XVIII ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ.

Заметно более серьёзные, не с такими бравыми, как от дуэлей, шрамами на лице, с пустым рукавом или брючиной, молодые люди стали возвращаться из окопов в аудитории.

Математика представлялась им «свежей, как май».

Пока их не было, Эйнштейн изменил понятие пространства, времени и материи и создал необходимость в совершенно новой геометрии. В трёх статьях, вместе не занимавших и 17 страниц, молодой голландец Брауэр высказал сомнение в том, что законы классической логики имеют абсолютную истинность, не зависящую от того, к чему они применяются, и предложил решительную программу, призванную покончить с «кризисом оснований», вызванным открытием в начале столетия парадоксов в теории множеств.

Герман Вейль, талантливый ученик Гильберта, вернувшись из Цюриха, где он служил в швейцарской армии, увлёкся новыми идеями. Перед войной он познакомился с Эйнштейном. Теперь он прочитал серию блестящих лекций об идеях Эйнштейна и издал их в виде книги Пространство, время и материя, ставшей научным бестселлером. Его друзьям казалось, что Вейль «мог испытывать упоение, разрешая себе увлекаться или просто метаться между противоположными течениями, обуревавшими тот период». «Кризис оснований» был для него неотразим. В 1918 году он внёс собственный вклад в этот вопрос, опубликовав работу о логических основаниях континуума. Он тщательно изучал также интуиционизм — так была названа новая программа Брауэра.

Гильберта раздражало увлечение его бывшего ученика идеями Брауэра, который будил в нём воспоминание о Кронекере. К концу войны Брауэр был несколькими годами старше Вейля и на 20 лет моложе Гильберта. Он уже внёс значительный вклад в математику. В 1911 году, доказав топологическую инвариантность размерности евклидова пространства, он открыл новую эру в топологии. Его работы по теории множеств были, по мнению многих, самыми глубокими после работ Кантора. Но так же, как до него Кронекер, он был готов отказаться от большей части своих математических достижений ради своих философских идей.

Для Брауэра ни язык, ни логика не были неотъемлемо связаны с математикой, в основе которой, по его мнению, лежала интуиция, делавшая её выводы и понятия непосредственно ясными. Вейлю казалось, что Брауэр «открыл нам глаза и заставил нас увидеть, насколько общепринятая математика зашла дальше таких утверждений, справедливость и реальный смысл которых основан на очевидности».

Брауэр, например, отказался принимать логический принцип исключённого третьего, хотя со времен Аристотеля математики без колебаний принимали, что для любого утверждения A существуют только две возможности — либо A, либо не A. Брауэр теперь настаивал на том, что существует третья возможность — другими словами, среднее, которое нельзя исключить.

Его рассуждение было следующим.

Пусть A есть утверждение: «В множестве S существует элемент со свойством P». Если S конечно, то в принципе можно перебрать все элементы этого множества и определить, что или в S существует элемент со свойством P, или любой элемент из S этим свойством не обладает. Тем самым для конечных множеств Брауэр допускал принцип исключённого третьего. Он отказывался его принимать для бесконечных множеств, так как для таких множеств S мы не можем, даже в принципе, перебрать все элементы множества. Если в процессе перебора мы находим элемент со свойством P, то первая альтернатива выполняется, но если мы не можем найти такого элемента, то про вторую альтернативу ещё ничего нельзя сказать, так как мы не провели перебор до конца.

Из-за того, что в математике теоремы часто доказываются приведением отрицания теоремы к противоречию, третья возможность, указанная Брауэром, должна была бросить тень на многие из общепринятых математических утверждений.

«Изъять из математики принцип исключённого третьего, — говорил Гильберт, — всё равно что... запретить боксёру пользоваться кулаками».

Возможные потери, по-видимому, не волновали Вейля. «За программой Брауэра будущее», — убеждал он своих друзей в Цюрихе.

«Герман, это математика без пиджака», — говорил ему Дьёрдь Пойа, считая, что он пытается её несколько оголить.

Вейль тотчас же предложил Пойа заключить пари о будущем двух конкретных утверждений, которые были бы исключены из математики, если бы идеи Брауэра восторжествовали. В последнем Вейль не сомневался, причём считал, что это произойдёт в течение ближайших 20 лет. Выигравший должен был определиться в 1938 году в зависимости от того, согласится ли Пойа признать, что два следующих предложения:

* каждое (непустое) ограниченное множество вещественных чисел имеет точную верхнюю грань,

* каждое неограниченное подмножество вещественных чисел содержит счётное подмножество,

— являются, на самом деле, полностью неопределёнными и «спрашивать, справедливы они или ложны, — это всё равно что спрашивать то же самое об основных идеях философии Гегеля». Если к 1938 году Пойа и Вейль не придут к единому мнению о положении дел в математике, то решающее мнение будет определено большинством среди профессоров математики Швейцарского федерального института и университетов Цюриха, Берлина и Гёттингена. Проигравший должен будет опубликовать условия пари и официально признать своё поражение в Jahresbericht ⁶ Германского математического общества.

Сам Гильберт никогда не прочитал и строчки из работ Брауэра. Он всё больше избегал чтения статей, предпочитая получать информацию из лекций и бесед. Вейль был приглашен в Гёттинген, чтобы выступить перед Математическим клубом об интуиционизме.

Надо помнить, что на конгрессе в Гейдельберге, вскоре после открытия Расселом и Цермело фундаментальных парадоксов теории множеств, Гильберт набросал математико-логическую программу, предназначенную, по его мнению, «раз и навсегда» уничтожить все сомнения в надёжности оснований математики и методов математических рассуждений. Погрузившись в последующие за этим годы сначала в интегральные уравнения, а затем в физику, он, казалось, забросил этот проект. И действительно, незадолго до войны Блюменталь, прогуливаясь с Гильбертом и вспоминая конгресс в Гейдельберге, заметил, что, по-видимому, так ничего и не вышло из его идеи «теории доказательств». Гильберт оставил это замечание без комментариев, в то время как (вспоминал позже Блюменталь) госпожа Гильберт улыбнулась.

После этого конгресса в изучении оснований математики произошло несколько важных сдвигов. Цермело доказал теорему о полной упорядочиваемости и создал свою систему аксиом теории множеств. Рассел и Уайтхед опубликовали свои Principia Маthеmаtiса. Однако сам Гильберт не возвращался к основаниям математики, по крайней мере публично, до 1917 года.

Весной того года во время визита в Цюрих он пригласил двух молодых людей из окружения Гурвица составить ему компанию в прогулке. Одним из них был друг Вейля Пойа. Другим был замкнутый, застенчивый и несколько нервный молодой человек по имени Пауль Бернайс. К удивлению Пойа и Бернайса, темой разговора во время прогулки к вершине горы Цюрихберг была не математика, а философия. Никто из них не был специалистом в этой области. Правда, Бернайс немного изучал философию, будучи студентом в Гёттингене, и был близок к Леонарду Нельсону. Его первая публикация появилась в философском журнале Нельсона. Так что теперь, несмотря на свою сдержанность, он мог сказать намного больше, чем обычно говорливый Пойа. В конце этой прогулки Гильберт пригласил Бернайса приехать в Гёттинген в качестве его ассистента. Бернайс принял это предложение.

В сентябре того года Гильберт вернулся в Цюрих, чтобы прочесть лекцию перед Швейцарским математическим обществом. Прошло около недели после третьей годовщины начала войны, и его первые слова были очень актуальны:

«Как в жизни наций условия процветания отдельной страны требуют хороших отношений со своими соседями и в их интересах, чтобы порядок господствовал не только в каждой отдельной стране, но и в отношениях между ними, так и в жизни науки имеет место то же самое».

Доклад был посвящён излюбленной теме — важности роли математики в науке — и мог бы быть озаглавлен «Во хвалу аксиоматическому методу».

«Я верю, — твёрдо сказал Гильберт, — что любая научная мысль, достигшая уровня включения её в некоторую теорию, попадает под влияние мощи аксиоматического метода и тем самым и математики».

Однако в том же выступлении он затронул некоторые вопросы, которые впервые после 1904 года открыли широкой аудитории его непрекращавшийся интерес к проблемам оснований своей науки:

Проблема принципиальной разрешимости любого математического вопроса.

Проблема отыскания критерия простоты математического доказательства.

Проблема соотношения между содержательным и формальным в математике.

Проблема разрешимости математического вопроса с помощью конечной процедуры.

Гильберт отметил, что для исследования этих вопросов необходимо вначале проанализировать понятие математического доказательства.

Однако лично он всё ещё не был готов заняться проблемой кризиса оснований математики. Дома у него оставались собственные как личные, так и профессиональные проблемы.

Франц выписался из больницы. Университетские связи позволяли подыскивать ему кое-какие несложные работы, однако и на них он не мог долго продержаться; это вынуждало госпожу Гильберт забирать своего сына домой, что нарушало спокойствие в доме на Вильгельм Веберштрассе.

«Гильберту это доставляло много страданий, так как он не мог работать в подобной атмосфере, — говорит Курант. — Это отражалось на нём довольно губительно. Он нуждался в лёгкой обеспеченной жизни. Его жена, разумеется, не хотела да и просто не могла отказываться от своего единственного сына. Это являлось причиной некоторых трений между мужем и женой. Но Гильберт был достаточно разумным, чтобы не допускать перерастания этого в настоящую опасность».

Гёттингенское научное общество было распущено. Lesezimmer имела большие пробелы в своём собрании. Почти все немецкие издатели научной литературы прекратили свою деятельность. Строительство Математического института было прекращено. В 1919 году Клейну исполнилось 70 лет, Гильберт приближался к 60 годам. Каратеодори переехал из Гёттингена в Берлин, где он снова оказался в компании своего старого друга Эрхарда Шмидта. Петер Дебай принял предложение из Швейцарии. Марка неуклонно падала. Еда была скудной, жилищные условия плохие. Гильберт жаловался Бернайсу, что его жалованье теперь стоит меньше, чем в то время, когда он был приват-доцентом в Кёнигсберге. Будущее выглядело мрачным.

Летом 1919 года Гильберт, проводя каникулы в Швейцарии, дал понять, что он, «быть может, отнесётся с вниманием», «не будет решительно против» и, «может быть, будет даже склонен принять» место в Берне. В нормальных условиях Берн не имел никаких шансов переманить Гильберта из Гёттингена, но тогдашние условия не были нормальными. Берн увидел возможность добавить к своему факультету самого знаменитого математика в мире; нарушая закон кантона, согласно которому все вакантные места должны объявляться в печати, университет делал настойчивое предложение великому немецкому математику.

Теперь ясно, что Гильберт не имел истинного намерения принять предложение. К концу своей карьеры он даже не включил его в список полученных им предложений. Он явно хотел использовать его только как средство при переговорах для улучшения положения «математики» у себя в Гёттингене.

В основном его личные желания были очень скромными. Курант вспоминает, как на праздновании своего пятидесятилетия, в зените славы и авторитета, Гильберт сказал: «С этого момента, я думаю, могу позволить себе роскошь путешествовать в вагоне первого класса».

Предложение из Берна, по-видимому, дало желаемый эффект. В августе 1919 года Гильберт вел переговоры с новым министром науки, искусства и народного образования о приглашении иностранных профессоров в Гёттинген. Его первоначальная просьба в выделении для этой цели 5000 марок была повышена до суммы в 10 000 марок, а учитывая всё возрастающую инфляцию, «быть может, нам потребуется, по крайней мере, 15 000 марок».

Именно в ту осень, 18 ноября 1919 года, умер Гурвиц. Со студенческих времен Гильберт не скрывал своего восхищения перед Гурвицем и его математическими способностями. Однажды в разговоре с Островским он упомянул, что, по его мнению, существует два сорта математиков — те, кто энергично бился и решал стоящие задачи, и те, кто этого не делал.

«Я был удивлён, какое твёрдое на этот счёт у него было мнение, сколь немногих он считал действительно хорошими математиками, а до остальных ему просто не было дела. Я был также поражён тем, что он решился сказать такую вещь мне. Это было почти единственным случаем, когда он не вёл себя, как «мудрец». Высказывая такие утверждения вслух, он заставлял других задавать себе вопрос, к какой группе он их относил. Однако не вызывало никаких сомнений, к какой группе он относил Гурвица. В тот раз он упомянул одну работу Гурвица, которая, сказал он, полностью поглотила его собственную работу. Никто не сказал бы этого о работе Гильберта. Но он это сказал».

Во второй раз Гильберту пришлось выступить перед Гёттингенским научным обществом с речью, посвящённой памяти своего покойного друга молодости. За восемь с половиной лет он и Гурвиц на своих ежедневных прогулках в Кёнигсберге исследовали «каждый уголок» математики. Гурвиц, рассказывал он теперь своим коллегам, был «гармонически развитой и философски настроенной личностью, он был всегда готов признать и оценить достижения других, и для него каждый научный результат являлся источником искренней радости». Гильберт успокаивал себя тем, что, потеряв перед смертью сознание, Гурвиц был избавлен от необходимости прощаться со своей семьей. Это было его последним желанием.

После смерти Гурвица разнёсся слух, что Гильберту была предложена его кафедра в Цюрихе. Группа студентов направилась к нему с поэтической петицией, призывавшей его остаться в Гёттингене: «Hilbert, gehen Sie nicht nach Zurich/Leben da ist auch recht «schwurich». (Гильберт, не уезжайте в Цюрих, жизнь там также тяжела.) Однако из Швейцарии не последовало никаких предложений.

Относительная значимость различных научных интересов Гильберта в этот период видна по его ассистентам, Бернайсу — по математике и Адольфу Крацеру — по физике. Раз в неделю перед лекциями оба они приходили в дом Гильберта. В то время как его интересы начали перемещаться из физики обратно в математику, начали меняться и роли ассистентов.

«Летом 1920 года он занимался в основном проблемами атомной механики, — говорит Крацер. — Его целью всё ещё была аксиоматизация. Вопросы задавались мне. Казалось, что говорил в основном я, а Бернайс слушал. Однако к зиме 1920–1921 года его интересы начали меняться. Теперь его главной целью была формализация оснований математики на логической основе, и Бернайс говорил, в то время как я слушал».

Хотя в своих исследованиях Гильберт двигался к наиболее абстрактному и формальному пониманию математики, в это время он прочитал серию лекций по геометрии, основанных на абсолютно наглядной интуитивной точке зрения. Они были явно предназначены для популяризации математики среди молодых людей, вернувшихся в университет после войны.

«Ведь это правда, — признавал он, — что математика, вообще говоря, не является популярным предметом»,

Причину отсутствия её популярности он видел «в разделяемом всеми предрассудке, что математика представляет... дальнейшее развитие прекрасного искусства арифметики, жонглирования числами...». Он думал, что ему удастся сделать более увлекательным этот предмет, который он так страстно любил, заставив своих слушателей «проникнуть в суть математики, не взваливая на себя тяжесть утомительного процесса обучения». Взамен он предлагал «неторопливую прогулку в большом саду геометрии, где каждый сможет собрать себе букет по вкусу».

В следующее лето Гильберт прочёл курс лекций по теории относительности, входивший в специальный цикл, рассчитанный на все факультеты университета. В них он продемонстрировал, по словам Борна, «что только тот, для кого логическая структура трудной и сложной теории была абсолютно ясной, сможет успешно изложить её широкой аудитории».

Ему нравились эти экскурсы в популяризацию, и в течение двадцатых годов он часто выступал с такими лекциями на различные темы.

Однако теперь Гильберта всё более тревожил тот рост влияния, которое оказывал на молодых математиков подход Брауэра к математике. Для Гильберта программа интуиционизма представляла абсолютно определённую и реальную угрозу математике. Многие из теорем классической математики можно было установить и интуиционистскими методами, более сложным и длинным путём, чем обычно. От многого же, включая теоремы существования, основную часть анализа, канторовскую теорию бесконечных множеств, пришлось бы отказаться.

«Экзистенциальные» идеи проникали в мышление Гильберта не только в математике, но и в повседневной жизни. Это иллюстрируется одним случаем, свидетелем которого был в своё время Хельмут Хассе. Общество германских учёных и врачей собралось на свою первую послевоенную встречу в Лейпциге. По вечерам в Burgkeller было много вопросов типа «Как там профессор К. из А., он ещё жив?». 24-летний Хассе сидел вместе с другими молодыми математиками за столиком, стоявшим неподалеку от стола Гильберта и его компании.

«Я слышал, как он задал в точности такой же вопрос одному венгерскому математику о другом венгерском математике. Тот начал отвечать. «Да, он преподаёт в — и занимается теорией —, несколько лет назад он женился, у него трое детей, старшему...» Однако после первых же слов Гильберт начал перебивать: «Да, но...» Когда, наконец, ему удалось остановить поток информации, он продолжил: «Да, но всё это меня не интересует. Я только спрашивал: Существует, ли он ещё?».

Согласно Брауэру, утверждение, что некоторый объект, обладающий данным свойством, существует, означает, что известен метод, позволяющий, по крайней мере в принципе, найти или построить такой объект; только в этом случае можно считать доказанным существование объекта.

Тем самым Брауэр не принял бы найденного молодым Гильбертом доказательства существования конечного базиса системы инвариантов, не принял бы также и многое другое.

Естественно, что Гильберт был с этим не согласен.

«... Доказательства чистого существования были самыми важными вехами в историческом развитии нашей науки», — утверждал он.

То, что Вейль склонялся к точке зрения Брауэра, очень огорчало Гильберта.

В 1919 году Вейль опубликовал некоторые из своих собственных «давно наболевших» мыслей об основаниях математики. Затем в 1920 году он прочитал несколько лекций о программе Брауэра. На одной из них он заявил: «Я отказываюсь от своих собственных попыток и присоединяюсь к Брауэру». Его никогда не называли «брауэровским бульдогом», но он мог бы им быть. В 1921 году Вейль продолжал использовать свои литературные способности для ещё большей популяризации идей Брауэра.

Для Гильберта это было уже слишком.

На одном собрании в Гамбурге в 1922 году он во весь голос заявил о защите математики.

Положение дел, вызванное открытием парадоксов теории множеств, было недопустимым, согласился он. Однако «заслуженные математики высокого класса, Вейль и Брауэр, ищут решение проблемы на ложных путях».

Вейль услышал в голосе своего старого учителя «гнев и решимость».

«То, что делают Вейль и Брауэр, есть не что иное, как возрождение идей Кронекера! Они стремятся спасти математику, выбрасывая за борт всё. что причиняет беспокойство... Они крошат и рубят науку. Если бы мы приняли такую реформу, которую они предлагают, то подверглись бы риску потерять большую часть наших самых ценных сокровищ».

Далее приведён список сокровищ, которые были бы потеряны, если бы была принята программа интуиционизма:

* Общее понятие иррационального числа.

* Функция. «Даже теоретико-числовая функция».

* Трансфинитные числа Кантора.

* Теорема о существовании наименьшего числа в бесконечном множестве целых чисел.

* Логический принцип исключённого третьего.

Гильберт отказывался причинять такое «увечье» математике. Ему казалось, что он видел путь, на котором он смог бы восстановить элементарную математическую объективность, к которой стремились Брауэр и Вейль, не теряя при этом ничего из сокровищ, приносимых в жертву их программе. Это была, по существу, та «теория доказательства», набросок которой он дал в 1904 году в Гейдельберге. В характерном для него стиле, этот подход был прямой атакой проблемы. Как вынужден был позже признать сам Вейль, Гильберт показал тогда «совершенно новый подход к вопросам оснований и понятию истины в математике».

Интуиционизм выступал против того, что «большая часть математики идёт дальше тех утверждений, которые претендуют на истинный смысл». Гильберт ответил на это возражение тем, что, по словам Вейля, избавился совсем от смысла.

Он предложил превратить математику в формализованную систему, объекты которой — математические теоремы и их доказательства — выражаются на языке символической логики в виде предложений, имеющих только логическую, а не смысловую структуру. Эти объекты должны были быть выбраны так, чтобы адекватно представлять данную математическую теорию, т.е. охватывать совокупность всех её теорем. Непротиворечивость этой формальной системы — т.е. математики — будет устанавливаться с помощью методов, которые Гильберт называл финитными. Под «финитностью» понималось то, что «рассматриваемые рассуждения, утверждения или определения должны находиться в рамках непосредственного обращения с объектом, отличаться явной практичностью используемых методов и, в соответствии с этим, их можно было бы эффективно контролировать».

Таким способом, используя методы, ограниченность которых вполне устраивала бы Брауэра и Вейля, Гильберт надеялся, что сможет преодолеть новый кризис оснований математики и избавиться от вопросов оснований математики раз и навсегда.

В год своего шестидесятилетия он выступил в защиту целостности классической математики, основываясь на том, что его бывший студент должен будет назвать «радикальной переинтерпретацией её содержания с полным сохранением её инвентаря».

Дух Кронекера, казалось, витал перед ним в программе интуиционистов, а та энергия, с которой он набросился на неё (как Вейль сразу же отметил), резко противоречила той уверенности, с которой он предрекал её окончательное поражение:

«Я уверен, что насколько у Кронекера было мало шансов упразднить иррациональные числа... настолько же маловероятен успех Вейля и Брауэра. Брауэр не представляет собой революцию, как это считает Вейль, — только повторение попытки организовать Putsch ⁷, в своё время ещё более сильно бушевавший, а сейчас, при вооружённом и окрепшем государстве, с самого начала обречённый на неудачу!».