IX ПРОБЛЕМЫ.

«Чистая математика развивается, когда к решению старых проблем привлекаются новые методы, — любил говорить своим ученикам Клейн. — Приобретаемое таким образом лучшее понимание старых вопросов приводит к возникновению новых проблем».

По-видимому, лучшей иллюстрацией к этому утверждению Клейна был проект, за который взялся Гильберт. Летом 1899 года, сразу же после издания Оснований геометрии, он обратился к одной старой знаменитой проблеме, известной как принцип Дирихле. С этой проблемой были связаны имена всех крупнейших представителей математической школы Гёттингена.

Суть этой проблемы составляла одна логическая трудность, на которую стали обращать внимание только со времен Вейерштрасса. Гаусс, Дирихле, Риман и другие предполагали, что всегда существует решение так называемой краевой задачи для уравнения Лапласа. Это предположение было основано на физической интуиции, позволяющей всегда считать, что в соответствующей реальной ситуации, описываемой этой математической задачей, должен был быть определённый физический результат, или решение. Кроме того, с чисто математической стороны Гаусс заметил, что краевая задача для этого же уравнения может быть сведена к задаче минимизации некоторого двойного интеграла от функций с непрерывными частными производными, имеющих заданные граничные значения. В силу положительности этого двойного интеграла, очевидно, должна была существовать наибольшая нижняя грань для его значений, из чего делался вывод, что для одной из рассматриваемых функций этот интеграл принимал значение этой грани.

Рассуждение такого рода стало известно под названием принципа Дирихле после того, как Бернгард Риман весьма свободно пользовался им в докторской диссертации 1851 года для обоснования своей геометрической теории функций и присвоил ему имя своего учителя Лежёна Дирихле. Последний затрагивал в своих лекциях частный случай этого принципа.

Сейчас, оглядываясь в прошлое, мы считаем диссертацию Римана одним из самых крупных событий в истории современной математики. В те же времена, однако, доверие к ней было подорвано, когда Вейерштрасс подверг критике принцип Дирихле. Как указывал Вейерштрасс, предположение о том, что среди допустимых функций должна существовать та, на которой интеграл принимает своё наименьшее значение, не является обоснованным с математической точки зрения.

Для нематематика может показаться бессмысленным выдвинутое Вейерштрассом требование математического обоснования принципа, безусловно применимого в физических ситуациях. Но в действительности это не так, что и признал сам Риман после критики Вейерштрасса. Только строгое математическое доказательство может установить окончательную истинность математического утверждения и гарантировать, что оно всегда дает адекватное математическое описание физического явления.

Сам Риман, однако, не был серьёзно обеспокоен критикой Вейерштрасса. Ему принадлежало не одно открытие в теории функций, основанное на аналогичных физических ситуациях, связанных, в частности, с распространением электричества в проводнике. Он верил, что задача, которая «разумна физически», будет «разумна математически». Риман был убеждён, что, если потребуется, можно будет получить и математическое доказательство существования искомого минимума. Однако он умер молодым, не дожив до сорока лет; спустя же несколько лет после его смерти Вейерштрасс смог с уверенностью показать, что принцип Дирихле не всегда выполняется. Для этого он построил пример, в котором нельзя было найти функции, минимизирующей интеграл при заданных граничных условиях.

Это могло бы означать конец принципа Дирихле, но этого не случилось. Хотя на некоторое время математики и отвернулись от теории Римана, она была слишком важна в математической физике, чтобы сбрасывать её со счетов. Так как сам принцип оказался в общем случае неверным, математикам пришлось изобретать различные искусные ad hoc ¹¹ методы доказательства теорем существования, которые Риман получал на основе принципа Дирихле. Таким образом им удалось, хотя и не с тем изяществом, получить, по существу, такие же конечные результаты, что и Риману.

К тому времени, когда Гильберт обратился к принципу Дирихле, математики потеряли всякую надежду на его спасение. Совсем незадолго до этого Карл Нейман (сын Франца Неймана), которому принадлежали одни из важнейших работ в этой области, посетовал на то, что принцип Дирихле, «такой красивый и имеющий такие важные приложения в будущем, навечно исчез из поля зрения».

В отличие от многих своих современников, для которых требование строгости было обузой, Гильберт был твёрдо убеждён, что строгость ведёт к упрощению. Он испытывал чувство глубокого восхищения перед тем, как Вейерштрасс смог преобразовать интуитивный анализ непрерывности в строгую и логическую систему. Однако он не позволил дать себя увлечь вейерштрассовской критикой принципа Дирихле. Для него, как он говорил, «заманчивая простота и несомненное богатство возможных приложений» принципа сочетались с «убеждённостью в заложенной в нём истине».

Характерной чертой для подхода Гильберта к математике являлось рассмотрение заложенных в ней понятий с простейших, исходных точек зрения. Так поступил он и теперь «со всей наивностью и свободой от традиций и предубеждений, характерными только для истинно великих исследователей», как заметил один из его более поздних учеников. В сентябре 1899 года, спустя почти пятьдесят лет после диссертации Римана, он смог представить Германскому математическому обществу первую попытку того, что в ответ на замечание Неймана он назвал «воскрешением принципа Дирихле».

За несколько минут — вся работа, включая введение, занимала всего около пяти страниц — он показал, как, накладывая некоторые ограничения на кривые и граничные условия, можно устранить возражения Вейерштрасса и вернуть теории Римана её первоначальную красоту и простоту. Согласно одному американскому математику, присутствовавшему на этом собрании, этот подход к знаменитой проблеме вызвал «всеобщий восторг и удивление». Само рассуждение было простым, однако вовсе не интуитивным. Клейн отметил с восхищением: «Гильберт прижал волосы на поверхностях» ¹².

(Спустя шесть лет, по случаю столетия Гёттингенского научного общества, Гильберт снова вернулся к принципу Дирихле и привёл второе доказательство.).

«Работы Гильберта в этой области принадлежат к его наиболее глубоким и выдающимся достижениям. Они знаменуют больше, чем завершение целого этапа, — писал один из его более поздних учеников, которому также принадлежит важная заслуга в этой области. — Доказательство существования Гильберта не только было существенно упрощено и обобщено усилиями многих математиков, но ему был также придан важный конструктивный характер. Физик Вальтер Ритц создал под влиянием Гильберта из реабилитированного принципа Дирихле мощный метод для численного решения краевых задач, пользуясь дифференциальными уравнениями в частных производных, метод, который уже в наше время превратил вычислительные машины в становящееся всё более эффективным средство численной математики...».

После своего успеха с принципом Дирихле Гильберт впервые в своей научной деятельности решил прочитать в зимнем семестре 1899–1900 года курс вариационного исчисления. Последнее представляет собой область анализа, имеющую дело с задачами на нахождение экстремума, в которых (как и в случае проблемы Дирихле) минимизируемая или максимизируемая величина зависит не от одного численного аргумента и даже не от конечного их числа, а от целой переменной кривой, или функции, или даже от системы переменных кривых.

Гильберту уже не раз удавалось убеждаться на опыте, что отдельные знаменитые задачи составляют жизненную силу математики. По этой причине вариационное исчисление его особенно привлекало. Это была математическая теория, выросшая из решения одной конкретной задачи.

Проблема «линии скорейшего спуска» была предложена Иоганном Бернулли в конце XVII века как вызов математикам того времени, а особенно своему старшему брату Якобу, которого он публично осмеивал за его некомпетентность. Несколько математиков (включая Ньютона) предъявили решения; однако презираемый старший брат превзошёл всех своим «довольно неизящным» решением. В нём удалось выявить факт, кроме него никем не замеченный, что задача отыскания в бесконечном множестве возможных кривых одной, обладающей заданным свойством минимальности или максимальности, представляет существенно новый тип задач, требующих для своего решения создания новых методов.

Одним из студентов, посещавших в то время лекции Гильберта по вариационному исчислению, был Макс фон Лауэ.

«...Убедительным впечатлением, — писал фон Лауэ о своих студенческих днях, — было моё удивление, когда я осознал, как много информации о природе можно получить математическими методами. Глубокое благоговение к теории охватывало меня, когда она бросала неожиданный свет на неясные до того факты. Чистая математика также не могла не произвести на меня впечатления, особенно в блестящих курсах Давида Гильберта».

«Этот человек, — добавлял будущий Нобелевский лауреат, — живёт в моей памяти как, быть может, самый великий гений, которого мне довелось увидеть».

Хотя Вейерштрассу и удалось сделать вариационное исчисление значительно более строгим, оно по-прежнему представляло собой относительно заброшенную ветвь математики. В период своих зимних лекций Гильберту удалось получить несколько важных результатов. Среди них была теорема, в которой формулировались и доказывались условия дифференцируемости минимизирующей кривой, на которой во многих случаях достигается минимум.

Однако в действительности математические интересы Гильберта в то время были более разнообразны, чем когда-либо после его доцентских дней в Кёнигсберге. Исследования в геометрии продолжались в ряде публиковавшихся работ. Кроме того, он написал работу под названием «Понятие числа», в которой, проникшись вновь обретённой страстью к аксиоматическому методу, он предлагая заменить им обычный «генетический» (как он его назвал) подход к действительным числам. В ней он ввёл понятие максимальной (или нерасширяемой) модели с принадлежащей ему аксиомой полноты. Именно в период этой необычайно разнообразной деятельности к нему прибыло приглашение выступить с одним из основных докладов на втором международном конгрессе математиков в Париже летом 1900 года.

Открывающееся перед ним новое столетие манило его, как чистый лист бумаги с остро отточенным карандашом. Ему хотелось произнести речь, которая соответствовала бы важности этого события. В своём новогоднем письме Минковскому он упомянул о получении приглашения и вспомнил два столь поразивших его выступления на первом международном конгрессе — блистательную, но специальную лекцию Гурвица по истории современной теории функций и популярную беседу Пуанкаре о взаимосвязи между анализом и физикой. Он всегда хотел ответить Пуанкаре, выступив в защиту развития математики ради её собственных целей. Была также и другая мысль. Он часто размышлял о важности конкретных проблем в развитии математики. Быть может, ему стоило обсудить направление математики в грядущем столетии в терминах некоторых важных проблем, на которых математики могли бы сконцентрировать свои усилия. Каково было мнение Минковского? Минковский написал, что ему надо несколько обдумать этот вопрос.

5 января 1900 года он снова написал: «Я перечитал лекцию Пуанкаре... и нашёл, что все его утверждения высказаны в такой неопределённой форме, что на них нельзя возразить... Так как ты будешь говорить перед специалистами, я думаю, что лекция в стиле Гурвица предпочтительнее, чем сплошная болтовня, как у Пуанкаре... В действительности это зависит не столько от самого предмета, сколько от способа его изложения. Однако ограничение темы доклада позволит тебе увеличить аудиторию вдвое...».

«Наиболее соблазнительной была бы попытка заглянуть в будущее и перечислить проблемы, на которых математики могли бы попробовать себя в грядущем столетии. С такой темой ты смог бы заставить говорить о твоем докладе спустя десятилетия».

Минковский, однако, не упустил возможности указать также на существование возражений против выбора этой темы. Гильберт вряд ли захочет поделиться своими собственными идеями по поводу решения некоторых проблем. Международная аудитория, в отличив от немецкой, не будет столь приветствовать философские обсуждения. Пророчество не выйдет легким.

Ответа от Гильберта не последовало.

25 февраля Минковский писал жалобное письмо в Гёттинген. «Как могло случиться, что от тебя ничего не слышно? Моё последнее письмо содержало лишь мнение, что, если ты выступишь с прекрасным докладом, это будет превосходно. Хорошие советы ведь нелегко давать».

Но Гильберт ещё не сделал выбора относительно темы своего выступления на конгрессе.

29 марта он советовался с Гурвицем. «Мне надо начинать готовиться к основному докладу в Париже, а я ещё всё колеблюсь в выборе темы... Лучшим был бы взгляд в будущее. Что ты думаешь о возможном направлении развития математики в следующем столетии? Было бы очень интересно и поучительно услышать твоё мнение об этом». Об ответе Гурвица ничего не известно. Гильберт продолжал размышлять о будущем математики в XX столетии. К июню он всё ещё не приготовил доклада, и программа конгресса была разослана без упоминания о нём.

Минковский был страшно огорчён. «Моё желание приехать на конгресс теперь почти пропало».

Наконец, в середине июля от Гильберта прибыл пакет с корректурой. Это был долгожданный текст доклада. Под скромным названием Математические проблемы он должен был быть прочитан в Париже и почти одновременно с этим опубликован в Nachrichten Гёттингенского научного общества.

Об отказе Минковского приехать в Париж больше не могло идти и речи.

Он читал корректуру внимательно и с интересом. В ней Гильберт подчеркнул важность проблем в формировании направлений развития науки, выявил черты великих плодотворных проблем и перечислил требования к их «решению». Затем он сформулировал и обсудил 23 отдельные проблемы, решения которых, по его убеждению, сыграют важную роль в прогрессе математики в наступающем столетии.

Первые шесть проблем относились к основаниям математики, к тому, что, по его мнению, явилось великим достижением только что кончившегося столетия: открытие неевклидовой геометрии и прояснение понятия арифметического континуума, или системы вещественных чисел. В них сильно сказывалось влияние недавней работы по основаниям геометрии и его энтузиазма по поводу возможностей аксиоматического метода. Другие проблемы были более специальны и индивидуальны, частью старые и хорошо известные, частью новые, однако все они затрагивали прошлые, настоящие или будущие интересы Гильберта. Последняя, двадцать третья проблема фактически представляла скорее некоторое предложение на будущее, чем проблему, — призыв к математикам грядущего столетия обращать больше внимания на, по его мнению, несправедливо заброшенный предмет — вариационное исчисление.

С особым энтузиазмом Минковский отнёсся ко второй проблеме из списка Гильберта. В ней впервые встречается утверждение, ставшее известным в математике XX столетия как «проблема непротиворечивости».

Надо помнить, что в работе Гильберта по основаниям геометрии непротиворечивость геометрических аксиом была установлена сведением к утверждению о непротиворечивости арифметики вещественных чисел, которое принималось всеми математиками. Но всё же как обстоит дело с арифметикой? Действительно ли она непротиворечива? Если строить арифметику как аксиоматическую теорию, как это было предложено Гильбертом в недавней работе «О понятии числа», то этот вопрос требовал ответа.

Адвокат может быть удовлетворен тем, что «преобладание улик» свидетельствует «без всякого сомнения», что арифметика в самом деле свободна от противоречий. Однако Гильберт не захотел стать адвокатом. Для него, как математика, непротиворечивость арифметики должна была быть установлена с той степенью определённости, которая непостижима ни в юриспруденции, ни в других сферах человеческой деятельности, отличных от математики. В своей второй проблеме он ставил вопрос о математическом доказательстве непротиворечивости аксиом арифметики вещественных чисел. Для того чтобы подчеркнуть значение этой проблемы, он добавил следующее:

«Если какому-нибудь понятию приписаны противоречащие друг другу признаки, то я скажу, что это понятие математически не существует... В рассматриваемом случае, где речь идет об аксиомах арифметики вещественных чисел, доказательство непротиворечивости этих аксиом равносильно доказательству математического существования понятия полной системы вещественных чисел, или континуума. В самом деле, если удастся полностью доказать непротиворечивость этих аксиом, то все соображения, которые подчас приводились против существования полной системы вещественных чисел, становятся полностью необоснованными».

Наконец-то, чувствовал Гильберт, это даст ответ Кронекеру.

«Чрезвычайно оригинально, — заметил Минковский, — высказывать в качестве проблемы на будущее то, что математика давно считала своим достоянием — арифметические аксиомы. Что скажут на это большое число дилетантов в аудитории? Увеличится ли их уважение к нам? Тебе придется вступить в бой также и с философами!».

В следующие несколько недель Минковский и Гурвиц изучали корректуру лекции Гильберта и давали советы по поводу изложения её на конгрессе. Оба они были озабочены её чрезмерной длиной. Обширное введение к своим проблемам Гильберт заключил волнующим высказыванием, в котором он повторил своё убеждение («разделяемое, несомненно, каждым математиком, но которое никто не подтвердил доказательством»), что каждая конкретная математическая проблема, несомненно, должна быть доступна строгому решению или в форме действительного ответа на поставленный вопрос, или с помощью доказательства невозможности её решения и тем самым неизбежной неудачи всех попыток её решить. Затем он воспользовался случаем, чтобы со всей настойчивостью публично отрицать «Ignoramus et ignorabimus» — мы не знаем и не будем знать — высказывание Эмиля Дюбуа-Реймонда, бывшее популярным в прошедшем столетии:

«Мы слышим внутри себя постоянный призыв: вот проблема, ищи её решение. Ты можешь найти его с помощью чистого мышления, ибо в математике не существует ignorabimus».

Как Минковский, так и Гурвиц считали, что это будет эффектной концовкой выступления. Затем можно было бы, наверное, распространить список проблем среди делегатов.

«Будет лучше, — увещевал Минковский, — если ты не используешь полностью всё отпущенное время».

28 июля Минковсинй отправил правку корректуры обратно: «На самом деле, я верю, что эта лекция, которая, несомненно, будет прочитана всеми математиками без исключения, повысит, насколько это ещё возможно, твою популярность среди молодых математиков!».

В воскресенье, 5 августа, два друга встретились в Париже.

Тысяча математиков заявили ранее о своём намерении приехать на конгресс; вместе с ними должны были приехать почти семьсот членов их семей, желающих увидеть Всемирную выставку века. Однако слухи о толпах, высоких ценах и жаркой погоде отпугнули многих из них. Утром 6 августа, когда Пуанкаре открывал вступительное заседание, вся аудитория едва превышала 250 человек.

На следующий день после дня открытия математики покинули чуждую им территорию выставки и отправились на левобережный холм, где Ecole Polytechnique и Ecole Normale Superieure ¹³ с двух сторон граничат с Пантеоном Наполеона и где узкая улочка ведёт вниз к потемневшим зданиям Сорбонны.

Хотя в прошедшем столетии наблюдалось развитие многих новых областей математики, разделение конгресса на секции осталось традиционным. Чистая математика была представлена секциями арифметики, алгебры, геометрии и анализа, а прикладная математика — одной секцией механики. Общие секции включали библиографию и историю в одной из них и педагогику и методику в другой и расценивались более низко, чем математические секции; лекции на них хотя и представляли интерес для более широкого круга, но «не были такими ценными с математической точки зрения», как писал один присутствовавший американец. Первоначально доклад Гильберта планировался на пленарное заседание в день открытия, но из-за опоздания его перенесли на совместное заседание двух общих секций, на утро 8 августа.

Человеку, взошедшему в то утро на трибуну, не было ещё сорока лет, он был среднего роста и гибкого телосложения, быстрый, с выделяющимся высоким лбом, лысый, за исключением нескольких тонких пучков ещё красноватых волос. На крупном носу устойчиво сидели очки. Маленькая бородка и несколько беспорядочные усы скрывали рот, удивительно широкий и благородный для такого хрупкого подбородка. Ясные голубые глаза за блестящими стеклами очков смотрели невинно, но твёрдо. Несмотря на внешне непритязательный вид докладчика, вокруг него создавалась поразительная атмосфера энергии и интеллекта.

Ему уже удалось распространить на французском языке часть своей речи. В то время это было необычным делом, и его слушатели были удивлены и благодарны.

Медленно и отчётливо для тех, кто плохо понимал по-немецки, он начал свою речь.