XIV ПРОСТРАНСТВО, ВРЕМЯ И ЧИСЛО.

Это было спокойное время. Гёттинген казался полузабытым царством прошлого. Государство Ганновер, частью которого он был, было разбито и аннексировано Пруссией в 1866 году; однако сорок лет спустя остатки ганноверской аристократии продолжали упорно сопротивляться господству победителя. Герб страны, взятой под свою опеку Георгом II, всё ещё держался на германском университете так же твёрдо, как и гортанный акцент в английском языке её бывшего повелителя. Дома, выстроившиеся по Принценштрассе, принадлежали герцогам и князьям ганноверским, правда, их титулы были большей частью английского, а не немецкого происхождения. Научное общество Гёттингена официально именовалось на английский манер как «die Konigliche Gesellschaft der Wissenschaften» — Королевское научное общество. Британский военный министр постоянно проводил свои летние месяцы в Гёттингене. Молодым людям, съехавшимся сюда со всех концов земли из-за своей любви к математике, казалось, что у них «всё ещё впереди». Эту точку зрения не всегда разделяли их старшие коллеги.

В 1908 году Гильберт и Минковский отметили четверть века своей дружбы. Гильберту было 46 лет, Минковскому 44.

В это юбилейное лето замечательное здоровье и естественный оптимизм Гильберта на время покинули его. Он стал очень нервным и подавленным.

По-видимому, этот упадок сил не был вызван каким-нибудь особенным обстоятельством. Некоторые, например Блюменталь, рассматривали это как следствие его безрассудного физического и умственного напряжения последних нескольких лет. Другие считали это обычным явлением для творческого работника.

«Почти каждый великий учёный, которого я знал, был подвержен таким глубоким депрессиям, — говорил Курант. — Безусловно, это было у Клейна, но также и у многих других. В жизни любой творческой личности бывают такие периоды, когда кажется, а бывает, что так и есть на самом деле, что ты теряешь свои способности. Это действует подобно шоку».

Во всяком случае, Гильберт подошёл к своей болезни с большой рассудительностью, решив сделать всё необходимое для того, чтобы выздороветь. Отдохнув несколько месяцев в санатории в горной местности Гарц, он снова, как обычно, начал с осени читать лекции.

В отличие от Гильберта, летом 1908 года Минковский был на вершине своей творческой активности. В сентябре он представил некоторые из своих новых результатов по электродинамике на ежегодном собрании Общества германских учёных и врачей в Кёльне. Названием его доклада было «Пространство и время».

«Воззрения на пространство и время, которые я хочу изложить перед вами, — начал он своим тихим, колеблющимся голосом, — возникли на экспериментально-физической основе, и в этом их сила. Их тенденция радикальна. Отныне пространство само по себе и время само по себе обречены на превращение в фикции, и лишь некое единение обоих сохранит объективную реальность».

Он часто говорил своим студентам в Гёттингене: «Эйнштейн излагает свою глубокую теорию с математической точки зрения неуклюже — я имею право так говорить, поскольку своё математическое образование он получил в Цюрихе у меня».

В своей специальной теории относительности Эйнштейн показал, что описание механических явлений с помощью часов и эталонов мер зависит от движения лаборатории, в которой производятся измерения. При этом он установил математические соотношения, связывающие различные описания одного и того же физического явления.

Доклад Минковского в Кёльне явился «великим моментом геометризации». За несколько минут Минковский внёс в теорию относительности свою собственную, простую и красивую математическую идею о пространстве-времени, дающую очень прозрачное математическое представление различных описаний заданного явления.

«Трёхмерная геометрия становится главной в четырёхмерной физике».

«Теперь вы знаете, — сказал он своим слушателям, — почему я заявил вначале, что пространство и время должны обратиться в фикции, уступив своё место единому миру».

Среди слушателей был Макс Борн, который снова начал проявлять интерес к теории относительности из-за недавних работ Эйнштейна. Минковскйй уговаривал Борна вернуться в Гёттинген и стать его сотрудником. Ему нужен был специалист со знанием оптики, как у Борна. Однако сначала он хотел, чтобы его бывший ученик более близко познакомился с его собственными новыми идеями в этой области. Он отослал Борна обратно в Бреслау, снабдив его своей последней работой по электродинамике.

В работе Минковского этот молодой человек нашёл уже готовым «весь математический арсенал теории относительности... в том виде, в каком с того времени его повседневно использует каждый физик-теоретик». Только к началу декабря он счёл возможным для себя вернуться в Гёттинген.

«Затем последовали несколько недель, в течение которых я видел Минковского и беседовал с ним каждый день. Это было счастливое время, полное научной активности, а также богатое опытом личного характера, началом истинной дружбы, насколько разница в возрасте и опыте позволяет употребить это слово».

Закончив обсуждение проблем теории относительности, они перешли к теории чисел. «Для Минковского, как и для Гильберта, теория чисел была самым удивительным созданием человеческого разума и духа, равным образом наука и величайшее из искусств».

Именно в это время, когда Минковский покинул теорию чисел ради электродинамики, Гильберт, оправившись после своего летнего упадка сил, увлёкся одной знаменитой проблемой в классической теории чисел. В 1770 году Эдвард Варинг, ничем другим особенно не прославившийся английский математик, утверждал, по-видимому, без всяких доказательств, что каждое целое число может быть представлено в виде суммы четырёх квадратов, девяти кубов, девятнадцати четвёртых степеней и так далее — в общем случае конечным числом любых n-х степеней. Приблизительно в это время в связи с другой теоремой было доказано, что каждое целое число представимо в виде суммы четырёх квадратов. Однако это не доказывало, что Варинг, оказавшись правым в случае квадратов, был прав и в других случаях. Не ясно даже было, что каждое целое число могло быть представлено некоторым конечным числом кубов, четвёртых степеней и так далее. Количество некоторых таких степеней, больших 2, могло неограниченно возрастать с ростом самих чисел. С 1770 года прогресс в направлении доказательства этого утверждения Варинга был незначительным. В последнее же время математики начали проявлять новый интерес к этой проблеме, надеясь на успешное применение к ней некоторых аналитических методов. В этом направлении работал Гурвиц, но так же, как и другие математики, пытавшиеся до него доказать теорему Варинга, он бросил свои попытки, признав поражение. Тем не менее работа Гурвица вызвала у Гильберта интерес к этой проблеме. На некоторое время он оставил свои интегральные уравнения. Гильберт начал с того места, на котором остановился Гурвиц, даже взяв за основу одно тождество, аналогичное тому, которое было установлено Гурвицем. В конце 1908 года, ровно через 138 лет после того, как Варинг впервые сформулировал свою гипотезу, Гильберт получил доказательство теоремы Варинга.

Как было типично для Гильберта, его доказательство скорее давало лишь существование, а не явную конструкцию нужного представления. Однако хотя в действительности в нём и не давалось количества необходимых n-х степеней, но, в отличие от его доказательства теоремы Гордана, в доказательстве теоремы Варинга содержался метод, позволявший, по крайней мере в принципе, получить в каждом отдельном случае оценку этого числа.

Это доказательство ни в коей мере нельзя было считать простым. На самом деле, как отмечал русский теоретико-числовик Хинчин, оно было «не только тяжеловесным в своём формальном оформлении, основанном на сложных аналитических теориях..., но также не обладало прозрачностью в идейном отношении».

Однако, учитывая длительную недоступность проблемы, это можно было считать замечательным достижением.

«Мне трудно выразить то восхищение, которое я испытывал от решения этой исторической проблемы, — писал Г. Г. Харди, когда позже вместе с Дж. И. Литлвудом они получили другое доказательство этой теоремы. — В поставленных перед собой границах оно представляло абсолютный и триумфальный успех... одну из вех в современной теории чисел».

Сам Гильберт испытывал огромную радость и гордость. «Он сражался с таким мастером высшей категории, каким был Гурвиц, — заметил Блюменталь, — и одержал победу его собственным оружием, причём в том самом месте, где Гурвиц не видел возможности успеха». Он с радостью думал о том, что сообщит этот результат в своём следующем письме к старому другу. Но прежде ему надо было изложить доказательство теоремы Варинга Минковскому и участникам их объединённого семинара, который должен был возобновиться с нового года.

Во время рождественских праздников Минковский отсутствовал в Гёттингене. Вернулся сюда он в среду 6 января. На следующий день, в четверг, четверо профессоров математики ровно в 3 часа вышли на свою еженедельную прогулку до Керотеля на Хайнберге. Несмотря на окружающие их снежные холмы и голые деревья, это была приятная прогулка. Холодный воздух был наполнен громкими радостными голосами и смехом. «С особой оживлённостью» Минковский рассказывал о своих последних результатах в электродинамике. Гильберт поразил всех сообщением о том, что на следующем занятии семинара он изложит доказательство теоремы Варинга.

В пятницу Минковский прочитал свою обычную лекцию. После этого он принимал докторский экзамен.

Затем в воскресенье днём, за обедом, он внезапно почувствовал сильный приступ аппендицита. Ночью было решено произвести трудную операцию по удалению разорвавшегося органа.

За понедельник состояние Минковского ухудшилось. Он был в сознании и вполне сознавал безнадёжность своего положения. На больничной койке он изучал корректуру одной из своих последних работ и решал, удастся ли довести ещё не оконченную часть работы до хорошего состояния.

Позже Гильберт вспоминал: «Он выражал сожаление по поводу своей судьбы, так как он ещё так много мог бы сделать; но он решил, что было бы хорошо выправить корректуру, чтобы облегчить понимание и чтение его последних работ по электродинамике». Он сказал, что, возможно, после его смерти будет легче преодолеть сопротивление его новым идеям.

«Даже на больничной койке, в ожидании смерти, он был расстроен тем обстоятельством, что не сможет присутствовать на следующем занятии семинара, на котором я должен был выступить с моим решением проблемы Варинга».

В полдень во вторник, 12 января 1909 года, Минковский выразил желание снова увидеть свою семью и Гильберта. Гильберт отправился сразу же, как только получил известие; однако, когда он добрался до больницы, Минковский уже скончался. Не достигнув сорока пяти лет, он ушёл «в полном расцвете своей жизненной энергии, в середине своего самого счастливого периода работы, на высоте своего научного творчества».

Позже, днём, Гильберт писал письмо Гурвицу. «Мой Дорогой Старый Друг, — начал он. — Теперь ты один, кого я могу так называть...».

Почерк, крупнее, чем обычно, становился всё более расплывчатым по мере продвижения этой короткой записки. Я намеревался, писал Гильберт, сообщить об «одной хорошей идее» для решения проблемы Варинга, взятой «из твоей прекрасной работы» в гёттингенских Nachrichten, «но вместо этого ты получаешь это печальное письмо». Подписался он «Твой Старый Друг». Затем, как будто чтобы убедить их обоих в том, что случилось, он повторил в постскриптуме все события в жизни Минковского за прошедшую неделю: возвращение из Берлина в среду, счастливую прогулку до Керотеля днём в четверг, лекцию в пятницу и приём докторского экзамена, приступ в воскресенье и операцию в ту же ночь.

«Даже врачи стояли вокруг постели со слезами на глазах».

Утром в среду было сделано сообщение студентам.

«Я был в аудитории, когда Гильберт сказал нам о смерти Минковского и когда он плакал, — вспоминает один его бывший студент. — Из-за высокого положения, которое занимал в те дни профессор, и разницы в положении между ним и студентами для нас было большим потрясением видеть, что Гильберт плачет, чем слышать, что умер Минковский».

В четверг днём не было математической прогулки. Вместо неё профессора математики провожали Минковского в последний путь. Снова, заметил Гильберт, было ровно три часа дня.

«Сильные математики были похожи на растерянных людей, — писал один студент родителям после похорон. — По всему было видно, что даже самому Клейну было трудно спокойно говорить. Гильберт и Рунге казались обезображенными, с глазами, красными от слёз».

Решение проблемы Варинга — «корректуры которого его уверенный глаз уже не пробегал» — было опубликовано вскоре после этого с надписью автора:

«В память о Германе Минковском».