XIII САМООТВЕРЖЕННАЯ ЖИЗНЬ В НАУКЕ.

В начале двадцатого столетия студентам-математикам всего мира давался один и тот же совет: «Собирайте свои вещи и отправляйтесь в Гёттинген!».

Иногда казалось, что маленький городок целиком состоит из математиков. Но следует отметить, что были здесь и другие люди и для некоторых из них la grande affaire ⁶ было совсем другим. Один французский журналист, выбравший Гёттинген как лучшее место для наблюдения за немецкими студентами в естественной для них обстановке, больше всего был поражен тюрьмой на третьем этаже Большого зала университета. На Веендерштрассе он увидел не математиков, а молодых людей, которые «прогуливались как лорды», с яркими цветами студенческих общин дуэлянтов, украшавшими козырьки их фуражек, и с лицами, как правило, в повявках. «Они оставляют за собой, — сообщал он, — тошнотворный запах йода, которым насквозь пропитан весь Гёттинген». Однако математики предпочитали пересказывать, как на Веендерштрассе Минковский, увидев молодого человека, размышлявшего над явно серьёзной задачей, похлопал его по плечу и сказал: «Конечно, он должен сходиться» — и молодой человек ответил благодарной улыбкой.

Давно прошли те дни, когда Гильберт читал свои лекции по аналитическим функциям в присутствии одного лишь профессора Франклина. Теперь, чтобы послушать его лекции, в аудиторию набивалось иногда по нескольку сот человек, многие из которых могли найти место только на подоконнике. Ни состав, ни количество слушателей не производили впечатления на Гильберта. «Если бы сам император вошёл в зал, — говорил Гуго Штейнгауз, который приехал в это время в Гёттинген, — Гильберт бы не прореагировал».

Объяснялось ли это его положением ведущего математика Германии? «Нет, Гильберт был бы тем же, если бы он даже не имел ничего, кроме куска хлеба».

Борн стал теперь «личным» ассистентом Гильберта. В немецких университетах того времени, как правило, только профессора в экспериментальных науках имели ассистентов, помогавших им в лабораторной работе. Однако Клейн сразу же после того, как он взял в свои руки математику в Гёттингене, ухитрился раздобыть средства для оплачивания секретаря в Lesezimmer. Первым, кто получил эту должность, был Арнольд Зоммерфельд; естественно, что секретарь Lesezimmer стал ассистентом Клейна. Ассистент же Гильберта был до сих пор без оплаты.

По словам Борна, это была «довольно неопределённая» работа, «но бесценная благодаря тому, что я мог видеть и разговаривать с ним каждый день». По утрам Борн приходил в дом Гильберта, где он обычно уже заставал Минковского. Все вместе они обсуждали тему предстоящей лекции Гильберта, которая часто происходила в то же самое утро.

Гильберт не терпел математических лекций, которые насыщали студентов фактами, но не учили их, как ставить и решать задачи. Он часто говорил им, что «правильная постановка задачи — это уже половина её решения».

«Большую часть часа он посвящал объяснению существа вопроса, — вспоминает Штейнгауз. — Следующее за тем формальное доказательство становилось таким естественным, что оставалось только удивляться, что мы не дошли до него сами». В обсуждениях с Минковским и Борном Гильберт интересовался только общими принципами, на которых он должен был построить свою лекцию. Он отказывался готовиться до такой степени, чтобы, как он презрительно говорил, «студенты могли легко составить прекрасные конспекты». Вместо этого он пытался вовлечь их в сам творческий процесс, осветить трудности и «указать на мост, ведущий к решению конкретных проблем». Детали изложения должны были прийти к нему позже, на кафедре.

«Это было прекрасное время для моего образования, — писал Борн об этих встречах с Гильбертом и Минковским, — не только в научных, но и житейских вопросах. Я обожал и любил их обоих, и они не давали мне повода чувствовать, как велика была разница в знаниях и опыте между ними и мною; они обращались со мною, как с младшим коллегой».

Когда Гильберту подходило время идти на лекцию, Минковский, возвращаясь домой, часто брал с собой Борна. Всего два квартала отделяли дом Гильберта от квартиры Минковского на Планкштрассе; однако часто, глубоко погрузившись в беседу, они «совершали длинную прогулку», прежде чем попадали домой. Маленькие девочки выбегали встречать своего папу; прибежавшая первой усаживалась ему на спину и въезжала в дом, ухватившись за его густые тёмные волосы и визжа от радости. В противоположность Гильберту, чьё дружелюбное отношение к молодёжи не распространялось на маленьких, Минковский понимал и обожал детей. Именно благодаря его поддержке и забавам удалось, наконец, заставить заговорить маленького Франца; его письма к Гильберту всегда содержали какое-нибудь послание Францу. Его собственные дети должны были помнить своего отца, который по нескольку минут в день уделял каждому в отдельности, чтобы они могли иметь возможность поговорить с ним. «Дядю Гильберта» они должны были помнить как человека, «не очень ладившего с детьми».

Готовясь к своим лекциям только в самых общих чертах, Гильберт, случалось, терпел фиаско. Иногда он не мог провести или неправильно проводил детали рассуждений. Тогда лекция прерывалась. Если присутствовал ассистент, то он мог прийти на помощь. «Студенты волнуются, господин профессор, что знак неверен». Но часто ни ассистент, ни слушатели не могли помочь. Тогда он пожимал плечами: «Да, мне надо было лучше подготовиться» — и распускал слушателей. Чаще же он пытался спасти лекцию. И тем не менее, по общему мнению, в Гёттингене не было педагога, даже близко стоящего к Гильберту! Слушателям его лекций математика представлялась «всё ещё в процессе создания», и большинство из них предпочитали их более совершенным, энциклопедическим и «законченным» лекциям Клейна.

Несколько неожиданно Гильберт проявил довольно значительный интерес к педагогике. Не будучи очень высокого мнения о способностях среднего студента, он считал, что ничего нельзя усвоить, пока не услышишь несколько раз. «Пять раз, Герман, пять раз!» — памятный совет, который он давал Вейлю, когда тот начинал свою педагогическую деятельность. «Вычисления проводи не выше, чем на уровне таблицы умножения» и «Начинай с простейших примеров» — другие его любимые заповеди. Сам он старался представлять важные идеи в особо наглядной форме, всегда подыскивая контрастные сравнения, делающие их более поразительными и запоминающимися.

Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям начинались с того, что на доске выписывались два уравнения: y" = 0 и y" + y = 0. «Meine Herren, ⁷ — говорил он, — на них вы можете изучить всю теорию и даже понять разницу в задачах с начальными или с краевыми условиями».

«Предложение «Все девочки по имени Кёте красивы» не является всеобщим законом, — объяснял он перед другой аудиторией. — Действительно, оно зависит от выбранного имени, а последнее произвольно».

Разница между утверждением чистого существования и конкретным построением иллюстрировалась заявлением, всегда вызывавшим смех среди студентов: «Среди сидящих в этой аудитории существует один с наименьшим количеством волос».

Кроме своих собственных лекций, Гильберт регулярно вёл семинар с Минковским. В 1905 году после года изучения физики они решили посвятить свой семинар одной из её областей — электродинамике движущихся сред. Хотя первоначальная инициатива исходила от Минковского, Гильберт играл в нём активную роль и был полноправным партнёром, по мнению Борна, «часто проясняя и постоянно стремясь к ясности».

Для Борна и других студентов семинарские занятия представляли собой волнующие и побуждающие к мысли часы. Сокращение Фицджеральда, местное время по Лоренцу, эксперимент Майкельсона—Морли с интерференцией — всё это обсуждалось подробнейшим образом, и «мы узнавали совершенно фантастические утверждения из электродинамики».

Одним из тех совпадений, которые не так уж редко бывают в истории науки, было то, что именно в этот год похожие идеи появились в серии работ одного служащего бюро патентов в Берне по электродинамике и специальной теории относительности. «Но об этом, — говорил Борн, — в Гёттингене ещё ничего не было известно, а имя Эйнштейна ни разу не упоминалось на семинаре Гильберта — Минковского».

Борн, на которого произвели большое впечатление идеи, обсуждаемые на семинаре, решил взять из этой области тему для своей диссертации. Однако на другом семинаре он впал в немилость у Клейна, а в Гёттингене считалось аксиомой, что тем, к кому великий Феликс не благоволил, приходилось плохо. Поэтому, чтобы не подвергать себя риску на экзамене по геометрии у Клейна, Борн переключился на астрономию. Ему всё равно пришлось бы экзаменоваться по математике, но в этом случае экзаменатором был бы Гильберт.

Перед экзаменом Борн попросил у Гильберта совет по подготовке к вопросам по математике.

«В какой области вы чувствуете себя наименее подготовленным?» — спросил Гильберт.

«В теории идеалов».

Гильберт больше ничего не сказал, и Борн решил, что из этой области ему не будут задавать вопросов. Но в день экзамена все вопросы Гильберта относились к теории идеалов.

«Ja, ja, — говорил позже Гильберт, — мне было просто интересно узнать, что вы знаете о вещах, о которых вы ничего не знаете».

После 1905 года Минковский почти полностью переключился на электродинамику. Работа Эйнштейна стала известной в Гёттингене, и Минковский припомнил своего бывшего студента. «Ach, der Einstein, — разочарованно сказал он, — der schwanzte immer die Vorlesungen — dem hatte ich das gar nicht zugetraut». (Ax, этот Эйнштейн, всегда пропускавший лекции; я бы никогда не поверил, что он способен на такое!)

Гильберт продолжал свои исследования в области интегральных уравнений. Поддерживая тесную связь между этими исследованиями и своей педагогической деятельностью, он часто обсуждал свои результаты на лекциях и семинарах ещё до того, как они принимали законченный вид. Часто случалось, что прогресс в его работе был обязан такого рода сотрудничеству со своими студентами, которые, как он с удовольствием вспоминал позже, «постоянно оказывали помощь в нахождении более точных формулировок, а также иногда и в расширении области исследований». Например, в 1904 году он опубликовал свою теорию собственных функций и собственных значений. В самой важной части она была ещё слишком «тяжеловесной». Затем в 1905 году Эрхард Шмидт заложил в своей диссертации новые основы теории Гильберта, которым из-за их ясности и краткости было суждено сыграть важную роль. Именно в это время, в 1905 году, Венгерская Академия Наук поразила математический мир объявлением об учреждении внушительной премии в 10 000 золотых крон, предназначавшейся математику, чьи достижения за последние 25 лет внесли наибольший вклад в развитие математики. Эта премия стала известной как премия Бояи, названная в честь Яноша Бояи, венгерского математика, одного из создателей неевклидовой геометрии, и его отца Фаркаша Бояи, друга Гаусса со студенческих времён.

Академия назначила комитет в составе Юлиуса Кёнига, Густава Радоша, Гастона Дарбу и Феликса Клейна. Ему было поручено назвать лауреата; однако ещё до заседаний комитета любому математику в мире было ясно, что придётся выбирать только из двух людей. Окончательное решение было единогласным. Премия Бояи должна была быть вручена Анри Пуанкаре, чья математическая карьера началась в 1879 году, в то время, когда Гильберт был ещё учеником гимназии. Тем не менее также единогласно комитет решил, что в знак большого уважения к Давиду Гильберту в отчёте о своём выборе, представленном Академии, его математическая работа будет оценена наравне с работой Пуанкаре.

«Не золото, а почёт», — передавал Гильберту из Будапешта свои сожаления Клейн.

Позже, вернувшись в Гёттинген, Клейн объяснил Блюменталю, что решающим соображением, из-за которого премия досталась Пуанкаре, было то, что французский математик затронул своими достижениями «всю орбиту математической науки».

«Но Гильберт ещё охватит столь же обширную область, как и Пуанкаре!» — предрекал Клейн.

Это было благоприятным временем для пророчества. Гильберт создавал теперь то, чему суждено было стать венцом его занятий анализом — теорию бесконечно многих переменных, ставшую широко известной как теория «гильбертова пространства».

Обобщение алгебраической теории квадратичных форм от двух и трёх переменных на случай любого конечного числа переменных было популярным среди алгебраистов прошлого века; так как пара чисел представляет точку на плоскости, а тройка — в трёхмерном пространстве, то при увеличении числа переменных они сочли удобным перейти в «пространства» более высокой размерности. Как однажды заметил Э. Т. Белл, такое обобщение «почти тривиально для любого компетентного алгебраиста». Однако переход к бесконечному числу переменных требует уже рассмотрения вопросов сходимости, а эта аналитическая проблема «никому не представляется тривиальной». Следующее обобщение состоит в том, что можно, например, рассматривать пространство, точками которого являются непрерывные функции.

Из-за своей крайней общности проблема, которой он теперь занимался, казалась почти недоступной даже для Гильберта. Но он смело принялся за неё.

«Если мы не оробеем под влиянием таких соображений, то мы окажемся в положении Зигфрида, перед которым отступил огонь; манящей же наградой послужит прекрасное вознаграждение — единый методологический подход к алгебре и анализу!».

В удобном и ярком пространственном представлении многие аналитические соотношения могут быть выражены в знакомых терминах; кроме того, в геометрической формулировке большая часть сложных и непонятных на аналитическом языке вещей становится интуитивно почти очевидной. Благодаря этому теория гильбертовых пространств — первоначально названная Гильбертом по техническим причинам «Спектральной теорией» — предлагала чрезвычайно соблазнительный язык для простого и непосредственного выражения очень абстрактных результатов. Хотя из неё следовали многие его собственные результаты и методы, причём более простым способом, не в этом заключалось её главное значение.

«Важнее всего, — писал позже Курант, — является упорядочивающее и проясняющее действие такой общей теории функций на всю методологию и идейное развитие аналитических исследований».

Одновременно с развитием этой очень абстрактной и сложной математической теории Гильберт учил математическому анализу студентов первого курса.

Его курс анализа 1906 года, хотя и обычный с точки зрения его педагогической техники на этом уровне, всё же отличался кое-чем от предыдущих и последующих курсов. Объяснялось это тем, что он читался в период большого лыжного сезона. Под влиянием Рунге, который просто не мог не быть первым спортсменом факультета, ибо его мать была англичанкой, Гильберт и некоторые из более молодых преподавателей решили учиться кататься на лыжах. Необходимые принадлежности были заказаны в Норвегии, так как ничего подобного в Германии ещё не выпускалось. Занятия, которыми руководил Рунге, происходили на небольшом склоне, чуть ниже популярной гостиницы Der Rohns.

«Да, ты знаешь, это очень приятно, но очень трудно», — признался Гильберт Минковскому на еженедельном собрании Математического клуба.

«Сегодня днём я совершенно неожиданно, совсем не подозревая этого, очутился в канаве. Обе мои лыжи повисли в воздухе, в то время как я лежал на спине. Одна из них соскочила и покатилась под гору. В результате мне пришлось снять вторую лыжу и вместе с ней спускаться по глубокому снегу. Ты знаешь, это не так просто».

«Да, — сказал Минковский, не принявший нового вида спорта, — но почему ты не пустил вторую лыжу вдогонку за первой? Ведь она оказалась бы рядом с ней». «О, Рунге никогда о таком не думал», — воскликнул Гильберт.

Между домом Гильберта и Auditorienhaus, где он читал лекции по анализу, был небольшой уклон, и когда было достаточно снега, Гильберт предпочитал идти на лекцию на лыжах. В такие дни он врывался в аудиторию в своих громадных норвежских лыжных ботинках с остриями на носках и пряжками на задниках и, запыхавшись, взбирался на кафедру, уже приступив к чтению лекции.

Он всё ещё сохранил привычку начинать лекцию с аккуратного напоминания материала прошлой лекции. Если на предыдущей требовалось 40 минут для изложения материала, то теперь он тратил на него 20 минут. Только закончив повторение, он приступал к новой теме.

«Прошлый раз мы узнали то-то и то-то. По-видимому, в новой ситуации это вряд ли применимо. С чего бы это? Почему старый метод не работает? В чем дело? Что мы можем сделать? Как нам преодолеть эту трудность?».

В таком духе он мог продолжать некоторое время. Кроме того, он мог затронуть идеи из других областей и упомянуть самые последние работы. Студенты бывали зачарованы мелькнувшими перед ними понятиями и областями математики, о которых при обычном ходе обучения они не знали бы ещё многие годы. Кроме того, в них зажигалось всё возрастающее желание познакомиться с современной наукой. Наконец, после того, как, казалось, уже не было никакой надежды, всплывало нужное понятие — «как мраморная статуя, высвеченная лучом света в тёмном парке».

«Это было замечательно, — говорит Пауль Эвальд, бывший слушателем курса 1906 года. — Когда оно наконец появлялось, у нас возникало чувство, будто мы на самом деле присутствовали при создании Гильбертом нового важного понятия».

К этому времени ассистенты Гильберта стали получать жалованье и иногда даже стало возможным организовывать специальный Ausarbeiter ⁸ для большого числа слушателей. В этот самый год Гильберту удалось добыть некоторые нематематические фонды для математики и Эвальд был нанят для Ausarbeiter с оплатой, как у «работника лесничества» в ближайшей деревне. В его обязанности входила подготовка чистой копии составленного им конспекта лекций Гильберта, который затем должен был быть одобрен ассистентом, должность которого теперь занимал друг Борна Хеллингер.

Даже в таких элементарных курсах, как анализ, часто случалось, что Гильберт путал некоторые вещи. Тогда Хеллингер, печально глядя в конспект Эвальда, говорил: «Да, он снова напутал, и нам придётся сесть и всё исправить». Когда записи, наконец, удовлетворяли Хеллингера, они направлялись в Lesezimmer, где ими могли пользоваться студенты.

Эвальд, ставший со временем известным физиком, всегда говорил, что почти весь нужный ему анализ он узнал из курса Гильберта и послелекционных занятий с Хеллингером.

В весенний семестр этого учебного года Гильберт купил велосипед, только недавно начавший входить в моду как средство передвижения в Гёттингене, и в возрасте почти 45 лет начал учиться кататься на нём.

Лыжи были временным увлечением, но велосипед, как и пешеходные прогулки, а также занятия садоводством стали постоянными спутниками его творческой жизни. До сих пор он предпочитал работать на воздухе. Теперь рядом с ним всегда был велосипед. Некоторое время он мог работать у большой доски, висевшей на соседской стене. Затем он внезапно останавливался, вскакивал на велосипед, делал восьмёрку вокруг двух круглых клумб с розами или какой-нибудь другой трюк. Покатавшись несколько минут, он бросал велосипед на землю и возвращался к доске. В другой раз он мог прервать свои занятия для того, чтобы немного походить по своей крытой дорожке, склонивши голову, с руками за спиной. Иногда он прекращал свою работу, чтобы подрезать дерево, немного покопать или прополоть сорняки. Постоянно приходивших в дом посетителей экономка направляла в сад со словами: «Если вы не увидите профессора, то поищите его на деревьях». Как правило, уже первое слово, которое произносил Гильберт, показывало, что несмотря на внешнее проявление, он был всецело поглощён решением какой-нибудь конкретной математической задачи. Он мог продолжить ход своей мысли, но теперь уже вслух, если, разумеется, посетитель не пришёл со своей собственной проблемой. Тогда с энтузиазмом и интересом он переходил на эту тему.

Рихард Курант, недавно присоединившийся к компании из Бреслау, включавшей Борна, Хеллингера и Тёплица, часто наблюдал за деятельностью Гильберта в саду с балкона своей комнаты, находившейся неподалеку. Ему казалось это «фантастической способностью сохранять равновесие между крайним сосредоточением и полнейшим отдыхом».

На следующий год Гильберт предоставил научному обществу свою теорию бесконечно многих переменных. Эрхард Шмидт, к тому времени приват-доцент в Берлине, опубликовал свой собственный, очень простой и красивый метод решения, который, как и его диссертация, развивал работу его учителя.

Таким образом, научная жизнь в Гёттингене продолжалась, оставляя о себе незабываемую память в сердцах тех, кто жил наукой, и оставаясь незамеченной для приезжавших журналистов.