/2⁸ = 1/256. 122. Ground control to major tom. На космическом корабле (массой 1 т) сломался двигатель. Капитан принимает решение раскрыть солнечный парус (благо, им нужно лететь как раз в сторону от Солнца), представляющий собой квадрат со стороной 30 м. Принимая, что мощность солнечного света в том месте 100 Вт/м², прикинем, через какое время корабль выйдет на вторую космическую скорость (11,2 км/с). Варианты ответов. 1. Через 7 часов. 2. Через неделю. 3. Через 2 года 3 месяца и 8 дней. Правильный ответ: 2. Корабль движется с постоянной мощностью M, создаваемой солнечным парусом, – M = 1000 м² × 100 Вт/м² = 105 Вт. Мощность – это скорость изменения энергии корабля, а его энергия – это mv²/2. С учетом того, что мощность постоянна, получаем mv²/2 = Mt (считаем, что в момент поломки двигателя скорость корабля равнялась нулю). Выражая отсюда время, выводим t = mv²/2M. Подставляя значения массы, скорости и мощности, нетрудно получить время: 1000 кг × (11,2 × 10³ м/с)²/2 × 10⁵ Вт ~ 627 200 секунд, или 174 часа, или семь с хвостиком дней. Неплохо для скромного паруса 30 × 30 м, а если б он был 100 × 100 – в сутки бы уложились! 123. Определить фальшивку. Когда Архимеду приносили золото, он быстро выявлял, фальшивое оно или настоящее. Действовал он просто: фальшивое золото представляло собой сплав золота с медью, значит, плотность его была меньше плотности чистого золота (медь же легче золота). Архимед взвешивал драгметалл, потом измерял его объем (в ванной, по известному архимедовскому методу) – и быстро исчислял плотность. А вот если б ему поднесли сплав золота, меди и урана (по плотности равный золоту – этого несложно добиться, учитывая, что уран тяжелее золота) – справился бы он? Варианты ответов. 1. Еще б, это ж Архимед! Что-нибудь да придумал бы. 2. Обработав сплав кислотой, выделил бы золото и убедился, что это фальшивка. 3. Нет. Правильный ответ: 3. Сложно утверждать доподлинно, мало ли чего Архимед бы там выдумал, но, скорее всего, он бы обманулся. Дело в том, что самый простой способ убедиться, что этот сплав не золото, – это измерить излучаемую им радиацию. Все природные изотопы золота стабильны, а все изотопы урана – радиоактивны, излучает – значит, не золото. Но во времена Архимеда не то что методы измерения радиации, само понятие это было неизвестно (правда, уже начинали догадываться об атомах – но были в самом начале пути). Так что пришелец из нашего времени, наподобие марк-твеновского янки из Коннектикута, вполне бы смог надуть старика. 124. Очень одинокая волна. Волны на воде имеют разную скорость: чем она длиннее (чем больше расстояние между пиками волн), тем больше ее скорость. Поэтому волне очень трудно сохранить свою форму: длинные волны догоняют короткие, они складываются, образуется крутой фронт – и падают под своей тяжестью. Как же тогда объяснить солитоны – волны с одним горбом, распространяющиеся без изменения формы? Варианты ответов. 1. Длина волны у солитона одна, значит, скорость распространения всех его кусочков одинакова – вот он и не меняется. 2. Учтем все факторы: подводные и наводные течения, ветер, рельеф дна – и тогда получим, что существование солитонов возможно. 3. Нелинейщина: скорость волны зависит не только от ее длины, но и от амплитуды, при определенном подборе амплитуд и длин разных волн можно добиться, чтобы у них была одинаковая скорость. Правильный ответ: 3. Действительно, если бы скорость волны зависела только от ее длины, солитоны были бы немыслимы: представляя собой совокупность волн с разной длиной волны, они бы быстро распадались – все волны двигались бы с разной скоростью и тем самым не могли бы двигаться как целое. Но волны в воде нелинейны, и скорость их движения зависит не только от длины волны, но и от амплитуды: можно взять две волны, отличающиеся по амплитуде и по длине, у которых будет тем не менее одинаковая скорость. Вот почему солитоны все-таки существуют. 125. Серая шейка. «Всего опаснее были ясные, звездные ночи, когда все затихало и на реке не было волн. Река точно засыпала, и холод старался сковать ее льдом сонную. Так и случилось. Была тихая-тихая звездная ночь. ‹…› Бурлившая днем горная река присмирела, и к ней тихо-тихо подкрался холод, крепко-крепко обнял гордую, непокорную красавицу и точно прикрыл ее зеркальным стеклом. Серая Шейка была в отчаянии, потому что не замерзла только самая середина реки, где образовалась широкая полынья» (Д. Н. Мамин-Сибиряк. «Серая Шейка»). Почему водоемы застывают в тихую погоду? Варианты ответов. 1. Сочиняет Мамин-Сибиряк, в любую погоду – лишь бы было похолоднее. 2. Вода в реке – переохлажденная жидкость. Чтобы она кристаллизовалась, наоборот, нужно ее встряхивать поэнергичнее. 3. Температура воды выше точки замерзания, перемешивание заставит растаять образующийся лед. Правильный ответ: 3. Известно, что крупные водоемы редко промерзают до дна. О чем это говорит? О том, что они хранят изрядный запас тепла, а еще подпитываются теплом от Земли. При прочих равных, если перемешивать воду в водоеме, лед образоваться не сможет – она всегда будет теплее, чем нужно для замерзания. Это как если постоянно помешивать кипящее молоко, в нем никогда не образуется пенка. 126. Задача о поездах. [22]. Что удерживает поезд на рельсах? Варианты ответов. 1. Специальная форма колес на колесной паре. 2. Специальный выступ на колесе, не позволяющий поезду соскользнуть с железнодорожного полотна. 3. Всему причиной – идеально отшлифованные и подогнанные поверхности рельсов и колес, атомы которых расположены так близко друг к другу, что начинают эффективно притягиваться – в результате поезд как бы прилипает к рельсам. Правильный ответ: 1. Вспомним о том, что колесная пара связана жесткой осью без всякого дифференциала, а само колесо имеет слегка коническую форму. При отклонении от положения равновесия (середина ж/д полотна) одно колесо вращается по бóльшему радиусу, т. е. проходит больший путь, чем второе, – в результате вагон слегка поворачивает и возвращается назад к середине полотна. А выступы, как замечает Р. Фейнман, – они только для безопасности, чтобы не дать поезду сойти с рельсов при слишком больших отклонениях от равновесия. 127. Загадка красноярской ГЭС. После постройки Красноярской гидроэлектростанции Енисей перестал замерзать – от плотины ниже по течению даже в самые лютые зимы тянется полынья длиной в десятки, а порой и сотни километров. В чем тут дело, почему даже в лютые –35 °C реку не сковывает льдом? Варианты ответов. 1. Плотина Красноярской ГЭС чрезвычайно высокая – 124 м. Падая с такой высоты, вода набирает огромную кинетическую энергию, которая после переходит в тепловую (после удара воды о реку). 2. Вода для вращения турбин берется из глубины Красноярского водохранилища, где она имеет плюсовую температуру. 3. В целях недопущения обледенения оборудования часть вырабатываемой энергии идет на подогрев воды и ключевых агрегатов. Правильный ответ: 2. Было бы очень красиво, если бы правильным был первый ответ. Давайте посчитаем, насколько может нагреться вода при падении с плотины. Пусть вся энергия 1 кг падающей воды переходит в тепловую – эта энергия равна 1 × gh (h = 124 м, g = 10 м/с² – ускорение свободного падения), а формула для тепловой энергии E_T = 1 × c∆T (c = 4200 Дж/кг × градус – удельная теплоемкость воды, ∆T – изменение температуры). Приравнивая эти энергии, получим ∆T = gh/c = 1240/4200 ≈ 0,3 °C. То есть она все-таки нагревается! Но, конечно, нагрев этот слишком незначительный по сравнению с температурой воды в водосбросе – там все-таки есть несколько градусов. Именно за счет этих нескольких градусов в гигантском объеме перетекающей воды Енисей не замерзает зимой и, напротив, никогда не прогревается летом (вода-то по-прежнему берется с глубин водохранилища!), даже в жару вода в реке не теплее +12 °C, и купаются в ней только «моржи». 128. Хитроумные фашисты. Во время Второй мировой немцы использовали мину Topfmine («мина-горшок»), которая не имела металлических деталей, при установке присыпалась песком и маскировалась. Обычным миноискателем такую мину не обнаружить, но у немцев было специальное устройство Stuttgart 43, с помощью которого отыскать мину не составляло труда. Как это устройство работало? Варианты ответов. 1. Местоположение мин обнаруживалось благодаря радиоактивному излучению. 2. Устанавливая мины, немцы фиксировали их положение на карте, а Stuttgart 43 работал как точный прибор-навигатор, позволяющий быстро восстановить местоположение мин с использованием таких карт. 3. Stuttgart 43 и Topfmine были связаны каким-то кодовым сигналом, наподобие автосигнализации: мина – машина, миноискатель – брелок. Нажимаешь кнопку на брелке – мина откликается. Правильный ответ: 1. Все дело в песке, которым присыпали мину: это был монацит, природный фосфат редких земель, который радиоактивен из-за содержания тория. Stuttgart 43 обнаруживал ионизирующее излучение (следствие радиоактивного распада) – т. е. работал по тому же принципу, что и счетчик Гейгера. 129. Заряжающий и бодрящий распад. Альфа-распад ядра сопровождается вылетом положительно заряженной α-частицы, бета-распад – вылетом отрицательно заряженного электрона (β-частицы). Но при этом вне зависимости от типа распада радиоактивное тело заряжается положительно, хотя казалось бы… Как разъяснить этот парадокс? Варианты ответов. 1. Радиоактивное вещество – это всегда проводник, за счет создаваемой при распаде разности потенциалов он с необходимостью заряжается положительно. 2. Тяжелая и быстрая α-частица увлекает за собой (по сути выбивает) множество электронов. 3. Альфа-распад всегда сопровождается другими радиоактивными процессами, которые влияют на заряд вещества противоположным образом. Правильный ответ: 2. С бета-распадом все понятно: β-частица – это обычный электрон, обладающий элементарным (минимально возможным – меньше не бывает) отрицательным зарядом. Улетели отрицательно заряженные электроны – соответственно, тело зарядилось положительно (изначально-то оно было нейтральным – т. е. количество отрицательных и положительных зарядов совпадало). А с альфа-распадом посложнее будет: α-частица – это положительно заряженное (два элементарных заряда) ядро атома гелия. Казалось бы, улетели «плюсики» – значит, должен остаться «минус». Но есть нюанс: ядро гелия в тысячи раз тяжелее электрона, вылетая, оно увлекает их за собой десятками – так что в итоге тело заряжается положительно, даже эффективнее, чем при бета-распаде. 130. Заряжающее кипячение. Может ли вода заряжаться при кипении? Варианты ответов. 1. С чего вдруг? Конечно нет! 2. В стальной кастрюле вряд ли, а в эмалированной – может. 3. В электрочайнике заряжается от электросети (220 В). Правильный ответ: 2. Вода всегда находится в частично диссоциированной форме – т. е. помимо молекул воды в ней содержатся ионы H⁺ и HO⁻. Скорости испарения у них разные, легкие ионы H⁺ испаряются быстрее – как следствие, кипящая вода приобретает небольшой отрицательный заряд. При условии, конечно, что кипит в диэлектрической посуде – если сосуд проводящий, то заряд «стечет» на землю. 131. Мягкая сила. Не самый сильный человек при помощи системы блоков хочет поднять груз весом 2,5 т. При этом, трезво оценивая свои силы, он хотел бы приложить усилие в количестве не более 20 кг – больше ему не выдержать. Какое минимальное число блоков ему потребуется? Варианты ответов. 1. 8. 2. 32. 3. 125. Правильный ответ: 1. Применение блоков, как известно, позволяет с меньшими усилиями поднимать большие грузы. Насколько меньшими? Давайте посчитаем. Берем самую простую систему – двухблочную (см. рисунок – представьте, что там только два блока, неподвижный, прибитый к балке и свободный второй). Сдвинем веревку на l, насколько поднимется груз? Очевидно, на l/2. Работа по подъему груза есть F₁ l = F₂ l/2 (последнее равенство – просто одна из форм записи закона сохранения энергии; здесь F₁ – сила, которую прикладывает человек, F₂ – сила, с которой притягивается к земле груз, т. е. попросту вес груза). Сократив обе стороны равенства на l, получим F₁ = F₂/2. Рассмотрим теперь систему из трех блоков. Рассуждая аналогичным образом, выводим F₁ = F₂/4 и, обобщая на случай n блоков, – F₁ = F₂/2ⁿ⁻¹. Или, переписав эту формулу, 2ⁿ⁻¹ = F₂/F₁ = 2500/20 = 125. Вспоминая, что 128 = 2⁷, а 125 – это почти 128, находим n – 1 = 7, n = 8 – восьми блоков будет достаточно, чтобы поднять груз массой 2,5 т, приложив усилие в 20 кг (и даже немножечко меньшее). 132. Загадка водопроводчика. – Але, граждане! У нас авария на подстанции, давления не будет до вечера! – буркнул водопроводчик и повесил трубку. Дело было в многоквартирном 10-этажном доме, зимой, при ощутимом морозе. Если на нижних этажах еще была вода, то начиная с пятого из открытых кранов уже ничего не текло. Жители перепугались, что сейчас у них все вымерзнет, батареи от холода лопнут, – в общем, стали готовиться к глобальной катастрофе. Однако ничего такого не случилось, батареи грели, как и прежде, вплоть до самого вечера, когда с аварией справились. Как такое возможно? Варианты ответов. 1. В замкнутом контуре отопления движение воды возможно и при низком давлении, а вот по водопроводу воду без давления не поднять. 2. Авария касалась только водопровода, система отопления не была с ним связана. 3. Батареям хватило до вечера утреннего запаса тепла. Правильный ответ: 1. Нет, конечно, можно предположить, что системы водо– и теплоснабжения в этом доме независимы, но в подавляющем большинстве случаев это не так, почти всегда это одна и та же система, так что будем из этого исходить. Почему не текла вода из кранов верхних этажей? Известно, что давление воды падает на 1 атм при повышении уровня на 10 м. Пятый этаж – это где-то метров 20, т. е. давление в трубе было где-то на уровне 2 атм – его еще хватало поднять воду до четвертого, но выше уже никак. Это потому, что водопроводный контур – открытый: поднимаем воду до уровня крана, из которого она вытекает свободно. Иное дело – контур тепловой: он замкнутый. Подняв столб воды на высоту h, мы одновременно такой же столб воды с такой же высоты спустили – т. е. здесь работы почти не совершается, баланс энергии практически нулевой. Соответственно, движение воды по такому контуру возможно даже при очень небольшом давлении. Схожий эффект многие могли наблюдать при сливании бензина из бензобака через трубочку: главное – запустить ток жидкости (говорят «отсосать бензин») и держать выпускное отверстие ниже уровня топлива в баке, и тогда оно может вытечь хоть все, притом что сначала ему нужно подняться по трубке на ощутимую высоту. 133. Меткий выстрел. Артиллерийский расчет после долгих вычислений и пристреливаний производит залп по намеченной цели, в которую на сей раз они – уж будьте покойны, ваше благородие! – совершенно точно попадут. Расстояние до цели L, снаряд стартует под углом 45° к поверхности земли – «Готовьсь. Цельсь. Пли!». Но вот же незадача: в самой верхней точке своей траектории снаряд разрывается ровно надвое, причем одна половина стремительно, строго вертикально идет к земле, а вторая продолжает полет в том же направлении, что и раньше, т. е. параллельно поверхности земли. Удастся ли этой второй, более удачливой половине поразить цель и куда вообще она упадет? Варианты ответов. 1. Нетрудно посчитать, что она перелетит цель и упадет на расстоянии 3/2 L от орудия. 2. А у задачи вообще есть решение? 3. Поскольку импульс снаряда после разделения на две части не поменялся, то не изменится и траектория – упадет туда, куда и было задумано. Правильный ответ: 2. Формально, решение элементарно: импульс снаряда перед разрывом и после один и тот же (обозначим его p0), при этом речь о наивысшей точке – т. е. направление импульса в этот момент параллельно поверхности земли. Одна половинка полетела строго вниз, значит, импульса вдоль поверхности земли у нее вообще нет – по закону сохранения импульса он весь остался на второй половинке, полетевшей горизонтально. Импульс у нее p0, масса вдвое меньше первоначальной – соответственно, скорость вдвое выше, чем была. Время спуска у нее такое же, как у неразорвавшегося снаряда (определяется предельной высотой и ускорением свободного падения g, – получается, пролетит она вдвое дальше. То есть в составе снаряда пролетела L/2, а отдельно пролетит еще 2 × L/2 – всего, выходит, 3/2L. Но обратите внимание на условие: «одна половина стремительно, строго вертикально идет к земле» – следовательно, у первой половины снаряда появляется вертикальная компонента импульса. А у второй – нет (продолжает лететь параллельно земле). Притом что до разрыва они летели вровень с землей, значит, если одна помчалась вниз, другая с неизбежностью должна подскочить вверх – иначе никакой закон сохранения импульса не выполняется. В результате имеем некорректно поставленную задачу, без решения.