АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЧИСЛОВЫЕ ПОЛЯ.

Когда Гильберт, покончив с инвариантами, обратился к теории алгебраических числовых полей, эта теория покоилась в основном на доказанной более сорока лет назад теореме Дирихле о единицах и идеальных дивизорах, введенных Куммером, Дедекиндом и Кронекером. Основным объектом её изучения являются алгебраические поля k над полем рациональных чисел Q. Один из самых важных общих фактов, относящихся к основаниям, был открыт Дедекиндом. Он показал, что простые делители дискриминанта — это в точности те простые числа, разложение которых в произведение простых идеалов в поле k содержит кратные сомножители (разветвлённые простые числа). Если l — простое рациональное число, то добавление к k корня l-й степени из числа ?, принадлежащего k, определяет относительное циклическое поле K = k(?^1/l) степени l над k при условии, что k содержит корень l-й степени из единицы ? = e^2?i/l (согласно Лагранжу, любое относительное циклическое поле степени l над k получается таким образом). Надо отметить, что именно последнее обстоятельство заставило Куммера при его попытках доказать теорему Ферма о невозможности решения уравнения ?^l + ?^l = ?^l перейти от поля рациональных чисел Q к круговому полю k_l = Q(?) и затем ввести свои идеальные числа с тем, чтобы определить, взаимно ли просто с l количество классов эквивалентности таких чисел в k_l. Гильберт вошел в эту область, резюмировав результаты Куммера о циклических полях степени l над полем k_l, которые он назвал «куммеровыми полями».

Его первым важным собственным достижением явилась теория относительных полей Галуа K данного алгебраического числового поля k. В основном он интересовался связью группы Галуа ? поля K/k с разложением простых идеалов поля k в поле K. Для любого простого идеала B относительной степени f в поле K подстановки s из ? со свойством sB = B образуют группу разложения. Как обычно в теории Галуа, этой группе соответствует некоторое подполе поля K/k (поле разложения). Элемент из K принадлежит этому полю, если он инвариантен относительно всех подстановок из группы разложения. Множество подстановок t, переводящих каждое целое число A поля K в число tA, сравнимое с A по mod B, образует инвариантную подгруппу группы разложения индекса f, которая называется группой инерции. Соответствующее поле (поле инерции) зажато между полем разложения и полем K. Пусть p — простой идеал в k и B^l — точная степень B, делящая p. Я дам представление о характере результатов Гильберта, сформулировав следующий его центральный результат. В поле разложения идеала B разложение простого идеала p на простые множители содержит простой идеал p^* = B^e степени 1 (отсюда название такого поля!); при переходе от поля разложения к полю инерции идеал p^* остается простым, но его степень увеличивается до f; при переходе от поля инерции к полю K идеал p^* распадается на e простых сомножителей B одинаковой степени f. Для дальнейшего я добавлю следующее замечание. Если B входит в разложение p только в первой степени, т.е. e=1 (что всегда выполняется, если p не делит относительный дискриминант поля K/k), то группа инерции состоит только из единичного элемента. В этом случае теория конечных полей Галуа показывает, что группа разложения является циклической порядка f, а её элементы 1, s, s², ..., s ^f–1 однозначно определяются сравнениями.

SA ? A^P, s²A ? A^P?, ... (mod B).

Справедливыми для любого целого числа A. Здесь P обозначает число вычетов в k по модулю p и, тем самым, Pf совпадает с числом вычетов в K по модулю B. Сегодня мы называем элемент s = ?(B) подстановкой Фробениуса идеала B. При этом особо важным является то, что некоторый специальный элемент группы разложения может быть выделен среди всех остальных. Сразу же видно, что для любого элемента u группы Галуа ?(uB) = u–1?(B)u. Таким образом, если поле Галуа K/k является абелевым, то подстановка ?(B) = ?(uB) зависит только от p и может быть обозначена через (

K P.

)

.

В 1893 году Deutsche Mathematiker-Vereinigung ⁸ обратилось к Гильберту и Минковскому с просьбой подготовить в течение двух лет обзор по теории чисел. Спустя некоторое время Минковский выбыл из участия в этом проекте. Монументальный обзор Гильберта Die Theorie der algebraischen Zahlkorper появился в Jahresbericht ⁹ в 1896 году (предисловие датировано апрелем 1897 года). Представленный Гильбертом труд в бесконечное число раз превосходил всё то, на что могло рассчитывать Общество. На самом деле его обзор представляет собой жемчужину математической литературы. Даже сегодня, спустя почти пятьдесят лет, изучение этой книги необходимо для любого, кто пожелает стать специалистом в теории алгебраических чисел. Заполнив пробелы большим количеством своих собственных исследований, Гильберт придал этой теории величественную унифицированную форму. Доказательства всех известных теорем были тщательно проанализированы, прежде чем он остановился на тех из них, «принципы которых поддаются обобщению и более всего пригодны для дальнейших исследований». Но прежде чем сделать такой выбор, нужно было провести сами эти «дальнейшие исследования»! Особое внимание было уделено обозначениям, благодаря чему впоследствии они стали общеупотребительными (включая, к ужасу американских издателей, готические буквы для идеалов). Ему удалось существенно упростить теорию Куммера, основанную на очень сложных вычислениях, а также ввести те понятия и доказать большинство из тех теорем, которые составляют сегодня основания общей теории относительных абелевых полей. Наиболее важными в ней являются понятие символа норменного вычета, центральная теорема об относительных циклических полях, знаменитая Satz ¹⁰ 90 (Собрание трудов, т. 1, стр. 149). Позвольте мне привести один абзац из предисловия, в котором он описывает общий характер теории чисел и, в частности, те темы, которые затрагиваются в его обзоре.

«Теория числовых полей представляет собой здание редкой красоты и гармонии. Самая же богатая идеями часть этого здания, как мне кажется, есть теория абелевых полей, возникшая из работы Куммера о высших законах взаимности и исследований Кронекера по комплексному умножению эллиптических функций. Глубокое проникновение в эту теорию, которое дают работы этих двух математиков, показывает в то же время, что несметные сокровища всё ещё лежат сокрытыми, маня богатым вознаграждением исследователя, знающего им цену и с любовью применяющего своё искусство, чтобы овладеть ими».

Сам Гильберт был рудокопом, который в течение следующих двух лет добыл большую часть скрытой под землей руды. Руководящим принципом в это время для него служила аналогия с соответствующими проблемами для алгебраических функций от одной переменной, где доступны мощные методы топологии и абелевых интегралов, введённые Риманом (ср. его замечания в разделе 12 Парижских проблем). Доставляет большое удовольствие наблюдать, как шаг за шагом, поднимаясь от частного к общему, Гильберт вводит адекватные понятия и методы и делает важные заключения. Я упомяну о его выдающейся работе по относительным квадратичным полям, а также о его последней и самой важной работе Ueber die Theorie der relativ Abelschen Zahlkorper. Подробно разбирая примеры, ему удалось предсказать и сформулировать основные факты о так называемых полях классов. В то время как работы Гильберта по теории инвариантов служили завершением теории, его работы по алгебраическим числам были только началом. Большая часть усилий таких теоретико-числовиков последних десятилетий, как Фуртвенглер, Такаги, Хассе, Артин, Шевалле, была направлена на доказательство результатов, предсказанных Гильбертом. Используя ?-функцию для доказательства существования некоторых вспомогательных простых идеалов, Гильберт существенно опирался на трансцендентные рассуждения. Последующее развитие постепенно избавилось от этих трансцендентных методов, показав, что, хотя те и являются подходящим и мощным инструментом для исследования распределения простых идеалов, они чужды для проблем теории полей классов. Пытаясь описать основные моменты последней, я не буду отказываться от прогресса и упрощения, достигнутого этим недавним развитием.

Разработанная Гильбертом теория норменных символов основана на следующих его собственных открытиях: (1) он осознал основную идею и определил символ норменного вычета для всех неисключительных простых идеалов; (2) он понял необходимость введения бесконечных простых точек; (3) он сформулировал общий закон взаимности в терминах норменного символа; (4) он увидел, что этот закон позволяет распространить определение норменного символа на исключительные простые идеалы, в которых и сосредоточен главный интерес. Существенный прогресс произошел после того, как Э. Артин позже (5) взял за значение символа вычета не корни из единицы, а элементы группы Галуа. В своём наброске проблем, поставленных Гильбертом, я воспользуюсь этой идеей Артина, а также упрощающим языком (6) p-адических чисел Гензеля и (7) иделей Шевалле ¹¹.

Как хорошо известно, целое число a, не делящееся на простое число p?2, называется квадратичным вычетом, если сравнение x² ? a(mod p) разрешимо. Гаусс ввел символ.

(

a p.

) ,

Равный +1 или –1 в зависимости от того, является ли a квадратичным вычетом или невычетом по mod p. Он же заметил, что тот является характером,

(

a p.

)

·

(

a' p.

)

=

(

aa' p.

)

.

Действительно, p вычетов по mod p, в качестве представителей которых можно взять числа 0, 1, ..., p–1, образуют поле, а ненулевые элементы этого поля образуют группу, в которой квадратичные вычеты составляют подгруппу индекса 2. Пусть K = Q(vb) — квадратичное поле, которое получается из поля рациональных чисел Q присоединением квадратного корня из рационального числа b. Целое число ??0 Гильберт называет p-адической нормой в K, если по модулю любой степени p оно сравнимо с нормой некоторого целого числа в K. Он полагает.

(	a, K p.	)	=	I.	+1, если a является p-адической нормой,
I.
I.	–1 в противном случае.

И показывает, что этот p-адический норменный символ также является характером. Систематическое изучение чисел по модулю произвольных степеней простых чисел p было проведено К. Гензелем в рамках его p-адических чисел, и я повторю на этом языке определение Гильберта: «Рациональное число a ? 0 или, более общо, p-адическое число a_p ? 0 является p-адической нормой в поле K, если уравнение.

A_p = Nm (x + yvb) = x² – by^2.

Имеет p-адическое решение x = x_p, y = y_p; норменный символ (a_p, K) равен +1 или –1 в соответствии с тем, является ли a_p p-адической нормой в K или нет».

P-адические числа образуют поле Q(p), а p-адические нормы составляют в его мультипликативной группе G_p ненулевых чисел подгруппу индекса 1 или 2. Цикличность факторгруппы является существенным обстоятельством. Легко видеть, что p-адические квадраты образуют подгруппу G_p² индекса 4, если p ? 2, и 8, если p = 2, а факторгруппа G_p/G_p² не является циклической и, следовательно, не может быть описана одним-единственным характером. Разумеется, каждый p-адический квадрат является p-адической нормой в K. Оба шага, замена квадратов K-нормами и переход от модуля p к произвольно большим степеням p, из которых первый позволяет ослабить, а второй усилить условие Гаусса для квадратичного вычета, одинаково существенны для успеха введённого Гильбертом определения.

Каждое p-адическое число a_p ? 0 представимо в виде p^he_p, где e_p — p-адическая единица, тем самым a_p имеет определённый порядок h (относительно p). Каждое обыкновенное рациональное число a совпадает с некоторым p-адическим числом I_p(a) = a_p. Здесь I_p обозначает гомоморфизм вложения поля Q в поле Q(p):

I_p(a + a?) = I_p(a) + I_p(a?), I_p(aa?) = I_p(a)I_p(a?).

Характер (

a, K p.

)

Обозначается также через (I_p(a), K).

Мы подходим ко второму открытию Гильберта; он пришёл к заключению, что нельзя получить простые законы, пока мы не добавим к «конечным простым точкам» p одну бесконечную простую точку q. По определению q-адические числа являются вещественными числами, a I_q(a) — рациональное число, совпадающее с самим a.

Таким образом, вещественное число является q-адической нормой в K, если уравнение a_q = x² – by² имеет решение в вещественных числах x, y. Ясно, что при b > 0, т.е. в случае вещественного поля K, это выполняется для всех a_q. Если же b < 0, т.е. K — мнимое поле, то только положительные числа a_q являются q-адическими нормами.

Тем самым,

(aq, K) =	I.	1, если K вещественное,
I.
I.	Sgn aq, если K мнимое.

Тот факт, что норменный символ является характером, для бесконечной простой точки проверяется, тем самым, намного легче, чем для конечных точек.

Третье замечание Гильберта состоит в том, что закон взаимности Гаусса вместе с двумя его дополнениями может быть записан следующей изящной формулой:

?	( Ip(a), K) =	?	(	a, K p.	)	= 1,
p.		p.
(3).

Где произведение берётся по всем конечным и бесконечным простым точкам p. Это произведение вполне определено, так как почти все множители (т.е. все, за исключением конечного числа) равны 1. Действительно, если p не входит в дискриминант поля K, то (a_p, K) = 1 для любой p-адической единицы a_p. Формула (3) является первым настоящим успехом идеи норменного символа. Она дала Гильберту уверенность в том, что высшие законы взаимности должны формулироваться в терминах норменных вычетов.

Каждое рациональное число a определяет для каждой простой точки p p-адическое число a_p = I_p(a). Какие свойства этого сопоставления используются при образовании произведения (3)? Очевидный ответ на этот вопрос даёт понятие иделя, введённое Шевалле: идель a есть функция, ставящая в соответствие каждой точке p некоторое p-адическое число a_p ? 0, которое является p-адической единицей почти для всех p. Относительно операции умножения функций идели образуют группу J_k. Соответствие p a_p = I_p(a) определяет для каждого рационального числа a ? 0 некоторый идель, называемый главным иделем a. Для иделей a мы можем снова вернуться к нашим прежним обозначениям.

(

a, K p.

)

Вместо (a_p, K). Формула.

?K(a) = (a, K) =	?	( ap, K) =	?	(	a, K p.	)
	p.		p.
(4).

Определяет характер ?_K, норменный характер на группе J_k всех иделей. Закон взаимности в форме Гильберта (3) утверждает, что для главных иделей a.

(a, K) = 1.

(5).

По самому определению норменного символа (a_p, K) это же равенство имеет место, если a является нормой в K, т.е. для любой точки p a_p есть p-адическая норма в K. Два иделя a и a? называются эквивалентными, если их отношение a?a^–1 является главным иделем. Обозначим, через Nm J_K группу всех иделей, эквивалентных нормам в K. Тогда равенство (5) имеет место для всех иделей a из Nm J_K, и было бы интересно узнать, только ли для них это верно, или, другими словами, узнать, является ли Nm J_K подгруппой индекса 2 в группе J_k.

Теперь мы достигли такого уровня, когда наш опыт обращения с квадратичным полем K над основным рациональным полем Q позволяет нам перейти к произвольному относительному абелеву полю K над заданным алгебраическим числовым полем k = Q(?). Прежде всего надо сказать о бесконечных простых точках поля k. Его определяющее уравнение f (?) = 0 есть неприводимое уравнение в поле Q некоторой степени m и, тем самым, имеет в множестве комплексных чисел m различных корней ??, ??, ..., ?^(m). Предположим, что r из них вещественны, пусть это будут ??, ..., ?^(r). Каждый элемент ? из k имеет r вещественных сопряжённых элементов ??, ..., ?^(r). При этом ?^(t) определяется как образ ? при гомоморфизме I^(t) из k в поле вещественных чисел:

? ?^(t) = I^(t)(?) (t = 1, ..., r).

Тем самым, мы говорим об r вещественных бесконечных простых точках q?, .., q^(r) с соответствующими гомоморфизмами I? = Iq?, ..., I^(r); поля k(q?), ..., k(q^(r)) отождествляются с полем вещественных чисел. Тем самым, ? является n-й q?-адической степенью, если уравнение ?? = ??ⁿ имеет вещественное решение. Ясно, что это условие нетривиально только для чётных n и эквивалентно в этом случае условию положительности ??. (В комплексной области это уравнение всегда разрешимо вне зависимости от четности n, и именно поэтому мы полностью исключаем из рассмотрения комплексные бесконечные точки.).

Конечные простые точки — это простые идеалы B поля k. При изучении полей Галуа K/k степени n мы вначале исключаем из рассмотрения разветвлённые идеалы p, входящие в относительный дискриминант поля K/k. Каждый неразветвлённый идеал p поля k распадается в K на некоторое число q различных простых идеалов B₁, ..., B_q относительной степени f , при этом fq = n. Легко видеть, что p-адическое число ?_p ? 0 является p-адической нормой в K тогда и только тогда, когда его порядок (в p) кратен f . В частности, p-адические единицы являются нормами. Таким образом, мы оказываемся в значительно более простой ситуации, чем при определении гауссова символа квадратичного вычета: норменный характер числа ?_p зависит только от порядка i этого числа в точке p. Теперь ясно, как надо поступать: мы выбираем первообразный корень f -й степени из единицы ? и полагаем (?_p, K) = ?ⁱ, если порядок ?_p равен i. Построенная функция от ?_p является характером и принимает значение 1 на нормах и только на них. Но здесь возникает загвоздка: не существует никакого алгебраического свойства, позволяющего отличать друг от друга несколько первообразных корней f -й степени из единицы. Тем самым, мы имеем произвол в выборе ?. С этим ещё можно было бы смириться, если бы мы имели дело только с одним простым идеалом. Но когда нужно принимать во внимание все простые идеалы, образовывая произведения типа (4), эта неопределённость, казалось бы, уничтожает все надежды на получение простого закона взаимности типа (5). Я не буду описывать тех ухищрений, с помощью которых Эйзенштейну, Куммеру и Гильберту удалось выйти из этого трудного положения. Намного лучшее решение было найдено Артином. Если поле K/k абелево, то для K и p однозначно определена подстановка Фробениуса K/p, которая является элементом порядка f группы Галуа ? расширения K/k. Пусть этот элемент и явится заменой ? в нашем окончательном определении p-адического норменного символа:

(?p, K) =	(	?, K p.	)	=	(	K p.	)	I.	,
(6).

Если порядок ?_p в p равен i. Теперь для любого иделя ? мы можем образовать произведение.

?	(?p, K) =	?	(	?, K p.	)	= (?, K),
P.		P.

Распространённое по всем конечным и бесконечным (вещественным) простым точкам p, и сформулировать закон взаимности, утверждающий, что (?, K) = 1 для любого главного иделя ?. Всё это было бы хорошо, если бы мы только не исключили в нашем определении (?_p, K) некоторых специальных p, а именно бесконечных точек и разветвлённых простых идеалов. В одном специальном случае с помощью чрезвычайно сложных вычислений Куммеру удалось дать правильное определение (?_p, K) для исключительных p. Четвёртое открытие Гильберта состоит в изобретении простого и остроумного приёма, позволившего преодолеть это трудное препятствие, ставшее на пути дальнейшего прогресса. Ограничимся вначале иделями, являющимися n-ми степенями в наших исключительных точках. Другими словами, предположим, что уравнение ?_p = ?_pⁿ разрешимо для p-адических значений ?_p иделя ? для этого конечного числа точек. В этом случае определить (?, K) не представляет никакого труда:

(?, K) =	?	?	(?p, K) ;
	P.

Штрих здесь означает, что произведение берется только по неисключительным простым точкам, где мы знаем определение (?_p, K). При тех же ограничениях мы доказываем (вместе с Артином) закон взаимности.

(?, K) = 1, если ? главный,

(7).

И замечаем, что, по определению, (?, K) = 1, если ? — норма. Вернёмся к произвольному иделю ?. Легко видеть, что существует эквивалентный идель ?* ~ ?, который является n-й степенью для всех исключительных простых точек, хотя таких ?* будет, разумеется, бесконечное число. Тем не менее ограниченный закон взаимности гарантирует нам, что.

(?*, K) =	?	?	(?p*, K)
	P.

Принимает одинаковое значение для всех таких ?*. Именно это значение мы и возьмём за определение (?, K). Приняв это определение, мы получаем, что закон взаимности (7) и утверждение, что (?, K) = 1 для любой нормы, имеют место без всяких дополнительных предположений. Таким образом, сам закон взаимности становится средством для того, чтобы можно было следить за исключительными точками!

Если значение (?, K) становится известным для любого иделя ?, мы можем вычислить (?_p, K) для заданной точки p и заданного p-адического числа ?_p ? 0, взяв значение (?, K) на «примарном» иделе, также обозначаемом через ?_p, равным ?_p в точке p и 1 во всех остальных простых точках. (Идель ? является произведением своих примарных компонент ?_p.) Можно ожидать, что будут выполняться следующие два свойства:

I. (?_p, K) = 1 тогда и только тогда, когда ?_p является p-адической нормой.

II. Для данного простого идеала p (?_p, K) = 1 для каждой p-адической единицы ?_p тогда и только тогда, когда p неразветвлён.

Выше уже были установлены условия достаточности из I и II:

(I₀) если ?_p — норма, то (?_p, K) = 1;

(II₀) если p неразветвлён, то (?_p, K) = 1 для каждой p-адической единицы ?_p.

Обратное утверждение к (I₀) тривиально для неисключительных точек, но для исключительных точек из-за неявного определения норменного символа доказательство обратных утверждений к (I₀) и (II₀) довольно сложно. Утверждение II показывает, что для любого простого разветвлённого идеала p норменный характер ?_p зависит не только от порядка ?_p; тем самым то простое свойство, которое делает возможным определение (6), распространяется только на неразветвлённые идеалы p. Можно было бы надеяться также на справедливость утверждения:

III. Если главный идель ? является идельной нормой в поле K, то число ? есть норма в K.

Это верно для циклических полей K/k, но, вообще говоря, неверно для произвольных абелевых полей.

Обозначим снова через Nm J_K подгруппу группы J_k, состоящую из иделей, эквивалентных нормам. Тогда норменный символ ?_K(?) = (?, K) определяет гомоморфное отображение факторгруппы J_k/Nm J_K в группу Галуа поля K/k. Можно было бы надеяться, что это отображение взаимно однозначно:

IV. Отображение норменного символа устанавливает изоморфизм факторгруппы J_k/Nm J_K на группу Галуа поля K/k.

Утверждения I, II, III_c (индекс c означает ограничение циклическими полями) и IV составляют основные предложения того, что можно назвать норменной теорией относительных абелевых полей. Они справедливы для каждого такого поля K/k.

Имеется другая часть этой теории, собственно теория полей классов, которая относится к вопросу о связи множества всевозможных относительных абелевых полей K над k со структурой группы J_k иделей поля k. Каждое такое поле K определяет, как мы видели выше, подгруппу конечного индекса Nm J_K группы J_k. Возникает вопрос: какие именно подгруппы J_k^* группы J_k получаются таким способом из абелевых полей K/k? Ясно, что необходимыми условиями являются следующие:

1).	Каждый главный идель принадлежит Jk*.
2).	Существует такое натуральное число n, что каждая n-я степень иделя принадлежит Jk*.
3).	Существует такое конечное множество точек S, что ?IJk*, если ? является единицей во всех точках и равно 1 для точек из S.

Основная теорема теории полей классов утверждает, что эти условия являются также и достаточными.

V. Для любой подгруппы J_k^* группы J_k, удовлетворяющей трём предыдущим условиям (и, в частности, конечного индекса), существует однозначно определённое абелево поле K/k такое, что J_k^* = Nm J_K.

Разобьём множество иделей на классы, относя два иделя к одному классу, если их частное принадлежит группе J_k^*. Тогда факторгруппа J_k/J_k^* называется группой классов, а соответствующее поле K — полем классов. Самый важный пример получается, если взять за J_k^* группу всех единичных иделей ?, значения ?_p которых являются p-адическими единицами во всех простых точках p ¹². В этом случае соответствующие классы совпадают с обычными классами идеалов: два идеала принадлежат одному классу, если их частное является главным идеалом (?), где число ? положительно для всех вещественных бесконечных простых точек. Соответствующее поле классов K, так называемое абсолютное поле классов, имеет относительный дискриминант, равный единице, и представляет собой максимальное неразветвлённое абелево поле над k (теорема II). Его степень n над k равна числу классов идеалов, а группа Галуа изоморфна группе классов идеалов поля k (теорема IV). Если f — наименьшая степень, после возведения в которую идеал p попадает в подгруппу главных идеалов, то p разлагается в произведение n/f различных простых идеалов в K, каждый из которых имеет относительную степень f . Последнее утверждение есть не что иное, как повторение норменного определения поля классов. Таким образом, разложение идеала p в поле K зависит только от того класса, к которому принадлежит p. Замена идеалов на идели даёт самый простой подход к обобщению этой теоремы с неразветвлённого случая, которым в основном занимался Гильберт, на разветвлённый случай, изученный Такаги. Гильберт высказал, кроме того, утверждение, что каждый идеал поля k становится главным в абсолютном поле классов. Мы умеем сегодня доказывать это утверждение, однако с помощью ещё не понятых до конца рассуждений, выходящих за рамки абелевых полей.

Как уже говорилось выше, сам Гильберт не смог доказать эти теоремы в полной общности. Однако, отправляясь от гауссовской теории родов в квадратичных полях и исследований Куммера, он начал постепенно двигаться, разбирая простейшие примеры, создавая на своём пути необходимый запас новых понятий и предложений, до тех пор, пока ему не открылся весь ландшафт полей классов. Мы не можем даже пытаться дать здесь идею высокотехнических доказательств всех результатов. Завершение своей работы он оставил своим последователям. Вероятно, ещё далёк тот день, когда мы будем располагать сравнительно полной теорией относительных числовых полей Галуа.

Кронекер показал, а Гильберт упростил его доказательство, что абелевы поля над основным рациональным полем являются подполями круговых полей и тем самым получаются из трансцендентной функции e^2?ix подстановкой рациональных значений в её аргумент x. Для абелевых полей над мнимым квадратичным полем аналогичную роль играет так называемое комплексное умножение эллиптических и модулярных функций («Jugendtraum ¹³ Кронекера»). В то время как Генрих Вебер вслед за Кронекером и Р. Фютер под руководством Гильберта воплотили эту мечту в реальность, сам Гильберт обратился к модулярным функциям нескольких переменных, определяемых числовыми полями, и исследовал их связь с арифметикой. Этих своих исследований он никогда не публиковал, однако его идеи на основе его заметок были развиты О. Блюменталем, а позже Э. Гекке. Полученные результаты многообещающи, но всё ещё далеки от полноты. Характерным признаком богатства мысли Гильберта является то, что в этот самый продуктивный период своей жизни он передал своим ученикам целый комплекс проблем, столь привлекательных, как связи между теорией чисел и модулярными функциями ¹⁴.

Остаётся отметить особенно простое доказательство трансцендентности чисел e и ?, которым Гильберт открыл серию своих работ по арифметике, и работу 1909 года с доказательством гипотезы Варинга столетней давности. Последнюю работу я бы отнёс к числу его самых оригинальных, но мы не будем на ней более подробно останавливаться, так как десять лет спустя Харди и Литлвуд нашли другой подход, дающий асимптотические формулы для числа искомых представлений. «Круговой метод» Харди—Литлвуда породил в последнее время значительную литературу на эту и смежную с ней тему ¹⁵.