Падуанская механика.

Сегодня каждый исследователь знает: нельзя ожидать, что результаты эксперимента точно подтвердят любое количественное предсказание. Статистические и систематические погрешности (спектр значений, вероятно включающий реальное значение) закрадываются в любое измерение, из-за чего иногда трудно даже с первого взгляда определить существующие паттерны. Эта установка противоречит ориентации древних греков на предельную точность утверждений. Живя в период, когда были невозможны точные измерения времени, Галилей на начальном этапе изучения движения столкнулся с серьезными трудностями. Кроме того, его исследования часто прерывались, поскольку примерно с 1603 г. он испытывал боли из-за ревматоидного артрита, иногда настолько сильные, что был прикован к кровати. Изнуряющие проблемы со здоровьем преследовали Галилея, по словам его сына, “около сорока лет жизни вплоть до кончины”.

Тем не менее с 1603 по 1609 г.[55] Галилей разработал ряд оригинальных методов изучения движения; к работам тех лет восходят и некоторые его революционные открытия в механике[56]. Намного позже, в “Беседах”, Галилей описал как проблемы, с которыми столкнулся при рассмотрении и анализе свободного падения тел, так и свои блестящие решения. В частности, ему пришлось преодолеть казавшуюся неразрешимой экспериментальную трудность: необходимо было установить, одинаковы или различны скорости предметов разного веса, находящихся в состоянии свободного падения в относительно краткие промежутки времени. Галилей писал:

При малой высоте [с которой сбрасываются различные тела] могут возникать сомнения, отсутствует ли разница вообще [в скорости тел или точного времени их удара о землю], или разница существует, но является ненаблюдаемой. Поэтому я счел нужным обдумать, каким образом многократно повторить падение с малых высот и собрать множество данных о ничтожно малых различиях во времени, возможно имеющихся между достижением подножия тяжелым телом и легким, чтобы, собранные воедино подобным образом, они составили бы время, не просто наблюдаемое, но легко наблюдаемое[57].

Это была поразительная догадка. В эпоху, предшествовавшую формулировке статистических методов, Галилей понял, что если один и тот же эксперимент повторяется много раз, то можно выделить результаты и достоверно продемонстрировать даже мелкие различия. Однако гениальному замыслу этих экспериментов еще предстояло появиться. Галилей искал способ замедлить свободное падение, или “ослабить” гравитацию, чтобы падение длилось дольше и стало проще для измерения, обеспечив достоверность наблюдаемых различий. Затем его озарило: “Я также подумал о том, чтобы спускать движущиеся [предметы] по наклонной плоскости, слегка приподнятой над уровнем горизонта. На ней, не менее чем на вертикали, можно наблюдать, что происходит с телами разного веса”. Иными словами, свободное падение шара можно считать предельным случаем качения шара вниз по наклонной плоскости, если плоскость вертикальна. Как показывают расчеты Галилея, пуская тела скользить (и катиться) по плоскости, наклоненной под углом всего в 1,7°, он сумел существенно замедлить движение, настолько, что можно было делать надежные измерения.

С точки зрения его метода получения нового знания имеется один интересный момент, который нам следует осознать применительно к экспериментам Галилея в механике: его исследования направлялись по большей части теорией или рассуждением, а не чем-либо иным. По собственным словам ученого в трактате “О движении”, необходимо “всякий раз прибегать к рассуждению, а не к примерам (поскольку мы ищем причины следствий, а причины не даются нам посредством опыта)”. Примерно 350 лет спустя великий астрофизик-теоретик Артур Эддингтон выразит ту же мысль: “Очевидно, утверждение не может быть проверено наблюдением, если не является предположением о результатах наблюдения. Таким образом, каждая крупица знания в физике должна являться предположением о том, что стало или явилось бы результатом выполнения определенной процедуры наблюдения”[58].

В то же время в астрономических открытиях Галилея главную роль играли наблюдения. Иногда науки развиваются благодаря результатам экспериментов, предшествующих теоретическим объяснениям, а иногда за счет того, что теории дают предсказания, позднее подтверждаемые (или отвергаемые) путем эксперимента или наблюдения. Например, с 1859 г. было известно, что орбита Меркурия не вполне отвечает предсказанию, сделанному на основе теории тяготения Ньютона. Теория общей относительности Эйнштейна, опубликованная в 1915 г., объяснила аномалию. В то же время общая теория относительности предсказала, что путь света дальних звезд должен искривляться или отклоняться от Солнца под определенным углом. Это предсказание было впервые подтверждено наблюдениями, сделанными во время полного солнечного затмения в 1919 г., и повторно подтверждено многочисленными последующими наблюдениями. Кстати, Артур Эддингтон возглавлял одну из команд наблюдателей в 1919 г.

Сегодняшние исследования изменения климата[59] продвигаются аналогичными шагами. Сначала имелось наблюдаемое на протяжении столетия увеличение средней температуры в климатической системе Земли. За этим последовали исследования, призванные выявить основные причины этого изменения, приведшие к построению подробных климатических моделей, на основании которых сейчас делаются предсказания ожидаемых последствий в ХХI в.

Галилей был по-человечески счастлив в Падуе, однако этот период его жизни ознаменовался отчаянной нуждой. Две его сестры, Вирджиния и Ливия, вышли замуж, соответственно в 1591 и 1601 гг., и обязанность дать им приданое легла на Галилея. Более того, муж Вирджинии угрожал ему арестом за невыплату оговоренной суммы. Брат Галилео, Микеланджело, также подписал этот брачный контракт, но заплатить по нему не смог, хотя к тому времени ему, профессиональному музыканту, удалось получить два неплохих места работы. Одно из них нашлось в Польше, и расходы на эту поездку также оплатил Галилео, другое – в Баварии. В довершение бед в Баварии Микеланджело женился на Анне-Кьяре Бандинелли и потратил все свои деньги на великолепное свадебное пиршество. Соответственно, несмотря на то что жалованье Галилея в Падуе увеличилось к 1609 г. от начальных 180 до 1000 скудо в год, он постоянно вынужден был заниматься частным преподаванием, сдавать дюжине студентов комнаты в своем доме и продавать инструменты, которые изготавливал в своей мастерской, чтобы совсем не увязнуть в долгах. Время от времени он составлял гороскопы для студентов и аристократов[60], и это был еще один источник столь необходимого дохода.

Не стоит удивляться тому факту, что Галилей занимался астрологией. Одной из традиционных задач математиков того времени было составление астрологических карт. Кроме того, они должны были учить студентов-медиков использовать гороскопы для назначения подходящего лечения. Сохранилось более двух десятков астрологических карт, начерченных Галилеем, в том числе составленные на дату собственного рождения, а также для его дочерей Вирджинии и Ливии. Однако из письма Асканио Пикколомини, в доме которого Галилео прожил первые шесть месяцев своего домашнего ареста в 1633 г., мы знаем, что к тому времени ученый считал астрологию никчемной и высмеивал ее “как профессию, опирающуюся на самые неопределенные, если не ложные, основания”.

Близость Падуи к Венеции позволила Галилею завести новые дружеские связи и союзы с тамошними интеллектуалами и другими влиятельными фигурами. Особенно выделялся Джанфранческо Сагредо[61], владелец дворца на венецианском Большом канале, ставший для Галилея почти братом и позднее увековеченный в его “Диалоге” в роле умного и интересующегося дилетанта. Очевидно, это было точное описание, поскольку в одном из своих писем Сагредо дал следующую оценку собственных качеств: “Если я иногда и рассуждаю о науке, то не притязаю состязаться с профессорами, тем более критиковать их, но для того лишь, чтобы освежить свой ум свободным, без каких-либо обязательств или приверженностей, поиском истины любого предположения, заинтересовавшего меня”[62]. Еще одним другом и доверенным советчиком стал Паоло Сарпи, являвшийся не только прелатом, историком и теологом, но ученым и превосходным математиком[63], питавшим огромный интерес к самым разным темам, от астрономии до анатомии. Позднее Галилей восхищенно отметит: “Никто в Европе не превосходит его [Сарпи] знанием [математических] наук”.

В 1608 г. Сарпи, сам великолепно знавший оптику и процессы зрительного восприятия[64], предоставил Галилею первую надежную информацию об изобретении телескопа, после того как слухи о голландском приборе распространились по Европе. Даже энциклопедически образованный человек, драматург Джамбаттиста делла Порта, подтвердил, что “не встречал человека более ученого”, чем Сарпи. Подобного рода хвалы прежде удостаивались лишь такие люди, как Леонардо да Винчи, о котором король Франции Франциск I сказал, что “не верил, что когда-либо рождался человек, знавший столько, сколько Леонардо”.

В Венеции для Галилея имелся еще один важный центр притяжения. Ее знаменитый Арсенал – комплекс оружейных мастерских и верфей – был наполнен инструментами, к которым он проявлял огромный интерес. Говорили, что в период расцвета тысячи человек, работавшие в арсенале, могли построить корабль за день. Не приходится поэтому удивляться, что Галилей начал свою книгу о двух новых науках словами: “Мне кажется, что частые посещения вашего знаменитого венецианского Арсенала открыли обширное поле философствования для созерцательных умов, особенно в отношении сферы, где требуется механика. Ведь всевозможные инструменты и машины постоянно используются здесь большим числом мастеров-ремесленников”. Тот факт, что пространство Арсенала сегодня используется для Венецианской биеннале, служит символическим напоминанием о связи изобразительного искусства и науки в ренессансной Италии.

Бурная научная и инженерная деятельность в Венецианском арсенале вдохновила Галилея на устройство собственной мастерской, для постоянной работы в которой он нанял мастера по изготовлению приборов – Марка Антонио Маццолени, жившего со своей семьей в доме Галилео. Мастерская (в определенном смысле аналог современного стартапа в реалиях ХVII в.) служила Галилею как для собственных экспериментальных исследований, так и в качестве источника дохода, поскольку там проводились всевозможные измерения и изыскания, разрабатывались математические приемы, в том числе для военного применения. В частности, один такой инструмент, геометрический и военный компас[65], являлся своего рода калькулятором для быстрого вычисления таких полезных количественных характеристик поля битвы, как расстояние до цели и ее высота. Галилей даже издал маленькую книжку на итальянском языке (было распространено всего 60 экземпляров, чтобы ограничить неправомочный доступ) с демонстрацией и описанием действия этого калькулятора. Другой ученый, Бальдессар Капра, позднее опубликовал книгу о том же приборе, но на латыни, с ложным утверждением, будто изобрел его, тогда как в действительности учился им пользоваться у Галилея! Реакция Галилея была быстрой и жесткой. Он собрал свидетельские показания ряда людей, которым демонстрировал инструмент несколькими годами ранее, и объявил Капру в плагиате. Выиграв дело, разбиравшееся руководством университета, он обрушился на противника со злобной статьей, озаглавленной “Защита против клеветы и мошенничества Бальдессара Капры”.

Что вызвало столь яростную реакцию Галилея? Не приходится сомневаться, что из-за финансовых трудностей он был склонен отчаянно защищаться от любого посягательства, способного подмочить его репутацию и уменьшить шансы на получение более высокого дохода или лучшего места. Однако сыграл свою роль, вероятно, и определенный личностный элемент – гордость Галилея, обусловившая его несколько чрезмерную реакцию на поступок Капры. В октябре 1604 г., когда на небе появилась новая звезда, Капра публично торжествовал, что увидел ее на пять дней раньше Галилея. По всей видимости, это задело его за живое.

Галилей нашел в Венеции не только сугубо интеллектуальные и художественные стимулы. С подачи своего друга Сагредо он познакомился с соблазнами венецианской ночной жизни, прежде всего дорогим вином и женщинами, и завел любовную связь с Мариной ди Андреа Гамба, впоследствии переехавшей в Падую. Они так и не заключили брак, но прожили вместе больше десяти лет, у них родились две дочери, Вирджиния (в дальнейшем сестра Мария Челесте) и Ливия (в дальнейшем сестра Арканджела), и сын Винченцо. Можно предположить, что нежелание Галилея вступать в законный брак было продиктовано тем, что в его родной семье держались невысокого мнения о браках, а также разным социальным положением его и сожительницы. Возможно, впрочем, что он отказался от официального оформления собственных отношений, чтобы иметь возможность материально поддерживать сестер. По крайней мере, так считал его брат Микеланджело.

Что касается научной работы, самые впечатляющие результаты, достигнутые в течение 18 лет в Падуе, явились следствием экспериментов Галилея с наклонными плоскостями. Хотя эти результаты были опубликованы лишь в 1630-х гг., основная часть экспериментальной работы была выполнена в период с 1602 по 1609 г. 16 октября 1604 г. Галилей написал своему другу Паоло Сарпи письмо, в котором сообщил об открытии первого математического закона движения – закона свободного падения:

Вновь размышляя о вопросах движения, я обратился к предположению и, приняв его, доказывал затем все остальное, а именно: что отношение между пройденными в естественном движении [свободном падении] путями такое же, как квадрат отношения между временами [выделено в оригинале], и, следовательно, пути, проходимые в равные времена, относятся друг к другу как нечетные числа, начиная с единицы. Принцип этот таков: скорость естественно движущегося [тела] возрастает пропорционально возрастанию расстояния тела от начала его движения[66].

В первой части этого утверждения излагается открытый Галилеем закон: расстояние, пройденное свободно падающим телом, пропорционально квадрату времени падения. А именно: тело, свободно падающее две секунды (из состояния покоя), проходит расстояние в четыре раза большее (два в квадрате), чем тело, находящееся в свободном падении одну секунду. За три секунды свободно падающее тело проходит расстояние, в девять раз (три в квадрате) превышающее расстояние, пройденное телом, падавшим одну секунду, и т. д. Второе утверждение из письма Галилея непосредственно следует из первого. Обозначим расстояние, пройденное за первую секунду падения, “1 Галилей”; тогда расстояние, пройденное за следующую одну секунду, будет равно разности между 4 Галилеями (расстояние за две секунды) и 1 Галилеем (расстояние за первую секунду), т. е. 3 Галилея. Аналогично расстояние, которое тело преодолеет в падении за третью секунду, составит 9 Галилеев минус 4 Галилея, или 5 Галилеев. Соответственно, расстояния, преодолеваемые за периоды, следующие за одной секундой, составят последовательность нечетных чисел: 1, 3, 5, 7… Галилеев.

Последнее утверждение из письма Галилея к Сарпи на самом деле неверно. В 1604 г. Галилей продолжал считать, что скорость тела в состоянии свободного падения увеличивается пропорционально расстоянию от точки, из которой свободное падение началось. Лишь намного позже он понял, что при свободном падении скорость возрастает прямо пропорционально времени падения, а не расстоянию. А именно: скорость объекта, свободно падающего в течение пяти секунд, в пять раз больше скорости другого, падавшего только одну секунду. Следовательно, в своем позднейшем трактате о двух новых отраслях науки он выдвигает верное предположение: “Движением с равномерным ускорением я называю движение, при котором, начав с состояния покоя, равные добавления скорости достигаются в равные промежутки времени”.

Важность этих открытий для истории науки невозможно переоценить. В аристотелевской физике присутствовали элементы (например, земля и вода), “естественным движением” которых считалось нисходящее, а также теория Аристотеля включала элементы (скажем, огонь) с “естественным движением”, направленным вверх, и воздух, естественное движение которого зависит от его местоположения или окружения. Для Галилея единственным видом естественного движения на Земле было нисходящее (а именно направленное к центру Земли), применимое ко всем телам. Сущности, кажущиеся при наблюдении воспаряющими (такие, как пузырьки воздуха в воде), ведут себя так, потому что на них действует выталкивающая сила со стороны среды с более высокой плотностью, согласно законам гидродинамики, впервые сформулированным Архимедом. В этих идеях можно распознать некоторые элементы теории тяготения Ньютона. У Галилея не было ответа на вопрос, почему тела в принципе падают. Этот ответ дал Ньютон. Галилей сосредоточился на открытии “закона”, или того, что он считал сущностью свободного падения, вместо попыток объяснить его причину.

Идеи Галилея принципиально отличались от идей Аристотеля еще в одном аспекте. Теория движения древнегреческого философа никогда не подвергалась серьезной экспериментальной проверке отчасти из-за его (и Платона) убеждения, что правильный способ открытия истин о природе состоит в том, чтобы размышлять над ними, а не ставить эксперименты. Для Аристотеля единственным возможным способом понимания явления было установить его назначение. Галилей, напротив, использовал продуманное сочетание экспериментирования и логического мышления. Он рано понял, что прогресс часто достигается посредством правильных решений относительно того, какие вопросы следует задать, а также путем изучения искусственных условий (как в случае шаров, скатывающихся по наклонным плоскостям) вместо изучения исключительно естественного движения. Это в полном смысле знаменует собой рождение современной экспериментальной физики.

В новой теории движения Галилея особо выделяются два революционных элемента[67]. Во-первых, универсальность закона, применимого ко всем телам, движущимся с ускорением. Во-вторых, расширение формулировки математических законов с описания лишь статических конфигураций, не предполагающих движение, как в Архимедовом законе рычага, до движения и динамических ситуаций.