XXV ПОСЛЕДНЕЕ СЛОВО.

Могло показаться, что сладостный звук гамельнского Дудочника замолк навсегда. Однако по всему миру — в маленьких европейских странах, охваченных войной Англии, Японии, России, Соединённых Штатах — оставались ученики Гильберта и ученики учеников Гильберта.

За океаном даже во время войны можно было услышать отголоски старого. Герман Вейль с характерным для него рвением пытался создать в Принстоне, в Институте перспективных исследований, новый великий центр пламенной научной жизни — это его выражение, — напоминающий тот, который он знал в своей молодости в Гёттингене. В Нью-Йорке Рихард Курант устроился на заброшенной шляпной фабрике, шутливо называемой его друзьями «Институт Куранта». Дух Гильберта жил и там.

После смерти Гильберта в Nature было сказано, что едва ли можно было встретить в мире математика, чья работа не была бы в той или иной степени связана с работами Гильберта. Как некий математический Александр Македонский, он оставил своё имя ярко запечатлённым на карте математики. Как указывалось в том же журнале, существовали гильбертово пространство, неравенство Гильберта, преобразование Гильберта, инвариантный интеграл Гильберта, теорема неприводимости Гильберта, теорема Гильберта о базисе, аксиома Гильберта, подгруппа Гильберта, поле классов Гильберта.

Идеи, содержавшиеся в его работе по проблеме Гордана, далеко распространили методы и значение теории алгебраических инвариантов: из них выросла теория абстрактных полей, колец и модулей — короче говоря, современная алгебра. Большинство работ последующих теоретико-числовиков относились к тем плодородным областям, которые были открыты Гильбертом в его Zahlbericht и программе теории полей классов. Маленькая книга по основаниям геометрии — «поворотный пункт в математической мысли» — заложила прочные и надёжные основы аксиоматического метода почти во всех областях математики. «Влияние этой маленькой книги, — писал современный историк математики, — трудно переоценить». После того как Гильберт спас принцип Дирихле, его теория была упрощена и обобщена, в результате чего этот принцип стал «средством, столь гибким и почти столь же простым, каким он был первоначально создан Риманом». Эта работа, помимо прочего, заложила основу для развития того, что теперь называют прямыми методами вариационного исчисления, имеющими значение как в чистой, так и в прикладной математике. Одна теорема, сформулированная и доказанная Гильбертом на своих лекциях по вариационному исчислению в начале века, была использована для заложения совершенно новых основ этой теории. Общая теория интегральных уравнений стала одним из самых мощных математических средств в арсенале физиков, а теория гильбертовых пространств выросла до таких размеров, что, как жаловался один математик, её невозможно изложить «конечным набором слов». И хотя сегодня уже никто не говорит об аксиоматизации физики, проясняющая, упорядочивающая и объединяющая мощь аксиоматического метода проникла и в эту науку.

А как обстоят дела с последней великой работой Гильберта — формализацией математики и установлением её непротиворечивости с помощью абсолютного доказательства? Несмотря на удар, нанесённый этой программе работой Гёделя, широкое гильбертово определение математического существования как свободы от противоречий, несомненно, восторжествовало над тесными рамками конструктивистских идей его противников. Вопрос о непротиворечивости математики, столь простой и очевидный до тех пор, пока он не был поднят Гильбертом, сыграл неоценимую по важности роль в истории математической мысли. «Это был хороший вопрос, — говорит один из современных математиков, — и только очень большому математику могло прийти в голову его задать».

Гёдель, никогда не встречавшийся и не переписывавшийся с Гильбертом, чувствует, что гильбертовы принципы оснований математики «остаются чрезвычайно интересными и важными, несмотря на мои отрицательные результаты».

И добавляет: «Единственное, что было показано, что та специальная эпистемологическая цель, которую преследовал Гильберт, не может быть достигнута. В его намерения входило установить непротиворечивость аксиом классической математики на основе доказательств, столь же конкретных и убедительных, как и элементарная арифметика.

Однако, если подойти к этому с чисто математической точки зрения, доказательства непротиворечивости на основе подходящих более сильных математических предпосылок (как у Генцена или других) также представляют интерес и ведут к чрезвычайно важному проникновению в структуру теории доказательств в математике. Кроме того, остаётся открытым вопрос, можно ли, или до какой степени можно, дать «конструктивное» доказательство непротиворечивости классической математики на основе формалистского подхода, т.е. заменить её аксиомы об абстрактных сущностях объективного платонистского мира пониманием конкретных операций нашего мышления.

Что касается моих отрицательных результатов, то, оставляя в стороне их философское значение, я вижу их важность главным образом в том, что во многих случаях они позволяют оценивать или предсказывать возможность осуществления какой-нибудь специальной части гильбертовой программы на основе данных математических предположений».

Гёдель, кроме того, чувствует, что, «оценивая значение работы Гильберта по континуум-гипотезе, часто забывают, что, с точностью до деталей, одна его чрезвычайно важная общая идея оказалась абсолютно верной — именно то, что континуум-гипотеза потребует для своего решения совершенно новых методов, связанных с основаниями математики. В частности, отсюда, по-видимому, следует (хотя явно этого Гильберт и не указывал), что континуум-гипотеза не выводится из обычных аксиом теории множеств».

В результате восторженного отношения Гильберта к проблемам математической логики и основаниям математики создалась целая новая область науки — метаматематика, надматематика.

«Будущий историк науки, интересующийся развитием математики конца XIX и первой половины XX века, без сомнения, отметит, что многие разделы математики своим бурным развитием в этот период во многом обязаны достижениям Гильберта, — писал Альфред Тарский. — С другой стороны, ему придётся, быть может с некоторым удивлением, признать, что влияние этого человека так же сильно и мощно проявляется в некоторых других областях, которые не были особенно существенно затронуты его собственными исследованиями. Одним из таких примеров служат основания геометрии. Я далёк от недооценки значения вклада Гильберта... в его [Основаниях геометрии], но я думаю, что его самой существенной заслугой явился тот стимул, который он дал организованным исследованиям в этой области. Ещё более поразительным примером служит метаматематика. Отдельные исследования в этой области были и до речи Гильберта в Париже; первые положительные и действительно глубокие результаты появились до того, как Гильберт начал свою постоянную работу в этой области... и трудно сразу же связать с его именем какой-нибудь конкретный и важный математический результат. Тем не менее Гильберт заслуженно считается отцом метаматематики. Действительно, именно он создал метаматематику как самостоятельную науку; он боролся за её право на существование, имея за собой всю свою репутацию великого математика. Он также был тем, кто очертил её будущий курс и поставил перед ней честолюбивые цели и важные задачи. Это верно, что ребёнок не оправдал всех надежд своего отца и не стал вундеркиндом. Но он развивался нормально, рос здоровым и стал нормальным членом великой математической семьи, и я не думаю, что у его отца есть какие-нибудь причины стыдиться своего отпрыска...».

В 1950 году Американское математическое общество обратилось с просьбой к Герману Вейлю подытожить историю математики за первую половину XX столетия. Отвечая, он писал, что, если бы терминология парижских проблем не была столь специальной, он смог бы выполнить требуемое задание исключительно в терминах тех проблем Гильберта, которые были решены либо частично решены, — «схема, по которой математики часто измеряли наш прогресс» в течение прошедших пятидесяти лет. «Насколько лучше он предсказал будущее математики, чем любой политик смог предвидеть последствия войн и террора, которые должно было обрушить на человечество новое столетие».

Сегодня Кёнигсберга больше не существует. Там, где он находился, на реке Прегель, находится Калининград, самый западный морской порт Советского Союза. Соперничество между Гёттингеном и Парижем отошло в прошлое. Как в Германии, так и во Франции недостаёт целого поколения математиков. Соединённые Штаты неизмеримо обогатились, ибо почти все представители школы Гильберта и многие другие европейские математики эмигрировали в эту страну. Среди них были и следующие лица, упоминавшиеся в этой книге: Артин, Вейль, Вигнер, Гёдель, Дебай, Ден, Курант, фон Карман, Ланде, Леви, Нейгебауэр, фон Нейман, Эмми Нётер, Нордгейм, Оре, Пойа, Сегё, Тарский, Ольга Таусски, Феллер, Франк, Фридрихс, Хеллингер, Эвальд, Эйнштейн.

После войны Гёттинген был первым немецким университетом, вновь открывшим свои двери. Со временем многие из старых друзей Гильберта снова приехали, чтобы посетить Гёттинген; некоторые из них, как, например, Макс Борн, остались доживать свой век неподалёку от него.

В 1962 году по случаю столетия со дня рождения Гильберта Рихард Курант произнёс речь в Гёттингене о работе Гильберта и её значении для математики.

«Естественно, что в такой речи невозможно дать даже приблизительное представление о столь многогранной личности, как Гильберт, — сказал он. — Кроме того, не имеет смысла и предаваться сентиментальным воспоминаниям о старых добрых временах. Однако я чувствую, что осознание духа Гильберта имеет большое актуальное значение для математики и математиков нашего времени».

«Хотя математика играет важную роль вот уже более двух тысячелетий, она всё ещё подвержена влиянию моды и, прежде всего, смене традиций. В нашу эру чрезмерной индустриализации науки, пропаганды и опасных манипуляций общественной и личной основой науки я считаю, что мы находимся в одном из таких опасных периодов. В наше время массовой информации призыв к реформе, как следствие пропаганды, может легко привести как к сужению и удушению, так и к раскрепощению математического знания. Это относится не только к исследованиям в университетах, но также и к школьному обучению. Опасность состоит в том, что общие усилия столь сильно направляются в сторону абстракции, что только эта сторона великой традиции Гильберта продолжает существовать».

«Живая математика опирается на сочетание противоречивых, прямо противоположных друг другу способностей к интуиции и логике, конкретных «основополагающих» проблем и общности далеко идущих абстракций. Мы сами должны противодействовать тому, чтобы её развитие направлялось только к одному полюсу этого животворного противоречия».

«Математику нужно лелеять и укреплять как единую жизненную ветвь в широком русле науки; она не имеет права быть выплеснутой на берег тоненьким ручеёчком».

«Гильберт показал нам своим впечатляющим примером, что такие опасности можно легко предупредить и что не существует разделения между чистой и прикладной математикой, а между математикой и наукой в целом может быть установлено плодотворное сотрудничество. Поэтому я уверен, что заразительный оптимизм Гильберта даже сегодня сохраняет свою жизнеспособность для математики, которая будет процветать, только следуя духу Гильберта».

И пока сохранится камень от надгробной плиты, установленной на могиле Гильберта в Гёттингене, именно этот оптимизм будет отдаваться от него эхом:

Wir mussen wissen. Wir werden wissen.

Примечания

1.

Чудесными годами (нем.).

2.

Юношеский стиль (нем.).

3.

Вне Гёттингена жизни нет (лат.).

4.

Изречение (нем.).

5.

Но нет (нем.).