VI ПЕРЕМЕНЫ.

В последующие три года Гильберт повышался к академических рангах и делал то, что делает в этот период жизни большинство молодых людей, — женился, стал отцом, получил важное назначение и принял решение, изменившее его дальнейшую жизнь.

Эта неожиданная последовательность событий была вызвана смертью Кронекера и возникшей в связи с этим игрой «математических кафедр» в германских университетах. Внезапно блеснула надежда, что ограниченному достатку годов доцентства может прийти конец. Минковский, навестивший в Берлине Фридриха Альтхофа, ответственного за все дела в университетах, возвещал о новостях:

«А. говорил... предполагается, что следующие лица получат оплачиваемый экстраординариат: ты, я, Эберхард и Штуди. Я не преминул случаем представить ему тебя как математика с большим будущим... Что касается Штуди, то, по чистой совести, я мог только похвалить его добрые намерения и его усердие. А. очень предан тебе и Эберхарду».

Примерно в это же время Гурвиц, бывший в течение восьми лет ассистент-профессором (экстраординариусом) в Кёнигсберге, получил предложение занять место полного профессора в Швейцарском федеральном технологическом институте в Цюрихе. Хотя это и означало конец ежедневным математическим прогулкам, оно давало Гильберту возможность занять место Гурвица.

«По этой причине, — дружески писал Минковский, — твой страшный пессимизм кончится и можно будет осмеливаться снова посылать тебе дружеское слово. В ближайшие недели, я надеюсь, навсегда прекратится болезнь приват-доцентских дней. Вот видишь, наконец-то наступает весна и лето».

В июне Гурвиц женился на Иде Самуэльс, дочери профессора медицины. Гильберт незадолго до этого был помолвлен с Кёте Ерош и после свадьбы Гурвица с возрастающим нетерпением ждал медленно продвигающегося повышения. Наконец, в августе тайным голосованием факультет принял решение предоставить ему место Гурвица. Он назначил день своей свадьбы и в то же время сообщил Минковскому новости о своём назначении.

Минковский с радостью прислал свои поздравления: «Наконец-то ты полностью убедишься в том, что властьимущие благоволят к тебе. Тем самым твои перспективы на будущее превосходны».

Семьи Гильбертов и Ерошей уже давно были дружны. С самого начала все соглашались с тем, что Гильберт нашёл для себя совершенную пару. «Она была человеком цельным и независимым во всех отношениях, ясная и сильная, — писал о Кёте один и первых учеников Гильберта, — она всегда была ровней своему мужу, добрая, искренняя, всегда своеобразная».

Кёте Ерош и Давид Гильберт, 1892 г.

Давид Гильберт, 1900 г.

Фотография, снятая примерно в это время, запечатлела молодую пару. Ему 30 лет, ей 28. Уже на ней они довольно похожи друг на друга. Почти одинакового роста, с большими, твёрдо очерченными ртами, крупными носами и спокойными, ясными взглядами. Голова Гильберта кажется довольно маленькой. Он отрастил бороду. Уже обозначенная лысина открывает решительно выступающий, высокий лоб учёного. Не будучи ни хорошенькой, ни некрасивой, Кёте обладала приятными чертами лица, но, казалось, мало обращала внимания на свою собственную внешность. Свои темные волосы она гладко зачесывала назад с пробором посередине и закалывала сзади в виде пучка.

12 октября 1892 года Гильберт и Кёте Ерош поженились. («Приятное настроение, в котором ты пребываешь, не может не оказать влияния на твою научную работу, — писал Минковский. — Я жду от тебя нового великого открытия».).

Почти одновременно с тем, как Гильберт сменил Гурвица в Кёнигсберге, Минковский получил обещанную должность ассистент-профессора в Бонне. Хотя он надеялся получить какое-нибудь другое место, Альтхоф сказал ему, «что для него будет лучше остаться в Бонне». К этому времени Генрих Герц был поражён недугом, унёсшим его в могилу в возрасте 37 лет; интерес Минковского к физике иссяк, и он вернулся к своей первой любви — теории чисел. Позже он сказал как-то Гильберту, что если бы «папа» Герц был жив, вместо математика он мог бы стать физиком.

Подход Минковского к теории чисел был геометрическим, его целью было выразить с помощью геометрии соотношения между алгебраическими числами. При этом подходе многие доказательства становились более прозрачными. Он был глубоко погружён в работу над книгой об этой новой теории, и его письма к Гильберту были полны забот об изложении материала в ней. Окончательный вариант должен был быть «klipp und klar» ¹. Хотя он и называл Пуанкаре «величайшим математиком в мире», Гильберту он писал: «Я не могу заставить себя издавать свои труды в том виде, в каком издаёт их Пуанкаре».

Эта книга часто мешала Минковскому проводить свои каникулы в Кёнигсберге. Гильберт жаловался, что после отъезда Гурвица не с кем беседовать на математические темы. «Мое положение гораздо хуже твоего, — напоминал ему Минковский. — Насколько Кёнигсберг отдалён от остального мира, настолько Бонн отдалён от математики. Я здесь просто математический эскимос!».

К началу нового года (1893) дела Минковского улучшились. Книга была наполовину окончена и уже заслужила похвалу Эрмита, которую Гильберт нашёл очень трогательной.

«Вы очень добры, что назвали мои старые исследования отправной точкой для Ваших замечательных результатов, — писал Минковскому старый французский математик, — но Ваши результаты оставили мои настолько позади, что заслуга последних состоит теперь только в том, что они проложили путь, выбранный Вами для исследований».

Гильберт начал год новым доказательством трансцендентности чисел е (впервые доказанной Эрмитом) и ? (доказанной Линдеманом). Его доказательство представляло значительный прогресс по сравнению с прежними и было удивительно простым и прозрачным. Это был великолепный результат, который Минковский ожидал от него с прошлой осени. Сразу же после получения этого результата он сел и написал письмо Гильберту.

«Час назад я получил твою заметку о e и ?... и мне остаётся только выразить тебе моё искреннее и сердечное удивление... Я живо представляю себе оживление Эрмита, вызванное чтением твоей статьи. Насколько я знаю старика, я не удивлюсь, если в ближайшем будущем он сообщит тебе о своей радости, что он всё ещё способен испытывать наслаждение от такой работы».

Наряду с переменами в личной жизни и общественном положении, Гильберт начал проявлять и новый математический интерес. «Отныне я целиком посвящу себя теории чисел», — писал он Минковскому после окончания последней работы об инвариантах. Теперь он занялся этой новой областью.

Хорошо известно, что Гаусс считал теорию чисел вершиной науки. Он отзывался о ней как о «неистощимом источнике интересных истин». Гильберт относился к теории чисел как к «зданию редкой красоты и гармонии». Как и Гаусса, его привлекала «простота её фундаментальных законов, малое количество определений и чистота её истин»; оба они в равной степени были восхищены резким различием между очевидностью формулировок её результатов и «чудовищной» трудностью их доказательства. Однако, одинаково отзываясь о ней, они говорили о двух различных ветвях теории чисел.

Похвалы Гаусса относились к классической теории чисел, восходящей к грекам и имеющей дело с соотношениями между обычными целыми или натуральными числами. Важнейшие из них касались отношений между простыми числами, этими «кирпичиками» числовой системы, и остальными, которые, в отличие от них, кроме 1 и самих себя имеют ещё и другие делители. Ко времени Гаусса понятие натурального числа было значительно расширено. Но Гаусс был первым математиком, выведшим теорию чисел за пределы изучения «поля» рациональных чисел. Числовое поле есть множество чисел, в котором сумма, разность, произведение и (в отличие от целых чисел) частное двух чисел есть некоторое число из этого множества. Гаусс рассматривал числа вида a + bv–1, где a и b — рациональные числа. Множество таких чисел, как и аналогичное множество чисел вида a + bv2, образует числовое поле, поле алгебраических чисел; такие поля являются предметом изучения так называемой алгебраической теории чисел. Именно об этом направлении теории чисел, созданном Гауссом, с похвалой отзывался Гильберт.

Главным препятствием в распространении теории чисел на поля алгебраических чисел являлось то обстоятельство, что в большинстве таких полей не выполняется основная теорема арифметики, которая утверждает, что каждое натуральное число однозначно разлагается в произведение простых чисел. Это препятствие было в некоторой степени преодолено Куммером, который ввёл в рассмотрение «идеальные числа». После Куммера эту теорию разрабатывали два математика, совершенно по-разному подходившие к математике. Ещё до отъезда Гурвица в Цюрих вместе с Гильбертом они посвящали свои ежедневные прогулки обсуждению последних теоретико-числовых работ этих двух математиков. «Один из нас разобрал доказательство Кронекера теоремы о разложении на простые идеалы, другой же разобрал доказательства Дедекинда, — вспоминал позже Гильберт, — и мы нашли отвратительным как одно, так и другое». Занявшись полями алгебраических чисел, он поступил так, как и при решении проблемы Гордана. Вернувшись к самому началу, он обдумал основные идеи теории. Его первой работой в этой новой области было новое доказательство теоремы об однозначном разложении целых алгебраических чисел на простые идеалы.

Едва Гильберт освоился со своим новым положением женатого человека и ассистент-профессора с постоянным жалованьем, как пришли приятные известия. Линдеман получил приглашение из Мюнхена и собирался покинуть Кёнигсберг.

«Само собой разумеется, и, имея хоть каплю справедливости, другого не может думать и Линдеман, что ты должен быть его преемником, — писал Гильберту Минковскнй. — Если ему удастся это пробить, то он по крайней мере с честью покинет своё место, которое он занимал в течение 10 лет».

Разумеется, Гильберт был согласен с этим. Однако окончательное решение в этом деле принадлежало не Линдеману, а Альтхофу. На вакантную должность профессора факультет назвал Гильберта и трёх более солидных математиков, и список был послан в Берлин.

Альтхоф не был бюрократом, это был администратор с академической практикой. Его великой целью было создание математики в Германии. Будучи близким другом Клейна — оба вместе служили в армии во время франко-прусской войны, — он очень прислушивался к его мнению. Просмотрев впечатляющий список имён, присланный факультетом, он остановил свой выбор на 31-летнем Гильберте. После этого он даже совершил почти неслыханное дело — начал вести с ним переговоры о назначении преемника на его должность ассистент-профессора.

Это открывало возможность возвращения Минковского в Кёнигсберг. Несмотря на сложную ситуацию в Бонне, связанную с болезнью профессора математики, Гильберт с энтузиазмом взялся за незнакомую для него академическую дипломатию. Минковскому он написал об их скорой возможной встрече.

«Для меня было бы особой радостью занять твоё место в Кёнигсберге, — отвечал Минковский. — Здешние контакты с математическими коллегами действительно плачевны. Один жалуется на мигрень, а жена другого вмешивается каждые пять минут, чтобы перевести разговор на другую, нематематическую тему. Если бы вместо этого я имел возможность общаться с тобою, то в научном отношении это означало бы для меня смену ночи на день».

Однако больной профессор в Бонне, успев уже привыкнуть к Минковскому, хотел в делах опереться на его помощь. Альтхоф не любил расстраивать своих профессоров. Переговоры затягивались.

Франц Гильберт, единственный сын Давида и Кете Гильберт.

Тем временем семейные дела шли обычным чередом. 11 августа 1893 года на морском курорте Кранц ² у Гильбертов родился сын. Они назвали его Францем.

Спустя несколько недель после рождения Франца Гильберт отправился на юг, в Мюнхен, на ежегодное собрание Германского математического общества. Оно было недавно организовано группой математиков, среди которых был и Гильберт, и ставило себе целью обеспечить более тесные контакты между различными областями математики. Здесь Гильберт представил два новых доказательства разложения алгебраических чисел на простые идеалы. Несмотря на его первые шаги в области алгебраических чисел, его компетентность в этих вопросах явно произвела впечатление на остальных членов Общества. Одним из проектов Общества была ежегодная публикация обширных обзоров в различных областях математики (первый из них был посвящён теории инвариантов); на этот раз было решено поручить Гильберту и Минковскому, последний был уже хорошо известен как специалист по теории чисел, подготовить «за два года» обзор текущего состояния этой области. Назначение срока этой работы было вызвано её актуальностью в связи с тем, что революционные труды Куммера, Кронекера и Дедекинда были чрезвычайно сложными и настолько опережали своё время, что были всё ещё недоступными для большинства математиков. Тот факт, что исправить эту ситуацию поручалось Гильберту и Минковскому, был не только данью их математическим способностям, но также признанием их способности к ясному и простому изложению материала. Этой осенью письма, курсирующие между Кёнигсбергом и Бонном, были посвящены в равной мере примерно трём темам: организации обзора для Математического общества, прогрессу переговоров о переезде Минковского обратно в Кёнигсберг и тому факту, что, с отцовской точки зрения, маленький Франц уже «перекрикивает» остальных детей.

Положение в Бонне не улучшалось; в день Нового 1894 года Минковский писал, что он потерял почти всякую надежду получить назначение в Кёнигсберг. Однако спустя три дня, встретившись с Альтхофом, он послал Гильберту радостное письмо.

«Всё окончилось хорошо, очень хорошо... Сердечная благодарность за все твои усилия, приведшие к этому счастливому исходу; желаю нам с тобою приятного и выгодного сотрудничества, которое заставит простые числа и законы взаимности wiggeln und waggeln».

В марте по пути в Кёнигсберг Минковский остановился в Гёттингене. Г. А. Шварц тем временем переехал в Берлин, а его место занял Генрих Вебер. Это развязало Клейну руки для претворения в жизнь своих замыслов. По-видимому, на Минковского произвела глубокое впечатление та стимулирующая обстановка, которая уже была создана Клейном в университете. «Кто знает, когда мне снова доведётся вдыхать эту атмосферу математической мастерской, которая сейчас имеет наивысшую репутацию?».

С приездом Минковского весной 1894 года возобновились ежедневные прогулки к яблоне и совместные беседы о теории чисел. По мнению Гильберта, нельзя было придумать лучшего сотрудника для создания Zahlbericht ³ — такое название получил обзор по теории чисел. Несмотря на мягкий характер Минковского, его отношение было в основном критическое, он настаивал на ясности стиля и содержания и «даже к чужим работам предъявлял строгие требования».

План Zahlbericht начал вырисовываться в голове Гильберта. Подобное поручение Математического общества могло бы расцениваться молодым математиком как нежелательная чёрная работа, однако для Гильберта дело обстояло иначе. Уже его собственная работа показывала, что он проявлял особый интерес к вопросу о распространении законов взаимности на поля алгебраических чисел. Теперь он сознательно отложил в сторону свои планы, считая, что заказанный обзор даёт возможность заложить основы для более глубоких исследований. Хотя до сих пор он не питал склонности к изучению теории по книгам, теперь он прочитал всё изданное по теории чисел со времен Гаусса. Доказательства всех известных теорем надо было тщательно обдумать. Затем ему следовало отобрать из них те, «идеи которых поддаются обобщению и наиболее перспективны для дальнейших исследований». Однако до этого необходимо было провести эти «дальнейшие исследования». Кроме того, нужно было устранить те трудности стиля и мышления предшествующих исследователей, которые ставили преграду для общего понимания и признания их работы. Было решено разбить обзор на две части. Минковскому поручалось изложить материал, относящийся к обычным рациональным числам, а Гильберту — алгебраическую теорию чисел. В течение 1894 года он заложил основы своей части Zahlbericht.

И снова двум друзьям не пришлось долго общаться. В начале декабря из Гёттингена пришло письмо с припиской: «Строго конфиденциально».

«Наверно, Вы ещё не знаете, что Вебер уезжает в Страсбург, — писал Клейн Гильберту. — Сегодня же вечером на факультетском собрании будет выбран комитет, которому будет поручено составить список претендентов; хотя и я не берусь предсказать результат, мне хотелось сообщить Вам, что я приложу все усилия, чтобы сюда пригласили только Вас».

«Вы именно тот человек, в котором я нуждаюсь в качестве своего научного дополнения. Это объясняется направлением Вашей работы, силой Вашего математического мышления и тем фактом, что Ваш возраст приходится на самые продуктивные годы. Я рассчитываю, что Вы вольёте свежие силы в здешнюю математическую школу, которая непрерывно растёт и, по-видимому, вырастет ещё больше. Кроме того, быть может, Вы даже окажете омолаживающее влияние на меня...».

«Я не знаю, удастся ли мне оказать давление на факультет. Более того, я не знаю даже, последует ли предполагаемое предложение из Берлина. Однако одно Вы должны обещать мне уже сейчас: что Вы не откажетесь от полученного вызова!».

Неизвестно, имел ли Гильберт сомнения на этот счёт. В действительности он написал Клейну: «Безусловно, я не колеблясь и с большой радостью приму приглашение в Гёттинген». Однако, быть может, некоторые сомнения у него и были. Клейн был признанным лидером математики в Германии. Это был величественный человек, и всё чаще и чаще теперь к нему применяли слово «царственный»). Иногда даже таких выражений было недостаточно, и один его бывший студент назвал его «божественным Феликсом». Один человек, хорошо его знавший и гордившийся тем фактом, что как-то дал Клейну совет в личных делах, позже признался, что между ними до конца сохранялась дистанция, «как между богом и простым смертным».

Что касается чувств Клейна по отношению к Гильберту, то ему уже было ясно, что тот, подвергая сомнению любой авторитет как в личных, так и в математических вопросах, шёл в жизни своим путём. Клейн не мог не понимать возможных возражений против своего выбора. Когда на факультетском собрании коллеги обвинили его в том, что он просто хочет получить удобного для него молодого человека, он ответил: «Я просил самого трудного человека из всех».

Гильберт очень старался над своим ответом на письмо Клейна, много перечёркивая и переписывая для того, чтобы добиться точного понимания. Добившись удовлетворительного варианта, он дал Кёте переписать свой ответ её хорошим почерком. Последнее стало со временем его частым обычаем.

«Ваше письмо удивило меня самым счастливым образом, — начал он. — Оно открыло путь для реализации того, на что я надеялся в лучшем случае только в далёком будущем и что рассматривал как окончательную цель всех моих усилий...».

«Решающим для меня будет прежде всего тот стимул, которым Вы явитесь для моей научной деятельности, и то огромное влияние, которое окажет на меня слава Вашего университета. Кроме того, это будет исполнением самых заветных для меня и моей жены желаний жить в маленьком университетском городке и особенно так красиво расположенном, как Гёттинген».

Получив это письмо от Гильберта, Клейн принялся реализовывать план своей кампании. «Я уже сказал Гурвицу, что на этот раз его кандидатура не будет выставляться, чтобы облегчить дорогу для Вас. Минковский будет назван вторым. Я это обсудил с Альтхофом, и он думает, что это облегчит Минковскому возможность занять Ваше место в Кёнигсберге».

Через неделю он с триумфом писал Гильберту: «Всё кончилось просто прекрасно и намного быстрее, чем я даже мог надеяться. Пожалуйста, примите моё сердечнейшее приглашение».